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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 45 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.

Somit gilt: 45 mod 7 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 55 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 50 = 5.

Somit gilt: 55 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 70 und erhalten so 75.

Somit gilt: 75 ≡ 55 ≡ 5 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1601 + 1202) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1601 + 1202) mod 4 ≡ (1601 mod 4 + 1202 mod 4) mod 4.

1601 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1601 = 1600+1 = 4 ⋅ 400 +1.

1202 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 4 ⋅ 300 +2.

Somit gilt:

(1601 + 1202) mod 4 ≡ (1 + 2) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 64) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 64) mod 6 ≡ (34 mod 6 ⋅ 64 mod 6) mod 6.

34 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 30 + 4 = 5 ⋅ 6 + 4 ist.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 10 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 64) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6