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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 7890000000 mm³ = ..... Liter
7890000000 mm³ = 7890 Liter
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
77 m³ - 560 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
77 m³ - 560 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
77 m³ = 77000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
77 m³ - 560 dm³
= 77000 dm³ - 560 dm³
= 76440 dm³
= 76440000 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 2 l Wasser eben 2 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 10 dm breit und 2 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 dm ⋅ 10 dm ⋅ 2 dm
= 140 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 210 m³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 3 m
c = 35 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 3 m ⋅ 35 m = 210 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm breit, 6 cm hoch und hat das Volumen V = 180 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 180 cm³ = ⬜ ⋅ 5 cm ⋅ 6 cm
180 cm³ = ⬜ ⋅ 30 cm²
Das Kästchen kann man also mit 180 cm³ : 30 cm² = 6 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 8 cm breit und 3 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅8 cm + 2⋅5 cm⋅3 cm
+ 2⋅8 cm⋅3 cm
= 80 cm² + 30 cm² + 48 cm²
= 158 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m breit, 10 m hoch und hat das Volumen V = 80 m³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 80 m³ = ⬜ ⋅ 4 m ⋅ 10 m
80 m³ = ⬜ ⋅ 40 m²
Das Kästchen kann man also mit 80 m³ : 40 m² = 2 m berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 m⋅10 m + 2⋅4 m⋅2 m
+ 2⋅10 m⋅2 m
= 80 m² + 16 m² + 40 m²
= 136 m²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 cm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 cm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|3) = D(5|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+2) = E(3|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+2) = F(7|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|3) liegen muss, also bei H(5|3+2) = H(5|5).