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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 56 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 6 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 34 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 6 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 40, z.B. 36 = 6 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 36 und erhalten so 40.

Somit gilt: 40 ≡ 34 ≡ 4 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25002 - 55) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25002 - 55) mod 5 ≡ (25002 mod 5 - 55 mod 5) mod 5.

25002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25002 = 25000+2 = 5 ⋅ 5000 +2.

55 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 50+5 = 5 ⋅ 10 +5.

Somit gilt:

(25002 - 55) mod 5 ≡ (2 - 0) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 99) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 99) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 99) mod 10 ≡ (4 ⋅ 9) mod 10 ≡ 36 mod 10 ≡ 6 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
274 mod m = 349 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 274 aus, ob zufällig 274 mod m = 349 mod m gilt:

m=2: 274 mod 2 = 0 ≠ 1 = 349 mod 2

m=3: 274 mod 3 = 1 = 1 = 349 mod 3

m=4: 274 mod 4 = 2 ≠ 1 = 349 mod 4

m=5: 274 mod 5 = 4 = 4 = 349 mod 5

m=6: 274 mod 6 = 4 ≠ 1 = 349 mod 6

m=7: 274 mod 7 = 1 ≠ 6 = 349 mod 7

m=8: 274 mod 8 = 2 ≠ 5 = 349 mod 8

m=9: 274 mod 9 = 4 ≠ 7 = 349 mod 9

m=10: 274 mod 10 = 4 ≠ 9 = 349 mod 10

m=11: 274 mod 11 = 10 ≠ 8 = 349 mod 11

m=12: 274 mod 12 = 10 ≠ 1 = 349 mod 12

m=13: 274 mod 13 = 1 ≠ 11 = 349 mod 13

m=14: 274 mod 14 = 8 ≠ 13 = 349 mod 14

m=15: 274 mod 15 = 4 = 4 = 349 mod 15

m=16: 274 mod 16 = 2 ≠ 13 = 349 mod 16

m=17: 274 mod 17 = 2 ≠ 9 = 349 mod 17

m=18: 274 mod 18 = 4 ≠ 7 = 349 mod 18

m=19: 274 mod 19 = 8 ≠ 7 = 349 mod 19

m=20: 274 mod 20 = 14 ≠ 9 = 349 mod 20

m=21: 274 mod 21 = 1 ≠ 13 = 349 mod 21

m=22: 274 mod 22 = 10 ≠ 19 = 349 mod 22

m=23: 274 mod 23 = 21 ≠ 4 = 349 mod 23

m=24: 274 mod 24 = 10 ≠ 13 = 349 mod 24

m=25: 274 mod 25 = 24 = 24 = 349 mod 25

m=26: 274 mod 26 = 14 ≠ 11 = 349 mod 26

m=27: 274 mod 27 = 4 ≠ 25 = 349 mod 27

m=28: 274 mod 28 = 22 ≠ 13 = 349 mod 28

m=29: 274 mod 29 = 13 ≠ 1 = 349 mod 29

m=30: 274 mod 30 = 4 ≠ 19 = 349 mod 30

m=31: 274 mod 31 = 26 ≠ 8 = 349 mod 31

m=32: 274 mod 32 = 18 ≠ 29 = 349 mod 32

m=33: 274 mod 33 = 10 ≠ 19 = 349 mod 33

m=34: 274 mod 34 = 2 ≠ 9 = 349 mod 34

m=35: 274 mod 35 = 29 ≠ 34 = 349 mod 35

m=36: 274 mod 36 = 22 ≠ 25 = 349 mod 36

m=37: 274 mod 37 = 15 ≠ 16 = 349 mod 37

m=38: 274 mod 38 = 8 ≠ 7 = 349 mod 38

m=39: 274 mod 39 = 1 ≠ 37 = 349 mod 39

m=40: 274 mod 40 = 34 ≠ 29 = 349 mod 40

m=41: 274 mod 41 = 28 ≠ 21 = 349 mod 41

m=42: 274 mod 42 = 22 ≠ 13 = 349 mod 42

m=43: 274 mod 43 = 16 ≠ 5 = 349 mod 43

m=44: 274 mod 44 = 10 ≠ 41 = 349 mod 44

m=45: 274 mod 45 = 4 ≠ 34 = 349 mod 45

m=46: 274 mod 46 = 44 ≠ 27 = 349 mod 46

m=47: 274 mod 47 = 39 ≠ 20 = 349 mod 47

m=48: 274 mod 48 = 34 ≠ 13 = 349 mod 48

m=49: 274 mod 49 = 29 ≠ 6 = 349 mod 49

m=50: 274 mod 50 = 24 ≠ 49 = 349 mod 50

m=51: 274 mod 51 = 19 ≠ 43 = 349 mod 51

m=52: 274 mod 52 = 14 ≠ 37 = 349 mod 52

m=53: 274 mod 53 = 9 ≠ 31 = 349 mod 53

m=54: 274 mod 54 = 4 ≠ 25 = 349 mod 54

m=55: 274 mod 55 = 54 ≠ 19 = 349 mod 55

m=56: 274 mod 56 = 50 ≠ 13 = 349 mod 56

m=57: 274 mod 57 = 46 ≠ 7 = 349 mod 57

m=58: 274 mod 58 = 42 ≠ 1 = 349 mod 58

m=59: 274 mod 59 = 38 ≠ 54 = 349 mod 59

m=60: 274 mod 60 = 34 ≠ 49 = 349 mod 60

m=61: 274 mod 61 = 30 ≠ 44 = 349 mod 61

m=62: 274 mod 62 = 26 ≠ 39 = 349 mod 62

m=63: 274 mod 63 = 22 ≠ 34 = 349 mod 63

m=64: 274 mod 64 = 18 ≠ 29 = 349 mod 64

m=65: 274 mod 65 = 14 ≠ 24 = 349 mod 65

m=66: 274 mod 66 = 10 ≠ 19 = 349 mod 66

m=67: 274 mod 67 = 6 ≠ 14 = 349 mod 67

m=68: 274 mod 68 = 2 ≠ 9 = 349 mod 68

m=69: 274 mod 69 = 67 ≠ 4 = 349 mod 69

m=70: 274 mod 70 = 64 ≠ 69 = 349 mod 70

m=71: 274 mod 71 = 61 ≠ 65 = 349 mod 71

m=72: 274 mod 72 = 58 ≠ 61 = 349 mod 72

m=73: 274 mod 73 = 55 ≠ 57 = 349 mod 73

m=74: 274 mod 74 = 52 ≠ 53 = 349 mod 74

m=75: 274 mod 75 = 49 = 49 = 349 mod 75

m=76: 274 mod 76 = 46 ≠ 45 = 349 mod 76

m=77: 274 mod 77 = 43 ≠ 41 = 349 mod 77

m=78: 274 mod 78 = 40 ≠ 37 = 349 mod 78

m=79: 274 mod 79 = 37 ≠ 33 = 349 mod 79

m=80: 274 mod 80 = 34 ≠ 29 = 349 mod 80

m=81: 274 mod 81 = 31 ≠ 25 = 349 mod 81

m=82: 274 mod 82 = 28 ≠ 21 = 349 mod 82

m=83: 274 mod 83 = 25 ≠ 17 = 349 mod 83

m=84: 274 mod 84 = 22 ≠ 13 = 349 mod 84

m=85: 274 mod 85 = 19 ≠ 9 = 349 mod 85

m=86: 274 mod 86 = 16 ≠ 5 = 349 mod 86

m=87: 274 mod 87 = 13 ≠ 1 = 349 mod 87

m=88: 274 mod 88 = 10 ≠ 85 = 349 mod 88

m=89: 274 mod 89 = 7 ≠ 82 = 349 mod 89

m=90: 274 mod 90 = 4 ≠ 79 = 349 mod 90

m=91: 274 mod 91 = 1 ≠ 76 = 349 mod 91

m=92: 274 mod 92 = 90 ≠ 73 = 349 mod 92

m=93: 274 mod 93 = 88 ≠ 70 = 349 mod 93

m=94: 274 mod 94 = 86 ≠ 67 = 349 mod 94

m=95: 274 mod 95 = 84 ≠ 64 = 349 mod 95

m=96: 274 mod 96 = 82 ≠ 61 = 349 mod 96

m=97: 274 mod 97 = 80 ≠ 58 = 349 mod 97

m=98: 274 mod 98 = 78 ≠ 55 = 349 mod 98

m=99: 274 mod 99 = 76 ≠ 52 = 349 mod 99

m=100: 274 mod 100 = 74 ≠ 49 = 349 mod 100

m=101: 274 mod 101 = 72 ≠ 46 = 349 mod 101

m=102: 274 mod 102 = 70 ≠ 43 = 349 mod 102

m=103: 274 mod 103 = 68 ≠ 40 = 349 mod 103

m=104: 274 mod 104 = 66 ≠ 37 = 349 mod 104

m=105: 274 mod 105 = 64 ≠ 34 = 349 mod 105

m=106: 274 mod 106 = 62 ≠ 31 = 349 mod 106

m=107: 274 mod 107 = 60 ≠ 28 = 349 mod 107

m=108: 274 mod 108 = 58 ≠ 25 = 349 mod 108

m=109: 274 mod 109 = 56 ≠ 22 = 349 mod 109

m=110: 274 mod 110 = 54 ≠ 19 = 349 mod 110

m=111: 274 mod 111 = 52 ≠ 16 = 349 mod 111

m=112: 274 mod 112 = 50 ≠ 13 = 349 mod 112

m=113: 274 mod 113 = 48 ≠ 10 = 349 mod 113

m=114: 274 mod 114 = 46 ≠ 7 = 349 mod 114

m=115: 274 mod 115 = 44 ≠ 4 = 349 mod 115

m=116: 274 mod 116 = 42 ≠ 1 = 349 mod 116

m=117: 274 mod 117 = 40 ≠ 115 = 349 mod 117

m=118: 274 mod 118 = 38 ≠ 113 = 349 mod 118

m=119: 274 mod 119 = 36 ≠ 111 = 349 mod 119

m=120: 274 mod 120 = 34 ≠ 109 = 349 mod 120

m=121: 274 mod 121 = 32 ≠ 107 = 349 mod 121

m=122: 274 mod 122 = 30 ≠ 105 = 349 mod 122

m=123: 274 mod 123 = 28 ≠ 103 = 349 mod 123

m=124: 274 mod 124 = 26 ≠ 101 = 349 mod 124

m=125: 274 mod 125 = 24 ≠ 99 = 349 mod 125

m=126: 274 mod 126 = 22 ≠ 97 = 349 mod 126

m=127: 274 mod 127 = 20 ≠ 95 = 349 mod 127

m=128: 274 mod 128 = 18 ≠ 93 = 349 mod 128

m=129: 274 mod 129 = 16 ≠ 91 = 349 mod 129

m=130: 274 mod 130 = 14 ≠ 89 = 349 mod 130

m=131: 274 mod 131 = 12 ≠ 87 = 349 mod 131

m=132: 274 mod 132 = 10 ≠ 85 = 349 mod 132

m=133: 274 mod 133 = 8 ≠ 83 = 349 mod 133

m=134: 274 mod 134 = 6 ≠ 81 = 349 mod 134

m=135: 274 mod 135 = 4 ≠ 79 = 349 mod 135

m=136: 274 mod 136 = 2 ≠ 77 = 349 mod 136

m=137: 274 mod 137 = 0 ≠ 75 = 349 mod 137

m=138: 274 mod 138 = 136 ≠ 73 = 349 mod 138

m=139: 274 mod 139 = 135 ≠ 71 = 349 mod 139

m=140: 274 mod 140 = 134 ≠ 69 = 349 mod 140

m=141: 274 mod 141 = 133 ≠ 67 = 349 mod 141

m=142: 274 mod 142 = 132 ≠ 65 = 349 mod 142

m=143: 274 mod 143 = 131 ≠ 63 = 349 mod 143

m=144: 274 mod 144 = 130 ≠ 61 = 349 mod 144

m=145: 274 mod 145 = 129 ≠ 59 = 349 mod 145

m=146: 274 mod 146 = 128 ≠ 57 = 349 mod 146

m=147: 274 mod 147 = 127 ≠ 55 = 349 mod 147

m=148: 274 mod 148 = 126 ≠ 53 = 349 mod 148

m=149: 274 mod 149 = 125 ≠ 51 = 349 mod 149

m=150: 274 mod 150 = 124 ≠ 49 = 349 mod 150

m=151: 274 mod 151 = 123 ≠ 47 = 349 mod 151

m=152: 274 mod 152 = 122 ≠ 45 = 349 mod 152

m=153: 274 mod 153 = 121 ≠ 43 = 349 mod 153

m=154: 274 mod 154 = 120 ≠ 41 = 349 mod 154

m=155: 274 mod 155 = 119 ≠ 39 = 349 mod 155

m=156: 274 mod 156 = 118 ≠ 37 = 349 mod 156

m=157: 274 mod 157 = 117 ≠ 35 = 349 mod 157

m=158: 274 mod 158 = 116 ≠ 33 = 349 mod 158

m=159: 274 mod 159 = 115 ≠ 31 = 349 mod 159

m=160: 274 mod 160 = 114 ≠ 29 = 349 mod 160

m=161: 274 mod 161 = 113 ≠ 27 = 349 mod 161

m=162: 274 mod 162 = 112 ≠ 25 = 349 mod 162

m=163: 274 mod 163 = 111 ≠ 23 = 349 mod 163

m=164: 274 mod 164 = 110 ≠ 21 = 349 mod 164

m=165: 274 mod 165 = 109 ≠ 19 = 349 mod 165

m=166: 274 mod 166 = 108 ≠ 17 = 349 mod 166

m=167: 274 mod 167 = 107 ≠ 15 = 349 mod 167

m=168: 274 mod 168 = 106 ≠ 13 = 349 mod 168

m=169: 274 mod 169 = 105 ≠ 11 = 349 mod 169

m=170: 274 mod 170 = 104 ≠ 9 = 349 mod 170

m=171: 274 mod 171 = 103 ≠ 7 = 349 mod 171

m=172: 274 mod 172 = 102 ≠ 5 = 349 mod 172

m=173: 274 mod 173 = 101 ≠ 3 = 349 mod 173

m=174: 274 mod 174 = 100 ≠ 1 = 349 mod 174

m=175: 274 mod 175 = 99 ≠ 174 = 349 mod 175

m=176: 274 mod 176 = 98 ≠ 173 = 349 mod 176

m=177: 274 mod 177 = 97 ≠ 172 = 349 mod 177

m=178: 274 mod 178 = 96 ≠ 171 = 349 mod 178

m=179: 274 mod 179 = 95 ≠ 170 = 349 mod 179

m=180: 274 mod 180 = 94 ≠ 169 = 349 mod 180

m=181: 274 mod 181 = 93 ≠ 168 = 349 mod 181

m=182: 274 mod 182 = 92 ≠ 167 = 349 mod 182

m=183: 274 mod 183 = 91 ≠ 166 = 349 mod 183

m=184: 274 mod 184 = 90 ≠ 165 = 349 mod 184

m=185: 274 mod 185 = 89 ≠ 164 = 349 mod 185

m=186: 274 mod 186 = 88 ≠ 163 = 349 mod 186

m=187: 274 mod 187 = 87 ≠ 162 = 349 mod 187

m=188: 274 mod 188 = 86 ≠ 161 = 349 mod 188

m=189: 274 mod 189 = 85 ≠ 160 = 349 mod 189

m=190: 274 mod 190 = 84 ≠ 159 = 349 mod 190

m=191: 274 mod 191 = 83 ≠ 158 = 349 mod 191

m=192: 274 mod 192 = 82 ≠ 157 = 349 mod 192

m=193: 274 mod 193 = 81 ≠ 156 = 349 mod 193

m=194: 274 mod 194 = 80 ≠ 155 = 349 mod 194

m=195: 274 mod 195 = 79 ≠ 154 = 349 mod 195

m=196: 274 mod 196 = 78 ≠ 153 = 349 mod 196

m=197: 274 mod 197 = 77 ≠ 152 = 349 mod 197

m=198: 274 mod 198 = 76 ≠ 151 = 349 mod 198

m=199: 274 mod 199 = 75 ≠ 150 = 349 mod 199

m=200: 274 mod 200 = 74 ≠ 149 = 349 mod 200

m=201: 274 mod 201 = 73 ≠ 148 = 349 mod 201

m=202: 274 mod 202 = 72 ≠ 147 = 349 mod 202

m=203: 274 mod 203 = 71 ≠ 146 = 349 mod 203

m=204: 274 mod 204 = 70 ≠ 145 = 349 mod 204

m=205: 274 mod 205 = 69 ≠ 144 = 349 mod 205

m=206: 274 mod 206 = 68 ≠ 143 = 349 mod 206

m=207: 274 mod 207 = 67 ≠ 142 = 349 mod 207

m=208: 274 mod 208 = 66 ≠ 141 = 349 mod 208

m=209: 274 mod 209 = 65 ≠ 140 = 349 mod 209

m=210: 274 mod 210 = 64 ≠ 139 = 349 mod 210

m=211: 274 mod 211 = 63 ≠ 138 = 349 mod 211

m=212: 274 mod 212 = 62 ≠ 137 = 349 mod 212

m=213: 274 mod 213 = 61 ≠ 136 = 349 mod 213

m=214: 274 mod 214 = 60 ≠ 135 = 349 mod 214

m=215: 274 mod 215 = 59 ≠ 134 = 349 mod 215

m=216: 274 mod 216 = 58 ≠ 133 = 349 mod 216

m=217: 274 mod 217 = 57 ≠ 132 = 349 mod 217

m=218: 274 mod 218 = 56 ≠ 131 = 349 mod 218

m=219: 274 mod 219 = 55 ≠ 130 = 349 mod 219

m=220: 274 mod 220 = 54 ≠ 129 = 349 mod 220

m=221: 274 mod 221 = 53 ≠ 128 = 349 mod 221

m=222: 274 mod 222 = 52 ≠ 127 = 349 mod 222

m=223: 274 mod 223 = 51 ≠ 126 = 349 mod 223

m=224: 274 mod 224 = 50 ≠ 125 = 349 mod 224

m=225: 274 mod 225 = 49 ≠ 124 = 349 mod 225

m=226: 274 mod 226 = 48 ≠ 123 = 349 mod 226

m=227: 274 mod 227 = 47 ≠ 122 = 349 mod 227

m=228: 274 mod 228 = 46 ≠ 121 = 349 mod 228

m=229: 274 mod 229 = 45 ≠ 120 = 349 mod 229

m=230: 274 mod 230 = 44 ≠ 119 = 349 mod 230

m=231: 274 mod 231 = 43 ≠ 118 = 349 mod 231

m=232: 274 mod 232 = 42 ≠ 117 = 349 mod 232

m=233: 274 mod 233 = 41 ≠ 116 = 349 mod 233

m=234: 274 mod 234 = 40 ≠ 115 = 349 mod 234

m=235: 274 mod 235 = 39 ≠ 114 = 349 mod 235

m=236: 274 mod 236 = 38 ≠ 113 = 349 mod 236

m=237: 274 mod 237 = 37 ≠ 112 = 349 mod 237

m=238: 274 mod 238 = 36 ≠ 111 = 349 mod 238

m=239: 274 mod 239 = 35 ≠ 110 = 349 mod 239

m=240: 274 mod 240 = 34 ≠ 109 = 349 mod 240

m=241: 274 mod 241 = 33 ≠ 108 = 349 mod 241

m=242: 274 mod 242 = 32 ≠ 107 = 349 mod 242

m=243: 274 mod 243 = 31 ≠ 106 = 349 mod 243

m=244: 274 mod 244 = 30 ≠ 105 = 349 mod 244

m=245: 274 mod 245 = 29 ≠ 104 = 349 mod 245

m=246: 274 mod 246 = 28 ≠ 103 = 349 mod 246

m=247: 274 mod 247 = 27 ≠ 102 = 349 mod 247

m=248: 274 mod 248 = 26 ≠ 101 = 349 mod 248

m=249: 274 mod 249 = 25 ≠ 100 = 349 mod 249

m=250: 274 mod 250 = 24 ≠ 99 = 349 mod 250

m=251: 274 mod 251 = 23 ≠ 98 = 349 mod 251

m=252: 274 mod 252 = 22 ≠ 97 = 349 mod 252

m=253: 274 mod 253 = 21 ≠ 96 = 349 mod 253

m=254: 274 mod 254 = 20 ≠ 95 = 349 mod 254

m=255: 274 mod 255 = 19 ≠ 94 = 349 mod 255

m=256: 274 mod 256 = 18 ≠ 93 = 349 mod 256

m=257: 274 mod 257 = 17 ≠ 92 = 349 mod 257

m=258: 274 mod 258 = 16 ≠ 91 = 349 mod 258

m=259: 274 mod 259 = 15 ≠ 90 = 349 mod 259

m=260: 274 mod 260 = 14 ≠ 89 = 349 mod 260

m=261: 274 mod 261 = 13 ≠ 88 = 349 mod 261

m=262: 274 mod 262 = 12 ≠ 87 = 349 mod 262

m=263: 274 mod 263 = 11 ≠ 86 = 349 mod 263

m=264: 274 mod 264 = 10 ≠ 85 = 349 mod 264

m=265: 274 mod 265 = 9 ≠ 84 = 349 mod 265

m=266: 274 mod 266 = 8 ≠ 83 = 349 mod 266

m=267: 274 mod 267 = 7 ≠ 82 = 349 mod 267

m=268: 274 mod 268 = 6 ≠ 81 = 349 mod 268

m=269: 274 mod 269 = 5 ≠ 80 = 349 mod 269

m=270: 274 mod 270 = 4 ≠ 79 = 349 mod 270

m=271: 274 mod 271 = 3 ≠ 78 = 349 mod 271

m=272: 274 mod 272 = 2 ≠ 77 = 349 mod 272

m=273: 274 mod 273 = 1 ≠ 76 = 349 mod 273

m=274: 274 mod 274 = 0 ≠ 75 = 349 mod 274

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (349 - 274) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75