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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 6}$ = $6$

$3 \sqrt{- x + 6}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $3 \cdot 2$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 24} + x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 24} + x$	=	$- 3$	\| $- x$
$\sqrt{4 x + 24}$	=	$- x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 24$	=	${(- x - 3)}^{2}$

4 x + 24

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{4 x + 24} + x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 5) + 24} - 5$

= $\sqrt{- 20 + 24} - 5$

= $\sqrt{4} - 5$

= $2 - 5$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x + 24} + x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 + 24} + 3$

= $\sqrt{12 + 24} + 3$

= $\sqrt{36} + 3$

= $6 + 3$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 9 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 84}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 84}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 84$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 2)}^{2}$

$7 x + 84$	=	$4 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 44$	\| $- 7 x$ $- 84$ $- 4 \sqrt{3 x + 40}$
$- 4 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 12) + 84}$

= $\sqrt{- 84 + 84}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 40} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 84}$

= $\sqrt{- 35 + 84}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$