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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 66 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.

Somit gilt: 66 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Somit gilt: 72 ≡ 66 ≡ 0 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25005 + 503) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25005 + 503) mod 5 ≡ (25005 mod 5 + 503 mod 5) mod 5.

25005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25005 = 25000+5 = 5 ⋅ 5000 +5.

503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 503 = 500+3 = 5 ⋅ 100 +3.

Somit gilt:

(25005 + 503) mod 5 ≡ (0 + 3) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 80) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 80) mod 8 ≡ (18 mod 8 ⋅ 80 mod 8) mod 8.

18 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 2 ⋅ 8 + 2 ist.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 80) mod 8 ≡ (2 ⋅ 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 33 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 33 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 = 1 = 33 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 9 = 33 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 8 = 33 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 25) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8