nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 66 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.

Somit gilt: 66 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 83 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 10 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 83 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2100 - 28001) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2100 - 28001) mod 7 ≡ (2100 mod 7 - 28001 mod 7) mod 7.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

28001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28001 = 28000+1 = 7 ⋅ 4000 +1.

Somit gilt:

(2100 - 28001) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (39 ⋅ 46) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(39 ⋅ 46) mod 4 ≡ (39 mod 4 ⋅ 46 mod 4) mod 4.

39 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 36 + 3 = 9 ⋅ 4 + 3 ist.

46 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 44 + 2 = 11 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(39 ⋅ 46) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
48 mod m = 63 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 48 aus, ob zufällig 48 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 48 mod 2 = 0 ≠ 1 = 63 mod 2

m=3: 48 mod 3 = 0 = 0 = 63 mod 3

m=4: 48 mod 4 = 0 ≠ 3 = 63 mod 4

m=5: 48 mod 5 = 3 = 3 = 63 mod 5

m=6: 48 mod 6 = 0 ≠ 3 = 63 mod 6

m=7: 48 mod 7 = 6 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 48 mod 8 = 0 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 48 mod 9 = 3 ≠ 0 = 63 mod 9

m=10: 48 mod 10 = 8 ≠ 3 = 63 mod 10

m=11: 48 mod 11 = 4 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 48 mod 12 = 0 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 48 mod 13 = 9 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 48 mod 14 = 6 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 48 mod 15 = 3 = 3 = 63 mod 15

m=16: 48 mod 16 = 0 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 48 mod 17 = 14 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 48 mod 18 = 12 ≠ 9 = 63 mod 18

m=19: 48 mod 19 = 10 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 48 mod 20 = 8 ≠ 3 = 63 mod 20

m=21: 48 mod 21 = 6 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 48 mod 22 = 4 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 48 mod 23 = 2 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 48 mod 24 = 0 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 48 mod 25 = 23 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 48 mod 26 = 22 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 48 mod 27 = 21 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 48 mod 28 = 20 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 48 mod 29 = 19 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 48 mod 30 = 18 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 48 mod 31 = 17 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 48 mod 32 = 16 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 48 mod 33 = 15 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 48 mod 34 = 14 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 48 mod 35 = 13 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 48 mod 36 = 12 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 48 mod 37 = 11 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 48 mod 38 = 10 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 48 mod 39 = 9 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 48 mod 40 = 8 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 48 mod 41 = 7 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 48 mod 42 = 6 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 48 mod 43 = 5 ≠ 20 = 63 mod 43

m=44: 48 mod 44 = 4 ≠ 19 = 63 mod 44

m=45: 48 mod 45 = 3 ≠ 18 = 63 mod 45

m=46: 48 mod 46 = 2 ≠ 17 = 63 mod 46

m=47: 48 mod 47 = 1 ≠ 16 = 63 mod 47

m=48: 48 mod 48 = 0 ≠ 15 = 63 mod 48

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 48) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15