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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 1}$ = $6$

$3 \sqrt{x + 1}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{3 + 1}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{33 x + 93}$ = $3 \sqrt{4 x + 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{33 x + 93}$	=	$3 \sqrt{4 x + 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33 x + 93$	=	${(3 \sqrt{4 x + 8})}^{2}$

$33 x + 93$	=	$9 (4 x + 8)$
$33 x + 93$	=	$36 x + 72$	\| $- 93$
$33 x$	=	$36 x - 21$	\| $- 36 x$
$- 3 x$	=	$- 21$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{33 x + 93}$

$=$ $\sqrt{33 \cdot 7 + 93}$

= $\sqrt{231 + 93}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{4 x + 8}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 7 + 8}$

= $3 \sqrt{28 + 8}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 18}$ = $\sqrt{3 x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 18}$	=	$\sqrt{3 x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 18$	=	${(\sqrt{3 x + 6} + 2)}^{2}$

$7 x + 18$	=	$4 \sqrt{3 x + 6} + 3 x + 10$	\| $- 7 x$ $- 18$ $- 4 \sqrt{3 x + 6}$
$- 4 \sqrt{3 x + 6}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 6}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 6$	=	${(x + 2)}^{2}$

3 x + 6

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 18}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 18}$

= $\sqrt{- 14 + 18}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6} + 2$

= $\sqrt{- 6 + 6} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 18}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 18}$

= $\sqrt{7 + 18}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 6} + 2$

= $\sqrt{3 + 6} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$