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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 36 = 5.

Somit gilt: 41 mod 6 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 97 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 88 = 9.

Somit gilt: 97 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 77 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 97 ≡ 9 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1402 + 1400) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1402 + 1400) mod 7 ≡ (1402 mod 7 + 1400 mod 7) mod 7.

1402 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1402 = 1400+2 = 7 ⋅ 200 +2.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(1402 + 1400) mod 7 ≡ (2 + 0) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 37) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 37) mod 10 ≡ (58 mod 10 ⋅ 37 mod 10) mod 10.

58 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 50 + 8 = 5 ⋅ 10 + 8 ist.

37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 37) mod 10 ≡ (8 ⋅ 7) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6