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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 15}$ = $3$

- \sqrt{- 2 x + 15}

=

3

|:(

- 1

)

\sqrt{- 2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{41 x - 61}$ = $3 \sqrt{5 x - 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{41 x - 61}$	=	$3 \sqrt{5 x - 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$41 x - 61$	=	${(3 \sqrt{5 x - 9})}^{2}$

$41 x - 61$	=	$9 (5 x - 9)$
$41 x - 61$	=	$45 x - 81$	\| $+ 61$
$41 x$	=	$45 x - 20$	\| $- 45 x$
$- 4 x$	=	$- 20$	\|:( $- 4$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{41 x - 61}$

$=$ $\sqrt{41 \cdot 5 - 61}$

= $\sqrt{205 - 61}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{5 x - 9}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 5 - 9}$

= $3 \sqrt{25 - 9}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 61}$ = $\sqrt{5 x + 29} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 61}$	=	$\sqrt{5 x + 29} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 61$	=	${(\sqrt{5 x + 29} + 2)}^{2}$

$9 x + 61$	=	$4 \sqrt{5 x + 29} + 5 x + 33$	\| $- 9 x$ $- 61$ $- 4 \sqrt{5 x + 29}$
$- 4 \sqrt{5 x + 29}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 29}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 29$	=	${(x + 7)}^{2}$

5 x + 29

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 45 + 61}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 29} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{9 x + 61}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 4) + 61}$

= $\sqrt{- 36 + 61}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 29} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 29} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 29} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$