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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x - 4}{- x^{2} + 3 x + 10}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $5$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x - 4}{- x^{2} + 3 x + 10}$ = $\frac{2 x - 4}{- (x + 2) \cdot (x - 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{- (x + 2) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-8}{- 1⋅"-0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-8}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{- (x + 2) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{-8}{- 1⋅"+0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-8}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{- (x + 2) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+6}{- 1⋅(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{- (x + 2) \cdot (x - 5)}$ → $\frac{+6}{- 1⋅(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{2 x - 4}{- x^{2} + 3 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{3}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{- 1 + \frac{3}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x - 4}{- x^{2} + 3 x + 10}$ = $\frac{\frac{2}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{- 1 + \frac{3}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{- 1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x + 3}{e^{3 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{3 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{2 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x + 3}{e^{3 x} - e^{x}}$ = $\frac{4 x + 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x + 3}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{- x^{2} - x + 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1+7}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{1-7}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4}{- x^{2} - x + 12}$ = $\frac{- 4}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅"-0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅"+0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{- (x + 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-4}{- 1⋅(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x - 3}{x^{2} - 1}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x - 3}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{3}{x - 1}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $- \frac{3}{x - 1}$ → $- \frac{3}{- 1 - 1}$ = $\frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $\frac{3}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-6}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-6}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 3}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{-6}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-6}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 2 und bei x₂ = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(4|0) und N₂(1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 2) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 5 x + 6}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 4) \cdot (x - 1))}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 5 x + 4)}{x^{2} - 5 x + 6}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 5 x + 4}{(x - 2) \cdot (x - 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} - 5 x + 4)}{(x - 2) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$

$\frac{- x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 5 x - 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ = $\frac{- 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} - 5 x + 4)}{(x - 2) \cdot (x - 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(4|0) und N₂(2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} - x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 4) \cdot (x - 2))}{x^{2} - x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} - x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 6 x + 8}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} - 6 x + 8)}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} - x}$

$\frac{- x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} - x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 1 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + 6 x - 8}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 1 + \frac{6}{x} - \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} - 6 x + 8)}{(x - 1) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{3}} - 2$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{2}{x^{3}} - 2$ → $0 - 2$ → $- 2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 2$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,1 x}}{5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,1 x}}{5 x}$ → $\frac{0}{- \infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,1 x}}{5 x}$ → $\frac{\infty}{\infty}$ → $\infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞