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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(9 u + 9) \cdot (9 u - 9)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(9 u + 9) \cdot (9 u - 9)$ = ${(9 u)}^{2} - 9^{2}$ = $81 u^{2} - 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 x^{2} - 18 x + 1$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 18 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 18 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $1$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9 x$ und für b dann $1$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 18 x$ = -2⋅ $9 x$ ⋅ $1$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(9 x - 1)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(9 x - 1)}^{2}$ = $9 x \cdot 9 x + 9 x \cdot (- 1) - 1 \cdot 9 x - 1 \cdot (- 1)$ = $81 x^{2} - 18 x + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $x^{2} - 8 x + 16$

$x^{2} - 8 x + 16$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

${(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 8 x + ☐$

Der gemischte Term $- 8 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 8 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 4$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 4$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 4)$ ²

somit gilt: ☐= $16$