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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 3}$ = $6$

$2 \sqrt{- 2 x + 3}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{44 x + 93}$ = $3 \sqrt{5 x + 10}$

Lösung einblenden

$\sqrt{44 x + 93}$	=	$3 \sqrt{5 x + 10}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$44 x + 93$	=	${(3 \sqrt{5 x + 10})}^{2}$

$44 x + 93$	=	$9 (5 x + 10)$
$44 x + 93$	=	$45 x + 90$	\| $- 93$
$44 x$	=	$45 x - 3$	\| $- 45 x$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{44 x + 93}$

$=$ $\sqrt{44 \cdot 3 + 93}$

= $\sqrt{132 + 93}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x + 10}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 + 10}$

= $3 \sqrt{15 + 10}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 9}$ = $\sqrt{x + 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 9}$	=	$\sqrt{x + 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 9$	=	${(\sqrt{x + 7} + 2)}^{2}$

$5 x - 9$	=	$4 \sqrt{x + 7} + x + 11$	\| $- 5 x$ $+ 9$ $- 4 \sqrt{x + 7}$
$- 4 \sqrt{x + 7}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 7}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 7$	=	${(x - 5)}^{2}$

x + 7

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11+7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11-7}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 9}$

= $\sqrt{10 - 9}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 + 7} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x - 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 - 9}$

= $\sqrt{45 - 9}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{9 + 7} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $9$