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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 7}$ = $4$

- 2 \sqrt{- 3 x + 7}

=

4

|:(

- 2

)

\sqrt{- 3 x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 252}$ = $3 \sqrt{2 x + 27}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 252}$	=	$3 \sqrt{2 x + 27}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 252$	=	${(3 \sqrt{2 x + 27})}^{2}$

$19 x + 252$	=	$9 (2 x + 27)$
$19 x + 252$	=	$18 x + 243$	\| $- 252$
$19 x$	=	$18 x - 9$	\| $- 18 x$
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{19 x + 252}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 9) + 252}$

= $\sqrt{- 171 + 252}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $3 \sqrt{2 x + 27}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 9) + 27}$

= $3 \sqrt{- 18 + 27}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $\sqrt{4 x - 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$\sqrt{4 x - 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(\sqrt{4 x - 12} + 2)}^{2}$

$8 x - 20$	=	$4 \sqrt{4 x - 12} + 4 x - 8$	\| $- 8 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{4 x - 12}$
$- 4 \sqrt{4 x - 12}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 12} + 2$

= $\sqrt{12 - 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 - 12} + 2$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$