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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 65900000000 mm³ = ..... dm³
65900000000 mm³ = 65900 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
61 dm³ + 1040 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
61 dm³ + 1040 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
61 dm³ = 61000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
61 dm³ + 1040 cm³
= 61000 cm³ + 1040 cm³
= 62040 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 10 m³ Wasser eben 10 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 2 dm lang, 8 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 2 dm ⋅ 8 dm ⋅ 5 dm
= 80 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 160 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 40 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 40 mm = 160 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 9 m lang, 10 m breit und hat das Volumen V = 180 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 m³ = 9 m ⋅ 10 m ⋅ ⬜
180 m³ = ⬜ ⋅ 90 m²
Das Kästchen kann man also mit 180 m³ : 90 m² = 2 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 10 m breit und 4 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 m⋅10 m + 2⋅5 m⋅4 m
+ 2⋅10 m⋅4 m
= 100 m² + 40 m² + 80 m²
= 220 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 cm lang, 10 cm breit und hat das Volumen V = 560 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 560 cm³ = 7 cm ⋅ 10 cm ⋅ ⬜
560 cm³ = ⬜ ⋅ 70 cm²
Das Kästchen kann man also mit 560 cm³ : 70 cm² = 8 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 cm⋅10 cm + 2⋅7 cm⋅8 cm
+ 2⋅10 cm⋅8 cm
= 140 cm² + 112 cm² + 160 cm²
= 412 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 125 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
125 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(7|4) und G(7|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-5|4) = D(2|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-4 = 4. Somit muss auch der Punkt E genau 4 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+4) = E(1|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 4 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+4) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 4 Einheiten über dem Punkt D(2|4) liegen muss, also bei H(2|4+4) = H(2|8).