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senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 4x +4 -4 - x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-4 - x = 0
-x -4 = 0 | +4
-x = 4 |:(-1 )
x = -4

also Definitionsmenge D=R\{ -4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= 4x +4 -4 - x -12 "+0" -

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= 4x +4 -4 - x -12 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3 x 2 -5x +2 ( 1 + x ) ( x -4 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( 1 + x ) ( x -4 ) = 0
( x +1 ) ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 4 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -3 x 2 -5x +2 ( 1 + x ) ( x -4 ) +4 "-0" ⋅ (-5) = +4 "+0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -3 x 2 -5x +2 ( 1 + x ) ( x -4 ) +4 "+0" ⋅ (-5) = +4 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= -3 x 2 -5x +2 ( 1 + x ) ( x -4 ) -66 (+5) ⋅ "-0" = -66 "-0"

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= -3 x 2 -5x +2 ( 1 + x ) ( x -4 ) -66 (+5) ⋅ "+0" = -66 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von + nach -

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 3x +1 - x 2 +9

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

- x 2 +9 = 0 | -9
- x 2 = -9 |: ( -1 )
x 2 = 9 | 2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; 3 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

3x +1 - x 2 +9 = 3x +1 - ( x +3 ) · ( x -3 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -3 (von links und von rechts)

Für x   x<-3   -3 - ⇒ f(x)= 3x +1 - ( x +3 ) · ( x -3 ) -8 -1 ⋅"-0" ⋅ (-6) = -8 "-0"

Für x   x>-3   -3 + ⇒ f(x)= 3x +1 - ( x +3 ) · ( x -3 ) -8 -1 ⋅"+0" ⋅ (-6) = -8 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -3 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= 3x +1 - ( x +3 ) · ( x -3 ) +10 -1 ⋅(+6) ⋅ "-0" = +10 "+0"

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= 3x +1 - ( x +3 ) · ( x -3 ) +10 -1 ⋅(+6) ⋅ "+0" = +10 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

3x +1 - x 2 +9 = x 2 · ( 3 x + 1 x 2 ) x 2 · ( -1 + 9 x 2 ) = 3 x + 1 x 2 -1 + 9 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 3x +1 - x 2 +9 = 3 x + 1 x 2 -1 + 9 x 2 0+0 -1 +0 = 0 -1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 1 x -4 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 1 x -4 0 -4 -4

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 1 x -4 0 -4 -4

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = -4 .

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 2 und bei x2 = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=2 und x2=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -2 ) · ( x -3 ) = ? x 2 -5x +6

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +1 ) x 2 -5x +6

Jetzt testen wir x +1 ( x -2 ) · ( x -3 ) auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x +1 ( x -2 ) · ( x -3 ) = x +1 x 2 -5x +6

x +1 x 2 -5x +6 = x 2 · ( 1 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 - 5 x + 6 x 2 ) = 1 x + 1 x 2 1 - 5 x + 6 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x +1 x 2 -5x +6 = 1 x + 1 x 2 1 - 5 x + 6 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= x +1 ( x -2 ) · ( x -3 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 3 -3 e 0,1x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 3 -3 e 0,1x 3 +0 3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 3 -3 e 0,1x 3 - -

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 3 .