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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 91 = 3.

Somit gilt: 94 mod 7 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 68 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.

Somit gilt: 50 ≡ 68 ≡ 2 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (147 - 1200) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(147 - 1200) mod 3 ≡ (147 mod 3 - 1200 mod 3) mod 3.

147 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 147 = 150-3 = 3 ⋅ 50 -3 = 3 ⋅ 50 - 3 + 0.

1200 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1200 = 1200+0 = 3 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(147 - 1200) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 79) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 79) mod 6 ≡ (87 mod 6 ⋅ 79 mod 6) mod 6.

87 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 84 + 3 = 14 ⋅ 6 + 3 ist.

79 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 78 + 1 = 13 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 79) mod 6 ≡ (3 ⋅ 1) mod 6 ≡ 3 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
165 mod m = 210 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 165 aus, ob zufällig 165 mod m = 210 mod m gilt:

m=2: 165 mod 2 = 1 ≠ 0 = 210 mod 2

m=3: 165 mod 3 = 0 = 0 = 210 mod 3

m=4: 165 mod 4 = 1 ≠ 2 = 210 mod 4

m=5: 165 mod 5 = 0 = 0 = 210 mod 5

m=6: 165 mod 6 = 3 ≠ 0 = 210 mod 6

m=7: 165 mod 7 = 4 ≠ 0 = 210 mod 7

m=8: 165 mod 8 = 5 ≠ 2 = 210 mod 8

m=9: 165 mod 9 = 3 = 3 = 210 mod 9

m=10: 165 mod 10 = 5 ≠ 0 = 210 mod 10

m=11: 165 mod 11 = 0 ≠ 1 = 210 mod 11

m=12: 165 mod 12 = 9 ≠ 6 = 210 mod 12

m=13: 165 mod 13 = 9 ≠ 2 = 210 mod 13

m=14: 165 mod 14 = 11 ≠ 0 = 210 mod 14

m=15: 165 mod 15 = 0 = 0 = 210 mod 15

m=16: 165 mod 16 = 5 ≠ 2 = 210 mod 16

m=17: 165 mod 17 = 12 ≠ 6 = 210 mod 17

m=18: 165 mod 18 = 3 ≠ 12 = 210 mod 18

m=19: 165 mod 19 = 13 ≠ 1 = 210 mod 19

m=20: 165 mod 20 = 5 ≠ 10 = 210 mod 20

m=21: 165 mod 21 = 18 ≠ 0 = 210 mod 21

m=22: 165 mod 22 = 11 ≠ 12 = 210 mod 22

m=23: 165 mod 23 = 4 ≠ 3 = 210 mod 23

m=24: 165 mod 24 = 21 ≠ 18 = 210 mod 24

m=25: 165 mod 25 = 15 ≠ 10 = 210 mod 25

m=26: 165 mod 26 = 9 ≠ 2 = 210 mod 26

m=27: 165 mod 27 = 3 ≠ 21 = 210 mod 27

m=28: 165 mod 28 = 25 ≠ 14 = 210 mod 28

m=29: 165 mod 29 = 20 ≠ 7 = 210 mod 29

m=30: 165 mod 30 = 15 ≠ 0 = 210 mod 30

m=31: 165 mod 31 = 10 ≠ 24 = 210 mod 31

m=32: 165 mod 32 = 5 ≠ 18 = 210 mod 32

m=33: 165 mod 33 = 0 ≠ 12 = 210 mod 33

m=34: 165 mod 34 = 29 ≠ 6 = 210 mod 34

m=35: 165 mod 35 = 25 ≠ 0 = 210 mod 35

m=36: 165 mod 36 = 21 ≠ 30 = 210 mod 36

m=37: 165 mod 37 = 17 ≠ 25 = 210 mod 37

m=38: 165 mod 38 = 13 ≠ 20 = 210 mod 38

m=39: 165 mod 39 = 9 ≠ 15 = 210 mod 39

m=40: 165 mod 40 = 5 ≠ 10 = 210 mod 40

m=41: 165 mod 41 = 1 ≠ 5 = 210 mod 41

m=42: 165 mod 42 = 39 ≠ 0 = 210 mod 42

m=43: 165 mod 43 = 36 ≠ 38 = 210 mod 43

m=44: 165 mod 44 = 33 ≠ 34 = 210 mod 44

m=45: 165 mod 45 = 30 = 30 = 210 mod 45

m=46: 165 mod 46 = 27 ≠ 26 = 210 mod 46

m=47: 165 mod 47 = 24 ≠ 22 = 210 mod 47

m=48: 165 mod 48 = 21 ≠ 18 = 210 mod 48

m=49: 165 mod 49 = 18 ≠ 14 = 210 mod 49

m=50: 165 mod 50 = 15 ≠ 10 = 210 mod 50

m=51: 165 mod 51 = 12 ≠ 6 = 210 mod 51

m=52: 165 mod 52 = 9 ≠ 2 = 210 mod 52

m=53: 165 mod 53 = 6 ≠ 51 = 210 mod 53

m=54: 165 mod 54 = 3 ≠ 48 = 210 mod 54

m=55: 165 mod 55 = 0 ≠ 45 = 210 mod 55

m=56: 165 mod 56 = 53 ≠ 42 = 210 mod 56

m=57: 165 mod 57 = 51 ≠ 39 = 210 mod 57

m=58: 165 mod 58 = 49 ≠ 36 = 210 mod 58

m=59: 165 mod 59 = 47 ≠ 33 = 210 mod 59

m=60: 165 mod 60 = 45 ≠ 30 = 210 mod 60

m=61: 165 mod 61 = 43 ≠ 27 = 210 mod 61

m=62: 165 mod 62 = 41 ≠ 24 = 210 mod 62

m=63: 165 mod 63 = 39 ≠ 21 = 210 mod 63

m=64: 165 mod 64 = 37 ≠ 18 = 210 mod 64

m=65: 165 mod 65 = 35 ≠ 15 = 210 mod 65

m=66: 165 mod 66 = 33 ≠ 12 = 210 mod 66

m=67: 165 mod 67 = 31 ≠ 9 = 210 mod 67

m=68: 165 mod 68 = 29 ≠ 6 = 210 mod 68

m=69: 165 mod 69 = 27 ≠ 3 = 210 mod 69

m=70: 165 mod 70 = 25 ≠ 0 = 210 mod 70

m=71: 165 mod 71 = 23 ≠ 68 = 210 mod 71

m=72: 165 mod 72 = 21 ≠ 66 = 210 mod 72

m=73: 165 mod 73 = 19 ≠ 64 = 210 mod 73

m=74: 165 mod 74 = 17 ≠ 62 = 210 mod 74

m=75: 165 mod 75 = 15 ≠ 60 = 210 mod 75

m=76: 165 mod 76 = 13 ≠ 58 = 210 mod 76

m=77: 165 mod 77 = 11 ≠ 56 = 210 mod 77

m=78: 165 mod 78 = 9 ≠ 54 = 210 mod 78

m=79: 165 mod 79 = 7 ≠ 52 = 210 mod 79

m=80: 165 mod 80 = 5 ≠ 50 = 210 mod 80

m=81: 165 mod 81 = 3 ≠ 48 = 210 mod 81

m=82: 165 mod 82 = 1 ≠ 46 = 210 mod 82

m=83: 165 mod 83 = 82 ≠ 44 = 210 mod 83

m=84: 165 mod 84 = 81 ≠ 42 = 210 mod 84

m=85: 165 mod 85 = 80 ≠ 40 = 210 mod 85

m=86: 165 mod 86 = 79 ≠ 38 = 210 mod 86

m=87: 165 mod 87 = 78 ≠ 36 = 210 mod 87

m=88: 165 mod 88 = 77 ≠ 34 = 210 mod 88

m=89: 165 mod 89 = 76 ≠ 32 = 210 mod 89

m=90: 165 mod 90 = 75 ≠ 30 = 210 mod 90

m=91: 165 mod 91 = 74 ≠ 28 = 210 mod 91

m=92: 165 mod 92 = 73 ≠ 26 = 210 mod 92

m=93: 165 mod 93 = 72 ≠ 24 = 210 mod 93

m=94: 165 mod 94 = 71 ≠ 22 = 210 mod 94

m=95: 165 mod 95 = 70 ≠ 20 = 210 mod 95

m=96: 165 mod 96 = 69 ≠ 18 = 210 mod 96

m=97: 165 mod 97 = 68 ≠ 16 = 210 mod 97

m=98: 165 mod 98 = 67 ≠ 14 = 210 mod 98

m=99: 165 mod 99 = 66 ≠ 12 = 210 mod 99

m=100: 165 mod 100 = 65 ≠ 10 = 210 mod 100

m=101: 165 mod 101 = 64 ≠ 8 = 210 mod 101

m=102: 165 mod 102 = 63 ≠ 6 = 210 mod 102

m=103: 165 mod 103 = 62 ≠ 4 = 210 mod 103

m=104: 165 mod 104 = 61 ≠ 2 = 210 mod 104

m=105: 165 mod 105 = 60 ≠ 0 = 210 mod 105

m=106: 165 mod 106 = 59 ≠ 104 = 210 mod 106

m=107: 165 mod 107 = 58 ≠ 103 = 210 mod 107

m=108: 165 mod 108 = 57 ≠ 102 = 210 mod 108

m=109: 165 mod 109 = 56 ≠ 101 = 210 mod 109

m=110: 165 mod 110 = 55 ≠ 100 = 210 mod 110

m=111: 165 mod 111 = 54 ≠ 99 = 210 mod 111

m=112: 165 mod 112 = 53 ≠ 98 = 210 mod 112

m=113: 165 mod 113 = 52 ≠ 97 = 210 mod 113

m=114: 165 mod 114 = 51 ≠ 96 = 210 mod 114

m=115: 165 mod 115 = 50 ≠ 95 = 210 mod 115

m=116: 165 mod 116 = 49 ≠ 94 = 210 mod 116

m=117: 165 mod 117 = 48 ≠ 93 = 210 mod 117

m=118: 165 mod 118 = 47 ≠ 92 = 210 mod 118

m=119: 165 mod 119 = 46 ≠ 91 = 210 mod 119

m=120: 165 mod 120 = 45 ≠ 90 = 210 mod 120

m=121: 165 mod 121 = 44 ≠ 89 = 210 mod 121

m=122: 165 mod 122 = 43 ≠ 88 = 210 mod 122

m=123: 165 mod 123 = 42 ≠ 87 = 210 mod 123

m=124: 165 mod 124 = 41 ≠ 86 = 210 mod 124

m=125: 165 mod 125 = 40 ≠ 85 = 210 mod 125

m=126: 165 mod 126 = 39 ≠ 84 = 210 mod 126

m=127: 165 mod 127 = 38 ≠ 83 = 210 mod 127

m=128: 165 mod 128 = 37 ≠ 82 = 210 mod 128

m=129: 165 mod 129 = 36 ≠ 81 = 210 mod 129

m=130: 165 mod 130 = 35 ≠ 80 = 210 mod 130

m=131: 165 mod 131 = 34 ≠ 79 = 210 mod 131

m=132: 165 mod 132 = 33 ≠ 78 = 210 mod 132

m=133: 165 mod 133 = 32 ≠ 77 = 210 mod 133

m=134: 165 mod 134 = 31 ≠ 76 = 210 mod 134

m=135: 165 mod 135 = 30 ≠ 75 = 210 mod 135

m=136: 165 mod 136 = 29 ≠ 74 = 210 mod 136

m=137: 165 mod 137 = 28 ≠ 73 = 210 mod 137

m=138: 165 mod 138 = 27 ≠ 72 = 210 mod 138

m=139: 165 mod 139 = 26 ≠ 71 = 210 mod 139

m=140: 165 mod 140 = 25 ≠ 70 = 210 mod 140

m=141: 165 mod 141 = 24 ≠ 69 = 210 mod 141

m=142: 165 mod 142 = 23 ≠ 68 = 210 mod 142

m=143: 165 mod 143 = 22 ≠ 67 = 210 mod 143

m=144: 165 mod 144 = 21 ≠ 66 = 210 mod 144

m=145: 165 mod 145 = 20 ≠ 65 = 210 mod 145

m=146: 165 mod 146 = 19 ≠ 64 = 210 mod 146

m=147: 165 mod 147 = 18 ≠ 63 = 210 mod 147

m=148: 165 mod 148 = 17 ≠ 62 = 210 mod 148

m=149: 165 mod 149 = 16 ≠ 61 = 210 mod 149

m=150: 165 mod 150 = 15 ≠ 60 = 210 mod 150

m=151: 165 mod 151 = 14 ≠ 59 = 210 mod 151

m=152: 165 mod 152 = 13 ≠ 58 = 210 mod 152

m=153: 165 mod 153 = 12 ≠ 57 = 210 mod 153

m=154: 165 mod 154 = 11 ≠ 56 = 210 mod 154

m=155: 165 mod 155 = 10 ≠ 55 = 210 mod 155

m=156: 165 mod 156 = 9 ≠ 54 = 210 mod 156

m=157: 165 mod 157 = 8 ≠ 53 = 210 mod 157

m=158: 165 mod 158 = 7 ≠ 52 = 210 mod 158

m=159: 165 mod 159 = 6 ≠ 51 = 210 mod 159

m=160: 165 mod 160 = 5 ≠ 50 = 210 mod 160

m=161: 165 mod 161 = 4 ≠ 49 = 210 mod 161

m=162: 165 mod 162 = 3 ≠ 48 = 210 mod 162

m=163: 165 mod 163 = 2 ≠ 47 = 210 mod 163

m=164: 165 mod 164 = 1 ≠ 46 = 210 mod 164

m=165: 165 mod 165 = 0 ≠ 45 = 210 mod 165

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (210 - 165) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45