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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 48 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 44 = 4.

Somit gilt: 48 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 88 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 48 ≡ 4 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18006 - 1796) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18006 - 1796) mod 9 ≡ (18006 mod 9 - 1796 mod 9) mod 9.

18006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18006 = 18000+6 = 9 ⋅ 2000 +6.

1796 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1796 = 1800-4 = 9 ⋅ 200 -4 = 9 ⋅ 200 - 9 + 5.

Somit gilt:

(18006 - 1796) mod 9 ≡ (6 - 5) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 70) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 70) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 70 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 70) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4