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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 840000 cm³ = ..... dm³
840000 cm³ = 840 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
64 dm³ + 1070 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
64 dm³ + 1070 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
64 dm³ = 64000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
64 dm³ + 1070 cm³
= 64000 cm³ + 1070 cm³
= 65070 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 13 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 13 mm³ Wasser eben 13 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 3 mm breit und 6 mm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 mm ⋅ 3 mm ⋅ 6 mm
= 180 mm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 350 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 5 m
c = 35 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 5 m ⋅ 35 m = 350 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm breit, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 500 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 500 mm³ = ⬜ ⋅ 10 mm ⋅ 5 mm
500 mm³ = ⬜ ⋅ 50 mm²
Das Kästchen kann man also mit 500 mm³ : 50 mm² = 10 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 8 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅8 m + 2⋅5 m⋅10 m
+ 2⋅8 m⋅10 m
= 80 m² + 100 m² + 160 m²
= 340 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 7 cm breit und hat das Volumen V = 140 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 140 cm³ = 4 cm ⋅ 7 cm ⋅ ⬜
140 cm³ = ⬜ ⋅ 28 cm²
Das Kästchen kann man also mit 140 cm³ : 28 cm² = 5 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅7 cm + 2⋅4 cm⋅5 cm
+ 2⋅7 cm⋅5 cm
= 56 cm² + 40 cm² + 70 cm²
= 166 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 64 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
64 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|3), B(7|3), C(8|4) und G(8|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-5|4) = D(3|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-4 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|3) liegen, also bei E(2|3+5) = E(2|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(7|3) liegen muss, also bei F(7|3+5) = F(7|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(3|4) liegen muss, also bei H(3|4+5) = H(3|9).