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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 7}$ = $2$

$\sqrt{- x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 7$	=	$2^{2}$

$- x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- x + 7}$

$=$ $\sqrt{- 3 + 7}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 48}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 48}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 48$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 4 x + 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 4) + 48}$

= $\sqrt{16 + 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 3 + 48}$

= $\sqrt{- 12 + 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 20}$ = $\sqrt{4 x + 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 20}$	=	$\sqrt{4 x + 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 20$	=	${(\sqrt{4 x + 8} + 2)}^{2}$

$8 x + 20$	=	$4 \sqrt{4 x + 8} + 4 x + 12$	\| $- 8 x$ $- 20$ $- 4 \sqrt{4 x + 8}$
$- 4 \sqrt{4 x + 8}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 8}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 8$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 8$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 8} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 8} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{8 x + 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 2 + 20}$

= $\sqrt{16 + 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 + 8} + 2$

= $\sqrt{8 + 8} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$