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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 49 = 6.

Somit gilt: 55 mod 7 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 43 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 9 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 54 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 43 ≡ 1 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24007 + 73) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24007 + 73) mod 8 ≡ (24007 mod 8 + 73 mod 8) mod 8.

24007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24007 = 24000+7 = 8 ⋅ 3000 +7.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 80-7 = 8 ⋅ 10 -7 = 8 ⋅ 10 - 8 + 1.

Somit gilt:

(24007 + 73) mod 8 ≡ (7 + 1) mod 8 ≡ 8 mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (59 ⋅ 36) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(59 ⋅ 36) mod 10 ≡ (59 mod 10 ⋅ 36 mod 10) mod 10.

59 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 50 + 9 = 5 ⋅ 10 + 9 ist.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

Somit gilt:

(59 ⋅ 36) mod 10 ≡ (9 ⋅ 6) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
65 mod m = 90 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 65 aus, ob zufällig 65 mod m = 90 mod m gilt:

m=2: 65 mod 2 = 1 ≠ 0 = 90 mod 2

m=3: 65 mod 3 = 2 ≠ 0 = 90 mod 3

m=4: 65 mod 4 = 1 ≠ 2 = 90 mod 4

m=5: 65 mod 5 = 0 = 0 = 90 mod 5

m=6: 65 mod 6 = 5 ≠ 0 = 90 mod 6

m=7: 65 mod 7 = 2 ≠ 6 = 90 mod 7

m=8: 65 mod 8 = 1 ≠ 2 = 90 mod 8

m=9: 65 mod 9 = 2 ≠ 0 = 90 mod 9

m=10: 65 mod 10 = 5 ≠ 0 = 90 mod 10

m=11: 65 mod 11 = 10 ≠ 2 = 90 mod 11

m=12: 65 mod 12 = 5 ≠ 6 = 90 mod 12

m=13: 65 mod 13 = 0 ≠ 12 = 90 mod 13

m=14: 65 mod 14 = 9 ≠ 6 = 90 mod 14

m=15: 65 mod 15 = 5 ≠ 0 = 90 mod 15

m=16: 65 mod 16 = 1 ≠ 10 = 90 mod 16

m=17: 65 mod 17 = 14 ≠ 5 = 90 mod 17

m=18: 65 mod 18 = 11 ≠ 0 = 90 mod 18

m=19: 65 mod 19 = 8 ≠ 14 = 90 mod 19

m=20: 65 mod 20 = 5 ≠ 10 = 90 mod 20

m=21: 65 mod 21 = 2 ≠ 6 = 90 mod 21

m=22: 65 mod 22 = 21 ≠ 2 = 90 mod 22

m=23: 65 mod 23 = 19 ≠ 21 = 90 mod 23

m=24: 65 mod 24 = 17 ≠ 18 = 90 mod 24

m=25: 65 mod 25 = 15 = 15 = 90 mod 25

m=26: 65 mod 26 = 13 ≠ 12 = 90 mod 26

m=27: 65 mod 27 = 11 ≠ 9 = 90 mod 27

m=28: 65 mod 28 = 9 ≠ 6 = 90 mod 28

m=29: 65 mod 29 = 7 ≠ 3 = 90 mod 29

m=30: 65 mod 30 = 5 ≠ 0 = 90 mod 30

m=31: 65 mod 31 = 3 ≠ 28 = 90 mod 31

m=32: 65 mod 32 = 1 ≠ 26 = 90 mod 32

m=33: 65 mod 33 = 32 ≠ 24 = 90 mod 33

m=34: 65 mod 34 = 31 ≠ 22 = 90 mod 34

m=35: 65 mod 35 = 30 ≠ 20 = 90 mod 35

m=36: 65 mod 36 = 29 ≠ 18 = 90 mod 36

m=37: 65 mod 37 = 28 ≠ 16 = 90 mod 37

m=38: 65 mod 38 = 27 ≠ 14 = 90 mod 38

m=39: 65 mod 39 = 26 ≠ 12 = 90 mod 39

m=40: 65 mod 40 = 25 ≠ 10 = 90 mod 40

m=41: 65 mod 41 = 24 ≠ 8 = 90 mod 41

m=42: 65 mod 42 = 23 ≠ 6 = 90 mod 42

m=43: 65 mod 43 = 22 ≠ 4 = 90 mod 43

m=44: 65 mod 44 = 21 ≠ 2 = 90 mod 44

m=45: 65 mod 45 = 20 ≠ 0 = 90 mod 45

m=46: 65 mod 46 = 19 ≠ 44 = 90 mod 46

m=47: 65 mod 47 = 18 ≠ 43 = 90 mod 47

m=48: 65 mod 48 = 17 ≠ 42 = 90 mod 48

m=49: 65 mod 49 = 16 ≠ 41 = 90 mod 49

m=50: 65 mod 50 = 15 ≠ 40 = 90 mod 50

m=51: 65 mod 51 = 14 ≠ 39 = 90 mod 51

m=52: 65 mod 52 = 13 ≠ 38 = 90 mod 52

m=53: 65 mod 53 = 12 ≠ 37 = 90 mod 53

m=54: 65 mod 54 = 11 ≠ 36 = 90 mod 54

m=55: 65 mod 55 = 10 ≠ 35 = 90 mod 55

m=56: 65 mod 56 = 9 ≠ 34 = 90 mod 56

m=57: 65 mod 57 = 8 ≠ 33 = 90 mod 57

m=58: 65 mod 58 = 7 ≠ 32 = 90 mod 58

m=59: 65 mod 59 = 6 ≠ 31 = 90 mod 59

m=60: 65 mod 60 = 5 ≠ 30 = 90 mod 60

m=61: 65 mod 61 = 4 ≠ 29 = 90 mod 61

m=62: 65 mod 62 = 3 ≠ 28 = 90 mod 62

m=63: 65 mod 63 = 2 ≠ 27 = 90 mod 63

m=64: 65 mod 64 = 1 ≠ 26 = 90 mod 64

m=65: 65 mod 65 = 0 ≠ 25 = 90 mod 65

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (90 - 65) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25