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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 1}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{2 x + 1}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 2 \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $- 2 \sqrt{8 + 1}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 264}$ = $3 \sqrt{2 x + 28}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 264}$	=	$3 \sqrt{2 x + 28}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 264$	=	${(3 \sqrt{2 x + 28})}^{2}$

$20 x + 264$	=	$9 (2 x + 28)$
$20 x + 264$	=	$18 x + 252$	\| $- 264$
$20 x$	=	$18 x - 12$	\| $- 18 x$
$2 x$	=	$- 12$	\|: $2$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{20 x + 264}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 6) + 264}$

= $\sqrt{- 120 + 264}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{2 x + 28}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 6) + 28}$

= $3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 4}$ = $\sqrt{3 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 4}$	=	$\sqrt{3 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(\sqrt{3 x + 9} + 1)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$2 \sqrt{3 x + 9} + 3 x + 10$	\| $- 5 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{3 x + 9}$
$- 2 \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$3 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 9 x$	=	0
$x \cdot (- x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 9} + 1$

= $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 + 4}$

= $\sqrt{45 + 4}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 + 9} + 1$

= $\sqrt{27 + 9} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 9

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $9$