Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 18$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot 3 + 18}$

= $- 2 \sqrt{- 9 + 18}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x - 151}$ = $3 \sqrt{5 x - 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x - 151}$	=	$3 \sqrt{5 x - 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x - 151$	=	${(3 \sqrt{5 x - 15})}^{2}$

$47 x - 151$	=	$9 (5 x - 15)$
$47 x - 151$	=	$45 x - 135$	\| $+ 151$
$47 x$	=	$45 x + 16$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$16$	\|: $2$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{47 x - 151}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot 8 - 151}$

= $\sqrt{376 - 151}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{5 x - 15}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 8 - 15}$

= $3 \sqrt{40 - 15}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 10}$ = $\sqrt{5 x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 10}$	=	$\sqrt{5 x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 10$	=	${(\sqrt{5 x + 6} + 2)}^{2}$

$9 x + 10$	=	$4 \sqrt{5 x + 6} + 5 x + 10$	\| $- 9 x$ $- 10$ $- 4 \sqrt{5 x + 6}$
$- 4 \sqrt{5 x + 6}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 6$	=	${(x)}^{2}$

5 x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5+7}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 5-7}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{9 x + 10}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 1) + 10}$

= $\sqrt{- 9 + 10}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 6} + 2$

= $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{9 x + 10}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 6 + 10}$

= $\sqrt{54 + 10}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 + 6} + 2$

= $\sqrt{30 + 6} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 6

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $6$