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alle Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) und waagrechten Asymptoten vom Graphen der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- x^{2} + x + 12}$

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senkrechte Asymptoten

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- x^{2} + x + 12}$ = $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- (x + 3) \cdot (x - 4)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- (x + 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-30}{- 1⋅"-0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-30}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- (x + 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-30}{- 1⋅"+0" ⋅ (-7)}$ = $\frac{-30}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- (x + 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-23}{- 1⋅(+7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-23}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- (x + 3) \cdot (x - 4)}$ → $\frac{-23}{- 1⋅(+7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-23}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

$\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- x^{2} + x + 12}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}})}$ = $\frac{- 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- 2 x^{2} + 3 x - 3}{- x^{2} + x + 12}$ = $\frac{- 2 + \frac{3}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}}$ → $\frac{- 2 + 0 + 0}{- 1 + 0 + 0}$ = $\frac{- 2}{- 1}$ = $2$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $2$ .

senkrechte Asymptote (einfach)

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{- 5}{x + 2}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
$x$	=	$- 2$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 2$ }

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 2$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 2}{⟶}$ $- 2$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{x + 2}$ → $\frac{-5}{"-0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 2}{⟶}$ $- 2$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{- 5}{x + 2}$ → $\frac{-5}{"+0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 2$ mit einem VZW von + nach -

senkrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} - x - 12}$

Lösung einblenden

Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $4$ }

Um den Term besser auf Asymptoten untersuchen zu können, faktorisieren wir den Nenner:

$\frac{x^{2} - x - 1}{x^{2} - x - 12}$ = $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+11}{(-7) ⋅ "-0"}$ = $\frac{+11}{"+0"}$ → $\infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+11}{(-7) ⋅ "+0"}$ = $\frac{+11}{"-0"}$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von + nach -

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $4$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<4}{⟶}$ $4$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+11}{"-0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+11}{"-0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>4}{⟶}$ $4$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x^{2} - x - 1}{(x - 4) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{+11}{"+0" ⋅ (+7)}$ = $\frac{+11}{"+0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $4$ mit einem VZW von - nach +

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Beispiel:

Bestimme alle senkrechten Asymptoten (mit VZW) von der Funktion f mit f(x) = $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$

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Zuerst untersucht man die Funktion auf Definitionslücken, also in unserem Fall, ob der Nenner =0 werden kann.

(x + 1) \cdot (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

also Definitionsmenge D=R\{ $- 3$ ; $- 1$ }

Wir untersuchen das Verhalten für x → $- 1$ und erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner =0 werden.

Wir müssten also sowohl im Zähler als auch im Nenner einen Faktor (x +1) erkennen, die wir dann kürzen können:

$\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{1}{x + 3}$

Für x → $- 1$ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{1}{x + 3}$ → $\frac{1}{- 1 + 3}$ = $\frac{1}{2}$

Die Funktion besitzt folglich eine hebbare Definitionslücke (Loch) L( $- 1$ | $\frac{1}{2}$ )

Wir untersuchen nun das Verhalten für x → $- 3$ (von links und von rechts)

Für x $\overset{x<- 3}{⟶}$ $- 3$ ^- ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-2}{(-2) ⋅ "-0"}$ = $\frac{-2}{"+0"}$ → $- \infty$

Für x $\overset{x>- 3}{⟶}$ $- 3$ ⁺ ⇒ f(x)= $\frac{x + 1}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ → $\frac{-2}{(-2) ⋅ "+0"}$ = $\frac{-2}{"-0"}$ → $\infty$

Die Funktion besitzt folglich eine senkrechte Asymptote bei x= $- 3$ mit einem VZW von - nach +

Term mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm dessen Graph bei x₁ = -1 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = 0 eine waagrechte Asymptote und eine Nullstelle in N(-4|0) besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=-1 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 4 x + 3}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ (x + 4)}{x^{2} + 4 x + 3}$

Jetzt testen wir $\frac{x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$

$\frac{x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{x^{2} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}})}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{x + 4}{x^{2} + 4 x + 3}$ = $\frac{\frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^{2}}}$ → $\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$ = $\frac{0}{1}$ = 0

Mit f(x)= $\frac{x + 4}{(x + 1) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Beispiel:

Bestimme einen Funktionsterm (als Bruchterm) dessen Graph bei x₁ = 0 und bei x₂ = -3 jeweils eine senkrechte Asymptote, bei y = -1 eine waagrechte Asymptote und in N₁(-2|0) und N₂(3|0) Nullstellen besitzt.

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Zuerst der Nenner

Aufgrund der senkrechten Asymptoten bei x₁=0 und x₂=-3 müssen die entsprechenden Linearterme in den Nenner unserer gesuchten Funktion, also:

$\frac{?}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{?}{x^{2} + 3 x}$

Nullstellen in den Zähler

Im Zähler müssen auf jeden Fall mal die Nullstellen berücksichtigt werden, also

$\frac{? ⋅ ((x + 2) \cdot (x - 3))}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{?⋅ (x^{2} - x - 6)}{x^{2} + 3 x}$

Jetzt testen wir $\frac{x^{2} - x - 6}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ auf die waagrechte Asymptote:

Um die waagrechte Asymptote von 1 auf -1 zu bringen multiplizieren wir einfach den Zähler mit -1 und erhalten so:

waagrechte Asymptoten

Um die waagrechte Asymtote zu ermitteln, wird in Zähler und Nenner die höchste x-Potenz des Nenners ausgeklammert:

Vorher sollte man allerdings noch ausmultiplizien.
$\frac{- (x^{2} - x - 6)}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ = $\frac{- x^{2} + x + 6}{x^{2} + 3 x}$

$\frac{- x^{2} + x + 6}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{x^{2} \cdot (- 1 + \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}})}{x^{2} \cdot (1 + \frac{3}{x})}$ = $\frac{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}$

So können wir einfach das Verhalten für x→ ±∞ untersuchen:

Für x → ±∞ ⇒ f(x)= $\frac{- x^{2} + x + 6}{x^{2} + 3 x}$ = $\frac{- 1 + \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x}}$ → $\frac{- 1 + 0 + 0}{1 + 0}$ = $\frac{- 1}{1}$ = $- 1$

Mit f(x)= $\frac{- (x^{2} - x - 6)}{(x + 0) \cdot (x + 3)}$ sind also alle Bedingungen erfüllt

waagrechte Asymptoten

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $- \frac{1}{x^{3}} + 1$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{3}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $- \frac{1}{x^{3}} + 1$ → $0 + 1$ → $1$

Die Funktion besitzt folglich eine waagrechte Asymptote bei y = $1$ .

e-Fkt'n Verhalten → ∞

Beispiel:

Bestimme das Verhalten der Funktion f mit f(x) = $4 - 5 x \cdot e^{0,1 x}$ für x → -∞ und für x → ∞.

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Für x → -∞ ⇒ f(x)= $4 - 5 x \cdot e^{0,1 x}$ → $4 + \infty \cdot 0$ → $4 + 0$ → $4$ $- 5 x \cdot e^{0,1 x}$ → 0: ( Der Exponentialterm im zweiten Faktor wächst sehr viel schneller gegen 0 als der erste Faktor gegen $\infty$ und setzt sich deswegen durch)

Für x → ∞ ⇒ f(x)= $4 - 5 x \cdot e^{0,1 x}$ → $4 - \infty \cdot \infty$ → $4 - \infty$ → $- \infty$

Die Funktion besitzt folglich auf der linken Seite (für x → -∞) eine waagrechte Asymptote bei y = $4$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

alle Asymptoten bestimmen

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

waagrechte Asymptoten

senkrechte Asymptote (einfach)

senkrechte Asymptoten

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Polstellen und hebbare Def.-Lücken

Term mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

Bruchterm mit Asymptoten bestimmen

Zuerst der Nenner

Nullstellen in den Zähler

waagrechte Asymptoten

waagrechte Asymptoten

e-Fkt'n Verhalten → ∞