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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 56 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 50 = 6.

Somit gilt: 56 mod 10 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 51 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 50 = 1.

Somit gilt: 51 mod 5 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 1 mod 5 sein, also addieren wir noch 1 auf die 40 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 51 ≡ 1 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10000 - 10004) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 - 10004) mod 5 ≡ (10000 mod 5 - 10004 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

10004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10004 = 10000+4 = 5 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(10000 - 10004) mod 5 ≡ (0 - 4) mod 5 ≡ -4 mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (48 ⋅ 27) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(48 ⋅ 27) mod 3 ≡ (48 mod 3 ⋅ 27 mod 3) mod 3.

48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(48 ⋅ 27) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 21 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 21 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 21 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 = 0 = 21 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 ≠ 1 = 21 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 1 = 21 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 = 3 = 21 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 0 = 21 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 5 = 21 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 3 = 21 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 1 = 21 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 10 = 21 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 9 = 21 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 8 = 21 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 7 = 21 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 6 = 21 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (21 - 15) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6