Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 4}$ = $9$

$3 \sqrt{x + 4}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	$3^{2}$

$x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{x + 4}$

$=$ $3 \sqrt{5 + 4}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 10}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 10}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 10$	=	${(- x)}^{2}$

- 7 x - 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 5) - 10}$

= $\sqrt{35 - 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x$

$=$ $- (- 5)$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 7 x - 10}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 2) - 10}$

= $\sqrt{14 - 10}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- x$

$=$ $- (- 2)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 94}$ = $\sqrt{3 x + 63} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 94}$	=	$\sqrt{3 x + 63} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 94$	=	${(\sqrt{3 x + 63} + 1)}^{2}$

$5 x + 94$	=	$2 \sqrt{3 x + 63} + 3 x + 64$	\| $- 5 x$ $- 94$ $- 2 \sqrt{3 x + 63}$
$- 2 \sqrt{3 x + 63}$	=	$- 2 x - 30$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 63}$	=	$x + 15$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 63$	=	${(x + 15)}^{2}$

3 x + 63

=

x^{2} + 30 x + 225

|

- x^{2}

- 30 x

- 225

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 162)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 648}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27+9}{- 2}$ = $\frac{36}{- 2}$ = $- 18$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{27-9}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 27 x - 162$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 27 x + 162$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{27}{2})}^{2} - 162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $162$ = $\frac{729}{4}$ $-$ $\frac{648}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{27}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{27}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{36}{2}$ = -18

x₂ = $- \frac{27}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 18$

Linke Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{5 x + 94}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 18) + 94}$

= $\sqrt{- 90 + 94}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 18$ in $\sqrt{3 x + 63} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 18) + 63} + 1$

= $\sqrt{- 54 + 63} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 18$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 94}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 94}$

= $\sqrt{- 45 + 94}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 63} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 63} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 63} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -18

Probe für x = -9

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 18$

Probe für x = $- 9$