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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 15, weil ja 5 ⋅ 3 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.

Somit gilt: 15 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 77 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.

Somit gilt: 77 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 77 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (35992 + 1795) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(35992 + 1795) mod 9 ≡ (35992 mod 9 + 1795 mod 9) mod 9.

35992 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35992 = 36000-8 = 9 ⋅ 4000 -8 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 1.

1795 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1795 = 1800-5 = 9 ⋅ 200 -5 = 9 ⋅ 200 - 9 + 4.

Somit gilt:

(35992 + 1795) mod 9 ≡ (1 + 4) mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 80) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 80) mod 10 ≡ (56 mod 10 ⋅ 80 mod 10) mod 10.

56 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 50 + 6 = 5 ⋅ 10 + 6 ist.

80 mod 10 ≡ 0 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 8 ⋅ 10 + 0 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 80) mod 10 ≡ (6 ⋅ 0) mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 48 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 48 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 ≠ 0 = 48 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 = 0 = 48 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 0 = 48 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 48 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 0 = 48 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 6 = 48 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 0 = 48 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 3 = 48 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 ≠ 8 = 48 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 4 = 48 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 0 = 48 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 9 = 48 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 6 = 48 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 = 3 = 48 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 0 = 48 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 14 = 48 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 12 = 48 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 10 = 48 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 8 = 48 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 6 = 48 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 4 = 48 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 2 = 48 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 0 = 48 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 23 = 48 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 22 = 48 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 21 = 48 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 20 = 48 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 19 = 48 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 18 = 48 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 17 = 48 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 16 = 48 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 15 = 48 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (48 - 33) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15