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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$4^{2}$

$2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$2 x$	=	$10$	\|: $2$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- 2 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 5 + 6}$

= $- 2 \sqrt{10 + 6}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 3}$ = $2 \sqrt{2 x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 3}$	=	$2 \sqrt{2 x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 3$	=	${(2 \sqrt{2 x + 3})}^{2}$

$11 x + 3$	=	$4 (2 x + 3)$
$11 x + 3$	=	$8 x + 12$	\| $- 3$
$11 x$	=	$8 x + 9$	\| $- 8 x$
$3 x$	=	$9$	\|: $3$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{11 x + 3}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{33 + 3}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 56}$ = $\sqrt{x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 56}$	=	$\sqrt{x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 56$	=	${(\sqrt{x + 12} + 2)}^{2}$

$5 x + 56$	=	$4 \sqrt{x + 12} + x + 16$	\| $- 5 x$ $- 56$ $- 4 \sqrt{x + 12}$
$- 4 \sqrt{x + 12}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 12}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 12$	=	${(x + 10)}^{2}$

x + 12

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 19 x - 88$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 88)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 352}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{19+3}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{19-3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 88$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 88$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 88$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $88$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{352}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{5 x + 56}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 11) + 56}$

= $\sqrt{- 55 + 56}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{- 11 + 12} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 56}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 56}$

= $\sqrt{- 40 + 56}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{- 8 + 12} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -8

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 8$