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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 93 = 2.

Somit gilt: 95 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 96 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 95 = 1.

Somit gilt: 96 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 96 ≡ 1 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (357 - 34993) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(357 - 34993) mod 7 ≡ (357 mod 7 - 34993 mod 7) mod 7.

357 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 357 = 350+7 = 7 ⋅ 50 +7.

34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993 = 35000-7 = 7 ⋅ 5000 -7 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 0.

Somit gilt:

(357 - 34993) mod 7 ≡ (0 - 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 15) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 15) mod 10 ≡ (93 mod 10 ⋅ 15 mod 10) mod 10.

93 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 9 ⋅ 10 + 3 ist.

15 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 10 + 5 = 1 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 15) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 48 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 48 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 = 3 = 48 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 15 = 48 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 33) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15