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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 64 = 0.

Somit gilt: 64 mod 8 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 59 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 59 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (897 - 8992) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(897 - 8992) mod 9 ≡ (897 mod 9 - 8992 mod 9) mod 9.

897 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 897 = 900-3 = 9 ⋅ 100 -3 = 9 ⋅ 100 - 9 + 6.

8992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8992 = 9000-8 = 9 ⋅ 1000 -8 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 1.

Somit gilt:

(897 - 8992) mod 9 ≡ (6 - 1) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 27) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 27) mod 6 ≡ (82 mod 6 ⋅ 27 mod 6) mod 6.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

27 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 24 + 3 = 4 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 27) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 45 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 45 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 = 0 = 45 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 15 = 45 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 30) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15