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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- x + 2}$ = $- 1$

$- \sqrt{- x + 2}$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- x + 2}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 2$	=	$1^{2}$

$- x + 2$	=	$1$	\| $- 2$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- \sqrt{- x + 2}$

$=$ $- \sqrt{- 1 + 2}$

= $- \sqrt{1}$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 37}$ = $3 \sqrt{x + 5}$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 37}$	=	$3 \sqrt{x + 5}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 37$	=	${(3 \sqrt{x + 5})}^{2}$

$11 x + 37$	=	$9 (x + 5)$
$11 x + 37$	=	$9 x + 45$	\| $- 37$
$11 x$	=	$9 x + 8$	\| $- 9 x$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{11 x + 37}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 4 + 37}$

= $\sqrt{44 + 37}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 \sqrt{x + 5}$

$=$ $3 \sqrt{4 + 5}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 9}$ = $\sqrt{5 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 9}$	=	$\sqrt{5 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 9$	=	${(\sqrt{5 x + 4} + 1)}^{2}$

$7 x + 9$	=	$2 \sqrt{5 x + 4} + 5 x + 5$	\| $- 7 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{5 x + 4}$
$- 2 \sqrt{5 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$5 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 5 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 9}$

= $\sqrt{7 + 9}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 4} + 1$

= $\sqrt{5 + 4} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={0; $1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 1

Probe für x = $1$

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$