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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 40 = 8.

Somit gilt: 48 mod 10 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 74 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.

Somit gilt: 74 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 80 und erhalten so 84.

Somit gilt: 84 ≡ 74 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (160 - 199) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(160 - 199) mod 4 ≡ (160 mod 4 - 199 mod 4) mod 4.

160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160 = 160+0 = 4 ⋅ 40 +0.

199 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 199 = 200-1 = 4 ⋅ 50 -1 = 4 ⋅ 50 - 4 + 3.

Somit gilt:

(160 - 199) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 74) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 74) mod 7 ≡ (82 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 74) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
84 mod m = 111 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 84 aus, ob zufällig 84 mod m = 111 mod m gilt:

m=2: 84 mod 2 = 0 ≠ 1 = 111 mod 2

m=3: 84 mod 3 = 0 = 0 = 111 mod 3

m=4: 84 mod 4 = 0 ≠ 3 = 111 mod 4

m=5: 84 mod 5 = 4 ≠ 1 = 111 mod 5

m=6: 84 mod 6 = 0 ≠ 3 = 111 mod 6

m=7: 84 mod 7 = 0 ≠ 6 = 111 mod 7

m=8: 84 mod 8 = 4 ≠ 7 = 111 mod 8

m=9: 84 mod 9 = 3 = 3 = 111 mod 9

m=10: 84 mod 10 = 4 ≠ 1 = 111 mod 10

m=11: 84 mod 11 = 7 ≠ 1 = 111 mod 11

m=12: 84 mod 12 = 0 ≠ 3 = 111 mod 12

m=13: 84 mod 13 = 6 ≠ 7 = 111 mod 13

m=14: 84 mod 14 = 0 ≠ 13 = 111 mod 14

m=15: 84 mod 15 = 9 ≠ 6 = 111 mod 15

m=16: 84 mod 16 = 4 ≠ 15 = 111 mod 16

m=17: 84 mod 17 = 16 ≠ 9 = 111 mod 17

m=18: 84 mod 18 = 12 ≠ 3 = 111 mod 18

m=19: 84 mod 19 = 8 ≠ 16 = 111 mod 19

m=20: 84 mod 20 = 4 ≠ 11 = 111 mod 20

m=21: 84 mod 21 = 0 ≠ 6 = 111 mod 21

m=22: 84 mod 22 = 18 ≠ 1 = 111 mod 22

m=23: 84 mod 23 = 15 ≠ 19 = 111 mod 23

m=24: 84 mod 24 = 12 ≠ 15 = 111 mod 24

m=25: 84 mod 25 = 9 ≠ 11 = 111 mod 25

m=26: 84 mod 26 = 6 ≠ 7 = 111 mod 26

m=27: 84 mod 27 = 3 = 3 = 111 mod 27

m=28: 84 mod 28 = 0 ≠ 27 = 111 mod 28

m=29: 84 mod 29 = 26 ≠ 24 = 111 mod 29

m=30: 84 mod 30 = 24 ≠ 21 = 111 mod 30

m=31: 84 mod 31 = 22 ≠ 18 = 111 mod 31

m=32: 84 mod 32 = 20 ≠ 15 = 111 mod 32

m=33: 84 mod 33 = 18 ≠ 12 = 111 mod 33

m=34: 84 mod 34 = 16 ≠ 9 = 111 mod 34

m=35: 84 mod 35 = 14 ≠ 6 = 111 mod 35

m=36: 84 mod 36 = 12 ≠ 3 = 111 mod 36

m=37: 84 mod 37 = 10 ≠ 0 = 111 mod 37

m=38: 84 mod 38 = 8 ≠ 35 = 111 mod 38

m=39: 84 mod 39 = 6 ≠ 33 = 111 mod 39

m=40: 84 mod 40 = 4 ≠ 31 = 111 mod 40

m=41: 84 mod 41 = 2 ≠ 29 = 111 mod 41

m=42: 84 mod 42 = 0 ≠ 27 = 111 mod 42

m=43: 84 mod 43 = 41 ≠ 25 = 111 mod 43

m=44: 84 mod 44 = 40 ≠ 23 = 111 mod 44

m=45: 84 mod 45 = 39 ≠ 21 = 111 mod 45

m=46: 84 mod 46 = 38 ≠ 19 = 111 mod 46

m=47: 84 mod 47 = 37 ≠ 17 = 111 mod 47

m=48: 84 mod 48 = 36 ≠ 15 = 111 mod 48

m=49: 84 mod 49 = 35 ≠ 13 = 111 mod 49

m=50: 84 mod 50 = 34 ≠ 11 = 111 mod 50

m=51: 84 mod 51 = 33 ≠ 9 = 111 mod 51

m=52: 84 mod 52 = 32 ≠ 7 = 111 mod 52

m=53: 84 mod 53 = 31 ≠ 5 = 111 mod 53

m=54: 84 mod 54 = 30 ≠ 3 = 111 mod 54

m=55: 84 mod 55 = 29 ≠ 1 = 111 mod 55

m=56: 84 mod 56 = 28 ≠ 55 = 111 mod 56

m=57: 84 mod 57 = 27 ≠ 54 = 111 mod 57

m=58: 84 mod 58 = 26 ≠ 53 = 111 mod 58

m=59: 84 mod 59 = 25 ≠ 52 = 111 mod 59

m=60: 84 mod 60 = 24 ≠ 51 = 111 mod 60

m=61: 84 mod 61 = 23 ≠ 50 = 111 mod 61

m=62: 84 mod 62 = 22 ≠ 49 = 111 mod 62

m=63: 84 mod 63 = 21 ≠ 48 = 111 mod 63

m=64: 84 mod 64 = 20 ≠ 47 = 111 mod 64

m=65: 84 mod 65 = 19 ≠ 46 = 111 mod 65

m=66: 84 mod 66 = 18 ≠ 45 = 111 mod 66

m=67: 84 mod 67 = 17 ≠ 44 = 111 mod 67

m=68: 84 mod 68 = 16 ≠ 43 = 111 mod 68

m=69: 84 mod 69 = 15 ≠ 42 = 111 mod 69

m=70: 84 mod 70 = 14 ≠ 41 = 111 mod 70

m=71: 84 mod 71 = 13 ≠ 40 = 111 mod 71

m=72: 84 mod 72 = 12 ≠ 39 = 111 mod 72

m=73: 84 mod 73 = 11 ≠ 38 = 111 mod 73

m=74: 84 mod 74 = 10 ≠ 37 = 111 mod 74

m=75: 84 mod 75 = 9 ≠ 36 = 111 mod 75

m=76: 84 mod 76 = 8 ≠ 35 = 111 mod 76

m=77: 84 mod 77 = 7 ≠ 34 = 111 mod 77

m=78: 84 mod 78 = 6 ≠ 33 = 111 mod 78

m=79: 84 mod 79 = 5 ≠ 32 = 111 mod 79

m=80: 84 mod 80 = 4 ≠ 31 = 111 mod 80

m=81: 84 mod 81 = 3 ≠ 30 = 111 mod 81

m=82: 84 mod 82 = 2 ≠ 29 = 111 mod 82

m=83: 84 mod 83 = 1 ≠ 28 = 111 mod 83

m=84: 84 mod 84 = 0 ≠ 27 = 111 mod 84

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (111 - 84) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27