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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 50 = 8.

Somit gilt: 58 mod 10 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 79 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 70 = 9.

Somit gilt: 79 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 40 und erhalten so 49.

Somit gilt: 49 ≡ 79 ≡ 9 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12005 + 3000) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12005 + 3000) mod 6 ≡ (12005 mod 6 + 3000 mod 6) mod 6.

12005 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12005 = 12000+5 = 6 ⋅ 2000 +5.

3000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3000 = 3000+0 = 6 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(12005 + 3000) mod 6 ≡ (5 + 0) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40 ⋅ 60) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40 ⋅ 60) mod 11 ≡ (40 mod 11 ⋅ 60 mod 11) mod 11.

40 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 33 + 7 = 3 ⋅ 11 + 7 ist.

60 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 55 + 5 = 5 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(40 ⋅ 60) mod 11 ≡ (7 ⋅ 5) mod 11 ≡ 35 mod 11 ≡ 2 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4