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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 47 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 40 = 7.

Somit gilt: 47 mod 10 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 45 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 80 und erhalten so 85.

Somit gilt: 85 ≡ 45 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (795 + 24008) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(795 + 24008) mod 8 ≡ (795 mod 8 + 24008 mod 8) mod 8.

795 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 795 = 800-5 = 8 ⋅ 100 -5 = 8 ⋅ 100 - 8 + 3.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(795 + 24008) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 40) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 40) mod 4 ≡ (37 mod 4 ⋅ 40 mod 4) mod 4.

37 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 9 ⋅ 4 + 1 ist.

40 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40 = 40 + 0 = 10 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 40) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
87 mod m = 117 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 87 aus, ob zufällig 87 mod m = 117 mod m gilt:

m=2: 87 mod 2 = 1 = 1 = 117 mod 2

m=3: 87 mod 3 = 0 = 0 = 117 mod 3

m=4: 87 mod 4 = 3 ≠ 1 = 117 mod 4

m=5: 87 mod 5 = 2 = 2 = 117 mod 5

m=6: 87 mod 6 = 3 = 3 = 117 mod 6

m=7: 87 mod 7 = 3 ≠ 5 = 117 mod 7

m=8: 87 mod 8 = 7 ≠ 5 = 117 mod 8

m=9: 87 mod 9 = 6 ≠ 0 = 117 mod 9

m=10: 87 mod 10 = 7 = 7 = 117 mod 10

m=11: 87 mod 11 = 10 ≠ 7 = 117 mod 11

m=12: 87 mod 12 = 3 ≠ 9 = 117 mod 12

m=13: 87 mod 13 = 9 ≠ 0 = 117 mod 13

m=14: 87 mod 14 = 3 ≠ 5 = 117 mod 14

m=15: 87 mod 15 = 12 = 12 = 117 mod 15

m=16: 87 mod 16 = 7 ≠ 5 = 117 mod 16

m=17: 87 mod 17 = 2 ≠ 15 = 117 mod 17

m=18: 87 mod 18 = 15 ≠ 9 = 117 mod 18

m=19: 87 mod 19 = 11 ≠ 3 = 117 mod 19

m=20: 87 mod 20 = 7 ≠ 17 = 117 mod 20

m=21: 87 mod 21 = 3 ≠ 12 = 117 mod 21

m=22: 87 mod 22 = 21 ≠ 7 = 117 mod 22

m=23: 87 mod 23 = 18 ≠ 2 = 117 mod 23

m=24: 87 mod 24 = 15 ≠ 21 = 117 mod 24

m=25: 87 mod 25 = 12 ≠ 17 = 117 mod 25

m=26: 87 mod 26 = 9 ≠ 13 = 117 mod 26

m=27: 87 mod 27 = 6 ≠ 9 = 117 mod 27

m=28: 87 mod 28 = 3 ≠ 5 = 117 mod 28

m=29: 87 mod 29 = 0 ≠ 1 = 117 mod 29

m=30: 87 mod 30 = 27 = 27 = 117 mod 30

m=31: 87 mod 31 = 25 ≠ 24 = 117 mod 31

m=32: 87 mod 32 = 23 ≠ 21 = 117 mod 32

m=33: 87 mod 33 = 21 ≠ 18 = 117 mod 33

m=34: 87 mod 34 = 19 ≠ 15 = 117 mod 34

m=35: 87 mod 35 = 17 ≠ 12 = 117 mod 35

m=36: 87 mod 36 = 15 ≠ 9 = 117 mod 36

m=37: 87 mod 37 = 13 ≠ 6 = 117 mod 37

m=38: 87 mod 38 = 11 ≠ 3 = 117 mod 38

m=39: 87 mod 39 = 9 ≠ 0 = 117 mod 39

m=40: 87 mod 40 = 7 ≠ 37 = 117 mod 40

m=41: 87 mod 41 = 5 ≠ 35 = 117 mod 41

m=42: 87 mod 42 = 3 ≠ 33 = 117 mod 42

m=43: 87 mod 43 = 1 ≠ 31 = 117 mod 43

m=44: 87 mod 44 = 43 ≠ 29 = 117 mod 44

m=45: 87 mod 45 = 42 ≠ 27 = 117 mod 45

m=46: 87 mod 46 = 41 ≠ 25 = 117 mod 46

m=47: 87 mod 47 = 40 ≠ 23 = 117 mod 47

m=48: 87 mod 48 = 39 ≠ 21 = 117 mod 48

m=49: 87 mod 49 = 38 ≠ 19 = 117 mod 49

m=50: 87 mod 50 = 37 ≠ 17 = 117 mod 50

m=51: 87 mod 51 = 36 ≠ 15 = 117 mod 51

m=52: 87 mod 52 = 35 ≠ 13 = 117 mod 52

m=53: 87 mod 53 = 34 ≠ 11 = 117 mod 53

m=54: 87 mod 54 = 33 ≠ 9 = 117 mod 54

m=55: 87 mod 55 = 32 ≠ 7 = 117 mod 55

m=56: 87 mod 56 = 31 ≠ 5 = 117 mod 56

m=57: 87 mod 57 = 30 ≠ 3 = 117 mod 57

m=58: 87 mod 58 = 29 ≠ 1 = 117 mod 58

m=59: 87 mod 59 = 28 ≠ 58 = 117 mod 59

m=60: 87 mod 60 = 27 ≠ 57 = 117 mod 60

m=61: 87 mod 61 = 26 ≠ 56 = 117 mod 61

m=62: 87 mod 62 = 25 ≠ 55 = 117 mod 62

m=63: 87 mod 63 = 24 ≠ 54 = 117 mod 63

m=64: 87 mod 64 = 23 ≠ 53 = 117 mod 64

m=65: 87 mod 65 = 22 ≠ 52 = 117 mod 65

m=66: 87 mod 66 = 21 ≠ 51 = 117 mod 66

m=67: 87 mod 67 = 20 ≠ 50 = 117 mod 67

m=68: 87 mod 68 = 19 ≠ 49 = 117 mod 68

m=69: 87 mod 69 = 18 ≠ 48 = 117 mod 69

m=70: 87 mod 70 = 17 ≠ 47 = 117 mod 70

m=71: 87 mod 71 = 16 ≠ 46 = 117 mod 71

m=72: 87 mod 72 = 15 ≠ 45 = 117 mod 72

m=73: 87 mod 73 = 14 ≠ 44 = 117 mod 73

m=74: 87 mod 74 = 13 ≠ 43 = 117 mod 74

m=75: 87 mod 75 = 12 ≠ 42 = 117 mod 75

m=76: 87 mod 76 = 11 ≠ 41 = 117 mod 76

m=77: 87 mod 77 = 10 ≠ 40 = 117 mod 77

m=78: 87 mod 78 = 9 ≠ 39 = 117 mod 78

m=79: 87 mod 79 = 8 ≠ 38 = 117 mod 79

m=80: 87 mod 80 = 7 ≠ 37 = 117 mod 80

m=81: 87 mod 81 = 6 ≠ 36 = 117 mod 81

m=82: 87 mod 82 = 5 ≠ 35 = 117 mod 82

m=83: 87 mod 83 = 4 ≠ 34 = 117 mod 83

m=84: 87 mod 84 = 3 ≠ 33 = 117 mod 84

m=85: 87 mod 85 = 2 ≠ 32 = 117 mod 85

m=86: 87 mod 86 = 1 ≠ 31 = 117 mod 86

m=87: 87 mod 87 = 0 ≠ 30 = 117 mod 87

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (117 - 87) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30