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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 90 = 6.

Somit gilt: 96 mod 10 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 59 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 54 = 5.

Somit gilt: 59 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 18 und erhalten so 23.

Somit gilt: 23 ≡ 59 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1796 - 3006) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1796 - 3006) mod 6 ≡ (1796 mod 6 - 3006 mod 6) mod 6.

1796 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 6 ⋅ 300 -4 = 6 ⋅ 300 - 6 + 2.

3006 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3006 = 3000+6 = 6 ⋅ 500 +6.

Somit gilt:

(1796 - 3006) mod 6 ≡ (2 - 0) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 23) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 23) mod 3 ≡ (76 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.

76 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 75 + 1 = 25 ⋅ 3 + 1 ist.

23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 23) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4