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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 2}$ = $- 1$

$- \sqrt{- x + 2}$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$1^{2}$

$- x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- \sqrt{- 1 + 2}$

= $- \sqrt{1}$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{40 x + 801}$ = $3 \sqrt{4 x + 85}$

Lösung einblenden

$\sqrt{40 x + 801}$	=	$3 \sqrt{4 x + 85}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$40 x + 801$	=	${(3 \sqrt{4 x + 85})}^{2}$

$40 x + 801$	=	$9 (4 x + 85)$
$40 x + 801$	=	$36 x + 765$	\| $- 801$
$40 x$	=	$36 x - 36$	\| $- 36 x$
$4 x$	=	$- 36$	\|: $4$
$x$	=	$- 9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{40 x + 801}$

$=$ $\sqrt{40 \cdot (- 9) + 801}$

= $\sqrt{- 360 + 801}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $3 \sqrt{4 x + 85}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 9) + 85}$

= $3 \sqrt{- 36 + 85}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 9}$ = $\sqrt{2 x + 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 9}$	=	$\sqrt{2 x + 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 9$	=	${(\sqrt{2 x + 8} + 1)}^{2}$

$4 x + 9$	=	$2 \sqrt{2 x + 8} + 2 x + 9$	\| $- 4 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{2 x + 8}$
$- 2 \sqrt{2 x + 8}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 8}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 8$	=	${(x)}^{2}$

2 x + 8

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{4 x + 9}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 2) + 9}$

= $\sqrt{- 8 + 9}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 8} + 1$

= $\sqrt{- 4 + 8} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{4 x + 9}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 4 + 9}$

= $\sqrt{16 + 9}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $4$ in $\sqrt{2 x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 4 + 8} + 1$

= $\sqrt{8 + 8} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$