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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 88 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 88 - 85 = 3.

Somit gilt: 88 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 30 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 24 = 6.

Somit gilt: 30 mod 8 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 6 mod 8 sein, also addieren wir noch 6 auf die 64 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 30 ≡ 6 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (90 + 62) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(90 + 62) mod 3 ≡ (90 mod 3 + 62 mod 3) mod 3.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90+0 = 3 ⋅ 30 +0.

62 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 60+2 = 3 ⋅ 20 +2.

Somit gilt:

(90 + 62) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 ⋅ 43) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 ⋅ 43) mod 11 ≡ (86 mod 11 ⋅ 43 mod 11) mod 11.

86 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 77 + 9 = 7 ⋅ 11 + 9 ist.

43 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 33 + 10 = 3 ⋅ 11 + 10 ist.

Somit gilt:

(86 ⋅ 43) mod 11 ≡ (9 ⋅ 10) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
40 mod m = 52 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 40 aus, ob zufällig 40 mod m = 52 mod m gilt:

m=2: 40 mod 2 = 0 = 0 = 52 mod 2

m=3: 40 mod 3 = 1 = 1 = 52 mod 3

m=4: 40 mod 4 = 0 = 0 = 52 mod 4

m=5: 40 mod 5 = 0 ≠ 2 = 52 mod 5

m=6: 40 mod 6 = 4 = 4 = 52 mod 6

m=7: 40 mod 7 = 5 ≠ 3 = 52 mod 7

m=8: 40 mod 8 = 0 ≠ 4 = 52 mod 8

m=9: 40 mod 9 = 4 ≠ 7 = 52 mod 9

m=10: 40 mod 10 = 0 ≠ 2 = 52 mod 10

m=11: 40 mod 11 = 7 ≠ 8 = 52 mod 11

m=12: 40 mod 12 = 4 = 4 = 52 mod 12

m=13: 40 mod 13 = 1 ≠ 0 = 52 mod 13

m=14: 40 mod 14 = 12 ≠ 10 = 52 mod 14

m=15: 40 mod 15 = 10 ≠ 7 = 52 mod 15

m=16: 40 mod 16 = 8 ≠ 4 = 52 mod 16

m=17: 40 mod 17 = 6 ≠ 1 = 52 mod 17

m=18: 40 mod 18 = 4 ≠ 16 = 52 mod 18

m=19: 40 mod 19 = 2 ≠ 14 = 52 mod 19

m=20: 40 mod 20 = 0 ≠ 12 = 52 mod 20

m=21: 40 mod 21 = 19 ≠ 10 = 52 mod 21

m=22: 40 mod 22 = 18 ≠ 8 = 52 mod 22

m=23: 40 mod 23 = 17 ≠ 6 = 52 mod 23

m=24: 40 mod 24 = 16 ≠ 4 = 52 mod 24

m=25: 40 mod 25 = 15 ≠ 2 = 52 mod 25

m=26: 40 mod 26 = 14 ≠ 0 = 52 mod 26

m=27: 40 mod 27 = 13 ≠ 25 = 52 mod 27

m=28: 40 mod 28 = 12 ≠ 24 = 52 mod 28

m=29: 40 mod 29 = 11 ≠ 23 = 52 mod 29

m=30: 40 mod 30 = 10 ≠ 22 = 52 mod 30

m=31: 40 mod 31 = 9 ≠ 21 = 52 mod 31

m=32: 40 mod 32 = 8 ≠ 20 = 52 mod 32

m=33: 40 mod 33 = 7 ≠ 19 = 52 mod 33

m=34: 40 mod 34 = 6 ≠ 18 = 52 mod 34

m=35: 40 mod 35 = 5 ≠ 17 = 52 mod 35

m=36: 40 mod 36 = 4 ≠ 16 = 52 mod 36

m=37: 40 mod 37 = 3 ≠ 15 = 52 mod 37

m=38: 40 mod 38 = 2 ≠ 14 = 52 mod 38

m=39: 40 mod 39 = 1 ≠ 13 = 52 mod 39

m=40: 40 mod 40 = 0 ≠ 12 = 52 mod 40

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (52 - 40) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12