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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 6}$ = $- 6$

3 \sqrt{x + 6}

=

- 6

|:

3

\sqrt{x + 6}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 13}$ = $2 \sqrt{3 x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 13}$	=	$2 \sqrt{3 x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 13$	=	${(2 \sqrt{3 x - 5})}^{2}$

$11 x - 13$	=	$4 (3 x - 5)$
$11 x - 13$	=	$12 x - 20$	\| $+ 13$
$11 x$	=	$12 x - 7$	\| $- 12 x$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{11 x - 13}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 7 - 13}$

= $\sqrt{77 - 13}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $7$ in $2 \sqrt{3 x - 5}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 7 - 5}$

= $2 \sqrt{21 - 5}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 7}$ = $\sqrt{2 x + 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 7}$	=	$\sqrt{2 x + 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 7$	=	${(\sqrt{2 x + 11} + 2)}^{2}$

$6 x + 7$	=	$4 \sqrt{2 x + 11} + 2 x + 15$	\| $- 6 x$ $- 7$ $- 4 \sqrt{2 x + 11}$
$- 4 \sqrt{2 x + 11}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 11}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 11$	=	${(x - 2)}^{2}$

2 x + 11

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 7}$

= $\sqrt{- 6 + 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 11} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 11} + 2$

= $\sqrt{- 2 + 11} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{6 x + 7}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 7 + 7}$

= $\sqrt{42 + 7}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{2 x + 11} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 7 + 11} + 2$

= $\sqrt{14 + 11} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 7

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $7$