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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 60 = 5.

Somit gilt: 65 mod 10 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 63 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 22 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 63 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4002 + 319) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4002 + 319) mod 8 ≡ (4002 mod 8 + 319 mod 8) mod 8.

4002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4002 = 4000+2 = 8 ⋅ 500 +2.

319 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 319 = 320-1 = 8 ⋅ 40 -1 = 8 ⋅ 40 - 8 + 7.

Somit gilt:

(4002 + 319) mod 8 ≡ (2 + 7) mod 8 ≡ 9 mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 41) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 41) mod 6 ≡ (89 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.

89 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 84 + 5 = 14 ⋅ 6 + 5 ist.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 41) mod 6 ≡ (5 ⋅ 5) mod 6 ≡ 25 mod 6 ≡ 1 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
182 mod m = 257 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 182 aus, ob zufällig 182 mod m = 257 mod m gilt:

m=2: 182 mod 2 = 0 ≠ 1 = 257 mod 2

m=3: 182 mod 3 = 2 = 2 = 257 mod 3

m=4: 182 mod 4 = 2 ≠ 1 = 257 mod 4

m=5: 182 mod 5 = 2 = 2 = 257 mod 5

m=6: 182 mod 6 = 2 ≠ 5 = 257 mod 6

m=7: 182 mod 7 = 0 ≠ 5 = 257 mod 7

m=8: 182 mod 8 = 6 ≠ 1 = 257 mod 8

m=9: 182 mod 9 = 2 ≠ 5 = 257 mod 9

m=10: 182 mod 10 = 2 ≠ 7 = 257 mod 10

m=11: 182 mod 11 = 6 ≠ 4 = 257 mod 11

m=12: 182 mod 12 = 2 ≠ 5 = 257 mod 12

m=13: 182 mod 13 = 0 ≠ 10 = 257 mod 13

m=14: 182 mod 14 = 0 ≠ 5 = 257 mod 14

m=15: 182 mod 15 = 2 = 2 = 257 mod 15

m=16: 182 mod 16 = 6 ≠ 1 = 257 mod 16

m=17: 182 mod 17 = 12 ≠ 2 = 257 mod 17

m=18: 182 mod 18 = 2 ≠ 5 = 257 mod 18

m=19: 182 mod 19 = 11 ≠ 10 = 257 mod 19

m=20: 182 mod 20 = 2 ≠ 17 = 257 mod 20

m=21: 182 mod 21 = 14 ≠ 5 = 257 mod 21

m=22: 182 mod 22 = 6 ≠ 15 = 257 mod 22

m=23: 182 mod 23 = 21 ≠ 4 = 257 mod 23

m=24: 182 mod 24 = 14 ≠ 17 = 257 mod 24

m=25: 182 mod 25 = 7 = 7 = 257 mod 25

m=26: 182 mod 26 = 0 ≠ 23 = 257 mod 26

m=27: 182 mod 27 = 20 ≠ 14 = 257 mod 27

m=28: 182 mod 28 = 14 ≠ 5 = 257 mod 28

m=29: 182 mod 29 = 8 ≠ 25 = 257 mod 29

m=30: 182 mod 30 = 2 ≠ 17 = 257 mod 30

m=31: 182 mod 31 = 27 ≠ 9 = 257 mod 31

m=32: 182 mod 32 = 22 ≠ 1 = 257 mod 32

m=33: 182 mod 33 = 17 ≠ 26 = 257 mod 33

m=34: 182 mod 34 = 12 ≠ 19 = 257 mod 34

m=35: 182 mod 35 = 7 ≠ 12 = 257 mod 35

m=36: 182 mod 36 = 2 ≠ 5 = 257 mod 36

m=37: 182 mod 37 = 34 ≠ 35 = 257 mod 37

m=38: 182 mod 38 = 30 ≠ 29 = 257 mod 38

m=39: 182 mod 39 = 26 ≠ 23 = 257 mod 39

m=40: 182 mod 40 = 22 ≠ 17 = 257 mod 40

m=41: 182 mod 41 = 18 ≠ 11 = 257 mod 41

m=42: 182 mod 42 = 14 ≠ 5 = 257 mod 42

m=43: 182 mod 43 = 10 ≠ 42 = 257 mod 43

m=44: 182 mod 44 = 6 ≠ 37 = 257 mod 44

m=45: 182 mod 45 = 2 ≠ 32 = 257 mod 45

m=46: 182 mod 46 = 44 ≠ 27 = 257 mod 46

m=47: 182 mod 47 = 41 ≠ 22 = 257 mod 47

m=48: 182 mod 48 = 38 ≠ 17 = 257 mod 48

m=49: 182 mod 49 = 35 ≠ 12 = 257 mod 49

m=50: 182 mod 50 = 32 ≠ 7 = 257 mod 50

m=51: 182 mod 51 = 29 ≠ 2 = 257 mod 51

m=52: 182 mod 52 = 26 ≠ 49 = 257 mod 52

m=53: 182 mod 53 = 23 ≠ 45 = 257 mod 53

m=54: 182 mod 54 = 20 ≠ 41 = 257 mod 54

m=55: 182 mod 55 = 17 ≠ 37 = 257 mod 55

m=56: 182 mod 56 = 14 ≠ 33 = 257 mod 56

m=57: 182 mod 57 = 11 ≠ 29 = 257 mod 57

m=58: 182 mod 58 = 8 ≠ 25 = 257 mod 58

m=59: 182 mod 59 = 5 ≠ 21 = 257 mod 59

m=60: 182 mod 60 = 2 ≠ 17 = 257 mod 60

m=61: 182 mod 61 = 60 ≠ 13 = 257 mod 61

m=62: 182 mod 62 = 58 ≠ 9 = 257 mod 62

m=63: 182 mod 63 = 56 ≠ 5 = 257 mod 63

m=64: 182 mod 64 = 54 ≠ 1 = 257 mod 64

m=65: 182 mod 65 = 52 ≠ 62 = 257 mod 65

m=66: 182 mod 66 = 50 ≠ 59 = 257 mod 66

m=67: 182 mod 67 = 48 ≠ 56 = 257 mod 67

m=68: 182 mod 68 = 46 ≠ 53 = 257 mod 68

m=69: 182 mod 69 = 44 ≠ 50 = 257 mod 69

m=70: 182 mod 70 = 42 ≠ 47 = 257 mod 70

m=71: 182 mod 71 = 40 ≠ 44 = 257 mod 71

m=72: 182 mod 72 = 38 ≠ 41 = 257 mod 72

m=73: 182 mod 73 = 36 ≠ 38 = 257 mod 73

m=74: 182 mod 74 = 34 ≠ 35 = 257 mod 74

m=75: 182 mod 75 = 32 = 32 = 257 mod 75

m=76: 182 mod 76 = 30 ≠ 29 = 257 mod 76

m=77: 182 mod 77 = 28 ≠ 26 = 257 mod 77

m=78: 182 mod 78 = 26 ≠ 23 = 257 mod 78

m=79: 182 mod 79 = 24 ≠ 20 = 257 mod 79

m=80: 182 mod 80 = 22 ≠ 17 = 257 mod 80

m=81: 182 mod 81 = 20 ≠ 14 = 257 mod 81

m=82: 182 mod 82 = 18 ≠ 11 = 257 mod 82

m=83: 182 mod 83 = 16 ≠ 8 = 257 mod 83

m=84: 182 mod 84 = 14 ≠ 5 = 257 mod 84

m=85: 182 mod 85 = 12 ≠ 2 = 257 mod 85

m=86: 182 mod 86 = 10 ≠ 85 = 257 mod 86

m=87: 182 mod 87 = 8 ≠ 83 = 257 mod 87

m=88: 182 mod 88 = 6 ≠ 81 = 257 mod 88

m=89: 182 mod 89 = 4 ≠ 79 = 257 mod 89

m=90: 182 mod 90 = 2 ≠ 77 = 257 mod 90

m=91: 182 mod 91 = 0 ≠ 75 = 257 mod 91

m=92: 182 mod 92 = 90 ≠ 73 = 257 mod 92

m=93: 182 mod 93 = 89 ≠ 71 = 257 mod 93

m=94: 182 mod 94 = 88 ≠ 69 = 257 mod 94

m=95: 182 mod 95 = 87 ≠ 67 = 257 mod 95

m=96: 182 mod 96 = 86 ≠ 65 = 257 mod 96

m=97: 182 mod 97 = 85 ≠ 63 = 257 mod 97

m=98: 182 mod 98 = 84 ≠ 61 = 257 mod 98

m=99: 182 mod 99 = 83 ≠ 59 = 257 mod 99

m=100: 182 mod 100 = 82 ≠ 57 = 257 mod 100

m=101: 182 mod 101 = 81 ≠ 55 = 257 mod 101

m=102: 182 mod 102 = 80 ≠ 53 = 257 mod 102

m=103: 182 mod 103 = 79 ≠ 51 = 257 mod 103

m=104: 182 mod 104 = 78 ≠ 49 = 257 mod 104

m=105: 182 mod 105 = 77 ≠ 47 = 257 mod 105

m=106: 182 mod 106 = 76 ≠ 45 = 257 mod 106

m=107: 182 mod 107 = 75 ≠ 43 = 257 mod 107

m=108: 182 mod 108 = 74 ≠ 41 = 257 mod 108

m=109: 182 mod 109 = 73 ≠ 39 = 257 mod 109

m=110: 182 mod 110 = 72 ≠ 37 = 257 mod 110

m=111: 182 mod 111 = 71 ≠ 35 = 257 mod 111

m=112: 182 mod 112 = 70 ≠ 33 = 257 mod 112

m=113: 182 mod 113 = 69 ≠ 31 = 257 mod 113

m=114: 182 mod 114 = 68 ≠ 29 = 257 mod 114

m=115: 182 mod 115 = 67 ≠ 27 = 257 mod 115

m=116: 182 mod 116 = 66 ≠ 25 = 257 mod 116

m=117: 182 mod 117 = 65 ≠ 23 = 257 mod 117

m=118: 182 mod 118 = 64 ≠ 21 = 257 mod 118

m=119: 182 mod 119 = 63 ≠ 19 = 257 mod 119

m=120: 182 mod 120 = 62 ≠ 17 = 257 mod 120

m=121: 182 mod 121 = 61 ≠ 15 = 257 mod 121

m=122: 182 mod 122 = 60 ≠ 13 = 257 mod 122

m=123: 182 mod 123 = 59 ≠ 11 = 257 mod 123

m=124: 182 mod 124 = 58 ≠ 9 = 257 mod 124

m=125: 182 mod 125 = 57 ≠ 7 = 257 mod 125

m=126: 182 mod 126 = 56 ≠ 5 = 257 mod 126

m=127: 182 mod 127 = 55 ≠ 3 = 257 mod 127

m=128: 182 mod 128 = 54 ≠ 1 = 257 mod 128

m=129: 182 mod 129 = 53 ≠ 128 = 257 mod 129

m=130: 182 mod 130 = 52 ≠ 127 = 257 mod 130

m=131: 182 mod 131 = 51 ≠ 126 = 257 mod 131

m=132: 182 mod 132 = 50 ≠ 125 = 257 mod 132

m=133: 182 mod 133 = 49 ≠ 124 = 257 mod 133

m=134: 182 mod 134 = 48 ≠ 123 = 257 mod 134

m=135: 182 mod 135 = 47 ≠ 122 = 257 mod 135

m=136: 182 mod 136 = 46 ≠ 121 = 257 mod 136

m=137: 182 mod 137 = 45 ≠ 120 = 257 mod 137

m=138: 182 mod 138 = 44 ≠ 119 = 257 mod 138

m=139: 182 mod 139 = 43 ≠ 118 = 257 mod 139

m=140: 182 mod 140 = 42 ≠ 117 = 257 mod 140

m=141: 182 mod 141 = 41 ≠ 116 = 257 mod 141

m=142: 182 mod 142 = 40 ≠ 115 = 257 mod 142

m=143: 182 mod 143 = 39 ≠ 114 = 257 mod 143

m=144: 182 mod 144 = 38 ≠ 113 = 257 mod 144

m=145: 182 mod 145 = 37 ≠ 112 = 257 mod 145

m=146: 182 mod 146 = 36 ≠ 111 = 257 mod 146

m=147: 182 mod 147 = 35 ≠ 110 = 257 mod 147

m=148: 182 mod 148 = 34 ≠ 109 = 257 mod 148

m=149: 182 mod 149 = 33 ≠ 108 = 257 mod 149

m=150: 182 mod 150 = 32 ≠ 107 = 257 mod 150

m=151: 182 mod 151 = 31 ≠ 106 = 257 mod 151

m=152: 182 mod 152 = 30 ≠ 105 = 257 mod 152

m=153: 182 mod 153 = 29 ≠ 104 = 257 mod 153

m=154: 182 mod 154 = 28 ≠ 103 = 257 mod 154

m=155: 182 mod 155 = 27 ≠ 102 = 257 mod 155

m=156: 182 mod 156 = 26 ≠ 101 = 257 mod 156

m=157: 182 mod 157 = 25 ≠ 100 = 257 mod 157

m=158: 182 mod 158 = 24 ≠ 99 = 257 mod 158

m=159: 182 mod 159 = 23 ≠ 98 = 257 mod 159

m=160: 182 mod 160 = 22 ≠ 97 = 257 mod 160

m=161: 182 mod 161 = 21 ≠ 96 = 257 mod 161

m=162: 182 mod 162 = 20 ≠ 95 = 257 mod 162

m=163: 182 mod 163 = 19 ≠ 94 = 257 mod 163

m=164: 182 mod 164 = 18 ≠ 93 = 257 mod 164

m=165: 182 mod 165 = 17 ≠ 92 = 257 mod 165

m=166: 182 mod 166 = 16 ≠ 91 = 257 mod 166

m=167: 182 mod 167 = 15 ≠ 90 = 257 mod 167

m=168: 182 mod 168 = 14 ≠ 89 = 257 mod 168

m=169: 182 mod 169 = 13 ≠ 88 = 257 mod 169

m=170: 182 mod 170 = 12 ≠ 87 = 257 mod 170

m=171: 182 mod 171 = 11 ≠ 86 = 257 mod 171

m=172: 182 mod 172 = 10 ≠ 85 = 257 mod 172

m=173: 182 mod 173 = 9 ≠ 84 = 257 mod 173

m=174: 182 mod 174 = 8 ≠ 83 = 257 mod 174

m=175: 182 mod 175 = 7 ≠ 82 = 257 mod 175

m=176: 182 mod 176 = 6 ≠ 81 = 257 mod 176

m=177: 182 mod 177 = 5 ≠ 80 = 257 mod 177

m=178: 182 mod 178 = 4 ≠ 79 = 257 mod 178

m=179: 182 mod 179 = 3 ≠ 78 = 257 mod 179

m=180: 182 mod 180 = 2 ≠ 77 = 257 mod 180

m=181: 182 mod 181 = 1 ≠ 76 = 257 mod 181

m=182: 182 mod 182 = 0 ≠ 75 = 257 mod 182

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (257 - 182) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75