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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 9; 10} und B = {3; 6; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 9; 10} und B = {3; 6; 7; 9}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={1; 4; 7; 9; 10} oder in der Menge B={3; 6; 7; 9} sind,
also A B = {1; 3; 4; 6; 7; 9; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 5; 6; 7}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 5; 6; 7}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 5; 6; 7} sind,
also A = {2; 3; 4; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 2 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} und B = {2; 4; 6; 8}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={2; 3; 4; 5; 6; 7} oder in der Menge B={2; 4; 6; 8} sind,
also A B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 7 8

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl nicht durch 2 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 4; 6} und B = {2; 4; 6}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die nicht in der Menge B={2; 4; 6} sind,
also B = {1; 3; 5; 7}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die sowohl in der Menge A={3; 4; 6}, als auch in der Menge B ={1; 3; 5; 7} sind,
also A B = {3}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 77 = 112

Somit gilt: H(A ∩ B) = 112 - 77 = 35

  B B  
A 3577112
A  169322
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 169 = 322

Somit gilt: H( A ∩ B) = 322 - 169 = 153

  B B  
A 3577112
A 153169322
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

35 + 153 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 35 + 153 = 188

  B B  
A 3577112
A 153169322
 188  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

77 + 169 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 77 + 169 = 246

  B B  
A 3577112
A 153169322
 188246 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

112 + 322 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 112 + 322 = 434

  B B  
A 3577112
A 153169322
 188246434

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,4  
A 0,040,1 
   1

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.04 + 0.1 = P( A )

Somit gilt: P( A ) = 0.04 + 0.1 = 0.14

  B B  
A 0,4  
A 0,040,10,14
   1

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.4 + 0.04 = P(B)

Somit gilt: P(B) = 0.4 + 0.04 = 0.44

  B B  
A 0,4  
A 0,040,10,14
 0,44 1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.14 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.14 = 0.86

  B B  
A 0,4 0,86
A 0,040,10,14
 0,44 1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.4 + P(A ∩ B ) = 0.86

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.86 - 0.4 = 0.46

  B B  
A 0,40,460,86
A 0,040,10,14
 0,44 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.44 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.44 = 0.56

  B B  
A 0,40,460,86
A 0,040,10,14
 0,440,561

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 30 Tagen gab es 14 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 8 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 7 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
8  
A
(schulfrei)
 7 
 14 30

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
8917
A
(schulfrei)
6713
 141630

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 13.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 30% der Bevölkerung ausmacht, 52% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 20%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 52% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,3 0,52 = 0,156 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,156 0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 20% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,7 0,2 = 0,14 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,156 0,3
A
(andere Partei)
0,14 0,7
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,1560,1440,3
A
(andere Partei)
0,140,560,7
 0,2960,7041

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.296 = 29.6%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 15% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 3% der Befragten. 47% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,03 0,15
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,030,120,15
A
(kein Fan)
  0,85
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es 47% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,85 0,47 = 0,3995 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,030,120,15
A
(kein Fan)
 0,39950,85
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,030,120,15
A
(kein Fan)
0,45050,39950,85
 0,48050,51951

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4805 = 48.05%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 15413167
A 45136181
 199149348

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

= 199 348
= 149 348
=x
= 154 348
= 45 348
= 13 348
= 136 348

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
149 348 x = 136 348 = |:149 ⋅348
also
P B ( A ) = x = 136 149 ≈ 0,9128

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,340,150,49
A 0,060,450,51
 0,40,61

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,49
=0,51
=x
=0,34
=0,15
=0,06
=0,45

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,49x = 0,34 = |:0,49
also
P A ( B ) = x = 0,34 0,49 ≈ 0,6939

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 4% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 96% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 83% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Informatiklehrer

A : nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

B : MS-Office

B : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,04
A
(andere Lehrer)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,04
A
(andere Lehrer)
  0,96
   1
=0,04
Informatiklehrer
=0,96
andere Lehrer
MS-Office
=0,83
anderes Office
=0,96
MS-Office
anderes Office
=0,0332

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,04 0,83 = 0,0332
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,03320,04
A
(andere Lehrer)
  0,96
   1
=0,04
Informatiklehrer
=0,96
andere Lehrer
MS-Office
=0,83
anderes Office
=0,96
MS-Office
anderes Office
=0,0332
=0,9216

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 96%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,96 0,96 = 0,9216
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,03320,04
A
(andere Lehrer)
0,9216 0,96
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
0,00680,03320,04
A
(andere Lehrer)
0,92160,03840,96
 0,92840,07161

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für A (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass B (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (Informatiklehrer) weiter.)

=0,9284
MS-Office
=0,0716
anderes Office
Informatiklehrer
andere Lehrer
=x
Informatiklehrer
andere Lehrer
=0,0068
=0,9216
=0,0332
=0,0384

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,0716x = 0,0332 = |:0,0716
also
P B ( A ) = x = 0,0332 0,0716 ≈ 0,4637


Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4637 = 46,37%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1700 Fahrräder verkauft. Davon waren 582 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 714 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 854 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  714
A
(kein E-Bike)
582  
  8541700

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
264450714
A
(kein E-Bike)
582404986
 8468541700

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1700. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1550,2650,42
A 0,3420,2380,58
 0,4980,5021

Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.498 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.155, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.498 = 0.209 ≈ 0.209 ≠ 0.155 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,1120,56
A    
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.56 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.56 = 0.44

  B B  
A  0,1120,56
A   0,44
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.56 ⋅ P ( B ) = 0.112 |: 0.56

somit gilt:

P ( B ) = 0.112 0.56 = 0.2

  B B  
A  0,1120,56
A   0,44
  0,21

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,4480,1120,56
A 0,3520,0880,44
 0,80,21

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 49 das Leistungsfach. Auf das Basisfach fallen insgesamt 45 Wahlen. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der 150 Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen sind keine Mädchen?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
49  
A
(Jungs)
   
  45150

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 45 = 150

Somit gilt: H(B) = 150 - 45 = 105

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
49  
A
(Jungs)
   
 10545150

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Mädchen" in der Spalte "Leistungsfach" P B ( A ) = 49 105 = 7 15 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Mädchen" auch 7 15 sein. Somit gilt auch P ( A ) = P B ( A ) = 7 15 .

Für den Wert in der Randspalte ergibt sich also 7 15 ⋅150 = 70

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
49 70
A
(Jungs)
   
 10545150

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
492170
A
(Jungs)
562480
 10545150

Die Anzahl nicht weiblicher Schüler ist somit 80

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 35% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 9,8% der Befragten. 67,45% der Befragten sind entweder Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,098 0,35
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0980,2520,35
A
(kein Fan)
  0,65
   1

Die 67.45% von "entweder Fußballfan oder weiblich" verteilen sich ja auf die beiden Felder von P ( A B ) und P ( A B ) weil ja sowohl "Fußballfan und weiblich" als auch "Weder Fußballfan noch weiblich" nicht in diesen 67.45% enthalten ist. Es gilt somit:

P ( A B ) + P ( A B ) = 0,6745, also
0.252 + P ( A B ) = 0,6745

Damit gilt: P ( A B ) = 0,6745 - 0.252 = 0.4225

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0980,2520,35
A
(kein Fan)
0,4225 0,65
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0980,2520,35
A
(kein Fan)
0,42250,22750,65
 0,52050,47951

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.5205 = 52.05%.