nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Volumen eines Prismas

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Lösung einblenden

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 6 cm ⋅ 6 cm = 18 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 18 cm² ⋅ 8 cm = 144 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 7 2 )2 = 72 |-( 7 2 )2

hc2 = 72 - ( 7 2 )2 = 72 - 3.52 = 49 - 12.25= 36.75

Daraus ergibt sich:

hc = 36,75 ≈ 6.062

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 6.062 ≈ 21.2

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
ADreieck = 3 4 a2 = 3 4 49 ≈ 21.2

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche ADreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ ADreieck ≈ 6 ⋅ 21.2 ≈ 127.3

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 127.3 m² ⋅ 60 m ≈ 7638.3 m³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Ein Prisma hat das Volumen V = 7638.3 m³, die Höhe h = 60 m und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 7638.3 60 ≈ 127.31

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = 1 6 G ≈ 127.31 6 ≈ 21.22 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 a ⋅ hc = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche ADreieck = 21.22 einsetzen:

21.22 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

49 ≈ x2

x ≈ 49 ≈ 7

Für x = 7 m ist somit die Grundfläche ADreieck ≈ 21.2 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 7638.3 m³