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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 28}$ = $12$

$3 \sqrt{- 3 x + 28}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{- 3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 28$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$- 3 x$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{- 3 x + 28}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 \cdot 4 + 28}$

= $3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 45}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 45}$	=	$- x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 45$	=	${(- x - 5)}^{2}$

9 x + 45

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 45}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 45}$

= $\sqrt{- 45 + 45}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x - 5$

$=$ $- (- 5) - 5$

= $5 - 5$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{9 x + 45}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 4 + 45}$

= $\sqrt{36 + 45}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x - 5$

$=$ $- 4 - 5$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 120}$ = $\sqrt{5 x + 89} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 120}$	=	$\sqrt{5 x + 89} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 120$	=	${(\sqrt{5 x + 89} + 1)}^{2}$

$7 x + 120$	=	$2 \sqrt{5 x + 89} + 5 x + 90$	\| $- 7 x$ $- 120$ $- 2 \sqrt{5 x + 89}$
$- 2 \sqrt{5 x + 89}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 89}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 89$	=	${(x + 15)}^{2}$

5 x + 89

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 136)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 544}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25+9}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25-9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 136$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{7 x + 120}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 17) + 120}$

= $\sqrt{- 119 + 120}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{5 x + 89} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 17) + 89} + 1$

= $\sqrt{- 85 + 89} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 120}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 120}$

= $\sqrt{- 56 + 120}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 89} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 89} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 89} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -8

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 8$