senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)$	=	0
$\left(-x-1\right)·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+4x+5}{\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+4x+5}{\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+4x+5}{\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>44</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>44</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+4x+5}{\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>44</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>44</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{3x^2+4x+5}{\left(-1-x\right)·\left(x-3\right)}$ = $\frac{3x^2+4x+5}{-x^2+2x+3}$

$\frac{3x^2+4x+5}{-x^2+2x+3}$ = $\frac{x^2·\left(3+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$ = $\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{3x^2+4x+5}{-x^2+2x+3}$ = $\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}{-1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}$ → = $\frac{3}{-1}$ = $-3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-3$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x+1$	=	0	| $-1$
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-3x-4$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $4$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-2x-2}{x^2-3x-4}$ = $\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$ = $\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$ = $-\frac{2}{x-4}$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$ = $-\frac{2}{x-4}$ → $-\frac{2}{-1-4}$ = $\frac{2}{5}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $\frac{2}{5}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>5</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-2}{\left(x-4\right)·\left(x+1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>5</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>10</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+2\right)·\left(x+3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-3$; $-2$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x-4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{-2x-4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $-\frac{2}{x+3}$

Für x → $-2$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ = $-\frac{2}{x+3}$ → $-\frac{2}{-2+3}$ = $-2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-2$| $-2$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x-4}{\left(x+2\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-6}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -1 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -1. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-{\left(x-6\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-x^2+12x-36}{x^2-4x+3}$

$\frac{-x^2+12x-36}{x^2-4x+3}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{12}{x}-\frac{36}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{12}{x}-\frac{36}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+12x-36}{x^2-4x+3}$ = $\frac{-1+\frac{12}{x}-\frac{36}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-{\left(x-6\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x-1}{\left(x-3\right)·\left(x-4\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-4\right)}$ = $\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-7x+12}$

$\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-7x+12}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+6x-3}{x^2-7x+12}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-3\right)·\left(x-4\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,4}x}+3$ → $\infty +3$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{-\mathrm{0,4}x}+3$ → $0+3$ → $3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $3$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $5x·e^{\mathrm{0,5}x}+2$ → $-\infty ·0+2$ → $0+2$ → $2$ $5x·e^{\mathrm{0,5}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $-\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $5x·e^{\mathrm{0,5}x}+2$ → $\infty ·\infty +2$ → $\infty +2$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $2$.