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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · x sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x +3 ) x .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 -2x -3 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -2x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +12 2

x1,2 = +2 ± 16 2

x1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

Der Funktionterm ( x +1 ) ( x -3 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 -2x -3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x +1 ) ( x -3 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +3 ) · ( x +1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a · ( -5 +3 ) · ( -5 +1 ) = 8a =2.

Hieraus ergibt sich a= 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 1 4 ( x +3 ) ( x +1 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · x · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = a · 1 · ( 1 -3 ) = -2a =1.

Hieraus ergibt sich a= - 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - 1 2 x ( x -3 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= - 1 2 x ( x -3 )

= - 1 2 ( x · x + x · ( -3 ))

= - 1 2 ( x · x -3x )

= - 1 2 ( x 2 -3x )

= - 1 2 x 2 + 3 2 x

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= - 1 2 x 2 + 3 2 x

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= -4 x 2 +12x .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so y= -4 x ( x -3 ) .