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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 38 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 38 - 30 = 8.

Somit gilt: 38 mod 10 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 26 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 20 = 6.

Somit gilt: 26 mod 10 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 6 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 6 mod 10 sein, also addieren wir noch 6 auf die 70 und erhalten so 76.

Somit gilt: 76 ≡ 26 ≡ 6 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (295 + 11997) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(295 + 11997) mod 6 ≡ (295 mod 6 + 11997 mod 6) mod 6.

295 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 295 = 300-5 = 6 ⋅ 50 -5 = 6 ⋅ 50 - 6 + 1.

11997 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11997 = 12000-3 = 6 ⋅ 2000 -3 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 3.

Somit gilt:

(295 + 11997) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 22) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 22) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 22 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

22 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 7 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 22) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
205 mod m = 280 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 205 aus, ob zufällig 205 mod m = 280 mod m gilt:

m=2: 205 mod 2 = 1 ≠ 0 = 280 mod 2

m=3: 205 mod 3 = 1 = 1 = 280 mod 3

m=4: 205 mod 4 = 1 ≠ 0 = 280 mod 4

m=5: 205 mod 5 = 0 = 0 = 280 mod 5

m=6: 205 mod 6 = 1 ≠ 4 = 280 mod 6

m=7: 205 mod 7 = 2 ≠ 0 = 280 mod 7

m=8: 205 mod 8 = 5 ≠ 0 = 280 mod 8

m=9: 205 mod 9 = 7 ≠ 1 = 280 mod 9

m=10: 205 mod 10 = 5 ≠ 0 = 280 mod 10

m=11: 205 mod 11 = 7 ≠ 5 = 280 mod 11

m=12: 205 mod 12 = 1 ≠ 4 = 280 mod 12

m=13: 205 mod 13 = 10 ≠ 7 = 280 mod 13

m=14: 205 mod 14 = 9 ≠ 0 = 280 mod 14

m=15: 205 mod 15 = 10 = 10 = 280 mod 15

m=16: 205 mod 16 = 13 ≠ 8 = 280 mod 16

m=17: 205 mod 17 = 1 ≠ 8 = 280 mod 17

m=18: 205 mod 18 = 7 ≠ 10 = 280 mod 18

m=19: 205 mod 19 = 15 ≠ 14 = 280 mod 19

m=20: 205 mod 20 = 5 ≠ 0 = 280 mod 20

m=21: 205 mod 21 = 16 ≠ 7 = 280 mod 21

m=22: 205 mod 22 = 7 ≠ 16 = 280 mod 22

m=23: 205 mod 23 = 21 ≠ 4 = 280 mod 23

m=24: 205 mod 24 = 13 ≠ 16 = 280 mod 24

m=25: 205 mod 25 = 5 = 5 = 280 mod 25

m=26: 205 mod 26 = 23 ≠ 20 = 280 mod 26

m=27: 205 mod 27 = 16 ≠ 10 = 280 mod 27

m=28: 205 mod 28 = 9 ≠ 0 = 280 mod 28

m=29: 205 mod 29 = 2 ≠ 19 = 280 mod 29

m=30: 205 mod 30 = 25 ≠ 10 = 280 mod 30

m=31: 205 mod 31 = 19 ≠ 1 = 280 mod 31

m=32: 205 mod 32 = 13 ≠ 24 = 280 mod 32

m=33: 205 mod 33 = 7 ≠ 16 = 280 mod 33

m=34: 205 mod 34 = 1 ≠ 8 = 280 mod 34

m=35: 205 mod 35 = 30 ≠ 0 = 280 mod 35

m=36: 205 mod 36 = 25 ≠ 28 = 280 mod 36

m=37: 205 mod 37 = 20 ≠ 21 = 280 mod 37

m=38: 205 mod 38 = 15 ≠ 14 = 280 mod 38

m=39: 205 mod 39 = 10 ≠ 7 = 280 mod 39

m=40: 205 mod 40 = 5 ≠ 0 = 280 mod 40

m=41: 205 mod 41 = 0 ≠ 34 = 280 mod 41

m=42: 205 mod 42 = 37 ≠ 28 = 280 mod 42

m=43: 205 mod 43 = 33 ≠ 22 = 280 mod 43

m=44: 205 mod 44 = 29 ≠ 16 = 280 mod 44

m=45: 205 mod 45 = 25 ≠ 10 = 280 mod 45

m=46: 205 mod 46 = 21 ≠ 4 = 280 mod 46

m=47: 205 mod 47 = 17 ≠ 45 = 280 mod 47

m=48: 205 mod 48 = 13 ≠ 40 = 280 mod 48

m=49: 205 mod 49 = 9 ≠ 35 = 280 mod 49

m=50: 205 mod 50 = 5 ≠ 30 = 280 mod 50

m=51: 205 mod 51 = 1 ≠ 25 = 280 mod 51

m=52: 205 mod 52 = 49 ≠ 20 = 280 mod 52

m=53: 205 mod 53 = 46 ≠ 15 = 280 mod 53

m=54: 205 mod 54 = 43 ≠ 10 = 280 mod 54

m=55: 205 mod 55 = 40 ≠ 5 = 280 mod 55

m=56: 205 mod 56 = 37 ≠ 0 = 280 mod 56

m=57: 205 mod 57 = 34 ≠ 52 = 280 mod 57

m=58: 205 mod 58 = 31 ≠ 48 = 280 mod 58

m=59: 205 mod 59 = 28 ≠ 44 = 280 mod 59

m=60: 205 mod 60 = 25 ≠ 40 = 280 mod 60

m=61: 205 mod 61 = 22 ≠ 36 = 280 mod 61

m=62: 205 mod 62 = 19 ≠ 32 = 280 mod 62

m=63: 205 mod 63 = 16 ≠ 28 = 280 mod 63

m=64: 205 mod 64 = 13 ≠ 24 = 280 mod 64

m=65: 205 mod 65 = 10 ≠ 20 = 280 mod 65

m=66: 205 mod 66 = 7 ≠ 16 = 280 mod 66

m=67: 205 mod 67 = 4 ≠ 12 = 280 mod 67

m=68: 205 mod 68 = 1 ≠ 8 = 280 mod 68

m=69: 205 mod 69 = 67 ≠ 4 = 280 mod 69

m=70: 205 mod 70 = 65 ≠ 0 = 280 mod 70

m=71: 205 mod 71 = 63 ≠ 67 = 280 mod 71

m=72: 205 mod 72 = 61 ≠ 64 = 280 mod 72

m=73: 205 mod 73 = 59 ≠ 61 = 280 mod 73

m=74: 205 mod 74 = 57 ≠ 58 = 280 mod 74

m=75: 205 mod 75 = 55 = 55 = 280 mod 75

m=76: 205 mod 76 = 53 ≠ 52 = 280 mod 76

m=77: 205 mod 77 = 51 ≠ 49 = 280 mod 77

m=78: 205 mod 78 = 49 ≠ 46 = 280 mod 78

m=79: 205 mod 79 = 47 ≠ 43 = 280 mod 79

m=80: 205 mod 80 = 45 ≠ 40 = 280 mod 80

m=81: 205 mod 81 = 43 ≠ 37 = 280 mod 81

m=82: 205 mod 82 = 41 ≠ 34 = 280 mod 82

m=83: 205 mod 83 = 39 ≠ 31 = 280 mod 83

m=84: 205 mod 84 = 37 ≠ 28 = 280 mod 84

m=85: 205 mod 85 = 35 ≠ 25 = 280 mod 85

m=86: 205 mod 86 = 33 ≠ 22 = 280 mod 86

m=87: 205 mod 87 = 31 ≠ 19 = 280 mod 87

m=88: 205 mod 88 = 29 ≠ 16 = 280 mod 88

m=89: 205 mod 89 = 27 ≠ 13 = 280 mod 89

m=90: 205 mod 90 = 25 ≠ 10 = 280 mod 90

m=91: 205 mod 91 = 23 ≠ 7 = 280 mod 91

m=92: 205 mod 92 = 21 ≠ 4 = 280 mod 92

m=93: 205 mod 93 = 19 ≠ 1 = 280 mod 93

m=94: 205 mod 94 = 17 ≠ 92 = 280 mod 94

m=95: 205 mod 95 = 15 ≠ 90 = 280 mod 95

m=96: 205 mod 96 = 13 ≠ 88 = 280 mod 96

m=97: 205 mod 97 = 11 ≠ 86 = 280 mod 97

m=98: 205 mod 98 = 9 ≠ 84 = 280 mod 98

m=99: 205 mod 99 = 7 ≠ 82 = 280 mod 99

m=100: 205 mod 100 = 5 ≠ 80 = 280 mod 100

m=101: 205 mod 101 = 3 ≠ 78 = 280 mod 101

m=102: 205 mod 102 = 1 ≠ 76 = 280 mod 102

m=103: 205 mod 103 = 102 ≠ 74 = 280 mod 103

m=104: 205 mod 104 = 101 ≠ 72 = 280 mod 104

m=105: 205 mod 105 = 100 ≠ 70 = 280 mod 105

m=106: 205 mod 106 = 99 ≠ 68 = 280 mod 106

m=107: 205 mod 107 = 98 ≠ 66 = 280 mod 107

m=108: 205 mod 108 = 97 ≠ 64 = 280 mod 108

m=109: 205 mod 109 = 96 ≠ 62 = 280 mod 109

m=110: 205 mod 110 = 95 ≠ 60 = 280 mod 110

m=111: 205 mod 111 = 94 ≠ 58 = 280 mod 111

m=112: 205 mod 112 = 93 ≠ 56 = 280 mod 112

m=113: 205 mod 113 = 92 ≠ 54 = 280 mod 113

m=114: 205 mod 114 = 91 ≠ 52 = 280 mod 114

m=115: 205 mod 115 = 90 ≠ 50 = 280 mod 115

m=116: 205 mod 116 = 89 ≠ 48 = 280 mod 116

m=117: 205 mod 117 = 88 ≠ 46 = 280 mod 117

m=118: 205 mod 118 = 87 ≠ 44 = 280 mod 118

m=119: 205 mod 119 = 86 ≠ 42 = 280 mod 119

m=120: 205 mod 120 = 85 ≠ 40 = 280 mod 120

m=121: 205 mod 121 = 84 ≠ 38 = 280 mod 121

m=122: 205 mod 122 = 83 ≠ 36 = 280 mod 122

m=123: 205 mod 123 = 82 ≠ 34 = 280 mod 123

m=124: 205 mod 124 = 81 ≠ 32 = 280 mod 124

m=125: 205 mod 125 = 80 ≠ 30 = 280 mod 125

m=126: 205 mod 126 = 79 ≠ 28 = 280 mod 126

m=127: 205 mod 127 = 78 ≠ 26 = 280 mod 127

m=128: 205 mod 128 = 77 ≠ 24 = 280 mod 128

m=129: 205 mod 129 = 76 ≠ 22 = 280 mod 129

m=130: 205 mod 130 = 75 ≠ 20 = 280 mod 130

m=131: 205 mod 131 = 74 ≠ 18 = 280 mod 131

m=132: 205 mod 132 = 73 ≠ 16 = 280 mod 132

m=133: 205 mod 133 = 72 ≠ 14 = 280 mod 133

m=134: 205 mod 134 = 71 ≠ 12 = 280 mod 134

m=135: 205 mod 135 = 70 ≠ 10 = 280 mod 135

m=136: 205 mod 136 = 69 ≠ 8 = 280 mod 136

m=137: 205 mod 137 = 68 ≠ 6 = 280 mod 137

m=138: 205 mod 138 = 67 ≠ 4 = 280 mod 138

m=139: 205 mod 139 = 66 ≠ 2 = 280 mod 139

m=140: 205 mod 140 = 65 ≠ 0 = 280 mod 140

m=141: 205 mod 141 = 64 ≠ 139 = 280 mod 141

m=142: 205 mod 142 = 63 ≠ 138 = 280 mod 142

m=143: 205 mod 143 = 62 ≠ 137 = 280 mod 143

m=144: 205 mod 144 = 61 ≠ 136 = 280 mod 144

m=145: 205 mod 145 = 60 ≠ 135 = 280 mod 145

m=146: 205 mod 146 = 59 ≠ 134 = 280 mod 146

m=147: 205 mod 147 = 58 ≠ 133 = 280 mod 147

m=148: 205 mod 148 = 57 ≠ 132 = 280 mod 148

m=149: 205 mod 149 = 56 ≠ 131 = 280 mod 149

m=150: 205 mod 150 = 55 ≠ 130 = 280 mod 150

m=151: 205 mod 151 = 54 ≠ 129 = 280 mod 151

m=152: 205 mod 152 = 53 ≠ 128 = 280 mod 152

m=153: 205 mod 153 = 52 ≠ 127 = 280 mod 153

m=154: 205 mod 154 = 51 ≠ 126 = 280 mod 154

m=155: 205 mod 155 = 50 ≠ 125 = 280 mod 155

m=156: 205 mod 156 = 49 ≠ 124 = 280 mod 156

m=157: 205 mod 157 = 48 ≠ 123 = 280 mod 157

m=158: 205 mod 158 = 47 ≠ 122 = 280 mod 158

m=159: 205 mod 159 = 46 ≠ 121 = 280 mod 159

m=160: 205 mod 160 = 45 ≠ 120 = 280 mod 160

m=161: 205 mod 161 = 44 ≠ 119 = 280 mod 161

m=162: 205 mod 162 = 43 ≠ 118 = 280 mod 162

m=163: 205 mod 163 = 42 ≠ 117 = 280 mod 163

m=164: 205 mod 164 = 41 ≠ 116 = 280 mod 164

m=165: 205 mod 165 = 40 ≠ 115 = 280 mod 165

m=166: 205 mod 166 = 39 ≠ 114 = 280 mod 166

m=167: 205 mod 167 = 38 ≠ 113 = 280 mod 167

m=168: 205 mod 168 = 37 ≠ 112 = 280 mod 168

m=169: 205 mod 169 = 36 ≠ 111 = 280 mod 169

m=170: 205 mod 170 = 35 ≠ 110 = 280 mod 170

m=171: 205 mod 171 = 34 ≠ 109 = 280 mod 171

m=172: 205 mod 172 = 33 ≠ 108 = 280 mod 172

m=173: 205 mod 173 = 32 ≠ 107 = 280 mod 173

m=174: 205 mod 174 = 31 ≠ 106 = 280 mod 174

m=175: 205 mod 175 = 30 ≠ 105 = 280 mod 175

m=176: 205 mod 176 = 29 ≠ 104 = 280 mod 176

m=177: 205 mod 177 = 28 ≠ 103 = 280 mod 177

m=178: 205 mod 178 = 27 ≠ 102 = 280 mod 178

m=179: 205 mod 179 = 26 ≠ 101 = 280 mod 179

m=180: 205 mod 180 = 25 ≠ 100 = 280 mod 180

m=181: 205 mod 181 = 24 ≠ 99 = 280 mod 181

m=182: 205 mod 182 = 23 ≠ 98 = 280 mod 182

m=183: 205 mod 183 = 22 ≠ 97 = 280 mod 183

m=184: 205 mod 184 = 21 ≠ 96 = 280 mod 184

m=185: 205 mod 185 = 20 ≠ 95 = 280 mod 185

m=186: 205 mod 186 = 19 ≠ 94 = 280 mod 186

m=187: 205 mod 187 = 18 ≠ 93 = 280 mod 187

m=188: 205 mod 188 = 17 ≠ 92 = 280 mod 188

m=189: 205 mod 189 = 16 ≠ 91 = 280 mod 189

m=190: 205 mod 190 = 15 ≠ 90 = 280 mod 190

m=191: 205 mod 191 = 14 ≠ 89 = 280 mod 191

m=192: 205 mod 192 = 13 ≠ 88 = 280 mod 192

m=193: 205 mod 193 = 12 ≠ 87 = 280 mod 193

m=194: 205 mod 194 = 11 ≠ 86 = 280 mod 194

m=195: 205 mod 195 = 10 ≠ 85 = 280 mod 195

m=196: 205 mod 196 = 9 ≠ 84 = 280 mod 196

m=197: 205 mod 197 = 8 ≠ 83 = 280 mod 197

m=198: 205 mod 198 = 7 ≠ 82 = 280 mod 198

m=199: 205 mod 199 = 6 ≠ 81 = 280 mod 199

m=200: 205 mod 200 = 5 ≠ 80 = 280 mod 200

m=201: 205 mod 201 = 4 ≠ 79 = 280 mod 201

m=202: 205 mod 202 = 3 ≠ 78 = 280 mod 202

m=203: 205 mod 203 = 2 ≠ 77 = 280 mod 203

m=204: 205 mod 204 = 1 ≠ 76 = 280 mod 204

m=205: 205 mod 205 = 0 ≠ 75 = 280 mod 205

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (280 - 205) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75