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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 10 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 23 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 20 = 3.

Somit gilt: 23 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 90 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 23 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 + 2997) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 + 2997) mod 3 ≡ (63 mod 3 + 2997 mod 3) mod 3.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

2997 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2997 = 3000-3 = 3 ⋅ 1000 -3 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 0.

Somit gilt:

(63 + 2997) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 84) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 84) mod 7 ≡ (91 mod 7 ⋅ 84 mod 7) mod 7.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

84 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 12 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 84) mod 7 ≡ (0 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
269 mod m = 344 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 269 aus, ob zufällig 269 mod m = 344 mod m gilt:

m=2: 269 mod 2 = 1 ≠ 0 = 344 mod 2

m=3: 269 mod 3 = 2 = 2 = 344 mod 3

m=4: 269 mod 4 = 1 ≠ 0 = 344 mod 4

m=5: 269 mod 5 = 4 = 4 = 344 mod 5

m=6: 269 mod 6 = 5 ≠ 2 = 344 mod 6

m=7: 269 mod 7 = 3 ≠ 1 = 344 mod 7

m=8: 269 mod 8 = 5 ≠ 0 = 344 mod 8

m=9: 269 mod 9 = 8 ≠ 2 = 344 mod 9

m=10: 269 mod 10 = 9 ≠ 4 = 344 mod 10

m=11: 269 mod 11 = 5 ≠ 3 = 344 mod 11

m=12: 269 mod 12 = 5 ≠ 8 = 344 mod 12

m=13: 269 mod 13 = 9 ≠ 6 = 344 mod 13

m=14: 269 mod 14 = 3 ≠ 8 = 344 mod 14

m=15: 269 mod 15 = 14 = 14 = 344 mod 15

m=16: 269 mod 16 = 13 ≠ 8 = 344 mod 16

m=17: 269 mod 17 = 14 ≠ 4 = 344 mod 17

m=18: 269 mod 18 = 17 ≠ 2 = 344 mod 18

m=19: 269 mod 19 = 3 ≠ 2 = 344 mod 19

m=20: 269 mod 20 = 9 ≠ 4 = 344 mod 20

m=21: 269 mod 21 = 17 ≠ 8 = 344 mod 21

m=22: 269 mod 22 = 5 ≠ 14 = 344 mod 22

m=23: 269 mod 23 = 16 ≠ 22 = 344 mod 23

m=24: 269 mod 24 = 5 ≠ 8 = 344 mod 24

m=25: 269 mod 25 = 19 = 19 = 344 mod 25

m=26: 269 mod 26 = 9 ≠ 6 = 344 mod 26

m=27: 269 mod 27 = 26 ≠ 20 = 344 mod 27

m=28: 269 mod 28 = 17 ≠ 8 = 344 mod 28

m=29: 269 mod 29 = 8 ≠ 25 = 344 mod 29

m=30: 269 mod 30 = 29 ≠ 14 = 344 mod 30

m=31: 269 mod 31 = 21 ≠ 3 = 344 mod 31

m=32: 269 mod 32 = 13 ≠ 24 = 344 mod 32

m=33: 269 mod 33 = 5 ≠ 14 = 344 mod 33

m=34: 269 mod 34 = 31 ≠ 4 = 344 mod 34

m=35: 269 mod 35 = 24 ≠ 29 = 344 mod 35

m=36: 269 mod 36 = 17 ≠ 20 = 344 mod 36

m=37: 269 mod 37 = 10 ≠ 11 = 344 mod 37

m=38: 269 mod 38 = 3 ≠ 2 = 344 mod 38

m=39: 269 mod 39 = 35 ≠ 32 = 344 mod 39

m=40: 269 mod 40 = 29 ≠ 24 = 344 mod 40

m=41: 269 mod 41 = 23 ≠ 16 = 344 mod 41

m=42: 269 mod 42 = 17 ≠ 8 = 344 mod 42

m=43: 269 mod 43 = 11 ≠ 0 = 344 mod 43

m=44: 269 mod 44 = 5 ≠ 36 = 344 mod 44

m=45: 269 mod 45 = 44 ≠ 29 = 344 mod 45

m=46: 269 mod 46 = 39 ≠ 22 = 344 mod 46

m=47: 269 mod 47 = 34 ≠ 15 = 344 mod 47

m=48: 269 mod 48 = 29 ≠ 8 = 344 mod 48

m=49: 269 mod 49 = 24 ≠ 1 = 344 mod 49

m=50: 269 mod 50 = 19 ≠ 44 = 344 mod 50

m=51: 269 mod 51 = 14 ≠ 38 = 344 mod 51

m=52: 269 mod 52 = 9 ≠ 32 = 344 mod 52

m=53: 269 mod 53 = 4 ≠ 26 = 344 mod 53

m=54: 269 mod 54 = 53 ≠ 20 = 344 mod 54

m=55: 269 mod 55 = 49 ≠ 14 = 344 mod 55

m=56: 269 mod 56 = 45 ≠ 8 = 344 mod 56

m=57: 269 mod 57 = 41 ≠ 2 = 344 mod 57

m=58: 269 mod 58 = 37 ≠ 54 = 344 mod 58

m=59: 269 mod 59 = 33 ≠ 49 = 344 mod 59

m=60: 269 mod 60 = 29 ≠ 44 = 344 mod 60

m=61: 269 mod 61 = 25 ≠ 39 = 344 mod 61

m=62: 269 mod 62 = 21 ≠ 34 = 344 mod 62

m=63: 269 mod 63 = 17 ≠ 29 = 344 mod 63

m=64: 269 mod 64 = 13 ≠ 24 = 344 mod 64

m=65: 269 mod 65 = 9 ≠ 19 = 344 mod 65

m=66: 269 mod 66 = 5 ≠ 14 = 344 mod 66

m=67: 269 mod 67 = 1 ≠ 9 = 344 mod 67

m=68: 269 mod 68 = 65 ≠ 4 = 344 mod 68

m=69: 269 mod 69 = 62 ≠ 68 = 344 mod 69

m=70: 269 mod 70 = 59 ≠ 64 = 344 mod 70

m=71: 269 mod 71 = 56 ≠ 60 = 344 mod 71

m=72: 269 mod 72 = 53 ≠ 56 = 344 mod 72

m=73: 269 mod 73 = 50 ≠ 52 = 344 mod 73

m=74: 269 mod 74 = 47 ≠ 48 = 344 mod 74

m=75: 269 mod 75 = 44 = 44 = 344 mod 75

m=76: 269 mod 76 = 41 ≠ 40 = 344 mod 76

m=77: 269 mod 77 = 38 ≠ 36 = 344 mod 77

m=78: 269 mod 78 = 35 ≠ 32 = 344 mod 78

m=79: 269 mod 79 = 32 ≠ 28 = 344 mod 79

m=80: 269 mod 80 = 29 ≠ 24 = 344 mod 80

m=81: 269 mod 81 = 26 ≠ 20 = 344 mod 81

m=82: 269 mod 82 = 23 ≠ 16 = 344 mod 82

m=83: 269 mod 83 = 20 ≠ 12 = 344 mod 83

m=84: 269 mod 84 = 17 ≠ 8 = 344 mod 84

m=85: 269 mod 85 = 14 ≠ 4 = 344 mod 85

m=86: 269 mod 86 = 11 ≠ 0 = 344 mod 86

m=87: 269 mod 87 = 8 ≠ 83 = 344 mod 87

m=88: 269 mod 88 = 5 ≠ 80 = 344 mod 88

m=89: 269 mod 89 = 2 ≠ 77 = 344 mod 89

m=90: 269 mod 90 = 89 ≠ 74 = 344 mod 90

m=91: 269 mod 91 = 87 ≠ 71 = 344 mod 91

m=92: 269 mod 92 = 85 ≠ 68 = 344 mod 92

m=93: 269 mod 93 = 83 ≠ 65 = 344 mod 93

m=94: 269 mod 94 = 81 ≠ 62 = 344 mod 94

m=95: 269 mod 95 = 79 ≠ 59 = 344 mod 95

m=96: 269 mod 96 = 77 ≠ 56 = 344 mod 96

m=97: 269 mod 97 = 75 ≠ 53 = 344 mod 97

m=98: 269 mod 98 = 73 ≠ 50 = 344 mod 98

m=99: 269 mod 99 = 71 ≠ 47 = 344 mod 99

m=100: 269 mod 100 = 69 ≠ 44 = 344 mod 100

m=101: 269 mod 101 = 67 ≠ 41 = 344 mod 101

m=102: 269 mod 102 = 65 ≠ 38 = 344 mod 102

m=103: 269 mod 103 = 63 ≠ 35 = 344 mod 103

m=104: 269 mod 104 = 61 ≠ 32 = 344 mod 104

m=105: 269 mod 105 = 59 ≠ 29 = 344 mod 105

m=106: 269 mod 106 = 57 ≠ 26 = 344 mod 106

m=107: 269 mod 107 = 55 ≠ 23 = 344 mod 107

m=108: 269 mod 108 = 53 ≠ 20 = 344 mod 108

m=109: 269 mod 109 = 51 ≠ 17 = 344 mod 109

m=110: 269 mod 110 = 49 ≠ 14 = 344 mod 110

m=111: 269 mod 111 = 47 ≠ 11 = 344 mod 111

m=112: 269 mod 112 = 45 ≠ 8 = 344 mod 112

m=113: 269 mod 113 = 43 ≠ 5 = 344 mod 113

m=114: 269 mod 114 = 41 ≠ 2 = 344 mod 114

m=115: 269 mod 115 = 39 ≠ 114 = 344 mod 115

m=116: 269 mod 116 = 37 ≠ 112 = 344 mod 116

m=117: 269 mod 117 = 35 ≠ 110 = 344 mod 117

m=118: 269 mod 118 = 33 ≠ 108 = 344 mod 118

m=119: 269 mod 119 = 31 ≠ 106 = 344 mod 119

m=120: 269 mod 120 = 29 ≠ 104 = 344 mod 120

m=121: 269 mod 121 = 27 ≠ 102 = 344 mod 121

m=122: 269 mod 122 = 25 ≠ 100 = 344 mod 122

m=123: 269 mod 123 = 23 ≠ 98 = 344 mod 123

m=124: 269 mod 124 = 21 ≠ 96 = 344 mod 124

m=125: 269 mod 125 = 19 ≠ 94 = 344 mod 125

m=126: 269 mod 126 = 17 ≠ 92 = 344 mod 126

m=127: 269 mod 127 = 15 ≠ 90 = 344 mod 127

m=128: 269 mod 128 = 13 ≠ 88 = 344 mod 128

m=129: 269 mod 129 = 11 ≠ 86 = 344 mod 129

m=130: 269 mod 130 = 9 ≠ 84 = 344 mod 130

m=131: 269 mod 131 = 7 ≠ 82 = 344 mod 131

m=132: 269 mod 132 = 5 ≠ 80 = 344 mod 132

m=133: 269 mod 133 = 3 ≠ 78 = 344 mod 133

m=134: 269 mod 134 = 1 ≠ 76 = 344 mod 134

m=135: 269 mod 135 = 134 ≠ 74 = 344 mod 135

m=136: 269 mod 136 = 133 ≠ 72 = 344 mod 136

m=137: 269 mod 137 = 132 ≠ 70 = 344 mod 137

m=138: 269 mod 138 = 131 ≠ 68 = 344 mod 138

m=139: 269 mod 139 = 130 ≠ 66 = 344 mod 139

m=140: 269 mod 140 = 129 ≠ 64 = 344 mod 140

m=141: 269 mod 141 = 128 ≠ 62 = 344 mod 141

m=142: 269 mod 142 = 127 ≠ 60 = 344 mod 142

m=143: 269 mod 143 = 126 ≠ 58 = 344 mod 143

m=144: 269 mod 144 = 125 ≠ 56 = 344 mod 144

m=145: 269 mod 145 = 124 ≠ 54 = 344 mod 145

m=146: 269 mod 146 = 123 ≠ 52 = 344 mod 146

m=147: 269 mod 147 = 122 ≠ 50 = 344 mod 147

m=148: 269 mod 148 = 121 ≠ 48 = 344 mod 148

m=149: 269 mod 149 = 120 ≠ 46 = 344 mod 149

m=150: 269 mod 150 = 119 ≠ 44 = 344 mod 150

m=151: 269 mod 151 = 118 ≠ 42 = 344 mod 151

m=152: 269 mod 152 = 117 ≠ 40 = 344 mod 152

m=153: 269 mod 153 = 116 ≠ 38 = 344 mod 153

m=154: 269 mod 154 = 115 ≠ 36 = 344 mod 154

m=155: 269 mod 155 = 114 ≠ 34 = 344 mod 155

m=156: 269 mod 156 = 113 ≠ 32 = 344 mod 156

m=157: 269 mod 157 = 112 ≠ 30 = 344 mod 157

m=158: 269 mod 158 = 111 ≠ 28 = 344 mod 158

m=159: 269 mod 159 = 110 ≠ 26 = 344 mod 159

m=160: 269 mod 160 = 109 ≠ 24 = 344 mod 160

m=161: 269 mod 161 = 108 ≠ 22 = 344 mod 161

m=162: 269 mod 162 = 107 ≠ 20 = 344 mod 162

m=163: 269 mod 163 = 106 ≠ 18 = 344 mod 163

m=164: 269 mod 164 = 105 ≠ 16 = 344 mod 164

m=165: 269 mod 165 = 104 ≠ 14 = 344 mod 165

m=166: 269 mod 166 = 103 ≠ 12 = 344 mod 166

m=167: 269 mod 167 = 102 ≠ 10 = 344 mod 167

m=168: 269 mod 168 = 101 ≠ 8 = 344 mod 168

m=169: 269 mod 169 = 100 ≠ 6 = 344 mod 169

m=170: 269 mod 170 = 99 ≠ 4 = 344 mod 170

m=171: 269 mod 171 = 98 ≠ 2 = 344 mod 171

m=172: 269 mod 172 = 97 ≠ 0 = 344 mod 172

m=173: 269 mod 173 = 96 ≠ 171 = 344 mod 173

m=174: 269 mod 174 = 95 ≠ 170 = 344 mod 174

m=175: 269 mod 175 = 94 ≠ 169 = 344 mod 175

m=176: 269 mod 176 = 93 ≠ 168 = 344 mod 176

m=177: 269 mod 177 = 92 ≠ 167 = 344 mod 177

m=178: 269 mod 178 = 91 ≠ 166 = 344 mod 178

m=179: 269 mod 179 = 90 ≠ 165 = 344 mod 179

m=180: 269 mod 180 = 89 ≠ 164 = 344 mod 180

m=181: 269 mod 181 = 88 ≠ 163 = 344 mod 181

m=182: 269 mod 182 = 87 ≠ 162 = 344 mod 182

m=183: 269 mod 183 = 86 ≠ 161 = 344 mod 183

m=184: 269 mod 184 = 85 ≠ 160 = 344 mod 184

m=185: 269 mod 185 = 84 ≠ 159 = 344 mod 185

m=186: 269 mod 186 = 83 ≠ 158 = 344 mod 186

m=187: 269 mod 187 = 82 ≠ 157 = 344 mod 187

m=188: 269 mod 188 = 81 ≠ 156 = 344 mod 188

m=189: 269 mod 189 = 80 ≠ 155 = 344 mod 189

m=190: 269 mod 190 = 79 ≠ 154 = 344 mod 190

m=191: 269 mod 191 = 78 ≠ 153 = 344 mod 191

m=192: 269 mod 192 = 77 ≠ 152 = 344 mod 192

m=193: 269 mod 193 = 76 ≠ 151 = 344 mod 193

m=194: 269 mod 194 = 75 ≠ 150 = 344 mod 194

m=195: 269 mod 195 = 74 ≠ 149 = 344 mod 195

m=196: 269 mod 196 = 73 ≠ 148 = 344 mod 196

m=197: 269 mod 197 = 72 ≠ 147 = 344 mod 197

m=198: 269 mod 198 = 71 ≠ 146 = 344 mod 198

m=199: 269 mod 199 = 70 ≠ 145 = 344 mod 199

m=200: 269 mod 200 = 69 ≠ 144 = 344 mod 200

m=201: 269 mod 201 = 68 ≠ 143 = 344 mod 201

m=202: 269 mod 202 = 67 ≠ 142 = 344 mod 202

m=203: 269 mod 203 = 66 ≠ 141 = 344 mod 203

m=204: 269 mod 204 = 65 ≠ 140 = 344 mod 204

m=205: 269 mod 205 = 64 ≠ 139 = 344 mod 205

m=206: 269 mod 206 = 63 ≠ 138 = 344 mod 206

m=207: 269 mod 207 = 62 ≠ 137 = 344 mod 207

m=208: 269 mod 208 = 61 ≠ 136 = 344 mod 208

m=209: 269 mod 209 = 60 ≠ 135 = 344 mod 209

m=210: 269 mod 210 = 59 ≠ 134 = 344 mod 210

m=211: 269 mod 211 = 58 ≠ 133 = 344 mod 211

m=212: 269 mod 212 = 57 ≠ 132 = 344 mod 212

m=213: 269 mod 213 = 56 ≠ 131 = 344 mod 213

m=214: 269 mod 214 = 55 ≠ 130 = 344 mod 214

m=215: 269 mod 215 = 54 ≠ 129 = 344 mod 215

m=216: 269 mod 216 = 53 ≠ 128 = 344 mod 216

m=217: 269 mod 217 = 52 ≠ 127 = 344 mod 217

m=218: 269 mod 218 = 51 ≠ 126 = 344 mod 218

m=219: 269 mod 219 = 50 ≠ 125 = 344 mod 219

m=220: 269 mod 220 = 49 ≠ 124 = 344 mod 220

m=221: 269 mod 221 = 48 ≠ 123 = 344 mod 221

m=222: 269 mod 222 = 47 ≠ 122 = 344 mod 222

m=223: 269 mod 223 = 46 ≠ 121 = 344 mod 223

m=224: 269 mod 224 = 45 ≠ 120 = 344 mod 224

m=225: 269 mod 225 = 44 ≠ 119 = 344 mod 225

m=226: 269 mod 226 = 43 ≠ 118 = 344 mod 226

m=227: 269 mod 227 = 42 ≠ 117 = 344 mod 227

m=228: 269 mod 228 = 41 ≠ 116 = 344 mod 228

m=229: 269 mod 229 = 40 ≠ 115 = 344 mod 229

m=230: 269 mod 230 = 39 ≠ 114 = 344 mod 230

m=231: 269 mod 231 = 38 ≠ 113 = 344 mod 231

m=232: 269 mod 232 = 37 ≠ 112 = 344 mod 232

m=233: 269 mod 233 = 36 ≠ 111 = 344 mod 233

m=234: 269 mod 234 = 35 ≠ 110 = 344 mod 234

m=235: 269 mod 235 = 34 ≠ 109 = 344 mod 235

m=236: 269 mod 236 = 33 ≠ 108 = 344 mod 236

m=237: 269 mod 237 = 32 ≠ 107 = 344 mod 237

m=238: 269 mod 238 = 31 ≠ 106 = 344 mod 238

m=239: 269 mod 239 = 30 ≠ 105 = 344 mod 239

m=240: 269 mod 240 = 29 ≠ 104 = 344 mod 240

m=241: 269 mod 241 = 28 ≠ 103 = 344 mod 241

m=242: 269 mod 242 = 27 ≠ 102 = 344 mod 242

m=243: 269 mod 243 = 26 ≠ 101 = 344 mod 243

m=244: 269 mod 244 = 25 ≠ 100 = 344 mod 244

m=245: 269 mod 245 = 24 ≠ 99 = 344 mod 245

m=246: 269 mod 246 = 23 ≠ 98 = 344 mod 246

m=247: 269 mod 247 = 22 ≠ 97 = 344 mod 247

m=248: 269 mod 248 = 21 ≠ 96 = 344 mod 248

m=249: 269 mod 249 = 20 ≠ 95 = 344 mod 249

m=250: 269 mod 250 = 19 ≠ 94 = 344 mod 250

m=251: 269 mod 251 = 18 ≠ 93 = 344 mod 251

m=252: 269 mod 252 = 17 ≠ 92 = 344 mod 252

m=253: 269 mod 253 = 16 ≠ 91 = 344 mod 253

m=254: 269 mod 254 = 15 ≠ 90 = 344 mod 254

m=255: 269 mod 255 = 14 ≠ 89 = 344 mod 255

m=256: 269 mod 256 = 13 ≠ 88 = 344 mod 256

m=257: 269 mod 257 = 12 ≠ 87 = 344 mod 257

m=258: 269 mod 258 = 11 ≠ 86 = 344 mod 258

m=259: 269 mod 259 = 10 ≠ 85 = 344 mod 259

m=260: 269 mod 260 = 9 ≠ 84 = 344 mod 260

m=261: 269 mod 261 = 8 ≠ 83 = 344 mod 261

m=262: 269 mod 262 = 7 ≠ 82 = 344 mod 262

m=263: 269 mod 263 = 6 ≠ 81 = 344 mod 263

m=264: 269 mod 264 = 5 ≠ 80 = 344 mod 264

m=265: 269 mod 265 = 4 ≠ 79 = 344 mod 265

m=266: 269 mod 266 = 3 ≠ 78 = 344 mod 266

m=267: 269 mod 267 = 2 ≠ 77 = 344 mod 267

m=268: 269 mod 268 = 1 ≠ 76 = 344 mod 268

m=269: 269 mod 269 = 0 ≠ 75 = 344 mod 269

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (344 - 269) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75