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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- x + 5}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- x + 5}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- x + 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- x + 5$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- x + 5

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 14 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 14+16}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 14-16}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{20}{3 x - 1} - x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

0

=

- \frac{20}{3 x - 1} - x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

=	$- \frac{20}{3 x - 1} - x - 5$	\|⋅( $3 x - 1$ )
=	$- \frac{20}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1) - 5 \cdot (3 x - 1)$
=	$- 20 - x (3 x - 1) - 15 x + 5$
=	$- 3 x^{2} - 14 x - 15$

0

=

- 3 x^{2} - 14 x - 15

|

+ 3 x^{2}

+ 14 x

+ 15

$3 x^{2} + 14 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14+4}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 14-4}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{8}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{8}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$8 x + 9$

x^{2}

=

8 x + 9

|

- 8 x

- 9

$x^{2} - 8 x - 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8+10}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{8-10}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 4} - \frac{- 0,5}{x + 2} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 4} + \frac{0,5}{x + 2} + x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{0,5}{x + 2} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} + \frac{0,5}{x + 2} + x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{0,5}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) + x \cdot (2 (x + 2))$
=	$- x + 1 + 2 x (x + 2)$
=	$2 x^{2} + 3 x + 1$

0

=

2 x^{2} + 3 x + 1

|

- 2 x^{2}

- 3 x

- 1

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3+1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3-1}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$30 + x^{2}$	=	$- a x$
$30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $15$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter