Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 10} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 10} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 9}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {2; 3; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {2; 3; 7; 9}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={2; 3; 7; 9} sind,
also
= {1; 4; 5; 6; 8; 10}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {4; 5} und B = {3; 6}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 4 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {4}.
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
108 + H( ∩ ) = 288
Somit gilt: H( ∩ ) = 288 - 108 = 180
27 | |||
108 | 180 | 288 | |
267 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
27 + 108 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 27 + 108 = 135
27 | |||
108 | 180 | 288 | |
135 | 267 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 180 = 267
Somit gilt: H(A ∩ ) = 267 - 180 = 87
27 | 87 | ||
108 | 180 | 288 | |
135 | 267 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
27 + 87 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 27 + 87 = 114
27 | 87 | 114 | |
108 | 180 | 288 | |
135 | 267 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
135 + 267 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 135 + 267 = 402
27 | 87 | 114 | |
108 | 180 | 288 | |
135 | 267 | 402 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,16 | |||
0,82 | |||
0,52 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.52 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.52 = 0.48
0,16 | |||
0,82 | |||
0,52 | 0,48 | 1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.16 + P( ∩ B) = 0.52
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.52 - 0.16 = 0.36
0,16 | |||
0,36 | 0,82 | ||
0,52 | 0,48 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.82 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.82 = 0.18
0,16 | 0,18 | ||
0,36 | 0,82 | ||
0,52 | 0,48 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.16 + P(A ∩ ) = 0.18
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.18 - 0.16 = 0.02
0,16 | 0,02 | 0,18 | |
0,36 | 0,82 | ||
0,52 | 0,48 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.36 + P( ∩ ) = 0.82
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.82 - 0.36 = 0.46
0,16 | 0,02 | 0,18 | |
0,36 | 0,46 | 0,82 | |
0,52 | 0,48 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In einem Monat mit 30 Tagen gab es 18 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 13 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 4 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Schule
: nicht Schule, also schulfrei
: schönes Wetter
: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | ||
(schulfrei) | 4 | ||
18 | 30 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
18 + H( ) = 30
Somit gilt: H( ) = 30 - 18 = 12
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | ||
(schulfrei) | 4 | ||
18 | 12 | 30 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
13 + H( ∩ B) = 18
Somit gilt: H( ∩ B) = 18 - 13 = 5
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | ||
(schulfrei) | 5 | 4 | |
18 | 12 | 30 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 4 = 12
Somit gilt: H(A ∩ ) = 12 - 4 = 8
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | 8 | |
(schulfrei) | 5 | 4 | |
18 | 12 | 30 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
13 + 8 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 13 + 8 = 21
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | 8 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | |
18 | 12 | 30 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
5 + 4 = H( )
Somit gilt: H( ) = 5 + 4 = 9
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | 8 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | 9 |
18 | 12 | 30 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 13 | 8 | 21 |
(schulfrei) | 5 | 4 | 9 |
18 | 12 | 30 |
Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 9.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Bei iPhones ist die App auf 40% der Geräte installiert, bei anderen Smartphones nur auf 27% der Geräte. Bei der Untersuchung waren 20% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: iPhone
: nicht iPhone, also anderes Smartphone
: installiert
: nicht installiert, also nicht installiert
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,2 | ||
(anderes Smartphone) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,2 | ||
(anderes Smartphone) | 0,8 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es
40% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,2 ⋅
0,4 =
0,08 berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,08 | 0,2 | |
(anderes Smartphone) | 0,8 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "anderes Smartphone" sind es
27% kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,08 | 0,2 | |
(anderes Smartphone) | 0,216 | 0,8 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,08 | 0,12 | 0,2 |
(anderes Smartphone) | 0,216 | 0,584 | 0,8 |
0,296 | 0,704 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.584 = 58.4%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 41% der Bevölkerung zufrieden. 68% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 48,38% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,41 | ||
(unzufrieden) | 0,4838 | ||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,41 | ||
(unzufrieden) | 0,1062 | 0,4838 | 0,59 |
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es
68% kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2788 | 0,41 | |
(unzufrieden) | 0,1062 | 0,4838 | 0,59 |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2788 | 0,1312 | 0,41 |
(unzufrieden) | 0,1062 | 0,4838 | 0,59 |
0,385 | 0,615 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.385 = 38.5%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 102 | 187 | 289 |
| 13 | 147 | 160 |
115 | 334 | 449 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,31 | 0,08 | 0,39 |
| 0,33 | 0,28 | 0,61 |
0,64 | 0,36 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,64 ⋅ x
= 0,33 = |:0,64
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 7% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 93% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 80% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,07 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,07 | ||
(andere Lehrer) | 0,93 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 80%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,056 | 0,07 | |
(andere Lehrer) | 0,93 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 93%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,056 | 0,07 | |
(andere Lehrer) | 0,8649 | 0,93 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,014 | 0,056 | 0,07 |
(andere Lehrer) | 0,8649 | 0,0651 | 0,93 |
0,8789 | 0,1211 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,1211 ⋅ x
= 0,056 = |:0,1211
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4624 = 46,24%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1100 Fahrräder verkauft. Davon waren 386 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 385 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 583 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 385 | ||
(kein E-Bike) | 386 | ||
583 | 1100 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 583 = 1100
Somit gilt: H(B) = 1100 - 583 = 517
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 385 | ||
(kein E-Bike) | 386 | ||
517 | 583 | 1100 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 386 = 517
Somit gilt: H(A ∩ B) = 517 - 386 = 131
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 385 | |
(kein E-Bike) | 386 | ||
517 | 583 | 1100 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
385 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 385 | |
(kein E-Bike) | 386 | 715 | |
517 | 583 | 1100 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
131 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 254 | 385 |
(kein E-Bike) | 386 | 715 | |
517 | 583 | 1100 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
386 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 254 | 385 |
(kein E-Bike) | 386 | 329 | 715 |
517 | 583 | 1100 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 131 | 254 | 385 |
(kein E-Bike) | 386 | 329 | 715 |
517 | 583 | 1100 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,119 | 0,231 | 0,35 |
| 0,351 | 0,299 | 0,65 |
0,47 | 0,53 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.47 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.119, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.47 = 0.1645 ≈ 0.165
≠ 0.119 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,53 | ||
| 0,3384 | ||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.53 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,53 | ||
| 0,3384 | 0,47 | |
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.47 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,53 | ||
| 0,3384 | 0,47 | |
0,72 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,3816 | 0,1484 | 0,53 |
| 0,3384 | 0,1316 | 0,47 |
0,72 | 0,28 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 39 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 65 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 130 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 65 | ||
(Jungs) | 39 | ||
130 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
65 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 65 | ||
(Jungs) | 39 | 65 | |
130 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch
Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 65 | ||
(Jungs) | 39 | 65 | |
78 | 130 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 39 | 26 | 65 |
(Jungs) | 39 | 26 | 65 |
78 | 52 | 130 |
Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 52
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage sind 46,25% der Befragten weiblich. 12,43% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 80,75% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,4625 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | |||
(kein Fan) | |||
0,4625 | 0,5375 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es
12.43% kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0575 | ||
(kein Fan) | |||
0,4625 | 0,5375 | 1 |
Die 80.75% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,8075 =
Damit gilt:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0575 | 0,1925 | |
(kein Fan) | |||
0,4625 | 0,5375 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,0575 | 0,1925 | 0,25 |
(kein Fan) | 0,405 | 0,345 | 0,75 |
0,4625 | 0,5375 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.75 = 75%.