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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 4}$ = $12$

$3 \sqrt{3 x + 4}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $3 \sqrt{12 + 4}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 61}$ = $- 2 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 61}$	=	$- 2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 61$	=	${(- 2 x - 1)}^{2}$

12 x + 61

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 8 x + 60

= 0 |:4

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{12 x + 61}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 3) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x - 1$

$=$ $- 2 \cdot (- 3) - 1$

= $6 - 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{12 x + 61}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 5 + 61}$

= $\sqrt{60 + 61}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 2 x - 1$

$=$ $- 2 \cdot 5 - 1$

= $- 10 - 1$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 144}$ = $\sqrt{5 x + 84} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 144}$	=	$\sqrt{5 x + 84} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 144$	=	${(\sqrt{5 x + 84} + 2)}^{2}$

$9 x + 144$	=	$4 \sqrt{5 x + 84} + 5 x + 88$	\| $- 9 x$ $- 144$ $- 4 \sqrt{5 x + 84}$
$- 4 \sqrt{5 x + 84}$	=	$- 4 x - 56$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 84}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 84$	=	${(x + 14)}^{2}$

5 x + 84

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23+9}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{23-9}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $112$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{448}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{9 x + 144}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 16) + 144}$

= $\sqrt{- 144 + 144}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 84} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 84} + 2$

= $\sqrt{- 80 + 84} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{9 x + 144}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 7) + 144}$

= $\sqrt{- 63 + 144}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 84} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 84} + 2$

= $\sqrt{- 35 + 84} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -7

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 7$