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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 8 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 22 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 16 = 6.

Somit gilt: 22 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 48 und erhalten so 54.

Somit gilt: 54 ≡ 22 ≡ 6 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19996 + 4000) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19996 + 4000) mod 4 ≡ (19996 mod 4 + 4000 mod 4) mod 4.

19996 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 4 ⋅ 4750 +996.

4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 4 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(19996 + 4000) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 73) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 73) mod 4 ≡ (24 mod 4 ⋅ 73 mod 4) mod 4.

24 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 6 ⋅ 4 + 0 ist.

73 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 18 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 73) mod 4 ≡ (0 ⋅ 1) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 52 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 52 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 ≠ 0 = 52 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 0 = 52 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 = 2 = 52 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 ≠ 4 = 52 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 3 = 52 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 4 = 52 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 7 = 52 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 2 = 52 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 8 = 52 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 4 = 52 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 0 = 52 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 10 = 52 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 = 7 = 52 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 4 = 52 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 1 = 52 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 16 = 52 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 14 = 52 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 12 = 52 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 10 = 52 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 8 = 52 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 6 = 52 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 4 = 52 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 2 = 52 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 0 = 52 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 25 = 52 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 24 = 52 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 23 = 52 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 22 = 52 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 21 = 52 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 20 = 52 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 19 = 52 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 18 = 52 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 17 = 52 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 16 = 52 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 15 = 52 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 37) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15