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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{(- x)}$ = $- 6$

3 \sqrt{(- x)}

=

- 6

|:

3

\sqrt{(- x)}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x - 24}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x - 24}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x - 24$	=	${(2 x)}^{2}$

20 x - 24

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 20 x - 24

= 0 |:4

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 2 - 24}$

= $\sqrt{40 - 24}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{20 x - 24}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 3 - 24}$

= $\sqrt{60 - 24}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 21}$ = $\sqrt{x - 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 21}$	=	$\sqrt{x - 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 21$	=	${(\sqrt{x - 5} + 2)}^{2}$

$5 x - 21$	=	$4 \sqrt{x - 5} + x - 1$	\| $- 5 x$ $+ 21$ $- 4 \sqrt{x - 5}$
$- 4 \sqrt{x - 5}$	=	$- 4 x + 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x - 5}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x - 5$	=	${(x - 5)}^{2}$

x - 5

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11+1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11-1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x - 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 - 21}$

= $\sqrt{25 - 21}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{5 - 5} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x - 21}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 - 21}$

= $\sqrt{30 - 21}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{x - 5} + 2$

$=$ $\sqrt{6 - 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 5

Probe für x = 6

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $6$