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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 1}$ = $2$

$\sqrt{3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$2^{2}$

$3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 1}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 1}$

= $\sqrt{3 + 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 148}$ = $2 \sqrt{4 x + 40}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 148}$	=	$2 \sqrt{4 x + 40}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 148$	=	${(2 \sqrt{4 x + 40})}^{2}$

$14 x + 148$	=	$4 (4 x + 40)$
$14 x + 148$	=	$16 x + 160$	\| $- 148$
$14 x$	=	$16 x + 12$	\| $- 16 x$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{14 x + 148}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot (- 6) + 148}$

= $\sqrt{- 84 + 148}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{4 x + 40}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 6) + 40}$

= $2 \sqrt{- 24 + 40}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 55}$ = $\sqrt{x + 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 55}$	=	$\sqrt{x + 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 55$	=	${(\sqrt{x + 15} + 2)}^{2}$

$5 x + 55$	=	$4 \sqrt{x + 15} + x + 19$	\| $- 5 x$ $- 55$ $- 4 \sqrt{x + 15}$
$- 4 \sqrt{x + 15}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 15}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 15$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 15

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17+5}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17-5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 66$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 11) + 55}$

= $\sqrt{- 55 + 55}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 11 + 15} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 55}$

= $\sqrt{- 30 + 55}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 15} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -6

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 6$