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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 1$ ; $1$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+12}{"-0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+12}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+12}{"+0" ⋅ (-2)}$ = $\frac{+12}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+6}{(+2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+6}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+6}{(+2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+6}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{(x + 1) \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} - 1}$

$\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- x + 5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- x + 5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{3} + 5 x^{2} - 2 x + 4}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- x + 5 - \frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- \infty + 5 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{x + 4}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
$x$	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x + 4}$ → $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{x + 4}$ → $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x - 5}{x^{2} + x - 2}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x - 5}{x^{2} + x - 2}$ = $\frac{x - 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-7}{(-3) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-7}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-7}{(-3) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-7}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<1}{⟶}$ $1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>1}{⟶}$ $1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x - 5}{(x - 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+3)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 2) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{1}{x + 3}$

Für x → $- 2$ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{1}{x + 3}$ → $\frac{1}{- 2 + 3}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 2$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-1}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 2}{(x + 2) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-1}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -3 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -3 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 3) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (1)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{1}{(x + 3) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, brauchen wir im Zähler auch eine quadratische Funktion, die ja aber keine Nullstelle haben darf. (z.B. x²+1). Außerdem muss der Koeffizient vor dem x² in unserem Fall -3 sein, damit die waagrechte Asymptote (nach Ausklammern und Kürzen von x²) =-3 wird. Dies funktioniert z.B. mit dem Zähler $- 3 (x^{2} + 1)$

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 3 (x^{2} + 1)}{(x + 3) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 3 - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x^{2} - 3}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{- 3 - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{- 3 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 3}{1}$ = $- 3$

Mit f(x)= $\frac{- 3 (x^{2} + 1)}{(x + 3) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 3 und bei x₂ = 6 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(2|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=3 und x₂=6 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 9 x + 18}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 2)}{x^{2} - 9 x + 18}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 2}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x - 2}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ = $\frac{x - 2}{x^{2} - 9 x + 18}$

$\frac{x - 2}{x^{2} - 9 x + 18}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x - 2}{x^{2} - 9 x + 18}$ = $\frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x} + \frac{18}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x - 2}{(x - 3) \cdot (x - 6)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ → $\infty \cdot 0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $x^{2} \cdot e^{0,1 x}$ → $\infty \cdot \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{e^{0,2 x}}{- 5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,2 x}}{- 5 x}$ → $\frac{0}{\infty}$ → 0

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{e^{0,2 x}}{- 5 x}$ → $\frac{\infty}{- \infty}$ → $- \infty$ ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞