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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 80 m³ = ..... dm³
80 m³ = 80000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
44 m³ - 810 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
44 m³ - 810 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
44 m³ = 44000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
44 m³ - 810 dm³
= 44000 dm³ - 810 dm³
= 43190 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 19 l Wasser eben 19 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 7 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 7 cm ⋅ 5 cm
= 280 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 28 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 7 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 7 dm = 28 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 9 cm breit und hat das Volumen V = 540 cm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 540 cm³ = 6 cm ⋅ 9 cm ⋅ ⬜
540 cm³ = ⬜ ⋅ 54 cm²
Das Kästchen kann man also mit 540 cm³ : 54 cm² = 10 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 5 m breit und 4 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅5 m + 2⋅10 m⋅4 m
+ 2⋅5 m⋅4 m
= 100 m² + 80 m² + 40 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm breit, 2 cm hoch und hat das Volumen V = 80 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 cm³ = ⬜ ⋅ 5 cm ⋅ 2 cm
80 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm²
Das Kästchen kann man also mit 80 cm³ : 10 cm² = 8 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅2 cm + 2⋅5 cm⋅8 cm
+ 2⋅2 cm⋅8 cm
= 20 cm² + 80 cm² + 32 cm²
= 132 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(5|3), C(8|6) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-3|6) = D(5|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-6 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+3) = E(2|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+3) = F(5|6).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(5|6) liegen muss, also bei H(5|6+3) = H(5|9).