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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 8 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 51 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 51 = 0.

Somit gilt: 51 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 24 ⋅ 3

Somit gilt: 72 ≡ 51 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (156 + 313) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(156 + 313) mod 8 ≡ (156 mod 8 + 313 mod 8) mod 8.

156 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 8 ⋅ 20 -4 = 8 ⋅ 20 - 8 + 4.

313 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 313 = 320-7 = 8 ⋅ 40 -7 = 8 ⋅ 40 - 8 + 1.

Somit gilt:

(156 + 313) mod 8 ≡ (4 + 1) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 42) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 42) mod 11 ≡ (85 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 42) mod 11 ≡ (8 ⋅ 9) mod 11 ≡ 72 mod 11 ≡ 6 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
98 mod m = 128 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 98 aus, ob zufällig 98 mod m = 128 mod m gilt:

m=2: 98 mod 2 = 0 = 0 = 128 mod 2

m=3: 98 mod 3 = 2 = 2 = 128 mod 3

m=4: 98 mod 4 = 2 ≠ 0 = 128 mod 4

m=5: 98 mod 5 = 3 = 3 = 128 mod 5

m=6: 98 mod 6 = 2 = 2 = 128 mod 6

m=7: 98 mod 7 = 0 ≠ 2 = 128 mod 7

m=8: 98 mod 8 = 2 ≠ 0 = 128 mod 8

m=9: 98 mod 9 = 8 ≠ 2 = 128 mod 9

m=10: 98 mod 10 = 8 = 8 = 128 mod 10

m=11: 98 mod 11 = 10 ≠ 7 = 128 mod 11

m=12: 98 mod 12 = 2 ≠ 8 = 128 mod 12

m=13: 98 mod 13 = 7 ≠ 11 = 128 mod 13

m=14: 98 mod 14 = 0 ≠ 2 = 128 mod 14

m=15: 98 mod 15 = 8 = 8 = 128 mod 15

m=16: 98 mod 16 = 2 ≠ 0 = 128 mod 16

m=17: 98 mod 17 = 13 ≠ 9 = 128 mod 17

m=18: 98 mod 18 = 8 ≠ 2 = 128 mod 18

m=19: 98 mod 19 = 3 ≠ 14 = 128 mod 19

m=20: 98 mod 20 = 18 ≠ 8 = 128 mod 20

m=21: 98 mod 21 = 14 ≠ 2 = 128 mod 21

m=22: 98 mod 22 = 10 ≠ 18 = 128 mod 22

m=23: 98 mod 23 = 6 ≠ 13 = 128 mod 23

m=24: 98 mod 24 = 2 ≠ 8 = 128 mod 24

m=25: 98 mod 25 = 23 ≠ 3 = 128 mod 25

m=26: 98 mod 26 = 20 ≠ 24 = 128 mod 26

m=27: 98 mod 27 = 17 ≠ 20 = 128 mod 27

m=28: 98 mod 28 = 14 ≠ 16 = 128 mod 28

m=29: 98 mod 29 = 11 ≠ 12 = 128 mod 29

m=30: 98 mod 30 = 8 = 8 = 128 mod 30

m=31: 98 mod 31 = 5 ≠ 4 = 128 mod 31

m=32: 98 mod 32 = 2 ≠ 0 = 128 mod 32

m=33: 98 mod 33 = 32 ≠ 29 = 128 mod 33

m=34: 98 mod 34 = 30 ≠ 26 = 128 mod 34

m=35: 98 mod 35 = 28 ≠ 23 = 128 mod 35

m=36: 98 mod 36 = 26 ≠ 20 = 128 mod 36

m=37: 98 mod 37 = 24 ≠ 17 = 128 mod 37

m=38: 98 mod 38 = 22 ≠ 14 = 128 mod 38

m=39: 98 mod 39 = 20 ≠ 11 = 128 mod 39

m=40: 98 mod 40 = 18 ≠ 8 = 128 mod 40

m=41: 98 mod 41 = 16 ≠ 5 = 128 mod 41

m=42: 98 mod 42 = 14 ≠ 2 = 128 mod 42

m=43: 98 mod 43 = 12 ≠ 42 = 128 mod 43

m=44: 98 mod 44 = 10 ≠ 40 = 128 mod 44

m=45: 98 mod 45 = 8 ≠ 38 = 128 mod 45

m=46: 98 mod 46 = 6 ≠ 36 = 128 mod 46

m=47: 98 mod 47 = 4 ≠ 34 = 128 mod 47

m=48: 98 mod 48 = 2 ≠ 32 = 128 mod 48

m=49: 98 mod 49 = 0 ≠ 30 = 128 mod 49

m=50: 98 mod 50 = 48 ≠ 28 = 128 mod 50

m=51: 98 mod 51 = 47 ≠ 26 = 128 mod 51

m=52: 98 mod 52 = 46 ≠ 24 = 128 mod 52

m=53: 98 mod 53 = 45 ≠ 22 = 128 mod 53

m=54: 98 mod 54 = 44 ≠ 20 = 128 mod 54

m=55: 98 mod 55 = 43 ≠ 18 = 128 mod 55

m=56: 98 mod 56 = 42 ≠ 16 = 128 mod 56

m=57: 98 mod 57 = 41 ≠ 14 = 128 mod 57

m=58: 98 mod 58 = 40 ≠ 12 = 128 mod 58

m=59: 98 mod 59 = 39 ≠ 10 = 128 mod 59

m=60: 98 mod 60 = 38 ≠ 8 = 128 mod 60

m=61: 98 mod 61 = 37 ≠ 6 = 128 mod 61

m=62: 98 mod 62 = 36 ≠ 4 = 128 mod 62

m=63: 98 mod 63 = 35 ≠ 2 = 128 mod 63

m=64: 98 mod 64 = 34 ≠ 0 = 128 mod 64

m=65: 98 mod 65 = 33 ≠ 63 = 128 mod 65

m=66: 98 mod 66 = 32 ≠ 62 = 128 mod 66

m=67: 98 mod 67 = 31 ≠ 61 = 128 mod 67

m=68: 98 mod 68 = 30 ≠ 60 = 128 mod 68

m=69: 98 mod 69 = 29 ≠ 59 = 128 mod 69

m=70: 98 mod 70 = 28 ≠ 58 = 128 mod 70

m=71: 98 mod 71 = 27 ≠ 57 = 128 mod 71

m=72: 98 mod 72 = 26 ≠ 56 = 128 mod 72

m=73: 98 mod 73 = 25 ≠ 55 = 128 mod 73

m=74: 98 mod 74 = 24 ≠ 54 = 128 mod 74

m=75: 98 mod 75 = 23 ≠ 53 = 128 mod 75

m=76: 98 mod 76 = 22 ≠ 52 = 128 mod 76

m=77: 98 mod 77 = 21 ≠ 51 = 128 mod 77

m=78: 98 mod 78 = 20 ≠ 50 = 128 mod 78

m=79: 98 mod 79 = 19 ≠ 49 = 128 mod 79

m=80: 98 mod 80 = 18 ≠ 48 = 128 mod 80

m=81: 98 mod 81 = 17 ≠ 47 = 128 mod 81

m=82: 98 mod 82 = 16 ≠ 46 = 128 mod 82

m=83: 98 mod 83 = 15 ≠ 45 = 128 mod 83

m=84: 98 mod 84 = 14 ≠ 44 = 128 mod 84

m=85: 98 mod 85 = 13 ≠ 43 = 128 mod 85

m=86: 98 mod 86 = 12 ≠ 42 = 128 mod 86

m=87: 98 mod 87 = 11 ≠ 41 = 128 mod 87

m=88: 98 mod 88 = 10 ≠ 40 = 128 mod 88

m=89: 98 mod 89 = 9 ≠ 39 = 128 mod 89

m=90: 98 mod 90 = 8 ≠ 38 = 128 mod 90

m=91: 98 mod 91 = 7 ≠ 37 = 128 mod 91

m=92: 98 mod 92 = 6 ≠ 36 = 128 mod 92

m=93: 98 mod 93 = 5 ≠ 35 = 128 mod 93

m=94: 98 mod 94 = 4 ≠ 34 = 128 mod 94

m=95: 98 mod 95 = 3 ≠ 33 = 128 mod 95

m=96: 98 mod 96 = 2 ≠ 32 = 128 mod 96

m=97: 98 mod 97 = 1 ≠ 31 = 128 mod 97

m=98: 98 mod 98 = 0 ≠ 30 = 128 mod 98

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (128 - 98) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30