Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 8}$ = $2$

- \sqrt{- 2 x + 8}

=

2

|:(

- 1

)

\sqrt{- 2 x + 8}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 78 x - 29} - 3 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 78 x - 29} - 3 x$	=	$- 4$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 78 x - 29}$	=	$3 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 78 x - 29$	=	${(3 x - 4)}^{2}$

- 78 x - 29

=

9 x^{2} - 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

+ 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 54 x - 45

= 0 |:9

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 78 x - 29} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 78 \cdot (- 5) - 29} - 3 \cdot (- 5)$

= $\sqrt{390 - 29} + 15$

= $\sqrt{361} + 15$

= $19 + 15$

= $34$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 34 ≠ -4

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 78 x - 29} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 78 \cdot (- 1) - 29} - 3 \cdot (- 1)$

= $\sqrt{78 - 29} + 3$

= $\sqrt{49} + 3$

= $7 + 3$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 10 ≠ -4

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 145}$ = $\sqrt{4 x + 81} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 145}$	=	$\sqrt{4 x + 81} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 145$	=	${(\sqrt{4 x + 81} + 2)}^{2}$

$8 x + 145$	=	$4 \sqrt{4 x + 81} + 4 x + 85$	\| $- 8 x$ $- 145$ $- 4 \sqrt{4 x + 81}$
$- 4 \sqrt{4 x + 81}$	=	$- 4 x - 60$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

4 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26+10}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{26-10}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 144$ = $169$ $-$ $144$ = $25$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 13$ - $5$ = -18

x₂ = $- 13$ + $5$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 18) + 145}$

= $\sqrt{- 144 + 145}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 18) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 72 + 81} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{8 x + 145}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 8) + 145}$

= $\sqrt{- 64 + 145}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 81} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 81} + 2$

= $\sqrt{- 32 + 81} + 2$

= $\sqrt{49} + 2$

= $7 + 2$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 8$