senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-4x+4$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-5}{x^2-4x+4}$ = $\frac{-5}{{\left(x-2\right)}^2}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5}{{\left(x-2\right)}^2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{{\left(x-2\right)}^2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ ohne VZW (beides - )

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{-5}{x^2-4x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-5}{x^2-4x+4}$ = $\frac{-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-4+x$	=	0
$x-4$	=	0	| $+4$
$x$	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4}{-4+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4}{-4+x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $4$}

und den Zähler:

$\frac{4x^2+x-5}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{4\left(x-1\right)·\left(x+\mathrm{1,25}\right)}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{4x^2+x-5}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{4\left(x-1\right)·\left(x+\mathrm{1,25}\right)}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{4\left(x+\mathrm{1,25}\right)}{x-4}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2+x-5}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{4\left(x+\mathrm{1,25}\right)}{x-4}$ → $\frac{4\left(1+\mathrm{1,25}\right)}{1-4}$ = $-3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $-3$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^2+x-5}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>63</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>63</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^2+x-5}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>63</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>3</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>63</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-3x-3$	=	0	| $+3$
$-3x$	=	$3$	|:($-3$)
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2-1}{-3x-3}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{-3x-3}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2-1}{-3x-3}$ = $\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{-3x-3}$ = $-\frac{1}{3}\left(x-1\right)$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-1}{-3x-3}$ = $-\frac{1}{3}\left(x-1\right)$ → $-\frac{1}{3}\left(-1-1\right)$ = $\frac{2}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $\frac{2}{3}$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-2x-8}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2-2x-8\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-x^2+2x+8}{x^2-3x+2}$

$\frac{-x^2+2x+8}{x^2-3x+2}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+2x+8}{x^2-3x+2}$ = $\frac{-1+\frac{2}{x}+\frac{8}{x^2}}{1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2-2x-8\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{1}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -1 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-1 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $-\left(x^2+1\right)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ = $\frac{-x^2-1}{x^2+x}$

$\frac{-x^2-1}{x^2+x}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-1}{x^2+x}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2+1\right)}{\left(x+1\right)·\left(x+0\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x}+\frac{1}{e^x}$ → $0+\frac{1}{0}$ → $0+\infty$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x}+\frac{1}{e^x}$ → $0+\frac{1}{\infty }$ → $0+0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $5x·e^{\mathrm{0,5}x}-1$ → $-\infty ·0-1$ → $0-1$ → $-1$ $5x·e^{\mathrm{0,5}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $5x·e^{\mathrm{0,5}x}-1$ → $\infty ·\infty -1$ → $\infty -1$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-1$.