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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$2^{2}$

$3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 3 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 1 + 1}$

= $- 3 \sqrt{3 + 1}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 32}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 32}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 32$	=	${(2 x)}^{2}$

24 x - 32

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6+2}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 6-2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 - 32}$

= $\sqrt{48 - 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 4 - 32}$

= $\sqrt{96 - 32}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 66}$ = $\sqrt{2 x + 26} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 66}$	=	$\sqrt{2 x + 26} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 66$	=	${(\sqrt{2 x + 26} + 2)}^{2}$

$6 x + 66$	=	$4 \sqrt{2 x + 26} + 2 x + 30$	\| $- 6 x$ $- 66$ $- 4 \sqrt{2 x + 26}$
$- 4 \sqrt{2 x + 26}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 26}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	${(x + 9)}^{2}$

2 x + 26

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 55)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 220}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16+6}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16-6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 55$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 55$ = $64$ $-$ $55$ = $9$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 8$ - $3$ = -11

x₂ = $- 8$ + $3$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 66}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 66}$

= $\sqrt{- 66 + 66}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{2 x + 26} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 11) + 26} + 2$

= $\sqrt{- 22 + 26} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 66}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 66}$

= $\sqrt{- 30 + 66}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 26} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 26} + 2$

= $\sqrt{- 10 + 26} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -5

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 5$