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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 4}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- x + 4}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 3 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $- 3 \sqrt{5 + 4}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{35 x - 34}$ = $3 \sqrt{4 x - 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{35 x - 34}$	=	$3 \sqrt{4 x - 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$35 x - 34$	=	${(3 \sqrt{4 x - 4})}^{2}$

$35 x - 34$	=	$9 (4 x - 4)$
$35 x - 34$	=	$36 x - 36$	\| $+ 34$
$35 x$	=	$36 x - 2$	\| $- 36 x$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{35 x - 34}$

$=$ $\sqrt{35 \cdot 2 - 34}$

= $\sqrt{70 - 34}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{4 x - 4}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 2 - 4}$

= $3 \sqrt{8 - 4}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 46}$ = $\sqrt{2 x + 14} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 46}$	=	$\sqrt{2 x + 14} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 46$	=	${(\sqrt{2 x + 14} + 2)}^{2}$

$6 x + 46$	=	$4 \sqrt{2 x + 14} + 2 x + 18$	\| $- 6 x$ $- 46$ $- 4 \sqrt{2 x + 14}$
$- 4 \sqrt{2 x + 14}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 14}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 14$	=	${(x + 7)}^{2}$

2 x + 14

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12+2}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12-2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 6$ - $1$ = -7

x₂ = $- 6$ + $1$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 46}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 46}$

= $\sqrt{- 42 + 46}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 14} + 2$

= $\sqrt{- 14 + 14} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 46}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 46}$

= $\sqrt{- 30 + 46}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 14} + 2$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 5$