Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 2}$ = $- 2$

$- \sqrt{- 2 x + 2}$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $- \sqrt{2 + 2}$

= $- \sqrt{4}$

= $- 2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 2$

$=$ $- 2$

Also -2 = -2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{2 x - 1} + x$ = $2$

Lösung einblenden

$\sqrt{2 x - 1} + x$	=	$2$	\| $- x$
$\sqrt{2 x - 1}$	=	$- x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 1$	=	${(- x + 2)}^{2}$

2 x - 1

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6+4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 6-4}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x - 1} + x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 - 1} + 1$

= $\sqrt{2 - 1} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{2 x - 1} + x$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 5 - 1} + 5$

= $\sqrt{10 - 1} + 5$

= $\sqrt{9} + 5$

= $3 + 5$

= $8$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2$

$=$ $2$

Also 8 ≠ 2

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 118}$ = $\sqrt{4 x + 85} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 118}$	=	$\sqrt{4 x + 85} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 118$	=	${(\sqrt{4 x + 85} + 1)}^{2}$

$6 x + 118$	=	$2 \sqrt{4 x + 85} + 4 x + 86$	\| $- 6 x$ $- 118$ $- 2 \sqrt{4 x + 85}$
$- 2 \sqrt{4 x + 85}$	=	$- 2 x - 32$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 85}$	=	$x + 16$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 85$	=	${(x + 16)}^{2}$

4 x + 85

=

x^{2} + 32 x + 256

|

- x^{2}

- 32 x

- 256

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 171)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 684}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28+10}{- 2}$ = $\frac{38}{- 2}$ = $- 19$

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{28-10}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 28 x - 171$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 28 x + 171$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $14^{2} - 171$ = $196$ $-$ $171$ = $25$

x_1,2 = $- 14$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 14$ - $5$ = -19

x₂ = $- 14$ + $5$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 19$

Linke Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 19) + 118}$

= $\sqrt{- 114 + 118}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 19$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 19) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 76 + 85} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 19$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{6 x + 118}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 9) + 118}$

= $\sqrt{- 54 + 118}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 85} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 85} + 1$

= $\sqrt{- 36 + 85} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -19

Probe für x = -9

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 19$

Probe für x = $- 9$