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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{(- x)}$ = $6$

- 3 \sqrt{(- x)}

=

6

|:(

- 3

)

\sqrt{(- x)}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{54 x - 126} + 3 x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{54 x - 126} + 3 x$	=	$3$	\| $- 3 x$
$\sqrt{54 x - 126}$	=	$- 3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$54 x - 126$	=	${(- 3 x + 3)}^{2}$

54 x - 126

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{54 x - 126} + 3 x$

$=$ $\sqrt{54 \cdot 3 - 126} + 3 \cdot 3$

= $\sqrt{162 - 126} + 9$

= $\sqrt{36} + 9$

= $6 + 9$

= $15$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3$

$=$ $3$

Also 15 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{54 x - 126} + 3 x$

$=$ $\sqrt{54 \cdot 5 - 126} + 3 \cdot 5$

= $\sqrt{270 - 126} + 15$

= $\sqrt{144} + 15$

= $12 + 15$

= $27$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3$

$=$ $3$

Also 27 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 76}$ = $\sqrt{x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 76}$	=	$\sqrt{x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 76$	=	${(\sqrt{x + 24} + 2)}^{2}$

$5 x + 76$	=	$4 \sqrt{x + 24} + x + 28$	\| $- 5 x$ $- 76$ $- 4 \sqrt{x + 24}$
$- 4 \sqrt{x + 24}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 24}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 24$	=	${(x + 12)}^{2}$

x + 24

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23+7}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23-7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 120$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 15) + 76}$

= $\sqrt{- 75 + 76}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 15 + 24} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 76}$

= $\sqrt{- 40 + 76}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 8 + 24} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -8

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 8$