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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $4$

$2 \sqrt{- 2 x + 2}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 36 x + 144}$ = $- 3 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 36 x + 144}$	=	$- 3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 36 x + 144$	=	${(- 3 x + 3)}^{2}$

- 36 x + 144

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} - 18 x + 135

= 0 |:9

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 36 x + 144}$

$=$ $\sqrt{- 36 \cdot (- 5) + 144}$

= $\sqrt{180 + 144}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) + 3$

= $15 + 3$

= $18$

Also 18 = 18

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 36 x + 144}$

$=$ $\sqrt{- 36 \cdot 3 + 144}$

= $\sqrt{- 108 + 144}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot 3 + 3$

= $- 9 + 3$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 46}$ = $\sqrt{3 x + 27} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 46}$	=	$\sqrt{3 x + 27} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 46$	=	${(\sqrt{3 x + 27} + 1)}^{2}$

$5 x + 46$	=	$2 \sqrt{3 x + 27} + 3 x + 28$	\| $- 5 x$ $- 46$ $- 2 \sqrt{3 x + 27}$
$- 2 \sqrt{3 x + 27}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 27}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 27$	=	${(x + 9)}^{2}$

3 x + 27

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15+3}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15-3}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 46}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 46}$

= $\sqrt{- 45 + 46}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 27} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 46}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 46}$

= $\sqrt{- 30 + 46}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 27} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 27} + 1$

= $\sqrt{- 18 + 27} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 6$