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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 6}$ = $4$

$2 \sqrt{2 x + 6}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$2^{2}$

$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{2 x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 12 x + 73}$ = $- 2 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 12 x + 73}$	=	$- 2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 12 x + 73$	=	${(- 2 x + 3)}^{2}$

$- 12 x + 73$	=	$4 x^{2} - 12 x + 9$	\| $- 73$
$- 12 x$	=	$4 x^{2} - 12 x - 64$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 12 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 12 x + 73}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot (- 4) + 73}$

= $\sqrt{48 + 73}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x + 3$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) + 3$

= $8 + 3$

= $11$

Also 11 = 11

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 12 x + 73}$

$=$ $\sqrt{- 12 \cdot 4 + 73}$

= $\sqrt{- 48 + 73}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x + 3$

$=$ $- 2 \cdot 4 + 3$

= $- 8 + 3$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 84}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 84}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 84$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 2)}^{2}$

$7 x + 84$	=	$4 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 44$	\| $- 7 x$ $- 84$ $- 4 \sqrt{3 x + 40}$
$- 4 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 12) + 84}$

= $\sqrt{- 84 + 84}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 40} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{7 x + 84}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 5) + 84}$

= $\sqrt{- 35 + 84}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 15 + 40} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$