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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (110.0001)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(110.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 97

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (110.0001)2 = 97

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 203 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 203 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

203 = 128 + 75
= 128 + 64 + 11
= 128 + 64 + 8 + 3
= 128 + 64 + 8 + 2 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 203 = (1100.1011)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

              (1.0001.1011)2
              +  (110.0101)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

              (1.0001.1011)2
              +  (110.0101)2
                 1111 111
              (1 1000 0000)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1110)2 = 110.

Bestimme -110 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1110)2
zu (1001.0001)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1001.0001)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1001 0010)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0110.1000)2
             - ( 0010.0000)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0010.0000)2
zu (1101.1111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1101.1111)2
             + ( 0000.0001)2
                   11 111
               ( 1110 0000)2

Jetzt können wir einfach a=(0110.1000)2 und -b = (1110.0000)2 addieren:

               ( 0110.1000)2
             + ( 1110.0000)2
               1 11      
              (1 0100 1000)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0100.1000)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(110.1001)2 ⋅ (110.0101)2 =

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Der zweite Faktor (110.0101)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
                      (100)2
                  (10.0000)2
              +  (100.0000)2
                 (110 0101)2

somit gilt:

(110.1001)2 ⋅ (110.0101)2 = 110.1001 ⋅ (100.0000 + 10.0000 + 100 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(110.1001)2 ⋅ (110.0101)2 = (1.1010.0100.0000)2 + (1101.0010.0000)2 + (1.1010.0100)2 + (110.1001)2

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (110.1001)2
            + (1.1010.0100)2
              11 11      
             (10 0000 1101)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

             (10.0000.1101)2
        + ( 1101.0010.0000)2
                         
          ( 1111 0010 1101)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

          ( 1111.0010.1101)2
       + (1.1010.0100.0000)2
         11 11           
        (10 1001 0110 1101)2

Das Ergebnis ist somit: (10.1001.0110.1101)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 105 ⋅ 101 = 10605)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.0000)2 : (1110)2 =

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1110000 : 1110 = 1000       
- 1110                        
00000                       
- 0000                       
00000                      
- 0000                      
00000                     
- 0000                     
0000                     
  • Die obige Differenz (1110)2 - (1110)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 14 - 14 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 112 : 14 = 8)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 23 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 23 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

23 = 16 + 7
= 16 + 4 + 3
= 16 + 4 + 2 + 1

= 1⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 23 = (1.0111)2

Um die Zahl 23 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 23 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0111)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0111)2 = (17)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1010.1010)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1010.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 170

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1010.1010)2 = 170

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16

(1010)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 10 = (A)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1010.1010)2 = (AA)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (FE)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(F)16 = 15 = 8 + 4 + 2 + 1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1111)2

(E)16 = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (FE)16 = (1111.1110)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 254

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.1110)2 = 254

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (75)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(7)16 = 7 = 4 + 2 + 1 = 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (111)2

(5)16 = 5 = 4 + 1 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (0101)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (75)16 = (111.0101)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(111.0101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64= 117

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (111.0101)2 = 117

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 30 an:

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Wir suchen alle Teiler von 30. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 30 ist, teilen wir 30 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 30 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 30, denn 30 = 1 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

2 ist Teiler von 30, denn 30 = 2 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

3 ist Teiler von 30, denn 30 = 3 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 30, denn 30 = 4 ⋅ 7 + 2.

5 ist Teiler von 30, denn 30 = 5 ⋅ 6, also ist auch 6 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 6 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 30:
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 6⬜2 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜2.

Da an der letzten Stelle eine 2 steht, muss an der vorletzten Stelle eine ungerade Zahl (also 1, 3, 5, 7 oder 9) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 12, 32, 52, 72, 92 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

1: Dann wäre die Zahl 612, für die Quersumme gilt dann: 6 + 1 + 2 = 9, also durch 3 teilbar.

3: Dann wäre die Zahl 632, für die Quersumme gilt dann: 6 + 3 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

5: Dann wäre die Zahl 652, für die Quersumme gilt dann: 6 + 5 + 2 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

7: Dann wäre die Zahl 672, für die Quersumme gilt dann: 6 + 7 + 2 = 15, also durch 3 teilbar.

9: Dann wäre die Zahl 692, für die Quersumme gilt dann: 6 + 9 + 2 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 1 und 7.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 22 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 22 bilden:

2 + 20 = 22, dabei ist 20 aber keine Primzahl

3 + 19 = 22, dabei ist 19 auch eine Primzahl

3 und 19 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 19 = 22

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 55 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 55 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

55
= 5 ⋅ 11

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 30.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt in 50 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3(die 3 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5(die 5 kommt in 50 insgesamt 2 mal vor)

In 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 150 sind nun alle Primteiler von 50 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 150 ein Vielfaches von 50 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 50 oder 30 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 50 und 30 ist somit :
kgV(50,30) = 150

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 45 und 72.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

45
= 3 ⋅ 15
= 3 ⋅ 3 ⋅ 5

72
= 2 ⋅ 36
= 2 ⋅ 2 ⋅ 18
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 9
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

3 ⋅ 3(die 3 kommt sowohl in 45 als auch 72 insgesamt 2 mal vor)

Da 3 ⋅ 3 = 9 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 9 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 45 und 72 ist somit :
ggT(45,72) = 9

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 24 und 40.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 24 und 40

=>24 = 0⋅40 + 24
=>40 = 1⋅24 + 16
=>24 = 1⋅16 + 8
=>16 = 2⋅8 + 0

also gilt: ggt(24,40)=8