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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 22 = 10.
Somit gilt: 32 mod 11 ≡ 10.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 70 für die gilt n ≡ 73 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 70 = 3.
Somit gilt: 73 mod 10 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 70 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 6 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.
Somit gilt: 63 ≡ 73 ≡ 3 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (152 - 158) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(152 - 158) mod 8 ≡ (152 mod 8 - 158 mod 8) mod 8.
152 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 152
= 160
158 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158
= 160
Somit gilt:
(152 - 158) mod 8 ≡ (0 - 6) mod 8 ≡ -6 mod 8 ≡ 2 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 55) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 55) mod 5 ≡ (16 mod 5 ⋅ 55 mod 5) mod 5.
16 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 15 + 1 = 3 ⋅ 5 + 1 ist.
55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 11 ⋅ 5 + 0 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 55) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:
m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2
m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3
m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4
m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5
m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6
m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7
m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8
m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9
m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10
m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11
m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12
m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13
m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14
m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15
m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16
m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17
m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
