nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 42 = 0.

Somit gilt: 42 mod 7 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 63 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.

Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 66 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 63 ≡ 8 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28001 - 14007) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28001 - 14007) mod 7 ≡ (28001 mod 7 - 14007 mod 7) mod 7.

28001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28001 = 28000+1 = 7 ⋅ 4000 +1.

14007 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14007 = 14000+7 = 7 ⋅ 2000 +7.

Somit gilt:

(28001 - 14007) mod 7 ≡ (1 - 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 49) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 49) mod 7 ≡ (96 mod 7 ⋅ 49 mod 7) mod 7.

96 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 91 + 5 = 13 ⋅ 7 + 5 ist.

49 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 49 + 0 = 7 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 49) mod 7 ≡ (5 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 29 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 29 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 = 5 = 29 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 2 = 29 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 9 = 29 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 8 = 29 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 7 = 29 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 6 = 29 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 23) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6