Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $- 8$

2 \sqrt{- 2 x + 6}

=

- 8

|:

2

\sqrt{- 2 x + 6}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 28}$ = $2 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 28}$	=	$2 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 28$	=	${(2 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$24 x + 28$	=	$4 (5 x + 14)$
$24 x + 28$	=	$20 x + 56$	\| $- 28$
$24 x$	=	$20 x + 28$	\| $- 20 x$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{24 x + 28}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 7 + 28}$

= $\sqrt{168 + 28}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $7$ in $2 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 7 + 14}$

= $2 \sqrt{35 + 14}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 153}$ = $\sqrt{5 x + 89} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 153}$	=	$\sqrt{5 x + 89} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 153$	=	${(\sqrt{5 x + 89} + 2)}^{2}$

$9 x + 153$	=	$4 \sqrt{5 x + 89} + 5 x + 93$	\| $- 9 x$ $- 153$ $- 4 \sqrt{5 x + 89}$
$- 4 \sqrt{5 x + 89}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 89}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 89$	=	${(x + 15)}^{2}$

5 x + 89

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 136)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 544}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25+9}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25-9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 136$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{9 x + 153}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 17) + 153}$

= $\sqrt{- 153 + 153}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{5 x + 89} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 17) + 89} + 2$

= $\sqrt{- 85 + 89} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 153}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 153}$

= $\sqrt{- 72 + 153}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 89} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 89} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 89} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -8

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 8$