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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 16}$ = $8$

$2 \sqrt{- 2 x + 16}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 16}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 16$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 16$	=	$16$	\| $- 16$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2 \sqrt{- 2 x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (0) + 16}$

= $2 \sqrt{0 + 16}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = 0 in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 71}$ = $2 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 71}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 71$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

- 24 x - 71

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 36 x - 80

= 0 |:4

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 24 x - 71}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 5) - 71}$

= $\sqrt{120 - 71}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x + 3$

$=$ $2 \cdot (- 5) + 3$

= $- 10 + 3$

= $- 7$

Also 7 ≠ -7

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 24 x - 71}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 4) - 71}$

= $\sqrt{96 - 71}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x + 3$

$=$ $2 \cdot (- 4) + 3$

= $- 8 + 3$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 60}$ = $\sqrt{3 x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 60}$	=	$\sqrt{3 x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 60$	=	${(\sqrt{3 x + 24} + 2)}^{2}$

$7 x + 60$	=	$4 \sqrt{3 x + 24} + 3 x + 28$	\| $- 7 x$ $- 60$ $- 4 \sqrt{3 x + 24}$
$- 4 \sqrt{3 x + 24}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

3 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 60}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 60}$

= $\sqrt{- 56 + 60}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 24} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 60}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 60}$

= $\sqrt{- 35 + 60}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 15 + 24} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$