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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 8 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 5 cm = 17.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 17.5 cm² ⋅ 8 cm = 140 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{3}{2}$ )² = 5² |-( $\frac{3}{2}$ )²

h_c² = 5² - ( $\frac{3}{2}$ )² = 5² - 1.5² = 25 - 2.25= 22.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{22,75}$ ≈ 4.77

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3 ⋅ 4.77 ≈ 7.2

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7.2 mm² ⋅ 90 mm ≈ 643.9 mm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 1440 mm³, die Höhe h = 90 mm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{1440}{90}$ ≈ 16

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 16 einsetzen:

16 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

64 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{64}$ ≈ 8

Für x = 8 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 16 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 1440 mm³