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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.

Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 42 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 33 = 9.

Somit gilt: 42 mod 11 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 9 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 9 mod 11 sein, also addieren wir noch 9 auf die 22 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 42 ≡ 9 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1201 + 903) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1201 + 903) mod 3 ≡ (1201 mod 3 + 903 mod 3) mod 3.

1201 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1201 = 1200+1 = 3 ⋅ 400 +1.

903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 3 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(1201 + 903) mod 3 ≡ (1 + 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 63) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 ⋅ 63) mod 6 ≡ (67 mod 6 ⋅ 63 mod 6) mod 6.

67 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 66 + 1 = 11 ⋅ 6 + 1 ist.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60 + 3 = 10 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(67 ⋅ 63) mod 6 ≡ (1 ⋅ 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
42 mod m = 62 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 42 aus, ob zufällig 42 mod m = 62 mod m gilt:

m=2: 42 mod 2 = 0 = 0 = 62 mod 2

m=3: 42 mod 3 = 0 ≠ 2 = 62 mod 3

m=4: 42 mod 4 = 2 = 2 = 62 mod 4

m=5: 42 mod 5 = 2 = 2 = 62 mod 5

m=6: 42 mod 6 = 0 ≠ 2 = 62 mod 6

m=7: 42 mod 7 = 0 ≠ 6 = 62 mod 7

m=8: 42 mod 8 = 2 ≠ 6 = 62 mod 8

m=9: 42 mod 9 = 6 ≠ 8 = 62 mod 9

m=10: 42 mod 10 = 2 = 2 = 62 mod 10

m=11: 42 mod 11 = 9 ≠ 7 = 62 mod 11

m=12: 42 mod 12 = 6 ≠ 2 = 62 mod 12

m=13: 42 mod 13 = 3 ≠ 10 = 62 mod 13

m=14: 42 mod 14 = 0 ≠ 6 = 62 mod 14

m=15: 42 mod 15 = 12 ≠ 2 = 62 mod 15

m=16: 42 mod 16 = 10 ≠ 14 = 62 mod 16

m=17: 42 mod 17 = 8 ≠ 11 = 62 mod 17

m=18: 42 mod 18 = 6 ≠ 8 = 62 mod 18

m=19: 42 mod 19 = 4 ≠ 5 = 62 mod 19

m=20: 42 mod 20 = 2 = 2 = 62 mod 20

m=21: 42 mod 21 = 0 ≠ 20 = 62 mod 21

m=22: 42 mod 22 = 20 ≠ 18 = 62 mod 22

m=23: 42 mod 23 = 19 ≠ 16 = 62 mod 23

m=24: 42 mod 24 = 18 ≠ 14 = 62 mod 24

m=25: 42 mod 25 = 17 ≠ 12 = 62 mod 25

m=26: 42 mod 26 = 16 ≠ 10 = 62 mod 26

m=27: 42 mod 27 = 15 ≠ 8 = 62 mod 27

m=28: 42 mod 28 = 14 ≠ 6 = 62 mod 28

m=29: 42 mod 29 = 13 ≠ 4 = 62 mod 29

m=30: 42 mod 30 = 12 ≠ 2 = 62 mod 30

m=31: 42 mod 31 = 11 ≠ 0 = 62 mod 31

m=32: 42 mod 32 = 10 ≠ 30 = 62 mod 32

m=33: 42 mod 33 = 9 ≠ 29 = 62 mod 33

m=34: 42 mod 34 = 8 ≠ 28 = 62 mod 34

m=35: 42 mod 35 = 7 ≠ 27 = 62 mod 35

m=36: 42 mod 36 = 6 ≠ 26 = 62 mod 36

m=37: 42 mod 37 = 5 ≠ 25 = 62 mod 37

m=38: 42 mod 38 = 4 ≠ 24 = 62 mod 38

m=39: 42 mod 39 = 3 ≠ 23 = 62 mod 39

m=40: 42 mod 40 = 2 ≠ 22 = 62 mod 40

m=41: 42 mod 41 = 1 ≠ 21 = 62 mod 41

m=42: 42 mod 42 = 0 ≠ 20 = 62 mod 42

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 42) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20