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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot x$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $(x + 2) x$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 4 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $y =$ $x \cdot (x - 4)$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $2$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $2 (x + 4) \cdot (x + 2)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot x \cdot (x - 5)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 5))$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 5)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$y =$ $\frac{1}{3} x \cdot (x - 5)$

= $\frac{1}{3} (x \cdot x + x \cdot (- 5))$

= $\frac{1}{3} (x \cdot x - 5 x)$

= $\frac{1}{3} (x^{2} - 5 x)$

= $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{5}{3} x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $y =$ $\frac{1}{3} x^{2} - \frac{5}{3} x$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $- 4 x^{2} + 16$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$- 4 x^{2} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- 4 x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$ genau die gleichen Nullstellen wie $y =$ $- 4 x^{2} + 16$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$y =$ $a \cdot (x + 2) \cdot (x - 2)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 2) + 2 \cdot x + 2 \cdot (- 2))$

= $a \cdot (x \cdot x - 2 x + 2 x - 4)$

= $a \cdot (x^{2} - 4)$

Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:

$- 4 (x^{2} - 4)$ = $- 4 x^{2} + 16$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $y =$ $- 4 (x + 2) \cdot (x - 2)$

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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)