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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 31}$ = $- 4$

$- \sqrt{3 x + 31}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $- \sqrt{- 15 + 31}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 6 x + 30} + 5$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 6 x + 30} + 5$	=	$x$	\| $- 5$
$\sqrt{- 6 x + 30}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 6 x + 30$	=	${(x - 5)}^{2}$

- 6 x + 30

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 6 x + 30} + 5$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot (- 1) + 30} + 5$

= $\sqrt{6 + 30} + 5$

= $\sqrt{36} + 5$

= $6 + 5$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 11 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 6 x + 30} + 5$

$=$ $\sqrt{- 6 \cdot 5 + 30} + 5$

= $\sqrt{- 30 + 30} + 5$

= $\sqrt{0} + 5$

= $0 + 5$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 55}$ = $\sqrt{x + 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 55}$	=	$\sqrt{x + 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 55$	=	${(\sqrt{x + 15} + 2)}^{2}$

$5 x + 55$	=	$4 \sqrt{x + 15} + x + 19$	\| $- 5 x$ $- 55$ $- 4 \sqrt{x + 15}$
$- 4 \sqrt{x + 15}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 15}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 15$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 15

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17+5}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17-5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 66$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 11) + 55}$

= $\sqrt{- 55 + 55}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 11 + 15} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 55}$

= $\sqrt{- 30 + 55}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 15} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 6$