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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.

Somit gilt: 63 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 21 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 21, weil ja 7 ⋅ 3 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 21 = 0.

Somit gilt: 21 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 4 ⋅ 3

Somit gilt: 12 ≡ 21 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 - 15999) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 - 15999) mod 8 ≡ (15997 mod 8 - 15999 mod 8) mod 8.

15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 8 ⋅ 1875 +997.

15999 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15999 = 15000+999 = 8 ⋅ 1875 +999.

Somit gilt:

(15997 - 15999) mod 8 ≡ (5 - 7) mod 8 ≡ -2 mod 8 ≡ 6 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 38) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 38) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 38 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

38 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 4 ⋅ 9 + 2 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 38) mod 9 ≡ (3 ⋅ 2) mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4