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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	$3^{2}$

$3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 2 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 80} - 2 x$ = $4$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 80} - 2 x$	=	$4$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{16 x + 80}$	=	$2 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 80$	=	${(2 x + 4)}^{2}$

$16 x + 80$	=	$4 x^{2} + 16 x + 16$	\| $- 80$
$16 x$	=	$4 x^{2} + 16 x - 64$	\| $- 4 x^{2}$ $- 16 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{16 x + 80} - 2 x$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 4) + 80} - 2 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 64 + 80} + 8$

= $\sqrt{16} + 8$

= $4 + 8$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $4$

$=$ $4$

Also 12 ≠ 4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{16 x + 80} - 2 x$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 4 + 80} - 2 \cdot 4$

= $\sqrt{64 + 80} - 8$

= $\sqrt{144} - 8$

= $12 - 8$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 37}$ = $\sqrt{5 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 37}$	=	$\sqrt{5 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 37$	=	${(\sqrt{5 x + 24} + 1)}^{2}$

$7 x + 37$	=	$2 \sqrt{5 x + 24} + 5 x + 25$	\| $- 7 x$ $- 37$ $- 2 \sqrt{5 x + 24}$
$- 2 \sqrt{5 x + 24}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 24}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 24$	=	${(x + 6)}^{2}$

5 x + 24

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 37}$

= $\sqrt{- 28 + 37}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 37}$

= $\sqrt{- 21 + 37}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 24} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$