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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $6$

$3 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $3 \sqrt{3 + 1}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 66}$ = $2 \sqrt{x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 66}$	=	$2 \sqrt{x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 66$	=	${(2 \sqrt{x + 14})}^{2}$

$6 x + 66$	=	$4 (x + 14)$
$6 x + 66$	=	$4 x + 56$	\| $- 66$
$6 x$	=	$4 x - 10$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 66}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 66}$

= $\sqrt{- 30 + 66}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 5}$ = $\sqrt{2 x + 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 5}$	=	$\sqrt{2 x + 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(\sqrt{2 x + 2} + 1)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$2 \sqrt{2 x + 2} + 2 x + 3$	\| $- 4 x$ $- 5$ $- 2 \sqrt{2 x + 2}$
$- 2 \sqrt{2 x + 2}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 2}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 2$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 2$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 2$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 2} + 1$

= $\sqrt{- 2 + 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5}$

= $\sqrt{4 + 5}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 2} + 1$

= $\sqrt{2 + 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$