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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 90 = 6.

Somit gilt: 96 mod 9 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 61 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.

Somit gilt: 61 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 61 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19998 - 798) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19998 - 798) mod 4 ≡ (19998 mod 4 - 798 mod 4) mod 4.

19998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19998 = 19000+998 = 4 ⋅ 4750 +998.

798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798 = 700+98 = 4 ⋅ 175 +98.

Somit gilt:

(19998 - 798) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 81) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 81) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 81 mod 9) mod 9.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

81 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 81 + 0 = 9 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 81) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
77 mod m = 107 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 77 aus, ob zufällig 77 mod m = 107 mod m gilt:

m=2: 77 mod 2 = 1 = 1 = 107 mod 2

m=3: 77 mod 3 = 2 = 2 = 107 mod 3

m=4: 77 mod 4 = 1 ≠ 3 = 107 mod 4

m=5: 77 mod 5 = 2 = 2 = 107 mod 5

m=6: 77 mod 6 = 5 = 5 = 107 mod 6

m=7: 77 mod 7 = 0 ≠ 2 = 107 mod 7

m=8: 77 mod 8 = 5 ≠ 3 = 107 mod 8

m=9: 77 mod 9 = 5 ≠ 8 = 107 mod 9

m=10: 77 mod 10 = 7 = 7 = 107 mod 10

m=11: 77 mod 11 = 0 ≠ 8 = 107 mod 11

m=12: 77 mod 12 = 5 ≠ 11 = 107 mod 12

m=13: 77 mod 13 = 12 ≠ 3 = 107 mod 13

m=14: 77 mod 14 = 7 ≠ 9 = 107 mod 14

m=15: 77 mod 15 = 2 = 2 = 107 mod 15

m=16: 77 mod 16 = 13 ≠ 11 = 107 mod 16

m=17: 77 mod 17 = 9 ≠ 5 = 107 mod 17

m=18: 77 mod 18 = 5 ≠ 17 = 107 mod 18

m=19: 77 mod 19 = 1 ≠ 12 = 107 mod 19

m=20: 77 mod 20 = 17 ≠ 7 = 107 mod 20

m=21: 77 mod 21 = 14 ≠ 2 = 107 mod 21

m=22: 77 mod 22 = 11 ≠ 19 = 107 mod 22

m=23: 77 mod 23 = 8 ≠ 15 = 107 mod 23

m=24: 77 mod 24 = 5 ≠ 11 = 107 mod 24

m=25: 77 mod 25 = 2 ≠ 7 = 107 mod 25

m=26: 77 mod 26 = 25 ≠ 3 = 107 mod 26

m=27: 77 mod 27 = 23 ≠ 26 = 107 mod 27

m=28: 77 mod 28 = 21 ≠ 23 = 107 mod 28

m=29: 77 mod 29 = 19 ≠ 20 = 107 mod 29

m=30: 77 mod 30 = 17 = 17 = 107 mod 30

m=31: 77 mod 31 = 15 ≠ 14 = 107 mod 31

m=32: 77 mod 32 = 13 ≠ 11 = 107 mod 32

m=33: 77 mod 33 = 11 ≠ 8 = 107 mod 33

m=34: 77 mod 34 = 9 ≠ 5 = 107 mod 34

m=35: 77 mod 35 = 7 ≠ 2 = 107 mod 35

m=36: 77 mod 36 = 5 ≠ 35 = 107 mod 36

m=37: 77 mod 37 = 3 ≠ 33 = 107 mod 37

m=38: 77 mod 38 = 1 ≠ 31 = 107 mod 38

m=39: 77 mod 39 = 38 ≠ 29 = 107 mod 39

m=40: 77 mod 40 = 37 ≠ 27 = 107 mod 40

m=41: 77 mod 41 = 36 ≠ 25 = 107 mod 41

m=42: 77 mod 42 = 35 ≠ 23 = 107 mod 42

m=43: 77 mod 43 = 34 ≠ 21 = 107 mod 43

m=44: 77 mod 44 = 33 ≠ 19 = 107 mod 44

m=45: 77 mod 45 = 32 ≠ 17 = 107 mod 45

m=46: 77 mod 46 = 31 ≠ 15 = 107 mod 46

m=47: 77 mod 47 = 30 ≠ 13 = 107 mod 47

m=48: 77 mod 48 = 29 ≠ 11 = 107 mod 48

m=49: 77 mod 49 = 28 ≠ 9 = 107 mod 49

m=50: 77 mod 50 = 27 ≠ 7 = 107 mod 50

m=51: 77 mod 51 = 26 ≠ 5 = 107 mod 51

m=52: 77 mod 52 = 25 ≠ 3 = 107 mod 52

m=53: 77 mod 53 = 24 ≠ 1 = 107 mod 53

m=54: 77 mod 54 = 23 ≠ 53 = 107 mod 54

m=55: 77 mod 55 = 22 ≠ 52 = 107 mod 55

m=56: 77 mod 56 = 21 ≠ 51 = 107 mod 56

m=57: 77 mod 57 = 20 ≠ 50 = 107 mod 57

m=58: 77 mod 58 = 19 ≠ 49 = 107 mod 58

m=59: 77 mod 59 = 18 ≠ 48 = 107 mod 59

m=60: 77 mod 60 = 17 ≠ 47 = 107 mod 60

m=61: 77 mod 61 = 16 ≠ 46 = 107 mod 61

m=62: 77 mod 62 = 15 ≠ 45 = 107 mod 62

m=63: 77 mod 63 = 14 ≠ 44 = 107 mod 63

m=64: 77 mod 64 = 13 ≠ 43 = 107 mod 64

m=65: 77 mod 65 = 12 ≠ 42 = 107 mod 65

m=66: 77 mod 66 = 11 ≠ 41 = 107 mod 66

m=67: 77 mod 67 = 10 ≠ 40 = 107 mod 67

m=68: 77 mod 68 = 9 ≠ 39 = 107 mod 68

m=69: 77 mod 69 = 8 ≠ 38 = 107 mod 69

m=70: 77 mod 70 = 7 ≠ 37 = 107 mod 70

m=71: 77 mod 71 = 6 ≠ 36 = 107 mod 71

m=72: 77 mod 72 = 5 ≠ 35 = 107 mod 72

m=73: 77 mod 73 = 4 ≠ 34 = 107 mod 73

m=74: 77 mod 74 = 3 ≠ 33 = 107 mod 74

m=75: 77 mod 75 = 2 ≠ 32 = 107 mod 75

m=76: 77 mod 76 = 1 ≠ 31 = 107 mod 76

m=77: 77 mod 77 = 0 ≠ 30 = 107 mod 77

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (107 - 77) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30