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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{(- x)}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{(- x)}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{(- x)}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x$	=	$2^{2}$

$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 2 \sqrt{(- x)}$

$=$ $- 2 \sqrt{(- (- 4))}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x - 6}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x - 6}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 6$	=	${(x - 3)}^{2}$

2 x - 6

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 6}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 6}$

= $\sqrt{6 - 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $3$ in $x - 3$

$=$ $3 - 3$

= 0

Also 0 = 0

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 6}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 6}$

= $\sqrt{10 - 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x - 3$

$=$ $5 - 3$

= $2$

Also 2 = 2

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 52}$ = $\sqrt{x + 25} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 52}$	=	$\sqrt{x + 25} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 52$	=	${(\sqrt{x + 25} + 1)}^{2}$

$3 x + 52$	=	$2 \sqrt{x + 25} + x + 26$	\| $- 3 x$ $- 52$ $- 2 \sqrt{x + 25}$
$- 2 \sqrt{x + 25}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 25}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 25$	=	${(x + 13)}^{2}$

x + 25

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25+7}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25-7}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{3 x + 52}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 16) + 52}$

= $\sqrt{- 48 + 52}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{- 16 + 25} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 52}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 52}$

= $\sqrt{- 27 + 52}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 25} + 1$

$=$ $\sqrt{- 9 + 25} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 9$