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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 17}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- \sqrt{- 8 + 17}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 15}$ = $3 \sqrt{x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 15}$	=	$3 \sqrt{x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 15$	=	${(3 \sqrt{x + 3})}^{2}$

$11 x + 15$	=	$9 (x + 3)$
$11 x + 15$	=	$9 x + 27$	\| $- 15$
$11 x$	=	$9 x + 12$	\| $- 9 x$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{11 x + 15}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 6 + 15}$

= $\sqrt{66 + 15}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $6$ in $3 \sqrt{x + 3}$

$=$ $3 \sqrt{6 + 3}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 73}$ = $\sqrt{2 x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 73}$	=	$\sqrt{2 x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 73$	=	${(\sqrt{2 x + 25} + 2)}^{2}$

$6 x + 73$	=	$4 \sqrt{2 x + 25} + 2 x + 29$	\| $- 6 x$ $- 73$ $- 4 \sqrt{2 x + 25}$
$- 4 \sqrt{2 x + 25}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	${(x + 11)}^{2}$

2 x + 25

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 96)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 384}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20+4}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{20-4}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 20 x - 96$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 20 x + 96$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 96$ = $100$ $-$ $96$ = $4$

x_1,2 = $- 10$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 10$ - $2$ = -12

x₂ = $- 10$ + $2$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 12) + 73}$

= $\sqrt{- 72 + 73}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 12) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 73}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 73}$

= $\sqrt{- 48 + 73}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 25} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 8$