Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 1$

\sqrt{- 3 x + 1}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 76}$ = $- 2 x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 76}$	=	$- 2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 76$	=	${(- 2 x + 2)}^{2}$

28 x - 76

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} + 36 x - 80

= 0 |:4

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{28 x - 76}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 4 - 76}$

= $\sqrt{112 - 76}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot 4 + 2$

= $- 8 + 2$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{28 x - 76}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 5 - 76}$

= $\sqrt{140 - 76}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot 5 + 2$

= $- 10 + 2$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 23}$ = $\sqrt{2 x - 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 23}$	=	$\sqrt{2 x - 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 23$	=	${(\sqrt{2 x - 7} + 2)}^{2}$

$6 x - 23$	=	$4 \sqrt{2 x - 7} + 2 x - 3$	\| $- 6 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{2 x - 7}$
$- 4 \sqrt{2 x - 7}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 7}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 7$	=	${(x - 5)}^{2}$

2 x - 7

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 32)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12+4}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 12-4}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 32$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 32$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $6$ - $2$ = 4

x₂ = $6$ + $2$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 23}$

= $\sqrt{24 - 23}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 7} + 2$

= $\sqrt{8 - 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x - 23}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 - 23}$

= $\sqrt{48 - 23}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 - 7} + 2$

= $\sqrt{16 - 7} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 8

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $8$