senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$\left(x+4\right)·\left(x+3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{ $-4$; $-3$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-4$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{\left(x+4\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>268</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>268</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-4$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{\left(x+4\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>268</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>-</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>268</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-4$ mit einem VZW von - nach +

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-3$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$^- ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{\left(x+4\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>115</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "-0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>115</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-3$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{\left(x+4\right)·\left(x+3\right)}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>115</mn>}}{\mathrm{(<mo>+</mo><mn>1</mn>)\; \cdot \; "+0"}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>115</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-3$ mit einem VZW von + nach -

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{4x^3-x^2-2x-4}{\left(x+4\right)·\left(x+3\right)}$ = $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{x^2+7x+12}$

$\frac{4x^3-x^2-2x-4}{x^2+7x+12}$ = $\frac{x^2·\left(4x-1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}\right)}{x^2·\left(1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}\right)}$ = $\frac{4x-1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{4x^3-x^2-2x-4}{x^2+7x+12}$ = $\frac{4x-1-\frac{2}{x}-\frac{4}{x^2}}{1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}$ → = $\infty$

Die Funktion besitzt folglich keine waagrechte Asymptote.

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$-1-x$	=	0
$-x-1$	=	0	| $+1$
$-x$	=	$1$	|:($-1$)
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $-1$ (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$^- ⇒ f(x)= $\frac{-1}{-1-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$-1$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-1}{-1-x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $-1$ mit einem VZW von - nach +

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$e^{4x}-e^x$	=	0
$\left(e^{3x}-1\right)·e^x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

also Definitionsmenge D=R\{0}

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{-5x-1}{e^{4x}-e^x}$ = $\frac{-5x-1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → 0 (von links und von rechts)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$^- ⇒ f(x)= $\frac{-5x-1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>} }{⟶}}$$0$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{-5x-1}{\left(e^{3x}-1\right)·e^x}$ → $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"\; \cdot \; (<mo>+</mo><mn>1</mn>)}}$ = $\frac{\mathrm{<mo>-</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= 0 mit einem VZW von + nach -

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$2x+2$	=	0	| $-2$
$2x$	=	$-2$	|:$2$
$x$	=	$-1$

also Definitionsmenge D=R\{ $-1$}

und den Zähler:

$\frac{x^2+x}{2x+2}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{2x+2}$

Wir untersuchen das Verhalten für x → $-1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x^2+x}{2x+2}$ = $\frac{x·\left(x+1\right)}{2x+2}$ = $\frac{1}{2}x$

Für x → $-1$ ⇒ f(x)= $\frac{x^2+x}{2x+2}$ = $\frac{1}{2}x$ → $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $-\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L($-1$| $-\frac{1}{2}$)

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptote bei x=2 (mit einem VZW von + nach -) muss der entsprechende Linearterm in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

Wenn wir den Zähler auf 1 setzen, also f(x)= $\frac{1}{x-2}$, passen bereits die Definitionslücke bei x = 2 und die fehlenden Nullstellen. Auch die waagrechte Asymptote bei y=0 passt:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{1}{x-2}$ = $\frac{x·\frac{1}{x}}{x·\left(1-\frac{2}{x}\right)}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ = $\frac{\frac{1}{x}}{1-\frac{2}{x}}$ → = $\frac{0}{1}$ = 0

Vorzeichenwechsel (VZW)

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x<<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$2$^- ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"-0"}}$ → $-\infty$

Für x${\displaystyle \stackrel{ \text{x><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>} }{⟶}}$$2$⁺ ⇒ f(x)= $\frac{1}{x-2}$ → $\frac{\mathrm{<mo>+</mo><mn>1</mn>}}{\mathrm{"+0"}}$ → $\infty$

Wir haben also den falschen VZW. Wenn wir aber den Zähler mit -1 multiplizieren, bekommen wir gerade das entgegengesetzte Verhalten in der Nähe der Definitionslücke.

Mit f(x)= $\frac{-1}{x-2}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=1 und x₂=3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

=

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

Jetzt testen wir $\frac{x+1}{\left(x-1\right)·\left(x-3\right)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Da im Nenner eine quadratische Funktion ist, im Zähler auch nur eine lineare Funktion, muss die Funktion für x → ∞ gegen 0 laufen. Um diesen Grenzwert aber auf -3 zu bringen, quadrieren wir einfach den Linearterm des Zählers und geben im als Koeffizient -3. Jetzt stimmt auch die waagrechte Asympzote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{-3{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-1\right)·\left(x-3\right)}$ = $\frac{-3x^2-6x-3}{x^2-4x+3}$

$\frac{-3x^2-6x-3}{x^2-4x+3}$ = $\frac{x^2·\left(-3-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}\right)}{x^2·\left(1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}$ = $\frac{-3-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{-3x^2-6x-3}{x^2-4x+3}$ = $\frac{-3-\frac{6}{x}-\frac{3}{x^2}}{1-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}$ → = $\frac{-3}{1}$ = $-3$

Mit f(x)= $\frac{-3{\left(x+1\right)}^2}{\left(x-1\right)·\left(x-3\right)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $-5x·e^{\mathrm{0,2}x}$ → $\infty ·0$ → 0( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $-5x·e^{\mathrm{0,2}x}$ → $-\infty ·\infty$ → $-\infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = 0 (x-Achse).

Für x → -∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{-\mathrm{0,1}x}+4$ → $-\infty ·\infty +4$ → $-\infty +4$ → $-\infty$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $2x·e^{-\mathrm{0,1}x}+4$ → $\infty ·0+4$ → $0+4$ → $4$ $2x·e^{-\mathrm{0,1}x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Die Funktion besitzt folglich auf der rechten Seite (für x → ∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$.