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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 26}$ = $- 12$

3 \sqrt{2 x + 26}

=

- 12

|:

3

\sqrt{2 x + 26}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 61}$ = $2 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 61}$	=	$2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 61$	=	${(2 x + 1)}^{2}$

- 4 x + 61

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} - 8 x + 60

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 61}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{20 + 61}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot (- 5) + 1$

= $- 10 + 1$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 4 x + 61}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 3 + 61}$

= $\sqrt{- 12 + 61}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot 3 + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 27}$ = $\sqrt{2 x + 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 27}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 27$	=	${(\sqrt{2 x + 7} + 2)}^{2}$

$6 x + 27$	=	$4 \sqrt{2 x + 7} + 2 x + 11$	\| $- 6 x$ $- 27$ $- 4 \sqrt{2 x + 7}$
$- 4 \sqrt{2 x + 7}$	=	$- 4 x - 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 7}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 7$	=	${(x + 4)}^{2}$

2 x + 7

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 27}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 27}$

= $\sqrt{- 18 + 27}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 7} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 7} + 2$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$