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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $8$

$2 \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$8$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$4^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$16$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 6}$

= $2 \sqrt{10 + 6}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $8$

$=$ $8$

Also 8 = 8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 28}$ = $2 \sqrt{2 x + 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 28}$	=	$2 \sqrt{2 x + 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 28$	=	${(2 \sqrt{2 x + 8})}^{2}$

$9 x + 28$	=	$4 (2 x + 8)$
$9 x + 28$	=	$8 x + 32$	\| $- 28$
$9 x$	=	$8 x + 4$	\| $- 8 x$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{9 x + 28}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 4 + 28}$

= $\sqrt{36 + 28}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{2 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 4 + 8}$

= $2 \sqrt{8 + 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 11}$ = $\sqrt{4 x - 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 11}$	=	$\sqrt{4 x - 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 11$	=	${(\sqrt{4 x - 8} + 1)}^{2}$

$6 x - 11$	=	$2 \sqrt{4 x - 8} + 4 x - 7$	\| $- 6 x$ $+ 11$ $- 2 \sqrt{4 x - 8}$
$- 2 \sqrt{4 x - 8}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 8}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 8$	=	${(x - 2)}^{2}$

4 x - 8

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x - 11}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 - 11}$

= $\sqrt{12 - 11}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 8} + 1$

= $\sqrt{8 - 8} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{6 x - 11}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 6 - 11}$

= $\sqrt{36 - 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x - 8} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 - 8} + 1$

= $\sqrt{24 - 8} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 6

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $6$