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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 61 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 55 = 6.

Somit gilt: 61 mod 11 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 26 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 24, weil ja 8 ⋅ 3 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 26 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 78 und erhalten so 80.

Somit gilt: 80 ≡ 26 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2405 - 64) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2405 - 64) mod 6 ≡ (2405 mod 6 - 64 mod 6) mod 6.

2405 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2405 = 2400+5 = 6 ⋅ 400 +5.

64 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60+4 = 6 ⋅ 10 +4.

Somit gilt:

(2405 - 64) mod 6 ≡ (5 - 4) mod 6 ≡ 1 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 64) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 64) mod 5 ≡ (18 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

18 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 15 + 3 = 3 ⋅ 5 + 3 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 64) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 27 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6