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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x + 1}$ = $- 2$

$- \sqrt{x + 1}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 1$	=	$2^{2}$

$x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- \sqrt{x + 1}$

$=$ $- \sqrt{3 + 1}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 200}$ = $3 \sqrt{x + 23}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 200}$	=	$3 \sqrt{x + 23}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 200$	=	${(3 \sqrt{x + 23})}^{2}$

$8 x + 200$	=	$9 (x + 23)$
$8 x + 200$	=	$9 x + 207$	\| $- 200$
$8 x$	=	$9 x + 7$	\| $- 9 x$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 200}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 200}$

= $\sqrt{- 56 + 200}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{x + 23}$

$=$ $3 \sqrt{- 7 + 23}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 1}$ = $\sqrt{2 x + 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 1}$	=	$\sqrt{2 x + 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 1$	=	${(\sqrt{2 x + 9} + 2)}^{2}$

$6 x + 1$	=	$4 \sqrt{2 x + 9} + 2 x + 13$	\| $- 6 x$ $- 1$ $- 4 \sqrt{2 x + 9}$
$- 4 \sqrt{2 x + 9}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$2 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$2 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 2 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (- x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{6 x + 1}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 0 + 1}$

= $\sqrt{0 + 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 9} + 2$

= $\sqrt{0 + 9} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x + 1}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 + 1}$

= $\sqrt{48 + 1}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{2 x + 9} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 8 + 9} + 2$

= $\sqrt{16 + 9} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 8

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $8$