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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 6 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 27 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 27 = 0.

Somit gilt: 27 mod 9 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 9.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 9 ⋅ 9

Somit gilt: 81 ≡ 27 ≡ 0 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1504 - 14995) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1504 - 14995) mod 5 ≡ (1504 mod 5 - 14995 mod 5) mod 5.

1504 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1504 = 1500+4 = 5 ⋅ 300 +4.

14995 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 14995 = 14000+995 = 5 ⋅ 2800 +995.

Somit gilt:

(1504 - 14995) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 44) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(75 ⋅ 44) mod 9 ≡ (75 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

75 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 8 ⋅ 9 + 3 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(75 ⋅ 44) mod 9 ≡ (3 ⋅ 8) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
117 mod m = 167 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 117 aus, ob zufällig 117 mod m = 167 mod m gilt:

m=2: 117 mod 2 = 1 = 1 = 167 mod 2

m=3: 117 mod 3 = 0 ≠ 2 = 167 mod 3

m=4: 117 mod 4 = 1 ≠ 3 = 167 mod 4

m=5: 117 mod 5 = 2 = 2 = 167 mod 5

m=6: 117 mod 6 = 3 ≠ 5 = 167 mod 6

m=7: 117 mod 7 = 5 ≠ 6 = 167 mod 7

m=8: 117 mod 8 = 5 ≠ 7 = 167 mod 8

m=9: 117 mod 9 = 0 ≠ 5 = 167 mod 9

m=10: 117 mod 10 = 7 = 7 = 167 mod 10

m=11: 117 mod 11 = 7 ≠ 2 = 167 mod 11

m=12: 117 mod 12 = 9 ≠ 11 = 167 mod 12

m=13: 117 mod 13 = 0 ≠ 11 = 167 mod 13

m=14: 117 mod 14 = 5 ≠ 13 = 167 mod 14

m=15: 117 mod 15 = 12 ≠ 2 = 167 mod 15

m=16: 117 mod 16 = 5 ≠ 7 = 167 mod 16

m=17: 117 mod 17 = 15 ≠ 14 = 167 mod 17

m=18: 117 mod 18 = 9 ≠ 5 = 167 mod 18

m=19: 117 mod 19 = 3 ≠ 15 = 167 mod 19

m=20: 117 mod 20 = 17 ≠ 7 = 167 mod 20

m=21: 117 mod 21 = 12 ≠ 20 = 167 mod 21

m=22: 117 mod 22 = 7 ≠ 13 = 167 mod 22

m=23: 117 mod 23 = 2 ≠ 6 = 167 mod 23

m=24: 117 mod 24 = 21 ≠ 23 = 167 mod 24

m=25: 117 mod 25 = 17 = 17 = 167 mod 25

m=26: 117 mod 26 = 13 ≠ 11 = 167 mod 26

m=27: 117 mod 27 = 9 ≠ 5 = 167 mod 27

m=28: 117 mod 28 = 5 ≠ 27 = 167 mod 28

m=29: 117 mod 29 = 1 ≠ 22 = 167 mod 29

m=30: 117 mod 30 = 27 ≠ 17 = 167 mod 30

m=31: 117 mod 31 = 24 ≠ 12 = 167 mod 31

m=32: 117 mod 32 = 21 ≠ 7 = 167 mod 32

m=33: 117 mod 33 = 18 ≠ 2 = 167 mod 33

m=34: 117 mod 34 = 15 ≠ 31 = 167 mod 34

m=35: 117 mod 35 = 12 ≠ 27 = 167 mod 35

m=36: 117 mod 36 = 9 ≠ 23 = 167 mod 36

m=37: 117 mod 37 = 6 ≠ 19 = 167 mod 37

m=38: 117 mod 38 = 3 ≠ 15 = 167 mod 38

m=39: 117 mod 39 = 0 ≠ 11 = 167 mod 39

m=40: 117 mod 40 = 37 ≠ 7 = 167 mod 40

m=41: 117 mod 41 = 35 ≠ 3 = 167 mod 41

m=42: 117 mod 42 = 33 ≠ 41 = 167 mod 42

m=43: 117 mod 43 = 31 ≠ 38 = 167 mod 43

m=44: 117 mod 44 = 29 ≠ 35 = 167 mod 44

m=45: 117 mod 45 = 27 ≠ 32 = 167 mod 45

m=46: 117 mod 46 = 25 ≠ 29 = 167 mod 46

m=47: 117 mod 47 = 23 ≠ 26 = 167 mod 47

m=48: 117 mod 48 = 21 ≠ 23 = 167 mod 48

m=49: 117 mod 49 = 19 ≠ 20 = 167 mod 49

m=50: 117 mod 50 = 17 = 17 = 167 mod 50

m=51: 117 mod 51 = 15 ≠ 14 = 167 mod 51

m=52: 117 mod 52 = 13 ≠ 11 = 167 mod 52

m=53: 117 mod 53 = 11 ≠ 8 = 167 mod 53

m=54: 117 mod 54 = 9 ≠ 5 = 167 mod 54

m=55: 117 mod 55 = 7 ≠ 2 = 167 mod 55

m=56: 117 mod 56 = 5 ≠ 55 = 167 mod 56

m=57: 117 mod 57 = 3 ≠ 53 = 167 mod 57

m=58: 117 mod 58 = 1 ≠ 51 = 167 mod 58

m=59: 117 mod 59 = 58 ≠ 49 = 167 mod 59

m=60: 117 mod 60 = 57 ≠ 47 = 167 mod 60

m=61: 117 mod 61 = 56 ≠ 45 = 167 mod 61

m=62: 117 mod 62 = 55 ≠ 43 = 167 mod 62

m=63: 117 mod 63 = 54 ≠ 41 = 167 mod 63

m=64: 117 mod 64 = 53 ≠ 39 = 167 mod 64

m=65: 117 mod 65 = 52 ≠ 37 = 167 mod 65

m=66: 117 mod 66 = 51 ≠ 35 = 167 mod 66

m=67: 117 mod 67 = 50 ≠ 33 = 167 mod 67

m=68: 117 mod 68 = 49 ≠ 31 = 167 mod 68

m=69: 117 mod 69 = 48 ≠ 29 = 167 mod 69

m=70: 117 mod 70 = 47 ≠ 27 = 167 mod 70

m=71: 117 mod 71 = 46 ≠ 25 = 167 mod 71

m=72: 117 mod 72 = 45 ≠ 23 = 167 mod 72

m=73: 117 mod 73 = 44 ≠ 21 = 167 mod 73

m=74: 117 mod 74 = 43 ≠ 19 = 167 mod 74

m=75: 117 mod 75 = 42 ≠ 17 = 167 mod 75

m=76: 117 mod 76 = 41 ≠ 15 = 167 mod 76

m=77: 117 mod 77 = 40 ≠ 13 = 167 mod 77

m=78: 117 mod 78 = 39 ≠ 11 = 167 mod 78

m=79: 117 mod 79 = 38 ≠ 9 = 167 mod 79

m=80: 117 mod 80 = 37 ≠ 7 = 167 mod 80

m=81: 117 mod 81 = 36 ≠ 5 = 167 mod 81

m=82: 117 mod 82 = 35 ≠ 3 = 167 mod 82

m=83: 117 mod 83 = 34 ≠ 1 = 167 mod 83

m=84: 117 mod 84 = 33 ≠ 83 = 167 mod 84

m=85: 117 mod 85 = 32 ≠ 82 = 167 mod 85

m=86: 117 mod 86 = 31 ≠ 81 = 167 mod 86

m=87: 117 mod 87 = 30 ≠ 80 = 167 mod 87

m=88: 117 mod 88 = 29 ≠ 79 = 167 mod 88

m=89: 117 mod 89 = 28 ≠ 78 = 167 mod 89

m=90: 117 mod 90 = 27 ≠ 77 = 167 mod 90

m=91: 117 mod 91 = 26 ≠ 76 = 167 mod 91

m=92: 117 mod 92 = 25 ≠ 75 = 167 mod 92

m=93: 117 mod 93 = 24 ≠ 74 = 167 mod 93

m=94: 117 mod 94 = 23 ≠ 73 = 167 mod 94

m=95: 117 mod 95 = 22 ≠ 72 = 167 mod 95

m=96: 117 mod 96 = 21 ≠ 71 = 167 mod 96

m=97: 117 mod 97 = 20 ≠ 70 = 167 mod 97

m=98: 117 mod 98 = 19 ≠ 69 = 167 mod 98

m=99: 117 mod 99 = 18 ≠ 68 = 167 mod 99

m=100: 117 mod 100 = 17 ≠ 67 = 167 mod 100

m=101: 117 mod 101 = 16 ≠ 66 = 167 mod 101

m=102: 117 mod 102 = 15 ≠ 65 = 167 mod 102

m=103: 117 mod 103 = 14 ≠ 64 = 167 mod 103

m=104: 117 mod 104 = 13 ≠ 63 = 167 mod 104

m=105: 117 mod 105 = 12 ≠ 62 = 167 mod 105

m=106: 117 mod 106 = 11 ≠ 61 = 167 mod 106

m=107: 117 mod 107 = 10 ≠ 60 = 167 mod 107

m=108: 117 mod 108 = 9 ≠ 59 = 167 mod 108

m=109: 117 mod 109 = 8 ≠ 58 = 167 mod 109

m=110: 117 mod 110 = 7 ≠ 57 = 167 mod 110

m=111: 117 mod 111 = 6 ≠ 56 = 167 mod 111

m=112: 117 mod 112 = 5 ≠ 55 = 167 mod 112

m=113: 117 mod 113 = 4 ≠ 54 = 167 mod 113

m=114: 117 mod 114 = 3 ≠ 53 = 167 mod 114

m=115: 117 mod 115 = 2 ≠ 52 = 167 mod 115

m=116: 117 mod 116 = 1 ≠ 51 = 167 mod 116

m=117: 117 mod 117 = 0 ≠ 50 = 167 mod 117

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (167 - 117) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50