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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 36 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 36 = 0.

Somit gilt: 36 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Somit gilt: 80 ≡ 36 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13993 + 73) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13993 + 73) mod 7 ≡ (13993 mod 7 + 73 mod 7) mod 7.

13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993 = 14000-7 = 7 ⋅ 2000 -7 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 0.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70+3 = 7 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(13993 + 73) mod 7 ≡ (0 + 3) mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 52) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 52) mod 7 ≡ (76 mod 7 ⋅ 52 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70 + 6 = 10 ⋅ 7 + 6 ist.

52 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 49 + 3 = 7 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 52) mod 7 ≡ (6 ⋅ 3) mod 7 ≡ 18 mod 7 ≡ 4 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
71 mod m = 89 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 71 aus, ob zufällig 71 mod m = 89 mod m gilt:

m=2: 71 mod 2 = 1 = 1 = 89 mod 2

m=3: 71 mod 3 = 2 = 2 = 89 mod 3

m=4: 71 mod 4 = 3 ≠ 1 = 89 mod 4

m=5: 71 mod 5 = 1 ≠ 4 = 89 mod 5

m=6: 71 mod 6 = 5 = 5 = 89 mod 6

m=7: 71 mod 7 = 1 ≠ 5 = 89 mod 7

m=8: 71 mod 8 = 7 ≠ 1 = 89 mod 8

m=9: 71 mod 9 = 8 = 8 = 89 mod 9

m=10: 71 mod 10 = 1 ≠ 9 = 89 mod 10

m=11: 71 mod 11 = 5 ≠ 1 = 89 mod 11

m=12: 71 mod 12 = 11 ≠ 5 = 89 mod 12

m=13: 71 mod 13 = 6 ≠ 11 = 89 mod 13

m=14: 71 mod 14 = 1 ≠ 5 = 89 mod 14

m=15: 71 mod 15 = 11 ≠ 14 = 89 mod 15

m=16: 71 mod 16 = 7 ≠ 9 = 89 mod 16

m=17: 71 mod 17 = 3 ≠ 4 = 89 mod 17

m=18: 71 mod 18 = 17 = 17 = 89 mod 18

m=19: 71 mod 19 = 14 ≠ 13 = 89 mod 19

m=20: 71 mod 20 = 11 ≠ 9 = 89 mod 20

m=21: 71 mod 21 = 8 ≠ 5 = 89 mod 21

m=22: 71 mod 22 = 5 ≠ 1 = 89 mod 22

m=23: 71 mod 23 = 2 ≠ 20 = 89 mod 23

m=24: 71 mod 24 = 23 ≠ 17 = 89 mod 24

m=25: 71 mod 25 = 21 ≠ 14 = 89 mod 25

m=26: 71 mod 26 = 19 ≠ 11 = 89 mod 26

m=27: 71 mod 27 = 17 ≠ 8 = 89 mod 27

m=28: 71 mod 28 = 15 ≠ 5 = 89 mod 28

m=29: 71 mod 29 = 13 ≠ 2 = 89 mod 29

m=30: 71 mod 30 = 11 ≠ 29 = 89 mod 30

m=31: 71 mod 31 = 9 ≠ 27 = 89 mod 31

m=32: 71 mod 32 = 7 ≠ 25 = 89 mod 32

m=33: 71 mod 33 = 5 ≠ 23 = 89 mod 33

m=34: 71 mod 34 = 3 ≠ 21 = 89 mod 34

m=35: 71 mod 35 = 1 ≠ 19 = 89 mod 35

m=36: 71 mod 36 = 35 ≠ 17 = 89 mod 36

m=37: 71 mod 37 = 34 ≠ 15 = 89 mod 37

m=38: 71 mod 38 = 33 ≠ 13 = 89 mod 38

m=39: 71 mod 39 = 32 ≠ 11 = 89 mod 39

m=40: 71 mod 40 = 31 ≠ 9 = 89 mod 40

m=41: 71 mod 41 = 30 ≠ 7 = 89 mod 41

m=42: 71 mod 42 = 29 ≠ 5 = 89 mod 42

m=43: 71 mod 43 = 28 ≠ 3 = 89 mod 43

m=44: 71 mod 44 = 27 ≠ 1 = 89 mod 44

m=45: 71 mod 45 = 26 ≠ 44 = 89 mod 45

m=46: 71 mod 46 = 25 ≠ 43 = 89 mod 46

m=47: 71 mod 47 = 24 ≠ 42 = 89 mod 47

m=48: 71 mod 48 = 23 ≠ 41 = 89 mod 48

m=49: 71 mod 49 = 22 ≠ 40 = 89 mod 49

m=50: 71 mod 50 = 21 ≠ 39 = 89 mod 50

m=51: 71 mod 51 = 20 ≠ 38 = 89 mod 51

m=52: 71 mod 52 = 19 ≠ 37 = 89 mod 52

m=53: 71 mod 53 = 18 ≠ 36 = 89 mod 53

m=54: 71 mod 54 = 17 ≠ 35 = 89 mod 54

m=55: 71 mod 55 = 16 ≠ 34 = 89 mod 55

m=56: 71 mod 56 = 15 ≠ 33 = 89 mod 56

m=57: 71 mod 57 = 14 ≠ 32 = 89 mod 57

m=58: 71 mod 58 = 13 ≠ 31 = 89 mod 58

m=59: 71 mod 59 = 12 ≠ 30 = 89 mod 59

m=60: 71 mod 60 = 11 ≠ 29 = 89 mod 60

m=61: 71 mod 61 = 10 ≠ 28 = 89 mod 61

m=62: 71 mod 62 = 9 ≠ 27 = 89 mod 62

m=63: 71 mod 63 = 8 ≠ 26 = 89 mod 63

m=64: 71 mod 64 = 7 ≠ 25 = 89 mod 64

m=65: 71 mod 65 = 6 ≠ 24 = 89 mod 65

m=66: 71 mod 66 = 5 ≠ 23 = 89 mod 66

m=67: 71 mod 67 = 4 ≠ 22 = 89 mod 67

m=68: 71 mod 68 = 3 ≠ 21 = 89 mod 68

m=69: 71 mod 69 = 2 ≠ 20 = 89 mod 69

m=70: 71 mod 70 = 1 ≠ 19 = 89 mod 70

m=71: 71 mod 71 = 0 ≠ 18 = 89 mod 71

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (89 - 71) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18