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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 1}$ = $- 4$

2 \sqrt{- x + 1}

=

- 4

|:

2

\sqrt{- x + 1}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 226} - 1$ = $3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 226} - 1$	=	$3 x$	\| $+ 1$
$\sqrt{6 x + 226}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 226$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

$6 x + 226$	=	$9 x^{2} + 6 x + 1$	\| $- 226$
$6 x$	=	$9 x^{2} + 6 x - 225$	\| $- 9 x^{2}$ $- 6 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 225$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 226} - 1$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 226} - 1$

= $\sqrt{- 30 + 226} - 1$

= $\sqrt{196} - 1$

= $14 - 1$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot (- 5)$

= $- 15$

Also 13 ≠ -15

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x + 226} - 1$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 + 226} - 1$

= $\sqrt{30 + 226} - 1$

= $\sqrt{256} - 1$

= $16 - 1$

= $15$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x$

$=$ $3 \cdot 5$

= $15$

Also 15 = 15

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 15}$ = $\sqrt{4 x - 7} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 15}$	=	$\sqrt{4 x - 7} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 15$	=	${(\sqrt{4 x - 7} + 2)}^{2}$

$8 x - 15$	=	$4 \sqrt{4 x - 7} + 4 x - 3$	\| $- 8 x$ $+ 15$ $- 4 \sqrt{4 x - 7}$
$- 4 \sqrt{4 x - 7}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 7}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 7$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 7

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10+6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10-6}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 2 - 15}$

= $\sqrt{16 - 15}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 7} + 2$

= $\sqrt{8 - 7} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 8 - 15}$

= $\sqrt{64 - 15}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x - 7} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 - 7} + 2$

= $\sqrt{32 - 7} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -5

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $8$