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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- x + 8}$ = $4$

$2 \sqrt{- x + 8}$	=	$4$	\|: $2$
$\sqrt{- x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x + 8$	=	$2^{2}$

$- x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{- x + 8}$

$=$ $2 \sqrt{- 4 + 8}$

= $2 \sqrt{4}$

= $2 \cdot 2$

= $4$

Rechte Seite:

x = $4$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{42 x - 26}$ = $- 3 x - 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{42 x - 26}$	=	$- 3 x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$42 x - 26$	=	${(- 3 x - 1)}^{2}$

42 x - 26

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 36 x - 27

= 0 |:9

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{42 x - 26}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 1 - 26}$

= $\sqrt{42 - 26}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot 1 - 1$

= $- 3 - 1$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{42 x - 26}$

$=$ $\sqrt{42 \cdot 3 - 26}$

= $\sqrt{126 - 26}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x - 1$

$=$ $- 3 \cdot 3 - 1$

= $- 9 - 1$

= $- 10$

Also 10 ≠ -10

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{6 x + 13}$ = $\sqrt{2 x + 5} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{6 x + 13}$	=	$\sqrt{2 x + 5} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6 x + 13$	=	${(\sqrt{2 x + 5} + 2)}^{2}$

$6 x + 13$	=	$4 \sqrt{2 x + 5} + 2 x + 9$	\| $- 6 x$ $- 13$ $- 4 \sqrt{2 x + 5}$
$- 4 \sqrt{2 x + 5}$	=	$- 4 x - 4$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{2 x + 5}$	=	$x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 5$	=	${(x + 1)}^{2}$

$2 x + 5$	=	$x^{2} + 2 x + 1$	\| $- 5$
$2 x$	=	$x^{2} + 2 x - 4$	\| $- x^{2}$ $- 2 x$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot (- 2) + 13}$

= $\sqrt{- 12 + 13}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 2) + 5} + 2$

= $\sqrt{- 4 + 5} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 1 ≠ 3

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{6 x + 13}$

$=$ $\sqrt{6 \cdot 2 + 13}$

= $\sqrt{12 + 13}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{2 x + 5} + 2$

$=$ $\sqrt{2 \cdot 2 + 5} + 2$

= $\sqrt{4 + 5} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = -2

Probe für x = 2

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $2$