nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 74 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 6 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 40 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 36 = 4.

Somit gilt: 40 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 54 und erhalten so 58.

Somit gilt: 58 ≡ 40 ≡ 4 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 - 900) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 - 900) mod 3 ≡ (90 mod 3 - 900 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

Somit gilt:

(90 - 900) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 50) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 50) mod 7 ≡ (53 mod 7 ⋅ 50 mod 7) mod 7.

53 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 49 + 4 = 7 ⋅ 7 + 4 ist.

50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 50) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
91 mod m = 121 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 91 aus, ob zufällig 91 mod m = 121 mod m gilt:

m=2: 91 mod 2 = 1 = 1 = 121 mod 2

m=3: 91 mod 3 = 1 = 1 = 121 mod 3

m=4: 91 mod 4 = 3 ≠ 1 = 121 mod 4

m=5: 91 mod 5 = 1 = 1 = 121 mod 5

m=6: 91 mod 6 = 1 = 1 = 121 mod 6

m=7: 91 mod 7 = 0 ≠ 2 = 121 mod 7

m=8: 91 mod 8 = 3 ≠ 1 = 121 mod 8

m=9: 91 mod 9 = 1 ≠ 4 = 121 mod 9

m=10: 91 mod 10 = 1 = 1 = 121 mod 10

m=11: 91 mod 11 = 3 ≠ 0 = 121 mod 11

m=12: 91 mod 12 = 7 ≠ 1 = 121 mod 12

m=13: 91 mod 13 = 0 ≠ 4 = 121 mod 13

m=14: 91 mod 14 = 7 ≠ 9 = 121 mod 14

m=15: 91 mod 15 = 1 = 1 = 121 mod 15

m=16: 91 mod 16 = 11 ≠ 9 = 121 mod 16

m=17: 91 mod 17 = 6 ≠ 2 = 121 mod 17

m=18: 91 mod 18 = 1 ≠ 13 = 121 mod 18

m=19: 91 mod 19 = 15 ≠ 7 = 121 mod 19

m=20: 91 mod 20 = 11 ≠ 1 = 121 mod 20

m=21: 91 mod 21 = 7 ≠ 16 = 121 mod 21

m=22: 91 mod 22 = 3 ≠ 11 = 121 mod 22

m=23: 91 mod 23 = 22 ≠ 6 = 121 mod 23

m=24: 91 mod 24 = 19 ≠ 1 = 121 mod 24

m=25: 91 mod 25 = 16 ≠ 21 = 121 mod 25

m=26: 91 mod 26 = 13 ≠ 17 = 121 mod 26

m=27: 91 mod 27 = 10 ≠ 13 = 121 mod 27

m=28: 91 mod 28 = 7 ≠ 9 = 121 mod 28

m=29: 91 mod 29 = 4 ≠ 5 = 121 mod 29

m=30: 91 mod 30 = 1 = 1 = 121 mod 30

m=31: 91 mod 31 = 29 ≠ 28 = 121 mod 31

m=32: 91 mod 32 = 27 ≠ 25 = 121 mod 32

m=33: 91 mod 33 = 25 ≠ 22 = 121 mod 33

m=34: 91 mod 34 = 23 ≠ 19 = 121 mod 34

m=35: 91 mod 35 = 21 ≠ 16 = 121 mod 35

m=36: 91 mod 36 = 19 ≠ 13 = 121 mod 36

m=37: 91 mod 37 = 17 ≠ 10 = 121 mod 37

m=38: 91 mod 38 = 15 ≠ 7 = 121 mod 38

m=39: 91 mod 39 = 13 ≠ 4 = 121 mod 39

m=40: 91 mod 40 = 11 ≠ 1 = 121 mod 40

m=41: 91 mod 41 = 9 ≠ 39 = 121 mod 41

m=42: 91 mod 42 = 7 ≠ 37 = 121 mod 42

m=43: 91 mod 43 = 5 ≠ 35 = 121 mod 43

m=44: 91 mod 44 = 3 ≠ 33 = 121 mod 44

m=45: 91 mod 45 = 1 ≠ 31 = 121 mod 45

m=46: 91 mod 46 = 45 ≠ 29 = 121 mod 46

m=47: 91 mod 47 = 44 ≠ 27 = 121 mod 47

m=48: 91 mod 48 = 43 ≠ 25 = 121 mod 48

m=49: 91 mod 49 = 42 ≠ 23 = 121 mod 49

m=50: 91 mod 50 = 41 ≠ 21 = 121 mod 50

m=51: 91 mod 51 = 40 ≠ 19 = 121 mod 51

m=52: 91 mod 52 = 39 ≠ 17 = 121 mod 52

m=53: 91 mod 53 = 38 ≠ 15 = 121 mod 53

m=54: 91 mod 54 = 37 ≠ 13 = 121 mod 54

m=55: 91 mod 55 = 36 ≠ 11 = 121 mod 55

m=56: 91 mod 56 = 35 ≠ 9 = 121 mod 56

m=57: 91 mod 57 = 34 ≠ 7 = 121 mod 57

m=58: 91 mod 58 = 33 ≠ 5 = 121 mod 58

m=59: 91 mod 59 = 32 ≠ 3 = 121 mod 59

m=60: 91 mod 60 = 31 ≠ 1 = 121 mod 60

m=61: 91 mod 61 = 30 ≠ 60 = 121 mod 61

m=62: 91 mod 62 = 29 ≠ 59 = 121 mod 62

m=63: 91 mod 63 = 28 ≠ 58 = 121 mod 63

m=64: 91 mod 64 = 27 ≠ 57 = 121 mod 64

m=65: 91 mod 65 = 26 ≠ 56 = 121 mod 65

m=66: 91 mod 66 = 25 ≠ 55 = 121 mod 66

m=67: 91 mod 67 = 24 ≠ 54 = 121 mod 67

m=68: 91 mod 68 = 23 ≠ 53 = 121 mod 68

m=69: 91 mod 69 = 22 ≠ 52 = 121 mod 69

m=70: 91 mod 70 = 21 ≠ 51 = 121 mod 70

m=71: 91 mod 71 = 20 ≠ 50 = 121 mod 71

m=72: 91 mod 72 = 19 ≠ 49 = 121 mod 72

m=73: 91 mod 73 = 18 ≠ 48 = 121 mod 73

m=74: 91 mod 74 = 17 ≠ 47 = 121 mod 74

m=75: 91 mod 75 = 16 ≠ 46 = 121 mod 75

m=76: 91 mod 76 = 15 ≠ 45 = 121 mod 76

m=77: 91 mod 77 = 14 ≠ 44 = 121 mod 77

m=78: 91 mod 78 = 13 ≠ 43 = 121 mod 78

m=79: 91 mod 79 = 12 ≠ 42 = 121 mod 79

m=80: 91 mod 80 = 11 ≠ 41 = 121 mod 80

m=81: 91 mod 81 = 10 ≠ 40 = 121 mod 81

m=82: 91 mod 82 = 9 ≠ 39 = 121 mod 82

m=83: 91 mod 83 = 8 ≠ 38 = 121 mod 83

m=84: 91 mod 84 = 7 ≠ 37 = 121 mod 84

m=85: 91 mod 85 = 6 ≠ 36 = 121 mod 85

m=86: 91 mod 86 = 5 ≠ 35 = 121 mod 86

m=87: 91 mod 87 = 4 ≠ 34 = 121 mod 87

m=88: 91 mod 88 = 3 ≠ 33 = 121 mod 88

m=89: 91 mod 89 = 2 ≠ 32 = 121 mod 89

m=90: 91 mod 90 = 1 ≠ 31 = 121 mod 90

m=91: 91 mod 91 = 0 ≠ 30 = 121 mod 91

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (121 - 91) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30