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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 8 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 25 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 18 = 7.

Somit gilt: 25 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 90 und erhalten so 97.

Somit gilt: 97 ≡ 25 ≡ 7 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28006 + 27997) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28006 + 27997) mod 7 ≡ (28006 mod 7 + 27997 mod 7) mod 7.

28006 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28006 = 28000+6 = 7 ⋅ 4000 +6.

27997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27997 = 28000-3 = 7 ⋅ 4000 -3 = 7 ⋅ 4000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(28006 + 27997) mod 7 ≡ (6 + 4) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 16) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 16) mod 5 ≡ (33 mod 5 ⋅ 16 mod 5) mod 5.

33 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 6 ⋅ 5 + 3 ist.

16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 16) mod 5 ≡ (3 ⋅ 1) mod 5 ≡ 3 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
41 mod m = 61 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 41 mod 2 = 1 = 1 = 61 mod 2

m=3: 41 mod 3 = 2 ≠ 1 = 61 mod 3

m=4: 41 mod 4 = 1 = 1 = 61 mod 4

m=5: 41 mod 5 = 1 = 1 = 61 mod 5

m=6: 41 mod 6 = 5 ≠ 1 = 61 mod 6

m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 41 mod 9 = 5 ≠ 7 = 61 mod 9

m=10: 41 mod 10 = 1 = 1 = 61 mod 10

m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 41 mod 15 = 11 ≠ 1 = 61 mod 15

m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 41 mod 18 = 5 ≠ 7 = 61 mod 18

m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 41 mod 20 = 1 = 1 = 61 mod 20

m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 20 = 61 mod 41

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 41) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20