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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- 2 \sqrt{- 15 + 31}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 19}$ = $2 \sqrt{4 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 19}$	=	$2 \sqrt{4 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 19$	=	${(2 \sqrt{4 x + 5})}^{2}$

$15 x + 19$	=	$4 (4 x + 5)$
$15 x + 19$	=	$16 x + 20$	\| $- 19$
$15 x$	=	$16 x + 1$	\| $- 16 x$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{15 x + 19}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 1) + 19}$

= $\sqrt{- 15 + 19}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{4 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $2 \sqrt{- 4 + 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 68}$ = $\sqrt{2 x + 41} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 68}$	=	$\sqrt{2 x + 41} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 68$	=	${(\sqrt{2 x + 41} + 1)}^{2}$

$4 x + 68$	=	$2 \sqrt{2 x + 41} + 2 x + 42$	\| $- 4 x$ $- 68$ $- 2 \sqrt{2 x + 41}$
$- 2 \sqrt{2 x + 41}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 41}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 41$	=	${(x + 13)}^{2}$

2 x + 41

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 24 x - 128$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 128)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 512}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{24+8}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{24-8}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 24 x - 128$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 24 x + 128$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $12^{2} - 128$ = $144$ $-$ $128$ = $16$

x_1,2 = $- 12$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 12$ - $4$ = -16

x₂ = $- 12$ + $4$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{4 x + 68}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 16) + 68}$

= $\sqrt{- 64 + 68}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{2 x + 41} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 16) + 41} + 1$

= $\sqrt{- 32 + 41} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 68}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 68}$

= $\sqrt{- 32 + 68}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 41} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 41} + 1$

= $\sqrt{- 16 + 41} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 8$