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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 91 für die gilt n ≡ 44 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.

Somit gilt: 44 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 91 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 80, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Somit gilt: 88 ≡ 44 ≡ 0 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12002 + 19999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12002 + 19999) mod 4 ≡ (12002 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.

12002 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 4 ⋅ 3000 +2.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

Somit gilt:

(12002 + 19999) mod 4 ≡ (2 + 3) mod 4 ≡ 5 mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (45 ⋅ 62) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(45 ⋅ 62) mod 9 ≡ (45 mod 9 ⋅ 62 mod 9) mod 9.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

62 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 54 + 8 = 6 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(45 ⋅ 62) mod 9 ≡ (0 ⋅ 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 27 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6