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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + x^{3}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 3 x^{2}$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x - \frac{2}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x - \frac{2}{x^{2}}$

= $- 2 x - 2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 2 + 4 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 2 + \frac{4}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x}$

= $- 2 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 2$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + x$

= $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}} + 1$

$f'(x) =$ $\sqrt{x} + 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt{x} + 1$ = 2.

$\sqrt{x} + 1$	=	$2$	\| $- 1$
$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x} + 1$

$=$ $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\sqrt{1} + 1$ = $2$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 1

Probe für x = $1$