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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(5 + 8 v) \cdot (5 - 8 v)$

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Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(5 + 8 v) \cdot (5 - 8 v)$ = $5^{2} - {(8 v)}^{2}$ = $25 - 64 v^{2}$

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 - 144 x + 81 x^{2}$

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Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 144 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 144 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64$ ) als auch der letzte ( $81 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8$ und für b dann $9 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 144 x$ = -2⋅ $8$ ⋅ $9 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 - 9 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 - 9 x)}^{2}$ = $8 \cdot 8 + 8 \cdot (- 9 x) - 9 x \cdot 8 - 9 x \cdot (- 9 x)$ = $64 - 144 x + 81 x^{2}$

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 24 x + 36$

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$4 x^{2} + 24 x + 36$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} + 6 x + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x + 3)}^{2}$

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 14 x + ☐$

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Der gemischte Term $- 14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 7)$ ²

somit gilt: ☐= $49$