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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1110)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8= 14

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110)2 = 14

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 51 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 51 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

51 = 32 + 19
= 32 + 16 + 3
= 32 + 16 + 2 + 1

= 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 51 = (11.0011)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

              (1.0010.1011)2
             + ( 1001.0010)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

              (1.0010.1011)2
             + ( 1001.0010)2
                       1 
              (1 1011 1101)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.1100)2 = 124.

Bestimme -124 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.1100)2
zu (1000.0011)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.0011)2
             + ( 0000.0001)2
                       11
               ( 1000 0100)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0110.1010)2
             - ( 0011.0101)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.0101)2
zu (1100.1010)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1100.1010)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1100 1011)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1010)2 und -b = (1100.1011)2 addieren:

               ( 0110.1010)2
             + ( 1100.1011)2
               1 1  1  1 
              (1 0011 0101)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0101)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(100.1010)2 ⋅ (100.1110)2 =

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Der zweite Faktor (100.1110)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                       (10)2
                      (100)2
                    ( 1000)2
              +  (100.0000)2
                 (100 1110)2

somit gilt:

(100.1010)2 ⋅ (100.1110)2 = 100.1010 ⋅ (100.0000 + 1000 + 100 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(100.1010)2 ⋅ (100.1110)2 = (1.0010.1000.0000)2 + (10.0101.0000)2 + (1.0010.1000)2 + (1001.0100)2

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

               ( 1001.0100)2
            + (1.0010.1000)2
                         
              (1 1011 1100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

              (1.1011.1100)2
          +  (10.0101.0000)2
             111 111     
            (100 0000 1100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

            (100.0000.1100)2
       + (1.0010.1000.0000)2
                         
         (1 0110 1000 1100)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0110.1000.1100)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 74 ⋅ 78 = 5772)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.1011)2 : (1101)2 =

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1011011 : 1101 = 111        
- 1101                       
10011                      
- 1101                      
01101                     
- 1101                     
0000                     
  • Die obige Differenz (10110)2 - (1101)2 = (1001)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 22 - 13 = 9
  • Die obige Differenz (10011)2 - (1101)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 19 - 13 = 6
  • Die obige Differenz (01101)2 - (1101)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 13 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 91 : 13 = 7)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 57 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 57 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

57 = 32 + 25
= 32 + 16 + 9
= 32 + 16 + 8 + 1

= 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 57 = (11.1001)2

Um die Zahl 57 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 57 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(11)2 = 1⋅2 + 1⋅1 = 3 = (3)16

(1001)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (11.1001)2 = (39)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.0110)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 38

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.0110)2 = 38

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(0110)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.0110)2 = (26)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (8F)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(8)16 = 8 = 8 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1000)2

(F)16 = 15 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1111)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (8F)16 = (1000.1111)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1000.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 143

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.1111)2 = 143

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 267 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 267 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

267 = 256 + 11
= 256 + 8 + 3
= 256 + 8 + 2 + 1

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 267 = (1.0000.1011)2

Um die Zahl 267 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 267 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0000.1011)2 = (10B)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 24 an:

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Wir suchen alle Teiler von 24. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 24 ist, teilen wir 24 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 24 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 24, denn 24 = 1 ⋅ 24, also ist auch 24 ein Teiler.

2 ist Teiler von 24, denn 24 = 2 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

3 ist Teiler von 24, denn 24 = 3 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

4 ist Teiler von 24, denn 24 = 4 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5 = 25 > 24, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 24:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 73⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 3⬜.

Bei den 30er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 32, 36 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 732, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 736, für die Quersumme gilt dann: 7 + 3 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 28 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 28 bilden:

2 + 26 = 28, dabei ist 26 aber keine Primzahl

3 + 25 = 28, dabei ist 25 aber keine Primzahl

5 + 23 = 28, dabei ist 23 auch eine Primzahl

5 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 23 = 28

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 112 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 112 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

112
= 2 ⋅ 56
= 2 ⋅ 2 ⋅ 28
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und 54.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

24
= 2 ⋅ 12
= 2 ⋅ 2 ⋅ 6
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3

54
= 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 24 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 54 insgesamt 3 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 216 sind nun alle Primteiler von 24 und alle Primteiler von 54 enthalten. Also ist 216 ein Vielfaches von 24 und 54. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 24 oder 54 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und 54 ist somit :
kgV(24,54) = 216

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 70 und 120.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

70
= 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 5 ⋅ 7

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 70 als auch 120 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 70 als auch 120 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 5 = 10 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 10 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 70 und 120 ist somit :
ggT(70,120) = 10

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 66 und 69.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 66 und 69

=>66 = 0⋅69 + 66
=>69 = 1⋅66 + 3
=>66 = 22⋅3 + 0

also gilt: ggt(66,69)=3