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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 33, weil ja 11 ⋅ 3 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 33 = 2.

Somit gilt: 35 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 98 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 88 = 10.

Somit gilt: 98 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 22 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 98 ≡ 10 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20003 - 397) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20003 - 397) mod 4 ≡ (20003 mod 4 - 397 mod 4) mod 4.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

397 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 397 = 300+97 = 4 ⋅ 75 +97.

Somit gilt:

(20003 - 397) mod 4 ≡ (3 - 1) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 78) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 78) mod 9 ≡ (97 mod 9 ⋅ 78 mod 9) mod 9.

97 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 90 + 7 = 10 ⋅ 9 + 7 ist.

78 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 72 + 6 = 8 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 78) mod 9 ≡ (7 ⋅ 6) mod 9 ≡ 42 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
54 mod m = 81 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 54 aus, ob zufällig 54 mod m = 81 mod m gilt:

m=2: 54 mod 2 = 0 ≠ 1 = 81 mod 2

m=3: 54 mod 3 = 0 = 0 = 81 mod 3

m=4: 54 mod 4 = 2 ≠ 1 = 81 mod 4

m=5: 54 mod 5 = 4 ≠ 1 = 81 mod 5

m=6: 54 mod 6 = 0 ≠ 3 = 81 mod 6

m=7: 54 mod 7 = 5 ≠ 4 = 81 mod 7

m=8: 54 mod 8 = 6 ≠ 1 = 81 mod 8

m=9: 54 mod 9 = 0 = 0 = 81 mod 9

m=10: 54 mod 10 = 4 ≠ 1 = 81 mod 10

m=11: 54 mod 11 = 10 ≠ 4 = 81 mod 11

m=12: 54 mod 12 = 6 ≠ 9 = 81 mod 12

m=13: 54 mod 13 = 2 ≠ 3 = 81 mod 13

m=14: 54 mod 14 = 12 ≠ 11 = 81 mod 14

m=15: 54 mod 15 = 9 ≠ 6 = 81 mod 15

m=16: 54 mod 16 = 6 ≠ 1 = 81 mod 16

m=17: 54 mod 17 = 3 ≠ 13 = 81 mod 17

m=18: 54 mod 18 = 0 ≠ 9 = 81 mod 18

m=19: 54 mod 19 = 16 ≠ 5 = 81 mod 19

m=20: 54 mod 20 = 14 ≠ 1 = 81 mod 20

m=21: 54 mod 21 = 12 ≠ 18 = 81 mod 21

m=22: 54 mod 22 = 10 ≠ 15 = 81 mod 22

m=23: 54 mod 23 = 8 ≠ 12 = 81 mod 23

m=24: 54 mod 24 = 6 ≠ 9 = 81 mod 24

m=25: 54 mod 25 = 4 ≠ 6 = 81 mod 25

m=26: 54 mod 26 = 2 ≠ 3 = 81 mod 26

m=27: 54 mod 27 = 0 = 0 = 81 mod 27

m=28: 54 mod 28 = 26 ≠ 25 = 81 mod 28

m=29: 54 mod 29 = 25 ≠ 23 = 81 mod 29

m=30: 54 mod 30 = 24 ≠ 21 = 81 mod 30

m=31: 54 mod 31 = 23 ≠ 19 = 81 mod 31

m=32: 54 mod 32 = 22 ≠ 17 = 81 mod 32

m=33: 54 mod 33 = 21 ≠ 15 = 81 mod 33

m=34: 54 mod 34 = 20 ≠ 13 = 81 mod 34

m=35: 54 mod 35 = 19 ≠ 11 = 81 mod 35

m=36: 54 mod 36 = 18 ≠ 9 = 81 mod 36

m=37: 54 mod 37 = 17 ≠ 7 = 81 mod 37

m=38: 54 mod 38 = 16 ≠ 5 = 81 mod 38

m=39: 54 mod 39 = 15 ≠ 3 = 81 mod 39

m=40: 54 mod 40 = 14 ≠ 1 = 81 mod 40

m=41: 54 mod 41 = 13 ≠ 40 = 81 mod 41

m=42: 54 mod 42 = 12 ≠ 39 = 81 mod 42

m=43: 54 mod 43 = 11 ≠ 38 = 81 mod 43

m=44: 54 mod 44 = 10 ≠ 37 = 81 mod 44

m=45: 54 mod 45 = 9 ≠ 36 = 81 mod 45

m=46: 54 mod 46 = 8 ≠ 35 = 81 mod 46

m=47: 54 mod 47 = 7 ≠ 34 = 81 mod 47

m=48: 54 mod 48 = 6 ≠ 33 = 81 mod 48

m=49: 54 mod 49 = 5 ≠ 32 = 81 mod 49

m=50: 54 mod 50 = 4 ≠ 31 = 81 mod 50

m=51: 54 mod 51 = 3 ≠ 30 = 81 mod 51

m=52: 54 mod 52 = 2 ≠ 29 = 81 mod 52

m=53: 54 mod 53 = 1 ≠ 28 = 81 mod 53

m=54: 54 mod 54 = 0 ≠ 27 = 81 mod 54

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (81 - 54) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27