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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 6}$ = $- 2$

$- \sqrt{- x + 6}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 6$	=	$2^{2}$

$- x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- \sqrt{- x + 6}$

$=$ $- \sqrt{- 2 + 6}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x + 126}$ = $2 \sqrt{4 x + 29}$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x + 126}$	=	$2 \sqrt{4 x + 29}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x + 126$	=	${(2 \sqrt{4 x + 29})}^{2}$

$18 x + 126$	=	$4 (4 x + 29)$
$18 x + 126$	=	$16 x + 116$	\| $- 126$
$18 x$	=	$16 x - 10$	\| $- 16 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{18 x + 126}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot (- 5) + 126}$

= $\sqrt{- 90 + 126}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{4 x + 29}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 5) + 29}$

= $2 \sqrt{- 20 + 29}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 9} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 9} + x + 10$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 9}$
$- 2 \sqrt{x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 7 x$	=	0
$x \cdot (- x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 + 4}$

= $\sqrt{21 + 4}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{7 + 9} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 7

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $7$