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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 56 = 4.

Somit gilt: 60 mod 7 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 87 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 81 = 6.

Somit gilt: 87 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 87 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (57 + 60) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(57 + 60) mod 6 ≡ (57 mod 6 + 60 mod 6) mod 6.

57 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 60-3 = 6 ⋅ 10 -3 = 6 ⋅ 10 - 6 + 3.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(57 + 60) mod 6 ≡ (3 + 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 30) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 30) mod 3 ≡ (81 mod 3 ⋅ 30 mod 3) mod 3.

81 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 27 ⋅ 3 + 0 ist.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 10 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 30) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4