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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 90, weil ja 30 ⋅ 3 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.
Somit gilt: 91 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 27 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 27 - 22 = 5.
Somit gilt: 27 mod 11 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 77 und erhalten so 82.
Somit gilt: 82 ≡ 27 ≡ 5 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2695 + 95) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2695 + 95) mod 9 ≡ (2695 mod 9 + 95 mod 9) mod 9.
2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695
= 2700
95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95
= 90
Somit gilt:
(2695 + 95) mod 9 ≡ (4 + 5) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 42) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 42) mod 10 ≡ (37 mod 10 ⋅ 42 mod 10) mod 10.
37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.
42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 42) mod 10 ≡ (7 ⋅ 2) mod 10 ≡ 14 mod 10 ≡ 4 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 52 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 52 mod m gilt:
m=2: 37 mod 2 = 1 ≠ 0 = 52 mod 2
m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3
m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 0 = 52 mod 4
m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 52 mod 5
m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 4 = 52 mod 6
m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 3 = 52 mod 7
m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 4 = 52 mod 8
m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 7 = 52 mod 9
m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 2 = 52 mod 10
m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 8 = 52 mod 11
m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 4 = 52 mod 12
m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 0 = 52 mod 13
m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 10 = 52 mod 14
m=15: 37 mod 15 = 7 = 7 = 52 mod 15
m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 4 = 52 mod 16
m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 1 = 52 mod 17
m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 16 = 52 mod 18
m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 14 = 52 mod 19
m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 12 = 52 mod 20
m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 10 = 52 mod 21
m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 8 = 52 mod 22
m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 6 = 52 mod 23
m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 4 = 52 mod 24
m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 2 = 52 mod 25
m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 0 = 52 mod 26
m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 25 = 52 mod 27
m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 24 = 52 mod 28
m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 23 = 52 mod 29
m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 22 = 52 mod 30
m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 21 = 52 mod 31
m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 20 = 52 mod 32
m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 19 = 52 mod 33
m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 18 = 52 mod 34
m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 17 = 52 mod 35
m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 16 = 52 mod 36
m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 15 = 52 mod 37
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 37) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
