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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 2$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 2}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot (- 1) + 2}$

= $- 2 \sqrt{2 + 2}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 48 x - 71}$ = $3 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 48 x - 71}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 48 x - 71$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

- 48 x - 71

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} - 54 x - 72

= 0 |:9

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 48 x - 71}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 4) - 71}$

= $\sqrt{192 - 71}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 4) + 1$

= $- 12 + 1$

= $- 11$

Also 11 ≠ -11

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 48 x - 71}$

$=$ $\sqrt{- 48 \cdot (- 2) - 71}$

= $\sqrt{96 - 71}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 x + 1$

$=$ $3 \cdot (- 2) + 1$

= $- 6 + 1$

= $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 52}$ = $\sqrt{5 x + 24} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 52}$	=	$\sqrt{5 x + 24} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 52$	=	${(\sqrt{5 x + 24} + 2)}^{2}$

$9 x + 52$	=	$4 \sqrt{5 x + 24} + 5 x + 28$	\| $- 9 x$ $- 52$ $- 4 \sqrt{5 x + 24}$
$- 4 \sqrt{5 x + 24}$	=	$- 4 x - 24$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 24}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 24$	=	${(x + 6)}^{2}$

5 x + 24

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{9 x + 52}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 4) + 52}$

= $\sqrt{- 36 + 52}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 24} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{9 x + 52}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 3) + 52}$

= $\sqrt{- 27 + 52}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{5 x + 24} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 3) + 24} + 2$

= $\sqrt{- 15 + 24} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$