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Intervalle Krümmungsverhalten (ohne MNF)

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, der Graph der Funktion f mit f(x)= x 3 - x +3 als eine Linkskurve bzw. als eine Rechtskurve verläuft:

Lösung einblenden

Wir untersuchen das Krümmungsverhalten von f mit Hilfe der 2. Ableitung. Dazu leiten wir f erst zweimal ab:

=>f'(x)= 3 x 2 -1 +0

=>f''(x)= 6x +0+0

= 6x

Ist die Ableitung f''(x)>0, so ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton wachsend und f verläuft als Linkskurve.
Gilt f''(x)<0, so ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton fallend und f verläuft als Rechtskurve.
Wir bestimmen deswegen die Nullstellen von f'' um die Übergänge vom einen zum anderen Bereich zu finden.

f''(x)= 6x

Wir lösen die Gleichung:

6x = 0 |:6
x = 0
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Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; 0), (0; ∞)

Da f''(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f''(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f''(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; 0): Wir wählen x=-1∈(-∞ ; 0): f''(-1)= 6( -1 ) = -6 also < 0

(0; ∞): Wir wählen x=1∈(0; ∞): f''(1)= 61 = 6 also > 0

Somit erhalten wir folgendes Ergebnis:

(-∞ ; 0): f''(x) negativ, also f Rechtskurve

(0; ∞): f''(x) positiv, also f Linkskurve

Intervalle Krümmungsverhalten

Beispiel:

Bestimme auf welchen Intervallen, der Graph der Funktion f mit f(x)= 1 12 x 4 + 1 6 x 3 -6 x 2 +5 als eine Linkskurve bzw. als eine Rechtskurve verläuft:

Lösung einblenden

Wir untersuchen das Krümmungsverhalten von f mit Hilfe der 2. Ableitung. Dazu leiten wir f erst zweimal ab:

=>f'(x)= 1 3 x 3 + 1 2 x 2 -12x +0

=>f''(x)= x 2 + x -12 +0

Ist die Ableitung f''(x)>0, so ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton wachsend und f verläuft als Linkskurve.
Gilt f''(x)<0, so ist die Ableitungsfunktion f' streng monoton fallend und f verläuft als Rechtskurve.
Wir bestimmen deswegen die Nullstellen von f'' um die Übergänge vom einen zum anderen Bereich zu finden.

f''(x)= x 2 + x -12

Wir lösen die Gleichung:

x 2 + x -12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -12 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +48 2

x1,2 = -1 ± 49 2

x1 = -1 + 49 2 = -1 +7 2 = 6 2 = 3

x2 = -1 - 49 2 = -1 -7 2 = -8 2 = -4

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Wir betrachten nun die Intervalle, die an diese x-Werte angrenzen.

also (-∞ ; -4), (-4 ; 3), (3; ∞)

Da f''(x) überall definiert und stetig ist und die eben ausgerechneten Nullstellen die einzigen von f''(x) sind, müssen immer jeweils auf dem ganzen Intervall die Funktionswerte von f''(x) dasselbe Vorzeichen haben, entweder alle positiv oder alle negativ.

Wir können also einen beliebigen Wert aus dem Innern des Intervalls einsetzen, um damit das Vorzeichen der Werte im gesamten Intervall zu bestimmen:

(-∞ ; -4): Wir wählen x=-5∈(-∞ ; -4): f''(-5)= ( -5 ) 2 -5 -12 = 8 also > 0

(-4 ; 3): Wir wählen x=0∈(-4 ; 3): f''(0)= 0 2 +0 -12 = -12 also < 0

(3; ∞): Wir wählen x=4∈(3; ∞): f''(4)= 4 2 +4 -12 = 8 also > 0

Somit erhalten wir folgendes Ergebnis:

(-∞ ; -4): f''(x) positiv, also f Linkskurve

(-4 ; 3): f''(x) negativ, also f Rechtskurve

(3; ∞): f''(x) positiv, also f Linkskurve

Wendepunkt (ohne MNF)

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit f(x)= x 4 -2 x 3 -3x -2 :

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f(x)= x 4 -2 x 3 -3x -2

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= 4 x 3 -6 x 2 -3 +0

= 4 x 3 -6 x 2 -3


f''(x)= 12 x 2 -12x +0

= 12 x 2 -12x


f'''(x)= 24x -12

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

12 x 2 -12x = 0
12 x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

Die Lösungen 0, 1 sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 0 :

f'''(0 ) = 240 -12 = -12

Da f'''(0 )≠0, haben wir bei x = 0 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(0 ) = 0 4 -2 0 3 -30 -2 = -2
Man erhält so den Wendepunkt: WP(0 | -2 )

Überprüfung bei x = 1 :

f'''(1 ) = 241 -12 = 12

Da f'''(1 )≠0, haben wir bei x = 1 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(1 ) = 1 4 -2 1 3 -31 -2 = -6
Man erhält so den Wendepunkt: WP(1 | -6 )

Wendepunkte (ganzrational)

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit f(x)= - 1 3 x 3 +3 x 2 -2x +1 :

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f(x)= - 1 3 x 3 +3 x 2 -2x +1

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= - x 2 +6x -2 +0

= - x 2 +6x -2


f''(x)= -2x +6 +0

= -2x +6


f'''(x)= -2 +0

= -2

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

-2x +6 = 0 | -6
-2x = -6 |:(-2 )
x = 3

Die Lösung x= 3 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 3 :

f'''(3 ) = -2 +0 = -2

Da f'''(3 )≠0, haben wir bei x = 3 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(3 ) = - 1 3 3 3 +3 3 2 -23 +1 = 13
Man erhält so den Wendepunkt: WP(3 | 13 )

Wendepunkte (auch mit VZW)

Beispiel:

Berechne alle Wendepunkte von f mit f(x)= -5 x 7 +63 x 6 -210 x 5 +14x -2 :

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f(x)= -5 x 7 +63 x 6 -210 x 5 +14x -2

Als erstes leitet man die Funktion drei mal ab.

f'(x)= -35 x 6 +378 x 5 -1050 x 4 +14 +0

= -35 x 6 +378 x 5 -1050 x 4 +14


f''(x)= -210 x 5 +1890 x 4 -4200 x 3 +0

= -210 x 5 +1890 x 4 -4200 x 3


f'''(x)= -1050 x 4 +7560 x 3 -12600 x 2

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

-210 x 5 +1890 x 4 -4200 x 3 = 0
210 x 3 ( - x 2 +9x -20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +9x -20 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x2,3 = -9 ± 9 2 -4 · ( -1 ) · ( -20 ) 2( -1 )

x2,3 = -9 ± 81 -80 -2

x2,3 = -9 ± 1 -2

x2 = -9 + 1 -2 = -9 +1 -2 = -8 -2 = 4

x3 = -9 - 1 -2 = -9 -1 -2 = -10 -2 = 5

Die Lösungen 0, 4 , 5 sind nun die einzigen Kandidaten für Wendestellen.

Die einfachste Möglichkeit, um diese Kandidaten zu überprüfen, ist das Einsetzen dieser x-Werte in die dritte Ableitung.

Ist die dritte Ableitung des Punktes ungleich 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt (hinreichende Bedingung: f''(x0)=0 und f'''(x0)≠0).

Überprüfung bei x = 0 :

f'''(0 ) = -1050 0 4 +7560 0 3 -12600 0 2 =0

Leider hilft uns in diesem Fall die hinreichende Bedingung nicht weiter :(

Wir müssen also auf Vorzeichenwechsel überprüfen. Dazu betrachten wir die beiden Intervalle um x=0 herum:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Also (-∞ ; 0) und (0 ; 4). Da f'' auf diesen Intervallen stetig ist, keine Definitionslücken und vor allem keine weiteren Nullstellen hat, muss das Vorzeichen von f'' jeweils auf diesen gesamten Intervallen gleich sein. Es genügt also an einer Stelle des Intervalls, das Vorzeichen zu untersuchen:

(-∞ ; 0): Wir wählen x=-1∈(-∞ ; 0): f''(-1)= -210 ( -1 ) 5 +1890 ( -1 ) 4 -4200 ( -1 ) 3 = 6300 also > 0

(0 ; 4): Wir wählen x=1∈(0 ; 4): f''(1)= -210 1 5 +1890 1 4 -4200 1 3 = -2520 also < 0

Es liegt also ein Vorzeichenwechsel in f'' vor, also haben wir hier einen Wendepunkt(0|f(0)).

Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(0 ) = -5 0 7 +63 0 6 -210 0 5 +140 -2 = -2
Man erhält so den Wendepunkt: WP(0 | -2 )

Überprüfung bei x = 4 :

f'''(4 ) = -1050 4 4 +7560 4 3 -12600 4 2 = 13440

Da f'''(4 )≠0, haben wir bei x = 4 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(4 ) = -5 4 7 +63 4 6 -210 4 5 +144 -2 = -38858
Man erhält so den Wendepunkt: WP(4 | -38858 )

Überprüfung bei x = 5 :

f'''(5 ) = -1050 5 4 +7560 5 3 -12600 5 2 = -26250

Da f'''(5 )≠0, haben wir bei x = 5 einen Wendepunkt.
Um dessen y-Wert zu erhalten muss der entsprechende x-Wert in f(x) eingesetzen werden.
f(5 ) = -5 5 7 +63 5 6 -210 5 5 +145 -2 = -62432
Man erhält so den Wendepunkt: WP(5 | -62432 )