senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(1+x\right)·\left(x-2\right)$	=	0
$\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2+4x+3}{\left(1+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2+4x+3}{\left(1+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2+4x+3}{\left(1+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2+4x+3}{\left(1+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>3</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-4x^2+4x+3}{\left(1+x\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-4x^2+4x+3}{x^2-x-2}$

$\frac{-4x^2+4x+3}{x^2-x-2}$ = $\frac{x^2·\left(-4+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-4+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2+4x+3}{x^2-x-2}$ = $\frac{-4+\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-4}{1}$ = $-4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-e^x$	=	0
$\left(e^{3x}-1\right)·e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-x+4}{e^{4x}-e^x}$ = $\frac{-x+4}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x+4}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x+4}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x·\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^2-4x-5}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^2-4x-5}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^2-4x-5}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>33</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>33</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^2-4x-5}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>33</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>33</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-2x-8$	=	0	| $+8$
$-2x$	=	$8$	|:($-2$)
$x$	=	$-4$

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}{-2x-8}$ = $\frac{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}{-2x-8}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)$

Für x → $-4$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}{-2x-8}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+2\right)$ → $-\frac{1}{2}\left(-4+2\right)$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-4$| $1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+2x-3}{\left(x+0\right)·\left(x-2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x+0\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-x^2-2x+3}{x^2-2x}$

$\frac{-x^2-2x+3}{x^2-2x}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{2}{x}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-2x+3}{x^2-2x}$ = $\frac{-1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1-\frac{2}{x}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2+2x-3\right)}{\left(x+0\right)·\left(x-2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-1 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x+1}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = -1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x+1}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x+1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x^3}-2$ → $0-2$ → $-2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x^3}-2$ → $0-2$ → $-2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-2$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-3-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ → $-3-\infty$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-3-3e^{-\mathrm{0,3}x}$ → $-3+0$ → $-3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-3$.