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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 28 = 3.
Somit gilt: 31 mod 7 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 85 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.
Somit gilt: 85 mod 6 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 54 und erhalten so 55.
Somit gilt: 55 ≡ 85 ≡ 1 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4505 + 904) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4505 + 904) mod 9 ≡ (4505 mod 9 + 904 mod 9) mod 9.
4505 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4505
= 4500
904 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 904
= 900
Somit gilt:
(4505 + 904) mod 9 ≡ (5 + 4) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 70) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(52 ⋅ 70) mod 11 ≡ (52 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.
52 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 44 + 8 = 4 ⋅ 11 + 8 ist.
70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(52 ⋅ 70) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
128 mod m = 173 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 128 aus, ob zufällig 128 mod m = 173 mod m gilt:
m=2: 128 mod 2 = 0 ≠ 1 = 173 mod 2
m=3: 128 mod 3 = 2 = 2 = 173 mod 3
m=4: 128 mod 4 = 0 ≠ 1 = 173 mod 4
m=5: 128 mod 5 = 3 = 3 = 173 mod 5
m=6: 128 mod 6 = 2 ≠ 5 = 173 mod 6
m=7: 128 mod 7 = 2 ≠ 5 = 173 mod 7
m=8: 128 mod 8 = 0 ≠ 5 = 173 mod 8
m=9: 128 mod 9 = 2 = 2 = 173 mod 9
m=10: 128 mod 10 = 8 ≠ 3 = 173 mod 10
m=11: 128 mod 11 = 7 ≠ 8 = 173 mod 11
m=12: 128 mod 12 = 8 ≠ 5 = 173 mod 12
m=13: 128 mod 13 = 11 ≠ 4 = 173 mod 13
m=14: 128 mod 14 = 2 ≠ 5 = 173 mod 14
m=15: 128 mod 15 = 8 = 8 = 173 mod 15
m=16: 128 mod 16 = 0 ≠ 13 = 173 mod 16
m=17: 128 mod 17 = 9 ≠ 3 = 173 mod 17
m=18: 128 mod 18 = 2 ≠ 11 = 173 mod 18
m=19: 128 mod 19 = 14 ≠ 2 = 173 mod 19
m=20: 128 mod 20 = 8 ≠ 13 = 173 mod 20
m=21: 128 mod 21 = 2 ≠ 5 = 173 mod 21
m=22: 128 mod 22 = 18 ≠ 19 = 173 mod 22
m=23: 128 mod 23 = 13 ≠ 12 = 173 mod 23
m=24: 128 mod 24 = 8 ≠ 5 = 173 mod 24
m=25: 128 mod 25 = 3 ≠ 23 = 173 mod 25
m=26: 128 mod 26 = 24 ≠ 17 = 173 mod 26
m=27: 128 mod 27 = 20 ≠ 11 = 173 mod 27
m=28: 128 mod 28 = 16 ≠ 5 = 173 mod 28
m=29: 128 mod 29 = 12 ≠ 28 = 173 mod 29
m=30: 128 mod 30 = 8 ≠ 23 = 173 mod 30
m=31: 128 mod 31 = 4 ≠ 18 = 173 mod 31
m=32: 128 mod 32 = 0 ≠ 13 = 173 mod 32
m=33: 128 mod 33 = 29 ≠ 8 = 173 mod 33
m=34: 128 mod 34 = 26 ≠ 3 = 173 mod 34
m=35: 128 mod 35 = 23 ≠ 33 = 173 mod 35
m=36: 128 mod 36 = 20 ≠ 29 = 173 mod 36
m=37: 128 mod 37 = 17 ≠ 25 = 173 mod 37
m=38: 128 mod 38 = 14 ≠ 21 = 173 mod 38
m=39: 128 mod 39 = 11 ≠ 17 = 173 mod 39
m=40: 128 mod 40 = 8 ≠ 13 = 173 mod 40
m=41: 128 mod 41 = 5 ≠ 9 = 173 mod 41
m=42: 128 mod 42 = 2 ≠ 5 = 173 mod 42
m=43: 128 mod 43 = 42 ≠ 1 = 173 mod 43
m=44: 128 mod 44 = 40 ≠ 41 = 173 mod 44
m=45: 128 mod 45 = 38 = 38 = 173 mod 45
m=46: 128 mod 46 = 36 ≠ 35 = 173 mod 46
m=47: 128 mod 47 = 34 ≠ 32 = 173 mod 47
m=48: 128 mod 48 = 32 ≠ 29 = 173 mod 48
m=49: 128 mod 49 = 30 ≠ 26 = 173 mod 49
m=50: 128 mod 50 = 28 ≠ 23 = 173 mod 50
m=51: 128 mod 51 = 26 ≠ 20 = 173 mod 51
m=52: 128 mod 52 = 24 ≠ 17 = 173 mod 52
m=53: 128 mod 53 = 22 ≠ 14 = 173 mod 53
m=54: 128 mod 54 = 20 ≠ 11 = 173 mod 54
m=55: 128 mod 55 = 18 ≠ 8 = 173 mod 55
m=56: 128 mod 56 = 16 ≠ 5 = 173 mod 56
m=57: 128 mod 57 = 14 ≠ 2 = 173 mod 57
m=58: 128 mod 58 = 12 ≠ 57 = 173 mod 58
m=59: 128 mod 59 = 10 ≠ 55 = 173 mod 59
m=60: 128 mod 60 = 8 ≠ 53 = 173 mod 60
m=61: 128 mod 61 = 6 ≠ 51 = 173 mod 61
m=62: 128 mod 62 = 4 ≠ 49 = 173 mod 62
m=63: 128 mod 63 = 2 ≠ 47 = 173 mod 63
m=64: 128 mod 64 = 0 ≠ 45 = 173 mod 64
m=65: 128 mod 65 = 63 ≠ 43 = 173 mod 65
m=66: 128 mod 66 = 62 ≠ 41 = 173 mod 66
m=67: 128 mod 67 = 61 ≠ 39 = 173 mod 67
m=68: 128 mod 68 = 60 ≠ 37 = 173 mod 68
m=69: 128 mod 69 = 59 ≠ 35 = 173 mod 69
m=70: 128 mod 70 = 58 ≠ 33 = 173 mod 70
m=71: 128 mod 71 = 57 ≠ 31 = 173 mod 71
m=72: 128 mod 72 = 56 ≠ 29 = 173 mod 72
m=73: 128 mod 73 = 55 ≠ 27 = 173 mod 73
m=74: 128 mod 74 = 54 ≠ 25 = 173 mod 74
m=75: 128 mod 75 = 53 ≠ 23 = 173 mod 75
m=76: 128 mod 76 = 52 ≠ 21 = 173 mod 76
m=77: 128 mod 77 = 51 ≠ 19 = 173 mod 77
m=78: 128 mod 78 = 50 ≠ 17 = 173 mod 78
m=79: 128 mod 79 = 49 ≠ 15 = 173 mod 79
m=80: 128 mod 80 = 48 ≠ 13 = 173 mod 80
m=81: 128 mod 81 = 47 ≠ 11 = 173 mod 81
m=82: 128 mod 82 = 46 ≠ 9 = 173 mod 82
m=83: 128 mod 83 = 45 ≠ 7 = 173 mod 83
m=84: 128 mod 84 = 44 ≠ 5 = 173 mod 84
m=85: 128 mod 85 = 43 ≠ 3 = 173 mod 85
m=86: 128 mod 86 = 42 ≠ 1 = 173 mod 86
m=87: 128 mod 87 = 41 ≠ 86 = 173 mod 87
m=88: 128 mod 88 = 40 ≠ 85 = 173 mod 88
m=89: 128 mod 89 = 39 ≠ 84 = 173 mod 89
m=90: 128 mod 90 = 38 ≠ 83 = 173 mod 90
m=91: 128 mod 91 = 37 ≠ 82 = 173 mod 91
m=92: 128 mod 92 = 36 ≠ 81 = 173 mod 92
m=93: 128 mod 93 = 35 ≠ 80 = 173 mod 93
m=94: 128 mod 94 = 34 ≠ 79 = 173 mod 94
m=95: 128 mod 95 = 33 ≠ 78 = 173 mod 95
m=96: 128 mod 96 = 32 ≠ 77 = 173 mod 96
m=97: 128 mod 97 = 31 ≠ 76 = 173 mod 97
m=98: 128 mod 98 = 30 ≠ 75 = 173 mod 98
m=99: 128 mod 99 = 29 ≠ 74 = 173 mod 99
m=100: 128 mod 100 = 28 ≠ 73 = 173 mod 100
m=101: 128 mod 101 = 27 ≠ 72 = 173 mod 101
m=102: 128 mod 102 = 26 ≠ 71 = 173 mod 102
m=103: 128 mod 103 = 25 ≠ 70 = 173 mod 103
m=104: 128 mod 104 = 24 ≠ 69 = 173 mod 104
m=105: 128 mod 105 = 23 ≠ 68 = 173 mod 105
m=106: 128 mod 106 = 22 ≠ 67 = 173 mod 106
m=107: 128 mod 107 = 21 ≠ 66 = 173 mod 107
m=108: 128 mod 108 = 20 ≠ 65 = 173 mod 108
m=109: 128 mod 109 = 19 ≠ 64 = 173 mod 109
m=110: 128 mod 110 = 18 ≠ 63 = 173 mod 110
m=111: 128 mod 111 = 17 ≠ 62 = 173 mod 111
m=112: 128 mod 112 = 16 ≠ 61 = 173 mod 112
m=113: 128 mod 113 = 15 ≠ 60 = 173 mod 113
m=114: 128 mod 114 = 14 ≠ 59 = 173 mod 114
m=115: 128 mod 115 = 13 ≠ 58 = 173 mod 115
m=116: 128 mod 116 = 12 ≠ 57 = 173 mod 116
m=117: 128 mod 117 = 11 ≠ 56 = 173 mod 117
m=118: 128 mod 118 = 10 ≠ 55 = 173 mod 118
m=119: 128 mod 119 = 9 ≠ 54 = 173 mod 119
m=120: 128 mod 120 = 8 ≠ 53 = 173 mod 120
m=121: 128 mod 121 = 7 ≠ 52 = 173 mod 121
m=122: 128 mod 122 = 6 ≠ 51 = 173 mod 122
m=123: 128 mod 123 = 5 ≠ 50 = 173 mod 123
m=124: 128 mod 124 = 4 ≠ 49 = 173 mod 124
m=125: 128 mod 125 = 3 ≠ 48 = 173 mod 125
m=126: 128 mod 126 = 2 ≠ 47 = 173 mod 126
m=127: 128 mod 127 = 1 ≠ 46 = 173 mod 127
m=128: 128 mod 128 = 0 ≠ 45 = 173 mod 128
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (173 - 128) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
