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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 95 = 0.

Somit gilt: 95 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 35 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 32 = 3.

Somit gilt: 35 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 68 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 35 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2100 + 145) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2100 + 145) mod 7 ≡ (2100 mod 7 + 145 mod 7) mod 7.

2100 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2100 = 2100+0 = 7 ⋅ 300 +0.

145 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 7 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(2100 + 145) mod 7 ≡ (0 + 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 83) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 83) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 83 mod 5) mod 5.

87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.

83 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 80 + 3 = 16 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 83) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 = 5 = 37 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 9 = 37 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 8 = 37 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 29) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8