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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 91 = 6.

Somit gilt: 97 mod 7 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 42 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 36 = 6.

Somit gilt: 42 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 42 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (149 + 33) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(149 + 33) mod 3 ≡ (149 mod 3 + 33 mod 3) mod 3.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30+3 = 3 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(149 + 33) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (49 ⋅ 32) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(49 ⋅ 32) mod 10 ≡ (49 mod 10 ⋅ 32 mod 10) mod 10.

49 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 40 + 9 = 4 ⋅ 10 + 9 ist.

32 mod 10 ≡ 2 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 3 ⋅ 10 + 2 ist.

Somit gilt:

(49 ⋅ 32) mod 10 ≡ (9 ⋅ 2) mod 10 ≡ 18 mod 10 ≡ 8 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
60 mod m = 85 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 60 aus, ob zufällig 60 mod m = 85 mod m gilt:

m=2: 60 mod 2 = 0 ≠ 1 = 85 mod 2

m=3: 60 mod 3 = 0 ≠ 1 = 85 mod 3

m=4: 60 mod 4 = 0 ≠ 1 = 85 mod 4

m=5: 60 mod 5 = 0 = 0 = 85 mod 5

m=6: 60 mod 6 = 0 ≠ 1 = 85 mod 6

m=7: 60 mod 7 = 4 ≠ 1 = 85 mod 7

m=8: 60 mod 8 = 4 ≠ 5 = 85 mod 8

m=9: 60 mod 9 = 6 ≠ 4 = 85 mod 9

m=10: 60 mod 10 = 0 ≠ 5 = 85 mod 10

m=11: 60 mod 11 = 5 ≠ 8 = 85 mod 11

m=12: 60 mod 12 = 0 ≠ 1 = 85 mod 12

m=13: 60 mod 13 = 8 ≠ 7 = 85 mod 13

m=14: 60 mod 14 = 4 ≠ 1 = 85 mod 14

m=15: 60 mod 15 = 0 ≠ 10 = 85 mod 15

m=16: 60 mod 16 = 12 ≠ 5 = 85 mod 16

m=17: 60 mod 17 = 9 ≠ 0 = 85 mod 17

m=18: 60 mod 18 = 6 ≠ 13 = 85 mod 18

m=19: 60 mod 19 = 3 ≠ 9 = 85 mod 19

m=20: 60 mod 20 = 0 ≠ 5 = 85 mod 20

m=21: 60 mod 21 = 18 ≠ 1 = 85 mod 21

m=22: 60 mod 22 = 16 ≠ 19 = 85 mod 22

m=23: 60 mod 23 = 14 ≠ 16 = 85 mod 23

m=24: 60 mod 24 = 12 ≠ 13 = 85 mod 24

m=25: 60 mod 25 = 10 = 10 = 85 mod 25

m=26: 60 mod 26 = 8 ≠ 7 = 85 mod 26

m=27: 60 mod 27 = 6 ≠ 4 = 85 mod 27

m=28: 60 mod 28 = 4 ≠ 1 = 85 mod 28

m=29: 60 mod 29 = 2 ≠ 27 = 85 mod 29

m=30: 60 mod 30 = 0 ≠ 25 = 85 mod 30

m=31: 60 mod 31 = 29 ≠ 23 = 85 mod 31

m=32: 60 mod 32 = 28 ≠ 21 = 85 mod 32

m=33: 60 mod 33 = 27 ≠ 19 = 85 mod 33

m=34: 60 mod 34 = 26 ≠ 17 = 85 mod 34

m=35: 60 mod 35 = 25 ≠ 15 = 85 mod 35

m=36: 60 mod 36 = 24 ≠ 13 = 85 mod 36

m=37: 60 mod 37 = 23 ≠ 11 = 85 mod 37

m=38: 60 mod 38 = 22 ≠ 9 = 85 mod 38

m=39: 60 mod 39 = 21 ≠ 7 = 85 mod 39

m=40: 60 mod 40 = 20 ≠ 5 = 85 mod 40

m=41: 60 mod 41 = 19 ≠ 3 = 85 mod 41

m=42: 60 mod 42 = 18 ≠ 1 = 85 mod 42

m=43: 60 mod 43 = 17 ≠ 42 = 85 mod 43

m=44: 60 mod 44 = 16 ≠ 41 = 85 mod 44

m=45: 60 mod 45 = 15 ≠ 40 = 85 mod 45

m=46: 60 mod 46 = 14 ≠ 39 = 85 mod 46

m=47: 60 mod 47 = 13 ≠ 38 = 85 mod 47

m=48: 60 mod 48 = 12 ≠ 37 = 85 mod 48

m=49: 60 mod 49 = 11 ≠ 36 = 85 mod 49

m=50: 60 mod 50 = 10 ≠ 35 = 85 mod 50

m=51: 60 mod 51 = 9 ≠ 34 = 85 mod 51

m=52: 60 mod 52 = 8 ≠ 33 = 85 mod 52

m=53: 60 mod 53 = 7 ≠ 32 = 85 mod 53

m=54: 60 mod 54 = 6 ≠ 31 = 85 mod 54

m=55: 60 mod 55 = 5 ≠ 30 = 85 mod 55

m=56: 60 mod 56 = 4 ≠ 29 = 85 mod 56

m=57: 60 mod 57 = 3 ≠ 28 = 85 mod 57

m=58: 60 mod 58 = 2 ≠ 27 = 85 mod 58

m=59: 60 mod 59 = 1 ≠ 26 = 85 mod 59

m=60: 60 mod 60 = 0 ≠ 25 = 85 mod 60

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (85 - 60) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25