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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x}$ = $2$

$2 \sqrt{x}$	=	$2$	\|: $2$
$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

=

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{x}$

$=$ $2 \sqrt{1}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 5}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 5}$	=	$- x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(- x - 1)}^{2}$

$2 x + 5$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x - 1$

$=$ $- (- 2) - 1$

= $2 - 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x + 5}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 + 5}$

= $\sqrt{4 + 5}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- x - 1$

$=$ $- 2 - 1$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 12}$ = $\sqrt{4 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 12}$	=	$\sqrt{4 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 12$	=	${(\sqrt{4 x + 9} + 1)}^{2}$

$6 x + 12$	=	$2 \sqrt{4 x + 9} + 4 x + 10$	\| $- 6 x$ $- 12$ $- 2 \sqrt{4 x + 9}$
$- 2 \sqrt{4 x + 9}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 9}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 9$	=	${(x + 1)}^{2}$

4 x + 9

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 12}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 12}$

= $\sqrt{- 12 + 12}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 9} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 9} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x + 12}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 + 12}$

= $\sqrt{24 + 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 9} + 1$

= $\sqrt{16 + 9} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$