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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{3 x + 18}$ = $- 3$

$- \sqrt{3 x + 18}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 18$	=	$3^{2}$

$3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- \sqrt{3 x + 18}$

$=$ $- \sqrt{3 \cdot (- 3) + 18}$

= $- \sqrt{- 9 + 18}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 56}$ = $3 \sqrt{x + 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 56}$	=	$3 \sqrt{x + 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 56$	=	${(3 \sqrt{x + 6})}^{2}$

$10 x + 56$	=	$9 (x + 6)$
$10 x + 56$	=	$9 x + 54$	\| $- 56$
$10 x$	=	$9 x - 2$	\| $- 9 x$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{10 x + 56}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 2) + 56}$

= $\sqrt{- 20 + 56}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{x + 6}$

$=$ $3 \sqrt{- 2 + 6}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 113}$ = $\sqrt{4 x + 57} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 113}$	=	$\sqrt{4 x + 57} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 113$	=	${(\sqrt{4 x + 57} + 2)}^{2}$

$8 x + 113$	=	$4 \sqrt{4 x + 57} + 4 x + 61$	\| $- 8 x$ $- 113$ $- 4 \sqrt{4 x + 57}$
$- 4 \sqrt{4 x + 57}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22+6}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22-6}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 112$ = $121$ $-$ $112$ = $9$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 11$ - $3$ = -14

x₂ = $- 11$ + $3$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{8 x + 113}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 14) + 113}$

= $\sqrt{- 112 + 113}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{4 x + 57} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 14) + 57} + 2$

= $\sqrt{- 56 + 57} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{8 x + 113}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 8) + 113}$

= $\sqrt{- 64 + 113}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 57} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 57} + 2$

= $\sqrt{- 32 + 57} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -8

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 8$