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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot (- 2) + 3}$

= $- 2 \sqrt{6 + 3}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{23 x + 55}$ = $3 \sqrt{3 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{23 x + 55}$	=	$3 \sqrt{3 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$23 x + 55$	=	${(3 \sqrt{3 x + 7})}^{2}$

$23 x + 55$	=	$9 (3 x + 7)$
$23 x + 55$	=	$27 x + 63$	\| $- 55$
$23 x$	=	$27 x + 8$	\| $- 27 x$
$- 4 x$	=	$8$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{23 x + 55}$

$=$ $\sqrt{23 \cdot (- 2) + 55}$

= $\sqrt{- 46 + 55}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 2) + 7}$

= $3 \sqrt{- 6 + 7}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 6}$ = $\sqrt{3 x + 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 6}$	=	$\sqrt{3 x + 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 6$	=	${(\sqrt{3 x + 3} + 1)}^{2}$

$5 x + 6$	=	$2 \sqrt{3 x + 3} + 3 x + 4$	\| $- 5 x$ $- 6$ $- 2 \sqrt{3 x + 3}$
$- 2 \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	${(x + 1)}^{2}$

3 x + 3

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 5 + 6}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 3} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 3} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x + 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 + 6}$

= $\sqrt{10 + 6}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} + 1$

= $\sqrt{6 + 3} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$