Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 51, weil ja 17 ⋅ 3 = 51 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 52 - 51 = 1.
Somit gilt: 52 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 61 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.
Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.
Somit gilt: 53 ≡ 61 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (8997 + 44991) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(8997 + 44991) mod 9 ≡ (8997 mod 9 + 44991 mod 9) mod 9.
8997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8997
= 9000
44991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44991
= 45000
Somit gilt:
(8997 + 44991) mod 9 ≡ (6 + 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 97) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(48 ⋅ 97) mod 3 ≡ (48 mod 3 ⋅ 97 mod 3) mod 3.
48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.
97 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 32 ⋅ 3 + 1 ist.
Somit gilt:
(48 ⋅ 97) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
94 mod m = 124 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 94 aus, ob zufällig 94 mod m = 124 mod m gilt:
m=2: 94 mod 2 = 0 = 0 = 124 mod 2
m=3: 94 mod 3 = 1 = 1 = 124 mod 3
m=4: 94 mod 4 = 2 ≠ 0 = 124 mod 4
m=5: 94 mod 5 = 4 = 4 = 124 mod 5
m=6: 94 mod 6 = 4 = 4 = 124 mod 6
m=7: 94 mod 7 = 3 ≠ 5 = 124 mod 7
m=8: 94 mod 8 = 6 ≠ 4 = 124 mod 8
m=9: 94 mod 9 = 4 ≠ 7 = 124 mod 9
m=10: 94 mod 10 = 4 = 4 = 124 mod 10
m=11: 94 mod 11 = 6 ≠ 3 = 124 mod 11
m=12: 94 mod 12 = 10 ≠ 4 = 124 mod 12
m=13: 94 mod 13 = 3 ≠ 7 = 124 mod 13
m=14: 94 mod 14 = 10 ≠ 12 = 124 mod 14
m=15: 94 mod 15 = 4 = 4 = 124 mod 15
m=16: 94 mod 16 = 14 ≠ 12 = 124 mod 16
m=17: 94 mod 17 = 9 ≠ 5 = 124 mod 17
m=18: 94 mod 18 = 4 ≠ 16 = 124 mod 18
m=19: 94 mod 19 = 18 ≠ 10 = 124 mod 19
m=20: 94 mod 20 = 14 ≠ 4 = 124 mod 20
m=21: 94 mod 21 = 10 ≠ 19 = 124 mod 21
m=22: 94 mod 22 = 6 ≠ 14 = 124 mod 22
m=23: 94 mod 23 = 2 ≠ 9 = 124 mod 23
m=24: 94 mod 24 = 22 ≠ 4 = 124 mod 24
m=25: 94 mod 25 = 19 ≠ 24 = 124 mod 25
m=26: 94 mod 26 = 16 ≠ 20 = 124 mod 26
m=27: 94 mod 27 = 13 ≠ 16 = 124 mod 27
m=28: 94 mod 28 = 10 ≠ 12 = 124 mod 28
m=29: 94 mod 29 = 7 ≠ 8 = 124 mod 29
m=30: 94 mod 30 = 4 = 4 = 124 mod 30
m=31: 94 mod 31 = 1 ≠ 0 = 124 mod 31
m=32: 94 mod 32 = 30 ≠ 28 = 124 mod 32
m=33: 94 mod 33 = 28 ≠ 25 = 124 mod 33
m=34: 94 mod 34 = 26 ≠ 22 = 124 mod 34
m=35: 94 mod 35 = 24 ≠ 19 = 124 mod 35
m=36: 94 mod 36 = 22 ≠ 16 = 124 mod 36
m=37: 94 mod 37 = 20 ≠ 13 = 124 mod 37
m=38: 94 mod 38 = 18 ≠ 10 = 124 mod 38
m=39: 94 mod 39 = 16 ≠ 7 = 124 mod 39
m=40: 94 mod 40 = 14 ≠ 4 = 124 mod 40
m=41: 94 mod 41 = 12 ≠ 1 = 124 mod 41
m=42: 94 mod 42 = 10 ≠ 40 = 124 mod 42
m=43: 94 mod 43 = 8 ≠ 38 = 124 mod 43
m=44: 94 mod 44 = 6 ≠ 36 = 124 mod 44
m=45: 94 mod 45 = 4 ≠ 34 = 124 mod 45
m=46: 94 mod 46 = 2 ≠ 32 = 124 mod 46
m=47: 94 mod 47 = 0 ≠ 30 = 124 mod 47
m=48: 94 mod 48 = 46 ≠ 28 = 124 mod 48
m=49: 94 mod 49 = 45 ≠ 26 = 124 mod 49
m=50: 94 mod 50 = 44 ≠ 24 = 124 mod 50
m=51: 94 mod 51 = 43 ≠ 22 = 124 mod 51
m=52: 94 mod 52 = 42 ≠ 20 = 124 mod 52
m=53: 94 mod 53 = 41 ≠ 18 = 124 mod 53
m=54: 94 mod 54 = 40 ≠ 16 = 124 mod 54
m=55: 94 mod 55 = 39 ≠ 14 = 124 mod 55
m=56: 94 mod 56 = 38 ≠ 12 = 124 mod 56
m=57: 94 mod 57 = 37 ≠ 10 = 124 mod 57
m=58: 94 mod 58 = 36 ≠ 8 = 124 mod 58
m=59: 94 mod 59 = 35 ≠ 6 = 124 mod 59
m=60: 94 mod 60 = 34 ≠ 4 = 124 mod 60
m=61: 94 mod 61 = 33 ≠ 2 = 124 mod 61
m=62: 94 mod 62 = 32 ≠ 0 = 124 mod 62
m=63: 94 mod 63 = 31 ≠ 61 = 124 mod 63
m=64: 94 mod 64 = 30 ≠ 60 = 124 mod 64
m=65: 94 mod 65 = 29 ≠ 59 = 124 mod 65
m=66: 94 mod 66 = 28 ≠ 58 = 124 mod 66
m=67: 94 mod 67 = 27 ≠ 57 = 124 mod 67
m=68: 94 mod 68 = 26 ≠ 56 = 124 mod 68
m=69: 94 mod 69 = 25 ≠ 55 = 124 mod 69
m=70: 94 mod 70 = 24 ≠ 54 = 124 mod 70
m=71: 94 mod 71 = 23 ≠ 53 = 124 mod 71
m=72: 94 mod 72 = 22 ≠ 52 = 124 mod 72
m=73: 94 mod 73 = 21 ≠ 51 = 124 mod 73
m=74: 94 mod 74 = 20 ≠ 50 = 124 mod 74
m=75: 94 mod 75 = 19 ≠ 49 = 124 mod 75
m=76: 94 mod 76 = 18 ≠ 48 = 124 mod 76
m=77: 94 mod 77 = 17 ≠ 47 = 124 mod 77
m=78: 94 mod 78 = 16 ≠ 46 = 124 mod 78
m=79: 94 mod 79 = 15 ≠ 45 = 124 mod 79
m=80: 94 mod 80 = 14 ≠ 44 = 124 mod 80
m=81: 94 mod 81 = 13 ≠ 43 = 124 mod 81
m=82: 94 mod 82 = 12 ≠ 42 = 124 mod 82
m=83: 94 mod 83 = 11 ≠ 41 = 124 mod 83
m=84: 94 mod 84 = 10 ≠ 40 = 124 mod 84
m=85: 94 mod 85 = 9 ≠ 39 = 124 mod 85
m=86: 94 mod 86 = 8 ≠ 38 = 124 mod 86
m=87: 94 mod 87 = 7 ≠ 37 = 124 mod 87
m=88: 94 mod 88 = 6 ≠ 36 = 124 mod 88
m=89: 94 mod 89 = 5 ≠ 35 = 124 mod 89
m=90: 94 mod 90 = 4 ≠ 34 = 124 mod 90
m=91: 94 mod 91 = 3 ≠ 33 = 124 mod 91
m=92: 94 mod 92 = 2 ≠ 32 = 124 mod 92
m=93: 94 mod 93 = 1 ≠ 31 = 124 mod 93
m=94: 94 mod 94 = 0 ≠ 30 = 124 mod 94
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (124 - 94) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
