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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(9 r + 6 s)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(9 r + 6 s)}^{2}$ = ${(9 r)}^{2} + 2 \cdot 9 r \cdot 6 s + {(6 s)}^{2}$ = $81 r^{2} + 108 r s + 36 s^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 - 81 x^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $81 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $9 x$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(4 + 9 x) \cdot (4 - 9 x)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(4 + 9 x) \cdot (4 - 9 x)$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot (- 9 x) + 9 x \cdot 4 + 9 x \cdot (- 9 x)$ = $16 - 81 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 2 x^{2} + 2$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 2 x^{2} + 2$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 2$ aus.

$- 2 (x^{2} - 1)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 2 (x + 1) \cdot (x - 1)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$