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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 8}$ = $4$

$2 \sqrt{2 x + 8}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	$2^{2}$

$2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	${(x)}^{2}$

- x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- (- 3) + 6}$

= $\sqrt{3 + 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 20}$ = $\sqrt{3 x - 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 20}$	=	$\sqrt{3 x - 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 20$	=	${(\sqrt{3 x - 8} + 2)}^{2}$

$7 x - 20$	=	$4 \sqrt{3 x - 8} + 3 x - 4$	\| $- 7 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{3 x - 8}$
$- 4 \sqrt{3 x - 8}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x - 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

3 x - 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11+5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 11-5}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 20}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{21 - 20}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8} + 2$

= $\sqrt{9 - 8} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{7 x - 20}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 8 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{3 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 8 - 8} + 2$

= $\sqrt{24 - 8} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 8

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $8$