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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 50 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 50 = 0.

Somit gilt: 50 mod 10 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 71 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 63 = 8.

Somit gilt: 71 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 10 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 90 und erhalten so 98.

Somit gilt: 98 ≡ 71 ≡ 8 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7004 + 1400) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7004 + 1400) mod 7 ≡ (7004 mod 7 + 1400 mod 7) mod 7.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

1400 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1400 = 1400+0 = 7 ⋅ 200 +0.

Somit gilt:

(7004 + 1400) mod 7 ≡ (4 + 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 37) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 37) mod 3 ≡ (54 mod 3 ⋅ 37 mod 3) mod 3.

54 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 18 ⋅ 3 + 0 ist.

37 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 12 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 37) mod 3 ≡ (0 ⋅ 1) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
52 mod m = 77 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 52 aus, ob zufällig 52 mod m = 77 mod m gilt:

m=2: 52 mod 2 = 0 ≠ 1 = 77 mod 2

m=3: 52 mod 3 = 1 ≠ 2 = 77 mod 3

m=4: 52 mod 4 = 0 ≠ 1 = 77 mod 4

m=5: 52 mod 5 = 2 = 2 = 77 mod 5

m=6: 52 mod 6 = 4 ≠ 5 = 77 mod 6

m=7: 52 mod 7 = 3 ≠ 0 = 77 mod 7

m=8: 52 mod 8 = 4 ≠ 5 = 77 mod 8

m=9: 52 mod 9 = 7 ≠ 5 = 77 mod 9

m=10: 52 mod 10 = 2 ≠ 7 = 77 mod 10

m=11: 52 mod 11 = 8 ≠ 0 = 77 mod 11

m=12: 52 mod 12 = 4 ≠ 5 = 77 mod 12

m=13: 52 mod 13 = 0 ≠ 12 = 77 mod 13

m=14: 52 mod 14 = 10 ≠ 7 = 77 mod 14

m=15: 52 mod 15 = 7 ≠ 2 = 77 mod 15

m=16: 52 mod 16 = 4 ≠ 13 = 77 mod 16

m=17: 52 mod 17 = 1 ≠ 9 = 77 mod 17

m=18: 52 mod 18 = 16 ≠ 5 = 77 mod 18

m=19: 52 mod 19 = 14 ≠ 1 = 77 mod 19

m=20: 52 mod 20 = 12 ≠ 17 = 77 mod 20

m=21: 52 mod 21 = 10 ≠ 14 = 77 mod 21

m=22: 52 mod 22 = 8 ≠ 11 = 77 mod 22

m=23: 52 mod 23 = 6 ≠ 8 = 77 mod 23

m=24: 52 mod 24 = 4 ≠ 5 = 77 mod 24

m=25: 52 mod 25 = 2 = 2 = 77 mod 25

m=26: 52 mod 26 = 0 ≠ 25 = 77 mod 26

m=27: 52 mod 27 = 25 ≠ 23 = 77 mod 27

m=28: 52 mod 28 = 24 ≠ 21 = 77 mod 28

m=29: 52 mod 29 = 23 ≠ 19 = 77 mod 29

m=30: 52 mod 30 = 22 ≠ 17 = 77 mod 30

m=31: 52 mod 31 = 21 ≠ 15 = 77 mod 31

m=32: 52 mod 32 = 20 ≠ 13 = 77 mod 32

m=33: 52 mod 33 = 19 ≠ 11 = 77 mod 33

m=34: 52 mod 34 = 18 ≠ 9 = 77 mod 34

m=35: 52 mod 35 = 17 ≠ 7 = 77 mod 35

m=36: 52 mod 36 = 16 ≠ 5 = 77 mod 36

m=37: 52 mod 37 = 15 ≠ 3 = 77 mod 37

m=38: 52 mod 38 = 14 ≠ 1 = 77 mod 38

m=39: 52 mod 39 = 13 ≠ 38 = 77 mod 39

m=40: 52 mod 40 = 12 ≠ 37 = 77 mod 40

m=41: 52 mod 41 = 11 ≠ 36 = 77 mod 41

m=42: 52 mod 42 = 10 ≠ 35 = 77 mod 42

m=43: 52 mod 43 = 9 ≠ 34 = 77 mod 43

m=44: 52 mod 44 = 8 ≠ 33 = 77 mod 44

m=45: 52 mod 45 = 7 ≠ 32 = 77 mod 45

m=46: 52 mod 46 = 6 ≠ 31 = 77 mod 46

m=47: 52 mod 47 = 5 ≠ 30 = 77 mod 47

m=48: 52 mod 48 = 4 ≠ 29 = 77 mod 48

m=49: 52 mod 49 = 3 ≠ 28 = 77 mod 49

m=50: 52 mod 50 = 2 ≠ 27 = 77 mod 50

m=51: 52 mod 51 = 1 ≠ 26 = 77 mod 51

m=52: 52 mod 52 = 0 ≠ 25 = 77 mod 52

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (77 - 52) = 25 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

5; 25