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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 26 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 22 = 4.
Somit gilt: 26 mod 11 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 74 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.
Somit gilt: 74 mod 5 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 40 und erhalten so 44.
Somit gilt: 44 ≡ 74 ≡ 4 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12004 + 19999) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12004 + 19999) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.
12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004
= 12000
19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
Somit gilt:
(12004 + 19999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 41) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(47 ⋅ 41) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 41 mod 9) mod 9.
47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.
41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(47 ⋅ 41) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
