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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 10 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 46 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 44 = 2.

Somit gilt: 46 mod 11 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.

Somit gilt: 90 ≡ 46 ≡ 2 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 - 8000) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 - 8000) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000 = 8000+0 = 4 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(84 - 8000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 44) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 44) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.

18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 44) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
72 mod m = 99 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 72 aus, ob zufällig 72 mod m = 99 mod m gilt:

m=2: 72 mod 2 = 0 ≠ 1 = 99 mod 2

m=3: 72 mod 3 = 0 = 0 = 99 mod 3

m=4: 72 mod 4 = 0 ≠ 3 = 99 mod 4

m=5: 72 mod 5 = 2 ≠ 4 = 99 mod 5

m=6: 72 mod 6 = 0 ≠ 3 = 99 mod 6

m=7: 72 mod 7 = 2 ≠ 1 = 99 mod 7

m=8: 72 mod 8 = 0 ≠ 3 = 99 mod 8

m=9: 72 mod 9 = 0 = 0 = 99 mod 9

m=10: 72 mod 10 = 2 ≠ 9 = 99 mod 10

m=11: 72 mod 11 = 6 ≠ 0 = 99 mod 11

m=12: 72 mod 12 = 0 ≠ 3 = 99 mod 12

m=13: 72 mod 13 = 7 ≠ 8 = 99 mod 13

m=14: 72 mod 14 = 2 ≠ 1 = 99 mod 14

m=15: 72 mod 15 = 12 ≠ 9 = 99 mod 15

m=16: 72 mod 16 = 8 ≠ 3 = 99 mod 16

m=17: 72 mod 17 = 4 ≠ 14 = 99 mod 17

m=18: 72 mod 18 = 0 ≠ 9 = 99 mod 18

m=19: 72 mod 19 = 15 ≠ 4 = 99 mod 19

m=20: 72 mod 20 = 12 ≠ 19 = 99 mod 20

m=21: 72 mod 21 = 9 ≠ 15 = 99 mod 21

m=22: 72 mod 22 = 6 ≠ 11 = 99 mod 22

m=23: 72 mod 23 = 3 ≠ 7 = 99 mod 23

m=24: 72 mod 24 = 0 ≠ 3 = 99 mod 24

m=25: 72 mod 25 = 22 ≠ 24 = 99 mod 25

m=26: 72 mod 26 = 20 ≠ 21 = 99 mod 26

m=27: 72 mod 27 = 18 = 18 = 99 mod 27

m=28: 72 mod 28 = 16 ≠ 15 = 99 mod 28

m=29: 72 mod 29 = 14 ≠ 12 = 99 mod 29

m=30: 72 mod 30 = 12 ≠ 9 = 99 mod 30

m=31: 72 mod 31 = 10 ≠ 6 = 99 mod 31

m=32: 72 mod 32 = 8 ≠ 3 = 99 mod 32

m=33: 72 mod 33 = 6 ≠ 0 = 99 mod 33

m=34: 72 mod 34 = 4 ≠ 31 = 99 mod 34

m=35: 72 mod 35 = 2 ≠ 29 = 99 mod 35

m=36: 72 mod 36 = 0 ≠ 27 = 99 mod 36

m=37: 72 mod 37 = 35 ≠ 25 = 99 mod 37

m=38: 72 mod 38 = 34 ≠ 23 = 99 mod 38

m=39: 72 mod 39 = 33 ≠ 21 = 99 mod 39

m=40: 72 mod 40 = 32 ≠ 19 = 99 mod 40

m=41: 72 mod 41 = 31 ≠ 17 = 99 mod 41

m=42: 72 mod 42 = 30 ≠ 15 = 99 mod 42

m=43: 72 mod 43 = 29 ≠ 13 = 99 mod 43

m=44: 72 mod 44 = 28 ≠ 11 = 99 mod 44

m=45: 72 mod 45 = 27 ≠ 9 = 99 mod 45

m=46: 72 mod 46 = 26 ≠ 7 = 99 mod 46

m=47: 72 mod 47 = 25 ≠ 5 = 99 mod 47

m=48: 72 mod 48 = 24 ≠ 3 = 99 mod 48

m=49: 72 mod 49 = 23 ≠ 1 = 99 mod 49

m=50: 72 mod 50 = 22 ≠ 49 = 99 mod 50

m=51: 72 mod 51 = 21 ≠ 48 = 99 mod 51

m=52: 72 mod 52 = 20 ≠ 47 = 99 mod 52

m=53: 72 mod 53 = 19 ≠ 46 = 99 mod 53

m=54: 72 mod 54 = 18 ≠ 45 = 99 mod 54

m=55: 72 mod 55 = 17 ≠ 44 = 99 mod 55

m=56: 72 mod 56 = 16 ≠ 43 = 99 mod 56

m=57: 72 mod 57 = 15 ≠ 42 = 99 mod 57

m=58: 72 mod 58 = 14 ≠ 41 = 99 mod 58

m=59: 72 mod 59 = 13 ≠ 40 = 99 mod 59

m=60: 72 mod 60 = 12 ≠ 39 = 99 mod 60

m=61: 72 mod 61 = 11 ≠ 38 = 99 mod 61

m=62: 72 mod 62 = 10 ≠ 37 = 99 mod 62

m=63: 72 mod 63 = 9 ≠ 36 = 99 mod 63

m=64: 72 mod 64 = 8 ≠ 35 = 99 mod 64

m=65: 72 mod 65 = 7 ≠ 34 = 99 mod 65

m=66: 72 mod 66 = 6 ≠ 33 = 99 mod 66

m=67: 72 mod 67 = 5 ≠ 32 = 99 mod 67

m=68: 72 mod 68 = 4 ≠ 31 = 99 mod 68

m=69: 72 mod 69 = 3 ≠ 30 = 99 mod 69

m=70: 72 mod 70 = 2 ≠ 29 = 99 mod 70

m=71: 72 mod 71 = 1 ≠ 28 = 99 mod 71

m=72: 72 mod 72 = 0 ≠ 27 = 99 mod 72

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (99 - 72) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27