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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 17}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- \sqrt{- 8 + 17}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 84}$ = $2 \sqrt{4 x + 17}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 84}$	=	$2 \sqrt{4 x + 17}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 84$	=	${(2 \sqrt{4 x + 17})}^{2}$

$14 x + 84$	=	$4 (4 x + 17)$
$14 x + 84$	=	$16 x + 68$	\| $- 84$
$14 x$	=	$16 x - 16$	\| $- 16 x$
$- 2 x$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{14 x + 84}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot 8 + 84}$

= $\sqrt{112 + 84}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{4 x + 17}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 8 + 17}$

= $2 \sqrt{32 + 17}$

= $2 \sqrt{49}$

= $14$

Also 14 = 14

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 11}$ = $\sqrt{5 x - 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 11}$	=	$\sqrt{5 x - 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 11$	=	${(\sqrt{5 x - 11} + 2)}^{2}$

$9 x - 11$	=	$4 \sqrt{5 x - 11} + 5 x - 7$	\| $- 9 x$ $+ 11$ $- 4 \sqrt{5 x - 11}$
$- 4 \sqrt{5 x - 11}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 11}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x - 11

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{9 x - 11}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{27 - 11}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11} + 2$

= $\sqrt{15 - 11} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{9 x - 11}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 4 - 11}$

= $\sqrt{36 - 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{5 x - 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 4 - 11} + 2$

= $\sqrt{20 - 11} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $8$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$