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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.
Somit gilt: 41 mod 5 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 25 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 25 - 25 = 0.
Somit gilt: 25 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Somit gilt: 10 ≡ 25 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (245 - 1595) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(245 - 1595) mod 8 ≡ (245 mod 8 - 1595 mod 8) mod 8.
245 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
1595 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1595
= 1600
Somit gilt:
(245 - 1595) mod 8 ≡ (5 - 3) mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 65) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 65) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 65 mod 11) mod 11.
81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.
65 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 55 + 10 = 5 ⋅ 11 + 10 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 65) mod 11 ≡ (4 ⋅ 10) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
56 mod m = 71 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 56 aus, ob zufällig 56 mod m = 71 mod m gilt:
m=2: 56 mod 2 = 0 ≠ 1 = 71 mod 2
m=3: 56 mod 3 = 2 = 2 = 71 mod 3
m=4: 56 mod 4 = 0 ≠ 3 = 71 mod 4
m=5: 56 mod 5 = 1 = 1 = 71 mod 5
m=6: 56 mod 6 = 2 ≠ 5 = 71 mod 6
m=7: 56 mod 7 = 0 ≠ 1 = 71 mod 7
m=8: 56 mod 8 = 0 ≠ 7 = 71 mod 8
m=9: 56 mod 9 = 2 ≠ 8 = 71 mod 9
m=10: 56 mod 10 = 6 ≠ 1 = 71 mod 10
m=11: 56 mod 11 = 1 ≠ 5 = 71 mod 11
m=12: 56 mod 12 = 8 ≠ 11 = 71 mod 12
m=13: 56 mod 13 = 4 ≠ 6 = 71 mod 13
m=14: 56 mod 14 = 0 ≠ 1 = 71 mod 14
m=15: 56 mod 15 = 11 = 11 = 71 mod 15
m=16: 56 mod 16 = 8 ≠ 7 = 71 mod 16
m=17: 56 mod 17 = 5 ≠ 3 = 71 mod 17
m=18: 56 mod 18 = 2 ≠ 17 = 71 mod 18
m=19: 56 mod 19 = 18 ≠ 14 = 71 mod 19
m=20: 56 mod 20 = 16 ≠ 11 = 71 mod 20
m=21: 56 mod 21 = 14 ≠ 8 = 71 mod 21
m=22: 56 mod 22 = 12 ≠ 5 = 71 mod 22
m=23: 56 mod 23 = 10 ≠ 2 = 71 mod 23
m=24: 56 mod 24 = 8 ≠ 23 = 71 mod 24
m=25: 56 mod 25 = 6 ≠ 21 = 71 mod 25
m=26: 56 mod 26 = 4 ≠ 19 = 71 mod 26
m=27: 56 mod 27 = 2 ≠ 17 = 71 mod 27
m=28: 56 mod 28 = 0 ≠ 15 = 71 mod 28
m=29: 56 mod 29 = 27 ≠ 13 = 71 mod 29
m=30: 56 mod 30 = 26 ≠ 11 = 71 mod 30
m=31: 56 mod 31 = 25 ≠ 9 = 71 mod 31
m=32: 56 mod 32 = 24 ≠ 7 = 71 mod 32
m=33: 56 mod 33 = 23 ≠ 5 = 71 mod 33
m=34: 56 mod 34 = 22 ≠ 3 = 71 mod 34
m=35: 56 mod 35 = 21 ≠ 1 = 71 mod 35
m=36: 56 mod 36 = 20 ≠ 35 = 71 mod 36
m=37: 56 mod 37 = 19 ≠ 34 = 71 mod 37
m=38: 56 mod 38 = 18 ≠ 33 = 71 mod 38
m=39: 56 mod 39 = 17 ≠ 32 = 71 mod 39
m=40: 56 mod 40 = 16 ≠ 31 = 71 mod 40
m=41: 56 mod 41 = 15 ≠ 30 = 71 mod 41
m=42: 56 mod 42 = 14 ≠ 29 = 71 mod 42
m=43: 56 mod 43 = 13 ≠ 28 = 71 mod 43
m=44: 56 mod 44 = 12 ≠ 27 = 71 mod 44
m=45: 56 mod 45 = 11 ≠ 26 = 71 mod 45
m=46: 56 mod 46 = 10 ≠ 25 = 71 mod 46
m=47: 56 mod 47 = 9 ≠ 24 = 71 mod 47
m=48: 56 mod 48 = 8 ≠ 23 = 71 mod 48
m=49: 56 mod 49 = 7 ≠ 22 = 71 mod 49
m=50: 56 mod 50 = 6 ≠ 21 = 71 mod 50
m=51: 56 mod 51 = 5 ≠ 20 = 71 mod 51
m=52: 56 mod 52 = 4 ≠ 19 = 71 mod 52
m=53: 56 mod 53 = 3 ≠ 18 = 71 mod 53
m=54: 56 mod 54 = 2 ≠ 17 = 71 mod 54
m=55: 56 mod 55 = 1 ≠ 16 = 71 mod 55
m=56: 56 mod 56 = 0 ≠ 15 = 71 mod 56
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (71 - 56) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
