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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5,1962 \sqrt{x}$ = $9$

- 5,1962 \sqrt{x}

=

9

|:(

- 5,1962

)

\sqrt{x}

=

- \frac{9}{5,1962}

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 69 x - 176}$ = $- 3 x - 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 69 x - 176}$	=	$- 3 x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 69 x - 176$	=	${(- 3 x - 2)}^{2}$

- 69 x - 176

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 81 x - 180

= 0 |:9

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 69 x - 176}$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 5) - 176}$

= $\sqrt{345 - 176}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3 x - 2$

$=$ $- 3 \cdot (- 5) - 2$

= $15 - 2$

= $13$

Also 13 = 13

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 69 x - 176}$

$=$ $\sqrt{- 69 \cdot (- 4) - 176}$

= $\sqrt{276 - 176}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x - 2$

$=$ $- 3 \cdot (- 4) - 2$

= $12 - 2$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 14}$ = $\sqrt{3 x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 14}$	=	$\sqrt{3 x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(\sqrt{3 x + 15} + 1)}^{2}$

$5 x + 14$	=	$2 \sqrt{3 x + 15} + 3 x + 16$	\| $- 5 x$ $- 14$ $- 2 \sqrt{3 x + 15}$
$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	${(x - 1)}^{2}$

3 x + 15

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $\sqrt{- 10 + 14}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 + 14}$

= $\sqrt{35 + 14}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 + 15} + 1$

= $\sqrt{21 + 15} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $7$