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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{(- x)}$ = $1$

$\sqrt{(- x)}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x$	=	$1^{2}$

$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{(- x)}$

$=$ $\sqrt{(- (- 1))}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $1$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x - 20}$ = $- 3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x - 20}$	=	$- 3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x - 20$	=	${(- 3 x + 4)}^{2}$

21 x - 20

=

9 x^{2} - 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

+ 24 x

- 16

- 9 x^{2} + 45 x - 36

= 0 |:9

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{21 x - 20}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 1 - 20}$

= $\sqrt{21 - 20}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot 1 + 4$

= $- 3 + 4$

= $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{21 x - 20}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot 4 - 20}$

= $\sqrt{84 - 20}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot 4 + 4$

= $- 12 + 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 15}$ = $\sqrt{5 x + 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 15}$	=	$\sqrt{5 x + 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 15$	=	${(\sqrt{5 x + 14} + 1)}^{2}$

$7 x + 15$	=	$2 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 15$	\| $- 7 x$ $- 15$ $- 2 \sqrt{5 x + 14}$
$- 2 \sqrt{5 x + 14}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 14}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(x)}^{2}$

5 x + 14

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 15}$

= $\sqrt{- 14 + 15}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 7 + 15}$

= $\sqrt{49 + 15}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 + 14} + 1$

= $\sqrt{35 + 14} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $7$