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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 64 = 4.
Somit gilt: 68 mod 8 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 81 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.
Somit gilt: 81 mod 5 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 20 und erhalten so 21.
Somit gilt: 21 ≡ 81 ≡ 1 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9000 - 88) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9000 - 88) mod 3 ≡ (9000 mod 3 - 88 mod 3) mod 3.
9000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000
= 9000
88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88
= 90
Somit gilt:
(9000 - 88) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 59) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 59) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 59 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
59 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 55 + 4 = 5 ⋅ 11 + 4 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 59) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 48 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 48 mod m gilt:
m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 48 mod 2
m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3
m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 0 = 48 mod 4
m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5
m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 48 mod 6
m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 6 = 48 mod 7
m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 0 = 48 mod 8
m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 3 = 48 mod 9
m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 8 = 48 mod 10
m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 4 = 48 mod 11
m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 0 = 48 mod 12
m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 9 = 48 mod 13
m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 6 = 48 mod 14
m=15: 33 mod 15 = 3 = 3 = 48 mod 15
m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 0 = 48 mod 16
m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 14 = 48 mod 17
m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 12 = 48 mod 18
m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 10 = 48 mod 19
m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 8 = 48 mod 20
m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 6 = 48 mod 21
m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 4 = 48 mod 22
m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 2 = 48 mod 23
m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 0 = 48 mod 24
m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 23 = 48 mod 25
m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 22 = 48 mod 26
m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 21 = 48 mod 27
m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 20 = 48 mod 28
m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 19 = 48 mod 29
m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 18 = 48 mod 30
m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 17 = 48 mod 31
m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 16 = 48 mod 32
m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 15 = 48 mod 33
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 33) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
