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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.
Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 30 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 30 - 24 = 6.
Somit gilt: 30 mod 8 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 5 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 40 und erhalten so 46.
Somit gilt: 46 ≡ 30 ≡ 6 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3503 + 35000) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3503 + 35000) mod 7 ≡ (3503 mod 7 + 35000 mod 7) mod 7.
3503 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3503
= 3500
35000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35000
= 35000
Somit gilt:
(3503 + 35000) mod 7 ≡ (3 + 0) mod 7 ≡ 3 mod 7.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 76) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 76) mod 8 ≡ (92 mod 8 ⋅ 76 mod 8) mod 8.
92 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 11 ⋅ 8 + 4 ist.
76 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 9 ⋅ 8 + 4 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 76) mod 8 ≡ (4 ⋅ 4) mod 8 ≡ 16 mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
111 mod m = 141 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 111 aus, ob zufällig 111 mod m = 141 mod m gilt:
m=2: 111 mod 2 = 1 = 1 = 141 mod 2
m=3: 111 mod 3 = 0 = 0 = 141 mod 3
m=4: 111 mod 4 = 3 ≠ 1 = 141 mod 4
m=5: 111 mod 5 = 1 = 1 = 141 mod 5
m=6: 111 mod 6 = 3 = 3 = 141 mod 6
m=7: 111 mod 7 = 6 ≠ 1 = 141 mod 7
m=8: 111 mod 8 = 7 ≠ 5 = 141 mod 8
m=9: 111 mod 9 = 3 ≠ 6 = 141 mod 9
m=10: 111 mod 10 = 1 = 1 = 141 mod 10
m=11: 111 mod 11 = 1 ≠ 9 = 141 mod 11
m=12: 111 mod 12 = 3 ≠ 9 = 141 mod 12
m=13: 111 mod 13 = 7 ≠ 11 = 141 mod 13
m=14: 111 mod 14 = 13 ≠ 1 = 141 mod 14
m=15: 111 mod 15 = 6 = 6 = 141 mod 15
m=16: 111 mod 16 = 15 ≠ 13 = 141 mod 16
m=17: 111 mod 17 = 9 ≠ 5 = 141 mod 17
m=18: 111 mod 18 = 3 ≠ 15 = 141 mod 18
m=19: 111 mod 19 = 16 ≠ 8 = 141 mod 19
m=20: 111 mod 20 = 11 ≠ 1 = 141 mod 20
m=21: 111 mod 21 = 6 ≠ 15 = 141 mod 21
m=22: 111 mod 22 = 1 ≠ 9 = 141 mod 22
m=23: 111 mod 23 = 19 ≠ 3 = 141 mod 23
m=24: 111 mod 24 = 15 ≠ 21 = 141 mod 24
m=25: 111 mod 25 = 11 ≠ 16 = 141 mod 25
m=26: 111 mod 26 = 7 ≠ 11 = 141 mod 26
m=27: 111 mod 27 = 3 ≠ 6 = 141 mod 27
m=28: 111 mod 28 = 27 ≠ 1 = 141 mod 28
m=29: 111 mod 29 = 24 ≠ 25 = 141 mod 29
m=30: 111 mod 30 = 21 = 21 = 141 mod 30
m=31: 111 mod 31 = 18 ≠ 17 = 141 mod 31
m=32: 111 mod 32 = 15 ≠ 13 = 141 mod 32
m=33: 111 mod 33 = 12 ≠ 9 = 141 mod 33
m=34: 111 mod 34 = 9 ≠ 5 = 141 mod 34
m=35: 111 mod 35 = 6 ≠ 1 = 141 mod 35
m=36: 111 mod 36 = 3 ≠ 33 = 141 mod 36
m=37: 111 mod 37 = 0 ≠ 30 = 141 mod 37
m=38: 111 mod 38 = 35 ≠ 27 = 141 mod 38
m=39: 111 mod 39 = 33 ≠ 24 = 141 mod 39
m=40: 111 mod 40 = 31 ≠ 21 = 141 mod 40
m=41: 111 mod 41 = 29 ≠ 18 = 141 mod 41
m=42: 111 mod 42 = 27 ≠ 15 = 141 mod 42
m=43: 111 mod 43 = 25 ≠ 12 = 141 mod 43
m=44: 111 mod 44 = 23 ≠ 9 = 141 mod 44
m=45: 111 mod 45 = 21 ≠ 6 = 141 mod 45
m=46: 111 mod 46 = 19 ≠ 3 = 141 mod 46
m=47: 111 mod 47 = 17 ≠ 0 = 141 mod 47
m=48: 111 mod 48 = 15 ≠ 45 = 141 mod 48
m=49: 111 mod 49 = 13 ≠ 43 = 141 mod 49
m=50: 111 mod 50 = 11 ≠ 41 = 141 mod 50
m=51: 111 mod 51 = 9 ≠ 39 = 141 mod 51
m=52: 111 mod 52 = 7 ≠ 37 = 141 mod 52
m=53: 111 mod 53 = 5 ≠ 35 = 141 mod 53
m=54: 111 mod 54 = 3 ≠ 33 = 141 mod 54
m=55: 111 mod 55 = 1 ≠ 31 = 141 mod 55
m=56: 111 mod 56 = 55 ≠ 29 = 141 mod 56
m=57: 111 mod 57 = 54 ≠ 27 = 141 mod 57
m=58: 111 mod 58 = 53 ≠ 25 = 141 mod 58
m=59: 111 mod 59 = 52 ≠ 23 = 141 mod 59
m=60: 111 mod 60 = 51 ≠ 21 = 141 mod 60
m=61: 111 mod 61 = 50 ≠ 19 = 141 mod 61
m=62: 111 mod 62 = 49 ≠ 17 = 141 mod 62
m=63: 111 mod 63 = 48 ≠ 15 = 141 mod 63
m=64: 111 mod 64 = 47 ≠ 13 = 141 mod 64
m=65: 111 mod 65 = 46 ≠ 11 = 141 mod 65
m=66: 111 mod 66 = 45 ≠ 9 = 141 mod 66
m=67: 111 mod 67 = 44 ≠ 7 = 141 mod 67
m=68: 111 mod 68 = 43 ≠ 5 = 141 mod 68
m=69: 111 mod 69 = 42 ≠ 3 = 141 mod 69
m=70: 111 mod 70 = 41 ≠ 1 = 141 mod 70
m=71: 111 mod 71 = 40 ≠ 70 = 141 mod 71
m=72: 111 mod 72 = 39 ≠ 69 = 141 mod 72
m=73: 111 mod 73 = 38 ≠ 68 = 141 mod 73
m=74: 111 mod 74 = 37 ≠ 67 = 141 mod 74
m=75: 111 mod 75 = 36 ≠ 66 = 141 mod 75
m=76: 111 mod 76 = 35 ≠ 65 = 141 mod 76
m=77: 111 mod 77 = 34 ≠ 64 = 141 mod 77
m=78: 111 mod 78 = 33 ≠ 63 = 141 mod 78
m=79: 111 mod 79 = 32 ≠ 62 = 141 mod 79
m=80: 111 mod 80 = 31 ≠ 61 = 141 mod 80
m=81: 111 mod 81 = 30 ≠ 60 = 141 mod 81
m=82: 111 mod 82 = 29 ≠ 59 = 141 mod 82
m=83: 111 mod 83 = 28 ≠ 58 = 141 mod 83
m=84: 111 mod 84 = 27 ≠ 57 = 141 mod 84
m=85: 111 mod 85 = 26 ≠ 56 = 141 mod 85
m=86: 111 mod 86 = 25 ≠ 55 = 141 mod 86
m=87: 111 mod 87 = 24 ≠ 54 = 141 mod 87
m=88: 111 mod 88 = 23 ≠ 53 = 141 mod 88
m=89: 111 mod 89 = 22 ≠ 52 = 141 mod 89
m=90: 111 mod 90 = 21 ≠ 51 = 141 mod 90
m=91: 111 mod 91 = 20 ≠ 50 = 141 mod 91
m=92: 111 mod 92 = 19 ≠ 49 = 141 mod 92
m=93: 111 mod 93 = 18 ≠ 48 = 141 mod 93
m=94: 111 mod 94 = 17 ≠ 47 = 141 mod 94
m=95: 111 mod 95 = 16 ≠ 46 = 141 mod 95
m=96: 111 mod 96 = 15 ≠ 45 = 141 mod 96
m=97: 111 mod 97 = 14 ≠ 44 = 141 mod 97
m=98: 111 mod 98 = 13 ≠ 43 = 141 mod 98
m=99: 111 mod 99 = 12 ≠ 42 = 141 mod 99
m=100: 111 mod 100 = 11 ≠ 41 = 141 mod 100
m=101: 111 mod 101 = 10 ≠ 40 = 141 mod 101
m=102: 111 mod 102 = 9 ≠ 39 = 141 mod 102
m=103: 111 mod 103 = 8 ≠ 38 = 141 mod 103
m=104: 111 mod 104 = 7 ≠ 37 = 141 mod 104
m=105: 111 mod 105 = 6 ≠ 36 = 141 mod 105
m=106: 111 mod 106 = 5 ≠ 35 = 141 mod 106
m=107: 111 mod 107 = 4 ≠ 34 = 141 mod 107
m=108: 111 mod 108 = 3 ≠ 33 = 141 mod 108
m=109: 111 mod 109 = 2 ≠ 32 = 141 mod 109
m=110: 111 mod 110 = 1 ≠ 31 = 141 mod 110
m=111: 111 mod 111 = 0 ≠ 30 = 141 mod 111
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (141 - 111) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
