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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 49}$ = $- 14$

Lösung einblenden

2 \sqrt{x + 49}

- 14

2

\sqrt{x + 49}

- 7

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{37 x - 28}$ = $3 \sqrt{4 x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{37 x - 28}$	=	$3 \sqrt{4 x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37 x - 28$	=	${(3 \sqrt{4 x - 3})}^{2}$

$37 x - 28$	=	$9 (4 x - 3)$
$37 x - 28$	=	$36 x - 27$	\| $+ 28$
$37 x$	=	$36 x + 1$	\| $- 36 x$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{37 x - 28}$

$=$ $\sqrt{37 \cdot 1 - 28}$

= $\sqrt{37 - 28}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{4 x - 3}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $3 \sqrt{4 - 3}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 16}$ = $\sqrt{5 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 16}$	=	$\sqrt{5 x + 4} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 16$	=	${(\sqrt{5 x + 4} + 2)}^{2}$

$9 x + 16$	=	$4 \sqrt{5 x + 4} + 5 x + 8$	\| $- 9 x$ $- 16$ $- 4 \sqrt{5 x + 4}$
$- 4 \sqrt{5 x + 4}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$5 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 5 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{9 x + 16}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 0 + 16}$

= $\sqrt{0 + 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = 0 ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{9 x + 16}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 1 + 16}$

= $\sqrt{9 + 16}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 4} + 2$

= $\sqrt{5 + 4} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={0; $1$ }

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einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 1

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$