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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 2}$ = $1$

Lösung einblenden

- \sqrt{x + 2}

1

|:(

- 1

)

\sqrt{x + 2}

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 38}$ = $2 \sqrt{2 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 38}$	=	$2 \sqrt{2 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 38$	=	${(2 \sqrt{2 x - 8})}^{2}$

$9 x - 38$	=	$4 (2 x - 8)$
$9 x - 38$	=	$8 x - 32$	\| $+ 38$
$9 x$	=	$8 x + 6$	\| $- 8 x$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{9 x - 38}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 6 - 38}$

= $\sqrt{54 - 38}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $6$ in $2 \sqrt{2 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 6 - 8}$

= $2 \sqrt{12 - 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 64}$ = $\sqrt{2 x + 39} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 64}$	=	$\sqrt{2 x + 39} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 64$	=	${(\sqrt{2 x + 39} + 1)}^{2}$

$4 x + 64$	=	$2 \sqrt{2 x + 39} + 2 x + 40$	\| $- 4 x$ $- 64$ $- 2 \sqrt{2 x + 39}$
$- 2 \sqrt{2 x + 39}$	=	$- 2 x - 24$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 39}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 39$	=	${(x + 12)}^{2}$

2 x + 39

x^{2} + 24 x + 144

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 64}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 64}$

= $\sqrt{- 60 + 64}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{2 x + 39} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 15) + 39} + 1$

= $\sqrt{- 30 + 39} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 64}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 39} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 39} + 1$

= $\sqrt{- 14 + 39} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

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einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$