nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.

Somit gilt: 63 mod 7 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 57 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 78 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 57 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 + 5999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 + 5999) mod 3 ≡ (88 mod 3 + 5999 mod 3) mod 3.

88 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 3 ⋅ 30 -2 = 3 ⋅ 30 - 3 + 1.

5999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5999 = 6000-1 = 3 ⋅ 2000 -1 = 3 ⋅ 2000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(88 + 5999) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (73 ⋅ 91) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(73 ⋅ 91) mod 8 ≡ (73 mod 8 ⋅ 91 mod 8) mod 8.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

91 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 88 + 3 = 11 ⋅ 8 + 3 ist.

Somit gilt:

(73 ⋅ 91) mod 8 ≡ (1 ⋅ 3) mod 8 ≡ 3 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
53 mod m = 68 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 53 aus, ob zufällig 53 mod m = 68 mod m gilt:

m=2: 53 mod 2 = 1 ≠ 0 = 68 mod 2

m=3: 53 mod 3 = 2 = 2 = 68 mod 3

m=4: 53 mod 4 = 1 ≠ 0 = 68 mod 4

m=5: 53 mod 5 = 3 = 3 = 68 mod 5

m=6: 53 mod 6 = 5 ≠ 2 = 68 mod 6

m=7: 53 mod 7 = 4 ≠ 5 = 68 mod 7

m=8: 53 mod 8 = 5 ≠ 4 = 68 mod 8

m=9: 53 mod 9 = 8 ≠ 5 = 68 mod 9

m=10: 53 mod 10 = 3 ≠ 8 = 68 mod 10

m=11: 53 mod 11 = 9 ≠ 2 = 68 mod 11

m=12: 53 mod 12 = 5 ≠ 8 = 68 mod 12

m=13: 53 mod 13 = 1 ≠ 3 = 68 mod 13

m=14: 53 mod 14 = 11 ≠ 12 = 68 mod 14

m=15: 53 mod 15 = 8 = 8 = 68 mod 15

m=16: 53 mod 16 = 5 ≠ 4 = 68 mod 16

m=17: 53 mod 17 = 2 ≠ 0 = 68 mod 17

m=18: 53 mod 18 = 17 ≠ 14 = 68 mod 18

m=19: 53 mod 19 = 15 ≠ 11 = 68 mod 19

m=20: 53 mod 20 = 13 ≠ 8 = 68 mod 20

m=21: 53 mod 21 = 11 ≠ 5 = 68 mod 21

m=22: 53 mod 22 = 9 ≠ 2 = 68 mod 22

m=23: 53 mod 23 = 7 ≠ 22 = 68 mod 23

m=24: 53 mod 24 = 5 ≠ 20 = 68 mod 24

m=25: 53 mod 25 = 3 ≠ 18 = 68 mod 25

m=26: 53 mod 26 = 1 ≠ 16 = 68 mod 26

m=27: 53 mod 27 = 26 ≠ 14 = 68 mod 27

m=28: 53 mod 28 = 25 ≠ 12 = 68 mod 28

m=29: 53 mod 29 = 24 ≠ 10 = 68 mod 29

m=30: 53 mod 30 = 23 ≠ 8 = 68 mod 30

m=31: 53 mod 31 = 22 ≠ 6 = 68 mod 31

m=32: 53 mod 32 = 21 ≠ 4 = 68 mod 32

m=33: 53 mod 33 = 20 ≠ 2 = 68 mod 33

m=34: 53 mod 34 = 19 ≠ 0 = 68 mod 34

m=35: 53 mod 35 = 18 ≠ 33 = 68 mod 35

m=36: 53 mod 36 = 17 ≠ 32 = 68 mod 36

m=37: 53 mod 37 = 16 ≠ 31 = 68 mod 37

m=38: 53 mod 38 = 15 ≠ 30 = 68 mod 38

m=39: 53 mod 39 = 14 ≠ 29 = 68 mod 39

m=40: 53 mod 40 = 13 ≠ 28 = 68 mod 40

m=41: 53 mod 41 = 12 ≠ 27 = 68 mod 41

m=42: 53 mod 42 = 11 ≠ 26 = 68 mod 42

m=43: 53 mod 43 = 10 ≠ 25 = 68 mod 43

m=44: 53 mod 44 = 9 ≠ 24 = 68 mod 44

m=45: 53 mod 45 = 8 ≠ 23 = 68 mod 45

m=46: 53 mod 46 = 7 ≠ 22 = 68 mod 46

m=47: 53 mod 47 = 6 ≠ 21 = 68 mod 47

m=48: 53 mod 48 = 5 ≠ 20 = 68 mod 48

m=49: 53 mod 49 = 4 ≠ 19 = 68 mod 49

m=50: 53 mod 50 = 3 ≠ 18 = 68 mod 50

m=51: 53 mod 51 = 2 ≠ 17 = 68 mod 51

m=52: 53 mod 52 = 1 ≠ 16 = 68 mod 52

m=53: 53 mod 53 = 0 ≠ 15 = 68 mod 53

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (68 - 53) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15