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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{2 x + 3}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{2 x + 3}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	$3^{2}$

$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $- 2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $- 2 \sqrt{6 + 3}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{14 x + 242}$ = $2 \sqrt{4 x + 64}$

Lösung einblenden

$\sqrt{14 x + 242}$	=	$2 \sqrt{4 x + 64}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14 x + 242$	=	${(2 \sqrt{4 x + 64})}^{2}$

$14 x + 242$	=	$4 (4 x + 64)$
$14 x + 242$	=	$16 x + 256$	\| $- 242$
$14 x$	=	$16 x + 14$	\| $- 16 x$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{14 x + 242}$

$=$ $\sqrt{14 \cdot (- 7) + 242}$

= $\sqrt{- 98 + 242}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{4 x + 64}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 7) + 64}$

= $2 \sqrt{- 28 + 64}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 120}$ = $\sqrt{4 x + 64} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 120}$	=	$\sqrt{4 x + 64} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 120$	=	${(\sqrt{4 x + 64} + 2)}^{2}$

$8 x + 120$	=	$4 \sqrt{4 x + 64} + 4 x + 68$	\| $- 8 x$ $- 120$ $- 4 \sqrt{4 x + 64}$
$- 4 \sqrt{4 x + 64}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 64}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 64$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 64

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 105$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 105$ = $121$ $-$ $105$ = $16$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 11$ - $4$ = -15

x₂ = $- 11$ + $4$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{8 x + 120}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 15) + 120}$

= $\sqrt{- 120 + 120}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 64} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 64} + 2$

= $\sqrt{- 60 + 64} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 120}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 120}$

= $\sqrt{- 56 + 120}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 64} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 64} + 2$

= $\sqrt{- 28 + 64} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$