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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 3) \cdot (x + 1)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 2 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x \cdot (x - 2)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 4)$ = $3 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- \frac{1}{3} (x - 2) \cdot (x - 4)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4)$ = $4 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) x$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$y =$ $\frac{1}{4} (x + 3) x$

= $\frac{1}{4} (x \cdot x + 3 \cdot x)$

= $\frac{1}{4} (x \cdot x + 3 x)$

= $\frac{1}{4} (x^{2} + 3 x)$

= $\frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $y =$ $\frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $- 5 x^{2} + 5$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$- 5 x^{2} + 5$	=	0	\| $- 5$
$- 5 x^{2}$	=	$- 5$	\|: $(- 5)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ genau die gleichen Nullstellen wie $y =$ $- 5 x^{2} + 5$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 1))$

= $a \cdot (x \cdot x - x + x - 1)$

= $a \cdot (x^{2} - 1)$

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

$- 5 (x^{2} - 1)$ = $- 5 x^{2} + 5$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $y =$ $- 5 (x + 1) \cdot (x - 1)$

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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)