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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 73 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 70 = 3.
Somit gilt: 73 mod 5 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 28 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 28 - 24 = 4.
Somit gilt: 28 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.
Somit gilt: 94 ≡ 28 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2498 - 19999) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2498 - 19999) mod 5 ≡ (2498 mod 5 - 19999 mod 5) mod 5.
2498 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2498
= 2400
19999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999
= 19000
Somit gilt:
(2498 - 19999) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 98) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(97 ⋅ 98) mod 4 ≡ (97 mod 4 ⋅ 98 mod 4) mod 4.
97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.
98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.
Somit gilt:
(97 ⋅ 98) mod 4 ≡ (1 ⋅ 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 26 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
