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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1001.1100)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 156

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.1100)2 = 156

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 88 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 88 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

88 = 64 + 24
= 64 + 16 + 8

= 1⋅64 + 0⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 88 = (101.1000)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1000.0000)2
              +  (110.1110)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1000.0000)2
              +  (110.1110)2
                         
               ( 1110 1110)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0100.1011)2 = 75.

Bestimme -75 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1011)2
zu (1011.0100)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.0100)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1011 0101)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.0001)2
             - ( 0100.0011)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0011)2
zu (1011.1100)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.1100)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1011 1101)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.0001)2 und -b = (1011.1101)2 addieren:

               ( 0101.0001)2
             + ( 1011.1101)2
               1 111    1
              (1 0000 1110)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.1110)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.1000)2 ⋅ (100.0001)2 =

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Der zweite Faktor (100.0001)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
              +  (100.0000)2
                 (100 0001)2

somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (100.0001)2 = 101.1000 ⋅ (100.0000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (100.0001)2 = (1.0110.0000.0000)2 + (101.1000)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (101.1000)2
       + (1.0110.0000.0000)2
                         
         (1 0110 0101 1000)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0110.0101.1000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 88 ⋅ 65 = 5720)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1.0110.1100)2 : (1101)2 =

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101101100 : 1101 = 11100    
- 1101                       
10011                      
- 1101                      
01101                     
- 1101                     
00000                    
- 0000                    
00000                   
- 0000                   
0000                   
  • Die obige Differenz (10110)2 - (1101)2 = (1001)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 22 - 13 = 9
  • Die obige Differenz (10011)2 - (1101)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 19 - 13 = 6
  • Die obige Differenz (01101)2 - (1101)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 13 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 364 : 13 = 28)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 199 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 199 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

199 = 128 + 71
= 128 + 64 + 7
= 128 + 64 + 4 + 3
= 128 + 64 + 4 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 199 = (1100.0111)2

Um die Zahl 199 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 199 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16

(0111)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.0111)2 = (C7)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (111.1111)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 127

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.1111)2 = 127

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(111)2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (111.1111)2 = (7F)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (C7)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(C)16 = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)2

(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (0111)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (C7)16 = (1100.0111)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100.0111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 199

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.0111)2 = 199

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1100.1111)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1100.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 207

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1100.1111)2 = 207

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.1111)2 = (CF)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 36 an:

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Wir suchen alle Teiler von 36. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 36 ist, teilen wir 36 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 36 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 36, denn 36 = 1 ⋅ 36, also ist auch 36 ein Teiler.

2 ist Teiler von 36, denn 36 = 2 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

3 ist Teiler von 36, denn 36 = 3 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

4 ist Teiler von 36, denn 36 = 4 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 36, denn 36 = 5 ⋅ 7 + 1.

6 ist Teiler von 36, denn 36 = 6 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 36, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 36:
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 6⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 612, für die Quersumme gilt dann: 6 + 1 + 2 = 9, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 632, für die Quersumme gilt dann: 6 + 3 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 652, für die Quersumme gilt dann: 6 + 5 + 2 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 672, für die Quersumme gilt dann: 6 + 7 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 692, für die Quersumme gilt dann: 6 + 9 + 2 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 20 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 20 bilden:

2 + 18 = 20, dabei ist 18 aber keine Primzahl

3 + 17 = 20, dabei ist 17 auch eine Primzahl

3 und 17 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 17 = 20

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 90 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 90 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

90
= 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 27 und 25.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

27
= 3 ⋅ 9
= 3 ⋅ 3 ⋅ 3

25
= 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

3 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 27 insgesamt 3 mal vor)

3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 25 insgesamt 2 mal vor)

In 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 675 sind nun alle Primteiler von 27 und alle Primteiler von 25 enthalten. Also ist 675 ein Vielfaches von 27 und 25. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 27 oder 25 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 27 und 25 ist somit :
kgV(27,25) = 675

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 125 und 84.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

125
= 5 ⋅ 25
= 5 ⋅ 5 ⋅ 5

84
= 2 ⋅ 42
= 2 ⋅ 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

Da kein einziger Primfaktor sowohl in 125 als auch in 84 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 125 und 84 ist somit :
ggT(125,84) = 1

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 205 und 160.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 205 und 160

=>205 = 1⋅160 + 45
=>160 = 3⋅45 + 25
=>45 = 1⋅25 + 20
=>25 = 1⋅20 + 5
=>20 = 4⋅5 + 0

also gilt: ggt(205,160)=5