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Thaleskreis + gleichschenkl. Dreieck 3

Beispiel:

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M liegt genau in der Mitte der Dreiecksseite BC. Bestimme die fehlende Winkelweite φ.

Lösung einblenden

Da der Punkt D auf dem Thaleskreis liegt, steht die Strecke DC im rechten Winkel zur Strecke BA. Es gilt somit:
δ +90° + 36° = 180°, oder δ = 90° - 36° =54° (δ ist der gesamte Winkel in C).

Weil die Höhe auf A genau in der Mitte auf BC trifft, ist das große Dreieck ABC symmetrisch und somit gleichschenklig. Das bedeutet, dass α und (ε+36) gleich groß sein müssen.
Es gilt somit: α + (ε+36) + δ=180°, also 2⋅α +δ=180°, oder 2⋅α =180°-δ =180°-54°=126°
also α = 126° : 2 = 63°.

Am blauen Thaleskreis erkennt man, dass die Strecken MD und MB gleich lang sind, also ist MDB ein gleichschenkliges Dreieck und somit sind α und γ gleich groß, also ist auch γ=63°
Wegen des Dreieckswinkelsummensatzes gilt dann α + γ + β = 63° + 63° + β = 180°, also β = 180° - 126° =54° .

Der Winkel φ liegt mit dem rechten Winkel im M und β=54° an einer Seite, also gilt
φ +90° + 54° = 180°, oder φ = 90° - 54°,somit
φ=36°.