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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 100, weil ja 25 ⋅ 4 = 100 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 100 = 0.

Somit gilt: 100 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 77 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 72 = 5.

Somit gilt: 77 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 78 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 77 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (13993 - 3501) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(13993 - 3501) mod 7 ≡ (13993 mod 7 - 3501 mod 7) mod 7.

13993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13993 = 14000-7 = 7 ⋅ 2000 -7 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 0.

3501 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3501 = 3500+1 = 7 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(13993 - 3501) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 47) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 47) mod 9 ≡ (72 mod 9 ⋅ 47 mod 9) mod 9.

72 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 8 ⋅ 9 + 0 ist.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 47) mod 9 ≡ (0 ⋅ 2) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
118 mod m = 168 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 118 aus, ob zufällig 118 mod m = 168 mod m gilt:

m=2: 118 mod 2 = 0 = 0 = 168 mod 2

m=3: 118 mod 3 = 1 ≠ 0 = 168 mod 3

m=4: 118 mod 4 = 2 ≠ 0 = 168 mod 4

m=5: 118 mod 5 = 3 = 3 = 168 mod 5

m=6: 118 mod 6 = 4 ≠ 0 = 168 mod 6

m=7: 118 mod 7 = 6 ≠ 0 = 168 mod 7

m=8: 118 mod 8 = 6 ≠ 0 = 168 mod 8

m=9: 118 mod 9 = 1 ≠ 6 = 168 mod 9

m=10: 118 mod 10 = 8 = 8 = 168 mod 10

m=11: 118 mod 11 = 8 ≠ 3 = 168 mod 11

m=12: 118 mod 12 = 10 ≠ 0 = 168 mod 12

m=13: 118 mod 13 = 1 ≠ 12 = 168 mod 13

m=14: 118 mod 14 = 6 ≠ 0 = 168 mod 14

m=15: 118 mod 15 = 13 ≠ 3 = 168 mod 15

m=16: 118 mod 16 = 6 ≠ 8 = 168 mod 16

m=17: 118 mod 17 = 16 ≠ 15 = 168 mod 17

m=18: 118 mod 18 = 10 ≠ 6 = 168 mod 18

m=19: 118 mod 19 = 4 ≠ 16 = 168 mod 19

m=20: 118 mod 20 = 18 ≠ 8 = 168 mod 20

m=21: 118 mod 21 = 13 ≠ 0 = 168 mod 21

m=22: 118 mod 22 = 8 ≠ 14 = 168 mod 22

m=23: 118 mod 23 = 3 ≠ 7 = 168 mod 23

m=24: 118 mod 24 = 22 ≠ 0 = 168 mod 24

m=25: 118 mod 25 = 18 = 18 = 168 mod 25

m=26: 118 mod 26 = 14 ≠ 12 = 168 mod 26

m=27: 118 mod 27 = 10 ≠ 6 = 168 mod 27

m=28: 118 mod 28 = 6 ≠ 0 = 168 mod 28

m=29: 118 mod 29 = 2 ≠ 23 = 168 mod 29

m=30: 118 mod 30 = 28 ≠ 18 = 168 mod 30

m=31: 118 mod 31 = 25 ≠ 13 = 168 mod 31

m=32: 118 mod 32 = 22 ≠ 8 = 168 mod 32

m=33: 118 mod 33 = 19 ≠ 3 = 168 mod 33

m=34: 118 mod 34 = 16 ≠ 32 = 168 mod 34

m=35: 118 mod 35 = 13 ≠ 28 = 168 mod 35

m=36: 118 mod 36 = 10 ≠ 24 = 168 mod 36

m=37: 118 mod 37 = 7 ≠ 20 = 168 mod 37

m=38: 118 mod 38 = 4 ≠ 16 = 168 mod 38

m=39: 118 mod 39 = 1 ≠ 12 = 168 mod 39

m=40: 118 mod 40 = 38 ≠ 8 = 168 mod 40

m=41: 118 mod 41 = 36 ≠ 4 = 168 mod 41

m=42: 118 mod 42 = 34 ≠ 0 = 168 mod 42

m=43: 118 mod 43 = 32 ≠ 39 = 168 mod 43

m=44: 118 mod 44 = 30 ≠ 36 = 168 mod 44

m=45: 118 mod 45 = 28 ≠ 33 = 168 mod 45

m=46: 118 mod 46 = 26 ≠ 30 = 168 mod 46

m=47: 118 mod 47 = 24 ≠ 27 = 168 mod 47

m=48: 118 mod 48 = 22 ≠ 24 = 168 mod 48

m=49: 118 mod 49 = 20 ≠ 21 = 168 mod 49

m=50: 118 mod 50 = 18 = 18 = 168 mod 50

m=51: 118 mod 51 = 16 ≠ 15 = 168 mod 51

m=52: 118 mod 52 = 14 ≠ 12 = 168 mod 52

m=53: 118 mod 53 = 12 ≠ 9 = 168 mod 53

m=54: 118 mod 54 = 10 ≠ 6 = 168 mod 54

m=55: 118 mod 55 = 8 ≠ 3 = 168 mod 55

m=56: 118 mod 56 = 6 ≠ 0 = 168 mod 56

m=57: 118 mod 57 = 4 ≠ 54 = 168 mod 57

m=58: 118 mod 58 = 2 ≠ 52 = 168 mod 58

m=59: 118 mod 59 = 0 ≠ 50 = 168 mod 59

m=60: 118 mod 60 = 58 ≠ 48 = 168 mod 60

m=61: 118 mod 61 = 57 ≠ 46 = 168 mod 61

m=62: 118 mod 62 = 56 ≠ 44 = 168 mod 62

m=63: 118 mod 63 = 55 ≠ 42 = 168 mod 63

m=64: 118 mod 64 = 54 ≠ 40 = 168 mod 64

m=65: 118 mod 65 = 53 ≠ 38 = 168 mod 65

m=66: 118 mod 66 = 52 ≠ 36 = 168 mod 66

m=67: 118 mod 67 = 51 ≠ 34 = 168 mod 67

m=68: 118 mod 68 = 50 ≠ 32 = 168 mod 68

m=69: 118 mod 69 = 49 ≠ 30 = 168 mod 69

m=70: 118 mod 70 = 48 ≠ 28 = 168 mod 70

m=71: 118 mod 71 = 47 ≠ 26 = 168 mod 71

m=72: 118 mod 72 = 46 ≠ 24 = 168 mod 72

m=73: 118 mod 73 = 45 ≠ 22 = 168 mod 73

m=74: 118 mod 74 = 44 ≠ 20 = 168 mod 74

m=75: 118 mod 75 = 43 ≠ 18 = 168 mod 75

m=76: 118 mod 76 = 42 ≠ 16 = 168 mod 76

m=77: 118 mod 77 = 41 ≠ 14 = 168 mod 77

m=78: 118 mod 78 = 40 ≠ 12 = 168 mod 78

m=79: 118 mod 79 = 39 ≠ 10 = 168 mod 79

m=80: 118 mod 80 = 38 ≠ 8 = 168 mod 80

m=81: 118 mod 81 = 37 ≠ 6 = 168 mod 81

m=82: 118 mod 82 = 36 ≠ 4 = 168 mod 82

m=83: 118 mod 83 = 35 ≠ 2 = 168 mod 83

m=84: 118 mod 84 = 34 ≠ 0 = 168 mod 84

m=85: 118 mod 85 = 33 ≠ 83 = 168 mod 85

m=86: 118 mod 86 = 32 ≠ 82 = 168 mod 86

m=87: 118 mod 87 = 31 ≠ 81 = 168 mod 87

m=88: 118 mod 88 = 30 ≠ 80 = 168 mod 88

m=89: 118 mod 89 = 29 ≠ 79 = 168 mod 89

m=90: 118 mod 90 = 28 ≠ 78 = 168 mod 90

m=91: 118 mod 91 = 27 ≠ 77 = 168 mod 91

m=92: 118 mod 92 = 26 ≠ 76 = 168 mod 92

m=93: 118 mod 93 = 25 ≠ 75 = 168 mod 93

m=94: 118 mod 94 = 24 ≠ 74 = 168 mod 94

m=95: 118 mod 95 = 23 ≠ 73 = 168 mod 95

m=96: 118 mod 96 = 22 ≠ 72 = 168 mod 96

m=97: 118 mod 97 = 21 ≠ 71 = 168 mod 97

m=98: 118 mod 98 = 20 ≠ 70 = 168 mod 98

m=99: 118 mod 99 = 19 ≠ 69 = 168 mod 99

m=100: 118 mod 100 = 18 ≠ 68 = 168 mod 100

m=101: 118 mod 101 = 17 ≠ 67 = 168 mod 101

m=102: 118 mod 102 = 16 ≠ 66 = 168 mod 102

m=103: 118 mod 103 = 15 ≠ 65 = 168 mod 103

m=104: 118 mod 104 = 14 ≠ 64 = 168 mod 104

m=105: 118 mod 105 = 13 ≠ 63 = 168 mod 105

m=106: 118 mod 106 = 12 ≠ 62 = 168 mod 106

m=107: 118 mod 107 = 11 ≠ 61 = 168 mod 107

m=108: 118 mod 108 = 10 ≠ 60 = 168 mod 108

m=109: 118 mod 109 = 9 ≠ 59 = 168 mod 109

m=110: 118 mod 110 = 8 ≠ 58 = 168 mod 110

m=111: 118 mod 111 = 7 ≠ 57 = 168 mod 111

m=112: 118 mod 112 = 6 ≠ 56 = 168 mod 112

m=113: 118 mod 113 = 5 ≠ 55 = 168 mod 113

m=114: 118 mod 114 = 4 ≠ 54 = 168 mod 114

m=115: 118 mod 115 = 3 ≠ 53 = 168 mod 115

m=116: 118 mod 116 = 2 ≠ 52 = 168 mod 116

m=117: 118 mod 117 = 1 ≠ 51 = 168 mod 117

m=118: 118 mod 118 = 0 ≠ 50 = 168 mod 118

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (168 - 118) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50