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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 77 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 75, weil ja 15 ⋅ 5 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.

Somit gilt: 77 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 69 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 60 = 9.

Somit gilt: 69 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 70 und erhalten so 79.

Somit gilt: 79 ≡ 69 ≡ 9 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (246 - 5998) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(246 - 5998) mod 6 ≡ (246 mod 6 - 5998 mod 6) mod 6.

246 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246 = 240+6 = 6 ⋅ 40 +6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(246 - 5998) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (83 ⋅ 70) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(83 ⋅ 70) mod 9 ≡ (83 mod 9 ⋅ 70 mod 9) mod 9.

83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 9 ⋅ 9 + 2 ist.

70 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 63 + 7 = 7 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(83 ⋅ 70) mod 9 ≡ (2 ⋅ 7) mod 9 ≡ 14 mod 9 ≡ 5 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4