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cosh
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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(2|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·(x-2) sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+2)(x-2).
Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= x2-4x.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Wir können einfach x ausklammern und erhalten so y= x(x-4).
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(5|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+1)·(x-5) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(1|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y =
a·(1+1)·(1-5)
=
-8a=-2.
Hieraus ergibt sich a=14.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 14(x+1)(x-5).
Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(5|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+3)·(x-5) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-4|-3).
Es gilt dann ja: y = -3,
also y =
a·(-4+3)·(-4-5)
=
9a=-3.
Hieraus ergibt sich a=-13.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -13(x+3)(x-5).
Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:
y= -13(x+3)(x-5)
= -13(x·x+x·(-5)+3·x+3·(-5))
= -13(x·x-5x+3x-15)
= -13(x2-2x-15)
= -13x2+23x+5
Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= -13x2+23x+5
Linearfakt. aus Term (a≠1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= 2x2+8x+6.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2+4x+3 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -4±√42-4·1·32⋅1
x1,2 = -4±√16-122
x1,2 = -4±√42
x1 = -4+√42 = -4+22 = -22 = -1
x2 = -4-√42 = -4-22 = -62 = -3
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = 22-3 = 4 - 3 = 1
x1,2 = -2 ± √1
x1 = -2 - 1 = -3
x2 = -2 + 1 = -1
Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+3)·(x+1) genau die gleichen Nullstellen wie y= 2x2+8x+6.
Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:
y= a·(x+3)·(x+1)
= a·(x·x+x·1+3·x+3·1)
= a·(x·x+x+3x+3)
= a·(x2+4x+3)
Für a = 2 ergibt sich also tatsächlich:
2(x2+4x+3) = 2x2+8x+6 = y
Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= 2(x+3)(x+1)