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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 26}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{2 x + 26}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	$4^{2}$

$2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 3 \sqrt{2 x + 26}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 5) + 26}$

= $- 3 \sqrt{- 10 + 26}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 348}$ = $2 \sqrt{4 x + 81}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 348}$	=	$2 \sqrt{4 x + 81}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 348$	=	${(2 \sqrt{4 x + 81})}^{2}$

$19 x + 348$	=	$4 (4 x + 81)$
$19 x + 348$	=	$16 x + 324$	\| $- 348$
$19 x$	=	$16 x - 24$	\| $- 16 x$
$3 x$	=	$- 24$	\|: $3$
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{19 x + 348}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 8) + 348}$

= $\sqrt{- 152 + 348}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $2 \sqrt{4 x + 81}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 8) + 81}$

= $2 \sqrt{- 32 + 81}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 24}$ = $\sqrt{x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 24}$	=	$\sqrt{x - 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 24$	=	${(\sqrt{x - 4} + 2)}^{2}$

$5 x - 24$	=	$4 \sqrt{x - 4} + x$	\| $- 5 x$ $+ 24$ $- 4 \sqrt{x - 4}$
$- 4 \sqrt{x - 4}$	=	$- 4 x + 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 4}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 4$	=	${(x - 6)}^{2}$

x - 4

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 13+3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 13-3}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x - 24}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 - 24}$

= $\sqrt{25 - 24}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 - 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{5 x - 24}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 8 - 24}$

= $\sqrt{40 - 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{8 - 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $5$

Probe für x = $8$