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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 9 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 69 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 64 = 5.

Somit gilt: 69 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 40 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 69 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3603 - 891) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3603 - 891) mod 9 ≡ (3603 mod 9 - 891 mod 9) mod 9.

3603 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3603 = 3600+3 = 9 ⋅ 400 +3.

891 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 891 = 900-9 = 9 ⋅ 100 -9 = 9 ⋅ 100 - 9 + 0.

Somit gilt:

(3603 - 891) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (93 ⋅ 98) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(93 ⋅ 98) mod 6 ≡ (93 mod 6 ⋅ 98 mod 6) mod 6.

93 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 15 ⋅ 6 + 3 ist.

98 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 96 + 2 = 16 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(93 ⋅ 98) mod 6 ≡ (3 ⋅ 2) mod 6 ≡ 6 mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 27 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9