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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 4}$ = $6$

$2 \sqrt{x + 4}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	$3^{2}$

$x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $2 \sqrt{x + 4}$

$=$ $2 \sqrt{5 + 4}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{32 x - 60}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{32 x - 60}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$32 x - 60$	=	${(2 x)}^{2}$

32 x - 60

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 32 x - 60

= 0 |:4

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 3 - 60}$

= $\sqrt{96 - 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{32 x - 60}$

$=$ $\sqrt{32 \cdot 5 - 60}$

= $\sqrt{160 - 60}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 5$

= $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 12}$ = $\sqrt{2 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 12}$	=	$\sqrt{2 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 12$	=	${(\sqrt{2 x + 5} + 1)}^{2}$

$4 x + 12$	=	$2 \sqrt{2 x + 5} + 2 x + 6$	\| $- 4 x$ $- 12$ $- 2 \sqrt{2 x + 5}$
$- 2 \sqrt{2 x + 5}$	=	$- 2 x - 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 5}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(x + 3)}^{2}$

2 x + 5

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 12}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 12}$

= $\sqrt{- 8 + 12}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = $5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$