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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 55, weil ja 11 ⋅ 5 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 55 = 2.

Somit gilt: 57 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 61 für die gilt n ≡ 60 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 60 - 55 = 5.

Somit gilt: 60 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 61 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 50, z.B. 55 = 5 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 55 und erhalten so 60.

Somit gilt: 60 ≡ 60 ≡ 5 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1600 - 31992) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1600 - 31992) mod 8 ≡ (1600 mod 8 - 31992 mod 8) mod 8.

1600 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1600 = 1600+0 = 8 ⋅ 200 +0.

31992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31992 = 31000+992 = 8 ⋅ 3875 +992.

Somit gilt:

(1600 - 31992) mod 8 ≡ (0 - 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 30) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 30) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 30 mod 7) mod 7.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 30) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9