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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite AB. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DB im rechten Winkel zur Strecke AC. Es gilt somit:
δ +90° + 28° = 180°, oder δ = 90° - 28° =62° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf C genau in der Mitte auf AB trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+28) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+28) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-62°=118°
also α = 118° : 2 = 59°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MA gleich lang sind, also ist MDA ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=59°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 59° + 59° + β = 180°, also β = 180° - 118° =62° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=62° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 62° = 180°, oder φ = 90° - 62°,somit
φ=28°.