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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- 2 \sqrt{- 15 + 31}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 6}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 6}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 6$	=	${(x + 4)}^{2}$

15 x + 6

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{15 x + 6}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 2 + 6}$

= $\sqrt{30 + 6}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x + 4$

$=$ $2 + 4$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{15 x + 6}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 5 + 6}$

= $\sqrt{75 + 6}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x + 4$

$=$ $5 + 4$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 27}$ = $\sqrt{3 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 27}$	=	$\sqrt{3 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 27$	=	${(\sqrt{3 x - 11} + 2)}^{2}$

$7 x - 27$	=	$4 \sqrt{3 x - 11} + 3 x - 7$	\| $- 7 x$ $+ 27$ $- 4 \sqrt{3 x - 11}$
$- 4 \sqrt{3 x - 11}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 11}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 11$	=	${(x - 5)}^{2}$

3 x - 11

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13+5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13-5}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 27}$

= $\sqrt{28 - 27}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 - 27}$

= $\sqrt{63 - 27}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 11} + 2$

= $\sqrt{27 - 11} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$