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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 18}$ = $- 3$

$- \sqrt{3 x + 18}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 18$	=	$3^{2}$

$3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- \sqrt{3 x + 18}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 3) + 18}$

= $- \sqrt{- 9 + 18}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 351}$ = $3 \sqrt{2 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 351}$	=	$3 \sqrt{2 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 351$	=	${(3 \sqrt{2 x + 43})}^{2}$

$14 x + 351$	=	$9 (2 x + 43)$
$14 x + 351$	=	$18 x + 387$	\| $- 351$
$14 x$	=	$18 x + 36$	\| $- 18 x$
$- 4 x$	=	$36$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{14 x + 351}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot (- 9) + 351}$

= $\sqrt{- 126 + 351}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $3 \sqrt{2 x + 43}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 9) + 43}$

= $3 \sqrt{- 18 + 43}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 8}$ = $\sqrt{4 x + 8} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 8}$	=	$\sqrt{4 x + 8} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 8$	=	${(\sqrt{4 x + 8} + 2)}^{2}$

$8 x + 8$	=	$4 \sqrt{4 x + 8} + 4 x + 12$	\| $- 8 x$ $- 8$ $- 4 \sqrt{4 x + 8}$
$- 4 \sqrt{4 x + 8}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 8}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(x - 1)}^{2}$

4 x + 8

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 8}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 8 + 8}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 8} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 8} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x + 8}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 + 8}$

= $\sqrt{56 + 8}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x + 8} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 + 8} + 2$

= $\sqrt{28 + 8} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 7

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $7$