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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.

Somit gilt: 94 mod 6 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 78 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 78 = 0.

Somit gilt: 78 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Somit gilt: 60 ≡ 78 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44994 + 35993) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44994 + 35993) mod 9 ≡ (44994 mod 9 + 35993 mod 9) mod 9.

44994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44994 = 45000-6 = 9 ⋅ 5000 -6 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 3.

35993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35993 = 36000-7 = 9 ⋅ 4000 -7 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 2.

Somit gilt:

(44994 + 35993) mod 9 ≡ (3 + 2) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 53) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 53) mod 8 ≡ (70 mod 8 ⋅ 53 mod 8) mod 8.

70 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 64 + 6 = 8 ⋅ 8 + 6 ist.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 53) mod 8 ≡ (6 ⋅ 5) mod 8 ≡ 30 mod 8 ≡ 6 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 26 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 26 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 26 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 26 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 26 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 1 = 26 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 = 2 = 26 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 5 = 26 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 2 = 26 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 8 = 26 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 6 = 26 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 4 = 26 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 2 = 26 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 0 = 26 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 12 = 26 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 11 = 26 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 10 = 26 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 9 = 26 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 8 = 26 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 7 = 26 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 6 = 26 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (26 - 20) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6