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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.

Somit gilt: 54 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 22 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 18 = 4.

Somit gilt: 22 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 27 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 22 ≡ 4 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15998 + 81) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15998 + 81) mod 4 ≡ (15998 mod 4 + 81 mod 4) mod 4.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

81 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80+1 = 4 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(15998 + 81) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 29) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 29) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 29) mod 11 ≡ (3 ⋅ 7) mod 11 ≡ 21 mod 11 ≡ 10 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
56 mod m = 74 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 56 aus, ob zufällig 56 mod m = 74 mod m gilt:

m=2: 56 mod 2 = 0 = 0 = 74 mod 2

m=3: 56 mod 3 = 2 = 2 = 74 mod 3

m=4: 56 mod 4 = 0 ≠ 2 = 74 mod 4

m=5: 56 mod 5 = 1 ≠ 4 = 74 mod 5

m=6: 56 mod 6 = 2 = 2 = 74 mod 6

m=7: 56 mod 7 = 0 ≠ 4 = 74 mod 7

m=8: 56 mod 8 = 0 ≠ 2 = 74 mod 8

m=9: 56 mod 9 = 2 = 2 = 74 mod 9

m=10: 56 mod 10 = 6 ≠ 4 = 74 mod 10

m=11: 56 mod 11 = 1 ≠ 8 = 74 mod 11

m=12: 56 mod 12 = 8 ≠ 2 = 74 mod 12

m=13: 56 mod 13 = 4 ≠ 9 = 74 mod 13

m=14: 56 mod 14 = 0 ≠ 4 = 74 mod 14

m=15: 56 mod 15 = 11 ≠ 14 = 74 mod 15

m=16: 56 mod 16 = 8 ≠ 10 = 74 mod 16

m=17: 56 mod 17 = 5 ≠ 6 = 74 mod 17

m=18: 56 mod 18 = 2 = 2 = 74 mod 18

m=19: 56 mod 19 = 18 ≠ 17 = 74 mod 19

m=20: 56 mod 20 = 16 ≠ 14 = 74 mod 20

m=21: 56 mod 21 = 14 ≠ 11 = 74 mod 21

m=22: 56 mod 22 = 12 ≠ 8 = 74 mod 22

m=23: 56 mod 23 = 10 ≠ 5 = 74 mod 23

m=24: 56 mod 24 = 8 ≠ 2 = 74 mod 24

m=25: 56 mod 25 = 6 ≠ 24 = 74 mod 25

m=26: 56 mod 26 = 4 ≠ 22 = 74 mod 26

m=27: 56 mod 27 = 2 ≠ 20 = 74 mod 27

m=28: 56 mod 28 = 0 ≠ 18 = 74 mod 28

m=29: 56 mod 29 = 27 ≠ 16 = 74 mod 29

m=30: 56 mod 30 = 26 ≠ 14 = 74 mod 30

m=31: 56 mod 31 = 25 ≠ 12 = 74 mod 31

m=32: 56 mod 32 = 24 ≠ 10 = 74 mod 32

m=33: 56 mod 33 = 23 ≠ 8 = 74 mod 33

m=34: 56 mod 34 = 22 ≠ 6 = 74 mod 34

m=35: 56 mod 35 = 21 ≠ 4 = 74 mod 35

m=36: 56 mod 36 = 20 ≠ 2 = 74 mod 36

m=37: 56 mod 37 = 19 ≠ 0 = 74 mod 37

m=38: 56 mod 38 = 18 ≠ 36 = 74 mod 38

m=39: 56 mod 39 = 17 ≠ 35 = 74 mod 39

m=40: 56 mod 40 = 16 ≠ 34 = 74 mod 40

m=41: 56 mod 41 = 15 ≠ 33 = 74 mod 41

m=42: 56 mod 42 = 14 ≠ 32 = 74 mod 42

m=43: 56 mod 43 = 13 ≠ 31 = 74 mod 43

m=44: 56 mod 44 = 12 ≠ 30 = 74 mod 44

m=45: 56 mod 45 = 11 ≠ 29 = 74 mod 45

m=46: 56 mod 46 = 10 ≠ 28 = 74 mod 46

m=47: 56 mod 47 = 9 ≠ 27 = 74 mod 47

m=48: 56 mod 48 = 8 ≠ 26 = 74 mod 48

m=49: 56 mod 49 = 7 ≠ 25 = 74 mod 49

m=50: 56 mod 50 = 6 ≠ 24 = 74 mod 50

m=51: 56 mod 51 = 5 ≠ 23 = 74 mod 51

m=52: 56 mod 52 = 4 ≠ 22 = 74 mod 52

m=53: 56 mod 53 = 3 ≠ 21 = 74 mod 53

m=54: 56 mod 54 = 2 ≠ 20 = 74 mod 54

m=55: 56 mod 55 = 1 ≠ 19 = 74 mod 55

m=56: 56 mod 56 = 0 ≠ 18 = 74 mod 56

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (74 - 56) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18