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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 3}$ = $3$

$\sqrt{- 3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 3 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 2) + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x - 23} - 3$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x - 23} - 3$	=	$2 x$	\| $+ 3$
$\sqrt{- 12 x - 23}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x - 23$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

- 12 x - 23

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 12 x - 23} - 3$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 4) - 23} - 3$

= $\sqrt{48 - 23} - 3$

= $\sqrt{25} - 3$

= $5 - 3$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 4)$

= $- 8$

Also 2 ≠ -8

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 12 x - 23} - 3$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 2) - 23} - 3$

= $\sqrt{24 - 23} - 3$

= $\sqrt{1} - 3$

= $1 - 3$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also -2 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 61}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 61}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 61$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 1)}^{2}$

$5 x + 61$	=	$2 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 41$	\| $- 5 x$ $- 61$ $- 2 \sqrt{3 x + 40}$
$- 2 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 2 x - 20$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{5 x + 61}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 12) + 61}$

= $\sqrt{- 60 + 61}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 36 + 40} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 61}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 25 + 61}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 40} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 40} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$