Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 49}$ = $21$

$3 \sqrt{3 x + 49}$	=	$21$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 49}$	=	$7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 49$	=	$7^{2}$

$3 x + 49$	=	$49$	\| $- 49$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $3 \sqrt{3 x + 49}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 0 + 49}$

= $3 \sqrt{0 + 49}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Rechte Seite:

x = 0 in $21$

$=$ $21$

Also 21 = 21

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x + 34}$ = $3 \sqrt{5 x + 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x + 34}$	=	$3 \sqrt{5 x + 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x + 34$	=	${(3 \sqrt{5 x + 4})}^{2}$

$47 x + 34$	=	$9 (5 x + 4)$
$47 x + 34$	=	$45 x + 36$	\| $- 34$
$47 x$	=	$45 x + 2$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{47 x + 34}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot 1 + 34}$

= $\sqrt{47 + 34}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{5 x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 1 + 4}$

= $3 \sqrt{5 + 4}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 18}$ = $\sqrt{x - 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 18}$	=	$\sqrt{x - 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 18$	=	${(\sqrt{x - 5} + 1)}^{2}$

$3 x - 18$	=	$2 \sqrt{x - 5} + x - 4$	\| $- 3 x$ $+ 18$ $- 2 \sqrt{x - 5}$
$- 2 \sqrt{x - 5}$	=	$- 2 x + 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x - 5}$	=	$x - 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 5$	=	${(x - 7)}^{2}$

x - 5

=

x^{2} - 14 x + 49

|

- x^{2}

+ 14 x

- 49

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15+3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15-3}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{3 x - 18}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 6 - 18}$

= $\sqrt{18 - 18}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{6 - 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $6$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 18}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 18}$

= $\sqrt{27 - 18}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{9 - 5} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 6

Probe für x = 9

Probe für x = $1$

Probe für x = $6$

Probe für x = $9$