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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 88 = 1.

Somit gilt: 89 mod 8 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 33 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 32 = 1.

Somit gilt: 33 mod 8 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 16 = 2 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 1 mod 8 sein, also addieren wir noch 1 auf die 16 und erhalten so 17.

Somit gilt: 17 ≡ 33 ≡ 1 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10005 - 46) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10005 - 46) mod 5 ≡ (10005 mod 5 - 46 mod 5) mod 5.

10005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10005 = 10000+5 = 5 ⋅ 2000 +5.

46 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40+6 = 5 ⋅ 8 +6.

Somit gilt:

(10005 - 46) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (100 ⋅ 37) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(100 ⋅ 37) mod 6 ≡ (100 mod 6 ⋅ 37 mod 6) mod 6.

100 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 16 ⋅ 6 + 4 ist.

37 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 36 + 1 = 6 ⋅ 6 + 1 ist.

Somit gilt:

(100 ⋅ 37) mod 6 ≡ (4 ⋅ 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
119 mod m = 149 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 119 aus, ob zufällig 119 mod m = 149 mod m gilt:

m=2: 119 mod 2 = 1 = 1 = 149 mod 2

m=3: 119 mod 3 = 2 = 2 = 149 mod 3

m=4: 119 mod 4 = 3 ≠ 1 = 149 mod 4

m=5: 119 mod 5 = 4 = 4 = 149 mod 5

m=6: 119 mod 6 = 5 = 5 = 149 mod 6

m=7: 119 mod 7 = 0 ≠ 2 = 149 mod 7

m=8: 119 mod 8 = 7 ≠ 5 = 149 mod 8

m=9: 119 mod 9 = 2 ≠ 5 = 149 mod 9

m=10: 119 mod 10 = 9 = 9 = 149 mod 10

m=11: 119 mod 11 = 9 ≠ 6 = 149 mod 11

m=12: 119 mod 12 = 11 ≠ 5 = 149 mod 12

m=13: 119 mod 13 = 2 ≠ 6 = 149 mod 13

m=14: 119 mod 14 = 7 ≠ 9 = 149 mod 14

m=15: 119 mod 15 = 14 = 14 = 149 mod 15

m=16: 119 mod 16 = 7 ≠ 5 = 149 mod 16

m=17: 119 mod 17 = 0 ≠ 13 = 149 mod 17

m=18: 119 mod 18 = 11 ≠ 5 = 149 mod 18

m=19: 119 mod 19 = 5 ≠ 16 = 149 mod 19

m=20: 119 mod 20 = 19 ≠ 9 = 149 mod 20

m=21: 119 mod 21 = 14 ≠ 2 = 149 mod 21

m=22: 119 mod 22 = 9 ≠ 17 = 149 mod 22

m=23: 119 mod 23 = 4 ≠ 11 = 149 mod 23

m=24: 119 mod 24 = 23 ≠ 5 = 149 mod 24

m=25: 119 mod 25 = 19 ≠ 24 = 149 mod 25

m=26: 119 mod 26 = 15 ≠ 19 = 149 mod 26

m=27: 119 mod 27 = 11 ≠ 14 = 149 mod 27

m=28: 119 mod 28 = 7 ≠ 9 = 149 mod 28

m=29: 119 mod 29 = 3 ≠ 4 = 149 mod 29

m=30: 119 mod 30 = 29 = 29 = 149 mod 30

m=31: 119 mod 31 = 26 ≠ 25 = 149 mod 31

m=32: 119 mod 32 = 23 ≠ 21 = 149 mod 32

m=33: 119 mod 33 = 20 ≠ 17 = 149 mod 33

m=34: 119 mod 34 = 17 ≠ 13 = 149 mod 34

m=35: 119 mod 35 = 14 ≠ 9 = 149 mod 35

m=36: 119 mod 36 = 11 ≠ 5 = 149 mod 36

m=37: 119 mod 37 = 8 ≠ 1 = 149 mod 37

m=38: 119 mod 38 = 5 ≠ 35 = 149 mod 38

m=39: 119 mod 39 = 2 ≠ 32 = 149 mod 39

m=40: 119 mod 40 = 39 ≠ 29 = 149 mod 40

m=41: 119 mod 41 = 37 ≠ 26 = 149 mod 41

m=42: 119 mod 42 = 35 ≠ 23 = 149 mod 42

m=43: 119 mod 43 = 33 ≠ 20 = 149 mod 43

m=44: 119 mod 44 = 31 ≠ 17 = 149 mod 44

m=45: 119 mod 45 = 29 ≠ 14 = 149 mod 45

m=46: 119 mod 46 = 27 ≠ 11 = 149 mod 46

m=47: 119 mod 47 = 25 ≠ 8 = 149 mod 47

m=48: 119 mod 48 = 23 ≠ 5 = 149 mod 48

m=49: 119 mod 49 = 21 ≠ 2 = 149 mod 49

m=50: 119 mod 50 = 19 ≠ 49 = 149 mod 50

m=51: 119 mod 51 = 17 ≠ 47 = 149 mod 51

m=52: 119 mod 52 = 15 ≠ 45 = 149 mod 52

m=53: 119 mod 53 = 13 ≠ 43 = 149 mod 53

m=54: 119 mod 54 = 11 ≠ 41 = 149 mod 54

m=55: 119 mod 55 = 9 ≠ 39 = 149 mod 55

m=56: 119 mod 56 = 7 ≠ 37 = 149 mod 56

m=57: 119 mod 57 = 5 ≠ 35 = 149 mod 57

m=58: 119 mod 58 = 3 ≠ 33 = 149 mod 58

m=59: 119 mod 59 = 1 ≠ 31 = 149 mod 59

m=60: 119 mod 60 = 59 ≠ 29 = 149 mod 60

m=61: 119 mod 61 = 58 ≠ 27 = 149 mod 61

m=62: 119 mod 62 = 57 ≠ 25 = 149 mod 62

m=63: 119 mod 63 = 56 ≠ 23 = 149 mod 63

m=64: 119 mod 64 = 55 ≠ 21 = 149 mod 64

m=65: 119 mod 65 = 54 ≠ 19 = 149 mod 65

m=66: 119 mod 66 = 53 ≠ 17 = 149 mod 66

m=67: 119 mod 67 = 52 ≠ 15 = 149 mod 67

m=68: 119 mod 68 = 51 ≠ 13 = 149 mod 68

m=69: 119 mod 69 = 50 ≠ 11 = 149 mod 69

m=70: 119 mod 70 = 49 ≠ 9 = 149 mod 70

m=71: 119 mod 71 = 48 ≠ 7 = 149 mod 71

m=72: 119 mod 72 = 47 ≠ 5 = 149 mod 72

m=73: 119 mod 73 = 46 ≠ 3 = 149 mod 73

m=74: 119 mod 74 = 45 ≠ 1 = 149 mod 74

m=75: 119 mod 75 = 44 ≠ 74 = 149 mod 75

m=76: 119 mod 76 = 43 ≠ 73 = 149 mod 76

m=77: 119 mod 77 = 42 ≠ 72 = 149 mod 77

m=78: 119 mod 78 = 41 ≠ 71 = 149 mod 78

m=79: 119 mod 79 = 40 ≠ 70 = 149 mod 79

m=80: 119 mod 80 = 39 ≠ 69 = 149 mod 80

m=81: 119 mod 81 = 38 ≠ 68 = 149 mod 81

m=82: 119 mod 82 = 37 ≠ 67 = 149 mod 82

m=83: 119 mod 83 = 36 ≠ 66 = 149 mod 83

m=84: 119 mod 84 = 35 ≠ 65 = 149 mod 84

m=85: 119 mod 85 = 34 ≠ 64 = 149 mod 85

m=86: 119 mod 86 = 33 ≠ 63 = 149 mod 86

m=87: 119 mod 87 = 32 ≠ 62 = 149 mod 87

m=88: 119 mod 88 = 31 ≠ 61 = 149 mod 88

m=89: 119 mod 89 = 30 ≠ 60 = 149 mod 89

m=90: 119 mod 90 = 29 ≠ 59 = 149 mod 90

m=91: 119 mod 91 = 28 ≠ 58 = 149 mod 91

m=92: 119 mod 92 = 27 ≠ 57 = 149 mod 92

m=93: 119 mod 93 = 26 ≠ 56 = 149 mod 93

m=94: 119 mod 94 = 25 ≠ 55 = 149 mod 94

m=95: 119 mod 95 = 24 ≠ 54 = 149 mod 95

m=96: 119 mod 96 = 23 ≠ 53 = 149 mod 96

m=97: 119 mod 97 = 22 ≠ 52 = 149 mod 97

m=98: 119 mod 98 = 21 ≠ 51 = 149 mod 98

m=99: 119 mod 99 = 20 ≠ 50 = 149 mod 99

m=100: 119 mod 100 = 19 ≠ 49 = 149 mod 100

m=101: 119 mod 101 = 18 ≠ 48 = 149 mod 101

m=102: 119 mod 102 = 17 ≠ 47 = 149 mod 102

m=103: 119 mod 103 = 16 ≠ 46 = 149 mod 103

m=104: 119 mod 104 = 15 ≠ 45 = 149 mod 104

m=105: 119 mod 105 = 14 ≠ 44 = 149 mod 105

m=106: 119 mod 106 = 13 ≠ 43 = 149 mod 106

m=107: 119 mod 107 = 12 ≠ 42 = 149 mod 107

m=108: 119 mod 108 = 11 ≠ 41 = 149 mod 108

m=109: 119 mod 109 = 10 ≠ 40 = 149 mod 109

m=110: 119 mod 110 = 9 ≠ 39 = 149 mod 110

m=111: 119 mod 111 = 8 ≠ 38 = 149 mod 111

m=112: 119 mod 112 = 7 ≠ 37 = 149 mod 112

m=113: 119 mod 113 = 6 ≠ 36 = 149 mod 113

m=114: 119 mod 114 = 5 ≠ 35 = 149 mod 114

m=115: 119 mod 115 = 4 ≠ 34 = 149 mod 115

m=116: 119 mod 116 = 3 ≠ 33 = 149 mod 116

m=117: 119 mod 117 = 2 ≠ 32 = 149 mod 117

m=118: 119 mod 118 = 1 ≠ 31 = 149 mod 118

m=119: 119 mod 119 = 0 ≠ 30 = 149 mod 119

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (149 - 119) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30