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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(a + 7 b)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(a + 7 b)}^{2}$ = $a^{2} + 2 a \cdot 7 b + {(7 b)}^{2}$ = $a^{2} + 14 a b + 49 b^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $49 - 56 u + 16 u^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 56 u$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 56 u$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $49$ ) als auch der letzte ( $16 u^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $7$ und für b dann $4 u$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 56 u$ = -2⋅ $7$ ⋅ $4 u$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(7 - 4 u)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(7 - 4 u)}^{2}$ = $7 \cdot 7 + 7 \cdot (- 4 u) - 4 u \cdot 7 - 4 u \cdot (- 4 u)$ = $49 - 56 u + 16 u^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} + 24 x - 48$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 3 x^{2} + 24 x - 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 6 x + ☐$

Der gemischte Term $6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $3$ ²

somit gilt: ☐= $9$