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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

2 x +2 = 4

Lösung einblenden
2 x +2 = 4 |:2
x +2 = 2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +2 = 2 2
x +2 = 4 | -2
x = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 2 x +2

= 2 2 +2

= 2 4

= 4

Rechte Seite:

x = 2 in 4

= 4

Also 4 = 4

x = 2 ist somit eine Lösung !

L={ 2 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5x -11 = 2 x -2

Lösung einblenden
5x -11 = 2 x -2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x -11 = ( 2 x -2 ) 2
5x -11 = 4( x -2 )
5x -11 = 4x -8 | +11
5x = 4x +3 | -4x
x = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 5x -11

= 53 -11

= 15 -11

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 3 in 2 x -2

= 2 3 -2

= 2 1

= 2

Also 2 = 2

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 3 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x +4 = x +9 +1

Lösung einblenden
3x +4 = x +9 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x +4 = ( x +9 +1 ) 2
3x +4 = 2 x +9 + x +10 | -3x -4 -2 x +9
-2 x +9 = -2x +6 |:(-2 )
x +9 = x -3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +9 = ( x -3 ) 2
x +9 = x 2 -6x +9 | -9
x = x 2 -6x | - ( x 2 -6x )
- x 2 + x +6x = 0
- x 2 +7x = 0
x ( -x +7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +7 = 0 | -7
-x = -7 |:(-1 )
x2 = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in 3x +4

= 30 +4

= 0 +4

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 0 in x +9 +1

= 0 +9 +1

= 9 +1

= 3 +1

= 4

Also 2 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 7

Linke Seite:

x = 7 in 3x +4

= 37 +4

= 21 +4

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 7 in x +9 +1

= 7 +9 +1

= 16 +1

= 4 +1

= 5

Also 5 = 5

x = 7 ist somit eine Lösung !

L={ 7 }