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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 33 = 0.

Somit gilt: 33 mod 11 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 34 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.

Somit gilt: 34 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 72 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 34 ≡ 2 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (179 - 63) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(179 - 63) mod 6 ≡ (179 mod 6 - 63 mod 6) mod 6.

179 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 6 ⋅ 30 -1 = 6 ⋅ 30 - 6 + 5.

63 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 6 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(179 - 63) mod 6 ≡ (5 - 3) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (41 ⋅ 99) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(41 ⋅ 99) mod 3 ≡ (41 mod 3 ⋅ 99 mod 3) mod 3.

41 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 39 + 2 = 13 ⋅ 3 + 2 ist.

99 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 99 + 0 = 33 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(41 ⋅ 99) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
55 mod m = 73 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 55 aus, ob zufällig 55 mod m = 73 mod m gilt:

m=2: 55 mod 2 = 1 = 1 = 73 mod 2

m=3: 55 mod 3 = 1 = 1 = 73 mod 3

m=4: 55 mod 4 = 3 ≠ 1 = 73 mod 4

m=5: 55 mod 5 = 0 ≠ 3 = 73 mod 5

m=6: 55 mod 6 = 1 = 1 = 73 mod 6

m=7: 55 mod 7 = 6 ≠ 3 = 73 mod 7

m=8: 55 mod 8 = 7 ≠ 1 = 73 mod 8

m=9: 55 mod 9 = 1 = 1 = 73 mod 9

m=10: 55 mod 10 = 5 ≠ 3 = 73 mod 10

m=11: 55 mod 11 = 0 ≠ 7 = 73 mod 11

m=12: 55 mod 12 = 7 ≠ 1 = 73 mod 12

m=13: 55 mod 13 = 3 ≠ 8 = 73 mod 13

m=14: 55 mod 14 = 13 ≠ 3 = 73 mod 14

m=15: 55 mod 15 = 10 ≠ 13 = 73 mod 15

m=16: 55 mod 16 = 7 ≠ 9 = 73 mod 16

m=17: 55 mod 17 = 4 ≠ 5 = 73 mod 17

m=18: 55 mod 18 = 1 = 1 = 73 mod 18

m=19: 55 mod 19 = 17 ≠ 16 = 73 mod 19

m=20: 55 mod 20 = 15 ≠ 13 = 73 mod 20

m=21: 55 mod 21 = 13 ≠ 10 = 73 mod 21

m=22: 55 mod 22 = 11 ≠ 7 = 73 mod 22

m=23: 55 mod 23 = 9 ≠ 4 = 73 mod 23

m=24: 55 mod 24 = 7 ≠ 1 = 73 mod 24

m=25: 55 mod 25 = 5 ≠ 23 = 73 mod 25

m=26: 55 mod 26 = 3 ≠ 21 = 73 mod 26

m=27: 55 mod 27 = 1 ≠ 19 = 73 mod 27

m=28: 55 mod 28 = 27 ≠ 17 = 73 mod 28

m=29: 55 mod 29 = 26 ≠ 15 = 73 mod 29

m=30: 55 mod 30 = 25 ≠ 13 = 73 mod 30

m=31: 55 mod 31 = 24 ≠ 11 = 73 mod 31

m=32: 55 mod 32 = 23 ≠ 9 = 73 mod 32

m=33: 55 mod 33 = 22 ≠ 7 = 73 mod 33

m=34: 55 mod 34 = 21 ≠ 5 = 73 mod 34

m=35: 55 mod 35 = 20 ≠ 3 = 73 mod 35

m=36: 55 mod 36 = 19 ≠ 1 = 73 mod 36

m=37: 55 mod 37 = 18 ≠ 36 = 73 mod 37

m=38: 55 mod 38 = 17 ≠ 35 = 73 mod 38

m=39: 55 mod 39 = 16 ≠ 34 = 73 mod 39

m=40: 55 mod 40 = 15 ≠ 33 = 73 mod 40

m=41: 55 mod 41 = 14 ≠ 32 = 73 mod 41

m=42: 55 mod 42 = 13 ≠ 31 = 73 mod 42

m=43: 55 mod 43 = 12 ≠ 30 = 73 mod 43

m=44: 55 mod 44 = 11 ≠ 29 = 73 mod 44

m=45: 55 mod 45 = 10 ≠ 28 = 73 mod 45

m=46: 55 mod 46 = 9 ≠ 27 = 73 mod 46

m=47: 55 mod 47 = 8 ≠ 26 = 73 mod 47

m=48: 55 mod 48 = 7 ≠ 25 = 73 mod 48

m=49: 55 mod 49 = 6 ≠ 24 = 73 mod 49

m=50: 55 mod 50 = 5 ≠ 23 = 73 mod 50

m=51: 55 mod 51 = 4 ≠ 22 = 73 mod 51

m=52: 55 mod 52 = 3 ≠ 21 = 73 mod 52

m=53: 55 mod 53 = 2 ≠ 20 = 73 mod 53

m=54: 55 mod 54 = 1 ≠ 19 = 73 mod 54

m=55: 55 mod 55 = 0 ≠ 18 = 73 mod 55

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (73 - 55) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18