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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 27 - 25 = 2.
Somit gilt: 27 mod 5 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 73 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 73 - 70 = 3.
Somit gilt: 73 mod 10 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 73 ≡ 3 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (37 - 798) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(37 - 798) mod 4 ≡ (37 mod 4 - 798 mod 4) mod 4.
37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37
= 40
798 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 700
Somit gilt:
(37 - 798) mod 4 ≡ (1 - 2) mod 4 ≡ -1 mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 81) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(16 ⋅ 81) mod 8 ≡ (16 mod 8 ⋅ 81 mod 8) mod 8.
16 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 16 + 0 = 2 ⋅ 8 + 0 ist.
81 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 10 ⋅ 8 + 1 ist.
Somit gilt:
(16 ⋅ 81) mod 8 ≡ (0 ⋅ 1) mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 48 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 48 mod m gilt:
m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 48 mod 2
m=3: 38 mod 3 = 2 ≠ 0 = 48 mod 3
m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 48 mod 4
m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5
m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 0 = 48 mod 6
m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 6 = 48 mod 7
m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 48 mod 8
m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 3 = 48 mod 9
m=10: 38 mod 10 = 8 = 8 = 48 mod 10
m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 4 = 48 mod 11
m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 0 = 48 mod 12
m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 9 = 48 mod 13
m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 6 = 48 mod 14
m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 3 = 48 mod 15
m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 0 = 48 mod 16
m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 14 = 48 mod 17
m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 12 = 48 mod 18
m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 10 = 48 mod 19
m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 8 = 48 mod 20
m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 6 = 48 mod 21
m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 4 = 48 mod 22
m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 2 = 48 mod 23
m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 0 = 48 mod 24
m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 23 = 48 mod 25
m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 22 = 48 mod 26
m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 21 = 48 mod 27
m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 20 = 48 mod 28
m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 19 = 48 mod 29
m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 18 = 48 mod 30
m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 17 = 48 mod 31
m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 16 = 48 mod 32
m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 15 = 48 mod 33
m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 14 = 48 mod 34
m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 13 = 48 mod 35
m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 12 = 48 mod 36
m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 11 = 48 mod 37
m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 10 = 48 mod 38
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 38) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10