Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 8}$ = $- 6$

Lösung einblenden

3 \sqrt{2 x + 8}

- 6

3

\sqrt{2 x + 8}

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 33}$ = $3 \sqrt{x + 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 33}$	=	$3 \sqrt{x + 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 33$	=	${(3 \sqrt{x + 3})}^{2}$

$8 x + 33$	=	$9 (x + 3)$
$8 x + 33$	=	$9 x + 27$	\| $- 33$
$8 x$	=	$9 x - 6$	\| $- 9 x$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{8 x + 33}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 6 + 33}$

= $\sqrt{48 + 33}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $6$ in $3 \sqrt{x + 3}$

$=$ $3 \sqrt{6 + 3}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 9}$ = $\sqrt{x + 1} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 9}$	=	$\sqrt{x + 1} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 9$	=	${(\sqrt{x + 1} + 2)}^{2}$

$5 x + 9$	=	$4 \sqrt{x + 1} + x + 5$	\| $- 5 x$ $- 9$ $- 4 \sqrt{x + 1}$
$- 4 \sqrt{x + 1}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	${(x + 1)}^{2}$

$x + 1$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 1$
$x$	=	$x^{2} + 2 x$	\| $- (x^{2} + 2 x)$
$- x^{2} + x - 2 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 9}$

= $\sqrt{- 5 + 9}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{x + 1} + 2$

$=$ $\sqrt{- 1 + 1} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 1} + 2$

$=$ $\sqrt{0 + 1} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 1$