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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 26}$ = $4$

$\sqrt{2 x + 26}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 26$	=	$4^{2}$

$2 x + 26$	=	$16$	\| $- 26$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{2 x + 26}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 5) + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 41}$ = $- 2 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 41}$	=	$- 2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 41$	=	${(- 2 x - 3)}^{2}$

4 x + 41

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 8 x + 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 41}$

= $\sqrt{- 16 + 41}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) - 3$

= $8 - 3$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 + 41}$

= $\sqrt{8 + 41}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x - 3$

$=$ $- 2 \cdot 2 - 3$

= $- 4 - 3$

= $- 7$

Also 7 ≠ -7

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 112}$ = $\sqrt{5 x + 60} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 112}$	=	$\sqrt{5 x + 60} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 112$	=	${(\sqrt{5 x + 60} + 2)}^{2}$

$9 x + 112$	=	$4 \sqrt{5 x + 60} + 5 x + 64$	\| $- 9 x$ $- 112$ $- 4 \sqrt{5 x + 60}$
$- 4 \sqrt{5 x + 60}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 60}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 60$	=	${(x + 12)}^{2}$

5 x + 60

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19+5}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19-5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 84$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{336}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{9 x + 112}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 12) + 112}$

= $\sqrt{- 108 + 112}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{5 x + 60} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 12) + 60} + 2$

= $\sqrt{- 60 + 60} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 12$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{9 x + 112}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 7) + 112}$

= $\sqrt{- 63 + 112}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 60} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 60} + 2$

= $\sqrt{- 35 + 60} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 12$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 7$