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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 3 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $- 3 \sqrt{3 + 1}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 69 x - 20}$ = $- 3 x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 69 x - 20}$	=	$- 3 x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 69 x - 20$	=	${(- 3 x + 4)}^{2}$

- 69 x - 20

=

9 x^{2} - 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

+ 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 45 x - 36

= 0 |:9

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5+3}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{5-3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 69 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 4) - 20}$

= $\sqrt{276 - 20}$

= $\sqrt{256}$

= $16$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot (- 4) + 4$

= $12 + 4$

= $16$

Also 16 = 16

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 69 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 1) - 20}$

= $\sqrt{69 - 20}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3 x + 4$

$=$ $- 3 \cdot (- 1) + 4$

= $3 + 4$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 91}$ = $\sqrt{5 x + 66} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 91}$	=	$\sqrt{5 x + 66} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 91$	=	${(\sqrt{5 x + 66} + 1)}^{2}$

$7 x + 91$	=	$2 \sqrt{5 x + 66} + 5 x + 67$	\| $- 7 x$ $- 91$ $- 2 \sqrt{5 x + 66}$
$- 2 \sqrt{5 x + 66}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 66}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 66$	=	${(x + 12)}^{2}$

5 x + 66

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 78)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 312}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19+7}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{19-7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 78$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 78$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $78$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{312}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 91}$

= $\sqrt{- 91 + 91}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{5 x + 66} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 13) + 66} + 1$

= $\sqrt{- 65 + 66} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{7 x + 91}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 6) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 66} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 66} + 1$

= $\sqrt{- 30 + 66} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 6$