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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 8}$ = $4$

$2 \sqrt{- x + 8}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 8$	=	$2^{2}$

$- x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{- x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $2 \cdot 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 5$	=	${(x)}^{2}$

6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 85}$ = $\sqrt{4 x + 60} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 85}$	=	$\sqrt{4 x + 60} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 85$	=	${(\sqrt{4 x + 60} + 1)}^{2}$

$6 x + 85$	=	$2 \sqrt{4 x + 60} + 4 x + 61$	\| $- 6 x$ $- 85$ $- 2 \sqrt{4 x + 60}$
$- 2 \sqrt{4 x + 60}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 60}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 60$	=	${(x + 12)}^{2}$

4 x + 60

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 20 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 336}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{20+8}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{20-8}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 84$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 84$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 84$ = $100$ $-$ $84$ = $16$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 10$ - $4$ = -14

x₂ = $- 10$ + $4$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{6 x + 85}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 14) + 85}$

= $\sqrt{- 84 + 85}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{4 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 14) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 56 + 60} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 85}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 85}$

= $\sqrt{- 36 + 85}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 60} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -6

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 6$