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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 9 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 87 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.

Somit gilt: 87 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 8 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 87 ≡ 7 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (996 + 252) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(996 + 252) mod 5 ≡ (996 mod 5 + 252 mod 5) mod 5.

996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 996 = 900+96 = 5 ⋅ 180 +96.

252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252 = 250+2 = 5 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(996 + 252) mod 5 ≡ (1 + 2) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 65) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 65) mod 6 ≡ (75 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

75 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 12 ⋅ 6 + 3 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 65) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 48 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 = 0 = 48 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 ≠ 3 = 48 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 = 0 = 48 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 = 0 = 48 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 3 = 48 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 15 = 48 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 14 = 48 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 13 = 48 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 12 = 48 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 36) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12