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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 4}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- x + 4}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $- 2 \sqrt{5 + 4}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 15 x + 94}$ = $- 3 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 15 x + 94}$	=	$- 3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 15 x + 94$	=	${(- 3 x - 2)}^{2}$

- 15 x + 94

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 27 x + 90

= 0 |:9

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 15 x + 94}$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot (- 5) + 94}$

= $\sqrt{75 + 94}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x - 2$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) - 2$

= $15 - 2$

= $13$

Also 13 = 13

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 15 x + 94}$

$=$ $\sqrt{- 15 \cdot 2 + 94}$

= $\sqrt{- 30 + 94}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x - 2$

$=$ $- 3 \cdot 2 - 2$

= $- 6 - 2$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 40}$ = $\sqrt{3 x + 25} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 40}$	=	$\sqrt{3 x + 25} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 40$	=	${(\sqrt{3 x + 25} + 1)}^{2}$

$5 x + 40$	=	$2 \sqrt{3 x + 25} + 3 x + 26$	\| $- 5 x$ $- 40$ $- 2 \sqrt{3 x + 25}$
$- 2 \sqrt{3 x + 25}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 25}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 25$	=	${(x + 7)}^{2}$

3 x + 25

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 40}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 40}$

= $\sqrt{- 40 + 40}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 8$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 40}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 15 + 40}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 9 + 25} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$