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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 17$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot 4 + 17}$

= $- 3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 20}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 20}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 20$	=	${(- 2 x)}^{2}$

16 x + 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 1) + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 5 + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 5$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 34}$ = $\sqrt{x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 34}$	=	$\sqrt{x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 34$	=	${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

$5 x + 34$	=	$4 \sqrt{x + 6} + x + 10$	\| $- 5 x$ $- 34$ $- 4 \sqrt{x + 6}$
$- 4 \sqrt{x + 6}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x + 6)}^{2}$

x + 6

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11+1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{11-1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 34}$

= $\sqrt{- 30 + 34}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 34}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 34}$

= $\sqrt{- 25 + 34}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -5

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 5$