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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 u - 8 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 u - 8 v)}^{2}$ = ${(4 u)}^{2} - 2 \cdot 4 u \cdot 8 v + {(8 v)}^{2}$ = $16 u^{2} - 64 u v + 64 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 - 25 u^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64$ ) als auch der letzte ( $25 u^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8$ und für b dann $5 u$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(8 + 5 u) \cdot (8 - 5 u)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(8 + 5 u) \cdot (8 - 5 u)$ = $8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 5 u) + 5 u \cdot 8 + 5 u \cdot (- 5 u)$ = $64 - 25 u^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} - 12 x + 12$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} - 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(x - 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 6 x + ☐$

Der gemischte Term $- 6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 3)$ ²

somit gilt: ☐= $9$