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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 84, weil ja 14 ⋅ 6 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 51 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 44 = 7.

Somit gilt: 51 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 11 und erhalten so 18.

Somit gilt: 18 ≡ 51 ≡ 7 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16007 + 312) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16007 + 312) mod 8 ≡ (16007 mod 8 + 312 mod 8) mod 8.

16007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16007 = 16000+7 = 8 ⋅ 2000 +7.

312 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 312 = 320-8 = 8 ⋅ 40 -8 = 8 ⋅ 40 - 8 + 0.

Somit gilt:

(16007 + 312) mod 8 ≡ (7 + 0) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (54 ⋅ 77) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(54 ⋅ 77) mod 6 ≡ (54 mod 6 ⋅ 77 mod 6) mod 6.

54 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 54 + 0 = 9 ⋅ 6 + 0 ist.

77 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 72 + 5 = 12 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(54 ⋅ 77) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
56 mod m = 76 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 56 aus, ob zufällig 56 mod m = 76 mod m gilt:

m=2: 56 mod 2 = 0 = 0 = 76 mod 2

m=3: 56 mod 3 = 2 ≠ 1 = 76 mod 3

m=4: 56 mod 4 = 0 = 0 = 76 mod 4

m=5: 56 mod 5 = 1 = 1 = 76 mod 5

m=6: 56 mod 6 = 2 ≠ 4 = 76 mod 6

m=7: 56 mod 7 = 0 ≠ 6 = 76 mod 7

m=8: 56 mod 8 = 0 ≠ 4 = 76 mod 8

m=9: 56 mod 9 = 2 ≠ 4 = 76 mod 9

m=10: 56 mod 10 = 6 = 6 = 76 mod 10

m=11: 56 mod 11 = 1 ≠ 10 = 76 mod 11

m=12: 56 mod 12 = 8 ≠ 4 = 76 mod 12

m=13: 56 mod 13 = 4 ≠ 11 = 76 mod 13

m=14: 56 mod 14 = 0 ≠ 6 = 76 mod 14

m=15: 56 mod 15 = 11 ≠ 1 = 76 mod 15

m=16: 56 mod 16 = 8 ≠ 12 = 76 mod 16

m=17: 56 mod 17 = 5 ≠ 8 = 76 mod 17

m=18: 56 mod 18 = 2 ≠ 4 = 76 mod 18

m=19: 56 mod 19 = 18 ≠ 0 = 76 mod 19

m=20: 56 mod 20 = 16 = 16 = 76 mod 20

m=21: 56 mod 21 = 14 ≠ 13 = 76 mod 21

m=22: 56 mod 22 = 12 ≠ 10 = 76 mod 22

m=23: 56 mod 23 = 10 ≠ 7 = 76 mod 23

m=24: 56 mod 24 = 8 ≠ 4 = 76 mod 24

m=25: 56 mod 25 = 6 ≠ 1 = 76 mod 25

m=26: 56 mod 26 = 4 ≠ 24 = 76 mod 26

m=27: 56 mod 27 = 2 ≠ 22 = 76 mod 27

m=28: 56 mod 28 = 0 ≠ 20 = 76 mod 28

m=29: 56 mod 29 = 27 ≠ 18 = 76 mod 29

m=30: 56 mod 30 = 26 ≠ 16 = 76 mod 30

m=31: 56 mod 31 = 25 ≠ 14 = 76 mod 31

m=32: 56 mod 32 = 24 ≠ 12 = 76 mod 32

m=33: 56 mod 33 = 23 ≠ 10 = 76 mod 33

m=34: 56 mod 34 = 22 ≠ 8 = 76 mod 34

m=35: 56 mod 35 = 21 ≠ 6 = 76 mod 35

m=36: 56 mod 36 = 20 ≠ 4 = 76 mod 36

m=37: 56 mod 37 = 19 ≠ 2 = 76 mod 37

m=38: 56 mod 38 = 18 ≠ 0 = 76 mod 38

m=39: 56 mod 39 = 17 ≠ 37 = 76 mod 39

m=40: 56 mod 40 = 16 ≠ 36 = 76 mod 40

m=41: 56 mod 41 = 15 ≠ 35 = 76 mod 41

m=42: 56 mod 42 = 14 ≠ 34 = 76 mod 42

m=43: 56 mod 43 = 13 ≠ 33 = 76 mod 43

m=44: 56 mod 44 = 12 ≠ 32 = 76 mod 44

m=45: 56 mod 45 = 11 ≠ 31 = 76 mod 45

m=46: 56 mod 46 = 10 ≠ 30 = 76 mod 46

m=47: 56 mod 47 = 9 ≠ 29 = 76 mod 47

m=48: 56 mod 48 = 8 ≠ 28 = 76 mod 48

m=49: 56 mod 49 = 7 ≠ 27 = 76 mod 49

m=50: 56 mod 50 = 6 ≠ 26 = 76 mod 50

m=51: 56 mod 51 = 5 ≠ 25 = 76 mod 51

m=52: 56 mod 52 = 4 ≠ 24 = 76 mod 52

m=53: 56 mod 53 = 3 ≠ 23 = 76 mod 53

m=54: 56 mod 54 = 2 ≠ 22 = 76 mod 54

m=55: 56 mod 55 = 1 ≠ 21 = 76 mod 55

m=56: 56 mod 56 = 0 ≠ 20 = 76 mod 56

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (76 - 56) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20