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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 38 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 38 - 30 = 8.
Somit gilt: 38 mod 10 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 66 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.
Somit gilt: 66 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6
Somit gilt: 30 ≡ 66 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 122) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 122) mod 4 ≡ (12000 mod 4 + 122 mod 4) mod 4.
12000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
122 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122
= 120
Somit gilt:
(12000 + 122) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 84) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 84) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 84 mod 10) mod 10.
93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.
84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 84) mod 10 ≡ (3 ⋅ 4) mod 10 ≡ 12 mod 10 ≡ 2 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
97 mod m = 127 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 97 aus, ob zufällig 97 mod m = 127 mod m gilt:
m=2: 97 mod 2 = 1 = 1 = 127 mod 2
m=3: 97 mod 3 = 1 = 1 = 127 mod 3
m=4: 97 mod 4 = 1 ≠ 3 = 127 mod 4
m=5: 97 mod 5 = 2 = 2 = 127 mod 5
m=6: 97 mod 6 = 1 = 1 = 127 mod 6
m=7: 97 mod 7 = 6 ≠ 1 = 127 mod 7
m=8: 97 mod 8 = 1 ≠ 7 = 127 mod 8
m=9: 97 mod 9 = 7 ≠ 1 = 127 mod 9
m=10: 97 mod 10 = 7 = 7 = 127 mod 10
m=11: 97 mod 11 = 9 ≠ 6 = 127 mod 11
m=12: 97 mod 12 = 1 ≠ 7 = 127 mod 12
m=13: 97 mod 13 = 6 ≠ 10 = 127 mod 13
m=14: 97 mod 14 = 13 ≠ 1 = 127 mod 14
m=15: 97 mod 15 = 7 = 7 = 127 mod 15
m=16: 97 mod 16 = 1 ≠ 15 = 127 mod 16
m=17: 97 mod 17 = 12 ≠ 8 = 127 mod 17
m=18: 97 mod 18 = 7 ≠ 1 = 127 mod 18
m=19: 97 mod 19 = 2 ≠ 13 = 127 mod 19
m=20: 97 mod 20 = 17 ≠ 7 = 127 mod 20
m=21: 97 mod 21 = 13 ≠ 1 = 127 mod 21
m=22: 97 mod 22 = 9 ≠ 17 = 127 mod 22
m=23: 97 mod 23 = 5 ≠ 12 = 127 mod 23
m=24: 97 mod 24 = 1 ≠ 7 = 127 mod 24
m=25: 97 mod 25 = 22 ≠ 2 = 127 mod 25
m=26: 97 mod 26 = 19 ≠ 23 = 127 mod 26
m=27: 97 mod 27 = 16 ≠ 19 = 127 mod 27
m=28: 97 mod 28 = 13 ≠ 15 = 127 mod 28
m=29: 97 mod 29 = 10 ≠ 11 = 127 mod 29
m=30: 97 mod 30 = 7 = 7 = 127 mod 30
m=31: 97 mod 31 = 4 ≠ 3 = 127 mod 31
m=32: 97 mod 32 = 1 ≠ 31 = 127 mod 32
m=33: 97 mod 33 = 31 ≠ 28 = 127 mod 33
m=34: 97 mod 34 = 29 ≠ 25 = 127 mod 34
m=35: 97 mod 35 = 27 ≠ 22 = 127 mod 35
m=36: 97 mod 36 = 25 ≠ 19 = 127 mod 36
m=37: 97 mod 37 = 23 ≠ 16 = 127 mod 37
m=38: 97 mod 38 = 21 ≠ 13 = 127 mod 38
m=39: 97 mod 39 = 19 ≠ 10 = 127 mod 39
m=40: 97 mod 40 = 17 ≠ 7 = 127 mod 40
m=41: 97 mod 41 = 15 ≠ 4 = 127 mod 41
m=42: 97 mod 42 = 13 ≠ 1 = 127 mod 42
m=43: 97 mod 43 = 11 ≠ 41 = 127 mod 43
m=44: 97 mod 44 = 9 ≠ 39 = 127 mod 44
m=45: 97 mod 45 = 7 ≠ 37 = 127 mod 45
m=46: 97 mod 46 = 5 ≠ 35 = 127 mod 46
m=47: 97 mod 47 = 3 ≠ 33 = 127 mod 47
m=48: 97 mod 48 = 1 ≠ 31 = 127 mod 48
m=49: 97 mod 49 = 48 ≠ 29 = 127 mod 49
m=50: 97 mod 50 = 47 ≠ 27 = 127 mod 50
m=51: 97 mod 51 = 46 ≠ 25 = 127 mod 51
m=52: 97 mod 52 = 45 ≠ 23 = 127 mod 52
m=53: 97 mod 53 = 44 ≠ 21 = 127 mod 53
m=54: 97 mod 54 = 43 ≠ 19 = 127 mod 54
m=55: 97 mod 55 = 42 ≠ 17 = 127 mod 55
m=56: 97 mod 56 = 41 ≠ 15 = 127 mod 56
m=57: 97 mod 57 = 40 ≠ 13 = 127 mod 57
m=58: 97 mod 58 = 39 ≠ 11 = 127 mod 58
m=59: 97 mod 59 = 38 ≠ 9 = 127 mod 59
m=60: 97 mod 60 = 37 ≠ 7 = 127 mod 60
m=61: 97 mod 61 = 36 ≠ 5 = 127 mod 61
m=62: 97 mod 62 = 35 ≠ 3 = 127 mod 62
m=63: 97 mod 63 = 34 ≠ 1 = 127 mod 63
m=64: 97 mod 64 = 33 ≠ 63 = 127 mod 64
m=65: 97 mod 65 = 32 ≠ 62 = 127 mod 65
m=66: 97 mod 66 = 31 ≠ 61 = 127 mod 66
m=67: 97 mod 67 = 30 ≠ 60 = 127 mod 67
m=68: 97 mod 68 = 29 ≠ 59 = 127 mod 68
m=69: 97 mod 69 = 28 ≠ 58 = 127 mod 69
m=70: 97 mod 70 = 27 ≠ 57 = 127 mod 70
m=71: 97 mod 71 = 26 ≠ 56 = 127 mod 71
m=72: 97 mod 72 = 25 ≠ 55 = 127 mod 72
m=73: 97 mod 73 = 24 ≠ 54 = 127 mod 73
m=74: 97 mod 74 = 23 ≠ 53 = 127 mod 74
m=75: 97 mod 75 = 22 ≠ 52 = 127 mod 75
m=76: 97 mod 76 = 21 ≠ 51 = 127 mod 76
m=77: 97 mod 77 = 20 ≠ 50 = 127 mod 77
m=78: 97 mod 78 = 19 ≠ 49 = 127 mod 78
m=79: 97 mod 79 = 18 ≠ 48 = 127 mod 79
m=80: 97 mod 80 = 17 ≠ 47 = 127 mod 80
m=81: 97 mod 81 = 16 ≠ 46 = 127 mod 81
m=82: 97 mod 82 = 15 ≠ 45 = 127 mod 82
m=83: 97 mod 83 = 14 ≠ 44 = 127 mod 83
m=84: 97 mod 84 = 13 ≠ 43 = 127 mod 84
m=85: 97 mod 85 = 12 ≠ 42 = 127 mod 85
m=86: 97 mod 86 = 11 ≠ 41 = 127 mod 86
m=87: 97 mod 87 = 10 ≠ 40 = 127 mod 87
m=88: 97 mod 88 = 9 ≠ 39 = 127 mod 88
m=89: 97 mod 89 = 8 ≠ 38 = 127 mod 89
m=90: 97 mod 90 = 7 ≠ 37 = 127 mod 90
m=91: 97 mod 91 = 6 ≠ 36 = 127 mod 91
m=92: 97 mod 92 = 5 ≠ 35 = 127 mod 92
m=93: 97 mod 93 = 4 ≠ 34 = 127 mod 93
m=94: 97 mod 94 = 3 ≠ 33 = 127 mod 94
m=95: 97 mod 95 = 2 ≠ 32 = 127 mod 95
m=96: 97 mod 96 = 1 ≠ 31 = 127 mod 96
m=97: 97 mod 97 = 0 ≠ 30 = 127 mod 97
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (127 - 97) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
