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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $6$

$2 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $2 \sqrt{8 + 1}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 20}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 20}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 20$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 16 x + 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 5)$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot 1 + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 1$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 17}$ = $\sqrt{3 x - 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 17}$	=	$\sqrt{3 x - 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 17$	=	${(\sqrt{3 x - 9} + 2)}^{2}$

$7 x - 17$	=	$4 \sqrt{3 x - 9} + 3 x - 5$	\| $- 7 x$ $+ 17$ $- 4 \sqrt{3 x - 9}$
$- 4 \sqrt{3 x - 9}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

3 x - 9

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{21 - 17}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 9} + 2$

= $\sqrt{9 - 9} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 - 17}$

= $\sqrt{42 - 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{3 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 6 - 9} + 2$

= $\sqrt{18 - 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 6

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $6$