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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 7}$ = $6$

$3 \sqrt{3 x + 7}$	=	$6$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	$2^{2}$

$3 x + 7$	=	$4$	\| $- 7$
$3 x$	=	$- 3$	\|: $3$
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{3 x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 7}$

= $3 \sqrt{- 3 + 7}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 49}$ = $3 \sqrt{x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 49}$	=	$3 \sqrt{x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 49$	=	${(3 \sqrt{x + 5})}^{2}$

$10 x + 49$	=	$9 (x + 5)$
$10 x + 49$	=	$9 x + 45$	\| $- 49$
$10 x$	=	$9 x - 4$	\| $- 9 x$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{10 x + 49}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot (- 4) + 49}$

= $\sqrt{- 40 + 49}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $3 \sqrt{x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{- 4 + 5}$

= $3 \sqrt{1}$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 11}$ = $\sqrt{3 x + 10} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 11}$	=	$\sqrt{3 x + 10} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 11$	=	${(\sqrt{3 x + 10} + 1)}^{2}$

$5 x + 11$	=	$2 \sqrt{3 x + 10} + 3 x + 11$	\| $- 5 x$ $- 11$ $- 2 \sqrt{3 x + 10}$
$- 2 \sqrt{3 x + 10}$	=	$- 2 x$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 10}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 10$	=	${(x)}^{2}$

3 x + 10

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 11}$

= $\sqrt{- 10 + 11}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 10} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 10} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x + 11}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 + 11}$

= $\sqrt{25 + 11}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{3 x + 10} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 5 + 10} + 1$

= $\sqrt{15 + 10} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$