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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 992 dm³ = ..... cm³
992 dm³ = 992000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
1060 mm³ + 41 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
41 cm³ = 41000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1060 mm³ + 41 cm³
= 1060 mm³ + 41000 mm³
= 42060 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 16 m³ Wasser eben 16 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 8 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 8 mm ⋅ 6 mm
= 480 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 810 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 3 dm
c = 135 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 3 dm ⋅ 135 dm = 810 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 5 cm breit und hat das Volumen V = 360 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 cm³ = 8 cm ⋅ 5 cm ⋅ ⬜
360 cm³ = ⬜ ⋅ 40 cm²
Das Kästchen kann man also mit 360 cm³ : 40 cm² = 9 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 9 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅9 cm⋅10 cm + 2⋅9 cm⋅10 cm
+ 2⋅10 cm⋅10 cm
= 180 cm² + 180 cm² + 200 cm²
= 560 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 5 m hoch und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = 8 m ⋅ ⬜ ⋅ 5 m
80 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 40 m² = 2 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 m⋅5 m + 2⋅8 m⋅2 m
+ 2⋅5 m⋅2 m
= 80 m² + 32 m² + 20 m²
= 132 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(5|3), C(7|5) und G(7|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|5) = D(4|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-5 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+2) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+2) = F(5|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|5) liegen muss, also bei H(4|5+2) = H(4|7).