Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 26}$ = $- 4$

$- \sqrt{2 x + 26}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	$4^{2}$

$2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- \sqrt{2 x + 26}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 5) + 26}$

= $- \sqrt{- 10 + 26}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 20}$ = $2 \sqrt{2 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 20}$	=	$2 \sqrt{2 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 20$	=	${(2 \sqrt{2 x - 8})}^{2}$

$6 x - 20$	=	$4 (2 x - 8)$
$6 x - 20$	=	$8 x - 32$	\| $+ 20$
$6 x$	=	$8 x - 12$	\| $- 8 x$
$- 2 x$	=	$- 12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x - 20}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{2 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 6 - 8}$

= $2 \sqrt{12 - 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 34}$ = $\sqrt{x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 34}$	=	$\sqrt{x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 34$	=	${(\sqrt{x + 15} + 1)}^{2}$

$3 x + 34$	=	$2 \sqrt{x + 15} + x + 16$	\| $- 3 x$ $- 34$ $- 2 \sqrt{x + 15}$
$- 2 \sqrt{x + 15}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 15}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 15$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 15

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17+5}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17-5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 66$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{3 x + 34}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 11) + 34}$

= $\sqrt{- 33 + 34}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{- 11 + 15} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 34}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 34}$

= $\sqrt{- 18 + 34}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 6$