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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{(- x)}$ = $2$

Lösung einblenden

- \sqrt{(- x)}

2

|:(

- 1

)

\sqrt{(- x)}

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x - 34}$ = $3 \sqrt{2 x - 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x - 34}$	=	$3 \sqrt{2 x - 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x - 34$	=	${(3 \sqrt{2 x - 6})}^{2}$

$14 x - 34$	=	$9 (2 x - 6)$
$14 x - 34$	=	$18 x - 54$	\| $+ 34$
$14 x$	=	$18 x - 20$	\| $- 18 x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{14 x - 34}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot 5 - 34}$

= $\sqrt{70 - 34}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{2 x - 6}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 5 - 6}$

= $3 \sqrt{10 - 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 1} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 1} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 1} + x + 2$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 1}$
$- 2 \sqrt{x + 1}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	${(x + 1)}^{2}$

$x + 1$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 1$
$x$	=	$x^{2} + 2 x$	\| $- (x^{2} + 2 x)$
$- x^{2} + x - 2 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4}$

= $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 1} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 1} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 1} + 1$

$=$ $\sqrt{0 + 1} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

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einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$