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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 71 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 70 = 1.

Somit gilt: 71 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 63 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 10 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 63 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 - 101) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 101) mod 5 ≡ (95 mod 5 - 101 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 5 ⋅ 18 +5.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(95 - 101) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 70) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 70) mod 11 ≡ (81 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.

81 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 7 ⋅ 11 + 4 ist.

70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 70) mod 11 ≡ (4 ⋅ 4) mod 11 ≡ 16 mod 11 ≡ 5 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
63 mod m = 90 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 90 mod m gilt:

m=2: 63 mod 2 = 1 ≠ 0 = 90 mod 2

m=3: 63 mod 3 = 0 = 0 = 90 mod 3

m=4: 63 mod 4 = 3 ≠ 2 = 90 mod 4

m=5: 63 mod 5 = 3 ≠ 0 = 90 mod 5

m=6: 63 mod 6 = 3 ≠ 0 = 90 mod 6

m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 6 = 90 mod 7

m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 2 = 90 mod 8

m=9: 63 mod 9 = 0 = 0 = 90 mod 9

m=10: 63 mod 10 = 3 ≠ 0 = 90 mod 10

m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 2 = 90 mod 11

m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 6 = 90 mod 12

m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 12 = 90 mod 13

m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 6 = 90 mod 14

m=15: 63 mod 15 = 3 ≠ 0 = 90 mod 15

m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 10 = 90 mod 16

m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 5 = 90 mod 17

m=18: 63 mod 18 = 9 ≠ 0 = 90 mod 18

m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 14 = 90 mod 19

m=20: 63 mod 20 = 3 ≠ 10 = 90 mod 20

m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 6 = 90 mod 21

m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 2 = 90 mod 22

m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 21 = 90 mod 23

m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 18 = 90 mod 24

m=25: 63 mod 25 = 13 ≠ 15 = 90 mod 25

m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 12 = 90 mod 26

m=27: 63 mod 27 = 9 = 9 = 90 mod 27

m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 6 = 90 mod 28

m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 3 = 90 mod 29

m=30: 63 mod 30 = 3 ≠ 0 = 90 mod 30

m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 28 = 90 mod 31

m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 26 = 90 mod 32

m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 24 = 90 mod 33

m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 22 = 90 mod 34

m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 20 = 90 mod 35

m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 18 = 90 mod 36

m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 16 = 90 mod 37

m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 14 = 90 mod 38

m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 12 = 90 mod 39

m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 10 = 90 mod 40

m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 8 = 90 mod 41

m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 6 = 90 mod 42

m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 4 = 90 mod 43

m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 2 = 90 mod 44

m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 0 = 90 mod 45

m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 44 = 90 mod 46

m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 43 = 90 mod 47

m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 42 = 90 mod 48

m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 41 = 90 mod 49

m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 40 = 90 mod 50

m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 39 = 90 mod 51

m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 38 = 90 mod 52

m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 37 = 90 mod 53

m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 36 = 90 mod 54

m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 35 = 90 mod 55

m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 34 = 90 mod 56

m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 33 = 90 mod 57

m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 32 = 90 mod 58

m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 31 = 90 mod 59

m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 30 = 90 mod 60

m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 29 = 90 mod 61

m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 28 = 90 mod 62

m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 27 = 90 mod 63

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (90 - 63) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27