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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 1}$ = $- 4$

$- \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$4^{2}$

$3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$3 x$	=	$15$	\|: $3$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot 5 + 1}$

= $- \sqrt{15 + 1}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x - 11}$ = $- 2 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x - 11}$	=	$- 2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x - 11$	=	${(- 2 x + 1)}^{2}$

12 x - 11

=

4 x^{2} - 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 16 x - 12

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{12 x - 11}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 1 - 11}$

= $\sqrt{12 - 11}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x + 1$

$=$ $- 2 \cdot 1 + 1$

= $- 2 + 1$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{12 x - 11}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{36 - 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2 x + 1$

$=$ $- 2 \cdot 3 + 1$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17}$ = $\sqrt{4 x + 17} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17}$	=	$\sqrt{4 x + 17} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(\sqrt{4 x + 17} + 2)}^{2}$

$8 x + 17$	=	$4 \sqrt{4 x + 17} + 4 x + 21$	\| $- 8 x$ $- 17$ $- 4 \sqrt{4 x + 17}$
$- 4 \sqrt{4 x + 17}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 17}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 17$	=	${(x - 1)}^{2}$

4 x + 17

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 16}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6+10}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 6-10}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 17}$

= $\sqrt{- 16 + 17}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 17} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 17} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 17} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 8 + 17}$

= $\sqrt{64 + 17}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x + 17} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 + 17} + 2$

= $\sqrt{32 + 17} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 8

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $8$