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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 44 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 36 = 8.

Somit gilt: 44 mod 9 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 33 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 30, weil ja 3 ⋅ 10 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 70 und erhalten so 73.

Somit gilt: 73 ≡ 33 ≡ 3 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9000 - 1799) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9000 - 1799) mod 9 ≡ (9000 mod 9 - 1799 mod 9) mod 9.

9000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9000 = 9000+0 = 9 ⋅ 1000 +0.

1799 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799 = 1800-1 = 9 ⋅ 200 -1 = 9 ⋅ 200 - 9 + 8.

Somit gilt:

(9000 - 1799) mod 9 ≡ (0 - 8) mod 9 ≡ -8 mod 9 ≡ 1 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 76) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 76) mod 4 ≡ (89 mod 4 ⋅ 76 mod 4) mod 4.

89 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 22 ⋅ 4 + 1 ist.

76 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 76 = 76 + 0 = 19 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 76) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 24 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 24 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 = 0 = 24 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 24 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 0 = 24 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 4 = 24 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 = 0 = 24 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 3 = 24 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 0 = 24 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 ≠ 6 = 24 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 4 = 24 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 2 = 24 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 0 = 24 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 11 = 24 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 10 = 24 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 9 = 24 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 8 = 24 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 7 = 24 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 6 = 24 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (24 - 18) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6