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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $6$

$3 \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot 1 + 6}$

= $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 15 x - 11} + 5$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 15 x - 11} + 5$	=	$- 3 x$	\| $- 5$
$\sqrt{- 15 x - 11}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 15 x - 11$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

- 15 x - 11

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 45 x - 36

= 0 |:9

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 15 x - 11} + 5$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot (- 4) - 11} + 5$

= $\sqrt{60 - 11} + 5$

= $\sqrt{49} + 5$

= $7 + 5$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 4)$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 15 x - 11} + 5$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot (- 1) - 11} + 5$

= $\sqrt{15 - 11} + 5$

= $\sqrt{4} + 5$

= $2 + 5$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 1)$

= $3$

Also 7 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 5}$ = $\sqrt{x - 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 5}$	=	$\sqrt{x - 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 5$	=	${(\sqrt{x - 2} + 1)}^{2}$

$3 x - 5$	=	$2 \sqrt{x - 2} + x - 1$	\| $- 3 x$ $+ 5$ $- 2 \sqrt{x - 2}$
$- 2 \sqrt{x - 2}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x - 2}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 2$	=	${(x - 2)}^{2}$

x - 2

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 5}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 - 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 5}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 5}$

= $\sqrt{9 - 5}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{3 - 2} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$