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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 1}$

= $- 2 \sqrt{15 + 1}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 3}$ = $- 2 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 3}$	=	$- 2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 3$	=	${(- 2 x - 3)}^{2}$

- 4 x - 3

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 16 x - 12

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 3) - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot (- 3) - 3$

= $6 - 3$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot (- 1) - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 57}$ = $\sqrt{5 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 57}$	=	$\sqrt{5 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 57$	=	${(\sqrt{5 x + 40} + 1)}^{2}$

$7 x + 57$	=	$2 \sqrt{5 x + 40} + 5 x + 41$	\| $- 7 x$ $- 57$ $- 2 \sqrt{5 x + 40}$
$- 2 \sqrt{5 x + 40}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 40}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 40$	=	${(x + 8)}^{2}$

5 x + 40

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 57}$

= $\sqrt{- 56 + 57}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 57}$

= $\sqrt{- 21 + 57}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$