Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 31}$ = $- 4$

$- \sqrt{- 3 x + 31}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 31$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- \sqrt{- 3 x + 31}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot 5 + 31}$

= $- \sqrt{- 15 + 31}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{20 x + 200}$ = $2 \sqrt{4 x + 45}$

Lösung einblenden

$\sqrt{20 x + 200}$	=	$2 \sqrt{4 x + 45}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$20 x + 200$	=	${(2 \sqrt{4 x + 45})}^{2}$

$20 x + 200$	=	$4 (4 x + 45)$
$20 x + 200$	=	$16 x + 180$	\| $- 200$
$20 x$	=	$16 x - 20$	\| $- 16 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{20 x + 200}$

$=$ $\sqrt{20 \cdot (- 5) + 200}$

= $\sqrt{- 100 + 200}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 \sqrt{4 x + 45}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 5) + 45}$

= $2 \sqrt{- 20 + 45}$

= $2 \sqrt{25}$

= $10$

Also 10 = 10

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 17}$ = $\sqrt{5 x - 14} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 17}$	=	$\sqrt{5 x - 14} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 17$	=	${(\sqrt{5 x - 14} + 1)}^{2}$

$7 x - 17$	=	$2 \sqrt{5 x - 14} + 5 x - 13$	\| $- 7 x$ $+ 17$ $- 2 \sqrt{5 x - 14}$
$- 2 \sqrt{5 x - 14}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x - 14}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 14$	=	${(x - 2)}^{2}$

5 x - 14

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 3 - 17}$

= $\sqrt{21 - 17}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{5 x - 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 3 - 14} + 1$

= $\sqrt{15 - 14} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{7 x - 17}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 6 - 17}$

= $\sqrt{42 - 17}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{5 x - 14} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 6 - 14} + 1$

= $\sqrt{30 - 14} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 6

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $6$