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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 7}$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 7$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $\sqrt{- 3 + 7}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 22}$ = $2 \sqrt{x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 22}$	=	$2 \sqrt{x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 22$	=	${(2 \sqrt{x + 7})}^{2}$

$3 x + 22$	=	$4 (x + 7)$
$3 x + 22$	=	$4 x + 28$	\| $- 22$
$3 x$	=	$4 x + 6$	\| $- 4 x$
$- x$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 22}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 22}$

= $\sqrt{- 18 + 22}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{- 6 + 7}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{2 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{2 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{2 x + 5} + 2)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$4 \sqrt{2 x + 5} + 2 x + 9$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 4 \sqrt{2 x + 5}$
$- 4 \sqrt{2 x + 5}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 5}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 5$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 + 13}$

= $\sqrt{12 + 13}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$