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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 64 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 63, weil ja 21 ⋅ 3 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 63 = 1.

Somit gilt: 64 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 69 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 66 = 3.

Somit gilt: 69 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 69 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (298 + 58) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(298 + 58) mod 3 ≡ (298 mod 3 + 58 mod 3) mod 3.

298 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 298 = 300-2 = 3 ⋅ 100 -2 = 3 ⋅ 100 - 3 + 1.

58 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 60-2 = 3 ⋅ 20 -2 = 3 ⋅ 20 - 3 + 1.

Somit gilt:

(298 + 58) mod 3 ≡ (1 + 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34 ⋅ 82) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34 ⋅ 82) mod 11 ≡ (34 mod 11 ⋅ 82 mod 11) mod 11.

34 mod 11 ≡ 1 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34 = 33 + 1 = 3 ⋅ 11 + 1 ist.

82 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 7 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(34 ⋅ 82) mod 11 ≡ (1 ⋅ 5) mod 11 ≡ 5 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
123 mod m = 168 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 123 aus, ob zufällig 123 mod m = 168 mod m gilt:

m=2: 123 mod 2 = 1 ≠ 0 = 168 mod 2

m=3: 123 mod 3 = 0 = 0 = 168 mod 3

m=4: 123 mod 4 = 3 ≠ 0 = 168 mod 4

m=5: 123 mod 5 = 3 = 3 = 168 mod 5

m=6: 123 mod 6 = 3 ≠ 0 = 168 mod 6

m=7: 123 mod 7 = 4 ≠ 0 = 168 mod 7

m=8: 123 mod 8 = 3 ≠ 0 = 168 mod 8

m=9: 123 mod 9 = 6 = 6 = 168 mod 9

m=10: 123 mod 10 = 3 ≠ 8 = 168 mod 10

m=11: 123 mod 11 = 2 ≠ 3 = 168 mod 11

m=12: 123 mod 12 = 3 ≠ 0 = 168 mod 12

m=13: 123 mod 13 = 6 ≠ 12 = 168 mod 13

m=14: 123 mod 14 = 11 ≠ 0 = 168 mod 14

m=15: 123 mod 15 = 3 = 3 = 168 mod 15

m=16: 123 mod 16 = 11 ≠ 8 = 168 mod 16

m=17: 123 mod 17 = 4 ≠ 15 = 168 mod 17

m=18: 123 mod 18 = 15 ≠ 6 = 168 mod 18

m=19: 123 mod 19 = 9 ≠ 16 = 168 mod 19

m=20: 123 mod 20 = 3 ≠ 8 = 168 mod 20

m=21: 123 mod 21 = 18 ≠ 0 = 168 mod 21

m=22: 123 mod 22 = 13 ≠ 14 = 168 mod 22

m=23: 123 mod 23 = 8 ≠ 7 = 168 mod 23

m=24: 123 mod 24 = 3 ≠ 0 = 168 mod 24

m=25: 123 mod 25 = 23 ≠ 18 = 168 mod 25

m=26: 123 mod 26 = 19 ≠ 12 = 168 mod 26

m=27: 123 mod 27 = 15 ≠ 6 = 168 mod 27

m=28: 123 mod 28 = 11 ≠ 0 = 168 mod 28

m=29: 123 mod 29 = 7 ≠ 23 = 168 mod 29

m=30: 123 mod 30 = 3 ≠ 18 = 168 mod 30

m=31: 123 mod 31 = 30 ≠ 13 = 168 mod 31

m=32: 123 mod 32 = 27 ≠ 8 = 168 mod 32

m=33: 123 mod 33 = 24 ≠ 3 = 168 mod 33

m=34: 123 mod 34 = 21 ≠ 32 = 168 mod 34

m=35: 123 mod 35 = 18 ≠ 28 = 168 mod 35

m=36: 123 mod 36 = 15 ≠ 24 = 168 mod 36

m=37: 123 mod 37 = 12 ≠ 20 = 168 mod 37

m=38: 123 mod 38 = 9 ≠ 16 = 168 mod 38

m=39: 123 mod 39 = 6 ≠ 12 = 168 mod 39

m=40: 123 mod 40 = 3 ≠ 8 = 168 mod 40

m=41: 123 mod 41 = 0 ≠ 4 = 168 mod 41

m=42: 123 mod 42 = 39 ≠ 0 = 168 mod 42

m=43: 123 mod 43 = 37 ≠ 39 = 168 mod 43

m=44: 123 mod 44 = 35 ≠ 36 = 168 mod 44

m=45: 123 mod 45 = 33 = 33 = 168 mod 45

m=46: 123 mod 46 = 31 ≠ 30 = 168 mod 46

m=47: 123 mod 47 = 29 ≠ 27 = 168 mod 47

m=48: 123 mod 48 = 27 ≠ 24 = 168 mod 48

m=49: 123 mod 49 = 25 ≠ 21 = 168 mod 49

m=50: 123 mod 50 = 23 ≠ 18 = 168 mod 50

m=51: 123 mod 51 = 21 ≠ 15 = 168 mod 51

m=52: 123 mod 52 = 19 ≠ 12 = 168 mod 52

m=53: 123 mod 53 = 17 ≠ 9 = 168 mod 53

m=54: 123 mod 54 = 15 ≠ 6 = 168 mod 54

m=55: 123 mod 55 = 13 ≠ 3 = 168 mod 55

m=56: 123 mod 56 = 11 ≠ 0 = 168 mod 56

m=57: 123 mod 57 = 9 ≠ 54 = 168 mod 57

m=58: 123 mod 58 = 7 ≠ 52 = 168 mod 58

m=59: 123 mod 59 = 5 ≠ 50 = 168 mod 59

m=60: 123 mod 60 = 3 ≠ 48 = 168 mod 60

m=61: 123 mod 61 = 1 ≠ 46 = 168 mod 61

m=62: 123 mod 62 = 61 ≠ 44 = 168 mod 62

m=63: 123 mod 63 = 60 ≠ 42 = 168 mod 63

m=64: 123 mod 64 = 59 ≠ 40 = 168 mod 64

m=65: 123 mod 65 = 58 ≠ 38 = 168 mod 65

m=66: 123 mod 66 = 57 ≠ 36 = 168 mod 66

m=67: 123 mod 67 = 56 ≠ 34 = 168 mod 67

m=68: 123 mod 68 = 55 ≠ 32 = 168 mod 68

m=69: 123 mod 69 = 54 ≠ 30 = 168 mod 69

m=70: 123 mod 70 = 53 ≠ 28 = 168 mod 70

m=71: 123 mod 71 = 52 ≠ 26 = 168 mod 71

m=72: 123 mod 72 = 51 ≠ 24 = 168 mod 72

m=73: 123 mod 73 = 50 ≠ 22 = 168 mod 73

m=74: 123 mod 74 = 49 ≠ 20 = 168 mod 74

m=75: 123 mod 75 = 48 ≠ 18 = 168 mod 75

m=76: 123 mod 76 = 47 ≠ 16 = 168 mod 76

m=77: 123 mod 77 = 46 ≠ 14 = 168 mod 77

m=78: 123 mod 78 = 45 ≠ 12 = 168 mod 78

m=79: 123 mod 79 = 44 ≠ 10 = 168 mod 79

m=80: 123 mod 80 = 43 ≠ 8 = 168 mod 80

m=81: 123 mod 81 = 42 ≠ 6 = 168 mod 81

m=82: 123 mod 82 = 41 ≠ 4 = 168 mod 82

m=83: 123 mod 83 = 40 ≠ 2 = 168 mod 83

m=84: 123 mod 84 = 39 ≠ 0 = 168 mod 84

m=85: 123 mod 85 = 38 ≠ 83 = 168 mod 85

m=86: 123 mod 86 = 37 ≠ 82 = 168 mod 86

m=87: 123 mod 87 = 36 ≠ 81 = 168 mod 87

m=88: 123 mod 88 = 35 ≠ 80 = 168 mod 88

m=89: 123 mod 89 = 34 ≠ 79 = 168 mod 89

m=90: 123 mod 90 = 33 ≠ 78 = 168 mod 90

m=91: 123 mod 91 = 32 ≠ 77 = 168 mod 91

m=92: 123 mod 92 = 31 ≠ 76 = 168 mod 92

m=93: 123 mod 93 = 30 ≠ 75 = 168 mod 93

m=94: 123 mod 94 = 29 ≠ 74 = 168 mod 94

m=95: 123 mod 95 = 28 ≠ 73 = 168 mod 95

m=96: 123 mod 96 = 27 ≠ 72 = 168 mod 96

m=97: 123 mod 97 = 26 ≠ 71 = 168 mod 97

m=98: 123 mod 98 = 25 ≠ 70 = 168 mod 98

m=99: 123 mod 99 = 24 ≠ 69 = 168 mod 99

m=100: 123 mod 100 = 23 ≠ 68 = 168 mod 100

m=101: 123 mod 101 = 22 ≠ 67 = 168 mod 101

m=102: 123 mod 102 = 21 ≠ 66 = 168 mod 102

m=103: 123 mod 103 = 20 ≠ 65 = 168 mod 103

m=104: 123 mod 104 = 19 ≠ 64 = 168 mod 104

m=105: 123 mod 105 = 18 ≠ 63 = 168 mod 105

m=106: 123 mod 106 = 17 ≠ 62 = 168 mod 106

m=107: 123 mod 107 = 16 ≠ 61 = 168 mod 107

m=108: 123 mod 108 = 15 ≠ 60 = 168 mod 108

m=109: 123 mod 109 = 14 ≠ 59 = 168 mod 109

m=110: 123 mod 110 = 13 ≠ 58 = 168 mod 110

m=111: 123 mod 111 = 12 ≠ 57 = 168 mod 111

m=112: 123 mod 112 = 11 ≠ 56 = 168 mod 112

m=113: 123 mod 113 = 10 ≠ 55 = 168 mod 113

m=114: 123 mod 114 = 9 ≠ 54 = 168 mod 114

m=115: 123 mod 115 = 8 ≠ 53 = 168 mod 115

m=116: 123 mod 116 = 7 ≠ 52 = 168 mod 116

m=117: 123 mod 117 = 6 ≠ 51 = 168 mod 117

m=118: 123 mod 118 = 5 ≠ 50 = 168 mod 118

m=119: 123 mod 119 = 4 ≠ 49 = 168 mod 119

m=120: 123 mod 120 = 3 ≠ 48 = 168 mod 120

m=121: 123 mod 121 = 2 ≠ 47 = 168 mod 121

m=122: 123 mod 122 = 1 ≠ 46 = 168 mod 122

m=123: 123 mod 123 = 0 ≠ 45 = 168 mod 123

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (168 - 123) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45