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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(4 + 8 v) \cdot (4 - 8 v)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(4 + 8 v) \cdot (4 - 8 v)$ = $4^{2} - {(8 v)}^{2}$ = $16 - 64 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 24 x + 36$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $24 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $24 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $36$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $6$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $24 x$ = 2⋅ $2 x$ ⋅ $6$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x + 6)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x + 6)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot 6 + 6 \cdot 2 x + 6 \cdot 6$ = $4 x^{2} + 24 x + 36$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} + 16 x - 16$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 4 x^{2} + 16 x - 16$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} - 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(x - 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 8 x + ☐$

Der gemischte Term $8 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$8 x$ = 2⋅x⋅◇

also $4$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $4$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $4$ ²

somit gilt: ☐= $16$