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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 61 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 54 = 7.

Somit gilt: 61 mod 9 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 29 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 25 = 4.

Somit gilt: 29 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 29 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1196 + 303) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1196 + 303) mod 6 ≡ (1196 mod 6 + 303 mod 6) mod 6.

1196 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1196 = 1200-4 = 6 ⋅ 200 -4 = 6 ⋅ 200 - 6 + 2.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(1196 + 303) mod 6 ≡ (2 + 3) mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 49) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 49) mod 11 ≡ (92 mod 11 ⋅ 49 mod 11) mod 11.

92 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 88 + 4 = 8 ⋅ 11 + 4 ist.

49 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 49 = 44 + 5 = 4 ⋅ 11 + 5 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 49) mod 11 ≡ (4 ⋅ 5) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
17 mod m = 25 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 17 aus, ob zufällig 17 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 17 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 17 mod 3 = 2 ≠ 1 = 25 mod 3

m=4: 17 mod 4 = 1 = 1 = 25 mod 4

m=5: 17 mod 5 = 2 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 17 mod 6 = 5 ≠ 1 = 25 mod 6

m=7: 17 mod 7 = 3 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 17 mod 8 = 1 = 1 = 25 mod 8

m=9: 17 mod 9 = 8 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 17 mod 10 = 7 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 17 mod 11 = 6 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 17 mod 12 = 5 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 17 mod 13 = 4 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 17 mod 14 = 3 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 17 mod 15 = 2 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 17 mod 16 = 1 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 17 mod 17 = 0 ≠ 8 = 25 mod 17

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 17) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8