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Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Eine faire Münze wird 24 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 7 Versuchen landen höchstens 3 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 9 mal "Zahl".

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 7 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.5}^{7} (X \leq 3)$ ≈ 0.5.

Analog betrachten wir nun die restlichen 17 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=17 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.5}^{17} (Y = 9)$ ≈ 0.1855.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.5}^{7} (X \leq 3)$ ⋅ $P_{0.5}^{17} (Y = 9)$ = 0.5 ⋅ 0.1855 ≈ 0.0928

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 50 und am Samstag bei 50 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 34 am Samstag so zwischen 25 und 28 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 75% höher als am Freitag mit 42%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 34 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.42 zu erzielen, also

P_{0.42}^{50} (24 \leq X \leq 34)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.42}^{50} (X \leq 34)

-

P_{0.42}^{50} (X \leq 23)

≈ 0.9999 - 0.7641 ≈ 0.2358 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.42,34)- binomcdf(50,0.42,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 25 und 28 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.75 zu erzielen, also

P_{0.75}^{50} (25 \leq X \leq 28)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.75}^{50} (X \leq 28)

-

P_{0.75}^{50} (X \leq 24)

≈ 0.0026 - 0 ≈ 0.0026 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(50,0.75,28)- binomcdf(50,0.75,24)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.2358 ⋅ 0.0026 ≈ 0.0006

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

9 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{5}$

Dabei gibt ja ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{5}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 5 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 9 \\ 4 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOO

OXXXXOOOO

OOXXXXOOO

OOOXXXXOO

OOOOXXXXO

OOOOOXXXX

Es gibt also genau 6 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 6 ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{4}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{5}$ ≈ 0.0019

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 16% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 99 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.84, also $P_{0.84}^{106} (X \leq 99)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.84.

P_{0.84}^{106} (X \leq 99)

=

P_{0.84}^{106} (X = 0)

+

P_{0.84}^{106} (X = 1)

+

P_{0.84}^{106} (X = 2)

+... +

P_{0.84}^{106} (X = 99)

= 0.99891805180464 ≈ 0.9989
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.84,99))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9989) und 'überbucht'(p=0.0011).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Ereignis	P
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,9967$
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0011$
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0011$
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht	$0$
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,0011$
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0$
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0$
überbucht -> überbucht -> überbucht	$0$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: nicht überbucht: $0,9989$ ; überbucht: $0,0011$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,9967$ )
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P= $0,0011$ )
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0011$ )
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0011$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,9967$ + $0,0011$ + $0,0011$ + $0,0011$ = $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Kombination Binom.-Baumdiagramm