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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 1}$ = $- 2$

Lösung einblenden

\sqrt{x + 1}

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 128}$ = $3 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 128}$	=	$3 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 128$	=	${(3 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$46 x + 128$	=	$9 (5 x + 14)$
$46 x + 128$	=	$45 x + 126$	\| $- 128$
$46 x$	=	$45 x - 2$	\| $- 45 x$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{46 x + 128}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot (- 2) + 128}$

= $\sqrt{- 92 + 128}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $3 \sqrt{- 10 + 14}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 4}$ = $\sqrt{2 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 4}$	=	$\sqrt{2 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 4$	=	${(\sqrt{2 x + 9} + 1)}^{2}$

$4 x + 4$	=	$2 \sqrt{2 x + 9} + 2 x + 10$	\| $- 4 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{2 x + 9}$
$- 2 \sqrt{2 x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$2 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$2 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 2 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 9} + 1$

= $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x + 4}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 + 4}$

= $\sqrt{32 + 4}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 + 9} + 1$

= $\sqrt{16 + 9} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

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einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 8

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $8$