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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 3}$ = $3$

$\sqrt{3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	$3^{2}$

$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 48}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 48}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 48$	=	${(- 2 x)}^{2}$

4 x + 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 48}$

= $\sqrt{- 12 + 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 3)$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 48}$

= $\sqrt{16 + 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $\sqrt{4 x - 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$\sqrt{4 x - 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(\sqrt{4 x - 12} + 2)}^{2}$

$8 x - 20$	=	$4 \sqrt{4 x - 12} + 4 x - 8$	\| $- 8 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{4 x - 12}$
$- 4 \sqrt{4 x - 12}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 12} + 2$

= $\sqrt{12 - 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 - 12} + 2$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$