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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(- 4 + x) x$	=	0
$(x - 4) x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

also Definitionsmenge D=R\{0; $4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$ → $\frac{+3}{(-4) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$ → $\frac{+3}{(-4) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$ → $\frac{-105}{"-0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{-105}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$ → $\frac{-105}{"+0" ⋅ (+4)}$ = $\frac{-105}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{(- 4 + x) x}$ = $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 4 x}$

$\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 4 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 x + 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{4}{x})}$ = $\frac{- 3 x + 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{3} + 4 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 4 x}$ = $\frac{- 3 x + 4 + \frac{5}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{1 - \frac{4}{x}}$ → $\frac{- \infty + 4 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2}{e^{3 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{3 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{2 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{2 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2}{e^{3 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 2}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2}{(e^{2 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + x - 2}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+5}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+5}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+5}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+5}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{(x + 3) \cdot (x + 5)}{2 x + 10}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 5$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 5$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +5) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{(x + 3) \cdot (x + 5)}{2 x + 10}$ = $\frac{(x + 3) \cdot (x + 5)}{2 x + 10}$ = $\frac{1}{2} (x + 3)$

Für x → $- 5$ ⇒ f(x)= $\frac{(x + 3) \cdot (x + 5)}{2 x + 10}$ = $\frac{1}{2} (x + 3)$ → $\frac{1}{2} (- 5 + 3)$ = $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 5$ | $- 1$ )

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-2|0) und N₂(0|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 2) \cdot (x + 0))}{x^{2} - 1}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} + 2 x)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} + 2 x}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} + 2 x)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$

$\frac{- x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{2}{x})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 1 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 1 - \frac{2}{x}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 1 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} + 2 x)}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von + nach -, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x + 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = -2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x + 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x + 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{- 1}{x + 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 3 x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 3 x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- x^{2} \cdot e^{- 0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- x^{2} \cdot e^{- 0,1 x}$ → $- \infty \cdot \infty$ → $- \infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- x^{2} \cdot e^{- 0,1 x}$ → $- \infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $- \infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞