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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 72 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 20, z.B. 24 = 4 ⋅ 6

Somit gilt: 24 ≡ 72 ≡ 0 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10000 - 2004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 - 2004) mod 5 ≡ (10000 mod 5 - 2004 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 5 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(10000 - 2004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 99) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 99) mod 11 ≡ (60 mod 11 ⋅ 99 mod 11) mod 11.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

99 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 9 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 99) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 39 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 39 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 = 7 = 39 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 10 = 39 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 9 = 39 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 8 = 39 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 31) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8