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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 57400000000 mm³ = ..... Liter
57400000000 mm³ = 57400 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
100 dm³ - 1040 ml
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ und die Milliliter (ml) durch cm³:
100 dm³ - 1040 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
100 dm³ = 100000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
100 dm³ - 1040 cm³
= 100000 cm³ - 1040 cm³
= 98960 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5000 cm³ Wasser ?
5000 cm³ = 5 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 5 dm³ Wasser eben 5 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 2 m breit und 8 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 2 m ⋅ 8 m
= 80 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 40 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 10 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 10 mm = 40 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 5 mm breit und hat das Volumen V = 150 mm³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 150 mm³ = 10 mm ⋅ 5 mm ⋅ ⬜
150 mm³ = ⬜ ⋅ 50 mm²
Das Kästchen kann man also mit 150 mm³ : 50 mm² = 3 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 10 mm breit und 8 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅10 mm + 2⋅4 mm⋅8 mm
+ 2⋅10 mm⋅8 mm
= 80 mm² + 64 mm² + 160 mm²
= 304 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm lang, 4 mm hoch und hat das Volumen V = 80 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 mm³ = 5 mm ⋅ ⬜ ⋅ 4 mm
80 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 80 mm³ : 20 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅4 mm
+ 2⋅4 mm⋅4 mm
= 40 mm² + 40 mm² + 32 mm²
= 112 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(6|2), C(9|5) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 3 Einheiten (oder 6 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-3|5) = D(6|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-5 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+3) = E(3|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+3) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(6|5) liegen muss, also bei H(6|5+3) = H(6|8).