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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 6}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{- x + 6}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 3 \sqrt{- x + 6}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 234}$ = $2 \sqrt{3 x + 63}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 234}$	=	$2 \sqrt{3 x + 63}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 234$	=	${(2 \sqrt{3 x + 63})}^{2}$

$10 x + 234$	=	$4 (3 x + 63)$
$10 x + 234$	=	$12 x + 252$	\| $- 234$
$10 x$	=	$12 x + 18$	\| $- 12 x$
$- 2 x$	=	$18$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{10 x + 234}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 9) + 234}$

= $\sqrt{- 90 + 234}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $2 \sqrt{3 x + 63}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 9) + 63}$

= $2 \sqrt{- 27 + 63}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 2)}^{2}$

$8 x + 17$	=	$4 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 9$	\| $- 8 x$ $- 17$ $- 4 \sqrt{4 x + 5}$
$- 4 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{8 + 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$