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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 51 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 44 = 7.

Somit gilt: 51 mod 11 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 88 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 81 = 7.

Somit gilt: 88 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 63 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 88 ≡ 7 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (602 + 6000) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(602 + 6000) mod 3 ≡ (602 mod 3 + 6000 mod 3) mod 3.

602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602 = 600+2 = 3 ⋅ 200 +2.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(602 + 6000) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 36) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 36) mod 7 ≡ (86 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.

86 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 84 + 2 = 12 ⋅ 7 + 2 ist.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 36) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6