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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

In einer Mensa werden an einem Tag folgende Essen bestellt: 28 mal das Menü1 Maultauschen, 27 mal das Menü2 Spaghetti Bolognese und 25 mal das vegetarische Menü3.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Menüs in Prozent.

Lösung einblenden

Zuerst addieren wir alle Portionen zusammen und erhalten: 28 + 27 + 25 = 80

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 80 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Maultaschen: 28 80 = 140 400 = 35 100 = 35%

Spaghetti Bolognese: 27 80 = 135 400 = 33.75 100 = 33.75%

vegetarisch: 25 80 = 125 400 = 31.25 100 = 31.25%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

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(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 160 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

Lösung einblenden

Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 90°

C: 45°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=160 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Optionrelative Häufigkeittatsächliche Zahl
A 180 360 = 1 2 1 2 ⋅160 = 80
B 90 360 = 1 4 1 4 ⋅160 = 40
C 45 360 = 1 8 1 8 ⋅160 = 20
D 45 360 = 1 8 1 8 ⋅160 = 20

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 1; 3; 4; 4; 7; 2; 7

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

1 + 3 + 4 + 4 + 7 + 2 + 7 = 28

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 7, teilen:

Mittelwert m = 28 7 = 4

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 4; 5, ⬜; 11; 8; 8 haben den Mittelwert 7.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

4+5++11+8+8 6 = 7

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

36+ 6 = 7

Wenn wir die Summe im Zähler durch 6 teilen, erhalten wir 7.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 6-fache von 7, also 6 ⋅ 7 = 42 sein, also ...

36 + ⬜ = 42

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 42 - 36 sein muss.

⬜ = 6

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Modalwert von:

13km; 19km; 14km; 15km; 14km

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 13km und der größte Wert, also das Maximum 19km ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 19km - 13km = 6km.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

13km + 19km + 14km + 15km + 14km = 75km

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:

Mittelwert m = 75 5 km = 15km

Modalwert

Weil der Modalwert der Wert ist, der am häufigsten auftritt, erstellen wir eine kleine Tabelle mit den Häufigkeiten der Werte:

ZahlHäufigkeit
13km1
19km1
14km2
15km1

Der Modalwert ist also 14km, weil er als einziger 2 mal auftritt.