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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.
Somit gilt: 91 mod 6 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 41 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 33, weil ja 3 ⋅ 11 = 33 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 41 - 33 = 8.
Somit gilt: 41 mod 11 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 11 und erhalten so 19.
Somit gilt: 19 ≡ 41 ≡ 8 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (204 + 197) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(204 + 197) mod 4 ≡ (204 mod 4 + 197 mod 4) mod 4.
204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204
= 200
197 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 197
= 200
Somit gilt:
(204 + 197) mod 4 ≡ (0 + 1) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 67) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 ⋅ 67) mod 7 ≡ (37 mod 7 ⋅ 67 mod 7) mod 7.
37 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 35 + 2 = 5 ⋅ 7 + 2 ist.
67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 9 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(37 ⋅ 67) mod 7 ≡ (2 ⋅ 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
177 mod m = 222 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 177 aus, ob zufällig 177 mod m = 222 mod m gilt:
m=2: 177 mod 2 = 1 ≠ 0 = 222 mod 2
m=3: 177 mod 3 = 0 = 0 = 222 mod 3
m=4: 177 mod 4 = 1 ≠ 2 = 222 mod 4
m=5: 177 mod 5 = 2 = 2 = 222 mod 5
m=6: 177 mod 6 = 3 ≠ 0 = 222 mod 6
m=7: 177 mod 7 = 2 ≠ 5 = 222 mod 7
m=8: 177 mod 8 = 1 ≠ 6 = 222 mod 8
m=9: 177 mod 9 = 6 = 6 = 222 mod 9
m=10: 177 mod 10 = 7 ≠ 2 = 222 mod 10
m=11: 177 mod 11 = 1 ≠ 2 = 222 mod 11
m=12: 177 mod 12 = 9 ≠ 6 = 222 mod 12
m=13: 177 mod 13 = 8 ≠ 1 = 222 mod 13
m=14: 177 mod 14 = 9 ≠ 12 = 222 mod 14
m=15: 177 mod 15 = 12 = 12 = 222 mod 15
m=16: 177 mod 16 = 1 ≠ 14 = 222 mod 16
m=17: 177 mod 17 = 7 ≠ 1 = 222 mod 17
m=18: 177 mod 18 = 15 ≠ 6 = 222 mod 18
m=19: 177 mod 19 = 6 ≠ 13 = 222 mod 19
m=20: 177 mod 20 = 17 ≠ 2 = 222 mod 20
m=21: 177 mod 21 = 9 ≠ 12 = 222 mod 21
m=22: 177 mod 22 = 1 ≠ 2 = 222 mod 22
m=23: 177 mod 23 = 16 ≠ 15 = 222 mod 23
m=24: 177 mod 24 = 9 ≠ 6 = 222 mod 24
m=25: 177 mod 25 = 2 ≠ 22 = 222 mod 25
m=26: 177 mod 26 = 21 ≠ 14 = 222 mod 26
m=27: 177 mod 27 = 15 ≠ 6 = 222 mod 27
m=28: 177 mod 28 = 9 ≠ 26 = 222 mod 28
m=29: 177 mod 29 = 3 ≠ 19 = 222 mod 29
m=30: 177 mod 30 = 27 ≠ 12 = 222 mod 30
m=31: 177 mod 31 = 22 ≠ 5 = 222 mod 31
m=32: 177 mod 32 = 17 ≠ 30 = 222 mod 32
m=33: 177 mod 33 = 12 ≠ 24 = 222 mod 33
m=34: 177 mod 34 = 7 ≠ 18 = 222 mod 34
m=35: 177 mod 35 = 2 ≠ 12 = 222 mod 35
m=36: 177 mod 36 = 33 ≠ 6 = 222 mod 36
m=37: 177 mod 37 = 29 ≠ 0 = 222 mod 37
m=38: 177 mod 38 = 25 ≠ 32 = 222 mod 38
m=39: 177 mod 39 = 21 ≠ 27 = 222 mod 39
m=40: 177 mod 40 = 17 ≠ 22 = 222 mod 40
m=41: 177 mod 41 = 13 ≠ 17 = 222 mod 41
m=42: 177 mod 42 = 9 ≠ 12 = 222 mod 42
m=43: 177 mod 43 = 5 ≠ 7 = 222 mod 43
m=44: 177 mod 44 = 1 ≠ 2 = 222 mod 44
m=45: 177 mod 45 = 42 = 42 = 222 mod 45
m=46: 177 mod 46 = 39 ≠ 38 = 222 mod 46
m=47: 177 mod 47 = 36 ≠ 34 = 222 mod 47
m=48: 177 mod 48 = 33 ≠ 30 = 222 mod 48
m=49: 177 mod 49 = 30 ≠ 26 = 222 mod 49
m=50: 177 mod 50 = 27 ≠ 22 = 222 mod 50
m=51: 177 mod 51 = 24 ≠ 18 = 222 mod 51
m=52: 177 mod 52 = 21 ≠ 14 = 222 mod 52
m=53: 177 mod 53 = 18 ≠ 10 = 222 mod 53
m=54: 177 mod 54 = 15 ≠ 6 = 222 mod 54
m=55: 177 mod 55 = 12 ≠ 2 = 222 mod 55
m=56: 177 mod 56 = 9 ≠ 54 = 222 mod 56
m=57: 177 mod 57 = 6 ≠ 51 = 222 mod 57
m=58: 177 mod 58 = 3 ≠ 48 = 222 mod 58
m=59: 177 mod 59 = 0 ≠ 45 = 222 mod 59
m=60: 177 mod 60 = 57 ≠ 42 = 222 mod 60
m=61: 177 mod 61 = 55 ≠ 39 = 222 mod 61
m=62: 177 mod 62 = 53 ≠ 36 = 222 mod 62
m=63: 177 mod 63 = 51 ≠ 33 = 222 mod 63
m=64: 177 mod 64 = 49 ≠ 30 = 222 mod 64
m=65: 177 mod 65 = 47 ≠ 27 = 222 mod 65
m=66: 177 mod 66 = 45 ≠ 24 = 222 mod 66
m=67: 177 mod 67 = 43 ≠ 21 = 222 mod 67
m=68: 177 mod 68 = 41 ≠ 18 = 222 mod 68
m=69: 177 mod 69 = 39 ≠ 15 = 222 mod 69
m=70: 177 mod 70 = 37 ≠ 12 = 222 mod 70
m=71: 177 mod 71 = 35 ≠ 9 = 222 mod 71
m=72: 177 mod 72 = 33 ≠ 6 = 222 mod 72
m=73: 177 mod 73 = 31 ≠ 3 = 222 mod 73
m=74: 177 mod 74 = 29 ≠ 0 = 222 mod 74
m=75: 177 mod 75 = 27 ≠ 72 = 222 mod 75
m=76: 177 mod 76 = 25 ≠ 70 = 222 mod 76
m=77: 177 mod 77 = 23 ≠ 68 = 222 mod 77
m=78: 177 mod 78 = 21 ≠ 66 = 222 mod 78
m=79: 177 mod 79 = 19 ≠ 64 = 222 mod 79
m=80: 177 mod 80 = 17 ≠ 62 = 222 mod 80
m=81: 177 mod 81 = 15 ≠ 60 = 222 mod 81
m=82: 177 mod 82 = 13 ≠ 58 = 222 mod 82
m=83: 177 mod 83 = 11 ≠ 56 = 222 mod 83
m=84: 177 mod 84 = 9 ≠ 54 = 222 mod 84
m=85: 177 mod 85 = 7 ≠ 52 = 222 mod 85
m=86: 177 mod 86 = 5 ≠ 50 = 222 mod 86
m=87: 177 mod 87 = 3 ≠ 48 = 222 mod 87
m=88: 177 mod 88 = 1 ≠ 46 = 222 mod 88
m=89: 177 mod 89 = 88 ≠ 44 = 222 mod 89
m=90: 177 mod 90 = 87 ≠ 42 = 222 mod 90
m=91: 177 mod 91 = 86 ≠ 40 = 222 mod 91
m=92: 177 mod 92 = 85 ≠ 38 = 222 mod 92
m=93: 177 mod 93 = 84 ≠ 36 = 222 mod 93
m=94: 177 mod 94 = 83 ≠ 34 = 222 mod 94
m=95: 177 mod 95 = 82 ≠ 32 = 222 mod 95
m=96: 177 mod 96 = 81 ≠ 30 = 222 mod 96
m=97: 177 mod 97 = 80 ≠ 28 = 222 mod 97
m=98: 177 mod 98 = 79 ≠ 26 = 222 mod 98
m=99: 177 mod 99 = 78 ≠ 24 = 222 mod 99
m=100: 177 mod 100 = 77 ≠ 22 = 222 mod 100
m=101: 177 mod 101 = 76 ≠ 20 = 222 mod 101
m=102: 177 mod 102 = 75 ≠ 18 = 222 mod 102
m=103: 177 mod 103 = 74 ≠ 16 = 222 mod 103
m=104: 177 mod 104 = 73 ≠ 14 = 222 mod 104
m=105: 177 mod 105 = 72 ≠ 12 = 222 mod 105
m=106: 177 mod 106 = 71 ≠ 10 = 222 mod 106
m=107: 177 mod 107 = 70 ≠ 8 = 222 mod 107
m=108: 177 mod 108 = 69 ≠ 6 = 222 mod 108
m=109: 177 mod 109 = 68 ≠ 4 = 222 mod 109
m=110: 177 mod 110 = 67 ≠ 2 = 222 mod 110
m=111: 177 mod 111 = 66 ≠ 0 = 222 mod 111
m=112: 177 mod 112 = 65 ≠ 110 = 222 mod 112
m=113: 177 mod 113 = 64 ≠ 109 = 222 mod 113
m=114: 177 mod 114 = 63 ≠ 108 = 222 mod 114
m=115: 177 mod 115 = 62 ≠ 107 = 222 mod 115
m=116: 177 mod 116 = 61 ≠ 106 = 222 mod 116
m=117: 177 mod 117 = 60 ≠ 105 = 222 mod 117
m=118: 177 mod 118 = 59 ≠ 104 = 222 mod 118
m=119: 177 mod 119 = 58 ≠ 103 = 222 mod 119
m=120: 177 mod 120 = 57 ≠ 102 = 222 mod 120
m=121: 177 mod 121 = 56 ≠ 101 = 222 mod 121
m=122: 177 mod 122 = 55 ≠ 100 = 222 mod 122
m=123: 177 mod 123 = 54 ≠ 99 = 222 mod 123
m=124: 177 mod 124 = 53 ≠ 98 = 222 mod 124
m=125: 177 mod 125 = 52 ≠ 97 = 222 mod 125
m=126: 177 mod 126 = 51 ≠ 96 = 222 mod 126
m=127: 177 mod 127 = 50 ≠ 95 = 222 mod 127
m=128: 177 mod 128 = 49 ≠ 94 = 222 mod 128
m=129: 177 mod 129 = 48 ≠ 93 = 222 mod 129
m=130: 177 mod 130 = 47 ≠ 92 = 222 mod 130
m=131: 177 mod 131 = 46 ≠ 91 = 222 mod 131
m=132: 177 mod 132 = 45 ≠ 90 = 222 mod 132
m=133: 177 mod 133 = 44 ≠ 89 = 222 mod 133
m=134: 177 mod 134 = 43 ≠ 88 = 222 mod 134
m=135: 177 mod 135 = 42 ≠ 87 = 222 mod 135
m=136: 177 mod 136 = 41 ≠ 86 = 222 mod 136
m=137: 177 mod 137 = 40 ≠ 85 = 222 mod 137
m=138: 177 mod 138 = 39 ≠ 84 = 222 mod 138
m=139: 177 mod 139 = 38 ≠ 83 = 222 mod 139
m=140: 177 mod 140 = 37 ≠ 82 = 222 mod 140
m=141: 177 mod 141 = 36 ≠ 81 = 222 mod 141
m=142: 177 mod 142 = 35 ≠ 80 = 222 mod 142
m=143: 177 mod 143 = 34 ≠ 79 = 222 mod 143
m=144: 177 mod 144 = 33 ≠ 78 = 222 mod 144
m=145: 177 mod 145 = 32 ≠ 77 = 222 mod 145
m=146: 177 mod 146 = 31 ≠ 76 = 222 mod 146
m=147: 177 mod 147 = 30 ≠ 75 = 222 mod 147
m=148: 177 mod 148 = 29 ≠ 74 = 222 mod 148
m=149: 177 mod 149 = 28 ≠ 73 = 222 mod 149
m=150: 177 mod 150 = 27 ≠ 72 = 222 mod 150
m=151: 177 mod 151 = 26 ≠ 71 = 222 mod 151
m=152: 177 mod 152 = 25 ≠ 70 = 222 mod 152
m=153: 177 mod 153 = 24 ≠ 69 = 222 mod 153
m=154: 177 mod 154 = 23 ≠ 68 = 222 mod 154
m=155: 177 mod 155 = 22 ≠ 67 = 222 mod 155
m=156: 177 mod 156 = 21 ≠ 66 = 222 mod 156
m=157: 177 mod 157 = 20 ≠ 65 = 222 mod 157
m=158: 177 mod 158 = 19 ≠ 64 = 222 mod 158
m=159: 177 mod 159 = 18 ≠ 63 = 222 mod 159
m=160: 177 mod 160 = 17 ≠ 62 = 222 mod 160
m=161: 177 mod 161 = 16 ≠ 61 = 222 mod 161
m=162: 177 mod 162 = 15 ≠ 60 = 222 mod 162
m=163: 177 mod 163 = 14 ≠ 59 = 222 mod 163
m=164: 177 mod 164 = 13 ≠ 58 = 222 mod 164
m=165: 177 mod 165 = 12 ≠ 57 = 222 mod 165
m=166: 177 mod 166 = 11 ≠ 56 = 222 mod 166
m=167: 177 mod 167 = 10 ≠ 55 = 222 mod 167
m=168: 177 mod 168 = 9 ≠ 54 = 222 mod 168
m=169: 177 mod 169 = 8 ≠ 53 = 222 mod 169
m=170: 177 mod 170 = 7 ≠ 52 = 222 mod 170
m=171: 177 mod 171 = 6 ≠ 51 = 222 mod 171
m=172: 177 mod 172 = 5 ≠ 50 = 222 mod 172
m=173: 177 mod 173 = 4 ≠ 49 = 222 mod 173
m=174: 177 mod 174 = 3 ≠ 48 = 222 mod 174
m=175: 177 mod 175 = 2 ≠ 47 = 222 mod 175
m=176: 177 mod 176 = 1 ≠ 46 = 222 mod 176
m=177: 177 mod 177 = 0 ≠ 45 = 222 mod 177
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (222 - 177) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45