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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 65 = 4.

Somit gilt: 69 mod 5 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 75 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 75 = 0.

Somit gilt: 75 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Somit gilt: 60 ≡ 75 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1805 + 3608) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1805 + 3608) mod 9 ≡ (1805 mod 9 + 3608 mod 9) mod 9.

1805 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1805 = 1800+5 = 9 ⋅ 200 +5.

3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608 = 3600+8 = 9 ⋅ 400 +8.

Somit gilt:

(1805 + 3608) mod 9 ≡ (5 + 8) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 32) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 32) mod 11 ≡ (47 mod 11 ⋅ 32 mod 11) mod 11.

47 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 4 ⋅ 11 + 3 ist.

32 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 22 + 10 = 2 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 32) mod 11 ≡ (3 ⋅ 10) mod 11 ≡ 30 mod 11 ≡ 8 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
62 mod m = 92 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 62 aus, ob zufällig 62 mod m = 92 mod m gilt:

m=2: 62 mod 2 = 0 = 0 = 92 mod 2

m=3: 62 mod 3 = 2 = 2 = 92 mod 3

m=4: 62 mod 4 = 2 ≠ 0 = 92 mod 4

m=5: 62 mod 5 = 2 = 2 = 92 mod 5

m=6: 62 mod 6 = 2 = 2 = 92 mod 6

m=7: 62 mod 7 = 6 ≠ 1 = 92 mod 7

m=8: 62 mod 8 = 6 ≠ 4 = 92 mod 8

m=9: 62 mod 9 = 8 ≠ 2 = 92 mod 9

m=10: 62 mod 10 = 2 = 2 = 92 mod 10

m=11: 62 mod 11 = 7 ≠ 4 = 92 mod 11

m=12: 62 mod 12 = 2 ≠ 8 = 92 mod 12

m=13: 62 mod 13 = 10 ≠ 1 = 92 mod 13

m=14: 62 mod 14 = 6 ≠ 8 = 92 mod 14

m=15: 62 mod 15 = 2 = 2 = 92 mod 15

m=16: 62 mod 16 = 14 ≠ 12 = 92 mod 16

m=17: 62 mod 17 = 11 ≠ 7 = 92 mod 17

m=18: 62 mod 18 = 8 ≠ 2 = 92 mod 18

m=19: 62 mod 19 = 5 ≠ 16 = 92 mod 19

m=20: 62 mod 20 = 2 ≠ 12 = 92 mod 20

m=21: 62 mod 21 = 20 ≠ 8 = 92 mod 21

m=22: 62 mod 22 = 18 ≠ 4 = 92 mod 22

m=23: 62 mod 23 = 16 ≠ 0 = 92 mod 23

m=24: 62 mod 24 = 14 ≠ 20 = 92 mod 24

m=25: 62 mod 25 = 12 ≠ 17 = 92 mod 25

m=26: 62 mod 26 = 10 ≠ 14 = 92 mod 26

m=27: 62 mod 27 = 8 ≠ 11 = 92 mod 27

m=28: 62 mod 28 = 6 ≠ 8 = 92 mod 28

m=29: 62 mod 29 = 4 ≠ 5 = 92 mod 29

m=30: 62 mod 30 = 2 = 2 = 92 mod 30

m=31: 62 mod 31 = 0 ≠ 30 = 92 mod 31

m=32: 62 mod 32 = 30 ≠ 28 = 92 mod 32

m=33: 62 mod 33 = 29 ≠ 26 = 92 mod 33

m=34: 62 mod 34 = 28 ≠ 24 = 92 mod 34

m=35: 62 mod 35 = 27 ≠ 22 = 92 mod 35

m=36: 62 mod 36 = 26 ≠ 20 = 92 mod 36

m=37: 62 mod 37 = 25 ≠ 18 = 92 mod 37

m=38: 62 mod 38 = 24 ≠ 16 = 92 mod 38

m=39: 62 mod 39 = 23 ≠ 14 = 92 mod 39

m=40: 62 mod 40 = 22 ≠ 12 = 92 mod 40

m=41: 62 mod 41 = 21 ≠ 10 = 92 mod 41

m=42: 62 mod 42 = 20 ≠ 8 = 92 mod 42

m=43: 62 mod 43 = 19 ≠ 6 = 92 mod 43

m=44: 62 mod 44 = 18 ≠ 4 = 92 mod 44

m=45: 62 mod 45 = 17 ≠ 2 = 92 mod 45

m=46: 62 mod 46 = 16 ≠ 0 = 92 mod 46

m=47: 62 mod 47 = 15 ≠ 45 = 92 mod 47

m=48: 62 mod 48 = 14 ≠ 44 = 92 mod 48

m=49: 62 mod 49 = 13 ≠ 43 = 92 mod 49

m=50: 62 mod 50 = 12 ≠ 42 = 92 mod 50

m=51: 62 mod 51 = 11 ≠ 41 = 92 mod 51

m=52: 62 mod 52 = 10 ≠ 40 = 92 mod 52

m=53: 62 mod 53 = 9 ≠ 39 = 92 mod 53

m=54: 62 mod 54 = 8 ≠ 38 = 92 mod 54

m=55: 62 mod 55 = 7 ≠ 37 = 92 mod 55

m=56: 62 mod 56 = 6 ≠ 36 = 92 mod 56

m=57: 62 mod 57 = 5 ≠ 35 = 92 mod 57

m=58: 62 mod 58 = 4 ≠ 34 = 92 mod 58

m=59: 62 mod 59 = 3 ≠ 33 = 92 mod 59

m=60: 62 mod 60 = 2 ≠ 32 = 92 mod 60

m=61: 62 mod 61 = 1 ≠ 31 = 92 mod 61

m=62: 62 mod 62 = 0 ≠ 30 = 92 mod 62

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (92 - 62) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30