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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 3}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	$3^{2}$

$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $- \sqrt{6 + 3}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{30 x + 169} + 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{30 x + 169} + 3 x$	=	$- 5$	\| $- 3 x$
$\sqrt{30 x + 169}$	=	$- 3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$30 x + 169$	=	${(- 3 x - 5)}^{2}$

$30 x + 169$	=	$9 x^{2} + 30 x + 25$	\| $- 169$
$30 x$	=	$9 x^{2} + 30 x - 144$	\| $- 9 x^{2}$ $- 30 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 144$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{30 x + 169} + 3 x$

$=$ $\sqrt{30 \cdot (- 4) + 169} + 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 120 + 169} - 12$

= $\sqrt{49} - 12$

= $7 - 12$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{30 x + 169} + 3 x$

$=$ $\sqrt{30 \cdot 4 + 169} + 3 \cdot 4$

= $\sqrt{120 + 169} + 12$

= $\sqrt{289} + 12$

= $17 + 12$

= $29$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 29 ≠ -5

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 20}$ = $\sqrt{2 x - 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 20}$	=	$\sqrt{2 x - 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 20$	=	${(\sqrt{2 x - 8} + 2)}^{2}$

$6 x - 20$	=	$4 \sqrt{2 x - 8} + 2 x - 4$	\| $- 6 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{2 x - 8}$
$- 4 \sqrt{2 x - 8}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x - 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10+2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10-2}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 20}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 8} + 2$

= $\sqrt{8 - 8} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x - 20}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{2 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6 - 8} + 2$

= $\sqrt{12 - 8} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 6

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$