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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 18}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{3 x + 18}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 18$	=	$3^{2}$

$3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 3 \sqrt{3 x + 18}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 3) + 18}$

= $- 3 \sqrt{- 9 + 18}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{41 x + 769}$ = $3 \sqrt{5 x + 89}$

Lösung einblenden

$\sqrt{41 x + 769}$	=	$3 \sqrt{5 x + 89}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$41 x + 769$	=	${(3 \sqrt{5 x + 89})}^{2}$

$41 x + 769$	=	$9 (5 x + 89)$
$41 x + 769$	=	$45 x + 801$	\| $- 769$
$41 x$	=	$45 x + 32$	\| $- 45 x$
$- 4 x$	=	$32$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{41 x + 769}$

$=$ $\sqrt{41 \cdot (- 8) + 769}$

= $\sqrt{- 328 + 769}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $3 \sqrt{5 x + 89}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 8) + 89}$

= $3 \sqrt{- 40 + 89}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 37}$ = $\sqrt{3 x + 13} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 37}$	=	$\sqrt{3 x + 13} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 37$	=	${(\sqrt{3 x + 13} + 2)}^{2}$

$7 x + 37$	=	$4 \sqrt{3 x + 13} + 3 x + 17$	\| $- 7 x$ $- 37$ $- 4 \sqrt{3 x + 13}$
$- 4 \sqrt{3 x + 13}$	=	$- 4 x - 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 13}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 13$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 13

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 37}$

= $\sqrt{- 28 + 37}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 13} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 37}$

= $\sqrt{- 21 + 37}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 13} + 2$

= $\sqrt{- 9 + 13} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$