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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.1001)2 im Dezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.1001)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16= 25

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.1001)2 = 25

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 248 im Binärsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 248 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

248 = 128 + 120
= 128 + 64 + 56
= 128 + 64 + 32 + 24
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8

= 1⋅128 + 1⋅64 + 1⋅32 + 1⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 248 = (1111.1000)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1010.0101)2
            + (1.0000.1111)2

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Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1010.0101)2
            + (1.0000.1111)2
                    1 111
              (1 1011 0100)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0111.0000)2 = 112.

Bestimme -112 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0111.0000)2
zu (1000.1111)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1000.1111)2
             + ( 0000.0001)2
                    1 111
               ( 1001 0000)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0101.1101)2
             - ( 0100.1010)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0100.1010)2
zu (1011.0101)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1011.0101)2
             + ( 0000.0001)2
                        1
               ( 1011 0110)2

Jetzt können wir einfach a=(0101.1101)2 und -b = (1011.0110)2 addieren:

               ( 0101.1101)2
             + ( 1011.0110)2
               1 1111 1  
              (1 0001 0011)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0001.0011)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.0110)2 ⋅ (100.0100)2 =

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Der zweite Faktor (100.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                      (100)2
              +  (100.0000)2
                 (100 0100)2

somit gilt:

(111.0110)2 ⋅ (100.0100)2 = 111.0110 ⋅ (100.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.0110)2 ⋅ (100.0100)2 = (1.1101.1000.0000)2 + (1.1101.1000)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

              (1.1101.1000)2
       + (1.1101.1000.0000)2
              11         
         (1 1111 0101 1000)2

Das Ergebnis ist somit: (1.1111.0101.1000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 118 ⋅ 68 = 8024)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1010.1000)2 : (1100)2 =

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10101000 : 1100 = 1110      
- 1100                       
10010                      
- 1100                      
01100                     
- 1100                     
00000                    
- 0000                    
0000                    
  • Die obige Differenz (10101)2 - (1100)2 = (1001)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 21 - 12 = 9
  • Die obige Differenz (10010)2 - (1100)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 18 - 12 = 6
  • Die obige Differenz (01100)2 - (1100)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 12 - 12 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 168 : 12 = 14)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 263 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 263 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

263 = 256 + 7
= 256 + 4 + 3
= 256 + 4 + 2 + 1

= 1⋅256 + 0⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 263 = (1.0000.0111)2

Um die Zahl 263 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 263 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0000)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 0 = (0)16

(0111)2 = 0⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 7 = (7)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0000.0111)2 = (107)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (101.1100)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(101.1100)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 0⋅32 + 1⋅64= 92

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (101.1100)2 = 92

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(101)2 = 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 5 = (5)16

(1100)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 12 = (C)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (101.1100)2 = (5C)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (BE)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(B)16 = 11 = 8 + 2 + 1 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = (1011)2

(E)16 = 14 = 8 + 4 + 2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = (1110)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (BE)16 = (1011.1110)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1110)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 190

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1110)2 = 190

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 130 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 130 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

130 = 128 + 2

= 1⋅128 + 0⋅64 + 0⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 130 = (1000.0010)2

Um die Zahl 130 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 130 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1000)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = 8 = (8)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1000.0010)2 = (82)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 84 an:

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Wir suchen alle Teiler von 84. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 84 ist, teilen wir 84 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 84 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 84, denn 84 = 1 ⋅ 84, also ist auch 84 ein Teiler.

2 ist Teiler von 84, denn 84 = 2 ⋅ 42, also ist auch 42 ein Teiler.

3 ist Teiler von 84, denn 84 = 3 ⋅ 28, also ist auch 28 ein Teiler.

4 ist Teiler von 84, denn 84 = 4 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 5 ⋅ 16 + 4.

6 ist Teiler von 84, denn 84 = 6 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.

7 ist Teiler von 84, denn 84 = 7 ⋅ 12, also ist auch 12 ein Teiler.

8 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 8 ⋅ 10 + 4.

9 ist kein Teiler von 84, denn 84 = 9 ⋅ 9 + 3.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 84, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 84:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 11⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1108, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 0 + 8 = 10, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1128, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 2 + 8 = 12, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1148, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 4 + 8 = 14, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1168, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 6 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1188, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 8 + 8 = 18, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 44 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 44 bilden:

2 + 42 = 44, dabei ist 42 aber keine Primzahl

3 + 41 = 44, dabei ist 41 auch eine Primzahl

3 und 41 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 41 = 44

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 32 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 32 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

32
= 2 ⋅ 16
= 2 ⋅ 2 ⋅ 8
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 4
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 40.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

40
= 2 ⋅ 20
= 2 ⋅ 2 ⋅ 10
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2 ⋅ 2(die 2 kommt in 40 insgesamt 3 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 sind nun alle Primteiler von 60 und alle Primteiler von 40 enthalten. Also ist 120 ein Vielfaches von 60 und 40. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 60 oder 40 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 40 ist somit :
kgV(60,40) = 120

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 112 und 150.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

112
= 2 ⋅ 56
= 2 ⋅ 2 ⋅ 28
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 14
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7

150
= 2 ⋅ 75
= 2 ⋅ 3 ⋅ 25
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

2(die 2 kommt sowohl in 112 als auch 150 insgesamt 1 mal vor)

Da 2 = 2 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 2 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 112 und 150 ist somit :
ggT(112,150) = 2

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 189 und 60.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 189 und 60

=>189 = 3⋅60 + 9
=>60 = 6⋅9 + 6
=>9 = 1⋅6 + 3
=>6 = 2⋅3 + 0

also gilt: ggt(189,60)=3