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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 1}$ = $6$

$3 \sqrt{- x + 1}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 1$	=	$2^{2}$

$- x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{- x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- (- 3) + 1}$

= $3 \sqrt{3 + 1}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x - 8}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x - 8}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x - 8$	=	${(- x)}^{2}$

- 6 x - 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 4) - 8}$

= $\sqrt{24 - 8}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x$

$=$ $- (- 4)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 6 x - 8}$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 2) - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 153}$ = $\sqrt{4 x + 85} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 153}$	=	$\sqrt{4 x + 85} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 153$	=	${(\sqrt{4 x + 85} + 2)}^{2}$

$8 x + 153$	=	$4 \sqrt{4 x + 85} + 4 x + 89$	\| $- 8 x$ $- 153$ $- 4 \sqrt{4 x + 85}$
$- 4 \sqrt{4 x + 85}$	=	$- 4 x - 64$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 85}$	=	$x + 16$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 85$	=	${(x + 16)}^{2}$

4 x + 85

=

x^{2} + 32 x + 256

|

- x^{2}

- 32 x

- 256

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 171)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 684}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28+10}{- 2}$ = $\frac{38}{- 2}$ = $- 19$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28-10}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 28 x + 171$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $14^{2} - 171$ = $196$ $-$ $171$ = $25$

x_1,2 = $- 14$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 14$ - $5$ = -19

x₂ = $- 14$ + $5$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 19$

Linke Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{8 x + 153}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 19) + 153}$

= $\sqrt{- 152 + 153}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{4 x + 85} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 19) + 85} + 2$

= $\sqrt{- 76 + 85} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{8 x + 153}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 9) + 153}$

= $\sqrt{- 72 + 153}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 85} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 85} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 85} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -19

Probe für x = -9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 19$

Probe für x = $- 9$