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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.

Somit gilt: 57 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 40 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 36, weil ja 6 ⋅ 6 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.

Somit gilt: 40 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 30 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 40 ≡ 4 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (158 + 1202) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(158 + 1202) mod 4 ≡ (158 mod 4 + 1202 mod 4) mod 4.

158 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 4 ⋅ 40 -2 = 4 ⋅ 40 - 4 + 2.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(158 + 1202) mod 4 ≡ (2 + 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 67) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 67) mod 5 ≡ (70 mod 5 ⋅ 67 mod 5) mod 5.

70 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 70 + 0 = 14 ⋅ 5 + 0 ist.

67 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 65 + 2 = 13 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 67) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 34 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 ≠ 0 = 34 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 34 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 = 7 = 34 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 9 = 34 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 25) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9