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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 7}$ = $2$

- \sqrt{x + 7}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 7} - 3 x$ = $5$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 7} - 3 x$	=	$5$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$3 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(3 x + 5)}^{2}$

3 x + 7

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 27 x - 18

= 0 |:9

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7} - 3 x$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7} - 3 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 6$

= $\sqrt{1} + 6$

= $1 + 6$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $5$

$=$ $5$

Also 7 ≠ 5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7} - 3 x$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7} - 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{- 3 + 7} + 3$

= $\sqrt{4} + 3$

= $2 + 3$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $5$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 48}$ = $\sqrt{2 x + 25} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 48}$	=	$\sqrt{2 x + 25} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 48$	=	${(\sqrt{2 x + 25} + 1)}^{2}$

$4 x + 48$	=	$2 \sqrt{2 x + 25} + 2 x + 26$	\| $- 4 x$ $- 48$ $- 2 \sqrt{2 x + 25}$
$- 2 \sqrt{2 x + 25}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	${(x + 11)}^{2}$

2 x + 25

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 96)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20+4}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20-4}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 96$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 96$ = $100$ $-$ $96$ = $4$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 10$ - $2$ = -12

x₂ = $- 10$ + $2$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 12) + 48}$

= $\sqrt{- 48 + 48}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{2 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 12) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 48}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 48}$

= $\sqrt{- 32 + 48}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 25} + 1$

= $\sqrt{- 16 + 25} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -8

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 8$