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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 2}$ = $2$

- 2 \sqrt{x + 2}

=

2

|:(

- 2

)

\sqrt{x + 2}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 42 x - 119}$ = $3 x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 42 x - 119}$	=	$3 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 42 x - 119$	=	${(3 x + 5)}^{2}$

- 42 x - 119

=

9 x^{2} + 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

- 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 72 x - 144

= 0 |:9

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 42 x - 119}$

$=$ $\sqrt{- 42 \cdot (- 4) - 119}$

= $\sqrt{168 - 119}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x + 5$

$=$ $3 \cdot (- 4) + 5$

= $- 12 + 5$

= $- 7$

Also 7 ≠ -7

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 118}$ = $\sqrt{4 x + 85} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 118}$	=	$\sqrt{4 x + 85} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 118$	=	${(\sqrt{4 x + 85} + 1)}^{2}$

$6 x + 118$	=	$2 \sqrt{4 x + 85} + 4 x + 86$	\| $- 6 x$ $- 118$ $- 2 \sqrt{4 x + 85}$
$- 2 \sqrt{4 x + 85}$	=	$- 2 x - 32$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 85}$	=	$x + 16$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 85$	=	${(x + 16)}^{2}$

4 x + 85

=

x^{2} + 32 x + 256

|

- x^{2}

- 32 x

- 256

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 171)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 684}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28+10}{- 2}$ = $\frac{38}{- 2}$ = $- 19$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28-10}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 28 x + 171$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $14^{2} - 171$ = $196$ $-$ $171$ = $25$

x_1,2 = $- 14$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 14$ - $5$ = -19

x₂ = $- 14$ + $5$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 19$

Linke Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 19) + 118}$

= $\sqrt{- 114 + 118}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 19) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 76 + 85} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 118}$

= $\sqrt{- 54 + 118}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 36 + 85} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -19

Probe für x = -9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 19$

Probe für x = $- 9$