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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 1200000 dm³ = ..... m³
1200000 dm³ = 1200 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
36 dm³ + 670 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
36 dm³ + 670 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
36 dm³ = 36000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
36 dm³ + 670 cm³
= 36000 cm³ + 670 cm³
= 36670 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 13 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 13 m³ Wasser eben 13 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 8 mm breit und 4 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 8 mm ⋅ 4 mm
= 320 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 9 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 9 m = 36 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 240 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 mm³ = 5 mm ⋅ ⬜ ⋅ 8 mm
240 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 240 mm³ : 40 mm² = 6 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 7 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅7 dm + 2⋅5 dm⋅10 dm
+ 2⋅7 dm⋅10 dm
= 70 dm² + 100 dm² + 140 dm²
= 310 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 6 cm breit und hat das Volumen V = 360 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 cm³ = 6 cm ⋅ 6 cm ⋅ ⬜
360 cm³ = ⬜ ⋅ 36 cm²
Das Kästchen kann man also mit 360 cm³ : 36 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅6 cm + 2⋅6 cm⋅10 cm
+ 2⋅6 cm⋅10 cm
= 72 cm² + 120 cm² + 120 cm²
= 312 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 54 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
54 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.
9 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(4|3), C(5|4) und G(5|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+2) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(4|3) liegen muss, also bei F(4|3+2) = F(4|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+2) = H(3|6).