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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x - 24}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x - 24}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x - 24$	=	${(2 x)}^{2}$

- 20 x - 24

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 20 x - 24

= 0 |:4

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 3) - 24}$

= $\sqrt{60 - 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 2) - 24}$

= $\sqrt{40 - 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 99}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 99}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 99$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 2)}^{2}$

$7 x + 99$	=	$4 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 47$	\| $- 7 x$ $- 99$ $- 4 \sqrt{3 x + 43}$
$- 4 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23+5}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23-5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 126$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{504}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{7 x + 99}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 14) + 99}$

= $\sqrt{- 98 + 99}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 14) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 42 + 43} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 99}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 99}$

= $\sqrt{- 63 + 99}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 27 + 43} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -9

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 9$