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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 9.
Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 54 - 54 = 0.
Somit gilt: 54 mod 9 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 55 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 55 - 49 = 6.
Somit gilt: 55 mod 7 ≡ 6.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 84 = 12 ⋅ 7
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 84 und erhalten so 90.
Somit gilt: 90 ≡ 55 ≡ 6 mod 7.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9007 - 83) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9007 - 83) mod 9 ≡ (9007 mod 9 - 83 mod 9) mod 9.
9007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9007
= 9000
83 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83
= 90
Somit gilt:
(9007 - 83) mod 9 ≡ (7 - 2) mod 9 ≡ 5 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 62) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(62 ⋅ 62) mod 3 ≡ (62 mod 3 ⋅ 62 mod 3) mod 3.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60 + 2 = 20 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(62 ⋅ 62) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
178 mod m = 223 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 178 aus, ob zufällig 178 mod m = 223 mod m gilt:
m=2: 178 mod 2 = 0 ≠ 1 = 223 mod 2
m=3: 178 mod 3 = 1 = 1 = 223 mod 3
m=4: 178 mod 4 = 2 ≠ 3 = 223 mod 4
m=5: 178 mod 5 = 3 = 3 = 223 mod 5
m=6: 178 mod 6 = 4 ≠ 1 = 223 mod 6
m=7: 178 mod 7 = 3 ≠ 6 = 223 mod 7
m=8: 178 mod 8 = 2 ≠ 7 = 223 mod 8
m=9: 178 mod 9 = 7 = 7 = 223 mod 9
m=10: 178 mod 10 = 8 ≠ 3 = 223 mod 10
m=11: 178 mod 11 = 2 ≠ 3 = 223 mod 11
m=12: 178 mod 12 = 10 ≠ 7 = 223 mod 12
m=13: 178 mod 13 = 9 ≠ 2 = 223 mod 13
m=14: 178 mod 14 = 10 ≠ 13 = 223 mod 14
m=15: 178 mod 15 = 13 = 13 = 223 mod 15
m=16: 178 mod 16 = 2 ≠ 15 = 223 mod 16
m=17: 178 mod 17 = 8 ≠ 2 = 223 mod 17
m=18: 178 mod 18 = 16 ≠ 7 = 223 mod 18
m=19: 178 mod 19 = 7 ≠ 14 = 223 mod 19
m=20: 178 mod 20 = 18 ≠ 3 = 223 mod 20
m=21: 178 mod 21 = 10 ≠ 13 = 223 mod 21
m=22: 178 mod 22 = 2 ≠ 3 = 223 mod 22
m=23: 178 mod 23 = 17 ≠ 16 = 223 mod 23
m=24: 178 mod 24 = 10 ≠ 7 = 223 mod 24
m=25: 178 mod 25 = 3 ≠ 23 = 223 mod 25
m=26: 178 mod 26 = 22 ≠ 15 = 223 mod 26
m=27: 178 mod 27 = 16 ≠ 7 = 223 mod 27
m=28: 178 mod 28 = 10 ≠ 27 = 223 mod 28
m=29: 178 mod 29 = 4 ≠ 20 = 223 mod 29
m=30: 178 mod 30 = 28 ≠ 13 = 223 mod 30
m=31: 178 mod 31 = 23 ≠ 6 = 223 mod 31
m=32: 178 mod 32 = 18 ≠ 31 = 223 mod 32
m=33: 178 mod 33 = 13 ≠ 25 = 223 mod 33
m=34: 178 mod 34 = 8 ≠ 19 = 223 mod 34
m=35: 178 mod 35 = 3 ≠ 13 = 223 mod 35
m=36: 178 mod 36 = 34 ≠ 7 = 223 mod 36
m=37: 178 mod 37 = 30 ≠ 1 = 223 mod 37
m=38: 178 mod 38 = 26 ≠ 33 = 223 mod 38
m=39: 178 mod 39 = 22 ≠ 28 = 223 mod 39
m=40: 178 mod 40 = 18 ≠ 23 = 223 mod 40
m=41: 178 mod 41 = 14 ≠ 18 = 223 mod 41
m=42: 178 mod 42 = 10 ≠ 13 = 223 mod 42
m=43: 178 mod 43 = 6 ≠ 8 = 223 mod 43
m=44: 178 mod 44 = 2 ≠ 3 = 223 mod 44
m=45: 178 mod 45 = 43 = 43 = 223 mod 45
m=46: 178 mod 46 = 40 ≠ 39 = 223 mod 46
m=47: 178 mod 47 = 37 ≠ 35 = 223 mod 47
m=48: 178 mod 48 = 34 ≠ 31 = 223 mod 48
m=49: 178 mod 49 = 31 ≠ 27 = 223 mod 49
m=50: 178 mod 50 = 28 ≠ 23 = 223 mod 50
m=51: 178 mod 51 = 25 ≠ 19 = 223 mod 51
m=52: 178 mod 52 = 22 ≠ 15 = 223 mod 52
m=53: 178 mod 53 = 19 ≠ 11 = 223 mod 53
m=54: 178 mod 54 = 16 ≠ 7 = 223 mod 54
m=55: 178 mod 55 = 13 ≠ 3 = 223 mod 55
m=56: 178 mod 56 = 10 ≠ 55 = 223 mod 56
m=57: 178 mod 57 = 7 ≠ 52 = 223 mod 57
m=58: 178 mod 58 = 4 ≠ 49 = 223 mod 58
m=59: 178 mod 59 = 1 ≠ 46 = 223 mod 59
m=60: 178 mod 60 = 58 ≠ 43 = 223 mod 60
m=61: 178 mod 61 = 56 ≠ 40 = 223 mod 61
m=62: 178 mod 62 = 54 ≠ 37 = 223 mod 62
m=63: 178 mod 63 = 52 ≠ 34 = 223 mod 63
m=64: 178 mod 64 = 50 ≠ 31 = 223 mod 64
m=65: 178 mod 65 = 48 ≠ 28 = 223 mod 65
m=66: 178 mod 66 = 46 ≠ 25 = 223 mod 66
m=67: 178 mod 67 = 44 ≠ 22 = 223 mod 67
m=68: 178 mod 68 = 42 ≠ 19 = 223 mod 68
m=69: 178 mod 69 = 40 ≠ 16 = 223 mod 69
m=70: 178 mod 70 = 38 ≠ 13 = 223 mod 70
m=71: 178 mod 71 = 36 ≠ 10 = 223 mod 71
m=72: 178 mod 72 = 34 ≠ 7 = 223 mod 72
m=73: 178 mod 73 = 32 ≠ 4 = 223 mod 73
m=74: 178 mod 74 = 30 ≠ 1 = 223 mod 74
m=75: 178 mod 75 = 28 ≠ 73 = 223 mod 75
m=76: 178 mod 76 = 26 ≠ 71 = 223 mod 76
m=77: 178 mod 77 = 24 ≠ 69 = 223 mod 77
m=78: 178 mod 78 = 22 ≠ 67 = 223 mod 78
m=79: 178 mod 79 = 20 ≠ 65 = 223 mod 79
m=80: 178 mod 80 = 18 ≠ 63 = 223 mod 80
m=81: 178 mod 81 = 16 ≠ 61 = 223 mod 81
m=82: 178 mod 82 = 14 ≠ 59 = 223 mod 82
m=83: 178 mod 83 = 12 ≠ 57 = 223 mod 83
m=84: 178 mod 84 = 10 ≠ 55 = 223 mod 84
m=85: 178 mod 85 = 8 ≠ 53 = 223 mod 85
m=86: 178 mod 86 = 6 ≠ 51 = 223 mod 86
m=87: 178 mod 87 = 4 ≠ 49 = 223 mod 87
m=88: 178 mod 88 = 2 ≠ 47 = 223 mod 88
m=89: 178 mod 89 = 0 ≠ 45 = 223 mod 89
m=90: 178 mod 90 = 88 ≠ 43 = 223 mod 90
m=91: 178 mod 91 = 87 ≠ 41 = 223 mod 91
m=92: 178 mod 92 = 86 ≠ 39 = 223 mod 92
m=93: 178 mod 93 = 85 ≠ 37 = 223 mod 93
m=94: 178 mod 94 = 84 ≠ 35 = 223 mod 94
m=95: 178 mod 95 = 83 ≠ 33 = 223 mod 95
m=96: 178 mod 96 = 82 ≠ 31 = 223 mod 96
m=97: 178 mod 97 = 81 ≠ 29 = 223 mod 97
m=98: 178 mod 98 = 80 ≠ 27 = 223 mod 98
m=99: 178 mod 99 = 79 ≠ 25 = 223 mod 99
m=100: 178 mod 100 = 78 ≠ 23 = 223 mod 100
m=101: 178 mod 101 = 77 ≠ 21 = 223 mod 101
m=102: 178 mod 102 = 76 ≠ 19 = 223 mod 102
m=103: 178 mod 103 = 75 ≠ 17 = 223 mod 103
m=104: 178 mod 104 = 74 ≠ 15 = 223 mod 104
m=105: 178 mod 105 = 73 ≠ 13 = 223 mod 105
m=106: 178 mod 106 = 72 ≠ 11 = 223 mod 106
m=107: 178 mod 107 = 71 ≠ 9 = 223 mod 107
m=108: 178 mod 108 = 70 ≠ 7 = 223 mod 108
m=109: 178 mod 109 = 69 ≠ 5 = 223 mod 109
m=110: 178 mod 110 = 68 ≠ 3 = 223 mod 110
m=111: 178 mod 111 = 67 ≠ 1 = 223 mod 111
m=112: 178 mod 112 = 66 ≠ 111 = 223 mod 112
m=113: 178 mod 113 = 65 ≠ 110 = 223 mod 113
m=114: 178 mod 114 = 64 ≠ 109 = 223 mod 114
m=115: 178 mod 115 = 63 ≠ 108 = 223 mod 115
m=116: 178 mod 116 = 62 ≠ 107 = 223 mod 116
m=117: 178 mod 117 = 61 ≠ 106 = 223 mod 117
m=118: 178 mod 118 = 60 ≠ 105 = 223 mod 118
m=119: 178 mod 119 = 59 ≠ 104 = 223 mod 119
m=120: 178 mod 120 = 58 ≠ 103 = 223 mod 120
m=121: 178 mod 121 = 57 ≠ 102 = 223 mod 121
m=122: 178 mod 122 = 56 ≠ 101 = 223 mod 122
m=123: 178 mod 123 = 55 ≠ 100 = 223 mod 123
m=124: 178 mod 124 = 54 ≠ 99 = 223 mod 124
m=125: 178 mod 125 = 53 ≠ 98 = 223 mod 125
m=126: 178 mod 126 = 52 ≠ 97 = 223 mod 126
m=127: 178 mod 127 = 51 ≠ 96 = 223 mod 127
m=128: 178 mod 128 = 50 ≠ 95 = 223 mod 128
m=129: 178 mod 129 = 49 ≠ 94 = 223 mod 129
m=130: 178 mod 130 = 48 ≠ 93 = 223 mod 130
m=131: 178 mod 131 = 47 ≠ 92 = 223 mod 131
m=132: 178 mod 132 = 46 ≠ 91 = 223 mod 132
m=133: 178 mod 133 = 45 ≠ 90 = 223 mod 133
m=134: 178 mod 134 = 44 ≠ 89 = 223 mod 134
m=135: 178 mod 135 = 43 ≠ 88 = 223 mod 135
m=136: 178 mod 136 = 42 ≠ 87 = 223 mod 136
m=137: 178 mod 137 = 41 ≠ 86 = 223 mod 137
m=138: 178 mod 138 = 40 ≠ 85 = 223 mod 138
m=139: 178 mod 139 = 39 ≠ 84 = 223 mod 139
m=140: 178 mod 140 = 38 ≠ 83 = 223 mod 140
m=141: 178 mod 141 = 37 ≠ 82 = 223 mod 141
m=142: 178 mod 142 = 36 ≠ 81 = 223 mod 142
m=143: 178 mod 143 = 35 ≠ 80 = 223 mod 143
m=144: 178 mod 144 = 34 ≠ 79 = 223 mod 144
m=145: 178 mod 145 = 33 ≠ 78 = 223 mod 145
m=146: 178 mod 146 = 32 ≠ 77 = 223 mod 146
m=147: 178 mod 147 = 31 ≠ 76 = 223 mod 147
m=148: 178 mod 148 = 30 ≠ 75 = 223 mod 148
m=149: 178 mod 149 = 29 ≠ 74 = 223 mod 149
m=150: 178 mod 150 = 28 ≠ 73 = 223 mod 150
m=151: 178 mod 151 = 27 ≠ 72 = 223 mod 151
m=152: 178 mod 152 = 26 ≠ 71 = 223 mod 152
m=153: 178 mod 153 = 25 ≠ 70 = 223 mod 153
m=154: 178 mod 154 = 24 ≠ 69 = 223 mod 154
m=155: 178 mod 155 = 23 ≠ 68 = 223 mod 155
m=156: 178 mod 156 = 22 ≠ 67 = 223 mod 156
m=157: 178 mod 157 = 21 ≠ 66 = 223 mod 157
m=158: 178 mod 158 = 20 ≠ 65 = 223 mod 158
m=159: 178 mod 159 = 19 ≠ 64 = 223 mod 159
m=160: 178 mod 160 = 18 ≠ 63 = 223 mod 160
m=161: 178 mod 161 = 17 ≠ 62 = 223 mod 161
m=162: 178 mod 162 = 16 ≠ 61 = 223 mod 162
m=163: 178 mod 163 = 15 ≠ 60 = 223 mod 163
m=164: 178 mod 164 = 14 ≠ 59 = 223 mod 164
m=165: 178 mod 165 = 13 ≠ 58 = 223 mod 165
m=166: 178 mod 166 = 12 ≠ 57 = 223 mod 166
m=167: 178 mod 167 = 11 ≠ 56 = 223 mod 167
m=168: 178 mod 168 = 10 ≠ 55 = 223 mod 168
m=169: 178 mod 169 = 9 ≠ 54 = 223 mod 169
m=170: 178 mod 170 = 8 ≠ 53 = 223 mod 170
m=171: 178 mod 171 = 7 ≠ 52 = 223 mod 171
m=172: 178 mod 172 = 6 ≠ 51 = 223 mod 172
m=173: 178 mod 173 = 5 ≠ 50 = 223 mod 173
m=174: 178 mod 174 = 4 ≠ 49 = 223 mod 174
m=175: 178 mod 175 = 3 ≠ 48 = 223 mod 175
m=176: 178 mod 176 = 2 ≠ 47 = 223 mod 176
m=177: 178 mod 177 = 1 ≠ 46 = 223 mod 177
m=178: 178 mod 178 = 0 ≠ 45 = 223 mod 178
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (223 - 178) = 45 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 9; 15; 45
