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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 2x +15 = 9

Lösung einblenden
3 2x +15 = 9 |:3
2x +15 = 3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +15 = 3 2
2x +15 = 9 | -15
2x = -6 |:2
x = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in 3 2x +15

= 3 2( -3 ) +15

= 3 -6 +15

= 3 9

= 9

Rechte Seite:

x = -3 in 9

= 9

Also 9 = 9

x = -3 ist somit eine Lösung !

L={ -3 }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-4x -3 = -x

Lösung einblenden
-4x -3 = -x |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
-4x -3 = ( -x ) 2
-4x -3 = x 2 | - x 2

- x 2 -4x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -3 ) 2( -1 )

x1,2 = +4 ± 16 -12 -2

x1,2 = +4 ± 4 -2

x1 = 4 + 4 -2 = 4 +2 -2 = 6 -2 = -3

x2 = 4 - 4 -2 = 4 -2 -2 = 2 -2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -4x -3 = 0 |: -1

x 2 +4x +3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -3

Linke Seite:

x = -3 in -4x -3

= -4( -3 ) -3

= 12 -3

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = -3 in -x

= -( -3 )

= 3

Also 3 = 3

x = -3 ist somit eine Lösung !

Probe für x = -1

Linke Seite:

x = -1 in -4x -3

= -4( -1 ) -3

= 4 -3

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = -1 in -x

= -( -1 )

= 1

Also 1 = 1

x = -1 ist somit eine Lösung !

L={ -3 ; -1 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7x -14 = 5x -9 +1

Lösung einblenden
7x -14 = 5x -9 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
7x -14 = ( 5x -9 +1 ) 2
7x -14 = 2 5x -9 +5x -8 | -7x +14 -2 5x -9
-2 5x -9 = -2x +6 |:(-2 )
5x -9 = x -3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
5x -9 = ( x -3 ) 2
5x -9 = x 2 -6x +9 | - x 2 +6x -9

- x 2 +11x -18 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · ( -1 ) · ( -18 ) 2( -1 )

x1,2 = -11 ± 121 -72 -2

x1,2 = -11 ± 49 -2

x1 = -11 + 49 -2 = -11 +7 -2 = -4 -2 = 2

x2 = -11 - 49 -2 = -11 -7 -2 = -18 -2 = 9

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +11x -18 = 0 |: -1

x 2 -11x +18 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 2 ) 2 - 18 = 121 4 - 18 = 121 4 - 72 4 = 49 4

x1,2 = 11 2 ± 49 4

x1 = 11 2 - 7 2 = 4 2 = 2

x2 = 11 2 + 7 2 = 18 2 = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 7x -14

= 72 -14

= 14 -14

= 0

= 0

Rechte Seite:

x = 2 in 5x -9 +1

= 52 -9 +1

= 10 -9 +1

= 1 +1

= 1 +1

= 2

Also 0 ≠ 2

x = 2 ist somit keine Lösung !

Probe für x = 9

Linke Seite:

x = 9 in 7x -14

= 79 -14

= 63 -14

= 49

= 7

Rechte Seite:

x = 9 in 5x -9 +1

= 59 -9 +1

= 45 -9 +1

= 36 +1

= 6 +1

= 7

Also 7 = 7

x = 9 ist somit eine Lösung !

L={ 9 }