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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 88 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 88 = 0.

Somit gilt: 88 mod 11 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 65 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 63, weil ja 21 ⋅ 3 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 65 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39998 + 399) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39998 + 399) mod 8 ≡ (39998 mod 8 + 399 mod 8) mod 8.

39998 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39998 = 39000+998 = 8 ⋅ 4875 +998.

399 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 399 = 400-1 = 8 ⋅ 50 -1 = 8 ⋅ 50 - 8 + 7.

Somit gilt:

(39998 + 399) mod 8 ≡ (6 + 7) mod 8 ≡ 13 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 16) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 16) mod 10 ≡ (67 mod 10 ⋅ 16 mod 10) mod 10.

67 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 60 + 7 = 6 ⋅ 10 + 7 ist.

16 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 10 + 6 = 1 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 16) mod 10 ≡ (7 ⋅ 6) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 36 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12