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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 9 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 14 cm ⋅ 7 cm = 49 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 49 cm² ⋅ 9 cm = 441 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{9}{2}$ )² = 9² |-( $\frac{9}{2}$ )²

h_c² = 9² - ( $\frac{9}{2}$ )² = 9² - 4.5² = 81 - 20.25= 60.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{60,75}$ ≈ 7.794

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 81 ≈ 35.1

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 35.1 ≈ 210.4

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 210.4 mm² ⋅ 90 mm ≈ 18940 mm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 437.5 mm³, die Höhe h = 70 mm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{437.5}{70}$ ≈ 6.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.25 einsetzen:

6.25 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

25 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{25}$ ≈ 5

Für x = 5 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 6.3 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 437.5 mm³

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Volumen eines Prismas

Volumen eines Prismas 2

Prismavolumen rückwärts