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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 76 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 70 = 6.

Somit gilt: 76 mod 10 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 39 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 39, weil ja 13 ⋅ 3 = 39 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 39 = 0.

Somit gilt: 39 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Somit gilt: 60 ≡ 39 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6001 + 1797) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6001 + 1797) mod 6 ≡ (6001 mod 6 + 1797 mod 6) mod 6.

6001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6001 = 6000+1 = 6 ⋅ 1000 +1.

1797 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1797 = 1800-3 = 6 ⋅ 300 -3 = 6 ⋅ 300 - 6 + 3.

Somit gilt:

(6001 + 1797) mod 6 ≡ (1 + 3) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 57) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 57) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 57 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

57 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 57 = 50 + 7 = 5 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 57) mod 10 ≡ (4 ⋅ 7) mod 10 ≡ 28 mod 10 ≡ 8 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
115 mod m = 160 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 115 aus, ob zufällig 115 mod m = 160 mod m gilt:

m=2: 115 mod 2 = 1 ≠ 0 = 160 mod 2

m=3: 115 mod 3 = 1 = 1 = 160 mod 3

m=4: 115 mod 4 = 3 ≠ 0 = 160 mod 4

m=5: 115 mod 5 = 0 = 0 = 160 mod 5

m=6: 115 mod 6 = 1 ≠ 4 = 160 mod 6

m=7: 115 mod 7 = 3 ≠ 6 = 160 mod 7

m=8: 115 mod 8 = 3 ≠ 0 = 160 mod 8

m=9: 115 mod 9 = 7 = 7 = 160 mod 9

m=10: 115 mod 10 = 5 ≠ 0 = 160 mod 10

m=11: 115 mod 11 = 5 ≠ 6 = 160 mod 11

m=12: 115 mod 12 = 7 ≠ 4 = 160 mod 12

m=13: 115 mod 13 = 11 ≠ 4 = 160 mod 13

m=14: 115 mod 14 = 3 ≠ 6 = 160 mod 14

m=15: 115 mod 15 = 10 = 10 = 160 mod 15

m=16: 115 mod 16 = 3 ≠ 0 = 160 mod 16

m=17: 115 mod 17 = 13 ≠ 7 = 160 mod 17

m=18: 115 mod 18 = 7 ≠ 16 = 160 mod 18

m=19: 115 mod 19 = 1 ≠ 8 = 160 mod 19

m=20: 115 mod 20 = 15 ≠ 0 = 160 mod 20

m=21: 115 mod 21 = 10 ≠ 13 = 160 mod 21

m=22: 115 mod 22 = 5 ≠ 6 = 160 mod 22

m=23: 115 mod 23 = 0 ≠ 22 = 160 mod 23

m=24: 115 mod 24 = 19 ≠ 16 = 160 mod 24

m=25: 115 mod 25 = 15 ≠ 10 = 160 mod 25

m=26: 115 mod 26 = 11 ≠ 4 = 160 mod 26

m=27: 115 mod 27 = 7 ≠ 25 = 160 mod 27

m=28: 115 mod 28 = 3 ≠ 20 = 160 mod 28

m=29: 115 mod 29 = 28 ≠ 15 = 160 mod 29

m=30: 115 mod 30 = 25 ≠ 10 = 160 mod 30

m=31: 115 mod 31 = 22 ≠ 5 = 160 mod 31

m=32: 115 mod 32 = 19 ≠ 0 = 160 mod 32

m=33: 115 mod 33 = 16 ≠ 28 = 160 mod 33

m=34: 115 mod 34 = 13 ≠ 24 = 160 mod 34

m=35: 115 mod 35 = 10 ≠ 20 = 160 mod 35

m=36: 115 mod 36 = 7 ≠ 16 = 160 mod 36

m=37: 115 mod 37 = 4 ≠ 12 = 160 mod 37

m=38: 115 mod 38 = 1 ≠ 8 = 160 mod 38

m=39: 115 mod 39 = 37 ≠ 4 = 160 mod 39

m=40: 115 mod 40 = 35 ≠ 0 = 160 mod 40

m=41: 115 mod 41 = 33 ≠ 37 = 160 mod 41

m=42: 115 mod 42 = 31 ≠ 34 = 160 mod 42

m=43: 115 mod 43 = 29 ≠ 31 = 160 mod 43

m=44: 115 mod 44 = 27 ≠ 28 = 160 mod 44

m=45: 115 mod 45 = 25 = 25 = 160 mod 45

m=46: 115 mod 46 = 23 ≠ 22 = 160 mod 46

m=47: 115 mod 47 = 21 ≠ 19 = 160 mod 47

m=48: 115 mod 48 = 19 ≠ 16 = 160 mod 48

m=49: 115 mod 49 = 17 ≠ 13 = 160 mod 49

m=50: 115 mod 50 = 15 ≠ 10 = 160 mod 50

m=51: 115 mod 51 = 13 ≠ 7 = 160 mod 51

m=52: 115 mod 52 = 11 ≠ 4 = 160 mod 52

m=53: 115 mod 53 = 9 ≠ 1 = 160 mod 53

m=54: 115 mod 54 = 7 ≠ 52 = 160 mod 54

m=55: 115 mod 55 = 5 ≠ 50 = 160 mod 55

m=56: 115 mod 56 = 3 ≠ 48 = 160 mod 56

m=57: 115 mod 57 = 1 ≠ 46 = 160 mod 57

m=58: 115 mod 58 = 57 ≠ 44 = 160 mod 58

m=59: 115 mod 59 = 56 ≠ 42 = 160 mod 59

m=60: 115 mod 60 = 55 ≠ 40 = 160 mod 60

m=61: 115 mod 61 = 54 ≠ 38 = 160 mod 61

m=62: 115 mod 62 = 53 ≠ 36 = 160 mod 62

m=63: 115 mod 63 = 52 ≠ 34 = 160 mod 63

m=64: 115 mod 64 = 51 ≠ 32 = 160 mod 64

m=65: 115 mod 65 = 50 ≠ 30 = 160 mod 65

m=66: 115 mod 66 = 49 ≠ 28 = 160 mod 66

m=67: 115 mod 67 = 48 ≠ 26 = 160 mod 67

m=68: 115 mod 68 = 47 ≠ 24 = 160 mod 68

m=69: 115 mod 69 = 46 ≠ 22 = 160 mod 69

m=70: 115 mod 70 = 45 ≠ 20 = 160 mod 70

m=71: 115 mod 71 = 44 ≠ 18 = 160 mod 71

m=72: 115 mod 72 = 43 ≠ 16 = 160 mod 72

m=73: 115 mod 73 = 42 ≠ 14 = 160 mod 73

m=74: 115 mod 74 = 41 ≠ 12 = 160 mod 74

m=75: 115 mod 75 = 40 ≠ 10 = 160 mod 75

m=76: 115 mod 76 = 39 ≠ 8 = 160 mod 76

m=77: 115 mod 77 = 38 ≠ 6 = 160 mod 77

m=78: 115 mod 78 = 37 ≠ 4 = 160 mod 78

m=79: 115 mod 79 = 36 ≠ 2 = 160 mod 79

m=80: 115 mod 80 = 35 ≠ 0 = 160 mod 80

m=81: 115 mod 81 = 34 ≠ 79 = 160 mod 81

m=82: 115 mod 82 = 33 ≠ 78 = 160 mod 82

m=83: 115 mod 83 = 32 ≠ 77 = 160 mod 83

m=84: 115 mod 84 = 31 ≠ 76 = 160 mod 84

m=85: 115 mod 85 = 30 ≠ 75 = 160 mod 85

m=86: 115 mod 86 = 29 ≠ 74 = 160 mod 86

m=87: 115 mod 87 = 28 ≠ 73 = 160 mod 87

m=88: 115 mod 88 = 27 ≠ 72 = 160 mod 88

m=89: 115 mod 89 = 26 ≠ 71 = 160 mod 89

m=90: 115 mod 90 = 25 ≠ 70 = 160 mod 90

m=91: 115 mod 91 = 24 ≠ 69 = 160 mod 91

m=92: 115 mod 92 = 23 ≠ 68 = 160 mod 92

m=93: 115 mod 93 = 22 ≠ 67 = 160 mod 93

m=94: 115 mod 94 = 21 ≠ 66 = 160 mod 94

m=95: 115 mod 95 = 20 ≠ 65 = 160 mod 95

m=96: 115 mod 96 = 19 ≠ 64 = 160 mod 96

m=97: 115 mod 97 = 18 ≠ 63 = 160 mod 97

m=98: 115 mod 98 = 17 ≠ 62 = 160 mod 98

m=99: 115 mod 99 = 16 ≠ 61 = 160 mod 99

m=100: 115 mod 100 = 15 ≠ 60 = 160 mod 100

m=101: 115 mod 101 = 14 ≠ 59 = 160 mod 101

m=102: 115 mod 102 = 13 ≠ 58 = 160 mod 102

m=103: 115 mod 103 = 12 ≠ 57 = 160 mod 103

m=104: 115 mod 104 = 11 ≠ 56 = 160 mod 104

m=105: 115 mod 105 = 10 ≠ 55 = 160 mod 105

m=106: 115 mod 106 = 9 ≠ 54 = 160 mod 106

m=107: 115 mod 107 = 8 ≠ 53 = 160 mod 107

m=108: 115 mod 108 = 7 ≠ 52 = 160 mod 108

m=109: 115 mod 109 = 6 ≠ 51 = 160 mod 109

m=110: 115 mod 110 = 5 ≠ 50 = 160 mod 110

m=111: 115 mod 111 = 4 ≠ 49 = 160 mod 111

m=112: 115 mod 112 = 3 ≠ 48 = 160 mod 112

m=113: 115 mod 113 = 2 ≠ 47 = 160 mod 113

m=114: 115 mod 114 = 1 ≠ 46 = 160 mod 114

m=115: 115 mod 115 = 0 ≠ 45 = 160 mod 115

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (160 - 115) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45