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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 99 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 51 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 49 = 2.

Somit gilt: 51 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.

Somit gilt: 72 ≡ 51 ≡ 2 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (300 + 8997) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(300 + 8997) mod 3 ≡ (300 mod 3 + 8997 mod 3) mod 3.

300 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 300 = 300+0 = 3 ⋅ 100 +0.

8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997 = 9000-3 = 3 ⋅ 3000 -3 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(300 + 8997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 95) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 95) mod 5 ≡ (85 mod 5 ⋅ 95 mod 5) mod 5.

85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 95 + 0 = 19 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 95) mod 5 ≡ (0 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6