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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 14 = 2.

Somit gilt: 16 mod 7 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 85 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 35 = 5 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 35 und erhalten so 36.

Somit gilt: 36 ≡ 85 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9995 + 2499) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9995 + 2499) mod 5 ≡ (9995 mod 5 + 2499 mod 5) mod 5.

9995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9995 = 9000+995 = 5 ⋅ 1800 +995.

2499 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2499 = 2400+99 = 5 ⋅ 480 +99.

Somit gilt:

(9995 + 2499) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 38) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 38) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 38 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 38) mod 6 ≡ (5 ⋅ 2) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 54 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 54 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 54 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 54 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 54 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 ≠ 4 = 54 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 = 0 = 54 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 5 = 54 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 54 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 = 0 = 54 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 4 = 54 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 10 = 54 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 6 = 54 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 2 = 54 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 12 = 54 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 9 = 54 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 6 = 54 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 3 = 54 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 = 0 = 54 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 16 = 54 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 14 = 54 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 12 = 54 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 10 = 54 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 8 = 54 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 6 = 54 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 4 = 54 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 2 = 54 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 0 = 54 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 26 = 54 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 25 = 54 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 24 = 54 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 23 = 54 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 22 = 54 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 21 = 54 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 20 = 54 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 19 = 54 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 18 = 54 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (54 - 36) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18