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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 37 - 35 = 2.
Somit gilt: 37 mod 7 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 60 für die gilt n ≡ 74 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.
Somit gilt: 74 mod 10 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 4 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 4 mod 10 sein, also addieren wir noch 4 auf die 50 und erhalten so 54.
Somit gilt: 54 ≡ 74 ≡ 4 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (898 - 11997) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(898 - 11997) mod 3 ≡ (898 mod 3 - 11997 mod 3) mod 3.
898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898
= 900
11997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997
= 12000
Somit gilt:
(898 - 11997) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 16) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(30 ⋅ 16) mod 11 ≡ (30 mod 11 ⋅ 16 mod 11) mod 11.
30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.
16 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 11 + 5 = 1 ⋅ 11 + 5 ist.
Somit gilt:
(30 ⋅ 16) mod 11 ≡ (8 ⋅ 5) mod 11 ≡ 40 mod 11 ≡ 7 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 36 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:
m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2
m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3
m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4
m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5
m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6
m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7
m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8
m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9
m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10
m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11
m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12
m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13
m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14
m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15
m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16
m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17
m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18
m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19
m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20
m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21
m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22
m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23
m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
