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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 9}$ = $- 3$

$- \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	$3^{2}$

$3 x + 9$	=	$9$	\| $- 9$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- \sqrt{3 x + 9}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot 0 + 9}$

= $- \sqrt{0 + 9}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{22 x + 34}$ = $3 \sqrt{2 x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{22 x + 34}$	=	$3 \sqrt{2 x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$22 x + 34$	=	${(3 \sqrt{2 x + 6})}^{2}$

$22 x + 34$	=	$9 (2 x + 6)$
$22 x + 34$	=	$18 x + 54$	\| $- 34$
$22 x$	=	$18 x + 20$	\| $- 18 x$
$4 x$	=	$20$	\|: $4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{22 x + 34}$

$=$ $\sqrt{22 \cdot 5 + 34}$

= $\sqrt{110 + 34}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 5 + 6}$

= $3 \sqrt{10 + 6}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 21}$ = $\sqrt{4 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 21}$	=	$\sqrt{4 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 21$	=	${(\sqrt{4 x + 12} + 1)}^{2}$

$6 x + 21$	=	$2 \sqrt{4 x + 12} + 4 x + 13$	\| $- 6 x$ $- 21$ $- 2 \sqrt{4 x + 12}$
$- 2 \sqrt{4 x + 12}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 12}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 12$	=	${(x + 4)}^{2}$

4 x + 12

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 21}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 21}$

= $\sqrt{- 12 + 21}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$