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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 60 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 60 - 56 = 4.
Somit gilt: 60 mod 7 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 47 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 47 - 45 = 2.
Somit gilt: 47 mod 9 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 63 und erhalten so 65.
Somit gilt: 65 ≡ 47 ≡ 2 mod 9.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (798 + 400) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(798 + 400) mod 8 ≡ (798 mod 8 + 400 mod 8) mod 8.
798 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 798
= 800
400 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 400
= 400
Somit gilt:
(798 + 400) mod 8 ≡ (6 + 0) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 20) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(26 ⋅ 20) mod 7 ≡ (26 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.
26 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 21 + 5 = 3 ⋅ 7 + 5 ist.
20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.
Somit gilt:
(26 ⋅ 20) mod 7 ≡ (5 ⋅ 6) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:
m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2
m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3
m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4
m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5
m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6
m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7
m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8
m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9
m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10
m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11
m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12
m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
