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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 14}$ = $3$

$\sqrt{x + 14}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 14$	=	$3^{2}$

$x + 14$	=	$9$	\| $- 14$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{x + 14}$

$=$ $\sqrt{- 5 + 14}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 20}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 20}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 20$	=	${(- x)}^{2}$

9 x - 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{9 x - 20}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 4 - 20}$

= $\sqrt{36 - 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{9 x - 20}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 5 - 20}$

= $\sqrt{45 - 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- x$

$=$ $- 5$

Also 5 ≠ -5

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 8}$ = $\sqrt{5 x + 9} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 8}$	=	$\sqrt{5 x + 9} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 8$	=	${(\sqrt{5 x + 9} + 1)}^{2}$

$7 x + 8$	=	$2 \sqrt{5 x + 9} + 5 x + 10$	\| $- 7 x$ $- 8$ $- 2 \sqrt{5 x + 9}$
$- 2 \sqrt{5 x + 9}$	=	$- 2 x + 2$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 9}$	=	$x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 9$	=	${(x - 1)}^{2}$

5 x + 9

=

x^{2} - 2 x + 1

|

- x^{2}

+ 2 x

- 1

$- x^{2} + 7 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 7+9}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 7-9}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot (- 1) + 8}$

= $\sqrt{- 7 + 8}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 9} + 1$

= $\sqrt{- 5 + 9} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{7 x + 8}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 8 + 8}$

= $\sqrt{56 + 8}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{5 x + 9} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 8 + 9} + 1$

= $\sqrt{40 + 9} + 1$

= $\sqrt{49} + 1$

= $7 + 1$

= $8$

Also 8 = 8

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 8

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $8$