nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 70 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 69, weil ja 23 ⋅ 3 = 69 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 69 = 1.

Somit gilt: 70 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 66 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 63 = 3.

Somit gilt: 66 mod 7 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 3 mod 7 sein, also addieren wir noch 3 auf die 49 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 66 ≡ 3 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (351 - 446) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(351 - 446) mod 9 ≡ (351 mod 9 - 446 mod 9) mod 9.

351 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 351 = 360-9 = 9 ⋅ 40 -9 = 9 ⋅ 40 - 9 + 0.

446 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 446 = 450-4 = 9 ⋅ 50 -4 = 9 ⋅ 50 - 9 + 5.

Somit gilt:

(351 - 446) mod 9 ≡ (0 - 5) mod 9 ≡ -5 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 79) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 79) mod 6 ≡ (52 mod 6 ⋅ 79 mod 6) mod 6.

52 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 48 + 4 = 8 ⋅ 6 + 4 ist.

79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 79) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6