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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 9}$ = $3$

$\sqrt{x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	$3^{2}$

$x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 9}$

$=$ $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 40}$ = $2 \sqrt{2 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 40}$	=	$2 \sqrt{2 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 40$	=	${(2 \sqrt{2 x + 7})}^{2}$

$12 x + 40$	=	$4 (2 x + 7)$
$12 x + 40$	=	$8 x + 28$	\| $- 40$
$12 x$	=	$8 x - 12$	\| $- 8 x$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 36 + 40}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{2 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 7}$

= $2 \sqrt{- 6 + 7}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 84}$ = $\sqrt{4 x + 57} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 84}$	=	$\sqrt{4 x + 57} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 84$	=	${(\sqrt{4 x + 57} + 1)}^{2}$

$6 x + 84$	=	$2 \sqrt{4 x + 57} + 4 x + 58$	\| $- 6 x$ $- 84$ $- 2 \sqrt{4 x + 57}$
$- 2 \sqrt{4 x + 57}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22+6}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22-6}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 112$ = $121$ $-$ $112$ = $9$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 11$ - $3$ = -14

x₂ = $- 11$ + $3$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{6 x + 84}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 14) + 84}$

= $\sqrt{- 84 + 84}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{4 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 14) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 56 + 57} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 84}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 84}$

= $\sqrt{- 48 + 84}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 32 + 57} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -8

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 8$