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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 28}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 28}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	$4^{2}$

$3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $- 3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 16}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 16}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 16$	=	${(- 2 x)}^{2}$

12 x + 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{12 x + 16}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 1) + 16}$

= $\sqrt{- 12 + 16}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 1)$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{12 x + 16}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 4 + 16}$

= $\sqrt{48 + 16}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 29}$ = $\sqrt{2 x - 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 29}$	=	$\sqrt{2 x - 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 29$	=	${(\sqrt{2 x - 9} + 2)}^{2}$

$6 x - 29$	=	$4 \sqrt{2 x - 9} + 2 x - 5$	\| $- 6 x$ $+ 29$ $- 4 \sqrt{2 x - 9}$
$- 4 \sqrt{2 x - 9}$	=	$- 4 x + 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 9}$	=	$x - 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 9$	=	${(x - 6)}^{2}$

2 x - 9

=

x^{2} - 12 x + 36

|

- x^{2}

+ 12 x

- 36

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 45)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14+4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 14-4}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 45$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 5 - 29}$

= $\sqrt{30 - 29}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 9} + 2$

= $\sqrt{10 - 9} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 29}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 29}$

= $\sqrt{54 - 29}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 - 9} + 2$

= $\sqrt{18 - 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$