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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 14 = 1.

Somit gilt: 15 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 42 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 42 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (14999 - 6002) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(14999 - 6002) mod 3 ≡ (14999 mod 3 - 6002 mod 3) mod 3.

14999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14999 = 15000-1 = 3 ⋅ 5000 -1 = 3 ⋅ 5000 - 3 + 2.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(14999 - 6002) mod 3 ≡ (2 - 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 74) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 74) mod 4 ≡ (98 mod 4 ⋅ 74 mod 4) mod 4.

98 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 24 ⋅ 4 + 2 ist.

74 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 72 + 2 = 18 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 74) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 42 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 42 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 42 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 42 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 2 = 42 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 ≠ 2 = 42 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 42 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 0 = 42 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 2 = 42 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 = 6 = 42 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 2 = 42 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 9 = 42 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 6 = 42 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 3 = 42 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 0 = 42 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 12 = 42 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 10 = 42 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 8 = 42 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 6 = 42 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 4 = 42 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 2 = 42 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 0 = 42 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 20 = 42 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 19 = 42 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 18 = 42 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 17 = 42 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 16 = 42 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 15 = 42 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 14 = 42 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 13 = 42 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 12 = 42 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 11 = 42 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 10 = 42 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 9 = 42 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (42 - 33) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9