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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 30 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 28 = 2.
Somit gilt: 30 mod 7 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 91 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.
Somit gilt: 91 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 5 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 20 und erhalten so 23.
Somit gilt: 23 ≡ 91 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 - 9002) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 - 9002) mod 3 ≡ (32 mod 3 - 9002 mod 3) mod 3.
32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32
= 30
9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002
= 9000
Somit gilt:
(32 - 9002) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 73) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(49 ⋅ 73) mod 3 ≡ (49 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.
49 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 48 + 1 = 16 ⋅ 3 + 1 ist.
73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(49 ⋅ 73) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 45 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 45 mod m gilt:
m=2: 35 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2
m=3: 35 mod 3 = 2 ≠ 0 = 45 mod 3
m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 1 = 45 mod 4
m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5
m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 3 = 45 mod 6
m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 3 = 45 mod 7
m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 5 = 45 mod 8
m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 0 = 45 mod 9
m=10: 35 mod 10 = 5 = 5 = 45 mod 10
m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 1 = 45 mod 11
m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 9 = 45 mod 12
m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 6 = 45 mod 13
m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 3 = 45 mod 14
m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 0 = 45 mod 15
m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 13 = 45 mod 16
m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 11 = 45 mod 17
m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 9 = 45 mod 18
m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 7 = 45 mod 19
m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 5 = 45 mod 20
m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 3 = 45 mod 21
m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 1 = 45 mod 22
m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 22 = 45 mod 23
m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 21 = 45 mod 24
m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 20 = 45 mod 25
m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 19 = 45 mod 26
m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 18 = 45 mod 27
m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 17 = 45 mod 28
m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 16 = 45 mod 29
m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 15 = 45 mod 30
m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 14 = 45 mod 31
m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 13 = 45 mod 32
m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 12 = 45 mod 33
m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 11 = 45 mod 34
m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 10 = 45 mod 35
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 35) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
