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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 72 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 70 = 2.

Somit gilt: 72 mod 10 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 43 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.

Somit gilt: 43 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 43 ≡ 3 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (598 + 9002) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(598 + 9002) mod 3 ≡ (598 mod 3 + 9002 mod 3) mod 3.

598 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 598 = 600-2 = 3 ⋅ 200 -2 = 3 ⋅ 200 - 3 + 1.

9002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9002 = 9000+2 = 3 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(598 + 9002) mod 3 ≡ (1 + 2) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 64) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 64) mod 5 ≡ (71 mod 5 ⋅ 64 mod 5) mod 5.

71 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 14 ⋅ 5 + 1 ist.

64 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 60 + 4 = 12 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 64) mod 5 ≡ (1 ⋅ 4) mod 5 ≡ 4 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
64 mod m = 82 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 64 aus, ob zufällig 64 mod m = 82 mod m gilt:

m=2: 64 mod 2 = 0 = 0 = 82 mod 2

m=3: 64 mod 3 = 1 = 1 = 82 mod 3

m=4: 64 mod 4 = 0 ≠ 2 = 82 mod 4

m=5: 64 mod 5 = 4 ≠ 2 = 82 mod 5

m=6: 64 mod 6 = 4 = 4 = 82 mod 6

m=7: 64 mod 7 = 1 ≠ 5 = 82 mod 7

m=8: 64 mod 8 = 0 ≠ 2 = 82 mod 8

m=9: 64 mod 9 = 1 = 1 = 82 mod 9

m=10: 64 mod 10 = 4 ≠ 2 = 82 mod 10

m=11: 64 mod 11 = 9 ≠ 5 = 82 mod 11

m=12: 64 mod 12 = 4 ≠ 10 = 82 mod 12

m=13: 64 mod 13 = 12 ≠ 4 = 82 mod 13

m=14: 64 mod 14 = 8 ≠ 12 = 82 mod 14

m=15: 64 mod 15 = 4 ≠ 7 = 82 mod 15

m=16: 64 mod 16 = 0 ≠ 2 = 82 mod 16

m=17: 64 mod 17 = 13 ≠ 14 = 82 mod 17

m=18: 64 mod 18 = 10 = 10 = 82 mod 18

m=19: 64 mod 19 = 7 ≠ 6 = 82 mod 19

m=20: 64 mod 20 = 4 ≠ 2 = 82 mod 20

m=21: 64 mod 21 = 1 ≠ 19 = 82 mod 21

m=22: 64 mod 22 = 20 ≠ 16 = 82 mod 22

m=23: 64 mod 23 = 18 ≠ 13 = 82 mod 23

m=24: 64 mod 24 = 16 ≠ 10 = 82 mod 24

m=25: 64 mod 25 = 14 ≠ 7 = 82 mod 25

m=26: 64 mod 26 = 12 ≠ 4 = 82 mod 26

m=27: 64 mod 27 = 10 ≠ 1 = 82 mod 27

m=28: 64 mod 28 = 8 ≠ 26 = 82 mod 28

m=29: 64 mod 29 = 6 ≠ 24 = 82 mod 29

m=30: 64 mod 30 = 4 ≠ 22 = 82 mod 30

m=31: 64 mod 31 = 2 ≠ 20 = 82 mod 31

m=32: 64 mod 32 = 0 ≠ 18 = 82 mod 32

m=33: 64 mod 33 = 31 ≠ 16 = 82 mod 33

m=34: 64 mod 34 = 30 ≠ 14 = 82 mod 34

m=35: 64 mod 35 = 29 ≠ 12 = 82 mod 35

m=36: 64 mod 36 = 28 ≠ 10 = 82 mod 36

m=37: 64 mod 37 = 27 ≠ 8 = 82 mod 37

m=38: 64 mod 38 = 26 ≠ 6 = 82 mod 38

m=39: 64 mod 39 = 25 ≠ 4 = 82 mod 39

m=40: 64 mod 40 = 24 ≠ 2 = 82 mod 40

m=41: 64 mod 41 = 23 ≠ 0 = 82 mod 41

m=42: 64 mod 42 = 22 ≠ 40 = 82 mod 42

m=43: 64 mod 43 = 21 ≠ 39 = 82 mod 43

m=44: 64 mod 44 = 20 ≠ 38 = 82 mod 44

m=45: 64 mod 45 = 19 ≠ 37 = 82 mod 45

m=46: 64 mod 46 = 18 ≠ 36 = 82 mod 46

m=47: 64 mod 47 = 17 ≠ 35 = 82 mod 47

m=48: 64 mod 48 = 16 ≠ 34 = 82 mod 48

m=49: 64 mod 49 = 15 ≠ 33 = 82 mod 49

m=50: 64 mod 50 = 14 ≠ 32 = 82 mod 50

m=51: 64 mod 51 = 13 ≠ 31 = 82 mod 51

m=52: 64 mod 52 = 12 ≠ 30 = 82 mod 52

m=53: 64 mod 53 = 11 ≠ 29 = 82 mod 53

m=54: 64 mod 54 = 10 ≠ 28 = 82 mod 54

m=55: 64 mod 55 = 9 ≠ 27 = 82 mod 55

m=56: 64 mod 56 = 8 ≠ 26 = 82 mod 56

m=57: 64 mod 57 = 7 ≠ 25 = 82 mod 57

m=58: 64 mod 58 = 6 ≠ 24 = 82 mod 58

m=59: 64 mod 59 = 5 ≠ 23 = 82 mod 59

m=60: 64 mod 60 = 4 ≠ 22 = 82 mod 60

m=61: 64 mod 61 = 3 ≠ 21 = 82 mod 61

m=62: 64 mod 62 = 2 ≠ 20 = 82 mod 62

m=63: 64 mod 63 = 1 ≠ 19 = 82 mod 63

m=64: 64 mod 64 = 0 ≠ 18 = 82 mod 64

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (82 - 64) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18