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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 25}$ = $- 5$

$- \sqrt{- 3 x + 25}$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 25}$	=	$5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 25$	=	$5^{2}$

$- 3 x + 25$	=	$25$	\| $- 25$
$- 3 x$	=	0	\|:( $- 3$ )
$x$	=	0

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $- \sqrt{- 3 x + 25}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot (0) + 25}$

= $- \sqrt{0 + 25}$

= $- \sqrt{25}$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = 0 in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={0}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{47 x - 138}$ = $3 \sqrt{5 x - 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{47 x - 138}$	=	$3 \sqrt{5 x - 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$47 x - 138$	=	${(3 \sqrt{5 x - 14})}^{2}$

$47 x - 138$	=	$9 (5 x - 14)$
$47 x - 138$	=	$45 x - 126$	\| $+ 138$
$47 x$	=	$45 x + 12$	\| $- 45 x$
$2 x$	=	$12$	\|: $2$
$x$	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{47 x - 138}$

$=$ $\sqrt{47 \cdot 6 - 138}$

= $\sqrt{282 - 138}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $6$ in $3 \sqrt{5 x - 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 6 - 14}$

= $3 \sqrt{30 - 14}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 36}$ = $\sqrt{x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 36}$	=	$\sqrt{x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 36$	=	${(\sqrt{x + 13} + 1)}^{2}$

$3 x + 36$	=	$2 \sqrt{x + 13} + x + 14$	\| $- 3 x$ $- 36$ $- 2 \sqrt{x + 13}$
$- 2 \sqrt{x + 13}$	=	$- 2 x - 22$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 13}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 13$	=	${(x + 11)}^{2}$

x + 13

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 21 x - 108$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 108)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 432}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{21+3}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{21-3}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 108$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 108$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 108$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $108$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{432}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{3 x + 36}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 12) + 36}$

= $\sqrt{- 36 + 36}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 12 + 13} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 36}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 36}$

= $\sqrt{- 27 + 36}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 9 + 13} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 0

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -9

Probe für x = $6$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 9$