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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(7 + 8 v) \cdot (7 - 8 v)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(7 + 8 v) \cdot (7 - 8 v)$ = $7^{2} - {(8 v)}^{2}$ = $49 - 64 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 x^{2} + 36 x + 9$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $36 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $36 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $9$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6 x$ und für b dann $3$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $36 x$ = 2⋅ $6 x$ ⋅ $3$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 x + 3)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 x + 3)}^{2}$ = $6 x \cdot 6 x + 6 x \cdot 3 + 3 \cdot 6 x + 3 \cdot 3$ = $36 x^{2} + 36 x + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} + 2 x - 1$

$- x^{2} + 2 x - 1$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} - 2 x + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- {(x - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 12 x + ☐$

Der gemischte Term $- 12 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 12 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 6$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 6$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 6)$ ²

somit gilt: ☐= $36$