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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 74 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 6 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 56 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Somit gilt: 16 ≡ 56 ≡ 0 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 - 249) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 249) mod 5 ≡ (2003 mod 5 - 249 mod 5) mod 5.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

249 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 249 = 240+9 = 5 ⋅ 48 +9.

Somit gilt:

(2003 - 249) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 19) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 19) mod 11 ≡ (79 mod 11 ⋅ 19 mod 11) mod 11.

79 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 7 ⋅ 11 + 2 ist.

19 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 11 + 8 = 1 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 19) mod 11 ≡ (2 ⋅ 8) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
234 mod m = 309 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 234 aus, ob zufällig 234 mod m = 309 mod m gilt:

m=2: 234 mod 2 = 0 ≠ 1 = 309 mod 2

m=3: 234 mod 3 = 0 = 0 = 309 mod 3

m=4: 234 mod 4 = 2 ≠ 1 = 309 mod 4

m=5: 234 mod 5 = 4 = 4 = 309 mod 5

m=6: 234 mod 6 = 0 ≠ 3 = 309 mod 6

m=7: 234 mod 7 = 3 ≠ 1 = 309 mod 7

m=8: 234 mod 8 = 2 ≠ 5 = 309 mod 8

m=9: 234 mod 9 = 0 ≠ 3 = 309 mod 9

m=10: 234 mod 10 = 4 ≠ 9 = 309 mod 10

m=11: 234 mod 11 = 3 ≠ 1 = 309 mod 11

m=12: 234 mod 12 = 6 ≠ 9 = 309 mod 12

m=13: 234 mod 13 = 0 ≠ 10 = 309 mod 13

m=14: 234 mod 14 = 10 ≠ 1 = 309 mod 14

m=15: 234 mod 15 = 9 = 9 = 309 mod 15

m=16: 234 mod 16 = 10 ≠ 5 = 309 mod 16

m=17: 234 mod 17 = 13 ≠ 3 = 309 mod 17

m=18: 234 mod 18 = 0 ≠ 3 = 309 mod 18

m=19: 234 mod 19 = 6 ≠ 5 = 309 mod 19

m=20: 234 mod 20 = 14 ≠ 9 = 309 mod 20

m=21: 234 mod 21 = 3 ≠ 15 = 309 mod 21

m=22: 234 mod 22 = 14 ≠ 1 = 309 mod 22

m=23: 234 mod 23 = 4 ≠ 10 = 309 mod 23

m=24: 234 mod 24 = 18 ≠ 21 = 309 mod 24

m=25: 234 mod 25 = 9 = 9 = 309 mod 25

m=26: 234 mod 26 = 0 ≠ 23 = 309 mod 26

m=27: 234 mod 27 = 18 ≠ 12 = 309 mod 27

m=28: 234 mod 28 = 10 ≠ 1 = 309 mod 28

m=29: 234 mod 29 = 2 ≠ 19 = 309 mod 29

m=30: 234 mod 30 = 24 ≠ 9 = 309 mod 30

m=31: 234 mod 31 = 17 ≠ 30 = 309 mod 31

m=32: 234 mod 32 = 10 ≠ 21 = 309 mod 32

m=33: 234 mod 33 = 3 ≠ 12 = 309 mod 33

m=34: 234 mod 34 = 30 ≠ 3 = 309 mod 34

m=35: 234 mod 35 = 24 ≠ 29 = 309 mod 35

m=36: 234 mod 36 = 18 ≠ 21 = 309 mod 36

m=37: 234 mod 37 = 12 ≠ 13 = 309 mod 37

m=38: 234 mod 38 = 6 ≠ 5 = 309 mod 38

m=39: 234 mod 39 = 0 ≠ 36 = 309 mod 39

m=40: 234 mod 40 = 34 ≠ 29 = 309 mod 40

m=41: 234 mod 41 = 29 ≠ 22 = 309 mod 41

m=42: 234 mod 42 = 24 ≠ 15 = 309 mod 42

m=43: 234 mod 43 = 19 ≠ 8 = 309 mod 43

m=44: 234 mod 44 = 14 ≠ 1 = 309 mod 44

m=45: 234 mod 45 = 9 ≠ 39 = 309 mod 45

m=46: 234 mod 46 = 4 ≠ 33 = 309 mod 46

m=47: 234 mod 47 = 46 ≠ 27 = 309 mod 47

m=48: 234 mod 48 = 42 ≠ 21 = 309 mod 48

m=49: 234 mod 49 = 38 ≠ 15 = 309 mod 49

m=50: 234 mod 50 = 34 ≠ 9 = 309 mod 50

m=51: 234 mod 51 = 30 ≠ 3 = 309 mod 51

m=52: 234 mod 52 = 26 ≠ 49 = 309 mod 52

m=53: 234 mod 53 = 22 ≠ 44 = 309 mod 53

m=54: 234 mod 54 = 18 ≠ 39 = 309 mod 54

m=55: 234 mod 55 = 14 ≠ 34 = 309 mod 55

m=56: 234 mod 56 = 10 ≠ 29 = 309 mod 56

m=57: 234 mod 57 = 6 ≠ 24 = 309 mod 57

m=58: 234 mod 58 = 2 ≠ 19 = 309 mod 58

m=59: 234 mod 59 = 57 ≠ 14 = 309 mod 59

m=60: 234 mod 60 = 54 ≠ 9 = 309 mod 60

m=61: 234 mod 61 = 51 ≠ 4 = 309 mod 61

m=62: 234 mod 62 = 48 ≠ 61 = 309 mod 62

m=63: 234 mod 63 = 45 ≠ 57 = 309 mod 63

m=64: 234 mod 64 = 42 ≠ 53 = 309 mod 64

m=65: 234 mod 65 = 39 ≠ 49 = 309 mod 65

m=66: 234 mod 66 = 36 ≠ 45 = 309 mod 66

m=67: 234 mod 67 = 33 ≠ 41 = 309 mod 67

m=68: 234 mod 68 = 30 ≠ 37 = 309 mod 68

m=69: 234 mod 69 = 27 ≠ 33 = 309 mod 69

m=70: 234 mod 70 = 24 ≠ 29 = 309 mod 70

m=71: 234 mod 71 = 21 ≠ 25 = 309 mod 71

m=72: 234 mod 72 = 18 ≠ 21 = 309 mod 72

m=73: 234 mod 73 = 15 ≠ 17 = 309 mod 73

m=74: 234 mod 74 = 12 ≠ 13 = 309 mod 74

m=75: 234 mod 75 = 9 = 9 = 309 mod 75

m=76: 234 mod 76 = 6 ≠ 5 = 309 mod 76

m=77: 234 mod 77 = 3 ≠ 1 = 309 mod 77

m=78: 234 mod 78 = 0 ≠ 75 = 309 mod 78

m=79: 234 mod 79 = 76 ≠ 72 = 309 mod 79

m=80: 234 mod 80 = 74 ≠ 69 = 309 mod 80

m=81: 234 mod 81 = 72 ≠ 66 = 309 mod 81

m=82: 234 mod 82 = 70 ≠ 63 = 309 mod 82

m=83: 234 mod 83 = 68 ≠ 60 = 309 mod 83

m=84: 234 mod 84 = 66 ≠ 57 = 309 mod 84

m=85: 234 mod 85 = 64 ≠ 54 = 309 mod 85

m=86: 234 mod 86 = 62 ≠ 51 = 309 mod 86

m=87: 234 mod 87 = 60 ≠ 48 = 309 mod 87

m=88: 234 mod 88 = 58 ≠ 45 = 309 mod 88

m=89: 234 mod 89 = 56 ≠ 42 = 309 mod 89

m=90: 234 mod 90 = 54 ≠ 39 = 309 mod 90

m=91: 234 mod 91 = 52 ≠ 36 = 309 mod 91

m=92: 234 mod 92 = 50 ≠ 33 = 309 mod 92

m=93: 234 mod 93 = 48 ≠ 30 = 309 mod 93

m=94: 234 mod 94 = 46 ≠ 27 = 309 mod 94

m=95: 234 mod 95 = 44 ≠ 24 = 309 mod 95

m=96: 234 mod 96 = 42 ≠ 21 = 309 mod 96

m=97: 234 mod 97 = 40 ≠ 18 = 309 mod 97

m=98: 234 mod 98 = 38 ≠ 15 = 309 mod 98

m=99: 234 mod 99 = 36 ≠ 12 = 309 mod 99

m=100: 234 mod 100 = 34 ≠ 9 = 309 mod 100

m=101: 234 mod 101 = 32 ≠ 6 = 309 mod 101

m=102: 234 mod 102 = 30 ≠ 3 = 309 mod 102

m=103: 234 mod 103 = 28 ≠ 0 = 309 mod 103

m=104: 234 mod 104 = 26 ≠ 101 = 309 mod 104

m=105: 234 mod 105 = 24 ≠ 99 = 309 mod 105

m=106: 234 mod 106 = 22 ≠ 97 = 309 mod 106

m=107: 234 mod 107 = 20 ≠ 95 = 309 mod 107

m=108: 234 mod 108 = 18 ≠ 93 = 309 mod 108

m=109: 234 mod 109 = 16 ≠ 91 = 309 mod 109

m=110: 234 mod 110 = 14 ≠ 89 = 309 mod 110

m=111: 234 mod 111 = 12 ≠ 87 = 309 mod 111

m=112: 234 mod 112 = 10 ≠ 85 = 309 mod 112

m=113: 234 mod 113 = 8 ≠ 83 = 309 mod 113

m=114: 234 mod 114 = 6 ≠ 81 = 309 mod 114

m=115: 234 mod 115 = 4 ≠ 79 = 309 mod 115

m=116: 234 mod 116 = 2 ≠ 77 = 309 mod 116

m=117: 234 mod 117 = 0 ≠ 75 = 309 mod 117

m=118: 234 mod 118 = 116 ≠ 73 = 309 mod 118

m=119: 234 mod 119 = 115 ≠ 71 = 309 mod 119

m=120: 234 mod 120 = 114 ≠ 69 = 309 mod 120

m=121: 234 mod 121 = 113 ≠ 67 = 309 mod 121

m=122: 234 mod 122 = 112 ≠ 65 = 309 mod 122

m=123: 234 mod 123 = 111 ≠ 63 = 309 mod 123

m=124: 234 mod 124 = 110 ≠ 61 = 309 mod 124

m=125: 234 mod 125 = 109 ≠ 59 = 309 mod 125

m=126: 234 mod 126 = 108 ≠ 57 = 309 mod 126

m=127: 234 mod 127 = 107 ≠ 55 = 309 mod 127

m=128: 234 mod 128 = 106 ≠ 53 = 309 mod 128

m=129: 234 mod 129 = 105 ≠ 51 = 309 mod 129

m=130: 234 mod 130 = 104 ≠ 49 = 309 mod 130

m=131: 234 mod 131 = 103 ≠ 47 = 309 mod 131

m=132: 234 mod 132 = 102 ≠ 45 = 309 mod 132

m=133: 234 mod 133 = 101 ≠ 43 = 309 mod 133

m=134: 234 mod 134 = 100 ≠ 41 = 309 mod 134

m=135: 234 mod 135 = 99 ≠ 39 = 309 mod 135

m=136: 234 mod 136 = 98 ≠ 37 = 309 mod 136

m=137: 234 mod 137 = 97 ≠ 35 = 309 mod 137

m=138: 234 mod 138 = 96 ≠ 33 = 309 mod 138

m=139: 234 mod 139 = 95 ≠ 31 = 309 mod 139

m=140: 234 mod 140 = 94 ≠ 29 = 309 mod 140

m=141: 234 mod 141 = 93 ≠ 27 = 309 mod 141

m=142: 234 mod 142 = 92 ≠ 25 = 309 mod 142

m=143: 234 mod 143 = 91 ≠ 23 = 309 mod 143

m=144: 234 mod 144 = 90 ≠ 21 = 309 mod 144

m=145: 234 mod 145 = 89 ≠ 19 = 309 mod 145

m=146: 234 mod 146 = 88 ≠ 17 = 309 mod 146

m=147: 234 mod 147 = 87 ≠ 15 = 309 mod 147

m=148: 234 mod 148 = 86 ≠ 13 = 309 mod 148

m=149: 234 mod 149 = 85 ≠ 11 = 309 mod 149

m=150: 234 mod 150 = 84 ≠ 9 = 309 mod 150

m=151: 234 mod 151 = 83 ≠ 7 = 309 mod 151

m=152: 234 mod 152 = 82 ≠ 5 = 309 mod 152

m=153: 234 mod 153 = 81 ≠ 3 = 309 mod 153

m=154: 234 mod 154 = 80 ≠ 1 = 309 mod 154

m=155: 234 mod 155 = 79 ≠ 154 = 309 mod 155

m=156: 234 mod 156 = 78 ≠ 153 = 309 mod 156

m=157: 234 mod 157 = 77 ≠ 152 = 309 mod 157

m=158: 234 mod 158 = 76 ≠ 151 = 309 mod 158

m=159: 234 mod 159 = 75 ≠ 150 = 309 mod 159

m=160: 234 mod 160 = 74 ≠ 149 = 309 mod 160

m=161: 234 mod 161 = 73 ≠ 148 = 309 mod 161

m=162: 234 mod 162 = 72 ≠ 147 = 309 mod 162

m=163: 234 mod 163 = 71 ≠ 146 = 309 mod 163

m=164: 234 mod 164 = 70 ≠ 145 = 309 mod 164

m=165: 234 mod 165 = 69 ≠ 144 = 309 mod 165

m=166: 234 mod 166 = 68 ≠ 143 = 309 mod 166

m=167: 234 mod 167 = 67 ≠ 142 = 309 mod 167

m=168: 234 mod 168 = 66 ≠ 141 = 309 mod 168

m=169: 234 mod 169 = 65 ≠ 140 = 309 mod 169

m=170: 234 mod 170 = 64 ≠ 139 = 309 mod 170

m=171: 234 mod 171 = 63 ≠ 138 = 309 mod 171

m=172: 234 mod 172 = 62 ≠ 137 = 309 mod 172

m=173: 234 mod 173 = 61 ≠ 136 = 309 mod 173

m=174: 234 mod 174 = 60 ≠ 135 = 309 mod 174

m=175: 234 mod 175 = 59 ≠ 134 = 309 mod 175

m=176: 234 mod 176 = 58 ≠ 133 = 309 mod 176

m=177: 234 mod 177 = 57 ≠ 132 = 309 mod 177

m=178: 234 mod 178 = 56 ≠ 131 = 309 mod 178

m=179: 234 mod 179 = 55 ≠ 130 = 309 mod 179

m=180: 234 mod 180 = 54 ≠ 129 = 309 mod 180

m=181: 234 mod 181 = 53 ≠ 128 = 309 mod 181

m=182: 234 mod 182 = 52 ≠ 127 = 309 mod 182

m=183: 234 mod 183 = 51 ≠ 126 = 309 mod 183

m=184: 234 mod 184 = 50 ≠ 125 = 309 mod 184

m=185: 234 mod 185 = 49 ≠ 124 = 309 mod 185

m=186: 234 mod 186 = 48 ≠ 123 = 309 mod 186

m=187: 234 mod 187 = 47 ≠ 122 = 309 mod 187

m=188: 234 mod 188 = 46 ≠ 121 = 309 mod 188

m=189: 234 mod 189 = 45 ≠ 120 = 309 mod 189

m=190: 234 mod 190 = 44 ≠ 119 = 309 mod 190

m=191: 234 mod 191 = 43 ≠ 118 = 309 mod 191

m=192: 234 mod 192 = 42 ≠ 117 = 309 mod 192

m=193: 234 mod 193 = 41 ≠ 116 = 309 mod 193

m=194: 234 mod 194 = 40 ≠ 115 = 309 mod 194

m=195: 234 mod 195 = 39 ≠ 114 = 309 mod 195

m=196: 234 mod 196 = 38 ≠ 113 = 309 mod 196

m=197: 234 mod 197 = 37 ≠ 112 = 309 mod 197

m=198: 234 mod 198 = 36 ≠ 111 = 309 mod 198

m=199: 234 mod 199 = 35 ≠ 110 = 309 mod 199

m=200: 234 mod 200 = 34 ≠ 109 = 309 mod 200

m=201: 234 mod 201 = 33 ≠ 108 = 309 mod 201

m=202: 234 mod 202 = 32 ≠ 107 = 309 mod 202

m=203: 234 mod 203 = 31 ≠ 106 = 309 mod 203

m=204: 234 mod 204 = 30 ≠ 105 = 309 mod 204

m=205: 234 mod 205 = 29 ≠ 104 = 309 mod 205

m=206: 234 mod 206 = 28 ≠ 103 = 309 mod 206

m=207: 234 mod 207 = 27 ≠ 102 = 309 mod 207

m=208: 234 mod 208 = 26 ≠ 101 = 309 mod 208

m=209: 234 mod 209 = 25 ≠ 100 = 309 mod 209

m=210: 234 mod 210 = 24 ≠ 99 = 309 mod 210

m=211: 234 mod 211 = 23 ≠ 98 = 309 mod 211

m=212: 234 mod 212 = 22 ≠ 97 = 309 mod 212

m=213: 234 mod 213 = 21 ≠ 96 = 309 mod 213

m=214: 234 mod 214 = 20 ≠ 95 = 309 mod 214

m=215: 234 mod 215 = 19 ≠ 94 = 309 mod 215

m=216: 234 mod 216 = 18 ≠ 93 = 309 mod 216

m=217: 234 mod 217 = 17 ≠ 92 = 309 mod 217

m=218: 234 mod 218 = 16 ≠ 91 = 309 mod 218

m=219: 234 mod 219 = 15 ≠ 90 = 309 mod 219

m=220: 234 mod 220 = 14 ≠ 89 = 309 mod 220

m=221: 234 mod 221 = 13 ≠ 88 = 309 mod 221

m=222: 234 mod 222 = 12 ≠ 87 = 309 mod 222

m=223: 234 mod 223 = 11 ≠ 86 = 309 mod 223

m=224: 234 mod 224 = 10 ≠ 85 = 309 mod 224

m=225: 234 mod 225 = 9 ≠ 84 = 309 mod 225

m=226: 234 mod 226 = 8 ≠ 83 = 309 mod 226

m=227: 234 mod 227 = 7 ≠ 82 = 309 mod 227

m=228: 234 mod 228 = 6 ≠ 81 = 309 mod 228

m=229: 234 mod 229 = 5 ≠ 80 = 309 mod 229

m=230: 234 mod 230 = 4 ≠ 79 = 309 mod 230

m=231: 234 mod 231 = 3 ≠ 78 = 309 mod 231

m=232: 234 mod 232 = 2 ≠ 77 = 309 mod 232

m=233: 234 mod 233 = 1 ≠ 76 = 309 mod 233

m=234: 234 mod 234 = 0 ≠ 75 = 309 mod 234

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (309 - 234) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75