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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 49 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 48 = 1.

Somit gilt: 49 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 35 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 27 = 8.

Somit gilt: 35 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 90 und erhalten so 98.

Somit gilt: 98 ≡ 35 ≡ 8 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30001 + 24002) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30001 + 24002) mod 6 ≡ (30001 mod 6 + 24002 mod 6) mod 6.

30001 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30001 = 30000+1 = 6 ⋅ 5000 +1.

24002 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24002 = 24000+2 = 6 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(30001 + 24002) mod 6 ≡ (1 + 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 51) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 51) mod 11 ≡ (49 mod 11 ⋅ 51 mod 11) mod 11.

49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.

51 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 44 + 7 = 4 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 51) mod 11 ≡ (5 ⋅ 7) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4