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Mengen-Operationen elementar
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={1; 2; 3; 5; 6; 7; 8} sind,
also
= {4; 9; 10}
Mengen-Operationen (allg.)
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und B = {3; 7; 8}. Bestimme
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und B = {3; 7; 8}.
Um die Menge
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge A={2; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} sind,
also
= {1; 3}
Die Menge
also
Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Ein Glücksrad wie rechts abgebildet wird einmal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl des gewählten Sektors durch 4 teilbar ist und der Hintergrund dieses Sektors eingefärbt ist.
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} und die Mengen A = {2; 3; 4; 6; 7; 9} und B = {4; 8}.
Die Menge
also
Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:
P(
Mengen-Operationen Anwendungen
Beispiel:
Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10}. Bestimme .
Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10}.
Die Menge
umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10},
die nicht in der Menge B={1; 2; 3; 4; 5; 7; 9; 10} sind,
also
= {6; 8}
Vierfeldertafel mit Anzahlen
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
196 + H( ) = 488
Somit gilt: H( ) = 488 - 196 = 292
109 | |||
117 | |||
196 | 292 | 488 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ B) + 117 = 196
Somit gilt: H(A ∩ B) = 196 - 117 = 79
79 | 109 | ||
117 | |||
196 | 292 | 488 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
109 + H( ∩ ) = 292
Somit gilt: H( ∩ ) = 292 - 109 = 183
79 | 109 | ||
117 | 183 | ||
196 | 292 | 488 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
79 + 109 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 79 + 109 = 188
79 | 109 | 188 | |
117 | 183 | ||
196 | 292 | 488 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
117 + 183 = H( )
Somit gilt: H( ) = 117 + 183 = 300
79 | 109 | 188 | |
117 | 183 | 300 | |
196 | 292 | 488 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten
Beispiel:
In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( ) = P(B)+P( ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass gilt 100%.
0,17 | |||
0,8 | |||
0,55 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(B) + 0.55 = 1
Somit gilt: P(B) = 1 - 0.55 = 0.45
0,17 | |||
0,8 | |||
0,45 | 0,55 | 1 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.17 + P( ∩ ) = 0.55
Somit gilt: P( ∩ ) = 0.55 - 0.17 = 0.38
0,17 | |||
0,38 | 0,8 | ||
0,45 | 0,55 | 1 |
In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A) + 0.8 = 1
Somit gilt: P(A) = 1 - 0.8 = 0.2
0,17 | 0,2 | ||
0,38 | 0,8 | ||
0,45 | 0,55 | 1 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P(A ∩ B) + 0.17 = 0.2
Somit gilt: P(A ∩ B) = 0.2 - 0.17 = 0.03
0,03 | 0,17 | 0,2 | |
0,38 | 0,8 | ||
0,45 | 0,55 | 1 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
P( ∩ B) + 0.38 = 0.8
Somit gilt: P( ∩ B) = 0.8 - 0.38 = 0.42
0,03 | 0,17 | 0,2 | |
0,42 | 0,38 | 0,8 | |
0,45 | 0,55 | 1 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
VFT Anwend. Häufigkeiten
Beispiel:
In einem Monat mit 30 Tagen gab es 13 Tage mit schönem Wetter. Dummerweise gab es 9 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 6 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage gab es in diesem Monat?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Schule
: nicht Schule, also schulfrei
: schönes Wetter
: nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | ||
(schulfrei) | 6 | ||
13 | 30 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
13 + H( ) = 30
Somit gilt: H( ) = 30 - 13 = 17
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | ||
(schulfrei) | 6 | ||
13 | 17 | 30 |
In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
9 + H( ∩ B) = 13
Somit gilt: H( ∩ B) = 13 - 9 = 4
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | ||
(schulfrei) | 4 | 6 | |
13 | 17 | 30 |
In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
H(A ∩ ) + 6 = 17
Somit gilt: H(A ∩ ) = 17 - 6 = 11
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | 11 | |
(schulfrei) | 4 | 6 | |
13 | 17 | 30 |
In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
9 + 11 = H(A)
Somit gilt: H(A) = 9 + 11 = 20
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | 11 | 20 |
(schulfrei) | 4 | 6 | |
13 | 17 | 30 |
In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
4 + 6 = H( )
Somit gilt: H( ) = 4 + 6 = 10
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | 11 | 20 |
(schulfrei) | 4 | 6 | 10 |
13 | 17 | 30 |
Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.
(schönes Wetter) |
(schlechtes Wetter) | ||
---|---|---|---|
(Schule) | 9 | 11 | 20 |
(schulfrei) | 4 | 6 | 10 |
13 | 17 | 30 |
Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie Tage, ist also 10.
VFT Anwend. prozentual (leichter)
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 5% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 91% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 85% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie viel Prozent der Lehrer insgesamt nutzen nach diesen Schätzungen das MS-Office?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
: Informatiklehrer
: nicht Informatiklehrer, also andere
: MS-Office
: nicht MS-Office, also anderes Office
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe + = + = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass gilt oder dass gilt 100%.
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,05 | ||
(andere) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 85%
kann man die Wahrscheinlichkeit
=
0,05 ⋅ 0,85 =
0,0425 berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0425 | 0,05 | |
(andere) | 0,95 | ||
1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "andere" sind es 91%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0425 | 0,05 | |
(andere) | 0,8645 | 0,95 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0075 | 0,0425 | 0,05 |
(andere) | 0,8645 | 0,0855 | 0,95 |
0,872 | 0,128 | 1 |
Der gesuchte Wert, Prozentsatz an MS-Office, ist also 0.872 = 87.2%.
VFT Anwend. prozentual (schwerer)
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 33,8% aller Smartphones installiert. 33,73% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 47,6% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Als Smartphones gibt es iPhones und Nicht-iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der iPhones unter allen Smartphones?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | |||
(anderes Smartphone) | 0,476 | ||
0,338 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,186 | ||
(anderes Smartphone) | 0,476 | ||
0,338 | 0,662 | 1 |
Aus der Information von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 33.73%
kann man die Wahrscheinlichkeit
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,114 | 0,186 | |
(anderes Smartphone) | 0,476 | ||
0,338 | 0,662 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,114 | 0,186 | 0,3 |
(anderes Smartphone) | 0,224 | 0,476 | 0,7 |
0,338 | 0,662 | 1 |
Der gesuchte Wert, der Prozentsatz iPhones unter allen Smartphones, ist also 0.3 = 30%.
bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 60 | 124 | 184 |
| 6 | 20 | 26 |
66 | 144 | 210 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
144 ⋅ x
= 124 = |:144
also
bedingte Wahrsch. (nur Prozente)
Beispiel:
Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
| | ||
---|---|---|---|
| 0,05 | 0,33 | 0,38 |
| 0,38 | 0,24 | 0,62 |
0,43 | 0,57 | 1 |
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,62 ⋅ x
= 0,24 = |:0,62
also
bedingte Wahrsch. Anwendungen
Beispiel:
Schätzungen zufolge sind 4% der Lehrer Informatiklehrer. Von den anderen Lehrern nutzen 95% das MS-Office. Von den Informatik-Lehrern bevorzugen aber 81% ein anderes Office-Paket wie OpenOffice oder LibreOffice. Wie hoch ist der Anteil der Informatiklehrer an den Lehrern die ein offenes Office nutzen?
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
(andere Lehrer) | |||
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,04 | ||
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "Informatiklehrer" sind es 81%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0324 | 0,04 | |
(andere Lehrer) | 0,96 | ||
1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "andere Lehrer" sind es 95%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0324 | 0,04 | |
(andere Lehrer) | 0,912 | 0,96 | |
1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(MS-Office) |
(anderes Office) | ||
---|---|---|---|
(Informatiklehrer) | 0,0076 | 0,0324 | 0,04 |
(andere Lehrer) | 0,912 | 0,048 | 0,96 |
0,9196 | 0,0804 | 1 |
Gesucht ist ja "der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern", also die Wahrscheinlichkeit für
Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.
Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob
(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von
Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
oder hier im speziellen:
0,0804 ⋅ x
= 0,0324 = |:0,0804
also
Der gesuchte Wert (der Prozentsatz der Informatiklehrer an den OpenOffice-Nutzern) ist also 0,403 = 40,3%.
Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen
Beispiel:
Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 49% aller Smartphones installiert. 22% der installierten Apps sind auf einem iPhone. 39,78% aller Smartphones waren keine iPhones und hatten die App nicht installiert. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse "iPhone" und "App ist installiert" stochastisch unabhängig sind.
Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:
Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | |||
(anderes Smartphone) | 0,3978 | ||
0,49 |
Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1122 | ||
(anderes Smartphone) | 0,3978 | ||
0,49 | 0,51 | 1 |
Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "installiert" sind es 22%, also
die Wahrscheinlichkeit
berechnen.
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1078 | 0,1122 | |
(anderes Smartphone) | 0,3978 | ||
0,49 | 0,51 | 1 |
Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:
(installiert) |
(nicht installiert) | ||
---|---|---|---|
(iPhone) | 0,1078 | 0,1122 | 0,22 |
(anderes Smartphone) | 0,3822 | 0,3978 | 0,78 |
0,49 | 0,51 | 1 |
Jetzt können wir P(A)=0.22 mit P(B)=0.49 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.108, also:
P(A) ⋅ P(B) = 0.22 ⋅ 0.49 = 0.1078 ≈ 0.108
≈ 0.108 = P(A ∩ B),
A und B sind also näherungsweise stochastisch unabhängig.
Stochast. Unabhängigkeit rückwärts
Beispiel:
Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.
Als erstes tragen wir rechts unten die Summe
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,235 | ||
| |||
0,5 | 1 |
In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:
0.5 + P(
Somit gilt: P(
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,235 | ||
| |||
0,5 | 0,5 | 1 |
Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch
also
somit gilt:
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,235 | 0,47 | |
| |||
0,5 | 0,5 | 1 |
Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.
|
| ||
---|---|---|---|
| 0,235 | 0,235 | 0,47 |
| 0,265 | 0,265 | 0,53 |
0,5 | 0,5 | 1 |