nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 84 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Somit gilt: 60 ≡ 84 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (995 + 999) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(995 + 999) mod 5 ≡ (995 mod 5 + 999 mod 5) mod 5.

995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 995 = 900+95 = 5 ⋅ 180 +95.

999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999 = 900+99 = 5 ⋅ 180 +99.

Somit gilt:

(995 + 999) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 86) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 86) mod 6 ≡ (33 mod 6 ⋅ 86 mod 6) mod 6.

33 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 5 ⋅ 6 + 3 ist.

86 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 14 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 86) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
102 mod m = 129 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 102 aus, ob zufällig 102 mod m = 129 mod m gilt:

m=2: 102 mod 2 = 0 ≠ 1 = 129 mod 2

m=3: 102 mod 3 = 0 = 0 = 129 mod 3

m=4: 102 mod 4 = 2 ≠ 1 = 129 mod 4

m=5: 102 mod 5 = 2 ≠ 4 = 129 mod 5

m=6: 102 mod 6 = 0 ≠ 3 = 129 mod 6

m=7: 102 mod 7 = 4 ≠ 3 = 129 mod 7

m=8: 102 mod 8 = 6 ≠ 1 = 129 mod 8

m=9: 102 mod 9 = 3 = 3 = 129 mod 9

m=10: 102 mod 10 = 2 ≠ 9 = 129 mod 10

m=11: 102 mod 11 = 3 ≠ 8 = 129 mod 11

m=12: 102 mod 12 = 6 ≠ 9 = 129 mod 12

m=13: 102 mod 13 = 11 ≠ 12 = 129 mod 13

m=14: 102 mod 14 = 4 ≠ 3 = 129 mod 14

m=15: 102 mod 15 = 12 ≠ 9 = 129 mod 15

m=16: 102 mod 16 = 6 ≠ 1 = 129 mod 16

m=17: 102 mod 17 = 0 ≠ 10 = 129 mod 17

m=18: 102 mod 18 = 12 ≠ 3 = 129 mod 18

m=19: 102 mod 19 = 7 ≠ 15 = 129 mod 19

m=20: 102 mod 20 = 2 ≠ 9 = 129 mod 20

m=21: 102 mod 21 = 18 ≠ 3 = 129 mod 21

m=22: 102 mod 22 = 14 ≠ 19 = 129 mod 22

m=23: 102 mod 23 = 10 ≠ 14 = 129 mod 23

m=24: 102 mod 24 = 6 ≠ 9 = 129 mod 24

m=25: 102 mod 25 = 2 ≠ 4 = 129 mod 25

m=26: 102 mod 26 = 24 ≠ 25 = 129 mod 26

m=27: 102 mod 27 = 21 = 21 = 129 mod 27

m=28: 102 mod 28 = 18 ≠ 17 = 129 mod 28

m=29: 102 mod 29 = 15 ≠ 13 = 129 mod 29

m=30: 102 mod 30 = 12 ≠ 9 = 129 mod 30

m=31: 102 mod 31 = 9 ≠ 5 = 129 mod 31

m=32: 102 mod 32 = 6 ≠ 1 = 129 mod 32

m=33: 102 mod 33 = 3 ≠ 30 = 129 mod 33

m=34: 102 mod 34 = 0 ≠ 27 = 129 mod 34

m=35: 102 mod 35 = 32 ≠ 24 = 129 mod 35

m=36: 102 mod 36 = 30 ≠ 21 = 129 mod 36

m=37: 102 mod 37 = 28 ≠ 18 = 129 mod 37

m=38: 102 mod 38 = 26 ≠ 15 = 129 mod 38

m=39: 102 mod 39 = 24 ≠ 12 = 129 mod 39

m=40: 102 mod 40 = 22 ≠ 9 = 129 mod 40

m=41: 102 mod 41 = 20 ≠ 6 = 129 mod 41

m=42: 102 mod 42 = 18 ≠ 3 = 129 mod 42

m=43: 102 mod 43 = 16 ≠ 0 = 129 mod 43

m=44: 102 mod 44 = 14 ≠ 41 = 129 mod 44

m=45: 102 mod 45 = 12 ≠ 39 = 129 mod 45

m=46: 102 mod 46 = 10 ≠ 37 = 129 mod 46

m=47: 102 mod 47 = 8 ≠ 35 = 129 mod 47

m=48: 102 mod 48 = 6 ≠ 33 = 129 mod 48

m=49: 102 mod 49 = 4 ≠ 31 = 129 mod 49

m=50: 102 mod 50 = 2 ≠ 29 = 129 mod 50

m=51: 102 mod 51 = 0 ≠ 27 = 129 mod 51

m=52: 102 mod 52 = 50 ≠ 25 = 129 mod 52

m=53: 102 mod 53 = 49 ≠ 23 = 129 mod 53

m=54: 102 mod 54 = 48 ≠ 21 = 129 mod 54

m=55: 102 mod 55 = 47 ≠ 19 = 129 mod 55

m=56: 102 mod 56 = 46 ≠ 17 = 129 mod 56

m=57: 102 mod 57 = 45 ≠ 15 = 129 mod 57

m=58: 102 mod 58 = 44 ≠ 13 = 129 mod 58

m=59: 102 mod 59 = 43 ≠ 11 = 129 mod 59

m=60: 102 mod 60 = 42 ≠ 9 = 129 mod 60

m=61: 102 mod 61 = 41 ≠ 7 = 129 mod 61

m=62: 102 mod 62 = 40 ≠ 5 = 129 mod 62

m=63: 102 mod 63 = 39 ≠ 3 = 129 mod 63

m=64: 102 mod 64 = 38 ≠ 1 = 129 mod 64

m=65: 102 mod 65 = 37 ≠ 64 = 129 mod 65

m=66: 102 mod 66 = 36 ≠ 63 = 129 mod 66

m=67: 102 mod 67 = 35 ≠ 62 = 129 mod 67

m=68: 102 mod 68 = 34 ≠ 61 = 129 mod 68

m=69: 102 mod 69 = 33 ≠ 60 = 129 mod 69

m=70: 102 mod 70 = 32 ≠ 59 = 129 mod 70

m=71: 102 mod 71 = 31 ≠ 58 = 129 mod 71

m=72: 102 mod 72 = 30 ≠ 57 = 129 mod 72

m=73: 102 mod 73 = 29 ≠ 56 = 129 mod 73

m=74: 102 mod 74 = 28 ≠ 55 = 129 mod 74

m=75: 102 mod 75 = 27 ≠ 54 = 129 mod 75

m=76: 102 mod 76 = 26 ≠ 53 = 129 mod 76

m=77: 102 mod 77 = 25 ≠ 52 = 129 mod 77

m=78: 102 mod 78 = 24 ≠ 51 = 129 mod 78

m=79: 102 mod 79 = 23 ≠ 50 = 129 mod 79

m=80: 102 mod 80 = 22 ≠ 49 = 129 mod 80

m=81: 102 mod 81 = 21 ≠ 48 = 129 mod 81

m=82: 102 mod 82 = 20 ≠ 47 = 129 mod 82

m=83: 102 mod 83 = 19 ≠ 46 = 129 mod 83

m=84: 102 mod 84 = 18 ≠ 45 = 129 mod 84

m=85: 102 mod 85 = 17 ≠ 44 = 129 mod 85

m=86: 102 mod 86 = 16 ≠ 43 = 129 mod 86

m=87: 102 mod 87 = 15 ≠ 42 = 129 mod 87

m=88: 102 mod 88 = 14 ≠ 41 = 129 mod 88

m=89: 102 mod 89 = 13 ≠ 40 = 129 mod 89

m=90: 102 mod 90 = 12 ≠ 39 = 129 mod 90

m=91: 102 mod 91 = 11 ≠ 38 = 129 mod 91

m=92: 102 mod 92 = 10 ≠ 37 = 129 mod 92

m=93: 102 mod 93 = 9 ≠ 36 = 129 mod 93

m=94: 102 mod 94 = 8 ≠ 35 = 129 mod 94

m=95: 102 mod 95 = 7 ≠ 34 = 129 mod 95

m=96: 102 mod 96 = 6 ≠ 33 = 129 mod 96

m=97: 102 mod 97 = 5 ≠ 32 = 129 mod 97

m=98: 102 mod 98 = 4 ≠ 31 = 129 mod 98

m=99: 102 mod 99 = 3 ≠ 30 = 129 mod 99

m=100: 102 mod 100 = 2 ≠ 29 = 129 mod 100

m=101: 102 mod 101 = 1 ≠ 28 = 129 mod 101

m=102: 102 mod 102 = 0 ≠ 27 = 129 mod 102

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (129 - 102) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27