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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 16}$ = $8$

$2 \sqrt{x + 16}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{x + 16}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 16$	=	$4^{2}$

$x + 16$	=	$16$	\| $- 16$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2 \sqrt{x + 16}$

$=$ $2 \sqrt{0 + 16}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = 0 in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{31 x - 105}$ = $3 \sqrt{3 x - 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{31 x - 105}$	=	$3 \sqrt{3 x - 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$31 x - 105$	=	${(3 \sqrt{3 x - 9})}^{2}$

$31 x - 105$	=	$9 (3 x - 9)$
$31 x - 105$	=	$27 x - 81$	\| $+ 105$
$31 x$	=	$27 x + 24$	\| $- 27 x$
$4 x$	=	$24$	\|: $4$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{31 x - 105}$

$=$ $\sqrt{31 \cdot 6 - 105}$

= $\sqrt{186 - 105}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $6$ in $3 \sqrt{3 x - 9}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 6 - 9}$

= $3 \sqrt{18 - 9}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 8}$ = $\sqrt{5 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 8}$	=	$\sqrt{5 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 8$	=	${(\sqrt{5 x + 5} + 1)}^{2}$

$7 x + 8$	=	$2 \sqrt{5 x + 5} + 5 x + 6$	\| $- 7 x$ $- 8$ $- 2 \sqrt{5 x + 5}$
$- 2 \sqrt{5 x + 5}$	=	$- 2 x - 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 5}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 5$	=	${(x + 1)}^{2}$

5 x + 5

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 7 + 8}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 5 + 5} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 + 8}$

= $\sqrt{28 + 8}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{20 + 5} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$