Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(0|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·x sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+2)x.
Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= x2+6x+8.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2+6x+8 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -6±√62-4·1·82⋅1
x1,2 = -6±√36-322
x1,2 = -6±√42
x1 = -6+√42 = -6+22 = -42 = -2
x2 = -6-√42 = -6-22 = -82 = -4
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = 32-8 = 9 - 8 = 1
x1,2 = -3 ± √1
x1 = -3 - 1 = -4
x2 = -3 + 1 = -2
Der Funktionterm (x+4)(x+2) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x2+6x+8 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).
Also ist y= (x+4)(x+2) bereits der gesuchte Term.
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(2|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+2)·(x-2) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y =
a·(-1+2)·(-1-2)
=
-3a=-1.
Hieraus ergibt sich a=13.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= 13(x+2)(x-2).
Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).
Also muss der Funktionsterm y= a·(x+3)·x sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-2|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y =
a·(-2+3)·(-2)
=
-2a=2.
Hieraus ergibt sich a=-1.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= -(x+3)x.
Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:
y= -(x+3)x
= -(x·x+3·x)
= -(x·x+3x)
= -(x2+3x)
= -x2-3x
Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit y= -x2-3x
Linearfakt. aus Term (a≠1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit y= -2x2+2.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
-2x2+2 | = | | -2 | |
-2x2 | = | -2 | |: (-2) |
x2 | = | 1 | | 2√⋅ |
x1 | = | -√1 | = -1 |
x2 | = | √1 | = 1 |
Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie y= -2x2+2.
Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:
y= a·(x+1)·(x-1)
= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))
= a·(x·x-x+x-1)
= a·(x2-1)
Für a = -2 ergibt sich also tatsächlich:
-2(x2-1) = -2x2+2 = y
Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: y= -2(x+1)(x-1)