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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 1}$ = $2$

$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 1}$

$=$ $\sqrt{3 + 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 69 x - 107} - 3 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 69 x - 107} - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 69 x - 107}$	=	$3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 69 x - 107$	=	${(3 x - 1)}^{2}$

- 69 x - 107

=

9 x^{2} - 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

+ 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 63 x - 108

= 0 |:9

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 69 x - 107} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 4) - 107} - 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{276 - 107} + 12$

= $\sqrt{169} + 12$

= $13 + 12$

= $25$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 25 ≠ -1

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 69 x - 107} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 3) - 107} - 3 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{207 - 107} + 9$

= $\sqrt{100} + 9$

= $10 + 9$

= $19$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 19 ≠ -1

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 17}$ = $\sqrt{2 x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 17}$	=	$\sqrt{2 x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 17$	=	${(\sqrt{2 x - 5} + 2)}^{2}$

$6 x - 17$	=	$4 \sqrt{2 x - 5} + 2 x - 1$	\| $- 6 x$ $+ 17$ $- 4 \sqrt{2 x - 5}$
$- 4 \sqrt{2 x - 5}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 5}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 5$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x - 5

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 17}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{18 - 17}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 5} + 2$

= $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{6 x - 17}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 7 - 17}$

= $\sqrt{42 - 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{2 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 7 - 5} + 2$

= $\sqrt{14 - 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$