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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 6}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- x + 6}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 3 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 96}$ = $2 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 96}$	=	$2 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 96$	=	${(2 x + 4)}^{2}$

20 x + 96

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} + 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{20 x + 96}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 4) + 96}$

= $\sqrt{- 80 + 96}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x + 4$

$=$ $2 \cdot (- 4) + 4$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{20 x + 96}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 5 + 96}$

= $\sqrt{100 + 96}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x + 4$

$=$ $2 \cdot 5 + 4$

= $10 + 4$

= $14$

Also 14 = 14

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 45}$ = $\sqrt{3 x + 28} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 45}$	=	$\sqrt{3 x + 28} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 45$	=	${(\sqrt{3 x + 28} + 1)}^{2}$

$5 x + 45$	=	$2 \sqrt{3 x + 28} + 3 x + 29$	\| $- 5 x$ $- 45$ $- 2 \sqrt{3 x + 28}$
$- 2 \sqrt{3 x + 28}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	${(x + 8)}^{2}$

3 x + 28

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 45}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 45}$

= $\sqrt{- 45 + 45}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 28} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 9$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 45}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 45}$

= $\sqrt{- 20 + 45}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$