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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 - 2 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 - 2 d)}^{2}$ = $3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 d + {(2 d)}^{2}$ = $9 - 12 d + 4 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $1 - 6 u + 9 u^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 6 u$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 6 u$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $1$ ) als auch der letzte ( $9 u^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $1$ und für b dann $3 u$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 6 u$ = -2⋅ $1$ ⋅ $3 u$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(1 - 3 u)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(1 - 3 u)}^{2}$ = $1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 3 u) - 3 u \cdot 1 - 3 u \cdot (- 3 u)$ = $1 - 6 u + 9 u^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} - 27$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} - 27$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} - 9)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$3 (x + 3) (x - 3)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 12 x + ☐$

Der gemischte Term $- 12 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 12 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 6$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 6$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 6)$ ²

somit gilt: ☐= $36$