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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $8$

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 1}$

= $2 \sqrt{15 + 1}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{26 x - 43}$ = $3 \sqrt{3 x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{26 x - 43}$	=	$3 \sqrt{3 x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$26 x - 43$	=	${(3 \sqrt{3 x - 5})}^{2}$

$26 x - 43$	=	$9 (3 x - 5)$
$26 x - 43$	=	$27 x - 45$	\| $+ 43$
$26 x$	=	$27 x - 2$	\| $- 27 x$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{26 x - 43}$

$=$ $\sqrt{26 \cdot 2 - 43}$

= $\sqrt{52 - 43}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3 \sqrt{3 x - 5}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 2 - 5}$

= $3 \sqrt{6 - 5}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 145}$ = $\sqrt{4 x + 81} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 145}$	=	$\sqrt{4 x + 81} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 145$	=	${(\sqrt{4 x + 81} + 2)}^{2}$

$8 x + 145$	=	$4 \sqrt{4 x + 81} + 4 x + 85$	\| $- 8 x$ $- 145$ $- 4 \sqrt{4 x + 81}$
$- 4 \sqrt{4 x + 81}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

4 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26+10}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26-10}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 144$ = $169$ $-$ $144$ = $25$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 13$ - $5$ = -18

x₂ = $- 13$ + $5$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 18) + 145}$

= $\sqrt{- 144 + 145}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 18) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 72 + 81} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 8) + 145}$

= $\sqrt{- 64 + 145}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 32 + 81} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 8$