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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 u + 4 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 u + 4 v)}^{2}$ = ${(4 u)}^{2} + 2 \cdot 4 u \cdot 4 v + {(4 v)}^{2}$ = $16 u^{2} + 32 u v + 16 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 + 16 x + x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $16 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $16 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64$ ) als auch der letzte ( $x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8$ und für b dann $x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $16 x$ = 2⋅ $8$ ⋅ $x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 + x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 + x)}^{2}$ = $8 \cdot 8 + 8 \cdot x + x \cdot 8 + x \cdot x$ = $64 + 16 x + x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} + 6 x + 3$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(x + 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 2 x + ☐$

Der gemischte Term $- 2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 1)$ ²

somit gilt: ☐= $1$