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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 96 = 0.

Somit gilt: 96 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 30 für die gilt n ≡ 30 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 30 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 2 ⋅ 10

Somit gilt: 20 ≡ 30 ≡ 0 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (118 - 1500) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 - 1500) mod 3 ≡ (118 mod 3 - 1500 mod 3) mod 3.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

1500 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500 = 1500+0 = 3 ⋅ 500 +0.

Somit gilt:

(118 - 1500) mod 3 ≡ (1 - 0) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 23) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 23) mod 8 ≡ (71 mod 8 ⋅ 23 mod 8) mod 8.

71 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 64 + 7 = 8 ⋅ 8 + 7 ist.

23 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 16 + 7 = 2 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 23) mod 8 ≡ (7 ⋅ 7) mod 8 ≡ 49 mod 8 ≡ 1 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10