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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 3 x + 4}$ = $- 8$

$- 2 \sqrt{- 3 x + 4}$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- 2 \sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4}$

= $- 2 \sqrt{12 + 4}$

= $- 2 \sqrt{16}$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x - 56}$ = $2 \sqrt{3 x - 8}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x - 56}$	=	$2 \sqrt{3 x - 8}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x - 56$	=	${(2 \sqrt{3 x - 8})}^{2}$

$15 x - 56$	=	$4 (3 x - 8)$
$15 x - 56$	=	$12 x - 32$	\| $+ 56$
$15 x$	=	$12 x + 24$	\| $- 12 x$
$3 x$	=	$24$	\|: $3$
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{15 x - 56}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot 8 - 56}$

= $\sqrt{120 - 56}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{3 x - 8}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot 8 - 8}$

= $2 \sqrt{24 - 8}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 1}$ = $\sqrt{2 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 1}$	=	$\sqrt{2 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 1$	=	${(\sqrt{2 x + 4} + 1)}^{2}$

$4 x + 1$	=	$2 \sqrt{2 x + 4} + 2 x + 5$	\| $- 4 x$ $- 1$ $- 2 \sqrt{2 x + 4}$
$- 2 \sqrt{2 x + 4}$	=	$- 2 x + 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 4}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 4$	=	${(x - 2)}^{2}$

$2 x + 4$	=	$x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 4$
$2 x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + 2 x + 4 x$	=	0
$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{4 x + 1}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 0 + 1}$

= $\sqrt{0 + 1}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{2 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $6$

Linke Seite:

x = $6$ in $\sqrt{4 x + 1}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 6 + 1}$

= $\sqrt{24 + 1}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $6$ in $\sqrt{2 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 6 + 4} + 1$

= $\sqrt{12 + 4} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $6$ ist somit eine Lösung !

L={ $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 6

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $8$

Probe für x = $6$