senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$; $4$}

und den Zähler:

$\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ = $\frac{-2\left(x+1\right)·\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ = $\frac{-2\left(x+1\right)·\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ = $-\frac{2\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{x-4}$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ = $-\frac{2\left(x-\mathrm{0,5}\right)}{x-4}$ → $-\frac{2\left(-1-\mathrm{0,5}\right)}{-1-4}$ = $-\frac{3}{5}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $-\frac{3}{5}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>35</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>5</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>35</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>35</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>5</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>35</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2x^2-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}$ = $\frac{-2x^2-x+1}{x^2-3x-4}$

$\frac{-2x^2-x+1}{x^2-3x-4}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-x+1}{x^2-3x-4}$ = $\frac{-2-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-2$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2x}-e^x$	=	0
$\left(e^x-1\right)e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-3}{e^{2x}-e^x}$ = $\frac{-3}{\left(e^x-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3}{\left(e^x-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3}{\left(e^x-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-5-x\right)\left(x-3\right)$	=	0
$\left(-x-5\right)\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$; $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(-5-x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(-5-x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>8</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(-5-x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{\left(-5-x\right)\left(x-3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>8</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-2x$	=	0
$x\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2x}{x^2-2x}$ = $\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $0$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -0) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{2}{x-2}$

Für x → $0$ ⇒ f(x)= $\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{2}{x-2}$ → $\frac{2}{0-2}$ = $-1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($0$| $-1$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2x}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>4</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=0 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x+0}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 0 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x+0}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1}$ → $\frac{\mathrm{<mn>0</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x+0}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x+0}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-2x-3}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ = $\frac{-3x^2+6x+9}{x^2+2x}$

$\frac{-3x^2+6x+9}{x^2+2x}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{2}{x}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+6x+9}{x^2+2x}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}+\frac{9}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3\left(x^2-2x-3\right)}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,3}x}}{x}$ → $\frac{0}{-\infty }$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{\mathrm{0,3}x}}{x}$ → $\frac{\infty }{\infty }$ → $\infty$( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$ → $\infty ·\infty -2$ → $\infty -2$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}-2$ → $\infty ·0-2$ → $0-2$ → $-2$ $4x^2·e^{-\mathrm{0,1}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-2$.