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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $9$

$3 \sqrt{- 2 x + 15}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 205}$ = $3 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 205}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 205$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 21 x + 205

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 21 x + 205}$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 4) + 205}$

= $\sqrt{84 + 205}$

= $\sqrt{289}$

= $17$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot (- 4) - 5$

= $- 12 - 5$

= $- 17$

Also 17 ≠ -17

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 21 x + 205}$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 5 + 205}$

= $\sqrt{- 105 + 205}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot 5 - 5$

= $15 - 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 52}$ = $\sqrt{2 x + 27} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 52}$	=	$\sqrt{2 x + 27} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 52$	=	${(\sqrt{2 x + 27} + 1)}^{2}$

$4 x + 52$	=	$2 \sqrt{2 x + 27} + 2 x + 28$	\| $- 4 x$ $- 52$ $- 2 \sqrt{2 x + 27}$
$- 2 \sqrt{2 x + 27}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 27}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 27$	=	${(x + 12)}^{2}$

2 x + 27

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 22 x - 117$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 117)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 468}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{22+4}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{22-4}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 117$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 117$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 117$ = $121$ $-$ $117$ = $4$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 11$ - $2$ = -13

x₂ = $- 11$ + $2$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{4 x + 52}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 13) + 52}$

= $\sqrt{- 52 + 52}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{2 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 13) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 26 + 27} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 52}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 18 + 27} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -9

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 9$