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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 4}$ = $4$

- 2 \sqrt{2 x + 4}

=

4

|:(

- 2

)

\sqrt{2 x + 4}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 6$	=	${(x)}^{2}$

5 x - 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 8}$ = $\sqrt{2 x + 11} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 8}$	=	$\sqrt{2 x + 11} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(\sqrt{2 x + 11} + 1)}^{2}$

$4 x + 8$	=	$2 \sqrt{2 x + 11} + 2 x + 12$	\| $- 4 x$ $- 8$ $- 2 \sqrt{2 x + 11}$
$- 2 \sqrt{2 x + 11}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 11}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 11$	=	${(x - 2)}^{2}$

2 x + 11

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 11} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 11} + 1$

= $\sqrt{- 2 + 11} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 + 8}$

= $\sqrt{28 + 8}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{2 x + 11} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 7 + 11} + 1$

= $\sqrt{14 + 11} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 7

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $7$