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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.
Somit gilt: 68 mod 7 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 87 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 84 = 3.
Somit gilt: 87 mod 6 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 87 ≡ 3 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 - 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 - 6000) mod 3 ≡ (12000 mod 3 - 6000 mod 3) mod 3.
12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(12000 - 6000) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (90 ⋅ 40) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(90 ⋅ 40) mod 11 ≡ (90 mod 11 ⋅ 40 mod 11) mod 11.
90 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 88 + 2 = 8 ⋅ 11 + 2 ist.
40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.
Somit gilt:
(90 ⋅ 40) mod 11 ≡ (2 ⋅ 7) mod 11 ≡ 14 mod 11 ≡ 3 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
213 mod m = 288 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 213 aus, ob zufällig 213 mod m = 288 mod m gilt:
m=2: 213 mod 2 = 1 ≠ 0 = 288 mod 2
m=3: 213 mod 3 = 0 = 0 = 288 mod 3
m=4: 213 mod 4 = 1 ≠ 0 = 288 mod 4
m=5: 213 mod 5 = 3 = 3 = 288 mod 5
m=6: 213 mod 6 = 3 ≠ 0 = 288 mod 6
m=7: 213 mod 7 = 3 ≠ 1 = 288 mod 7
m=8: 213 mod 8 = 5 ≠ 0 = 288 mod 8
m=9: 213 mod 9 = 6 ≠ 0 = 288 mod 9
m=10: 213 mod 10 = 3 ≠ 8 = 288 mod 10
m=11: 213 mod 11 = 4 ≠ 2 = 288 mod 11
m=12: 213 mod 12 = 9 ≠ 0 = 288 mod 12
m=13: 213 mod 13 = 5 ≠ 2 = 288 mod 13
m=14: 213 mod 14 = 3 ≠ 8 = 288 mod 14
m=15: 213 mod 15 = 3 = 3 = 288 mod 15
m=16: 213 mod 16 = 5 ≠ 0 = 288 mod 16
m=17: 213 mod 17 = 9 ≠ 16 = 288 mod 17
m=18: 213 mod 18 = 15 ≠ 0 = 288 mod 18
m=19: 213 mod 19 = 4 ≠ 3 = 288 mod 19
m=20: 213 mod 20 = 13 ≠ 8 = 288 mod 20
m=21: 213 mod 21 = 3 ≠ 15 = 288 mod 21
m=22: 213 mod 22 = 15 ≠ 2 = 288 mod 22
m=23: 213 mod 23 = 6 ≠ 12 = 288 mod 23
m=24: 213 mod 24 = 21 ≠ 0 = 288 mod 24
m=25: 213 mod 25 = 13 = 13 = 288 mod 25
m=26: 213 mod 26 = 5 ≠ 2 = 288 mod 26
m=27: 213 mod 27 = 24 ≠ 18 = 288 mod 27
m=28: 213 mod 28 = 17 ≠ 8 = 288 mod 28
m=29: 213 mod 29 = 10 ≠ 27 = 288 mod 29
m=30: 213 mod 30 = 3 ≠ 18 = 288 mod 30
m=31: 213 mod 31 = 27 ≠ 9 = 288 mod 31
m=32: 213 mod 32 = 21 ≠ 0 = 288 mod 32
m=33: 213 mod 33 = 15 ≠ 24 = 288 mod 33
m=34: 213 mod 34 = 9 ≠ 16 = 288 mod 34
m=35: 213 mod 35 = 3 ≠ 8 = 288 mod 35
m=36: 213 mod 36 = 33 ≠ 0 = 288 mod 36
m=37: 213 mod 37 = 28 ≠ 29 = 288 mod 37
m=38: 213 mod 38 = 23 ≠ 22 = 288 mod 38
m=39: 213 mod 39 = 18 ≠ 15 = 288 mod 39
m=40: 213 mod 40 = 13 ≠ 8 = 288 mod 40
m=41: 213 mod 41 = 8 ≠ 1 = 288 mod 41
m=42: 213 mod 42 = 3 ≠ 36 = 288 mod 42
m=43: 213 mod 43 = 41 ≠ 30 = 288 mod 43
m=44: 213 mod 44 = 37 ≠ 24 = 288 mod 44
m=45: 213 mod 45 = 33 ≠ 18 = 288 mod 45
m=46: 213 mod 46 = 29 ≠ 12 = 288 mod 46
m=47: 213 mod 47 = 25 ≠ 6 = 288 mod 47
m=48: 213 mod 48 = 21 ≠ 0 = 288 mod 48
m=49: 213 mod 49 = 17 ≠ 43 = 288 mod 49
m=50: 213 mod 50 = 13 ≠ 38 = 288 mod 50
m=51: 213 mod 51 = 9 ≠ 33 = 288 mod 51
m=52: 213 mod 52 = 5 ≠ 28 = 288 mod 52
m=53: 213 mod 53 = 1 ≠ 23 = 288 mod 53
m=54: 213 mod 54 = 51 ≠ 18 = 288 mod 54
m=55: 213 mod 55 = 48 ≠ 13 = 288 mod 55
m=56: 213 mod 56 = 45 ≠ 8 = 288 mod 56
m=57: 213 mod 57 = 42 ≠ 3 = 288 mod 57
m=58: 213 mod 58 = 39 ≠ 56 = 288 mod 58
m=59: 213 mod 59 = 36 ≠ 52 = 288 mod 59
m=60: 213 mod 60 = 33 ≠ 48 = 288 mod 60
m=61: 213 mod 61 = 30 ≠ 44 = 288 mod 61
m=62: 213 mod 62 = 27 ≠ 40 = 288 mod 62
m=63: 213 mod 63 = 24 ≠ 36 = 288 mod 63
m=64: 213 mod 64 = 21 ≠ 32 = 288 mod 64
m=65: 213 mod 65 = 18 ≠ 28 = 288 mod 65
m=66: 213 mod 66 = 15 ≠ 24 = 288 mod 66
m=67: 213 mod 67 = 12 ≠ 20 = 288 mod 67
m=68: 213 mod 68 = 9 ≠ 16 = 288 mod 68
m=69: 213 mod 69 = 6 ≠ 12 = 288 mod 69
m=70: 213 mod 70 = 3 ≠ 8 = 288 mod 70
m=71: 213 mod 71 = 0 ≠ 4 = 288 mod 71
m=72: 213 mod 72 = 69 ≠ 0 = 288 mod 72
m=73: 213 mod 73 = 67 ≠ 69 = 288 mod 73
m=74: 213 mod 74 = 65 ≠ 66 = 288 mod 74
m=75: 213 mod 75 = 63 = 63 = 288 mod 75
m=76: 213 mod 76 = 61 ≠ 60 = 288 mod 76
m=77: 213 mod 77 = 59 ≠ 57 = 288 mod 77
m=78: 213 mod 78 = 57 ≠ 54 = 288 mod 78
m=79: 213 mod 79 = 55 ≠ 51 = 288 mod 79
m=80: 213 mod 80 = 53 ≠ 48 = 288 mod 80
m=81: 213 mod 81 = 51 ≠ 45 = 288 mod 81
m=82: 213 mod 82 = 49 ≠ 42 = 288 mod 82
m=83: 213 mod 83 = 47 ≠ 39 = 288 mod 83
m=84: 213 mod 84 = 45 ≠ 36 = 288 mod 84
m=85: 213 mod 85 = 43 ≠ 33 = 288 mod 85
m=86: 213 mod 86 = 41 ≠ 30 = 288 mod 86
m=87: 213 mod 87 = 39 ≠ 27 = 288 mod 87
m=88: 213 mod 88 = 37 ≠ 24 = 288 mod 88
m=89: 213 mod 89 = 35 ≠ 21 = 288 mod 89
m=90: 213 mod 90 = 33 ≠ 18 = 288 mod 90
m=91: 213 mod 91 = 31 ≠ 15 = 288 mod 91
m=92: 213 mod 92 = 29 ≠ 12 = 288 mod 92
m=93: 213 mod 93 = 27 ≠ 9 = 288 mod 93
m=94: 213 mod 94 = 25 ≠ 6 = 288 mod 94
m=95: 213 mod 95 = 23 ≠ 3 = 288 mod 95
m=96: 213 mod 96 = 21 ≠ 0 = 288 mod 96
m=97: 213 mod 97 = 19 ≠ 94 = 288 mod 97
m=98: 213 mod 98 = 17 ≠ 92 = 288 mod 98
m=99: 213 mod 99 = 15 ≠ 90 = 288 mod 99
m=100: 213 mod 100 = 13 ≠ 88 = 288 mod 100
m=101: 213 mod 101 = 11 ≠ 86 = 288 mod 101
m=102: 213 mod 102 = 9 ≠ 84 = 288 mod 102
m=103: 213 mod 103 = 7 ≠ 82 = 288 mod 103
m=104: 213 mod 104 = 5 ≠ 80 = 288 mod 104
m=105: 213 mod 105 = 3 ≠ 78 = 288 mod 105
m=106: 213 mod 106 = 1 ≠ 76 = 288 mod 106
m=107: 213 mod 107 = 106 ≠ 74 = 288 mod 107
m=108: 213 mod 108 = 105 ≠ 72 = 288 mod 108
m=109: 213 mod 109 = 104 ≠ 70 = 288 mod 109
m=110: 213 mod 110 = 103 ≠ 68 = 288 mod 110
m=111: 213 mod 111 = 102 ≠ 66 = 288 mod 111
m=112: 213 mod 112 = 101 ≠ 64 = 288 mod 112
m=113: 213 mod 113 = 100 ≠ 62 = 288 mod 113
m=114: 213 mod 114 = 99 ≠ 60 = 288 mod 114
m=115: 213 mod 115 = 98 ≠ 58 = 288 mod 115
m=116: 213 mod 116 = 97 ≠ 56 = 288 mod 116
m=117: 213 mod 117 = 96 ≠ 54 = 288 mod 117
m=118: 213 mod 118 = 95 ≠ 52 = 288 mod 118
m=119: 213 mod 119 = 94 ≠ 50 = 288 mod 119
m=120: 213 mod 120 = 93 ≠ 48 = 288 mod 120
m=121: 213 mod 121 = 92 ≠ 46 = 288 mod 121
m=122: 213 mod 122 = 91 ≠ 44 = 288 mod 122
m=123: 213 mod 123 = 90 ≠ 42 = 288 mod 123
m=124: 213 mod 124 = 89 ≠ 40 = 288 mod 124
m=125: 213 mod 125 = 88 ≠ 38 = 288 mod 125
m=126: 213 mod 126 = 87 ≠ 36 = 288 mod 126
m=127: 213 mod 127 = 86 ≠ 34 = 288 mod 127
m=128: 213 mod 128 = 85 ≠ 32 = 288 mod 128
m=129: 213 mod 129 = 84 ≠ 30 = 288 mod 129
m=130: 213 mod 130 = 83 ≠ 28 = 288 mod 130
m=131: 213 mod 131 = 82 ≠ 26 = 288 mod 131
m=132: 213 mod 132 = 81 ≠ 24 = 288 mod 132
m=133: 213 mod 133 = 80 ≠ 22 = 288 mod 133
m=134: 213 mod 134 = 79 ≠ 20 = 288 mod 134
m=135: 213 mod 135 = 78 ≠ 18 = 288 mod 135
m=136: 213 mod 136 = 77 ≠ 16 = 288 mod 136
m=137: 213 mod 137 = 76 ≠ 14 = 288 mod 137
m=138: 213 mod 138 = 75 ≠ 12 = 288 mod 138
m=139: 213 mod 139 = 74 ≠ 10 = 288 mod 139
m=140: 213 mod 140 = 73 ≠ 8 = 288 mod 140
m=141: 213 mod 141 = 72 ≠ 6 = 288 mod 141
m=142: 213 mod 142 = 71 ≠ 4 = 288 mod 142
m=143: 213 mod 143 = 70 ≠ 2 = 288 mod 143
m=144: 213 mod 144 = 69 ≠ 0 = 288 mod 144
m=145: 213 mod 145 = 68 ≠ 143 = 288 mod 145
m=146: 213 mod 146 = 67 ≠ 142 = 288 mod 146
m=147: 213 mod 147 = 66 ≠ 141 = 288 mod 147
m=148: 213 mod 148 = 65 ≠ 140 = 288 mod 148
m=149: 213 mod 149 = 64 ≠ 139 = 288 mod 149
m=150: 213 mod 150 = 63 ≠ 138 = 288 mod 150
m=151: 213 mod 151 = 62 ≠ 137 = 288 mod 151
m=152: 213 mod 152 = 61 ≠ 136 = 288 mod 152
m=153: 213 mod 153 = 60 ≠ 135 = 288 mod 153
m=154: 213 mod 154 = 59 ≠ 134 = 288 mod 154
m=155: 213 mod 155 = 58 ≠ 133 = 288 mod 155
m=156: 213 mod 156 = 57 ≠ 132 = 288 mod 156
m=157: 213 mod 157 = 56 ≠ 131 = 288 mod 157
m=158: 213 mod 158 = 55 ≠ 130 = 288 mod 158
m=159: 213 mod 159 = 54 ≠ 129 = 288 mod 159
m=160: 213 mod 160 = 53 ≠ 128 = 288 mod 160
m=161: 213 mod 161 = 52 ≠ 127 = 288 mod 161
m=162: 213 mod 162 = 51 ≠ 126 = 288 mod 162
m=163: 213 mod 163 = 50 ≠ 125 = 288 mod 163
m=164: 213 mod 164 = 49 ≠ 124 = 288 mod 164
m=165: 213 mod 165 = 48 ≠ 123 = 288 mod 165
m=166: 213 mod 166 = 47 ≠ 122 = 288 mod 166
m=167: 213 mod 167 = 46 ≠ 121 = 288 mod 167
m=168: 213 mod 168 = 45 ≠ 120 = 288 mod 168
m=169: 213 mod 169 = 44 ≠ 119 = 288 mod 169
m=170: 213 mod 170 = 43 ≠ 118 = 288 mod 170
m=171: 213 mod 171 = 42 ≠ 117 = 288 mod 171
m=172: 213 mod 172 = 41 ≠ 116 = 288 mod 172
m=173: 213 mod 173 = 40 ≠ 115 = 288 mod 173
m=174: 213 mod 174 = 39 ≠ 114 = 288 mod 174
m=175: 213 mod 175 = 38 ≠ 113 = 288 mod 175
m=176: 213 mod 176 = 37 ≠ 112 = 288 mod 176
m=177: 213 mod 177 = 36 ≠ 111 = 288 mod 177
m=178: 213 mod 178 = 35 ≠ 110 = 288 mod 178
m=179: 213 mod 179 = 34 ≠ 109 = 288 mod 179
m=180: 213 mod 180 = 33 ≠ 108 = 288 mod 180
m=181: 213 mod 181 = 32 ≠ 107 = 288 mod 181
m=182: 213 mod 182 = 31 ≠ 106 = 288 mod 182
m=183: 213 mod 183 = 30 ≠ 105 = 288 mod 183
m=184: 213 mod 184 = 29 ≠ 104 = 288 mod 184
m=185: 213 mod 185 = 28 ≠ 103 = 288 mod 185
m=186: 213 mod 186 = 27 ≠ 102 = 288 mod 186
m=187: 213 mod 187 = 26 ≠ 101 = 288 mod 187
m=188: 213 mod 188 = 25 ≠ 100 = 288 mod 188
m=189: 213 mod 189 = 24 ≠ 99 = 288 mod 189
m=190: 213 mod 190 = 23 ≠ 98 = 288 mod 190
m=191: 213 mod 191 = 22 ≠ 97 = 288 mod 191
m=192: 213 mod 192 = 21 ≠ 96 = 288 mod 192
m=193: 213 mod 193 = 20 ≠ 95 = 288 mod 193
m=194: 213 mod 194 = 19 ≠ 94 = 288 mod 194
m=195: 213 mod 195 = 18 ≠ 93 = 288 mod 195
m=196: 213 mod 196 = 17 ≠ 92 = 288 mod 196
m=197: 213 mod 197 = 16 ≠ 91 = 288 mod 197
m=198: 213 mod 198 = 15 ≠ 90 = 288 mod 198
m=199: 213 mod 199 = 14 ≠ 89 = 288 mod 199
m=200: 213 mod 200 = 13 ≠ 88 = 288 mod 200
m=201: 213 mod 201 = 12 ≠ 87 = 288 mod 201
m=202: 213 mod 202 = 11 ≠ 86 = 288 mod 202
m=203: 213 mod 203 = 10 ≠ 85 = 288 mod 203
m=204: 213 mod 204 = 9 ≠ 84 = 288 mod 204
m=205: 213 mod 205 = 8 ≠ 83 = 288 mod 205
m=206: 213 mod 206 = 7 ≠ 82 = 288 mod 206
m=207: 213 mod 207 = 6 ≠ 81 = 288 mod 207
m=208: 213 mod 208 = 5 ≠ 80 = 288 mod 208
m=209: 213 mod 209 = 4 ≠ 79 = 288 mod 209
m=210: 213 mod 210 = 3 ≠ 78 = 288 mod 210
m=211: 213 mod 211 = 2 ≠ 77 = 288 mod 211
m=212: 213 mod 212 = 1 ≠ 76 = 288 mod 212
m=213: 213 mod 213 = 0 ≠ 75 = 288 mod 213
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (288 - 213) = 75 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15; 25; 75
