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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 18}$ = $- 9$

3 \sqrt{- 3 x + 18}

=

- 9

|:

3

\sqrt{- 3 x + 18}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 30}$ = $3 \sqrt{x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 30}$	=	$3 \sqrt{x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 30$	=	${(3 \sqrt{x + 3})}^{2}$

$6 x + 30$	=	$9 (x + 3)$
$6 x + 30$	=	$9 x + 27$	\| $- 30$
$6 x$	=	$9 x - 3$	\| $- 9 x$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x + 30}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 + 30}$

= $\sqrt{6 + 30}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{x + 3}$

$=$ $3 \sqrt{1 + 3}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 40}$ = $\sqrt{x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 40}$	=	$\sqrt{x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 40$	=	${(\sqrt{x + 12} + 2)}^{2}$

$5 x + 40$	=	$4 \sqrt{x + 12} + x + 16$	\| $- 5 x$ $- 40$ $- 4 \sqrt{x + 12}$
$- 4 \sqrt{x + 12}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

x + 12

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 40}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 40}$

= $\sqrt{- 40 + 40}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{- 8 + 12} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 8$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 40}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 15 + 40}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{- 3 + 12} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$