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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 30 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 27 = 3.

Somit gilt: 30 mod 9 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 47 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 40 = 7.

Somit gilt: 47 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 64 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 47 ≡ 7 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (175 + 60) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(175 + 60) mod 6 ≡ (175 mod 6 + 60 mod 6) mod 6.

175 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 175 = 180-5 = 6 ⋅ 30 -5 = 6 ⋅ 30 - 6 + 1.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(175 + 60) mod 6 ≡ (1 + 0) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 84) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 84) mod 6 ≡ (69 mod 6 ⋅ 84 mod 6) mod 6.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 84) mod 6 ≡ (3 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
46 mod m = 58 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 58 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 = 0 = 58 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 = 1 = 58 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 = 2 = 58 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 ≠ 3 = 58 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 = 4 = 58 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 2 = 58 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 2 = 58 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 ≠ 4 = 58 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 ≠ 8 = 58 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 3 = 58 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 = 10 = 58 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 6 = 58 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 2 = 58 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 ≠ 13 = 58 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 10 = 58 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 7 = 58 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 ≠ 4 = 58 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 1 = 58 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 ≠ 18 = 58 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 16 = 58 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 14 = 58 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 12 = 58 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 10 = 58 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 8 = 58 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 6 = 58 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 4 = 58 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 2 = 58 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 0 = 58 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 28 = 58 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 27 = 58 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 26 = 58 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 25 = 58 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 24 = 58 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 23 = 58 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 22 = 58 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 21 = 58 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 20 = 58 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 19 = 58 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 18 = 58 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 17 = 58 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 16 = 58 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 15 = 58 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 14 = 58 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 13 = 58 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 12 = 58 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (58 - 46) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12