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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 6}$ = $- 2$

$- \sqrt{x + 6}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	$2^{2}$

$x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- \sqrt{x + 6}$

$=$ $- \sqrt{- 2 + 6}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 20}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 20}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 20$	=	${(2 x)}^{2}$

- 16 x + 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot 1 + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 72}$ = $\sqrt{2 x + 43} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 72}$	=	$\sqrt{2 x + 43} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 72$	=	${(\sqrt{2 x + 43} + 1)}^{2}$

$4 x + 72$	=	$2 \sqrt{2 x + 43} + 2 x + 44$	\| $- 4 x$ $- 72$ $- 2 \sqrt{2 x + 43}$
$- 2 \sqrt{2 x + 43}$	=	$- 2 x - 28$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 43}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 43$	=	${(x + 14)}^{2}$

2 x + 43

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 153)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 612}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26+8}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26-8}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 153$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 153$ = $169$ $-$ $153$ = $16$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 13$ - $4$ = -17

x₂ = $- 13$ + $4$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{4 x + 72}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 17) + 72}$

= $\sqrt{- 68 + 72}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{2 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 17) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 34 + 43} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 72}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 72}$

= $\sqrt{- 36 + 72}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -9

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 9$