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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5,1962 \sqrt{x}$ = $9$

$5,1962 \sqrt{x}$	=	$9$	\|: $5,1962$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{9}{5,1962}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{9}{5,1962})}^{2}$

x

=

3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $5,1962 \sqrt{x}$

$=$ $5,1962 \sqrt{3}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 49}$ = $3 \sqrt{x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 49}$	=	$3 \sqrt{x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 49$	=	${(3 \sqrt{x + 5})}^{2}$

$10 x + 49$	=	$9 (x + 5)$
$10 x + 49$	=	$9 x + 45$	\| $- 49$
$10 x$	=	$9 x - 4$	\| $- 9 x$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{10 x + 49}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 4) + 49}$

= $\sqrt{- 40 + 49}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{- 4 + 5}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 60}$ = $\sqrt{4 x + 28} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 60}$	=	$\sqrt{4 x + 28} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 60$	=	${(\sqrt{4 x + 28} + 2)}^{2}$

$8 x + 60$	=	$4 \sqrt{4 x + 28} + 4 x + 32$	\| $- 8 x$ $- 60$ $- 4 \sqrt{4 x + 28}$
$- 4 \sqrt{4 x + 28}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 28}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 28$	=	${(x + 7)}^{2}$

4 x + 28

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 60}$

= $\sqrt{- 56 + 60}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 28 + 28} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 60}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 60}$

= $\sqrt{- 24 + 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 28} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 28} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$