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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 8980000 mm³ = ..... ml
8980000 mm³ = 8980 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
99 l + 660 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
99 dm³ + 660 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
99 dm³ = 99000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
99 dm³ + 660 cm³
= 99000 cm³ + 660 cm³
= 99660 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 3000 mm³ Wasser ?
3000 mm³ = 3 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 3 cm³ Wasser eben 3 g
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 4 m breit und 8 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 4 m ⋅ 8 m
= 320 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 160 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 40 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 40 cm = 160 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm breit, 10 dm hoch und hat das Volumen V = 700 dm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 700 dm³ = ⬜ ⋅ 10 dm ⋅ 10 dm
700 dm³ = ⬜ ⋅ 100 dm²
Das Kästchen kann man also mit 700 dm³ : 100 dm² = 7 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 5 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 dm⋅5 dm + 2⋅7 dm⋅6 dm
+ 2⋅5 dm⋅6 dm
= 70 dm² + 84 dm² + 60 dm²
= 214 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm breit und 5 mm hoch. Bestimme das Volumen V und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 mm ⋅ 4 mm ⋅ 5 mm
= 100 mm³
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅5 mm
+ 2⋅4 mm⋅5 mm
= 40 mm² + 50 mm² + 40 mm²
= 130 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|1), B(3|1), C(5|3) und G(5|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|3) = D(3|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-3 = 7. Somit muss auch der Punkt E genau 7 Einheiten über dem Punkt A(1|1) liegen, also bei E(1|1+7) = E(1|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 7 Einheiten über dem Punkt B(3|1) liegen muss, also bei F(3|1+7) = F(3|8).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 7 Einheiten über dem Punkt D(3|3) liegen muss, also bei H(3|3+7) = H(3|10).