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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.
Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 80 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.
Somit gilt: 80 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5
Somit gilt: 10 ≡ 80 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (185 - 893) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(185 - 893) mod 9 ≡ (185 mod 9 - 893 mod 9) mod 9.
185 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185
= 180
893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893
= 900
Somit gilt:
(185 - 893) mod 9 ≡ (5 - 2) mod 9 ≡ 3 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 40) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 40) mod 4 ≡ (88 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.
88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.
40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 40) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
8 mod m = 12 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:
m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2
m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3
m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4
m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5
m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6
m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7
m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
