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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 61 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 23 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 18 = 5.

Somit gilt: 23 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 30 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 23 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15993 + 157) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15993 + 157) mod 8 ≡ (15993 mod 8 + 157 mod 8) mod 8.

15993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15993 = 15000+993 = 8 ⋅ 1875 +993.

157 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 8 ⋅ 20 -3 = 8 ⋅ 20 - 8 + 5.

Somit gilt:

(15993 + 157) mod 8 ≡ (1 + 5) mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 35) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 35) mod 9 ≡ (79 mod 9 ⋅ 35 mod 9) mod 9.

79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.

35 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 27 + 8 = 3 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 35) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12