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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{3 x + 3}$ = $6$

$2 \sqrt{3 x + 3}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	$3^{2}$

$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{3 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 2 + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 21} - 1$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 21} - 1$	=	$2 x$	\| $+ 1$
$\sqrt{20 x + 21}$	=	$2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 21$	=	${(2 x + 1)}^{2}$

20 x + 21

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{20 x + 21} - 1$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 1) + 21} - 1$

= $\sqrt{- 20 + 21} - 1$

= $\sqrt{1} - 1$

= $1 - 1$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also 0 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{20 x + 21} - 1$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 5 + 21} - 1$

= $\sqrt{100 + 21} - 1$

= $\sqrt{121} - 1$

= $11 - 1$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 153}$ = $\sqrt{4 x + 85} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 153}$	=	$\sqrt{4 x + 85} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 153$	=	${(\sqrt{4 x + 85} + 2)}^{2}$

$8 x + 153$	=	$4 \sqrt{4 x + 85} + 4 x + 89$	\| $- 8 x$ $- 153$ $- 4 \sqrt{4 x + 85}$
$- 4 \sqrt{4 x + 85}$	=	$- 4 x - 64$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 85}$	=	$x + 16$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 85$	=	${(x + 16)}^{2}$

4 x + 85

=

x^{2} + 32 x + 256

|

- x^{2}

- 32 x

- 256

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 171)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 684}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28+10}{- 2}$ = $\frac{38}{- 2}$ = $- 19$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28-10}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 28 x + 171$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $14^{2} - 171$ = $196$ $-$ $171$ = $25$

x_1,2 = $- 14$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 14$ - $5$ = -19

x₂ = $- 14$ + $5$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 19$

Linke Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{8 x + 153}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 19) + 153}$

= $\sqrt{- 152 + 153}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{4 x + 85} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 19) + 85} + 2$

= $\sqrt{- 76 + 85} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{8 x + 153}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 9) + 153}$

= $\sqrt{- 72 + 153}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 85} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 85} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 85} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -19

Probe für x = -9

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 19$

Probe für x = $- 9$