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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite CA. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DA im rechten Winkel zur Strecke CB. Es gilt somit:
δ +90° + 32° = 180°, oder δ = 90° - 32° =58° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf B genau in der Mitte auf CA trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+32) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+32) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-58°=122°
also α = 122° : 2 = 61°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MC gleich lang sind, also ist MDC ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=61°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 61° + 61° + β = 180°, also β = 180° - 122° =58° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=58° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 58° = 180°, oder φ = 90° - 58°,somit
φ=32°.