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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 26}$ = $- 4$

\sqrt{2 x + 26}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 125} + 2 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 125} + 2 x$	=	$- 5$	\| $- 2 x$
$\sqrt{20 x + 125}$	=	$- 2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 125$	=	${(- 2 x - 5)}^{2}$

$20 x + 125$	=	$4 x^{2} + 20 x + 25$	\| $- 125$
$20 x$	=	$4 x^{2} + 20 x - 100$	\| $- 4 x^{2}$ $- 20 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 100$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{20 x + 125} + 2 x$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 5) + 125} + 2 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{- 100 + 125} - 10$

= $\sqrt{25} - 10$

= $5 - 10$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{20 x + 125} + 2 x$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 5 + 125} + 2 \cdot 5$

= $\sqrt{100 + 125} + 10$

= $\sqrt{225} + 10$

= $15 + 10$

= $25$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 25 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 16}$ = $\sqrt{4 x + 17} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 16}$	=	$\sqrt{4 x + 17} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 16$	=	${(\sqrt{4 x + 17} + 1)}^{2}$

$6 x + 16$	=	$2 \sqrt{4 x + 17} + 4 x + 18$	\| $- 6 x$ $- 16$ $- 2 \sqrt{4 x + 17}$
$- 2 \sqrt{4 x + 17}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 17}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 17$	=	${(x - 1)}^{2}$

4 x + 17

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6+10}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6-10}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 16}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 16}$

= $\sqrt{- 12 + 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 17} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 17} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 17} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x + 16}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 + 16}$

= $\sqrt{48 + 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x + 17} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 + 17} + 1$

= $\sqrt{32 + 17} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $8$