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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 7; 8} und B = {3; 5; 8; 9; 10}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {4; 5; 7; 8} und B = {3; 5; 8; 9; 10}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die sowohl in der Menge A={4; 5; 7; 8}, als auch in der Menge B={3; 5; 8; 9; 10} sind,
also A B = {5; 8}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 6; 7; 8}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {2; 4; 6; 7; 8}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 4; 6; 7; 8} sind,
also B = {1; 3; 5; 9; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 7 beschriftet. Es wird eine Kugel zufällig gezogen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl dieser Kugel durch 2 teilbar ist oder dass die Zahl dieser Kugel höchstens die 5 ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} und die Mengen A = {2; 4; 6} und B = {1; 2; 3; 4; 5}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}, die in der Menge A={2; 4; 6} oder in der Menge B={1; 2; 3; 4; 5} sind,
also A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 6 7

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 6; 7}. Bestimme B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 6; 7}.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 2; 6; 7} sind,
also B = {3; 4; 5; 8; 9; 10}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

28 + 176 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 28 + 176 = 204

  B B  
A 28176204
A  154 
   365

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

176 + 154 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 176 + 154 = 330

  B B  
A 28176204
A  154 
  330365

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

204 + H( A ) = 365

Somit gilt: H( A ) = 365 - 204 = 161

  B B  
A 28176204
A  154161
  330365

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 154 = 161

Somit gilt: H( A ∩ B) = 161 - 154 = 7

  B B  
A 28176204
A 7154161
  330365

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(B) + 330 = 365

Somit gilt: H(B) = 365 - 330 = 35

  B B  
A 28176204
A 7154161
 35330365

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,13 0,25
A  0,2 
   1

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.13 + P(A ∩ B ) = 0.25

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.25 - 0.13 = 0.12

  B B  
A 0,130,120,25
A  0,2 
   1

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.12 + 0.2 = P( B )

Somit gilt: P( B ) = 0.12 + 0.2 = 0.32

  B B  
A 0,130,120,25
A  0,2 
  0,321

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.25 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.25 = 0.75

  B B  
A 0,130,120,25
A  0,20,75
  0,321

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P( A ∩ B) + 0.2 = 0.75

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.75 - 0.2 = 0.55

  B B  
A 0,130,120,25
A 0,550,20,75
  0,321

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.32 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.32 = 0.68

  B B  
A 0,130,120,25
A 0,550,20,75
 0,680,321

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen alle Schülerinnen und Schüler entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 16 das Leistungsfach. 16 von den insgesamt 36 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Insgesamt sind 29 Jungs in der Jahrgangstufe. Wie groß ist dann die ganze Jahrgangstufe?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
16  
A
(Jungs)
 1629
  36 

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
162036
A
(Jungs)
131629
 293665

Der gesuchte Wert, Anzahl alle zusammen, ist also 65.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind von den Anhängern seiner eigenen Partei, deren Anteil 30% der Bevölkerung ausmacht, 71% zufrieden. Bei denen, die aber keine Anhängern dessen Partei sind, liegen die Zustimmungswerte nur bei 19%. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind insgesamt mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : eigene Partei

A : nicht eigene Partei, also andere Partei

B : zufrieden

B : nicht zufrieden, also unzufrieden

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
  0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "eigene Partei" sind es 71% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,3 0,71 = 0,213 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,213 0,3
A
(andere Partei)
  0,7
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere Partei" sind es 19% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,7 0,19 = 0,133 berechnen.

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,213 0,3
A
(andere Partei)
0,133 0,7
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(zufrieden)
B
(unzufrieden)
 
A
(eigene Partei)
0,2130,0870,3
A
(andere Partei)
0,1330,5670,7
 0,3460,6541

Der gesuchte Wert, Zustimmungsquote insgesamt, ist also 0.346 = 34.6%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 35,22% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 46% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 23% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

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Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,23
A
(anderes Smartphone)
   
 0,3522  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,23
A
(anderes Smartphone)
  0,77
 0,35220,64781

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,23 0,46 = 0,1058 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1058 0,23
A
(anderes Smartphone)
  0,77
 0,35220,64781

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,10580,12420,23
A
(anderes Smartphone)
0,24640,52360,77
 0,35220,64781

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.5236 = 52.36%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 16898266
A 141175316
 309273582

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 266 582
= 316 582
=x
= 168 582
= 98 582
= 141 582
= 175 582

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
266 582 x = 98 582 = |:266 ⋅582
also
P A ( B ) = x = 98 266 ≈ 0,3684

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,470,40,87
A 0,070,060,13
 0,540,461

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,87
=0,13
=x
=0,47
=0,4
=0,07
=0,06

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,13x = 0,06 = |:0,13
also
P A ( B ) = x = 0,06 0,13 ≈ 0,4615

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 6% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 93% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 83% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Informatiklehrer

A : nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

B : MS-Office

B : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,06
A
(andere Lehrer)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,06
A
(andere Lehrer)
  0,94
   1
=0,06
Informatiklehrer
=0,94
andere Lehrer
MS-Office
=0,83
anderes Office
=0,93
MS-Office
anderes Office
=0,0498

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 83%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,06 0,83 = 0,0498
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,04980,06
A
(andere Lehrer)
  0,94
   1
=0,06
Informatiklehrer
=0,94
andere Lehrer
MS-Office
=0,83
anderes Office
=0,93
MS-Office
anderes Office
=0,0498
=0,8742

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 93%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,94 0,93 = 0,8742
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,04980,06
A
(andere Lehrer)
0,8742 0,94
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
0,01020,04980,06
A
(andere Lehrer)
0,87420,06580,94
 0,88440,11561

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für A (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass B (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (Informatiklehrer) weiter.)

=0,8844
MS-Office
=0,1156
anderes Office
Informatiklehrer
andere Lehrer
=x
Informatiklehrer
andere Lehrer
=0,0102
=0,8742
=0,0498
=0,0658

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,1156x = 0,0498 = |:0,1156
also
P B ( A ) = x = 0,0498 0,1156 ≈ 0,4308


Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4308 = 43,08%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 2600 Fahrräder verkauft. Davon waren 570 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 1274 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 1648 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  1274
A
(kein E-Bike)
570  
  16482600

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
3828921274
A
(kein E-Bike)
5707561326
 95216482600

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 2600. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1470,3430,49
A 0,2190,2910,51
 0,3660,6341

Jetzt können wir P(A)=0.49 mit P(B)=0.366 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.147, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.49 ⋅ 0.366 = 0.1794 ≈ 0.179 ≠ 0.147 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A    
A  0,0286 
 0,74 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.74 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.74 = 0.26

  B B  
A    
A  0,0286 
 0,740,261

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.26 = 0.0286 |: 0.26

somit gilt:

P ( A ) = 0.0286 0.26 = 0.11

  B B  
A    
A  0,02860,11
 0,740,261

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,65860,23140,89
A 0,08140,02860,11
 0,740,261

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

Bei einer groß angelegten Blitzeraktion wird bei 1020 Autos die Geschwindigkeit gemessen. Von den Autos, die nicht zu den E-Autos zählen, werden 119 mit zu hoher Geschwindigkeit geblitzt. Insgesamt fuhren 306 E-Autos durch die Geschwindigkeitskontrolle. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse "Antriebsart des Auto" und "Geschwindigkeitsübertretung" stochastisch unabhängig sind. Wie viele Autos insgesamt fuhren mit angemessener Geschwindigkeit und wurden nicht geblitzt?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  306
A
(Verbrenner)
119  
   1020

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

306 + H( A ) = 1020

Somit gilt: H( A ) = 1020 - 306 = 714

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  306
A
(Verbrenner)
119 714
   1020

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "geblitzte Autos" in der Zeile "Verbrenner" P A ( B ) = 119 714 = 1 6 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "geblitzte Autos" auch 1 6 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 1 6 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 1 6 ⋅1020 = 170

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
  306
A
(Verbrenner)
119 714
 170 1020

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(geblitzte Autos)
B
(nicht geblitzte Autos)
 
A
(E-Autos)
51255306
A
(Verbrenner)
119595714
 1708501020

Die Anzahl der nicht geblitzten Autos ist somit 850

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage bezeichneten sich 35% als Fußballfans. Weibliche Fußballfans waren nur 10,5% der Befragten. 58,95% der Befragten sind entweder Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz der weiblichen Befragten unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,105 0,35
A
(kein Fan)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,1050,2450,35
A
(kein Fan)
  0,65
   1

Die 58.95% von "entweder Fußballfan oder weiblich" verteilen sich ja auf die beiden Felder von P ( A B ) und P ( A B ) weil ja sowohl "Fußballfan und weiblich" als auch "Weder Fußballfan noch weiblich" nicht in diesen 58.95% enthalten ist. Es gilt somit:

P ( A B ) + P ( A B ) = 0,5895, also
0.245 + P ( A B ) = 0,5895

Damit gilt: P ( A B ) = 0,5895 - 0.245 = 0.3445

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,1050,2450,35
A
(kein Fan)
0,3445 0,65
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,1050,2450,35
A
(kein Fan)
0,34450,30550,65
 0,44950,55051

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz weiblicher Befragter, ist also 0.4495 = 44.95%.