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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$ = $- 12$

$- 3 \sqrt{3 x + 4}$	=	$- 12$	\|:( $- 3$ )
$\sqrt{3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 4$	=	$4^{2}$

$3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$3 x$	=	$12$	\|: $3$
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $- 3 \sqrt{3 x + 4}$

$=$ $- 3 \sqrt{3 \cdot 4 + 4}$

= $- 3 \sqrt{12 + 4}$

= $- 3 \sqrt{16}$

= $- 12$

Rechte Seite:

x = $4$ in $- 12$

$=$ $- 12$

Also -12 = -12

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	${(x)}^{2}$

- 3 x + 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4}$

= $\sqrt{12 + 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x + 40}$ = $\sqrt{4 x + 16} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x + 40}$	=	$\sqrt{4 x + 16} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x + 40$	=	${(\sqrt{4 x + 16} + 2)}^{2}$

$8 x + 40$	=	$4 \sqrt{4 x + 16} + 4 x + 20$	\| $- 8 x$ $- 40$ $- 4 \sqrt{4 x + 16}$
$- 4 \sqrt{4 x + 16}$	=	$- 4 x - 20$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x + 16}$	=	$x + 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 16$	=	${(x + 5)}^{2}$

4 x + 16

=

x^{2} + 10 x + 25

|

- x^{2}

- 10 x

- 25

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{8 x + 40}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 24 + 40}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 16} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 16} + 2$

= $\sqrt{- 12 + 16} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$