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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 20 = 8.

Somit gilt: 28 mod 10 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 46 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 21 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 46 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (801 + 16001) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(801 + 16001) mod 8 ≡ (801 mod 8 + 16001 mod 8) mod 8.

801 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 801 = 800+1 = 8 ⋅ 100 +1.

16001 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16001 = 16000+1 = 8 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(801 + 16001) mod 8 ≡ (1 + 1) mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 37) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 37) mod 9 ≡ (25 mod 9 ⋅ 37 mod 9) mod 9.

25 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 18 + 7 = 2 ⋅ 9 + 7 ist.

37 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 4 ⋅ 9 + 1 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 37) mod 9 ≡ (7 ⋅ 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
53 mod m = 73 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 53 aus, ob zufällig 53 mod m = 73 mod m gilt:

m=2: 53 mod 2 = 1 = 1 = 73 mod 2

m=3: 53 mod 3 = 2 ≠ 1 = 73 mod 3

m=4: 53 mod 4 = 1 = 1 = 73 mod 4

m=5: 53 mod 5 = 3 = 3 = 73 mod 5

m=6: 53 mod 6 = 5 ≠ 1 = 73 mod 6

m=7: 53 mod 7 = 4 ≠ 3 = 73 mod 7

m=8: 53 mod 8 = 5 ≠ 1 = 73 mod 8

m=9: 53 mod 9 = 8 ≠ 1 = 73 mod 9

m=10: 53 mod 10 = 3 = 3 = 73 mod 10

m=11: 53 mod 11 = 9 ≠ 7 = 73 mod 11

m=12: 53 mod 12 = 5 ≠ 1 = 73 mod 12

m=13: 53 mod 13 = 1 ≠ 8 = 73 mod 13

m=14: 53 mod 14 = 11 ≠ 3 = 73 mod 14

m=15: 53 mod 15 = 8 ≠ 13 = 73 mod 15

m=16: 53 mod 16 = 5 ≠ 9 = 73 mod 16

m=17: 53 mod 17 = 2 ≠ 5 = 73 mod 17

m=18: 53 mod 18 = 17 ≠ 1 = 73 mod 18

m=19: 53 mod 19 = 15 ≠ 16 = 73 mod 19

m=20: 53 mod 20 = 13 = 13 = 73 mod 20

m=21: 53 mod 21 = 11 ≠ 10 = 73 mod 21

m=22: 53 mod 22 = 9 ≠ 7 = 73 mod 22

m=23: 53 mod 23 = 7 ≠ 4 = 73 mod 23

m=24: 53 mod 24 = 5 ≠ 1 = 73 mod 24

m=25: 53 mod 25 = 3 ≠ 23 = 73 mod 25

m=26: 53 mod 26 = 1 ≠ 21 = 73 mod 26

m=27: 53 mod 27 = 26 ≠ 19 = 73 mod 27

m=28: 53 mod 28 = 25 ≠ 17 = 73 mod 28

m=29: 53 mod 29 = 24 ≠ 15 = 73 mod 29

m=30: 53 mod 30 = 23 ≠ 13 = 73 mod 30

m=31: 53 mod 31 = 22 ≠ 11 = 73 mod 31

m=32: 53 mod 32 = 21 ≠ 9 = 73 mod 32

m=33: 53 mod 33 = 20 ≠ 7 = 73 mod 33

m=34: 53 mod 34 = 19 ≠ 5 = 73 mod 34

m=35: 53 mod 35 = 18 ≠ 3 = 73 mod 35

m=36: 53 mod 36 = 17 ≠ 1 = 73 mod 36

m=37: 53 mod 37 = 16 ≠ 36 = 73 mod 37

m=38: 53 mod 38 = 15 ≠ 35 = 73 mod 38

m=39: 53 mod 39 = 14 ≠ 34 = 73 mod 39

m=40: 53 mod 40 = 13 ≠ 33 = 73 mod 40

m=41: 53 mod 41 = 12 ≠ 32 = 73 mod 41

m=42: 53 mod 42 = 11 ≠ 31 = 73 mod 42

m=43: 53 mod 43 = 10 ≠ 30 = 73 mod 43

m=44: 53 mod 44 = 9 ≠ 29 = 73 mod 44

m=45: 53 mod 45 = 8 ≠ 28 = 73 mod 45

m=46: 53 mod 46 = 7 ≠ 27 = 73 mod 46

m=47: 53 mod 47 = 6 ≠ 26 = 73 mod 47

m=48: 53 mod 48 = 5 ≠ 25 = 73 mod 48

m=49: 53 mod 49 = 4 ≠ 24 = 73 mod 49

m=50: 53 mod 50 = 3 ≠ 23 = 73 mod 50

m=51: 53 mod 51 = 2 ≠ 22 = 73 mod 51

m=52: 53 mod 52 = 1 ≠ 21 = 73 mod 52

m=53: 53 mod 53 = 0 ≠ 20 = 73 mod 53

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (73 - 53) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20