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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.
Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 33 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.
Somit gilt: 33 mod 10 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.
Somit gilt: 93 ≡ 33 ≡ 3 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (599 + 6000) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(599 + 6000) mod 3 ≡ (599 mod 3 + 6000 mod 3) mod 3.
599 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599
= 600
6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000
= 6000
Somit gilt:
(599 + 6000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(40 ⋅ 50) mod 3 ≡ (40 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
40 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 39 + 1 = 13 ⋅ 3 + 1 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(40 ⋅ 50) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:
m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2
m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3
m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4
m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5
m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6
m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7
m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8
m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9
m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10
m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11
m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12
m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13
m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14
m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15
m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16
m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17
m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18
m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19
m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20
m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21
m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 6
