Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 15 cm ⋅ 7 cm = 52.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 52.5 cm² ⋅ 6 cm = 315 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 40 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{8}{2}$ )² = 9² |-( $\frac{8}{2}$ )²

h_c² = 9² - ( $\frac{8}{2}$ )² = 9² - 4² = 81 - 16= 65

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{65}$ ≈ 8.062

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 8.062 ≈ 32.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 32.2 m² ⋅ 40 m ≈ 1290 m³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 11457.5 cm³, die Höhe h = 90 cm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{11457.5}{90}$ ≈ 127.31

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{127.31}{6}$ ≈ 21.22 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 21.22 einsetzen:

21.22 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

49 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{49}$ ≈ 7

Für x = 7 cm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 21.2 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 11457.5 cm³