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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 + 6 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 + 6 d)}^{2}$ = $2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot 6 d + {(6 d)}^{2}$ = $4 + 24 d + 36 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 x^{2} + 32 x + 16$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $32 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $32 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $16$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 x$ und für b dann $4$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $32 x$ = 2⋅ $4 x$ ⋅ $4$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 x + 4)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 x + 4)}^{2}$ = $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot 4 + 4 \cdot 4 x + 4 \cdot 4$ = $16 x^{2} + 32 x + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} - 24 x - 48$

$- 3 x^{2} - 24 x - 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} + 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x + 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$