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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 52 = 2.
Somit gilt: 54 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 35 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 30 = 5.
Somit gilt: 35 mod 6 ≡ 5.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.
Somit gilt: 65 ≡ 35 ≡ 5 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (24005 + 23993) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(24005 + 23993) mod 8 ≡ (24005 mod 8 + 23993 mod 8) mod 8.
24005 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24005
= 24000
23993 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23993
= 23000
Somit gilt:
(24005 + 23993) mod 8 ≡ (5 + 1) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 36) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 36) mod 8 ≡ (68 mod 8 ⋅ 36 mod 8) mod 8.
68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.
36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 36) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
