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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 89 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 87 = 2.

Somit gilt: 89 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 18 = 6 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 18 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 89 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (196 + 198) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(196 + 198) mod 4 ≡ (196 mod 4 + 198 mod 4) mod 4.

196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 196 = 200-4 = 4 ⋅ 50 -4 = 4 ⋅ 50 - 4 + 0.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

Somit gilt:

(196 + 198) mod 4 ≡ (0 + 2) mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 40) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 40) mod 6 ≡ (46 mod 6 ⋅ 40 mod 6) mod 6.

46 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 42 + 4 = 7 ⋅ 6 + 4 ist.

40 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 36 + 4 = 6 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 40) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12