senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(5+x\right)·\left(x-2\right)$	=	0
$\left(x+5\right)·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$; $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-3x-4}{\left(5+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-3x-4}{\left(5+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-3x-4}{\left(5+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-3x-4}{\left(5+x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>14</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-x^2-3x-4}{\left(5+x\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-x^2-3x-4}{x^2+3x-10}$

$\frac{-x^2-3x-4}{x^2+3x-10}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-3x-4}{x^2+3x-10}$ = $\frac{-1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{3}{x}-\frac{10}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-1$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-e^x$	=	0
$\left(e^{3x}-1\right)·e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x+3}{e^{4x}-e^x}$ = $\frac{x+3}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{x+3}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x+3}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x^2-2x+3$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $1$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-4x+5}{-x^2-2x+3}$ = $\frac{-4x+5}{-\left(x+3\right)·\left(x-1\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x+5}{-\left(x+3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x+5}{-\left(x+3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x+5}{-\left(x+3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x+5}{-\left(x+3\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+2\right)·\left(x+3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $-2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-x-3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{-x-3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $-\frac{1}{x+2}$

Für x → $-3$ ⇒ f(x)= $\frac{-x-3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $-\frac{1}{x+2}$ → $-\frac{1}{-3+2}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-3$| $1$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-x-3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-x-3}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-3}{\left(x+0\right)·\left(x-1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x-3\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-x^2+6x-9}{x^2-x}$

$\frac{-x^2+6x-9}{x^2-x}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+6x-9}{x^2-x}$ = $\frac{-1+\frac{6}{x}-\frac{9}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x-3\right)}^2}{\left(x+0\right)·\left(x-1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=3 (ohne VZW (beides mal f(x) → -∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-1}{{\left(x-3\right)}^2}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x-3\right)}^2}$ = $\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-6x+9}$

$\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-6x+9}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-6x+9}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x-3\right)}^2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x}+\frac{3}{e^x}+\frac{2}{x^3}$ → $0+\frac{3}{0}+0$ → $0+\infty +0$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x}+\frac{3}{e^x}+\frac{2}{x^3}$ → $0+\frac{3}{\infty }+0$ → $0+0+0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{\mathrm{0,4}x}$ → $-\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{\mathrm{0,4}x}$ → $\infty ·\infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).