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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{2 x + 17}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{2 x + 17}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 17$	=	$3^{2}$

$2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{2 x + 17}$

$=$ $- 3 \sqrt{2 \cdot (- 4) + 17}$

= $- 3 \sqrt{- 8 + 17}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 16}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 16}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 16$	=	${(x)}^{2}$

8 x - 16

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{8 x - 16}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 4 - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $x$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x}$ = $\sqrt{2 x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 1$
$2 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{2 x + 7} + 1$	\|: $2$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2})}^{2}$

$x$	=	$\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2} x + 2$	\|⋅ 2
$2 x$	=	$2 (\frac{1}{2} \sqrt{2 x + 7} + \frac{1}{2} x + 2)$
$2 x$	=	$\sqrt{2 x + 7} + x + 4$	\| $- 2 x$ $- \sqrt{2 x + 7}$
$- \sqrt{2 x + 7}$	=	$- x + 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{2 x + 7}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 7$	=	${(x - 4)}^{2}$

2 x + 7

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10+8}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 10-8}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{x}$

$=$ $2 \sqrt{1}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 + 7} + 1$

= $\sqrt{2 + 7} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{x}$

$=$ $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{2 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 9 + 7} + 1$

= $\sqrt{18 + 7} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $9$