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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 55 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 49 = 6.

Somit gilt: 55 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 28 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 55 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1204 + 17996) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1204 + 17996) mod 6 ≡ (1204 mod 6 + 17996 mod 6) mod 6.

1204 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1204 = 1200+4 = 6 ⋅ 200 +4.

17996 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17996 = 18000-4 = 6 ⋅ 3000 -4 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 2.

Somit gilt:

(1204 + 17996) mod 6 ≡ (4 + 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 65) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 65) mod 3 ≡ (93 mod 3 ⋅ 65 mod 3) mod 3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 93 + 0 = 31 ⋅ 3 + 0 ist.

65 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 21 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 65) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
44 mod m = 64 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 64 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 = 0 = 64 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 ≠ 1 = 64 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 = 0 = 64 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 = 4 = 64 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 ≠ 4 = 64 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 1 = 64 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 0 = 64 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 1 = 64 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 = 4 = 64 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 9 = 64 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 4 = 64 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 12 = 64 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 8 = 64 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 ≠ 4 = 64 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 0 = 64 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 13 = 64 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 10 = 64 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 7 = 64 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 = 4 = 64 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 1 = 64 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 20 = 64 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 18 = 64 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 16 = 64 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 14 = 64 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 12 = 64 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 10 = 64 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 8 = 64 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 6 = 64 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 4 = 64 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 2 = 64 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 0 = 64 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 31 = 64 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 30 = 64 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 29 = 64 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 28 = 64 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 27 = 64 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 26 = 64 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 25 = 64 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 24 = 64 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 23 = 64 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 22 = 64 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 21 = 64 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 20 = 64 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (64 - 44) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20