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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 4}$ = $9$

$3 \sqrt{- x + 4}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $3 \sqrt{5 + 4}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 25}$ = $2 \sqrt{4 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 25}$	=	$2 \sqrt{4 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 25$	=	${(2 \sqrt{4 x + 13})}^{2}$

$19 x + 25$	=	$4 (4 x + 13)$
$19 x + 25$	=	$16 x + 52$	\| $- 25$
$19 x$	=	$16 x + 27$	\| $- 16 x$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{19 x + 25}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 9 + 25}$

= $\sqrt{171 + 25}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{4 x + 13}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 9 + 13}$

= $2 \sqrt{36 + 13}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 16}$ = $\sqrt{2 x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 16}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 16$	=	${(\sqrt{2 x + 7} + 1)}^{2}$

$4 x + 16$	=	$2 \sqrt{2 x + 7} + 2 x + 8$	\| $- 4 x$ $- 16$ $- 2 \sqrt{2 x + 7}$
$- 2 \sqrt{2 x + 7}$	=	$- 2 x - 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 7}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 7$	=	${(x + 4)}^{2}$

2 x + 7

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 16}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 16}$

= $\sqrt{- 12 + 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 7} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 3$