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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} + 3 x + 2}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ ; $- 1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-40}{(-1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-40}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-40}{(-1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-40}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 1$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 1}{⟶}$ $- 1$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-4}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 1}{⟶}$ $- 1$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-4}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 1$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{x^{2} \cdot (5 x + 1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}})}$ = $\frac{5 x + 1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{5 x^{3} + x^{2} + 4 x + 4}{x^{2} + 3 x + 2}$ = $\frac{5 x + 1 + \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 1 + 0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 4}{5 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$5 - x$	=	0
$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$5$

also Definitionsmenge D=R\{ $5$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<5}{⟶}$ $5$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{5 - x}$ → $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>5}{⟶}$ $5$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 4}{5 - x}$ → $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(2 - x) (x + 4)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$(2 - x) (x + 4)$	=	0
$(- x + 2) (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₁	=	$2$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 4$ ; $2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 4}{⟶}$ $- 4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(2 - x) (x + 4)}$ → $\frac{+29}{(+6) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+29}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 4}{⟶}$ $- 4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(2 - x) (x + 4)}$ → $\frac{+29}{(+6) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+29}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(2 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"+0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-1}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(2 - x) (x + 4)}$ → $\frac{-1}{"-0" ⋅ (+6)}$ = $\frac{-1}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x + 3}{x^{2} - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x$	=	0
$x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{0; $1$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x + 3}{x^{2} - x}$ = $\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{x \cdot 1}$

Für x → $1$ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$ = $\frac{- 3 \cdot}{x \cdot 1}$ → $\frac{- 3 \cdot}{1 \cdot 1}$ = $- 3$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $1$ | $- 3$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+3}{"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x + 3}{x \cdot (x - 1)}$ → $\frac{+3}{"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{+3}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x= 2 eine senkrechte Asymptote mit einem VZW von - nach +, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und keine Nullstelle besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von - nach +) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{x - 2}$

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ , passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{x \cdot \frac{1}{x}}{x \cdot (1 - \frac{2}{x})}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}}$ → $\frac{0}{1 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x $\overset{x<2}{⟶}$ $2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>2}{⟶}$ $2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ → $\frac{+1}{"+0"}$ → $\infty$

Mit f(x)= $\frac{1}{x - 2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = -2 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(1|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-2 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 2 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x - 1)}{x^{2} + 2 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x - 1}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x - 1)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} + 2 x}$

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{2}{x})}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 4 x - 2}{x^{2} + 2 x}$ = $\frac{- 2 + \frac{4}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x - 1)}^{2}}{(x + 2) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $e^{0,5 x} + 5 - \frac{5}{x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $e^{0,5 x} + 5 - \frac{5}{x}$ → $0 + 5 + 0$ → $5$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $e^{0,5 x} + 5 - \frac{5}{x}$ → $\infty + 5 + 0$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $5$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- 4 x \cdot e^{0,5 x} - 4$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- 4 x \cdot e^{0,5 x} - 4$ → $\infty \cdot 0 - 4$ → $0 - 4$ → $- 4$ $- 4 x \cdot e^{0,5 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- 4 x \cdot e^{0,5 x} - 4$ → $- \infty \cdot \infty - 4$ → $- \infty - 4$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $- 4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

waagrechte Asymptoten

Vorzeichenwechsel (VZW)

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞