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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 4}$ = $2$

$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (0) + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 9 x + 28} - x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 9 x + 28} - x$	=	$- 4$	\| $+ x$
$\sqrt{- 9 x + 28}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 9 x + 28$	=	${(x - 4)}^{2}$

- 9 x + 28

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 9 x + 28} - x$

$=$ $\sqrt{- 9 \cdot (- 4) + 28} - (- 4)$

= $\sqrt{36 + 28} + 4$

= $\sqrt{64} + 4$

= $8 + 4$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 12 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 9 x + 28} - x$

$=$ $\sqrt{- 9 \cdot 3 + 28} - 3$

= $\sqrt{- 27 + 28} - 3$

= $\sqrt{1} - 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -2 ≠ -4

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 92}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 92}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 92$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 2)}^{2}$

$7 x + 92$	=	$4 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 44$	\| $- 7 x$ $- 92$ $- 4 \sqrt{3 x + 40}$
$- 4 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 12)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 416}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21+5}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21-5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 104$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 92}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 92}$

= $\sqrt{- 91 + 92}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 39 + 40} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 92}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 92}$

= $\sqrt{- 56 + 92}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 8$