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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 23° an einer Seite, also gilt
β +90° + 23° = 180°, oder β = 90° - 23° =67° .

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α + β = 2⋅α + 67°=180°, also 2⋅α = 113° , somit α = 56.5°.

Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 56.5° + 90° + ε = 180° oder ε = 90° - 56.5° = 33.5°

Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ), also 56.5° = 33.5°+φ, oder φ=56.5° -33.5°.

φ = 23°