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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 21 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 16, weil ja 2 ⋅ 8 = 16 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 16 = 5.

Somit gilt: 21 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 8 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 21 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (894 - 279) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(894 - 279) mod 9 ≡ (894 mod 9 - 279 mod 9) mod 9.

894 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 894 = 900-6 = 9 ⋅ 100 -6 = 9 ⋅ 100 - 9 + 3.

279 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 279 = 270+9 = 9 ⋅ 30 +9.

Somit gilt:

(894 - 279) mod 9 ≡ (3 - 0) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 85) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 85) mod 11 ≡ (48 mod 11 ⋅ 85 mod 11) mod 11.

48 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 44 + 4 = 4 ⋅ 11 + 4 ist.

85 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 77 + 8 = 7 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 85) mod 11 ≡ (4 ⋅ 8) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
67 mod m = 87 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 67 aus, ob zufällig 67 mod m = 87 mod m gilt:

m=2: 67 mod 2 = 1 = 1 = 87 mod 2

m=3: 67 mod 3 = 1 ≠ 0 = 87 mod 3

m=4: 67 mod 4 = 3 = 3 = 87 mod 4

m=5: 67 mod 5 = 2 = 2 = 87 mod 5

m=6: 67 mod 6 = 1 ≠ 3 = 87 mod 6

m=7: 67 mod 7 = 4 ≠ 3 = 87 mod 7

m=8: 67 mod 8 = 3 ≠ 7 = 87 mod 8

m=9: 67 mod 9 = 4 ≠ 6 = 87 mod 9

m=10: 67 mod 10 = 7 = 7 = 87 mod 10

m=11: 67 mod 11 = 1 ≠ 10 = 87 mod 11

m=12: 67 mod 12 = 7 ≠ 3 = 87 mod 12

m=13: 67 mod 13 = 2 ≠ 9 = 87 mod 13

m=14: 67 mod 14 = 11 ≠ 3 = 87 mod 14

m=15: 67 mod 15 = 7 ≠ 12 = 87 mod 15

m=16: 67 mod 16 = 3 ≠ 7 = 87 mod 16

m=17: 67 mod 17 = 16 ≠ 2 = 87 mod 17

m=18: 67 mod 18 = 13 ≠ 15 = 87 mod 18

m=19: 67 mod 19 = 10 ≠ 11 = 87 mod 19

m=20: 67 mod 20 = 7 = 7 = 87 mod 20

m=21: 67 mod 21 = 4 ≠ 3 = 87 mod 21

m=22: 67 mod 22 = 1 ≠ 21 = 87 mod 22

m=23: 67 mod 23 = 21 ≠ 18 = 87 mod 23

m=24: 67 mod 24 = 19 ≠ 15 = 87 mod 24

m=25: 67 mod 25 = 17 ≠ 12 = 87 mod 25

m=26: 67 mod 26 = 15 ≠ 9 = 87 mod 26

m=27: 67 mod 27 = 13 ≠ 6 = 87 mod 27

m=28: 67 mod 28 = 11 ≠ 3 = 87 mod 28

m=29: 67 mod 29 = 9 ≠ 0 = 87 mod 29

m=30: 67 mod 30 = 7 ≠ 27 = 87 mod 30

m=31: 67 mod 31 = 5 ≠ 25 = 87 mod 31

m=32: 67 mod 32 = 3 ≠ 23 = 87 mod 32

m=33: 67 mod 33 = 1 ≠ 21 = 87 mod 33

m=34: 67 mod 34 = 33 ≠ 19 = 87 mod 34

m=35: 67 mod 35 = 32 ≠ 17 = 87 mod 35

m=36: 67 mod 36 = 31 ≠ 15 = 87 mod 36

m=37: 67 mod 37 = 30 ≠ 13 = 87 mod 37

m=38: 67 mod 38 = 29 ≠ 11 = 87 mod 38

m=39: 67 mod 39 = 28 ≠ 9 = 87 mod 39

m=40: 67 mod 40 = 27 ≠ 7 = 87 mod 40

m=41: 67 mod 41 = 26 ≠ 5 = 87 mod 41

m=42: 67 mod 42 = 25 ≠ 3 = 87 mod 42

m=43: 67 mod 43 = 24 ≠ 1 = 87 mod 43

m=44: 67 mod 44 = 23 ≠ 43 = 87 mod 44

m=45: 67 mod 45 = 22 ≠ 42 = 87 mod 45

m=46: 67 mod 46 = 21 ≠ 41 = 87 mod 46

m=47: 67 mod 47 = 20 ≠ 40 = 87 mod 47

m=48: 67 mod 48 = 19 ≠ 39 = 87 mod 48

m=49: 67 mod 49 = 18 ≠ 38 = 87 mod 49

m=50: 67 mod 50 = 17 ≠ 37 = 87 mod 50

m=51: 67 mod 51 = 16 ≠ 36 = 87 mod 51

m=52: 67 mod 52 = 15 ≠ 35 = 87 mod 52

m=53: 67 mod 53 = 14 ≠ 34 = 87 mod 53

m=54: 67 mod 54 = 13 ≠ 33 = 87 mod 54

m=55: 67 mod 55 = 12 ≠ 32 = 87 mod 55

m=56: 67 mod 56 = 11 ≠ 31 = 87 mod 56

m=57: 67 mod 57 = 10 ≠ 30 = 87 mod 57

m=58: 67 mod 58 = 9 ≠ 29 = 87 mod 58

m=59: 67 mod 59 = 8 ≠ 28 = 87 mod 59

m=60: 67 mod 60 = 7 ≠ 27 = 87 mod 60

m=61: 67 mod 61 = 6 ≠ 26 = 87 mod 61

m=62: 67 mod 62 = 5 ≠ 25 = 87 mod 62

m=63: 67 mod 63 = 4 ≠ 24 = 87 mod 63

m=64: 67 mod 64 = 3 ≠ 23 = 87 mod 64

m=65: 67 mod 65 = 2 ≠ 22 = 87 mod 65

m=66: 67 mod 66 = 1 ≠ 21 = 87 mod 66

m=67: 67 mod 67 = 0 ≠ 20 = 87 mod 67

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (87 - 67) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20