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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 17}$ = $- 6$

2 \sqrt{- 2 x + 17}

=

- 6

|:

2

\sqrt{- 2 x + 17}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 39 x + 79} + 3 x$ = $5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 39 x + 79} + 3 x$	=	$5$	\| $- 3 x$
$\sqrt{- 39 x + 79}$	=	$- 3 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 39 x + 79$	=	${(- 3 x + 5)}^{2}$

- 39 x + 79

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 9 x + 54

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 39 x + 79} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot (- 3) + 79} + 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{117 + 79} - 9$

= $\sqrt{196} - 9$

= $14 - 9$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $5$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 39 x + 79} + 3 x$

$=$ $\sqrt{- 39 \cdot 2 + 79} + 3 \cdot 2$

= $\sqrt{- 78 + 79} + 6$

= $\sqrt{1} + 6$

= $1 + 6$

= $7$

Rechte Seite:

x = $2$ in $5$

$=$ $5$

Also 7 ≠ 5

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 4}$ = $\sqrt{3 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 4}$	=	$\sqrt{3 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(\sqrt{3 x + 9} + 1)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$2 \sqrt{3 x + 9} + 3 x + 10$	\| $- 5 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{3 x + 9}$
$- 2 \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$3 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 9 x$	=	0
$x (- x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 9} + 1$

= $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 + 4}$

= $\sqrt{45 + 4}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 + 9} + 1$

= $\sqrt{27 + 9} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $9$