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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x + 1}{- x^{2} - 7 x - 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- x + 1}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{- x + 1}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+5}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+5}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+4}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+4}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{- (x + 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+4}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+4}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- x + 1}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x + 1}{- x^{2} - 7 x - 12}$ = $\frac{- \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{7}{x} - \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{- 1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5}{e^{2 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 5}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-5}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x^{2} - x - 6}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{x^{2} - x - 6}$ = $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+16}{(-5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+16}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+16}{(-5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+16}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+11}{"-0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+11}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 4 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+11}{"+0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+11}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x - 3) \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $4$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -4) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{1}{x - 3}$

Für x → $4$ ⇒ f(x)= $\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ = $\frac{1}{x - 3}$ → $\frac{1}{4 - 3}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $4$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 4}{(x - 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-5|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

$\frac{?}{{(x + 2)}^{2}}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 4}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 5)}{x^{2} + 4 x + 4}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf 2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient 2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{2 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ = $\frac{2 x^{2} + 20 x + 50}{x^{2} + 4 x + 4}$

$\frac{2 x^{2} + 20 x + 50}{x^{2} + 4 x + 4}$ = $\frac{x^{2} \cdot (2 + \frac{20}{x} + \frac{50}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}$ = $\frac{2 + \frac{20}{x} + \frac{50}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{2 x^{2} + 20 x + 50}{x^{2} + 4 x + 4}$ = $\frac{2 + \frac{20}{x} + \frac{50}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}$ → $\frac{2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{2}{1}$ = $2$

Mit f(x)= $\frac{2 {(x + 5)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -5 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-4|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-5 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 7 x + 10}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 4) \cdot (x + 0))}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 4 x)}{x^{2} + 7 x + 10}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 4 x}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} + 4 x)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} + 7 x + 10}$

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{8}{x})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 - \frac{8}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} + 7 x + 10}$ = $\frac{- 2 - \frac{8}{x}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{10}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} + 4 x)}{(x + 2) \cdot (x + 5)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{x^{2}} - 3 + \frac{2}{x^{3}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} - 3 + \frac{2}{x^{3}}$ → $0 - 3 + 0$ → $- 3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{5}{x^{2}} - 3 + \frac{2}{x^{3}}$ → $0 - 3 + 0$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 1 + 3 e^{0,2 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 1 + 3 e^{0,2 x}$ → $- 1 + 0$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 1 + 3 e^{0,2 x}$ → $- 1 + \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞