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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 2}$ = $- 1$

$- \sqrt{x + 2}$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$1^{2}$

$x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{x + 2}$

$=$ $- \sqrt{- 1 + 2}$

= $- \sqrt{1}$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 55} + 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 55} + 1$	=	$- 3 x$	\| $- 1$
$\sqrt{- 3 x + 55}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 55$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

- 3 x + 55

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 9 x + 54

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 3 x + 55} + 1$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 3) + 55} + 1$

= $\sqrt{9 + 55} + 1$

= $\sqrt{64} + 1$

= $8 + 1$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 3)$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 3 x + 55} + 1$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 2 + 55} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 55} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

Also 8 ≠ -6

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 112}$ = $\sqrt{4 x + 81} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 112}$	=	$\sqrt{4 x + 81} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 112$	=	${(\sqrt{4 x + 81} + 1)}^{2}$

$6 x + 112$	=	$2 \sqrt{4 x + 81} + 4 x + 82$	\| $- 6 x$ $- 112$ $- 2 \sqrt{4 x + 81}$
$- 2 \sqrt{4 x + 81}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

4 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26+10}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26-10}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 144$ = $169$ $-$ $144$ = $25$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 13$ - $5$ = -18

x₂ = $- 13$ + $5$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{6 x + 112}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 18) + 112}$

= $\sqrt{- 108 + 112}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{4 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 18) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 72 + 81} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 112}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 112}$

= $\sqrt{- 48 + 112}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 32 + 81} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -8

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 8$