nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 33 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.

Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 60 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 60, weil ja 10 ⋅ 6 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 60 = 0.

Somit gilt: 60 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Somit gilt: 90 ≡ 60 ≡ 0 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1596 + 84) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1596 + 84) mod 4 ≡ (1596 mod 4 + 84 mod 4) mod 4.

1596 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1596 = 1500+96 = 4 ⋅ 375 +96.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80+4 = 4 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(1596 + 84) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 29) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 29) mod 6 ≡ (26 mod 6 ⋅ 29 mod 6) mod 6.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

29 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 4 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 29) mod 6 ≡ (2 ⋅ 5) mod 6 ≡ 10 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
51 mod m = 66 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 66 mod m gilt:

m=2: 51 mod 2 = 1 ≠ 0 = 66 mod 2

m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 66 mod 3

m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 2 = 66 mod 4

m=5: 51 mod 5 = 1 = 1 = 66 mod 5

m=6: 51 mod 6 = 3 ≠ 0 = 66 mod 6

m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 3 = 66 mod 7

m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 2 = 66 mod 8

m=9: 51 mod 9 = 6 ≠ 3 = 66 mod 9

m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 6 = 66 mod 10

m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 0 = 66 mod 11

m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 6 = 66 mod 12

m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 1 = 66 mod 13

m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 10 = 66 mod 14

m=15: 51 mod 15 = 6 = 6 = 66 mod 15

m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 2 = 66 mod 16

m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 15 = 66 mod 17

m=18: 51 mod 18 = 15 ≠ 12 = 66 mod 18

m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 9 = 66 mod 19

m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 6 = 66 mod 20

m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 3 = 66 mod 21

m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 0 = 66 mod 22

m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 20 = 66 mod 23

m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 18 = 66 mod 24

m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 16 = 66 mod 25

m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 14 = 66 mod 26

m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 12 = 66 mod 27

m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 10 = 66 mod 28

m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 8 = 66 mod 29

m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 6 = 66 mod 30

m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 4 = 66 mod 31

m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 2 = 66 mod 32

m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 0 = 66 mod 33

m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 32 = 66 mod 34

m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 31 = 66 mod 35

m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 30 = 66 mod 36

m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 29 = 66 mod 37

m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 28 = 66 mod 38

m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 27 = 66 mod 39

m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 26 = 66 mod 40

m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 25 = 66 mod 41

m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 24 = 66 mod 42

m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 23 = 66 mod 43

m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 22 = 66 mod 44

m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 21 = 66 mod 45

m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 20 = 66 mod 46

m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 19 = 66 mod 47

m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 18 = 66 mod 48

m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 17 = 66 mod 49

m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 16 = 66 mod 50

m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 15 = 66 mod 51

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (66 - 51) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15