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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 23 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 18, weil ja 3 ⋅ 6 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 23 - 18 = 5.

Somit gilt: 23 mod 6 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 91 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 28 = 7 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 28 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 91 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3003 - 6001) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3003 - 6001) mod 3 ≡ (3003 mod 3 - 6001 mod 3) mod 3.

3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003 = 3000+3 = 3 ⋅ 1000 +3.

6001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 3 ⋅ 2000 +1.

Somit gilt:

(3003 - 6001) mod 3 ≡ (0 - 1) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 51) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 51) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 51 mod 9) mod 9.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

51 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 45 + 6 = 5 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 51) mod 9 ≡ (1 ⋅ 6) mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
185 mod m = 235 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 185 aus, ob zufällig 185 mod m = 235 mod m gilt:

m=2: 185 mod 2 = 1 = 1 = 235 mod 2

m=3: 185 mod 3 = 2 ≠ 1 = 235 mod 3

m=4: 185 mod 4 = 1 ≠ 3 = 235 mod 4

m=5: 185 mod 5 = 0 = 0 = 235 mod 5

m=6: 185 mod 6 = 5 ≠ 1 = 235 mod 6

m=7: 185 mod 7 = 3 ≠ 4 = 235 mod 7

m=8: 185 mod 8 = 1 ≠ 3 = 235 mod 8

m=9: 185 mod 9 = 5 ≠ 1 = 235 mod 9

m=10: 185 mod 10 = 5 = 5 = 235 mod 10

m=11: 185 mod 11 = 9 ≠ 4 = 235 mod 11

m=12: 185 mod 12 = 5 ≠ 7 = 235 mod 12

m=13: 185 mod 13 = 3 ≠ 1 = 235 mod 13

m=14: 185 mod 14 = 3 ≠ 11 = 235 mod 14

m=15: 185 mod 15 = 5 ≠ 10 = 235 mod 15

m=16: 185 mod 16 = 9 ≠ 11 = 235 mod 16

m=17: 185 mod 17 = 15 ≠ 14 = 235 mod 17

m=18: 185 mod 18 = 5 ≠ 1 = 235 mod 18

m=19: 185 mod 19 = 14 ≠ 7 = 235 mod 19

m=20: 185 mod 20 = 5 ≠ 15 = 235 mod 20

m=21: 185 mod 21 = 17 ≠ 4 = 235 mod 21

m=22: 185 mod 22 = 9 ≠ 15 = 235 mod 22

m=23: 185 mod 23 = 1 ≠ 5 = 235 mod 23

m=24: 185 mod 24 = 17 ≠ 19 = 235 mod 24

m=25: 185 mod 25 = 10 = 10 = 235 mod 25

m=26: 185 mod 26 = 3 ≠ 1 = 235 mod 26

m=27: 185 mod 27 = 23 ≠ 19 = 235 mod 27

m=28: 185 mod 28 = 17 ≠ 11 = 235 mod 28

m=29: 185 mod 29 = 11 ≠ 3 = 235 mod 29

m=30: 185 mod 30 = 5 ≠ 25 = 235 mod 30

m=31: 185 mod 31 = 30 ≠ 18 = 235 mod 31

m=32: 185 mod 32 = 25 ≠ 11 = 235 mod 32

m=33: 185 mod 33 = 20 ≠ 4 = 235 mod 33

m=34: 185 mod 34 = 15 ≠ 31 = 235 mod 34

m=35: 185 mod 35 = 10 ≠ 25 = 235 mod 35

m=36: 185 mod 36 = 5 ≠ 19 = 235 mod 36

m=37: 185 mod 37 = 0 ≠ 13 = 235 mod 37

m=38: 185 mod 38 = 33 ≠ 7 = 235 mod 38

m=39: 185 mod 39 = 29 ≠ 1 = 235 mod 39

m=40: 185 mod 40 = 25 ≠ 35 = 235 mod 40

m=41: 185 mod 41 = 21 ≠ 30 = 235 mod 41

m=42: 185 mod 42 = 17 ≠ 25 = 235 mod 42

m=43: 185 mod 43 = 13 ≠ 20 = 235 mod 43

m=44: 185 mod 44 = 9 ≠ 15 = 235 mod 44

m=45: 185 mod 45 = 5 ≠ 10 = 235 mod 45

m=46: 185 mod 46 = 1 ≠ 5 = 235 mod 46

m=47: 185 mod 47 = 44 ≠ 0 = 235 mod 47

m=48: 185 mod 48 = 41 ≠ 43 = 235 mod 48

m=49: 185 mod 49 = 38 ≠ 39 = 235 mod 49

m=50: 185 mod 50 = 35 = 35 = 235 mod 50

m=51: 185 mod 51 = 32 ≠ 31 = 235 mod 51

m=52: 185 mod 52 = 29 ≠ 27 = 235 mod 52

m=53: 185 mod 53 = 26 ≠ 23 = 235 mod 53

m=54: 185 mod 54 = 23 ≠ 19 = 235 mod 54

m=55: 185 mod 55 = 20 ≠ 15 = 235 mod 55

m=56: 185 mod 56 = 17 ≠ 11 = 235 mod 56

m=57: 185 mod 57 = 14 ≠ 7 = 235 mod 57

m=58: 185 mod 58 = 11 ≠ 3 = 235 mod 58

m=59: 185 mod 59 = 8 ≠ 58 = 235 mod 59

m=60: 185 mod 60 = 5 ≠ 55 = 235 mod 60

m=61: 185 mod 61 = 2 ≠ 52 = 235 mod 61

m=62: 185 mod 62 = 61 ≠ 49 = 235 mod 62

m=63: 185 mod 63 = 59 ≠ 46 = 235 mod 63

m=64: 185 mod 64 = 57 ≠ 43 = 235 mod 64

m=65: 185 mod 65 = 55 ≠ 40 = 235 mod 65

m=66: 185 mod 66 = 53 ≠ 37 = 235 mod 66

m=67: 185 mod 67 = 51 ≠ 34 = 235 mod 67

m=68: 185 mod 68 = 49 ≠ 31 = 235 mod 68

m=69: 185 mod 69 = 47 ≠ 28 = 235 mod 69

m=70: 185 mod 70 = 45 ≠ 25 = 235 mod 70

m=71: 185 mod 71 = 43 ≠ 22 = 235 mod 71

m=72: 185 mod 72 = 41 ≠ 19 = 235 mod 72

m=73: 185 mod 73 = 39 ≠ 16 = 235 mod 73

m=74: 185 mod 74 = 37 ≠ 13 = 235 mod 74

m=75: 185 mod 75 = 35 ≠ 10 = 235 mod 75

m=76: 185 mod 76 = 33 ≠ 7 = 235 mod 76

m=77: 185 mod 77 = 31 ≠ 4 = 235 mod 77

m=78: 185 mod 78 = 29 ≠ 1 = 235 mod 78

m=79: 185 mod 79 = 27 ≠ 77 = 235 mod 79

m=80: 185 mod 80 = 25 ≠ 75 = 235 mod 80

m=81: 185 mod 81 = 23 ≠ 73 = 235 mod 81

m=82: 185 mod 82 = 21 ≠ 71 = 235 mod 82

m=83: 185 mod 83 = 19 ≠ 69 = 235 mod 83

m=84: 185 mod 84 = 17 ≠ 67 = 235 mod 84

m=85: 185 mod 85 = 15 ≠ 65 = 235 mod 85

m=86: 185 mod 86 = 13 ≠ 63 = 235 mod 86

m=87: 185 mod 87 = 11 ≠ 61 = 235 mod 87

m=88: 185 mod 88 = 9 ≠ 59 = 235 mod 88

m=89: 185 mod 89 = 7 ≠ 57 = 235 mod 89

m=90: 185 mod 90 = 5 ≠ 55 = 235 mod 90

m=91: 185 mod 91 = 3 ≠ 53 = 235 mod 91

m=92: 185 mod 92 = 1 ≠ 51 = 235 mod 92

m=93: 185 mod 93 = 92 ≠ 49 = 235 mod 93

m=94: 185 mod 94 = 91 ≠ 47 = 235 mod 94

m=95: 185 mod 95 = 90 ≠ 45 = 235 mod 95

m=96: 185 mod 96 = 89 ≠ 43 = 235 mod 96

m=97: 185 mod 97 = 88 ≠ 41 = 235 mod 97

m=98: 185 mod 98 = 87 ≠ 39 = 235 mod 98

m=99: 185 mod 99 = 86 ≠ 37 = 235 mod 99

m=100: 185 mod 100 = 85 ≠ 35 = 235 mod 100

m=101: 185 mod 101 = 84 ≠ 33 = 235 mod 101

m=102: 185 mod 102 = 83 ≠ 31 = 235 mod 102

m=103: 185 mod 103 = 82 ≠ 29 = 235 mod 103

m=104: 185 mod 104 = 81 ≠ 27 = 235 mod 104

m=105: 185 mod 105 = 80 ≠ 25 = 235 mod 105

m=106: 185 mod 106 = 79 ≠ 23 = 235 mod 106

m=107: 185 mod 107 = 78 ≠ 21 = 235 mod 107

m=108: 185 mod 108 = 77 ≠ 19 = 235 mod 108

m=109: 185 mod 109 = 76 ≠ 17 = 235 mod 109

m=110: 185 mod 110 = 75 ≠ 15 = 235 mod 110

m=111: 185 mod 111 = 74 ≠ 13 = 235 mod 111

m=112: 185 mod 112 = 73 ≠ 11 = 235 mod 112

m=113: 185 mod 113 = 72 ≠ 9 = 235 mod 113

m=114: 185 mod 114 = 71 ≠ 7 = 235 mod 114

m=115: 185 mod 115 = 70 ≠ 5 = 235 mod 115

m=116: 185 mod 116 = 69 ≠ 3 = 235 mod 116

m=117: 185 mod 117 = 68 ≠ 1 = 235 mod 117

m=118: 185 mod 118 = 67 ≠ 117 = 235 mod 118

m=119: 185 mod 119 = 66 ≠ 116 = 235 mod 119

m=120: 185 mod 120 = 65 ≠ 115 = 235 mod 120

m=121: 185 mod 121 = 64 ≠ 114 = 235 mod 121

m=122: 185 mod 122 = 63 ≠ 113 = 235 mod 122

m=123: 185 mod 123 = 62 ≠ 112 = 235 mod 123

m=124: 185 mod 124 = 61 ≠ 111 = 235 mod 124

m=125: 185 mod 125 = 60 ≠ 110 = 235 mod 125

m=126: 185 mod 126 = 59 ≠ 109 = 235 mod 126

m=127: 185 mod 127 = 58 ≠ 108 = 235 mod 127

m=128: 185 mod 128 = 57 ≠ 107 = 235 mod 128

m=129: 185 mod 129 = 56 ≠ 106 = 235 mod 129

m=130: 185 mod 130 = 55 ≠ 105 = 235 mod 130

m=131: 185 mod 131 = 54 ≠ 104 = 235 mod 131

m=132: 185 mod 132 = 53 ≠ 103 = 235 mod 132

m=133: 185 mod 133 = 52 ≠ 102 = 235 mod 133

m=134: 185 mod 134 = 51 ≠ 101 = 235 mod 134

m=135: 185 mod 135 = 50 ≠ 100 = 235 mod 135

m=136: 185 mod 136 = 49 ≠ 99 = 235 mod 136

m=137: 185 mod 137 = 48 ≠ 98 = 235 mod 137

m=138: 185 mod 138 = 47 ≠ 97 = 235 mod 138

m=139: 185 mod 139 = 46 ≠ 96 = 235 mod 139

m=140: 185 mod 140 = 45 ≠ 95 = 235 mod 140

m=141: 185 mod 141 = 44 ≠ 94 = 235 mod 141

m=142: 185 mod 142 = 43 ≠ 93 = 235 mod 142

m=143: 185 mod 143 = 42 ≠ 92 = 235 mod 143

m=144: 185 mod 144 = 41 ≠ 91 = 235 mod 144

m=145: 185 mod 145 = 40 ≠ 90 = 235 mod 145

m=146: 185 mod 146 = 39 ≠ 89 = 235 mod 146

m=147: 185 mod 147 = 38 ≠ 88 = 235 mod 147

m=148: 185 mod 148 = 37 ≠ 87 = 235 mod 148

m=149: 185 mod 149 = 36 ≠ 86 = 235 mod 149

m=150: 185 mod 150 = 35 ≠ 85 = 235 mod 150

m=151: 185 mod 151 = 34 ≠ 84 = 235 mod 151

m=152: 185 mod 152 = 33 ≠ 83 = 235 mod 152

m=153: 185 mod 153 = 32 ≠ 82 = 235 mod 153

m=154: 185 mod 154 = 31 ≠ 81 = 235 mod 154

m=155: 185 mod 155 = 30 ≠ 80 = 235 mod 155

m=156: 185 mod 156 = 29 ≠ 79 = 235 mod 156

m=157: 185 mod 157 = 28 ≠ 78 = 235 mod 157

m=158: 185 mod 158 = 27 ≠ 77 = 235 mod 158

m=159: 185 mod 159 = 26 ≠ 76 = 235 mod 159

m=160: 185 mod 160 = 25 ≠ 75 = 235 mod 160

m=161: 185 mod 161 = 24 ≠ 74 = 235 mod 161

m=162: 185 mod 162 = 23 ≠ 73 = 235 mod 162

m=163: 185 mod 163 = 22 ≠ 72 = 235 mod 163

m=164: 185 mod 164 = 21 ≠ 71 = 235 mod 164

m=165: 185 mod 165 = 20 ≠ 70 = 235 mod 165

m=166: 185 mod 166 = 19 ≠ 69 = 235 mod 166

m=167: 185 mod 167 = 18 ≠ 68 = 235 mod 167

m=168: 185 mod 168 = 17 ≠ 67 = 235 mod 168

m=169: 185 mod 169 = 16 ≠ 66 = 235 mod 169

m=170: 185 mod 170 = 15 ≠ 65 = 235 mod 170

m=171: 185 mod 171 = 14 ≠ 64 = 235 mod 171

m=172: 185 mod 172 = 13 ≠ 63 = 235 mod 172

m=173: 185 mod 173 = 12 ≠ 62 = 235 mod 173

m=174: 185 mod 174 = 11 ≠ 61 = 235 mod 174

m=175: 185 mod 175 = 10 ≠ 60 = 235 mod 175

m=176: 185 mod 176 = 9 ≠ 59 = 235 mod 176

m=177: 185 mod 177 = 8 ≠ 58 = 235 mod 177

m=178: 185 mod 178 = 7 ≠ 57 = 235 mod 178

m=179: 185 mod 179 = 6 ≠ 56 = 235 mod 179

m=180: 185 mod 180 = 5 ≠ 55 = 235 mod 180

m=181: 185 mod 181 = 4 ≠ 54 = 235 mod 181

m=182: 185 mod 182 = 3 ≠ 53 = 235 mod 182

m=183: 185 mod 183 = 2 ≠ 52 = 235 mod 183

m=184: 185 mod 184 = 1 ≠ 51 = 235 mod 184

m=185: 185 mod 185 = 0 ≠ 50 = 235 mod 185

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (235 - 185) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50