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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 26}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{2 x + 26}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	$4^{2}$

$2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{2 x + 26}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot (- 5) + 26}$

= $- 2 \sqrt{- 10 + 26}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 214}$ = $2 \sqrt{3 x + 57}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 214}$	=	$2 \sqrt{3 x + 57}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 214$	=	${(2 \sqrt{3 x + 57})}^{2}$

$10 x + 214$	=	$4 (3 x + 57)$
$10 x + 214$	=	$12 x + 228$	\| $- 214$
$10 x$	=	$12 x + 14$	\| $- 12 x$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{10 x + 214}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 7) + 214}$

= $\sqrt{- 70 + 214}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{3 x + 57}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 7) + 57}$

= $2 \sqrt{- 21 + 57}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 46}$ = $\sqrt{4 x + 29} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 46}$	=	$\sqrt{4 x + 29} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 46$	=	${(\sqrt{4 x + 29} + 1)}^{2}$

$6 x + 46$	=	$2 \sqrt{4 x + 29} + 4 x + 30$	\| $- 6 x$ $- 46$ $- 2 \sqrt{4 x + 29}$
$- 2 \sqrt{4 x + 29}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 29}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 29$	=	${(x + 8)}^{2}$

4 x + 29

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 35)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12+2}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{12-2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 12 x - 35$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 6$ - $1$ = -7

x₂ = $- 6$ + $1$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 46}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 46}$

= $\sqrt{- 42 + 46}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 29} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 29} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 29} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{6 x + 46}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 5) + 46}$

= $\sqrt{- 30 + 46}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{4 x + 29} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 5) + 29} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 29} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 5$