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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 3160000000 cm³ = ..... m³
3160000000 cm³ = 3160 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
2 m³ + 550 l
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
2 m³ + 550 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
2 m³ = 2000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
2 m³ + 550 dm³
= 2000 dm³ + 550 dm³
= 2550 dm³
= 2550000 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 16 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 16 dm³ Wasser eben 16 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 cm ⋅ 4 cm ⋅ 10 cm
= 400 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 72 mm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 mm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 mm
b = 2 mm
c = 18 mm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 mm ⋅ 2 mm ⋅ 18 mm = 72 mm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm breit, 8 cm hoch und hat das Volumen V = 560 cm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 560 cm³ = ⬜ ⋅ 10 cm ⋅ 8 cm
560 cm³ = ⬜ ⋅ 80 cm²
Das Kästchen kann man also mit 560 cm³ : 80 cm² = 7 cm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 cm⋅10 cm + 2⋅3 cm⋅10 cm
+ 2⋅10 cm⋅10 cm
= 60 cm² + 60 cm² + 200 cm²
= 320 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 10 mm lang, 7 mm breit und hat das Volumen V = 280 mm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 280 mm³ = 10 mm ⋅ 7 mm ⋅ ⬜
280 mm³ = ⬜ ⋅ 70 mm²
Das Kästchen kann man also mit 280 mm³ : 70 mm² = 4 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 mm⋅7 mm + 2⋅10 mm⋅4 mm
+ 2⋅7 mm⋅4 mm
= 140 mm² + 80 mm² + 56 mm²
= 276 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 27 dm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
27 dm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|1), B(7|1), C(9|3) und G(9|9) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|3) = D(4|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 9-3 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(2|1) liegen, also bei E(2|1+6) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(7|1) liegen muss, also bei F(7|1+6) = F(7|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(4|3) liegen muss, also bei H(4|3+6) = H(4|9).