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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 67 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 67 - 63 = 4.
Somit gilt: 67 mod 9 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 74 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.
Somit gilt: 74 mod 7 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 4 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 28 und erhalten so 32.
Somit gilt: 32 ≡ 74 ≡ 4 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (25002 - 248) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(25002 - 248) mod 5 ≡ (25002 mod 5 - 248 mod 5) mod 5.
25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002
= 25000
248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248
= 240
Somit gilt:
(25002 - 248) mod 5 ≡ (2 - 3) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 63) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(33 ⋅ 63) mod 7 ≡ (33 mod 7 ⋅ 63 mod 7) mod 7.
33 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 28 + 5 = 4 ⋅ 7 + 5 ist.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
Somit gilt:
(33 ⋅ 63) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
