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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 5 +8v ) · ( 5 -8v )

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Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also ( 5 +8v ) · ( 5 -8v ) = 5 2 - ( 8v ) 2 = 25 -64 v 2

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 64 -144x +81 x 2

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Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( -144x ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( -144x ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 64 ) als auch der letzte ( 81 x 2 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 8 und für b dann 9x einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term -144x = -2⋅ 8 9x

Das Ergbenis wäre dann also: ( 8 -9x ) 2

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 8 -9x ) 2 = 8 · 8 + 8 · ( -9x ) -9x · 8 -9x · ( -9x ) = 64 -144x +81 x 2

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 4 x 2 +24x +36

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4 x 2 +24x +36

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor 4 aus.

4( x 2 +6x +9 )

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

4 ( x +3 ) 2

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 -14x +

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Der gemischte Term -14x auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

-14x = 2⋅x⋅◇

also -7x = x⋅◇

somit gilt: ◇=-7

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇2= ( -7 ) 2

somit gilt: ☐= 49