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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 1}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 1}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 1$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$- 2 x$	=	$8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 1}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot (- 4) + 1}$

= $- 3 \sqrt{8 + 1}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x + 1} + 3$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x + 1} + 3$	=	$2 x$	\| $- 3$
$\sqrt{- 24 x + 1}$	=	$2 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x + 1$	=	${(2 x - 3)}^{2}$

- 24 x + 1

=

4 x^{2} - 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 9

- 4 x^{2} - 12 x - 8

= 0 |:4

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 24 x + 1} + 3$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 2) + 1} + 3$

= $\sqrt{48 + 1} + 3$

= $\sqrt{49} + 3$

= $7 + 3$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 2)$

= $- 4$

Also 10 ≠ -4

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 24 x + 1} + 3$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 1) + 1} + 3$

= $\sqrt{24 + 1} + 3$

= $\sqrt{25} + 3$

= $5 + 3$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also 8 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 26}$ = $\sqrt{3 x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 26}$	=	$\sqrt{3 x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 26$	=	${(\sqrt{3 x + 15} + 1)}^{2}$

$5 x + 26$	=	$2 \sqrt{3 x + 15} + 3 x + 16$	\| $- 5 x$ $- 26$ $- 2 \sqrt{3 x + 15}$
$- 2 \sqrt{3 x + 15}$	=	$- 2 x - 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 15}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 15$	=	${(x + 5)}^{2}$

3 x + 15

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7+3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{7-3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 26}$

= $\sqrt{- 25 + 26}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 15} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 26}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 26}$

= $\sqrt{- 10 + 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -2

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$