nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 71 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 68 = 3.

Somit gilt: 71 mod 4 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 41 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 64 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 41 ≡ 1 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (117 - 1794) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(117 - 1794) mod 6 ≡ (117 mod 6 - 1794 mod 6) mod 6.

117 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 117 = 120-3 = 6 ⋅ 20 -3 = 6 ⋅ 20 - 6 + 3.

1794 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1794 = 1800-6 = 6 ⋅ 300 -6 = 6 ⋅ 300 - 6 + 0.

Somit gilt:

(117 - 1794) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 84) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 84) mod 6 ≡ (96 mod 6 ⋅ 84 mod 6) mod 6.

96 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 16 ⋅ 6 + 0 ist.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 84) mod 6 ≡ (0 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 34 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 34 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 = 2 = 34 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 9 = 34 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 8 = 34 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 26) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8