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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.1001)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 41

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1001)2 = 41

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 156 im Binärsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 156 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

156 = 128 + 28
= 128 + 16 + 12
= 128 + 16 + 8 + 4

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 156 = (1001.1100)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1011.1101)2
             + ( 1110.1011)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1011.1101)2
             + ( 1110.1011)2
               1 1111 111
              (1 1010 1000)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0101.1011)2 = 91.

Bestimme -91 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1011)2
zu (1010.0100)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1010.0100)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1010 0101)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0111.1001)2
             - ( 0011.0111)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.0111)2
zu (1100.1000)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1100.1000)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1100 1001)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.1001)2 und -b = (1100.1001)2 addieren:

               ( 0111.1001)2
             + ( 1100.1001)2
               1 1111   1
              (1 0100 0010)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.0010)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(110.1111)2 ⋅ (11)2 =

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Der zweite Faktor (11)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
                    +  (10)2
                       (11)2

somit gilt:

(110.1111)2 ⋅ (11)2 = 110.1111 ⋅ (10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1111)2 ⋅ (11)2 = (1101.1110)2 + (110.1111)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (110.1111)2
             + ( 1101.1110)2
               1 1111 11 
              (1 0100 1101)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0100.1101)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 111 ⋅ 3 = 333)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1.0010.1001)2 : (1011)2 =

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100101001 : 1011 = 11011    
- 1011                       
01111                      
- 1011                      
01000                     
- 0000                     
10000                    
- 1011                    
01011                   
- 1011                   
0000                   
  • Die obige Differenz (10010)2 - (1011)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 18 - 11 = 7
  • Die obige Differenz (01111)2 - (1011)2 = (100)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 11 = 4
  • Die obige Differenz (10000)2 - (1011)2 = (101)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 16 - 11 = 5
  • Die obige Differenz (01011)2 - (1011)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 11 - 11 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 297 : 11 = 27)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 225 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 225 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

225 = 128 + 97
= 128 + 64 + 33
= 128 + 64 + 32 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 225 = (1110.0001)2

Um die Zahl 225 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 225 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16

(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.0001)2 = (E1)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1000.0100)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1000.0100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 132

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1000.0100)2 = 132

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16

(0100)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1000.0100)2 = (84)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (71)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)2

(1)16 = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (71)16 = (111.0001)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 113

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0001)2 = 113

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.0110)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 38

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.0110)2 = 38

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(0110)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.0110)2 = (26)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Bestimme alle Teiler von 28 an:

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Wir suchen alle Teiler von 28. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 28 ist, teilen wir 28 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 28 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 28, denn 28 = 1 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

2 ist Teiler von 28, denn 28 = 2 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 3 ⋅ 9 + 1.

4 ist Teiler von 28, denn 28 = 4 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 28, denn 28 = 5 ⋅ 5 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 6 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 6 ⋅ 6 = 36 > 28, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 28:
1, 2, 4, 7, 14, 28

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 80⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 0⬜.

Bei den 00er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 00, 04, 08 durch 4 teilbar sind.

Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 800, für die Quersumme gilt dann: 8 + 0 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 804, für die Quersumme gilt dann: 8 + 0 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 808, für die Quersumme gilt dann: 8 + 0 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 18 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 18 bilden:

2 + 16 = 18, dabei ist 16 aber keine Primzahl

3 + 15 = 18, dabei ist 15 aber keine Primzahl

5 + 13 = 18, dabei ist 13 auch eine Primzahl

5 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 13 = 18

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 105 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 105 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

105
= 3 ⋅ 35
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 22 und 72.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

22
= 2 ⋅ 11

72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 72 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 72 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11(die 11 kommt in 22 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 11 = 792 sind nun alle Primteiler von 22 und alle Primteiler von 72 enthalten. Also ist 792 ein Vielfaches von 22 und 72. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 22 oder 72 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 22 und 72 ist somit :
kgV(22,72) = 792

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 180 und 77.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

180
= 2 ⋅ 90
= 2 ⋅ 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

77
= 7 ⋅ 11

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

Da kein einziger Primfaktor sowohl in 180 als auch in 77 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 180 und 77 ist somit :
ggT(180,77) = 1

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 234 und 96.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 234 und 96

=>234 = 2⋅96 + 42
=>96 = 2⋅42 + 12
=>42 = 3⋅12 + 6
=>12 = 2⋅6 + 0

also gilt: ggt(234,96)=6