Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Volumen eines Prismas
Beispiel:
Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:
A = ⋅ 4 cm ⋅ 7 cm = 14 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 14 cm² ⋅ 5 cm = 70 cm³
Volumen eines Prismas 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 cm. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 72 |-()2
hc2 = 72 - ()2 = 72 - 5.52 = 49 - 30.25= 18.75
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 4.33
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 11 ⋅ 4.33 ≈ 23.8
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 23.8 cm² ⋅ 90 cm ≈ 2143.4 cm³
Prismavolumen rückwärts
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 90 cm³, die Höhe h = 40 cm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = ≈ ≈ 2.25
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
s2 + s2 = x2
also 2s2 = x2 oder eben s2 = x2
Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = s ⋅ s = ⋅ s2
mit s2 = x2 gilt somit;
A = ⋅ x2 = x2
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 2.25 einsetzen:
2.25 ≈ x2 | ⋅4
9 ≈ x2
x ≈ ≈ 3
Für x = 3 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 2.3 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 90 cm³