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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 2; 3; 9; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 4; 5; 8; 9} und B = {1; 2; 3; 9; 10}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={1; 2; 4; 5; 8; 9}, als auch in der Menge B={1; 2; 3; 9; 10} sind,
also A B = {1; 2; 9}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 7; 8; 9; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und B = {1; 7; 8; 9; 10}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 7; 8; 9; 10} sind,
also B = {2; 3; 4; 5; 6}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} oder in der Menge B ={2; 3; 4; 5; 6} sind,
also A B = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 3; 7; 8; 9} und B = {2; 7; 8}. Es wird zufällig ein Element der Ergebnismenge S gewählt. Dabei haben alle Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses in der Menge A B ist?

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 2; 3; 7; 8; 9} und B = {2; 7; 8}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 7; 8; 9} sind,
also A = {4; 5; 6; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A ={4; 5; 6; 10} oder in der Menge B={2; 7; 8} sind,
also A B = {2; 4; 5; 6; 7; 8; 10}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 7 10

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 10 beschriftet. Bestimme alle Kugeln deren Zahl nicht durch 3 teilbar ist, aber mindestens die 5 ist.

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 6; 9} und B = {5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge A bestimmen.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={3; 6; 9} sind,
also A = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A ={1; 2; 4; 5; 7; 8; 10}, als auch in der Menge B={5; 6; 7; 8; 9; 10} sind,
also A B = {5; 7; 8; 10}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

44 + H( B ) = 180

Somit gilt: H( B ) = 180 - 44 = 136

  B B  
A   26
A 33  
 44136180

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B) + 33 = 44

Somit gilt: H(A ∩ B) = 44 - 33 = 11

  B B  
A 11 26
A 33  
 44136180

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

26 + H( A ) = 180

Somit gilt: H( A ) = 180 - 26 = 154

  B B  
A 11 26
A 33 154
 44136180

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

11 + H(A ∩ B ) = 26

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 26 - 11 = 15

  B B  
A 111526
A 33 154
 44136180

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

33 + H( A B ) = 154

Somit gilt: H( A B ) = 154 - 33 = 121

  B B  
A 111526
A 33121154
 44136180

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A  0,410,44
A  0,02 
   1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A ∩ B) + 0.41 = 0.44

Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.44 - 0.41 = 0.03

  B B  
A 0,030,410,44
A  0,02 
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.41 + 0.02 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.41 + 0.02 = 0.43

  B B  
A 0,030,410,44
A  0,02 
  0,431

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.44 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.44 = 0.56

  B B  
A 0,030,410,44
A  0,020,56
  0,431

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.02 = 0.56

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.56 - 0.02 = 0.54

  B B  
A 0,030,410,44
A 0,540,020,56
  0,431

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.43 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.43 = 0.57

  B B  
A 0,030,410,44
A 0,540,020,56
 0,570,431

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 17 das Leistungsfach. 27 von den insgesamt 46 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 52 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
17  
A
(Jungs)
 2752
  46 

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
171936
A
(Jungs)
252752
 424688

Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 88.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 43% der Befragten weiblich. Während 28% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 13%. Wie viel Prozent der Fußballfans sind weiblich?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,43
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,43
A
(männlich)
  0,57
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 13% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,430,13 = 0,0559 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0559 0,43
A
(männlich)
  0,57
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 28% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,570,28 = 0,1596 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0559 0,43
A
(männlich)
0,1596 0,57
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,05590,37410,43
A
(männlich)
0,15960,41040,57
 0,21550,78451

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.0559 0.2155


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Frauen unter den Fußballfans, ist also 0.2594 = 25.94%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 30,36% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 46% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 32% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,32
A
(anderes Smartphone)
   
 0,3036  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,32
A
(anderes Smartphone)
  0,68
 0,30360,69641

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,320,46 = 0,1472 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1472 0,32
A
(anderes Smartphone)
  0,68
 0,30360,69641

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,14720,17280,32
A
(anderes Smartphone)
0,15640,52360,68
 0,30360,69641

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5236 = 52.36%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 127178305
A 196176372
 323354677

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=323
=354
=x
=127
=196
=178
=176

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
323x = 127 = |:323
also
P B ( A ) = x = 127 323 ≈ 0,3932

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,020,330,35
A 0,320,330,65
 0,340,661

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,34
=0,66
=x
=0,02
=0,32
=0,33
=0,33

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,66x = 0,33 = |:0,66
also
P B ( A ) = x = 0,33 0,66 ≈ 0,5

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 26,76% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 50% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 17% aller Smartphones iPhones. Ein Bekannter erzählt, dass er die App installiert hat. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein iPhones hat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,17
A
(anderes Smartphone)
   
 0,2676  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,17
A
(anderes Smartphone)
  0,83
 0,26760,73241
=0,17
iPhone
=0,83
anderes Smartphone
=0,5
installiert
nicht installiert
installiert
nicht installiert
=0,085

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 50%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,170,5 = 0,085
berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,085 0,17
A
(anderes Smartphone)
  0,83
 0,26760,73241

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,0850,0850,17
A
(anderes Smartphone)
0,18260,64740,83
 0,26760,73241

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist", also die Wahrscheinlichkeit für A (iPhone) unter der Vorraussetzung, dass B (installiert) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (installiert) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (installiert) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (iPhone) weiter.)

=0,2676
installiert
=0,7324
nicht installiert
=x
iPhone
anderes Smartphone
iPhone
anderes Smartphone
=0,085
=0,1826
=0,085
=0,6474

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,2676x = 0,085 = |:0,2676
also
P B ( A ) = x = 0,085 0,2676 ≈ 0,3176


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit. dass ein Handy mit der App ein iPhone ist) ist also 0,3176 = 31,76%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 43% aller Smartphones installiert. 19% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 46,17% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
   
A
(anderes Smartphone)
 0,4617 
 0,43  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
 0,1083 
A
(anderes Smartphone)
 0,4617 
 0,430,571
=0,43
installiert
=0,57
nicht installiert
=0,19
iPhone
anderes Smartphone
iPhone
anderes Smartphone
=0,0817
=0,1083
=0,4617

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 19%, also P B ( A ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = P ( B ) P B ( A ) = 0,430,19 = 0,0817
berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08170,1083 
A
(anderes Smartphone)
 0,4617 
 0,430,571

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08170,10830,19
A
(anderes Smartphone)
0,34830,46170,81
 0,430,571

Jetzt können wir P(A)=0.19 mit P(B)=0.43 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.082, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.19 ⋅ 0.43 = 0.0817 ≈ 0.082 ≈ 0.082 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A   0,2
A 0,144  
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.2 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.2 = 0.8

  B B  
A   0,2
A 0,144 0,8
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.8 ⋅ P ( B ) = 0.144 |: 0.8

somit gilt:

P ( B ) = 0.144 0.8 = 0.18

  B B  
A   0,2
A 0,144 0,8
 0,18 1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,0360,1640,2
A 0,1440,6560,8
 0,180,821