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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 15}$ = $6$

- 2 \sqrt{- 3 x + 15}

=

6

|:(

- 2

)

\sqrt{- 3 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 16}$ = $2 \sqrt{3 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 16}$	=	$2 \sqrt{3 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 16$	=	${(2 \sqrt{3 x + 12})}^{2}$

$16 x + 16$	=	$4 (3 x + 12)$
$16 x + 16$	=	$12 x + 48$	\| $- 16$
$16 x$	=	$12 x + 32$	\| $- 12 x$
$4 x$	=	$32$	\|: $4$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{16 x + 16}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 8 + 16}$

= $\sqrt{128 + 16}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{3 x + 12}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 8 + 12}$

= $2 \sqrt{24 + 12}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 13}$ = $\sqrt{x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 13}$	=	$\sqrt{x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 13$	=	${(\sqrt{x + 4} + 1)}^{2}$

$3 x + 13$	=	$2 \sqrt{x + 4} + x + 5$	\| $- 3 x$ $- 13$ $- 2 \sqrt{x + 4}$
$- 2 \sqrt{x + 4}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 4}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	${(x + 4)}^{2}$

x + 4

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 13}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{- 4 + 4} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 13}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 13}$

= $\sqrt{- 9 + 13}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{- 3 + 4} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$