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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 86 - 81 = 5.

Somit gilt: 86 mod 9 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 93 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 92, weil ja 23 ⋅ 4 = 92 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 92 = 1.

Somit gilt: 93 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 93 ≡ 1 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8993 - 453) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8993 - 453) mod 9 ≡ (8993 mod 9 - 453 mod 9) mod 9.

8993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8993 = 9000-7 = 9 ⋅ 1000 -7 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 2.

453 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 453 = 450+3 = 9 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(8993 - 453) mod 9 ≡ (2 - 3) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 96) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 96) mod 6 ≡ (53 mod 6 ⋅ 96 mod 6) mod 6.

53 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 8 ⋅ 6 + 5 ist.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 96) mod 6 ≡ (5 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10