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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 17}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- \sqrt{- 8 + 17}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{48 x - 108}$ = $3 \sqrt{5 x - 9}$

Lösung einblenden

$\sqrt{48 x - 108}$	=	$3 \sqrt{5 x - 9}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$48 x - 108$	=	${(3 \sqrt{5 x - 9})}^{2}$

$48 x - 108$	=	$9 (5 x - 9)$
$48 x - 108$	=	$45 x - 81$	\| $+ 108$
$48 x$	=	$45 x + 27$	\| $- 45 x$
$3 x$	=	$27$	\|: $3$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{48 x - 108}$

$=$ $\sqrt{48 \cdot 9 - 108}$

= $\sqrt{432 - 108}$

= $\sqrt{324}$

= $18$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{5 x - 9}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 9 - 9}$

= $3 \sqrt{45 - 9}$

= $3 \sqrt{36}$

= $18$

Also 18 = 18

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 67}$ = $\sqrt{2 x + 23} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 67}$	=	$\sqrt{2 x + 23} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 67$	=	${(\sqrt{2 x + 23} + 2)}^{2}$

$6 x + 67$	=	$4 \sqrt{2 x + 23} + 2 x + 27$	\| $- 6 x$ $- 67$ $- 4 \sqrt{2 x + 23}$
$- 4 \sqrt{2 x + 23}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 23}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 23$	=	${(x + 10)}^{2}$

2 x + 23

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 11) + 67}$

= $\sqrt{- 66 + 67}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{2 x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 11) + 23} + 2$

= $\sqrt{- 22 + 23} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 67}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 67}$

= $\sqrt{- 42 + 67}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 23} + 2$

= $\sqrt{- 14 + 23} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$