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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 3}$ = $- 3$

$- \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	$3^{2}$

$3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- \sqrt{3 x + 3}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot 2 + 3}$

= $- \sqrt{6 + 3}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 36}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 36}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 36$	=	${(2 x)}^{2}$

- 24 x - 36

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 24 x - 36

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 24 x - 36}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 3) - 36}$

= $\sqrt{72 - 36}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 3)$

= $- 6$

Also 6 ≠ -6

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 18}$ = $\sqrt{5 x + 19} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 18}$	=	$\sqrt{5 x + 19} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 18$	=	${(\sqrt{5 x + 19} + 1)}^{2}$

$7 x + 18$	=	$2 \sqrt{5 x + 19} + 5 x + 20$	\| $- 7 x$ $- 18$ $- 2 \sqrt{5 x + 19}$
$- 2 \sqrt{5 x + 19}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 19}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 19$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x + 19

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 7+11}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{- 2}$ = $\frac{- 7-11}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{7 x + 18}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 2) + 18}$

= $\sqrt{- 14 + 18}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 19} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 19} + 1$

= $\sqrt{- 10 + 19} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x + 18}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 + 18}$

= $\sqrt{63 + 18}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x + 19} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 + 19} + 1$

= $\sqrt{45 + 19} + 1$

= $\sqrt{64} + 1$

= $8 + 1$

= $9$

Also 9 = 9

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 9

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $9$