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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 1}$ = $2$

$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{x + 1}$

$=$ $\sqrt{3 + 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{43 x + 397}$ = $3 \sqrt{5 x + 45}$

Lösung einblenden

$\sqrt{43 x + 397}$	=	$3 \sqrt{5 x + 45}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$43 x + 397$	=	${(3 \sqrt{5 x + 45})}^{2}$

$43 x + 397$	=	$9 (5 x + 45)$
$43 x + 397$	=	$45 x + 405$	\| $- 397$
$43 x$	=	$45 x + 8$	\| $- 45 x$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{43 x + 397}$

$=$ $\sqrt{43 \cdot (- 4) + 397}$

= $\sqrt{- 172 + 397}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{5 x + 45}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 4) + 45}$

= $3 \sqrt{- 20 + 45}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 4}$ = $\sqrt{2 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 4}$	=	$\sqrt{2 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 4$	=	${(\sqrt{2 x + 9} + 1)}^{2}$

$4 x + 4$	=	$2 \sqrt{2 x + 9} + 2 x + 10$	\| $- 4 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{2 x + 9}$
$- 2 \sqrt{2 x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$2 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$2 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 2 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 9} + 1$

= $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 + 4}$

= $\sqrt{32 + 4}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 + 9} + 1$

= $\sqrt{16 + 9} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 8

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $8$