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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 842 dm³ = ..... mm³
842 dm³ = 842000000 mm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
950 mm³ + 27 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
950 mm³ + 27 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
27 dm³ = 27000 cm³ = 27000000 mm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
950 mm³ + 27 dm³
= 950 mm³ + 27000000 mm³
= 27000950 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 18 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 18 mm³ Wasser eben 18 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 8 mm breit und 10 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 8 mm ⋅ 10 mm
= 400 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 270 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 45 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 45 m = 270 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 40 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 40 mm³ = 4 mm ⋅ ⬜ ⋅ 5 mm
40 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 40 mm³ : 20 mm² = 2 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm breit und 9 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅4 cm + 2⋅5 cm⋅9 cm
+ 2⋅4 cm⋅9 cm
= 40 cm² + 90 cm² + 72 cm²
= 202 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 4 m hoch und hat das Volumen V = 400 m³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 400 m³ = 10 m ⋅ ⬜ ⋅ 4 m
400 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 400 m³ : 40 m² = 10 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅4 m + 2⋅10 m⋅10 m
+ 2⋅4 m⋅10 m
= 80 m² + 200 m² + 80 m²
= 360 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(5|3), C(6|4) und G(6|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(6-3|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+6) = E(2|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(5|3) liegen muss, also bei F(5|3+6) = F(5|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+6) = H(3|10).