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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 91 = 2.

Somit gilt: 93 mod 7 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 41 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 30 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 41 ≡ 1 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24000 - 186) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24000 - 186) mod 6 ≡ (24000 mod 6 - 186 mod 6) mod 6.

24000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 6 ⋅ 4000 +0.

186 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 186 = 180+6 = 6 ⋅ 30 +6.

Somit gilt:

(24000 - 186) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 89) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 ⋅ 89) mod 5 ≡ (90 mod 5 ⋅ 89 mod 5) mod 5.

90 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 18 ⋅ 5 + 0 ist.

89 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 85 + 4 = 17 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(90 ⋅ 89) mod 5 ≡ (0 ⋅ 4) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6