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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 1}$

= $- 2 \sqrt{15 + 1}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 45}$ = $3 \sqrt{2 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 45}$	=	$3 \sqrt{2 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 45$	=	${(3 \sqrt{2 x + 7})}^{2}$

$20 x + 45$	=	$9 (2 x + 7)$
$20 x + 45$	=	$18 x + 63$	\| $- 45$
$20 x$	=	$18 x + 18$	\| $- 18 x$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{20 x + 45}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 9 + 45}$

= $\sqrt{180 + 45}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{2 x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot 9 + 7}$

= $3 \sqrt{18 + 7}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 43}$ = $\sqrt{2 x + 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 43}$	=	$\sqrt{2 x + 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 43$	=	${(\sqrt{2 x + 15} + 2)}^{2}$

$6 x + 43$	=	$4 \sqrt{2 x + 15} + 2 x + 19$	\| $- 6 x$ $- 43$ $- 4 \sqrt{2 x + 15}$
$- 4 \sqrt{2 x + 15}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 15

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 43}$

= $\sqrt{- 42 + 43}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 15} + 2$

= $\sqrt{- 14 + 15} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 7$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{6 x + 43}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 3) + 43}$

= $\sqrt{- 18 + 43}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15} + 2$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$