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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 7}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 3 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $- 3 \sqrt{- 3 + 7}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 4}$ = $2 \sqrt{4 x + 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 4}$	=	$2 \sqrt{4 x + 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 4$	=	${(2 \sqrt{4 x + 8})}^{2}$

$20 x + 4$	=	$4 (4 x + 8)$
$20 x + 4$	=	$16 x + 32$	\| $- 4$
$20 x$	=	$16 x + 28$	\| $- 16 x$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{20 x + 4}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 7 + 4}$

= $\sqrt{140 + 4}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $7$ in $2 \sqrt{4 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 7 + 8}$

= $2 \sqrt{28 + 8}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 11}$ = $\sqrt{3 x + 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 11}$	=	$\sqrt{3 x + 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 11$	=	${(\sqrt{3 x + 3} + 2)}^{2}$

$7 x + 11$	=	$4 \sqrt{3 x + 3} + 3 x + 7$	\| $- 7 x$ $- 11$ $- 4 \sqrt{3 x + 3}$
$- 4 \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	${(x + 1)}^{2}$

3 x + 3

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 11}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 11}$

= $\sqrt{- 7 + 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 3} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 3} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x + 11}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 + 11}$

= $\sqrt{14 + 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} + 2$

= $\sqrt{6 + 3} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$