nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 4 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 31 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 51 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 31 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3206 - 3997) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3206 - 3997) mod 8 ≡ (3206 mod 8 - 3997 mod 8) mod 8.

3206 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3206 = 3200+6 = 8 ⋅ 400 +6.

3997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3997 = 4000-3 = 8 ⋅ 500 -3 = 8 ⋅ 500 - 8 + 5.

Somit gilt:

(3206 - 3997) mod 8 ≡ (6 - 5) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 71) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 71) mod 6 ≡ (95 mod 6 ⋅ 71 mod 6) mod 6.

95 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 15 ⋅ 6 + 5 ist.

71 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 11 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 71) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6