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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 28}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 28}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 28}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	$4^{2}$

$3 x + 28$	=	$16$	\| $- 28$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{3 x + 28}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $- 3 \sqrt{- 12 + 28}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{35 x + 116}$ = $3 \sqrt{4 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{35 x + 116}$	=	$3 \sqrt{4 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$35 x + 116$	=	${(3 \sqrt{4 x + 13})}^{2}$

$35 x + 116$	=	$9 (4 x + 13)$
$35 x + 116$	=	$36 x + 117$	\| $- 116$
$35 x$	=	$36 x + 1$	\| $- 36 x$
$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{35 x + 116}$

$=$ $\sqrt{35 \cdot (- 1) + 116}$

= $\sqrt{- 35 + 116}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{4 x + 13}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 1) + 13}$

= $3 \sqrt{- 4 + 13}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 85}$ = $\sqrt{3 x + 37} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 85}$	=	$\sqrt{3 x + 37} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 85$	=	${(\sqrt{3 x + 37} + 2)}^{2}$

$7 x + 85$	=	$4 \sqrt{3 x + 37} + 3 x + 41$	\| $- 7 x$ $- 85$ $- 4 \sqrt{3 x + 37}$
$- 4 \sqrt{3 x + 37}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 37}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 37$	=	${(x + 11)}^{2}$

3 x + 37

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 84)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19+5}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{19-5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 19 x - 84$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 19 x + 84$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $84$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{336}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{7 x + 85}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 12) + 85}$

= $\sqrt{- 84 + 85}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 37} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 37} + 2$

= $\sqrt{- 36 + 37} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{7 x + 85}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 7) + 85}$

= $\sqrt{- 49 + 85}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 37} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 37} + 2$

= $\sqrt{- 21 + 37} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 7$