Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{x + 7}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{x + 7}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 7$	=	$2^{2}$

$x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 2 \sqrt{x + 7}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 + 7}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x + 17}$ = $- 2 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x + 17}$	=	$- 2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x + 17$	=	${(- 2 x - 1)}^{2}$

- 8 x + 17

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 4) + 17}$

= $\sqrt{32 + 17}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x - 1$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) - 1$

= $8 - 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 2 x - 1$

$=$ $- 2 \cdot 1 - 1$

= $- 2 - 1$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 52}$ = $\sqrt{2 x + 16} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 52}$	=	$\sqrt{2 x + 16} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 52$	=	${(\sqrt{2 x + 16} + 2)}^{2}$

$6 x + 52$	=	$4 \sqrt{2 x + 16} + 2 x + 20$	\| $- 6 x$ $- 52$ $- 4 \sqrt{2 x + 16}$
$- 4 \sqrt{2 x + 16}$	=	$- 4 x - 32$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 16}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 16$	=	${(x + 8)}^{2}$

2 x + 16

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 14 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 48)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14+2}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{14-2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 48$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 48$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 7$ - $1$ = -8

x₂ = $- 7$ + $1$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 52}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 52}$

= $\sqrt{- 48 + 52}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 16} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 16} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 16} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 52}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 16} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 16} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 16} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -6

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 6$