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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=1 und der Standardabweichung σ=0.6 .

Berechne P(0.5 ≤ X ≤ 0.6).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schon kann man das Ergebnis ablesen.

P(0.5 ≤ X ≤ 0.6) ≈ 0.0502

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=20 und der Standardabweichung σ=6.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.15. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.15 den Wert k ≈ 13.263.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 5 cm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 1,3 cm.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Insekt kleiner oder gleich 3,2 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Körperlänge des Insekts im cm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 5 und der Standardabweichung σ = 1.3.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 3.2) ≈ 0.0831

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Welchen IQ darf man höchstens haben, um zu den dümmsten 15% der Bevölkerung zu gehören.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≤ k) = 0.15 gilt.

Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.15 den Wert k ≈ 84.454.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= -5 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(-5 ≤ X ≤ -4) ≈ 0.3413

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.039.

Bestimme P(-8 ≤ X ≤ -5).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = -5.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≤ -8) entspricht: P( X ≤ -8) = 0.039.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.039 - 0.039 = 0.922

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(-8 ≤ X ≤ -5) = $\frac{0.922}{2}$ = 0.461

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-6|0.0249) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -6.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Gegeben ist ja der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -6 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0249}$ ≈ 20.08 und runden diesen auf σ₁ = 20.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -6 und σ₁=20) an der gegebenen Stelle x = -6 und erhalten f₁(-6) = 0.0199
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und das der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=20 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -6 berechnen:

μ = -6	σ = 19	f(-6) = 0.021
μ = -6	σ = 18	f(-6) = 0.0222
μ = -6	σ = 17	f(-6) = 0.0235
μ = -6	σ = 16	f(-6) = 0.0249

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 16 sein.

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2,5 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 800 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 800 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 800) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 800) mindestens 0.9 ist:

μ = 800: P(X ≥ 800) = 0.5

μ = 801: P(X ≥ 800) = 0.6554

μ = 802: P(X ≥ 800) = 0.7881

μ = 803: P(X ≥ 800) = 0.8849

μ = 804: P(X ≥ 800) = 0.9452

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 804 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 60 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube größer oder gleich 59,6 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 60 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die rechte Intervallgrenze wäre hier jedoch + ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr großen Wert eingeben, z.B.: 10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≥ 59.6) ≈ 0.8413

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Ein exotisches Insekt wird im Mittel 55 mm lang. Dabei beträgt die Standardabweichung der Körperlänge 4 mm. Ein Forscher entdeckt insgesamt 55 solcher Insekten. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5, aber nicht mehr als 6 dieser Insekten größer als 59,4 mm sind.

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Insekt die geforderte Größe hat. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Körperlänge des Insekts, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 55 und der Standardabweichung σ = 4.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 59.4) ≈ 0.1357 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 55 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der Insekten mit der geforderten Mindestgröße zählt) als binomialverteilt mit n = 55 und p = 0.136 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.136}^{55} (5 \leq X \leq 6)$ =

...

2

3

4

5

6

7

8

...

$P_{0.136}^{55} (X \leq 6)$ - $P_{0.136}^{55} (X \leq 4)$ ≈ 0.3686 - 0.1168 = 0.2518

(TI-Befehl: binomcdf(55,0.136,6) - binomcdf(55,0.136,4))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 25,2%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 90 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Ist eine Schraube kürzer als 89,7 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90%, mindestens 18 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 90 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 89.7) ≈ 0.665883 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.665883 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
27	0.4142
28	0.3173
29	0.2349
30	0.1684
31	0.117
32	0.0791
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.665883 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.666}^{n} (X \geq 18)$ ≥ 0.9

Weil man ja aber $P_{0.666}^{n} (X \geq 18)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.666}^{n} (X \geq 18)$ = 1 - $P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ ≥ 0.9 |+ $P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ - 0.9

0.1 ≥ $P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ oder $P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ ≤ 0.1

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 66.5883% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{18}{0.665883}$ ≈ 27 Versuchen auch ungefähr 18 (≈0.665883⋅27) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=27:
$P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ ≈ 0.4142 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.1 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.1 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=32 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.1 ist.

n muss also mindestens 32 sein, damit $P_{0.666}^{n} (X \leq 17)$ ≤ 0.1 oder eben $P_{0.666}^{n} (X \geq 18)$ ≥ 0.9 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

μ und σ ablesen und Interval berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung Anwendung

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw