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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 8 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 51 für die gilt n ≡ 99 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 99, weil ja 9 ⋅ 11 = 99 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 99 = 0.

Somit gilt: 99 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Somit gilt: 44 ≡ 99 ≡ 0 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 + 301) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 + 301) mod 3 ≡ (31 mod 3 + 301 mod 3) mod 3.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

301 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 301 = 300+1 = 3 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(31 + 301) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 39) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 39) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 39 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

39 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 4 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 39) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
9 mod m = 13 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 9 aus, ob zufällig 9 mod m = 13 mod m gilt:

m=2: 9 mod 2 = 1 = 1 = 13 mod 2

m=3: 9 mod 3 = 0 ≠ 1 = 13 mod 3

m=4: 9 mod 4 = 1 = 1 = 13 mod 4

m=5: 9 mod 5 = 4 ≠ 3 = 13 mod 5

m=6: 9 mod 6 = 3 ≠ 1 = 13 mod 6

m=7: 9 mod 7 = 2 ≠ 6 = 13 mod 7

m=8: 9 mod 8 = 1 ≠ 5 = 13 mod 8

m=9: 9 mod 9 = 0 ≠ 4 = 13 mod 9

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (13 - 9) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4