Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 8}$ = $- 2$

$- \sqrt{- x + 8}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 8$	=	$2^{2}$

$- x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- \sqrt{- x + 8}$

$=$ $- \sqrt{- 4 + 8}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 3} - 1$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 3} - 1$	=	$2 x$	\| $+ 1$
$\sqrt{- 4 x - 3}$	=	$2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 3$	=	${(2 x + 1)}^{2}$

- 4 x - 3

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} - 8 x - 4

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x - 3} - 1$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) - 3} - 1$

= $\sqrt{4 - 3} - 1$

= $\sqrt{1} - 1$

= $1 - 1$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also 0 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 84}$ = $\sqrt{3 x + 57} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 84}$	=	$\sqrt{3 x + 57} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 84$	=	${(\sqrt{3 x + 57} + 1)}^{2}$

$5 x + 84$	=	$2 \sqrt{3 x + 57} + 3 x + 58$	\| $- 5 x$ $- 84$ $- 2 \sqrt{3 x + 57}$
$- 2 \sqrt{3 x + 57}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23+9}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23-9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{448}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 84}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 84}$

= $\sqrt{- 80 + 84}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{3 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 16) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 48 + 57} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 84}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 84}$

= $\sqrt{- 35 + 84}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 21 + 57} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -7

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 7$