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Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 20 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 4 Aufgaben keine einzige und von den restlichen Fragen nicht mehr als 2 richtig errät?

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 4 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. X ist binomialverteilt mit n=4 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.25}^{4} (X = 0)$ ≈ 0.3164.

Analog betrachten wir nun die restlichen 16 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der zufällig richtig geratenen Antworten an. Y ist binomialverteilt mit n=16 und p=0.25.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.25}^{16} (Y \leq 2)$ ≈ 0.1971.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.25}^{4} (X = 0)$ ⋅ $P_{0.25}^{16} (Y \leq 2)$ = 0.3164 ⋅ 0.1971 ≈ 0.0624

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Beim Torwandschießen muss man immer 3 mal rechts unten und dann 3 mal links oben versuchen zu treffen. Ein Fußballspieler hat unten ein Trefferwahrscheinlichkeit von 70% und oben 40%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er insgesamt 2 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von genau 2 kommen kann:

0 mal unten und 2 mal oben
1 mal unten und 1 mal oben
2 mal unten und 0 mal oben

0 mal unten und 2 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P_{0.7}^{3} (X = 0)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{0} \cdot {0.3}^{3}

≈ 0.027
Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{2} \cdot {0.6}^{1}

≈ 0.288
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.027 ⋅ 0.288 = 0.007776

1 mal unten und 1 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P_{0.7}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{1} \cdot {0.3}^{2}

≈ 0.189
Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 1)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{1} \cdot {0.6}^{2}

≈ 0.432
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.189 ⋅ 0.432 = 0.081648

2 mal unten und 0 mal oben

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal unten ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.7.

P_{0.7}^{3} (X = 2)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {0.7}^{2} \cdot {0.3}^{1}

≈ 0.441
Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal oben ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=3 und p=0.4.

P_{0.4}^{3} (X = 0)

=

(\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) \cdot {0.4}^{0} \cdot {0.6}^{3}

≈ 0.216
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.441 ⋅ 0.216 = 0.095256

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.0078 + 0.0816 + 0.0953 = 0.1847

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

5 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 5 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$

Dabei gibt ja ${(\frac{1}{6})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOO

OXXXO

OOXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$ ≈ 0.0096

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Bei einer Fluggesellschaft treten 17% der Besitzer gültiger Flugtickets ihren Flug nicht an. Deswegen verkauft die Fluggesellschaft immer 106 Tickets für ihr Flugzeug mit 95 Plätzen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es bei drei aufeinanderfolgenden Flügen nicht öfters als einmal zu der peinlichen Situation kommt, dass mehr Fluggäste ihren Flug antreten wollen, als Plätze frei sind?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'nicht überbucht'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 95 Treffer bei 106 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.83, also $P_{0.83}^{106} (X \leq 95)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=106 und p=0.83.

P_{0.83}^{106} (X \leq 95)

=

P_{0.83}^{106} (X = 0)

+

P_{0.83}^{106} (X = 1)

+

P_{0.83}^{106} (X = 2)

+... +

P_{0.83}^{106} (X = 95)

= 0.97964686883412 ≈ 0.9796
(TI-Befehl: binomcdf(106,0.83,95))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'nicht überbucht' (p=0.9796) und 'überbucht'(p=0.0204).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'überbucht' oder 1 mal 'überbucht'

Ereignis	P
nicht überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,94$
nicht überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0196$
nicht überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0196$
nicht überbucht -> überbucht -> überbucht	$0,0004$
überbucht -> nicht überbucht -> nicht überbucht	$0,0196$
überbucht -> nicht überbucht -> überbucht	$0,0004$
überbucht -> überbucht -> nicht überbucht	$0,0004$
überbucht -> überbucht -> überbucht	$0$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("nicht überbucht")= $0,9796$ ; P("überbucht")= $0,0204$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,94$ )
'nicht überbucht'-'nicht überbucht'-'überbucht' (P= $0,0196$ )
'nicht überbucht'-'überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0196$ )
'überbucht'-'nicht überbucht'-'nicht überbucht' (P= $0,0196$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,94$ + $0,0196$ + $0,0196$ + $0,0196$ = $0,9988$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Kombination Binom.-Baumdiagramm