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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 -x +8 = 4

Lösung einblenden
2 -x +8 = 4 |:2
-x +8 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-x +8 = 2 2
-x +8 = 4 | -8
-x = -4 |:(-1 )
x = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 4

Linke Seite:

x = 4 in 2 -x +8

= 2 -4 +8

= 2 4

= 22

= 4

Rechte Seite:

x = 4 in 4

= 4

Also 4 = 4

x = 4 ist somit eine Lösung !

L={ 4 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x -5 = x

Lösung einblenden
6x -5 = x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
6x -5 = ( x ) 2
6x -5 = x 2 | - x 2

- x 2 +6x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · ( -1 ) · ( -5 ) 2( -1 )

x1,2 = -6 ± 36 -20 -2

x1,2 = -6 ± 16 -2

x1 = -6 + 16 -2 = -6 +4 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -6 - 16 -2 = -6 -4 -2 = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +6x -5 = 0 |: -1

x 2 -6x +5 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 5 = 9 - 5 = 4

x1,2 = 3 ± 4

x1 = 3 - 2 = 1

x2 = 3 + 2 = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 1

Linke Seite:

x = 1 in 6x -5

= 61 -5

= 6 -5

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = 1 in x

= 1

Also 1 = 1

x = 1 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 5

Linke Seite:

x = 5 in 6x -5

= 65 -5

= 30 -5

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 5 in x

= 5

Also 5 = 5

x = 5 ist somit eine Lösung !

L={ 1 ; 5 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6x +85 = 4x +60 +1

Lösung einblenden
6x +85 = 4x +60 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
6x +85 = ( 4x +60 +1 ) 2
6x +85 = 2 4x +60 +4x +61 | -6x -85 -2 4x +60
-2 4x +60 = -2x -24 |:(-2 )
4x +60 = x +12 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
4x +60 = ( x +12 ) 2
4x +60 = x 2 +24x +144 | - x 2 -24x -144

- x 2 -20x -84 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +20 ± ( -20 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -84 ) 2( -1 )

x1,2 = +20 ± 400 -336 -2

x1,2 = +20 ± 64 -2

x1 = 20 + 64 -2 = 20 +8 -2 = 28 -2 = -14

x2 = 20 - 64 -2 = 20 -8 -2 = 12 -2 = -6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -20x -84 = 0 |: -1

x 2 +20x +84 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 10 2 - 84 = 100 - 84 = 16

x1,2 = -10 ± 16

x1 = -10 - 4 = -14

x2 = -10 + 4 = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -14

Linke Seite:

x = -14 in 6x +85

= 6( -14 ) +85

= -84 +85

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = -14 in 4x +60 +1

= 4( -14 ) +60 +1

= -56 +60 +1

= 4 +1

= 2 +1

= 3

Also 1 ≠ 3

x = -14 ist somit keine Lösung !

Probe für x = -6

Linke Seite:

x = -6 in 6x +85

= 6( -6 ) +85

= -36 +85

= 49

= 7

Rechte Seite:

x = -6 in 4x +60 +1

= 4( -6 ) +60 +1

= -24 +60 +1

= 36 +1

= 6 +1

= 7

Also 7 = 7

x = -6 ist somit eine Lösung !

L={ -6 }