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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{- 3 x + 4}$ = $- 6$

3 \sqrt{- 3 x + 4}

=

- 6

|:

3

\sqrt{- 3 x + 4}

=

- 2

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{49 x + 98}$ = $3 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{49 x + 98}$	=	$3 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$49 x + 98$	=	${(3 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$49 x + 98$	=	$9 (5 x + 14)$
$49 x + 98$	=	$45 x + 126$	\| $- 98$
$49 x$	=	$45 x + 28$	\| $- 45 x$
$4 x$	=	$28$	\|: $4$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{49 x + 98}$

$=$ $\sqrt{49 \cdot 7 + 98}$

= $\sqrt{343 + 98}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 7 + 14}$

= $3 \sqrt{35 + 14}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x - 2}$ = $\sqrt{x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x - 2}$	=	$\sqrt{x + 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 2$	=	${(\sqrt{x + 7} + 1)}^{2}$

$3 x - 2$	=	$2 \sqrt{x + 7} + x + 8$	\| $- 3 x$ $+ 2$ $- 2 \sqrt{x + 7}$
$- 2 \sqrt{x + 7}$	=	$- 2 x + 10$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 7}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 7$	=	${(x - 5)}^{2}$

x + 7

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11+7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11-7}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 2}$

= $\sqrt{6 - 2}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{2 + 7} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{3 x - 2}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 9 - 2}$

= $\sqrt{27 - 2}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{9 + 7} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 9

Probe für x = $7$

Probe für x = $2$

Probe für x = $9$