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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 26}$ = $4$

- \sqrt{2 x + 26}

=

4

|:(

- 1

)

\sqrt{2 x + 26}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 48} + 4$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 48} + 4$	=	$2 x$	\| $- 4$
$\sqrt{- 8 x + 48}$	=	$2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 48$	=	${(2 x - 4)}^{2}$

- 8 x + 48

=

4 x^{2} - 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 16

- 4 x^{2} + 8 x + 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 8 x + 48} + 4$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 2) + 48} + 4$

= $\sqrt{16 + 48} + 4$

= $\sqrt{64} + 4$

= $8 + 4$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also 12 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 8 x + 48} + 4$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 4 + 48} + 4$

= $\sqrt{- 32 + 48} + 4$

= $\sqrt{16} + 4$

= $4 + 4$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 70}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 70}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 70$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 1)}^{2}$

$5 x + 70$	=	$2 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 44$	\| $- 5 x$ $- 70$ $- 2 \sqrt{3 x + 43}$
$- 2 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23+5}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23-5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 126$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{504}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 14) + 70}$

= $\sqrt{- 70 + 70}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 14) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 42 + 43} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 70}$

= $\sqrt{- 45 + 70}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 43} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -9

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 9$