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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 56 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 49 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.

Somit gilt: 49 mod 6 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 14 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 84 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 49 ≡ 1 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3608 - 1801) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3608 - 1801) mod 9 ≡ (3608 mod 9 - 1801 mod 9) mod 9.

3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608 = 3600+8 = 9 ⋅ 400 +8.

1801 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1801 = 1800+1 = 9 ⋅ 200 +1.

Somit gilt:

(3608 - 1801) mod 9 ≡ (8 - 1) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 54) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 54) mod 5 ≡ (44 mod 5 ⋅ 54 mod 5) mod 5.

44 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40 + 4 = 8 ⋅ 5 + 4 ist.

54 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 50 + 4 = 10 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 54) mod 5 ≡ (4 ⋅ 4) mod 5 ≡ 16 mod 5 ≡ 1 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 39 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 39 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 4 = 39 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 = 7 = 39 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 9 = 39 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 10 = 39 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 9 = 39 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 8 = 39 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 31) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8