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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$ = $- 9$

$- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 2 x$	=	$6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $- 3 \sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $- 3 \sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $- 3 \sqrt{6 + 3}$

= $- 3 \sqrt{9}$

= $- 9$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 9$

$=$ $- 9$

Also -9 = -9

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 20}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 20}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 20$	=	${(2 x)}^{2}$

- 24 x - 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 24 x - 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 5) - 20}$

= $\sqrt{120 - 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{- 24 x - 20}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 1) - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 1$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 28}$ = $\sqrt{x + 13} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 28}$	=	$\sqrt{x + 13} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 28$	=	${(\sqrt{x + 13} + 1)}^{2}$

$3 x + 28$	=	$2 \sqrt{x + 13} + x + 14$	\| $- 3 x$ $- 28$ $- 2 \sqrt{x + 13}$
$- 2 \sqrt{x + 13}$	=	$- 2 x - 14$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 13}$	=	$x + 7$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 13$	=	${(x + 7)}^{2}$

x + 13

=

x^{2} + 14 x + 49

|

- x^{2}

- 14 x

- 49

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13+5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{13-5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 28}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 28}$

= $\sqrt{- 27 + 28}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 9 + 13} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 9$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{3 x + 28}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 4) + 28}$

= $\sqrt{- 12 + 28}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 13} + 1$

$=$ $\sqrt{- 4 + 13} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -9

Probe für x = -4

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 9$

Probe für x = $- 4$