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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 2}$ = $4$

Lösung einblenden

$2 \sqrt{x + 2}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 2}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 2$	=	$2^{2}$

$x + 2$	=	$4$	\| $- 2$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{x + 2}$

$=$ $2 \sqrt{2 + 2}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 11}$ = $2 \sqrt{x - 2}$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 11}$	=	$2 \sqrt{x - 2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 11$	=	${(2 \sqrt{x - 2})}^{2}$

$5 x - 11$	=	$4 (x - 2)$
$5 x - 11$	=	$4 x - 8$	\| $+ 11$
$5 x$	=	$4 x + 3$	\| $- 4 x$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 11}$

= $\sqrt{15 - 11}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{x - 2}$

$=$ $2 \sqrt{3 - 2}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 4}$ = $\sqrt{x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 4}$	=	$\sqrt{x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(\sqrt{x + 9} + 1)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$2 \sqrt{x + 9} + x + 10$	\| $- 3 x$ $- 4$ $- 2 \sqrt{x + 9}$
$- 2 \sqrt{x + 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

$x + 9$	=	$x^{2} - 6 x + 9$	\| $- 9$
$x$	=	$x^{2} - 6 x$	\| $- (x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + x + 6 x$	=	0
$- x^{2} + 7 x$	=	0
$x (- x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4}$

= $\sqrt{0 + 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{0 + 9} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 + 4}$

= $\sqrt{21 + 4}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{7 + 9} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 7

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$