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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 31 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 10 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 1 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 1 mod 10 sein, also addieren wir noch 1 auf die 80 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 31 ≡ 1 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5997 - 601) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5997 - 601) mod 3 ≡ (5997 mod 3 - 601 mod 3) mod 3.

5997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5997 = 6000-3 = 3 ⋅ 2000 -3 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 0.

601 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 601 = 600+1 = 3 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(5997 - 601) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 29) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 29) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 29 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

29 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 25 + 4 = 5 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 29) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
32 mod m = 42 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 32 aus, ob zufällig 32 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 32 mod 2 = 0 = 0 = 42 mod 2

m=3: 32 mod 3 = 2 ≠ 0 = 42 mod 3

m=4: 32 mod 4 = 0 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 32 mod 5 = 2 = 2 = 42 mod 5

m=6: 32 mod 6 = 2 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 32 mod 7 = 4 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 32 mod 8 = 0 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 32 mod 9 = 5 ≠ 6 = 42 mod 9

m=10: 32 mod 10 = 2 = 2 = 42 mod 10

m=11: 32 mod 11 = 10 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 32 mod 12 = 8 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 32 mod 13 = 6 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 32 mod 14 = 4 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 32 mod 15 = 2 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 32 mod 16 = 0 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 32 mod 17 = 15 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 32 mod 18 = 14 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 32 mod 19 = 13 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 32 mod 20 = 12 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 32 mod 21 = 11 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 32 mod 22 = 10 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 32 mod 23 = 9 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 32 mod 24 = 8 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 32 mod 25 = 7 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 32 mod 26 = 6 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 32 mod 27 = 5 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 32 mod 28 = 4 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 32 mod 29 = 3 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 32 mod 30 = 2 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 32 mod 31 = 1 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 32 mod 32 = 0 ≠ 10 = 42 mod 32

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 32) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10