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cosh
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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(4|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·x·(x-4) sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -x(x-4).
Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= x2-4x+3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2-4x+3 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +4±√(-4)2-4·1·32⋅1
x1,2 = +4±√16-122
x1,2 = +4±√42
x1 = 4+√42 = 4+22 = 62 = 3
x2 = 4-√42 = 4-22 = 22 = 1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-2)2-3 = 4 - 3 = 1
x1,2 = 2 ± √1
x1 = 2 - 1 = 1
x2 = 2 + 1 = 3
Der Funktionterm (x-1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x2-4x+3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).
Also ist y= (x-1)(x-3) bereits der gesuchte Term.
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x-1)·(x-3) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y =
a·(2-1)·(2-3)
=
-a=2.
Hieraus ergibt sich a=-2.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2(x-1)(x-3).
Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(4|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+1)·(x-4) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y =
a·(0+1)·(0-4)
=
-4a=-2.
Hieraus ergibt sich a=12.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 12(x+1)(x-4).
Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:
y= 12(x+1)(x-4)
= 12(x·x+x·(-4)+1·x+1·(-4))
= 12(x·x-4x+x-4)
= 12(x2-3x-4)
= 12x2-32x-2
Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= 12x2-32x-2
Linearfakt. aus Term (a≠1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= 5x2-5.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
5x2-5 | = | | +5 | |
5x2 | = | 5 | |:5 |
x2 | = | 1 | | 2√⋅ |
x1 | = | -√1 | = -1 |
x2 | = | √1 | = 1 |
Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie y= 5x2-5.
Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:
y= a·(x+1)·(x-1)
= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))
= a·(x·x-x+x-1)
= a·(x2-1)
Für a = 5 ergibt sich also tatsächlich:
5(x2-1) = 5x2-5 = y
Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= 5(x+1)(x-1)