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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 88 = 4.

Somit gilt: 92 mod 11 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 80 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.

Somit gilt: 80 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Somit gilt: 10 ≡ 80 ≡ 0 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (185 - 893) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(185 - 893) mod 9 ≡ (185 mod 9 - 893 mod 9) mod 9.

185 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185 = 180+5 = 9 ⋅ 20 +5.

893 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 893 = 900-7 = 9 ⋅ 100 -7 = 9 ⋅ 100 - 9 + 2.

Somit gilt:

(185 - 893) mod 9 ≡ (5 - 2) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 40) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 40) mod 4 ≡ (88 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

88 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 22 ⋅ 4 + 0 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 40) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
8 mod m = 12 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 8 aus, ob zufällig 8 mod m = 12 mod m gilt:

m=2: 8 mod 2 = 0 = 0 = 12 mod 2

m=3: 8 mod 3 = 2 ≠ 0 = 12 mod 3

m=4: 8 mod 4 = 0 = 0 = 12 mod 4

m=5: 8 mod 5 = 3 ≠ 2 = 12 mod 5

m=6: 8 mod 6 = 2 ≠ 0 = 12 mod 6

m=7: 8 mod 7 = 1 ≠ 5 = 12 mod 7

m=8: 8 mod 8 = 0 ≠ 4 = 12 mod 8

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (12 - 8) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4