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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 19 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 19 - 10 = 9.
Somit gilt: 19 mod 10 ≡ 9.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 92 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.
Somit gilt: 92 mod 9 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 54 und erhalten so 56.
Somit gilt: 56 ≡ 92 ≡ 2 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (900 + 63) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(900 + 63) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 63 mod 3) mod 3.
900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900
= 900
63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63
= 60
Somit gilt:
(900 + 63) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 61) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(32 ⋅ 61) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.
32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.
61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.
Somit gilt:
(32 ⋅ 61) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 34 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
