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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x +1 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x +3 ) ( x +1 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 -4x +3 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -4x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 21

x1,2 = +4 ± 16 -12 2

x1,2 = +4 ± 4 2

x1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

x2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -3 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 -4x +3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x -1 ) ( x -3 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x -1 ) ( x -3 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +1 ) · ( x -2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( 0 +1 ) · ( 0 -2 ) = -2a =2.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x +1 ) ( x -2 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= - ( x +1 ) ( x -2 )

= -( x · x + x · ( -2 ) + 1 · x + 1 · ( -2 ))

= -( x · x -2x + x -2 )

= -( x 2 - x -2 )

= - x 2 + x +2

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= - x 2 + x +2

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= -5 x 2 +10x +15 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

-5 x 2 +10x +15 = 0 |:5

- x 2 +2x +3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · ( -1 ) · 3 2( -1 )

x1,2 = -2 ± 4 +12 -2

x1,2 = -2 ± 16 -2

x1 = -2 + 16 -2 = -2 +4 -2 = 2 -2 = -1

x2 = -2 - 16 -2 = -2 -4 -2 = -6 -2 = 3

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x +1 ) · ( x -3 ) genau die gleichen Nullstellen wie y= -5 x 2 +10x +15 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

y= a · ( x +1 ) · ( x -3 )

= a · ( x · x + x · ( -3 ) + 1 · x + 1 · ( -3 ) )

= a · ( x · x -3x + x -3 )

= a · ( x 2 -2x -3 )

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

-5( x 2 -2x -3 ) = -5 x 2 +10x +15 = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= -5 ( x +1 ) ( x -3 )