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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $4$

- 2 \sqrt{- 2 x + 6}

=

4

|:(

- 2

)

\sqrt{- 2 x + 6}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x + 6} - x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x + 6} - x$	=	$- 1$	\| $+ x$
$\sqrt{2 x + 6}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 6$	=	${(x - 1)}^{2}$

2 x + 6

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{2 x + 6} - x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 1) + 6} - (- 1)$

= $\sqrt{- 2 + 6} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 3 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x + 6} - x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 + 6} - 5$

= $\sqrt{10 + 6} - 5$

= $\sqrt{16} - 5$

= $4 - 5$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x}$ = $\sqrt{2 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x}$	=	$\sqrt{2 x + 4} + 2$
$2,4495 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{2 x + 4} + 2$	\|: $2,4495$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,4495} \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{2,4495}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,4495} \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{2,4495})}^{2}$

$x$	=	$0,6667 \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{6} x + 1,3333$	\|⋅ 6
$6 x$	=	$6 (0,6667 \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{6} x + 1,3333)$
$6 x$	=	$4 \sqrt{2 x + 4} + 2 x + 8$	\| $- 6 x$ $- 4 \sqrt{2 x + 4}$
$- 4 \sqrt{2 x + 4}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 4}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 4$	=	${(x - 2)}^{2}$

$2 x + 4$	=	$x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 4$
$2 x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + 2 x + 4 x$	=	0
$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2,4495 \sqrt{x}$

$=$ $2,4495 \sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $2,4495 \sqrt{x}$

$=$ $2,4495 \sqrt{6}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{2 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6 + 4} + 2$

= $\sqrt{12 + 4} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 6

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $6$