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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 2}$ = $3$

$3 \sqrt{x + 2}$	=	$3$	\|: $3$
$\sqrt{x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$1^{2}$

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{x + 2}$

$=$ $3 \sqrt{- 1 + 2}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 80}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 80}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 80$	=	${(2 x)}^{2}$

4 x + 80

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 80}$

= $\sqrt{- 16 + 80}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 + 80}$

= $\sqrt{20 + 80}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 1}$ = $\sqrt{3 x + 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 1}$	=	$\sqrt{3 x + 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 1$	=	${(\sqrt{3 x + 9} + 2)}^{2}$

$7 x + 1$	=	$4 \sqrt{3 x + 9} + 3 x + 13$	\| $- 7 x$ $- 1$ $- 4 \sqrt{3 x + 9}$
$- 4 \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$3 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 9 x$	=	0
$x (- x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 1}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 1}$

= $\sqrt{0 + 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 9} + 2$

= $\sqrt{0 + 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x + 1}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 + 1}$

= $\sqrt{63 + 1}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 + 9} + 2$

= $\sqrt{27 + 9} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$