senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)·\left(x+4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-4\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-4\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>16</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-4\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{\left(x-4\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3x-4}{\left(x-4\right)·\left(x+4\right)}$ = $\frac{3x-4}{x^2-16}$

$\frac{3x-4}{x^2-16}$ = $\frac{x^2·\left(\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{16}{x^2}\right)}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{16}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x-4}{x^2-16}$ = $\frac{\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{16}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-e^x$	=	0
$\left(e^{3x}-1\right)·e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{1}{e^{4x}-e^x}$ = $\frac{1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-3\right)·\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-3x+3$	=	0	| $-3$
$-3x$	=	$-3$	|:($-3$)
$x$	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2-1}{-3x+3}$ = $\frac{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{-3x+3}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2-1}{-3x+3}$ = $\frac{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}{-3x+3}$ = $\frac{\left(x+1\right)·\left(-1\right)}{3}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2-1}{-3x+3}$ = $\frac{\left(x+1\right)·\left(-1\right)}{3}$ → $\frac{\left(1+1\right)·\left(-1\right)}{3}$ = $-\frac{2}{3}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $-\frac{2}{3}$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+2}{\left(x+0\right)·\left(x+3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{-2x^2-8x-8}{x^2+3x}$

$\frac{-2x^2-8x-8}{x^2+3x}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{8}{x}-\frac{8}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{8}{x}-\frac{8}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-8x-8}{x^2+3x}$ = $\frac{-2-\frac{8}{x}-\frac{8}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2{\left(x+2\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x+3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=2 und x₂=5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-7x+12}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3\left(x^2-7x+12\right)}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ = $\frac{-3x^2+21x-36}{x^2-7x+10}$

$\frac{-3x^2+21x-36}{x^2-7x+10}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{21}{x}-\frac{36}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{21}{x}-\frac{36}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+21x-36}{x^2-7x+10}$ = $\frac{-3+\frac{21}{x}-\frac{36}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{10}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3\left(x^2-7x+12\right)}{\left(x-2\right)·\left(x-5\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,2}x}}{-2x^2}$ → $\frac{0}{-\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,2}x}}{-2x^2}$ → $\frac{\infty }{-\infty }$ → $-\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,5}x}}{x}$ → $\frac{0}{-\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,5}x}}{x}$ → $\frac{\infty }{\infty }$ → $\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).