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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 4$

2 \sqrt{3 x + 4}

=

- 4

|:

2

\sqrt{3 x + 4}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 0}$ = $2 \sqrt{x + 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 0}$	=	$2 \sqrt{x + 2}$
$2,8284 \sqrt{x}$	=	$2 \sqrt{x + 2}$	\|: $2,8284$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{2}{2,8284} \sqrt{x + 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{2}{2,8284} \sqrt{x + 2})}^{2}$

$x$	=	$\frac{4}{8} (x + 2)$
$x$	=	$\frac{4}{8} x + \frac{8}{8}$	\|⋅ 64
$64 x$	=	$64 (\frac{4}{8} x + \frac{8}{8})$
$64 x$	=	$32 x + 64$	\| $- 32 x$
$32 x$	=	$64$	\|: $32$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $2,8284 \sqrt{2}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 18}$ = $\sqrt{4 x - 11} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 18}$	=	$\sqrt{4 x - 11} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 18$	=	${(\sqrt{4 x - 11} + 1)}^{2}$

$6 x - 18$	=	$2 \sqrt{4 x - 11} + 4 x - 10$	\| $- 6 x$ $+ 18$ $- 2 \sqrt{4 x - 11}$
$- 2 \sqrt{4 x - 11}$	=	$- 2 x + 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 11}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 11$	=	${(x - 4)}^{2}$

4 x - 11

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12+6}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12-6}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 18}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 18}$

= $\sqrt{18 - 18}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 11} + 1$

= $\sqrt{12 - 11} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 18}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 18}$

= $\sqrt{54 - 18}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{4 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 9 - 11} + 1$

= $\sqrt{36 - 11} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 9

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $9$