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x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 1) {(x - 5)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 1) {(x - 5)}^{2}$ = 0.

$(x + 1) {(x - 5)}^{2}$	=	0
${(x - 5)}^{2} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 5$	=	0

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₁	=	$5$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(4 + 2 x)}^{3} + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $2 {(4 + 2 x)}^{3} + 14$ = -2.

$2 {(4 + 2 x)}^{3} + 14$	=	$- 2$
$2 {(2 x + 4)}^{3} + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$2 {(2 x + 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
${(2 x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$2 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -2.

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 8$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - 7 x - 2$ und $g(x) =$ $- 5 x - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - 7 x - 2$	=	$- 5 x - 2$	\| $+ 2$
$x^{2} - 7 x$	=	$- 5 x$	\| $+ 5 x$
$x^{2} - 7 x + 5 x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 5 \cdot 0 - 2$ = $- 2$ ⇒ S₁(0| $- 2$ )

g( $2$ ) = $- 5 \cdot 2 - 2$ = $- 12$ ⇒ S₂( $2$ | $- 12$ )