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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.
Somit gilt: 63 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 24 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.
Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6
Somit gilt: 54 ≡ 24 ≡ 0 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8997 - 150) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8997 - 150) mod 3 ≡ (8997 mod 3 - 150 mod 3) mod 3.
8997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150
= 150
Somit gilt:
(8997 - 150) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 47) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(89 ⋅ 47) mod 10 ≡ (89 mod 10 ⋅ 47 mod 10) mod 10.
89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.
47 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 40 + 7 = 4 ⋅ 10 + 7 ist.
Somit gilt:
(89 ⋅ 47) mod 10 ≡ (9 ⋅ 7) mod 10 ≡ 63 mod 10 ≡ 3 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
107 mod m = 137 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 107 aus, ob zufällig 107 mod m = 137 mod m gilt:
m=2: 107 mod 2 = 1 = 1 = 137 mod 2
m=3: 107 mod 3 = 2 = 2 = 137 mod 3
m=4: 107 mod 4 = 3 ≠ 1 = 137 mod 4
m=5: 107 mod 5 = 2 = 2 = 137 mod 5
m=6: 107 mod 6 = 5 = 5 = 137 mod 6
m=7: 107 mod 7 = 2 ≠ 4 = 137 mod 7
m=8: 107 mod 8 = 3 ≠ 1 = 137 mod 8
m=9: 107 mod 9 = 8 ≠ 2 = 137 mod 9
m=10: 107 mod 10 = 7 = 7 = 137 mod 10
m=11: 107 mod 11 = 8 ≠ 5 = 137 mod 11
m=12: 107 mod 12 = 11 ≠ 5 = 137 mod 12
m=13: 107 mod 13 = 3 ≠ 7 = 137 mod 13
m=14: 107 mod 14 = 9 ≠ 11 = 137 mod 14
m=15: 107 mod 15 = 2 = 2 = 137 mod 15
m=16: 107 mod 16 = 11 ≠ 9 = 137 mod 16
m=17: 107 mod 17 = 5 ≠ 1 = 137 mod 17
m=18: 107 mod 18 = 17 ≠ 11 = 137 mod 18
m=19: 107 mod 19 = 12 ≠ 4 = 137 mod 19
m=20: 107 mod 20 = 7 ≠ 17 = 137 mod 20
m=21: 107 mod 21 = 2 ≠ 11 = 137 mod 21
m=22: 107 mod 22 = 19 ≠ 5 = 137 mod 22
m=23: 107 mod 23 = 15 ≠ 22 = 137 mod 23
m=24: 107 mod 24 = 11 ≠ 17 = 137 mod 24
m=25: 107 mod 25 = 7 ≠ 12 = 137 mod 25
m=26: 107 mod 26 = 3 ≠ 7 = 137 mod 26
m=27: 107 mod 27 = 26 ≠ 2 = 137 mod 27
m=28: 107 mod 28 = 23 ≠ 25 = 137 mod 28
m=29: 107 mod 29 = 20 ≠ 21 = 137 mod 29
m=30: 107 mod 30 = 17 = 17 = 137 mod 30
m=31: 107 mod 31 = 14 ≠ 13 = 137 mod 31
m=32: 107 mod 32 = 11 ≠ 9 = 137 mod 32
m=33: 107 mod 33 = 8 ≠ 5 = 137 mod 33
m=34: 107 mod 34 = 5 ≠ 1 = 137 mod 34
m=35: 107 mod 35 = 2 ≠ 32 = 137 mod 35
m=36: 107 mod 36 = 35 ≠ 29 = 137 mod 36
m=37: 107 mod 37 = 33 ≠ 26 = 137 mod 37
m=38: 107 mod 38 = 31 ≠ 23 = 137 mod 38
m=39: 107 mod 39 = 29 ≠ 20 = 137 mod 39
m=40: 107 mod 40 = 27 ≠ 17 = 137 mod 40
m=41: 107 mod 41 = 25 ≠ 14 = 137 mod 41
m=42: 107 mod 42 = 23 ≠ 11 = 137 mod 42
m=43: 107 mod 43 = 21 ≠ 8 = 137 mod 43
m=44: 107 mod 44 = 19 ≠ 5 = 137 mod 44
m=45: 107 mod 45 = 17 ≠ 2 = 137 mod 45
m=46: 107 mod 46 = 15 ≠ 45 = 137 mod 46
m=47: 107 mod 47 = 13 ≠ 43 = 137 mod 47
m=48: 107 mod 48 = 11 ≠ 41 = 137 mod 48
m=49: 107 mod 49 = 9 ≠ 39 = 137 mod 49
m=50: 107 mod 50 = 7 ≠ 37 = 137 mod 50
m=51: 107 mod 51 = 5 ≠ 35 = 137 mod 51
m=52: 107 mod 52 = 3 ≠ 33 = 137 mod 52
m=53: 107 mod 53 = 1 ≠ 31 = 137 mod 53
m=54: 107 mod 54 = 53 ≠ 29 = 137 mod 54
m=55: 107 mod 55 = 52 ≠ 27 = 137 mod 55
m=56: 107 mod 56 = 51 ≠ 25 = 137 mod 56
m=57: 107 mod 57 = 50 ≠ 23 = 137 mod 57
m=58: 107 mod 58 = 49 ≠ 21 = 137 mod 58
m=59: 107 mod 59 = 48 ≠ 19 = 137 mod 59
m=60: 107 mod 60 = 47 ≠ 17 = 137 mod 60
m=61: 107 mod 61 = 46 ≠ 15 = 137 mod 61
m=62: 107 mod 62 = 45 ≠ 13 = 137 mod 62
m=63: 107 mod 63 = 44 ≠ 11 = 137 mod 63
m=64: 107 mod 64 = 43 ≠ 9 = 137 mod 64
m=65: 107 mod 65 = 42 ≠ 7 = 137 mod 65
m=66: 107 mod 66 = 41 ≠ 5 = 137 mod 66
m=67: 107 mod 67 = 40 ≠ 3 = 137 mod 67
m=68: 107 mod 68 = 39 ≠ 1 = 137 mod 68
m=69: 107 mod 69 = 38 ≠ 68 = 137 mod 69
m=70: 107 mod 70 = 37 ≠ 67 = 137 mod 70
m=71: 107 mod 71 = 36 ≠ 66 = 137 mod 71
m=72: 107 mod 72 = 35 ≠ 65 = 137 mod 72
m=73: 107 mod 73 = 34 ≠ 64 = 137 mod 73
m=74: 107 mod 74 = 33 ≠ 63 = 137 mod 74
m=75: 107 mod 75 = 32 ≠ 62 = 137 mod 75
m=76: 107 mod 76 = 31 ≠ 61 = 137 mod 76
m=77: 107 mod 77 = 30 ≠ 60 = 137 mod 77
m=78: 107 mod 78 = 29 ≠ 59 = 137 mod 78
m=79: 107 mod 79 = 28 ≠ 58 = 137 mod 79
m=80: 107 mod 80 = 27 ≠ 57 = 137 mod 80
m=81: 107 mod 81 = 26 ≠ 56 = 137 mod 81
m=82: 107 mod 82 = 25 ≠ 55 = 137 mod 82
m=83: 107 mod 83 = 24 ≠ 54 = 137 mod 83
m=84: 107 mod 84 = 23 ≠ 53 = 137 mod 84
m=85: 107 mod 85 = 22 ≠ 52 = 137 mod 85
m=86: 107 mod 86 = 21 ≠ 51 = 137 mod 86
m=87: 107 mod 87 = 20 ≠ 50 = 137 mod 87
m=88: 107 mod 88 = 19 ≠ 49 = 137 mod 88
m=89: 107 mod 89 = 18 ≠ 48 = 137 mod 89
m=90: 107 mod 90 = 17 ≠ 47 = 137 mod 90
m=91: 107 mod 91 = 16 ≠ 46 = 137 mod 91
m=92: 107 mod 92 = 15 ≠ 45 = 137 mod 92
m=93: 107 mod 93 = 14 ≠ 44 = 137 mod 93
m=94: 107 mod 94 = 13 ≠ 43 = 137 mod 94
m=95: 107 mod 95 = 12 ≠ 42 = 137 mod 95
m=96: 107 mod 96 = 11 ≠ 41 = 137 mod 96
m=97: 107 mod 97 = 10 ≠ 40 = 137 mod 97
m=98: 107 mod 98 = 9 ≠ 39 = 137 mod 98
m=99: 107 mod 99 = 8 ≠ 38 = 137 mod 99
m=100: 107 mod 100 = 7 ≠ 37 = 137 mod 100
m=101: 107 mod 101 = 6 ≠ 36 = 137 mod 101
m=102: 107 mod 102 = 5 ≠ 35 = 137 mod 102
m=103: 107 mod 103 = 4 ≠ 34 = 137 mod 103
m=104: 107 mod 104 = 3 ≠ 33 = 137 mod 104
m=105: 107 mod 105 = 2 ≠ 32 = 137 mod 105
m=106: 107 mod 106 = 1 ≠ 31 = 137 mod 106
m=107: 107 mod 107 = 0 ≠ 30 = 137 mod 107
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (137 - 107) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
