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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 14}$ = $9$

$3 \sqrt{x + 14}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{37 x + 229}$ = $3 \sqrt{4 x + 25}$

Lösung einblenden

$\sqrt{37 x + 229}$	=	$3 \sqrt{4 x + 25}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37 x + 229$	=	${(3 \sqrt{4 x + 25})}^{2}$

$37 x + 229$	=	$9 (4 x + 25)$
$37 x + 229$	=	$36 x + 225$	\| $- 229$
$37 x$	=	$36 x - 4$	\| $- 36 x$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{37 x + 229}$

$=$ $\sqrt{37 \cdot (- 4) + 229}$

= $\sqrt{- 148 + 229}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{4 x + 25}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 4) + 25}$

= $3 \sqrt{- 16 + 25}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 7}$ = $\sqrt{x + 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 7}$	=	$\sqrt{x + 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(\sqrt{x + 2} + 1)}^{2}$

$3 x + 7$	=	$2 \sqrt{x + 2} + x + 3$	\| $- 3 x$ $- 7$ $- 2 \sqrt{x + 2}$
$- 2 \sqrt{x + 2}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 2}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	${(x + 2)}^{2}$

x + 2

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7}$

= $\sqrt{- 6 + 7}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{- 2 + 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $\sqrt{- 3 + 7}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 2} + 1$

$=$ $\sqrt{- 1 + 2} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$