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orthogonale Vektoren

Beispiel:

Für welches a sind die beiden Vektoren a = ( 4 0 6 ) und b = ( 9 6 a ) orthogonal ?

Lösung einblenden

Damit die beiden Vektoren orthogonal sind, muss ihr Skalarprodukt =0 sein

Also: a b = ( 4 0 6 ) ( 9 6 a ) = 49 + 06 + 6a = 36 + 6a =0

6a = -36 |:6

a = -6

gemeinsame Gerade einer Ebenenschar

Beispiel:

Gegeben ist eine Ebenenschar Ea durch Ea: -2 x 1 +a x 3 = -6 .

Zeige, dass sich alle Ebenen in einer Geraden schneiden. Bestimme diese Schnittgerade.

Lösung einblenden

Wenn es eine Geraden gibt, die in allen Ebenen der Schar liegt, so muss deren Richtungsvektor ( r1 r2 r3 ) orthogonal zu allen Normalenvektoren der verschiedenen Ebenen der Schar sein, weil eben alle Vektoren einer Ebene immer orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sind.

Es muss also gelten: ( r1 r2 r3 ) ( -2 0 a ) =0

Um das Ergebnis des Skalarprodukts unabhängig von a zu bekommen, setzen wir r3 einfach mal =0. Für die anderen beiden Werte r1 und r2 nehmen wir einfach die jeweils andere Koordinate des Normalenvektors und drehen bei einem noch das Vorzeichen, so dass das Skalarprodukt auf jeden Fall Null ergibt.

Also : ( 0 2 0 ) ( -2 0 a ) =0. Der Richtungsvektor r = ( 0 2 0 ) steht also senkrecht auf allen Normalenvektoren und ist damit in allen Ebenen Ea enthalten.

Jetzt brauchen wir noch einen Stützvektor der gemeinsamen Geraden, also den Ortsvektor zu einem Punkt, der in allen Ebenen Ea liegt, also einen Punkt, der die Ebenengleichung Ea: -2 x 1 +a x 3 = -6 für jedes a erfüllt.

Da auf der rechten Seite der Ebenegleichung kein Parameter a vorkommt, müssen wir diesen auch links eliminieren. Wir setzen x3=0. Um jetzt eine wahre Aussage in der Gleichung zu erhalten, können wir einfach in der x1-Koordinate auf 6 2 und die andere Koordinate auch auf 0 setzen.

So erhalten wir also den Punkt (3|0|0), der auf jeder Ebene Ea liegt, denn eingesetzt in Ea erhalten wir: -2⋅3 = -6.

( 3 0 0 ) ist also unser gesuchter Stützvektor.

Die gesuchte Gerade ist also g: x = ( 3 0 0 ) +t ( 0 2 0 )

(Zur Kontrolle kann man übrigends den allgemeinen Geradenpunkt der Lösungsgeraden wieder in die Ebenegleichung Ea einsetzen und es muss 0=0 herauskommen)

gemeinsame Ebene einer Geradenschar2

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar ga durch x = ( -4 -5 a ) +t ( -1 -1 -7 ) .

Bestimme eine Ebene, in der alle Geraden der Geradenschar ga liegen.

Lösung einblenden

Die Gerade lässt sich auch anders schreiben:
x = ( -4 -5 a ) +t ( -1 -1 -7 ) = ( -4 -5 0 ) + ( 0 0 a ) + t ⋅ ( -1 -1 -7 ) = ( -4 -5 0 ) + a ⋅ ( 0 0 1 ) + t ⋅ ( -1 -1 -7 )

Durch Einsetzen der verschiedenen Werte für a und t erhält man alle Punkte, die auf einer der Geraden ga liegen. Man sieht, dass diese Punktmenge eine Ebene ist, die hier bereits in Parameterform vorliegt.

Wir müssen diese also nur noch in Koordinatenform umwandeln:

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht, mittels des Kreuzproduktes: n = ( 0 0 1 ) × ( -1 -1 -7 ) = ( 0 · ( -7 ) - 1 · ( -1 ) 1 · ( -1 ) - 0 · ( -7 ) 0 · ( -1 ) - 0 · ( -1 ) ) = ( 0 +1 -1 +0 0+0 ) = ( 1 -1 0 )

Weil der Vektor ( -1 1 0 ) orthogonal zu ( 0 0 1 ) und ( -1 -1 -7 ) , also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
[ x - ( -4 -5 0 ) ] ( -1 1 0 ) = 0
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also - x 1 + x 2 = d

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(-4|-5|0) erhält man
d = (-1)(-4) + 1(-5) + 00
also:

- x 1 + x 2 = -1

gemeinsame Ebene einer Schar + fehlende Gerade

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar ga durch x = ( 1 -1 -1 ) +t ( a 4 -1 ) .

Bestimme eine Ebene E, in der alle Geraden der Geradenschar ga liegen und gib eine Gerade h an, die in dieser Ebene liegt und durch den Punkt (1|-1|-1) geht, die aber nicht zur Geradenschar ga gehört.

Lösung einblenden

Alle Geraden der Schar haben den selben Aufpunkt, haben aber verschiedene Richtungsvektoren.

Wenn es einen Ebene gibt, in der alle Geraden liegen, so muss diese einen Normalenvektor besitzen, der orthogonal zu all diesen verschiedenen Richtungsvektoren ist.

Es muss also gelten: ( a 4 -1 ) ( n1 n2 n3 ) =0

Da in der x1-Koordinate des Richtungsvektors der Parameter jeden beliebigen Wert annehmen kann, muss der n1-Wert des Normalenvektor =0 sein, so hat das Skalarprodukt für jedes verschiedene a den selben Wert. Um diesen Wert jetzt auch noch auf 0 zu bekommen, müssen wir einfach die anderen beiden Koordinaten vertauschen und bei einem noch das Vorzeichen wechseln.

Also n = ( 0 1 4 ) , denn ( a 4 -1 ) ( 0 1 4 ) =0, für jedes beliebige a.

Die gesuchte gemeinsame Ebene hat also die Form: + x 2 +4 x 3 = d .

Jetzt brauchen wir nur noch einen Punkt dieser Ebene, um das Absolutglied d noch zu bestimmen. Dafür können wir ja den Aufpunkt von ga (1|-1|-1) nehmen. Denn dieser ist ja für jedes a gleich, also auf jeder Geraden ga und somit auch auf der gesuchten gemeinsamen Ebene E.

Eingesetzt in die bisherige Ebenengleichung erhalten wir 01 + 1(-1) + 4(-1)=-5=d

Die gesuchte gemeinsame Ebenen hat also die Gleichung: + x 2 +4 x 3 = -5

Gerade h in E, die nicht zur Schar ga gehört:

Die Richtungsvektor der gesuchten Gerade h muss natürlich auch othogonal zum Normalenvektor n = ( 0 -1 -4 ) sein.

Dies gilt aber für den Vektor ( 1 0 0 ) , denn ( 1 0 0 ) ( 0 1 4 ) =0.

Man kann die Richtung des Vektors ( 1 0 0 ) als Grenzfall des allgemeinen Richtungsvektors der Geradenschar ( a 4 -1 ) für a → ∞ sehen, die aber nie erreicht wird.

Die gesuchte Gerade h hat somit die Gleichung: x = ( 1 -1 -1 ) +t ( 1 0 0 )

orthogonale Ebenen in Schar

Beispiel:

Gegeben ist die Ebenenschar Ea: -5 x 1 +4 x 2 +a x 3 = 2 , a ∈ ℝ

a) Für welches a ist ist Ea orthogonal zu E 1 ?

b) Bestimme die Ebene Ec der Ebenenschar Ea, für die es keine orthogonale Ebene aus der Schar gibt.

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a) Damit sich die beiden Ebenen orthogonal schneiden, müssen ihre Normalenvektoren orthogonal sein,
d.h. deren Skalarprodukt muss =0 sein: ( -5 4 a ) ( -5 4 1 ) = (-5)(-5) + 44 + a1 = 0.

25 +16 + a = 0
a +41 = 0 | -41
a = -41

Somit ist E -41 orthogonal zu E1: ( -5 4 -41 ) ( -5 4 1 ) =(-5)(-5) + 44 + (-41)1 = 25+16-41=0

b) Egal zu welcher Ec wir eine orthogonale Ebene suchen, funktioniert die Rechnung (fast) immer gleich wie bei E1:
Man erhält immer das gesuchte a in dem man die -41 durch das gegebene c (oben die 1) teilt, außer eben wenn dieses c = 0 ist:

Dann ist das Skalarprodukt ( -5 4 0 ) ( -5 4 a ) = 41 immer ≠ 0, egal welchen Wert a annimmt.

Die gesuchte Ebene ist somit -5 x 1 +4 x 2 = 2

gegebener Abstand Pkt-Ebene

Beispiel:

Gegeben ist eine Ebenenschar Ea durch Ea: -9 x 1 -2 x 2 +a x 3 = -36 .

Für welche(s) a hat der Punkt (29|15|18) den Abstand 33 von der Ebene Ea?

Lösung einblenden

Nach der Hesse'schen Normalenform muss gelten:

|-929-2 15+a 18 - (-36)| ( - 9 )2 + ( - 2 )2 + a2 = 33

Wir multiplizieren mit der Wurzel im Nenner durch:

| 18a -255 | = 33⋅ ( - 9 )2 + ( - 2 )2 + a2

vereinfacht:

| 18a -255 | = 33 a 2 +85

Jetzt wird auf beiden Seiten quadriert:

(Vorsicht: Hier wird zwar auf beiden Seiten quadriert. Da aber auch links Beträge stehen, ist sowohl die negative als auch die postive Wurzel bereits vorher in der Lösungsmenge. Sie wird also nicht vergrößert. Eine Probe ist also ausnahmsweise nicht erforderlich)

( 18a -255 ) 2 = 1089( a 2 +85 )

324 a 2 -9180a +65025 = 1089 a 2 +92565

324 a 2 -9180a +65025 = 1089 a 2 +92565 | -1089 a 2 -92565
-765 a 2 -9180a -27540 = 0 |:765

- a 2 -12a -36 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a1,2 = +12 ± ( -12 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -36 ) 2( -1 )

a1,2 = +12 ± 144 -144 -2

a1,2 = +12 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

a = 12 -2 = -6

Maximaler Abstand Pkt-Ebene

Beispiel:

Für alle a ∈ ℝ sind die Ebenen Ea: 12 x 1 +-a x 2 +5 x 3 = 5 und Fa: 12 x 1 +-a x 2 +5 x 3 = 44 parallel.

Bestimme den größtmöglichen Abstand zwischen Ea und Fa.

Lösung einblenden

Den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen berechnen wir am einfachsten als Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene.

Dazu berechnen wir erstmal einen Spurpunkt von Fa. Da der Koeffizient vor dem x1 keinen Parameter a enthält, bietet sich S1 an:

12x1 = 44, somit ist x1 = 44 12

Als Abstand zwischen Ea und Fa berechnen wir also den Abstand des Spurpunkts SF( 44 12 |0|0) von der Ebene Ea.

Nach der Hesse'schen Normalenform muss gelten:

d(Ea,Fa)= d(SF, Ea) = | 12 · 44 12 -5 | 12 2 + ( -a ) 2 + 5 2 = | 44 -5 | 12 2 + ( -a ) 2 + 5 2 = 39 a 2 +169

Da der Zähler konstant ist, ändert sich die Größe des Abstands nur durch das a im Nenner.

Für einen maximalen Wert, muss der Nenner minimal werden.

Man sieht hier recht schnell, dass dieser minimale Nenner bei a=0 ist, da ja immer a²≥0 gilt.

Der maximale Abstand ist dann d(Ea,Fa)= d(SF, Ea) = | 39 | 169 = | 39 | 13 = 3

Gerade schneidet x-Achse

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar ga durch x = ( 5 7 -7 ) +t ( 3 7 a ) .

Für welches a schneidet ga die x1-Achse?

Lösung einblenden

Die x1-Achse hat die Geradengleichung x = ( 0 0 0 ) +t ( 1 0 0 ) . Um einen Schnittpunkt der beiden Geraden zu finden, setzen wir sie gleich

;

( 5 7 -7 ) +s ( 3 7 a ) = ( 0 0 0 ) +t ( 1 0 0 )

Als Gleichungssystem geschrieben:

5+3s =0+1t 7+7s =0+0t -7+as =0+0t

Wir betrachten erstmal die beiden Gleichungen ohne Parameter und formen diese so um, dass man das LGS gut lösen kann.

3s -1t = -5 (I) 7s = -7 (II)
3s -1t = -5 (I) 7s = -7 (II)

langsame Rechnung einblenden7·(I) -3·(II)

3s -1t = -5 (I) ( 21 -21 )s +( -7 +0)t = ( -35 +21 ) (II)
3s -1t = -5 (I) -7t = -14 (II)
Zeile (II): -7t = -14

t = 2

eingesetzt in Zeile (I):

3s -1(2 ) = -5 | +2
3 s = -3 | : 3

s = -1

L={(-1 |2 )}

Jetzt setzen wir die Lösung s=-1 in die 3-te Gleichung des ursprünglichen Gleichungssystems ganz oben ein:

-7 + a⋅(-1) = 0 |+7

-1a = +7 | :(-1)

a = -7

der Schnittpunkt wäre dann OS = ( 5 7 -7 ) -1 ( 3 7 -7 ) = ( 2 0 0 )

gegebener Steigungswinkel

Beispiel:

Gegeben ist die Geradenschar ga durch ga: x = ( 5 5 2 ) +t ( -5 a 4 ) .

Für welches a>0 hat die Gerade ga den Steigungswinkel α=36.6°?

Lösung einblenden

Als Steigungswinkel wird der Winkel zwischen der Geraden und der horizontalen Grundebene, also der x1x2-Ebene bezeichnet. Der Normalenvektor, x1x2-Ebene steht natürlich senkrecht nach oben, hat also die Koordinaten n = ( 0 0 1 )

Nach der Formel für den Winkel zwischen einer Geraden mit dem Richtungsvektor ( -5 a 4 ) und einer Ebene mit dem Normalenvektor ( 0 0 1 ) muss also gelten:

sin(36.6°)= | (-5)0 + a0 + 41 | (-5) 2 + a2 + 4 2 0 2 + 02 + 1 2

sinus ausgerechnet (Vorsicht: Gradmaß, nicht Bogenmaß) und rechts vereinfacht:

0.5962 = 4 a 2 +41 ⋅ 1

Wir multiplizieren mit der Wurzel im Nenner durch:

0,5962 a 2 +41 = 4

Jetzt wird auf beiden Seiten quadriert:

(Vorsicht: Hier wird zwar auf beiden Seiten quadriert. Es könnte also eine Scheinlösung der Gleichung 0,5962 a 2 +41 = -4 hinzukommen. Diese kann aber keine Lösung haben, da die linke Seite immer positiv und die rechte immer negativ ist. Es kann also keine falsche Lösung hinzukommen, somit ist eine Probe nicht erforderlich)

0,3555( a 2 +41 ) = 16

0,3555 a 2 +14,5755 = 16

0,3555 a 2 +14,5755 = 16 | -14,5755
0,3555 a 2 = 1,4245 |:0,3555
a 2 = 4,00703 | 2
a1 = - 4,00703 -2,002
a2 = 4,00703 2,002

Für a= 2,002 ≈ 2 ist der Steigungswinkel also 36.6°.

Parameter für Schnittpunkt wählen

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar ga durch x = ( 12 a 9 ) +t ( 2 -5 2 ) und eine Gerade h mit h: x = ( -2 -25 15 ) +t ( -1 -5 4 ) .

Für welchen Wert von a sind ga und h nicht windschief?

Lösung einblenden

Man erkennt sofort an den Richtungsvektoren, dass die beiden Geraden nicht parallel oder gar identisch sein können.

Sie können also nur windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden, d.h. wir suchen das a, so dass sich die beiden Geraden in einem Punkt schneiden.

1. Lösungsmöglichkeit

Um einen möglichen Schnittpunkt der beiden Geraden zu erhalten, setzen wir sie zunächst mal gleich:

( 12 a 9 ) +s ( 2 -5 2 ) = ( -2 -25 15 ) +t ( -1 -5 4 )

Als Gleichungssystem geschrieben:

12+2s =-2-1t   |+1t-12 a-5s =-25-5t   |+5t 9+2s =15+4t   |-4t-9

Wir haben also 3 Gleichungen und insgesamt 3 Variablen: a, s und t und können somit das LGS eindeutig lösen:

+2s +t = -14 (I) a -5s +5t = -25 (II) +2s -4t = 6 (III)

Wir tauschen die Zeilen 1 und 2, um auf die gewünschte Dreiecksform zu kommen.

a -5s +5t = -25 (I) +2s +t = -14 (II) +2s -4t = 6 (III)
0 a +2 s +1 t = -14 (I) 1 a -5 s +5 t = -25 (II) 0 a +2 s -4 t = +6 (III)
a -5s +5t = -25 (I) +2s +t = -14 (II) +2s -4t = 6 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

1a -5s 5t = -25 (I) 2s 1t = -14 (II) +( 2 -2 )s +( 1 +4 )t = ( -14 -6 ) (III)
a -5s +5t = -25 (I) +2s +t = -14 (II) +5t = -20 (III)
Zeile (III): +5t = -20

t = -4

eingesetzt in Zeile (II):

+2s +(-4 ) = -14 | +4
2 s = -10 | : 2

s = -5

eingesetzt in Zeile (I):

a -5·(-5 ) +5·(-4 ) = -25 | -5
1 a = -30 | : 1

a = -30

L={(-30 |-5 |-4 )}

Für a = -30 schneiden sich also die beiden Geraden g-30 : x = ( 12 -30 9 ) +t ( 2 -5 2 ) und h.
Als Probe setzen wir noch die Parameter s = -5 in g-30 : und t = -4 in g ein:

OS = ( 12 -30 9 ) -5 ( 2 -5 2 ) = ( 2 -5 -1 )

OS = ( -2 -25 15 ) -4 ( -1 -5 4 ) = ( 2 -5 -1 )

Für a = -30 schneiden sich also die beiden Geraden im Punkt (2|-5|-1).

kleinster Abstand zum Ursprung

Beispiel:

Gegeben ist eine Geradenschar ga durch x = ( 2 -23 a ) +t ( 4 -5 -1 ) .

Für welchen Wert von a, hat die Gerade ga den kleinstmöglchen Abstand zum Ursprung ?

Lösung einblenden

Um den kleinstmöglichen Abstand überhaupt abschätzen zu können, betrachten wir zuerst die Menge aller Punkte von allen Geraden der Schar: Das ist eine Ebene und deren Abstand vom Ursprung ist auch der (theoretisch) kleinstmögliche einer Geraden der Geradenschar.

1. Ebene bestimmen, in der alle Geraden liegen

Die Gerade lässt sich auch anders schreiben:
x = ( 2 -23 a ) +t ( 4 -5 -1 ) = ( 2 -23 0 ) + ( 0 0 a ) + t ⋅ ( 4 -5 -1 ) = ( 2 -23 0 ) + a ⋅ ( 0 0 1 ) + t ⋅ ( 4 -5 -1 )

Durch Einsetzen der verschiedenen Werte für a und t erhält man alle Punkte, die auf einer der Geraden ga liegen. Man sieht, dass diese Punktmenge eine Ebene ist, die hier bereits in Parameterform vorliegt.

Der Normalenvektor n dieser Ebene muss also orthogonal zu ( 0 0 1 ) und ( 4 -5 -1 ) sein.

Wenn er aber orthogonal zu ( 0 0 1 ) sein soll, so muss er die Form ( n1 n2 0 ) haben, damit ( n1 n2 0 ) ( 0 0 1 ) =0 gilt.

Damit ( n1 n2 0 ) auch noch orthogonal zu ( 4 -5 -1 ) ist, muss jetzt ja nur noch die Einträge in der x1- und der x2-Koordinate nehmen und vertauschen und ein Vorzeichen umdrehen, also n = ( 5 4 0 ) , so dass auch ( 5 4 0 ) ( 4 -5 -1 ) =0 gilt.

Natürlich hätte man den Normalenvektor auch mit dem Vektorprodukt bestimmen können, statt nur scharf hinzusehen.

Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also 5 x 1 +4 x 2 = d .
Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A(2|-23|0) erhält man d = 52 + 4(-23) + 00 = -82
also gilt:

E: 5 x 1 +4 x 2 = -82

2. Lotfußpunkt von E zum Ursprung

Der Lotfußpunkt der Ebene E zum Ursprung ist der Punkt der Ebene E mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung. Wenn wir diesen haben und dann eine Gerade der Schar, die durch diesen Punkt gehen würde, wären wir am Ziel.

Dazu stellen wir eine Hilfsgerade mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor und dem Ursprung als Stützpunkt auf:
h: x = ( 0 0 0 ) +t ( 5 4 0 )

Diese schneiden wir mit der Ebene E:

Dazu setzen wir einfach den allgemeinen Geradenpunkt von h: H t ( 0 +5 t | 0 +4 t | 0 +0 t ) in die Ebene E ein und lösen nach t auf:

5 · 5t + 4 · 4t + 0 · 0 = -82

25t +16t = -82
41t = -82 |:41
t = -2

Den Lotfußpunkt als gesuchten Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt H t ( 0 +5 t | 0 +4 t | 0 +0 t ) einsetzen:

L(-10|-8|0)

3. Parameter a bestimmen, so dass L auf ga liegt

Da sich ja die Geraden ga für die verschiedenen a praktisch über die ganze Ebene verteilen, müsste es doch auch eine Gerade geben, auf der dieser Lotfußpunkt liegt. Das zugehörige a versuchen wir zu bestimmen, in dem wir den Lotfußpunkt in die Geradengleichung einsetzen:

( -10 -8 0 ) = ( 2 -23 a ) +t ( 4 -5 -1 )

-10 = 2+4⋅t=> 4⋅t = -12 also t = -3

-8 = -23-5⋅t=> -5⋅t = 15 also t = -3

0 = a-1⋅t

Setzen wir nun diese t = -3 in die 3-te Zeile ein, so erhalten wir:
0 = a +3, also a = -3

Also liegt der Lotfußpunkt L (-10|-8|0) auf der Geraden g-3 (mit t = -3). Da alle Geraden ga in der Ebene liegen, kann kein Punkt einer anderen Geraden der Schar näher am Ursprung liegen als der Lotfußpunkt der Ebene L(-10|-8|0). Folglich ist die Gerade g-3 (mit a=-3) die Gerade der Schar mit dem kleinstmöglchen Abstand zum Ursprung.

Ebenenschar min. Abstand

Beispiel:

Gegeben ist eine Ebenenschar Ea durch Ea: a x 1 -3 x 2 +4 x 3 = -4a + 25 .
Von den Punkten, die in jeder Ebene der Ebenenschar Ea liegen, gibt es einen mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung.

Bestimme dessen Koordinaten.

Lösung einblenden

Die Punkte, die in jeder der Ebenenscharen liegen, bilden oft eine gemeinsame Gerade. Wenn es eine solche Geraden gibt, die in allen Ebenen der Schar liegt, so muss deren Richtungsvektor ( r1 r2 r3 ) orthogonal zu allen Normalenvektoren der verschiedenen Ebenen der Schar sein, weil eben alle Vektoren einer Ebene immer orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sind.

Es muss also gelten: ( r1 r2 r3 ) ( a -3 4 ) =0

Um das Ergebnis des Skalarprodukts unabhängig von a zu bekommen, setzen wir r1 einfach mal =0. Für die anderen beiden Werte r2 und r3 nehmen wir einfach die jeweils andere Koordinate des Normalenvektors und drehen bei einem noch das Vorzeichen, so dass das Skalarprodukt auf jeden Fall Null ergibt.

Also : ( 0 4 3 ) ( a -3 4 ) =0. Der Richtungsvektor r = ( 0 4 3 ) steht also senkrecht auf allen Normalenvektoren und ist damit in allen Ebenen Ea enthalten.

Jetzt brauchen wir noch einen Stützvektor der gemeinsamen Geraden, also den Ortsvektor zu einem Punkt, der in allen Ebenen Ea liegt, also einen Punkt, der die Ebenengleichung Ea: a x 1 -3 x 2 +4 x 3 = -4a + 25 für jedes a erfüllt.

Da auf der rechten Seite der Ebenengleichung -4a + 25 steht, können die -4a auf der linken Seite nur durch Einsetzen von -4 für x1 erreicht werden. Für die 25 gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B. -3 für x2 und 4 für x3, weil -3⋅( - 3 ) +44 = 25.

So erhalten wir also den Punkt (-4|-3|4), der auf jeder Ebene Ea liegt, denn eingesetzt in Ea erhalten wir: -4a + 25 = -4a + 25.

( -4 -3 4 ) ist also unser gesuchter Stützvektor.

Die Gerade g: x = ( -4 -3 4 ) +t ( 0 4 3 ) liegt also in jeder Ebene Ea.

(Zur Kontrolle kann man übrigends den allgemeinen Geradenpunkt der Lösungsgeraden wieder in die Ebenegleichung Ea einsetzen und es muss 0=0 herauskommen)

Um den Geradenpunkt mit dem kleinsten Abstand zum Punkt (0|0|0) zu bestimmen, bilden wir eine Hilfsebene, die orthogonal zu unserer Geraden x = ( -4 -3 4 ) +t ( 0 4 3 ) ist und unseren Punkt P(0|0|0) enthält.
Der Normalenvektor der Hilfsebene ist also der Richtungsvektor der Geraden, ( 0 4 3 ) . Die Hilfsebene in der Koordinatenform hat somit die Form +4 x 2 +3 x 3 = d . Wenn man den Punkt (0|0|0) darin einsetzt, erhält man d = 00 + 40 + 30 = 0.
Nun berechnen wir den Durchstoßpunkt der Geraden mit der Hilfsebene +4 x 2 +3 x 3 = 0 .

Wir setzen einen allgemeinen Geradenpunkt der Geraden G t ( -4 +0 t | -3 +4 t | 4 +3 t ) in die Ebene ein und lösen nach t auf:

-12 +16t +12 +9t = 0
25t = 0 |:25
t = 0

Den Durchstoßpunkt erhalten wir, indem wir dieses t in die Geradengleichung bzw. in den allg. Geradenpunkt G t ( -4 +0 t | -3 +4 t | 4 +3 t ) einsetzen.
=> D(-4|-3|4).

Der Verbindungsvektor vom Ursprung zu diesem Geradenpunkt, also der Ortvektor ( -4 -3 4 ) steht also orthogonal zur gemeinsamen Gerade der Ebenenschar: ( -4 -3 4 ) ( 0 4 3 ) =0

Damit ist der Punkt L(-4|-3|4) der Punkt auf dieser Geraden mit der kürzesten Entfernung zum Ursprung.

Ebenenschar fester Abstand

Beispiel:

Gegeben ist eine Ebenenschar Ea durch Ea: 3 x 1 +a x 2 +5 x 3 = -6a + 33 .
Von den Punkten, die in jeder Ebene der Ebenenschar Ea liegen, gibt es zwei Punkte mit dem Abstand 9 zum Ursprung.

Bestimme die Koordinaten von einem der beiden Punkte.

Lösung einblenden

Die Punkte, die in jeder der Ebenenscharen liegen, bilden oft eine gemeinsame Gerade. Wenn es eine solche Geraden gibt, die in allen Ebenen der Schar liegt, so muss deren Richtungsvektor ( r1 r2 r3 ) orthogonal zu allen Normalenvektoren der verschiedenen Ebenen der Schar sein, weil eben alle Vektoren einer Ebene immer orthogonal zum Normalenvektor der Ebene sind.

Es muss also gelten: ( r1 r2 r3 ) ( 3 a 5 ) =0

Um das Ergebnis des Skalarprodukts unabhängig von a zu bekommen, setzen wir r2 einfach mal =0. Für die anderen beiden Werte r3 und r1 nehmen wir einfach die jeweils andere Koordinate des Normalenvektors und drehen bei einem noch das Vorzeichen, so dass das Skalarprodukt auf jeden Fall Null ergibt.

Also : ( -5 0 3 ) ( 3 a 5 ) =0. Der Richtungsvektor r = ( -5 0 3 ) steht also senkrecht auf allen Normalenvektoren und ist damit in allen Ebenen Ea enthalten.

Jetzt brauchen wir noch einen Stützvektor der gemeinsamen Geraden, also den Ortsvektor zu einem Punkt, der in allen Ebenen Ea liegt, also einen Punkt, der die Ebenengleichung Ea: 3 x 1 +a x 2 +5 x 3 = -6a + 33 für jedes a erfüllt.

Da auf der rechten Seite der Ebenengleichung -6a + 33 steht, können die -6a auf der linken Seite nur durch Einsetzen von -6 für x2 erreicht werden. Für die 33 gibt es mehrere Möglichkeiten, z.B. 11 für x1 und 0 für x3, weil 3⋅11 +50 = 33.

So erhalten wir also den Punkt (11|-6|0), der auf jeder Ebene Ea liegt, denn eingesetzt in Ea erhalten wir: -6a + 33 = -6a + 33.

( 11 -6 0 ) ist also unser gesuchter Stützvektor.

Die Gerade g: x = ( 11 -6 0 ) +t ( -5 0 3 ) liegt also in jeder Ebene Ea.

(Zur Kontrolle kann man übrigends den allgemeinen Geradenpunkt der Lösungsgeraden wieder in die Ebenegleichung Ea einsetzen und es muss 0=0 herauskommen)

Der gesuchte Punkt muss also auf dieser Geraden liegen, folglich können wir ihn als allgemeinen Geradenpunkt G t ( 11 -5 t | -6 +0 t | 0 +3 t ) darstellen.
Der Abstand zwischen dem allgemeinen Geradenpunkt Gt und dem Punkt O ist die Länge des Vektors OGt ,
also d=| OGt | = | ( 11-5t -6+0t 0+3t ) | = ( 11 -5t ) 2 + ( -6 +0 ) 2 + ( 0 +3t ) 2 = 9 |²

( 11 -5t ) 2 + ( -6 +0 ) 2 + ( 0 +3t ) 2 = 81

25 t 2 -110t +121 +36 +9 t 2 = 81

34 t 2 -110t +157 = 81 | -81
34 t 2 -110t +76 = 0 |:2

17 t 2 -55t +38 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

t1,2 = +55 ± ( -55 ) 2 -4 · 17 · 38 217

t1,2 = +55 ± 3025 -2584 34

t1,2 = +55 ± 441 34

t1 = 55 + 441 34 = 55 +21 34 = 76 34 = 38 17 ≈ 2.24

t2 = 55 - 441 34 = 55 -21 34 = 34 34 = 1

Da nur einer der beiden Punkte gesucht ist, setzen wir nur die Lösung t = 1 wieder in die Gerade, bzw. in den allgemeinen Geradenpunkt ein:

( 11 -6 0 ) +1 ( -5 0 3 ) = ( 6 -6 3 )

Der Punkt P(6|-6|3) liegt also auf der gemeinsamen Geraden aller Ebenen der Schar Ea und hat vom Ursprung die Entfernung 6 2 + (-6)2 + 3 2 = 81 = 9.

Minimaler Schnittwinkel

Beispiel:

Gegeben ist für alle a∈ℝ die Geradenschar ga durch ga: x = ( -1 -5 -4 ) +t ( a 6 7 ) sowie die Gerade h: x = ( -1 -5 -4 ) +t ( 0 7 -7 ) .

Dabei sind nicht alle Werte für den Schnittwinkel zwischen ga und h möglich. Berechne den maximalen bzw. minimalen Schnittwinkel zwischen ga und h.

Lösung einblenden

Wir berechnen den Schnittwinkel zwischen ga und Gerade h: x = ( -1 -5 -4 ) +t ( 0 7 -7 ) in Abhängigkeit vom Parameter a mit der Formel:

cos(γ) = | ( a 6 7 ) ( 0 7 -7 ) | | ( a 6 7 ) | | ( 0 7 -7 ) |

= | a0 + 67 + 7(-7) | a 2 + 62 + 7 2 0 2 + 72 + (-7) 2

= | 7 | a 2 +36 +49 · 0 +49 +49

= 7 a 2 +85 · 98

Da im Nenner nur positive Zahlen (Wurzeln) sind, nimmt der Nenner bei a = 0 seinen kleinsten Wert und der ganze Bruchterm somit mit 7 85 · 98 = 7 8330 ≈ 0.077 seinen größtmöglichen Wert an, während für a → ±∞ der Nenner beliebig groß wird und somit der ganze Bruchterm gegen 0 strebt.

Der cos(γ) kann also nur Werte im Intervall ]0 ; 0,077] annehmen.

Der cos(γ) nimmt für 7 8330 ≈ 0.077 also seinen kleinsten Wert an. Das kann man auf verschiedene Weisen begründen:

  • Trigonometrisch am Einheitskreis: Je größer der Winkel γ wird, desto kleiner wird der cos(γ)-Wert
  • Geometrisch: Wenn das Skalarprodukt und damit der cos(γ)=0 ist, sind ja ga und h orthogonal und mit größer werdendem cos(γ) wird Winkel zunehmend kleiner.

Der minimale Schnittwinkel ist somit bei γ = arccos(0,077) ≈ 85,6°.