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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 80 = 6.

Somit gilt: 86 mod 10 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 54 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 48 = 6.

Somit gilt: 54 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 20, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 16 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 54 ≡ 6 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 - 123) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 - 123) mod 4 ≡ (82 mod 4 - 123 mod 4) mod 4.

82 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80+2 = 4 ⋅ 20 +2.

123 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 4 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(82 - 123) mod 4 ≡ (2 - 3) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 92) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 92) mod 11 ≡ (53 mod 11 ⋅ 92 mod 11) mod 11.

53 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 44 + 9 = 4 ⋅ 11 + 9 ist.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 92) mod 11 ≡ (9 ⋅ 4) mod 11 ≡ 36 mod 11 ≡ 3 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 40 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12