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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 4}$ = $- 4$

$- \sqrt{- 3 x + 4}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 4$	=	$16$	\| $- 4$
$- 3 x$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $- \sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4}$

= $- \sqrt{12 + 4}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x - 16}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x - 16}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x - 16$	=	${(- 2 x)}^{2}$

16 x - 16

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 16 x - 16

= 0 |:4

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{16 x - 16}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot 2 - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot 2$

= $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 30}$ = $\sqrt{x + 11} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 30}$	=	$\sqrt{x + 11} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 30$	=	${(\sqrt{x + 11} + 1)}^{2}$

$3 x + 30$	=	$2 \sqrt{x + 11} + x + 12$	\| $- 3 x$ $- 30$ $- 2 \sqrt{x + 11}$
$- 2 \sqrt{x + 11}$	=	$- 2 x - 18$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 11}$	=	$x + 9$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 11$	=	${(x + 9)}^{2}$

x + 11

=

x^{2} + 18 x + 81

|

- x^{2}

- 18 x

- 81

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 70)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17+3}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{17-3}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 17 x - 70$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 10$

Linke Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{3 x + 30}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 10) + 30}$

= $\sqrt{- 30 + 30}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 10$ in $\sqrt{x + 11} + 1$

$=$ $\sqrt{- 10 + 11} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 10$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{3 x + 30}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 7) + 30}$

= $\sqrt{- 21 + 30}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{x + 11} + 1$

$=$ $\sqrt{- 7 + 11} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -10

Probe für x = -7

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 10$

Probe für x = $- 7$