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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {6; 9}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {6; 9}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={6; 9} sind,
also
= {1; 2; 3; 4; 5; 7; 8; 10}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 7; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {4; 5; 7; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={4; 5; 7; 10} sind,
also
= {1; 2; 3; 6; 8; 9}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
In einer Urne sind 13 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 13 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel keine Primzahl und nicht größer als 6 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} und die Mengen A = {2; 3; 5; 7; 11; 13} und B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13},
die nicht in der Menge A={2; 3; 5; 7; 11; 13} sind,
also
= {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12}
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl durch 3 teilbar ist oder deren Zahl höchstens die 4 ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 6} und B = {1; 2; 3; 4}.
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
120 + 112 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 120 + 112 = 232
120 | 112 | 232 | |
31 | 131 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
31 + H( ∩ ) = 131
Somit gilt: H( ∩ ) = 131 - 31 = 100
120 | 112 | 232 | |
31 | 100 | 131 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
120 + 31 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 120 + 31 = 151
120 | 112 | 232 | |
31 | 100 | 131 | |
151 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
112 + 100 = H( )
Somit gilt: H( ) = 112 + 100 = 212
120 | 112 | 232 | |
31 | 100 | 131 | |
151 | 212 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
232 + 131 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 232 + 131 = 363
120 | 112 | 232 | |
31 | 100 | 131 | |
151 | 212 | 363 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,4 | |||
0,33 | |||
0,34 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.34 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.34 = 0.66
0,4 | |||
0,33 | |||
0,34 | 0,66 | 1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.4 + P( ∩ ) = 0.66
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.66 - 0.4 = 0.26
0,4 | |||
0,26 | 0,33 | ||
0,34 | 0,66 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.33 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.33 = 0.67
0,4 | 0,67 | ||
0,26 | 0,33 | ||
0,34 | 0,66 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.4 = 0.67
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.67 - 0.4 = 0.27
0,27 | 0,4 | 0,67 | |
0,26 | 0,33 | ||
0,34 | 0,66 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.26 = 0.33
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.33 - 0.26 = 0.07
0,27 | 0,4 | 0,67 | |
0,07 | 0,26 | 0,33 | |
0,34 | 0,66 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 17 das Leistungsfach. 13 von den insgesamt 33 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 24 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Mädchen
: nicht Mädchen, also Jungs
: Leistungsfach
: nicht Leistungsfach, also Basisfach
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | ||
(Jungs) | 13 | 24 | |
33 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 13 = 24
Somit gilt: H( ∩ B) = 24 - 13 = 11
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | ||
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
33 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
17 + 11 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 17 + 11 = 28
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | ||
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
28 | 33 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 13 = 33
Somit gilt: H(A ∩ ) = 33 - 13 = 20
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | 20 | |
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
28 | 33 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
17 + 20 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 17 + 20 = 37
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | 20 | 37 |
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
28 | 33 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
28 + 33 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 28 + 33 = 61
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | 20 | 37 |
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
28 | 33 | 61 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 17 | 20 | 37 |
(Jungs) | 11 | 13 | 24 |
28 | 33 | 61 |
Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 61.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 8% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 91% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 82% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Informatiklehrer
: nicht Informatiklehrer, also andere
: MS-Office
: nicht MS-Office, also anderes Office
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,08 | ||
(andere) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,08 | ||
(andere) | 0,92 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 82%
kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,08 ⋅ 0,82 =
0,0656 berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0656 | 0,08 | |
(andere) | 0,92 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es 91%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0656 | 0,08 | |
(andere) | 0,8372 | 0,92 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0144 | 0,0656 | 0,08 |
(andere) | 0,8372 | 0,0828 | 0,92 |
0,8516 | 0,1484 | 1 |
Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.8516 = 85.16%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 29,24% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 38% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 27% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,27 | ||
(anderes Smartphone) | |||
0,2924 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,27 | ||
(anderes Smartphone) | 0,73 | ||
0,2924 | 0,7076 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 38%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1026 | 0,27 | |
(anderes Smartphone) | 0,73 | ||
0,2924 | 0,7076 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1026 | 0,1674 | 0,27 |
(anderes Smartphone) | 0,1898 | 0,5402 | 0,73 |
0,2924 | 0,7076 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5402 = 54.02%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 140 | 137 | 277 |
| 134 | 124 | 258 |
274 | 261 | 535 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,03 | 0,18 | 0,21 |
| 0,16 | 0,63 | 0,79 |
0,19 | 0,81 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,19 ⋅ x
= 0,03 = |:0,19
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 24% der Bevölkerung ausmacht, 66% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 20%. Wie viel Prozent derjenigen, die mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden sind, sind auch Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,24 | ||
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,24 | ||
(andere Partei) | 0,76 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 66%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1584 | 0,24 | |
(andere Partei) | 0,76 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 20%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1584 | 0,24 | |
(andere Partei) | 0,152 | 0,76 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,1584 | 0,0816 | 0,24 |
(andere Partei) | 0,152 | 0,608 | 0,76 |
0,3104 | 0,6896 | 1 |
Gesucht ist ja "der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,3104 ⋅ x
= 0,1584 = |:0,3104
also
Der gesuchte Wert (der Anteil der Parteianhänger unter allen. die mit dem Regierungschef zufrieden sind) ist also 0,5103 = 51,03%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 100 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 27 das Leistungsfach. 22 von den insgesamt 55 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | ||
(Jungs) | 22 | ||
55 | 100 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 55 = 100
Somit gilt: H(B) = 100 - 55 = 45
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | ||
(Jungs) | 22 | ||
45 | 55 | 100 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
27 + H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | ||
(Jungs) | 18 | 22 | |
45 | 55 | 100 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | 33 | |
(Jungs) | 18 | 22 | |
45 | 55 | 100 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
27 + 33 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 27 + 33 = 60
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | 33 | 60 |
(Jungs) | 18 | 22 | |
45 | 55 | 100 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
18 + 22 = H(
Somit gilt: H(
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | 33 | 60 |
(Jungs) | 18 | 22 | 40 |
45 | 55 | 100 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 27 | 33 | 60 |
(Jungs) | 18 | 22 | 40 |
45 | 55 | 100 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,27 | 0,33 | 0,6 |
| 0,18 | 0,22 | 0,4 |
0,45 | 0,55 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.6 mit P(B)=0.45 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.27, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.6 ⋅ 0.45 = 0.27
= 0.27 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0799 | ||
| 0,53 | ||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.53 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.53 = 0.47
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0799 | 0,47 | |
| 0,53 | ||
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.47 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,0799 | 0,47 | |
| 0,53 | ||
0,17 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,3901 | 0,0799 | 0,47 |
| 0,4399 | 0,0901 | 0,53 |
0,83 | 0,17 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
In einem Land sind 3,23% aller Menschen sowohl minderjährig als auch Linkshänder. Insgesamt sind 83% aller Menschen dieses Lands Rechtshänder. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Linkshänder" und "Minderjährigkeit" stochastisch unabhängig sind. Wie viel Prozent der Menschen dieses Landes müssten dann volljährige Erwachsene sein?
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
---|---|---|---|
(Minderjährige) | 0,0323 | ||
(Erwachsene) | |||
0,83 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.83 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.83 = 0.17
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
---|---|---|---|
(Minderjährige) | 0,0323 | ||
(Erwachsene) | |||
0,17 | 0,83 | 1 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Minderjährige" in der Spalte "Linkshänder"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Minderjährige" auch
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
---|---|---|---|
(Minderjährige) | 0,0323 | 0,19 | |
(Erwachsene) | |||
0,17 | 0,83 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Linkshänder) |
(Rechtshänder) | ||
---|---|---|---|
(Minderjährige) | 0,0323 | 0,1577 | 0,19 |
(Erwachsene) | 0,1377 | 0,6723 | 0,81 |
0,17 | 0,83 | 1 |
Der prozentualer Anteil der Erwachsenen ist somit 81%
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 32% der Bevölkerung zufrieden. 63% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 84,36% der Bevölkerung sind keine Anhänger seiner Partei oder zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,32 | ||
(unzufrieden) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,32 | ||
(unzufrieden) | 0,68 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es 63%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2016 | 0,32 | |
(unzufrieden) | 0,68 | ||
1 |
Die 84.36% von "zufrieden oder andere Partei" verteilen sich ja auf die drei Felder von
also auf alle vier Felder außer
0,8436 =
Damit gilt:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2016 | 0,32 | |
(unzufrieden) | 0,1564 | 0,68 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(eigene Partei) |
(andere Partei) | ||
---|---|---|---|
(zufrieden) | 0,2016 | 0,1184 | 0,32 |
(unzufrieden) | 0,1564 | 0,5236 | 0,68 |
0,358 | 0,642 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.358 = 35.8%.