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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{3 x + 28}$ = $8$

$2 \sqrt{3 x + 28}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	$4^{2}$

$3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $2 \sqrt{- 12 + 28}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 6}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 6$	=	${(x)}^{2}$

5 x - 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $x$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 6}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{15 - 6}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 84}$ = $\sqrt{5 x + 61} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 84}$	=	$\sqrt{5 x + 61} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 84$	=	${(\sqrt{5 x + 61} + 1)}^{2}$

$7 x + 84$	=	$2 \sqrt{5 x + 61} + 5 x + 62$	\| $- 7 x$ $- 84$ $- 2 \sqrt{5 x + 61}$
$- 2 \sqrt{5 x + 61}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 61}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 61$	=	${(x + 11)}^{2}$

5 x + 61

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 12) + 84}$

= $\sqrt{- 84 + 84}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{5 x + 61} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 12) + 61} + 1$

= $\sqrt{- 60 + 61} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 84}$

= $\sqrt{- 35 + 84}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 61} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 61} + 1$

= $\sqrt{- 25 + 61} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$