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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = 4 x 2 +4x +5 x 2 -4

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ -2 ; 2 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

4 x 2 +4x +5 x 2 -4 = 4 x 2 +4x +5 ( x +2 ) · ( x -2 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -2 (von links und von rechts)

Für x   x<-2   -2 - ⇒ f(x)= 4 x 2 +4x +5 ( x +2 ) · ( x -2 ) +13 "-0" ⋅ (-4) = +13 "+0"

Für x   x>-2   -2 + ⇒ f(x)= 4 x 2 +4x +5 ( x +2 ) · ( x -2 ) +13 "+0" ⋅ (-4) = +13 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -2 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= 4 x 2 +4x +5 ( x +2 ) · ( x -2 ) +29 (+4) ⋅ "-0" = +29 "-0" -

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= 4 x 2 +4x +5 ( x +2 ) · ( x -2 ) +29 (+4) ⋅ "+0" = +29 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

4 x 2 +4x +5 x 2 -4 = x 2 · ( 4 + 4 x + 5 x 2 ) x 2 · ( 1 - 4 x 2 ) = 4 + 4 x + 5 x 2 1 - 4 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 4 x 2 +4x +5 x 2 -4 = 4 + 4 x + 5 x 2 1 - 4 x 2 4 +0+0 1 +0 = 4 1 = 4

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 4 .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -4x -5 -2 + x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

-2 + x = 0
x -2 = 0 | +2
x = 2

also Definitionsmenge D=R\{ 2 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= -4x -5 -2 + x -13 "-0"

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= -4x -5 -2 + x -13 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -5 x 2 +5x -2 x 2 -3x

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -3x = 0
x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

also Definitionsmenge D=R\{0; 3 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-5 x 2 +5x -2 x 2 -3x = -5 x 2 +5x -2 x · ( x -3 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= -5 x 2 +5x -2 x · ( x -3 ) -2 "-0" ⋅ (-3) = -2 "+0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= -5 x 2 +5x -2 x · ( x -3 ) -2 "+0" ⋅ (-3) = -2 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 3 (von links und von rechts)

Für x   x<3   3 - ⇒ f(x)= -5 x 2 +5x -2 x · ( x -3 ) -32 (+3) ⋅ "-0" = -32 "-0"

Für x   x>3   3 + ⇒ f(x)= -5 x 2 +5x -2 x · ( x -3 ) -32 (+3) ⋅ "+0" = -32 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 3 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -x +3 x 2 -1

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

also Definitionsmenge D=R\{ -1 ; 1 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-x +3 x 2 -1 = -x +3 ( x +1 ) · ( x -1 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -x +3 ( x +1 ) · ( x -1 ) +4 "-0" ⋅ (-2) = +4 "+0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -x +3 ( x +1 ) · ( x -1 ) +4 "+0" ⋅ (-2) = +4 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 1 (von links und von rechts)

Für x   x<1   1 - ⇒ f(x)= -x +3 ( x +1 ) · ( x -1 ) +2 (+2) ⋅ "-0" = +2 "-0" -

Für x   x>1   1 + ⇒ f(x)= -x +3 ( x +1 ) · ( x -1 ) +2 (+2) ⋅ "+0" = +2 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 1 mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = 3 und bei x2 = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N1(2|0) und N2(5|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=3 und x2=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x -3 ) · ( x +0 ) = ? x 2 -3x

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -2 ) · ( x -5 ) ) x 2 -3x = ?⋅ ( x 2 -7x +10 ) x 2 -3x

Jetzt testen wir x 2 -7x +10 ( x -3 ) · ( x +0 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-2( x 2 -7x +10 ) ( x -3 ) · ( x +0 ) = -2 x 2 +14x -20 x 2 -3x

-2 x 2 +14x -20 x 2 -3x = x 2 · ( -2 + 14 x - 20 x 2 ) x 2 · ( 1 - 3 x ) = -2 + 14 x - 20 x 2 1 - 3 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -2 x 2 +14x -20 x 2 -3x = -2 + 14 x - 20 x 2 1 - 3 x -2 +0+0 1 +0 = -2 1 = -2

Mit f(x)= -2( x 2 -7x +10 ) ( x -3 ) · ( x +0 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -3 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-3 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? x +3

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= 1 x +3 , passen bereits die Definitionslücke bei x = -3 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

1 x +3 = x · 1 x x · ( 1 + 3 x ) = 1 x 1 + 3 x

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= 1 x +3 = 1 x 1 + 3 x 0 1 +0 = 0 1 = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x   x<-3   -3- ⇒ f(x)= 1 x +3 +1 "-0" -

Für x   x>-3   -3+ ⇒ f(x)= 1 x +3 +1 "+0"

Mit f(x)= 1 x +3 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,2x - x 2 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,2x - x 2 0 - 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,2x - x 2 - - ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e 0,2x -2 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= e 0,2x -2 0 -2 -2

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e 0,2x -2 -2

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = -2 .