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Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{2}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 2 x - 48$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 48

- x^{2}

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $1$ - $7$ = -6

x₂ = $1$ + $7$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $8$ }