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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 22 = 10.

Somit gilt: 32 mod 11 ≡ 10.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 89 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 84 = 5.

Somit gilt: 89 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 30 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 89 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6000 + 28) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6000 + 28) mod 3 ≡ (6000 mod 3 + 28 mod 3) mod 3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 30-2 = 3 ⋅ 10 -2 = 3 ⋅ 10 - 3 + 1.

Somit gilt:

(6000 + 28) mod 3 ≡ (0 + 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 66) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 66) mod 4 ≡ (79 mod 4 ⋅ 66 mod 4) mod 4.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

66 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 64 + 2 = 16 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 66) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
44 mod m = 59 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 44 aus, ob zufällig 44 mod m = 59 mod m gilt:

m=2: 44 mod 2 = 0 ≠ 1 = 59 mod 2

m=3: 44 mod 3 = 2 = 2 = 59 mod 3

m=4: 44 mod 4 = 0 ≠ 3 = 59 mod 4

m=5: 44 mod 5 = 4 = 4 = 59 mod 5

m=6: 44 mod 6 = 2 ≠ 5 = 59 mod 6

m=7: 44 mod 7 = 2 ≠ 3 = 59 mod 7

m=8: 44 mod 8 = 4 ≠ 3 = 59 mod 8

m=9: 44 mod 9 = 8 ≠ 5 = 59 mod 9

m=10: 44 mod 10 = 4 ≠ 9 = 59 mod 10

m=11: 44 mod 11 = 0 ≠ 4 = 59 mod 11

m=12: 44 mod 12 = 8 ≠ 11 = 59 mod 12

m=13: 44 mod 13 = 5 ≠ 7 = 59 mod 13

m=14: 44 mod 14 = 2 ≠ 3 = 59 mod 14

m=15: 44 mod 15 = 14 = 14 = 59 mod 15

m=16: 44 mod 16 = 12 ≠ 11 = 59 mod 16

m=17: 44 mod 17 = 10 ≠ 8 = 59 mod 17

m=18: 44 mod 18 = 8 ≠ 5 = 59 mod 18

m=19: 44 mod 19 = 6 ≠ 2 = 59 mod 19

m=20: 44 mod 20 = 4 ≠ 19 = 59 mod 20

m=21: 44 mod 21 = 2 ≠ 17 = 59 mod 21

m=22: 44 mod 22 = 0 ≠ 15 = 59 mod 22

m=23: 44 mod 23 = 21 ≠ 13 = 59 mod 23

m=24: 44 mod 24 = 20 ≠ 11 = 59 mod 24

m=25: 44 mod 25 = 19 ≠ 9 = 59 mod 25

m=26: 44 mod 26 = 18 ≠ 7 = 59 mod 26

m=27: 44 mod 27 = 17 ≠ 5 = 59 mod 27

m=28: 44 mod 28 = 16 ≠ 3 = 59 mod 28

m=29: 44 mod 29 = 15 ≠ 1 = 59 mod 29

m=30: 44 mod 30 = 14 ≠ 29 = 59 mod 30

m=31: 44 mod 31 = 13 ≠ 28 = 59 mod 31

m=32: 44 mod 32 = 12 ≠ 27 = 59 mod 32

m=33: 44 mod 33 = 11 ≠ 26 = 59 mod 33

m=34: 44 mod 34 = 10 ≠ 25 = 59 mod 34

m=35: 44 mod 35 = 9 ≠ 24 = 59 mod 35

m=36: 44 mod 36 = 8 ≠ 23 = 59 mod 36

m=37: 44 mod 37 = 7 ≠ 22 = 59 mod 37

m=38: 44 mod 38 = 6 ≠ 21 = 59 mod 38

m=39: 44 mod 39 = 5 ≠ 20 = 59 mod 39

m=40: 44 mod 40 = 4 ≠ 19 = 59 mod 40

m=41: 44 mod 41 = 3 ≠ 18 = 59 mod 41

m=42: 44 mod 42 = 2 ≠ 17 = 59 mod 42

m=43: 44 mod 43 = 1 ≠ 16 = 59 mod 43

m=44: 44 mod 44 = 0 ≠ 15 = 59 mod 44

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (59 - 44) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15