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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{x}$ = $1$

- \sqrt{x}

=

1

|:(

- 1

)

\sqrt{x}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x + 13}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x + 13}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x + 13$	=	${(x - 4)}^{2}$

- 4 x + 13

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 4 x + 13}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 1 + 13}$

= $\sqrt{- 4 + 13}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x - 4$

$=$ $1 - 4$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 4 x + 13}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot 3 + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x - 4$

$=$ $3 - 4$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 9}$ = $\sqrt{3 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 9}$	=	$\sqrt{3 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 9$	=	${(\sqrt{3 x + 4} + 1)}^{2}$

$5 x + 9$	=	$2 \sqrt{3 x + 4} + 3 x + 5$	\| $- 5 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{3 x + 4}$
$- 2 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$3 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$3 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 3 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 9}$

= $\sqrt{- 5 + 9}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 4} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 4} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 9}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{3 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -1

Probe für x = 0

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 1$