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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 7}$ = $4$

$2 \sqrt{- x + 7}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 7$	=	$2^{2}$

$- x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$- x$	=	$- 3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{- x + 7}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 + 7}$

= $2 \sqrt{4}$

= $2 \cdot 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $3$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x - 38}$ = $2 \sqrt{x - 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x - 38}$	=	$2 \sqrt{x - 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x - 38$	=	${(2 \sqrt{x - 5})}^{2}$

$6 x - 38$	=	$4 (x - 5)$
$6 x - 38$	=	$4 x - 20$	\| $+ 38$
$6 x$	=	$4 x + 18$	\| $- 4 x$
$2 x$	=	$18$	\|: $2$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{6 x - 38}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 9 - 38}$

= $\sqrt{54 - 38}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $9$ in $2 \sqrt{x - 5}$

$=$ $2 \sqrt{9 - 5}$

= $2 \sqrt{4}$

= $4$

Also 4 = 4

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 57}$ = $\sqrt{3 x + 25} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 57}$	=	$\sqrt{3 x + 25} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 57$	=	${(\sqrt{3 x + 25} + 2)}^{2}$

$7 x + 57$	=	$4 \sqrt{3 x + 25} + 3 x + 29$	\| $- 7 x$ $- 57$ $- 4 \sqrt{3 x + 25}$
$- 4 \sqrt{3 x + 25}$	=	$- 4 x - 28$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{3 x + 25}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 25$	=	${(x + 7)}^{2}$

3 x + 25

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 8) + 57}$

= $\sqrt{- 56 + 57}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{3 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 8) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 24 + 25} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 8$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{7 x + 57}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 3) + 57}$

= $\sqrt{- 21 + 57}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{3 x + 25} + 2$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 3) + 25} + 2$

= $\sqrt{- 9 + 25} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -3

Probe für x = $3$

Probe für x = $9$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 3$