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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 28, weil ja 7 ⋅ 4 = 28 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 29 - 28 = 1.
Somit gilt: 29 mod 4 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 36 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.
Somit gilt: 36 mod 7 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 36 ≡ 1 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (20995 - 281) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(20995 - 281) mod 7 ≡ (20995 mod 7 - 281 mod 7) mod 7.
20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995
= 21000
281 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 281
= 280
Somit gilt:
(20995 - 281) mod 7 ≡ (2 - 1) mod 7 ≡ 1 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 25) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(95 ⋅ 25) mod 4 ≡ (95 mod 4 ⋅ 25 mod 4) mod 4.
95 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 92 + 3 = 23 ⋅ 4 + 3 ist.
25 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 6 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(95 ⋅ 25) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
106 mod m = 156 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 106 aus, ob zufällig 106 mod m = 156 mod m gilt:
m=2: 106 mod 2 = 0 = 0 = 156 mod 2
m=3: 106 mod 3 = 1 ≠ 0 = 156 mod 3
m=4: 106 mod 4 = 2 ≠ 0 = 156 mod 4
m=5: 106 mod 5 = 1 = 1 = 156 mod 5
m=6: 106 mod 6 = 4 ≠ 0 = 156 mod 6
m=7: 106 mod 7 = 1 ≠ 2 = 156 mod 7
m=8: 106 mod 8 = 2 ≠ 4 = 156 mod 8
m=9: 106 mod 9 = 7 ≠ 3 = 156 mod 9
m=10: 106 mod 10 = 6 = 6 = 156 mod 10
m=11: 106 mod 11 = 7 ≠ 2 = 156 mod 11
m=12: 106 mod 12 = 10 ≠ 0 = 156 mod 12
m=13: 106 mod 13 = 2 ≠ 0 = 156 mod 13
m=14: 106 mod 14 = 8 ≠ 2 = 156 mod 14
m=15: 106 mod 15 = 1 ≠ 6 = 156 mod 15
m=16: 106 mod 16 = 10 ≠ 12 = 156 mod 16
m=17: 106 mod 17 = 4 ≠ 3 = 156 mod 17
m=18: 106 mod 18 = 16 ≠ 12 = 156 mod 18
m=19: 106 mod 19 = 11 ≠ 4 = 156 mod 19
m=20: 106 mod 20 = 6 ≠ 16 = 156 mod 20
m=21: 106 mod 21 = 1 ≠ 9 = 156 mod 21
m=22: 106 mod 22 = 18 ≠ 2 = 156 mod 22
m=23: 106 mod 23 = 14 ≠ 18 = 156 mod 23
m=24: 106 mod 24 = 10 ≠ 12 = 156 mod 24
m=25: 106 mod 25 = 6 = 6 = 156 mod 25
m=26: 106 mod 26 = 2 ≠ 0 = 156 mod 26
m=27: 106 mod 27 = 25 ≠ 21 = 156 mod 27
m=28: 106 mod 28 = 22 ≠ 16 = 156 mod 28
m=29: 106 mod 29 = 19 ≠ 11 = 156 mod 29
m=30: 106 mod 30 = 16 ≠ 6 = 156 mod 30
m=31: 106 mod 31 = 13 ≠ 1 = 156 mod 31
m=32: 106 mod 32 = 10 ≠ 28 = 156 mod 32
m=33: 106 mod 33 = 7 ≠ 24 = 156 mod 33
m=34: 106 mod 34 = 4 ≠ 20 = 156 mod 34
m=35: 106 mod 35 = 1 ≠ 16 = 156 mod 35
m=36: 106 mod 36 = 34 ≠ 12 = 156 mod 36
m=37: 106 mod 37 = 32 ≠ 8 = 156 mod 37
m=38: 106 mod 38 = 30 ≠ 4 = 156 mod 38
m=39: 106 mod 39 = 28 ≠ 0 = 156 mod 39
m=40: 106 mod 40 = 26 ≠ 36 = 156 mod 40
m=41: 106 mod 41 = 24 ≠ 33 = 156 mod 41
m=42: 106 mod 42 = 22 ≠ 30 = 156 mod 42
m=43: 106 mod 43 = 20 ≠ 27 = 156 mod 43
m=44: 106 mod 44 = 18 ≠ 24 = 156 mod 44
m=45: 106 mod 45 = 16 ≠ 21 = 156 mod 45
m=46: 106 mod 46 = 14 ≠ 18 = 156 mod 46
m=47: 106 mod 47 = 12 ≠ 15 = 156 mod 47
m=48: 106 mod 48 = 10 ≠ 12 = 156 mod 48
m=49: 106 mod 49 = 8 ≠ 9 = 156 mod 49
m=50: 106 mod 50 = 6 = 6 = 156 mod 50
m=51: 106 mod 51 = 4 ≠ 3 = 156 mod 51
m=52: 106 mod 52 = 2 ≠ 0 = 156 mod 52
m=53: 106 mod 53 = 0 ≠ 50 = 156 mod 53
m=54: 106 mod 54 = 52 ≠ 48 = 156 mod 54
m=55: 106 mod 55 = 51 ≠ 46 = 156 mod 55
m=56: 106 mod 56 = 50 ≠ 44 = 156 mod 56
m=57: 106 mod 57 = 49 ≠ 42 = 156 mod 57
m=58: 106 mod 58 = 48 ≠ 40 = 156 mod 58
m=59: 106 mod 59 = 47 ≠ 38 = 156 mod 59
m=60: 106 mod 60 = 46 ≠ 36 = 156 mod 60
m=61: 106 mod 61 = 45 ≠ 34 = 156 mod 61
m=62: 106 mod 62 = 44 ≠ 32 = 156 mod 62
m=63: 106 mod 63 = 43 ≠ 30 = 156 mod 63
m=64: 106 mod 64 = 42 ≠ 28 = 156 mod 64
m=65: 106 mod 65 = 41 ≠ 26 = 156 mod 65
m=66: 106 mod 66 = 40 ≠ 24 = 156 mod 66
m=67: 106 mod 67 = 39 ≠ 22 = 156 mod 67
m=68: 106 mod 68 = 38 ≠ 20 = 156 mod 68
m=69: 106 mod 69 = 37 ≠ 18 = 156 mod 69
m=70: 106 mod 70 = 36 ≠ 16 = 156 mod 70
m=71: 106 mod 71 = 35 ≠ 14 = 156 mod 71
m=72: 106 mod 72 = 34 ≠ 12 = 156 mod 72
m=73: 106 mod 73 = 33 ≠ 10 = 156 mod 73
m=74: 106 mod 74 = 32 ≠ 8 = 156 mod 74
m=75: 106 mod 75 = 31 ≠ 6 = 156 mod 75
m=76: 106 mod 76 = 30 ≠ 4 = 156 mod 76
m=77: 106 mod 77 = 29 ≠ 2 = 156 mod 77
m=78: 106 mod 78 = 28 ≠ 0 = 156 mod 78
m=79: 106 mod 79 = 27 ≠ 77 = 156 mod 79
m=80: 106 mod 80 = 26 ≠ 76 = 156 mod 80
m=81: 106 mod 81 = 25 ≠ 75 = 156 mod 81
m=82: 106 mod 82 = 24 ≠ 74 = 156 mod 82
m=83: 106 mod 83 = 23 ≠ 73 = 156 mod 83
m=84: 106 mod 84 = 22 ≠ 72 = 156 mod 84
m=85: 106 mod 85 = 21 ≠ 71 = 156 mod 85
m=86: 106 mod 86 = 20 ≠ 70 = 156 mod 86
m=87: 106 mod 87 = 19 ≠ 69 = 156 mod 87
m=88: 106 mod 88 = 18 ≠ 68 = 156 mod 88
m=89: 106 mod 89 = 17 ≠ 67 = 156 mod 89
m=90: 106 mod 90 = 16 ≠ 66 = 156 mod 90
m=91: 106 mod 91 = 15 ≠ 65 = 156 mod 91
m=92: 106 mod 92 = 14 ≠ 64 = 156 mod 92
m=93: 106 mod 93 = 13 ≠ 63 = 156 mod 93
m=94: 106 mod 94 = 12 ≠ 62 = 156 mod 94
m=95: 106 mod 95 = 11 ≠ 61 = 156 mod 95
m=96: 106 mod 96 = 10 ≠ 60 = 156 mod 96
m=97: 106 mod 97 = 9 ≠ 59 = 156 mod 97
m=98: 106 mod 98 = 8 ≠ 58 = 156 mod 98
m=99: 106 mod 99 = 7 ≠ 57 = 156 mod 99
m=100: 106 mod 100 = 6 ≠ 56 = 156 mod 100
m=101: 106 mod 101 = 5 ≠ 55 = 156 mod 101
m=102: 106 mod 102 = 4 ≠ 54 = 156 mod 102
m=103: 106 mod 103 = 3 ≠ 53 = 156 mod 103
m=104: 106 mod 104 = 2 ≠ 52 = 156 mod 104
m=105: 106 mod 105 = 1 ≠ 51 = 156 mod 105
m=106: 106 mod 106 = 0 ≠ 50 = 156 mod 106
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (156 - 106) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
