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Volumen eines Prismas

Beispiel:

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Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 10 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = 1 2 ⋅ 6 cm ⋅ 7 cm = 21 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 21 cm² ⋅ 10 cm = 210 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 9 2 )2 = 92 |-( 9 2 )2

hc2 = 92 - ( 9 2 )2 = 92 - 4.52 = 81 - 20.25= 60.75

Daraus ergibt sich:

hc = 60,75 ≈ 7.794

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = 3 4 a2 = 3 4 81 ≈ 35.1

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 35.1 cm² ⋅ 60 cm ≈ 2104.4 cm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 935.3 cm³, die Höhe h = 60 cm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 935.3 60 ≈ 15.59

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 a ⋅ hc = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 15.59 einsetzen:

15.59 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

36 ≈ x2

x ≈ 36 ≈ 6

Für x = 6 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 15.6 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 935.3 cm³