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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{x + 8}$ = $- 6$

$- 3 \sqrt{x + 8}$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{x + 8}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 4 + 8}$

= $- 3 \sqrt{4}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 15}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 15}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 15$	=	${(x)}^{2}$

8 x - 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 15}$

= $\sqrt{24 - 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $x$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{8 x - 15}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 5 - 15}$

= $\sqrt{40 - 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 99}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 99}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 99$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 2)}^{2}$

$7 x + 99$	=	$4 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 47$	\| $- 7 x$ $- 99$ $- 4 \sqrt{3 x + 43}$
$- 4 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 4 x - 52$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23+5}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23-5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 126$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{504}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{7 x + 99}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 14) + 99}$

= $\sqrt{- 98 + 99}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 14) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 42 + 43} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 99}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 99}$

= $\sqrt{- 63 + 99}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 43} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 43} + 2$

= $\sqrt{- 27 + 43} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 9$