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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 15}$ = $- 6$

2 \sqrt{- 3 x + 15}

=

- 6

|:

2

\sqrt{- 3 x + 15}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x - 20}$ = $2 \sqrt{2 x - 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x - 20}$	=	$2 \sqrt{2 x - 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x - 20$	=	${(2 \sqrt{2 x - 7})}^{2}$

$7 x - 20$	=	$4 (2 x - 7)$
$7 x - 20$	=	$8 x - 28$	\| $+ 20$
$7 x$	=	$8 x - 8$	\| $- 8 x$
$- x$	=	$- 8$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$8$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{7 x - 20}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 8 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $8$ in $2 \sqrt{2 x - 7}$

$=$ $2 \sqrt{2 \cdot 8 - 7}$

= $2 \sqrt{16 - 7}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Also 6 = 6

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 81}$ = $\sqrt{5 x + 41} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 81}$	=	$\sqrt{5 x + 41} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 81$	=	${(\sqrt{5 x + 41} + 2)}^{2}$

$9 x + 81$	=	$4 \sqrt{5 x + 41} + 5 x + 45$	\| $- 9 x$ $- 81$ $- 4 \sqrt{5 x + 41}$
$- 4 \sqrt{5 x + 41}$	=	$- 4 x - 36$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 41}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 41$	=	${(x + 9)}^{2}$

5 x + 41

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13+3}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{13-3}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 8$

Linke Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{9 x + 81}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 8) + 81}$

= $\sqrt{- 72 + 81}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 8$ in $\sqrt{5 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 8) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 40 + 41} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{9 x + 81}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 5) + 81}$

= $\sqrt{- 45 + 81}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{5 x + 41} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 5) + 41} + 2$

= $\sqrt{- 25 + 41} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 8

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -8

Probe für x = -5

Probe für x = $8$

Probe für x = $- 8$

Probe für x = $- 5$