Processing math: 100%


nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·x sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+2)x.

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x2+6x+8.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x2+6x+8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -6±62-4·1·821

x1,2 = -6±36-322

x1,2 = -6±42

x1 = -6+42 = -6+22 = -42 = -2

x2 = -6-42 = -6-22 = -82 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = 32-8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = -3 ± 1

x1 = -3 - 1 = -4

x2 = -3 + 1 = -2

Der Funktionterm (x+4)(x+2) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x2+6x+8 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= (x+4)(x+2) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·(x-2) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = a·(-1+2)·(-1-2) = -3a=-1.

Hieraus ergibt sich a=13.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 13(x+2)(x-2).

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm y= a·(x+3)·x sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = a·(-2+3)·(-2) = -2a=2.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+3)x.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= -(x+3)x

= -(x·x+3·x)

= -(x·x+3x)

= -(x2+3x)

= -x2-3x

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= -x2-3x

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= -2x2+2.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

-2x2+2 = 0 | -2
-2x2 = -2 |: (-2)
x2 = 1 | 2
x1 = -1 = -1
x2 = 1 = 1

Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie y= -2x2+2.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

y= a·(x+1)·(x-1)

= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))

= a·(x·x-x+x-1)

= a·(x2-1)

Für a = -2 ergibt sich also tatsächlich:

-2(x2-1) = -2x2+2 = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= -2(x+1)(x-1)