Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 9} und B = {5; 6; 8}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={2; 3; 4; 5; 9} oder in der Menge B={5; 6; 8} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {2; 3; 4; 5; 6; 8; 9}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 7; 8; 9}.

Die Menge $\bar{A}$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={4; 7; 8; 9} sind,
also $\bar{A}$ = {1; 2; 3; 5; 6; 10}

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und die Mengen A = {2; 4; 5; 7; 8; 9} und B = {4; 8}.

Die Menge $A$ ∩ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, die sowohl in der Menge A={2; 4; 5; 7; 8; 9}, als auch in der Menge B={4; 8} sind,
also $A$ ∩ $B$ = {4; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( $A$ ∩ $B$) = $\frac{|A\cap B|}{\mathrm{|S|}}$ = $\frac{2}{9}$

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {3; 6} und B = {4; 8}.

Die Menge $A$ ∪ $B$ umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={3; 6} oder in der Menge B={4; 8} sind,
also $A$ ∪ $B$ = {3; 4; 6; 8}

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

182 + 25 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 182 + 25 = 207

	$B$	$\bar{B}$
$A$	182	25	207
$\bar{A}$	114		176

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

114 + H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 176

Somit gilt: H( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 176 - 114 = 62

	$B$	$\bar{B}$
$A$	182	25	207
$\bar{A}$	114	62	176

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

182 + 114 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 182 + 114 = 296

	$B$	$\bar{B}$
$A$	182	25	207
$\bar{A}$	114	62	176
	296

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

25 + 62 = H( $\bar{B}$)

Somit gilt: H( $\bar{B}$) = 25 + 62 = 87

	$B$	$\bar{B}$
$A$	182	25	207
$\bar{A}$	114	62	176
	296	87

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

207 + 176 = H(B + $\bar{B}$)

Somit gilt: H(B + $\bar{B}$) = 207 + 176 = 383

	$B$	$\bar{B}$
$A$	182	25	207
$\bar{A}$	114	62	176
	296	87	383

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( $\bar{A}$) = P(B)+P( $\bar{B}$) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,57
$\bar{A}$			0,3
	0,32		1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.32 + P( $\bar{B}$) = 1

Somit gilt: P( $\bar{B}$) = 1 - 0.32 = 0.68

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,57
$\bar{A}$			0,3
	0,32	0,68	1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.57 + P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.68

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ $\bar{B}$) = 0.68 - 0.57 = 0.11

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,57
$\bar{A}$		0,11	0,3
	0,32	0,68	1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.3 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.3 = 0.7

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,57	0,7
$\bar{A}$		0,11	0,3
	0,32	0,68	1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.57 = 0.7

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.7 - 0.57 = 0.13

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,13	0,57	0,7
$\bar{A}$		0,11	0,3
	0,32	0,68	1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( $\bar{A}$ ∩ B) + 0.11 = 0.3

Somit gilt: P( $\bar{A}$ ∩ B) = 0.3 - 0.11 = 0.19

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,13	0,57	0,7
$\bar{A}$	0,19	0,11	0,3
	0,32	0,68	1

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: E-Bike

$\bar{A}$: nicht E-Bike, also kein E-Bike

$B$: Mountainbike

$\bar{B}$: nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)			560
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	614
		835	1600

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

	$B$ (Mountainbike)	$\bar{B}$ (kein Mountainbike)
$A$ (E-Bike)	151	409	560
$\bar{A}$ (kein E-Bike)	614	426	1040
	765	835	1600

Der gesuchte Wert, Anzahl verkaufter "normaler" Fahrräder, ist also 426.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: weiblich

$\bar{A}$: nicht weiblich, also männlich

$B$: Fußballfan

$\bar{B}$: nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,45
$\bar{A}$ (männlich)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)			0,45
$\bar{A}$ (männlich)			0,55
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 10%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,45 ⋅ 0,1 = 0,045
berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,045		0,45
$\bar{A}$ (männlich)			0,55
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 29%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,55 ⋅ 0,29 = 0,1595
berechnen.

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,045		0,45
$\bar{A}$ (männlich)	0,1595		0,55
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Fußballfan)	$\bar{B}$ (kein Fan)
$A$ (weiblich)	0,045	0,405	0,45
$\bar{A}$ (männlich)	0,1595	0,3905	0,55
	0,2045	0,7955	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Fußballfans, ist also 0.2045 = 20.45%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,28
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)
	0,3128

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)			0,28
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,72
	0,3128	0,6872	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 50%, also $P_A\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(B\right)$ = 0,28 ⋅ 0,5 = 0,14
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,14		0,28
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)			0,72
	0,3128	0,6872	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,14	0,14	0,28
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,1728	0,5472	0,72
	0,3128	0,6872	1

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5472 = 54.72%.

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{A}$ unter der Vorraussetzung, dass $\bar{B}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{B}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{B}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{A}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = | :

$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{B}\cap \bar{A})}{\mathrm{P(}\bar{B})}$

oder hier im speziellen:
283 ⋅ x = 166 = |:283
also
$P_{\bar{B}}\left(\bar{A}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{166}}{\mathrm{283}}$ ≈ 0,5866

$P_{\bar{A}}\left(\bar{B}\right)$ bedeutet die Wahrscheinlichkeit für $\bar{B}$ unter der Vorraussetzung, dass $\bar{A}$ bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $\bar{A}$ gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $\bar{A}$ - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $\bar{B}$ weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_{\bar{A}}\left(\bar{B}\right)$ = | :

$P_{\bar{A}}\left(\bar{B}\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}\bar{A}\cap \bar{B})}{\mathrm{P(}\bar{A})}$

oder hier im speziellen:
0,59 ⋅ x = 0,34 = |:0,59
also
$P_{\bar{A}}\left(\bar{B}\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,34}}{\mathrm{0,59}}$ ≈ 0,5763

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: infiziert

$\bar{A}$: nicht infiziert, also nicht infiziert

$B$: Test positiv

$\bar{B}$: nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)			0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)			0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)			0,999
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 0.7%, also $P_A\left(\bar{B}\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_A\left(\bar{B}\right)$ = 0,001 ⋅ 0,007 = 0,000007
berechnen.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)		0,000007	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)			0,999
			1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.5%, also $P_{\bar{A}}\left(B\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_{\bar{A}}\left(B\right)$ = 0,999 ⋅ 0,015 = 0,014985
berechnen.

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)		0,000007	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)	0,014985		0,999
			1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (Test positiv)	$\bar{B}$ (Test negativ)
$A$ (infiziert)	0,000993	0,000007	0,001
$\bar{A}$ (nicht infiziert)	0,014985	0,984015	0,999
	0,015978	0,984022	1

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für $A$ (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass $B$ (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz $P_B\left(A\right)$.

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob $B$ (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von $B$ (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für $A$ (infiziert) weiter.)

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
⋅ $P_B\left(A\right)$ = | :

$P_B\left(A\right)$ = $\frac{\mathrm{P(}B\cap A)}{\mathrm{P(}B)}$

oder hier im speziellen:
0,015978 ⋅ x = 0,000993 = |:0,015978
also
$P_B\left(A\right)$ = x = $\frac{\mathrm{0,000993}}{\mathrm{0,015978}}$ ≈ 0,0621

Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,0621 = 6,21%.

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

$A$: iPhone

$\bar{A}$: nicht iPhone, also anderes Smartphone

$B$: installiert

$\bar{B}$: nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,483
	0,3496

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)		0,1674
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,483
	0,3496	0,6504	1

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 40.79%, also $P_B\left(A\right)$,
die Wahrscheinlichkeit
= ⋅ $P_B\left(A\right)$ = 0,3496 ⋅ 0,4079 = 0,1426
berechnen.

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1426	0,1674
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)		0,483
	0,3496	0,6504	1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

	$B$ (installiert)	$\bar{B}$ (nicht installiert)
$A$ (iPhone)	0,1426	0,1674	0,31
$\bar{A}$ (anderes Smartphone)	0,207	0,483	0,69
	0,3496	0,6504	1

Jetzt können wir P(A)=0.31 mit P(B)=0.35 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.143, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.31 ⋅ 0.35 = 0.1084 ≈ 0.108 ≠ 0.143 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe $P\left(A\right)$+ $P\left(\bar{A}\right)$ = $P\left(B\right)$+ $P\left(\bar{B}\right)$ = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ gilt oder dass $\bar{A}$ gilt 100%.

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,4332
$\bar{A}$
		0,57	1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.57 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.57 = 0.43

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,4332
$\bar{A}$
	0,43	0,57	1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch $A$ und $\bar{B}$) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

⋅ =

also ⋅ 0.57 = 0.4332 |: 0.57

somit gilt:

= $\frac{\mathrm{0.4332}}{\mathrm{0.57}}$ = 0.76

	$B$	$\bar{B}$
$A$		0,4332	0,76
$\bar{A}$
	0,43	0,57	1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

	$B$	$\bar{B}$
$A$	0,3268	0,4332	0,76
$\bar{A}$	0,1032	0,1368	0,24
	0,43	0,57	1