Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 1}$ = $6$

$3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$2^{2}$

$3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 1 + 1}$

= $3 \sqrt{3 + 1}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 4) - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 29}$ = $\sqrt{2 x + 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 29}$	=	$\sqrt{2 x + 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 29$	=	${(\sqrt{2 x + 14} + 1)}^{2}$

$4 x + 29$	=	$2 \sqrt{2 x + 14} + 2 x + 15$	\| $- 4 x$ $- 29$ $- 2 \sqrt{2 x + 14}$
$- 2 \sqrt{2 x + 14}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 14}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 14$	=	${(x + 7)}^{2}$

2 x + 14

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12+2}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12-2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 6$ - $1$ = -7

x₂ = $- 6$ + $1$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 29}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 29}$

= $\sqrt{- 28 + 29}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 14} + 1$

= $\sqrt{- 14 + 14} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{4 x + 29}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 5) + 29}$

= $\sqrt{- 20 + 29}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 14} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 14} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -5

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 5$