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Symmetrieeigenschaften (elementar)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $- 8 x^{7} - 2 x^{4} + 3 x^{2} + 8$ vorliegt.

Da f sowohl gerade ( $- 2 x^{4}$ ) als auch ungerade Hochzahlen ( $- 8 x^{7}$ ) hat, besitzt ihr Schaubild keine Symmetrie zum Koordninatensystem.

Symmetrie bestimmen (allg.)

Beispiel:

Entscheide welche Symmetrie bei der Funktion f mit $f(x) =$ $x \cdot 2^{x^{2} + 2}$ vorliegt.

Lösung einblenden

Wir betrachten einfach f(-x) und schauen dann, ob das zufällig wieder f(x) oder -f(x) ist:

f(-x) = $(- x) \cdot 2^{{(- x)}^{2} + 2}$ = $- x \cdot 2^{x^{2} + 2}$

Wenn man das mit f(x) = $x \cdot 2^{x^{2} + 2}$ vergleicht, kann man erkennen, dass f(-x) = $- x \cdot 2^{x^{2} + 2}$ gerade das Negative von f(x), also -f(x) = $- x \cdot 2^{x^{2} + 2}$ ist.

Es gilt also: f(-x) = -f(x)

Somit liegt bei f Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs vor.

Verhalten gegen ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $3 x^{2} + 4 x + 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Weil für (betragsmäßig) sehr große x-Werte der erste Potenzterm mit dem höchsten Exponent $3 x^{2}$ immer (betragsmäßig) größere Funktionswerte als die anderen Potenzterme hat, genügt es nur dessen Verhalten für x → ± ∞ zu untersuchen.

x → - ∞

Da der Exponent bei $3 x^{2}$ gerade ist, hat $x^{2}$ ein positives Vorzeichen, wenn man was negatives für x einsetzt. Multipliziert mit $3$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → - ∞ ⇒ $3 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → - ∞ ⇒ $3 x^{2} + 4 x + 3$ → $\infty$

x → + ∞

$x^{2}$ hat natürlich immer ein positives Vorzeichen, wenn man was positives für x einsetzt. Multipliziert mit $3$ erhalten wir so also ein positives Vorzeichen:

Somit: x → + ∞ ⇒ $3 x^{2}$ → $\infty$

Also gilt auch: x → + ∞ ⇒ $3 x^{2} + 4 x + 3$ → $\infty$

Term mit Grenzverhalten bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Term einer Funktion, für dessen Graph folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:

der Grad von f muss mindestens 2 sein
Verhalten für x → -∞: f(x) → ∞
Verhalten für x → ∞: f(x) → ∞
f(1) = -5

Lösung einblenden

Da das Verhalten für x → -∞ und für x → +∞ gleich ist, muss der Grad einer solchen Funktion gerade, weil es ja nur bei ungeraden Hochzahlen einen Unterschied macht, ob man postive oder negative Werte für x in eine Potenz einsetzt. Und weil der Grad ja mindestens 2 sind muss nehmen wir am besten 2 als Grad.

Für f(x) = $x^{2}$ wäre also das Grenzverhalten und der Mindestgrad passend.

f(1) = $1^{2}$ = 1 ist aber leider nicht -5. Da ja aber das Grenzverhalten nur von der Potenz mit der höchsten Hochzahl abhängt, können wir einfach noch das fehlende -5 -1 = -6 als Absolutglied zu unserem bisherigen Term $x^{2}$ hinzufügen.

Ein möglicher Funktionsterm wäre somit: $f(x) =$ $x^{2} - 6$

Dieser funktionierende Term ist im roten Graphen eingezeichnet