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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{x}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{2}$

x

=

4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 2 \sqrt{x}$

$=$ $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x - 72}$ = $3 \sqrt{x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x - 72}$	=	$3 \sqrt{x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x - 72$	=	${(3 \sqrt{x - 5})}^{2}$

$12 x - 72$	=	$9 (x - 5)$
$12 x - 72$	=	$9 x - 45$	\| $+ 72$
$12 x$	=	$9 x + 27$	\| $- 9 x$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{12 x - 72}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 9 - 72}$

= $\sqrt{108 - 72}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{x - 5}$

$=$ $3 \sqrt{9 - 5}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 41}$ = $\sqrt{2 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 41}$	=	$\sqrt{2 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 41$	=	${(\sqrt{2 x + 24} + 1)}^{2}$

$4 x + 41$	=	$2 \sqrt{2 x + 24} + 2 x + 25$	\| $- 4 x$ $- 41$ $- 2 \sqrt{2 x + 24}$
$- 2 \sqrt{2 x + 24}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 10) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 41}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 41}$

= $\sqrt{- 16 + 41}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 24} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -4

Probe für x = $4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 4$