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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 64 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 60 = 4.

Somit gilt: 64 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 64 ≡ 4 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (701 + 1399) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(701 + 1399) mod 7 ≡ (701 mod 7 + 1399 mod 7) mod 7.

701 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 701 = 700+1 = 7 ⋅ 100 +1.

1399 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1399 = 1400-1 = 7 ⋅ 200 -1 = 7 ⋅ 200 - 7 + 6.

Somit gilt:

(701 + 1399) mod 7 ≡ (1 + 6) mod 7 ≡ 7 mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 98) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 98) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 98 mod 11) mod 11.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

98 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 88 + 10 = 8 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 98) mod 11 ≡ (8 ⋅ 10) mod 11 ≡ 80 mod 11 ≡ 3 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6