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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{(- 2 x)}$ = $6$

$3 \sqrt{(- 2 x)}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{(- 2 x)}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x$	=	$2^{2}$

$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{(- 2 x)}$

$=$ $3 \sqrt{(- 2 \cdot (- 2))}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 8}$ = $- 2 x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 8}$	=	$- 2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 8$	=	${(- 2 x - 4)}^{2}$

4 x + 8

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 12 x - 8

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 8}$

= $\sqrt{- 8 + 8}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2 x - 4$

$=$ $- 2 \cdot (- 2) - 4$

= $4 - 4$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 8}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x - 4$

$=$ $- 2 \cdot (- 1) - 4$

= $2 - 4$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 5}$ = $\sqrt{x + 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 5}$	=	$\sqrt{x + 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 5$	=	${(\sqrt{x + 3} + 2)}^{2}$

$5 x - 5$	=	$4 \sqrt{x + 3} + x + 7$	\| $- 5 x$ $+ 5$ $- 4 \sqrt{x + 3}$
$- 4 \sqrt{x + 3}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 3}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 3$	=	${(x - 3)}^{2}$

x + 3

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7+5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 7-5}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 5}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 5}$

= $\sqrt{5 - 5}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{1 + 3} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x - 5}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 - 5}$

= $\sqrt{30 - 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{6 + 3} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 6

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $6$