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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.
Somit gilt: 27 mod 6 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 22 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 22 - 16 = 6.
Somit gilt: 22 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 8 und erhalten so 14.
Somit gilt: 14 ≡ 22 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15998 + 2001) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15998 + 2001) mod 4 ≡ (15998 mod 4 + 2001 mod 4) mod 4.
15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998
= 15000
2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001
= 2000
Somit gilt:
(15998 + 2001) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 66) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(93 ⋅ 66) mod 11 ≡ (93 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.
93 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 88 + 5 = 8 ⋅ 11 + 5 ist.
66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.
Somit gilt:
(93 ⋅ 66) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
50 mod m = 68 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 50 aus, ob zufällig 50 mod m = 68 mod m gilt:
m=2: 50 mod 2 = 0 = 0 = 68 mod 2
m=3: 50 mod 3 = 2 = 2 = 68 mod 3
m=4: 50 mod 4 = 2 ≠ 0 = 68 mod 4
m=5: 50 mod 5 = 0 ≠ 3 = 68 mod 5
m=6: 50 mod 6 = 2 = 2 = 68 mod 6
m=7: 50 mod 7 = 1 ≠ 5 = 68 mod 7
m=8: 50 mod 8 = 2 ≠ 4 = 68 mod 8
m=9: 50 mod 9 = 5 = 5 = 68 mod 9
m=10: 50 mod 10 = 0 ≠ 8 = 68 mod 10
m=11: 50 mod 11 = 6 ≠ 2 = 68 mod 11
m=12: 50 mod 12 = 2 ≠ 8 = 68 mod 12
m=13: 50 mod 13 = 11 ≠ 3 = 68 mod 13
m=14: 50 mod 14 = 8 ≠ 12 = 68 mod 14
m=15: 50 mod 15 = 5 ≠ 8 = 68 mod 15
m=16: 50 mod 16 = 2 ≠ 4 = 68 mod 16
m=17: 50 mod 17 = 16 ≠ 0 = 68 mod 17
m=18: 50 mod 18 = 14 = 14 = 68 mod 18
m=19: 50 mod 19 = 12 ≠ 11 = 68 mod 19
m=20: 50 mod 20 = 10 ≠ 8 = 68 mod 20
m=21: 50 mod 21 = 8 ≠ 5 = 68 mod 21
m=22: 50 mod 22 = 6 ≠ 2 = 68 mod 22
m=23: 50 mod 23 = 4 ≠ 22 = 68 mod 23
m=24: 50 mod 24 = 2 ≠ 20 = 68 mod 24
m=25: 50 mod 25 = 0 ≠ 18 = 68 mod 25
m=26: 50 mod 26 = 24 ≠ 16 = 68 mod 26
m=27: 50 mod 27 = 23 ≠ 14 = 68 mod 27
m=28: 50 mod 28 = 22 ≠ 12 = 68 mod 28
m=29: 50 mod 29 = 21 ≠ 10 = 68 mod 29
m=30: 50 mod 30 = 20 ≠ 8 = 68 mod 30
m=31: 50 mod 31 = 19 ≠ 6 = 68 mod 31
m=32: 50 mod 32 = 18 ≠ 4 = 68 mod 32
m=33: 50 mod 33 = 17 ≠ 2 = 68 mod 33
m=34: 50 mod 34 = 16 ≠ 0 = 68 mod 34
m=35: 50 mod 35 = 15 ≠ 33 = 68 mod 35
m=36: 50 mod 36 = 14 ≠ 32 = 68 mod 36
m=37: 50 mod 37 = 13 ≠ 31 = 68 mod 37
m=38: 50 mod 38 = 12 ≠ 30 = 68 mod 38
m=39: 50 mod 39 = 11 ≠ 29 = 68 mod 39
m=40: 50 mod 40 = 10 ≠ 28 = 68 mod 40
m=41: 50 mod 41 = 9 ≠ 27 = 68 mod 41
m=42: 50 mod 42 = 8 ≠ 26 = 68 mod 42
m=43: 50 mod 43 = 7 ≠ 25 = 68 mod 43
m=44: 50 mod 44 = 6 ≠ 24 = 68 mod 44
m=45: 50 mod 45 = 5 ≠ 23 = 68 mod 45
m=46: 50 mod 46 = 4 ≠ 22 = 68 mod 46
m=47: 50 mod 47 = 3 ≠ 21 = 68 mod 47
m=48: 50 mod 48 = 2 ≠ 20 = 68 mod 48
m=49: 50 mod 49 = 1 ≠ 19 = 68 mod 49
m=50: 50 mod 50 = 0 ≠ 18 = 68 mod 50
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (68 - 50) = 18 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6; 9; 18
