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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 8}$ = $4$

$2 \sqrt{2 x + 8}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	$2^{2}$

$2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{41 x + 693}$ = $3 \sqrt{5 x + 81}$

Lösung einblenden

$\sqrt{41 x + 693}$	=	$3 \sqrt{5 x + 81}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$41 x + 693$	=	${(3 \sqrt{5 x + 81})}^{2}$

$41 x + 693$	=	$9 (5 x + 81)$
$41 x + 693$	=	$45 x + 729$	\| $- 693$
$41 x$	=	$45 x + 36$	\| $- 45 x$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{41 x + 693}$

$=$ $\sqrt{41 \cdot (- 9) + 693}$

= $\sqrt{- 369 + 693}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $3 \sqrt{5 x + 81}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 9) + 81}$

= $3 \sqrt{- 45 + 81}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 16}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 16}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 16$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 2)}^{2}$

$7 x + 16$	=	$4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 8$	\| $- 7 x$ $- 16$ $- 4 \sqrt{3 x + 4}$
$- 4 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 16}$

= $\sqrt{- 7 + 16}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 16}$

= $\sqrt{0 + 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 1$