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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 7}$ = $- 4$

2 \sqrt{x + 7}

=

- 4

|:

2

\sqrt{x + 7}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 56}$ = $2 \sqrt{2 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 56}$	=	$2 \sqrt{2 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 56$	=	${(2 \sqrt{2 x + 13})}^{2}$

$10 x + 56$	=	$4 (2 x + 13)$
$10 x + 56$	=	$8 x + 52$	\| $- 56$
$10 x$	=	$8 x - 4$	\| $- 8 x$
$2 x$	=	$- 4$	\|: $2$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{10 x + 56}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 2) + 56}$

= $\sqrt{- 20 + 56}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{2 x + 13}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot (- 2) + 13}$

= $2 \sqrt{- 4 + 13}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 84}$ = $\sqrt{4 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 84}$	=	$\sqrt{4 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 84$	=	${(\sqrt{4 x + 40} + 2)}^{2}$

$8 x + 84$	=	$4 \sqrt{4 x + 40} + 4 x + 44$	\| $- 8 x$ $- 84$ $- 4 \sqrt{4 x + 40}$
$- 4 \sqrt{4 x + 40}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 40}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 40$	=	${(x + 10)}^{2}$

4 x + 40

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16+4}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{16-4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{8 x + 84}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 10) + 84}$

= $\sqrt{- 80 + 84}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{4 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 10) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 40} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 10$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{8 x + 84}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 6) + 84}$

= $\sqrt{- 48 + 84}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{4 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 6) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -6

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 6$