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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $- 3 \sqrt{12 + 4}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 763}$ = $3 \sqrt{5 x + 84}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 763}$	=	$3 \sqrt{5 x + 84}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 763$	=	${(3 \sqrt{5 x + 84})}^{2}$

$46 x + 763$	=	$9 (5 x + 84)$
$46 x + 763$	=	$45 x + 756$	\| $- 763$
$46 x$	=	$45 x - 7$	\| $- 45 x$
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{46 x + 763}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot (- 7) + 763}$

= $\sqrt{- 322 + 763}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $3 \sqrt{5 x + 84}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot (- 7) + 84}$

= $3 \sqrt{- 35 + 84}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 64}$ = $\sqrt{5 x + 45} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 64}$	=	$\sqrt{5 x + 45} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 64$	=	${(\sqrt{5 x + 45} + 1)}^{2}$

$7 x + 64$	=	$2 \sqrt{5 x + 45} + 5 x + 46$	\| $- 7 x$ $- 64$ $- 2 \sqrt{5 x + 45}$
$- 2 \sqrt{5 x + 45}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 45}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 45$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 45

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 9) + 64}$

= $\sqrt{- 63 + 64}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 45 + 45} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{7 x + 64}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 4) + 64}$

= $\sqrt{- 28 + 64}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{5 x + 45} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 4) + 45} + 1$

= $\sqrt{- 20 + 45} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$