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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3,4641 \sqrt{x}$ = $6$

$3,4641 \sqrt{x}$	=	$6$	\|: $3,4641$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{6}{3,4641}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{6}{3,4641})}^{2}$

x

=

3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $3,4641 \sqrt{x}$

$=$ $3,4641 \sqrt{3}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 41} - 4$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 41} - 4$	=	$x$	\| $+ 4$
$\sqrt{8 x + 41}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 41$	=	${(x + 4)}^{2}$

$8 x + 41$	=	$x^{2} + 8 x + 16$	\| $- 41$
$8 x$	=	$x^{2} + 8 x - 25$	\| $- x^{2}$ $- 8 x$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{8 x + 41} - 4$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 5) + 41} - 4$

= $\sqrt{- 40 + 41} - 4$

= $\sqrt{1} - 4$

= $1 - 4$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also -3 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x + 41} - 4$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 + 41} - 4$

= $\sqrt{40 + 41} - 4$

= $\sqrt{81} - 4$

= $9 - 4$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 6}$ = $\sqrt{x - 2} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 6}$	=	$\sqrt{x - 2} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 6$	=	${(\sqrt{x - 2} + 2)}^{2}$

$5 x - 6$	=	$4 \sqrt{x - 2} + x + 2$	\| $- 5 x$ $+ 6$ $- 4 \sqrt{x - 2}$
$- 4 \sqrt{x - 2}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 2}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 2$	=	${(x - 2)}^{2}$

x - 2

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 - 2} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{3 - 2} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$