senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+2x-8$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-x^2+3x+4}{x^2+2x-8}$ = $\frac{-x^2+3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x+4\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>6</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>24</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+3x+4}{\left(x-2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>6</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{-x^2+3x+4}{x^2+2x-8}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+3x+4}{x^2+2x-8}$ = $\frac{-1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}}{1+\frac{2}{x}-\frac{8}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-1$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-e^x$	=	0
$\left(e^{3x}-1\right)·e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-2}{e^{4x}-e^x}$ = $\frac{-2}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)·\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $4$}

und den Zähler:

$\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{x-2}{x-4}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{x-2}{x-4}$ → $\frac{1-2}{1-4}$ = $\frac{1}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $\frac{1}{3}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-2\right)·\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-3x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x-2\right)·1}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x-2\right)·1}$ → $\frac{-3\cdot }{\left(1-2\right)·1}$ = $3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $3$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-2\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-1}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x-1}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ = $\frac{x-1}{x^2+3x+2}$

$\frac{x-1}{x^2+3x+2}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x-1}{x^2+3x+2}$ = $\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x-1}{\left(x+1\right)·\left(x+2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+5}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2{\left(x+5\right)}^2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+5x+6}$

$\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+5x+6}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-20x-50}{x^2+5x+6}$ = $\frac{-2-\frac{20}{x}-\frac{50}{x^2}}{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2{\left(x+5\right)}^2}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,3}x}-2$ → $\infty -2$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,3}x}-2$ → $0-2$ → $-2$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-2$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $3-2x^2·e^{\mathrm{0,5}x}$ → $3-\infty ·0$ → $3+0$ → $3$ $-2x^2·e^{\mathrm{0,5}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $3-2x^2·e^{\mathrm{0,5}x}$ → $3-\infty ·\infty$ → $3-\infty$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$.