nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 53 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 45 = 8.

Somit gilt: 53 mod 9 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 37 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.

Somit gilt: 37 mod 9 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 20, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 1 mod 9 sein, also addieren wir noch 1 auf die 27 und erhalten so 28.

Somit gilt: 28 ≡ 37 ≡ 1 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (196 - 1003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(196 - 1003) mod 5 ≡ (196 mod 5 - 1003 mod 5) mod 5.

196 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 190+6 = 5 ⋅ 38 +6.

1003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1003 = 1000+3 = 5 ⋅ 200 +3.

Somit gilt:

(196 - 1003) mod 5 ≡ (1 - 3) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 33) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 33) mod 8 ≡ (65 mod 8 ⋅ 33 mod 8) mod 8.

65 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 64 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 ist.

33 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 32 + 1 = 4 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 33) mod 8 ≡ (1 ⋅ 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 39 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 = 4 = 39 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 = 9 = 39 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 10 = 39 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 29) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10