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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$ = $12$

- 3 \sqrt{3 x + 4}

=

12

|:(

- 3

)

\sqrt{3 x + 4}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 48}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 48}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 48$	=	${(2 x)}^{2}$

- 4 x + 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 4) + 48}$

= $\sqrt{16 + 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 3 + 48}$

= $\sqrt{- 12 + 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 41}$ = $\sqrt{2 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 41}$	=	$\sqrt{2 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 41$	=	${(\sqrt{2 x + 24} + 1)}^{2}$

$4 x + 41$	=	$2 \sqrt{2 x + 24} + 2 x + 25$	\| $- 4 x$ $- 41$ $- 2 \sqrt{2 x + 24}$
$- 2 \sqrt{2 x + 24}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 10) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 41}$

= $\sqrt{- 16 + 41}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 24} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 4$