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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 2x +17 = -3

Lösung einblenden
- 2x +17 = -3 |:(-1 )
2x +17 = 3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
2x +17 = 3 2
2x +17 = 9 | -17
2x = -8 |:2
x = -4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -4

Linke Seite:

x = -4 in - 2x +17

= - 2( -4 ) +17

= - -8 +17

= - 9

= -3

Rechte Seite:

x = -4 in -3

= -3

Also -3 = -3

x = -4 ist somit eine Lösung !

L={ -4 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

13x +181 = 2 3x +43

Lösung einblenden
13x +181 = 2 3x +43 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
13x +181 = ( 2 3x +43 ) 2
13x +181 = 4( 3x +43 )
13x +181 = 12x +172 | -181
13x = 12x -9 | -12x
x = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = -9

Linke Seite:

x = -9 in 13x +181

= 13( -9 ) +181

= -117 +181

= 64

= 8

Rechte Seite:

x = -9 in 2 3x +43

= 2 3( -9 ) +43

= 2 -27 +43

= 2 16

= 8

Also 8 = 8

x = -9 ist somit eine Lösung !

L={ -9 }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x -5 = x -2 +1

Lösung einblenden
3x -5 = x -2 +1 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
3x -5 = ( x -2 +1 ) 2
3x -5 = 2 x -2 + x -1 | -3x +5 -2 x -2
-2 x -2 = -2x +4 |:(-2 )
x -2 = x -2 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x -2 = ( x -2 ) 2
x -2 = x 2 -4x +4 | - x 2 +4x -4

- x 2 +5x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -1 ) · ( -6 ) 2( -1 )

x1,2 = -5 ± 25 -24 -2

x1,2 = -5 ± 1 -2

x1 = -5 + 1 -2 = -5 +1 -2 = -4 -2 = 2

x2 = -5 - 1 -2 = -5 -1 -2 = -6 -2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +5x -6 = 0 |: -1

x 2 -5x +6 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 6 = 25 4 - 6 = 25 4 - 24 4 = 1 4

x1,2 = 5 2 ± 1 4

x1 = 5 2 - 1 2 = 4 2 = 2

x2 = 5 2 + 1 2 = 6 2 = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 2

Linke Seite:

x = 2 in 3x -5

= 32 -5

= 6 -5

= 1

= 1

Rechte Seite:

x = 2 in x -2 +1

= 2 -2 +1

= 0 +1

= 0 +1

= 1

Also 1 = 1

x = 2 ist somit eine Lösung !

Probe für x = 3

Linke Seite:

x = 3 in 3x -5

= 33 -5

= 9 -5

= 4

= 2

Rechte Seite:

x = 3 in x -2 +1

= 3 -2 +1

= 1 +1

= 1 +1

= 2

Also 2 = 2

x = 3 ist somit eine Lösung !

L={ 2 ; 3 }