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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 u + 4)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 u + 4)}^{2}$ = ${(3 u)}^{2} + 2 \cdot 3 u \cdot 4 + 4^{2}$ = $9 u^{2} + 24 u + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 x^{2} - 80 x + 25$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 80 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 80 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8 x$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 80 x$ = -2⋅ $8 x$ ⋅ $5$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 x - 5)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 x - 5)}^{2}$ = $8 x \cdot 8 x + 8 x \cdot (- 5) - 5 \cdot 8 x - 5 \cdot (- 5)$ = $64 x^{2} - 80 x + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 40 x + 100$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 x^{2} - 40 x + 100$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} - 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 14 x + ☐$

Der gemischte Term $14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $7$ ²

somit gilt: ☐= $49$