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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 99 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 26 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 25 = 1.

Somit gilt: 26 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 70 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 26 ≡ 1 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (354 + 459) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(354 + 459) mod 9 ≡ (354 mod 9 + 459 mod 9) mod 9.

354 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354 = 360-6 = 9 ⋅ 40 -6 = 9 ⋅ 40 - 9 + 3.

459 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 459 = 450+9 = 9 ⋅ 50 +9.

Somit gilt:

(354 + 459) mod 9 ≡ (3 + 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23 ⋅ 73) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23 ⋅ 73) mod 11 ≡ (23 mod 11 ⋅ 73 mod 11) mod 11.

23 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 22 + 1 = 2 ⋅ 11 + 1 ist.

73 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 66 + 7 = 6 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(23 ⋅ 73) mod 11 ≡ (1 ⋅ 7) mod 11 ≡ 7 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 34 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10