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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.0110)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16= 22

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0110)2 = 22

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 250 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 250 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

250 = 128 + 122
= 128 + 64 + 58
= 128 + 64 + 32 + 26
= 128 + 64 + 32 + 16 + 10
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 250 = (1111.1010)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1110.0101)2
             + ( 1100.0101)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1110.0101)2
             + ( 1100.0101)2
               1 1    1 1
              (1 1010 1010)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1000)2 = 104.

Bestimme -104 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1000)2
zu (1001.0111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1001.0111)2
             + ( 0000.0001)2
                      111
               ( 1001 1000)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.0001)2
             - ( 0001.0001)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0001.0001)2
zu (1110.1110)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1110.1110)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1110 1111)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.0001)2 und -b = (1110.1111)2 addieren:

               ( 0101.0001)2
             + ( 1110.1111)2
               1 1111 111
              (1 0100 0000)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.0000)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(101.1000)2 ⋅ (110.1000)2 =

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Der zweite Faktor (110.1000)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                    ( 1000)2
                  (10.0000)2
              +  (100.0000)2
                 (110 1000)2

somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (110.1000)2 = 101.1000 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 1000)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(101.1000)2 ⋅ (110.1000)2 = (1.0110.0000.0000)2 + (1011.0000.0000)2 + (10.1100.0000)2

Diese 3 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

             (10.1100.0000)2
        + ( 1011.0000.0000)2
             1           
          ( 1101 1100 0000)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

          ( 1101.1100.0000)2
       + (1.0110.0000.0000)2
         11 1            
        (10 0011 1100 0000)2

Das Ergebnis ist somit: (10.0011.1100.0000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 88 ⋅ 104 = 9152)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.0101)2 : (1101)2 =

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1110101 : 1101 = 1001       
- 1101                        
00011                       
- 0000                       
00110                      
- 0000                      
01101                     
- 1101                     
0000                     
  • Die obige Differenz (1110)2 - (1101)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 13 = 1
  • Die obige Differenz (01101)2 - (1101)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 13 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 117 : 13 = 9)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 260 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 260 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

260 = 256 + 4

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 260 = (1.0000.0100)2

Um die Zahl 260 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 260 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16

(0100)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 4 = (4)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0000.0100)2 = (104)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1001.1101)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.1101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 157

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.1101)2 = 157

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1001)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 9 = (9)16

(1101)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1001.1101)2 = (9D)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (4A)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(4)16 = 4 = 4 = 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (100)2

(A)16 = 10 = 8 + 2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1010)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (4A)16 = (100.1010)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(100.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 74

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (100.1010)2 = 74

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (A1)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(A)16 = 10 = 8 + 2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1010)2

(1)16 = 1 = 1 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0001)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (A1)16 = (1010.0001)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 161

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.0001)2 = 161

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 45 an:

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Wir suchen alle Teiler von 45. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 45 ist, teilen wir 45 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 45 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 45, denn 45 = 1 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.

2 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 2 ⋅ 22 + 1.

3 ist Teiler von 45, denn 45 = 3 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 4 ⋅ 11 + 1.

5 ist Teiler von 45, denn 45 = 5 ⋅ 9, also ist auch 9 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 45, denn 45 = 6 ⋅ 7 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 7 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 7 ⋅ 7 = 49 > 45, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 45:
1, 3, 5, 9, 15, 45

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 165⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 5⬜.

Bei den 50er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 52, 56 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 1652, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 5 + 2 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1656, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 5 + 6 = 18, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 16 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 16 bilden:

2 + 14 = 16, dabei ist 14 aber keine Primzahl

3 + 13 = 16, dabei ist 13 auch eine Primzahl

3 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 13 = 16

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 108 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 108 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

108
= 2 ⋅ 54
= 2 ⋅ 2 ⋅ 27
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 45 und 40.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3(die 3 kommt in 45 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 45 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 = 360 sind nun alle Primteiler von 45 und alle Primteiler von 40 enthalten. Also ist 360 ein Vielfaches von 45 und 40. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 45 oder 40 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 45 und 40 ist somit :
kgV(45,40) = 360

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 100 und 162.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

100
= 2 ⋅ 50
= 2 ⋅ 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5

162
= 2 ⋅ 81
= 2 ⋅ 3 ⋅ 27
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 9
= 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 100 als auch 162 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 = 2 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 2 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 100 und 162 ist somit :
ggT(100,162) = 2

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 15 und 15.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 15 und 15

=>15 = 1⋅15 + 0

also gilt: ggt(15,15)=15