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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 85 = 0.

Somit gilt: 85 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 42 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 42, weil ja 14 ⋅ 3 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 30 ⋅ 3

Somit gilt: 90 ≡ 42 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1199 - 297) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1199 - 297) mod 6 ≡ (1199 mod 6 - 297 mod 6) mod 6.

1199 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1199 = 1200-1 = 6 ⋅ 200 -1 = 6 ⋅ 200 - 6 + 5.

297 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 297 = 300-3 = 6 ⋅ 50 -3 = 6 ⋅ 50 - 6 + 3.

Somit gilt:

(1199 - 297) mod 6 ≡ (5 - 3) mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 15) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 15) mod 9 ≡ (76 mod 9 ⋅ 15 mod 9) mod 9.

76 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 8 ⋅ 9 + 4 ist.

15 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 9 + 6 = 1 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 15) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
194 mod m = 269 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 194 aus, ob zufällig 194 mod m = 269 mod m gilt:

m=2: 194 mod 2 = 0 ≠ 1 = 269 mod 2

m=3: 194 mod 3 = 2 = 2 = 269 mod 3

m=4: 194 mod 4 = 2 ≠ 1 = 269 mod 4

m=5: 194 mod 5 = 4 = 4 = 269 mod 5

m=6: 194 mod 6 = 2 ≠ 5 = 269 mod 6

m=7: 194 mod 7 = 5 ≠ 3 = 269 mod 7

m=8: 194 mod 8 = 2 ≠ 5 = 269 mod 8

m=9: 194 mod 9 = 5 ≠ 8 = 269 mod 9

m=10: 194 mod 10 = 4 ≠ 9 = 269 mod 10

m=11: 194 mod 11 = 7 ≠ 5 = 269 mod 11

m=12: 194 mod 12 = 2 ≠ 5 = 269 mod 12

m=13: 194 mod 13 = 12 ≠ 9 = 269 mod 13

m=14: 194 mod 14 = 12 ≠ 3 = 269 mod 14

m=15: 194 mod 15 = 14 = 14 = 269 mod 15

m=16: 194 mod 16 = 2 ≠ 13 = 269 mod 16

m=17: 194 mod 17 = 7 ≠ 14 = 269 mod 17

m=18: 194 mod 18 = 14 ≠ 17 = 269 mod 18

m=19: 194 mod 19 = 4 ≠ 3 = 269 mod 19

m=20: 194 mod 20 = 14 ≠ 9 = 269 mod 20

m=21: 194 mod 21 = 5 ≠ 17 = 269 mod 21

m=22: 194 mod 22 = 18 ≠ 5 = 269 mod 22

m=23: 194 mod 23 = 10 ≠ 16 = 269 mod 23

m=24: 194 mod 24 = 2 ≠ 5 = 269 mod 24

m=25: 194 mod 25 = 19 = 19 = 269 mod 25

m=26: 194 mod 26 = 12 ≠ 9 = 269 mod 26

m=27: 194 mod 27 = 5 ≠ 26 = 269 mod 27

m=28: 194 mod 28 = 26 ≠ 17 = 269 mod 28

m=29: 194 mod 29 = 20 ≠ 8 = 269 mod 29

m=30: 194 mod 30 = 14 ≠ 29 = 269 mod 30

m=31: 194 mod 31 = 8 ≠ 21 = 269 mod 31

m=32: 194 mod 32 = 2 ≠ 13 = 269 mod 32

m=33: 194 mod 33 = 29 ≠ 5 = 269 mod 33

m=34: 194 mod 34 = 24 ≠ 31 = 269 mod 34

m=35: 194 mod 35 = 19 ≠ 24 = 269 mod 35

m=36: 194 mod 36 = 14 ≠ 17 = 269 mod 36

m=37: 194 mod 37 = 9 ≠ 10 = 269 mod 37

m=38: 194 mod 38 = 4 ≠ 3 = 269 mod 38

m=39: 194 mod 39 = 38 ≠ 35 = 269 mod 39

m=40: 194 mod 40 = 34 ≠ 29 = 269 mod 40

m=41: 194 mod 41 = 30 ≠ 23 = 269 mod 41

m=42: 194 mod 42 = 26 ≠ 17 = 269 mod 42

m=43: 194 mod 43 = 22 ≠ 11 = 269 mod 43

m=44: 194 mod 44 = 18 ≠ 5 = 269 mod 44

m=45: 194 mod 45 = 14 ≠ 44 = 269 mod 45

m=46: 194 mod 46 = 10 ≠ 39 = 269 mod 46

m=47: 194 mod 47 = 6 ≠ 34 = 269 mod 47

m=48: 194 mod 48 = 2 ≠ 29 = 269 mod 48

m=49: 194 mod 49 = 47 ≠ 24 = 269 mod 49

m=50: 194 mod 50 = 44 ≠ 19 = 269 mod 50

m=51: 194 mod 51 = 41 ≠ 14 = 269 mod 51

m=52: 194 mod 52 = 38 ≠ 9 = 269 mod 52

m=53: 194 mod 53 = 35 ≠ 4 = 269 mod 53

m=54: 194 mod 54 = 32 ≠ 53 = 269 mod 54

m=55: 194 mod 55 = 29 ≠ 49 = 269 mod 55

m=56: 194 mod 56 = 26 ≠ 45 = 269 mod 56

m=57: 194 mod 57 = 23 ≠ 41 = 269 mod 57

m=58: 194 mod 58 = 20 ≠ 37 = 269 mod 58

m=59: 194 mod 59 = 17 ≠ 33 = 269 mod 59

m=60: 194 mod 60 = 14 ≠ 29 = 269 mod 60

m=61: 194 mod 61 = 11 ≠ 25 = 269 mod 61

m=62: 194 mod 62 = 8 ≠ 21 = 269 mod 62

m=63: 194 mod 63 = 5 ≠ 17 = 269 mod 63

m=64: 194 mod 64 = 2 ≠ 13 = 269 mod 64

m=65: 194 mod 65 = 64 ≠ 9 = 269 mod 65

m=66: 194 mod 66 = 62 ≠ 5 = 269 mod 66

m=67: 194 mod 67 = 60 ≠ 1 = 269 mod 67

m=68: 194 mod 68 = 58 ≠ 65 = 269 mod 68

m=69: 194 mod 69 = 56 ≠ 62 = 269 mod 69

m=70: 194 mod 70 = 54 ≠ 59 = 269 mod 70

m=71: 194 mod 71 = 52 ≠ 56 = 269 mod 71

m=72: 194 mod 72 = 50 ≠ 53 = 269 mod 72

m=73: 194 mod 73 = 48 ≠ 50 = 269 mod 73

m=74: 194 mod 74 = 46 ≠ 47 = 269 mod 74

m=75: 194 mod 75 = 44 = 44 = 269 mod 75

m=76: 194 mod 76 = 42 ≠ 41 = 269 mod 76

m=77: 194 mod 77 = 40 ≠ 38 = 269 mod 77

m=78: 194 mod 78 = 38 ≠ 35 = 269 mod 78

m=79: 194 mod 79 = 36 ≠ 32 = 269 mod 79

m=80: 194 mod 80 = 34 ≠ 29 = 269 mod 80

m=81: 194 mod 81 = 32 ≠ 26 = 269 mod 81

m=82: 194 mod 82 = 30 ≠ 23 = 269 mod 82

m=83: 194 mod 83 = 28 ≠ 20 = 269 mod 83

m=84: 194 mod 84 = 26 ≠ 17 = 269 mod 84

m=85: 194 mod 85 = 24 ≠ 14 = 269 mod 85

m=86: 194 mod 86 = 22 ≠ 11 = 269 mod 86

m=87: 194 mod 87 = 20 ≠ 8 = 269 mod 87

m=88: 194 mod 88 = 18 ≠ 5 = 269 mod 88

m=89: 194 mod 89 = 16 ≠ 2 = 269 mod 89

m=90: 194 mod 90 = 14 ≠ 89 = 269 mod 90

m=91: 194 mod 91 = 12 ≠ 87 = 269 mod 91

m=92: 194 mod 92 = 10 ≠ 85 = 269 mod 92

m=93: 194 mod 93 = 8 ≠ 83 = 269 mod 93

m=94: 194 mod 94 = 6 ≠ 81 = 269 mod 94

m=95: 194 mod 95 = 4 ≠ 79 = 269 mod 95

m=96: 194 mod 96 = 2 ≠ 77 = 269 mod 96

m=97: 194 mod 97 = 0 ≠ 75 = 269 mod 97

m=98: 194 mod 98 = 96 ≠ 73 = 269 mod 98

m=99: 194 mod 99 = 95 ≠ 71 = 269 mod 99

m=100: 194 mod 100 = 94 ≠ 69 = 269 mod 100

m=101: 194 mod 101 = 93 ≠ 67 = 269 mod 101

m=102: 194 mod 102 = 92 ≠ 65 = 269 mod 102

m=103: 194 mod 103 = 91 ≠ 63 = 269 mod 103

m=104: 194 mod 104 = 90 ≠ 61 = 269 mod 104

m=105: 194 mod 105 = 89 ≠ 59 = 269 mod 105

m=106: 194 mod 106 = 88 ≠ 57 = 269 mod 106

m=107: 194 mod 107 = 87 ≠ 55 = 269 mod 107

m=108: 194 mod 108 = 86 ≠ 53 = 269 mod 108

m=109: 194 mod 109 = 85 ≠ 51 = 269 mod 109

m=110: 194 mod 110 = 84 ≠ 49 = 269 mod 110

m=111: 194 mod 111 = 83 ≠ 47 = 269 mod 111

m=112: 194 mod 112 = 82 ≠ 45 = 269 mod 112

m=113: 194 mod 113 = 81 ≠ 43 = 269 mod 113

m=114: 194 mod 114 = 80 ≠ 41 = 269 mod 114

m=115: 194 mod 115 = 79 ≠ 39 = 269 mod 115

m=116: 194 mod 116 = 78 ≠ 37 = 269 mod 116

m=117: 194 mod 117 = 77 ≠ 35 = 269 mod 117

m=118: 194 mod 118 = 76 ≠ 33 = 269 mod 118

m=119: 194 mod 119 = 75 ≠ 31 = 269 mod 119

m=120: 194 mod 120 = 74 ≠ 29 = 269 mod 120

m=121: 194 mod 121 = 73 ≠ 27 = 269 mod 121

m=122: 194 mod 122 = 72 ≠ 25 = 269 mod 122

m=123: 194 mod 123 = 71 ≠ 23 = 269 mod 123

m=124: 194 mod 124 = 70 ≠ 21 = 269 mod 124

m=125: 194 mod 125 = 69 ≠ 19 = 269 mod 125

m=126: 194 mod 126 = 68 ≠ 17 = 269 mod 126

m=127: 194 mod 127 = 67 ≠ 15 = 269 mod 127

m=128: 194 mod 128 = 66 ≠ 13 = 269 mod 128

m=129: 194 mod 129 = 65 ≠ 11 = 269 mod 129

m=130: 194 mod 130 = 64 ≠ 9 = 269 mod 130

m=131: 194 mod 131 = 63 ≠ 7 = 269 mod 131

m=132: 194 mod 132 = 62 ≠ 5 = 269 mod 132

m=133: 194 mod 133 = 61 ≠ 3 = 269 mod 133

m=134: 194 mod 134 = 60 ≠ 1 = 269 mod 134

m=135: 194 mod 135 = 59 ≠ 134 = 269 mod 135

m=136: 194 mod 136 = 58 ≠ 133 = 269 mod 136

m=137: 194 mod 137 = 57 ≠ 132 = 269 mod 137

m=138: 194 mod 138 = 56 ≠ 131 = 269 mod 138

m=139: 194 mod 139 = 55 ≠ 130 = 269 mod 139

m=140: 194 mod 140 = 54 ≠ 129 = 269 mod 140

m=141: 194 mod 141 = 53 ≠ 128 = 269 mod 141

m=142: 194 mod 142 = 52 ≠ 127 = 269 mod 142

m=143: 194 mod 143 = 51 ≠ 126 = 269 mod 143

m=144: 194 mod 144 = 50 ≠ 125 = 269 mod 144

m=145: 194 mod 145 = 49 ≠ 124 = 269 mod 145

m=146: 194 mod 146 = 48 ≠ 123 = 269 mod 146

m=147: 194 mod 147 = 47 ≠ 122 = 269 mod 147

m=148: 194 mod 148 = 46 ≠ 121 = 269 mod 148

m=149: 194 mod 149 = 45 ≠ 120 = 269 mod 149

m=150: 194 mod 150 = 44 ≠ 119 = 269 mod 150

m=151: 194 mod 151 = 43 ≠ 118 = 269 mod 151

m=152: 194 mod 152 = 42 ≠ 117 = 269 mod 152

m=153: 194 mod 153 = 41 ≠ 116 = 269 mod 153

m=154: 194 mod 154 = 40 ≠ 115 = 269 mod 154

m=155: 194 mod 155 = 39 ≠ 114 = 269 mod 155

m=156: 194 mod 156 = 38 ≠ 113 = 269 mod 156

m=157: 194 mod 157 = 37 ≠ 112 = 269 mod 157

m=158: 194 mod 158 = 36 ≠ 111 = 269 mod 158

m=159: 194 mod 159 = 35 ≠ 110 = 269 mod 159

m=160: 194 mod 160 = 34 ≠ 109 = 269 mod 160

m=161: 194 mod 161 = 33 ≠ 108 = 269 mod 161

m=162: 194 mod 162 = 32 ≠ 107 = 269 mod 162

m=163: 194 mod 163 = 31 ≠ 106 = 269 mod 163

m=164: 194 mod 164 = 30 ≠ 105 = 269 mod 164

m=165: 194 mod 165 = 29 ≠ 104 = 269 mod 165

m=166: 194 mod 166 = 28 ≠ 103 = 269 mod 166

m=167: 194 mod 167 = 27 ≠ 102 = 269 mod 167

m=168: 194 mod 168 = 26 ≠ 101 = 269 mod 168

m=169: 194 mod 169 = 25 ≠ 100 = 269 mod 169

m=170: 194 mod 170 = 24 ≠ 99 = 269 mod 170

m=171: 194 mod 171 = 23 ≠ 98 = 269 mod 171

m=172: 194 mod 172 = 22 ≠ 97 = 269 mod 172

m=173: 194 mod 173 = 21 ≠ 96 = 269 mod 173

m=174: 194 mod 174 = 20 ≠ 95 = 269 mod 174

m=175: 194 mod 175 = 19 ≠ 94 = 269 mod 175

m=176: 194 mod 176 = 18 ≠ 93 = 269 mod 176

m=177: 194 mod 177 = 17 ≠ 92 = 269 mod 177

m=178: 194 mod 178 = 16 ≠ 91 = 269 mod 178

m=179: 194 mod 179 = 15 ≠ 90 = 269 mod 179

m=180: 194 mod 180 = 14 ≠ 89 = 269 mod 180

m=181: 194 mod 181 = 13 ≠ 88 = 269 mod 181

m=182: 194 mod 182 = 12 ≠ 87 = 269 mod 182

m=183: 194 mod 183 = 11 ≠ 86 = 269 mod 183

m=184: 194 mod 184 = 10 ≠ 85 = 269 mod 184

m=185: 194 mod 185 = 9 ≠ 84 = 269 mod 185

m=186: 194 mod 186 = 8 ≠ 83 = 269 mod 186

m=187: 194 mod 187 = 7 ≠ 82 = 269 mod 187

m=188: 194 mod 188 = 6 ≠ 81 = 269 mod 188

m=189: 194 mod 189 = 5 ≠ 80 = 269 mod 189

m=190: 194 mod 190 = 4 ≠ 79 = 269 mod 190

m=191: 194 mod 191 = 3 ≠ 78 = 269 mod 191

m=192: 194 mod 192 = 2 ≠ 77 = 269 mod 192

m=193: 194 mod 193 = 1 ≠ 76 = 269 mod 193

m=194: 194 mod 194 = 0 ≠ 75 = 269 mod 194

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (269 - 194) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75