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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.
Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 24 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 18 = 6.
Somit gilt: 24 mod 9 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.
Somit gilt: 15 ≡ 24 ≡ 6 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (71 + 35001) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(71 + 35001) mod 7 ≡ (71 mod 7 + 35001 mod 7) mod 7.
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71
= 70
35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001
= 35000
Somit gilt:
(71 + 35001) mod 7 ≡ (1 + 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 71) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.
79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.
71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3
m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4
m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6
m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8
m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4; 8
