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Volumen eines Prismas

Beispiel:

Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 cm ⋅ 5 cm = 15 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 15 cm² ⋅ 6 cm = 90 cm³

Volumen eines Prismas 2

Beispiel:

Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 60 m. Berechne das Volumen des Prismas.

Lösung einblenden

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ( $\frac{7}{2}$ )² = 7² |-( $\frac{7}{2}$ )²

h_c² = 7² - ( $\frac{7}{2}$ )² = 7² - 3.5² = 49 - 12.25= 36.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{36,75}$ ≈ 6.062

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 ⋅ 6.062 ≈ 21.2

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ a² = $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 49 ≈ 21.2

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 21.2 ≈ 127.3

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 127.3 m² ⋅ 60 m ≈ 7638.3 m³

Prismavolumen rückwärts

Beispiel:

Ein Prisma hat das Volumen V = 31436.7 m³, die Höhe h = 100 m und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

Lösung einblenden

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{31436.7}{100}$ ≈ 314.37

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{314.37}{6}$ ≈ 52.39 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ( $\frac{x}{2}$ )² = x² |-( $\frac{x}{2}$ )²

h_c² = x² - ( $\frac{x}{2}$ )² = x² - $\frac{1}{4}$ x² = $\frac{3}{4}$ x²

Daraus ergibt sich:

h_c = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ a ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ a ⋅ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 52.39 einsetzen:

52.39 ≈ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

121 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{121}$ ≈ 11

Für x = 11 m ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 52.4 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 31436.7 m³

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Volumen eines Prismas

Volumen eines Prismas 2

Prismavolumen rückwärts