Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- x + 14}$ = $3$

$\sqrt{- x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 14$	=	$3^{2}$

$- x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{- x + 14}$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 20$	=	${(x)}^{2}$

x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x - 3}$ = $\sqrt{2 x - 2} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x - 3}$	=	$\sqrt{2 x - 2} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(\sqrt{2 x - 2} + 1)}^{2}$

$4 x - 3$	=	$2 \sqrt{2 x - 2} + 2 x - 1$	\| $- 4 x$ $+ 3$ $- 2 \sqrt{2 x - 2}$
$- 2 \sqrt{2 x - 2}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x - 2}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x - 2$	=	${(x - 1)}^{2}$

2 x - 2

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{2 x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 1 - 2} + 1$

= $\sqrt{2 - 2} + 1$

= $\sqrt{0} + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{2 x - 2} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 3 - 2} + 1$

= $\sqrt{6 - 2} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$