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Punkt- und Strich-Rechnung

Beispiel:

Berechne: $\frac{5}{6} - \frac{15}{4} \cdot \frac{8}{9}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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$\frac{5}{6} - \frac{15}{4} \cdot \frac{8}{9}$

= $\frac{5}{6}$ $- \frac{15 \cdot 8}{4 \cdot 9}$

= $\frac{5}{6}$ $- \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 3}$

= $\frac{5}{6}$ $- \frac{10}{3}$

= $\frac{5}{6}$ $- \frac{20}{6}$

= $- \frac{15}{6}$

= $- \frac{5}{2}$

Ausklammern

Beispiel:

Berechne mit Ausklammern: $\frac{1}{5} \cdot \frac{23}{4} + \frac{23}{4} \cdot \frac{3}{5}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausgeklammert werden und wenn man genau hinsieht, erkennt man, dass $\frac{23}{4}$ in beiden Produkten enthalten ist. Wir klammern also $\frac{23}{4}$ aus:

$\frac{1}{5} \cdot \frac{23}{4} + \frac{23}{4} \cdot \frac{3}{5}$

= $\frac{23}{4} \cdot (\frac{1}{5} + \frac{3}{5})$

= $\frac{23}{4}$ ⋅ $\frac{4}{5}$

Jetzt können wir diagonal mit 4 kürzen:

= $\frac{23}{5}$

Ausmultiplizieren

Beispiel:

Berechne mit Ausmultiplizieren: $(\frac{7}{10} - \frac{1}{9}) \cdot \frac{90}{13}$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Wie ja in der Aufgabenstellung steht, soll erst mal ausmultipliziert werden,
das heißt wir multiplizieren die $\frac{90}{13}$ mit beiden Summanden in der Klammer:

$\frac{7}{10} \cdot \frac{90}{13} - \frac{1}{9} \cdot \frac{90}{13}$

= $\frac{7 \cdot 90}{10 \cdot 13}$ $- \frac{1 \cdot 90}{9 \cdot 13}$

= $\frac{7 \cdot 9}{1 \cdot 13}$ $- \frac{1 \cdot 10}{1 \cdot 13}$

= $\frac{63}{13}$ $- \frac{10}{13}$

= $\frac{53}{13}$

Rechenvorteile

Beispiel:

Berechne. Überlege, ob du mit Ausmultiplizieren oder Ausklammern Rechenvorteile bekommst: $\frac{15}{8} \cdot (\frac{4}{5} - \frac{1}{3})$

Gib den Bruch vollständig gekürzt ein!

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Die beiden Nenner in der Klammer sind so verschieden, dass Addieren oder Subtrahieren relativ aufwändig wird. Auf der anderen Seite lässt sich die 15 von $\frac{15}{8}$ sehr gut mit beiden Brüchen in der Klammer multiplizieren - Kürzen wird beides mal sehr gut möglich. Deswegen ist es hier am einfachsten, wenn wir erst Ausmultiplizieren:

$\frac{15}{8} \cdot (\frac{4}{5} - \frac{1}{3})$

= $\frac{15}{8} \cdot \frac{4}{5} + \frac{15}{8} \cdot (- \frac{1}{3})$

= $\frac{15 \cdot 4}{8 \cdot 5}$ $- \frac{15 \cdot 1}{8 \cdot 3}$

= $\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1}$ $- \frac{5 \cdot 1}{8 \cdot 1}$

= $\frac{3}{2}$ $- \frac{5}{8}$

= $\frac{12}{8}$ $- \frac{5}{8}$

= $\frac{7}{8}$

Bruchrechnungen verbal

Beispiel:

Subtrahiere vom Quotient von $\frac{6}{25}$ und $\frac{4}{5}$ die $\frac{11}{10}$ .

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Zuerst müssen wir den Text in einen mathematischen Term übersetzen:

$\frac{6}{25} : \frac{4}{5} - \frac{11}{10}$

= $\frac{6}{25}$ $\cdot$ $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{10}$

= $\frac{6 \cdot 5}{25 \cdot 4}$ - $\frac{11}{10}$

= $\frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 2}$ - $\frac{11}{10}$

= $\frac{3}{10}$ - $\frac{11}{10}$

= $- \frac{8}{10}$

= $- \frac{4}{5}$