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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 31}$ = $- 4$

$- \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- \sqrt{- 15 + 31}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 20}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 20}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 20$	=	${(2 x)}^{2}$

16 x + 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 1) + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 5 + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 127}$ = $\sqrt{3 x + 63} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 127}$	=	$\sqrt{3 x + 63} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 127$	=	${(\sqrt{3 x + 63} + 2)}^{2}$

$7 x + 127$	=	$4 \sqrt{3 x + 63} + 3 x + 67$	\| $- 7 x$ $- 127$ $- 4 \sqrt{3 x + 63}$
$- 4 \sqrt{3 x + 63}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 63}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 63$	=	${(x + 15)}^{2}$

3 x + 63

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 162)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27+9}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27-9}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 27 x + 162$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{2})}^{2} - 162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $\frac{648}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{27}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{27}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{36}{2}$ = -18

x₂ = $- \frac{27}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{7 x + 127}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 18) + 127}$

= $\sqrt{- 126 + 127}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{3 x + 63} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 18) + 63} + 2$

= $\sqrt{- 54 + 63} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 127}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 127}$

= $\sqrt{- 63 + 127}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 63} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 63} + 2$

= $\sqrt{- 27 + 63} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 9$