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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} - 7 x + 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<3}{⟶}$ $3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+53}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+53}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>3}{⟶}$ $3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+53}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+53}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+90}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+90}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{(x - 4) \cdot (x - 3)}$ → $\frac{+90}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+90}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{2} + 2 x + 2}{x^{2} - 7 x + 12}$ = $\frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{5 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{5}{1}$ = $5$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $5$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{e^{2 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{2 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{3}{e^{2 x} - e^{x}}$ = $\frac{3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{3}{(e^{x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2}{x^{2} - 2 x - 8}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{2}{x^{2} - 2 x - 8}$ = $\frac{2}{(x - 4) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2}{(x - 4) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2}{(x - 4) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{(-6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2}{(x - 4) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"-0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{+2}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2}{(x - 4) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{+2}{"+0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{+2}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 3) \cdot (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 3$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ = $\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ = $- \frac{2}{x + 2}$

Für x → $- 3$ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ = $- \frac{2}{x + 2}$ → $- \frac{2}{- 3 + 2}$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 3$ | $2$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-2}{(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x - 6}{(x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-2}{(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x - 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = -4 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=-4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 6 x + 8}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 1)}{x^{2} + 6 x + 8}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ = $\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$

$\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{x^{2} + 6 x + 8}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 2) \cdot (x + 4)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{- 0,1 x} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,1 x} - 1$ → $\infty - 1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,1 x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{- 0,4 x} - 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,4 x} - 1$ → $\infty - 1$ → $\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{- 0,4 x} - 1$ → $0 - 1$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞