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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 44 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 42, weil ja 14 ⋅ 3 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.

Somit gilt: 44 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 33 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 3 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 18 und erhalten so 21.

Somit gilt: 21 ≡ 33 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (246 - 19996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 19996) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 19996 mod 5) mod 5.

246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 5 ⋅ 48 +6.

19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 5 ⋅ 3800 +996.

Somit gilt:

(246 - 19996) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29 ⋅ 75) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29 ⋅ 75) mod 8 ≡ (29 mod 8 ⋅ 75 mod 8) mod 8.

29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.

75 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 9 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(29 ⋅ 75) mod 8 ≡ (5 ⋅ 3) mod 8 ≡ 15 mod 8 ≡ 7 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
162 mod m = 207 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 162 aus, ob zufällig 162 mod m = 207 mod m gilt:

m=2: 162 mod 2 = 0 ≠ 1 = 207 mod 2

m=3: 162 mod 3 = 0 = 0 = 207 mod 3

m=4: 162 mod 4 = 2 ≠ 3 = 207 mod 4

m=5: 162 mod 5 = 2 = 2 = 207 mod 5

m=6: 162 mod 6 = 0 ≠ 3 = 207 mod 6

m=7: 162 mod 7 = 1 ≠ 4 = 207 mod 7

m=8: 162 mod 8 = 2 ≠ 7 = 207 mod 8

m=9: 162 mod 9 = 0 = 0 = 207 mod 9

m=10: 162 mod 10 = 2 ≠ 7 = 207 mod 10

m=11: 162 mod 11 = 8 ≠ 9 = 207 mod 11

m=12: 162 mod 12 = 6 ≠ 3 = 207 mod 12

m=13: 162 mod 13 = 6 ≠ 12 = 207 mod 13

m=14: 162 mod 14 = 8 ≠ 11 = 207 mod 14

m=15: 162 mod 15 = 12 = 12 = 207 mod 15

m=16: 162 mod 16 = 2 ≠ 15 = 207 mod 16

m=17: 162 mod 17 = 9 ≠ 3 = 207 mod 17

m=18: 162 mod 18 = 0 ≠ 9 = 207 mod 18

m=19: 162 mod 19 = 10 ≠ 17 = 207 mod 19

m=20: 162 mod 20 = 2 ≠ 7 = 207 mod 20

m=21: 162 mod 21 = 15 ≠ 18 = 207 mod 21

m=22: 162 mod 22 = 8 ≠ 9 = 207 mod 22

m=23: 162 mod 23 = 1 ≠ 0 = 207 mod 23

m=24: 162 mod 24 = 18 ≠ 15 = 207 mod 24

m=25: 162 mod 25 = 12 ≠ 7 = 207 mod 25

m=26: 162 mod 26 = 6 ≠ 25 = 207 mod 26

m=27: 162 mod 27 = 0 ≠ 18 = 207 mod 27

m=28: 162 mod 28 = 22 ≠ 11 = 207 mod 28

m=29: 162 mod 29 = 17 ≠ 4 = 207 mod 29

m=30: 162 mod 30 = 12 ≠ 27 = 207 mod 30

m=31: 162 mod 31 = 7 ≠ 21 = 207 mod 31

m=32: 162 mod 32 = 2 ≠ 15 = 207 mod 32

m=33: 162 mod 33 = 30 ≠ 9 = 207 mod 33

m=34: 162 mod 34 = 26 ≠ 3 = 207 mod 34

m=35: 162 mod 35 = 22 ≠ 32 = 207 mod 35

m=36: 162 mod 36 = 18 ≠ 27 = 207 mod 36

m=37: 162 mod 37 = 14 ≠ 22 = 207 mod 37

m=38: 162 mod 38 = 10 ≠ 17 = 207 mod 38

m=39: 162 mod 39 = 6 ≠ 12 = 207 mod 39

m=40: 162 mod 40 = 2 ≠ 7 = 207 mod 40

m=41: 162 mod 41 = 39 ≠ 2 = 207 mod 41

m=42: 162 mod 42 = 36 ≠ 39 = 207 mod 42

m=43: 162 mod 43 = 33 ≠ 35 = 207 mod 43

m=44: 162 mod 44 = 30 ≠ 31 = 207 mod 44

m=45: 162 mod 45 = 27 = 27 = 207 mod 45

m=46: 162 mod 46 = 24 ≠ 23 = 207 mod 46

m=47: 162 mod 47 = 21 ≠ 19 = 207 mod 47

m=48: 162 mod 48 = 18 ≠ 15 = 207 mod 48

m=49: 162 mod 49 = 15 ≠ 11 = 207 mod 49

m=50: 162 mod 50 = 12 ≠ 7 = 207 mod 50

m=51: 162 mod 51 = 9 ≠ 3 = 207 mod 51

m=52: 162 mod 52 = 6 ≠ 51 = 207 mod 52

m=53: 162 mod 53 = 3 ≠ 48 = 207 mod 53

m=54: 162 mod 54 = 0 ≠ 45 = 207 mod 54

m=55: 162 mod 55 = 52 ≠ 42 = 207 mod 55

m=56: 162 mod 56 = 50 ≠ 39 = 207 mod 56

m=57: 162 mod 57 = 48 ≠ 36 = 207 mod 57

m=58: 162 mod 58 = 46 ≠ 33 = 207 mod 58

m=59: 162 mod 59 = 44 ≠ 30 = 207 mod 59

m=60: 162 mod 60 = 42 ≠ 27 = 207 mod 60

m=61: 162 mod 61 = 40 ≠ 24 = 207 mod 61

m=62: 162 mod 62 = 38 ≠ 21 = 207 mod 62

m=63: 162 mod 63 = 36 ≠ 18 = 207 mod 63

m=64: 162 mod 64 = 34 ≠ 15 = 207 mod 64

m=65: 162 mod 65 = 32 ≠ 12 = 207 mod 65

m=66: 162 mod 66 = 30 ≠ 9 = 207 mod 66

m=67: 162 mod 67 = 28 ≠ 6 = 207 mod 67

m=68: 162 mod 68 = 26 ≠ 3 = 207 mod 68

m=69: 162 mod 69 = 24 ≠ 0 = 207 mod 69

m=70: 162 mod 70 = 22 ≠ 67 = 207 mod 70

m=71: 162 mod 71 = 20 ≠ 65 = 207 mod 71

m=72: 162 mod 72 = 18 ≠ 63 = 207 mod 72

m=73: 162 mod 73 = 16 ≠ 61 = 207 mod 73

m=74: 162 mod 74 = 14 ≠ 59 = 207 mod 74

m=75: 162 mod 75 = 12 ≠ 57 = 207 mod 75

m=76: 162 mod 76 = 10 ≠ 55 = 207 mod 76

m=77: 162 mod 77 = 8 ≠ 53 = 207 mod 77

m=78: 162 mod 78 = 6 ≠ 51 = 207 mod 78

m=79: 162 mod 79 = 4 ≠ 49 = 207 mod 79

m=80: 162 mod 80 = 2 ≠ 47 = 207 mod 80

m=81: 162 mod 81 = 0 ≠ 45 = 207 mod 81

m=82: 162 mod 82 = 80 ≠ 43 = 207 mod 82

m=83: 162 mod 83 = 79 ≠ 41 = 207 mod 83

m=84: 162 mod 84 = 78 ≠ 39 = 207 mod 84

m=85: 162 mod 85 = 77 ≠ 37 = 207 mod 85

m=86: 162 mod 86 = 76 ≠ 35 = 207 mod 86

m=87: 162 mod 87 = 75 ≠ 33 = 207 mod 87

m=88: 162 mod 88 = 74 ≠ 31 = 207 mod 88

m=89: 162 mod 89 = 73 ≠ 29 = 207 mod 89

m=90: 162 mod 90 = 72 ≠ 27 = 207 mod 90

m=91: 162 mod 91 = 71 ≠ 25 = 207 mod 91

m=92: 162 mod 92 = 70 ≠ 23 = 207 mod 92

m=93: 162 mod 93 = 69 ≠ 21 = 207 mod 93

m=94: 162 mod 94 = 68 ≠ 19 = 207 mod 94

m=95: 162 mod 95 = 67 ≠ 17 = 207 mod 95

m=96: 162 mod 96 = 66 ≠ 15 = 207 mod 96

m=97: 162 mod 97 = 65 ≠ 13 = 207 mod 97

m=98: 162 mod 98 = 64 ≠ 11 = 207 mod 98

m=99: 162 mod 99 = 63 ≠ 9 = 207 mod 99

m=100: 162 mod 100 = 62 ≠ 7 = 207 mod 100

m=101: 162 mod 101 = 61 ≠ 5 = 207 mod 101

m=102: 162 mod 102 = 60 ≠ 3 = 207 mod 102

m=103: 162 mod 103 = 59 ≠ 1 = 207 mod 103

m=104: 162 mod 104 = 58 ≠ 103 = 207 mod 104

m=105: 162 mod 105 = 57 ≠ 102 = 207 mod 105

m=106: 162 mod 106 = 56 ≠ 101 = 207 mod 106

m=107: 162 mod 107 = 55 ≠ 100 = 207 mod 107

m=108: 162 mod 108 = 54 ≠ 99 = 207 mod 108

m=109: 162 mod 109 = 53 ≠ 98 = 207 mod 109

m=110: 162 mod 110 = 52 ≠ 97 = 207 mod 110

m=111: 162 mod 111 = 51 ≠ 96 = 207 mod 111

m=112: 162 mod 112 = 50 ≠ 95 = 207 mod 112

m=113: 162 mod 113 = 49 ≠ 94 = 207 mod 113

m=114: 162 mod 114 = 48 ≠ 93 = 207 mod 114

m=115: 162 mod 115 = 47 ≠ 92 = 207 mod 115

m=116: 162 mod 116 = 46 ≠ 91 = 207 mod 116

m=117: 162 mod 117 = 45 ≠ 90 = 207 mod 117

m=118: 162 mod 118 = 44 ≠ 89 = 207 mod 118

m=119: 162 mod 119 = 43 ≠ 88 = 207 mod 119

m=120: 162 mod 120 = 42 ≠ 87 = 207 mod 120

m=121: 162 mod 121 = 41 ≠ 86 = 207 mod 121

m=122: 162 mod 122 = 40 ≠ 85 = 207 mod 122

m=123: 162 mod 123 = 39 ≠ 84 = 207 mod 123

m=124: 162 mod 124 = 38 ≠ 83 = 207 mod 124

m=125: 162 mod 125 = 37 ≠ 82 = 207 mod 125

m=126: 162 mod 126 = 36 ≠ 81 = 207 mod 126

m=127: 162 mod 127 = 35 ≠ 80 = 207 mod 127

m=128: 162 mod 128 = 34 ≠ 79 = 207 mod 128

m=129: 162 mod 129 = 33 ≠ 78 = 207 mod 129

m=130: 162 mod 130 = 32 ≠ 77 = 207 mod 130

m=131: 162 mod 131 = 31 ≠ 76 = 207 mod 131

m=132: 162 mod 132 = 30 ≠ 75 = 207 mod 132

m=133: 162 mod 133 = 29 ≠ 74 = 207 mod 133

m=134: 162 mod 134 = 28 ≠ 73 = 207 mod 134

m=135: 162 mod 135 = 27 ≠ 72 = 207 mod 135

m=136: 162 mod 136 = 26 ≠ 71 = 207 mod 136

m=137: 162 mod 137 = 25 ≠ 70 = 207 mod 137

m=138: 162 mod 138 = 24 ≠ 69 = 207 mod 138

m=139: 162 mod 139 = 23 ≠ 68 = 207 mod 139

m=140: 162 mod 140 = 22 ≠ 67 = 207 mod 140

m=141: 162 mod 141 = 21 ≠ 66 = 207 mod 141

m=142: 162 mod 142 = 20 ≠ 65 = 207 mod 142

m=143: 162 mod 143 = 19 ≠ 64 = 207 mod 143

m=144: 162 mod 144 = 18 ≠ 63 = 207 mod 144

m=145: 162 mod 145 = 17 ≠ 62 = 207 mod 145

m=146: 162 mod 146 = 16 ≠ 61 = 207 mod 146

m=147: 162 mod 147 = 15 ≠ 60 = 207 mod 147

m=148: 162 mod 148 = 14 ≠ 59 = 207 mod 148

m=149: 162 mod 149 = 13 ≠ 58 = 207 mod 149

m=150: 162 mod 150 = 12 ≠ 57 = 207 mod 150

m=151: 162 mod 151 = 11 ≠ 56 = 207 mod 151

m=152: 162 mod 152 = 10 ≠ 55 = 207 mod 152

m=153: 162 mod 153 = 9 ≠ 54 = 207 mod 153

m=154: 162 mod 154 = 8 ≠ 53 = 207 mod 154

m=155: 162 mod 155 = 7 ≠ 52 = 207 mod 155

m=156: 162 mod 156 = 6 ≠ 51 = 207 mod 156

m=157: 162 mod 157 = 5 ≠ 50 = 207 mod 157

m=158: 162 mod 158 = 4 ≠ 49 = 207 mod 158

m=159: 162 mod 159 = 3 ≠ 48 = 207 mod 159

m=160: 162 mod 160 = 2 ≠ 47 = 207 mod 160

m=161: 162 mod 161 = 1 ≠ 46 = 207 mod 161

m=162: 162 mod 162 = 0 ≠ 45 = 207 mod 162

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (207 - 162) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45