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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 6}$ = $- 6$

3 \sqrt{x + 6}

=

- 6

|:

3

\sqrt{x + 6}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 41}$ = $3 \sqrt{5 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 41}$	=	$3 \sqrt{5 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 41$	=	${(3 \sqrt{5 x + 5})}^{2}$

$46 x + 41$	=	$9 (5 x + 5)$
$46 x + 41$	=	$45 x + 45$	\| $- 41$
$46 x$	=	$45 x + 4$	\| $- 45 x$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{46 x + 41}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot 4 + 41}$

= $\sqrt{184 + 41}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{5 x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 4 + 5}$

= $3 \sqrt{20 + 5}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 60}$ = $\sqrt{5 x + 41} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 60}$	=	$\sqrt{5 x + 41} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 60$	=	${(\sqrt{5 x + 41} + 1)}^{2}$

$7 x + 60$	=	$2 \sqrt{5 x + 41} + 5 x + 42$	\| $- 7 x$ $- 60$ $- 2 \sqrt{5 x + 41}$
$- 2 \sqrt{5 x + 41}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 41}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 41$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 41

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 60}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 60}$

= $\sqrt{- 56 + 60}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 41} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 41} + 1$

= $\sqrt{- 40 + 41} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 60}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 60}$

= $\sqrt{- 35 + 60}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 41} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 41} + 1$

= $\sqrt{- 25 + 41} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$