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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.
Somit gilt: 40 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 66 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 66 - 65 = 1.
Somit gilt: 66 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 66 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1002 - 201) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1002 - 201) mod 5 ≡ (1002 mod 5 - 201 mod 5) mod 5.
1002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1002
= 1000
201 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 201
= 200
Somit gilt:
(1002 - 201) mod 5 ≡ (2 - 1) mod 5 ≡ 1 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (17 ⋅ 19) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(17 ⋅ 19) mod 8 ≡ (17 mod 8 ⋅ 19 mod 8) mod 8.
17 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 16 + 1 = 2 ⋅ 8 + 1 ist.
19 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 16 + 3 = 2 ⋅ 8 + 3 ist.
Somit gilt:
(17 ⋅ 19) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
90 mod m = 135 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 90 aus, ob zufällig 90 mod m = 135 mod m gilt:
m=2: 90 mod 2 = 0 ≠ 1 = 135 mod 2
m=3: 90 mod 3 = 0 = 0 = 135 mod 3
m=4: 90 mod 4 = 2 ≠ 3 = 135 mod 4
m=5: 90 mod 5 = 0 = 0 = 135 mod 5
m=6: 90 mod 6 = 0 ≠ 3 = 135 mod 6
m=7: 90 mod 7 = 6 ≠ 2 = 135 mod 7
m=8: 90 mod 8 = 2 ≠ 7 = 135 mod 8
m=9: 90 mod 9 = 0 = 0 = 135 mod 9
m=10: 90 mod 10 = 0 ≠ 5 = 135 mod 10
m=11: 90 mod 11 = 2 ≠ 3 = 135 mod 11
m=12: 90 mod 12 = 6 ≠ 3 = 135 mod 12
m=13: 90 mod 13 = 12 ≠ 5 = 135 mod 13
m=14: 90 mod 14 = 6 ≠ 9 = 135 mod 14
m=15: 90 mod 15 = 0 = 0 = 135 mod 15
m=16: 90 mod 16 = 10 ≠ 7 = 135 mod 16
m=17: 90 mod 17 = 5 ≠ 16 = 135 mod 17
m=18: 90 mod 18 = 0 ≠ 9 = 135 mod 18
m=19: 90 mod 19 = 14 ≠ 2 = 135 mod 19
m=20: 90 mod 20 = 10 ≠ 15 = 135 mod 20
m=21: 90 mod 21 = 6 ≠ 9 = 135 mod 21
m=22: 90 mod 22 = 2 ≠ 3 = 135 mod 22
m=23: 90 mod 23 = 21 ≠ 20 = 135 mod 23
m=24: 90 mod 24 = 18 ≠ 15 = 135 mod 24
m=25: 90 mod 25 = 15 ≠ 10 = 135 mod 25
m=26: 90 mod 26 = 12 ≠ 5 = 135 mod 26
m=27: 90 mod 27 = 9 ≠ 0 = 135 mod 27
m=28: 90 mod 28 = 6 ≠ 23 = 135 mod 28
m=29: 90 mod 29 = 3 ≠ 19 = 135 mod 29
m=30: 90 mod 30 = 0 ≠ 15 = 135 mod 30
m=31: 90 mod 31 = 28 ≠ 11 = 135 mod 31
m=32: 90 mod 32 = 26 ≠ 7 = 135 mod 32
m=33: 90 mod 33 = 24 ≠ 3 = 135 mod 33
m=34: 90 mod 34 = 22 ≠ 33 = 135 mod 34
m=35: 90 mod 35 = 20 ≠ 30 = 135 mod 35
m=36: 90 mod 36 = 18 ≠ 27 = 135 mod 36
m=37: 90 mod 37 = 16 ≠ 24 = 135 mod 37
m=38: 90 mod 38 = 14 ≠ 21 = 135 mod 38
m=39: 90 mod 39 = 12 ≠ 18 = 135 mod 39
m=40: 90 mod 40 = 10 ≠ 15 = 135 mod 40
m=41: 90 mod 41 = 8 ≠ 12 = 135 mod 41
m=42: 90 mod 42 = 6 ≠ 9 = 135 mod 42
m=43: 90 mod 43 = 4 ≠ 6 = 135 mod 43
m=44: 90 mod 44 = 2 ≠ 3 = 135 mod 44
m=45: 90 mod 45 = 0 = 0 = 135 mod 45
m=46: 90 mod 46 = 44 ≠ 43 = 135 mod 46
m=47: 90 mod 47 = 43 ≠ 41 = 135 mod 47
m=48: 90 mod 48 = 42 ≠ 39 = 135 mod 48
m=49: 90 mod 49 = 41 ≠ 37 = 135 mod 49
m=50: 90 mod 50 = 40 ≠ 35 = 135 mod 50
m=51: 90 mod 51 = 39 ≠ 33 = 135 mod 51
m=52: 90 mod 52 = 38 ≠ 31 = 135 mod 52
m=53: 90 mod 53 = 37 ≠ 29 = 135 mod 53
m=54: 90 mod 54 = 36 ≠ 27 = 135 mod 54
m=55: 90 mod 55 = 35 ≠ 25 = 135 mod 55
m=56: 90 mod 56 = 34 ≠ 23 = 135 mod 56
m=57: 90 mod 57 = 33 ≠ 21 = 135 mod 57
m=58: 90 mod 58 = 32 ≠ 19 = 135 mod 58
m=59: 90 mod 59 = 31 ≠ 17 = 135 mod 59
m=60: 90 mod 60 = 30 ≠ 15 = 135 mod 60
m=61: 90 mod 61 = 29 ≠ 13 = 135 mod 61
m=62: 90 mod 62 = 28 ≠ 11 = 135 mod 62
m=63: 90 mod 63 = 27 ≠ 9 = 135 mod 63
m=64: 90 mod 64 = 26 ≠ 7 = 135 mod 64
m=65: 90 mod 65 = 25 ≠ 5 = 135 mod 65
m=66: 90 mod 66 = 24 ≠ 3 = 135 mod 66
m=67: 90 mod 67 = 23 ≠ 1 = 135 mod 67
m=68: 90 mod 68 = 22 ≠ 67 = 135 mod 68
m=69: 90 mod 69 = 21 ≠ 66 = 135 mod 69
m=70: 90 mod 70 = 20 ≠ 65 = 135 mod 70
m=71: 90 mod 71 = 19 ≠ 64 = 135 mod 71
m=72: 90 mod 72 = 18 ≠ 63 = 135 mod 72
m=73: 90 mod 73 = 17 ≠ 62 = 135 mod 73
m=74: 90 mod 74 = 16 ≠ 61 = 135 mod 74
m=75: 90 mod 75 = 15 ≠ 60 = 135 mod 75
m=76: 90 mod 76 = 14 ≠ 59 = 135 mod 76
m=77: 90 mod 77 = 13 ≠ 58 = 135 mod 77
m=78: 90 mod 78 = 12 ≠ 57 = 135 mod 78
m=79: 90 mod 79 = 11 ≠ 56 = 135 mod 79
m=80: 90 mod 80 = 10 ≠ 55 = 135 mod 80
m=81: 90 mod 81 = 9 ≠ 54 = 135 mod 81
m=82: 90 mod 82 = 8 ≠ 53 = 135 mod 82
m=83: 90 mod 83 = 7 ≠ 52 = 135 mod 83
m=84: 90 mod 84 = 6 ≠ 51 = 135 mod 84
m=85: 90 mod 85 = 5 ≠ 50 = 135 mod 85
m=86: 90 mod 86 = 4 ≠ 49 = 135 mod 86
m=87: 90 mod 87 = 3 ≠ 48 = 135 mod 87
m=88: 90 mod 88 = 2 ≠ 47 = 135 mod 88
m=89: 90 mod 89 = 1 ≠ 46 = 135 mod 89
m=90: 90 mod 90 = 0 ≠ 45 = 135 mod 90
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (135 - 90) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
