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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 98 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 90 = 8.

Somit gilt: 98 mod 10 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 40 und erhalten so 48.

Somit gilt: 48 ≡ 98 ≡ 8 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (598 - 116) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 - 116) mod 6 ≡ (598 mod 6 - 116 mod 6) mod 6.

598 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 6 ⋅ 100 -2 = 6 ⋅ 100 - 6 + 4.

116 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 6 ⋅ 20 -4 = 6 ⋅ 20 - 6 + 2.

Somit gilt:

(598 - 116) mod 6 ≡ (4 - 2) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 97) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 97) mod 5 ≡ (60 mod 5 ⋅ 97 mod 5) mod 5.

60 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 12 ⋅ 5 + 0 ist.

97 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 95 + 2 = 19 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 97) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
39 mod m = 54 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 39 aus, ob zufällig 39 mod m = 54 mod m gilt:

m=2: 39 mod 2 = 1 ≠ 0 = 54 mod 2

m=3: 39 mod 3 = 0 = 0 = 54 mod 3

m=4: 39 mod 4 = 3 ≠ 2 = 54 mod 4

m=5: 39 mod 5 = 4 = 4 = 54 mod 5

m=6: 39 mod 6 = 3 ≠ 0 = 54 mod 6

m=7: 39 mod 7 = 4 ≠ 5 = 54 mod 7

m=8: 39 mod 8 = 7 ≠ 6 = 54 mod 8

m=9: 39 mod 9 = 3 ≠ 0 = 54 mod 9

m=10: 39 mod 10 = 9 ≠ 4 = 54 mod 10

m=11: 39 mod 11 = 6 ≠ 10 = 54 mod 11

m=12: 39 mod 12 = 3 ≠ 6 = 54 mod 12

m=13: 39 mod 13 = 0 ≠ 2 = 54 mod 13

m=14: 39 mod 14 = 11 ≠ 12 = 54 mod 14

m=15: 39 mod 15 = 9 = 9 = 54 mod 15

m=16: 39 mod 16 = 7 ≠ 6 = 54 mod 16

m=17: 39 mod 17 = 5 ≠ 3 = 54 mod 17

m=18: 39 mod 18 = 3 ≠ 0 = 54 mod 18

m=19: 39 mod 19 = 1 ≠ 16 = 54 mod 19

m=20: 39 mod 20 = 19 ≠ 14 = 54 mod 20

m=21: 39 mod 21 = 18 ≠ 12 = 54 mod 21

m=22: 39 mod 22 = 17 ≠ 10 = 54 mod 22

m=23: 39 mod 23 = 16 ≠ 8 = 54 mod 23

m=24: 39 mod 24 = 15 ≠ 6 = 54 mod 24

m=25: 39 mod 25 = 14 ≠ 4 = 54 mod 25

m=26: 39 mod 26 = 13 ≠ 2 = 54 mod 26

m=27: 39 mod 27 = 12 ≠ 0 = 54 mod 27

m=28: 39 mod 28 = 11 ≠ 26 = 54 mod 28

m=29: 39 mod 29 = 10 ≠ 25 = 54 mod 29

m=30: 39 mod 30 = 9 ≠ 24 = 54 mod 30

m=31: 39 mod 31 = 8 ≠ 23 = 54 mod 31

m=32: 39 mod 32 = 7 ≠ 22 = 54 mod 32

m=33: 39 mod 33 = 6 ≠ 21 = 54 mod 33

m=34: 39 mod 34 = 5 ≠ 20 = 54 mod 34

m=35: 39 mod 35 = 4 ≠ 19 = 54 mod 35

m=36: 39 mod 36 = 3 ≠ 18 = 54 mod 36

m=37: 39 mod 37 = 2 ≠ 17 = 54 mod 37

m=38: 39 mod 38 = 1 ≠ 16 = 54 mod 38

m=39: 39 mod 39 = 0 ≠ 15 = 54 mod 39

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (54 - 39) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15