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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 77 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 76 = 1.

Somit gilt: 77 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 39 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 39 - 35 = 4.

Somit gilt: 39 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 18 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 90 und erhalten so 94.

Somit gilt: 94 ≡ 39 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (305 - 242) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(305 - 242) mod 6 ≡ (305 mod 6 - 242 mod 6) mod 6.

305 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 305 = 300+5 = 6 ⋅ 50 +5.

242 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 242 = 240+2 = 6 ⋅ 40 +2.

Somit gilt:

(305 - 242) mod 6 ≡ (5 - 2) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 39) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 39) mod 5 ≡ (38 mod 5 ⋅ 39 mod 5) mod 5.

38 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 35 + 3 = 7 ⋅ 5 + 3 ist.

39 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 7 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 39) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 38 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12