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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 1}$ = $2$

$\sqrt{- 3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 1$	=	$2^{2}$

$- 3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 3 x + 1}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 1) + 1}$

= $\sqrt{3 + 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 84}$ = $2 \sqrt{x + 15}$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 84}$	=	$2 \sqrt{x + 15}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 84$	=	${(2 \sqrt{x + 15})}^{2}$

$8 x + 84$	=	$4 (x + 15)$
$8 x + 84$	=	$4 x + 60$	\| $- 84$
$8 x$	=	$4 x - 24$	\| $- 4 x$
$4 x$	=	$- 24$	\|: $4$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{8 x + 84}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 6) + 84}$

= $\sqrt{- 48 + 84}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $2 \sqrt{x + 15}$

$=$ $2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 91}$ = $\sqrt{4 x + 64} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 91}$	=	$\sqrt{4 x + 64} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 91$	=	${(\sqrt{4 x + 64} + 1)}^{2}$

$6 x + 91$	=	$2 \sqrt{4 x + 64} + 4 x + 65$	\| $- 6 x$ $- 91$ $- 2 \sqrt{4 x + 64}$
$- 2 \sqrt{4 x + 64}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{4 x + 64}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 64$	=	${(x + 13)}^{2}$

4 x + 64

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 105)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 - 420}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22+8}{- 2}$ = $\frac{30}{- 2}$ = $- 15$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{22-8}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 22 x - 105$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 22 x + 105$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $11^{2} - 105$ = $121$ $-$ $105$ = $16$

x_1,2 = $- 11$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 11$ - $4$ = -15

x₂ = $- 11$ + $4$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 15$

Linke Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 15) + 91}$

= $\sqrt{- 90 + 91}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 15$ in $\sqrt{4 x + 64} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 15) + 64} + 1$

= $\sqrt{- 60 + 64} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 15$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{6 x + 91}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 7) + 91}$

= $\sqrt{- 42 + 91}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 64} + 1$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 64} + 1$

= $\sqrt{- 28 + 64} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -15

Probe für x = -7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 15$

Probe für x = $- 7$