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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 78 = 0.

Somit gilt: 78 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 32 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 32 ≡ 2 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (276 - 44998) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(276 - 44998) mod 9 ≡ (276 mod 9 - 44998 mod 9) mod 9.

276 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 276 = 270+6 = 9 ⋅ 30 +6.

44998 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44998 = 45000-2 = 9 ⋅ 5000 -2 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 7.

Somit gilt:

(276 - 44998) mod 9 ≡ (6 - 7) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 80) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 80) mod 10 ≡ (43 mod 10 ⋅ 80 mod 10) mod 10.

43 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 40 + 3 = 4 ⋅ 10 + 3 ist.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 80) mod 10 ≡ (3 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 35 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 = 0 = 35 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 = 5 = 35 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 10 = 35 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 25) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10