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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 73 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 9 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 53 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 48 = 5.

Somit gilt: 53 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 88 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 53 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (153 + 164) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(153 + 164) mod 8 ≡ (153 mod 8 + 164 mod 8) mod 8.

153 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 153 = 160-7 = 8 ⋅ 20 -7 = 8 ⋅ 20 - 8 + 1.

164 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 164 = 160+4 = 8 ⋅ 20 +4.

Somit gilt:

(153 + 164) mod 8 ≡ (1 + 4) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (65 ⋅ 36) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(65 ⋅ 36) mod 7 ≡ (65 mod 7 ⋅ 36 mod 7) mod 7.

65 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 63 + 2 = 9 ⋅ 7 + 2 ist.

36 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 35 + 1 = 5 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(65 ⋅ 36) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
40 mod m = 58 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 40 aus, ob zufällig 40 mod m = 58 mod m gilt:

m=2: 40 mod 2 = 0 = 0 = 58 mod 2

m=3: 40 mod 3 = 1 = 1 = 58 mod 3

m=4: 40 mod 4 = 0 ≠ 2 = 58 mod 4

m=5: 40 mod 5 = 0 ≠ 3 = 58 mod 5

m=6: 40 mod 6 = 4 = 4 = 58 mod 6

m=7: 40 mod 7 = 5 ≠ 2 = 58 mod 7

m=8: 40 mod 8 = 0 ≠ 2 = 58 mod 8

m=9: 40 mod 9 = 4 = 4 = 58 mod 9

m=10: 40 mod 10 = 0 ≠ 8 = 58 mod 10

m=11: 40 mod 11 = 7 ≠ 3 = 58 mod 11

m=12: 40 mod 12 = 4 ≠ 10 = 58 mod 12

m=13: 40 mod 13 = 1 ≠ 6 = 58 mod 13

m=14: 40 mod 14 = 12 ≠ 2 = 58 mod 14

m=15: 40 mod 15 = 10 ≠ 13 = 58 mod 15

m=16: 40 mod 16 = 8 ≠ 10 = 58 mod 16

m=17: 40 mod 17 = 6 ≠ 7 = 58 mod 17

m=18: 40 mod 18 = 4 = 4 = 58 mod 18

m=19: 40 mod 19 = 2 ≠ 1 = 58 mod 19

m=20: 40 mod 20 = 0 ≠ 18 = 58 mod 20

m=21: 40 mod 21 = 19 ≠ 16 = 58 mod 21

m=22: 40 mod 22 = 18 ≠ 14 = 58 mod 22

m=23: 40 mod 23 = 17 ≠ 12 = 58 mod 23

m=24: 40 mod 24 = 16 ≠ 10 = 58 mod 24

m=25: 40 mod 25 = 15 ≠ 8 = 58 mod 25

m=26: 40 mod 26 = 14 ≠ 6 = 58 mod 26

m=27: 40 mod 27 = 13 ≠ 4 = 58 mod 27

m=28: 40 mod 28 = 12 ≠ 2 = 58 mod 28

m=29: 40 mod 29 = 11 ≠ 0 = 58 mod 29

m=30: 40 mod 30 = 10 ≠ 28 = 58 mod 30

m=31: 40 mod 31 = 9 ≠ 27 = 58 mod 31

m=32: 40 mod 32 = 8 ≠ 26 = 58 mod 32

m=33: 40 mod 33 = 7 ≠ 25 = 58 mod 33

m=34: 40 mod 34 = 6 ≠ 24 = 58 mod 34

m=35: 40 mod 35 = 5 ≠ 23 = 58 mod 35

m=36: 40 mod 36 = 4 ≠ 22 = 58 mod 36

m=37: 40 mod 37 = 3 ≠ 21 = 58 mod 37

m=38: 40 mod 38 = 2 ≠ 20 = 58 mod 38

m=39: 40 mod 39 = 1 ≠ 19 = 58 mod 39

m=40: 40 mod 40 = 0 ≠ 18 = 58 mod 40

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (58 - 40) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18