senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-2$; $2$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2-2x-5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2-2x-5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>17</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-2$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $2$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2-2x-5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>25</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>25</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2-2x-5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>25</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>25</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $2$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-4x^2-2x-5}{\left(x+2\right)·\left(x-2\right)}$ = $\frac{-4x^2-2x-5}{x^2-4}$

$\frac{-4x^2-2x-5}{x^2-4}$ = $\frac{x^2·\left(-4-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x^2}\right)}$ = $\frac{-4-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-4x^2-2x-5}{x^2-4}$ = $\frac{-4-\frac{2}{x}-\frac{5}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$ → = $\frac{-4}{1}$ = $-4$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^x-1$	=	0	| $+1$
$e^x$	=	$1$	|ln(⋅)
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x-5}{e^x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x-5}{e^x-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x^2+x+20$ = 0

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $5$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{5x^2+x+2}{-x^2+x+20}$ = $\frac{5x^2+x+2}{-\left(x+4\right)·\left(x-5\right)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+x+2}{-\left(x+4\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>78</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>9</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>78</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+x+2}{-\left(x+4\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>78</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot "+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>9</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>78</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+x+2}{-\left(x+4\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>132</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>9</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>132</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{5x^2+x+2}{-\left(x+4\right)·\left(x-5\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>132</mn>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </math>\cdot (<mo>+</mo><mn>9</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>132</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^2-2x$	=	0
$x·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $2$}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x-2}{x^2-2x}$ = $\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $2$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x -2) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{1}{x}$

Für x → $2$ ⇒ f(x)= $\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$ = $\frac{1}{x}$ → $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($2$| $\frac{1}{2}$)

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x-2}{x·\left(x-2\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>2</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>2</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-3 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{\left(x+3\right)·\left(x+0\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+3\right)·\left(x+0\right)}$ = $\frac{-2x^2-4x-2}{x^2+3x}$

$\frac{-2x^2-4x-2}{x^2+3x}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{3}{x}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x-2}{x^2+3x}$ = $\frac{-2-\frac{4}{x}-\frac{2}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+3\right)·\left(x+0\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-2 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+x-6}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-\left(x^2+x-6\right)}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ = $\frac{-x^2-x+6}{x^2+2x}$

$\frac{-x^2-x+6}{x^2+2x}$ = $\frac{x^2·\left(-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{2}{x}\right)}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-x^2-x+6}{x^2+2x}$ = $\frac{-1-\frac{1}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{2}{x}}$ → = $\frac{-1}{1}$ = $-1$

Mit f(x)= $\frac{-\left(x^2+x-6\right)}{\left(x+0\right)·\left(x+2\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x^3}+2$ → $0+2$ → $2$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{3}{x^3}+2$ → $0+2$ → $2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $2$.

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-2x·e^{\mathrm{0,2}x}$ → $\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-2x·e^{\mathrm{0,2}x}$ → $-\infty ·\infty$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).