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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 5a +5b ) · ( 5a -5b )

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Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also ( 5a +5b ) · ( 5a -5b ) = ( 5a ) 2 - ( 5b ) 2 = 25 a 2 -25 b 2

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 81 +18z + z 2

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Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( 18z ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( 18z ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 81 ) als auch der letzte ( z 2 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 9 und für b dann z einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term 18z = 2⋅ 9 z

Das Ergbenis wäre dann also: ( 9 + z ) 2

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 9 + z ) 2 = 9 · 9 + 9 · z + z · 9 + z · z = 81 +18z + z 2

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 3 x 2 -6x +3

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3 x 2 -6x +3

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor 3 aus.

3( x 2 -2x +1 )

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

3 ( x -1 ) 2

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 +4x +

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Der gemischte Term 4x auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

4x = 2⋅x⋅◇

also 2x = x⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇2=22

somit gilt: ☐= 4