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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 60 = 4.

Somit gilt: 64 mod 10 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 67 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 67 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 - 250) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 - 250) mod 5 ≡ (55 mod 5 - 250 mod 5) mod 5.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250 = 250+0 = 5 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(55 - 250) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 49) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 49) mod 10 ≡ (27 mod 10 ⋅ 49 mod 10) mod 10.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 49) mod 10 ≡ (7 ⋅ 9) mod 10 ≡ 63 mod 10 ≡ 3 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4