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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 6130000000 mm³ = ..... Liter
6130000000 mm³ = 6130 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
23 dm³ - 1040 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
23 dm³ - 1040 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
23 dm³ = 23000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
23 dm³ - 1040 cm³
= 23000 cm³ - 1040 cm³
= 21960 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 12 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 12 ml Wasser eben 12 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 8 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 8 dm ⋅ 6 dm
= 480 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 210 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 3 cm
c = 35 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 35 cm = 210 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 dm lang, 5 dm breit und hat das Volumen V = 160 dm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 dm³ = 8 dm ⋅ 5 dm ⋅ ⬜
160 dm³ = ⬜ ⋅ 40 dm²
Das Kästchen kann man also mit 160 dm³ : 40 dm² = 4 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 10 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅10 cm + 2⋅8 cm⋅5 cm
+ 2⋅10 cm⋅5 cm
= 160 cm² + 80 cm² + 100 cm²
= 340 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 9 cm breit und hat das Volumen V = 180 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 cm³ = 10 cm ⋅ 9 cm ⋅ ⬜
180 cm³ = ⬜ ⋅ 90 cm²
Das Kästchen kann man also mit 180 cm³ : 90 cm² = 2 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅9 cm + 2⋅10 cm⋅2 cm
+ 2⋅9 cm⋅2 cm
= 180 cm² + 40 cm² + 36 cm²
= 256 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(5|1), C(6|2) und G(6|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-2|2) = D(4|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-2 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+7) = E(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(5|1) liegen muss, also bei F(5|1+7) = F(5|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(4|2) liegen muss, also bei H(4|2+7) = H(4|9).