Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+0$

= $-4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-2\right)$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $-2\cdot 4-2$ = $-8-2$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $8$⋅( $-2$) + c

$-10$ = $-16$ + c | + $16$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$⋅x + $6$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 1^2+1$

= $-6\cdot 1+1$

= $-6+1$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^3+1$ = $-2\cdot 1+1$ = $-2+1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-5$⋅ $1$ + c

$-1$ = $-5$ + c | + $5$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-4$

= $-3\cdot 1-4$

= $-3-4$

= $-7$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{7}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{7}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^3-4\cdot \left(-1\right)$ = $-\left(-1\right)+4$ = $1+4$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $\frac{1}{7}$⋅( $-1$) + c

$5$ = $-\frac{1}{7}$ + c | + $\frac{1}{7}$

$\frac{36}{7}$ = c

also c= $\frac{36}{7}$ ≈ 5.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{7}$⋅x + $\frac{36}{7}$ oder y=0.14x +5.14

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(1|f(1)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = 1 in die Ableitungsfunktion ein:

$\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{2}x$

=>$\text{f'(x)}=$ $-x^3+\frac{1}{2}$

f'(1) = $-1^3+\frac{1}{2}$ = $-1+\frac{1}{2}$ = $-1+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$ ≈ -0.5

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(1)) = arctan( $-\frac{1}{2}$)) ≈ -26.6°.

Wenn der Steigungswinkel α = 71.565° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(71.565°) ≈ 3 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = 3 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = 3 gelten.

Wir leiten somit f mit $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^4-13x-1$ ab:

f'(x) = $2x^3-13$

Es muss gelten:

$2x^3-13$	=	$3$	| $+13$
$2x^3$	=	$16$	|:$2$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ 2.

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 1-1$

= $8-1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 1^2-1$ = $4\cdot 1-1$ = $4-1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $7$⋅ $1$ + c

$3$ = $7$ + c | $-7$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-4$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $7x-4$

$7x-4$	=	0	| $+4$
$7x$	=	$4$	|:$7$
$x$	=	$\frac{4}{7}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $\frac{4}{7}$ ≈ 0.57.

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(2|f(2)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(t)}=$ $9-\frac{1}{4}{t}^3$,
also

$\text{f'(t)}=$ $0-\frac{3}{4}{t}^2$

= $-\frac{3}{4}{t}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(2)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot 2^2$

= $-\frac{3}{4}\cdot 4$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(2)}=$ $9-\frac{1}{4}\cdot 2^3$ = $9-\frac{1}{4}\cdot 8$ = $9-2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B(2| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-3$⋅2 + c

$7$ = $-6$ + c | + $6$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅t + $13$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $-3t+13$

$-3t+13$	=	0	| $-13$
$-3t$	=	$-13$	|:($-3$)
$t$	=	$\frac{13}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{13}{3}$ ≈ 4.33.