Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 98 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 98 - 98 = 0.
Somit gilt: 98 mod 7 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 51 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 48, weil ja 8 ⋅ 6 = 48 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.
Somit gilt: 51 mod 6 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.
Somit gilt: 63 ≡ 51 ≡ 3 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2002 + 247) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2002 + 247) mod 5 ≡ (2002 mod 5 + 247 mod 5) mod 5.
2002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2002
= 2000
247 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 247
= 240
Somit gilt:
(2002 + 247) mod 5 ≡ (2 + 2) mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 68) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(76 ⋅ 68) mod 6 ≡ (76 mod 6 ⋅ 68 mod 6) mod 6.
76 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 72 + 4 = 12 ⋅ 6 + 4 ist.
68 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 11 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(76 ⋅ 68) mod 6 ≡ (4 ⋅ 2) mod 6 ≡ 8 mod 6 ≡ 2 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
41 mod m = 56 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 56 mod m gilt:
m=2: 41 mod 2 = 1 ≠ 0 = 56 mod 2
m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3
m=4: 41 mod 4 = 1 ≠ 0 = 56 mod 4
m=5: 41 mod 5 = 1 = 1 = 56 mod 5
m=6: 41 mod 6 = 5 ≠ 2 = 56 mod 6
m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 0 = 56 mod 7
m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 0 = 56 mod 8
m=9: 41 mod 9 = 5 ≠ 2 = 56 mod 9
m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 6 = 56 mod 10
m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 1 = 56 mod 11
m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 8 = 56 mod 12
m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 4 = 56 mod 13
m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 0 = 56 mod 14
m=15: 41 mod 15 = 11 = 11 = 56 mod 15
m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 8 = 56 mod 16
m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 5 = 56 mod 17
m=18: 41 mod 18 = 5 ≠ 2 = 56 mod 18
m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 18 = 56 mod 19
m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 16 = 56 mod 20
m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 14 = 56 mod 21
m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 12 = 56 mod 22
m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 10 = 56 mod 23
m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 8 = 56 mod 24
m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 6 = 56 mod 25
m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 4 = 56 mod 26
m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 2 = 56 mod 27
m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 0 = 56 mod 28
m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 27 = 56 mod 29
m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 26 = 56 mod 30
m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 25 = 56 mod 31
m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 24 = 56 mod 32
m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 23 = 56 mod 33
m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 22 = 56 mod 34
m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 21 = 56 mod 35
m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 20 = 56 mod 36
m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 19 = 56 mod 37
m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 18 = 56 mod 38
m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 17 = 56 mod 39
m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 16 = 56 mod 40
m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 15 = 56 mod 41
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 41) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
