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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 22 = 10.

Somit gilt: 32 mod 11 ≡ 10.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 54 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 48 = 6.

Somit gilt: 54 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 56 = 7 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 56 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 54 ≡ 6 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 + 30) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 + 30) mod 3 ≡ (30 mod 3 + 30 mod 3) mod 3.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

30 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30+0 = 3 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(30 + 30) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 23) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 23) mod 6 ≡ (58 mod 6 ⋅ 23 mod 6) mod 6.

58 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 54 + 4 = 9 ⋅ 6 + 4 ist.

23 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 18 + 5 = 3 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 23) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
57 mod m = 72 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 57 aus, ob zufällig 57 mod m = 72 mod m gilt:

m=2: 57 mod 2 = 1 ≠ 0 = 72 mod 2

m=3: 57 mod 3 = 0 = 0 = 72 mod 3

m=4: 57 mod 4 = 1 ≠ 0 = 72 mod 4

m=5: 57 mod 5 = 2 = 2 = 72 mod 5

m=6: 57 mod 6 = 3 ≠ 0 = 72 mod 6

m=7: 57 mod 7 = 1 ≠ 2 = 72 mod 7

m=8: 57 mod 8 = 1 ≠ 0 = 72 mod 8

m=9: 57 mod 9 = 3 ≠ 0 = 72 mod 9

m=10: 57 mod 10 = 7 ≠ 2 = 72 mod 10

m=11: 57 mod 11 = 2 ≠ 6 = 72 mod 11

m=12: 57 mod 12 = 9 ≠ 0 = 72 mod 12

m=13: 57 mod 13 = 5 ≠ 7 = 72 mod 13

m=14: 57 mod 14 = 1 ≠ 2 = 72 mod 14

m=15: 57 mod 15 = 12 = 12 = 72 mod 15

m=16: 57 mod 16 = 9 ≠ 8 = 72 mod 16

m=17: 57 mod 17 = 6 ≠ 4 = 72 mod 17

m=18: 57 mod 18 = 3 ≠ 0 = 72 mod 18

m=19: 57 mod 19 = 0 ≠ 15 = 72 mod 19

m=20: 57 mod 20 = 17 ≠ 12 = 72 mod 20

m=21: 57 mod 21 = 15 ≠ 9 = 72 mod 21

m=22: 57 mod 22 = 13 ≠ 6 = 72 mod 22

m=23: 57 mod 23 = 11 ≠ 3 = 72 mod 23

m=24: 57 mod 24 = 9 ≠ 0 = 72 mod 24

m=25: 57 mod 25 = 7 ≠ 22 = 72 mod 25

m=26: 57 mod 26 = 5 ≠ 20 = 72 mod 26

m=27: 57 mod 27 = 3 ≠ 18 = 72 mod 27

m=28: 57 mod 28 = 1 ≠ 16 = 72 mod 28

m=29: 57 mod 29 = 28 ≠ 14 = 72 mod 29

m=30: 57 mod 30 = 27 ≠ 12 = 72 mod 30

m=31: 57 mod 31 = 26 ≠ 10 = 72 mod 31

m=32: 57 mod 32 = 25 ≠ 8 = 72 mod 32

m=33: 57 mod 33 = 24 ≠ 6 = 72 mod 33

m=34: 57 mod 34 = 23 ≠ 4 = 72 mod 34

m=35: 57 mod 35 = 22 ≠ 2 = 72 mod 35

m=36: 57 mod 36 = 21 ≠ 0 = 72 mod 36

m=37: 57 mod 37 = 20 ≠ 35 = 72 mod 37

m=38: 57 mod 38 = 19 ≠ 34 = 72 mod 38

m=39: 57 mod 39 = 18 ≠ 33 = 72 mod 39

m=40: 57 mod 40 = 17 ≠ 32 = 72 mod 40

m=41: 57 mod 41 = 16 ≠ 31 = 72 mod 41

m=42: 57 mod 42 = 15 ≠ 30 = 72 mod 42

m=43: 57 mod 43 = 14 ≠ 29 = 72 mod 43

m=44: 57 mod 44 = 13 ≠ 28 = 72 mod 44

m=45: 57 mod 45 = 12 ≠ 27 = 72 mod 45

m=46: 57 mod 46 = 11 ≠ 26 = 72 mod 46

m=47: 57 mod 47 = 10 ≠ 25 = 72 mod 47

m=48: 57 mod 48 = 9 ≠ 24 = 72 mod 48

m=49: 57 mod 49 = 8 ≠ 23 = 72 mod 49

m=50: 57 mod 50 = 7 ≠ 22 = 72 mod 50

m=51: 57 mod 51 = 6 ≠ 21 = 72 mod 51

m=52: 57 mod 52 = 5 ≠ 20 = 72 mod 52

m=53: 57 mod 53 = 4 ≠ 19 = 72 mod 53

m=54: 57 mod 54 = 3 ≠ 18 = 72 mod 54

m=55: 57 mod 55 = 2 ≠ 17 = 72 mod 55

m=56: 57 mod 56 = 1 ≠ 16 = 72 mod 56

m=57: 57 mod 57 = 0 ≠ 15 = 72 mod 57

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (72 - 57) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15