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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{x + 14}$ = $- 9$

3 \sqrt{x + 14}

=

- 9

|:

3

\sqrt{x + 14}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 20 x + 89}$ = $- 2 x + 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 20 x + 89}$	=	$- 2 x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 20 x + 89$	=	${(- 2 x + 5)}^{2}$

$- 20 x + 89$	=	$4 x^{2} - 20 x + 25$	\| $- 89$
$- 20 x$	=	$4 x^{2} - 20 x - 64$	\| $- 4 x^{2}$ $+ 20 x$
$- 4 x^{2}$	=	$- 64$	\|: $(- 4)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 20 x + 89}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot (- 4) + 89}$

= $\sqrt{80 + 89}$

= $\sqrt{169}$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x + 5$

$=$ $- 2 \cdot (- 4) + 5$

= $8 + 5$

= $13$

Also 13 = 13

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{- 20 x + 89}$

$=$ $\sqrt{- 20 \cdot 4 + 89}$

= $\sqrt{- 80 + 89}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 2 x + 5$

$=$ $- 2 \cdot 4 + 5$

= $- 8 + 5$

= $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $4$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 84}$ = $\sqrt{4 x + 57} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 84}$	=	$\sqrt{4 x + 57} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 84$	=	${(\sqrt{4 x + 57} + 1)}^{2}$

$6 x + 84$	=	$2 \sqrt{4 x + 57} + 4 x + 58$	\| $- 6 x$ $- 84$ $- 2 \sqrt{4 x + 57}$
$- 2 \sqrt{4 x + 57}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 57}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 57$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 57

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 112)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 448}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22+6}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{22-6}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 112$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 112$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 112$ = $121$ $-$ $112$ = $9$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 11$ - $3$ = -14

x₂ = $- 11$ + $3$ = -8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{6 x + 84}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 14) + 84}$

= $\sqrt{- 84 + 84}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{4 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 14) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 56 + 57} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{6 x + 84}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 8) + 84}$

= $\sqrt{- 48 + 84}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{4 x + 57} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 8) + 57} + 1$

= $\sqrt{- 32 + 57} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (rechts linear)

Probe für x = -4

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 8$