Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 6}$ = $2$

$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 1 + 6}$

= $\sqrt{- 2 + 6}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{43 x - 48}$ = $3 \sqrt{5 x - 6}$

Lösung einblenden

$\sqrt{43 x - 48}$	=	$3 \sqrt{5 x - 6}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$43 x - 48$	=	${(3 \sqrt{5 x - 6})}^{2}$

$43 x - 48$	=	$9 (5 x - 6)$
$43 x - 48$	=	$45 x - 54$	\| $+ 48$
$43 x$	=	$45 x - 6$	\| $- 45 x$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{43 x - 48}$

$=$ $\sqrt{43 \cdot 3 - 48}$

= $\sqrt{129 - 48}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $3$ in $3 \sqrt{5 x - 6}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 3 - 6}$

= $3 \sqrt{15 - 6}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 19}$ = $\sqrt{5 x + 11} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 19}$	=	$\sqrt{5 x + 11} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 19$	=	${(\sqrt{5 x + 11} + 2)}^{2}$

$9 x + 19$	=	$4 \sqrt{5 x + 11} + 5 x + 15$	\| $- 9 x$ $- 19$ $- 4 \sqrt{5 x + 11}$
$- 4 \sqrt{5 x + 11}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 11}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 11$	=	${(x + 1)}^{2}$

5 x + 11

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{9 x + 19}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 2) + 19}$

= $\sqrt{- 18 + 19}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 11} + 2$

= $\sqrt{- 10 + 11} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{9 x + 19}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 5 + 19}$

= $\sqrt{45 + 19}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{5 x + 11} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 5 + 11} + 2$

= $\sqrt{25 + 11} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$