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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 4 - x) \cdot (x - 2)$	=	0
$(- x - 4) \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x - 4$	=	0	\| $+ 4$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-32}{"+0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-32}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-32}{"-0" ⋅ (-6)}$ = $\frac{-32}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{(-6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$ → $\frac{-2}{(-6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{(- 4 - x) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{- x^{2} - 2 x + 8}$

$\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{- x^{2} - 2 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + x + 4}{- x^{2} - 2 x + 8}$ = $\frac{- 2 + \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{- 1 - \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{- 1}$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x - 5}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x + 5}{- x^{2} - 2 x - 1}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x + 5}{- x^{2} - 2 x - 1}$ = $\frac{- 4 x + 5}{- {(x + 1)}^{2}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x + 5}{- {(x + 1)}^{2}}$ → $\frac{+9}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x + 5}{- {(x + 1)}^{2}}$ → $\frac{+9}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ ohne VZW (beides - )

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - 1}{- 3 x + 3}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 3 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ }

und den Zähler:

$\frac{x^{2} - 1}{- 3 x + 3}$ = $\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{- 3 x + 3}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^{2} - 1}{- 3 x + 3}$ = $\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{- 3 x + 3}$ = $\frac{(x + 1) \cdot (- 1)}{3}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 1}{- 3 x + 3}$ = $\frac{(x + 1) \cdot (- 1)}{3}$ → $\frac{(1 + 1) \cdot (- 1)}{3}$ = $- \frac{2}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $- \frac{2}{3}$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(5|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 3 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 5)}{x^{2} - 3 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 5}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- {(x - 5)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - 3 x}$

$\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x})}$ = $\frac{- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 10 x - 25}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{- 1 + \frac{10}{x} - \frac{25}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- {(x - 5)}^{2}}{(x - 3) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(0|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 0)}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{?⋅ (x)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 x^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3)}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2}}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{- 3}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 x^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{e^{x}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{e^{x}}$ → $0 + \frac{2}{0}$ → $0 + \infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} + \frac{2}{e^{x}}$ → $0 + \frac{2}{\infty}$ → $0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 2 - x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 2 - x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ → $- 2 - \infty \cdot 0$ → $- 2 + 0$ → $- 2$ $- x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 2 - x^{2} \cdot e^{0,2 x}$ → $- 2 - \infty \cdot \infty$ → $- 2 - \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞