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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 2}$ = $3$

- 3 \sqrt{x + 2}

=

3

|:(

- 3

)

\sqrt{x + 2}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 75 x - 179}$ = $3 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 75 x - 179}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 75 x - 179$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

- 75 x - 179

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 81 x - 180

= 0 |:9

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9+1}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{9-1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 75 x - 179}$

$=$ $\sqrt{- 75 \cdot (- 5) - 179}$

= $\sqrt{375 - 179}$

= $\sqrt{196}$

= $14$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 5) + 1$

= $- 15 + 1$

= $- 14$

Also 14 ≠ -14

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 75 x - 179}$

$=$ $\sqrt{- 75 \cdot (- 4) - 179}$

= $\sqrt{300 - 179}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 4) + 1$

= $- 12 + 1$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 76}$ = $\sqrt{x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 76}$	=	$\sqrt{x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 76$	=	${(\sqrt{x + 24} + 2)}^{2}$

$5 x + 76$	=	$4 \sqrt{x + 24} + x + 28$	\| $- 5 x$ $- 76$ $- 4 \sqrt{x + 24}$
$- 4 \sqrt{x + 24}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 24}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 24$	=	${(x + 12)}^{2}$

x + 24

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 120)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 480}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23+7}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{23-7}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 120$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 120$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $120$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{480}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 15) + 76}$

= $\sqrt{- 75 + 76}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 15 + 24} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 76}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 76}$

= $\sqrt{- 40 + 76}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{- 8 + 24} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 8$