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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{33 x - 24}$ = $3 \sqrt{4 x - 3}$

Lösung einblenden

$\sqrt{33 x - 24}$	=	$3 \sqrt{4 x - 3}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$33 x - 24$	=	${(3 \sqrt{4 x - 3})}^{2}$

$33 x - 24$	=	$9 (4 x - 3)$
$33 x - 24$	=	$36 x - 27$	\| $+ 24$
$33 x$	=	$36 x - 3$	\| $- 36 x$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{33 x - 24}$

$=$ $\sqrt{33 \cdot 1 - 24}$

= $\sqrt{33 - 24}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3 \sqrt{4 x - 3}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $3 \sqrt{4 - 3}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 12}$ = $\sqrt{4 x - 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 12}$	=	$\sqrt{4 x - 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 12$	=	${(\sqrt{4 x - 7} + 1)}^{2}$

$6 x - 12$	=	$2 \sqrt{4 x - 7} + 4 x - 6$	\| $- 6 x$ $+ 12$ $- 2 \sqrt{4 x - 7}$
$- 2 \sqrt{4 x - 7}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x - 7}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 7$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 7

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10+6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10-6}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x - 12}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 - 12}$

= $\sqrt{12 - 12}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{4 x - 7} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 2 - 7} + 1$

= $\sqrt{8 - 7} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{6 x - 12}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 8 - 12}$

= $\sqrt{48 - 12}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{4 x - 7} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 8 - 7} + 1$

= $\sqrt{32 - 7} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 8

Probe für x = $3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $8$