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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 75 = 0.

Somit gilt: 75 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 54 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.

Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 7 = 1 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 7 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 54 ≡ 5 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (196 + 2001) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(196 + 2001) mod 4 ≡ (196 mod 4 + 2001 mod 4) mod 4.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(196 + 2001) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 15) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 15) mod 10 ≡ (23 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 15) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
65 mod m = 95 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 65 aus, ob zufällig 65 mod m = 95 mod m gilt:

m=2: 65 mod 2 = 1 = 1 = 95 mod 2

m=3: 65 mod 3 = 2 = 2 = 95 mod 3

m=4: 65 mod 4 = 1 ≠ 3 = 95 mod 4

m=5: 65 mod 5 = 0 = 0 = 95 mod 5

m=6: 65 mod 6 = 5 = 5 = 95 mod 6

m=7: 65 mod 7 = 2 ≠ 4 = 95 mod 7

m=8: 65 mod 8 = 1 ≠ 7 = 95 mod 8

m=9: 65 mod 9 = 2 ≠ 5 = 95 mod 9

m=10: 65 mod 10 = 5 = 5 = 95 mod 10

m=11: 65 mod 11 = 10 ≠ 7 = 95 mod 11

m=12: 65 mod 12 = 5 ≠ 11 = 95 mod 12

m=13: 65 mod 13 = 0 ≠ 4 = 95 mod 13

m=14: 65 mod 14 = 9 ≠ 11 = 95 mod 14

m=15: 65 mod 15 = 5 = 5 = 95 mod 15

m=16: 65 mod 16 = 1 ≠ 15 = 95 mod 16

m=17: 65 mod 17 = 14 ≠ 10 = 95 mod 17

m=18: 65 mod 18 = 11 ≠ 5 = 95 mod 18

m=19: 65 mod 19 = 8 ≠ 0 = 95 mod 19

m=20: 65 mod 20 = 5 ≠ 15 = 95 mod 20

m=21: 65 mod 21 = 2 ≠ 11 = 95 mod 21

m=22: 65 mod 22 = 21 ≠ 7 = 95 mod 22

m=23: 65 mod 23 = 19 ≠ 3 = 95 mod 23

m=24: 65 mod 24 = 17 ≠ 23 = 95 mod 24

m=25: 65 mod 25 = 15 ≠ 20 = 95 mod 25

m=26: 65 mod 26 = 13 ≠ 17 = 95 mod 26

m=27: 65 mod 27 = 11 ≠ 14 = 95 mod 27

m=28: 65 mod 28 = 9 ≠ 11 = 95 mod 28

m=29: 65 mod 29 = 7 ≠ 8 = 95 mod 29

m=30: 65 mod 30 = 5 = 5 = 95 mod 30

m=31: 65 mod 31 = 3 ≠ 2 = 95 mod 31

m=32: 65 mod 32 = 1 ≠ 31 = 95 mod 32

m=33: 65 mod 33 = 32 ≠ 29 = 95 mod 33

m=34: 65 mod 34 = 31 ≠ 27 = 95 mod 34

m=35: 65 mod 35 = 30 ≠ 25 = 95 mod 35

m=36: 65 mod 36 = 29 ≠ 23 = 95 mod 36

m=37: 65 mod 37 = 28 ≠ 21 = 95 mod 37

m=38: 65 mod 38 = 27 ≠ 19 = 95 mod 38

m=39: 65 mod 39 = 26 ≠ 17 = 95 mod 39

m=40: 65 mod 40 = 25 ≠ 15 = 95 mod 40

m=41: 65 mod 41 = 24 ≠ 13 = 95 mod 41

m=42: 65 mod 42 = 23 ≠ 11 = 95 mod 42

m=43: 65 mod 43 = 22 ≠ 9 = 95 mod 43

m=44: 65 mod 44 = 21 ≠ 7 = 95 mod 44

m=45: 65 mod 45 = 20 ≠ 5 = 95 mod 45

m=46: 65 mod 46 = 19 ≠ 3 = 95 mod 46

m=47: 65 mod 47 = 18 ≠ 1 = 95 mod 47

m=48: 65 mod 48 = 17 ≠ 47 = 95 mod 48

m=49: 65 mod 49 = 16 ≠ 46 = 95 mod 49

m=50: 65 mod 50 = 15 ≠ 45 = 95 mod 50

m=51: 65 mod 51 = 14 ≠ 44 = 95 mod 51

m=52: 65 mod 52 = 13 ≠ 43 = 95 mod 52

m=53: 65 mod 53 = 12 ≠ 42 = 95 mod 53

m=54: 65 mod 54 = 11 ≠ 41 = 95 mod 54

m=55: 65 mod 55 = 10 ≠ 40 = 95 mod 55

m=56: 65 mod 56 = 9 ≠ 39 = 95 mod 56

m=57: 65 mod 57 = 8 ≠ 38 = 95 mod 57

m=58: 65 mod 58 = 7 ≠ 37 = 95 mod 58

m=59: 65 mod 59 = 6 ≠ 36 = 95 mod 59

m=60: 65 mod 60 = 5 ≠ 35 = 95 mod 60

m=61: 65 mod 61 = 4 ≠ 34 = 95 mod 61

m=62: 65 mod 62 = 3 ≠ 33 = 95 mod 62

m=63: 65 mod 63 = 2 ≠ 32 = 95 mod 63

m=64: 65 mod 64 = 1 ≠ 31 = 95 mod 64

m=65: 65 mod 65 = 0 ≠ 30 = 95 mod 65

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (95 - 65) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30