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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 49}$ = $- 7$

\sqrt{2 x + 49}

=

- 7

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x - 52}$ = $2 \sqrt{2 x - 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x - 52}$	=	$2 \sqrt{2 x - 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x - 52$	=	${(2 \sqrt{2 x - 7})}^{2}$

$11 x - 52$	=	$4 (2 x - 7)$
$11 x - 52$	=	$8 x - 28$	\| $+ 52$
$11 x$	=	$8 x + 24$	\| $- 8 x$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{11 x - 52}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 8 - 52}$

= $\sqrt{88 - 52}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{2 x - 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 8 - 7}$

= $2 \sqrt{16 - 7}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 112}$ = $\sqrt{5 x + 81} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 112}$	=	$\sqrt{5 x + 81} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 112$	=	${(\sqrt{5 x + 81} + 1)}^{2}$

$7 x + 112$	=	$2 \sqrt{5 x + 81} + 5 x + 82$	\| $- 7 x$ $- 112$ $- 2 \sqrt{5 x + 81}$
$- 2 \sqrt{5 x + 81}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 81}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 81$	=	${(x + 15)}^{2}$

5 x + 81

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 144)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 576}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25+7}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{25-7}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 25 x - 144$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 25 x + 144$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{2})}^{2} - 144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $144$ = $\frac{625}{4}$ $-$ $\frac{576}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{25}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{25}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{32}{2}$ = -16

x₂ = $- \frac{25}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{7 x + 112}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 16) + 112}$

= $\sqrt{- 112 + 112}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{5 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 16) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 80 + 81} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 112}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 112}$

= $\sqrt{- 63 + 112}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 81} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 81} + 1$

= $\sqrt{- 45 + 81} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -9

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 9$