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Binomische Formeln vorwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
( 8a -9b ) 2

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Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ( 8a -9b ) 2 = ( 8a ) 2 -2 · 8a · 9b + ( 9b ) 2 = 64 a 2 -144a b +81 b 2

Binomische Formeln rückwärts

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: 9 +36x +36 x 2

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Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( 36x ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( 36x ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( 9 ) als auch der letzte ( 36 x 2 ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann 3 und für b dann 6x einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term 36x = 2⋅ 3 6x

Das Ergbenis wäre dann also: ( 3 +6x ) 2

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ( 3 +6x ) 2 = 3 · 3 + 3 · 6x + 6x · 3 + 6x · 6x = 9 +36x +36 x 2

Binomische Formeln rückwärts 2

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: x 2 -6x +9

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x 2 -6x +9

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

( x -3 ) 2

Binomische Formel mit Lücke

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
( x + ) 2 = x 2 +4x +

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Der gemischte Term 4x auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

4x = 2⋅x⋅◇

also 2x = x⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇2=22

somit gilt: ☐= 4