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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 36 = 6.

Somit gilt: 42 mod 9 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 96 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.

Somit gilt: 96 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 7 ⋅ 6

Somit gilt: 42 ≡ 96 ≡ 0 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1198 + 20000) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1198 + 20000) mod 4 ≡ (1198 mod 4 + 20000 mod 4) mod 4.

1198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1198 = 1100+98 = 4 ⋅ 275 +98.

20000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 4 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(1198 + 20000) mod 4 ≡ (2 + 0) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 38) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 38) mod 11 ≡ (33 mod 11 ⋅ 38 mod 11) mod 11.

33 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 33 + 0 = 3 ⋅ 11 + 0 ist.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 38) mod 11 ≡ (0 ⋅ 5) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 34 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 34 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 = 2 = 34 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 9 = 34 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 8 = 34 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 26) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8