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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 2}$ = $2$

$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $\sqrt{2 + 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 104}$ = $2 \sqrt{3 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 104}$	=	$2 \sqrt{3 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 104$	=	${(2 \sqrt{3 x + 28})}^{2}$

$10 x + 104$	=	$4 (3 x + 28)$
$10 x + 104$	=	$12 x + 112$	\| $- 104$
$10 x$	=	$12 x + 8$	\| $- 12 x$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{10 x + 104}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 4) + 104}$

= $\sqrt{- 40 + 104}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $2 \sqrt{- 12 + 28}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 22}$ = $\sqrt{x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 22}$	=	$\sqrt{x + 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 22$	=	${(\sqrt{x + 7} + 1)}^{2}$

$3 x + 22$	=	$2 \sqrt{x + 7} + x + 8$	\| $- 3 x$ $- 22$ $- 2 \sqrt{x + 7}$
$- 2 \sqrt{x + 7}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 7}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 7$	=	${(x + 7)}^{2}$

x + 7

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 42)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13+1}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{13-1}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 42$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 22}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 22}$

= $\sqrt{- 21 + 22}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{- 7 + 7} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{3 x + 22}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 6) + 22}$

= $\sqrt{- 18 + 22}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{- 6 + 7} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 6$