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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·x·(x-4) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -x(x-4).

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x2-4x+3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x2-4x+3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +4±(-4)2-4·1·321

x1,2 = +4±16-122

x1,2 = +4±42

x1 = 4+42 = 4+22 = 62 = 3

x2 = 4-42 = 4-22 = 22 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-2)2-3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

Der Funktionterm (x-1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x2-4x+3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= (x-1)(x-3) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x-1)·(x-3) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a·(2-1)·(2-3) = -a=2.

Hieraus ergibt sich a=-2.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -2(x-1)(x-3).

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+1)·(x-4) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a·(0+1)·(0-4) = -4a=-2.

Hieraus ergibt sich a=12.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 12(x+1)(x-4).

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= 12(x+1)(x-4)

= 12(x·x+x·(-4)+1·x+1·(-4))

= 12(x·x-4x+x-4)

= 12(x2-3x-4)

= 12x2-32x-2

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= 12x2-32x-2

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= 5x2-5.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

5x2-5 = 0 | +5
5x2 = 5 |:5
x2 = 1 | 2
x1 = -1 = -1
x2 = 1 = 1

Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie y= 5x2-5.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

y= a·(x+1)·(x-1)

= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))

= a·(x·x-x+x-1)

= a·(x2-1)

Für a = 5 ergibt sich also tatsächlich:

5(x2-1) = 5x2-5 = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= 5(x+1)(x-1)