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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 2}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{x + 2}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$2^{2}$

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $- 3 \sqrt{x + 2}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 + 2}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 61}$ = $2 \sqrt{x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 61}$	=	$2 \sqrt{x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 61$	=	${(2 \sqrt{x + 14})}^{2}$

$5 x + 61$	=	$4 (x + 14)$
$5 x + 61$	=	$4 x + 56$	\| $- 61$
$5 x$	=	$4 x - 5$	\| $- 4 x$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 61}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 61}$

= $\sqrt{- 25 + 61}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{x + 14}$

$=$ $2 \sqrt{- 5 + 14}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 97}$ = $\sqrt{2 x + 41} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 97}$	=	$\sqrt{2 x + 41} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 97$	=	${(\sqrt{2 x + 41} + 2)}^{2}$

$6 x + 97$	=	$4 \sqrt{2 x + 41} + 2 x + 45$	\| $- 6 x$ $- 97$ $- 4 \sqrt{2 x + 41}$
$- 4 \sqrt{2 x + 41}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 41}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 41$	=	${(x + 13)}^{2}$

2 x + 41

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 24 x - 128$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 128)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{576 - 512}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 24 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{24 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{24+8}{- 2}$ = $\frac{32}{- 2}$ = $- 16$

x₂ = $\frac{24 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{24-8}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 24 x - 128$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 24 x + 128$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $12^{2} - 128$ = $144$ $-$ $128$ = $16$

x_1,2 = $- 12$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 12$ - $4$ = -16

x₂ = $- 12$ + $4$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 16$

Linke Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{6 x + 97}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 16) + 97}$

= $\sqrt{- 96 + 97}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 16$ in $\sqrt{2 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 16) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 32 + 41} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 16$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 97}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 97}$

= $\sqrt{- 48 + 97}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{2 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 8) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 16 + 41} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -16

Probe für x = -8

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 16$

Probe für x = $- 8$