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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 81, weil ja 27 ⋅ 3 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 81 = 0.

Somit gilt: 81 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 93 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 93 ≡ 3 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15998 - 397) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15998 - 397) mod 4 ≡ (15998 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

Somit gilt:

(15998 - 397) mod 4 ≡ (2 - 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 27) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 27) mod 5 ≡ (56 mod 5 ⋅ 27 mod 5) mod 5.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

27 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 25 + 2 = 5 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 27) mod 5 ≡ (1 ⋅ 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
55 mod m = 73 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 55 aus, ob zufällig 55 mod m = 73 mod m gilt:

m=2: 55 mod 2 = 1 = 1 = 73 mod 2

m=3: 55 mod 3 = 1 = 1 = 73 mod 3

m=4: 55 mod 4 = 3 ≠ 1 = 73 mod 4

m=5: 55 mod 5 = 0 ≠ 3 = 73 mod 5

m=6: 55 mod 6 = 1 = 1 = 73 mod 6

m=7: 55 mod 7 = 6 ≠ 3 = 73 mod 7

m=8: 55 mod 8 = 7 ≠ 1 = 73 mod 8

m=9: 55 mod 9 = 1 = 1 = 73 mod 9

m=10: 55 mod 10 = 5 ≠ 3 = 73 mod 10

m=11: 55 mod 11 = 0 ≠ 7 = 73 mod 11

m=12: 55 mod 12 = 7 ≠ 1 = 73 mod 12

m=13: 55 mod 13 = 3 ≠ 8 = 73 mod 13

m=14: 55 mod 14 = 13 ≠ 3 = 73 mod 14

m=15: 55 mod 15 = 10 ≠ 13 = 73 mod 15

m=16: 55 mod 16 = 7 ≠ 9 = 73 mod 16

m=17: 55 mod 17 = 4 ≠ 5 = 73 mod 17

m=18: 55 mod 18 = 1 = 1 = 73 mod 18

m=19: 55 mod 19 = 17 ≠ 16 = 73 mod 19

m=20: 55 mod 20 = 15 ≠ 13 = 73 mod 20

m=21: 55 mod 21 = 13 ≠ 10 = 73 mod 21

m=22: 55 mod 22 = 11 ≠ 7 = 73 mod 22

m=23: 55 mod 23 = 9 ≠ 4 = 73 mod 23

m=24: 55 mod 24 = 7 ≠ 1 = 73 mod 24

m=25: 55 mod 25 = 5 ≠ 23 = 73 mod 25

m=26: 55 mod 26 = 3 ≠ 21 = 73 mod 26

m=27: 55 mod 27 = 1 ≠ 19 = 73 mod 27

m=28: 55 mod 28 = 27 ≠ 17 = 73 mod 28

m=29: 55 mod 29 = 26 ≠ 15 = 73 mod 29

m=30: 55 mod 30 = 25 ≠ 13 = 73 mod 30

m=31: 55 mod 31 = 24 ≠ 11 = 73 mod 31

m=32: 55 mod 32 = 23 ≠ 9 = 73 mod 32

m=33: 55 mod 33 = 22 ≠ 7 = 73 mod 33

m=34: 55 mod 34 = 21 ≠ 5 = 73 mod 34

m=35: 55 mod 35 = 20 ≠ 3 = 73 mod 35

m=36: 55 mod 36 = 19 ≠ 1 = 73 mod 36

m=37: 55 mod 37 = 18 ≠ 36 = 73 mod 37

m=38: 55 mod 38 = 17 ≠ 35 = 73 mod 38

m=39: 55 mod 39 = 16 ≠ 34 = 73 mod 39

m=40: 55 mod 40 = 15 ≠ 33 = 73 mod 40

m=41: 55 mod 41 = 14 ≠ 32 = 73 mod 41

m=42: 55 mod 42 = 13 ≠ 31 = 73 mod 42

m=43: 55 mod 43 = 12 ≠ 30 = 73 mod 43

m=44: 55 mod 44 = 11 ≠ 29 = 73 mod 44

m=45: 55 mod 45 = 10 ≠ 28 = 73 mod 45

m=46: 55 mod 46 = 9 ≠ 27 = 73 mod 46

m=47: 55 mod 47 = 8 ≠ 26 = 73 mod 47

m=48: 55 mod 48 = 7 ≠ 25 = 73 mod 48

m=49: 55 mod 49 = 6 ≠ 24 = 73 mod 49

m=50: 55 mod 50 = 5 ≠ 23 = 73 mod 50

m=51: 55 mod 51 = 4 ≠ 22 = 73 mod 51

m=52: 55 mod 52 = 3 ≠ 21 = 73 mod 52

m=53: 55 mod 53 = 2 ≠ 20 = 73 mod 53

m=54: 55 mod 54 = 1 ≠ 19 = 73 mod 54

m=55: 55 mod 55 = 0 ≠ 18 = 73 mod 55

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (73 - 55) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18