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Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 9; 10} und B = {3; 6; 7; 9}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {1; 4; 7; 9; 10} und B = {3; 6; 7; 9}.
Die Menge
also
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 5; 6; 7}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 5; 6; 7}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 5; 6; 7} sind,
also
= {2; 3; 4; 8; 9; 10}
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 2 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} und B = {2; 4; 6; 8}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Bestimme alle Sektoren, deren Zahl nicht durch 2 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {3; 4; 6} und B = {2; 4; 6}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7},
die nicht in der Menge B={2; 4; 6} sind,
also
= {1; 3; 5; 7}
Die Menge
also
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 77 = 112
Somit gilt: H(A ∩ B) = 112 - 77 = 35
35 | 77 | 112 | |
169 | 322 | ||
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H( ∩ B) + 169 = 322
Somit gilt: H( ∩ B) = 322 - 169 = 153
35 | 77 | 112 | |
153 | 169 | 322 | |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
35 + 153 = H(B)
Somit gilt: H(B) = 35 + 153 = 188
35 | 77 | 112 | |
153 | 169 | 322 | |
188 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
77 + 169 = H( )
Somit gilt: H( ) = 77 + 169 = 246
35 | 77 | 112 | |
153 | 169 | 322 | |
188 | 246 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
112 + 322 = H(B + )
Somit gilt: H(B + ) = 112 + 322 = 434
35 | 77 | 112 | |
153 | 169 | 322 | |
188 | 246 | 434 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,4 | |||
0,04 | 0,1 | ||
1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.04 + 0.1 = P( )
Somit gilt: P( ) = 0.04 + 0.1 = 0.14
0,4 | |||
0,04 | 0,1 | 0,14 | |
1 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.4 + 0.04 = P(B)
Somit gilt: P(B) = 0.4 + 0.04 = 0.44
0,4 | |||
0,04 | 0,1 | 0,14 | |
0,44 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.14 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.14 = 0.86
0,4 | 0,86 | ||
0,04 | 0,1 | 0,14 | |
0,44 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.4 + P(A ∩ ) = 0.86
Somit gilt: P(A ∩ ) = 0.86 - 0.4 = 0.46
0,4 | 0,46 | 0,86 | |
0,04 | 0,1 | 0,14 | |
0,44 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.44 + P( ) = 1
Somit gilt: P( ) = 1 - 0.44 = 0.56
0,4 | 0,46 | 0,86 | |
0,04 | 0,1 | 0,14 | |
0,44 | 0,56 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In einem Monat mit 30 Tagen gab es 14 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 8 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 7 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Schule
: nicht Schule, also schulfrei
: schönes Wetter
: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | ||
(schulfrei) | 7 | ||
14 | 30 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
14 + H( ) = 30
Somit gilt: H( ) = 30 - 14 = 16
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | ||
(schulfrei) | 7 | ||
14 | 16 | 30 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
8 + H( ∩ B) = 14
Somit gilt: H( ∩ B) = 14 - 8 = 6
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | ||
(schulfrei) | 6 | 7 | |
14 | 16 | 30 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 7 = 16
Somit gilt: H(A ∩ ) = 16 - 7 = 9
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | 9 | |
(schulfrei) | 6 | 7 | |
14 | 16 | 30 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
8 + 9 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 8 + 9 = 17
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | 9 | 17 |
(schulfrei) | 6 | 7 | |
14 | 16 | 30 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
6 + 7 = H( )
Somit gilt: H( ) = 6 + 7 = 13
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | 9 | 17 |
(schulfrei) | 6 | 7 | 13 |
14 | 16 | 30 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 8 | 9 | 17 |
(schulfrei) | 6 | 7 | 13 |
14 | 16 | 30 |
Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 13.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 30% der Bevölkerung ausmacht, 52% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 20%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: eigene Partei
: nicht eigene Partei, also andere Partei
: zufrieden
: nicht zufrieden, also unzufrieden
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,3 | ||
(andere Partei) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,3 | ||
(andere Partei) | 0,7 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es
52% kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,3 ⋅
0,52 =
0,156 berechnen.
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,156 | 0,3 | |
(andere Partei) | 0,7 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es
20% kann man die Wahrscheinlichkeit
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,156 | 0,3 | |
(andere Partei) | 0,14 | 0,7 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(zufrieden) |
(unzufrieden) | ||
---|---|---|---|
(eigene Partei) | 0,156 | 0,144 | 0,3 |
(andere Partei) | 0,14 | 0,56 | 0,7 |
0,296 | 0,704 | 1 |
Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.296 = 29.6%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 15% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 3% der Befragten. 47% der Befragten, die keine Fußballfans waren, waren männlich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,03 | 0,15 | |
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,03 | 0,12 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,85 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "kein Fan" sind es
47% kann man die Wahrscheinlichkeit
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,03 | 0,12 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,3995 | 0,85 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,03 | 0,12 | 0,15 |
(kein Fan) | 0,4505 | 0,3995 | 0,85 |
0,4805 | 0,5195 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4805 = 48.05%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 154 | 13 | 167 |
| 45 | 136 | 181 |
199 | 149 | 348 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,34 | 0,15 | 0,49 |
| 0,06 | 0,45 | 0,51 |
0,4 | 0,6 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,49 ⋅ x
= 0,34 = |:0,49
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 4% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 96% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 83% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0332 | 0,04 | |
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 96%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0332 | 0,04 | |
(andere Lehrer) | 0,9216 | 0,96 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0068 | 0,0332 | 0,04 |
(andere Lehrer) | 0,9216 | 0,0384 | 0,96 |
0,9284 | 0,0716 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,0716 ⋅ x
= 0,0332 = |:0,0716
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4637 = 46,37%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1700 Fahrräder verkauft. Davon waren 582 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 714 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 854 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 714 | ||
(kein E-Bike) | 582 | ||
854 | 1700 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 854 = 1700
Somit gilt: H(B) = 1700 - 854 = 846
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 714 | ||
(kein E-Bike) | 582 | ||
846 | 854 | 1700 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 582 = 846
Somit gilt: H(A ∩ B) = 846 - 582 = 264
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 264 | 714 | |
(kein E-Bike) | 582 | ||
846 | 854 | 1700 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
714 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 264 | 714 | |
(kein E-Bike) | 582 | 986 | |
846 | 854 | 1700 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
264 + H(A ∩
Somit gilt: H(A ∩
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 264 | 450 | 714 |
(kein E-Bike) | 582 | 986 | |
846 | 854 | 1700 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
582 + H(
Somit gilt: H(
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 264 | 450 | 714 |
(kein E-Bike) | 582 | 404 | 986 |
846 | 854 | 1700 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(Mountainbike) |
(kein Mountainbike) | ||
---|---|---|---|
(E-Bike) | 264 | 450 | 714 |
(kein E-Bike) | 582 | 404 | 986 |
846 | 854 | 1700 |
Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1700. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,155 | 0,265 | 0,42 |
| 0,342 | 0,238 | 0,58 |
0,498 | 0,502 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.42 mit P(B)=0.498 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.155, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.42 ⋅ 0.498 = 0.209 ≈ 0.209
≠ 0.155 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,112 | 0,56 | |
| |||
1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.56 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,112 | 0,56 | |
| 0,44 | ||
1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also 0.56 ⋅
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,112 | 0,56 | |
| 0,44 | ||
0,2 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,448 | 0,112 | 0,56 |
| 0,352 | 0,088 | 0,44 |
0,8 | 0,2 | 1 |
Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)
Beispiel:
An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 49 das Leistungsfach. Auf das Basisfach fallen insgesamt 45 Wahlen. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der 150 Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen sind keine Mädchen?
Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 49 | ||
(Jungs) | |||
45 | 150 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(B) + 45 = 150
Somit gilt: H(B) = 150 - 45 = 105
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 49 | ||
(Jungs) | |||
105 | 45 | 150 |
Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Mädchen" in der Spalte "Leistungsfach"
Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Spalten der prozentuale Anteil von "Mädchen" auch
Für den Wert in der Randspalte ergibt sich also
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 49 | 70 | |
(Jungs) | |||
105 | 45 | 150 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
(Leistungsfach) |
(Basisfach) | ||
---|---|---|---|
(Mädchen) | 49 | 21 | 70 |
(Jungs) | 56 | 24 | 80 |
105 | 45 | 150 |
Die Anzahl nicht weiblicher Schüler ist somit 80
VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)
Beispiel:
In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 35% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 9,8% der Befragten. 67,45% der Befragten sind entweder Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,098 | 0,35 | |
(kein Fan) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,098 | 0,252 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,65 | ||
1 |
Die 67.45% von "entweder Fußballfan oder weiblich" verteilen sich ja auf die beiden Felder von
0.252 +
Damit gilt:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,098 | 0,252 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,4225 | 0,65 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(weiblich) |
(männlich) | ||
---|---|---|---|
(Fußballfan) | 0,098 | 0,252 | 0,35 |
(kein Fan) | 0,4225 | 0,2275 | 0,65 |
0,5205 | 0,4795 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.5205 = 52.05%.