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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 17$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 17}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot 4 + 17}$

= $- 3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x - 55} + 5$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x - 55} + 5$	=	$- 2 x$	\| $- 5$
$\sqrt{- 16 x - 55}$	=	$- 2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x - 55$	=	${(- 2 x - 5)}^{2}$

- 16 x - 55

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 36 x - 80

= 0 |:4

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x - 55} + 5$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) - 55} + 5$

= $\sqrt{80 - 55} + 5$

= $\sqrt{25} + 5$

= $5 + 5$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 5)$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 16 x - 55} + 5$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 4) - 55} + 5$

= $\sqrt{64 - 55} + 5$

= $\sqrt{9} + 5$

= $3 + 5$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 8}$ = $\sqrt{x - 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 8}$	=	$\sqrt{x - 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(\sqrt{x - 3} + 1)}^{2}$

$3 x - 8$	=	$2 \sqrt{x - 3} + x - 2$	\| $- 3 x$ $+ 8$ $- 2 \sqrt{x - 3}$
$- 2 \sqrt{x - 3}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x - 3}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 3$	=	${(x - 3)}^{2}$

x - 3

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8}$

= $\sqrt{9 - 8}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 - 3} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 8}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 - 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$