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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 60, weil ja 20 ⋅ 3 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 55 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 48 = 7.

Somit gilt: 55 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 40 und erhalten so 47.

Somit gilt: 47 ≡ 55 ≡ 7 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (250 + 2004) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(250 + 2004) mod 5 ≡ (250 mod 5 + 2004 mod 5) mod 5.

250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250 = 250+0 = 5 ⋅ 50 +0.

2004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2004 = 2000+4 = 5 ⋅ 400 +4.

Somit gilt:

(250 + 2004) mod 5 ≡ (0 + 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 91) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 91) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 91 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

91 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 22 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 91) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
48 mod m = 63 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 48 aus, ob zufällig 48 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 48 mod 2 = 0 ≠ 1 = 63 mod 2

m=3: 48 mod 3 = 0 = 0 = 63 mod 3

m=4: 48 mod 4 = 0 ≠ 3 = 63 mod 4

m=5: 48 mod 5 = 3 = 3 = 63 mod 5

m=6: 48 mod 6 = 0 ≠ 3 = 63 mod 6

m=7: 48 mod 7 = 6 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 48 mod 8 = 0 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 48 mod 9 = 3 ≠ 0 = 63 mod 9

m=10: 48 mod 10 = 8 ≠ 3 = 63 mod 10

m=11: 48 mod 11 = 4 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 48 mod 12 = 0 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 48 mod 13 = 9 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 48 mod 14 = 6 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 48 mod 15 = 3 = 3 = 63 mod 15

m=16: 48 mod 16 = 0 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 48 mod 17 = 14 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 48 mod 18 = 12 ≠ 9 = 63 mod 18

m=19: 48 mod 19 = 10 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 48 mod 20 = 8 ≠ 3 = 63 mod 20

m=21: 48 mod 21 = 6 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 48 mod 22 = 4 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 48 mod 23 = 2 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 48 mod 24 = 0 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 48 mod 25 = 23 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 48 mod 26 = 22 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 48 mod 27 = 21 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 48 mod 28 = 20 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 48 mod 29 = 19 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 48 mod 30 = 18 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 48 mod 31 = 17 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 48 mod 32 = 16 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 48 mod 33 = 15 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 48 mod 34 = 14 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 48 mod 35 = 13 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 48 mod 36 = 12 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 48 mod 37 = 11 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 48 mod 38 = 10 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 48 mod 39 = 9 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 48 mod 40 = 8 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 48 mod 41 = 7 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 48 mod 42 = 6 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 48 mod 43 = 5 ≠ 20 = 63 mod 43

m=44: 48 mod 44 = 4 ≠ 19 = 63 mod 44

m=45: 48 mod 45 = 3 ≠ 18 = 63 mod 45

m=46: 48 mod 46 = 2 ≠ 17 = 63 mod 46

m=47: 48 mod 47 = 1 ≠ 16 = 63 mod 47

m=48: 48 mod 48 = 0 ≠ 15 = 63 mod 48

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 48) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15