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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 c - 2 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 c - 2 d)}^{2}$ = ${(8 c)}^{2} - 2 \cdot 8 c \cdot 2 d + {(2 d)}^{2}$ = $64 c^{2} - 32 c d + 4 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $9 + 30 y + 25 y^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $30 y$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $30 y$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $9$ ) als auch der letzte ( $25 y^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $3$ und für b dann $5 y$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $30 y$ = 2⋅ $3$ ⋅ $5 y$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(3 + 5 y)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(3 + 5 y)}^{2}$ = $3 \cdot 3 + 3 \cdot 5 y + 5 y \cdot 3 + 5 y \cdot 5 y$ = $9 + 30 y + 25 y^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} + 2 x - 1$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- x^{2} + 2 x - 1$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} - 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(x - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 16$

Der hintere Term $16$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $16$ = 4⋅4 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=4

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅4

somit gilt: ☐= $8 x$