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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(5 + 3 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(5 + 3 d)}^{2}$ = $5^{2} + 2 \cdot 5 \cdot 3 d + {(3 d)}^{2}$ = $25 + 30 d + 9 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 28 x + 49$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 28 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 28 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2 x$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 28 x$ = -2⋅ $2 x$ ⋅ $7$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 x - 7)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 x - 7)}^{2}$ = $2 x \cdot 2 x + 2 x \cdot (- 7) - 7 \cdot 2 x - 7 \cdot (- 7)$ = $4 x^{2} - 28 x + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} + 18 x + 27$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} + 18 x + 27$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} + 6 x + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(x + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 14 x + ☐$

Der gemischte Term $14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $7$ ²

somit gilt: ☐= $49$