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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 14}$ = $9$

$3 \sqrt{- x + 14}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{- x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $3 \sqrt{9}$

= $3 \cdot 3$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 154}$ = $2 \sqrt{2 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 154}$	=	$2 \sqrt{2 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 154$	=	${(2 \sqrt{2 x + 43})}^{2}$

$6 x + 154$	=	$4 (2 x + 43)$
$6 x + 154$	=	$8 x + 172$	\| $- 154$
$6 x$	=	$8 x + 18$	\| $- 8 x$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 154}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 154}$

= $\sqrt{- 54 + 154}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{2 x + 43}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 9) + 43}$

= $2 \sqrt{- 18 + 43}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 67}$ = $\sqrt{4 x + 44} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 67}$	=	$\sqrt{4 x + 44} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 67$	=	${(\sqrt{4 x + 44} + 1)}^{2}$

$6 x + 67$	=	$2 \sqrt{4 x + 44} + 4 x + 45$	\| $- 6 x$ $- 67$ $- 2 \sqrt{4 x + 44}$
$- 2 \sqrt{4 x + 44}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 44}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(x + 11)}^{2}$

4 x + 44

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 67}$

= $\sqrt{- 66 + 67}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 44 + 44} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 11$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 67}$

= $\sqrt{- 42 + 67}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 44} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 44} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 44} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 11$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$