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senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x -5 -1 + x

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-1 + x = 0
x -1 = 0 | +1
x = 1

also Definitionsmenge D=R\{ 1 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 1 (von links und von rechts)

Für x   x<1   1 - ⇒ f(x)= -3x -5 -1 + x -8 "-0"

Für x   x>1   1 + ⇒ f(x)= -3x -5 -1 + x -8 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 1 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 5x +5 e 4x - e x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

e 4x - e x = 0
( e 3x -1 ) e x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e 3x -1 = 0 | +1
e 3x = 1 |ln(⋅)
3x = 0 |:3
x1 = 0 ≈ 0

2. Fall:

e x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

5x +5 e 4x - e x = 5x +5 ( e 3x -1 ) · e x

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 5x +5 ( e 3x -1 ) · e x +5 "-0" ⋅ (+1) = +5 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 5x +5 ( e 3x -1 ) · e x +5 "+0" ⋅ (+1) = +5 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = -5x +1 x 2 -2x -3

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -2x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -3 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +12 2

x1,2 = +2 ± 16 2

x1 = 2 + 16 2 = 2 +4 2 = 6 2 = 3

x2 = 2 - 16 2 = 2 -4 2 = -2 2 = -1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 3 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-5x +1 x 2 -2x -3 = -5x +1 ( x -3 ) · ( x +1 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -5x +1 ( x -3 ) · ( x +1 ) +6 (-4) ⋅ "-0" = +6 "+0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -5x +1 ( x -3 ) · ( x +1 ) +6 (-4) ⋅ "+0" = +6 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= -5x +1 ( x -3 ) · ( x +1 ) -14 "-0" ⋅ (+4) = -14 "-0"

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= -5x +1 ( x -3 ) · ( x +1 ) -14 "+0" ⋅ (+4) = -14 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

-5x +1 x 2 -2x -3 = x 2 · ( - 5 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 - 2 x - 3 x 2 ) = - 5 x + 1 x 2 1 - 2 x - 3 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -5x +1 x 2 -2x -3 = - 5 x + 1 x 2 1 - 2 x - 3 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,2x -3 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,2x -3 0 -3 -3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,2x -3 -3

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -3 .

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = -1 und bei x2 = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N1(-2|0) und N2(1|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=-1 und x2=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x +1 ) · ( x +4 ) = ? x 2 +5x +4

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x +2 ) · ( x -1 ) ) x 2 +5x +4 = ?⋅ ( x 2 + x -2 ) x 2 +5x +4

Jetzt testen wir x 2 + x -2 ( x +1 ) · ( x +4 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-3( x 2 + x -2 ) ( x +1 ) · ( x +4 ) = -3 x 2 -3x +6 x 2 +5x +4

-3 x 2 -3x +6 x 2 +5x +4 = x 2 · ( -3 - 3 x + 6 x 2 ) x 2 · ( 1 + 5 x + 4 x 2 ) = -3 - 3 x + 6 x 2 1 + 5 x + 4 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -3 x 2 -3x +6 x 2 +5x +4 = -3 - 3 x + 6 x 2 1 + 5 x + 4 x 2 -3 +0+0 1 +0+0 = -3 1 = -3

Mit f(x)= -3( x 2 + x -2 ) ( x +1 ) · ( x +4 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = -3 -3 e 0,4x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= -3 -3 e 0,4x -3 +0 -3

Für x → ∞ ⇒ f(x)= -3 -3 e 0,4x -3 - -

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -3 .