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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 3}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot (- 2) + 3}$

= $- 2 \sqrt{6 + 3}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $3 \sqrt{x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$3 \sqrt{x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(3 \sqrt{x - 3})}^{2}$

$8 x - 20$	=	$9 (x - 3)$
$8 x - 20$	=	$9 x - 27$	\| $+ 20$
$8 x$	=	$9 x - 7$	\| $- 9 x$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{x - 3}$

$=$ $3 \sqrt{7 - 3}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 11}$ = $\sqrt{x - 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 11}$	=	$\sqrt{x - 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(\sqrt{x - 3} + 2)}^{2}$

$5 x - 11$	=	$4 \sqrt{x - 3} + x + 1$	\| $- 5 x$ $+ 11$ $- 4 \sqrt{x - 3}$
$- 4 \sqrt{x - 3}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 3}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 3$	=	${(x - 3)}^{2}$

x - 3

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{15 - 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 3} + 2$

$=$ $\sqrt{3 - 3} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11}$

= $\sqrt{20 - 11}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x - 3} + 2$

$=$ $\sqrt{4 - 3} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $7$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$