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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $- 2 \sqrt{2 + 2}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{84 x - 131} - 3 x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{84 x - 131} - 3 x$	=	$2$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{84 x - 131}$	=	$3 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$84 x - 131$	=	${(3 x + 2)}^{2}$

84 x - 131

=

9 x^{2} + 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

- 12 x

- 4

- 9 x^{2} + 72 x - 135

= 0 |:9

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{84 x - 131} - 3 x$

$=$ $\sqrt{84 \cdot 3 - 131} - 3 \cdot 3$

= $\sqrt{252 - 131} - 9$

= $\sqrt{121} - 9$

= $11 - 9$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{84 x - 131} - 3 x$

$=$ $\sqrt{84 \cdot 5 - 131} - 3 \cdot 5$

= $\sqrt{420 - 131} - 15$

= $\sqrt{289} - 15$

= $17 - 15$

= $2$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 1}$ = $\sqrt{x - 1} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 1}$	=	$\sqrt{x - 1} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 1$	=	${(\sqrt{x - 1} + 2)}^{2}$

$5 x - 1$	=	$4 \sqrt{x - 1} + x + 3$	\| $- 5 x$ $+ 1$ $- 4 \sqrt{x - 1}$
$- 4 \sqrt{x - 1}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 1}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 1$	=	${(x - 1)}^{2}$

x - 1

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x - 1}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 - 1}$

= $\sqrt{5 - 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x - 1} + 2$

$=$ $\sqrt{1 - 1} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 1}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 1}$

= $\sqrt{10 - 1}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x - 1} + 2$

$=$ $\sqrt{2 - 1} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$