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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.1111)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 47

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1111)2 = 47

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 14 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 14 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

14 = 8 + 6
= 8 + 4 + 2

= 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 14 = (1110)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

              (1.0000.1010)2
            + (1.0000.1111)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

              (1.0000.1010)2
            + (1.0000.1111)2
              1     1 11 
             (10 0001 1001)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.1110)2 = 126.

Bestimme -126 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.1110)2
zu (1000.0001)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.0001)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1000 0010)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0110.0101)2
             - ( 0010.0111)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.0111)2
zu (1101.1000)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1101.1000)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1101 1001)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.0101)2 und -b = (1101.1001)2 addieren:

               ( 0110.0101)2
             + ( 1101.1001)2
               1 1      1
              (1 0011 1110)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.1110)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.1101)2 ⋅ (1101.0100)2 =

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Der zweite Faktor (1101.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                      (100)2
                   (1.0000)2
                 (100.0000)2
             + ( 1000.0000)2
               ( 1101 0100)2

somit gilt:

(101.1101)2 ⋅ (1101.0100)2 = 101.1101 ⋅ (1000.0000 + 100.0000 + 1.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.1101)2 ⋅ (1101.0100)2 = (10.1110.1000.0000)2 + (1.0111.0100.0000)2 + (101.1101.0000)2 + (1.0111.0100)2

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

              (1.0111.0100)2
         +  (101.1101.0000)2
              11 111     
            (111 0100 0100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

            (111.0100.0100)2
       + (1.0111.0100.0000)2
            111  1       
         (1 1110 1000 0100)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

         (1.1110.1000.0100)2
     +  (10.1110.1000.0000)2
        111 11 1         
       (100 1101 0000 0100)2

Das Ergebnis ist somit: (100.1101.0000.0100)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 93 ⋅ 212 = 19716)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1.0000.1010)2 : (1110)2 =

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100001010 : 1110 = 10011    
- 1110                       
00101                      
- 0000                      
01010                     
- 0000                     
10101                    
- 1110                    
01110                   
- 1110                   
0000                   
  • Die obige Differenz (10000)2 - (1110)2 = (10)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 16 - 14 = 2
  • Die obige Differenz (10101)2 - (1110)2 = (111)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 21 - 14 = 7
  • Die obige Differenz (01110)2 - (1110)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 14 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 266 : 14 = 19)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 21 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 21 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

21 = 16 + 5
= 16 + 4 + 1

= 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 21 = (1.0101)2

Um die Zahl 21 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 21 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0101)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0101)2 = (15)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1010.0000)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 160

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0000)2 = 160

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16

(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.0000)2 = (A0)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (62)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(6)16 = 6 = 4 + 2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (110)2

(2)16 = 2 = 2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (0010)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (62)16 = (110.0010)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(110.0010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 98

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (110.0010)2 = 98

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 296 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 296 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

296 = 256 + 40
= 256 + 32 + 8

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 296 = (1.0010.1000)2

Um die Zahl 296 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 296 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.1000)2 = (128)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 30 an:

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Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.

5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 20⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 0⬜.

Bei den 00er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 00, 04, 08 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 200, für die Quersumme gilt dann: 2 + 0 + 0 = 2, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 204, für die Quersumme gilt dann: 2 + 0 + 4 = 6, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 208, für die Quersumme gilt dann: 2 + 0 + 8 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 9 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 9 bilden:

2 + 7 = 9, dabei ist 7 auch eine Primzahl

2 und 7 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 7 = 9

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 108 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 108 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 42 und 25.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7

25
= 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 25 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1050 sind nun alle Primteiler von 42 und alle Primteiler von 25 enthalten. Also ist 1050 ein Vielfaches von 42 und 25. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 42 oder 25 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 42 und 25 ist somit :
kgV(42,25) = 1050

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 120 und 180.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

180
= 2 ⋅ 90
= 2 ⋅ 2 ⋅ 45
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt sowohl in 120 als auch 180 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 120 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt sowohl in 120 als auch 180 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 60 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 120 und 180 ist somit :
ggT(120,180) = 60

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 153 und 57.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 153 und 57

=>153 = 2⋅57 + 39
=>57 = 1⋅39 + 18
=>39 = 2⋅18 + 3
=>18 = 6⋅3 + 0

also gilt: ggt(153,57)=3