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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 + 3 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 + 3 b)}^{2}$ = $7^{2} + 2 \cdot 7 \cdot 3 b + {(3 b)}^{2}$ = $49 + 42 b + 9 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 x^{2} + 70 x + 49$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $70 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $70 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $49$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 x$ und für b dann $7$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $70 x$ = 2⋅ $5 x$ ⋅ $7$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 x + 7)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 x + 7)}^{2}$ = $5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot 7 + 7 \cdot 5 x + 7 \cdot 7$ = $25 x^{2} + 70 x + 49$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} + 30 x - 75$

$- 3 x^{2} + 30 x - 75$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} - 10 x + 25)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x - 5)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 49$

Der hintere Term $49$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $49$ = 7⋅7 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅7

somit gilt: ☐= $14 x$