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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 647000000 mm³ = ..... Liter
647000000 mm³ = 647 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
7 dm³ + 830 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
7 dm³ + 830 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
7 dm³ = 7000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
7 dm³ + 830 cm³
= 7000 cm³ + 830 cm³
= 7830 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 15 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 15 l Wasser eben 15 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 m lang, 10 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 m ⋅ 10 m ⋅ 10 m
= 300 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 9 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 9 dm = 36 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 10 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 dm ⋅ 10 dm ⋅ 2 dm
= 80 dm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 6 cm breit und 8 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅8 cm
+ 2⋅6 cm⋅8 cm
= 120 cm² + 160 cm² + 96 cm²
= 376 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 dm lang, 9 dm hoch und hat das Volumen V = 360 dm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 dm³ = 4 dm ⋅ ⬜ ⋅ 9 dm
360 dm³ = ⬜ ⋅ 36 dm²
Das Kästchen kann man also mit 360 dm³ : 36 dm² = 10 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 dm⋅9 dm + 2⋅4 dm⋅10 dm
+ 2⋅9 dm⋅10 dm
= 72 dm² + 80 dm² + 180 dm²
= 332 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 6 Einheiten (oder 12 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-6|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-3 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+4) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+4) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+4) = H(3|7).