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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 100 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 100 - 96 = 4.

Somit gilt: 100 mod 6 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 34 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.

Somit gilt: 34 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 34 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35005 + 349) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35005 + 349) mod 7 ≡ (35005 mod 7 + 349 mod 7) mod 7.

35005 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35005 = 35000+5 = 7 ⋅ 5000 +5.

349 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 349 = 350-1 = 7 ⋅ 50 -1 = 7 ⋅ 50 - 7 + 6.

Somit gilt:

(35005 + 349) mod 7 ≡ (5 + 6) mod 7 ≡ 11 mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (51 ⋅ 29) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(51 ⋅ 29) mod 4 ≡ (51 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.

51 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 48 + 3 = 12 ⋅ 4 + 3 ist.

29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(51 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 36 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 ≠ 0 = 36 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 0 = 36 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 0 = 36 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 = 0 = 36 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 0 = 36 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 12 = 36 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 11 = 36 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 10 = 36 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 9 = 36 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 27) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9