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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $- 3$

\sqrt{2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 73}$ = $3 \sqrt{2 x + 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 73}$	=	$3 \sqrt{2 x + 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 73$	=	${(3 \sqrt{2 x + 9})}^{2}$

$19 x + 73$	=	$9 (2 x + 9)$
$19 x + 73$	=	$18 x + 81$	\| $- 73$
$19 x$	=	$18 x + 8$	\| $- 18 x$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{19 x + 73}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 8 + 73}$

= $\sqrt{152 + 73}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $8$ in $3 \sqrt{2 x + 9}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 8 + 9}$

= $3 \sqrt{16 + 9}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 12}$ = $\sqrt{5 x - 11} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 12}$	=	$\sqrt{5 x - 11} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 12$	=	${(\sqrt{5 x - 11} + 1)}^{2}$

$7 x - 12$	=	$2 \sqrt{5 x - 11} + 5 x - 10$	\| $- 7 x$ $+ 12$ $- 2 \sqrt{5 x - 11}$
$- 2 \sqrt{5 x - 11}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x - 11}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x - 11

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11} + 1$

= $\sqrt{15 - 11} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 4 - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11} + 1$

= $\sqrt{20 - 11} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $8$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$