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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 42 = 6.

Somit gilt: 48 mod 7 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 95 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 8 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 6 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 48 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 95 ≡ 7 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (315 - 40002) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(315 - 40002) mod 8 ≡ (315 mod 8 - 40002 mod 8) mod 8.

315 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 315 = 320-5 = 8 ⋅ 40 -5 = 8 ⋅ 40 - 8 + 3.

40002 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40002 = 40000+2 = 8 ⋅ 5000 +2.

Somit gilt:

(315 - 40002) mod 8 ≡ (3 - 2) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (42 ⋅ 65) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(42 ⋅ 65) mod 10 ≡ (42 mod 10 ⋅ 65 mod 10) mod 10.

42 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 4 ⋅ 10 + 2 ist.

65 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 6 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(42 ⋅ 65) mod 10 ≡ (2 ⋅ 5) mod 10 ≡ 10 mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4