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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 25 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 44 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.

Somit gilt: 44 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 8 ⋅ 4

Somit gilt: 32 ≡ 44 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25000 + 154) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25000 + 154) mod 5 ≡ (25000 mod 5 + 154 mod 5) mod 5.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

154 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 154 = 150+4 = 5 ⋅ 30 +4.

Somit gilt:

(25000 + 154) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 68) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 68) mod 7 ≡ (66 mod 7 ⋅ 68 mod 7) mod 7.

66 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 63 + 3 = 9 ⋅ 7 + 3 ist.

68 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 9 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 68) mod 7 ≡ (3 ⋅ 5) mod 7 ≡ 15 mod 7 ≡ 1 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 38 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12