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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 51 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.

Somit gilt: 51 mod 8 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 67 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 64 = 3.

Somit gilt: 67 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 2 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 8 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 67 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (903 + 93) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(903 + 93) mod 3 ≡ (903 mod 3 + 93 mod 3) mod 3.

903 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 903 = 900+3 = 3 ⋅ 300 +3.

93 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90+3 = 3 ⋅ 30 +3.

Somit gilt:

(903 + 93) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 89) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 89) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 89 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

89 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 80 + 9 = 8 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 89) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 34 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 ≠ 0 = 34 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 34 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 = 7 = 34 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 9 = 34 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 25) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9