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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 93 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 93 2 cm = 46.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 46.52 cm² ≈ 6792,91 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6792.91 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 6792.91 cm² ⋅ 5 cm ≈ 33964,54 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅46.5 cm ≈ 292.17 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6792.91 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 46.5 cm
≈ 13585.82 cm² + 5 cm ⋅ 292.17 cm
≈ 13585.82 cm² + 1460.84 cm²
≈ 15046,66 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 3694.5 cm³ = und den Radius r = 14 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 14 2 · h = 3694.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

615,832h = 3694,5

615,832h = 3694,5 |:615,832
h = 5,9992

Wir erhalten also h = 6 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅14 cm ≈ 87.96 cm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6 cm ⋅ 2π ⋅ 14 cm
≈ 6 cm ⋅ 87.96 cm
≈ 527,79 cm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 933.1 m² = und den Radius r = 27 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 27 · h = 933.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

169,641h = 933,1

169,641h = 933,1 |:169,641
h = 5,5004

Wir erhalten also h = 5.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 272 m² ≈ 2290,22 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2290.22 m² mit der Höhe h = 5.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2290.22 m² ⋅ 5.5 m ≈ 12596,22 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0.28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6.72 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (7 cm)2 - 1 2 π (6.72 cm)2
= 76.969 cm2 - 70.935 cm2
= 6.034 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 6.034 cm2 ⋅ 400 cm = 2414 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 2414 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 19312 g = 19.312 kg.