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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·(x-2) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+2)(x-2).

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x2-4x.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so y= x(x-4).

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(5|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+1)·(x-5) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a·(1+1)·(1-5) = -8a=-2.

Hieraus ergibt sich a=14.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 14(x+1)(x-5).

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(5|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+3)·(x-5) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-3).
Es gilt dann ja: y = -3,
also y = a·(-4+3)·(-4-5) = 9a=-3.

Hieraus ergibt sich a=-13.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -13(x+3)(x-5).

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= -13(x+3)(x-5)

= -13(x·x+x·(-5)+3·x+3·(-5))

= -13(x·x-5x+3x-15)

= -13(x2-2x-15)

= -13x2+23x+5

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= -13x2+23x+5

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= 2x2+8x+6.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

2x2+8x+6 = 0 |:2

x2+4x+3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -4±42-4·1·321

x1,2 = -4±16-122

x1,2 = -4±42

x1 = -4+42 = -4+22 = -22 = -1

x2 = -4-42 = -4-22 = -62 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = 22-3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+3)·(x+1) genau die gleichen Nullstellen wie y= 2x2+8x+6.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

y= a·(x+3)·(x+1)

= a·(x·x+x·1+3·x+3·1)

= a·(x·x+x+3x+3)

= a·(x2+4x+3)

Für a = 2 ergibt sich also tatsächlich:

2(x2+4x+3) = 2x2+8x+6 = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= 2(x+3)(x+1)