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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 6}$ = $2$

$\sqrt{2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	$2^{2}$

$2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$2 x$	=	$- 2$	\|: $2$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 6}$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 75 x - 29}$ = $3 x - 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 75 x - 29}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 75 x - 29$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 75 x - 29

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} - 45 x - 54

= 0 |:9

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 75 x - 29}$

$=$ $\sqrt{- 75 \cdot (- 3) - 29}$

= $\sqrt{225 - 29}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot (- 3) - 5$

= $- 9 - 5$

= $- 14$

Also 14 ≠ -14

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 75 x - 29}$

$=$ $\sqrt{- 75 \cdot (- 2) - 29}$

= $\sqrt{150 - 29}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x - 5$

$=$ $3 \cdot (- 2) - 5$

= $- 6 - 5$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x}$ = $\sqrt{4 x - 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$
$2,8284 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{4 x - 4} + 2$	\|: $2,8284$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,8284} \sqrt{4 x - 4} + \frac{2}{2,8284})}^{2}$

$x$	=	$0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x$	\|⋅ 8
$8 x$	=	$8 (0,5 \sqrt{4 x - 4} + \frac{4}{8} x)$
$8 x$	=	$4 \sqrt{4 x - 4} + 4 x$	\| $- 8 x$ $- 4 \sqrt{4 x - 4}$
$- 4 \sqrt{4 x - 4}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 4}$	=	$\frac{4}{4} x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 4$	=	${(\frac{4}{4} x)}^{2}$

$4 x - 4$	=	$\frac{16}{16} x^{2}$	\|⋅ 16
$16 (4 x - 4)$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$
$64 x - 64$	=	$\frac{256}{16} x^{2}$	\| $- \frac{256}{16} x^{2}$

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{64^{2} - 4 \cdot (- \frac{256}{16}) \cdot (- 64)}}{2 \cdot (- \frac{256}{16})}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{4 096 - \frac{65536}{16}}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 64 \pm \sqrt{0}}{- 32}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- \frac{256}{16}$ " teilen:

$- \frac{256}{16} x^{2} + 64 x - 64$ = 0 |: $- \frac{256}{16}$

$x^{2} - \frac{1024}{256} x + \frac{1024}{256}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1024}{512})}^{2} - (\frac{1024}{256})$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{1024}{512}$ ± 0 = $\frac{1024}{512}$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $2,8284 \sqrt{2}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 4} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 4} + 2$

= $\sqrt{8 - 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$