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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 14}$ = $9$

$3 \sqrt{- x + 14}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{- x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $3 \sqrt{9}$

= $3 \cdot 3$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 28}$ = $- 3 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 28}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 28$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

- 12 x + 28

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 18 x + 27

= 0 |:9

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x + 28}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) + 28}$

= $\sqrt{36 + 28}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot (- 3) - 1$

= $9 - 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 12 x + 28}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 1 + 28}$

= $\sqrt{- 12 + 28}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot 1 - 1$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 113}$ = $\sqrt{3 x + 57} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 113}$	=	$\sqrt{3 x + 57} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 113$	=	${(\sqrt{3 x + 57} + 2)}^{2}$

$7 x + 113$	=	$4 \sqrt{3 x + 57} + 3 x + 61$	\| $- 7 x$ $- 113$ $- 4 \sqrt{3 x + 57}$
$- 4 \sqrt{3 x + 57}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23+9}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23-9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{448}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{7 x + 113}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 16) + 113}$

= $\sqrt{- 112 + 113}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{3 x + 57} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 16) + 57} + 2$

= $\sqrt{- 48 + 57} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{7 x + 113}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 7) + 113}$

= $\sqrt{- 49 + 113}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 57} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 57} + 2$

= $\sqrt{- 21 + 57} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -7

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 7$