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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 8 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 91 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 40 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 91 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 - 1196) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 - 1196) mod 4 ≡ (79 mod 4 - 1196 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 80-1 = 4 ⋅ 20 -1 = 4 ⋅ 20 - 4 + 3.

1196 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1100+96 = 4 ⋅ 275 +96.

Somit gilt:

(79 - 1196) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (52 ⋅ 64) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(52 ⋅ 64) mod 9 ≡ (52 mod 9 ⋅ 64 mod 9) mod 9.

52 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 45 + 7 = 5 ⋅ 9 + 7 ist.

64 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 63 + 1 = 7 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(52 ⋅ 64) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
84 mod m = 114 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 84 aus, ob zufällig 84 mod m = 114 mod m gilt:

m=2: 84 mod 2 = 0 = 0 = 114 mod 2

m=3: 84 mod 3 = 0 = 0 = 114 mod 3

m=4: 84 mod 4 = 0 ≠ 2 = 114 mod 4

m=5: 84 mod 5 = 4 = 4 = 114 mod 5

m=6: 84 mod 6 = 0 = 0 = 114 mod 6

m=7: 84 mod 7 = 0 ≠ 2 = 114 mod 7

m=8: 84 mod 8 = 4 ≠ 2 = 114 mod 8

m=9: 84 mod 9 = 3 ≠ 6 = 114 mod 9

m=10: 84 mod 10 = 4 = 4 = 114 mod 10

m=11: 84 mod 11 = 7 ≠ 4 = 114 mod 11

m=12: 84 mod 12 = 0 ≠ 6 = 114 mod 12

m=13: 84 mod 13 = 6 ≠ 10 = 114 mod 13

m=14: 84 mod 14 = 0 ≠ 2 = 114 mod 14

m=15: 84 mod 15 = 9 = 9 = 114 mod 15

m=16: 84 mod 16 = 4 ≠ 2 = 114 mod 16

m=17: 84 mod 17 = 16 ≠ 12 = 114 mod 17

m=18: 84 mod 18 = 12 ≠ 6 = 114 mod 18

m=19: 84 mod 19 = 8 ≠ 0 = 114 mod 19

m=20: 84 mod 20 = 4 ≠ 14 = 114 mod 20

m=21: 84 mod 21 = 0 ≠ 9 = 114 mod 21

m=22: 84 mod 22 = 18 ≠ 4 = 114 mod 22

m=23: 84 mod 23 = 15 ≠ 22 = 114 mod 23

m=24: 84 mod 24 = 12 ≠ 18 = 114 mod 24

m=25: 84 mod 25 = 9 ≠ 14 = 114 mod 25

m=26: 84 mod 26 = 6 ≠ 10 = 114 mod 26

m=27: 84 mod 27 = 3 ≠ 6 = 114 mod 27

m=28: 84 mod 28 = 0 ≠ 2 = 114 mod 28

m=29: 84 mod 29 = 26 ≠ 27 = 114 mod 29

m=30: 84 mod 30 = 24 = 24 = 114 mod 30

m=31: 84 mod 31 = 22 ≠ 21 = 114 mod 31

m=32: 84 mod 32 = 20 ≠ 18 = 114 mod 32

m=33: 84 mod 33 = 18 ≠ 15 = 114 mod 33

m=34: 84 mod 34 = 16 ≠ 12 = 114 mod 34

m=35: 84 mod 35 = 14 ≠ 9 = 114 mod 35

m=36: 84 mod 36 = 12 ≠ 6 = 114 mod 36

m=37: 84 mod 37 = 10 ≠ 3 = 114 mod 37

m=38: 84 mod 38 = 8 ≠ 0 = 114 mod 38

m=39: 84 mod 39 = 6 ≠ 36 = 114 mod 39

m=40: 84 mod 40 = 4 ≠ 34 = 114 mod 40

m=41: 84 mod 41 = 2 ≠ 32 = 114 mod 41

m=42: 84 mod 42 = 0 ≠ 30 = 114 mod 42

m=43: 84 mod 43 = 41 ≠ 28 = 114 mod 43

m=44: 84 mod 44 = 40 ≠ 26 = 114 mod 44

m=45: 84 mod 45 = 39 ≠ 24 = 114 mod 45

m=46: 84 mod 46 = 38 ≠ 22 = 114 mod 46

m=47: 84 mod 47 = 37 ≠ 20 = 114 mod 47

m=48: 84 mod 48 = 36 ≠ 18 = 114 mod 48

m=49: 84 mod 49 = 35 ≠ 16 = 114 mod 49

m=50: 84 mod 50 = 34 ≠ 14 = 114 mod 50

m=51: 84 mod 51 = 33 ≠ 12 = 114 mod 51

m=52: 84 mod 52 = 32 ≠ 10 = 114 mod 52

m=53: 84 mod 53 = 31 ≠ 8 = 114 mod 53

m=54: 84 mod 54 = 30 ≠ 6 = 114 mod 54

m=55: 84 mod 55 = 29 ≠ 4 = 114 mod 55

m=56: 84 mod 56 = 28 ≠ 2 = 114 mod 56

m=57: 84 mod 57 = 27 ≠ 0 = 114 mod 57

m=58: 84 mod 58 = 26 ≠ 56 = 114 mod 58

m=59: 84 mod 59 = 25 ≠ 55 = 114 mod 59

m=60: 84 mod 60 = 24 ≠ 54 = 114 mod 60

m=61: 84 mod 61 = 23 ≠ 53 = 114 mod 61

m=62: 84 mod 62 = 22 ≠ 52 = 114 mod 62

m=63: 84 mod 63 = 21 ≠ 51 = 114 mod 63

m=64: 84 mod 64 = 20 ≠ 50 = 114 mod 64

m=65: 84 mod 65 = 19 ≠ 49 = 114 mod 65

m=66: 84 mod 66 = 18 ≠ 48 = 114 mod 66

m=67: 84 mod 67 = 17 ≠ 47 = 114 mod 67

m=68: 84 mod 68 = 16 ≠ 46 = 114 mod 68

m=69: 84 mod 69 = 15 ≠ 45 = 114 mod 69

m=70: 84 mod 70 = 14 ≠ 44 = 114 mod 70

m=71: 84 mod 71 = 13 ≠ 43 = 114 mod 71

m=72: 84 mod 72 = 12 ≠ 42 = 114 mod 72

m=73: 84 mod 73 = 11 ≠ 41 = 114 mod 73

m=74: 84 mod 74 = 10 ≠ 40 = 114 mod 74

m=75: 84 mod 75 = 9 ≠ 39 = 114 mod 75

m=76: 84 mod 76 = 8 ≠ 38 = 114 mod 76

m=77: 84 mod 77 = 7 ≠ 37 = 114 mod 77

m=78: 84 mod 78 = 6 ≠ 36 = 114 mod 78

m=79: 84 mod 79 = 5 ≠ 35 = 114 mod 79

m=80: 84 mod 80 = 4 ≠ 34 = 114 mod 80

m=81: 84 mod 81 = 3 ≠ 33 = 114 mod 81

m=82: 84 mod 82 = 2 ≠ 32 = 114 mod 82

m=83: 84 mod 83 = 1 ≠ 31 = 114 mod 83

m=84: 84 mod 84 = 0 ≠ 30 = 114 mod 84

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (114 - 84) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30