nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 67 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 64 = 3.

Somit gilt: 67 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 67 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4497 - 173) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4497 - 173) mod 9 ≡ (4497 mod 9 - 173 mod 9) mod 9.

4497 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4497 = 4500-3 = 9 ⋅ 500 -3 = 9 ⋅ 500 - 9 + 6.

173 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 173 = 180-7 = 9 ⋅ 20 -7 = 9 ⋅ 20 - 9 + 2.

Somit gilt:

(4497 - 173) mod 9 ≡ (6 - 2) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 40) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 40) mod 8 ≡ (42 mod 8 ⋅ 40 mod 8) mod 8.

42 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 5 ⋅ 8 + 2 ist.

40 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 5 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 40) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
56 mod m = 76 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 56 aus, ob zufällig 56 mod m = 76 mod m gilt:

m=2: 56 mod 2 = 0 = 0 = 76 mod 2

m=3: 56 mod 3 = 2 ≠ 1 = 76 mod 3

m=4: 56 mod 4 = 0 = 0 = 76 mod 4

m=5: 56 mod 5 = 1 = 1 = 76 mod 5

m=6: 56 mod 6 = 2 ≠ 4 = 76 mod 6

m=7: 56 mod 7 = 0 ≠ 6 = 76 mod 7

m=8: 56 mod 8 = 0 ≠ 4 = 76 mod 8

m=9: 56 mod 9 = 2 ≠ 4 = 76 mod 9

m=10: 56 mod 10 = 6 = 6 = 76 mod 10

m=11: 56 mod 11 = 1 ≠ 10 = 76 mod 11

m=12: 56 mod 12 = 8 ≠ 4 = 76 mod 12

m=13: 56 mod 13 = 4 ≠ 11 = 76 mod 13

m=14: 56 mod 14 = 0 ≠ 6 = 76 mod 14

m=15: 56 mod 15 = 11 ≠ 1 = 76 mod 15

m=16: 56 mod 16 = 8 ≠ 12 = 76 mod 16

m=17: 56 mod 17 = 5 ≠ 8 = 76 mod 17

m=18: 56 mod 18 = 2 ≠ 4 = 76 mod 18

m=19: 56 mod 19 = 18 ≠ 0 = 76 mod 19

m=20: 56 mod 20 = 16 = 16 = 76 mod 20

m=21: 56 mod 21 = 14 ≠ 13 = 76 mod 21

m=22: 56 mod 22 = 12 ≠ 10 = 76 mod 22

m=23: 56 mod 23 = 10 ≠ 7 = 76 mod 23

m=24: 56 mod 24 = 8 ≠ 4 = 76 mod 24

m=25: 56 mod 25 = 6 ≠ 1 = 76 mod 25

m=26: 56 mod 26 = 4 ≠ 24 = 76 mod 26

m=27: 56 mod 27 = 2 ≠ 22 = 76 mod 27

m=28: 56 mod 28 = 0 ≠ 20 = 76 mod 28

m=29: 56 mod 29 = 27 ≠ 18 = 76 mod 29

m=30: 56 mod 30 = 26 ≠ 16 = 76 mod 30

m=31: 56 mod 31 = 25 ≠ 14 = 76 mod 31

m=32: 56 mod 32 = 24 ≠ 12 = 76 mod 32

m=33: 56 mod 33 = 23 ≠ 10 = 76 mod 33

m=34: 56 mod 34 = 22 ≠ 8 = 76 mod 34

m=35: 56 mod 35 = 21 ≠ 6 = 76 mod 35

m=36: 56 mod 36 = 20 ≠ 4 = 76 mod 36

m=37: 56 mod 37 = 19 ≠ 2 = 76 mod 37

m=38: 56 mod 38 = 18 ≠ 0 = 76 mod 38

m=39: 56 mod 39 = 17 ≠ 37 = 76 mod 39

m=40: 56 mod 40 = 16 ≠ 36 = 76 mod 40

m=41: 56 mod 41 = 15 ≠ 35 = 76 mod 41

m=42: 56 mod 42 = 14 ≠ 34 = 76 mod 42

m=43: 56 mod 43 = 13 ≠ 33 = 76 mod 43

m=44: 56 mod 44 = 12 ≠ 32 = 76 mod 44

m=45: 56 mod 45 = 11 ≠ 31 = 76 mod 45

m=46: 56 mod 46 = 10 ≠ 30 = 76 mod 46

m=47: 56 mod 47 = 9 ≠ 29 = 76 mod 47

m=48: 56 mod 48 = 8 ≠ 28 = 76 mod 48

m=49: 56 mod 49 = 7 ≠ 27 = 76 mod 49

m=50: 56 mod 50 = 6 ≠ 26 = 76 mod 50

m=51: 56 mod 51 = 5 ≠ 25 = 76 mod 51

m=52: 56 mod 52 = 4 ≠ 24 = 76 mod 52

m=53: 56 mod 53 = 3 ≠ 23 = 76 mod 53

m=54: 56 mod 54 = 2 ≠ 22 = 76 mod 54

m=55: 56 mod 55 = 1 ≠ 21 = 76 mod 55

m=56: 56 mod 56 = 0 ≠ 20 = 76 mod 56

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (76 - 56) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20