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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 1}$ = $- 4$

$- \sqrt{- 3 x + 1}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$16$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- \sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot (- 5) + 1}$

= $- \sqrt{15 + 1}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{43 x + 742}$ = $3 \sqrt{5 x + 84}$

Lösung einblenden

$\sqrt{43 x + 742}$	=	$3 \sqrt{5 x + 84}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$43 x + 742$	=	${(3 \sqrt{5 x + 84})}^{2}$

$43 x + 742$	=	$9 (5 x + 84)$
$43 x + 742$	=	$45 x + 756$	\| $- 742$
$43 x$	=	$45 x + 14$	\| $- 45 x$
$- 2 x$	=	$14$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{43 x + 742}$

$=$ $\sqrt{43 \cdot (- 7) + 742}$

= $\sqrt{- 301 + 742}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{5 x + 84}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 7) + 84}$

= $3 \sqrt{- 35 + 84}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 4}$ = $\sqrt{3 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 4}$	=	$\sqrt{3 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(\sqrt{3 x + 9} + 1)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$2 \sqrt{3 x + 9} + 3 x + 10$	\| $- 5 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{3 x + 9}$
$- 2 \sqrt{3 x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$3 x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$3 x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 9 x$	=	0
$x \cdot (- x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 9$	=	0	\| $- 9$
$- x$	=	$- 9$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 9} + 1$

= $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x + 4}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 + 4}$

= $\sqrt{45 + 4}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 + 9} + 1$

= $\sqrt{27 + 9} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $9$