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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 15}$ = $3$

$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 72}$ = $2 \sqrt{x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 72}$	=	$2 \sqrt{x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 72$	=	${(2 \sqrt{x + 15})}^{2}$

$6 x + 72$	=	$4 (x + 15)$
$6 x + 72$	=	$4 x + 60$	\| $- 72$
$6 x$	=	$4 x - 12$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 72}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 72}$

= $\sqrt{- 36 + 72}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{x + 15}$

$=$ $2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 121}$ = $\sqrt{4 x + 61} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 121}$	=	$\sqrt{4 x + 61} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 121$	=	${(\sqrt{4 x + 61} + 2)}^{2}$

$8 x + 121$	=	$4 \sqrt{4 x + 61} + 4 x + 65$	\| $- 8 x$ $- 121$ $- 4 \sqrt{4 x + 61}$
$- 4 \sqrt{4 x + 61}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 61}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 61$	=	${(x + 14)}^{2}$

4 x + 61

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 24 x - 135$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 135)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 540}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{24+6}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{24-6}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 24 x - 135$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 24 x + 135$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $12^{2} - 135$ = $144$ $-$ $135$ = $9$

x_1,2 = $- 12$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 12$ - $3$ = -15

x₂ = $- 12$ + $3$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{8 x + 121}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 15) + 121}$

= $\sqrt{- 120 + 121}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 60 + 61} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{8 x + 121}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 9) + 121}$

= $\sqrt{- 72 + 121}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 61} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -9

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 9$