nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 26 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 6 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 46 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.

Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 69 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 46 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3205 - 23992) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3205 - 23992) mod 8 ≡ (3205 mod 8 - 23992 mod 8) mod 8.

3205 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3205 = 3200+5 = 8 ⋅ 400 +5.

23992 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23992 = 23000+992 = 8 ⋅ 2875 +992.

Somit gilt:

(3205 - 23992) mod 8 ≡ (5 - 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 71) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 71) mod 4 ≡ (70 mod 4 ⋅ 71 mod 4) mod 4.

70 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 68 + 2 = 17 ⋅ 4 + 2 ist.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 71) mod 4 ≡ (2 ⋅ 3) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 46 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 = 0 = 46 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 ≠ 1 = 46 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 2 = 46 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 ≠ 4 = 46 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 = 6 = 46 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 10 = 46 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 ≠ 1 = 46 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 15 = 46 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 14 = 46 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 13 = 46 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 12 = 46 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 11 = 46 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 10 = 46 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 36) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10