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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 804000000 cm³ = ..... m³
804000000 cm³ = 804 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
66 m³ - 1100 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
66 m³ - 1100 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
66 m³ = 66000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
66 m³ - 1100 dm³
= 66000 dm³ - 1100 dm³
= 64900 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 13 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 13 ml Wasser eben 13 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 mm lang, 5 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 mm ⋅ 5 mm ⋅ 10 mm
= 400 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 64 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 16 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 16 m = 64 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 6 m hoch und hat das Volumen V = 240 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 m³ = 4 m ⋅ ⬜ ⋅ 6 m
240 m³ = ⬜ ⋅ 24 m²
Das Kästchen kann man also mit 240 m³ : 24 m² = 10 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 6 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅6 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm
+ 2⋅6 cm⋅10 cm
= 96 cm² + 160 cm² + 120 cm²
= 376 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 10 cm breit und hat das Volumen V = 900 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 900 cm³ = 10 cm ⋅ 10 cm ⋅ ⬜
900 cm³ = ⬜ ⋅ 100 cm²
Das Kästchen kann man also mit 900 cm³ : 100 cm² = 9 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅10 cm + 2⋅10 cm⋅9 cm
+ 2⋅10 cm⋅9 cm
= 200 cm² + 180 cm² + 180 cm²
= 560 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(6|1), C(7|2) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-2 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+6) = E(3|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+6) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+6) = H(4|8).