nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 87 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 77 = 10.

Somit gilt: 87 mod 11 ≡ 10.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 44 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.

Somit gilt: 44 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 77 = 7 ⋅ 11

Somit gilt: 77 ≡ 44 ≡ 0 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (704 + 6997) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(704 + 6997) mod 7 ≡ (704 mod 7 + 6997 mod 7) mod 7.

704 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 704 = 700+4 = 7 ⋅ 100 +4.

6997 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6997 = 7000-3 = 7 ⋅ 1000 -3 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 4.

Somit gilt:

(704 + 6997) mod 7 ≡ (4 + 4) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 46) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 46) mod 9 ≡ (34 mod 9 ⋅ 46 mod 9) mod 9.

34 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 27 + 7 = 3 ⋅ 9 + 7 ist.

46 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 5 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 46) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6