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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 934 m³ = ..... cm³
934 m³ = 934000000 cm³
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
11 m³ + 1050 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
11 m³ = 11000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
11 m³ + 1050 dm³
= 11000 dm³ + 1050 dm³
= 12050 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 20 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 20 dm³ Wasser eben 20 kg
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 3 cm lang, 6 cm breit und 5 cm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 3 cm ⋅ 6 cm ⋅ 5 cm
= 90 cm³
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 36 m³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 m.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 m
b = 2 m
c = 9 m,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 m ⋅ 2 m ⋅ 9 m = 36 m³.
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 4 mm lang, 5 mm hoch und hat das Volumen V = 120 mm³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 120 mm³ = 4 mm ⋅ ⬜ ⋅ 5 mm
120 mm³ = ⬜ ⋅ 20 mm²
Das Kästchen kann man also mit 120 mm³ : 20 mm² = 6 mm berechnen.
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 dm lang, 8 dm breit und 9 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 dm⋅8 dm + 2⋅5 dm⋅9 dm
+ 2⋅8 dm⋅9 dm
= 80 dm² + 90 dm² + 144 dm²
= 314 dm²
Volumen auch rückwärts + Oberfl.
Beispiel:
Ein Quader ist 6 mm lang, 6 mm hoch und hat das Volumen V = 360 mm³. Bestimme die Breite b und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 360 mm³ = 6 mm ⋅ ⬜ ⋅ 6 mm
360 mm³ = ⬜ ⋅ 36 mm²
Das Kästchen kann man also mit 360 mm³ : 36 mm² = 10 mm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 mm⋅6 mm + 2⋅6 mm⋅10 mm
+ 2⋅6 mm⋅10 mm
= 72 mm² + 120 mm² + 120 mm²
= 312 mm²
Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat die Oberfläche O = 6 mm². Berechne die Kantenlänge.
Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a2
Es gilt somit:
6 mm² = 6 ⋅ ⬜2
Wenn 6 ⬜2 das Gleiche wie 6 ist, dann muss doch ein ⬜2 ein Sechstel von 6, also 1 ergeben.
1 mm² = ⬜2
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 mm funktioniert.
Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(3|1), B(5|1), C(7|3) und G(7|5) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 2 Einheiten (oder 4 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-2|3) = D(5|3).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 5-3 = 2. Somit muss auch der Punkt E genau 2 Einheiten über dem Punkt A(3|1) liegen, also bei E(3|1+2) = E(3|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 2 Einheiten über dem Punkt B(5|1) liegen muss, also bei F(5|1+2) = F(5|3).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 2 Einheiten über dem Punkt D(5|3) liegen muss, also bei H(5|3+2) = H(5|5).