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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $- 9$

3 \sqrt{- 2 x + 15}

=

- 9

|:

3

\sqrt{- 2 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x + 252}$ = $2 \sqrt{5 x + 66}$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x + 252}$	=	$2 \sqrt{5 x + 66}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x + 252$	=	${(2 \sqrt{5 x + 66})}^{2}$

$18 x + 252$	=	$4 (5 x + 66)$
$18 x + 252$	=	$20 x + 264$	\| $- 252$
$18 x$	=	$20 x + 12$	\| $- 20 x$
$- 2 x$	=	$12$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{18 x + 252}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot (- 6) + 252}$

= $\sqrt{- 108 + 252}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{5 x + 66}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot (- 6) + 66}$

= $2 \sqrt{- 30 + 66}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 11}$ = $\sqrt{3 x + 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 11}$	=	$\sqrt{3 x + 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 11$	=	${(\sqrt{3 x + 3} + 2)}^{2}$

$7 x + 11$	=	$4 \sqrt{3 x + 3} + 3 x + 7$	\| $- 7 x$ $- 11$ $- 4 \sqrt{3 x + 3}$
$- 4 \sqrt{3 x + 3}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 3}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 3$	=	${(x + 1)}^{2}$

3 x + 3

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 11}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 11}$

= $\sqrt{- 7 + 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 3} + 2$

= $\sqrt{- 3 + 3} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x + 11}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 + 11}$

= $\sqrt{14 + 11}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x + 3} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 + 3} + 2$

= $\sqrt{6 + 3} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$