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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$4^{2}$

$3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- 3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$

= $- 3 \sqrt{15 + 1}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 44}$ = $2 \sqrt{2 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 44}$	=	$2 \sqrt{2 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(2 \sqrt{2 x + 13})}^{2}$

$4 x + 44$	=	$4 (2 x + 13)$
$4 x + 44$	=	$8 x + 52$	\| $- 44$
$4 x$	=	$8 x + 8$	\| $- 8 x$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 44}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 44}$

= $\sqrt{- 8 + 44}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 13}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 13}$

= $2 \sqrt{- 4 + 13}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{4 x + 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{4 x + 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{4 x + 8} + 1)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$2 \sqrt{4 x + 8} + 4 x + 9$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 2 \sqrt{4 x + 8}$
$- 2 \sqrt{4 x + 8}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 8}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 8$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 8} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 8} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 + 13}$

= $\sqrt{12 + 13}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 + 8} + 1$

= $\sqrt{8 + 8} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$