Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 2}$ = $- 6$

3 \sqrt{2 x + 2}

=

- 6

|:

3

\sqrt{2 x + 2}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 8}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x + 8}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 + 8}$

= $\sqrt{8 + 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 15}$ = $\sqrt{4 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 15}$	=	$\sqrt{4 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 15$	=	${(\sqrt{4 x - 11} + 2)}^{2}$

$8 x - 15$	=	$4 \sqrt{4 x - 11} + 4 x - 7$	\| $- 8 x$ $+ 15$ $- 4 \sqrt{4 x - 11}$
$- 4 \sqrt{4 x - 11}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 11}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 11$	=	${(x - 2)}^{2}$

4 x - 11

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 15}$

= $\sqrt{24 - 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 - 15}$

= $\sqrt{40 - 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 - 11} + 2$

= $\sqrt{20 - 11} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$