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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 63 = 1.

Somit gilt: 64 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 97 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.

Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 97 ≡ 2 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (352 - 35999) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(352 - 35999) mod 9 ≡ (352 mod 9 - 35999 mod 9) mod 9.

352 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 352 = 360-8 = 9 ⋅ 40 -8 = 9 ⋅ 40 - 9 + 1.

35999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35999 = 36000-1 = 9 ⋅ 4000 -1 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(352 - 35999) mod 9 ≡ (1 - 8) mod 9 ≡ -7 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 46) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 46) mod 4 ≡ (56 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

56 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 56 + 0 = 14 ⋅ 4 + 0 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 46) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
50 mod m = 70 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 50 aus, ob zufällig 50 mod m = 70 mod m gilt:

m=2: 50 mod 2 = 0 = 0 = 70 mod 2

m=3: 50 mod 3 = 2 ≠ 1 = 70 mod 3

m=4: 50 mod 4 = 2 = 2 = 70 mod 4

m=5: 50 mod 5 = 0 = 0 = 70 mod 5

m=6: 50 mod 6 = 2 ≠ 4 = 70 mod 6

m=7: 50 mod 7 = 1 ≠ 0 = 70 mod 7

m=8: 50 mod 8 = 2 ≠ 6 = 70 mod 8

m=9: 50 mod 9 = 5 ≠ 7 = 70 mod 9

m=10: 50 mod 10 = 0 = 0 = 70 mod 10

m=11: 50 mod 11 = 6 ≠ 4 = 70 mod 11

m=12: 50 mod 12 = 2 ≠ 10 = 70 mod 12

m=13: 50 mod 13 = 11 ≠ 5 = 70 mod 13

m=14: 50 mod 14 = 8 ≠ 0 = 70 mod 14

m=15: 50 mod 15 = 5 ≠ 10 = 70 mod 15

m=16: 50 mod 16 = 2 ≠ 6 = 70 mod 16

m=17: 50 mod 17 = 16 ≠ 2 = 70 mod 17

m=18: 50 mod 18 = 14 ≠ 16 = 70 mod 18

m=19: 50 mod 19 = 12 ≠ 13 = 70 mod 19

m=20: 50 mod 20 = 10 = 10 = 70 mod 20

m=21: 50 mod 21 = 8 ≠ 7 = 70 mod 21

m=22: 50 mod 22 = 6 ≠ 4 = 70 mod 22

m=23: 50 mod 23 = 4 ≠ 1 = 70 mod 23

m=24: 50 mod 24 = 2 ≠ 22 = 70 mod 24

m=25: 50 mod 25 = 0 ≠ 20 = 70 mod 25

m=26: 50 mod 26 = 24 ≠ 18 = 70 mod 26

m=27: 50 mod 27 = 23 ≠ 16 = 70 mod 27

m=28: 50 mod 28 = 22 ≠ 14 = 70 mod 28

m=29: 50 mod 29 = 21 ≠ 12 = 70 mod 29

m=30: 50 mod 30 = 20 ≠ 10 = 70 mod 30

m=31: 50 mod 31 = 19 ≠ 8 = 70 mod 31

m=32: 50 mod 32 = 18 ≠ 6 = 70 mod 32

m=33: 50 mod 33 = 17 ≠ 4 = 70 mod 33

m=34: 50 mod 34 = 16 ≠ 2 = 70 mod 34

m=35: 50 mod 35 = 15 ≠ 0 = 70 mod 35

m=36: 50 mod 36 = 14 ≠ 34 = 70 mod 36

m=37: 50 mod 37 = 13 ≠ 33 = 70 mod 37

m=38: 50 mod 38 = 12 ≠ 32 = 70 mod 38

m=39: 50 mod 39 = 11 ≠ 31 = 70 mod 39

m=40: 50 mod 40 = 10 ≠ 30 = 70 mod 40

m=41: 50 mod 41 = 9 ≠ 29 = 70 mod 41

m=42: 50 mod 42 = 8 ≠ 28 = 70 mod 42

m=43: 50 mod 43 = 7 ≠ 27 = 70 mod 43

m=44: 50 mod 44 = 6 ≠ 26 = 70 mod 44

m=45: 50 mod 45 = 5 ≠ 25 = 70 mod 45

m=46: 50 mod 46 = 4 ≠ 24 = 70 mod 46

m=47: 50 mod 47 = 3 ≠ 23 = 70 mod 47

m=48: 50 mod 48 = 2 ≠ 22 = 70 mod 48

m=49: 50 mod 49 = 1 ≠ 21 = 70 mod 49

m=50: 50 mod 50 = 0 ≠ 20 = 70 mod 50

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (70 - 50) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20