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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 33 = 4.

Somit gilt: 37 mod 11 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 71 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 68 = 3.

Somit gilt: 71 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 22 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 71 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19996 - 1998) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19996 - 1998) mod 4 ≡ (19996 mod 4 - 1998 mod 4) mod 4.

19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 4 ⋅ 4750 +996.

1998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1998 = 1900+98 = 4 ⋅ 475 +98.

Somit gilt:

(19996 - 1998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 90) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(64 ⋅ 90) mod 7 ≡ (64 mod 7 ⋅ 90 mod 7) mod 7.

64 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 9 ⋅ 7 + 1 ist.

90 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 84 + 6 = 12 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(64 ⋅ 90) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 35 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 35 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 = 3 = 35 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 9 = 35 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 8 = 35 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 27) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8