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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 21 = 3.

Somit gilt: 24 mod 7 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 71 für die gilt n ≡ 79 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 77 = 2.

Somit gilt: 79 mod 11 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 66 und erhalten so 68.

Somit gilt: 68 ≡ 79 ≡ 2 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4002 - 1596) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 - 1596) mod 4 ≡ (4002 mod 4 - 1596 mod 4) mod 4.

4002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 4 ⋅ 1000 +2.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

Somit gilt:

(4002 - 1596) mod 4 ≡ (2 - 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 71) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 71) mod 4 ≡ (92 mod 4 ⋅ 71 mod 4) mod 4.

92 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 92 + 0 = 23 ⋅ 4 + 0 ist.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 71) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
34 mod m = 44 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 44 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 = 0 = 44 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 ≠ 2 = 44 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 0 = 44 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 = 4 = 44 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 2 = 44 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 2 = 44 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 4 = 44 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 8 = 44 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 = 4 = 44 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 0 = 44 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 8 = 44 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 5 = 44 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 2 = 44 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 14 = 44 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 12 = 44 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 10 = 44 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 8 = 44 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 6 = 44 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 4 = 44 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 2 = 44 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 0 = 44 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 21 = 44 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 20 = 44 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 19 = 44 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 18 = 44 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 17 = 44 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 16 = 44 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 15 = 44 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 14 = 44 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 13 = 44 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 12 = 44 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 11 = 44 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 10 = 44 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (44 - 34) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10