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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 14}$ = $9$

$3 \sqrt{x + 14}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{49 x + 134}$ = $3 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{49 x + 134}$	=	$3 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$49 x + 134$	=	${(3 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$49 x + 134$	=	$9 (5 x + 14)$
$49 x + 134$	=	$45 x + 126$	\| $- 134$
$49 x$	=	$45 x - 8$	\| $- 45 x$
$4 x$	=	$- 8$	\|: $4$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{49 x + 134}$

$=$ $\sqrt{49 \cdot (- 2) + 134}$

= $\sqrt{- 98 + 134}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $3 \sqrt{- 10 + 14}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 16}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 16}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 16$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 2)}^{2}$

$7 x + 16$	=	$4 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 8$	\| $- 7 x$ $- 16$ $- 4 \sqrt{3 x + 4}$
$- 4 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 16}$

= $\sqrt{- 7 + 16}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 16}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 16}$

= $\sqrt{0 + 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$