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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 27 = 7.
Somit gilt: 34 mod 9 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 67 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 67 - 60 = 7.
Somit gilt: 67 mod 10 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 40 und erhalten so 47.
Somit gilt: 47 ≡ 67 ≡ 7 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (23995 + 245) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(23995 + 245) mod 6 ≡ (23995 mod 6 + 245 mod 6) mod 6.
23995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23995
= 24000
245 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 245
= 240
Somit gilt:
(23995 + 245) mod 6 ≡ (1 + 5) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 23) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(83 ⋅ 23) mod 3 ≡ (83 mod 3 ⋅ 23 mod 3) mod 3.
83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.
23 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 21 + 2 = 7 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(83 ⋅ 23) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
