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Mengen-Operationen elementar

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}. Bestimme A .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} sind,
also A = {1}

Mengen-Operationen (allg.)

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 7; 8; 9} und B = {1; 3; 4; 6; 7; 8}. Bestimme A B .

Lösung einblenden

Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Mengen A = {2; 3; 4; 7; 8; 9} und B = {1; 3; 4; 6; 7; 8}.

Um die Menge A B bestimmen zu können, müssen wir erst noch die Menge B bestimmen.

Die Menge B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge B={1; 3; 4; 6; 7; 8} sind,
also B = {2; 5; 9; 10}

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die in der Menge A={2; 3; 4; 7; 8; 9} oder in der Menge B ={2; 5; 9; 10} sind,
also A B = {2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10}

Mengen-Operationen Wahrscheinlichkeit

Beispiel:

Gegeben ist die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 5; 7}. Es wird zufällig ein Element der Ergebnismenge S gewählt. Dabei haben alle Elemente die gleiche Wahrscheinlichkeit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses in der Menge A ist?

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} und die Menge A = {2; 3; 5; 7}.

Die Menge A umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, die nicht in der Menge A={2; 3; 5; 7} sind,
also A = {1; 4; 6; 8; 9; 10}

Da alle Elemente aus S gleich wahrscheinlich sind, kann man nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit über die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen:

P( A ) = | A | |S| = 6 10 = 3 5

Mengen-Operationen Anwendungen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Bestimme alle Sektoren, deren Zahl durch 3 teilbar ist oder deren Hintergrund eingefärbt ist.

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Gegeben sind ja die Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} und die Mengen A = {2; 3; 6; 7} und B = {3; 6}.

Die Menge A B umfasst alle Elemente der Ergebnismenge S={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, die in der Menge A={2; 3; 6; 7} oder in der Menge B={3; 6} sind,
also A B = {2; 3; 6; 7}

Vierfeldertafel mit Anzahlen

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel sind in jeder Zelle Anzahlen. Vervollständige die Vierfeldertafel.

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In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

143 + H(A ∩ B ) = 275

Somit gilt: H(A ∩ B ) = 275 - 143 = 132

  B B  
A 143132275
A  33115
    

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

H( A ∩ B) + 33 = 115

Somit gilt: H( A ∩ B) = 115 - 33 = 82

  B B  
A 143132275
A 8233115
    

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

143 + 82 = H(B)

Somit gilt: H(B) = 143 + 82 = 225

  B B  
A 143132275
A 8233115
 225  

In der 2. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

132 + 33 = H( B )

Somit gilt: H( B ) = 132 + 33 = 165

  B B  
A 143132275
A 8233115
 225165 

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

275 + 115 = H(B + B )

Somit gilt: H(B + B ) = 275 + 115 = 390

  B B  
A 143132275
A 8233115
 225165390

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten

Beispiel:

In der angezeigten Vierfeldertafel stehen in jeder Zelle Wahrscheinlichkeiten. Vervollständige die Vierfeldertafel.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P(A)+P( A ) = P(B)+P( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A 0,16  
A   0,69
 0,68 1

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.68 + P( B ) = 1

Somit gilt: P( B ) = 1 - 0.68 = 0.32

  B B  
A 0,16  
A   0,69
 0,680,321

In der 1. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + P( A ∩ B) = 0.68

Somit gilt: P( A ∩ B) = 0.68 - 0.16 = 0.52

  B B  
A 0,16  
A 0,52 0,69
 0,680,321

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(A) + 0.69 = 1

Somit gilt: P(A) = 1 - 0.69 = 0.31

  B B  
A 0,16 0,31
A 0,52 0,69
 0,680,321

In der 1. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.16 + P(A ∩ B ) = 0.31

Somit gilt: P(A ∩ B ) = 0.31 - 0.16 = 0.15

  B B  
A 0,160,150,31
A 0,52 0,69
 0,680,321

In der 2. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

0.52 + P( A B ) = 0.69

Somit gilt: P( A B ) = 0.69 - 0.52 = 0.17

  B B  
A 0,160,150,31
A 0,520,170,69
 0,680,321

Somit ist die Vierfeldertafel komplett ausgefüllt.

VFT Anwend. Häufigkeiten

Beispiel:

In einem Monat mit 30 Tagen gab es 10 Tage, an denen keine Schule war. Dummerweise gab es 10 Tage an denen Schule und schönes Wetter war und 6 Tage an denen keine Schule und kein schönes Wetter war. Wieviele schulfreie Tage mit schönem Wetter gab es?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Schule

A : nicht Schule, also schulfrei

B : schönes Wetter

B : nicht schönes Wetter, also schlechtes Wetter

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
10  
A
(schulfrei)
 610
   30

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(schönes Wetter)
B
(schlechtes Wetter)
 
A
(Schule)
101020
A
(schulfrei)
4610
 141630

Der gesuchte Wert, Anzahl schulfreie schöne Tage, ist also 4.

VFT Anwend. prozentual (leichter)

Beispiel:

In einer groß angelegten Umfrage waren 47% der Befragten weiblich. Während 31% der männlichen Befragten angaben, Fußballfans zu sein, waren das bei den weiblichen Befragten nur 14%. Wie hoch ist der Prozentsatz der Fußballfans unter allen Befragten?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : weiblich

A : nicht weiblich, also männlich

B : Fußballfan

B : nicht Fußballfan, also kein Fan

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,47
A
(männlich)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
  0,47
A
(männlich)
  0,53
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "weiblich" sind es 14% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,47 0,14 = 0,0658 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0658 0,47
A
(männlich)
  0,53
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "männlich" sind es 31% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,53 0,31 = 0,1643 berechnen.

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,0658 0,47
A
(männlich)
0,1643 0,53
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Fußballfan)
B
(kein Fan)
 
A
(weiblich)
0,06580,40420,47
A
(männlich)
0,16430,36570,53
 0,23010,76991

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Fußballfans, ist also 0.2301 = 23.01%.

VFT Anwend. prozentual (schwerer)

Beispiel:

Ein Marktforschungsinstitut untersucht die Verbreitung einer Handy-App und kommt dabei zu folgenden Ergebnissen. Insgesamt ist die App auf 32,6% aller Smartphones installiert. Auf den iPhones ist sie sogar auf 46% der Geräte installiert. Bei der Untersuchung waren 33% aller Smartphones iPhones. Wie groß ist der Prozentsatz der Smartphones, die keine iPhones sind und die App nicht installiert haben, unter allen Smartphones?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : iPhone

A : nicht iPhone, also anderes Smartphone

B : installiert

B : nicht installiert, also nicht installiert

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,33
A
(anderes Smartphone)
   
 0,326  

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
  0,33
A
(anderes Smartphone)
  0,67
 0,3260,6741

Aus der Information von der Teilgruppe mit "iPhone" sind es 46% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,33 0,46 = 0,1518 berechnen.

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,1518 0,33
A
(anderes Smartphone)
  0,67
 0,3260,6741

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(installiert)
B
(nicht installiert)
 
A
(iPhone)
0,15180,17820,33
A
(anderes Smartphone)
0,17420,49580,67
 0,3260,6741

Der gesuchte Wert, der Prozentsatz von nicht iPhone und ohne die App, ist also 0.4958 = 49.58%.

bedingte Wahrsch. (nur Zahlen)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 69168237
A 9085175
 159253412

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

= 237 412
= 175 412
=x
= 69 412
= 168 412
= 90 412
= 85 412

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
237 412 x = 168 412 = |:237 ⋅412
also
P A ( B ) = x = 168 237 ≈ 0,7089

bedingte Wahrsch. (nur Prozente)

Beispiel:

Gegeben ist die vollständige Vierfeldertafel. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit P A ( B ) .

  B B  
A 0,310,430,74
A 0,050,210,26
 0,360,641

Lösung einblenden

P A ( B ) bedeutet die Wahrscheinlichkeit für B unter der Vorraussetzung, dass A bereits eingetroffen ist.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob A gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von A - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für B weiter.)

=0,74
=0,26
=x
=0,31
=0,43
=0,05
=0,21

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( A ) P A ( B ) = P ( A B ) | : P ( A )

P A ( B ) = P( A B ) P( A )

oder hier im speziellen:
0,74x = 0,43 = |:0,74
also
P A ( B ) = x = 0,43 0,74 ≈ 0,5811

bedingte Wahrsch. Anwendungen

Beispiel:

Schätzungen zufolge sind 0,2% der Bevölkerung an einem Virus infiziert. Ein Testverfahren auf diesen Virus liefert bei 99,2% der tatsächlich Infizierten auch ein positives Ergebnis. Bei den nicht Infizierten zeigt der Test zu 98,7% das richtige Ergebnis an, also dass keine Infektion vorliegt. Beim Blutspenden wird ein Mensch positiv auf dieses Virus getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch tatsächlich mit diesem Virus infiziert ist?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : infiziert

A : nicht infiziert, also nicht infiziert

B : Test positiv

B : nicht Test positiv, also Test negativ

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
   
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
  0,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
=0,992
Test positiv
Test negativ
=0,013
Test positiv
Test negativ
=0,001984

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "infiziert" sind es 99.2%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,002 0,992 = 0,001984
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,001984 0,002
A
(nicht infiziert)
  0,998
   1
=0,002
infiziert
=0,998
nicht infiziert
=0,992
Test positiv
Test negativ
=0,013
Test positiv
Test negativ
=0,001984
=0,012974

Mit Hilfe des Baumdiagramms kann man aus der Information
von der Teilgruppe mit "nicht infiziert" sind es 1.3%, also P A ( B ) ,
die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = P ( A ) P A ( B ) = 0,998 0,013 = 0,012974
berechnen.

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,001984 0,002
A
(nicht infiziert)
0,012974 0,998
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(Test positiv)
B
(Test negativ)
 
A
(infiziert)
0,0019840,0000160,002
A
(nicht infiziert)
0,0129740,9850260,998
 0,0149580,9850421

Gesucht ist ja "die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein", also die Wahrscheinlichkeit für A (infiziert) unter der Vorraussetzung, dass B (Test positiv) bereits eingetroffen ist - kurz P B ( A ) .

Um diese Wahrscheinlichkeit (bzw. prozentualer Anteil) zu bestimmmen, müssen wir nun das Baumdiagramm anders rum zeichnen. Das ist ja aber kein Problem, weil wir bereits die fertige Vierfeldertafel ausgefüllt haben.

Wir müssen also beim Baumdiagramm zuerst ( - also links - ) die Wahrscheinlichkeiten, ob B (Test positiv) gilt oder nicht, abtragen:

(Danach geht's dann ja - je nach Ausgang von B (Test positiv) - mit unterschiedlichen bedingten Wahrscheinlichkeiten für A (infiziert) weiter.)

=0,014958
Test positiv
=0,985042
Test negativ
=x
infiziert
nicht infiziert
infiziert
nicht infiziert
=0,001984
=0,012974
=0,000016
=0,985026

Wenn man die bekannten Werte der Vierfeldertafel ins Baumdiagramm einträgt, so erkennt man folgende Gleichung:
P ( B ) P B ( A ) = P ( B A ) | : P ( B )

P B ( A ) = P( B A ) P( B )

oder hier im speziellen:
0,014958x = 0,001984 = |:0,014958
also
P B ( A ) = x = 0,001984 0,014958 ≈ 0,1326


Der gesuchte Wert (die Wahrscheinlichkeit nach positiven Test tatsächlich infiziert zu sein) ist also 0,1326 = 13,26%.

Stochast. Unabhängigkeit Anwendungen

Beispiel:

In der Jahrgangstufe der 10-Klässler müssen die 100 Schülerinnen und Schüler ihre Kurse für die Kurstufe wählen. Jeder muss entweder Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Mädchen wählen 18 das Leistungsfach. 33 von den insgesamt 55 Basisfachwahlen kommen von den Jungs. Vervollständige die Vierfeldertafel und entscheide damit, ob die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : Mädchen

A : nicht Mädchen, also Jungs

B : Leistungsfach

B : nicht Leistungsfach, also Basisfach

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
18  
A
(Jungs)
 33 
  55100

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Rechenweg zum Ausfüllen der Vierfeldertafel einblenden

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
182240
A
(Jungs)
273360
 4555100

Um zu überprüfen, ob die beiden Ereignisse A (Mädchen) und B (Leistungsfach) stochatisch unabhängig sind, müssen wir die absoluten Zahlen zuerst in relative Häufigkeiten umwandeln. Dazu teilen wir einfach alle Zellen durch den Gesamtwert in der rechten unteren Zelle: 100. und runden diese auf drei Stellen hinter dem Komma. Wir erhalten so erhalten:

  B B  
A 0,180,220,4
A 0,270,330,6
 0,450,551

Jetzt können wir P(A)=0.4 mit P(B)=0.45 multiplizieren um zu überprüfen, ob dieses Produkt ungefähr den gleichen Wert hat wie
P(A ∩ B)=0.18, also:

P(A) ⋅ P(B) = 0.4 ⋅ 0.45 = 0.18 = 0.18 = P(A ∩ B),
A und B sind also stochastisch unabhängig.

Stochast. Unabhängigkeit rückwärts

Beispiel:

Vervollständige die Vierfeldertafel so, dass die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

  B B  
A    
A  0,2989 
  0,491

In der 3. Zeile sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle rechts immer die Summe der beiden inneren Zellen ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

P(B) + 0.49 = 1

Somit gilt: P(B) = 1 - 0.49 = 0.51

  B B  
A    
A  0,2989 
 0,510,491

Weil wir ja wissen, dass die beiden Ereignisse A und B (und damit auch A und B ) stochastisch unabhängig sind, muss gelten:

P ( A ) P ( B ) = P ( A B )

also P ( A ) ⋅ 0.49 = 0.2989 |: 0.49

somit gilt:

P ( A ) = 0.2989 0.49 = 0.61

  B B  
A    
A  0,29890,61
 0,510,491

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B B  
A 0,19890,19110,39
A 0,31110,29890,61
 0,510,491

Stochast. Unabhängigkeit rw (Anwend.)

Beispiel:

An einer Schule müssen alle Schülerinnen und Schüler der 10-ten Klassen für ihre Kurswahl entweder das Mathe Leistungsfach oder Mathe Basisfach wählen. Von den Schülern, die keine Mädchen sind, wählen 14 das Leistungsfach. Insgesamt gibt es 30 Mädchen in dieser Klassenstufe. Man kann davon ausgehen, dass die beiden Ereignisse Geschlecht und Mathewahlen stochastisch unabhängig sind. Wie viele der insgeamt 50 Wahlen entfielen auf das Basisfach Mathe?

Lösung einblenden

Als erstes tragen wir die Werte, die man aus dem Text herauslesen kann in einer Vierfeldertafel ein:

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  30
A
(Jungs)
14  
   50

In der 3. Spalte sind bereits zwei Werte bekannt, und da wir wissen, dass die weiße Zelle unten immer die Summe der beiden inneren Zellen darüber ist, können wir folgende Gleichung aufstellen:

30 + H( A ) = 50

Somit gilt: H( A ) = 50 - 30 = 20

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  30
A
(Jungs)
14 20
   50

Wir erkennen nun, dass der Anteil von "Leistungsfach" in der Zeile "Jungs" P A ( B ) = 14 20 = 7 10 ist.

Weil die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind, muss dann in allen Zeilen der prozentuale Anteil von "Leistungsfach" auch 7 10 sein. Somit gilt auch P ( B ) = P A ( B ) = 7 10 .

Für den Wert in der Randzeile ergibt sich also 7 10 ⋅50 = 35

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
  30
A
(Jungs)
14 20
 35 50

Jetzt können wir einfach mit den Summen die Vierfeldertafel vollends wie üblich füllen.

  B
(Leistungsfach)
B
(Basisfach)
 
A
(Mädchen)
21930
A
(Jungs)
14620
 351550

Die Anzahl der Schüler:innen mit Basisfach ist somit 15

VFT Anwend. prozentual (mit Kombis)

Beispiel:

Mit der Arbeit des Regierungschefs eines Staates sind 56% der Bevölkerung unzufrieden. 24% dieser Unzufriedenen sind sogar Anhänger seiner eigenen Partei. 76% der Bevölkerung sind entweder unzufrieden mit seiner Arbeit oder Anhänger seiner Partei. Wie viel Prozent der Anhänger seiner eigenen Partei sind mit der Arbeit des Regierungschefs zufrieden?

Lösung einblenden

Um die Aufgabe mit einer Vierfeldertafel lösen zu können, müssen wir erst unsere Ergebnisse A und B definieren:

A : zufrieden

A : nicht zufrieden, also unzufrieden

B : eigene Partei

B : nicht eigene Partei, also andere Partei

Hiermit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
   
A
(unzufrieden)
  0,56
    

Diese müssen wir nun vollends ausfüllen:


Als erstes tragen wir rechts unten die Summe P ( A ) + P ( A ) = P ( B ) + P ( B ) = 1 ein, schließlich ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt oder dass A gilt 100%.

Dann tragen wir alle direkt aus dem Text entnehmbaren und die dadurch berechenbaren Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,44
A
(unzufrieden)
  0,56
   1

Aus der Information von der Teilgruppe mit "unzufrieden" sind es 24% kann man die Wahrscheinlichkeit
P ( A B ) = 0,56 0,24 = 0,1344 berechnen.

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,44
A
(unzufrieden)
0,1344 0,56
   1

Nach Verrechnung der Zeilen- und Spaltensummen erhält man:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
  0,44
A
(unzufrieden)
0,13440,42560,56
   1

Die 76% von "entweder unzufrieden oder eigene Partei" verteilen sich ja auf die beiden Felder von P ( A B ) und P ( A B ) weil ja sowohl "unzufrieden und eigene Partei" als auch "Weder unzufrieden noch eigene Partei" nicht in diesen 76% enthalten ist. Es gilt somit:

P ( A B ) + P ( A B ) = 0,76, also
0.4256 + P ( A B ) = 0,76

Damit gilt: P ( A B ) = 0,76 - 0.4256 = 0.3344

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,3344 0,44
A
(unzufrieden)
0,13440,42560,56
   1

Jetzt können wir wieder die restlichen Wahrscheinlichkeiten einfach mit der Vierfeldertafel berechnen:

  B
(eigene Partei)
B
(andere Partei)
 
A
(zufrieden)
0,33440,10560,44
A
(unzufrieden)
0,13440,42560,56
 0,46880,53121

Gesucht ist ja, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, also P B ( A ) = P( B A ) P( B ) = 0.3344 0.4688 ≈ 0.7133


Der gesuchte Wert, der Prozentsatz der Zufriedenen unter den Anhängern der eigenen Partei, ist also 0.7133 = 71.33%.