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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = - x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 )

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( 3 + x ) ( x -2 ) = 0
( x +3 ) ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +3 = 0 | -3
x1 = -3

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; 2 }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -3 (von links und von rechts)

Für x   x<-3   -3 - ⇒ f(x)= - x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 ) +13 "-0" ⋅ (-5) = +13 "+0"

Für x   x>-3   -3 + ⇒ f(x)= - x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 ) +13 "+0" ⋅ (-5) = +13 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -3 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= - x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 ) -22 (+5) ⋅ "-0" = -22 "-0"

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= - x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 ) -22 (+5) ⋅ "+0" = -22 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
- x 3 -3 x 2 -3x +4 ( 3 + x ) ( x -2 ) = - x 3 -3 x 2 -3x +4 x 2 + x -6

- x 3 -3 x 2 -3x +4 x 2 + x -6 = x 2 · ( -x -3 - 3 x + 4 x 2 ) x 2 · ( 1 + 1 x - 6 x 2 ) = -x -3 - 3 x + 4 x 2 1 + 1 x - 6 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 3 -3 x 2 -3x +4 x 2 + x -6 = -x -3 - 3 x + 4 x 2 1 + 1 x - 6 x 2 - -3 +0+0 1 +0+0 = -

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 5x +1 e -4x -1

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

e -4x -1 = 0 | +1
e -4x = 1 |ln(⋅)
-4x = 0 |:-4
x = 0 ≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 5x +1 e -4x -1 +1 "+0"

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 5x +1 e -4x -1 +1 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 2x +2 x ( x +4 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

also Definitionsmenge D=R\{ -4 ; 0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= 2x +2 x ( x +4 ) -6 (-4) ⋅ "-0" = -6 "+0" -

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= 2x +2 x ( x +4 ) -6 (-4) ⋅ "+0" = -6 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 2x +2 x ( x +4 ) +2 "-0" ⋅ (+4) = +2 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 2x +2 x ( x +4 ) +2 "+0" ⋅ (+4) = +2 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -x -1 ( x +1 ) ( x +3 )

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x +1 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; -1 }

Wir untersuchen das Verhalten für x → -1 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

-x -1 ( x +1 ) ( x +3 ) = -x -1 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 1 x +3

Für x → -1 ⇒ f(x)= -x -1 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 1 x +3 - 1 -1 +3 = - 1 2

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(-1 | - 1 2 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -3 (von links und von rechts)

Für x   x<-3   -3 - ⇒ f(x)= -x -1 ( x +1 ) ( x +3 ) +2 (-2) ⋅ "-0" = +2 "+0"

Für x   x>-3   -3 + ⇒ f(x)= -x -1 ( x +1 ) ( x +3 ) +2 (-2) ⋅ "+0" = +2 "-0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -3 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x1 = -2 und bei x2 = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und in N1(-4|0) und N2(1|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=-2 und x2=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x +2 ) · ( x +1 ) = ? x 2 +3x +2

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x +4 ) · ( x -1 ) ) x 2 +3x +2 = ?⋅ ( x 2 +3x -4 ) x 2 +3x +2

Jetzt testen wir x 2 +3x -4 ( x +2 ) · ( x +1 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-3( x 2 +3x -4 ) ( x +2 ) · ( x +1 ) = -3 x 2 -9x +12 x 2 +3x +2

-3 x 2 -9x +12 x 2 +3x +2 = x 2 · ( -3 - 9 x + 12 x 2 ) x 2 · ( 1 + 3 x + 2 x 2 ) = -3 - 9 x + 12 x 2 1 + 3 x + 2 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -3 x 2 -9x +12 x 2 +3x +2 = -3 - 9 x + 12 x 2 1 + 3 x + 2 x 2 -3 +0+0 1 +0+0 = -3 1 = -3

Mit f(x)= -3( x 2 +3x -4 ) ( x +2 ) · ( x +1 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x= -2 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=-2 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x +2 ) 2 = ? x 2 +4x +4

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +1 ) x 2 +4x +4

Jetzt testen wir x +1 ( x +2 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x +1 ( x +2 ) 2 = x +1 x 2 +4x +4

x +1 x 2 +4x +4 = x 2 · ( 1 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 + 4 x + 4 x 2 ) = 1 x + 1 x 2 1 + 4 x + 4 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x +1 x 2 +4x +4 = 1 x + 1 x 2 1 + 4 x + 4 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= -( x +1 ) ( x +2 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = - 5 x 3 +1 für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= - 5 x 3 +1 0 +1 1

Für x → ∞ ⇒ f(x)= - 5 x 3 +1 0 +1 1

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 1 .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = 2x · e 0,3x für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= 2x · e 0,3x - · 0 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen - und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= 2x · e 0,3x ·

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).