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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 7}$ = $2$

$\sqrt{- 3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 7$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $\sqrt{- 3 + 7}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{21 x + 249}$ = $3 \sqrt{2 x + 25}$

Lösung einblenden

$\sqrt{21 x + 249}$	=	$3 \sqrt{2 x + 25}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$21 x + 249$	=	${(3 \sqrt{2 x + 25})}^{2}$

$21 x + 249$	=	$9 (2 x + 25)$
$21 x + 249$	=	$18 x + 225$	\| $- 249$
$21 x$	=	$18 x - 24$	\| $- 18 x$
$3 x$	=	$- 24$	\|: $3$
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{21 x + 249}$

$=$ $\sqrt{21 \cdot (- 8) + 249}$

= $\sqrt{- 168 + 249}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $3 \sqrt{2 x + 25}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 8) + 25}$

= $3 \sqrt{- 16 + 25}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 21}$ = $\sqrt{x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 21}$	=	$\sqrt{x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 21$	=	${(\sqrt{x - 5} + 2)}^{2}$

$5 x - 21$	=	$4 \sqrt{x - 5} + x - 1$	\| $- 5 x$ $+ 21$ $- 4 \sqrt{x - 5}$
$- 4 \sqrt{x - 5}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 5}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 5$	=	${(x - 5)}^{2}$

x - 5

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11+1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11-1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x - 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 - 21}$

= $\sqrt{25 - 21}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{5 - 5} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x - 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 - 21}$

= $\sqrt{30 - 21}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 6

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $5$

Probe für x = $6$