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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 8$

2 \sqrt{3 x + 4}

=

- 8

|:

2

\sqrt{3 x + 4}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{27 x + 189} + 3 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{27 x + 189} + 3 x$	=	$- 3$	\| $- 3 x$
$\sqrt{27 x + 189}$	=	$- 3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$27 x + 189$	=	${(- 3 x - 3)}^{2}$

27 x + 189

=

9 x^{2} + 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

- 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{27 x + 189} + 3 x$

$=$ $\sqrt{27 \cdot (- 4) + 189} + 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 108 + 189} - 12$

= $\sqrt{81} - 12$

= $9 - 12$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{27 x + 189} + 3 x$

$=$ $\sqrt{27 \cdot 5 + 189} + 3 \cdot 5$

= $\sqrt{135 + 189} + 15$

= $\sqrt{324} + 15$

= $18 + 15$

= $33$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 33 ≠ -3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 9}$ = $\sqrt{2 x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 9}$	=	$\sqrt{2 x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 9$	=	${(\sqrt{2 x - 5} + 2)}^{2}$

$6 x - 9$	=	$4 \sqrt{2 x - 5} + 2 x - 1$	\| $- 6 x$ $+ 9$ $- 4 \sqrt{2 x - 5}$
$- 4 \sqrt{2 x - 5}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 5}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 5$	=	${(x - 2)}^{2}$

2 x - 5

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 9}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 9}$

= $\sqrt{18 - 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 5} + 2$

= $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$