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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 14}$ = $- 3$

$- \sqrt{x + 14}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- \sqrt{x + 14}$

$=$ $- \sqrt{- 5 + 14}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 112} - 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 112} - 2$	=	$- 3 x$	\| $+ 2$
$\sqrt{- 21 x + 112}$	=	$- 3 x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 112$	=	${(- 3 x + 2)}^{2}$

- 21 x + 112

=

9 x^{2} - 12 x + 4

|

- 9 x^{2}

+ 12 x

- 4

- 9 x^{2} - 9 x + 108

= 0 |:9

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 21 x + 112} - 2$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 4) + 112} - 2$

= $\sqrt{84 + 112} - 2$

= $\sqrt{196} - 2$

= $14 - 2$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot (- 4)$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 21 x + 112} - 2$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 3 + 112} - 2$

= $\sqrt{- 63 + 112} - 2$

= $\sqrt{49} - 2$

= $7 - 2$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 3$

= $- 9$

Also 5 ≠ -9

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 9} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 9} + x + 10$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 9}$
$- 2 \sqrt{x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 7 x$	=	0
$x \cdot (- x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 + 4}$

= $\sqrt{21 + 4}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{7 + 9} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 7

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$