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Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

In einer Chip-Fabrik werden neue High Tech Chips produziert. Leider ist die Technik noch nicht so ganz ausgereift, weswegen Ausschuss mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,26 entsteht. Es wird eine Stichprobe der Menge 40 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 10 Stück dieser Stichprobe gleich mal genau 2 defekt sind und von den restlichen der Stickprobe höchstens 16 nicht funktionieren.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der defekten Chips an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.26.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.26}^{10} (X = 2)$ ≈ 0.2735.

Analog betrachten wir nun die restlichen 30 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der defekten Chips an. Y ist binomialverteilt mit n=30 und p=0.26.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.26}^{30} (Y \leq 16)$ ≈ 0.9996.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.26}^{10} (X = 2)$ ⋅ $P_{0.26}^{30} (Y \leq 16)$ = 0.2735 ⋅ 0.9996 ≈ 0.2734

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 65 und am Samstag bei 35 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagt er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 24 und 35 am Samstag so zwischen 23 und 32 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 69% höher als am Freitag mit 56%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=65 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 24 und 35 Treffer bei 65 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.56 zu erzielen, also

P_{0.56}^{65} (24 \leq X \leq 35)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.56}^{65} (X \leq 35)

-

P_{0.56}^{65} (X \leq 23)

≈ 0.4093 - 0.0007 ≈ 0.4086 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(65,0.56,35)- binomcdf(65,0.56,23)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=35 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 23 und 32 Treffer bei 35 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.69 zu erzielen, also

P_{0.69}^{35} (23 \leq X \leq 32)

.
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als

P_{0.69}^{35} (X \leq 32)

-

P_{0.69}^{35} (X \leq 22)

≈ 0.9997 - 0.2686 ≈ 0.7311 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(35,0.69,32)- binomcdf(35,0.69,22)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.4086 ⋅ 0.7311 ≈ 0.2987

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

7 Würfel werden gleichzeitig geworfen und liegen dann anschließend in einer Reihe. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 5 Sechser gewürfelt werden und die alle direkt nebeneinander liegen.

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 5 Treffer bei 7 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$

Dabei gibt ja ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 5 Treffer und 2 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 7 \\ 5 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXXOO

OXXXXXO

OOXXXXX

Es gibt also genau 3 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 3 ⋅ ${(\frac{1}{6})}^{5}$ ⋅ ${(\frac{5}{6})}^{2}$ ≈ 0.0003

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 15 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 87% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 15 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.87,
also $P_{0.87}^{20} (X \geq 15)$ .

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: $P_{0.87}^{20} (X \geq 15)$ = 1 - $P_{0.87}^{20} (X \leq 14)$

≈ 1 - 0.037 ≈ 0.963 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.87,14))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.963) und 'zu wenig'(p=0.037).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

Ereignis	P
genügend Treffer -> genügend Treffer	$0,9274$
genügend Treffer -> zu wenig	$0,0356$
zu wenig -> genügend Treffer	$0,0356$
zu wenig -> zu wenig	$0,0014$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("genügend Treffer")= $0,963$ ; P("zu wenig")= $0,037$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'genügend Treffer'-'zu wenig' (P= $0,0356$ )
'zu wenig'-'genügend Treffer' (P= $0,0356$ )
'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P= $0,9274$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,0356$ + $0,0356$ + $0,9274$ = $0,9986$

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Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Kombination Binom.-Baumdiagramm