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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 87 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.
Somit gilt: 87 mod 10 ≡ 7.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 31 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 31 - 24 = 7.
Somit gilt: 31 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 40 und erhalten so 47.
Somit gilt: 47 ≡ 31 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1596 - 164) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1596 - 164) mod 4 ≡ (1596 mod 4 - 164 mod 4) mod 4.
1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596
= 1500
164 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164
= 160
Somit gilt:
(1596 - 164) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 85) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(63 ⋅ 85) mod 7 ≡ (63 mod 7 ⋅ 85 mod 7) mod 7.
63 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 63 + 0 = 9 ⋅ 7 + 0 ist.
85 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 12 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(63 ⋅ 85) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:
m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2
m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3
m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4
m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5
m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6
m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7
m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8
m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9
m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10
m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11
m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12
m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13
m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
