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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 81500000000 mm³ = ..... dm³
81500000000 mm³ = 81500 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
1130 cm³ + 3 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
1130 cm³ + 3 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
3 dm³ = 3000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1130 cm³ + 3 dm³
= 1130 cm³ + 3000 cm³
= 4130 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 12 ml Wasser eben 12 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 8 mm breit und 7 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 8 mm ⋅ 7 mm
= 280 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 20 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 5 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 5 dm = 20 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 5 dm breit und hat das Volumen V = 200 dm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 200 dm³ = 5 dm ⋅ 5 dm ⋅ ⬜
200 dm³ = ⬜ ⋅ 25 dm²
Das Kästchen kann man also mit 200 dm³ : 25 dm² = 8 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 dm lang, 5 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 dm⋅5 dm + 2⋅3 dm⋅4 dm
+ 2⋅5 dm⋅4 dm
= 30 dm² + 24 dm² + 40 dm²
= 94 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 420 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 420 cm³ = ⬜ ⋅ 7 cm ⋅ 10 cm
420 cm³ = ⬜ ⋅ 70 cm²
Das Kästchen kann man also mit 420 cm³ : 70 cm² = 6 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 cm⋅10 cm + 2⋅7 cm⋅6 cm
+ 2⋅10 cm⋅6 cm
= 140 cm² + 84 cm² + 120 cm²
= 344 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(6|1), C(7|2) und G(7|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-3|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-2 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+5) = E(3|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(6|1) liegen muss, also bei F(6|1+5) = F(6|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+5) = H(4|7).