$\frac{1}{x^5}$ kann man auch als $x^{-5}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{7x^5}$ = $\frac{1}{7}·\frac{1}{x^5}$ das gleiche wie $\frac{1}{7}{x}^{-5}$.

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[8]{x}\right)}^7$ = ${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7$ = x^{$\frac{1}{8}$⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{7}}$ = $x^{9·\frac{1}{7}}$ = ${\left(x^9\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^9\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^9}$

$4^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

$\frac{4^{40}}{4^{38}}$

= $4^{40-38}$

= $4^2$

= 16

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left(4^{-3}\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= $4^{-3·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= $4^1$

= $4$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[6]{x^2}·\sqrt[9]{x^{12}})}^6$

= ${(x^{\frac{2}{6}}\cdot x^{\frac{12}{9}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{\frac{9}{s^2}}{12s^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{s^2}}{\frac{12}{s^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{s^2}·\frac{s^4}{12}$

= $\frac{3}{4}{s}^2$