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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.0001.0101)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0001.0101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 277

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0001.0101)2 = 277

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 135 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 135 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

135 = 128 + 7
= 128 + 4 + 3
= 128 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 135 = (1000.0111)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1110.1001)2
             + ( 1000.0100)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1110.1001)2
             + ( 1000.0100)2
               1         
              (1 0110 1101)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1110)2 = 110.

Bestimme -110 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1110)2
zu (1001.0001)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1001.0001)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1001 0010)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0100.0101)2
             - ( 0001.0000)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0000)2
zu (1110.1111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1110.1111)2
             + ( 0000.0001)2
                    1 111
               ( 1111 0000)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.0101)2 und -b = (1111.0000)2 addieren:

               ( 0100.0101)2
             + ( 1111.0000)2
               1 1       
              (1 0011 0101)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0101)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.0011)2 ⋅ (1001.0010)2 =

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Der zweite Faktor (1001.0010)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                       (10)2
                   (1.0000)2
             + ( 1000.0000)2
               ( 1001 0010)2

somit gilt:

(101.0011)2 ⋅ (1001.0010)2 = 101.0011 ⋅ (1000.0000 + 1.0000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.0011)2 ⋅ (1001.0010)2 = (10.1001.1000.0000)2 + (101.0011.0000)2 + (1010.0110)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

               ( 1010.0110)2
         +  (101.0011.0000)2
                  1      
            (101 1101 0110)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

            (101.1101.0110)2
     +  (10.1001.1000.0000)2
              11         
        (10 1111 0101 0110)2

Das Ergebnis ist somit: (10.1111.0101.0110)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 83 ⋅ 146 = 12118)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(100.1101)2 : (111)2 =

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1001101 : 111 = 1011        
- 111                        
0101                       
- 000                       
1010                      
- 111                      
0111                     
- 111                     
000                     
  • Die obige Differenz (1001)2 - (111)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 9 - 7 = 2
  • Die obige Differenz (1010)2 - (111)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 10 - 7 = 3
  • Die obige Differenz (0111)2 - (111)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 7 - 7 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 77 : 7 = 11)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 22 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 22 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

22 = 16 + 6
= 16 + 4 + 2

= 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 22 = (1.0110)2

Um die Zahl 22 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 22 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0110)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0110)2 = (16)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.1000)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 40

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1000)2 = 40

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.1000)2 = (28)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (10B)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2

(0)16 = 0 = 0 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0000)2

(B)16 = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (10B)16 = (1.0000.1011)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0000.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 267

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0000.1011)2 = 267

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (79)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)2

(9)16 = 9 = 8 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1001)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (79)16 = (111.1001)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 121

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1001)2 = 121

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 66 an:

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Wir suchen alle Teiler von 66. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 66 ist, teilen wir 66 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 66 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 66, denn 66 = 1 ⋅ 66, also ist auch 66 ein Teiler.

2 ist Teiler von 66, denn 66 = 2 ⋅ 33, also ist auch 33 ein Teiler.

3 ist Teiler von 66, denn 66 = 3 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 4 ⋅ 16 + 2.

5 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 5 ⋅ 13 + 1.

6 ist Teiler von 66, denn 66 = 6 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 7 ⋅ 9 + 3.

8 ist kein Teiler von 66, denn 66 = 8 ⋅ 8 + 2.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 66, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit ⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 8, für die Quersumme gilt dann: 8 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 28, für die Quersumme gilt dann: 2 + 8 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 48, für die Quersumme gilt dann: 4 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 68, für die Quersumme gilt dann: 6 + 8 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 88, für die Quersumme gilt dann: 8 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 12 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 12 bilden:

2 + 10 = 12, dabei ist 10 aber keine Primzahl

3 + 9 = 12, dabei ist 9 aber keine Primzahl

5 + 7 = 12, dabei ist 7 auch eine Primzahl

5 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 7 = 12

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 77 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 77 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

77
= 7 ⋅ 11

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 77.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7

77
= 7 ⋅ 11

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 7(die 7 kommt in 28 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11(die 11 kommt in 77 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 11 = 308 sind nun alle Primteiler von 28 und alle Primteiler von 77 enthalten. Also ist 308 ein Vielfaches von 28 und 77. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 28 oder 77 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 77 ist somit :
kgV(28,77) = 308

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 63 und 132.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

63
= 3 ⋅ 21
= 3 ⋅ 3 ⋅ 7

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3(die 3 kommt sowohl in 63 als auch 132 insgesamt 1 mal vor)

Da 3 = 3 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 3 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 63 und 132 ist somit :
ggT(63,132) = 3

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 196 und 58.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 196 und 58

=>196 = 3⋅58 + 22
=>58 = 2⋅22 + 14
=>22 = 1⋅14 + 8
=>14 = 1⋅8 + 6
=>8 = 1⋅6 + 2
=>6 = 3⋅2 + 0

also gilt: ggt(196,58)=2