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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 8}$ = $- 4$

2 \sqrt{2 x + 8}

=

- 4

|:

2

\sqrt{2 x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 65}$ = $2 x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 65}$	=	$2 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 65$	=	${(2 x + 5)}^{2}$

8 x + 65

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 12 x + 40

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{8 x + 65}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 5) + 65}$

= $\sqrt{- 40 + 65}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x + 5$

$=$ $2 \cdot (- 5) + 5$

= $- 10 + 5$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{8 x + 65}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 2 + 65}$

= $\sqrt{16 + 65}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x + 5$

$=$ $2 \cdot 2 + 5$

= $4 + 5$

= $9$

Also 9 = 9

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 25}$ = $\sqrt{2 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 25}$	=	$\sqrt{2 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 25$	=	${(\sqrt{2 x + 12} + 1)}^{2}$

$4 x + 25$	=	$2 \sqrt{2 x + 12} + 2 x + 13$	\| $- 4 x$ $- 25$ $- 2 \sqrt{2 x + 12}$
$- 2 \sqrt{2 x + 12}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 12

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 25}$

= $\sqrt{- 24 + 25}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 25}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 25}$

= $\sqrt{- 16 + 25}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -4

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$