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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 8}$ = $2$

- \sqrt{- 2 x + 8}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{- 2 x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 10}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

- 3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 2 + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 121}$ = $\sqrt{5 x + 65} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 121}$	=	$\sqrt{5 x + 65} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 121$	=	${(\sqrt{5 x + 65} + 2)}^{2}$

$9 x + 121$	=	$4 \sqrt{5 x + 65} + 5 x + 69$	\| $- 9 x$ $- 121$ $- 4 \sqrt{5 x + 65}$
$- 4 \sqrt{5 x + 65}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 65}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 65$	=	${(x + 13)}^{2}$

5 x + 65

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 416}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21+5}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21-5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 104$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{9 x + 121}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 13) + 121}$

= $\sqrt{- 117 + 121}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 65} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 65} + 2$

= $\sqrt{- 65 + 65} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 13$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 121}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 121}$

= $\sqrt{- 72 + 121}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 65} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 65} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 65} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 13$ ; $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 8$