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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 59 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 55 = 4.

Somit gilt: 59 mod 11 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 95 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.

Somit gilt: 95 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 81 und erhalten so 86.

Somit gilt: 86 ≡ 95 ≡ 5 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1397 - 21000) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1397 - 21000) mod 7 ≡ (1397 mod 7 - 21000 mod 7) mod 7.

1397 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1397 = 1400-3 = 7 ⋅ 200 -3 = 7 ⋅ 200 - 7 + 4.

21000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21000 = 21000+0 = 7 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1397 - 21000) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 38) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 38) mod 10 ≡ (69 mod 10 ⋅ 38 mod 10) mod 10.

69 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 60 + 9 = 6 ⋅ 10 + 9 ist.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 38) mod 10 ≡ (9 ⋅ 8) mod 10 ≡ 72 mod 10 ≡ 2 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 36 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 0 = 36 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 = 1 = 36 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 = 6 = 36 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 10 = 36 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 26) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10