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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $- 3 \sqrt{6 + 3}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 10$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 5) - 10}$

= $\sqrt{35 - 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 2) - 10}$

= $\sqrt{14 - 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 73}$ = $\sqrt{2 x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 73}$	=	$\sqrt{2 x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 73$	=	${(\sqrt{2 x + 25} + 2)}^{2}$

$6 x + 73$	=	$4 \sqrt{2 x + 25} + 2 x + 29$	\| $- 6 x$ $- 73$ $- 4 \sqrt{2 x + 25}$
$- 4 \sqrt{2 x + 25}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	${(x + 11)}^{2}$

2 x + 25

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 96)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20+4}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20-4}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 96$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 96$ = $100$ $-$ $96$ = $4$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 10$ - $2$ = -12

x₂ = $- 10$ + $2$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 12) + 73}$

= $\sqrt{- 72 + 73}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 12) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 73}$

= $\sqrt{- 48 + 73}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 25} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -8

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 8$