Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $6$

- 3 \sqrt{- 2 x + 2}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{- 2 x + 2}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 104}$ = $2 \sqrt{x + 24}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 104}$	=	$2 \sqrt{x + 24}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 104$	=	${(2 \sqrt{x + 24})}^{2}$

$5 x + 104$	=	$4 (x + 24)$
$5 x + 104$	=	$4 x + 96$	\| $- 104$
$5 x$	=	$4 x - 8$	\| $- 4 x$
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 104}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 104}$

= $\sqrt{- 40 + 104}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $2 \sqrt{x + 24}$

$=$ $2 \sqrt{- 8 + 24}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 6}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 6}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 6$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 1)}^{2}$

$6 x + 6$	=	$2 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 6$	\| $- 6 x$ $- 6$ $- 2 \sqrt{4 x + 5}$
$- 2 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 6}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 6 + 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x + 6}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 + 6}$

= $\sqrt{30 + 6}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 + 5} + 1$

= $\sqrt{20 + 5} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$