nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.

Somit gilt: 81 mod 9 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 85 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 85 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1792 - 97) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1792 - 97) mod 9 ≡ (1792 mod 9 - 97 mod 9) mod 9.

1792 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1792 = 1800-8 = 9 ⋅ 200 -8 = 9 ⋅ 200 - 9 + 1.

97 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90+7 = 9 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(1792 - 97) mod 9 ≡ (1 - 7) mod 9 ≡ -6 mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 61) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 61) mod 5 ≡ (25 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.

25 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 25 + 0 = 5 ⋅ 5 + 0 ist.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 61) mod 5 ≡ (0 ⋅ 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
94 mod m = 124 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 94 aus, ob zufällig 94 mod m = 124 mod m gilt:

m=2: 94 mod 2 = 0 = 0 = 124 mod 2

m=3: 94 mod 3 = 1 = 1 = 124 mod 3

m=4: 94 mod 4 = 2 ≠ 0 = 124 mod 4

m=5: 94 mod 5 = 4 = 4 = 124 mod 5

m=6: 94 mod 6 = 4 = 4 = 124 mod 6

m=7: 94 mod 7 = 3 ≠ 5 = 124 mod 7

m=8: 94 mod 8 = 6 ≠ 4 = 124 mod 8

m=9: 94 mod 9 = 4 ≠ 7 = 124 mod 9

m=10: 94 mod 10 = 4 = 4 = 124 mod 10

m=11: 94 mod 11 = 6 ≠ 3 = 124 mod 11

m=12: 94 mod 12 = 10 ≠ 4 = 124 mod 12

m=13: 94 mod 13 = 3 ≠ 7 = 124 mod 13

m=14: 94 mod 14 = 10 ≠ 12 = 124 mod 14

m=15: 94 mod 15 = 4 = 4 = 124 mod 15

m=16: 94 mod 16 = 14 ≠ 12 = 124 mod 16

m=17: 94 mod 17 = 9 ≠ 5 = 124 mod 17

m=18: 94 mod 18 = 4 ≠ 16 = 124 mod 18

m=19: 94 mod 19 = 18 ≠ 10 = 124 mod 19

m=20: 94 mod 20 = 14 ≠ 4 = 124 mod 20

m=21: 94 mod 21 = 10 ≠ 19 = 124 mod 21

m=22: 94 mod 22 = 6 ≠ 14 = 124 mod 22

m=23: 94 mod 23 = 2 ≠ 9 = 124 mod 23

m=24: 94 mod 24 = 22 ≠ 4 = 124 mod 24

m=25: 94 mod 25 = 19 ≠ 24 = 124 mod 25

m=26: 94 mod 26 = 16 ≠ 20 = 124 mod 26

m=27: 94 mod 27 = 13 ≠ 16 = 124 mod 27

m=28: 94 mod 28 = 10 ≠ 12 = 124 mod 28

m=29: 94 mod 29 = 7 ≠ 8 = 124 mod 29

m=30: 94 mod 30 = 4 = 4 = 124 mod 30

m=31: 94 mod 31 = 1 ≠ 0 = 124 mod 31

m=32: 94 mod 32 = 30 ≠ 28 = 124 mod 32

m=33: 94 mod 33 = 28 ≠ 25 = 124 mod 33

m=34: 94 mod 34 = 26 ≠ 22 = 124 mod 34

m=35: 94 mod 35 = 24 ≠ 19 = 124 mod 35

m=36: 94 mod 36 = 22 ≠ 16 = 124 mod 36

m=37: 94 mod 37 = 20 ≠ 13 = 124 mod 37

m=38: 94 mod 38 = 18 ≠ 10 = 124 mod 38

m=39: 94 mod 39 = 16 ≠ 7 = 124 mod 39

m=40: 94 mod 40 = 14 ≠ 4 = 124 mod 40

m=41: 94 mod 41 = 12 ≠ 1 = 124 mod 41

m=42: 94 mod 42 = 10 ≠ 40 = 124 mod 42

m=43: 94 mod 43 = 8 ≠ 38 = 124 mod 43

m=44: 94 mod 44 = 6 ≠ 36 = 124 mod 44

m=45: 94 mod 45 = 4 ≠ 34 = 124 mod 45

m=46: 94 mod 46 = 2 ≠ 32 = 124 mod 46

m=47: 94 mod 47 = 0 ≠ 30 = 124 mod 47

m=48: 94 mod 48 = 46 ≠ 28 = 124 mod 48

m=49: 94 mod 49 = 45 ≠ 26 = 124 mod 49

m=50: 94 mod 50 = 44 ≠ 24 = 124 mod 50

m=51: 94 mod 51 = 43 ≠ 22 = 124 mod 51

m=52: 94 mod 52 = 42 ≠ 20 = 124 mod 52

m=53: 94 mod 53 = 41 ≠ 18 = 124 mod 53

m=54: 94 mod 54 = 40 ≠ 16 = 124 mod 54

m=55: 94 mod 55 = 39 ≠ 14 = 124 mod 55

m=56: 94 mod 56 = 38 ≠ 12 = 124 mod 56

m=57: 94 mod 57 = 37 ≠ 10 = 124 mod 57

m=58: 94 mod 58 = 36 ≠ 8 = 124 mod 58

m=59: 94 mod 59 = 35 ≠ 6 = 124 mod 59

m=60: 94 mod 60 = 34 ≠ 4 = 124 mod 60

m=61: 94 mod 61 = 33 ≠ 2 = 124 mod 61

m=62: 94 mod 62 = 32 ≠ 0 = 124 mod 62

m=63: 94 mod 63 = 31 ≠ 61 = 124 mod 63

m=64: 94 mod 64 = 30 ≠ 60 = 124 mod 64

m=65: 94 mod 65 = 29 ≠ 59 = 124 mod 65

m=66: 94 mod 66 = 28 ≠ 58 = 124 mod 66

m=67: 94 mod 67 = 27 ≠ 57 = 124 mod 67

m=68: 94 mod 68 = 26 ≠ 56 = 124 mod 68

m=69: 94 mod 69 = 25 ≠ 55 = 124 mod 69

m=70: 94 mod 70 = 24 ≠ 54 = 124 mod 70

m=71: 94 mod 71 = 23 ≠ 53 = 124 mod 71

m=72: 94 mod 72 = 22 ≠ 52 = 124 mod 72

m=73: 94 mod 73 = 21 ≠ 51 = 124 mod 73

m=74: 94 mod 74 = 20 ≠ 50 = 124 mod 74

m=75: 94 mod 75 = 19 ≠ 49 = 124 mod 75

m=76: 94 mod 76 = 18 ≠ 48 = 124 mod 76

m=77: 94 mod 77 = 17 ≠ 47 = 124 mod 77

m=78: 94 mod 78 = 16 ≠ 46 = 124 mod 78

m=79: 94 mod 79 = 15 ≠ 45 = 124 mod 79

m=80: 94 mod 80 = 14 ≠ 44 = 124 mod 80

m=81: 94 mod 81 = 13 ≠ 43 = 124 mod 81

m=82: 94 mod 82 = 12 ≠ 42 = 124 mod 82

m=83: 94 mod 83 = 11 ≠ 41 = 124 mod 83

m=84: 94 mod 84 = 10 ≠ 40 = 124 mod 84

m=85: 94 mod 85 = 9 ≠ 39 = 124 mod 85

m=86: 94 mod 86 = 8 ≠ 38 = 124 mod 86

m=87: 94 mod 87 = 7 ≠ 37 = 124 mod 87

m=88: 94 mod 88 = 6 ≠ 36 = 124 mod 88

m=89: 94 mod 89 = 5 ≠ 35 = 124 mod 89

m=90: 94 mod 90 = 4 ≠ 34 = 124 mod 90

m=91: 94 mod 91 = 3 ≠ 33 = 124 mod 91

m=92: 94 mod 92 = 2 ≠ 32 = 124 mod 92

m=93: 94 mod 93 = 1 ≠ 31 = 124 mod 93

m=94: 94 mod 94 = 0 ≠ 30 = 124 mod 94

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (124 - 94) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30