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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 4c -2 ) 2

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Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ( 4c -2 ) 2 = ( 4c ) 2 -2 · 4c · 2 + 2 2 = 16 c 2 -16c +4

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 36 -49 x 2

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Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 36 ) als auch der letzte ( 49 x 2 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 6 und für b dann 7x einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: ( 6 +7x ) · ( 6 -7x )

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 6 +7x ) · ( 6 -7x ) = 6 · 6 + 6 · ( -7x ) + 7x · 6 + 7x · ( -7x ) = 36 -49 x 2

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: -2 z 2 +8

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-2 z 2 +8

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor -2 aus.

-2( z 2 -4 )

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

-2 ( z +2 ) · ( z -2 )

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 + +16

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Der hintere Term 16 muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also 16 = 4⋅4 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=4

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅4

somit gilt: ☐= 8x