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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 54 = 6.

Somit gilt: 60 mod 9 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 40 für die gilt n ≡ 90 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 90 = 0.

Somit gilt: 90 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Somit gilt: 30 ≡ 90 ≡ 0 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30000 - 65) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30000 - 65) mod 6 ≡ (30000 mod 6 - 65 mod 6) mod 6.

30000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30000 = 30000+0 = 6 ⋅ 5000 +0.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60+5 = 6 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(30000 - 65) mod 6 ≡ (0 - 5) mod 6 ≡ -5 mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 77) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 77) mod 10 ≡ (66 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.

66 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 60 + 6 = 6 ⋅ 10 + 6 ist.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 77) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4