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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 1}$ = $4$

$2 \sqrt{x + 1}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{3 + 1}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 57} + 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 57} + 2 x$	=	$- 3$	\| $- 2 x$
$\sqrt{16 x + 57}$	=	$- 2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 57$	=	${(- 2 x - 3)}^{2}$

16 x + 57

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 4 x + 48

= 0 |:4

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{16 x + 57} + 2 x$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 3) + 57} + 2 \cdot (- 3)$

= $\sqrt{- 48 + 57} - 6$

= $\sqrt{9} - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{16 x + 57} + 2 x$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 4 + 57} + 2 \cdot 4$

= $\sqrt{64 + 57} + 8$

= $\sqrt{121} + 8$

= $11 + 8$

= $19$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also 19 ≠ -3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 2)}^{2}$

$8 x + 17$	=	$4 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 9$	\| $- 8 x$ $- 17$ $- 4 \sqrt{4 x + 5}$
$- 4 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{8 + 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$