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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{2 x + 3}$ = $6$

$2 \sqrt{2 x + 3}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{2 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 3$	=	$3^{2}$

$2 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $2 \sqrt{2 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 3 + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 16 x + 20}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 16 x + 20}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 16 x + 20$	=	${(2 x)}^{2}$

- 16 x + 20

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 16 x + 20

= 0 |:4

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4+6}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{4-6}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot (- 5) + 20}$

= $\sqrt{80 + 20}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot (- 5)$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $- 5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 16 x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 16 \cdot 1 + 20}$

= $\sqrt{- 16 + 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x - 10}$ = $\sqrt{3 x - 5} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x - 10}$	=	$\sqrt{3 x - 5} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 10$	=	${(\sqrt{3 x - 5} + 1)}^{2}$

$5 x - 10$	=	$2 \sqrt{3 x - 5} + 3 x - 4$	\| $- 5 x$ $+ 10$ $- 2 \sqrt{3 x - 5}$
$- 2 \sqrt{3 x - 5}$	=	$- 2 x + 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x - 5}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x - 5$	=	${(x - 3)}^{2}$

3 x - 5

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9+5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9-5}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 10}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 10}$

= $\sqrt{10 - 10}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{3 x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1$

= $\sqrt{6 - 5} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x - 10}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 - 10}$

= $\sqrt{35 - 10}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{3 x - 5} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 7 - 5} + 1$

= $\sqrt{21 - 5} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 7

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $7$