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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen V des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4 cm ⋅ 7 cm = 14 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 14 cm² ⋅ 5 cm = 70 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 90 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{11}{2}$ )² = 7² |-( $\frac{11}{2}$ )²

h_c² = 7² - ( $\frac{11}{2}$ )² = 7² - 5.5² = 49 - 30.25= 18.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{18,75}$ ≈ 4.33

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 11 ⋅ 4.33 ≈ 23.8

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 23.8 cm² ⋅ 90 cm ≈ 2143.4 cm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 90 cm³, die Höhe h = 40 cm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{90}{40}$ ≈ 2.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ x² = $\frac{1}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 2.25 einsetzen:

2.25 ≈ $\frac{1}{4}$ x² | ⋅4

9 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{9}$ ≈ 3

Für x = 3 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 2.3 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 90 cm³