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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.
Somit gilt: 65 mod 6 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 26 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 25 = 1.
Somit gilt: 26 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 26 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (157 - 160) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(157 - 160) mod 4 ≡ (157 mod 4 - 160 mod 4) mod 4.
157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157
= 160
160 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 160
= 160
Somit gilt:
(157 - 160) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 63) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(98 ⋅ 63) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 63 mod 8) mod 8.
98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.
63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.
Somit gilt:
(98 ⋅ 63) mod 8 ≡ (2 ⋅ 7) mod 8 ≡ 14 mod 8 ≡ 6 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
127 mod m = 172 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 127 aus, ob zufällig 127 mod m = 172 mod m gilt:
m=2: 127 mod 2 = 1 ≠ 0 = 172 mod 2
m=3: 127 mod 3 = 1 = 1 = 172 mod 3
m=4: 127 mod 4 = 3 ≠ 0 = 172 mod 4
m=5: 127 mod 5 = 2 = 2 = 172 mod 5
m=6: 127 mod 6 = 1 ≠ 4 = 172 mod 6
m=7: 127 mod 7 = 1 ≠ 4 = 172 mod 7
m=8: 127 mod 8 = 7 ≠ 4 = 172 mod 8
m=9: 127 mod 9 = 1 = 1 = 172 mod 9
m=10: 127 mod 10 = 7 ≠ 2 = 172 mod 10
m=11: 127 mod 11 = 6 ≠ 7 = 172 mod 11
m=12: 127 mod 12 = 7 ≠ 4 = 172 mod 12
m=13: 127 mod 13 = 10 ≠ 3 = 172 mod 13
m=14: 127 mod 14 = 1 ≠ 4 = 172 mod 14
m=15: 127 mod 15 = 7 = 7 = 172 mod 15
m=16: 127 mod 16 = 15 ≠ 12 = 172 mod 16
m=17: 127 mod 17 = 8 ≠ 2 = 172 mod 17
m=18: 127 mod 18 = 1 ≠ 10 = 172 mod 18
m=19: 127 mod 19 = 13 ≠ 1 = 172 mod 19
m=20: 127 mod 20 = 7 ≠ 12 = 172 mod 20
m=21: 127 mod 21 = 1 ≠ 4 = 172 mod 21
m=22: 127 mod 22 = 17 ≠ 18 = 172 mod 22
m=23: 127 mod 23 = 12 ≠ 11 = 172 mod 23
m=24: 127 mod 24 = 7 ≠ 4 = 172 mod 24
m=25: 127 mod 25 = 2 ≠ 22 = 172 mod 25
m=26: 127 mod 26 = 23 ≠ 16 = 172 mod 26
m=27: 127 mod 27 = 19 ≠ 10 = 172 mod 27
m=28: 127 mod 28 = 15 ≠ 4 = 172 mod 28
m=29: 127 mod 29 = 11 ≠ 27 = 172 mod 29
m=30: 127 mod 30 = 7 ≠ 22 = 172 mod 30
m=31: 127 mod 31 = 3 ≠ 17 = 172 mod 31
m=32: 127 mod 32 = 31 ≠ 12 = 172 mod 32
m=33: 127 mod 33 = 28 ≠ 7 = 172 mod 33
m=34: 127 mod 34 = 25 ≠ 2 = 172 mod 34
m=35: 127 mod 35 = 22 ≠ 32 = 172 mod 35
m=36: 127 mod 36 = 19 ≠ 28 = 172 mod 36
m=37: 127 mod 37 = 16 ≠ 24 = 172 mod 37
m=38: 127 mod 38 = 13 ≠ 20 = 172 mod 38
m=39: 127 mod 39 = 10 ≠ 16 = 172 mod 39
m=40: 127 mod 40 = 7 ≠ 12 = 172 mod 40
m=41: 127 mod 41 = 4 ≠ 8 = 172 mod 41
m=42: 127 mod 42 = 1 ≠ 4 = 172 mod 42
m=43: 127 mod 43 = 41 ≠ 0 = 172 mod 43
m=44: 127 mod 44 = 39 ≠ 40 = 172 mod 44
m=45: 127 mod 45 = 37 = 37 = 172 mod 45
m=46: 127 mod 46 = 35 ≠ 34 = 172 mod 46
m=47: 127 mod 47 = 33 ≠ 31 = 172 mod 47
m=48: 127 mod 48 = 31 ≠ 28 = 172 mod 48
m=49: 127 mod 49 = 29 ≠ 25 = 172 mod 49
m=50: 127 mod 50 = 27 ≠ 22 = 172 mod 50
m=51: 127 mod 51 = 25 ≠ 19 = 172 mod 51
m=52: 127 mod 52 = 23 ≠ 16 = 172 mod 52
m=53: 127 mod 53 = 21 ≠ 13 = 172 mod 53
m=54: 127 mod 54 = 19 ≠ 10 = 172 mod 54
m=55: 127 mod 55 = 17 ≠ 7 = 172 mod 55
m=56: 127 mod 56 = 15 ≠ 4 = 172 mod 56
m=57: 127 mod 57 = 13 ≠ 1 = 172 mod 57
m=58: 127 mod 58 = 11 ≠ 56 = 172 mod 58
m=59: 127 mod 59 = 9 ≠ 54 = 172 mod 59
m=60: 127 mod 60 = 7 ≠ 52 = 172 mod 60
m=61: 127 mod 61 = 5 ≠ 50 = 172 mod 61
m=62: 127 mod 62 = 3 ≠ 48 = 172 mod 62
m=63: 127 mod 63 = 1 ≠ 46 = 172 mod 63
m=64: 127 mod 64 = 63 ≠ 44 = 172 mod 64
m=65: 127 mod 65 = 62 ≠ 42 = 172 mod 65
m=66: 127 mod 66 = 61 ≠ 40 = 172 mod 66
m=67: 127 mod 67 = 60 ≠ 38 = 172 mod 67
m=68: 127 mod 68 = 59 ≠ 36 = 172 mod 68
m=69: 127 mod 69 = 58 ≠ 34 = 172 mod 69
m=70: 127 mod 70 = 57 ≠ 32 = 172 mod 70
m=71: 127 mod 71 = 56 ≠ 30 = 172 mod 71
m=72: 127 mod 72 = 55 ≠ 28 = 172 mod 72
m=73: 127 mod 73 = 54 ≠ 26 = 172 mod 73
m=74: 127 mod 74 = 53 ≠ 24 = 172 mod 74
m=75: 127 mod 75 = 52 ≠ 22 = 172 mod 75
m=76: 127 mod 76 = 51 ≠ 20 = 172 mod 76
m=77: 127 mod 77 = 50 ≠ 18 = 172 mod 77
m=78: 127 mod 78 = 49 ≠ 16 = 172 mod 78
m=79: 127 mod 79 = 48 ≠ 14 = 172 mod 79
m=80: 127 mod 80 = 47 ≠ 12 = 172 mod 80
m=81: 127 mod 81 = 46 ≠ 10 = 172 mod 81
m=82: 127 mod 82 = 45 ≠ 8 = 172 mod 82
m=83: 127 mod 83 = 44 ≠ 6 = 172 mod 83
m=84: 127 mod 84 = 43 ≠ 4 = 172 mod 84
m=85: 127 mod 85 = 42 ≠ 2 = 172 mod 85
m=86: 127 mod 86 = 41 ≠ 0 = 172 mod 86
m=87: 127 mod 87 = 40 ≠ 85 = 172 mod 87
m=88: 127 mod 88 = 39 ≠ 84 = 172 mod 88
m=89: 127 mod 89 = 38 ≠ 83 = 172 mod 89
m=90: 127 mod 90 = 37 ≠ 82 = 172 mod 90
m=91: 127 mod 91 = 36 ≠ 81 = 172 mod 91
m=92: 127 mod 92 = 35 ≠ 80 = 172 mod 92
m=93: 127 mod 93 = 34 ≠ 79 = 172 mod 93
m=94: 127 mod 94 = 33 ≠ 78 = 172 mod 94
m=95: 127 mod 95 = 32 ≠ 77 = 172 mod 95
m=96: 127 mod 96 = 31 ≠ 76 = 172 mod 96
m=97: 127 mod 97 = 30 ≠ 75 = 172 mod 97
m=98: 127 mod 98 = 29 ≠ 74 = 172 mod 98
m=99: 127 mod 99 = 28 ≠ 73 = 172 mod 99
m=100: 127 mod 100 = 27 ≠ 72 = 172 mod 100
m=101: 127 mod 101 = 26 ≠ 71 = 172 mod 101
m=102: 127 mod 102 = 25 ≠ 70 = 172 mod 102
m=103: 127 mod 103 = 24 ≠ 69 = 172 mod 103
m=104: 127 mod 104 = 23 ≠ 68 = 172 mod 104
m=105: 127 mod 105 = 22 ≠ 67 = 172 mod 105
m=106: 127 mod 106 = 21 ≠ 66 = 172 mod 106
m=107: 127 mod 107 = 20 ≠ 65 = 172 mod 107
m=108: 127 mod 108 = 19 ≠ 64 = 172 mod 108
m=109: 127 mod 109 = 18 ≠ 63 = 172 mod 109
m=110: 127 mod 110 = 17 ≠ 62 = 172 mod 110
m=111: 127 mod 111 = 16 ≠ 61 = 172 mod 111
m=112: 127 mod 112 = 15 ≠ 60 = 172 mod 112
m=113: 127 mod 113 = 14 ≠ 59 = 172 mod 113
m=114: 127 mod 114 = 13 ≠ 58 = 172 mod 114
m=115: 127 mod 115 = 12 ≠ 57 = 172 mod 115
m=116: 127 mod 116 = 11 ≠ 56 = 172 mod 116
m=117: 127 mod 117 = 10 ≠ 55 = 172 mod 117
m=118: 127 mod 118 = 9 ≠ 54 = 172 mod 118
m=119: 127 mod 119 = 8 ≠ 53 = 172 mod 119
m=120: 127 mod 120 = 7 ≠ 52 = 172 mod 120
m=121: 127 mod 121 = 6 ≠ 51 = 172 mod 121
m=122: 127 mod 122 = 5 ≠ 50 = 172 mod 122
m=123: 127 mod 123 = 4 ≠ 49 = 172 mod 123
m=124: 127 mod 124 = 3 ≠ 48 = 172 mod 124
m=125: 127 mod 125 = 2 ≠ 47 = 172 mod 125
m=126: 127 mod 126 = 1 ≠ 46 = 172 mod 126
m=127: 127 mod 127 = 0 ≠ 45 = 172 mod 127
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (172 - 127) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
