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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- x^{2} - 5 x - 6}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 2$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- x^{2} - 5 x - 6}$ = $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- (x + 3) \cdot (x + 2)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- (x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-95}{- 1⋅"-0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-95}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- (x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-95}{- 1⋅"+0" ⋅ (-1)}$ = $\frac{-95}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- (x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-25}{- 1⋅(+1) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-25}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- (x + 3) \cdot (x + 2)}$ → $\frac{-25}{- 1⋅(+1) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-25}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- x^{2} - 5 x - 6}$ = $\frac{x^{2} \cdot (4 x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}})}$ = $\frac{4 x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4 x^{3} + x^{2} - x + 1}{- x^{2} - 5 x - 6}$ = $\frac{4 x + 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{- 1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^{2}}}$ → $\frac{\infty + 1 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x + 2}{- 2 - x}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- 2 - x$	=	0
$- x - 2$	=	0	\| $+ 2$
$- x$	=	$2$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{- 2 - x}$ → $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{- 2 - x}$ → $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von - nach +

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 3 x - 2}{e^{4 x} - e^{x}}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4 x} - e^{x}$	=	0
$(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$e^{3 x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$e^{3 x}$	=	$1$	\|ln(⋅)
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0	≈ 0

2. Fall:

e^{x}

=

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 3 x - 2}{e^{4 x} - e^{x}}$ = $\frac{- 3 x - 2}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<0}{⟶}$ $0$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 2}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"-0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>0}{⟶}$ $0$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 3 x - 2}{(e^{3 x} - 1) \cdot e^{x}}$ → $\frac{-2}{"+0" ⋅ (+1)}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{2}{x + 3}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{2}{x + 3}$ → $\frac{2}{- 1 + 3}$ = $1$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $1$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-4}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-4}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{2 x + 2}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-4}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-4}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = 0 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=0 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{?}{x^{2} + x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 4)}{x^{2} + x}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -2 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -2. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 {(x + 4)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ = $\frac{- 2 x^{2} - 16 x - 32}{x^{2} + x}$

$\frac{- 2 x^{2} - 16 x - 32}{x^{2} + x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 - \frac{16}{x} - \frac{32}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{1}{x})}$ = $\frac{- 2 - \frac{16}{x} - \frac{32}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} - 16 x - 32}{x^{2} + x}$ = $\frac{- 2 - \frac{16}{x} - \frac{32}{x^{2}}}{1 + \frac{1}{x}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 {(x + 4)}^{2}}{(x + 1) \cdot (x + 0)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 1 und bei x₂ = -1 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -2 eine waagrechte Asymptote und in N₁(2|0) und N₂(4|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=-1 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{?}{x^{2} - 1}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x - 2) \cdot (x - 4))}{x^{2} - 1}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - 6 x + 8)}{x^{2} - 1}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - 6 x + 8}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -2 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -2 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- 2 (x^{2} - 6 x + 8)}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 12 x - 16}{x^{2} - 1}$

$\frac{- 2 x^{2} + 12 x - 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{12}{x} - \frac{16}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{12}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 12 x - 16}{x^{2} - 1}$ = $\frac{- 2 + \frac{12}{x} - \frac{16}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 2}{1}$ = $- 2$

Mit f(x)= $\frac{- 2 (x^{2} - 6 x + 8)}{(x - 1) \cdot (x + 1)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $\frac{3}{x^{3}} - 1 - \frac{1}{x^{3}}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^{3}} - 1 - \frac{1}{x^{3}}$ → $0 - 1 + 0$ → $- 1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $\frac{3}{x^{3}} - 1 - \frac{1}{x^{3}}$ → $0 - 1 + 0$ → $- 1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $- 1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 + 3 e^{0,5 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4 + 3 e^{0,5 x}$ → $4 + 0$ → $4$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4 + 3 e^{0,5 x}$ → $4 + \infty$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞