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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 48 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 48, weil ja 12 ⋅ 4 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 48 - 48 = 0.

Somit gilt: 48 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 64 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 63 = 1.

Somit gilt: 64 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 91 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 64 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (124 + 16003) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(124 + 16003) mod 4 ≡ (124 mod 4 + 16003 mod 4) mod 4.

124 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 124 = 120+4 = 4 ⋅ 30 +4.

16003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16003 = 16000+3 = 4 ⋅ 4000 +3.

Somit gilt:

(124 + 16003) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (43 ⋅ 77) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(43 ⋅ 77) mod 3 ≡ (43 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.

43 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 14 ⋅ 3 + 1 ist.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(43 ⋅ 77) mod 3 ≡ (1 ⋅ 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
51 mod m = 69 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 51 mod 2 = 1 = 1 = 69 mod 2

m=3: 51 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3

m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 1 = 69 mod 4

m=5: 51 mod 5 = 1 ≠ 4 = 69 mod 5

m=6: 51 mod 6 = 3 = 3 = 69 mod 6

m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 51 mod 9 = 6 = 6 = 69 mod 9

m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 9 = 69 mod 10

m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 9 = 69 mod 15

m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 51 mod 18 = 15 = 15 = 69 mod 18

m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 9 = 69 mod 20

m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 51 mod 25 = 1 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 20 = 69 mod 49

m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 19 = 69 mod 50

m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 18 = 69 mod 51

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 51) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18