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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 2 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $- 2 \sqrt{12 + 4}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 7}$ = $2 \sqrt{x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 7}$	=	$2 \sqrt{x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 7$	=	${(2 \sqrt{x - 5})}^{2}$

$x + 7$	=	$4 (x - 5)$
$x + 7$	=	$4 x - 20$	\| $- 7$
$x$	=	$4 x - 27$	\| $- 4 x$
$- 3 x$	=	$- 27$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x + 7}$

$=$ $\sqrt{9 + 7}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{x - 5}$

$=$ $2 \sqrt{9 - 5}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 9}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 9}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 9$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 1)}^{2}$

$5 x + 9$	=	$2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 5$	\| $- 5 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{3 x + 4}$
$- 2 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 9}$

= $\sqrt{- 5 + 9}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 1$