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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $4$

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $2 \sqrt{3 + 1}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 5}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 5}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 5$	=	${(- x)}^{2}$

- 6 x - 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 5) - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x$

$=$ $- (- 5)$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 6 x - 5}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 1) - 5}$

= $\sqrt{6 - 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 18}$ = $\sqrt{x - 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 18}$	=	$\sqrt{x - 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 18$	=	${(\sqrt{x - 5} + 1)}^{2}$

$3 x - 18$	=	$2 \sqrt{x - 5} + x - 4$	\| $- 3 x$ $+ 18$ $- 2 \sqrt{x - 5}$
$- 2 \sqrt{x - 5}$	=	$- 2 x + 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x - 5}$	=	$x - 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 5$	=	${(x - 7)}^{2}$

x - 5

=

x^{2} - 14 x + 49

|

- x^{2}

+ 14 x

- 49

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15+3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15-3}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{3 x - 18}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 6 - 18}$

= $\sqrt{18 - 18}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{6 - 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $6$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 18}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 18}$

= $\sqrt{27 - 18}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{9 - 5} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 6

Probe für x = 9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $6$

Probe für x = $9$