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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 53 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 49 = 4.

Somit gilt: 53 mod 7 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 69 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.

Somit gilt: 69 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 7 = 1 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 7 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 69 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (271 + 44999) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(271 + 44999) mod 9 ≡ (271 mod 9 + 44999 mod 9) mod 9.

271 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 271 = 270+1 = 9 ⋅ 30 +1.

44999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44999 = 45000-1 = 9 ⋅ 5000 -1 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 8.

Somit gilt:

(271 + 44999) mod 9 ≡ (1 + 8) mod 9 ≡ 9 mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 66) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 66) mod 6 ≡ (68 mod 6 ⋅ 66 mod 6) mod 6.

68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.

66 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 11 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 66) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4