Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 8}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{x + 8}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 2 \sqrt{x + 8}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 180}$ = $2 \sqrt{3 x + 40}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 180}$	=	$2 \sqrt{3 x + 40}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 180$	=	${(2 \sqrt{3 x + 40})}^{2}$

$16 x + 180$	=	$4 (3 x + 40)$
$16 x + 180$	=	$12 x + 160$	\| $- 180$
$16 x$	=	$12 x - 20$	\| $- 12 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{16 x + 180}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 5) + 180}$

= $\sqrt{- 80 + 180}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{3 x + 40}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 40}$

= $2 \sqrt{- 15 + 40}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 10}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 10}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 10$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 1)}^{2}$

$6 x + 10$	=	$2 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 6$	\| $- 6 x$ $- 10$ $- 2 \sqrt{4 x + 5}$
$- 2 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 + 10}$

= $\sqrt{6 + 10}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 1$

= $\sqrt{4 + 5} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$