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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 16}$ = $- 4$

\sqrt{- 2 x + 16}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x - 16}$ = $2 x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x - 16}$	=	$2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x - 16$	=	${(2 x + 2)}^{2}$

- 16 x - 16

=

4 x^{2} + 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

- 8 x

- 4

- 4 x^{2} - 24 x - 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) - 16}$

= $\sqrt{80 - 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x + 2$

$=$ $2 \cdot (- 5) + 2$

= $- 10 + 2$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 16 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 1) - 16}$

= $\sqrt{16 - 16}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x + 2$

$=$ $2 \cdot (- 1) + 2$

= $- 2 + 2$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 112}$ = $\sqrt{4 x + 60} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 112}$	=	$\sqrt{4 x + 60} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 112$	=	${(\sqrt{4 x + 60} + 2)}^{2}$

$8 x + 112$	=	$4 \sqrt{4 x + 60} + 4 x + 64$	\| $- 8 x$ $- 112$ $- 4 \sqrt{4 x + 60}$
$- 4 \sqrt{4 x + 60}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 60}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 60$	=	${(x + 12)}^{2}$

4 x + 60

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 20 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 336}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{20+8}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{20-8}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 84$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 84$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 84$ = $100$ $-$ $84$ = $16$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 10$ - $4$ = -14

x₂ = $- 10$ + $4$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{8 x + 112}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 14) + 112}$

= $\sqrt{- 112 + 112}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{4 x + 60} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 14) + 60} + 2$

= $\sqrt{- 56 + 60} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{8 x + 112}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 6) + 112}$

= $\sqrt{- 48 + 112}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 60} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 60} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 60} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 6$