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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{2 x + 15}$ = $9$

$3 \sqrt{2 x + 15}$	=	$9$	\|: $3$
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	$3^{2}$

$2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$2 x$	=	$- 6$	\|: $2$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{2 x + 15}$

$=$ $3 \sqrt{2 \cdot (- 3) + 15}$

= $3 \sqrt{- 6 + 15}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $9$

$=$ $9$

Also 9 = 9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 3}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 3}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 3$	=	${(- x)}^{2}$

- 4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 3) - 3}$

= $\sqrt{12 - 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- x$

$=$ $- (- 3)$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 4 x - 3}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 1) - 3}$

= $\sqrt{4 - 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- x$

$=$ $- (- 1)$

= $1$

Also 1 = 1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 14}$ = $\sqrt{5 x - 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 14}$	=	$\sqrt{5 x - 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 14$	=	${(\sqrt{5 x - 9} + 1)}^{2}$

$7 x - 14$	=	$2 \sqrt{5 x - 9} + 5 x - 8$	\| $- 7 x$ $+ 14$ $- 2 \sqrt{5 x - 9}$
$- 2 \sqrt{5 x - 9}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x - 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

5 x - 9

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11+7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11-7}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{7 x - 14}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 2 - 14}$

= $\sqrt{14 - 14}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 9} + 1$

= $\sqrt{10 - 9} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{7 x - 14}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 9 - 14}$

= $\sqrt{63 - 14}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x - 9} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 - 9} + 1$

= $\sqrt{45 - 9} + 1$

= $\sqrt{36} + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Also 7 = 7

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 9

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $9$