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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x \cdot x}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x \cdot x$	=	0
$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x$	=	0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x \cdot x}$ = $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x \cdot x}$ = $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$

$\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$ = $\frac{x^{2} \cdot (x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}})}{x^{2} \cdot 1}$ = $\frac{x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x^{3} - x^{2} + 3 x - 5}{x^{2}}$ = $\frac{x - 1 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^{2}}}{1}$ → $\frac{\infty - 1 + 0 + 0}{1}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x - 4}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x - 4}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{4 x - 4}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x - 4}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5}{- x^{2} - x + 2}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5}{- x^{2} - x + 2}$ = $\frac{- 5}{- (x + 2) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{- (x + 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅"-0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{- (x + 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅"+0" ⋅ (-3)}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{- (x + 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅(+3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{- (x + 2) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-5}{- 1⋅(+3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x + 4}{x^{2} + 2 x}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x + 4}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 2 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+8}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+8}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+8}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+8}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+4}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x + 4}{x \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+4}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-6|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 12}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 6) \cdot (x + 0))}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 6 x)}{x^{2} + 7 x + 12}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 6 x}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 6 x)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$

$\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{6}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 6 x}{x^{2} + 7 x + 12}$ = $\frac{- 1 - \frac{6}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 6 x)}{(x + 3) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(3|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 3)}{x^{2} - x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 3}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 3)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- x^{2} + 6 x - 9}{x^{2} - x}$

$\frac{- x^{2} + 6 x - 9}{x^{2} - x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 6 x - 9}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 1 + \frac{6}{x} - \frac{9}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 3)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{e^{x}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{e^{x}}$ → $0 + \frac{1}{0}$ → $0 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{e^{x}}$ → $0 + \frac{1}{\infty}$ → $0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,3 x}}{- 2 x^{2}} + 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,3 x}}{- 2 x^{2}} + 4$ → $\frac{0}{- \infty} + 4$ → $0 + 4$ → $4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,3 x}}{- 2 x^{2}} + 4$ → $\frac{\infty}{- \infty} + 4$ → $- \infty + 4$ → $- \infty$ $\frac{e^{0,3 x}}{- 2 x^{2}}$ → $- \infty$ : ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

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alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞