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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 7}$ = $2$

$\sqrt{- 3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 7$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $\sqrt{- 3 + 7}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 80}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 80}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 80$	=	${(2 x)}^{2}$

- 4 x + 80

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 4 x + 80

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 5) + 80}$

= $\sqrt{20 + 80}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 4 x + 80}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 4 + 80}$

= $\sqrt{- 16 + 80}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 20}$ = $\sqrt{2 x - 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 20}$	=	$\sqrt{2 x - 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 20$	=	${(\sqrt{2 x - 8} + 2)}^{2}$

$6 x - 20$	=	$4 \sqrt{2 x - 8} + 2 x - 4$	\| $- 6 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{2 x - 8}$
$- 4 \sqrt{2 x - 8}$	=	$- 4 x + 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x - 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10+2}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 10-2}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{6 x - 20}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 4 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 - 8} + 2$

= $\sqrt{8 - 8} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x - 20}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{2 x - 8} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6 - 8} + 2$

= $\sqrt{12 - 8} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 6

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$