nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 8 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 72 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Somit gilt: 64 ≡ 72 ≡ 0 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10003 - 53) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10003 - 53) mod 5 ≡ (10003 mod 5 - 53 mod 5) mod 5.

10003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10003 = 10000+3 = 5 ⋅ 2000 +3.

53 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 50+3 = 5 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(10003 - 53) mod 5 ≡ (3 - 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 56) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 56) mod 5 ≡ (42 mod 5 ⋅ 56 mod 5) mod 5.

42 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 8 ⋅ 5 + 2 ist.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 56) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 38 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10