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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 78 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 90 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 78 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (346 + 2802) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(346 + 2802) mod 7 ≡ (346 mod 7 + 2802 mod 7) mod 7.

346 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 346 = 350-4 = 7 ⋅ 50 -4 = 7 ⋅ 50 - 7 + 3.

2802 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2802 = 2800+2 = 7 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(346 + 2802) mod 7 ≡ (3 + 2) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 70) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 70) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 70 mod 7) mod 7.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

70 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 10 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 70) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 51 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 51 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 ≠ 1 = 51 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 51 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 3 = 51 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 = 1 = 51 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 ≠ 3 = 51 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 2 = 51 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 3 = 51 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 6 = 51 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 1 = 51 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 7 = 51 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 3 = 51 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 12 = 51 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 9 = 51 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 = 6 = 51 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 3 = 51 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 0 = 51 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 15 = 51 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 13 = 51 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 11 = 51 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 9 = 51 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 7 = 51 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 5 = 51 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 3 = 51 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 1 = 51 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 25 = 51 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 24 = 51 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 23 = 51 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 22 = 51 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 21 = 51 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 20 = 51 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 19 = 51 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 18 = 51 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 17 = 51 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 16 = 51 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 15 = 51 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (51 - 36) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15