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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 490 m³ = ..... dm³
490 m³ = 490000 dm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
1170 cm³ + 56 m³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
56 m³ = 56000 dm³ = 56000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
1170 cm³ + 56 m³
= 1170 cm³ + 56000000 cm³
= 56001170 cm³
= 56001170000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 10 m³ Wasser eben 10 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 10 m breit und 8 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 m ⋅ 10 m ⋅ 8 m
= 800 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 28 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 7 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 7 m = 28 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 6 m breit und hat das Volumen V = 90 m³. Bestimme die Höhe c des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 90 m³ = 5 m ⋅ 6 m ⋅ ⬜
90 m³ = ⬜ ⋅ 30 m²
Das Kästchen kann man also mit 90 m³ : 30 m² = 3 m berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm breit und 2 mm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 mm⋅5 mm + 2⋅4 mm⋅2 mm
+ 2⋅5 mm⋅2 mm
= 40 mm² + 16 mm² + 20 mm²
= 76 mm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 7 mm breit, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 210 mm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 210 mm³ = ⬜ ⋅ 7 mm ⋅ 5 mm
210 mm³ = ⬜ ⋅ 35 mm²
Das Kästchen kann man also mit 210 mm³ : 35 mm² = 6 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅7 mm⋅5 mm + 2⋅7 mm⋅6 mm
+ 2⋅5 mm⋅6 mm
= 70 mm² + 84 mm² + 60 mm²
= 214 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 2400 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
2400 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.
400 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(4|1), C(5|2) und G(5|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(5-2|2) = D(3|2).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-2 = 8. Somit muss auch der Punkt E genau 8 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+8) = E(2|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 8 Einheiten über dem Punkt B(4|1) liegen muss, also bei F(4|1+8) = F(4|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 8 Einheiten über dem Punkt D(3|2) liegen muss, also bei H(3|2+8) = H(3|10).