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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 155 m³ = ..... cm³
155 m³ = 155000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
820 cm³ + 41 m³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
41 m³ = 41000 dm³ = 41000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
820 cm³ + 41 m³
= 820 cm³ + 41000000 cm³
= 41000820 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 5000 dm³ Wasser ?
5000 dm³ = 5 m³
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 5 m³ Wasser eben 5 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 5 dm breit und 9 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 6 dm ⋅ 5 dm ⋅ 9 dm
= 270 dm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 56 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 14 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 14 cm = 56 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 7 m breit und 10 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 7 m ⋅ 10 m
= 350 m³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 8 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅3 cm⋅8 cm + 2⋅3 cm⋅5 cm
+ 2⋅8 cm⋅5 cm
= 48 cm² + 30 cm² + 80 cm²
= 158 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 8 cm breit und hat das Volumen V = 640 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 640 cm³ = 8 cm ⋅ 8 cm ⋅ ⬜
640 cm³ = ⬜ ⋅ 64 cm²
Das Kästchen kann man also mit 640 cm³ : 64 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅8 cm + 2⋅8 cm⋅10 cm
+ 2⋅8 cm⋅10 cm
= 128 cm² + 160 cm² + 160 cm²
= 448 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 96 cm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
96 cm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.
16 cm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 cm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(9|6) und G(9|8) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-5|6) = D(4|6).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 8-6 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+2) = E(1|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+2) = F(6|5).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(4|6) liegen muss, also bei H(4|6+2) = H(4|8).