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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 23100000 mm³ = ..... cm³
23100000 mm³ = 23100 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in mm³ an:
95 m³ + 560 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
95 m³ = 95000 dm³ = 95000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
95 m³ + 560 cm³
= 95000000 cm³ + 560 cm³
= 95000560 cm³
= 95000560000 mm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 4 mm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 mm³ ≙ 1000 mg
also 1 mm³ ≙ 1 mg
Somit wiegen 4 mm³ Wasser eben 4 mg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 8 dm breit und 8 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 10 dm ⋅ 8 dm ⋅ 8 dm
= 640 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 24 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 6 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 6 cm = 24 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 10 dm lang, 4 dm hoch und hat das Volumen V = 280 dm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 280 dm³ = 10 dm ⋅ ⬜ ⋅ 4 dm
280 dm³ = ⬜ ⋅ 40 dm²
Das Kästchen kann man also mit 280 dm³ : 40 dm² = 7 dm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 10 cm lang, 2 cm breit und 9 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅10 cm⋅2 cm + 2⋅10 cm⋅9 cm
+ 2⋅2 cm⋅9 cm
= 40 cm² + 180 cm² + 36 cm²
= 256 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm breit, 10 cm hoch und hat das Volumen V = 480 cm³. Bestimme die Länge a und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 480 cm³ = ⬜ ⋅ 8 cm ⋅ 10 cm
480 cm³ = ⬜ ⋅ 80 cm²
Das Kästchen kann man also mit 480 cm³ : 80 cm² = 6 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅10 cm + 2⋅8 cm⋅6 cm
+ 2⋅10 cm⋅6 cm
= 160 cm² + 96 cm² + 120 cm²
= 376 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|2), B(5|2), C(7|4) und G(7|6) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|4) = D(5|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 6-4 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|2) liegen, also bei E(3|2+2) = E(3|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|2) liegen muss, also bei F(5|2+2) = F(5|4).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|4) liegen muss, also bei H(5|4+2) = H(5|6).