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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \sqrt{- x + 4}$ = $9$

- 3 \sqrt{- x + 4}

=

9

|:(

- 3

)

\sqrt{- x + 4}

=

- 3

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 20}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{x + 20}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 20$	=	${(x)}^{2}$

x + 20

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} + x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 20}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x + 20}$

$=$ $\sqrt{5 + 20}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x$

$=$ $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 72}$ = $\sqrt{2 x + 43} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 72}$	=	$\sqrt{2 x + 43} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 72$	=	${(\sqrt{2 x + 43} + 1)}^{2}$

$4 x + 72$	=	$2 \sqrt{2 x + 43} + 2 x + 44$	\| $- 4 x$ $- 72$ $- 2 \sqrt{2 x + 43}$
$- 2 \sqrt{2 x + 43}$	=	$- 2 x - 28$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 43}$	=	$x + 14$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 43$	=	${(x + 14)}^{2}$

2 x + 43

=

x^{2} + 28 x + 196

|

- x^{2}

- 28 x

- 196

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 153)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 612}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26+8}{- 2}$ = $\frac{34}{- 2}$ = $- 17$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{26-8}{- 2}$ = $\frac{18}{- 2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 26 x - 153$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 26 x + 153$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 153$ = $169$ $-$ $153$ = $16$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 13$ - $4$ = -17

x₂ = $- 13$ + $4$ = -9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 17$

Linke Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{4 x + 72}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 17) + 72}$

= $\sqrt{- 68 + 72}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 17$ in $\sqrt{2 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 17) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 34 + 43} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $- 17$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 9$

Linke Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{4 x + 72}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 9) + 72}$

= $\sqrt{- 36 + 72}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 9$ in $\sqrt{2 x + 43} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 9) + 43} + 1$

= $\sqrt{- 18 + 43} + 1$

= $\sqrt{25} + 1$

= $5 + 1$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 9$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -17

Probe für x = -9

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 17$

Probe für x = $- 9$