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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 88 = 8.

Somit gilt: 96 mod 11 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 31 für die gilt n ≡ 85 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 77 = 8.

Somit gilt: 85 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 22 und erhalten so 30.

Somit gilt: 30 ≡ 85 ≡ 8 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5998 - 11998) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5998 - 11998) mod 6 ≡ (5998 mod 6 - 11998 mod 6) mod 6.

5998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5998 = 6000-2 = 6 ⋅ 1000 -2 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 4.

11998 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11998 = 12000-2 = 6 ⋅ 2000 -2 = 6 ⋅ 2000 - 6 + 4.

Somit gilt:

(5998 - 11998) mod 6 ≡ (4 - 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 44) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 44) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 44 mod 9) mod 9.

92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.

44 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 36 + 8 = 4 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 44) mod 9 ≡ (2 ⋅ 8) mod 9 ≡ 16 mod 9 ≡ 7 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 49 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 49 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 49 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 49 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 = 1 = 49 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 ≠ 4 = 49 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 = 1 = 49 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 0 = 49 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 1 = 49 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 ≠ 4 = 49 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 9 = 49 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 5 = 49 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 = 1 = 49 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 10 = 49 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 7 = 49 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 4 = 49 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 1 = 49 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 15 = 49 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 ≠ 13 = 49 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 11 = 49 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 9 = 49 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 7 = 49 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 5 = 49 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 3 = 49 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 1 = 49 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 24 = 49 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 23 = 49 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 22 = 49 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 21 = 49 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 20 = 49 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 19 = 49 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 18 = 49 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 17 = 49 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 16 = 49 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 15 = 49 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 14 = 49 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 13 = 49 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 12 = 49 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (49 - 37) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12