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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 15}$ = $9$

$3 \sqrt{2 x + 15}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 32}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 32}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 32$	=	${(2 x)}^{2}$

24 x - 32

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 - 32}$

= $\sqrt{48 - 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 4 - 32}$

= $\sqrt{96 - 32}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 27}$ = $\sqrt{3 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 27}$	=	$\sqrt{3 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 27$	=	${(\sqrt{3 x - 11} + 2)}^{2}$

$7 x - 27$	=	$4 \sqrt{3 x - 11} + 3 x - 7$	\| $- 7 x$ $+ 27$ $- 4 \sqrt{3 x - 11}$
$- 4 \sqrt{3 x - 11}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 11}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 11$	=	${(x - 5)}^{2}$

3 x - 11

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13+5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13-5}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 27}$

= $\sqrt{28 - 27}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 11} + 2$

= $\sqrt{12 - 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x - 27}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 - 27}$

= $\sqrt{63 - 27}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 11} + 2$

= $\sqrt{27 - 11} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$