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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$ = $4$

$2 \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $2 \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $2 \sqrt{3 + 1}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 21 x + 205} - 3 x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 21 x + 205} - 3 x$	=	$- 5$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{- 21 x + 205}$	=	$3 x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 21 x + 205$	=	${(3 x - 5)}^{2}$

- 21 x + 205

=

9 x^{2} - 30 x + 25

|

- 9 x^{2}

+ 30 x

- 25

- 9 x^{2} + 9 x + 180

= 0 |:9

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 21 x + 205} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot (- 4) + 205} - 3 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{84 + 205} + 12$

= $\sqrt{289} + 12$

= $17 + 12$

= $29$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 29 ≠ -5

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- 21 x + 205} - 3 x$

$=$ $\sqrt{- 21 \cdot 5 + 205} - 3 \cdot 5$

= $\sqrt{- 105 + 205} - 15$

= $\sqrt{100} - 15$

= $10 - 15$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 40}$ = $\sqrt{2 x + 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 40}$	=	$\sqrt{2 x + 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 40$	=	${(\sqrt{2 x + 12} + 2)}^{2}$

$6 x + 40$	=	$4 \sqrt{2 x + 12} + 2 x + 16$	\| $- 6 x$ $- 40$ $- 4 \sqrt{2 x + 12}$
$- 4 \sqrt{2 x + 12}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 12}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 12$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 12

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10+2}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{10-2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{6 x + 40}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 6) + 40}$

= $\sqrt{- 36 + 40}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{2 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 6) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{6 x + 40}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 4) + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{2 x + 12} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 4) + 12} + 2$

= $\sqrt{- 8 + 12} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -6

Probe für x = -4

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 4$