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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 15}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	$3^{2}$

$3 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 3 \sqrt{3 x + 15}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 15}$

= $- 3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 208}$ = $2 \sqrt{4 x + 61}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 208}$	=	$2 \sqrt{4 x + 61}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 208$	=	${(2 \sqrt{4 x + 61})}^{2}$

$12 x + 208$	=	$4 (4 x + 61)$
$12 x + 208$	=	$16 x + 244$	\| $- 208$
$12 x$	=	$16 x + 36$	\| $- 16 x$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{12 x + 208}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 9) + 208}$

= $\sqrt{- 108 + 208}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{4 x + 61}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 9) + 61}$

= $2 \sqrt{- 36 + 61}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 91}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 91}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 91$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 2)}^{2}$

$7 x + 91$	=	$4 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 47$	\| $- 7 x$ $- 91$ $- 4 \sqrt{3 x + 43}$
$- 4 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 11)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 91}$

= $\sqrt{- 91 + 91}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 39 + 43} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$