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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 6960000000 cm³ = ..... m³
6960000000 cm³ = 6960 m³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
24 m³ + 1230 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
24 m³ = 24000 dm³ = 24000000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
24 m³ + 1230 cm³
= 24000000 cm³ + 1230 cm³
= 24001230 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 19 m³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1 000 000 cm³ ≙ 1 000 000 g
1 000 dm³ ≙ 1 000 kg
also 1 m³ ≙ 1 t
Somit wiegen 19 m³ Wasser eben 19 t
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 4 m lang, 10 m breit und 2 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 4 m ⋅ 10 m ⋅ 2 m
= 80 m³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 270 cm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 3 cm
c = 45 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 3 cm ⋅ 45 cm = 270 cm³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 10 cm breit und 9 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 8 cm ⋅ 10 cm ⋅ 9 cm
= 720 cm³
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 4 cm breit und 10 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅4 cm + 2⋅5 cm⋅10 cm
+ 2⋅4 cm⋅10 cm
= 40 cm² + 100 cm² + 80 cm²
= 220 cm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 4 cm lang, 5 cm breit und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = 4 cm ⋅ 5 cm ⋅ ⬜
160 cm³ = ⬜ ⋅ 20 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 20 cm² = 8 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅4 cm⋅5 cm + 2⋅4 cm⋅8 cm
+ 2⋅5 cm⋅8 cm
= 40 cm² + 64 cm² + 80 cm²
= 184 cm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 150 dm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
150 dm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.
25 dm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(3|3), C(4|4) und G(4|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(4-2|4) = D(2|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+6) = E(1|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(3|3) liegen muss, also bei F(3|3+6) = F(3|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(2|4) liegen muss, also bei H(2|4+6) = H(2|10).