senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)$	=	0
$\left(-x-5\right)·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$; $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>744</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>744</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>744</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>7</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>744</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-5$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>7</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>12</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{\left(-5-x\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{-x^2-3x+10}$

$\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{-x^2-3x+10}$ = $\frac{x^2·\left(-5x+5+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(-1-\frac{3}{x}+\frac{10}{x^2}\right)}$ = $\frac{-5x+5+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{3}{x}+\frac{10}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-5x^3+5x^2+2x+4}{-x^2-3x+10}$ = $\frac{-5x+5+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}}{-1-\frac{3}{x}+\frac{10}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x-3$	=	0	| $+3$
$x$	=	$3$

also Definitionsmenge D=R\{ $3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$^- ⇒ f(x)= $\frac{2x+2}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2x+2}{x-3}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>8</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $3$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+2\right)·\left(x+4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $-2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>2</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2}{\left(x+2\right)·\left(x+4\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-2x-10$	=	0	| $+10$
$-2x$	=	$10$	|:($-2$)
$x$	=	$-5$

also Definitionsmenge D=R\{ $-5$}

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-5$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +5) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{\left(x+3\right)·\left(x+5\right)}{-2x-10}$ = $\frac{\left(x+3\right)·\left(x+5\right)}{-2x-10}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)$

Für x → $-5$ ⇒ f(x)= $\frac{\left(x+3\right)·\left(x+5\right)}{-2x-10}$ = $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)$ → $-\frac{1}{2}\left(-5+3\right)$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-5$| $1$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x-1}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 1 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x-1}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1-\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x-1}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=4 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-4}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2-4\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ = $\frac{-x^2+4}{x^2-5x+4}$

$\frac{-x^2+4}{x^2-5x+4}$ = $\frac{x^2·\left(-1+\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2+4}{x^2-5x+4}$ = $\frac{-1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2-4\right)}{\left(x-1\right)·\left(x-4\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x^2}-3$ → $0-3$ → $-3$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x^2}-3$ → $0-3$ → $-3$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-3$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,2}x}}{x^2}+4$ → $\frac{\infty }{\infty }+4$ → $\infty +4$ → $\infty$ $\frac{e^{-\mathrm{0,2}x}}{x^2}$ → $\infty$: ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{-\mathrm{0,2}x}}{x^2}+4$ → $\frac{0}{\infty }+4$ → $0+4$ → $4$

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$.