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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 100 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 98 = 2.

Somit gilt: 100 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 91 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 100 ≡ 2 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (178 - 1200) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(178 - 1200) mod 6 ≡ (178 mod 6 - 1200 mod 6) mod 6.

178 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 6 ⋅ 30 -2 = 6 ⋅ 30 - 6 + 4.

1200 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 6 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(178 - 1200) mod 6 ≡ (4 - 0) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 98) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 98) mod 9 ≡ (50 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.

50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 98) mod 9 ≡ (5 ⋅ 8) mod 9 ≡ 40 mod 9 ≡ 4 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
59 mod m = 84 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 59 aus, ob zufällig 59 mod m = 84 mod m gilt:

m=2: 59 mod 2 = 1 ≠ 0 = 84 mod 2

m=3: 59 mod 3 = 2 ≠ 0 = 84 mod 3

m=4: 59 mod 4 = 3 ≠ 0 = 84 mod 4

m=5: 59 mod 5 = 4 = 4 = 84 mod 5

m=6: 59 mod 6 = 5 ≠ 0 = 84 mod 6

m=7: 59 mod 7 = 3 ≠ 0 = 84 mod 7

m=8: 59 mod 8 = 3 ≠ 4 = 84 mod 8

m=9: 59 mod 9 = 5 ≠ 3 = 84 mod 9

m=10: 59 mod 10 = 9 ≠ 4 = 84 mod 10

m=11: 59 mod 11 = 4 ≠ 7 = 84 mod 11

m=12: 59 mod 12 = 11 ≠ 0 = 84 mod 12

m=13: 59 mod 13 = 7 ≠ 6 = 84 mod 13

m=14: 59 mod 14 = 3 ≠ 0 = 84 mod 14

m=15: 59 mod 15 = 14 ≠ 9 = 84 mod 15

m=16: 59 mod 16 = 11 ≠ 4 = 84 mod 16

m=17: 59 mod 17 = 8 ≠ 16 = 84 mod 17

m=18: 59 mod 18 = 5 ≠ 12 = 84 mod 18

m=19: 59 mod 19 = 2 ≠ 8 = 84 mod 19

m=20: 59 mod 20 = 19 ≠ 4 = 84 mod 20

m=21: 59 mod 21 = 17 ≠ 0 = 84 mod 21

m=22: 59 mod 22 = 15 ≠ 18 = 84 mod 22

m=23: 59 mod 23 = 13 ≠ 15 = 84 mod 23

m=24: 59 mod 24 = 11 ≠ 12 = 84 mod 24

m=25: 59 mod 25 = 9 = 9 = 84 mod 25

m=26: 59 mod 26 = 7 ≠ 6 = 84 mod 26

m=27: 59 mod 27 = 5 ≠ 3 = 84 mod 27

m=28: 59 mod 28 = 3 ≠ 0 = 84 mod 28

m=29: 59 mod 29 = 1 ≠ 26 = 84 mod 29

m=30: 59 mod 30 = 29 ≠ 24 = 84 mod 30

m=31: 59 mod 31 = 28 ≠ 22 = 84 mod 31

m=32: 59 mod 32 = 27 ≠ 20 = 84 mod 32

m=33: 59 mod 33 = 26 ≠ 18 = 84 mod 33

m=34: 59 mod 34 = 25 ≠ 16 = 84 mod 34

m=35: 59 mod 35 = 24 ≠ 14 = 84 mod 35

m=36: 59 mod 36 = 23 ≠ 12 = 84 mod 36

m=37: 59 mod 37 = 22 ≠ 10 = 84 mod 37

m=38: 59 mod 38 = 21 ≠ 8 = 84 mod 38

m=39: 59 mod 39 = 20 ≠ 6 = 84 mod 39

m=40: 59 mod 40 = 19 ≠ 4 = 84 mod 40

m=41: 59 mod 41 = 18 ≠ 2 = 84 mod 41

m=42: 59 mod 42 = 17 ≠ 0 = 84 mod 42

m=43: 59 mod 43 = 16 ≠ 41 = 84 mod 43

m=44: 59 mod 44 = 15 ≠ 40 = 84 mod 44

m=45: 59 mod 45 = 14 ≠ 39 = 84 mod 45

m=46: 59 mod 46 = 13 ≠ 38 = 84 mod 46

m=47: 59 mod 47 = 12 ≠ 37 = 84 mod 47

m=48: 59 mod 48 = 11 ≠ 36 = 84 mod 48

m=49: 59 mod 49 = 10 ≠ 35 = 84 mod 49

m=50: 59 mod 50 = 9 ≠ 34 = 84 mod 50

m=51: 59 mod 51 = 8 ≠ 33 = 84 mod 51

m=52: 59 mod 52 = 7 ≠ 32 = 84 mod 52

m=53: 59 mod 53 = 6 ≠ 31 = 84 mod 53

m=54: 59 mod 54 = 5 ≠ 30 = 84 mod 54

m=55: 59 mod 55 = 4 ≠ 29 = 84 mod 55

m=56: 59 mod 56 = 3 ≠ 28 = 84 mod 56

m=57: 59 mod 57 = 2 ≠ 27 = 84 mod 57

m=58: 59 mod 58 = 1 ≠ 26 = 84 mod 58

m=59: 59 mod 59 = 0 ≠ 25 = 84 mod 59

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (84 - 59) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25