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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 31}$ = $- 12$

3 \sqrt{3 x + 31}

=

- 12

|:

3

\sqrt{3 x + 31}

=

- 4

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x + 54}$ = $- 3 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x + 54}$	=	$- 3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x + 54$	=	${(- 3 x + 3)}^{2}$

18 x + 54

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 36 x + 45

= 0 |:9

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{18 x + 54}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot (- 1) + 54}$

= $\sqrt{- 18 + 54}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot (- 1) + 3$

= $3 + 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{18 x + 54}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot 5 + 54}$

= $\sqrt{90 + 54}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot 5 + 3$

= $- 15 + 3$

= $- 12$

Also 12 ≠ -12

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 37}$ = $\sqrt{3 x + 13} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 37}$	=	$\sqrt{3 x + 13} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 37$	=	${(\sqrt{3 x + 13} + 2)}^{2}$

$7 x + 37$	=	$4 \sqrt{3 x + 13} + 3 x + 17$	\| $- 7 x$ $- 37$ $- 4 \sqrt{3 x + 13}$
$- 4 \sqrt{3 x + 13}$	=	$- 4 x - 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 13}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 13$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 13

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 37}$

= $\sqrt{- 28 + 37}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 13} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 13} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 37}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 37}$

= $\sqrt{- 21 + 37}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 13} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 13} + 2$

= $\sqrt{- 9 + 13} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$