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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

An einem Sommertag wird an einer Kreuzung in der Stadt eine Verkehrszählung durchgeführt. Dabei werden in einer Stunde 12 Autos mit Verbrennungsmotor, 11 Elektroautos, 10 Fahrradfahrer und 7 Fußgänger gezählt.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Verkehrsteilnehmer in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Verkehrsteilnehmer zusammen und erhalten: 12 + 11 + 10 + 7 = 40

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 40 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Verbrennungsmotor-Auto: 12 40 = 60 200 = 30 100 = 30%

Elektroauto: 11 40 = 55 200 = 27.5 100 = 27.5%

Fahrrad: 10 40 = 50 200 = 25 100 = 25%

Fußgänger: 7 40 = 35 200 = 17.5 100 = 17.5%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

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(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 80 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

Lösung einblenden

Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 135°

C: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=80 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Optionrelative Häufigkeittatsächliche Zahl
A 180 360 = 1 2 1 2 ⋅80 = 40
B 135 360 = 3 8 3 8 ⋅80 = 30
C 45 360 = 1 8 1 8 ⋅80 = 10

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 7400kg; 1800kg; 100kg

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

7400kg + 1800kg + 100kg = 9300kg

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 3, teilen:

Mittelwert m = 9300 3 kg = 3100kg

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 19; 70; 73, ⬜ haben den Mittelwert 44.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

19+70+73+⬜ 4 = 44

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

162+⬜ 4 = 44

Wenn wir die Summe im Zähler durch 4 teilen, erhalten wir 44.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 4-fache von 44, also 4 ⋅ 44 = 176 sein, also ...

162 + ⬜ = 176

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 176 - 162 sein muss.

⬜ = 14

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:

6cm; 15cm; 15cm; 15cm; 14cm; 13cm; 6cm

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 6cm und der größte Wert, also das Maximum 15cm ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 15cm - 6cm = 9cm.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

6cm + 15cm + 15cm + 15cm + 14cm + 13cm + 6cm = 84cm

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = 84 7 cm = 12cm

Modalwert

Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:

ZahlHäufigkeit
6cm2
15cm3
14cm1
13cm1

Der Modalwert ist also 15cm, weil er als einziger 3 mal auftritt.