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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 44 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 40 = 4.

Somit gilt: 44 mod 8 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 89 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 66 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 89 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2706 - 261) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2706 - 261) mod 9 ≡ (2706 mod 9 - 261 mod 9) mod 9.

2706 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2706 = 2700+6 = 9 ⋅ 300 +6.

261 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 261 = 270-9 = 9 ⋅ 30 -9 = 9 ⋅ 30 - 9 + 0.

Somit gilt:

(2706 - 261) mod 9 ≡ (6 - 0) mod 9 ≡ 6 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 37) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 37) mod 11 ≡ (74 mod 11 ⋅ 37 mod 11) mod 11.

74 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 66 + 8 = 6 ⋅ 11 + 8 ist.

37 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 33 + 4 = 3 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 37) mod 11 ≡ (8 ⋅ 4) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6