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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $- 3 \sqrt{3 + 1}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 33 x + 70}$ = $- 3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 33 x + 70}$	=	$- 3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 33 x + 70$	=	${(- 3 x + 4)}^{2}$

- 33 x + 70

=

9 x^{2} - 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

+ 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 9 x + 54

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 33 x + 70}$

$=$ $\sqrt{- 33 \cdot (- 3) + 70}$

= $\sqrt{99 + 70}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot (- 3) + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Also 13 = 13

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{- 33 x + 70}$

$=$ $\sqrt{- 33 \cdot 2 + 70}$

= $\sqrt{- 66 + 70}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot 2 + 4$

= $- 6 + 4$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 52}$ = $\sqrt{2 x + 27} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 52}$	=	$\sqrt{2 x + 27} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 52$	=	${(\sqrt{2 x + 27} + 1)}^{2}$

$4 x + 52$	=	$2 \sqrt{2 x + 27} + 2 x + 28$	\| $- 4 x$ $- 52$ $- 2 \sqrt{2 x + 27}$
$- 2 \sqrt{2 x + 27}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 27}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 27$	=	${(x + 12)}^{2}$

2 x + 27

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 22 x - 117$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 117)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 468}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{22+4}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{22-4}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 117$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 117$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 117$ = $121$ $-$ $117$ = $4$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 11$ - $2$ = -13

x₂ = $- 11$ + $2$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{4 x + 52}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 13) + 52}$

= $\sqrt{- 52 + 52}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{2 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 13) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 26 + 27} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 52}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 18 + 27} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 9$