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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 55 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 54 = 1.

Somit gilt: 55 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 30 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 14 ⋅ 3

Somit gilt: 42 ≡ 30 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 - 49) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 - 49) mod 5 ≡ (100 mod 5 - 49 mod 5) mod 5.

100 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 100+0 = 5 ⋅ 20 +0.

49 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40+9 = 5 ⋅ 8 +9.

Somit gilt:

(100 - 49) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 77) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 77) mod 9 ≡ (94 mod 9 ⋅ 77 mod 9) mod 9.

94 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 10 ⋅ 9 + 4 ist.

77 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 8 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 77) mod 9 ≡ (4 ⋅ 5) mod 9 ≡ 20 mod 9 ≡ 2 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 53 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 53 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 ≠ 1 = 53 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 53 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 1 = 53 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 = 3 = 53 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 ≠ 5 = 53 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 4 = 53 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 5 = 53 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 8 = 53 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 3 = 53 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 9 = 53 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 5 = 53 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 1 = 53 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 11 = 53 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 = 8 = 53 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 5 = 53 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 2 = 53 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 17 = 53 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 15 = 53 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 13 = 53 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 11 = 53 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 9 = 53 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 7 = 53 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 5 = 53 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 3 = 53 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 1 = 53 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 26 = 53 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 25 = 53 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 24 = 53 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 23 = 53 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 22 = 53 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 21 = 53 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 20 = 53 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 19 = 53 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 18 = 53 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 17 = 53 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 16 = 53 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 15 = 53 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (53 - 38) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15