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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 13 cm ⋅ 6 cm = 39 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 39 cm² ⋅ 6 cm = 234 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 8 2 )2 = 72 |-( 8 2 )2

hc2 = 72 - ( 8 2 )2 = 72 - 42 = 49 - 16= 33

Daraus ergibt sich:

hc = 33 ≈ 5.745

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 5.745 ≈ 23

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 23 cm² ⋅ 90 cm ≈ 2068 cm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 866 mm³, die Höhe h = 80 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 866 80 ≈ 10.83

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 a ⋅ hc = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 10.83 einsetzen:

10.83 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

25 ≈ x2

x ≈ 25 ≈ 5

Für x = 5 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 10.8 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 866 mm³