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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 16 - 11 = 5.
Somit gilt: 16 mod 11 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 84 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.
Somit gilt: 84 mod 7 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7
Somit gilt: 70 ≡ 84 ≡ 0 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31992 - 2405) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31992 - 2405) mod 8 ≡ (31992 mod 8 - 2405 mod 8) mod 8.
31992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31992
= 31000
2405 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405
= 2400
Somit gilt:
(31992 - 2405) mod 8 ≡ (0 - 5) mod 8 ≡ -5 mod 8 ≡ 3 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 78) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(51 ⋅ 78) mod 9 ≡ (51 mod 9 ⋅ 78 mod 9) mod 9.
51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.
78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.
Somit gilt:
(51 ⋅ 78) mod 9 ≡ (6 ⋅ 6) mod 9 ≡ 36 mod 9 ≡ 0 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 40 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
