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Volumen eines Prismas

Beispiel:

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Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 7 cm ⋅ 6 cm = 21 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 21 cm² ⋅ 6 cm = 126 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 80 mm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 6 2 )2 = 62 |-( 6 2 )2

hc2 = 62 - ( 6 2 )2 = 62 - 32 = 36 - 9= 27

Daraus ergibt sich:

hc = 27 ≈ 5.196

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 6 ⋅ 5.196 ≈ 15.6

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
ADreieck = 3 4 a2 = 3 4 36 ≈ 15.6

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche ADreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ ADreieck ≈ 6 ⋅ 15.6 ≈ 93.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=80 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 93.5 mm² ⋅ 80 mm ≈ 7482.5 mm³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 1558.8 mm³, die Höhe h = 100 mm und als Grundfläche das abgebildete gleichseitige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 1558.8 100 ≈ 15.59

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 a ⋅ hc = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 15.59 einsetzen:

15.59 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

36 ≈ x2

x ≈ 36 ≈ 6

Für x = 6 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 15.6 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 1558.8 mm³