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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{3 x + 1}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{3 x + 1}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 1}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	$2^{2}$

$3 x + 1$	=	$4$	\| $- 1$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 2 \sqrt{3 x + 1}$

$=$ $- 2 \sqrt{3 \cdot 1 + 1}$

= $- 2 \sqrt{3 + 1}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{31 x + 129}$ = $3 \sqrt{3 x + 13}$

Lösung einblenden

$\sqrt{31 x + 129}$	=	$3 \sqrt{3 x + 13}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$31 x + 129$	=	${(3 \sqrt{3 x + 13})}^{2}$

$31 x + 129$	=	$9 (3 x + 13)$
$31 x + 129$	=	$27 x + 117$	\| $- 129$
$31 x$	=	$27 x - 12$	\| $- 27 x$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{31 x + 129}$

$=$ $\sqrt{31 \cdot (- 3) + 129}$

= $\sqrt{- 93 + 129}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $3 \sqrt{3 x + 13}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 3) + 13}$

= $3 \sqrt{- 9 + 13}$

= $3 \sqrt{4}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 109}$ = $\sqrt{5 x + 61} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 109}$	=	$\sqrt{5 x + 61} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 109$	=	${(\sqrt{5 x + 61} + 2)}^{2}$

$9 x + 109$	=	$4 \sqrt{5 x + 61} + 5 x + 65$	\| $- 9 x$ $- 109$ $- 4 \sqrt{5 x + 61}$
$- 4 \sqrt{5 x + 61}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 61}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 61$	=	${(x + 11)}^{2}$

5 x + 61

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 60)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17+7}{- 2}$ = $\frac{24}{- 2}$ = $- 12$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{17-7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 60$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 60$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $60$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{240}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{24}{2}$ = -12

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 12$

Linke Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{9 x + 109}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 12) + 109}$

= $\sqrt{- 108 + 109}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 12$ in $\sqrt{5 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 12) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 60 + 61} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 12$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 109}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 109}$

= $\sqrt{- 45 + 109}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 61} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 61} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 61} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -12

Probe für x = -5

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $- 12$

Probe für x = $- 5$