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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 65 = 4.

Somit gilt: 69 mod 5 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 96 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 95 = 1.

Somit gilt: 96 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 50 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 96 ≡ 1 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19997 + 120) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19997 + 120) mod 4 ≡ (19997 mod 4 + 120 mod 4) mod 4.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

120 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 4 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(19997 + 120) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 ⋅ 53) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 ⋅ 53) mod 9 ≡ (98 mod 9 ⋅ 53 mod 9) mod 9.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

53 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 45 + 8 = 5 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(98 ⋅ 53) mod 9 ≡ (8 ⋅ 8) mod 9 ≡ 64 mod 9 ≡ 1 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
169 mod m = 219 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 169 aus, ob zufällig 169 mod m = 219 mod m gilt:

m=2: 169 mod 2 = 1 = 1 = 219 mod 2

m=3: 169 mod 3 = 1 ≠ 0 = 219 mod 3

m=4: 169 mod 4 = 1 ≠ 3 = 219 mod 4

m=5: 169 mod 5 = 4 = 4 = 219 mod 5

m=6: 169 mod 6 = 1 ≠ 3 = 219 mod 6

m=7: 169 mod 7 = 1 ≠ 2 = 219 mod 7

m=8: 169 mod 8 = 1 ≠ 3 = 219 mod 8

m=9: 169 mod 9 = 7 ≠ 3 = 219 mod 9

m=10: 169 mod 10 = 9 = 9 = 219 mod 10

m=11: 169 mod 11 = 4 ≠ 10 = 219 mod 11

m=12: 169 mod 12 = 1 ≠ 3 = 219 mod 12

m=13: 169 mod 13 = 0 ≠ 11 = 219 mod 13

m=14: 169 mod 14 = 1 ≠ 9 = 219 mod 14

m=15: 169 mod 15 = 4 ≠ 9 = 219 mod 15

m=16: 169 mod 16 = 9 ≠ 11 = 219 mod 16

m=17: 169 mod 17 = 16 ≠ 15 = 219 mod 17

m=18: 169 mod 18 = 7 ≠ 3 = 219 mod 18

m=19: 169 mod 19 = 17 ≠ 10 = 219 mod 19

m=20: 169 mod 20 = 9 ≠ 19 = 219 mod 20

m=21: 169 mod 21 = 1 ≠ 9 = 219 mod 21

m=22: 169 mod 22 = 15 ≠ 21 = 219 mod 22

m=23: 169 mod 23 = 8 ≠ 12 = 219 mod 23

m=24: 169 mod 24 = 1 ≠ 3 = 219 mod 24

m=25: 169 mod 25 = 19 = 19 = 219 mod 25

m=26: 169 mod 26 = 13 ≠ 11 = 219 mod 26

m=27: 169 mod 27 = 7 ≠ 3 = 219 mod 27

m=28: 169 mod 28 = 1 ≠ 23 = 219 mod 28

m=29: 169 mod 29 = 24 ≠ 16 = 219 mod 29

m=30: 169 mod 30 = 19 ≠ 9 = 219 mod 30

m=31: 169 mod 31 = 14 ≠ 2 = 219 mod 31

m=32: 169 mod 32 = 9 ≠ 27 = 219 mod 32

m=33: 169 mod 33 = 4 ≠ 21 = 219 mod 33

m=34: 169 mod 34 = 33 ≠ 15 = 219 mod 34

m=35: 169 mod 35 = 29 ≠ 9 = 219 mod 35

m=36: 169 mod 36 = 25 ≠ 3 = 219 mod 36

m=37: 169 mod 37 = 21 ≠ 34 = 219 mod 37

m=38: 169 mod 38 = 17 ≠ 29 = 219 mod 38

m=39: 169 mod 39 = 13 ≠ 24 = 219 mod 39

m=40: 169 mod 40 = 9 ≠ 19 = 219 mod 40

m=41: 169 mod 41 = 5 ≠ 14 = 219 mod 41

m=42: 169 mod 42 = 1 ≠ 9 = 219 mod 42

m=43: 169 mod 43 = 40 ≠ 4 = 219 mod 43

m=44: 169 mod 44 = 37 ≠ 43 = 219 mod 44

m=45: 169 mod 45 = 34 ≠ 39 = 219 mod 45

m=46: 169 mod 46 = 31 ≠ 35 = 219 mod 46

m=47: 169 mod 47 = 28 ≠ 31 = 219 mod 47

m=48: 169 mod 48 = 25 ≠ 27 = 219 mod 48

m=49: 169 mod 49 = 22 ≠ 23 = 219 mod 49

m=50: 169 mod 50 = 19 = 19 = 219 mod 50

m=51: 169 mod 51 = 16 ≠ 15 = 219 mod 51

m=52: 169 mod 52 = 13 ≠ 11 = 219 mod 52

m=53: 169 mod 53 = 10 ≠ 7 = 219 mod 53

m=54: 169 mod 54 = 7 ≠ 3 = 219 mod 54

m=55: 169 mod 55 = 4 ≠ 54 = 219 mod 55

m=56: 169 mod 56 = 1 ≠ 51 = 219 mod 56

m=57: 169 mod 57 = 55 ≠ 48 = 219 mod 57

m=58: 169 mod 58 = 53 ≠ 45 = 219 mod 58

m=59: 169 mod 59 = 51 ≠ 42 = 219 mod 59

m=60: 169 mod 60 = 49 ≠ 39 = 219 mod 60

m=61: 169 mod 61 = 47 ≠ 36 = 219 mod 61

m=62: 169 mod 62 = 45 ≠ 33 = 219 mod 62

m=63: 169 mod 63 = 43 ≠ 30 = 219 mod 63

m=64: 169 mod 64 = 41 ≠ 27 = 219 mod 64

m=65: 169 mod 65 = 39 ≠ 24 = 219 mod 65

m=66: 169 mod 66 = 37 ≠ 21 = 219 mod 66

m=67: 169 mod 67 = 35 ≠ 18 = 219 mod 67

m=68: 169 mod 68 = 33 ≠ 15 = 219 mod 68

m=69: 169 mod 69 = 31 ≠ 12 = 219 mod 69

m=70: 169 mod 70 = 29 ≠ 9 = 219 mod 70

m=71: 169 mod 71 = 27 ≠ 6 = 219 mod 71

m=72: 169 mod 72 = 25 ≠ 3 = 219 mod 72

m=73: 169 mod 73 = 23 ≠ 0 = 219 mod 73

m=74: 169 mod 74 = 21 ≠ 71 = 219 mod 74

m=75: 169 mod 75 = 19 ≠ 69 = 219 mod 75

m=76: 169 mod 76 = 17 ≠ 67 = 219 mod 76

m=77: 169 mod 77 = 15 ≠ 65 = 219 mod 77

m=78: 169 mod 78 = 13 ≠ 63 = 219 mod 78

m=79: 169 mod 79 = 11 ≠ 61 = 219 mod 79

m=80: 169 mod 80 = 9 ≠ 59 = 219 mod 80

m=81: 169 mod 81 = 7 ≠ 57 = 219 mod 81

m=82: 169 mod 82 = 5 ≠ 55 = 219 mod 82

m=83: 169 mod 83 = 3 ≠ 53 = 219 mod 83

m=84: 169 mod 84 = 1 ≠ 51 = 219 mod 84

m=85: 169 mod 85 = 84 ≠ 49 = 219 mod 85

m=86: 169 mod 86 = 83 ≠ 47 = 219 mod 86

m=87: 169 mod 87 = 82 ≠ 45 = 219 mod 87

m=88: 169 mod 88 = 81 ≠ 43 = 219 mod 88

m=89: 169 mod 89 = 80 ≠ 41 = 219 mod 89

m=90: 169 mod 90 = 79 ≠ 39 = 219 mod 90

m=91: 169 mod 91 = 78 ≠ 37 = 219 mod 91

m=92: 169 mod 92 = 77 ≠ 35 = 219 mod 92

m=93: 169 mod 93 = 76 ≠ 33 = 219 mod 93

m=94: 169 mod 94 = 75 ≠ 31 = 219 mod 94

m=95: 169 mod 95 = 74 ≠ 29 = 219 mod 95

m=96: 169 mod 96 = 73 ≠ 27 = 219 mod 96

m=97: 169 mod 97 = 72 ≠ 25 = 219 mod 97

m=98: 169 mod 98 = 71 ≠ 23 = 219 mod 98

m=99: 169 mod 99 = 70 ≠ 21 = 219 mod 99

m=100: 169 mod 100 = 69 ≠ 19 = 219 mod 100

m=101: 169 mod 101 = 68 ≠ 17 = 219 mod 101

m=102: 169 mod 102 = 67 ≠ 15 = 219 mod 102

m=103: 169 mod 103 = 66 ≠ 13 = 219 mod 103

m=104: 169 mod 104 = 65 ≠ 11 = 219 mod 104

m=105: 169 mod 105 = 64 ≠ 9 = 219 mod 105

m=106: 169 mod 106 = 63 ≠ 7 = 219 mod 106

m=107: 169 mod 107 = 62 ≠ 5 = 219 mod 107

m=108: 169 mod 108 = 61 ≠ 3 = 219 mod 108

m=109: 169 mod 109 = 60 ≠ 1 = 219 mod 109

m=110: 169 mod 110 = 59 ≠ 109 = 219 mod 110

m=111: 169 mod 111 = 58 ≠ 108 = 219 mod 111

m=112: 169 mod 112 = 57 ≠ 107 = 219 mod 112

m=113: 169 mod 113 = 56 ≠ 106 = 219 mod 113

m=114: 169 mod 114 = 55 ≠ 105 = 219 mod 114

m=115: 169 mod 115 = 54 ≠ 104 = 219 mod 115

m=116: 169 mod 116 = 53 ≠ 103 = 219 mod 116

m=117: 169 mod 117 = 52 ≠ 102 = 219 mod 117

m=118: 169 mod 118 = 51 ≠ 101 = 219 mod 118

m=119: 169 mod 119 = 50 ≠ 100 = 219 mod 119

m=120: 169 mod 120 = 49 ≠ 99 = 219 mod 120

m=121: 169 mod 121 = 48 ≠ 98 = 219 mod 121

m=122: 169 mod 122 = 47 ≠ 97 = 219 mod 122

m=123: 169 mod 123 = 46 ≠ 96 = 219 mod 123

m=124: 169 mod 124 = 45 ≠ 95 = 219 mod 124

m=125: 169 mod 125 = 44 ≠ 94 = 219 mod 125

m=126: 169 mod 126 = 43 ≠ 93 = 219 mod 126

m=127: 169 mod 127 = 42 ≠ 92 = 219 mod 127

m=128: 169 mod 128 = 41 ≠ 91 = 219 mod 128

m=129: 169 mod 129 = 40 ≠ 90 = 219 mod 129

m=130: 169 mod 130 = 39 ≠ 89 = 219 mod 130

m=131: 169 mod 131 = 38 ≠ 88 = 219 mod 131

m=132: 169 mod 132 = 37 ≠ 87 = 219 mod 132

m=133: 169 mod 133 = 36 ≠ 86 = 219 mod 133

m=134: 169 mod 134 = 35 ≠ 85 = 219 mod 134

m=135: 169 mod 135 = 34 ≠ 84 = 219 mod 135

m=136: 169 mod 136 = 33 ≠ 83 = 219 mod 136

m=137: 169 mod 137 = 32 ≠ 82 = 219 mod 137

m=138: 169 mod 138 = 31 ≠ 81 = 219 mod 138

m=139: 169 mod 139 = 30 ≠ 80 = 219 mod 139

m=140: 169 mod 140 = 29 ≠ 79 = 219 mod 140

m=141: 169 mod 141 = 28 ≠ 78 = 219 mod 141

m=142: 169 mod 142 = 27 ≠ 77 = 219 mod 142

m=143: 169 mod 143 = 26 ≠ 76 = 219 mod 143

m=144: 169 mod 144 = 25 ≠ 75 = 219 mod 144

m=145: 169 mod 145 = 24 ≠ 74 = 219 mod 145

m=146: 169 mod 146 = 23 ≠ 73 = 219 mod 146

m=147: 169 mod 147 = 22 ≠ 72 = 219 mod 147

m=148: 169 mod 148 = 21 ≠ 71 = 219 mod 148

m=149: 169 mod 149 = 20 ≠ 70 = 219 mod 149

m=150: 169 mod 150 = 19 ≠ 69 = 219 mod 150

m=151: 169 mod 151 = 18 ≠ 68 = 219 mod 151

m=152: 169 mod 152 = 17 ≠ 67 = 219 mod 152

m=153: 169 mod 153 = 16 ≠ 66 = 219 mod 153

m=154: 169 mod 154 = 15 ≠ 65 = 219 mod 154

m=155: 169 mod 155 = 14 ≠ 64 = 219 mod 155

m=156: 169 mod 156 = 13 ≠ 63 = 219 mod 156

m=157: 169 mod 157 = 12 ≠ 62 = 219 mod 157

m=158: 169 mod 158 = 11 ≠ 61 = 219 mod 158

m=159: 169 mod 159 = 10 ≠ 60 = 219 mod 159

m=160: 169 mod 160 = 9 ≠ 59 = 219 mod 160

m=161: 169 mod 161 = 8 ≠ 58 = 219 mod 161

m=162: 169 mod 162 = 7 ≠ 57 = 219 mod 162

m=163: 169 mod 163 = 6 ≠ 56 = 219 mod 163

m=164: 169 mod 164 = 5 ≠ 55 = 219 mod 164

m=165: 169 mod 165 = 4 ≠ 54 = 219 mod 165

m=166: 169 mod 166 = 3 ≠ 53 = 219 mod 166

m=167: 169 mod 167 = 2 ≠ 52 = 219 mod 167

m=168: 169 mod 168 = 1 ≠ 51 = 219 mod 168

m=169: 169 mod 169 = 0 ≠ 50 = 219 mod 169

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (219 - 169) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50