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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (11.0011)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(11.0011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32= 51

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (11.0011)2 = 51

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 73 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 73 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

73 = 64 + 9
= 64 + 8 + 1

= 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 73 = (100.1001)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1111.1010)2
             + ( 1010.1100)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1111.1010)2
             + ( 1010.1100)2
               1 1111    
              (1 1010 0110)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0110.1101)2 = 109.

Bestimme -109 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0110.1101)2
zu (1001.0010)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1001.0010)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1001 0011)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0100.1001)2
             - ( 0100.0101)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0101)2
zu (1011.1010)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.1010)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1011 1011)2

Jetzt können wir einfach a=(0100.1001)2 und -b = (1011.1011)2 addieren:

               ( 0100.1001)2
             + ( 1011.1011)2
               1 1111  11
              (1 0000 0100)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0000.0100)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.1010)2 ⋅ (1010)2 =

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Der zweite Faktor (1010)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                       (10)2
                  + ( 1000)2
                    ( 1010)2

somit gilt:

(111.1010)2 ⋅ (1010)2 = 111.1010 ⋅ (1000 + 10)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1010)2 ⋅ (1010)2 = (11.1101.0000)2 + (1111.0100)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

               ( 1111.0100)2
          +  (11.1101.0000)2
             111 111     
            (100 1100 0100)2

Das Ergebnis ist somit: (100.1100.0100)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 122 ⋅ 10 = 1220)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1.0000.1000)2 : (1100)2 =

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100001000 : 1100 = 10110    
- 1100                       
01001                      
- 0000                      
10010                     
- 1100                     
01100                    
- 1100                    
00000                   
- 0000                   
0000                   
  • Die obige Differenz (10000)2 - (1100)2 = (100)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 16 - 12 = 4
  • Die obige Differenz (10010)2 - (1100)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 18 - 12 = 6
  • Die obige Differenz (01100)2 - (1100)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 12 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 264 : 12 = 22)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 177 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 177 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

177 = 128 + 49
= 128 + 32 + 17
= 128 + 32 + 16 + 1

= 1⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 177 = (1011.0001)2

Um die Zahl 177 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 177 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.0001)2 = (B1)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (10.1111)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(10.1111)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32= 47

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (10.1111)2 = 47

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(10)2 = 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (10.1111)2 = (2F)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (DC)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(D)16 = 13 = 8 + 4 + 1 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1101)2

(C)16 = 12 = 8 + 4 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (1100)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (DC)16 = (1101.1100)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1101.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 220

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1101.1100)2 = 220

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1011.1011)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 187

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1011)2 = 187

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.1011)2 = (BB)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 56 an:

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Wir suchen alle Teiler von 56. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 56 ist, teilen wir 56 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 56 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 56, denn 56 = 1 ⋅ 56, also ist auch 56 ein Teiler.

2 ist Teiler von 56, denn 56 = 2 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 3 ⋅ 18 + 2.

4 ist Teiler von 56, denn 56 = 4 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 5 ⋅ 11 + 1.

6 ist kein Teiler von 56, denn 56 = 6 ⋅ 9 + 2.

7 ist Teiler von 56, denn 56 = 7 ⋅ 8, also ist auch 8 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 8 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 128⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 8⬜.

Bei den 80er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 80, 84, 88 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1280, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1284, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 4 = 15, also durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1288, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 8 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 13 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 13 bilden:

2 + 11 = 13, dabei ist 11 auch eine Primzahl

2 und 11 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 11 = 13

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 35 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 35 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

35
= 5 ⋅ 7

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 80 und 42.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

80
= 2 ⋅ 40
= 2 ⋅ 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

42
= 2 ⋅ 21
= 2 ⋅ 3 ⋅ 7

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 80 insgesamt 4 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 80 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 42 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 1680 sind nun alle Primteiler von 80 und alle Primteiler von 42 enthalten. Also ist 1680 ein Vielfaches von 80 und 42. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 80 oder 42 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 80 und 42 ist somit :
kgV(80,42) = 1680

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 176 und 77.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

176
= 2 ⋅ 88
= 2 ⋅ 2 ⋅ 44
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 22
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 11

77
= 7 ⋅ 11

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

11(die 11 kommt sowohl in 176 als auch 77 insgesamt 1 mal vor)

Da 11 = 11 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 11 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 176 und 77 ist somit :
ggT(176,77) = 11

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 76 und 104.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 76 und 104

=>76 = 0⋅104 + 76
=>104 = 1⋅76 + 28
=>76 = 2⋅28 + 20
=>28 = 1⋅20 + 8
=>20 = 2⋅8 + 4
=>8 = 2⋅4 + 0

also gilt: ggt(76,104)=4