Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 6}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{2 x + 6}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$2^{2}$

$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 3 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $- 3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 20} - x$ = $4$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 20} - x$	=	$4$	\| $+ x$
$\sqrt{11 x + 20}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 20$	=	${(x + 4)}^{2}$

11 x + 20

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{11 x + 20} - x$

$=$ $\sqrt{11 \cdot (- 1) + 20} - (- 1)$

= $\sqrt{- 11 + 20} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{11 x + 20} - x$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 4 + 20} - 4$

= $\sqrt{44 + 20} - 4$

= $\sqrt{64} - 4$

= $8 - 4$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 7}$ = $\sqrt{x + 6} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 7}$	=	$\sqrt{x + 6} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(\sqrt{x + 6} + 1)}^{2}$

$3 x + 7$	=	$2 \sqrt{x + 6} + x + 7$	\| $- 3 x$ $- 7$ $- 2 \sqrt{x + 6}$
$- 2 \sqrt{x + 6}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x)}^{2}$

x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7}$

= $\sqrt{- 6 + 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 + 7}$

= $\sqrt{9 + 7}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{3 + 6} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$