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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

Bei einer Umfrage unter Schüler:innen geben 7 an, dass sie die Grünen wählen würden, wenn sie schon dürften. 5 Schüler:innen würden die CDU wählen, 6 die SPD, 5 die FDP und 2 eine der anderen Parteien.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Parteien in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Parteien zusammen und erhalten: 7 + 5 + 6 + 5 + 2 = 25

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 25 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Grüne: $\frac{7}{25}$ = $\frac{28}{100}$ = 28%

CDU: $\frac{5}{25}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

SPD: $\frac{6}{25}$ = $\frac{24}{100}$ = 24%

FDP: $\frac{5}{25}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

andere: $\frac{2}{25}$ = $\frac{8}{100}$ = 8%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 8 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

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Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 90°

C: 45°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=8 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Option	relative Häufigkeit	tatsächliche Zahl
A	$\frac{180}{360}$ = $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅8 = 4
B	$\frac{90}{360}$ = $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$ ⋅8 = 2
C	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅8 = 1
D	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅8 = 1

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 22kg; 66kg; 5kg

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

22kg + 66kg + 5kg = 93kg

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 3, teilen:

Mittelwert m = $\frac{93}{3}$ kg = 31kg

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 5; 1; 11; 4; ⬜; 3; 5 haben den Mittelwert 5.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

$\frac{5+1+11+4+⬜+3+5}{7}$ = 5

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

$\frac{29+⬜}{7}$ = 5

Wenn wir die Summe im Zähler durch 7 teilen, erhalten wir 5.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 7-fache von 5, also 7 ⋅ 5 = 35 sein, also ...

29 + ⬜ = 35

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 35 - 29 sein muss.

⬜ = 6

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Mittelwert von:

1m; 0,6m; 0,6m; 1,6m; 0,8m; 1,4m

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 0.6m und der größte Wert, also das Maximum 1.6m ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 1.6m - 0.6m = 1m.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

1m + 0,6m + 0,6m + 1,6m + 0,8m + 1,4m = 6m

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:

Mittelwert m = $\frac{6}{6}$ m = 1m

Median bestimmen

Beispiel:

Gib mit Hilfe der Rangliste den Median an.

Urliste: 11; 1; 16; 4; 15; 3; 8; 16; 20; 8

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 1
-> 3
-> 4
-> 8
-> 8
-> 11
-> 15
-> 16
-> 16
-> 20

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 8) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 11) berechnen.
also (8+11):2 = 9,5

Kenngrößen (mit Median)

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Median von:

80 km; 70 km; 90 km; 120 km; 140 km

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 70 km und der größte Wert, also das Maximum 140 km ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 140 km - 70 km = 70 km.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

80 km + 70 km + 90 km + 120 km + 140 km = 500 km

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:

Mittelwert m = $\frac{500}{5}$ km = 100 km

Median

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 70
-> 80
-> 90
-> 120
-> 140

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Median einfach den mittleren (hier also den 3-ten) Wert der Liste nehmen, also 90 km.

Median und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Median, das untere und das obere Quartil.

119
588
92
677
702
390
722
246
853
497
941
414
573

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 92
-> 119
-> 246
-> 390
-> 414
-> 497
-> 573
-> 588
-> 677
-> 702
-> 722
-> 853
-> 941

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Median einfach den mittleren (hier also den 7.) Wert der Liste nehmen, also 573.

Das untere Quartil ist nun wieder der Median der unteren Hälfte der Liste, also der unteren 6 Werte (bis 497), also der Mittelwert zwischen 246 und 390, also (246+390):2 = 318
Das obere Quartil ist dann wieder der Median der oberen Hälfte der Liste, also ab 588, also der Mittelwert zwischen 702 und 722, also (702+722):2 = 712

Säulendiagramm ablesen

Beispiel:

In einer Gummibärchenpackung sind Gummibärchen verschiedener Farben enthalten.

Gib die Anzahlen der verschiedenen Farben jeweils als Zahlen an.

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Wir schauen einfach bei jeder Säule das obere Ende an und verfolgen die waagrechte Linie ganz nach links bis zur Skalierung an der y-Achse. Dort können wir die gesuchte Zahl ablesen und erhalten so:

weiß	grün	rot	orange	gelb
11	9	6	10	2

Säulendiagramm zeichnen

Beispiel:

Stelle die Säulen auf die korrekten Werte ein, indem du sie mit der Maus oder dem Finger nach oben ziehst.

rot: 57
blau: 105
gelb: 87
grün: 91
lila: 38

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Wie beim Eintragen am Zahlenstrahl, muss man auf der Skala links vom Diagramm, den vorgegebenen Wert jeweils finden und dann die Säule entsprechend weit hochziehen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Relative Häufigkeiten

Relative Häufigkeiten rückwärts

Mittelwert berechnen

Mittelwert rückwärts

Kenngrößen bestimmen

Minimum und Maximum

Spannweite

Mittelwert

Median bestimmen

Kenngrößen (mit Median)

Minimum und Maximum

Spannweite

Mittelwert

Median

Median und Quartile

Säulendiagramm ablesen

Säulendiagramm zeichnen