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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 17}$ = $6$

$2 \sqrt{2 x + 17}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $2 \sqrt{- 8 + 17}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 85} - 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 85} - 2$	=	$- 3 x$	\| $+ 2$
$\sqrt{- 12 x + 85}$	=	$- 3 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 85$	=	${(- 3 x + 2)}^{2}$

$- 12 x + 85$	=	$9 x^{2} - 12 x + 4$	\| $- 85$
$- 12 x$	=	$9 x^{2} - 12 x - 81$	\| $- 9 x^{2}$ $+ 12 x$
$- 9 x^{2}$	=	$- 81$	\|: $(- 9)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 12 x + 85} - 2$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 3) + 85} - 2$

= $\sqrt{36 + 85} - 2$

= $\sqrt{121} - 2$

= $11 - 2$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 3)$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 12 x + 85} - 2$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 3 + 85} - 2$

= $\sqrt{- 36 + 85} - 2$

= $\sqrt{49} - 2$

= $7 - 2$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 3$

= $- 9$

Also 5 ≠ -9

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 90}$ = $\sqrt{5 x + 46} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 90}$	=	$\sqrt{5 x + 46} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 90$	=	${(\sqrt{5 x + 46} + 2)}^{2}$

$9 x + 90$	=	$4 \sqrt{5 x + 46} + 5 x + 50$	\| $- 9 x$ $- 90$ $- 4 \sqrt{5 x + 46}$
$- 4 \sqrt{5 x + 46}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 46}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 46$	=	${(x + 10)}^{2}$

5 x + 46

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15+3}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{15-3}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{9 x + 90}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 9) + 90}$

= $\sqrt{- 81 + 90}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 46} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 46} + 2$

= $\sqrt{- 45 + 46} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{9 x + 90}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 6) + 90}$

= $\sqrt{- 54 + 90}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 46} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 46} + 2$

= $\sqrt{- 30 + 46} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -3

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -6

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 6$