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Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 7; 8} und B = {3; 5; 8; 9; 10}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 7; 8} und B = {3; 5; 8; 9; 10}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 6; 7; 8}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 6; 7; 8}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={2; 4; 6; 7; 8} sind,
also
= {1; 3; 5; 9; 10}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 2 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 5 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {2; 4; 6} und B = {1; 2; 3; 4; 5}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 6; 7}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 6; 7}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 2; 6; 7} sind,
also
= {3; 4; 5; 8; 9; 10}
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
28 + 176 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 28 + 176 = 204
28 | 176 | 204 | |
154 | |||
365 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
176 + 154 = H( )
Somit gilt: H( ) = 176 + 154 = 330
28 | 176 | 204 | |
154 | |||
330 | 365 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
204 + H( ) = 365
Somit gilt: H( ) = 365 - 204 = 161
28 | 176 | 204 | |
154 | 161 | ||
330 | 365 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 154 = 161
Somit gilt: H( ∩ B) = 161 - 154 = 7
28 | 176 | 204 | |
7 | 154 | 161 | |
330 | 365 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 330 = 365
Somit gilt: H(B) = 365 - 330 = 35
28 | 176 | 204 | |
7 | 154 | 161 | |
35 | 330 | 365 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,13 | 0,25 | ||
0,2 | |||
1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.13 + P(A ∩ ) = 0.25
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.25 - 0.13 = 0.12
0,13 | 0,12 | 0,25 | |
0,2 | |||
1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.12 + 0.2 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.12 + 0.2 = 0.32
0,13 | 0,12 | 0,25 | |
0,2 | |||
0,32 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.25 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.25 = 0.75
0,13 | 0,12 | 0,25 | |
0,2 | 0,75 | ||
0,32 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.2 = 0.75
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.75 - 0.2 = 0.55
0,13 | 0,12 | 0,25 | |
0,55 | 0,2 | 0,75 | |
0,32 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.32 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.32 = 0.68
0,13 | 0,12 | 0,25 | |
0,55 | 0,2 | 0,75 | |
0,68 | 0,32 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 16 das Leistungsfach. 16 von den insgesamt 36 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 29 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Mädchen
: nicht Mädchen, also Jungs
: Leistungsfach
: nicht Leistungsfach, also Basisfach
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | ||
(Jungs) | 16 | 29 | |
36 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 16 = 29
Somit gilt: H( ∩ B) = 29 - 16 = 13
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | ||
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
36 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
16 + 13 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 16 + 13 = 29
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | ||
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
29 | 36 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 16 = 36
Somit gilt: H(A ∩ ) = 36 - 16 = 20
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | 20 | |
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
29 | 36 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
16 + 20 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 16 + 20 = 36
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | 20 | 36 |
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
29 | 36 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
29 + 36 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 29 + 36 = 65
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | 20 | 36 |
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
29 | 36 | 65 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 16 | 20 | 36 |
(Jungs) | 13 | 16 | 29 |
29 | 36 | 65 |
Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 65.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 30% der Bevölkerung ausmacht, 71% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 19%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: eigene Partei
: nicht eigene Partei, also andere Partei
: zufrieden
: nicht zufrieden, also unzufrieden
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,3 | ||
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,3 | ||
(andere Partei) | 0,7 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es
71% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,3 ⋅
0,71 =
0,213 berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,213 | 0,3 | |
(andere Partei) | 0,7 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es
19% kann man die Wahrscheinlichkeit
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,213 | 0,3 | |
(andere Partei) | 0,133 | 0,7 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,213 | 0,087 | 0,3 |
(andere Partei) | 0,133 | 0,567 | 0,7 |
0,346 | 0,654 | 1 |
Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.346 = 34.6%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 35,22% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 46% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 23% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,23 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,3522 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,23 | ||
(anderes Smartphone) | 0,77 | ||
0,3522 | 0,6478 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es
46% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1058 | 0,23 | |
(anderes Smartphone) | 0,77 | ||
0,3522 | 0,6478 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1058 | 0,1242 | 0,23 |
(anderes Smartphone) | 0,2464 | 0,5236 | 0,77 |
0,3522 | 0,6478 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5236 = 52.36%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 168 | 98 | 266 |
| 141 | 175 | 316 |
309 | 273 | 582 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,47 | 0,4 | 0,87 |
| 0,07 | 0,06 | 0,13 |
0,54 | 0,46 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,13 ⋅ x
= 0,06 = |:0,13
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 6% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 93% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 83% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,06 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,06 | ||
(andere Lehrer) | 0,94 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0498 | 0,06 | |
(andere Lehrer) | 0,94 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 93%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0498 | 0,06 | |
(andere Lehrer) | 0,8742 | 0,94 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0102 | 0,0498 | 0,06 |
(andere Lehrer) | 0,8742 | 0,0658 | 0,94 |
0,8844 | 0,1156 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,1156 ⋅ x
= 0,0498 = |:0,1156
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4308 = 43,08%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2600 Fahrräder verkauft. Davon waren 570 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 1274 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1648 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1274 | ||
(kein E-Bike) | 570 | ||
1648 | 2600 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 1648 = 2600
Somit gilt: H(B) = 2600 - 1648 = 952
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 1274 | ||
(kein E-Bike) | 570 | ||
952 | 1648 | 2600 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 570 = 952
Somit gilt: H(A ∩ B) = 952 - 570 = 382
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 382 | 1274 | |
(kein E-Bike) | 570 | ||
952 | 1648 | 2600 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
1274 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 382 | 1274 | |
(kein E-Bike) | 570 | 1326 | |
952 | 1648 | 2600 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
382 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 382 | 892 | 1274 |
(kein E-Bike) | 570 | 1326 | |
952 | 1648 | 2600 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
570 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 382 | 892 | 1274 |
(kein E-Bike) | 570 | 756 | 1326 |
952 | 1648 | 2600 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 382 | 892 | 1274 |
(kein E-Bike) | 570 | 756 | 1326 |
952 | 1648 | 2600 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2600. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,147 | 0,343 | 0,49 |
| 0,219 | 0,291 | 0,51 |
0,366 | 0,634 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.366 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.147, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.366 = 0.1794 ≈ 0.179
≠ 0.147 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,0286 | ||
0,74 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.74 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,0286 | ||
0,74 | 0,26 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| |||
| 0,0286 | 0,11 | |
0,74 | 0,26 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,6586 | 0,2314 | 0,89 |
| 0,0814 | 0,0286 | 0,11 |
0,74 | 0,26 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 1020 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 119 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 306 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 306 | ||
(Verbrenner) | 119 | ||
1020 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
306 + H(
Somit gilt: H(
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 306 | ||
(Verbrenner) | 119 | 714 | |
1020 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 306 | ||
(Verbrenner) | 119 | 714 | |
170 | 1020 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(geblitzte Autos) |
(nicht geblitzte Autos) | ||
---|---|---|---|
(E-Autos) | 51 | 255 | 306 |
(Verbrenner) | 119 | 595 | 714 |
170 | 850 | 1020 |
Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 850
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 35% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 10,5% der Befragten. 58,95% der Befragten sind entweder Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,105 | 0,35 | |
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,105 | 0,245 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,65 | ||
1 |
Die 58.95% von "entweder Fußballfan oder weiblich" verteilen sich ja auf die beiden Felder von
0.245 +
Damit gilt:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,105 | 0,245 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,3445 | 0,65 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,105 | 0,245 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,3445 | 0,3055 | 0,65 |
0,4495 | 0,5505 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4495 = 44.95%.