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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 22 = 1.

Somit gilt: 23 mod 11 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 30 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.

Somit gilt: 30 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 3 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 21 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 30 ≡ 2 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5998 + 239) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 + 239) mod 6 ≡ (5998 mod 6 + 239 mod 6) mod 6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

239 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 239 = 240-1 = 6 ⋅ 40 -1 = 6 ⋅ 40 - 6 + 5.

Somit gilt:

(5998 + 239) mod 6 ≡ (4 + 5) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 82) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 82) mod 8 ≡ (60 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.

60 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 7 ⋅ 8 + 4 ist.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 82) mod 8 ≡ (4 ⋅ 2) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 28 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 ≠ 0 = 28 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 = 1 = 28 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 9 = 28 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 19) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9