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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 8}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{2 x + 8}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	$2^{2}$

$2 x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 2 \sqrt{2 x + 8}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 8}$

= $- 2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 5} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- x + 5} - 3$	=	$- x$	\| $+ 3$
$\sqrt{- x + 5}$	=	$- x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 5$	=	${(- x + 3)}^{2}$

- x + 5

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- x + 5} - 3$

$=$ $\sqrt{- 1 + 5} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- x + 5} - 3$

$=$ $\sqrt{- 4 + 5} - 3$

= $\sqrt{1} - 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also -2 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 118}$ = $\sqrt{5 x + 66} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 118}$	=	$\sqrt{5 x + 66} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 118$	=	${(\sqrt{5 x + 66} + 2)}^{2}$

$9 x + 118$	=	$4 \sqrt{5 x + 66} + 5 x + 70$	\| $- 9 x$ $- 118$ $- 4 \sqrt{5 x + 66}$
$- 4 \sqrt{5 x + 66}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 66}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 66$	=	${(x + 12)}^{2}$

5 x + 66

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{9 x + 118}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 13) + 118}$

= $\sqrt{- 117 + 118}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 66} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 66} + 2$

= $\sqrt{- 65 + 66} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{9 x + 118}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 6) + 118}$

= $\sqrt{- 54 + 118}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 66} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 66} + 2$

= $\sqrt{- 30 + 66} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$