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Dezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1011.1011)2 im Dezimalsystem an.

Lösung einblenden

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1011)2 = 1⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 187

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1011)2 = 187

Binär aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 104 im Binärsystem an.

Lösung einblenden
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 104 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

104 = 64 + 40
= 64 + 32 + 8

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 1⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 104 = (110.1000)2

Binäres Addieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 1001.0000)2
             + ( 1100.0001)2

Lösung einblenden

Wir schreiben die beiden Binärzahlen untereinander und gehen wie beim schriftlichen Addieren von Dezimalzahlen vor:

               ( 1001.0000)2
             + ( 1100.0001)2
               1         
              (1 0101 0001)2

negative Binärzahlen

Beispiel:

Gegeben ist die 8-Bit-Binärzahl (0101.1111)2 = 95.

Bestimme -95 als 8-Bit-Binärzahl (in der Zweierkomplement-Darstellung):

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Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0101.1111)2
zu (1010.0000)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1010.0000)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1010 0001)2

Binäres Subtrahieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

               ( 0111.0010)2
             - ( 0011.1011)2

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Wir wandeln erst den Subtrahend b, also die untere Zahl, die angezogen wird, in ihre negative Zahl um, so dass wir dann einfach die beiden Zahlen addieren können (a-b = a+(-b).

Wir invertieren im ersten Schritt unsere Binärzahl (d.h. aus jeder 0 wird eine 1 und aus jeder 1 wird eine 0).

so wird (0011.1011)2
zu (1100.0100)2

Jetzt müssen wir nur noch die binäre 1 auf diese invertierte Zahl draufaddieren:

               ( 1100.0100)2
             + ( 0000.0001)2
                         
               ( 1100 0101)2

Jetzt können wir einfach a=(0111.0010)2 und -b = (1100.0101)2 addieren:

               ( 0111.0010)2
             + ( 1100.0101)2
               1 1       
              (1 0011 0111)2

Da wir ja aber nur 8-Bit Speicherplatz haben "verpufft der Overflow" und als Ergebnis stehen nur die 8 rechten Bit:

(0011.0111)2

Binäres Multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(111.1100)2 ⋅ (10.0100)2 =

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Der zweite Faktor (10.0100)2 lässt sich als Summe von reinen 2-er-Potenzen schreiben:

                      (100)2
               +  (10.0000)2
                  (10 0100)2

somit gilt:

(111.1100)2 ⋅ (10.0100)2 = 111.1100 ⋅ (10.0000 + 100)

Das Multiplizieren mit einer 2-er-Potenz bedeutet aber ja, dass man einfach die entsprechende Anzahl an Nullen hintenanhängt, somit gilt:

(111.1100)2 ⋅ (10.0100)2 = (1111.1000.0000)2 + (1.1111.0000)2

Diese 2 Summanden können wir nun schrittweise addieren:

              (1.1111.0000)2
        + ( 1111.1000.0000)2
          1 1111         
         (1 0001 0111 0000)2

Das Ergebnis ist somit: (1.0001.0111.0000)2

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 124 ⋅ 36 = 4464)

Binäres Dividieren

Beispiel:

Berechne ohne die Binärzahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln:

(1.0000.1110)2 : (1010)2 =

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100001110 : 1010 = 11011    
- 1010                       
01101                      
- 1010                      
00111                     
- 0000                     
01111                    
- 1010                    
01010                   
- 1010                   
0000                   
  • Die obige Differenz (10000)2 - (1010)2 = (110)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 16 - 10 = 6
  • Die obige Differenz (01101)2 - (1010)2 = (11)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 13 - 10 = 3
  • Die obige Differenz (01111)2 - (1010)2 = (101)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 15 - 10 = 5
  • Die obige Differenz (01010)2 - (1010)2 = (0)2 kann man entweder mit binärer Subtraktion berechnen oder - oft schneller - durch Umrechnen in Dezimalzahlen: 10 - 10 = 0

(Zum Vergleich in Dezimalzahlen: 270 : 10 = 27)

Binär und Hexdezimal aus Dezimal

Beispiel:

Gib die Zahl 98 sowohl im Binär- als auch im Hexdezimalsystem an.

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20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Zuerst versuchen wir Schritt für Schritt die Zahl 98 als Summe von 2er-Potenzen (siehe rechts) zu schreiben:

98 = 64 + 34
= 64 + 32 + 2

= 1⋅64 + 1⋅32 + 0⋅16 + 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von 98 = (110.0010)2

Um die Zahl 98 als Hexadzimalzahl auszugeben, gibt es zwei Möglichkeiten:

Theoretisch könnte man 98 wieder als Summe von 16er-Potenzen zerlegen und so die Koeffizienten vor den 16er-Potenzen als Hexadezimalzahl erhalten.

Wenn man bereits die Binärzahl hat, gibt es aber einen schnelleren Weg;

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(110)2 = 1⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 6 = (6)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (110.0010)2 = (62)16

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1.0010.0010)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0010.0010)2 = 0⋅1 + 1⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 290

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0010.0010)2 = 290

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1)2 = 1⋅1 = 1 = (1)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

(0010)2 = 0⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 0⋅1 = 2 = (2)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1.0010.0010)2 = (122)16

Binär und Dezimal aus Hexdezimal

Beispiel:

Gib die Zahl (100)16 sowohl im Dezimal- als auch im Binärsystem an.

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Als Binärzahl

Jede Ziffer im Hexadezimalsystem kann in einen 4-er-Block im Binärsystem umgewandelt werden. Dazu zerlegen wir den Wert einfach als Summe der 2-er-Potenzen 8,4,2 und 1:

(1)16 = 1 = 1 = 1⋅1 = (1)2

(0)16 = 0 = 0 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0000)2

(0)16 = 0 = 0 = 0⋅8 + 0⋅4 + 0⋅2 + 0⋅1 = (0000)2

Diese binären 4-er-Blöcke können dann einfach hintereinander gesetzt werden.

Somit ergibt sich die Binärdarstellung von (100)16 = (1.0000.0000)2

Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1.0000.0000)2 = 0⋅1 + 0⋅2 + 0⋅4 + 0⋅8 + 0⋅16 + 0⋅32 + 0⋅64 + 0⋅128 + 1⋅256= 256

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1.0000.0000)2 = 256

Dezimal und Hexdezimal aus Binär

Beispiel:

Gib die Zahl (1011.1101)2 sowohl im Dezimal- als auch im Hexdezimalsystem an.

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Als Dezimalzahl

20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
...

Um die (für uns normale) Dezimalzahl zu berechnen, müssen wir einfach jede Ziffer mit der zugehörigen 2er-Potenz ihrer Stelle (siehe rechts) multiplizieren. Am besten tun wir das von rechts nach links:

(1011.1101)2 = 1⋅1 + 0⋅2 + 1⋅4 + 1⋅8 + 1⋅16 + 1⋅32 + 0⋅64 + 1⋅128= 189

Somit ergibt sich die Dezimaldarstellung von (1011.1101)2 = 189

Als Hexadezimalzahl

Jeder 4-er-Block wird in eine Hexadezimalzahl umgewandelt und diese werden hintereinander gesetzt:

(1011)2 = 1⋅8 + 0⋅4 + 1⋅2 + 1⋅1 = 11 = (B)16

(1101)2 = 1⋅8 + 1⋅4 + 0⋅2 + 1⋅1 = 13 = (D)16

Somit ergibt sich die Hexadezimaldarstellung von (1011.1101)2 = (BD)16

alle Teiler einer Zahl

Beispiel:

Gib alle Teiler von 88 an:

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Wir suchen alle Teiler von 88. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 88 ist, teilen wir 88 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 88 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 88, denn 88 = 1 ⋅ 88, also ist auch 88 ein Teiler.

2 ist Teiler von 88, denn 88 = 2 ⋅ 44, also ist auch 44 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 3 ⋅ 29 + 1.

4 ist Teiler von 88, denn 88 = 4 ⋅ 22, also ist auch 22 ein Teiler.

5 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 5 ⋅ 17 + 3.

6 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 6 ⋅ 14 + 4.

7 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 7 ⋅ 12 + 4.

8 ist Teiler von 88, denn 88 = 8 ⋅ 11, also ist auch 11 ein Teiler.

9 ist kein Teiler von 88, denn 88 = 9 ⋅ 9 + 7.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 10 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 10 ⋅ 10 = 100 > 88, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 88:
1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88

Teilbarkeitsregeln rückwärts

Beispiel:

Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 14⬜8 sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.

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1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also ⬜8.

Da an der letzten Stelle eine 8 steht, muss an der vorletzten Stelle eine gerade Zahl (also 0, 2, 4, 6 oder 8) stehen, damit sie durch 4 teilbar ist (weil eben nur 08, 28, 48, 68, 88 durch 4 teilbar sind).

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

0: Dann wäre die Zahl 1408, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 0 + 8 = 13, also nicht durch 3 teilbar.

2: Dann wäre die Zahl 1428, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 2 + 8 = 15, also durch 3 teilbar.

4: Dann wäre die Zahl 1448, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 4 + 8 = 17, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1468, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 6 + 8 = 19, also nicht durch 3 teilbar.

8: Dann wäre die Zahl 1488, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 8 + 8 = 21, also durch 3 teilbar.

Die möglichen Ziffern sind also 2 und 8.

Summe von Primzahlen

Beispiel:

Schreibe 42 als Summe von zwei Primzahlen:

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 42 bilden:

2 + 40 = 42, dabei ist 40 aber keine Primzahl

3 + 39 = 42, dabei ist 39 aber keine Primzahl

5 + 37 = 42, dabei ist 37 auch eine Primzahl

5 und 37 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 37 = 42

Primfaktorzerlegung

Beispiel:

Bestimme die Primfaktorzerlegung von 50 :

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Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 50 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

kgV mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 30.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5

30
= 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 3 ⋅ 5

Jetzt gehen wir jeden Primteiler, der in einer den beiden Zerlegungen vorkommt, durch und stecken diesen in seiner maximalen Potenz (also so oft, wie er höchstens in einer Zahl vorkommt) in unsere neue Zahl:

2 ⋅ 2(die 2 kommt in 60 insgesamt 2 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3(die 3 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5(die 5 kommt in 60 insgesamt 1 mal vor)

In 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 sind nun alle Primteiler von 60 und alle Primteiler von 30 enthalten. Also ist 60 ein Vielfaches von 60 und 30. Es muss auch das kleinste sein, denn bei einer noch kleineren Zahl würde mindestens ein Primfaktor von 60 oder 30 fehlen.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 30 ist somit :
kgV(60,30) = 60

ggT mit Primfaktoren

Beispiel:

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von 77 und 132.

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Wir erstellen zuerst die Primfaktorzerlegungen von den beiden Zahlen:

77
= 7 ⋅ 11

132
= 2 ⋅ 66
= 2 ⋅ 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 11

Jetzt gehen wir alle Primteiler, die in beiden Zerlegungen vorkommen, durch und stecken diese in ihrer gemeinsamen Potenz (also so oft, wie sie höchstens in beiden Zahlen vorkommen) in unsere neue Zahl:

11(die 11 kommt sowohl in 77 als auch 132 insgesamt 1 mal vor)

Da 11 = 11 in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommt, muss 11 auf jeden Fall ein Teiler von beiden Zahlen sein. Andererseits kann es keinen größeren gemeinsamen Teiler geben, denn sonst müsste ja in diesem größeren gemeinsamen Teiler noch ein weiterer gemeinsamer Primfaktor sein.

Unser größter gemeinsamer Teiler von 77 und 132 ist somit :
ggT(77,132) = 11

ggT mit Euklid' schem Algor.

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des Euklid'schen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von 275 und 235.

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 275 und 235

=>275 = 1⋅235 + 40
=>235 = 5⋅40 + 35
=>40 = 1⋅35 + 5
=>35 = 7⋅5 + 0

also gilt: ggt(275,235)=5