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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 3c +2d ) 2

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Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ( 3c +2d ) 2 = ( 3c ) 2 +2 · 3c · 2d + ( 2d ) 2 = 9 c 2 +12c d +4 d 2

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 49 x 2 -1

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Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 49 x 2 ) als auch der letzte ( 1 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 7x und für b dann 1 einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: ( 7x +1 ) · ( 7x -1 )

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 7x +1 ) · ( 7x -1 ) = 7x · 7x + 7x · ( -1 ) + 1 · 7x + 1 · ( -1 ) = 49 x 2 -1

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: -4 x 2 -16x -16

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-4 x 2 -16x -16

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor -4 aus.

-4( x 2 +4x +4 )

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

-4 ( x +2 ) 2

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 + +25

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Der hintere Term 25 muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also 25 = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= 10x