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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 50 = 4.

Somit gilt: 54 mod 10 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 32 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 30 = 2.

Somit gilt: 32 mod 5 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 16 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 2 mod 5 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 32 ≡ 2 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (274 - 13994) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(274 - 13994) mod 7 ≡ (274 mod 7 - 13994 mod 7) mod 7.

274 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 274 = 280-6 = 7 ⋅ 40 -6 = 7 ⋅ 40 - 7 + 1.

13994 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 13994 = 14000-6 = 7 ⋅ 2000 -6 = 7 ⋅ 2000 - 7 + 1.

Somit gilt:

(274 - 13994) mod 7 ≡ (1 - 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 66) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 66) mod 3 ≡ (69 mod 3 ⋅ 66 mod 3) mod 3.

69 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 69 + 0 = 23 ⋅ 3 + 0 ist.

66 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 22 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 66) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
241 mod m = 316 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 241 aus, ob zufällig 241 mod m = 316 mod m gilt:

m=2: 241 mod 2 = 1 ≠ 0 = 316 mod 2

m=3: 241 mod 3 = 1 = 1 = 316 mod 3

m=4: 241 mod 4 = 1 ≠ 0 = 316 mod 4

m=5: 241 mod 5 = 1 = 1 = 316 mod 5

m=6: 241 mod 6 = 1 ≠ 4 = 316 mod 6

m=7: 241 mod 7 = 3 ≠ 1 = 316 mod 7

m=8: 241 mod 8 = 1 ≠ 4 = 316 mod 8

m=9: 241 mod 9 = 7 ≠ 1 = 316 mod 9

m=10: 241 mod 10 = 1 ≠ 6 = 316 mod 10

m=11: 241 mod 11 = 10 ≠ 8 = 316 mod 11

m=12: 241 mod 12 = 1 ≠ 4 = 316 mod 12

m=13: 241 mod 13 = 7 ≠ 4 = 316 mod 13

m=14: 241 mod 14 = 3 ≠ 8 = 316 mod 14

m=15: 241 mod 15 = 1 = 1 = 316 mod 15

m=16: 241 mod 16 = 1 ≠ 12 = 316 mod 16

m=17: 241 mod 17 = 3 ≠ 10 = 316 mod 17

m=18: 241 mod 18 = 7 ≠ 10 = 316 mod 18

m=19: 241 mod 19 = 13 ≠ 12 = 316 mod 19

m=20: 241 mod 20 = 1 ≠ 16 = 316 mod 20

m=21: 241 mod 21 = 10 ≠ 1 = 316 mod 21

m=22: 241 mod 22 = 21 ≠ 8 = 316 mod 22

m=23: 241 mod 23 = 11 ≠ 17 = 316 mod 23

m=24: 241 mod 24 = 1 ≠ 4 = 316 mod 24

m=25: 241 mod 25 = 16 = 16 = 316 mod 25

m=26: 241 mod 26 = 7 ≠ 4 = 316 mod 26

m=27: 241 mod 27 = 25 ≠ 19 = 316 mod 27

m=28: 241 mod 28 = 17 ≠ 8 = 316 mod 28

m=29: 241 mod 29 = 9 ≠ 26 = 316 mod 29

m=30: 241 mod 30 = 1 ≠ 16 = 316 mod 30

m=31: 241 mod 31 = 24 ≠ 6 = 316 mod 31

m=32: 241 mod 32 = 17 ≠ 28 = 316 mod 32

m=33: 241 mod 33 = 10 ≠ 19 = 316 mod 33

m=34: 241 mod 34 = 3 ≠ 10 = 316 mod 34

m=35: 241 mod 35 = 31 ≠ 1 = 316 mod 35

m=36: 241 mod 36 = 25 ≠ 28 = 316 mod 36

m=37: 241 mod 37 = 19 ≠ 20 = 316 mod 37

m=38: 241 mod 38 = 13 ≠ 12 = 316 mod 38

m=39: 241 mod 39 = 7 ≠ 4 = 316 mod 39

m=40: 241 mod 40 = 1 ≠ 36 = 316 mod 40

m=41: 241 mod 41 = 36 ≠ 29 = 316 mod 41

m=42: 241 mod 42 = 31 ≠ 22 = 316 mod 42

m=43: 241 mod 43 = 26 ≠ 15 = 316 mod 43

m=44: 241 mod 44 = 21 ≠ 8 = 316 mod 44

m=45: 241 mod 45 = 16 ≠ 1 = 316 mod 45

m=46: 241 mod 46 = 11 ≠ 40 = 316 mod 46

m=47: 241 mod 47 = 6 ≠ 34 = 316 mod 47

m=48: 241 mod 48 = 1 ≠ 28 = 316 mod 48

m=49: 241 mod 49 = 45 ≠ 22 = 316 mod 49

m=50: 241 mod 50 = 41 ≠ 16 = 316 mod 50

m=51: 241 mod 51 = 37 ≠ 10 = 316 mod 51

m=52: 241 mod 52 = 33 ≠ 4 = 316 mod 52

m=53: 241 mod 53 = 29 ≠ 51 = 316 mod 53

m=54: 241 mod 54 = 25 ≠ 46 = 316 mod 54

m=55: 241 mod 55 = 21 ≠ 41 = 316 mod 55

m=56: 241 mod 56 = 17 ≠ 36 = 316 mod 56

m=57: 241 mod 57 = 13 ≠ 31 = 316 mod 57

m=58: 241 mod 58 = 9 ≠ 26 = 316 mod 58

m=59: 241 mod 59 = 5 ≠ 21 = 316 mod 59

m=60: 241 mod 60 = 1 ≠ 16 = 316 mod 60

m=61: 241 mod 61 = 58 ≠ 11 = 316 mod 61

m=62: 241 mod 62 = 55 ≠ 6 = 316 mod 62

m=63: 241 mod 63 = 52 ≠ 1 = 316 mod 63

m=64: 241 mod 64 = 49 ≠ 60 = 316 mod 64

m=65: 241 mod 65 = 46 ≠ 56 = 316 mod 65

m=66: 241 mod 66 = 43 ≠ 52 = 316 mod 66

m=67: 241 mod 67 = 40 ≠ 48 = 316 mod 67

m=68: 241 mod 68 = 37 ≠ 44 = 316 mod 68

m=69: 241 mod 69 = 34 ≠ 40 = 316 mod 69

m=70: 241 mod 70 = 31 ≠ 36 = 316 mod 70

m=71: 241 mod 71 = 28 ≠ 32 = 316 mod 71

m=72: 241 mod 72 = 25 ≠ 28 = 316 mod 72

m=73: 241 mod 73 = 22 ≠ 24 = 316 mod 73

m=74: 241 mod 74 = 19 ≠ 20 = 316 mod 74

m=75: 241 mod 75 = 16 = 16 = 316 mod 75

m=76: 241 mod 76 = 13 ≠ 12 = 316 mod 76

m=77: 241 mod 77 = 10 ≠ 8 = 316 mod 77

m=78: 241 mod 78 = 7 ≠ 4 = 316 mod 78

m=79: 241 mod 79 = 4 ≠ 0 = 316 mod 79

m=80: 241 mod 80 = 1 ≠ 76 = 316 mod 80

m=81: 241 mod 81 = 79 ≠ 73 = 316 mod 81

m=82: 241 mod 82 = 77 ≠ 70 = 316 mod 82

m=83: 241 mod 83 = 75 ≠ 67 = 316 mod 83

m=84: 241 mod 84 = 73 ≠ 64 = 316 mod 84

m=85: 241 mod 85 = 71 ≠ 61 = 316 mod 85

m=86: 241 mod 86 = 69 ≠ 58 = 316 mod 86

m=87: 241 mod 87 = 67 ≠ 55 = 316 mod 87

m=88: 241 mod 88 = 65 ≠ 52 = 316 mod 88

m=89: 241 mod 89 = 63 ≠ 49 = 316 mod 89

m=90: 241 mod 90 = 61 ≠ 46 = 316 mod 90

m=91: 241 mod 91 = 59 ≠ 43 = 316 mod 91

m=92: 241 mod 92 = 57 ≠ 40 = 316 mod 92

m=93: 241 mod 93 = 55 ≠ 37 = 316 mod 93

m=94: 241 mod 94 = 53 ≠ 34 = 316 mod 94

m=95: 241 mod 95 = 51 ≠ 31 = 316 mod 95

m=96: 241 mod 96 = 49 ≠ 28 = 316 mod 96

m=97: 241 mod 97 = 47 ≠ 25 = 316 mod 97

m=98: 241 mod 98 = 45 ≠ 22 = 316 mod 98

m=99: 241 mod 99 = 43 ≠ 19 = 316 mod 99

m=100: 241 mod 100 = 41 ≠ 16 = 316 mod 100

m=101: 241 mod 101 = 39 ≠ 13 = 316 mod 101

m=102: 241 mod 102 = 37 ≠ 10 = 316 mod 102

m=103: 241 mod 103 = 35 ≠ 7 = 316 mod 103

m=104: 241 mod 104 = 33 ≠ 4 = 316 mod 104

m=105: 241 mod 105 = 31 ≠ 1 = 316 mod 105

m=106: 241 mod 106 = 29 ≠ 104 = 316 mod 106

m=107: 241 mod 107 = 27 ≠ 102 = 316 mod 107

m=108: 241 mod 108 = 25 ≠ 100 = 316 mod 108

m=109: 241 mod 109 = 23 ≠ 98 = 316 mod 109

m=110: 241 mod 110 = 21 ≠ 96 = 316 mod 110

m=111: 241 mod 111 = 19 ≠ 94 = 316 mod 111

m=112: 241 mod 112 = 17 ≠ 92 = 316 mod 112

m=113: 241 mod 113 = 15 ≠ 90 = 316 mod 113

m=114: 241 mod 114 = 13 ≠ 88 = 316 mod 114

m=115: 241 mod 115 = 11 ≠ 86 = 316 mod 115

m=116: 241 mod 116 = 9 ≠ 84 = 316 mod 116

m=117: 241 mod 117 = 7 ≠ 82 = 316 mod 117

m=118: 241 mod 118 = 5 ≠ 80 = 316 mod 118

m=119: 241 mod 119 = 3 ≠ 78 = 316 mod 119

m=120: 241 mod 120 = 1 ≠ 76 = 316 mod 120

m=121: 241 mod 121 = 120 ≠ 74 = 316 mod 121

m=122: 241 mod 122 = 119 ≠ 72 = 316 mod 122

m=123: 241 mod 123 = 118 ≠ 70 = 316 mod 123

m=124: 241 mod 124 = 117 ≠ 68 = 316 mod 124

m=125: 241 mod 125 = 116 ≠ 66 = 316 mod 125

m=126: 241 mod 126 = 115 ≠ 64 = 316 mod 126

m=127: 241 mod 127 = 114 ≠ 62 = 316 mod 127

m=128: 241 mod 128 = 113 ≠ 60 = 316 mod 128

m=129: 241 mod 129 = 112 ≠ 58 = 316 mod 129

m=130: 241 mod 130 = 111 ≠ 56 = 316 mod 130

m=131: 241 mod 131 = 110 ≠ 54 = 316 mod 131

m=132: 241 mod 132 = 109 ≠ 52 = 316 mod 132

m=133: 241 mod 133 = 108 ≠ 50 = 316 mod 133

m=134: 241 mod 134 = 107 ≠ 48 = 316 mod 134

m=135: 241 mod 135 = 106 ≠ 46 = 316 mod 135

m=136: 241 mod 136 = 105 ≠ 44 = 316 mod 136

m=137: 241 mod 137 = 104 ≠ 42 = 316 mod 137

m=138: 241 mod 138 = 103 ≠ 40 = 316 mod 138

m=139: 241 mod 139 = 102 ≠ 38 = 316 mod 139

m=140: 241 mod 140 = 101 ≠ 36 = 316 mod 140

m=141: 241 mod 141 = 100 ≠ 34 = 316 mod 141

m=142: 241 mod 142 = 99 ≠ 32 = 316 mod 142

m=143: 241 mod 143 = 98 ≠ 30 = 316 mod 143

m=144: 241 mod 144 = 97 ≠ 28 = 316 mod 144

m=145: 241 mod 145 = 96 ≠ 26 = 316 mod 145

m=146: 241 mod 146 = 95 ≠ 24 = 316 mod 146

m=147: 241 mod 147 = 94 ≠ 22 = 316 mod 147

m=148: 241 mod 148 = 93 ≠ 20 = 316 mod 148

m=149: 241 mod 149 = 92 ≠ 18 = 316 mod 149

m=150: 241 mod 150 = 91 ≠ 16 = 316 mod 150

m=151: 241 mod 151 = 90 ≠ 14 = 316 mod 151

m=152: 241 mod 152 = 89 ≠ 12 = 316 mod 152

m=153: 241 mod 153 = 88 ≠ 10 = 316 mod 153

m=154: 241 mod 154 = 87 ≠ 8 = 316 mod 154

m=155: 241 mod 155 = 86 ≠ 6 = 316 mod 155

m=156: 241 mod 156 = 85 ≠ 4 = 316 mod 156

m=157: 241 mod 157 = 84 ≠ 2 = 316 mod 157

m=158: 241 mod 158 = 83 ≠ 0 = 316 mod 158

m=159: 241 mod 159 = 82 ≠ 157 = 316 mod 159

m=160: 241 mod 160 = 81 ≠ 156 = 316 mod 160

m=161: 241 mod 161 = 80 ≠ 155 = 316 mod 161

m=162: 241 mod 162 = 79 ≠ 154 = 316 mod 162

m=163: 241 mod 163 = 78 ≠ 153 = 316 mod 163

m=164: 241 mod 164 = 77 ≠ 152 = 316 mod 164

m=165: 241 mod 165 = 76 ≠ 151 = 316 mod 165

m=166: 241 mod 166 = 75 ≠ 150 = 316 mod 166

m=167: 241 mod 167 = 74 ≠ 149 = 316 mod 167

m=168: 241 mod 168 = 73 ≠ 148 = 316 mod 168

m=169: 241 mod 169 = 72 ≠ 147 = 316 mod 169

m=170: 241 mod 170 = 71 ≠ 146 = 316 mod 170

m=171: 241 mod 171 = 70 ≠ 145 = 316 mod 171

m=172: 241 mod 172 = 69 ≠ 144 = 316 mod 172

m=173: 241 mod 173 = 68 ≠ 143 = 316 mod 173

m=174: 241 mod 174 = 67 ≠ 142 = 316 mod 174

m=175: 241 mod 175 = 66 ≠ 141 = 316 mod 175

m=176: 241 mod 176 = 65 ≠ 140 = 316 mod 176

m=177: 241 mod 177 = 64 ≠ 139 = 316 mod 177

m=178: 241 mod 178 = 63 ≠ 138 = 316 mod 178

m=179: 241 mod 179 = 62 ≠ 137 = 316 mod 179

m=180: 241 mod 180 = 61 ≠ 136 = 316 mod 180

m=181: 241 mod 181 = 60 ≠ 135 = 316 mod 181

m=182: 241 mod 182 = 59 ≠ 134 = 316 mod 182

m=183: 241 mod 183 = 58 ≠ 133 = 316 mod 183

m=184: 241 mod 184 = 57 ≠ 132 = 316 mod 184

m=185: 241 mod 185 = 56 ≠ 131 = 316 mod 185

m=186: 241 mod 186 = 55 ≠ 130 = 316 mod 186

m=187: 241 mod 187 = 54 ≠ 129 = 316 mod 187

m=188: 241 mod 188 = 53 ≠ 128 = 316 mod 188

m=189: 241 mod 189 = 52 ≠ 127 = 316 mod 189

m=190: 241 mod 190 = 51 ≠ 126 = 316 mod 190

m=191: 241 mod 191 = 50 ≠ 125 = 316 mod 191

m=192: 241 mod 192 = 49 ≠ 124 = 316 mod 192

m=193: 241 mod 193 = 48 ≠ 123 = 316 mod 193

m=194: 241 mod 194 = 47 ≠ 122 = 316 mod 194

m=195: 241 mod 195 = 46 ≠ 121 = 316 mod 195

m=196: 241 mod 196 = 45 ≠ 120 = 316 mod 196

m=197: 241 mod 197 = 44 ≠ 119 = 316 mod 197

m=198: 241 mod 198 = 43 ≠ 118 = 316 mod 198

m=199: 241 mod 199 = 42 ≠ 117 = 316 mod 199

m=200: 241 mod 200 = 41 ≠ 116 = 316 mod 200

m=201: 241 mod 201 = 40 ≠ 115 = 316 mod 201

m=202: 241 mod 202 = 39 ≠ 114 = 316 mod 202

m=203: 241 mod 203 = 38 ≠ 113 = 316 mod 203

m=204: 241 mod 204 = 37 ≠ 112 = 316 mod 204

m=205: 241 mod 205 = 36 ≠ 111 = 316 mod 205

m=206: 241 mod 206 = 35 ≠ 110 = 316 mod 206

m=207: 241 mod 207 = 34 ≠ 109 = 316 mod 207

m=208: 241 mod 208 = 33 ≠ 108 = 316 mod 208

m=209: 241 mod 209 = 32 ≠ 107 = 316 mod 209

m=210: 241 mod 210 = 31 ≠ 106 = 316 mod 210

m=211: 241 mod 211 = 30 ≠ 105 = 316 mod 211

m=212: 241 mod 212 = 29 ≠ 104 = 316 mod 212

m=213: 241 mod 213 = 28 ≠ 103 = 316 mod 213

m=214: 241 mod 214 = 27 ≠ 102 = 316 mod 214

m=215: 241 mod 215 = 26 ≠ 101 = 316 mod 215

m=216: 241 mod 216 = 25 ≠ 100 = 316 mod 216

m=217: 241 mod 217 = 24 ≠ 99 = 316 mod 217

m=218: 241 mod 218 = 23 ≠ 98 = 316 mod 218

m=219: 241 mod 219 = 22 ≠ 97 = 316 mod 219

m=220: 241 mod 220 = 21 ≠ 96 = 316 mod 220

m=221: 241 mod 221 = 20 ≠ 95 = 316 mod 221

m=222: 241 mod 222 = 19 ≠ 94 = 316 mod 222

m=223: 241 mod 223 = 18 ≠ 93 = 316 mod 223

m=224: 241 mod 224 = 17 ≠ 92 = 316 mod 224

m=225: 241 mod 225 = 16 ≠ 91 = 316 mod 225

m=226: 241 mod 226 = 15 ≠ 90 = 316 mod 226

m=227: 241 mod 227 = 14 ≠ 89 = 316 mod 227

m=228: 241 mod 228 = 13 ≠ 88 = 316 mod 228

m=229: 241 mod 229 = 12 ≠ 87 = 316 mod 229

m=230: 241 mod 230 = 11 ≠ 86 = 316 mod 230

m=231: 241 mod 231 = 10 ≠ 85 = 316 mod 231

m=232: 241 mod 232 = 9 ≠ 84 = 316 mod 232

m=233: 241 mod 233 = 8 ≠ 83 = 316 mod 233

m=234: 241 mod 234 = 7 ≠ 82 = 316 mod 234

m=235: 241 mod 235 = 6 ≠ 81 = 316 mod 235

m=236: 241 mod 236 = 5 ≠ 80 = 316 mod 236

m=237: 241 mod 237 = 4 ≠ 79 = 316 mod 237

m=238: 241 mod 238 = 3 ≠ 78 = 316 mod 238

m=239: 241 mod 239 = 2 ≠ 77 = 316 mod 239

m=240: 241 mod 240 = 1 ≠ 76 = 316 mod 240

m=241: 241 mod 241 = 0 ≠ 75 = 316 mod 241

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (316 - 241) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75