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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 26}$ = $- 4$

$- \sqrt{- 2 x + 26}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 26$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$- 2 x$	=	$- 10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- \sqrt{- 2 x + 26}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot 5 + 26}$

= $- \sqrt{- 10 + 26}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 38}$ = $2 \sqrt{x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 38}$	=	$2 \sqrt{x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 38$	=	${(2 \sqrt{x - 5})}^{2}$

$7 x - 38$	=	$4 (x - 5)$
$7 x - 38$	=	$4 x - 20$	\| $+ 38$
$7 x$	=	$4 x + 18$	\| $- 4 x$
$3 x$	=	$18$	\|: $3$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x - 38}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 - 38}$

= $\sqrt{42 - 38}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{x - 5}$

$=$ $2 \sqrt{6 - 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 15}$ = $\sqrt{5 x + 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 15}$	=	$\sqrt{5 x + 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 15$	=	${(\sqrt{5 x + 14} + 1)}^{2}$

$7 x + 15$	=	$2 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 15$	\| $- 7 x$ $- 15$ $- 2 \sqrt{5 x + 14}$
$- 2 \sqrt{5 x + 14}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 14}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(x)}^{2}$

5 x + 14

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 15}$

= $\sqrt{- 14 + 15}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{7 x + 15}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 7 + 15}$

= $\sqrt{49 + 15}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 + 14} + 1$

= $\sqrt{35 + 14} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 7

Probe für x = $5$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $7$