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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

Bei einer Datenerhebung entscheiden sich 54 Personen für Option A, 56 Personen für Option B, 50 Personen für Option C und 40 Personen für Option D.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Optionen in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Personen zusammen und erhalten: 54 + 56 + 50 + 40 = 200

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 200 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

A: $\frac{54}{200}$ = $\frac{27}{100}$ = 27%

B: $\frac{56}{200}$ = $\frac{28}{100}$ = 28%

C: $\frac{50}{200}$ = $\frac{25}{100}$ = 25%

D: $\frac{40}{200}$ = $\frac{20}{100}$ = 20%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 16 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

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Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 90°

C: 45°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=16 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Option	relative Häufigkeit	tatsächliche Zahl
A	$\frac{180}{360}$ = $\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$ ⋅16 = 8
B	$\frac{90}{360}$ = $\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$ ⋅16 = 4
C	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅16 = 2
D	$\frac{45}{360}$ = $\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$ ⋅16 = 2

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 7; 1; 7; 5; 9; 8; 5

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

7 + 1 + 7 + 5 + 9 + 8 + 5 = 42

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = $\frac{42}{7}$ = 6

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 81; 5; ⬜; 15 haben den Mittelwert 44.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

$\frac{81+5+⬜+15}{4}$ = 44

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

$\frac{101+⬜}{4}$ = 44

Wenn wir die Summe im Zähler durch 4 teilen, erhalten wir 44.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 4-fache von 44, also 4 ⋅ 44 = 176 sein, also ...

101 + ⬜ = 176

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 176 - 101 sein muss.

⬜ = 75

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Mittelwert von:

11g; 15g; 11g; 10g; 15g; 11g; 11g

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 10g und der größte Wert, also das Maximum 15g ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 15g - 10g = 5g.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

11g + 15g + 11g + 10g + 15g + 11g + 11g = 84g

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = $\frac{84}{7}$ g = 12g

Median bestimmen

Beispiel:

Gib mit Hilfe der Rangliste den Median an.

Urliste: 11; 18; 7; 1; 17; 7; 5; 10; 9

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 1
-> 5
-> 7
-> 7
-> 9
-> 10
-> 11
-> 17
-> 18

Da die Datenmenge eine ungerade Anzahl hat, müssen wir für den Median einfach den mittleren (hier also den 5-ten) Wert der Liste nehmen, also 9.

Kenngrößen (mit Median)

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Median von:

16 kg; 13 kg; 10 kg; 10 kg; 8 kg; 9 kg

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 8 kg und der größte Wert, also das Maximum 16 kg ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 16 kg - 8 kg = 8 kg.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

16 kg + 13 kg + 10 kg + 10 kg + 8 kg + 9 kg = 66 kg

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:

Mittelwert m = $\frac{66}{6}$ kg = 11 kg

Median

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 8
-> 9
-> 10
-> 10
-> 13
-> 16

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 10) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 10) berechnen.
also (10+10):2 = 10 kg

Median und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Median, das untere und das obere Quartil.

96
12
2
29
19
2
58
37
37
31
3
21

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

-> 2
-> 2
-> 3
-> 12
-> 19
-> 21
-> 29
-> 31
-> 37
-> 37
-> 58
-> 96

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 21) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 29) berechnen.
also (21+29):2 = 25

Das untere Quartil ist nun wieder der Median der unteren Hälfte der Liste, also der unteren 6 Werte (bis 21), also der Mittelwert zwischen 3 und 12, also (3+12):2 = 7.5
Das obere Quartil ist dann wieder der Median der oberen Hälfte der Liste, also ab 29, also der Mittelwert zwischen 37 und 37, also (37+37):2 = 37

Balkendiagramm ablesen

Beispiel:

Für die Ergebnisse der Klassensprecherwahl zeigt die Lehrkraft folgendes Balkendiagramm:

Gib die Anzahlen der abgegebenen Stimmen für die jeweiligen Kandidaten an.

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Wir schauen einfach bei jedem Balken das rechte Ende an und verfolgen die gestrichelte Linie ganz nach unten bis zur Skalierung an der x-Achse. Dort können wir die gesuchte Zahl ablesen und erhalten so:

Ajsa	Maksud	Pelin	Yusuf
5	2	7	8

Säulendiagramm zeichnen

Beispiel:

Stelle die Säulen auf die korrekten Werte ein, indem du sie mit der Maus oder dem Finger nach oben ziehst.

rot: 189
blau: 46
gelb: 37
grün: 138
lila: 104

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Wie beim Eintragen am Zahlenstrahl, muss man auf der Skala links vom Diagramm, den vorgegebenen Wert jeweils finden und dann die Säule entsprechend weit hochziehen.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Relative Häufigkeiten

Relative Häufigkeiten rückwärts

Mittelwert berechnen

Mittelwert rückwärts

Kenngrößen bestimmen

Minimum und Maximum

Spannweite

Mittelwert

Median bestimmen

Kenngrößen (mit Median)

Minimum und Maximum

Spannweite

Mittelwert

Median

Median und Quartile

Balkendiagramm ablesen

Säulendiagramm zeichnen