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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 1}$ = $- 4$

\sqrt{3 x + 1}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{40 x + 121}$ = $3 \sqrt{4 x + 17}$

Lösung einblenden

$\sqrt{40 x + 121}$	=	$3 \sqrt{4 x + 17}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$40 x + 121$	=	${(3 \sqrt{4 x + 17})}^{2}$

$40 x + 121$	=	$9 (4 x + 17)$
$40 x + 121$	=	$36 x + 153$	\| $- 121$
$40 x$	=	$36 x + 32$	\| $- 36 x$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{40 x + 121}$

$=$ $\sqrt{40 \cdot 8 + 121}$

= $\sqrt{320 + 121}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{4 x + 17}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 8 + 17}$

= $3 \sqrt{32 + 17}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 81}$ = $\sqrt{x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 81}$	=	$\sqrt{x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 81$	=	${(\sqrt{x + 25} + 2)}^{2}$

$5 x + 81$	=	$4 \sqrt{x + 25} + x + 29$	\| $- 5 x$ $- 81$ $- 4 \sqrt{x + 25}$
$- 4 \sqrt{x + 25}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 25}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 25$	=	${(x + 13)}^{2}$

x + 25

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25+7}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25-7}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 81}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 81}$

= $\sqrt{- 80 + 81}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{- 16 + 25} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 81}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 81}$

= $\sqrt{- 45 + 81}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{- 9 + 25} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -9

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 9$