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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 1}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{2 x + 1}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $- 3 \sqrt{8 + 1}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 33 x + 34}$ = $3 x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 33 x + 34}$	=	$3 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 33 x + 34$	=	${(3 x - 4)}^{2}$

- 33 x + 34

=

9 x^{2} - 24 x + 16

|

- 9 x^{2}

+ 24 x

- 16

- 9 x^{2} - 9 x + 18

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 33 x + 34}$

$=$ $\sqrt{- 33 \cdot (- 2) + 34}$

= $\sqrt{66 + 34}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x - 4$

$=$ $3 \cdot (- 2) - 4$

= $- 6 - 4$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 33 x + 34}$

$=$ $\sqrt{- 33 \cdot 1 + 34}$

= $\sqrt{- 33 + 34}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 x - 4$

$=$ $3 \cdot 1 - 4$

= $3 - 4$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 55}$ = $\sqrt{x + 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 55}$	=	$\sqrt{x + 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 55$	=	${(\sqrt{x + 15} + 2)}^{2}$

$5 x + 55$	=	$4 \sqrt{x + 15} + x + 19$	\| $- 5 x$ $- 55$ $- 4 \sqrt{x + 15}$
$- 4 \sqrt{x + 15}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 15}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 15$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 15

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17+5}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17-5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 66$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 11) + 55}$

= $\sqrt{- 55 + 55}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 11 + 15} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 55}$

= $\sqrt{- 30 + 55}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 15} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -6

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 6$