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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 31 für die gilt n ≡ 36 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 33 = 3.

Somit gilt: 36 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 22 und erhalten so 25.

Somit gilt: 25 ≡ 36 ≡ 3 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (157 + 120) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(157 + 120) mod 4 ≡ (157 mod 4 + 120 mod 4) mod 4.

157 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 157 = 160-3 = 4 ⋅ 40 -3 = 4 ⋅ 40 - 4 + 1.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(157 + 120) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 15) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 15) mod 6 ≡ (45 mod 6 ⋅ 15 mod 6) mod 6.

45 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 42 + 3 = 7 ⋅ 6 + 3 ist.

15 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 2 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 15) mod 6 ≡ (3 ⋅ 3) mod 6 ≡ 9 mod 6 ≡ 3 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6