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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 30 = 6.

Somit gilt: 36 mod 10 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 59 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 54 = 5.

Somit gilt: 59 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 59 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (200 - 20003) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(200 - 20003) mod 4 ≡ (200 mod 4 - 20003 mod 4) mod 4.

200 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200 = 200+0 = 4 ⋅ 50 +0.

20003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20003 = 20000+3 = 4 ⋅ 5000 +3.

Somit gilt:

(200 - 20003) mod 4 ≡ (0 - 3) mod 4 ≡ -3 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 29) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 29) mod 10 ≡ (91 mod 10 ⋅ 29 mod 10) mod 10.

91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.

29 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 20 + 9 = 2 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 29) mod 10 ≡ (1 ⋅ 9) mod 10 ≡ 9 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
30 mod m = 40 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 30 aus, ob zufällig 30 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 30 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 30 mod 3 = 0 ≠ 1 = 40 mod 3

m=4: 30 mod 4 = 2 ≠ 0 = 40 mod 4

m=5: 30 mod 5 = 0 = 0 = 40 mod 5

m=6: 30 mod 6 = 0 ≠ 4 = 40 mod 6

m=7: 30 mod 7 = 2 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 30 mod 8 = 6 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 30 mod 9 = 3 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 30 mod 10 = 0 = 0 = 40 mod 10

m=11: 30 mod 11 = 8 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 30 mod 12 = 6 ≠ 4 = 40 mod 12

m=13: 30 mod 13 = 4 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 30 mod 14 = 2 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 30 mod 15 = 0 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 30 mod 16 = 14 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 30 mod 17 = 13 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 30 mod 18 = 12 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 30 mod 19 = 11 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 30 mod 20 = 10 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 30 mod 21 = 9 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 30 mod 22 = 8 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 30 mod 23 = 7 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 30 mod 24 = 6 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 30 mod 25 = 5 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 30 mod 26 = 4 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 30 mod 27 = 3 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 30 mod 28 = 2 ≠ 12 = 40 mod 28

m=29: 30 mod 29 = 1 ≠ 11 = 40 mod 29

m=30: 30 mod 30 = 0 ≠ 10 = 40 mod 30

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 30) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10