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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 3400000 mm³ = ..... ml
3400000 mm³ = 3400 ml
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
101 dm³ - 1000 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
101 dm³ = 101000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
101 dm³ - 1000 cm³
= 101000 cm³ - 1000 cm³
= 100000 cm³
= 100000000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 l Wasser ?
1 l entspricht ja 1 dm³
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 16 l Wasser eben 16 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 10 dm breit und 4 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 10 dm ⋅ 4 dm
= 400 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 210 mm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 3 mm
c = 35 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 3 mm ⋅ 35 mm = 210 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 3 dm breit und 6 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 3 dm ⋅ 6 dm
= 180 dm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 m lang, 6 m breit und 10 m hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 m⋅6 m + 2⋅10 m⋅10 m
+ 2⋅6 m⋅10 m
= 120 m² + 200 m² + 120 m²
= 440 m²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 6 cm breit und hat das Volumen V = 300 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 300 cm³ = 10 cm ⋅ 6 cm ⋅ ⬜
300 cm³ = ⬜ ⋅ 60 cm²
Das Kästchen kann man also mit 300 cm³ : 60 cm² = 5 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅6 cm + 2⋅10 cm⋅5 cm
+ 2⋅6 cm⋅5 cm
= 120 cm² + 100 cm² + 60 cm²
= 280 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 24 m². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
24 m² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.
4 m² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 m funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(6|2), C(8|4) und G(8|7) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(8-4|4) = D(4|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 7-4 = 3. Somit muss auch der Punkt E genau 3 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+3) = E(2|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 3 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+3) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 3 Einheiten über dem Punkt D(4|4) liegen muss, also bei H(4|4+3) = H(4|7).