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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 90 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 10 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 86 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.

Somit gilt: 86 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 68 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 86 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40000 - 163) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40000 - 163) mod 8 ≡ (40000 mod 8 - 163 mod 8) mod 8.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

163 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 163 = 160+3 = 8 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(40000 - 163) mod 8 ≡ (0 - 3) mod 8 ≡ -3 mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 28) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 28) mod 3 ≡ (19 mod 3 ⋅ 28 mod 3) mod 3.

19 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 18 + 1 = 6 ⋅ 3 + 1 ist.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 28) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4