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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 2

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Der Winkel β liegt mit dem rechten Winkel und 24° an einer Seite, also gilt
β +90° + 24° = 180°, oder β = 90° - 24° =66° .

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, es gilt also:
α + γ + β = 2⋅α + β = 2⋅α + 66°=180°, also 2⋅α = 114° , somit α = 57°.

Wegen des Thaleskreises muss der Winkel in D (γ+δ)=90° sein. Also gilt:
α + 90° + ε = 180°, also 57° + 90° + ε = 180° oder ε = 90° - 57° = 33°

Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+φ) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α = (ε+φ), also 57° = 33°+φ, oder φ=57° -33°.

φ = 24°