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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 2}$ = $4$

$2 \sqrt{x + 2}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$2^{2}$

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x + 20}$ = $- 2 x + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x + 20}$	=	$- 2 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x + 20$	=	${(- 2 x + 2)}^{2}$

- 20 x + 20

=

4 x^{2} - 8 x + 4

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 4

- 4 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 20 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 4) + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 20 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot 1 + 20}$

= $\sqrt{- 20 + 20}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x + 2$

$=$ $- 2 \cdot 1 + 2$

= $- 2 + 2$

= 0

Also 0 = 0

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 90}$ = $\sqrt{5 x + 46} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 90}$	=	$\sqrt{5 x + 46} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 90$	=	${(\sqrt{5 x + 46} + 2)}^{2}$

$9 x + 90$	=	$4 \sqrt{5 x + 46} + 5 x + 50$	\| $- 9 x$ $- 90$ $- 4 \sqrt{5 x + 46}$
$- 4 \sqrt{5 x + 46}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 46}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 46$	=	${(x + 10)}^{2}$

5 x + 46

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15+3}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15-3}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{9 x + 90}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 9) + 90}$

= $\sqrt{- 81 + 90}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 46} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 46} + 2$

= $\sqrt{- 45 + 46} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{9 x + 90}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 6) + 90}$

= $\sqrt{- 54 + 90}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 46} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 46} + 2$

= $\sqrt{- 30 + 46} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -6

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 6$