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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.0000.1010)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0000.1010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 266

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0000.1010)2 = 266

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 57 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 57 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

57 = 32 + 25
= 32 + 16 + 9
= 32 + 16 + 8 + 1

= 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 57 = (11.1001)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

              (1.0000.1100)2
             + ( 1101.1100)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

              (1.0000.1100)2
             + ( 1101.1100)2
                   11 1  
              (1 1110 1000)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.0100)2 = 116.

Bestimme -116 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0100)2
zu (1000.1011)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.1011)2
             + ( 0000.0001)2
                       11
               ( 1000 1100)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.0110)2
             - ( 0100.0000)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.0000)2
zu (1011.1111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.1111)2
             + ( 0000.0001)2
                  111 111
               ( 1100 0000)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.0110)2 und -b = (1100.0000)2 addieren:

               ( 0101.0110)2
             + ( 1100.0000)2
               1 1       
              (1 0001 0110)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.0110)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.1110)2 ⋅ (101.1001)2 =

Lösung einblenden

Der zweite Faktor (101.1001)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                        (1)2
                    ( 1000)2
                   (1.0000)2
              +  (100.0000)2
                 (101 1001)2

somit gilt:

(111.1110)2 ⋅ (101.1001)2 = 111.1110 ⋅ (100.0000 + 1.0000 + 1000 + 1)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1110)2 ⋅ (101.1001)2 = (1.1111.1000.0000)2 + (111.1110.0000)2 + (11.1111.0000)2 + (111.1110)2

Diese 4 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

                 (111.1110)2
          +  (11.1111.0000)2
             111 111     
            (100 0110 1110)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

            (100.0110.1110)2
         +  (111.1110.0000)2
            1111 11      
          ( 1100 0100 1110)2

Zu diesem Ergebnis dann die nächste Zahl dazu:

          ( 1100.0100.1110)2
       + (1.1111.1000.0000)2
         11 1            
        (10 1011 1100 1110)2

Das Ergebnis ist somit: (10.1011.1100.1110)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 126 ⋅ 89 = 11214)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1001.0000)2 : (1000)2 =

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10010000 : 1000 = 10010     
- 1000                        
00010                       
- 0000                       
00100                      
- 0000                      
01000                     
- 1000                     
00000                    
- 0000                    
0000                    
  • Die obige Differenz (1001)2 - (1000)2 = (1)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 9 - 8 = 1
  • Die obige Differenz (01000)2 - (1000)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 8 - 8 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 144 : 8 = 18)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 290 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 290 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

290 = 256 + 34
= 256 + 32 + 2

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 290 = (1.0010.0010)2

Um die Zahl 290 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 290 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.0010)2 = (122)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1111.0001)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1111.0001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 1⋅64 + 1⋅128= 241

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1111.0001)2 = 241

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1111)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 15 = (F)16

(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1111.0001)2 = (F1)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (94)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(9)16 = 9 = 8 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = (1001)2

(4)16 = 4 = 4 = 0⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0100)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (94)16 = (1001.0100)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1001.0100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 148

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1001.0100)2 = 148

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 193 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 193 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

193 = 128 + 65
= 128 + 64 + 1

= 1⋅128 + 1⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 193 = (1100.0001)2

Um die Zahl 193 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 193 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16

(0001)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 1 = (1)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1100.0001)2 = (C1)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 90 an:

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Wir suchen alle Teiler von 90. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 90 ist, teilen wir 90 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 90 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 90, denn 90 = 1 ⋅ 90, also ist auch 90 ein Teiler.

2 ist Teiler von 90, denn 90 = 2 ⋅ 45, also ist auch 45 ein Teiler.

3 ist Teiler von 90, denn 90 = 3 ⋅ 30, also ist auch 30 ein Teiler.

4 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 4 ⋅ 22 + 2.

5 ist Teiler von 90, denn 90 = 5 ⋅ 18, also ist auch 18 ein Teiler.

6 ist Teiler von 90, denn 90 = 6 ⋅ 15, also ist auch 15 ein Teiler.

7 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 7 ⋅ 12 + 6.

8 ist kein Teiler von 90, denn 90 = 8 ⋅ 11 + 2.

9 ist Teiler von 90, denn 90 = 9 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 10 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 90:
1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 156⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 6⬜.

Bei den 60er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 60, 64, 68 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1560, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 0 = 12, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1564, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 4 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1568, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 6 + 8 = 20, also nicht durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 0.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 36 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 36 bilden:

2 + 34 = 36, dabei ist 34 aber keine Primzahl

3 + 33 = 36, dabei ist 33 aber keine Primzahl

5 + 31 = 36, dabei ist 31 auch eine Primzahl

5 und 31 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 31 = 36

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 132 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 132 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 30.

Lösung einblenden

Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

28
= 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 7

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 28 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 30 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7(die 7 kommt in 28 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 420 sind nun alle Primteiler von 28 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 420 ein Vielfaches von 28 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 28 oder 30 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 28 und 30 ist somit :
kgV(28,30) = 420

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 77 und 75.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

77
= 7 ⋅ 11

75
= 3 ⋅ 25
= 3 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

Da kein einziger Primfaktor sowohl in 77 als auch in 75 vorkommt, ist 1 der einzige und damit auch der größte gemeinsame Teiler.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 75 ist somit :
ggT(77,75) = 1

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 180 und 155.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 180 und 155

=>180 = 1⋅155 + 25
=>155 = 6⋅25 + 5
=>25 = 5⋅5 + 0

also gilt: ggt(180,155)=5