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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 45 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 44 = 1.

Somit gilt: 45 mod 11 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 40 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 39, weil ja 13 ⋅ 3 = 39 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 39 = 1.

Somit gilt: 40 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 30 und erhalten so 31.

Somit gilt: 31 ≡ 40 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1793 + 262) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1793 + 262) mod 9 ≡ (1793 mod 9 + 262 mod 9) mod 9.

1793 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1793 = 1800-7 = 9 ⋅ 200 -7 = 9 ⋅ 200 - 9 + 2.

262 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 262 = 270-8 = 9 ⋅ 30 -8 = 9 ⋅ 30 - 9 + 1.

Somit gilt:

(1793 + 262) mod 9 ≡ (2 + 1) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 93) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 93) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 93 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

93 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 18 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 93) mod 5 ≡ (2 ⋅ 3) mod 5 ≡ 6 mod 5 ≡ 1 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 46 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 46 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 2 = 46 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 46 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 6 = 46 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 10 = 46 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 = 1 = 46 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 15 = 46 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 31) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15