Wir lesen am Graph die Funktionswerte an den Stellen x₁ = 1 und x₂ = 4 ab und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(4) - f(1) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 4 - 1 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(4)\; -\; f(1)}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-4\; -\; <mn>5</mn>}}{\mathrm{4\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{-9}}{3}$

= $-3$

Wir setzen die Intervallgrenzen x₁ = 0 und x₂ = 3 in den Funktionsterm ein,
erhalten somit die Funktionswerte
f(0) = $0^2-2\cdot 0-2$ = $0+0-2$ = -2 und
f(3) = $3^2-2\cdot 3-2$ = $9-6-2$ = 1
und berechnen den Differenzenquotient, in dem wir die Differenz der Funktionswerte
f(3) - f(0) in den Zähler und die Differenz der x-Werte 3 - 0 in den Nenner schreiben:

$\frac{\mathrm{f(3)\; -\; f(0)}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{\mathrm{1\; -\; <mo>(</mo>\; <mo>-</mo>\; <mn>2</mn>\; <mo>)</mo>}}{\mathrm{3\; -\; <mn>0</mn>}}$

= $\frac{3}{3}$

= $1$

Die durchschnittliche Änderungsrate kann man mit dem Differenzenquotient berechnen:

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; f(0)}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>\; -\; <mn>0</mn>}}$ = 1

f($\mathrm{2,5}$) = 0 eingestezt (und Nenner verrechnet):

$\frac{\mathrm{f(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>)\; -\; <mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2,5</mn></mrow></math>}}$ = 1 |⋅ $\mathrm{2,5}$

f($\mathrm{2,5}$) -0 = $\mathrm{2,5}$ |+0

f($\mathrm{2,5}$) = 2.5

1. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$

= $\frac{-3x^2-2-\left(-3\cdot 1^2-2\right)}{x-1}$

= $\frac{-3x^2-2+3\cdot 1^2+2}{x-1}$

= $\frac{-3x^2+3\cdot 1^2}{x-1}$

= $\frac{-3\left(x^2-1^2\right)}{x-1}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-3\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{x-1}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-1$ rauskürzen:

= $-3·\left(x+1\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → 1 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(1)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>1</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 1}}{\lim }$ $-3\left(x+1\right)$ = $-3\left(1+1\right)$ = -6

2. Weg

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 1 + h und 1 auf:

$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-2-\left(-3\cdot 1^2-2\right)}{h}$

= $\frac{-3{\left(1+h\right)}^2-2+3\cdot 1^2+2}{h}$

= $\frac{-3{\left(h+1\right)}^2+3}{h}$

Jetzt müssen wir die 1. Binomische Formel anwenden: (a+b)² = a² + 2ab + b²:

= $\frac{-3\left(h^2+2h+1\right)+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h-3+3}{h}$

= $\frac{-3h^2-6h}{h}$

= $\frac{-3h\left(h+2\right)}{h}$

Jetzt können wir mit h kürzen:

= $-3\left(h+2\right)$

Jetzt können wir den Grenzwert für h → 0 leicht bestimmen:

f'(1) = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(1+h)\; -\; f(1)}}{h}$ = $\underset{\mathrm{h\; \to \; 0}}{\lim }$ $-3\left(h+2\right)$ = $-3\left(0+2\right)$ = -6

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen 2 und einem allgemeinen x auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\frac{3x^4-5x^2-\left(3\cdot 2^4-5\cdot 2^2\right)}{x-2}$ = $\frac{3x^4-5x^2-48+20}{x-2}$ = $\frac{3x^4-5x^2-28}{x-2}$

Jetzt setzen wir Werte für x ein, die sich immer mehr der 2 annähern:

x = 2.1: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,1}}^4-5\cdot {\mathrm{2,1}}^2-28}{\mathrm{0,1}}$ ≈ 82.943

x = 2.01: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,01}}^4-5\cdot {\mathrm{2,01}}^2-28}{\mathrm{0,01}}$ ≈ 76.6724

x = 2.001: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,001}}^4-5\cdot {\mathrm{2,001}}^2-28}{\mathrm{0,001}}$ ≈ 76.06702

x = 2.0001: $\frac{3\cdot {\mathrm{2,0001}}^4-5\cdot {\mathrm{2,0001}}^2-28}{\mathrm{0,0001}}$ ≈ 76.0067

x = 2.00001: $\frac{3\cdot 2^4-5\cdot 2^2-28}{0.00001}$ ≈ 76.00067

Wir können nun also eine Vermutung für den Grenzwert für x → 2 bestimmen:

f'(2) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(2)}}{\mathrm{x\; -\; <mn>2</mn>}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; 2}}{\lim }$ $\frac{3x^4-5x^2-28}{x-2}$ ≈ 76

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{-2x^2+3-\left(-2u^2+3\right)}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+3+2u^2-3}{x-u}$

= $\frac{-2x^2+2u^2}{x-u}$

= $\frac{-2\left(x^2-u^2\right)}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{-2(x-u)·(x+u)}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $-2·(x+u)$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $-2(x+u)$ = $-2·(u+u)$ = $-4u$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $-4u$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $-4x$.

Wir stellen den Differenzenquotient zwischen x und u auf:

$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$

= $\frac{x^2+x-(u^2+u)}{x-u}$

= $\frac{x^2+x-u^2-u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+x-u}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2+\left(x-u\right)}{x-u}$

= $\frac{x^2-u^2}{x-u}+\frac{x-u}{x-u}$

Jetzt können wir die 3. Binomische Formel (rückwärts) anwenden: a²-b² = (a-b)(a+b):

= $\frac{(x-u)·(x+u)}{x-u}+\frac{x-u}{x-u}$

Jetzt lässt sich der Nenner $x-u$ rauskürzen:

= $1·(x+u)+1$

Jetzt können wir den Grenzwert für x → u leicht bestimmen, indem wir einfach u für x einsetzen:

f'(u) = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$$\frac{\mathrm{f(x)\; -\; f(u)}}{\mathrm{x\; -\; u}}$ = $\underset{\mathrm{x\; \to \; u}}{\lim }$ $1·(x+u)+1$ = $1·(u+u)+1$ = $2u+1$

Da die Ableitung an jeder Stelle x=u immer f'(u) = $2u+1$ beträgt, hat die Ableitungsfunktion f' den Term f'(x) = $2x+1$.