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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 7}$ = $- 2$

$- \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $- \sqrt{- 3 + 7}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 12}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

- 8 x + 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 3) + 12}$

= $\sqrt{24 + 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x - 3$

$=$ $- 3 - 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 8 x + 12}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 1 + 12}$

= $\sqrt{- 8 + 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x - 3$

$=$ $1 - 3$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 20}$ = $\sqrt{3 x - 11} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 20}$	=	$\sqrt{3 x - 11} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 20$	=	${(\sqrt{3 x - 11} + 1)}^{2}$

$5 x - 20$	=	$2 \sqrt{3 x - 11} + 3 x - 10$	\| $- 5 x$ $+ 20$ $- 2 \sqrt{3 x - 11}$
$- 2 \sqrt{3 x - 11}$	=	$- 2 x + 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x - 11}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 11$	=	${(x - 5)}^{2}$

3 x - 11

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13+5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13-5}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 20}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 20}$

= $\sqrt{20 - 20}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 11} + 1$

= $\sqrt{12 - 11} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x - 20}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 - 20}$

= $\sqrt{45 - 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 11} + 1$

= $\sqrt{27 - 11} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$