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gegebener Funktionswert (BF)

Beispiel:

Für welches t liegt der Punkt A(0|0) auf dem Graph der Funktion f mit ft(x)= - e 2 t x -6 t ?

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Wir machen einfach eine Punktprobe mit A(0|0) in f mit f(x)= - e 2 t x -6 t :

0 = f(0)

0 = - e 2 t ( 0 ) -6 t

0 = - e 0 -6 t

0 = -1 -6 t

Jetzt müssen wir also nur noch die Gleichung -6t -1 = 0 nach t auflösen.

-6t -1 = 0 | +1
-6t = 1 |:(-6 )
t = - 1 6

Für t= - 1 6 liegt also der Punkt A auf dem Graph von f.

Gemeinsamer Punkt einer Schar

Beispiel:

Gegeben ist für alle t ≠ 0 die Funktionenschar ft mit ft(x)= -4 t x 2 +4x +4 t . Untersuche, ob es Punkte gibt, durch die der Graph von jeder Funktion ft verläuft und gib diese an:

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Wenn es einen Punkt gibt, durch den alle Graphen von ft verlaufen, so muss dieser Punkt insbesondere auch auf den Graphen von
f1 mit f1(x) = -4 · x 2 +4x + 4 · 1 = -4 x 2 +4x +4 und
f2 mit f2(x) = -8 · x 2 +4x + 8 · 1 = -8 x 2 +4x +8
liegen. Also suchen wir erst mal die Schnittpunkte dieser beiden Graphen und setzen diese gleich:

-4 x 2 +4x +4 = -8 x 2 +4x +8 | -4
-4 x 2 +4x = -8 x 2 +4x +4 | +8 x 2 -4x
4 x 2 = 4 |:4
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

Die Graphen von f1 und f2 schneiden sich also bei x = -1 und x = 1 . Wir suchen aber ja die x-Werte, an denen die Funktionswerte für alle t gleich sind. Dies müssen wir nun bei diesen Kandidaten überprüfen und setzen deswegen diese Lösungen in den allgemeinen Term von ft ein:

ft(-1 ) = -4 t ( -1 ) 2 +4( -1 ) +4 t = -4 t -4 +4 t = -4

Da ft(-1 ) = -4 für jedes t gilt, liegt also der Punkt (-1 | -4 ) auf jedem Graphen von ft.

ft(1 ) = -4 t 1 2 +41 +4 t = -4 t +4 +4 t = 4

Da ft(1 ) = 4 für jedes t gilt, liegt also der Punkt (1 | 4 ) auf jedem Graphen von ft.

bestimmter x-Wert eines Extrempunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= t x 2 +4x besitzt genau einen Extrempunkt. Für welchen Wert von t ist der Extrempunkt auf der Geraden x= 2 ?

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f(x)= t x 2 +4x

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=>f'(x)= 2 t x +4

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

2 t x +4 = 0 | -4
2 t x = -4 |:(2 t )
x = -2 1 t

Die Lösung x= -2 1 t ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Extremstelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= 2) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner t weg!

- 2 t = 2 |⋅( t )
- 2 t · t = 2 · t
-2 = 2t
-2 = 2t | +2 -2t
-2t = 2 |:(-2 )
t = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= -1 liegt die Extremstelle auf der Geraden x= 2.

bestimmter x-Wert eines Wendepunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= t x 3 +4 x 2 -4x +7 besitzt genau einen Wendepunkt. Für welchen Wert von t ist der Wendepunkt auf der Geraden x= -8 ?

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f(x)= t x 3 +4 x 2 -4x +7

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= 3 t x 2 +8x -4 +0

= 3 t x 2 +8x -4


f''(x)= 6 t x +8 +0

= 6 t x +8


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6 t x +8 = 0 | -8
6 t x = -8 |:(6 t )
x = - 4 3 1 t

Die Lösung x= - 4 3 1 t ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Wendestelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= -8) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner t weg!

- 4 3 t = -8 |⋅( t )
- 4 3 t · t = -8 · t
- 4 3 = -8t
- 4 3 = -8t | + 4 3 +8t
8t = 4 3 |:8
t = 1 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= 1 6 liegt die Wendestelle auf der Geraden x= -8.

bestimmter y-Wert eines Extrempunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= - t x 2 -5x besitzt genau einen Extrempunkt. Für welche Werte von t liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= -10 ?

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f(x)= - t x 2 -5x

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=>f'(x)= -2 t x -5

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

-2 t x -5 = 0 | +5
-2 t x = 5 |:(-2 t )
x = - 5 2 1 t

Die Lösung x= - 5 2 1 t ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( - 5 2 1 t ) = - t ( - 5 2 1 t ) 2 -5( - 5 2 1 t ) = 25 4 1 t
Man erhält so den Extrempunkt EP:( - 5 2 1 t | 25 4 1 t )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Extrempunktes mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= -10 ) gleichsetzen und nach t auflösen

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner t weg!

25 4 t = -10 |⋅( t )
25 4 t · t = -10 · t
25 4 = -10t
25 4 = -10t | - 25 4 +10t
10t = - 25 4 |:10
t = - 5 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Für t= - 5 8 liegt der Extrempunkt auf der Geraden y= -10 .

bestimmter y-Wert eines Wendepunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= ( t x + t 2 ) · e -2 1 t x besitzt genau einen Wendepunkt. Für welche Werte von t liegt der Wendepunkt auf der Geraden y= 4 ?

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f(x)= ( t x + t 2 ) · e -2 1 t x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= ( t +0 ) · e -2 1 t x + ( t x + t 2 ) · e -2 1 t x · ( -2 1 t )

= t e -2 1 t x + ( t x + t 2 ) · ( -2 1 t e -2 1 t x )

= t e -2 1 t x -2 1 t ( t x + t 2 ) · e -2 1 t x

= e -2 1 t x · ( -2x -2 t + t )

= e -2 1 t x · ( -2x - t )

= ( -2x - t ) · e -2 1 t x


f''(x)= e -2 1 t x · ( -2 1 t ) · ( -2x -2 t + t ) + e -2 1 t x · ( -2 +0+0 )

= e -2 1 t x · ( -2 1 t ( -2x - t ) ) + e -2 1 t x · ( -2 )

= -2 1 t · e -2 1 t x ( -2x - t ) -2 e -2 1 t x

= e -2 1 t x · ( 4 1 t x +2 -2 )

= e -2 1 t x · ( 4 1 t x +0 )

= e -2 1 t x · 4 1 t x

= x · 4 1 t e -2 1 t x


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

e -2 1 t x ( 4 1 t x +2 -2 ) = 0
16 1 t · e -2 1 t x x = 0
4 1 t x · e -2 1 t x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

e -2 1 t x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(0 ) = ( t 0 + t 2 ) · e -2 1 t 0 = t 2
Man erhält so den Wendepunkt WP:(0 | t 2 )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Wendepunkts mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= 4 ) gleichsetzen und nach t auflösen

t 2 = 4 | 2
t1 = - 4 = -2
t2 = 4 = 2

Für t= -2 und t= 2 liegt der Wendepunkt auf der Geraden y= 4 .

Ortskurve eines Extrempunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= ( x +2 t ) · 2 e 4x besitzt genau einen Extrempunkt. Berechne die Koordinaten dieses Extrempunkts und bestimme dessen Ortskurve.

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f(x)= ( x +2 t ) · 2 e 4x

Als erstes leitet man die Funktion ab.

=>f'(x)= ( 1 +0 ) · 2 e 4x + ( x +2 t ) · 2 e 4x · 4

= e 4x · ( 8x +16 t +2 )

= ( 8x + 16t +2 ) e 4x

Die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt ist f'(x)=0.

(Alle Extrempunkte haben die Steigung 0).

Man setzt nun also f'(x) gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Extrempunkte von f zu bestimmen.

( 8x + 16t +2 ) · e 4x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

8x + 16t +2 = 0 | - ( 16t +2 )
8x = -16t -2 |:8
x1 = -2t - 1 4

2. Fall:

e 4x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= -2t - 1 4 ist nun der einzige Kandidat für eine Extremstelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Extrempunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Extremstelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( -2t - 1 4 ) = ( ( -2t - 1 4 ) +2 t ) · 2 e 4( -2t - 1 4 ) = - 1 2 e -8t -1
Man erhält so den Extrempunkt EP:( -2t - 1 4 | - 1 2 e -8t -1 )

Es gilt nun :
(I) -2t - 1 4 = x
(II) - 1 2 e -8t -1 = y

Um eine Ortskurve mit einer Funktionsgleichung nur mit x und y, also ohne t, zu erhalten, lösen wir die Gleichung (I) erst mal nach t auf:

-2t - 1 4 = x |⋅ 4
4( -2t - 1 4 ) = 4 x
-8t -1 = 4 x | +1
-8t = 4x +1 |:(-8 )
t = - 1 2 x - 1 8

Dieses t setzen wir nun in (II) ein und erhalten so die gewünschte x-y-Gleichung der Ortskurve:

y = - 1 2 e -8t -1 = - 1 2 e -8( - 1 2 x - 1 8 ) -1 = - 1 2 e 4x

Die gesuchte Ortskurve ist also: y = - 1 2 e 4x .

Ortskurve eines Wendepunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= ( x +5 t ) · e -5x besitzt genau einen Wendepunkt. Berechne die Koordinaten dieses Wendepunkts und bestimme dessen Ortskurve.

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f(x)= ( x +5 t ) · e -5x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= ( 1 +0 ) · e -5x + ( x +5 t ) · e -5x · ( -5 )

= e -5x + ( x +5 t ) · ( -5 e -5x )

= e -5x -5 ( x +5 t ) · e -5x

= e -5x · ( -5x -25 t +1 )

= e -5x · ( -5x + ( -25t +1 ) )

= ( -5x + ( -25t +1 ) ) · e -5x


f''(x)= e -5x · ( -5 ) · ( -5x -25 t +1 ) + e -5x · ( -5 +0+0 )

= e -5x · ( -5( -5x + ( -25t +1 ) ) ) + e -5x · ( -5 )

= -5 · e -5x ( -5x + ( -25t +1 ) ) -5 e -5x

= e -5x · ( 25x + 125t -5 -5 )

= e -5x · ( 25x + 125t -10 )

= ( 25x + 125t -10 ) · e -5x


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

e -5x ( 25x + 125t -5 -5 ) = 0
e -5x ( 25x + 125t -10 ) = 0
( 25x + 125t -10 ) · e -5x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

25x + 125t -10 = 0 | - ( 125t -10 )
25x = -125t +10 |:25
x1 = -5t + 2 5

2. Fall:

e -5x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x= -5t + 2 5 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f( -5t + 2 5 ) = ( ( -5t + 2 5 ) +5 t ) · e -5( -5t + 2 5 ) = 2 5 e 25t -2
Man erhält so den Wendepunkt WP:( -5t + 2 5 | 2 5 e 25t -2 )

Es gilt nun :
(I) -5t + 2 5 = x
(II) 2 5 e 25t -2 = y

Um eine Ortskurve mit einer Funktionsgleichung nur mit x und y, also ohne t, zu erhalten, lösen wir die Gleichung (I) erst mal nach t auf:

-5t + 2 5 = x |⋅ 5
5( -5t + 2 5 ) = 5 x
-25t +2 = 5 x | -2
-25t = 5x -2 |:(-25 )
t = - 1 5 x + 2 25

Dieses t setzen wir nun in (II) ein und erhalten so die gewünschte x-y-Gleichung der Ortskurve:

y = 2 5 e 25t -2 = 2 5 e 25( - 1 5 x + 2 25 ) -2 = 2 5 e -5x

Die gesuchte Ortskurve ist also: y = 2 5 e -5x .

Tangente durch Ursprung mit 45°

Beispiel:

Für a ∈ R ist eine Funktion fa mit fa(x) = 5 -5 e - 5 2 ( x - a ) gegeben.
Beschreibe wie der Graph von f2 aus dem Graph von f0 hervorgeht.
Für ein bestimmtes a gibt es eine Stelle x0, an der die Tangente an den Graph von fa im Punkt B(x0|fa(x0)) mit dem Steigungswinkel von 45° durch den Ursprung verläuft. Bestimme ein mögliches a.

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Wir betrachten also erstmal f0 mit f0= 5 -5 e - 5 2 x und f2 mit f2= 5 -5 e - 5 2 ( x -2 ) und erkennen, dass der Graph von f2 durch Verschiebung um 2 nach rechts aus dem Graph von f0 hervorgeht.

Wenn eine Tangente den Steigungswinkel 45° haben soll so muss die Steigung in diesem Punkt m = tan(45°) = 1 sein.

Da ja die Graphen der verschiedenen fa alle die gleiche Form und nur unterschiedliche Lagen haben, suchen wir erstmal bei der einfachsten Funktion der Schar, f0 nach einer Stelle mit Steigung 1. Dazu leiten wir erstmal ab:

f(x)= 5 -5 e - 5 2 x

f'(x)= 0 -5 e - 5 2 x · ( - 5 2 )

= 25 2 e - 5 2 x

Jetzt suchen wir nach einer Stelle mit f'(x) = 1:

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1 = 25 2 e - 5 2 x
25 2 e - 5 2 x = 1 |⋅ 2 25
e - 5 2 x = 2 25 |ln(⋅)
- 5 2 x = ln( 2 25 ) |: - 5 2
x = - 2 5 ln( 2 25 ) ≈ 1.0103

Damit wissen wir nun, dass im Berührpunkt B(1.01|f(1.01)) an f0 eine Tangente mit Steigung 1 angelegt wird.

Wir setzen also x = 1.01 in f0 ein und erhalten: 5 -5 e - 5 2 1,01 = 5 -5 e - 5,05 2 = 4.6, also ist B(1.01|4.6) der gesuchte Berührpunkt.

Nun setzt man die Ableitung m=1 und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4.6 = 1 ⋅1.01 + c

4.6 = 1.01 + c | -1.01

3.59 = c

Da die Tangentensteigung 1 ist, muss der Schnittpunkt der Tangente y= x +3,59 mit der x-Achse die gleiche Entfernung vom Ursprung haben, wie der y-Achsenabschnitt c = 3.59, das heißt er liegt bei N(-3.59|0)

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Wenn wir also f0 um 3.59 nach rechts verschieben, würde diese Tangente mit der Steigung 1 (und damit mit dem Steigungswinkel 45°) gerade durch den Ursprunge gehen.

Dieser um 3.59 nach rechts verschobene Graph gehört dann zur Funktion f3.59 = 5 -5 e - 5 2 ( x -3,59 ) .

Der gesuchte Paremeter a ist somit a = 3.59.

bestimmter y-Wert eines Wendepunkts

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= ( t x +2 t 2 ) · e - 1 t x besitzt genau einen Wendepunkt. Für welche Werte von t liegt der Wendepunkt auf der Geraden y= 1 2 ?

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f(x)= ( t x +2 t 2 ) · e - 1 t x

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= ( t +0 ) · e - 1 t x + ( t x +2 t 2 ) · e - 1 t x · ( - 1 t )

= t e - 1 t x + ( t x +2 t 2 ) · ( - 1 t e - 1 t x )

= t e - 1 t x - 1 t ( t x +2 t 2 ) · e - 1 t x

= e - 1 t x · ( -x -2 t + t )

= e - 1 t x · ( -x - t )

= ( -x - t ) · e - 1 t x


f''(x)= e - 1 t x · ( - 1 t ) · ( -x -2 t + t ) + e - 1 t x · ( -1 +0+0 )

= e - 1 t x · ( - 1 t ( -x - t ) ) + e - 1 t x · ( -1 )

= - 1 t · e - 1 t x ( -x - t ) - e - 1 t x

= e - 1 t x · ( 1 t x +1 -1 )

= e - 1 t x · ( 1 t x +0 )

= e - 1 t x · 1 t x

= x · 1 t e - 1 t x


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

e - 1 t x ( 1 t x +1 -1 ) = 0
1 t · e - 1 t x x = 0
1 t x · e - 1 t x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

e - 1 t x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Die Lösung x=0 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(0 ) = ( t 0 +2 t 2 ) · e - 1 t 0 = 2 t 2
Man erhält so den Wendepunkt WP:(0 | 2 t 2 )

Wir können also den y-Wert unseres mit Parameter behafteten Wendepunkts mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (y= 1 2 ) gleichsetzen und nach t auflösen

2 t 2 = 1 2 |:2
t 2 = 1 4 | 2
t1 = - 1 4 = - 1 2
t2 = 1 4 = 1 2

Für t= - 1 2 und t= 1 2 liegt der Wendepunkt auf der Geraden y= 1 2 .

bestimmter x-Wert eines WP (ohne e)

Beispiel:

Die Funktion ft mit ft(x)= x 3 + ( t -1 ) x 2 -4 t x +1 besitzt genau einen Wendepunkt. Für welchen Wert von t ist der Wendepunkt auf der Geraden x= -3 ?

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f(x)= x 3 + ( t -1 ) x 2 -4 t x +1

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 + ( 2t -2 )x -4 t +0

= 3 x 2 + ( 2t -2 )x -4 t


f''(x)= 6x + 2t -2 +0

= 6x + 2t -2


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x + 2t -2 = 0 | - ( 2t -2 )
6x = -2t +2 |:6
x = - 1 3 t + 1 3

Die Lösung x= - 1 3 t + 1 3 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Da in der Aufgabenstellung bereits angegeben ist, dass es genau einen Wendepunkt gibt, wissen wir also schon, dass unser Kandidat diese Wendestelle sein muss, und wir müssen ihn nicht weiter mit einer hinreichenden Bedingung prüfen.

Wir können also unsere mit Parameter behaftete Wendestelle mit der Vorgabe aus der Aufgabenstellung (x= -3) gleichsetzen und nach t auflösen

- 1 3 t + 1 3 = -3 |⋅ 3
3( - 1 3 t + 1 3 ) = -9
-t +1 = -9 | -1
-t = -10 |:(-1 )
t = 10

Für t= 10 liegt die Wendestelle auf der Geraden x= -3.