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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 2$

$- \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $- \sqrt{3 + 1}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 85}$ = $3 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 85}$	=	$3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 85$	=	${(3 x - 2)}^{2}$

$- 12 x + 85$	=	$9 x^{2} - 12 x + 4$	\| $- 85$
$- 12 x$	=	$9 x^{2} - 12 x - 81$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 12 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 81$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x + 85}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) + 85}$

= $\sqrt{36 + 85}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot (- 3) - 2$

= $- 9 - 2$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 12 x + 85}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 3 + 85}$

= $\sqrt{- 36 + 85}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 x - 2$

$=$ $3 \cdot 3 - 2$

= $9 - 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 2}$ = $\sqrt{4 x - 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 2}$	=	$\sqrt{4 x - 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 2$	=	${(\sqrt{4 x - 3} + 1)}^{2}$

$6 x - 2$	=	$2 \sqrt{4 x - 3} + 4 x - 2$	\| $- 6 x$ $+ 2$ $- 2 \sqrt{4 x - 3}$
$- 2 \sqrt{4 x - 3}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3} + 1$

= $\sqrt{4 - 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{18 - 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3} + 1$

= $\sqrt{12 - 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$