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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 69 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 63 = 6.

Somit gilt: 69 mod 9 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 43 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 42, weil ja 14 ⋅ 3 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 21 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 43 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (158 - 8007) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(158 - 8007) mod 8 ≡ (158 mod 8 - 8007 mod 8) mod 8.

158 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 158 = 160-2 = 8 ⋅ 20 -2 = 8 ⋅ 20 - 8 + 6.

8007 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8007 = 8000+7 = 8 ⋅ 1000 +7.

Somit gilt:

(158 - 8007) mod 8 ≡ (6 - 7) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (76 ⋅ 42) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(76 ⋅ 42) mod 11 ≡ (76 mod 11 ⋅ 42 mod 11) mod 11.

76 mod 11 ≡ 10 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 66 + 10 = 6 ⋅ 11 + 10 ist.

42 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 33 + 9 = 3 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(76 ⋅ 42) mod 11 ≡ (10 ⋅ 9) mod 11 ≡ 90 mod 11 ≡ 2 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
34 mod m = 43 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 ≠ 1 = 43 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 3 = 43 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 1 = 43 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 = 7 = 43 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 7 = 43 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 12 = 43 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 11 = 43 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 10 = 43 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 9 = 43 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 34) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9