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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-283}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-283}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-283}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-283}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-29}{"-0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-29}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ → $\frac{-29}{"+0" ⋅ (+2)}$ = $\frac{-29}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{5 x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + 2 x^{2} - x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{5 x + 2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{5}{1 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$1 - x$	=	0
$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5}{1 - x}$ → $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5}{1 - x}$ → $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} - x - 6}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $3$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{x^{2} - x - 6}$ = $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+12}{(-5) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+12}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+12}{(-5) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+12}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+17}{"-0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+17}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{(x - 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+17}{"+0" ⋅ (+5)}$ = $\frac{+17}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2}$ = $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2}$ = $x + 3$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 2) \cdot (x + 3)}{x + 2}$ = $x + 3$ → $- 2 + 3$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $1$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = 3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-1|0) und N₂(1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 3 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 1) \cdot (x - 1))}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 1)}{x^{2} - 3 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 1}{(x + 0) \cdot (x - 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 1)}{(x + 0) \cdot (x - 3)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} - 3 x}$

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{3}{x})}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 2}{x^{2} - 3 x}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 1)}{(x + 0) \cdot (x - 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = -2 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-1|0) und N₂(2|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x - 2}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 1) \cdot (x - 2))}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - x - 2)}{x^{2} + x - 2}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - x - 2}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - x - 2)}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + x - 2}$

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - x - 2)}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{5}{x} + \frac{- 1}{e^{x}} + \frac{2}{x^{3}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} + \frac{- 1}{e^{x}} + \frac{2}{x^{3}}$ → $0 + \frac{- 1}{0} + 0$ → $0 - \infty + 0$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{5}{x} + \frac{- 1}{e^{x}} + \frac{2}{x^{3}}$ → $0 + \frac{- 1}{\infty} + 0$ → $0 + 0 + 0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $2 e^{- 0,1 x} - 3$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2 e^{- 0,1 x} - 3$ → $\infty - 3$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2 e^{- 0,1 x} - 3$ → $0 - 3$ → $- 3$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 3$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞