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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{2 x + 1}$ = $- 3$

$- \sqrt{2 x + 1}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $- \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $- \sqrt{8 + 1}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 65} + 2 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 65} + 2 x$	=	$- 1$	\| $- 2 x$
$\sqrt{4 x + 65}$	=	$- 2 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 65$	=	${(- 2 x - 1)}^{2}$

$4 x + 65$	=	$4 x^{2} + 4 x + 1$	\| $- 65$
$4 x$	=	$4 x^{2} + 4 x - 64$	\| $- 4 x^{2}$ $- 4 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{4 x + 65} + 2 x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 4) + 65} + 2 \cdot (- 4)$

= $\sqrt{- 16 + 65} - 8$

= $\sqrt{49} - 8$

= $7 - 8$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 65} + 2 x$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 65} + 2 \cdot 4$

= $\sqrt{16 + 65} + 8$

= $\sqrt{81} + 8$

= $9 + 8$

= $17$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 17 ≠ -1

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 92}$ = $\sqrt{4 x + 44} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 92}$	=	$\sqrt{4 x + 44} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 92$	=	${(\sqrt{4 x + 44} + 2)}^{2}$

$8 x + 92$	=	$4 \sqrt{4 x + 44} + 4 x + 48$	\| $- 8 x$ $- 92$ $- 4 \sqrt{4 x + 44}$
$- 4 \sqrt{4 x + 44}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 44}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 44$	=	${(x + 11)}^{2}$

4 x + 44

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 77)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 308}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18+4}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{18-4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 18 x - 77$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 18 x + 77$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 77$ = $81$ $-$ $77$ = $4$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 9$ - $2$ = -11

x₂ = $- 9$ + $2$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{8 x + 92}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 11) + 92}$

= $\sqrt{- 88 + 92}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 44} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 44} + 2$

= $\sqrt{- 44 + 44} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 11$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{8 x + 92}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 7) + 92}$

= $\sqrt{- 56 + 92}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 44} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 44} + 2$

= $\sqrt{- 28 + 44} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 11$ ; $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -7

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 7$