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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{x^{2} + x - 20}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{x^{2} + x - 20}$ = $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x + 5)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 5}{⟶}$ $- 5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{-304}{(-9) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-304}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 5}{⟶}$ $- 5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{-304}{(-9) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-304}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+101}{"-0" ⋅ (+9)}$ = $\frac{+101}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{(x - 4) \cdot (x + 5)}$ → $\frac{+101}{"+0" ⋅ (+9)}$ = $\frac{+101}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{x^{2} + x - 20}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 x - 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}})}$ = $\frac{2 x - 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 1}{x^{2} + x - 20}$ = $\frac{2 x - 2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty - 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{1}{x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 7 x + 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-44}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-44}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-44}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-44}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-73}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-73}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4 x^{2} - x - 5}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{-73}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-73}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} + 2 x}{x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x

=

0

also Definitionsmenge D=R\{0}

und den Zähler:

$\frac{x^{2} + 2 x}{x}$ = $\frac{x \cdot (x + 2)}{x}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^{2} + 2 x}{x}$ = $\frac{x \cdot (x + 2)}{x}$ = $x + 2$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} + 2 x}{x}$ = $x + 2$ → $0 + 2$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $0$ | $2$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 3 x + 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 2)}{x^{2} - 3 x + 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 2}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 12 x - 12}{x^{2} - 3 x + 2}$

$\frac{- 3 x^{2} - 12 x - 12}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 12 x - 12}{x^{2} - 3 x + 2}$ = $\frac{- 3 - \frac{12}{x} - \frac{12}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 1) \cdot (x - 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= 1 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x - 1}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x - 1}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 - \frac{1}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x - 1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,4 x}}{- 5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{- 5 x}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,4 x}}{- 5 x}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 e^{0,5 x} + 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{0,5 x} + 3$ → $0 + 3$ → $3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 e^{0,5 x} + 3$ → $- \infty + 3$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞