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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-2|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +2 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x +4 ) ( x +2 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 -6x +5 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -6x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = +6 ± 36 -20 2

x1,2 = +6 ± 16 2

x1 = 6 + 16 2 = 6 +4 2 = 10 2 = 5

x2 = 6 - 16 2 = 6 -4 2 = 2 2 = 1

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -5 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 -6x +5 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x -1 ) ( x -5 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · x · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = a · ( -1 · ( -1 -3 ) ) = 4a =-1.

Hieraus ergibt sich a= - 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - 1 4 x ( x -3 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -4 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -4 ) = -2a =-2.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x -1 ) ( x -4 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

y= ( x -1 ) ( x -4 )

= x · x + x · ( -4 ) -1 · x -1 · ( -4 )

= x · x -4x - x +4

= x 2 -5x +4

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= x 2 -5x +4

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= -5 x 2 +20 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

-5 x 2 +20 = 0 | -20
-5 x 2 = -20 |: ( -5 )
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x +2 ) · ( x -2 ) genau die gleichen Nullstellen wie y= -5 x 2 +20 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

y= a · ( x +2 ) · ( x -2 )

= a · ( x · x + x · ( -2 ) + 2 · x + 2 · ( -2 ) )

= a · ( x · x -2x +2x -4 )

= a · ( x 2 -4 )

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

-5( x 2 -4 ) = -5 x 2 +20 = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= -5 ( x +2 ) ( x -2 )