Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 3}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	$3^{2}$

$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $- 2 \sqrt{6 + 3}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 57} + 2 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 57} + 2 x$	=	$- 5$	\| $- 2 x$
$\sqrt{12 x + 57}$	=	$- 2 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 57$	=	${(- 2 x - 5)}^{2}$

12 x + 57

=

4 x^{2} + 20 x + 25

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 25

- 4 x^{2} - 8 x + 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{12 x + 57} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 4) + 57} + 2 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 48 + 57} - 8$

= $\sqrt{9} - 8$

= $3 - 8$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{12 x + 57} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 2 + 57} + 2 \cdot 2$

= $\sqrt{24 + 57} + 4$

= $\sqrt{81} + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 13 ≠ -5

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 2}$ = $\sqrt{2 x - 2} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 2}$	=	$\sqrt{2 x - 2} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 2$	=	${(\sqrt{2 x - 2} + 2)}^{2}$

$6 x - 2$	=	$4 \sqrt{2 x - 2} + 2 x + 2$	\| $- 6 x$ $+ 2$ $- 4 \sqrt{2 x - 2}$
$- 4 \sqrt{2 x - 2}$	=	$- 4 x + 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x - 2}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 2$	=	${(x - 1)}^{2}$

2 x - 2

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 1 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 - 2} + 2$

= $\sqrt{2 - 2} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{6 x - 2}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 3 - 2}$

= $\sqrt{18 - 2}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 2} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 2} + 2$

= $\sqrt{6 - 2} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$