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Zweisatz

Beispiel:

Der Hersteller eines Powerdrinks wirbt damit, das 500 g Protein in dessen 1kg-Großpackung drin sind.

Wie viel g Protein sind in 3 kg Powerdrink?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

1 kg Powerdrink500 g Protein
3 kg Powerdrink?

Um von 1 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 3 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 3 multiplizieren. Somit müssen wir auch die 500 g Protein mit 3 multiplizieren, um auf den Wert zu kommen, der den 3 kg Powerdrink entspricht:

⋅ 3
1 kg Powerdrink500 g Protein
3 kg Powerdrink?
⋅ 3
⋅ 3
1 kg Powerdrink500 g Protein
3 kg Powerdrink1500 g Protein
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 3 kg Powerdrink entspricht: 1500 g Protein

Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Beim Bäcker Leckerbeck kosten 5 Brötchen immer 2,00 €.

Wie viel kostet 1 Brötchen?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

5 Brötchen2,00 €
1 Brötchen?

Um von 5 Brötchen in der ersten Zeile auf 1 Brötchen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 2 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Brötchen entspricht:

: 5
5 Brötchen2,00 €
1 Brötchen?
: 5
: 5
5 Brötchen2,00 €
1 Brötchen0,40 €
: 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Brötchen entspricht: 0,40 €

Einfacher Dreisatz

Beispiel:

Beim Karls Lieblingsobsthändler bekommt man für 36,00 € 12 kg Birnen.

Wie viel kosten 20 kg Birnen?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


12 kg Birnen36,00 €
??
20 kg Birnen?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Birnen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Birnen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 20 sein, also der ggT(12,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Birnen:


12 kg Birnen36,00 €
4 kg Birnen?
20 kg Birnen?

Um von 12 kg Birnen in der ersten Zeile auf 4 kg Birnen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 36 € durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Birnen entspricht:

: 3

12 kg Birnen36,00 €
4 kg Birnen?
20 kg Birnen?

: 3

(Beim Teilen durch 3 muss man sich eben erst eine 3-er Zahl in der Nähe suchen, hier 30, und dann noch den Rest (6) durch 3 teilen.)

: 3

12 kg Birnen36,00 €
4 kg Birnen12,00 €
20 kg Birnen?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Birnen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Birnen in der dritten Zeile zu kommen.

: 3
⋅ 5

12 kg Birnen36,00 €
4 kg Birnen12,00 €
20 kg Birnen?

: 3
⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 12,00 € in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 3
⋅ 5

12 kg Birnen36,00 €
4 kg Birnen12,00 €
20 kg Birnen60,00 €

: 3
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Birnen entspricht: 60,00 €

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

12 kg Powerdrink1800 g Protein
??
20 kg Powerdrink?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Powerdrink in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 12 kg Powerdrink teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 12 und von 20 sein, also der ggT(12,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 kg Powerdrink:


12 kg Powerdrink1800 g Protein
4 kg Powerdrink?
20 kg Powerdrink?

Um von 12 kg Powerdrink in der ersten Zeile auf 4 kg Powerdrink in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 1800 g Protein durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 kg Powerdrink entspricht:

: 3

12 kg Powerdrink1800 g Protein
4 kg Powerdrink?
20 kg Powerdrink?

: 3
: 3

12 kg Powerdrink1800 g Protein
4 kg Powerdrink600 g Protein
20 kg Powerdrink?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 kg Powerdrink in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 kg Powerdrink in der dritten Zeile zu kommen.

: 3
⋅ 5

12 kg Powerdrink1800 g Protein
4 kg Powerdrink600 g Protein
20 kg Powerdrink?

: 3
⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 600 g Protein in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 3
⋅ 5

12 kg Powerdrink1800 g Protein
4 kg Powerdrink600 g Protein
20 kg Powerdrink3000 g Protein

: 3
⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 kg Powerdrink entspricht: 3000 g Protein

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Bei einem Marktstand bezahlt man 30,00 € für 10 kg Äpfel.

Wie viel kosten 8 kg Äpfel?
Wie viel kg Äpfel bekommt man für 45 € ?

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Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


10 kg Äpfel30,00 €
??
8 kg Äpfel?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die kg Äpfel in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 10 kg Äpfel teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 10 und von 8 sein, also der ggT(10,8) = 2.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 2 kg Äpfel:


10 kg Äpfel30,00 €
2 kg Äpfel?
8 kg Äpfel?

Um von 10 kg Äpfel in der ersten Zeile auf 2 kg Äpfel in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Somit müssen wir auch die 30 € durch 5 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 2 kg Äpfel entspricht:

: 5

10 kg Äpfel30,00 €
2 kg Äpfel6,00 €
8 kg Äpfel?

: 5

Jetzt müssen wir ja wieder die 2 kg Äpfel in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 8 kg Äpfel in der dritten Zeile zu kommen.

: 5
⋅ 4

10 kg Äpfel30,00 €
2 kg Äpfel6,00 €
8 kg Äpfel24,00 €

: 5
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 8 kg Äpfel entspricht: 24,00 €



Für die andere Frage (Wie viel kg Äpfel bekommt man für 45 € ?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "€"-Werte haben und nach einem "kg Äpfel"-Wert gesucht wird:


30 €10 kg Äpfel
??
45 €?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die € in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 30 € teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 30 und von 45 sein, also der ggT(30,45) = 15.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 15 €:


30 €10 kg Äpfel
15 €?
45 €?

Um von 30 € in der ersten Zeile auf 15 € in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 2 teilen. Somit müssen wir auch die 10 kg Äpfel durch 2 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 15 € entspricht:

: 2

30 €10 kg Äpfel
15 €5 kg Äpfel
45 €?

: 2

Jetzt müssen wir ja wieder die 15 € in der mittleren Zeile mit 3 multiplizieren, um auf die 45 € in der dritten Zeile zu kommen.

: 2
⋅ 3

30 €10 kg Äpfel
15 €5 kg Äpfel
45 €15 kg Äpfel

: 2
⋅ 3

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 45 € entspricht: 15 kg Äpfel

Proportionalität überprüfen

Beispiel:

Prüfe, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.

Lösung einblenden

Wir überprüfen zuerst, ob die 51.5 € den 15 kg Äpfel entsprechen.

: 4
⋅ 5

12 kg Äpfel42,00 €
3 kg Äpfel10,50 €
15 kg Äpfel52,50 €

: 4
⋅ 5

Der Wert 51.5 € war also falsch, richtig wäre 52.5 € gewesen.


Jetzt überprüfen wir, ob die 57 € den 16 kg Äpfel entsprechen.

: 3
⋅ 4

12 kg Äpfel42,00 €
4 kg Äpfel14,00 €
16 kg Äpfel56,00 €

: 3
⋅ 4

Der Wert 57 € war also falsch, richtig wäre 56 € gewesen.