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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 63, weil ja 21 ⋅ 3 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 63 = 2.

Somit gilt: 65 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 78 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 75 = 3.

Somit gilt: 78 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 78 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1503 - 1201) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1503 - 1201) mod 3 ≡ (1503 mod 3 - 1201 mod 3) mod 3.

1503 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 3 ⋅ 500 +3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

Somit gilt:

(1503 - 1201) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 94) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 94) mod 3 ≡ (27 mod 3 ⋅ 94 mod 3) mod 3.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.

94 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 93 + 1 = 31 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 94) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
76 mod m = 103 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 76 aus, ob zufällig 76 mod m = 103 mod m gilt:

m=2: 76 mod 2 = 0 ≠ 1 = 103 mod 2

m=3: 76 mod 3 = 1 = 1 = 103 mod 3

m=4: 76 mod 4 = 0 ≠ 3 = 103 mod 4

m=5: 76 mod 5 = 1 ≠ 3 = 103 mod 5

m=6: 76 mod 6 = 4 ≠ 1 = 103 mod 6

m=7: 76 mod 7 = 6 ≠ 5 = 103 mod 7

m=8: 76 mod 8 = 4 ≠ 7 = 103 mod 8

m=9: 76 mod 9 = 4 = 4 = 103 mod 9

m=10: 76 mod 10 = 6 ≠ 3 = 103 mod 10

m=11: 76 mod 11 = 10 ≠ 4 = 103 mod 11

m=12: 76 mod 12 = 4 ≠ 7 = 103 mod 12

m=13: 76 mod 13 = 11 ≠ 12 = 103 mod 13

m=14: 76 mod 14 = 6 ≠ 5 = 103 mod 14

m=15: 76 mod 15 = 1 ≠ 13 = 103 mod 15

m=16: 76 mod 16 = 12 ≠ 7 = 103 mod 16

m=17: 76 mod 17 = 8 ≠ 1 = 103 mod 17

m=18: 76 mod 18 = 4 ≠ 13 = 103 mod 18

m=19: 76 mod 19 = 0 ≠ 8 = 103 mod 19

m=20: 76 mod 20 = 16 ≠ 3 = 103 mod 20

m=21: 76 mod 21 = 13 ≠ 19 = 103 mod 21

m=22: 76 mod 22 = 10 ≠ 15 = 103 mod 22

m=23: 76 mod 23 = 7 ≠ 11 = 103 mod 23

m=24: 76 mod 24 = 4 ≠ 7 = 103 mod 24

m=25: 76 mod 25 = 1 ≠ 3 = 103 mod 25

m=26: 76 mod 26 = 24 ≠ 25 = 103 mod 26

m=27: 76 mod 27 = 22 = 22 = 103 mod 27

m=28: 76 mod 28 = 20 ≠ 19 = 103 mod 28

m=29: 76 mod 29 = 18 ≠ 16 = 103 mod 29

m=30: 76 mod 30 = 16 ≠ 13 = 103 mod 30

m=31: 76 mod 31 = 14 ≠ 10 = 103 mod 31

m=32: 76 mod 32 = 12 ≠ 7 = 103 mod 32

m=33: 76 mod 33 = 10 ≠ 4 = 103 mod 33

m=34: 76 mod 34 = 8 ≠ 1 = 103 mod 34

m=35: 76 mod 35 = 6 ≠ 33 = 103 mod 35

m=36: 76 mod 36 = 4 ≠ 31 = 103 mod 36

m=37: 76 mod 37 = 2 ≠ 29 = 103 mod 37

m=38: 76 mod 38 = 0 ≠ 27 = 103 mod 38

m=39: 76 mod 39 = 37 ≠ 25 = 103 mod 39

m=40: 76 mod 40 = 36 ≠ 23 = 103 mod 40

m=41: 76 mod 41 = 35 ≠ 21 = 103 mod 41

m=42: 76 mod 42 = 34 ≠ 19 = 103 mod 42

m=43: 76 mod 43 = 33 ≠ 17 = 103 mod 43

m=44: 76 mod 44 = 32 ≠ 15 = 103 mod 44

m=45: 76 mod 45 = 31 ≠ 13 = 103 mod 45

m=46: 76 mod 46 = 30 ≠ 11 = 103 mod 46

m=47: 76 mod 47 = 29 ≠ 9 = 103 mod 47

m=48: 76 mod 48 = 28 ≠ 7 = 103 mod 48

m=49: 76 mod 49 = 27 ≠ 5 = 103 mod 49

m=50: 76 mod 50 = 26 ≠ 3 = 103 mod 50

m=51: 76 mod 51 = 25 ≠ 1 = 103 mod 51

m=52: 76 mod 52 = 24 ≠ 51 = 103 mod 52

m=53: 76 mod 53 = 23 ≠ 50 = 103 mod 53

m=54: 76 mod 54 = 22 ≠ 49 = 103 mod 54

m=55: 76 mod 55 = 21 ≠ 48 = 103 mod 55

m=56: 76 mod 56 = 20 ≠ 47 = 103 mod 56

m=57: 76 mod 57 = 19 ≠ 46 = 103 mod 57

m=58: 76 mod 58 = 18 ≠ 45 = 103 mod 58

m=59: 76 mod 59 = 17 ≠ 44 = 103 mod 59

m=60: 76 mod 60 = 16 ≠ 43 = 103 mod 60

m=61: 76 mod 61 = 15 ≠ 42 = 103 mod 61

m=62: 76 mod 62 = 14 ≠ 41 = 103 mod 62

m=63: 76 mod 63 = 13 ≠ 40 = 103 mod 63

m=64: 76 mod 64 = 12 ≠ 39 = 103 mod 64

m=65: 76 mod 65 = 11 ≠ 38 = 103 mod 65

m=66: 76 mod 66 = 10 ≠ 37 = 103 mod 66

m=67: 76 mod 67 = 9 ≠ 36 = 103 mod 67

m=68: 76 mod 68 = 8 ≠ 35 = 103 mod 68

m=69: 76 mod 69 = 7 ≠ 34 = 103 mod 69

m=70: 76 mod 70 = 6 ≠ 33 = 103 mod 70

m=71: 76 mod 71 = 5 ≠ 32 = 103 mod 71

m=72: 76 mod 72 = 4 ≠ 31 = 103 mod 72

m=73: 76 mod 73 = 3 ≠ 30 = 103 mod 73

m=74: 76 mod 74 = 2 ≠ 29 = 103 mod 74

m=75: 76 mod 75 = 1 ≠ 28 = 103 mod 75

m=76: 76 mod 76 = 0 ≠ 27 = 103 mod 76

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (103 - 76) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27