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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.
Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 63 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 60, weil ja 12 ⋅ 5 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 63 - 60 = 3.
Somit gilt: 63 mod 5 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.
Somit gilt: 33 ≡ 63 ≡ 3 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (2700 + 45002) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(2700 + 45002) mod 9 ≡ (2700 mod 9 + 45002 mod 9) mod 9.
2700 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2700
= 2700
45002 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45002
= 45000
Somit gilt:
(2700 + 45002) mod 9 ≡ (0 + 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 20) mod 11.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(68 ⋅ 20) mod 11 ≡ (68 mod 11 ⋅ 20 mod 11) mod 11.
68 mod 11 ≡ 2 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 6 ⋅ 11 + 2 ist.
20 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 11 + 9 = 1 ⋅ 11 + 9 ist.
Somit gilt:
(68 ⋅ 20) mod 11 ≡ (2 ⋅ 9) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
123 mod m = 173 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 123 aus, ob zufällig 123 mod m = 173 mod m gilt:
m=2: 123 mod 2 = 1 = 1 = 173 mod 2
m=3: 123 mod 3 = 0 ≠ 2 = 173 mod 3
m=4: 123 mod 4 = 3 ≠ 1 = 173 mod 4
m=5: 123 mod 5 = 3 = 3 = 173 mod 5
m=6: 123 mod 6 = 3 ≠ 5 = 173 mod 6
m=7: 123 mod 7 = 4 ≠ 5 = 173 mod 7
m=8: 123 mod 8 = 3 ≠ 5 = 173 mod 8
m=9: 123 mod 9 = 6 ≠ 2 = 173 mod 9
m=10: 123 mod 10 = 3 = 3 = 173 mod 10
m=11: 123 mod 11 = 2 ≠ 8 = 173 mod 11
m=12: 123 mod 12 = 3 ≠ 5 = 173 mod 12
m=13: 123 mod 13 = 6 ≠ 4 = 173 mod 13
m=14: 123 mod 14 = 11 ≠ 5 = 173 mod 14
m=15: 123 mod 15 = 3 ≠ 8 = 173 mod 15
m=16: 123 mod 16 = 11 ≠ 13 = 173 mod 16
m=17: 123 mod 17 = 4 ≠ 3 = 173 mod 17
m=18: 123 mod 18 = 15 ≠ 11 = 173 mod 18
m=19: 123 mod 19 = 9 ≠ 2 = 173 mod 19
m=20: 123 mod 20 = 3 ≠ 13 = 173 mod 20
m=21: 123 mod 21 = 18 ≠ 5 = 173 mod 21
m=22: 123 mod 22 = 13 ≠ 19 = 173 mod 22
m=23: 123 mod 23 = 8 ≠ 12 = 173 mod 23
m=24: 123 mod 24 = 3 ≠ 5 = 173 mod 24
m=25: 123 mod 25 = 23 = 23 = 173 mod 25
m=26: 123 mod 26 = 19 ≠ 17 = 173 mod 26
m=27: 123 mod 27 = 15 ≠ 11 = 173 mod 27
m=28: 123 mod 28 = 11 ≠ 5 = 173 mod 28
m=29: 123 mod 29 = 7 ≠ 28 = 173 mod 29
m=30: 123 mod 30 = 3 ≠ 23 = 173 mod 30
m=31: 123 mod 31 = 30 ≠ 18 = 173 mod 31
m=32: 123 mod 32 = 27 ≠ 13 = 173 mod 32
m=33: 123 mod 33 = 24 ≠ 8 = 173 mod 33
m=34: 123 mod 34 = 21 ≠ 3 = 173 mod 34
m=35: 123 mod 35 = 18 ≠ 33 = 173 mod 35
m=36: 123 mod 36 = 15 ≠ 29 = 173 mod 36
m=37: 123 mod 37 = 12 ≠ 25 = 173 mod 37
m=38: 123 mod 38 = 9 ≠ 21 = 173 mod 38
m=39: 123 mod 39 = 6 ≠ 17 = 173 mod 39
m=40: 123 mod 40 = 3 ≠ 13 = 173 mod 40
m=41: 123 mod 41 = 0 ≠ 9 = 173 mod 41
m=42: 123 mod 42 = 39 ≠ 5 = 173 mod 42
m=43: 123 mod 43 = 37 ≠ 1 = 173 mod 43
m=44: 123 mod 44 = 35 ≠ 41 = 173 mod 44
m=45: 123 mod 45 = 33 ≠ 38 = 173 mod 45
m=46: 123 mod 46 = 31 ≠ 35 = 173 mod 46
m=47: 123 mod 47 = 29 ≠ 32 = 173 mod 47
m=48: 123 mod 48 = 27 ≠ 29 = 173 mod 48
m=49: 123 mod 49 = 25 ≠ 26 = 173 mod 49
m=50: 123 mod 50 = 23 = 23 = 173 mod 50
m=51: 123 mod 51 = 21 ≠ 20 = 173 mod 51
m=52: 123 mod 52 = 19 ≠ 17 = 173 mod 52
m=53: 123 mod 53 = 17 ≠ 14 = 173 mod 53
m=54: 123 mod 54 = 15 ≠ 11 = 173 mod 54
m=55: 123 mod 55 = 13 ≠ 8 = 173 mod 55
m=56: 123 mod 56 = 11 ≠ 5 = 173 mod 56
m=57: 123 mod 57 = 9 ≠ 2 = 173 mod 57
m=58: 123 mod 58 = 7 ≠ 57 = 173 mod 58
m=59: 123 mod 59 = 5 ≠ 55 = 173 mod 59
m=60: 123 mod 60 = 3 ≠ 53 = 173 mod 60
m=61: 123 mod 61 = 1 ≠ 51 = 173 mod 61
m=62: 123 mod 62 = 61 ≠ 49 = 173 mod 62
m=63: 123 mod 63 = 60 ≠ 47 = 173 mod 63
m=64: 123 mod 64 = 59 ≠ 45 = 173 mod 64
m=65: 123 mod 65 = 58 ≠ 43 = 173 mod 65
m=66: 123 mod 66 = 57 ≠ 41 = 173 mod 66
m=67: 123 mod 67 = 56 ≠ 39 = 173 mod 67
m=68: 123 mod 68 = 55 ≠ 37 = 173 mod 68
m=69: 123 mod 69 = 54 ≠ 35 = 173 mod 69
m=70: 123 mod 70 = 53 ≠ 33 = 173 mod 70
m=71: 123 mod 71 = 52 ≠ 31 = 173 mod 71
m=72: 123 mod 72 = 51 ≠ 29 = 173 mod 72
m=73: 123 mod 73 = 50 ≠ 27 = 173 mod 73
m=74: 123 mod 74 = 49 ≠ 25 = 173 mod 74
m=75: 123 mod 75 = 48 ≠ 23 = 173 mod 75
m=76: 123 mod 76 = 47 ≠ 21 = 173 mod 76
m=77: 123 mod 77 = 46 ≠ 19 = 173 mod 77
m=78: 123 mod 78 = 45 ≠ 17 = 173 mod 78
m=79: 123 mod 79 = 44 ≠ 15 = 173 mod 79
m=80: 123 mod 80 = 43 ≠ 13 = 173 mod 80
m=81: 123 mod 81 = 42 ≠ 11 = 173 mod 81
m=82: 123 mod 82 = 41 ≠ 9 = 173 mod 82
m=83: 123 mod 83 = 40 ≠ 7 = 173 mod 83
m=84: 123 mod 84 = 39 ≠ 5 = 173 mod 84
m=85: 123 mod 85 = 38 ≠ 3 = 173 mod 85
m=86: 123 mod 86 = 37 ≠ 1 = 173 mod 86
m=87: 123 mod 87 = 36 ≠ 86 = 173 mod 87
m=88: 123 mod 88 = 35 ≠ 85 = 173 mod 88
m=89: 123 mod 89 = 34 ≠ 84 = 173 mod 89
m=90: 123 mod 90 = 33 ≠ 83 = 173 mod 90
m=91: 123 mod 91 = 32 ≠ 82 = 173 mod 91
m=92: 123 mod 92 = 31 ≠ 81 = 173 mod 92
m=93: 123 mod 93 = 30 ≠ 80 = 173 mod 93
m=94: 123 mod 94 = 29 ≠ 79 = 173 mod 94
m=95: 123 mod 95 = 28 ≠ 78 = 173 mod 95
m=96: 123 mod 96 = 27 ≠ 77 = 173 mod 96
m=97: 123 mod 97 = 26 ≠ 76 = 173 mod 97
m=98: 123 mod 98 = 25 ≠ 75 = 173 mod 98
m=99: 123 mod 99 = 24 ≠ 74 = 173 mod 99
m=100: 123 mod 100 = 23 ≠ 73 = 173 mod 100
m=101: 123 mod 101 = 22 ≠ 72 = 173 mod 101
m=102: 123 mod 102 = 21 ≠ 71 = 173 mod 102
m=103: 123 mod 103 = 20 ≠ 70 = 173 mod 103
m=104: 123 mod 104 = 19 ≠ 69 = 173 mod 104
m=105: 123 mod 105 = 18 ≠ 68 = 173 mod 105
m=106: 123 mod 106 = 17 ≠ 67 = 173 mod 106
m=107: 123 mod 107 = 16 ≠ 66 = 173 mod 107
m=108: 123 mod 108 = 15 ≠ 65 = 173 mod 108
m=109: 123 mod 109 = 14 ≠ 64 = 173 mod 109
m=110: 123 mod 110 = 13 ≠ 63 = 173 mod 110
m=111: 123 mod 111 = 12 ≠ 62 = 173 mod 111
m=112: 123 mod 112 = 11 ≠ 61 = 173 mod 112
m=113: 123 mod 113 = 10 ≠ 60 = 173 mod 113
m=114: 123 mod 114 = 9 ≠ 59 = 173 mod 114
m=115: 123 mod 115 = 8 ≠ 58 = 173 mod 115
m=116: 123 mod 116 = 7 ≠ 57 = 173 mod 116
m=117: 123 mod 117 = 6 ≠ 56 = 173 mod 117
m=118: 123 mod 118 = 5 ≠ 55 = 173 mod 118
m=119: 123 mod 119 = 4 ≠ 54 = 173 mod 119
m=120: 123 mod 120 = 3 ≠ 53 = 173 mod 120
m=121: 123 mod 121 = 2 ≠ 52 = 173 mod 121
m=122: 123 mod 122 = 1 ≠ 51 = 173 mod 122
m=123: 123 mod 123 = 0 ≠ 50 = 173 mod 123
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (173 - 123) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
