nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = -x -5 - x 2 +16

Lösung einblenden

senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

- x 2 +16 = 0 | -16
- x 2 = -16 |: ( -1 )
x 2 = 16 | 2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

also Definitionsmenge D=R\{ -4 ; 4 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-x -5 - x 2 +16 = -x -5 - ( x +4 ) · ( x -4 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -4 (von links und von rechts)

Für x   x<-4   -4 - ⇒ f(x)= -x -5 - ( x +4 ) · ( x -4 ) -1 -1 ⋅"-0" ⋅ (-8) = -1 "-0"

Für x   x>-4   -4 + ⇒ f(x)= -x -5 - ( x +4 ) · ( x -4 ) -1 -1 ⋅"+0" ⋅ (-8) = -1 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -4 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 4 (von links und von rechts)

Für x   x<4   4 - ⇒ f(x)= -x -5 - ( x +4 ) · ( x -4 ) -9 -1 ⋅(+8) ⋅ "-0" = -9 "+0" -

Für x   x>4   4 + ⇒ f(x)= -x -5 - ( x +4 ) · ( x -4 ) -9 -1 ⋅(+8) ⋅ "+0" = -9 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 4 mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

-x -5 - x 2 +16 = x 2 · ( - 1 x - 5 x 2 ) x 2 · ( -1 + 16 x 2 ) = - 1 x - 5 x 2 -1 + 16 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= -x -5 - x 2 +16 = - 1 x - 5 x 2 -1 + 16 x 2 0+0 -1 +0 = 0 -1 = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = 2 x

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x = 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x   x<0   0 - ⇒ f(x)= 2 x +2 "-0" -

Für x   x>0   0 + ⇒ f(x)= 2 x +2 "+0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -5 x 2 -2x +5 x 2 + x -6

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

x 2 + x -6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +24 2

x1,2 = -1 ± 25 2

x1 = -1 + 25 2 = -1 +5 2 = 4 2 = 2

x2 = -1 - 25 2 = -1 -5 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -6 ) = 1 4 + 6 = 1 4 + 24 4 = 25 4

x1,2 = - 1 2 ± 25 4

x1 = - 1 2 - 5 2 = - 6 2 = -3

x2 = - 1 2 + 5 2 = 4 2 = 2

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; 2 }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

-5 x 2 -2x +5 x 2 + x -6 = -5 x 2 -2x +5 ( x -2 ) · ( x +3 )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -3 (von links und von rechts)

Für x   x<-3   -3 - ⇒ f(x)= -5 x 2 -2x +5 ( x -2 ) · ( x +3 ) -34 (-5) ⋅ "-0" = -34 "+0" -

Für x   x>-3   -3 + ⇒ f(x)= -5 x 2 -2x +5 ( x -2 ) · ( x +3 ) -34 (-5) ⋅ "+0" = -34 "-0"

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -3 mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 2 (von links und von rechts)

Für x   x<2   2 - ⇒ f(x)= -5 x 2 -2x +5 ( x -2 ) · ( x +3 ) -19 "-0" ⋅ (+5) = -19 "-0"

Für x   x>2   2 + ⇒ f(x)= -5 x 2 -2x +5 ( x -2 ) · ( x +3 ) -19 "+0" ⋅ (+5) = -19 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 2 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = -3x -9 ( x +1 ) ( x +3 )

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

( x +1 ) ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x +1 = 0 | -1
x1 = -1

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

also Definitionsmenge D=R\{ -3 ; -1 }

Wir untersuchen das Verhalten für x → -3 und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +3) erkennen, die wir dann kürzen können:

-3x -9 ( x +1 ) ( x +3 ) = -3x -9 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 3 x +1

Für x → -3 ⇒ f(x)= -3x -9 ( x +1 ) ( x +3 ) = - 3 x +1 - 3 -3 +1 = 3 2

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L(-3 | 3 2 )


Wir untersuchen nun das Verhalten für x → -1 (von links und von rechts)

Für x   x<-1   -1 - ⇒ f(x)= -3x -9 ( x +1 ) ( x +3 ) -6 "-0" ⋅ (+2) = -6 "-0"

Für x   x>-1   -1 + ⇒ f(x)= -3x -9 ( x +1 ) ( x +3 ) -6 "+0" ⋅ (+2) = -6 "+0" -

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= -1 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 1 eine senkrechte Asymptote ohne VZW (beides mal f(x) → +∞), bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-1|0) besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=1 (ohne VZW (beides mal f(x) → +∞)) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion. Da kein Vorzeichenwechsel vorliegt, muss es eine doppelte Nullstelle sein, also:

? ( x -1 ) 2 = ? x 2 -2x +1

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( x +1 ) x 2 -2x +1

Jetzt testen wir x +1 ( x -1 ) 2 auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
x +1 ( x -1 ) 2 = x +1 x 2 -2x +1

x +1 x 2 -2x +1 = x 2 · ( 1 x + 1 x 2 ) x 2 · ( 1 - 2 x + 1 x 2 ) = 1 x + 1 x 2 1 - 2 x + 1 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= x +1 x 2 -2x +1 = 1 x + 1 x 2 1 - 2 x + 1 x 2 0+0 1 +0+0 = 0 1 = 0

Mit f(x)= x +1 ( x -1 ) 2 sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x1 = -1 und bei x2 = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N1(2|0) und N2(0|0) Nullstellen besitzt.

Lösung einblenden

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x1=-1 und x2=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

? ( x +1 ) · ( x +3 ) = ? x 2 +4x +3

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

? ⋅ ( ( x -2 ) · ( x +0 ) ) x 2 +4x +3 = ?⋅ ( x 2 -2x ) x 2 +4x +3

Jetzt testen wir x 2 -2x ( x +1 ) · ( x +3 ) auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
-( x 2 -2x ) ( x +1 ) · ( x +3 ) = - x 2 +2x x 2 +4x +3

- x 2 +2x x 2 +4x +3 = x 2 · ( -1 + 2 x ) x 2 · ( 1 + 4 x + 3 x 2 ) = -1 + 2 x 1 + 4 x + 3 x 2

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= - x 2 +2x x 2 +4x +3 = -1 + 2 x 1 + 4 x + 3 x 2 -1 +0 1 +0+0 = -1 1 = -1

Mit f(x)= -( x 2 -2x ) ( x +1 ) · ( x +3 ) sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e -0,5x x für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= e -0,5x x - - ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e -0,5x x 0 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = e -0,1x -4x für x → -∞ und für x → ∞.

Lösung einblenden

Für x → -∞ ⇒ f(x)= e -0,1x -4x ( Der Exponentialterm im Zähler wächst sehr viel schneller gegen ∞ bzw. gegen 0 als der Nenner und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= e -0,1x -4x 0 - 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).