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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 76 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 75 = 1.

Somit gilt: 76 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 61 für die gilt n ≡ 100 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 99, weil ja 9 ⋅ 11 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 99 = 1.

Somit gilt: 100 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 55 und erhalten so 56.

Somit gilt: 56 ≡ 100 ≡ 1 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (116 - 80) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(116 - 80) mod 4 ≡ (116 mod 4 - 80 mod 4) mod 4.

116 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 116 = 120-4 = 4 ⋅ 30 -4 = 4 ⋅ 30 - 4 + 0.

80 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 4 ⋅ 20 +0.

Somit gilt:

(116 - 80) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 15) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 15) mod 9 ≡ (41 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 15) mod 9 ≡ (5 ⋅ 6) mod 9 ≡ 30 mod 9 ≡ 3 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4