Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 8}$ = $2$

$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 8}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 36}$ = $2 \sqrt{x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 36}$	=	$2 \sqrt{x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 36$	=	${(2 \sqrt{x + 5})}^{2}$

$8 x + 36$	=	$4 (x + 5)$
$8 x + 36$	=	$4 x + 20$	\| $- 36$
$8 x$	=	$4 x - 16$	\| $- 4 x$
$4 x$	=	$- 16$	\|: $4$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{8 x + 36}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 4) + 36}$

= $\sqrt{- 32 + 36}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{x + 5}$

$=$ $2 \sqrt{- 4 + 5}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 8}$ = $\sqrt{x - 3} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 8}$	=	$\sqrt{x - 3} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 8$	=	${(\sqrt{x - 3} + 1)}^{2}$

$3 x - 8$	=	$2 \sqrt{x - 3} + x - 2$	\| $- 3 x$ $+ 8$ $- 2 \sqrt{x - 3}$
$- 2 \sqrt{x - 3}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x - 3}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 3$	=	${(x - 3)}^{2}$

x - 3

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{3 x - 8}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 3 - 8}$

= $\sqrt{9 - 8}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{3 - 3} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{3 x - 8}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 4 - 8}$

= $\sqrt{12 - 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x - 3} + 1$

$=$ $\sqrt{4 - 3} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$