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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- x + 14}$ = $9$

$3 \sqrt{- x + 14}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $3 \sqrt{- x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{- 5 + 14}$

= $3 \sqrt{9}$

= $3 \cdot 3$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x - 24}$ = $3 \sqrt{3 x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x - 24}$	=	$3 \sqrt{3 x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x - 24$	=	${(3 \sqrt{3 x - 5})}^{2}$

$24 x - 24$	=	$9 (3 x - 5)$
$24 x - 24$	=	$27 x - 45$	\| $+ 24$
$24 x$	=	$27 x - 21$	\| $- 27 x$
$- 3 x$	=	$- 21$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{24 x - 24}$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 7 - 24}$

= $\sqrt{168 - 24}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{3 x - 5}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot 7 - 5}$

= $3 \sqrt{21 - 5}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 55}$ = $\sqrt{x + 15} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 55}$	=	$\sqrt{x + 15} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 55$	=	${(\sqrt{x + 15} + 2)}^{2}$

$5 x + 55$	=	$4 \sqrt{x + 15} + x + 19$	\| $- 5 x$ $- 55$ $- 4 \sqrt{x + 15}$
$- 4 \sqrt{x + 15}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 15}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 15$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 15

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 66)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 264}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17+5}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{17-5}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 66$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 66$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $66$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{264}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 11) + 55}$

= $\sqrt{- 55 + 55}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 11 + 15} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{5 x + 55}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 6) + 55}$

= $\sqrt{- 30 + 55}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{x + 15} + 2$

$=$ $\sqrt{- 6 + 15} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -6

Probe für x = $5$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 6$