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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 45 = 3.

Somit gilt: 48 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 75 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 9 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 3 mod 9 sein, also addieren wir noch 3 auf die 63 und erhalten so 66.

Somit gilt: 66 ≡ 75 ≡ 3 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 + 122) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 122) mod 3 ≡ (2999 mod 3 + 122 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

122 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 122 = 120+2 = 3 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(2999 + 122) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 17) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 17) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 17 mod 9) mod 9.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

17 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17 = 9 + 8 = 1 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 17) mod 9 ≡ (7 ⋅ 8) mod 9 ≡ 56 mod 9 ≡ 2 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 40 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 40 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 = 4 = 40 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 10 = 40 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 9 = 40 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 31) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9