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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 )

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( 4 - x ) ( x -2 ) = 0
( -x +4 ) ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-x +4 = 0 | -4
-x = -4 |:(-1 )
x1 = 4

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ 2 ; 4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= 4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 ) +27 (+2) ⋅ "-0" = +27 "-0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= 4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 ) +27 (+2) ⋅ "+0" = +27 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= 4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 ) +243 "+0" ⋅ (+2) = +243 "+0"

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= 4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 ) +243 "-0" ⋅ (+2) = +243 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
4 x 3 - x 2 +2x -5 ( 4 - x ) ( x -2 ) = 4 x 3 - x 2 +2x -5 - x 2 +6x -8

4 x 3 - x 2 +2x -5 - x 2 +6x -8 = x 2 · ( 4x -1 + 2 x - 5 x 2 ) x 2 · ( -1 + 6 x - 8 x 2 ) = 4x -1 + 2 x - 5 x 2 -1 + 6 x - 8 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 4 x 3 - x 2 +2x -5 - x 2 +6x -8 = 4x -1 + 2 x - 5 x 2 -1 + 6 x - 8 x 2 -1 +0+0 -1 +0+0 = -

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 4 x -1

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x -1 = 0 | +1
x = 1

also Definitionsmenge D=R\{ 1 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 1 (von links und von rechts)

Für x   x<1   1 - ⇒ f(x)= 4 x -1 +4 "-0" -

Für x   x>1   1 + ⇒ f(x)= 4 x -1 +4 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 1 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 5 - x 2 -5x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

- x 2 -5x = 0
- x ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

also Definitionsmenge D=R\{ -5 ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

5 - x 2 -5x = 5 - x · ( x +5 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -5 (von links und von rechts)

Für x   x<-5   -5 - ⇒ f(x)= 5 - x · ( x +5 ) +5 -1 ⋅(-5) ⋅ "-0" = +5 "-0" -

Für x   x>-5   -5 + ⇒ f(x)= 5 - x · ( x +5 ) +5 -1 ⋅(-5) ⋅ "+0" = +5 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -5 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 5 - x · ( x +5 ) +5 -1 ⋅"-0" ⋅ (+5) = +5 "+0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 5 - x · ( x +5 ) +5 -1 ⋅"+0" ⋅ (+5) = +5 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 3x -6 x 2 +2x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

also Definitionsmenge D=R\{ -2 ; 0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

3x -6 x 2 +2x = 3x -6 x · ( x +2 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -2 (von links und von rechts)

Für x   x<-2   -2 - ⇒ f(x)= 3x -6 x · ( x +2 ) -12 (-2) ⋅ "-0" = -12 "+0" -

Für x   x>-2   -2 + ⇒ f(x)= 3x -6 x · ( x +2 ) -12 (-2) ⋅ "+0" = -12 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -2 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 3x -6 x · ( x +2 ) -6 "-0" ⋅ (+2) = -6 "-0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 3x -6 x · ( x +2 ) -6 "+0" ⋅ (+2) = -6 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 1 und bei x2 = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N1(3|0) und N2(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=1 und x2=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -1 ) · ( x +1 ) = ? x 2 -1

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -3 ) · ( x +0 ) ) x 2 -1 = ?⋅ ( x 2 -3x ) x 2 -1

Jetzt testen wir x 2 -3x ( x -1 ) · ( x +1 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-( x 2 -3x ) ( x -1 ) · ( x +1 ) = - x 2 +3x x 2 -1

- x 2 +3x x 2 -1 = x 2 · ( -1 + 3 x ) x 2 · ( 1 - 1 x 2 ) = -1 + 3 x 1 - 1 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 2 +3x x 2 -1 = -1 + 3 x 1 - 1 x 2 -1 +0 1 +0 = -1 1 = -1

Mit f(x)= -( x 2 -3x ) ( x -1 ) · ( x +1 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x1 = 1 und bei x2 = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N1(2|0) und N2(-2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=1 und x2=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -1 ) · ( x +0 ) = ? x 2 - x

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -2 ) · ( x +2 ) ) x 2 - x = ?⋅ ( x 2 -4 ) x 2 - x

Jetzt testen wir x 2 -4 ( x -1 ) · ( x +0 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-( x 2 -4 ) ( x -1 ) · ( x +0 ) = - x 2 +4 x 2 - x

- x 2 +4 x 2 - x = x 2 · ( -1 + 4 x 2 ) x 2 · ( 1 - 1 x ) = -1 + 4 x 2 1 - 1 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 2 +4 x 2 - x = -1 + 4 x 2 1 - 1 x -1 +0 1 +0 = -1 1 = -1

Mit f(x)= -( x 2 -4 ) ( x -1 ) · ( x +0 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = -3x · e -0,3x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= -3x · e -0,3x ·

Für x → ∞ ⇒ f(x)= -3x · e -0,3x - · 0 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen - und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 2 - e 0,2x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 2 - e 0,2x 2 +0 2

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 2 - e 0,2x 2 - -

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 2 .