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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 a + 8 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 a + 8 b)}^{2}$ = ${(4 a)}^{2} + 2 \cdot 4 a \cdot 8 b + {(8 b)}^{2}$ = $16 a^{2} + 64 a b + 64 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 - 16 x + 16 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 16 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 16 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $4$ ) als auch der letzte ( $16 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $2$ und für b dann $4 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 16 x$ = -2⋅ $2$ ⋅ $4 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(2 - 4 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(2 - 4 x)}^{2}$ = $2 \cdot 2 + 2 \cdot (- 4 x) - 4 x \cdot 2 - 4 x \cdot (- 4 x)$ = $4 - 16 x + 16 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} + 3$

$- 3 x^{2} + 3$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} - 1)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 (x + 1) \cdot (x - 1)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 10 x + ☐$

Der gemischte Term $- 10 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 10 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 5$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 5$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 5)$ ²

somit gilt: ☐= $25$