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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 49 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 45 = 4.

Somit gilt: 49 mod 5 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 76 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 72 = 4.

Somit gilt: 76 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 76 ≡ 4 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2692 - 45000) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2692 - 45000) mod 9 ≡ (2692 mod 9 - 45000 mod 9) mod 9.

2692 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2692 = 2700-8 = 9 ⋅ 300 -8 = 9 ⋅ 300 - 9 + 1.

45000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45000 = 45000+0 = 9 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(2692 - 45000) mod 9 ≡ (1 - 0) mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 81) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 81) mod 5 ≡ (39 mod 5 ⋅ 81 mod 5) mod 5.

39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 81) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
88 mod m = 118 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 88 aus, ob zufällig 88 mod m = 118 mod m gilt:

m=2: 88 mod 2 = 0 = 0 = 118 mod 2

m=3: 88 mod 3 = 1 = 1 = 118 mod 3

m=4: 88 mod 4 = 0 ≠ 2 = 118 mod 4

m=5: 88 mod 5 = 3 = 3 = 118 mod 5

m=6: 88 mod 6 = 4 = 4 = 118 mod 6

m=7: 88 mod 7 = 4 ≠ 6 = 118 mod 7

m=8: 88 mod 8 = 0 ≠ 6 = 118 mod 8

m=9: 88 mod 9 = 7 ≠ 1 = 118 mod 9

m=10: 88 mod 10 = 8 = 8 = 118 mod 10

m=11: 88 mod 11 = 0 ≠ 8 = 118 mod 11

m=12: 88 mod 12 = 4 ≠ 10 = 118 mod 12

m=13: 88 mod 13 = 10 ≠ 1 = 118 mod 13

m=14: 88 mod 14 = 4 ≠ 6 = 118 mod 14

m=15: 88 mod 15 = 13 = 13 = 118 mod 15

m=16: 88 mod 16 = 8 ≠ 6 = 118 mod 16

m=17: 88 mod 17 = 3 ≠ 16 = 118 mod 17

m=18: 88 mod 18 = 16 ≠ 10 = 118 mod 18

m=19: 88 mod 19 = 12 ≠ 4 = 118 mod 19

m=20: 88 mod 20 = 8 ≠ 18 = 118 mod 20

m=21: 88 mod 21 = 4 ≠ 13 = 118 mod 21

m=22: 88 mod 22 = 0 ≠ 8 = 118 mod 22

m=23: 88 mod 23 = 19 ≠ 3 = 118 mod 23

m=24: 88 mod 24 = 16 ≠ 22 = 118 mod 24

m=25: 88 mod 25 = 13 ≠ 18 = 118 mod 25

m=26: 88 mod 26 = 10 ≠ 14 = 118 mod 26

m=27: 88 mod 27 = 7 ≠ 10 = 118 mod 27

m=28: 88 mod 28 = 4 ≠ 6 = 118 mod 28

m=29: 88 mod 29 = 1 ≠ 2 = 118 mod 29

m=30: 88 mod 30 = 28 = 28 = 118 mod 30

m=31: 88 mod 31 = 26 ≠ 25 = 118 mod 31

m=32: 88 mod 32 = 24 ≠ 22 = 118 mod 32

m=33: 88 mod 33 = 22 ≠ 19 = 118 mod 33

m=34: 88 mod 34 = 20 ≠ 16 = 118 mod 34

m=35: 88 mod 35 = 18 ≠ 13 = 118 mod 35

m=36: 88 mod 36 = 16 ≠ 10 = 118 mod 36

m=37: 88 mod 37 = 14 ≠ 7 = 118 mod 37

m=38: 88 mod 38 = 12 ≠ 4 = 118 mod 38

m=39: 88 mod 39 = 10 ≠ 1 = 118 mod 39

m=40: 88 mod 40 = 8 ≠ 38 = 118 mod 40

m=41: 88 mod 41 = 6 ≠ 36 = 118 mod 41

m=42: 88 mod 42 = 4 ≠ 34 = 118 mod 42

m=43: 88 mod 43 = 2 ≠ 32 = 118 mod 43

m=44: 88 mod 44 = 0 ≠ 30 = 118 mod 44

m=45: 88 mod 45 = 43 ≠ 28 = 118 mod 45

m=46: 88 mod 46 = 42 ≠ 26 = 118 mod 46

m=47: 88 mod 47 = 41 ≠ 24 = 118 mod 47

m=48: 88 mod 48 = 40 ≠ 22 = 118 mod 48

m=49: 88 mod 49 = 39 ≠ 20 = 118 mod 49

m=50: 88 mod 50 = 38 ≠ 18 = 118 mod 50

m=51: 88 mod 51 = 37 ≠ 16 = 118 mod 51

m=52: 88 mod 52 = 36 ≠ 14 = 118 mod 52

m=53: 88 mod 53 = 35 ≠ 12 = 118 mod 53

m=54: 88 mod 54 = 34 ≠ 10 = 118 mod 54

m=55: 88 mod 55 = 33 ≠ 8 = 118 mod 55

m=56: 88 mod 56 = 32 ≠ 6 = 118 mod 56

m=57: 88 mod 57 = 31 ≠ 4 = 118 mod 57

m=58: 88 mod 58 = 30 ≠ 2 = 118 mod 58

m=59: 88 mod 59 = 29 ≠ 0 = 118 mod 59

m=60: 88 mod 60 = 28 ≠ 58 = 118 mod 60

m=61: 88 mod 61 = 27 ≠ 57 = 118 mod 61

m=62: 88 mod 62 = 26 ≠ 56 = 118 mod 62

m=63: 88 mod 63 = 25 ≠ 55 = 118 mod 63

m=64: 88 mod 64 = 24 ≠ 54 = 118 mod 64

m=65: 88 mod 65 = 23 ≠ 53 = 118 mod 65

m=66: 88 mod 66 = 22 ≠ 52 = 118 mod 66

m=67: 88 mod 67 = 21 ≠ 51 = 118 mod 67

m=68: 88 mod 68 = 20 ≠ 50 = 118 mod 68

m=69: 88 mod 69 = 19 ≠ 49 = 118 mod 69

m=70: 88 mod 70 = 18 ≠ 48 = 118 mod 70

m=71: 88 mod 71 = 17 ≠ 47 = 118 mod 71

m=72: 88 mod 72 = 16 ≠ 46 = 118 mod 72

m=73: 88 mod 73 = 15 ≠ 45 = 118 mod 73

m=74: 88 mod 74 = 14 ≠ 44 = 118 mod 74

m=75: 88 mod 75 = 13 ≠ 43 = 118 mod 75

m=76: 88 mod 76 = 12 ≠ 42 = 118 mod 76

m=77: 88 mod 77 = 11 ≠ 41 = 118 mod 77

m=78: 88 mod 78 = 10 ≠ 40 = 118 mod 78

m=79: 88 mod 79 = 9 ≠ 39 = 118 mod 79

m=80: 88 mod 80 = 8 ≠ 38 = 118 mod 80

m=81: 88 mod 81 = 7 ≠ 37 = 118 mod 81

m=82: 88 mod 82 = 6 ≠ 36 = 118 mod 82

m=83: 88 mod 83 = 5 ≠ 35 = 118 mod 83

m=84: 88 mod 84 = 4 ≠ 34 = 118 mod 84

m=85: 88 mod 85 = 3 ≠ 33 = 118 mod 85

m=86: 88 mod 86 = 2 ≠ 32 = 118 mod 86

m=87: 88 mod 87 = 1 ≠ 31 = 118 mod 87

m=88: 88 mod 88 = 0 ≠ 30 = 118 mod 88

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (118 - 88) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30