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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 65 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 70 und erhalten so 75.

Somit gilt: 75 ≡ 65 ≡ 5 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (205 - 152) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(205 - 152) mod 5 ≡ (205 mod 5 - 152 mod 5) mod 5.

205 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 205 = 200+5 = 5 ⋅ 40 +5.

152 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152 = 150+2 = 5 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(205 - 152) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 21) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 21) mod 8 ≡ (16 mod 8 ⋅ 21 mod 8) mod 8.

16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.

21 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 16 + 5 = 2 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 21) mod 8 ≡ (0 ⋅ 5) mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6