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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 118 dm³ = ..... mm³
118 dm³ = 118000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
850 cm³ + 102 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
102 dm³ = 102000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
850 cm³ + 102 dm³
= 850 cm³ + 102000 cm³
= 102850 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 17 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 17 mm³ Wasser eben 17 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 8 m lang, 4 m breit und 5 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 m ⋅ 4 m ⋅ 5 m
= 160 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 dm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 9 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 9 dm = 36 dm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m breit, 5 m hoch und hat das Volumen V = 60 m³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 60 m³ = ⬜ ⋅ 6 m ⋅ 5 m
60 m³ = ⬜ ⋅ 30 m²
Das Kästchen kann man also mit 60 m³ : 30 m² = 2 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 6 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅6 mm + 2⋅10 mm⋅10 mm
+ 2⋅6 mm⋅10 mm
= 120 mm² + 200 mm² + 120 mm²
= 440 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 8 dm breit und hat das Volumen V = 320 dm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 dm³ = 10 dm ⋅ 8 dm ⋅ ⬜
320 dm³ = ⬜ ⋅ 80 dm²
Das Kästchen kann man also mit 320 dm³ : 80 dm² = 4 dm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 dm⋅8 dm + 2⋅10 dm⋅4 dm
+ 2⋅8 dm⋅4 dm
= 160 dm² + 80 dm² + 64 dm²
= 304 dm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(8|4) und G(8|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+2) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+2) = F(7|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+2) = H(3|6).