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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 4}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- x + 4}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $- 2 \sqrt{5 + 4}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 181} - 3 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 181} - 3 x$	=	$- 1$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{3 x + 181}$	=	$3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 181$	=	${(3 x - 1)}^{2}$

3 x + 181

=

9 x^{2} - 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

+ 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 181} - 3 x$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 181} - 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 12 + 181} + 12$

= $\sqrt{169} + 12$

= $13 + 12$

= $25$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 25 ≠ -1

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 181} - 3 x$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 181} - 3 \cdot 5$

= $\sqrt{15 + 181} - 15$

= $\sqrt{196} - 15$

= $14 - 15$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 49}$ = $\sqrt{x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 49}$	=	$\sqrt{x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 49$	=	${(\sqrt{x + 24} + 1)}^{2}$

$3 x + 49$	=	$2 \sqrt{x + 24} + x + 25$	\| $- 3 x$ $- 49$ $- 2 \sqrt{x + 24}$
$- 2 \sqrt{x + 24}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 24}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 24$	=	${(x + 12)}^{2}$

x + 24

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23+7}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23-7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 120$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{3 x + 49}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 15) + 49}$

= $\sqrt{- 45 + 49}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{- 15 + 24} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 49}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 49}$

= $\sqrt{- 24 + 49}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{- 8 + 24} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 8$