Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 6}$ = $4$

$2 \sqrt{x + 6}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 6$	=	$2^{2}$

$x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{x + 6}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 1}$ = $2 \sqrt{2 x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 1}$	=	$2 \sqrt{2 x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 1$	=	${(2 \sqrt{2 x + 7})}^{2}$

$11 x + 1$	=	$4 (2 x + 7)$
$11 x + 1$	=	$8 x + 28$	\| $- 1$
$11 x$	=	$8 x + 27$	\| $- 8 x$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{11 x + 1}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 9 + 1}$

= $\sqrt{99 + 1}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{2 x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 9 + 7}$

= $2 \sqrt{18 + 7}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 41}$ = $\sqrt{3 x + 24} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 41}$	=	$\sqrt{3 x + 24} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 41$	=	${(\sqrt{3 x + 24} + 1)}^{2}$

$5 x + 41$	=	$2 \sqrt{3 x + 24} + 3 x + 25$	\| $- 5 x$ $- 41$ $- 2 \sqrt{3 x + 24}$
$- 2 \sqrt{3 x + 24}$	=	$- 2 x - 16$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 24}$	=	$x + 8$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 24$	=	${(x + 8)}^{2}$

3 x + 24

=

x^{2} + 16 x + 64

|

- x^{2}

- 16 x

- 64

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 41}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 41}$

= $\sqrt{- 40 + 41}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 24 + 24} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 41}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 41}$

= $\sqrt{- 25 + 41}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{3 x + 24} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 5) + 24} + 1$

= $\sqrt{- 15 + 24} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$