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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 42 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 42 - 40 = 2.

Somit gilt: 42 mod 8 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 95 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 93 = 2.

Somit gilt: 95 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 95 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (325 + 16006) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(325 + 16006) mod 8 ≡ (325 mod 8 + 16006 mod 8) mod 8.

325 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 325 = 320+5 = 8 ⋅ 40 +5.

16006 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16006 = 16000+6 = 8 ⋅ 2000 +6.

Somit gilt:

(325 + 16006) mod 8 ≡ (5 + 6) mod 8 ≡ 11 mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 15) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 15) mod 8 ≡ (80 mod 8 ⋅ 15 mod 8) mod 8.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 10 ⋅ 8 + 0 ist.

15 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 8 + 7 = 1 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 15) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 38 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12