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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 70 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 8 ⋅ 7

Somit gilt: 56 ≡ 70 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20997 + 6994) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20997 + 6994) mod 7 ≡ (20997 mod 7 + 6994 mod 7) mod 7.

20997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20997 = 21000-3 = 7 ⋅ 3000 -3 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 4.

6994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6994 = 7000-6 = 7 ⋅ 1000 -6 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(20997 + 6994) mod 7 ≡ (4 + 1) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 42) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 42) mod 11 ≡ (18 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

18 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 11 + 7 = 1 ⋅ 11 + 7 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 42) mod 11 ≡ (7 ⋅ 9) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6