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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 6}$ = $4$

$2 \sqrt{- x + 6}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $2 \sqrt{4}$

= $2 \cdot 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

- 3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 2 + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 9}$ = $\sqrt{5 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 9}$	=	$\sqrt{5 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 9$	=	${(\sqrt{5 x + 4} + 1)}^{2}$

$7 x + 9$	=	$2 \sqrt{5 x + 4} + 5 x + 5$	\| $- 7 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{5 x + 4}$
$- 2 \sqrt{5 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$5 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 5 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 9}$

= $\sqrt{7 + 9}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 4} + 1$

= $\sqrt{5 + 4} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={0; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 1

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$