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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 15}$ = $- 6$

2 \sqrt{- 3 x + 15}

=

- 6

|:

2

\sqrt{- 3 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 57}$ = $2 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 57}$	=	$2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 57$	=	${(2 x - 3)}^{2}$

- 8 x + 57

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 8 x + 57}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 3) + 57}$

= $\sqrt{24 + 57}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x - 3$

$=$ $2 \cdot (- 3) - 3$

= $- 6 - 3$

= $- 9$

Also 9 ≠ -9

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 8 x + 57}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 4 + 57}$

= $\sqrt{- 32 + 57}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x - 3$

$=$ $2 \cdot 4 - 3$

= $8 - 3$

= $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 60}$ = $\sqrt{2 x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 60}$	=	$\sqrt{2 x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 60$	=	${(\sqrt{2 x + 24} + 2)}^{2}$

$6 x + 60$	=	$4 \sqrt{2 x + 24} + 2 x + 28$	\| $- 6 x$ $- 60$ $- 4 \sqrt{2 x + 24}$
$- 4 \sqrt{2 x + 24}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{6 x + 60}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 10) + 60}$

= $\sqrt{- 60 + 60}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{2 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 10) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{6 x + 60}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 4) + 60}$

= $\sqrt{- 24 + 60}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 24} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -4

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 4$