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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 9y -3 ) 2

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Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ( 9y -3 ) 2 = ( 9y ) 2 -2 · 9y · 3 + 3 2 = 81 y 2 -54y +9

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 1 -14v +49 v 2

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Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( -14v ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( -14v ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 1 ) als auch der letzte ( 49 v 2 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 1 und für b dann 7v einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term -14v = -2⋅ 1 7v

Das Ergbenis wäre dann also: ( 1 -7v ) 2

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 1 -7v ) 2 = 1 · 1 + 1 · ( -7v ) -7v · 1 -7v · ( -7v ) = 1 -14v +49 v 2

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: -4 x 2 +8x -4

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-4 x 2 +8x -4

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor -4 aus.

-4( x 2 -2x +1 )

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

-4 ( x -1 ) 2

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 +14x +

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Der gemischte Term 14x auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

14x = 2⋅x⋅◇

also 7x = x⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇2=72

somit gilt: ☐= 49