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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 16 = 4.

Somit gilt: 20 mod 8 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 60 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 54 = 6.

Somit gilt: 60 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 72 und erhalten so 78.

Somit gilt: 78 ≡ 60 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24008 + 39995) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24008 + 39995) mod 8 ≡ (24008 mod 8 + 39995 mod 8) mod 8.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

39995 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39995 = 39000+995 = 8 ⋅ 4875 +995.

Somit gilt:

(24008 + 39995) mod 8 ≡ (0 + 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 22) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 22) mod 6 ≡ (74 mod 6 ⋅ 22 mod 6) mod 6.

74 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 12 ⋅ 6 + 2 ist.

22 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 18 + 4 = 3 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 22) mod 6 ≡ (2 ⋅ 4) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 29 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9