senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $2$; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^3-x^2-x-4}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^3-x^2-x-4}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>18</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^3-x^2-x-4}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>88</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>88</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^3-x^2-x-4}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>88</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>88</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-x^3-x^2-x-4}{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}$ = $\frac{-x^3-x^2-x-4}{x^2-6x+8}$

$\frac{-x^3-x^2-x-4}{x^2-6x+8}$ = $\frac{x^2·\left(-x-1-\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}\right)}$ = $\frac{-x-1-\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^3-x^2-x-4}{x^2-6x+8}$ = $\frac{-x-1-\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{8}{x^2}}$ → = $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x-2$	=	0	| $+2$
$x$	=	$2$

also Definitionsmenge D=R\{ $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{x-5}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x-5}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2+5x+6$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $-2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3}{x^2+5x+6}$ = $\frac{3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $3$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-3x+3}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3x+3}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x-3\right)·1}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ = $\frac{-3\cdot }{\left(x-3\right)·1}$ → $\frac{-3\cdot }{\left(1-3\right)·1}$ = $\frac{3}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($1$| $\frac{3}{2}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x+3}{\left(x-3\right)\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>6</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=3 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x-3}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 3 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x-3}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1-\frac{3}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-3}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{-1}{x-3}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-4}{\left(x-3\right)·\left(x-2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-5x+6}$

$\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-5x+6}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+24x-48}{x^2-5x+6}$ = $\frac{-3+\frac{24}{x}-\frac{48}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-4\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x^3}-4$ → $0-4$ → $-4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{5}{x^3}-4$ → $0-4$ → $-4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-4$ → $\infty -4$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2e^{-\mathrm{0,4}x}-4$ → $0-4$ → $-4$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.