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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 64, weil ja 16 ⋅ 4 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 98 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 96, weil ja 12 ⋅ 8 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 98 ≡ 2 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20004 - 20000) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20004 - 20000) mod 5 ≡ (20004 mod 5 - 20000 mod 5) mod 5.

20004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004 = 20000+4 = 5 ⋅ 4000 +4.

20000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20000 = 20000+0 = 5 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(20004 - 20000) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 97) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 97) mod 8 ≡ (98 mod 8 ⋅ 97 mod 8) mod 8.

98 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 12 ⋅ 8 + 2 ist.

97 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 12 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 97) mod 8 ≡ (2 ⋅ 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
66 mod m = 91 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 66 aus, ob zufällig 66 mod m = 91 mod m gilt:

m=2: 66 mod 2 = 0 ≠ 1 = 91 mod 2

m=3: 66 mod 3 = 0 ≠ 1 = 91 mod 3

m=4: 66 mod 4 = 2 ≠ 3 = 91 mod 4

m=5: 66 mod 5 = 1 = 1 = 91 mod 5

m=6: 66 mod 6 = 0 ≠ 1 = 91 mod 6

m=7: 66 mod 7 = 3 ≠ 0 = 91 mod 7

m=8: 66 mod 8 = 2 ≠ 3 = 91 mod 8

m=9: 66 mod 9 = 3 ≠ 1 = 91 mod 9

m=10: 66 mod 10 = 6 ≠ 1 = 91 mod 10

m=11: 66 mod 11 = 0 ≠ 3 = 91 mod 11

m=12: 66 mod 12 = 6 ≠ 7 = 91 mod 12

m=13: 66 mod 13 = 1 ≠ 0 = 91 mod 13

m=14: 66 mod 14 = 10 ≠ 7 = 91 mod 14

m=15: 66 mod 15 = 6 ≠ 1 = 91 mod 15

m=16: 66 mod 16 = 2 ≠ 11 = 91 mod 16

m=17: 66 mod 17 = 15 ≠ 6 = 91 mod 17

m=18: 66 mod 18 = 12 ≠ 1 = 91 mod 18

m=19: 66 mod 19 = 9 ≠ 15 = 91 mod 19

m=20: 66 mod 20 = 6 ≠ 11 = 91 mod 20

m=21: 66 mod 21 = 3 ≠ 7 = 91 mod 21

m=22: 66 mod 22 = 0 ≠ 3 = 91 mod 22

m=23: 66 mod 23 = 20 ≠ 22 = 91 mod 23

m=24: 66 mod 24 = 18 ≠ 19 = 91 mod 24

m=25: 66 mod 25 = 16 = 16 = 91 mod 25

m=26: 66 mod 26 = 14 ≠ 13 = 91 mod 26

m=27: 66 mod 27 = 12 ≠ 10 = 91 mod 27

m=28: 66 mod 28 = 10 ≠ 7 = 91 mod 28

m=29: 66 mod 29 = 8 ≠ 4 = 91 mod 29

m=30: 66 mod 30 = 6 ≠ 1 = 91 mod 30

m=31: 66 mod 31 = 4 ≠ 29 = 91 mod 31

m=32: 66 mod 32 = 2 ≠ 27 = 91 mod 32

m=33: 66 mod 33 = 0 ≠ 25 = 91 mod 33

m=34: 66 mod 34 = 32 ≠ 23 = 91 mod 34

m=35: 66 mod 35 = 31 ≠ 21 = 91 mod 35

m=36: 66 mod 36 = 30 ≠ 19 = 91 mod 36

m=37: 66 mod 37 = 29 ≠ 17 = 91 mod 37

m=38: 66 mod 38 = 28 ≠ 15 = 91 mod 38

m=39: 66 mod 39 = 27 ≠ 13 = 91 mod 39

m=40: 66 mod 40 = 26 ≠ 11 = 91 mod 40

m=41: 66 mod 41 = 25 ≠ 9 = 91 mod 41

m=42: 66 mod 42 = 24 ≠ 7 = 91 mod 42

m=43: 66 mod 43 = 23 ≠ 5 = 91 mod 43

m=44: 66 mod 44 = 22 ≠ 3 = 91 mod 44

m=45: 66 mod 45 = 21 ≠ 1 = 91 mod 45

m=46: 66 mod 46 = 20 ≠ 45 = 91 mod 46

m=47: 66 mod 47 = 19 ≠ 44 = 91 mod 47

m=48: 66 mod 48 = 18 ≠ 43 = 91 mod 48

m=49: 66 mod 49 = 17 ≠ 42 = 91 mod 49

m=50: 66 mod 50 = 16 ≠ 41 = 91 mod 50

m=51: 66 mod 51 = 15 ≠ 40 = 91 mod 51

m=52: 66 mod 52 = 14 ≠ 39 = 91 mod 52

m=53: 66 mod 53 = 13 ≠ 38 = 91 mod 53

m=54: 66 mod 54 = 12 ≠ 37 = 91 mod 54

m=55: 66 mod 55 = 11 ≠ 36 = 91 mod 55

m=56: 66 mod 56 = 10 ≠ 35 = 91 mod 56

m=57: 66 mod 57 = 9 ≠ 34 = 91 mod 57

m=58: 66 mod 58 = 8 ≠ 33 = 91 mod 58

m=59: 66 mod 59 = 7 ≠ 32 = 91 mod 59

m=60: 66 mod 60 = 6 ≠ 31 = 91 mod 60

m=61: 66 mod 61 = 5 ≠ 30 = 91 mod 61

m=62: 66 mod 62 = 4 ≠ 29 = 91 mod 62

m=63: 66 mod 63 = 3 ≠ 28 = 91 mod 63

m=64: 66 mod 64 = 2 ≠ 27 = 91 mod 64

m=65: 66 mod 65 = 1 ≠ 26 = 91 mod 65

m=66: 66 mod 66 = 0 ≠ 25 = 91 mod 66

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (91 - 66) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25