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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 9 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 76 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 70 = 6.

Somit gilt: 76 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 35 = 5 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 35 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 76 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2392 - 4000) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2392 - 4000) mod 8 ≡ (2392 mod 8 - 4000 mod 8) mod 8.

2392 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2392 = 2400-8 = 8 ⋅ 300 -8 = 8 ⋅ 300 - 8 + 0.

4000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000 = 4000+0 = 8 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(2392 - 4000) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 61) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 61) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 61 mod 9) mod 9.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

61 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 54 + 7 = 6 ⋅ 9 + 7 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 61) mod 9 ≡ (0 ⋅ 7) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 45 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 ≠ 1 = 45 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 = 0 = 45 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 5 = 45 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 = 0 = 45 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 15 = 45 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 30) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15