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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 25}$ = $15$

$3 \sqrt{2 x + 25}$	=	$15$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 25}$	=	$5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 25$	=	$5^{2}$

$2 x + 25$	=	$25$	\| $- 25$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $3 \sqrt{2 x + 25}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 0 + 25}$

= $3 \sqrt{0 + 25}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Rechte Seite:

x = 0 in $15$

$=$ $15$

Also 15 = 15

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 48}$ = $3 \sqrt{x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 48}$	=	$3 \sqrt{x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 48$	=	${(3 \sqrt{x + 5})}^{2}$

$12 x + 48$	=	$9 (x + 5)$
$12 x + 48$	=	$9 x + 45$	\| $- 48$
$12 x$	=	$9 x - 3$	\| $- 9 x$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{12 x + 48}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 1) + 48}$

= $\sqrt{- 12 + 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{- 1 + 5}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 10}$ = $\sqrt{x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 10}$	=	$\sqrt{x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 10$	=	${(\sqrt{x + 6} + 2)}^{2}$

$5 x + 10$	=	$4 \sqrt{x + 6} + x + 10$	\| $- 5 x$ $- 10$ $- 4 \sqrt{x + 6}$
$- 4 \sqrt{x + 6}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 6}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	${(x)}^{2}$

x + 6

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 10}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 10}$

= $\sqrt{- 10 + 10}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{- 2 + 6} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x + 10}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 + 10}$

= $\sqrt{15 + 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{3 + 6} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$