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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 1}$ = $6$

$2 \sqrt{2 x + 1}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 1}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 1$	=	$3^{2}$

$2 x + 1$	=	$9$	\| $- 1$
$2 x$	=	$8$	\|: $2$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{2 x + 1}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 4 + 1}$

= $2 \sqrt{8 + 1}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 6}$ = $3 \sqrt{x + 1}$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 6}$	=	$3 \sqrt{x + 1}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 6$	=	${(3 \sqrt{x + 1})}^{2}$

$6 x + 6$	=	$9 (x + 1)$
$6 x + 6$	=	$9 x + 9$	\| $- 6$
$6 x$	=	$9 x + 3$	\| $- 9 x$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{6 x + 6}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 1) + 6}$

= $\sqrt{- 6 + 6}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{x + 1}$

$=$ $3 \sqrt{- 1 + 1}$

= $3 \sqrt{0}$

= 0

Also 0 = 0

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 1}$ = $\sqrt{4 x - 3} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 1}$	=	$\sqrt{4 x - 3} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 1$	=	${(\sqrt{4 x - 3} + 2)}^{2}$

$8 x + 1$	=	$4 \sqrt{4 x - 3} + 4 x + 1$	\| $- 8 x$ $- 1$ $- 4 \sqrt{4 x - 3}$
$- 4 \sqrt{4 x - 3}$	=	$- 4 x$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 3$	=	${(x)}^{2}$

4 x - 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{8 x + 1}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 1 + 1}$

= $\sqrt{8 + 1}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{4 x - 3} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 1 - 3} + 2$

= $\sqrt{4 - 3} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x + 1}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 + 1}$

= $\sqrt{24 + 1}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 3} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 3} + 2$

= $\sqrt{12 - 3} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$