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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 1}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{- x + 1}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 1$	=	$2^{2}$

$- x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 2 \sqrt{- x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{- (- 3) + 1}$

= $- 2 \sqrt{3 + 1}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 10}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 10}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 10$	=	${(- x)}^{2}$

3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 10}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 31}$ = $\sqrt{x + 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 31}$	=	$\sqrt{x + 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	${(\sqrt{x + 14} + 1)}^{2}$

$3 x + 31$	=	$2 \sqrt{x + 14} + x + 15$	\| $- 3 x$ $- 31$ $- 2 \sqrt{x + 14}$
$- 2 \sqrt{x + 14}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	${(x + 8)}^{2}$

x + 14

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 50)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15+5}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{15-5}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 50$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{3 x + 31}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 10) + 31}$

= $\sqrt{- 30 + 31}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{- 10 + 14} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 31}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $\sqrt{- 15 + 31}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 14} + 1$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -5

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 5$