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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 50 = 5.
Somit gilt: 55 mod 10 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 78 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 76 = 2.
Somit gilt: 78 mod 4 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.
Somit gilt: 62 ≡ 78 ≡ 2 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2406 + 595) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2406 + 595) mod 6 ≡ (2406 mod 6 + 595 mod 6) mod 6.
2406 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406
= 2400
595 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 595
= 600
Somit gilt:
(2406 + 595) mod 6 ≡ (0 + 1) mod 6 ≡ 1 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 62) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(46 ⋅ 62) mod 7 ≡ (46 mod 7 ⋅ 62 mod 7) mod 7.
46 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 6 ⋅ 7 + 4 ist.
62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(46 ⋅ 62) mod 7 ≡ (4 ⋅ 6) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
41 mod m = 59 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 59 mod m gilt:
m=2: 41 mod 2 = 1 = 1 = 59 mod 2
m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3
m=4: 41 mod 4 = 1 ≠ 3 = 59 mod 4
m=5: 41 mod 5 = 1 ≠ 4 = 59 mod 5
m=6: 41 mod 6 = 5 = 5 = 59 mod 6
m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 3 = 59 mod 7
m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 3 = 59 mod 8
m=9: 41 mod 9 = 5 = 5 = 59 mod 9
m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 9 = 59 mod 10
m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 4 = 59 mod 11
m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 11 = 59 mod 12
m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 7 = 59 mod 13
m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 3 = 59 mod 14
m=15: 41 mod 15 = 11 ≠ 14 = 59 mod 15
m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 11 = 59 mod 16
m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 8 = 59 mod 17
m=18: 41 mod 18 = 5 = 5 = 59 mod 18
m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 2 = 59 mod 19
m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 19 = 59 mod 20
m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 17 = 59 mod 21
m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 15 = 59 mod 22
m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 13 = 59 mod 23
m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 11 = 59 mod 24
m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 9 = 59 mod 25
m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 7 = 59 mod 26
m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 5 = 59 mod 27
m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 3 = 59 mod 28
m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 1 = 59 mod 29
m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 29 = 59 mod 30
m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 28 = 59 mod 31
m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 27 = 59 mod 32
m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 26 = 59 mod 33
m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 25 = 59 mod 34
m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 24 = 59 mod 35
m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 23 = 59 mod 36
m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 22 = 59 mod 37
m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 21 = 59 mod 38
m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 20 = 59 mod 39
m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 19 = 59 mod 40
m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 18 = 59 mod 41
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 41) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18