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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x}$ = $1$

$\sqrt{x}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{2}$

x

=

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x}$

$=$ $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $1$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 18}$ = $2 \sqrt{2 x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 18}$	=	$2 \sqrt{2 x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 18$	=	${(2 \sqrt{2 x + 5})}^{2}$

$9 x + 18$	=	$4 (2 x + 5)$
$9 x + 18$	=	$8 x + 20$	\| $- 18$
$9 x$	=	$8 x + 2$	\| $- 8 x$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 + 18}$

= $\sqrt{18 + 18}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{2 x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 2 + 5}$

= $2 \sqrt{4 + 5}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 32}$ = $\sqrt{4 x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 32}$	=	$\sqrt{4 x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 32$	=	${(\sqrt{4 x + 12} + 2)}^{2}$

$8 x + 32$	=	$4 \sqrt{4 x + 12} + 4 x + 16$	\| $- 8 x$ $- 32$ $- 4 \sqrt{4 x + 12}$
$- 4 \sqrt{4 x + 12}$	=	$- 4 x - 16$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 12}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 12$	=	${(x + 4)}^{2}$

4 x + 12

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{8 x + 32}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 2) + 32}$

= $\sqrt{- 16 + 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 2$