Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 8}$ = $- 6$

3 \sqrt{x + 8}

=

- 6

|:

3

\sqrt{x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 40 x - 39}$ = $2 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 40 x - 39}$	=	$2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 40 x - 39$	=	${(2 x - 3)}^{2}$

- 40 x - 39

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 40 x - 39}$

$=$ $\sqrt{- 40 \cdot (- 4) - 39}$

= $\sqrt{160 - 39}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x - 3$

$=$ $2 \cdot (- 4) - 3$

= $- 8 - 3$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 40 x - 39}$

$=$ $\sqrt{- 40 \cdot (- 3) - 39}$

= $\sqrt{120 - 39}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x - 3$

$=$ $2 \cdot (- 3) - 3$

= $- 6 - 3$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 120}$ = $\sqrt{5 x + 89} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 120}$	=	$\sqrt{5 x + 89} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 120$	=	${(\sqrt{5 x + 89} + 1)}^{2}$

$7 x + 120$	=	$2 \sqrt{5 x + 89} + 5 x + 90$	\| $- 7 x$ $- 120$ $- 2 \sqrt{5 x + 89}$
$- 2 \sqrt{5 x + 89}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 89}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 89$	=	${(x + 15)}^{2}$

5 x + 89

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 136)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 544}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25+9}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25-9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 136$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{7 x + 120}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 17) + 120}$

= $\sqrt{- 119 + 120}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{5 x + 89} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 17) + 89} + 1$

= $\sqrt{- 85 + 89} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 120}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 120}$

= $\sqrt{- 56 + 120}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 89} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 89} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 89} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 8$