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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{2 x + 6}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$2^{2}$

$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $- 2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x + 176}$ = $2 \sqrt{5 x + 45}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x + 176}$	=	$2 \sqrt{5 x + 45}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x + 176$	=	${(2 \sqrt{5 x + 45})}^{2}$

$19 x + 176$	=	$4 (5 x + 45)$
$19 x + 176$	=	$20 x + 180$	\| $- 176$
$19 x$	=	$20 x + 4$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{19 x + 176}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot (- 4) + 176}$

= $\sqrt{- 76 + 176}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{5 x + 45}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 4) + 45}$

= $2 \sqrt{- 20 + 45}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{4 x + 12} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{4 x + 12} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{4 x + 12} + 1)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$2 \sqrt{4 x + 12} + 4 x + 13$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 2 \sqrt{4 x + 12}$
$- 2 \sqrt{4 x + 12}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 12$	=	${(x)}^{2}$

4 x + 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4+8}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 4-8}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 12} + 1$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 + 13}$

= $\sqrt{36 + 13}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x + 12} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 + 12} + 1$

= $\sqrt{24 + 12} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $6$