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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 80 = 4.

Somit gilt: 84 mod 10 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 78 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 78 = 0.

Somit gilt: 78 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Somit gilt: 30 ≡ 78 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3192 + 245) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3192 + 245) mod 8 ≡ (3192 mod 8 + 245 mod 8) mod 8.

3192 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3192 = 3200-8 = 8 ⋅ 400 -8 = 8 ⋅ 400 - 8 + 0.

245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245 = 240+5 = 8 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(3192 + 245) mod 8 ≡ (0 + 5) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 54) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 54) mod 5 ≡ (65 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

65 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 65 + 0 = 13 ⋅ 5 + 0 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 54) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 42 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10