nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 83 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 36 = 4 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 36 und erhalten so 38.

Somit gilt: 38 ≡ 83 ≡ 2 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1996 - 799) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1996 - 799) mod 4 ≡ (1996 mod 4 - 799 mod 4) mod 4.

1996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1996 = 1900+96 = 4 ⋅ 475 +96.

799 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 799 = 700+99 = 4 ⋅ 175 +99.

Somit gilt:

(1996 - 799) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 52) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 52) mod 9 ≡ (89 mod 9 ⋅ 52 mod 9) mod 9.

89 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 81 + 8 = 9 ⋅ 9 + 8 ist.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 52) mod 9 ≡ (8 ⋅ 7) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
42 mod m = 62 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 42 aus, ob zufällig 42 mod m = 62 mod m gilt:

m=2: 42 mod 2 = 0 = 0 = 62 mod 2

m=3: 42 mod 3 = 0 ≠ 2 = 62 mod 3

m=4: 42 mod 4 = 2 = 2 = 62 mod 4

m=5: 42 mod 5 = 2 = 2 = 62 mod 5

m=6: 42 mod 6 = 0 ≠ 2 = 62 mod 6

m=7: 42 mod 7 = 0 ≠ 6 = 62 mod 7

m=8: 42 mod 8 = 2 ≠ 6 = 62 mod 8

m=9: 42 mod 9 = 6 ≠ 8 = 62 mod 9

m=10: 42 mod 10 = 2 = 2 = 62 mod 10

m=11: 42 mod 11 = 9 ≠ 7 = 62 mod 11

m=12: 42 mod 12 = 6 ≠ 2 = 62 mod 12

m=13: 42 mod 13 = 3 ≠ 10 = 62 mod 13

m=14: 42 mod 14 = 0 ≠ 6 = 62 mod 14

m=15: 42 mod 15 = 12 ≠ 2 = 62 mod 15

m=16: 42 mod 16 = 10 ≠ 14 = 62 mod 16

m=17: 42 mod 17 = 8 ≠ 11 = 62 mod 17

m=18: 42 mod 18 = 6 ≠ 8 = 62 mod 18

m=19: 42 mod 19 = 4 ≠ 5 = 62 mod 19

m=20: 42 mod 20 = 2 = 2 = 62 mod 20

m=21: 42 mod 21 = 0 ≠ 20 = 62 mod 21

m=22: 42 mod 22 = 20 ≠ 18 = 62 mod 22

m=23: 42 mod 23 = 19 ≠ 16 = 62 mod 23

m=24: 42 mod 24 = 18 ≠ 14 = 62 mod 24

m=25: 42 mod 25 = 17 ≠ 12 = 62 mod 25

m=26: 42 mod 26 = 16 ≠ 10 = 62 mod 26

m=27: 42 mod 27 = 15 ≠ 8 = 62 mod 27

m=28: 42 mod 28 = 14 ≠ 6 = 62 mod 28

m=29: 42 mod 29 = 13 ≠ 4 = 62 mod 29

m=30: 42 mod 30 = 12 ≠ 2 = 62 mod 30

m=31: 42 mod 31 = 11 ≠ 0 = 62 mod 31

m=32: 42 mod 32 = 10 ≠ 30 = 62 mod 32

m=33: 42 mod 33 = 9 ≠ 29 = 62 mod 33

m=34: 42 mod 34 = 8 ≠ 28 = 62 mod 34

m=35: 42 mod 35 = 7 ≠ 27 = 62 mod 35

m=36: 42 mod 36 = 6 ≠ 26 = 62 mod 36

m=37: 42 mod 37 = 5 ≠ 25 = 62 mod 37

m=38: 42 mod 38 = 4 ≠ 24 = 62 mod 38

m=39: 42 mod 39 = 3 ≠ 23 = 62 mod 39

m=40: 42 mod 40 = 2 ≠ 22 = 62 mod 40

m=41: 42 mod 41 = 1 ≠ 21 = 62 mod 41

m=42: 42 mod 42 = 0 ≠ 20 = 62 mod 42

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 42) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20