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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3,4641 \sqrt{x}$ = $- 6$

$- 3,4641 \sqrt{x}$	=	$- 6$	\|:( $- 3,4641$ )
$\sqrt{x}$	=	$\frac{6}{3,4641}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{6}{3,4641})}^{2}$

x

=

3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 3,4641 \sqrt{x}$

$=$ $- 3,4641 \sqrt{3}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{48 x + 384}$ = $3 \sqrt{5 x + 41}$

Lösung einblenden

$\sqrt{48 x + 384}$	=	$3 \sqrt{5 x + 41}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$48 x + 384$	=	${(3 \sqrt{5 x + 41})}^{2}$

$48 x + 384$	=	$9 (5 x + 41)$
$48 x + 384$	=	$45 x + 369$	\| $- 384$
$48 x$	=	$45 x - 15$	\| $- 45 x$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{48 x + 384}$

$=$ $\sqrt{48 \cdot (- 5) + 384}$

= $\sqrt{- 240 + 384}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{5 x + 41}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 5) + 41}$

= $3 \sqrt{- 25 + 41}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 11}$ = $\sqrt{3 x + 6} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 11}$	=	$\sqrt{3 x + 6} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 11$	=	${(\sqrt{3 x + 6} + 1)}^{2}$

$5 x + 11$	=	$2 \sqrt{3 x + 6} + 3 x + 7$	\| $- 5 x$ $- 11$ $- 2 \sqrt{3 x + 6}$
$- 2 \sqrt{3 x + 6}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 6}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 6$	=	${(x + 2)}^{2}$

3 x + 6

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 11}$

= $\sqrt{- 10 + 11}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 6} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 6} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 11}$

= $\sqrt{5 + 11}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 6} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 6} + 1$

= $\sqrt{3 + 6} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$