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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- x + 4}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- x + 4}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- x + 4}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 4$	=	$3^{2}$

$- x + 4$	=	$9$	\| $- 4$
$- x$	=	$5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $- 2 \sqrt{- x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{- (- 5) + 4}$

= $- 2 \sqrt{5 + 4}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{37 x + 110}$ = $3 \sqrt{4 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{37 x + 110}$	=	$3 \sqrt{4 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$37 x + 110$	=	${(3 \sqrt{4 x + 12})}^{2}$

$37 x + 110$	=	$9 (4 x + 12)$
$37 x + 110$	=	$36 x + 108$	\| $- 110$
$37 x$	=	$36 x - 2$	\| $- 36 x$
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{37 x + 110}$

$=$ $\sqrt{37 \cdot (- 2) + 110}$

= $\sqrt{- 74 + 110}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $3 \sqrt{4 x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{4 \cdot (- 2) + 12}$

= $3 \sqrt{- 8 + 12}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 17}$ = $\sqrt{5 x - 9} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 17}$	=	$\sqrt{5 x - 9} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 17$	=	${(\sqrt{5 x - 9} + 2)}^{2}$

$9 x - 17$	=	$4 \sqrt{5 x - 9} + 5 x - 5$	\| $- 9 x$ $+ 17$ $- 4 \sqrt{5 x - 9}$
$- 4 \sqrt{5 x - 9}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 9}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 9$	=	${(x - 3)}^{2}$

5 x - 9

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11+7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11-7}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x - 17}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 - 17}$

= $\sqrt{18 - 17}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 9} + 2$

= $\sqrt{10 - 9} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{9 x - 17}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 9 - 17}$

= $\sqrt{81 - 17}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $9$ in $\sqrt{5 x - 9} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 9 - 9} + 2$

= $\sqrt{45 - 9} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 9

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$

Probe für x = $9$