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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 44 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 42 = 2.

Somit gilt: 44 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 44 ≡ 2 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1400 + 350) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1400 + 350) mod 7 ≡ (1400 mod 7 + 350 mod 7) mod 7.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

350 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 350 = 350+0 = 7 ⋅ 50 +0.

Somit gilt:

(1400 + 350) mod 7 ≡ (0 + 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 84) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 84) mod 9 ≡ (95 mod 9 ⋅ 84 mod 9) mod 9.

95 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90 + 5 = 10 ⋅ 9 + 5 ist.

84 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 81 + 3 = 9 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 84) mod 9 ≡ (5 ⋅ 3) mod 9 ≡ 15 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
52 mod m = 67 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 52 aus, ob zufällig 52 mod m = 67 mod m gilt:

m=2: 52 mod 2 = 0 ≠ 1 = 67 mod 2

m=3: 52 mod 3 = 1 = 1 = 67 mod 3

m=4: 52 mod 4 = 0 ≠ 3 = 67 mod 4

m=5: 52 mod 5 = 2 = 2 = 67 mod 5

m=6: 52 mod 6 = 4 ≠ 1 = 67 mod 6

m=7: 52 mod 7 = 3 ≠ 4 = 67 mod 7

m=8: 52 mod 8 = 4 ≠ 3 = 67 mod 8

m=9: 52 mod 9 = 7 ≠ 4 = 67 mod 9

m=10: 52 mod 10 = 2 ≠ 7 = 67 mod 10

m=11: 52 mod 11 = 8 ≠ 1 = 67 mod 11

m=12: 52 mod 12 = 4 ≠ 7 = 67 mod 12

m=13: 52 mod 13 = 0 ≠ 2 = 67 mod 13

m=14: 52 mod 14 = 10 ≠ 11 = 67 mod 14

m=15: 52 mod 15 = 7 = 7 = 67 mod 15

m=16: 52 mod 16 = 4 ≠ 3 = 67 mod 16

m=17: 52 mod 17 = 1 ≠ 16 = 67 mod 17

m=18: 52 mod 18 = 16 ≠ 13 = 67 mod 18

m=19: 52 mod 19 = 14 ≠ 10 = 67 mod 19

m=20: 52 mod 20 = 12 ≠ 7 = 67 mod 20

m=21: 52 mod 21 = 10 ≠ 4 = 67 mod 21

m=22: 52 mod 22 = 8 ≠ 1 = 67 mod 22

m=23: 52 mod 23 = 6 ≠ 21 = 67 mod 23

m=24: 52 mod 24 = 4 ≠ 19 = 67 mod 24

m=25: 52 mod 25 = 2 ≠ 17 = 67 mod 25

m=26: 52 mod 26 = 0 ≠ 15 = 67 mod 26

m=27: 52 mod 27 = 25 ≠ 13 = 67 mod 27

m=28: 52 mod 28 = 24 ≠ 11 = 67 mod 28

m=29: 52 mod 29 = 23 ≠ 9 = 67 mod 29

m=30: 52 mod 30 = 22 ≠ 7 = 67 mod 30

m=31: 52 mod 31 = 21 ≠ 5 = 67 mod 31

m=32: 52 mod 32 = 20 ≠ 3 = 67 mod 32

m=33: 52 mod 33 = 19 ≠ 1 = 67 mod 33

m=34: 52 mod 34 = 18 ≠ 33 = 67 mod 34

m=35: 52 mod 35 = 17 ≠ 32 = 67 mod 35

m=36: 52 mod 36 = 16 ≠ 31 = 67 mod 36

m=37: 52 mod 37 = 15 ≠ 30 = 67 mod 37

m=38: 52 mod 38 = 14 ≠ 29 = 67 mod 38

m=39: 52 mod 39 = 13 ≠ 28 = 67 mod 39

m=40: 52 mod 40 = 12 ≠ 27 = 67 mod 40

m=41: 52 mod 41 = 11 ≠ 26 = 67 mod 41

m=42: 52 mod 42 = 10 ≠ 25 = 67 mod 42

m=43: 52 mod 43 = 9 ≠ 24 = 67 mod 43

m=44: 52 mod 44 = 8 ≠ 23 = 67 mod 44

m=45: 52 mod 45 = 7 ≠ 22 = 67 mod 45

m=46: 52 mod 46 = 6 ≠ 21 = 67 mod 46

m=47: 52 mod 47 = 5 ≠ 20 = 67 mod 47

m=48: 52 mod 48 = 4 ≠ 19 = 67 mod 48

m=49: 52 mod 49 = 3 ≠ 18 = 67 mod 49

m=50: 52 mod 50 = 2 ≠ 17 = 67 mod 50

m=51: 52 mod 51 = 1 ≠ 16 = 67 mod 51

m=52: 52 mod 52 = 0 ≠ 15 = 67 mod 52

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (67 - 52) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15