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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 43 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 8 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 100 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 100, weil ja 25 ⋅ 4 = 100 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.

Somit gilt: 100 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Somit gilt: 40 ≡ 100 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 + 398) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 398) mod 8 ≡ (1601 mod 8 + 398 mod 8) mod 8.

1601 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 8 ⋅ 200 +1.

398 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 400-2 = 8 ⋅ 50 -2 = 8 ⋅ 50 - 8 + 6.

Somit gilt:

(1601 + 398) mod 8 ≡ (1 + 6) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 44) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 44) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.

37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 44) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 32 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10