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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $9$

$3 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $3 \sqrt{8 + 1}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 11} - x$ = $4$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 11} - x$	=	$4$	\| $+ x$
$\sqrt{2 x + 11}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 11$	=	${(x + 4)}^{2}$

2 x + 11

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 11} - x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 11} - (- 5)$

= $\sqrt{- 10 + 11} + 5$

= $\sqrt{1} + 5$

= $1 + 5$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $4$

$=$ $4$

Also 6 ≠ 4

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 11} - x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 11} - (- 1)$

= $\sqrt{- 2 + 11} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 127}$ = $\sqrt{3 x + 63} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 127}$	=	$\sqrt{3 x + 63} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 127$	=	${(\sqrt{3 x + 63} + 2)}^{2}$

$7 x + 127$	=	$4 \sqrt{3 x + 63} + 3 x + 67$	\| $- 7 x$ $- 127$ $- 4 \sqrt{3 x + 63}$
$- 4 \sqrt{3 x + 63}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 63}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 63$	=	${(x + 15)}^{2}$

3 x + 63

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 162)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27+9}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27-9}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 27 x + 162$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{2})}^{2} - 162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $\frac{648}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{27}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{27}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{36}{2}$ = -18

x₂ = $- \frac{27}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{7 x + 127}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 18) + 127}$

= $\sqrt{- 126 + 127}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{3 x + 63} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 18) + 63} + 2$

= $\sqrt{- 54 + 63} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 127}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 127}$

= $\sqrt{- 63 + 127}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 63} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 63} + 2$

= $\sqrt{- 27 + 63} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 9$