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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $- 2 \sqrt{8 + 1}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{33 x + 93}$ = $3 \sqrt{4 x + 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{33 x + 93}$	=	$3 \sqrt{4 x + 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33 x + 93$	=	${(3 \sqrt{4 x + 9})}^{2}$

$33 x + 93$	=	$9 (4 x + 9)$
$33 x + 93$	=	$36 x + 81$	\| $- 93$
$33 x$	=	$36 x - 12$	\| $- 36 x$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{33 x + 93}$

$=$ $\sqrt{33 \cdot 4 + 93}$

= $\sqrt{132 + 93}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{4 x + 9}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 4 + 9}$

= $3 \sqrt{16 + 9}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 7}$ = $\sqrt{4 x + 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 7}$	=	$\sqrt{4 x + 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 7$	=	${(\sqrt{4 x + 8} + 1)}^{2}$

$6 x + 7$	=	$2 \sqrt{4 x + 8} + 4 x + 9$	\| $- 6 x$ $- 7$ $- 2 \sqrt{4 x + 8}$
$- 2 \sqrt{4 x + 8}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 8}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(x - 1)}^{2}$

4 x + 8

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 7}$

= $\sqrt{- 6 + 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 8} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 8} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 7 + 7}$

= $\sqrt{42 + 7}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 + 8} + 1$

= $\sqrt{28 + 8} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $7$