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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.
Somit gilt: 34 mod 6 ≡ 4.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 61 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 60, weil ja 15 ⋅ 4 = 60 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 61 - 60 = 1.
Somit gilt: 61 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 3 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.
Somit gilt: 13 ≡ 61 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (12000 + 177) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(12000 + 177) mod 6 ≡ (12000 mod 6 + 177 mod 6) mod 6.
12000 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000
= 12000
177 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 177
= 180
Somit gilt:
(12000 + 177) mod 6 ≡ (0 + 3) mod 6 ≡ 3 mod 6.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (64 ⋅ 82) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(64 ⋅ 82) mod 8 ≡ (64 mod 8 ⋅ 82 mod 8) mod 8.
64 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 64 = 64 + 0 = 8 ⋅ 8 + 0 ist.
82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.
Somit gilt:
(64 ⋅ 82) mod 8 ≡ (0 ⋅ 2) mod 8 ≡ 0 mod 8.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:
m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2
m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3
m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4
m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5
m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6
m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7
m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8
m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9
m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10
m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11
m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12
m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13
m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14
m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
