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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 33 = 9.

Somit gilt: 42 mod 11 ≡ 9.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 29 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 28 = 1.

Somit gilt: 29 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 84 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 29 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36006 - 95) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36006 - 95) mod 9 ≡ (36006 mod 9 - 95 mod 9) mod 9.

36006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36006 = 36000+6 = 9 ⋅ 4000 +6.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 9 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(36006 - 95) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 55) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 55) mod 5 ≡ (23 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.

23 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 4 ⋅ 5 + 3 ist.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 55) mod 5 ≡ (3 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 31 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 31 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 1 = 31 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 = 3 = 31 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 = 7 = 31 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 4 = 31 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 9 = 31 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 8 = 31 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 23) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8