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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 27 = 5.

Somit gilt: 32 mod 9 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 54 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 4 ⋅ 3

Somit gilt: 12 ≡ 54 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21001 + 34993) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21001 + 34993) mod 7 ≡ (21001 mod 7 + 34993 mod 7) mod 7.

21001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21001 = 21000+1 = 7 ⋅ 3000 +1.

34993 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34993 = 35000-7 = 7 ⋅ 5000 -7 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 0.

Somit gilt:

(21001 + 34993) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 31) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 31) mod 3 ≡ (24 mod 3 ⋅ 31 mod 3) mod 3.

24 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 24 + 0 = 8 ⋅ 3 + 0 ist.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 10 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 31) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 40 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 1 = 40 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 40 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 = 0 = 40 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 10 = 40 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 30) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10