nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 23 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 16 = 7.

Somit gilt: 23 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 64 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 23 ≡ 7 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (354 + 706) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(354 + 706) mod 7 ≡ (354 mod 7 + 706 mod 7) mod 7.

354 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 354 = 350+4 = 7 ⋅ 50 +4.

706 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 706 = 700+6 = 7 ⋅ 100 +6.

Somit gilt:

(354 + 706) mod 7 ≡ (4 + 6) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 73) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 73) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 73 mod 7) mod 7.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.

73 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 10 ⋅ 7 + 3 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 73) mod 7 ≡ (0 ⋅ 3) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6