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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 51 für die gilt n ≡ 59 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 55 = 4.

Somit gilt: 59 mod 11 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 4 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 4 mod 11 sein, also addieren wir noch 4 auf die 44 und erhalten so 48.

Somit gilt: 48 ≡ 59 ≡ 4 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18007 + 900) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18007 + 900) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 900 mod 9) mod 9.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(18007 + 900) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 64) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 64) mod 5 ≡ (62 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

62 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 12 ⋅ 5 + 2 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 64) mod 5 ≡ (2 ⋅ 4) mod 5 ≡ 8 mod 5 ≡ 3 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6