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Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Eine faire Münze wird 22 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: Von den ersten 15 Versuchen landen höchstens 8 Versuche mit Zahl oben und von den restlichen Versuchen erscheint genau 4 mal "Zahl".

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 15 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. X ist binomialverteilt mit n=15 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als P0.515 (X8) ≈ 0.6964.

Analog betrachten wir nun die restlichen 7 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Würfe bei denen die Zahl sichtbar ist an. Y ist binomialverteilt mit n=7 und p=0.5.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als P0.57 (Y=4) ≈ 0.2734.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = P0.515 (X8) P0.57 (Y=4) = 0.6964 ⋅ 0.2734 ≈ 0.1904

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Mitarbeiter der Stadtwerke bekommt den Auftrag am Freitag bei 55 und am Samstag bei 45 Haushalten den Gas- und den Stromzähler abzulesen. Als ihn seine Frau fragt, was er denn glaubt, wie viele der Kunden überhaupt zuhause wären und die Tür öffnen würden, sagr er: Ich denke, dass ich am Freitag so zwischen 30 und 36 am Samstag so zwischen 19 und 30 erreichen werde. Tatsächlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihm die Tür geöffnet wird, am Samstag mit 66% höher als am Freitag mit 51%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Prognose zutrifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Freitag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=55 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 30 und 36 Treffer bei 55 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.51 zu erzielen, also P0.5155 (30X36) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.5155 (X36) - P0.5155 (X29) ≈ 0.9892 - 0.6517 ≈ 0.3375 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(55,0.51,36)- binomcdf(55,0.51,29)

Samstag:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=45 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 19 und 30 Treffer bei 45 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.66 zu erzielen, also P0.6645 (19X30) .
Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich als P0.6645 (X30) - P0.6645 (X18) ≈ 0.593 - 0.0003 ≈ 0.5927 berechnen.
TI-Befehl: binomcdf(45,0.66,30)- binomcdf(45,0.66,18)

Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten:

P ≈ 0.3375 ⋅ 0.5927 ≈ 0.2

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 65%. Es wird 10 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 4 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 4 Treffer bei 10 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: ( 10 4 ) 0.65 4 0.35 6

Dabei gibt ja 0.65 4 0.35 6 die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 4 Treffer und 6 Nicht-Treffern und ( 10 4 ) die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen ( 10 4 ) Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXXOOOOOO

OXXXXOOOOO

OOXXXXOOOO

OOOXXXXOOO

OOOOXXXXOO

OOOOOXXXXO

OOOOOOXXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ 0.65 4 0.35 6 ≈ 0.0023

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein 10-Klässler bekommt im Schulsport eine 1 als Teilnote, wenn er beim Basketball von 20 Korblegerversuchen mindestens 18 trifft. Weil der Sportlehrer ein nettes Weichei ist, darf der Schüler den Test noch ein zweites mal probieren, wenn er unzufrieden ist. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler mit seiner Trefferquote von 82% eine 1 bekommt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'genügend Treffer'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=20 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens 18 Treffer bei 20 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.82,
also P0.8220 (X18) .

Dies berechnet man über die Gegenwahrscheinlichkeit: P0.8220 (X18) = 1 - P0.8220 (X17)

≈ 1 - 0.7252 ≈ 0.2748 (TI-Befehl: 1-binomcdf(20,0.82,17))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'genügend Treffer' (p=0.2748) und 'zu wenig'(p=0.7252).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 1 mal 'genügend Treffer' oder 2 mal 'genügend Treffer'

EreignisP
genügend Treffer -> genügend Treffer0,0755
genügend Treffer -> zu wenig0,1993
zu wenig -> genügend Treffer0,1993
zu wenig -> zu wenig0,5259

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: genügend Treffer: 0,2748; zu wenig: 0,7252;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'genügend Treffer'-'zu wenig' (P=0,1993)
  • 'zu wenig'-'genügend Treffer' (P=0,1993)
  • 'genügend Treffer'-'genügend Treffer' (P=0,0755)

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

0,1993 + 0,1993 + 0,0755 = 0,4741