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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $4$

$2 \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot 1 + 6}$

= $2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 30}$ = $2 \sqrt{3 x - 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 30}$	=	$2 \sqrt{3 x - 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 30$	=	${(2 \sqrt{3 x - 9})}^{2}$

$11 x - 30$	=	$4 (3 x - 9)$
$11 x - 30$	=	$12 x - 36$	\| $+ 30$
$11 x$	=	$12 x - 6$	\| $- 12 x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{11 x - 30}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 6 - 30}$

= $\sqrt{66 - 30}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{3 x - 9}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 6 - 9}$

= $2 \sqrt{18 - 9}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 9}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 9}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 9$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 2)}^{2}$

$8 x + 9$	=	$4 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 9$	\| $- 8 x$ $- 9$ $- 4 \sqrt{4 x + 5}$
$- 4 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 9}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 9}$

= $\sqrt{- 8 + 9}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x + 9}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 + 9}$

= $\sqrt{40 + 9}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 + 5} + 2$

= $\sqrt{20 + 5} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Probe für x = $1$

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$