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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (101.1010)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(101.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 90

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101.1010)2 = 90

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 265 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 265 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

265 = 256 + 9
= 256 + 8 + 1

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 265 = (1.0000.1001)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

                 (111.1110)2
             + ( 1101.1011)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

                 (111.1110)2
             + ( 1101.1011)2
               1 1111 11 
              (1 0101 1001)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.0101)2 = 101.

Bestimme -101 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.0101)2
zu (1001.1010)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1001.1010)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1001 1011)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.1010)2
             - ( 0011.1111)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.1111)2
zu (1100.0000)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1100.0000)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1100 0001)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.1010)2 und -b = (1100.0001)2 addieren:

               ( 0101.1010)2
             + ( 1100.0001)2
               1 1       
              (1 0001 1011)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.1011)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.0000)2 ⋅ (1.0011)2 =

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Der zweite Faktor (1.0011)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
                       (10)2
                 + (1.0000)2
                   (1 0011)2

somit gilt:

(101.0000)2 ⋅ (1.0011)2 = 101.0000 ⋅ (1.0000 + 10 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0000)2 ⋅ (1.0011)2 = (101.0000.0000)2 + (1010.0000)2 + (101.0000)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (101.0000)2
             + ( 1010.0000)2
                         
               ( 1111 0000)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

               ( 1111.0000)2
         +  (101.0000.0000)2
                         
            (101 1111 0000)2

Das Ergebnis ist somit: (101.1111.0000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 80 ⋅ 19 = 1520)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1000.1100)2 : (111)2 =

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10001100 : 111 = 10100      
- 111                        
0011                       
- 000                       
0111                      
- 111                      
0000                     
- 000                     
0000                    
- 000                    
000                    
  • Die obige Differenz (1000)2 - (111)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 7 = 1
  • Die obige Differenz (0111)2 - (111)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 7 - 7 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 140 : 7 = 20)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 118 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 118 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

118 = 64 + 54
= 64 + 32 + 22
= 64 + 32 + 16 + 6
= 64 + 32 + 16 + 4 + 2

= 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 118 = (111.0110)2

Um die Zahl 118 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 118 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(111)2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16

(0110)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (111.0110)2 = (76)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1011.0001)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 177

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.0001)2 = 177

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.0001)2 = (B1)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (CC)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(C)16 = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)2

(C)16 = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (CC)16 = (1100.1100)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 204

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1100)2 = 204

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1110.1111)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1110.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 239

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1110.1111)2 = 239

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1110)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 14 = (E)16

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1110.1111)2 = (EF)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 20 an:

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Wir suchen alle Teiler von 20. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 20 ist, teilen wir 20 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 20 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 20, denn 20 = 1 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.

2 ist Teiler von 20, denn 20 = 2 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 20, denn 20 = 3 ⋅ 6 + 2.

4 ist Teiler von 20, denn 20 = 4 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 5 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 20:
1, 2, 4, 5, 10, 20

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 17⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 1712, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 1 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 1732, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 3 + 2 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 1752, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 5 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 1772, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 7 + 2 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 1792, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 9 + 2 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 5.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 13 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 13 bilden:

2 + 11 = 13, dabei ist 11 auch eine Primzahl

2 und 11 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 11 = 13

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 44 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 44 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

44
= 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 11

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 50.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 50 insgesamt 2 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 200 sind nun alle Primteiler von 40 und alle Primteiler von 50 enthalten. Also ist 200 ein Vielfaches von 40 und 50. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 40 oder 50 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 40 und 50 ist somit :
kgV(40,50) = 200

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 50 und 81.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

81
= 3 ⋅ 27
= 3 ⋅ 3 ⋅ 9
= 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

Da kein einziger Primfaktor sowohl in 50 als auch in 81 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 50 und 81 ist somit :
ggT(50,81) = 1

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 344 und 68.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 344 und 68

=>344 = 5⋅68 + 4
=>68 = 17⋅4 + 0

also gilt: ggt(344,68)=4