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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 5 cm = 17.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 17.5 cm² ⋅ 5 cm = 87.5 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 100 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{12}{2}$ )² = 8² |-( $\frac{12}{2}$ )²

h_c² = 8² - ( $\frac{12}{2}$ )² = 8² - 6² = 64 - 36= 28

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{28}$ ≈ 5.292

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 ⋅ 5.292 ≈ 31.7

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=100 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 31.7 m² ⋅ 100 m ≈ 3174.9 m³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 29929.8 cm³, die Höhe h = 80 cm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{29929.8}{80}$ ≈ 374.12

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{374.12}{6}$ ≈ 62.35 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ x ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 62.35 einsetzen:

62.35 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

144 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{144}$ ≈ 12

Für x = 12 cm ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 62.4 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 29929.8 cm³

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Volumen eines Prismas

Volumen eines Prismas 2

Prismavolumen rückwärts