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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 10} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {3; 5; 10} und B = {1; 2; 5; 6; 7; 9}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={3; 5; 10} oder in der Menge B={1; 2; 5; 6; 7; 9} sind,
also A B = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {2; 3; 7; 9}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {2; 3; 7; 9}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={2; 3; 7; 9} sind,
also B = {1; 4; 5; 6; 8; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={2; 4; 5; 6} oder in der Menge B ={1; 4; 5; 6; 8; 10} sind,
also A B = {1; 2; 4; 5; 6; 8; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 3 teilbar ist oder der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {4; 5} und B = {3; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={4; 5} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also A B = {3; 4; 5; 6}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A B ) = | A B | |S| = 4 8 = 1 2

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 4 teilbar ist und deren Hintergrund eingefärbt ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6} und B = {4}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6}, die sowohl in der Menge A={2; 4; 5; 6}, als auch in der Menge B={4} sind,
also A B = {4}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

108 + H( A B ) = 288

Somit gilt: H( A B ) = 288 - 108 = 180

  B B  
A 27  
A 108180288
  267 

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

27 + 108 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 27 + 108 = 135

  B B  
A 27  
A 108180288
 135267 

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H(A ∩ B ) + 180 = 267

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 267 - 180 = 87

  B B  
A 2787 
A 108180288
 135267 

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

27 + 87 = H(A)

Somit gilt: H(A) = 27 + 87 = 114

  B B  
A 2787114
A 108180288
 135267 

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

135 + 267 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 135 + 267 = 402

  B B  
A 2787114
A 108180288
 135267402

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,16  
A   0,82
 0,52 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.52 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.52 = 0.48

  B B  
A 0,16  
A   0,82
 0,520,481

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + P( A ∩ B) = 0.52

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.52 - 0.16 = 0.36

  B B  
A 0,16  
A 0,36 0,82
 0,520,481

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.82 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.82 = 0.18

  B B  
A 0,16 0,18
A 0,36 0,82
 0,520,481

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + P(A ∩ B ) = 0.18

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.18 - 0.16 = 0.02

  B B  
A 0,160,020,18
A 0,36 0,82
 0,520,481

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.36 + P( A B ) = 0.82

Somit gilt: P( A B ) = 0.82 - 0.36 = 0.46

  B B  
A 0,160,020,18
A 0,360,460,82
 0,520,481

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 30 Tagen gab es 18 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 13 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 4 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
13  
A
(schulfrei)
 4 
 18 30

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
13821
A
(schulfrei)
549
 181230

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 9.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Bei iPhones ist die App auf 40% der Geräte installiert, bei anderen Smartphones nur auf 27% der Geräte. Bei der Untersuchung waren 20% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,2
A
(anderes Smartphone)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,2
A
(anderes Smartphone)
  0,8
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 40% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,2 0,4 = 0,08 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08 0,2
A
(anderes Smartphone)
  0,8
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "anderes Smartphone" sind es 27% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,8 0,27 = 0,216 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,08 0,2
A
(anderes Smartphone)
0,216 0,8
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,080,120,2
A
(anderes Smartphone)
0,2160,5840,8
 0,2960,7041

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.584 = 58.4%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 41% der Bevölkerung zufrieden. 68% dieser Zufriedenen sind aber auch Anhänger seiner eigenen Partei. 48,38% der Bevölkerung ist weder Anhänger seiner Partei noch zufrieden mit der Arbeit des Regierungschefs. Wie viel Prozent der Bevölkerung sind Anhänger seiner Partei?

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Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,41
A
(unzufrieden)
 0,4838 
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,41
A
(unzufrieden)
0,10620,48380,59
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "zufrieden" sind es 68% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,41 0,68 = 0,2788 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,2788 0,41
A
(unzufrieden)
0,10620,48380,59
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,27880,13120,41
A
(unzufrieden)
0,10620,48380,59
 0,3850,6151

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von Anhänger der Partei, ist also 0.385 = 38.5%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 102187289
A 13147160
 115334449

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 289 449
= 160 449
=x
= 102 449
= 187 449
= 13 449
= 147 449

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
160 449 x = 13 449 = |:160 ⋅449
also
P A ( B ) = x = 13 160 ≈ 0,0813

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) .

  B B  
A 0,310,080,39
A 0,330,280,61
 0,640,361

Lösung einblenden

P B ( A ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für A unter der Vorraussetzung, dass B bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A weiter.)

=0,64
=0,36
=x
=0,31
=0,33
=0,08
=0,28

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,64x = 0,33 = |:0,64
also
P B ( A ) = x = 0,33 0,64 ≈ 0,5156

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 7% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 93% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 80% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Informatiklehrer

A : nicht Informatiklehrer, also andere Lehrer

B : MS-Office

B : nicht MS-Office, also anderes Office

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,07
A
(andere Lehrer)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
  0,07
A
(andere Lehrer)
  0,93
   1
=0,07
Informatiklehrer
=0,93
andere Lehrer
MS-Office
=0,8
anderes Office
=0,93
MS-Office
anderes Office
=0,056

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 80%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,07 0,8 = 0,056
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,0560,07
A
(andere Lehrer)
  0,93
   1
=0,07
Informatiklehrer
=0,93
andere Lehrer
MS-Office
=0,8
anderes Office
=0,93
MS-Office
anderes Office
=0,056
=0,8649

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 93%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,93 0,93 = 0,8649
berechnen.

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
 0,0560,07
A
(andere Lehrer)
0,8649 0,93
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(MS-Office)
B
(anderes Office)
 
A
(Informatiklehrer)
0,0140,0560,07
A
(andere Lehrer)
0,86490,06510,93
 0,87890,12111

Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für A (Informatiklehrer) unter der Vorraussetzung, dass B (anderes Office) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (anderes Office) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (anderes Office) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (Informatiklehrer) weiter.)

=0,8789
MS-Office
=0,1211
anderes Office
Informatiklehrer
andere Lehrer
=x
Informatiklehrer
andere Lehrer
=0,014
=0,8649
=0,056
=0,0651

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,1211x = 0,056 = |:0,1211
also
P B ( A ) = x = 0,056 0,1211 ≈ 0,4624


Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,4624 = 46,24%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

Ein Fahrradhändler hat in einem Jahr 1100 Fahrräder verkauft. Davon waren 386 Mountainbikes ohne zusätzlichen Elektroantrieb. Insgesamt wurden 385 E-Bikes verkauft. Von den Rädern, die kein Mountainbike sind, wurden insgesamt (E-Bike und andere zusammen) 583 Stück verkauft. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "Mountainbike" und "E-Bike" stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : E-Bike

A : nicht E-Bike, also kein E-Bike

B : Mountainbike

B : nicht Mountainbike, also kein Mountainbike

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
  385
A
(kein E-Bike)
386  
  5831100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Mountainbike)
B
(kein Mountainbike)
 
A
(E-Bike)
131254385
A
(kein E-Bike)
386329715
 5175831100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (E-Bike) und B (Mountainbike) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 1100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,1190,2310,35
A 0,3510,2990,65
 0,470,531

Jetzt können wir P(A)=0.35 mit P(B)=0.47 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.119, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.35 ⋅ 0.47 = 0.1645 ≈ 0.165 ≠ 0.119 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch abhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A   0,53
A 0,3384  
   1

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.53 + P( A ) = 1

Somit gilt: P( A ) = 1 - 0.53 = 0.47

  B B  
A   0,53
A 0,3384 0,47
   1

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also 0.47 ⋅ P ( B ) = 0.3384 |: 0.47

somit gilt:

P ( B ) = 0.3384 0.47 = 0.72

  B B  
A   0,53
A 0,3384 0,47
 0,72 1

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,38160,14840,53
A 0,33840,13160,47
 0,720,281

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 39 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 65 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 130 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  65
A
(Jungs)
39  
   130

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

65 + H( A ) = 130

Somit gilt: H( A ) = 130 - 65 = 65

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  65
A
(Jungs)
39 65
   130

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs" P A ( B ) = 39 65 = 3 5 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch 3 5 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 3 5 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 3 5 ⋅130 = 78

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  65
A
(Jungs)
39 65
 78 130

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
392665
A
(Jungs)
392665
 7852130

Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 52

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage sind 46,25% der Befragten weiblich. 12,43% dieser weiblichen Befragten sind Fußballfans. 80,75% der Befragten sind keine Fußballfans oder weiblich. Wie hoch ist der Prozentsatz unter allen Befragten, die keine Fußballfans sind?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Fußballfan

A : nicht Fußballfan, also kein Fan

B : weiblich

B : nicht weiblich, also männlich

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,4625  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
   
A
(kein Fan)
   
 0,46250,53751

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 12.43% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( B A ) = 0,4625 0,1243 = 0,0575 berechnen.

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,0575  
A
(kein Fan)
   
 0,46250,53751

Die 80.75% von "kein Fan oder weiblich" verteilen sich ja auf die drei Felder von
P ( A B ) (Fußballfan und weiblich),
P ( A B ) (kein Fan und weiblich) und
P ( A B ) (kein Fan und männlich),
also auf alle vier Felder außer P ( A B ) (Fußballfan und männlich). Es gilt somit:

0,8075 = P ( A B ) + P ( A B ) + P ( A B ) = 1 - P ( A B )

Damit gilt: P ( A B ) = 1 - 0,8075 = 0.1925

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,05750,1925 
A
(kein Fan)
   
 0,46250,53751

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(weiblich)
B
(männlich)
 
A
(Fußballfan)
0,05750,19250,25
A
(kein Fan)
0,4050,3450,75
 0,46250,53751

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Nicht-Fußballfans, ist also 0.75 = 75%.