senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)$	=	0
$\left(x-5\right)·\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $1$; $5$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $5$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$5$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $5$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-1}{\left(-5+x\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-1}{x^2-6x+5}$

$\frac{-1}{x^2-6x+5}$ = $\frac{x^2·\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}$ = $\frac{-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{x^2-6x+5}$ = $\frac{-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{6}{x}+\frac{5}{x^2}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{-x}-1$	=	0	| $+1$
$e^{-x}$	=	$1$	|ln(⋅)
$-x$	=	0	|:$-1$
$x$	=	0	≈ 0

also Definitionsmenge D=R\{0}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-3x-5}{e^{-x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-3x-5}{e^{-x}-1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>5</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x-4\right)x$	=	0
$x·\left(x-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0; $4$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x+1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x+1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{(<mo>-</mo><mn>4</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$^- ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x+1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>47</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>47</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x+1}{\left(x-4\right)x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>47</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>4</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>47</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-x+1$	=	0	| $-1$
$-x$	=	$-1$	|:($-1$)
$x$	=	$1$

also Definitionsmenge D=R\{ $1$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$^- ⇒ f(x)= $\frac{x^2+2x}{-x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^2+2x}{-x+1}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>3</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $1$ mit einem VZW von + nach -

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-2\left(x^2+2x\right)}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ = $\frac{-2x^2-4x}{x^2-1}$

$\frac{-2x^2-4x}{x^2-1}$ = $\frac{x^2·\left(-2-\frac{4}{x}\right)}{x^2·\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}$ = $\frac{-2-\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-2x^2-4x}{x^2-1}$ = $\frac{-2-\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x^2}}$ → = $\frac{-2}{1}$ = $-2$

Mit f(x)= $\frac{-2\left(x^2+2x\right)}{\left(x+1\right)·\left(x-1\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

=

Jetzt testen wir $\frac{x^2-2x-8}{\left(x-1\right)·\left(x+0\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -3 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -3 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3\left(x^2-2x-8\right)}{\left(x-1\right)·\left(x+0\right)}$ = $\frac{-3x^2+6x+24}{x^2-x}$

$\frac{-3x^2+6x+24}{x^2-x}$ = $\frac{x^2·\left(-3+\frac{6}{x}+\frac{24}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{1}{x}\right)}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}+\frac{24}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2+6x+24}{x^2-x}$ = $\frac{-3+\frac{6}{x}+\frac{24}{x^2}}{1-\frac{1}{x}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3\left(x^2-2x-8\right)}{\left(x-1\right)·\left(x+0\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^2}+\frac{-3}{e^x}$ → $0+\frac{-3}{0}$ → $0-\infty$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-\frac{4}{x^2}+\frac{-3}{e^x}$ → $0+\frac{-3}{\infty }$ → $0+0$ → 0

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-2e^{\mathrm{0,4}x}-4$ → $0-4$ → $-4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-2e^{\mathrm{0,4}x}-4$ → $-\infty -4$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $-4$.