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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{x + 2}$ = $- 2$

2 \sqrt{x + 2}

=

- 2

|:

2

\sqrt{x + 2}

=

- 1

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 24}$ = $2 \sqrt{4 x + 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 24}$	=	$2 \sqrt{4 x + 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 24$	=	${(2 \sqrt{4 x + 8})}^{2}$

$20 x + 24$	=	$4 (4 x + 8)$
$20 x + 24$	=	$16 x + 32$	\| $- 24$
$20 x$	=	$16 x + 8$	\| $- 16 x$
$4 x$	=	$8$	\|: $4$
$x$	=	$2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{20 x + 24}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot 2 + 24}$

= $\sqrt{40 + 24}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $2$ in $2 \sqrt{4 x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot 2 + 8}$

= $2 \sqrt{8 + 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 89}$ = $\sqrt{4 x + 45} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 89}$	=	$\sqrt{4 x + 45} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 89$	=	${(\sqrt{4 x + 45} + 2)}^{2}$

$8 x + 89$	=	$4 \sqrt{4 x + 45} + 4 x + 49$	\| $- 8 x$ $- 89$ $- 4 \sqrt{4 x + 45}$
$- 4 \sqrt{4 x + 45}$	=	$- 4 x - 40$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 45}$	=	$x + 10$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 45$	=	${(x + 10)}^{2}$

4 x + 45

=

x^{2} + 20 x + 100

|

- x^{2}

- 20 x

- 100

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 55)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 220}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16+6}{- 2}$ = $\frac{22}{- 2}$ = $- 11$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{16-6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 16 x - 55$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 16 x + 55$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 55$ = $64$ $-$ $55$ = $9$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 8$ - $3$ = -11

x₂ = $- 8$ + $3$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 11$

Linke Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{8 x + 89}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 11) + 89}$

= $\sqrt{- 88 + 89}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 11$ in $\sqrt{4 x + 45} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 11) + 45} + 2$

= $\sqrt{- 44 + 45} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 11$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{8 x + 89}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 5) + 89}$

= $\sqrt{- 40 + 89}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{4 x + 45} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 5) + 45} + 2$

= $\sqrt{- 20 + 45} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -11

Probe für x = -5

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 11$

Probe für x = $- 5$