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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2,8284 \sqrt{x}$ = $4$

- 2,8284 \sqrt{x}

=

4

|:(

- 2,8284

)

\sqrt{x}

=

- \frac{4}{2,8284}

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{29 x + 92}$ = $3 \sqrt{3 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{29 x + 92}$	=	$3 \sqrt{3 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$29 x + 92$	=	${(3 \sqrt{3 x + 12})}^{2}$

$29 x + 92$	=	$9 (3 x + 12)$
$29 x + 92$	=	$27 x + 108$	\| $- 92$
$29 x$	=	$27 x + 16$	\| $- 27 x$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{29 x + 92}$

$=$ $\sqrt{29 \cdot 8 + 92}$

= $\sqrt{232 + 92}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{3 x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 8 + 12}$

= $3 \sqrt{24 + 12}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 18}$ = $\sqrt{5 x + 14} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 18}$	=	$\sqrt{5 x + 14} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 18$	=	${(\sqrt{5 x + 14} + 2)}^{2}$

$9 x + 18$	=	$4 \sqrt{5 x + 14} + 5 x + 18$	\| $- 9 x$ $- 18$ $- 4 \sqrt{5 x + 14}$
$- 4 \sqrt{5 x + 14}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 14}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(x)}^{2}$

5 x + 14

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 18}$

= $\sqrt{- 18 + 18}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14} + 2$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 7 + 18}$

= $\sqrt{63 + 18}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x + 14} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 + 14} + 2$

= $\sqrt{35 + 14} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 7

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $7$