Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 15}$ = $6$

$2 \sqrt{2 x + 15}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 43}$ = $\sqrt{4 x + 28} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 43}$	=	$\sqrt{4 x + 28} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 43$	=	${(\sqrt{4 x + 28} + 1)}^{2}$

$6 x + 43$	=	$2 \sqrt{4 x + 28} + 4 x + 29$	\| $- 6 x$ $- 43$ $- 2 \sqrt{4 x + 28}$
$- 2 \sqrt{4 x + 28}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 28}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 28$	=	${(x + 7)}^{2}$

4 x + 28

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 43}$

= $\sqrt{- 42 + 43}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 28} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 43}$

= $\sqrt{- 18 + 43}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 28} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 28} + 1$

= $\sqrt{- 12 + 28} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$