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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 3}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	$3^{2}$

$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $- \sqrt{6 + 3}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 5}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 5

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5}$

= $\sqrt{- 4 + 5}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{4 x + 5}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 5 + 5}$

= $\sqrt{20 + 5}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 61}$ = $\sqrt{5 x + 29} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 61}$	=	$\sqrt{5 x + 29} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 61$	=	${(\sqrt{5 x + 29} + 2)}^{2}$

$9 x + 61$	=	$4 \sqrt{5 x + 29} + 5 x + 33$	\| $- 9 x$ $- 61$ $- 4 \sqrt{5 x + 29}$
$- 4 \sqrt{5 x + 29}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 29}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 29$	=	${(x + 7)}^{2}$

5 x + 29

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 45 + 61}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 29} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 4) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 29} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$