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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 1}$ = $4$

$2 \sqrt{x + 1}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{3 + 1}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x - 44}$ = $2 \sqrt{3 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x - 44}$	=	$2 \sqrt{3 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x - 44$	=	${(2 \sqrt{3 x - 8})}^{2}$

$15 x - 44$	=	$4 (3 x - 8)$
$15 x - 44$	=	$12 x - 32$	\| $+ 44$
$15 x$	=	$12 x + 12$	\| $- 12 x$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{15 x - 44}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 4 - 44}$

= $\sqrt{60 - 44}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{3 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 4 - 8}$

= $2 \sqrt{12 - 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 91}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 91}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 91$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 2)}^{2}$

$7 x + 91$	=	$4 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 47$	\| $- 7 x$ $- 91$ $- 4 \sqrt{3 x + 43}$
$- 4 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 11)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 91}$

= $\sqrt{- 91 + 91}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 39 + 43} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$