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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 2 x + 17}$ = $- 3$

$- \sqrt{- 2 x + 17}$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 17$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- \sqrt{- 2 x + 17}$

$=$ $- \sqrt{- 2 \cdot 4 + 17}$

= $- \sqrt{- 8 + 17}$

= $- \sqrt{9}$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 21}$ = $2 x + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 21}$	=	$2 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 21$	=	${(2 x + 1)}^{2}$

20 x + 21

=

4 x^{2} + 4 x + 1

|

- 4 x^{2}

- 4 x

- 1

- 4 x^{2} + 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{20 x + 21}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 1) + 21}$

= $\sqrt{- 20 + 21}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot (- 1) + 1$

= $- 2 + 1$

= $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{20 x + 21}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 5 + 21}$

= $\sqrt{100 + 21}$

= $\sqrt{121}$

= $11$

Rechte Seite:

x = $5$ in $2 x + 1$

$=$ $2 \cdot 5 + 1$

= $10 + 1$

= $11$

Also 11 = 11

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 92}$ = $\sqrt{3 x + 40} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 92}$	=	$\sqrt{3 x + 40} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 92$	=	${(\sqrt{3 x + 40} + 2)}^{2}$

$7 x + 92$	=	$4 \sqrt{3 x + 40} + 3 x + 44$	\| $- 7 x$ $- 92$ $- 4 \sqrt{3 x + 40}$
$- 4 \sqrt{3 x + 40}$	=	$- 4 x - 48$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 40}$	=	$x + 12$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 40$	=	${(x + 12)}^{2}$

3 x + 40

=

x^{2} + 24 x + 144

|

- x^{2}

- 24 x

- 144

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 104)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 416}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21+5}{- 2}$ = $\frac{26}{- 2}$ = $- 13$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{21-5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 104$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 104$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $104$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{416}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 13$

Linke Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{7 x + 92}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 13) + 92}$

= $\sqrt{- 91 + 92}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 13$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 13) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 39 + 40} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 13$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 92}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 92}$

= $\sqrt{- 56 + 92}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 40} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 40} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 40} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -13

Probe für x = -8

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 13$

Probe für x = $- 8$