nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 72 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 6 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 89 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 66 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 89 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (693 - 2794) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(693 - 2794) mod 7 ≡ (693 mod 7 - 2794 mod 7) mod 7.

693 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 693 = 700-7 = 7 ⋅ 100 -7 = 7 ⋅ 100 - 7 + 0.

2794 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2794 = 2800-6 = 7 ⋅ 400 -6 = 7 ⋅ 400 - 7 + 1.

Somit gilt:

(693 - 2794) mod 7 ≡ (0 - 1) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (25 ⋅ 82) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(25 ⋅ 82) mod 6 ≡ (25 mod 6 ⋅ 82 mod 6) mod 6.

25 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25 = 24 + 1 = 4 ⋅ 6 + 1 ist.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(25 ⋅ 82) mod 6 ≡ (1 ⋅ 4) mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
60 mod m = 87 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 60 aus, ob zufällig 60 mod m = 87 mod m gilt:

m=2: 60 mod 2 = 0 ≠ 1 = 87 mod 2

m=3: 60 mod 3 = 0 = 0 = 87 mod 3

m=4: 60 mod 4 = 0 ≠ 3 = 87 mod 4

m=5: 60 mod 5 = 0 ≠ 2 = 87 mod 5

m=6: 60 mod 6 = 0 ≠ 3 = 87 mod 6

m=7: 60 mod 7 = 4 ≠ 3 = 87 mod 7

m=8: 60 mod 8 = 4 ≠ 7 = 87 mod 8

m=9: 60 mod 9 = 6 = 6 = 87 mod 9

m=10: 60 mod 10 = 0 ≠ 7 = 87 mod 10

m=11: 60 mod 11 = 5 ≠ 10 = 87 mod 11

m=12: 60 mod 12 = 0 ≠ 3 = 87 mod 12

m=13: 60 mod 13 = 8 ≠ 9 = 87 mod 13

m=14: 60 mod 14 = 4 ≠ 3 = 87 mod 14

m=15: 60 mod 15 = 0 ≠ 12 = 87 mod 15

m=16: 60 mod 16 = 12 ≠ 7 = 87 mod 16

m=17: 60 mod 17 = 9 ≠ 2 = 87 mod 17

m=18: 60 mod 18 = 6 ≠ 15 = 87 mod 18

m=19: 60 mod 19 = 3 ≠ 11 = 87 mod 19

m=20: 60 mod 20 = 0 ≠ 7 = 87 mod 20

m=21: 60 mod 21 = 18 ≠ 3 = 87 mod 21

m=22: 60 mod 22 = 16 ≠ 21 = 87 mod 22

m=23: 60 mod 23 = 14 ≠ 18 = 87 mod 23

m=24: 60 mod 24 = 12 ≠ 15 = 87 mod 24

m=25: 60 mod 25 = 10 ≠ 12 = 87 mod 25

m=26: 60 mod 26 = 8 ≠ 9 = 87 mod 26

m=27: 60 mod 27 = 6 = 6 = 87 mod 27

m=28: 60 mod 28 = 4 ≠ 3 = 87 mod 28

m=29: 60 mod 29 = 2 ≠ 0 = 87 mod 29

m=30: 60 mod 30 = 0 ≠ 27 = 87 mod 30

m=31: 60 mod 31 = 29 ≠ 25 = 87 mod 31

m=32: 60 mod 32 = 28 ≠ 23 = 87 mod 32

m=33: 60 mod 33 = 27 ≠ 21 = 87 mod 33

m=34: 60 mod 34 = 26 ≠ 19 = 87 mod 34

m=35: 60 mod 35 = 25 ≠ 17 = 87 mod 35

m=36: 60 mod 36 = 24 ≠ 15 = 87 mod 36

m=37: 60 mod 37 = 23 ≠ 13 = 87 mod 37

m=38: 60 mod 38 = 22 ≠ 11 = 87 mod 38

m=39: 60 mod 39 = 21 ≠ 9 = 87 mod 39

m=40: 60 mod 40 = 20 ≠ 7 = 87 mod 40

m=41: 60 mod 41 = 19 ≠ 5 = 87 mod 41

m=42: 60 mod 42 = 18 ≠ 3 = 87 mod 42

m=43: 60 mod 43 = 17 ≠ 1 = 87 mod 43

m=44: 60 mod 44 = 16 ≠ 43 = 87 mod 44

m=45: 60 mod 45 = 15 ≠ 42 = 87 mod 45

m=46: 60 mod 46 = 14 ≠ 41 = 87 mod 46

m=47: 60 mod 47 = 13 ≠ 40 = 87 mod 47

m=48: 60 mod 48 = 12 ≠ 39 = 87 mod 48

m=49: 60 mod 49 = 11 ≠ 38 = 87 mod 49

m=50: 60 mod 50 = 10 ≠ 37 = 87 mod 50

m=51: 60 mod 51 = 9 ≠ 36 = 87 mod 51

m=52: 60 mod 52 = 8 ≠ 35 = 87 mod 52

m=53: 60 mod 53 = 7 ≠ 34 = 87 mod 53

m=54: 60 mod 54 = 6 ≠ 33 = 87 mod 54

m=55: 60 mod 55 = 5 ≠ 32 = 87 mod 55

m=56: 60 mod 56 = 4 ≠ 31 = 87 mod 56

m=57: 60 mod 57 = 3 ≠ 30 = 87 mod 57

m=58: 60 mod 58 = 2 ≠ 29 = 87 mod 58

m=59: 60 mod 59 = 1 ≠ 28 = 87 mod 59

m=60: 60 mod 60 = 0 ≠ 27 = 87 mod 60

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (87 - 60) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27