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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{(- x)}$ = $- 2$

$- \sqrt{(- x)}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{(- x)}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x$	=	$2^{2}$

$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{(- x)}$

$=$ $- \sqrt{(- (- 4))}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 15}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	${(- x)}^{2}$

2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- x$

$=$ $- (- 3)$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 2}$ = $\sqrt{4 x - 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 2}$	=	$\sqrt{4 x - 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 2$	=	${(\sqrt{4 x - 3} + 1)}^{2}$

$6 x - 2$	=	$2 \sqrt{4 x - 3} + 4 x - 2$	\| $- 6 x$ $+ 2$ $- 2 \sqrt{4 x - 3}$
$- 2 \sqrt{4 x - 3}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3} + 1$

= $\sqrt{4 - 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{18 - 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3} + 1$

= $\sqrt{12 - 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$