nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 16 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 16, weil ja 4 ⋅ 4 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 16 - 16 = 0.

Somit gilt: 16 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 51 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 49 = 2.

Somit gilt: 51 mod 7 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 10 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 2 mod 7 sein, also addieren wir noch 2 auf die 70 und erhalten so 72.

Somit gilt: 72 ≡ 51 ≡ 2 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (203 + 156) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(203 + 156) mod 4 ≡ (203 mod 4 + 156 mod 4) mod 4.

203 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 203 = 200+3 = 4 ⋅ 50 +3.

156 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 156 = 160-4 = 4 ⋅ 40 -4 = 4 ⋅ 40 - 4 + 0.

Somit gilt:

(203 + 156) mod 4 ≡ (3 + 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 29) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 29) mod 10 ≡ (95 mod 10 ⋅ 29 mod 10) mod 10.

95 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 9 ⋅ 10 + 5 ist.

29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 29) mod 10 ≡ (5 ⋅ 9) mod 10 ≡ 45 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 38 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 = 6 = 38 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 10 = 38 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 9 = 38 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 8 = 38 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 30) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8