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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 18}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 18$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 18$	=	$9$	\| $- 18$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 18}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot 3 + 18}$

= $- 2 \sqrt{- 9 + 18}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 99}$ = $- 3 x + 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 99}$	=	$- 3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 99$	=	${(- 3 x + 3)}^{2}$

9 x + 99

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 27 x + 90

= 0 |:9

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 99}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 99}$

= $\sqrt{- 18 + 99}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot (- 2) + 3$

= $6 + 3$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{9 x + 99}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 5 + 99}$

= $\sqrt{45 + 99}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 3 x + 3$

$=$ $- 3 \cdot 5 + 3$

= $- 15 + 3$

= $- 12$

Also 12 ≠ -12

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 17}$ = $\sqrt{4 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 17}$	=	$\sqrt{4 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 17$	=	${(\sqrt{4 x + 5} + 2)}^{2}$

$8 x + 17$	=	$4 \sqrt{4 x + 5} + 4 x + 9$	\| $- 8 x$ $- 17$ $- 4 \sqrt{4 x + 5}$
$- 4 \sqrt{4 x + 5}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 5}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 5$	=	${(x + 2)}^{2}$

$4 x + 5$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 5$
$4 x$	=	$x^{2} + 4 x - 1$	\| $- x^{2}$ $- 4 x$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 1) + 17}$

= $\sqrt{- 8 + 17}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 1) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 17}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 17}$

= $\sqrt{8 + 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 1

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$