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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 9}$ = $- 3$

$- \sqrt{- x + 9}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 9$	=	$3^{2}$

$- x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- \sqrt{- x + 9}$

$=$ $- \sqrt{- (0) + 9}$

= $- \sqrt{0 + 9}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 10 x + 34} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 10 x + 34} - 5$	=	$- x$	\| $+ 5$
$\sqrt{- 10 x + 34}$	=	$- x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 10 x + 34$	=	${(- x + 5)}^{2}$

$- 10 x + 34$	=	$x^{2} - 10 x + 25$	\| $- 34$
$- 10 x$	=	$x^{2} - 10 x - 9$	\| $- x^{2}$ $+ 10 x$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 10 x + 34} - 5$

$=$ $\sqrt{- 10 \cdot (- 3) + 34} - 5$

= $\sqrt{30 + 34} - 5$

= $\sqrt{64} - 5$

= $8 - 5$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- x$

$=$ $- (- 3)$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 10 x + 34} - 5$

$=$ $\sqrt{- 10 \cdot 3 + 34} - 5$

= $\sqrt{- 30 + 34} - 5$

= $\sqrt{4} - 5$

= $2 - 5$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 112}$ = $\sqrt{5 x + 81} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 112}$	=	$\sqrt{5 x + 81} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 112$	=	${(\sqrt{5 x + 81} + 1)}^{2}$

$7 x + 112$	=	$2 \sqrt{5 x + 81} + 5 x + 82$	\| $- 7 x$ $- 112$ $- 2 \sqrt{5 x + 81}$
$- 2 \sqrt{5 x + 81}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

5 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25+7}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25-7}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{7 x + 112}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 16) + 112}$

= $\sqrt{- 112 + 112}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 80 + 81} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 112}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 112}$

= $\sqrt{- 63 + 112}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 45 + 81} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 9$