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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 50 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 48 = 2.

Somit gilt: 50 mod 4 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 27 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 27 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 - 3504) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 - 3504) mod 7 ≡ (76 mod 7 - 3504 mod 7) mod 7.

76 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 70+6 = 7 ⋅ 10 +6.

3504 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3504 = 3500+4 = 7 ⋅ 500 +4.

Somit gilt:

(76 - 3504) mod 7 ≡ (6 - 4) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 41) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 41) mod 6 ≡ (81 mod 6 ⋅ 41 mod 6) mod 6.

81 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 78 + 3 = 13 ⋅ 6 + 3 ist.

41 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 6 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 41) mod 6 ≡ (3 ⋅ 5) mod 6 ≡ 15 mod 6 ≡ 3 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
16 mod m = 22 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 16 aus, ob zufällig 16 mod m = 22 mod m gilt:

m=2: 16 mod 2 = 0 = 0 = 22 mod 2

m=3: 16 mod 3 = 1 = 1 = 22 mod 3

m=4: 16 mod 4 = 0 ≠ 2 = 22 mod 4

m=5: 16 mod 5 = 1 ≠ 2 = 22 mod 5

m=6: 16 mod 6 = 4 = 4 = 22 mod 6

m=7: 16 mod 7 = 2 ≠ 1 = 22 mod 7

m=8: 16 mod 8 = 0 ≠ 6 = 22 mod 8

m=9: 16 mod 9 = 7 ≠ 4 = 22 mod 9

m=10: 16 mod 10 = 6 ≠ 2 = 22 mod 10

m=11: 16 mod 11 = 5 ≠ 0 = 22 mod 11

m=12: 16 mod 12 = 4 ≠ 10 = 22 mod 12

m=13: 16 mod 13 = 3 ≠ 9 = 22 mod 13

m=14: 16 mod 14 = 2 ≠ 8 = 22 mod 14

m=15: 16 mod 15 = 1 ≠ 7 = 22 mod 15

m=16: 16 mod 16 = 0 ≠ 6 = 22 mod 16

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (22 - 16) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6