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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 2 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $- 2 \sqrt{12 + 4}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 35}$ = $3 \sqrt{x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 35}$	=	$3 \sqrt{x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 35$	=	${(3 \sqrt{x - 3})}^{2}$

$11 x - 35$	=	$9 (x - 3)$
$11 x - 35$	=	$9 x - 27$	\| $+ 35$
$11 x$	=	$9 x + 8$	\| $- 9 x$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{11 x - 35}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 4 - 35}$

= $\sqrt{44 - 35}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{x - 3}$

$=$ $3 \sqrt{4 - 3}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 3}$ = $\sqrt{5 x - 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 3}$	=	$\sqrt{5 x - 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 3$	=	${(\sqrt{5 x - 4} + 1)}^{2}$

$7 x - 3$	=	$2 \sqrt{5 x - 4} + 5 x - 3$	\| $- 7 x$ $+ 3$ $- 2 \sqrt{5 x - 4}$
$- 2 \sqrt{5 x - 4}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

5 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x - 3}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{7 - 3}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 4} + 1$

= $\sqrt{5 - 4} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 3}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 3}$

= $\sqrt{28 - 3}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 4} + 1$

= $\sqrt{20 - 4} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 4

Probe für x = $4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$