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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 7}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- 3 x + 7}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 7$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 3 \sqrt{- 3 x + 7}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 3 \cdot 1 + 7}$

= $- 3 \sqrt{- 3 + 7}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{22 x + 108}$ = $2 \sqrt{5 x + 26}$

Lösung einblenden

$\sqrt{22 x + 108}$	=	$2 \sqrt{5 x + 26}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$22 x + 108$	=	${(2 \sqrt{5 x + 26})}^{2}$

$22 x + 108$	=	$4 (5 x + 26)$
$22 x + 108$	=	$20 x + 104$	\| $- 108$
$22 x$	=	$20 x - 4$	\| $- 20 x$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{22 x + 108}$

$=$ $\sqrt{22 \cdot (- 2) + 108}$

= $\sqrt{- 44 + 108}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{5 x + 26}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 26}$

= $2 \sqrt{- 10 + 26}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 10}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 10}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 10$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 1)}^{2}$

$6 x + 10$	=	$2 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 6$	\| $- 6 x$ $- 10$ $- 2 \sqrt{4 x + 5}$
$- 2 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 10}$

= $\sqrt{- 6 + 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x + 10}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 + 10}$

= $\sqrt{6 + 10}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 1$

= $\sqrt{4 + 5} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$