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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 15}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{2 x + 15}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 3 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $- 3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{13 x + 92}$ = $2 \sqrt{4 x + 17}$

Lösung einblenden

$\sqrt{13 x + 92}$	=	$2 \sqrt{4 x + 17}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$13 x + 92$	=	${(2 \sqrt{4 x + 17})}^{2}$

$13 x + 92$	=	$4 (4 x + 17)$
$13 x + 92$	=	$16 x + 68$	\| $- 92$
$13 x$	=	$16 x - 24$	\| $- 16 x$
$- 3 x$	=	$- 24$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{13 x + 92}$

$=$ $\sqrt{13 \cdot 8 + 92}$

= $\sqrt{104 + 92}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{4 x + 17}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 8 + 17}$

= $2 \sqrt{32 + 17}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 8}$ = $\sqrt{2 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 8}$	=	$\sqrt{2 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(\sqrt{2 x + 5} + 1)}^{2}$

$4 x + 8$	=	$2 \sqrt{2 x + 5} + 2 x + 6$	\| $- 4 x$ $- 8$ $- 2 \sqrt{2 x + 5}$
$- 2 \sqrt{2 x + 5}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 5}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 5$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 8}$

= $\sqrt{- 8 + 8}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 + 8}$

= $\sqrt{8 + 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 1$

= $\sqrt{4 + 5} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$