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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 7}$ = $2$

- \sqrt{- 3 x + 7}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{- 3 x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 24} - 4$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 24} - 4$	=	$x$	\| $+ 4$
$\sqrt{10 x + 24}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 24$	=	${(x + 4)}^{2}$

10 x + 24

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{10 x + 24} - 4$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 2) + 24} - 4$

= $\sqrt{- 20 + 24} - 4$

= $\sqrt{4} - 4$

= $2 - 4$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{10 x + 24} - 4$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 4 + 24} - 4$

= $\sqrt{40 + 24} - 4$

= $\sqrt{64} - 4$

= $8 - 4$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 14}$ = $\sqrt{3 x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 14}$	=	$\sqrt{3 x + 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(\sqrt{3 x + 7} + 1)}^{2}$

$5 x + 14$	=	$2 \sqrt{3 x + 7} + 3 x + 8$	\| $- 5 x$ $- 14$ $- 2 \sqrt{3 x + 7}$
$- 2 \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 2 x - 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(x + 3)}^{2}$

3 x + 7

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $\sqrt{- 10 + 14}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 14}$

= $\sqrt{- 5 + 14}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 7} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$