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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 8}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{2 x + 8}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	$2^{2}$

$2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 3 \sqrt{2 x + 8}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $- 3 \sqrt{- 4 + 8}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x - 44} + 2 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x - 44} + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$\sqrt{- 16 x - 44}$	=	$- 2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x - 44$	=	${(- 2 x - 4)}^{2}$

- 16 x - 44

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x - 44} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) - 44} + 2 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{80 - 44} - 10$

= $\sqrt{36} - 10$

= $6 - 10$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 16 x - 44} + 2 x$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 3) - 44} + 2 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{48 - 44} - 6$

= $\sqrt{4} - 6$

= $2 - 6$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 45}$ = $\sqrt{2 x + 26} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 45}$	=	$\sqrt{2 x + 26} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 45$	=	${(\sqrt{2 x + 26} + 1)}^{2}$

$4 x + 45$	=	$2 \sqrt{2 x + 26} + 2 x + 27$	\| $- 4 x$ $- 45$ $- 2 \sqrt{2 x + 26}$
$- 2 \sqrt{2 x + 26}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 26}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	${(x + 9)}^{2}$

2 x + 26

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 55)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 220}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16+6}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16-6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 55$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 55$ = $64$ $-$ $55$ = $9$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 8$ - $3$ = -11

x₂ = $- 8$ + $3$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 45}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 45}$

= $\sqrt{- 44 + 45}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{2 x + 26} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 11) + 26} + 1$

= $\sqrt{- 22 + 26} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{4 x + 45}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 5) + 45}$

= $\sqrt{- 20 + 45}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 26} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 26} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 26} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 5$