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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \sqrt{- 3 x + 3}$ = $6$

$2 \sqrt{- 3 x + 3}$	=	$6$	\|: $2$
$\sqrt{- 3 x + 3}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 3$	=	$3^{2}$

$- 3 x + 3$	=	$9$	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $2 \sqrt{- 3 x + 3}$

$=$ $2 \sqrt{- 3 \cdot (- 2) + 3}$

= $2 \sqrt{6 + 3}$

= $2 \sqrt{9}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 4 x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 4 x - 4}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 4 x - 4$	=	${(x)}^{2}$

- 4 x - 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 4 x - 4}$

$=$ $\sqrt{- 4 \cdot (- 2) - 4}$

= $\sqrt{8 - 4}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x$

$=$ $- 2$

Also 2 ≠ -2

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{4 x + 28}$ = $\sqrt{2 x + 15} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{4 x + 28}$	=	$\sqrt{2 x + 15} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x + 28$	=	${(\sqrt{2 x + 15} + 1)}^{2}$

$4 x + 28$	=	$2 \sqrt{2 x + 15} + 2 x + 16$	\| $- 4 x$ $- 28$ $- 2 \sqrt{2 x + 15}$
$- 2 \sqrt{2 x + 15}$	=	$- 2 x - 12$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{2 x + 15}$	=	$x + 6$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2 x + 15$	=	${(x + 6)}^{2}$

2 x + 15

=

x^{2} + 12 x + 36

|

- x^{2}

- 12 x

- 36

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10+4}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{10-4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{4 x + 28}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 7) + 28}$

= $\sqrt{- 28 + 28}$

= $\sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{2 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 7) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 14 + 15} + 1$

= $\sqrt{1} + 1$

= $1 + 1$

= $2$

Also 0 ≠ 2

x = $- 7$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{4 x + 28}$

$=$ $\sqrt{4 \cdot (- 3) + 28}$

= $\sqrt{- 12 + 28}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{2 x + 15} + 1$

$=$ $\sqrt{2 \cdot (- 3) + 15} + 1$

= $\sqrt{- 6 + 15} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -7

Probe für x = -3

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $- 3$