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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 28}$ = $4$

$\sqrt{3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	$4^{2}$

$3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 28}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $\sqrt{- 12 + 28}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 89}$ = $\sqrt{3 x + 60} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 89}$	=	$\sqrt{3 x + 60} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 89$	=	${(\sqrt{3 x + 60} + 1)}^{2}$

$5 x + 89$	=	$2 \sqrt{3 x + 60} + 3 x + 61$	\| $- 5 x$ $- 89$ $- 2 \sqrt{3 x + 60}$
$- 2 \sqrt{3 x + 60}$	=	$- 2 x - 28$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 60}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 60$	=	${(x + 14)}^{2}$

3 x + 60

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 136)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 544}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25+9}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{25-9}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 136$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 136$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $136$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{544}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{34}{2}$ = -17

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{5 x + 89}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 17) + 89}$

= $\sqrt{- 85 + 89}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{3 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 17) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 51 + 60} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 89}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 89}$

= $\sqrt{- 40 + 89}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 60} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 60} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 60} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 8$