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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.
Somit gilt: 21 mod 10 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 46 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 44 = 2.
Somit gilt: 46 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 88 und erhalten so 90.
Somit gilt: 90 ≡ 46 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (84 - 8000) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(84 - 8000) mod 4 ≡ (84 mod 4 - 8000 mod 4) mod 4.
84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84
= 80
8000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8000
= 8000
Somit gilt:
(84 - 8000) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 44) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(18 ⋅ 44) mod 4 ≡ (18 mod 4 ⋅ 44 mod 4) mod 4.
18 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 16 + 2 = 4 ⋅ 4 + 2 ist.
44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 11 ⋅ 4 + 0 ist.
Somit gilt:
(18 ⋅ 44) mod 4 ≡ (2 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
72 mod m = 99 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 72 aus, ob zufällig 72 mod m = 99 mod m gilt:
m=2: 72 mod 2 = 0 ≠ 1 = 99 mod 2
m=3: 72 mod 3 = 0 = 0 = 99 mod 3
m=4: 72 mod 4 = 0 ≠ 3 = 99 mod 4
m=5: 72 mod 5 = 2 ≠ 4 = 99 mod 5
m=6: 72 mod 6 = 0 ≠ 3 = 99 mod 6
m=7: 72 mod 7 = 2 ≠ 1 = 99 mod 7
m=8: 72 mod 8 = 0 ≠ 3 = 99 mod 8
m=9: 72 mod 9 = 0 = 0 = 99 mod 9
m=10: 72 mod 10 = 2 ≠ 9 = 99 mod 10
m=11: 72 mod 11 = 6 ≠ 0 = 99 mod 11
m=12: 72 mod 12 = 0 ≠ 3 = 99 mod 12
m=13: 72 mod 13 = 7 ≠ 8 = 99 mod 13
m=14: 72 mod 14 = 2 ≠ 1 = 99 mod 14
m=15: 72 mod 15 = 12 ≠ 9 = 99 mod 15
m=16: 72 mod 16 = 8 ≠ 3 = 99 mod 16
m=17: 72 mod 17 = 4 ≠ 14 = 99 mod 17
m=18: 72 mod 18 = 0 ≠ 9 = 99 mod 18
m=19: 72 mod 19 = 15 ≠ 4 = 99 mod 19
m=20: 72 mod 20 = 12 ≠ 19 = 99 mod 20
m=21: 72 mod 21 = 9 ≠ 15 = 99 mod 21
m=22: 72 mod 22 = 6 ≠ 11 = 99 mod 22
m=23: 72 mod 23 = 3 ≠ 7 = 99 mod 23
m=24: 72 mod 24 = 0 ≠ 3 = 99 mod 24
m=25: 72 mod 25 = 22 ≠ 24 = 99 mod 25
m=26: 72 mod 26 = 20 ≠ 21 = 99 mod 26
m=27: 72 mod 27 = 18 = 18 = 99 mod 27
m=28: 72 mod 28 = 16 ≠ 15 = 99 mod 28
m=29: 72 mod 29 = 14 ≠ 12 = 99 mod 29
m=30: 72 mod 30 = 12 ≠ 9 = 99 mod 30
m=31: 72 mod 31 = 10 ≠ 6 = 99 mod 31
m=32: 72 mod 32 = 8 ≠ 3 = 99 mod 32
m=33: 72 mod 33 = 6 ≠ 0 = 99 mod 33
m=34: 72 mod 34 = 4 ≠ 31 = 99 mod 34
m=35: 72 mod 35 = 2 ≠ 29 = 99 mod 35
m=36: 72 mod 36 = 0 ≠ 27 = 99 mod 36
m=37: 72 mod 37 = 35 ≠ 25 = 99 mod 37
m=38: 72 mod 38 = 34 ≠ 23 = 99 mod 38
m=39: 72 mod 39 = 33 ≠ 21 = 99 mod 39
m=40: 72 mod 40 = 32 ≠ 19 = 99 mod 40
m=41: 72 mod 41 = 31 ≠ 17 = 99 mod 41
m=42: 72 mod 42 = 30 ≠ 15 = 99 mod 42
m=43: 72 mod 43 = 29 ≠ 13 = 99 mod 43
m=44: 72 mod 44 = 28 ≠ 11 = 99 mod 44
m=45: 72 mod 45 = 27 ≠ 9 = 99 mod 45
m=46: 72 mod 46 = 26 ≠ 7 = 99 mod 46
m=47: 72 mod 47 = 25 ≠ 5 = 99 mod 47
m=48: 72 mod 48 = 24 ≠ 3 = 99 mod 48
m=49: 72 mod 49 = 23 ≠ 1 = 99 mod 49
m=50: 72 mod 50 = 22 ≠ 49 = 99 mod 50
m=51: 72 mod 51 = 21 ≠ 48 = 99 mod 51
m=52: 72 mod 52 = 20 ≠ 47 = 99 mod 52
m=53: 72 mod 53 = 19 ≠ 46 = 99 mod 53
m=54: 72 mod 54 = 18 ≠ 45 = 99 mod 54
m=55: 72 mod 55 = 17 ≠ 44 = 99 mod 55
m=56: 72 mod 56 = 16 ≠ 43 = 99 mod 56
m=57: 72 mod 57 = 15 ≠ 42 = 99 mod 57
m=58: 72 mod 58 = 14 ≠ 41 = 99 mod 58
m=59: 72 mod 59 = 13 ≠ 40 = 99 mod 59
m=60: 72 mod 60 = 12 ≠ 39 = 99 mod 60
m=61: 72 mod 61 = 11 ≠ 38 = 99 mod 61
m=62: 72 mod 62 = 10 ≠ 37 = 99 mod 62
m=63: 72 mod 63 = 9 ≠ 36 = 99 mod 63
m=64: 72 mod 64 = 8 ≠ 35 = 99 mod 64
m=65: 72 mod 65 = 7 ≠ 34 = 99 mod 65
m=66: 72 mod 66 = 6 ≠ 33 = 99 mod 66
m=67: 72 mod 67 = 5 ≠ 32 = 99 mod 67
m=68: 72 mod 68 = 4 ≠ 31 = 99 mod 68
m=69: 72 mod 69 = 3 ≠ 30 = 99 mod 69
m=70: 72 mod 70 = 2 ≠ 29 = 99 mod 70
m=71: 72 mod 71 = 1 ≠ 28 = 99 mod 71
m=72: 72 mod 72 = 0 ≠ 27 = 99 mod 72
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (99 - 72) = 27 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 9; 27
