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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB. Es gilt somit:
δ +90° + 27° = 180°, oder δ = 90° - 27° =63° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+27) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+27) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-63°=117°
also α = 117° : 2 = 58.5°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=58.5°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 58.5° + 58.5° + β = 180°, also β = 180° - 117° =63° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=63° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 63° = 180°, oder φ = 90° - 63°,somit
φ=27°.