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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{(- 2 x)}$ = $2$

$\sqrt{(- 2 x)}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x$	=	$2^{2}$

$- 2 x$	=	$4$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{(- 2 x)}$

$=$ $\sqrt{(- 2 \cdot (- 2))}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x - 14} + x$ = $- 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x - 14} + x$	=	$- 1$	\| $- x$
$\sqrt{10 x - 14}$	=	$- x - 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x - 14$	=	${(- x - 1)}^{2}$

10 x - 14

=

x^{2} + 2 x + 1

|

- x^{2}

- 2 x

- 1

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8+2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 8-2}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{10 x - 14} + x$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 3 - 14} + 3$

= $\sqrt{30 - 14} + 3$

= $\sqrt{16} + 3$

= $4 + 3$

= $7$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 7 ≠ -1

x = $3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{10 x - 14} + x$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 5 - 14} + 5$

= $\sqrt{50 - 14} + 5$

= $\sqrt{36} + 5$

= $6 + 5$

= $11$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also 11 ≠ -1

x = $5$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 14}$ = $\sqrt{3 x + 7} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 14}$	=	$\sqrt{3 x + 7} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 14$	=	${(\sqrt{3 x + 7} + 1)}^{2}$

$5 x + 14$	=	$2 \sqrt{3 x + 7} + 3 x + 8$	\| $- 5 x$ $- 14$ $- 2 \sqrt{3 x + 7}$
$- 2 \sqrt{3 x + 7}$	=	$- 2 x - 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{3 x + 7}$	=	$x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 7$	=	${(x + 3)}^{2}$

3 x + 7

=

x^{2} + 6 x + 9

|

- x^{2}

- 6 x

- 9

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3+1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{3-1}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 2) + 14}$

= $\sqrt{- 10 + 14}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{3 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 2) + 7} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 7} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 14}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 14}$

= $\sqrt{- 5 + 14}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{3 x + 7} + 1$

$=$ $\sqrt{3 \cdot (- 1) + 7} + 1$

= $\sqrt{- 3 + 7} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = -1

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 1$