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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 2 x + 17}$ = $6$

$2 \sqrt{- 2 x + 17}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- 2 x + 17}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 17$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 17$	=	$9$	\| $- 17$
$- 2 x$	=	$- 8$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $2 \sqrt{- 2 x + 17}$

$=$ $2 \sqrt{- 2 \cdot 4 + 17}$

= $2 \sqrt{- 8 + 17}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $4$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 11 x + 37} - x$ = $- 5$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 11 x + 37} - x$	=	$- 5$	\| $+ x$
$\sqrt{- 11 x + 37}$	=	$x - 5$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 11 x + 37$	=	${(x - 5)}^{2}$

- 11 x + 37

=

x^{2} - 10 x + 25

|

- x^{2}

+ 10 x

- 25

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 11 x + 37} - x$

$=$ $\sqrt{- 11 \cdot (- 4) + 37} - (- 4)$

= $\sqrt{44 + 37} + 4$

= $\sqrt{81} + 4$

= $9 + 4$

= $13$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also 13 ≠ -5

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 11 x + 37} - x$

$=$ $\sqrt{- 11 \cdot 3 + 37} - 3$

= $\sqrt{- 33 + 37} - 3$

= $\sqrt{4} - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -1 ≠ -5

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 70}$ = $\sqrt{3 x + 43} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 70}$	=	$\sqrt{3 x + 43} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 70$	=	${(\sqrt{3 x + 43} + 1)}^{2}$

$5 x + 70$	=	$2 \sqrt{3 x + 43} + 3 x + 44$	\| $- 5 x$ $- 70$ $- 2 \sqrt{3 x + 43}$
$- 2 \sqrt{3 x + 43}$	=	$- 2 x - 26$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 43}$	=	$x + 13$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 43$	=	${(x + 13)}^{2}$

3 x + 43

=

x^{2} + 26 x + 169

|

- x^{2}

- 26 x

- 169

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 126)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 504}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23+5}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{23-5}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 23 x - 126$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 23 x + 126$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{2})}^{2} - 126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $126$ = $\frac{529}{4}$ $-$ $\frac{504}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{23}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{23}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{23}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 14) + 70}$

= $\sqrt{- 70 + 70}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 14) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 42 + 43} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{5 x + 70}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 9) + 70}$

= $\sqrt{- 45 + 70}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{3 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 9) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 27 + 43} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -9

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 9$