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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 3 x + 4}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{- 3 x + 4}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 3 \sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4}$

= $- 3 \sqrt{12 + 4}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{18 x - 36}$ = $2 \sqrt{4 x - 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{18 x - 36}$	=	$2 \sqrt{4 x - 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$18 x - 36$	=	${(2 \sqrt{4 x - 7})}^{2}$

$18 x - 36$	=	$4 (4 x - 7)$
$18 x - 36$	=	$16 x - 28$	\| $+ 36$
$18 x$	=	$16 x + 8$	\| $- 16 x$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{18 x - 36}$

$=$ $\sqrt{18 \cdot 4 - 36}$

= $\sqrt{72 - 36}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{4 x - 7}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 4 - 7}$

= $2 \sqrt{16 - 7}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x}$ = $\sqrt{2 x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x}$	=	$\sqrt{2 x + 4} + 2$
$2,4495 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{2 x + 4} + 2$	\|: $2,4495$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,4495} \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{2,4495}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,4495} \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{2,4495})}^{2}$

$x$	=	$0,6667 \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{6} x + 1,3333$	\|⋅ 6
$6 x$	=	$6 (0,6667 \sqrt{2 x + 4} + \frac{2}{6} x + 1,3333)$
$6 x$	=	$4 \sqrt{2 x + 4} + 2 x + 8$	\| $- 6 x$ $- 4 \sqrt{2 x + 4}$
$- 4 \sqrt{2 x + 4}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 4}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 4$	=	${(x - 2)}^{2}$

$2 x + 4$	=	$x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 4$
$2 x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + 2 x + 4 x$	=	0
$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2,4495 \sqrt{x}$

$=$ $2,4495 \sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 4} + 2$

= $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $2,4495 \sqrt{x}$

$=$ $2,4495 \sqrt{6}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{2 x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6 + 4} + 2$

= $\sqrt{12 + 4} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 6

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $6$