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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 91 = 2.

Somit gilt: 93 mod 7 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 94 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.

Somit gilt: 94 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 94 ≡ 4 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (159 - 804) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(159 - 804) mod 4 ≡ (159 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.

159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159 = 160-1 = 4 ⋅ 40 -1 = 4 ⋅ 40 - 4 + 3.

804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804 = 800+4 = 4 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(159 - 804) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 50) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.

75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.

50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
116 mod m = 166 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 116 aus, ob zufällig 116 mod m = 166 mod m gilt:

m=2: 116 mod 2 = 0 = 0 = 166 mod 2

m=3: 116 mod 3 = 2 ≠ 1 = 166 mod 3

m=4: 116 mod 4 = 0 ≠ 2 = 166 mod 4

m=5: 116 mod 5 = 1 = 1 = 166 mod 5

m=6: 116 mod 6 = 2 ≠ 4 = 166 mod 6

m=7: 116 mod 7 = 4 ≠ 5 = 166 mod 7

m=8: 116 mod 8 = 4 ≠ 6 = 166 mod 8

m=9: 116 mod 9 = 8 ≠ 4 = 166 mod 9

m=10: 116 mod 10 = 6 = 6 = 166 mod 10

m=11: 116 mod 11 = 6 ≠ 1 = 166 mod 11

m=12: 116 mod 12 = 8 ≠ 10 = 166 mod 12

m=13: 116 mod 13 = 12 ≠ 10 = 166 mod 13

m=14: 116 mod 14 = 4 ≠ 12 = 166 mod 14

m=15: 116 mod 15 = 11 ≠ 1 = 166 mod 15

m=16: 116 mod 16 = 4 ≠ 6 = 166 mod 16

m=17: 116 mod 17 = 14 ≠ 13 = 166 mod 17

m=18: 116 mod 18 = 8 ≠ 4 = 166 mod 18

m=19: 116 mod 19 = 2 ≠ 14 = 166 mod 19

m=20: 116 mod 20 = 16 ≠ 6 = 166 mod 20

m=21: 116 mod 21 = 11 ≠ 19 = 166 mod 21

m=22: 116 mod 22 = 6 ≠ 12 = 166 mod 22

m=23: 116 mod 23 = 1 ≠ 5 = 166 mod 23

m=24: 116 mod 24 = 20 ≠ 22 = 166 mod 24

m=25: 116 mod 25 = 16 = 16 = 166 mod 25

m=26: 116 mod 26 = 12 ≠ 10 = 166 mod 26

m=27: 116 mod 27 = 8 ≠ 4 = 166 mod 27

m=28: 116 mod 28 = 4 ≠ 26 = 166 mod 28

m=29: 116 mod 29 = 0 ≠ 21 = 166 mod 29

m=30: 116 mod 30 = 26 ≠ 16 = 166 mod 30

m=31: 116 mod 31 = 23 ≠ 11 = 166 mod 31

m=32: 116 mod 32 = 20 ≠ 6 = 166 mod 32

m=33: 116 mod 33 = 17 ≠ 1 = 166 mod 33

m=34: 116 mod 34 = 14 ≠ 30 = 166 mod 34

m=35: 116 mod 35 = 11 ≠ 26 = 166 mod 35

m=36: 116 mod 36 = 8 ≠ 22 = 166 mod 36

m=37: 116 mod 37 = 5 ≠ 18 = 166 mod 37

m=38: 116 mod 38 = 2 ≠ 14 = 166 mod 38

m=39: 116 mod 39 = 38 ≠ 10 = 166 mod 39

m=40: 116 mod 40 = 36 ≠ 6 = 166 mod 40

m=41: 116 mod 41 = 34 ≠ 2 = 166 mod 41

m=42: 116 mod 42 = 32 ≠ 40 = 166 mod 42

m=43: 116 mod 43 = 30 ≠ 37 = 166 mod 43

m=44: 116 mod 44 = 28 ≠ 34 = 166 mod 44

m=45: 116 mod 45 = 26 ≠ 31 = 166 mod 45

m=46: 116 mod 46 = 24 ≠ 28 = 166 mod 46

m=47: 116 mod 47 = 22 ≠ 25 = 166 mod 47

m=48: 116 mod 48 = 20 ≠ 22 = 166 mod 48

m=49: 116 mod 49 = 18 ≠ 19 = 166 mod 49

m=50: 116 mod 50 = 16 = 16 = 166 mod 50

m=51: 116 mod 51 = 14 ≠ 13 = 166 mod 51

m=52: 116 mod 52 = 12 ≠ 10 = 166 mod 52

m=53: 116 mod 53 = 10 ≠ 7 = 166 mod 53

m=54: 116 mod 54 = 8 ≠ 4 = 166 mod 54

m=55: 116 mod 55 = 6 ≠ 1 = 166 mod 55

m=56: 116 mod 56 = 4 ≠ 54 = 166 mod 56

m=57: 116 mod 57 = 2 ≠ 52 = 166 mod 57

m=58: 116 mod 58 = 0 ≠ 50 = 166 mod 58

m=59: 116 mod 59 = 57 ≠ 48 = 166 mod 59

m=60: 116 mod 60 = 56 ≠ 46 = 166 mod 60

m=61: 116 mod 61 = 55 ≠ 44 = 166 mod 61

m=62: 116 mod 62 = 54 ≠ 42 = 166 mod 62

m=63: 116 mod 63 = 53 ≠ 40 = 166 mod 63

m=64: 116 mod 64 = 52 ≠ 38 = 166 mod 64

m=65: 116 mod 65 = 51 ≠ 36 = 166 mod 65

m=66: 116 mod 66 = 50 ≠ 34 = 166 mod 66

m=67: 116 mod 67 = 49 ≠ 32 = 166 mod 67

m=68: 116 mod 68 = 48 ≠ 30 = 166 mod 68

m=69: 116 mod 69 = 47 ≠ 28 = 166 mod 69

m=70: 116 mod 70 = 46 ≠ 26 = 166 mod 70

m=71: 116 mod 71 = 45 ≠ 24 = 166 mod 71

m=72: 116 mod 72 = 44 ≠ 22 = 166 mod 72

m=73: 116 mod 73 = 43 ≠ 20 = 166 mod 73

m=74: 116 mod 74 = 42 ≠ 18 = 166 mod 74

m=75: 116 mod 75 = 41 ≠ 16 = 166 mod 75

m=76: 116 mod 76 = 40 ≠ 14 = 166 mod 76

m=77: 116 mod 77 = 39 ≠ 12 = 166 mod 77

m=78: 116 mod 78 = 38 ≠ 10 = 166 mod 78

m=79: 116 mod 79 = 37 ≠ 8 = 166 mod 79

m=80: 116 mod 80 = 36 ≠ 6 = 166 mod 80

m=81: 116 mod 81 = 35 ≠ 4 = 166 mod 81

m=82: 116 mod 82 = 34 ≠ 2 = 166 mod 82

m=83: 116 mod 83 = 33 ≠ 0 = 166 mod 83

m=84: 116 mod 84 = 32 ≠ 82 = 166 mod 84

m=85: 116 mod 85 = 31 ≠ 81 = 166 mod 85

m=86: 116 mod 86 = 30 ≠ 80 = 166 mod 86

m=87: 116 mod 87 = 29 ≠ 79 = 166 mod 87

m=88: 116 mod 88 = 28 ≠ 78 = 166 mod 88

m=89: 116 mod 89 = 27 ≠ 77 = 166 mod 89

m=90: 116 mod 90 = 26 ≠ 76 = 166 mod 90

m=91: 116 mod 91 = 25 ≠ 75 = 166 mod 91

m=92: 116 mod 92 = 24 ≠ 74 = 166 mod 92

m=93: 116 mod 93 = 23 ≠ 73 = 166 mod 93

m=94: 116 mod 94 = 22 ≠ 72 = 166 mod 94

m=95: 116 mod 95 = 21 ≠ 71 = 166 mod 95

m=96: 116 mod 96 = 20 ≠ 70 = 166 mod 96

m=97: 116 mod 97 = 19 ≠ 69 = 166 mod 97

m=98: 116 mod 98 = 18 ≠ 68 = 166 mod 98

m=99: 116 mod 99 = 17 ≠ 67 = 166 mod 99

m=100: 116 mod 100 = 16 ≠ 66 = 166 mod 100

m=101: 116 mod 101 = 15 ≠ 65 = 166 mod 101

m=102: 116 mod 102 = 14 ≠ 64 = 166 mod 102

m=103: 116 mod 103 = 13 ≠ 63 = 166 mod 103

m=104: 116 mod 104 = 12 ≠ 62 = 166 mod 104

m=105: 116 mod 105 = 11 ≠ 61 = 166 mod 105

m=106: 116 mod 106 = 10 ≠ 60 = 166 mod 106

m=107: 116 mod 107 = 9 ≠ 59 = 166 mod 107

m=108: 116 mod 108 = 8 ≠ 58 = 166 mod 108

m=109: 116 mod 109 = 7 ≠ 57 = 166 mod 109

m=110: 116 mod 110 = 6 ≠ 56 = 166 mod 110

m=111: 116 mod 111 = 5 ≠ 55 = 166 mod 111

m=112: 116 mod 112 = 4 ≠ 54 = 166 mod 112

m=113: 116 mod 113 = 3 ≠ 53 = 166 mod 113

m=114: 116 mod 114 = 2 ≠ 52 = 166 mod 114

m=115: 116 mod 115 = 1 ≠ 51 = 166 mod 115

m=116: 116 mod 116 = 0 ≠ 50 = 166 mod 116

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (166 - 116) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50