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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 3}$ = $- 3$

$- \sqrt{- 2 x + 3}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- \sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $- \sqrt{6 + 3}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{51 x - 53}$ = $3 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{51 x - 53}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$51 x - 53$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

51 x - 53

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 45 x - 54

= 0 |:9

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{51 x - 53}$

$=$ $\sqrt{51 \cdot 2 - 53}$

= $\sqrt{102 - 53}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot 2 + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{51 x - 53}$

$=$ $\sqrt{51 \cdot 3 - 53}$

= $\sqrt{153 - 53}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot 3 + 1$

= $9 + 1$

= $10$

Also 10 = 10

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 23}$ = $\sqrt{4 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 23}$	=	$\sqrt{4 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 23$	=	${(\sqrt{4 x - 11} + 2)}^{2}$

$8 x - 23$	=	$4 \sqrt{4 x - 11} + 4 x - 7$	\| $- 8 x$ $+ 23$ $- 4 \sqrt{4 x - 11}$
$- 4 \sqrt{4 x - 11}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 11}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 11$	=	${(x - 4)}^{2}$

4 x - 11

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 27)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12+6}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 12-6}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 12 x - 27$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 12 x + 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $6$ - $3$ = 3

x₂ = $6$ + $3$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 23}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 23}$

= $\sqrt{24 - 23}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{8 x - 23}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 9 - 23}$

= $\sqrt{72 - 23}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{4 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 9 - 11} + 2$

= $\sqrt{36 - 11} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $9$