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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 10 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 80 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.

Somit gilt: 80 mod 6 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 2 mod 6 sein, also addieren wir noch 2 auf die 30 und erhalten so 32.

Somit gilt: 32 ≡ 80 ≡ 2 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (7998 + 401) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(7998 + 401) mod 4 ≡ (7998 mod 4 + 401 mod 4) mod 4.

7998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7998 = 7000+998 = 4 ⋅ 1750 +998.

401 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 4 ⋅ 100 +1.

Somit gilt:

(7998 + 401) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 29) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 29) mod 8 ≡ (36 mod 8 ⋅ 29 mod 8) mod 8.

36 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 32 + 4 = 4 ⋅ 8 + 4 ist.

29 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 24 + 5 = 3 ⋅ 8 + 5 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 29) mod 8 ≡ (4 ⋅ 5) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
179 mod m = 224 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 179 aus, ob zufällig 179 mod m = 224 mod m gilt:

m=2: 179 mod 2 = 1 ≠ 0 = 224 mod 2

m=3: 179 mod 3 = 2 = 2 = 224 mod 3

m=4: 179 mod 4 = 3 ≠ 0 = 224 mod 4

m=5: 179 mod 5 = 4 = 4 = 224 mod 5

m=6: 179 mod 6 = 5 ≠ 2 = 224 mod 6

m=7: 179 mod 7 = 4 ≠ 0 = 224 mod 7

m=8: 179 mod 8 = 3 ≠ 0 = 224 mod 8

m=9: 179 mod 9 = 8 = 8 = 224 mod 9

m=10: 179 mod 10 = 9 ≠ 4 = 224 mod 10

m=11: 179 mod 11 = 3 ≠ 4 = 224 mod 11

m=12: 179 mod 12 = 11 ≠ 8 = 224 mod 12

m=13: 179 mod 13 = 10 ≠ 3 = 224 mod 13

m=14: 179 mod 14 = 11 ≠ 0 = 224 mod 14

m=15: 179 mod 15 = 14 = 14 = 224 mod 15

m=16: 179 mod 16 = 3 ≠ 0 = 224 mod 16

m=17: 179 mod 17 = 9 ≠ 3 = 224 mod 17

m=18: 179 mod 18 = 17 ≠ 8 = 224 mod 18

m=19: 179 mod 19 = 8 ≠ 15 = 224 mod 19

m=20: 179 mod 20 = 19 ≠ 4 = 224 mod 20

m=21: 179 mod 21 = 11 ≠ 14 = 224 mod 21

m=22: 179 mod 22 = 3 ≠ 4 = 224 mod 22

m=23: 179 mod 23 = 18 ≠ 17 = 224 mod 23

m=24: 179 mod 24 = 11 ≠ 8 = 224 mod 24

m=25: 179 mod 25 = 4 ≠ 24 = 224 mod 25

m=26: 179 mod 26 = 23 ≠ 16 = 224 mod 26

m=27: 179 mod 27 = 17 ≠ 8 = 224 mod 27

m=28: 179 mod 28 = 11 ≠ 0 = 224 mod 28

m=29: 179 mod 29 = 5 ≠ 21 = 224 mod 29

m=30: 179 mod 30 = 29 ≠ 14 = 224 mod 30

m=31: 179 mod 31 = 24 ≠ 7 = 224 mod 31

m=32: 179 mod 32 = 19 ≠ 0 = 224 mod 32

m=33: 179 mod 33 = 14 ≠ 26 = 224 mod 33

m=34: 179 mod 34 = 9 ≠ 20 = 224 mod 34

m=35: 179 mod 35 = 4 ≠ 14 = 224 mod 35

m=36: 179 mod 36 = 35 ≠ 8 = 224 mod 36

m=37: 179 mod 37 = 31 ≠ 2 = 224 mod 37

m=38: 179 mod 38 = 27 ≠ 34 = 224 mod 38

m=39: 179 mod 39 = 23 ≠ 29 = 224 mod 39

m=40: 179 mod 40 = 19 ≠ 24 = 224 mod 40

m=41: 179 mod 41 = 15 ≠ 19 = 224 mod 41

m=42: 179 mod 42 = 11 ≠ 14 = 224 mod 42

m=43: 179 mod 43 = 7 ≠ 9 = 224 mod 43

m=44: 179 mod 44 = 3 ≠ 4 = 224 mod 44

m=45: 179 mod 45 = 44 = 44 = 224 mod 45

m=46: 179 mod 46 = 41 ≠ 40 = 224 mod 46

m=47: 179 mod 47 = 38 ≠ 36 = 224 mod 47

m=48: 179 mod 48 = 35 ≠ 32 = 224 mod 48

m=49: 179 mod 49 = 32 ≠ 28 = 224 mod 49

m=50: 179 mod 50 = 29 ≠ 24 = 224 mod 50

m=51: 179 mod 51 = 26 ≠ 20 = 224 mod 51

m=52: 179 mod 52 = 23 ≠ 16 = 224 mod 52

m=53: 179 mod 53 = 20 ≠ 12 = 224 mod 53

m=54: 179 mod 54 = 17 ≠ 8 = 224 mod 54

m=55: 179 mod 55 = 14 ≠ 4 = 224 mod 55

m=56: 179 mod 56 = 11 ≠ 0 = 224 mod 56

m=57: 179 mod 57 = 8 ≠ 53 = 224 mod 57

m=58: 179 mod 58 = 5 ≠ 50 = 224 mod 58

m=59: 179 mod 59 = 2 ≠ 47 = 224 mod 59

m=60: 179 mod 60 = 59 ≠ 44 = 224 mod 60

m=61: 179 mod 61 = 57 ≠ 41 = 224 mod 61

m=62: 179 mod 62 = 55 ≠ 38 = 224 mod 62

m=63: 179 mod 63 = 53 ≠ 35 = 224 mod 63

m=64: 179 mod 64 = 51 ≠ 32 = 224 mod 64

m=65: 179 mod 65 = 49 ≠ 29 = 224 mod 65

m=66: 179 mod 66 = 47 ≠ 26 = 224 mod 66

m=67: 179 mod 67 = 45 ≠ 23 = 224 mod 67

m=68: 179 mod 68 = 43 ≠ 20 = 224 mod 68

m=69: 179 mod 69 = 41 ≠ 17 = 224 mod 69

m=70: 179 mod 70 = 39 ≠ 14 = 224 mod 70

m=71: 179 mod 71 = 37 ≠ 11 = 224 mod 71

m=72: 179 mod 72 = 35 ≠ 8 = 224 mod 72

m=73: 179 mod 73 = 33 ≠ 5 = 224 mod 73

m=74: 179 mod 74 = 31 ≠ 2 = 224 mod 74

m=75: 179 mod 75 = 29 ≠ 74 = 224 mod 75

m=76: 179 mod 76 = 27 ≠ 72 = 224 mod 76

m=77: 179 mod 77 = 25 ≠ 70 = 224 mod 77

m=78: 179 mod 78 = 23 ≠ 68 = 224 mod 78

m=79: 179 mod 79 = 21 ≠ 66 = 224 mod 79

m=80: 179 mod 80 = 19 ≠ 64 = 224 mod 80

m=81: 179 mod 81 = 17 ≠ 62 = 224 mod 81

m=82: 179 mod 82 = 15 ≠ 60 = 224 mod 82

m=83: 179 mod 83 = 13 ≠ 58 = 224 mod 83

m=84: 179 mod 84 = 11 ≠ 56 = 224 mod 84

m=85: 179 mod 85 = 9 ≠ 54 = 224 mod 85

m=86: 179 mod 86 = 7 ≠ 52 = 224 mod 86

m=87: 179 mod 87 = 5 ≠ 50 = 224 mod 87

m=88: 179 mod 88 = 3 ≠ 48 = 224 mod 88

m=89: 179 mod 89 = 1 ≠ 46 = 224 mod 89

m=90: 179 mod 90 = 89 ≠ 44 = 224 mod 90

m=91: 179 mod 91 = 88 ≠ 42 = 224 mod 91

m=92: 179 mod 92 = 87 ≠ 40 = 224 mod 92

m=93: 179 mod 93 = 86 ≠ 38 = 224 mod 93

m=94: 179 mod 94 = 85 ≠ 36 = 224 mod 94

m=95: 179 mod 95 = 84 ≠ 34 = 224 mod 95

m=96: 179 mod 96 = 83 ≠ 32 = 224 mod 96

m=97: 179 mod 97 = 82 ≠ 30 = 224 mod 97

m=98: 179 mod 98 = 81 ≠ 28 = 224 mod 98

m=99: 179 mod 99 = 80 ≠ 26 = 224 mod 99

m=100: 179 mod 100 = 79 ≠ 24 = 224 mod 100

m=101: 179 mod 101 = 78 ≠ 22 = 224 mod 101

m=102: 179 mod 102 = 77 ≠ 20 = 224 mod 102

m=103: 179 mod 103 = 76 ≠ 18 = 224 mod 103

m=104: 179 mod 104 = 75 ≠ 16 = 224 mod 104

m=105: 179 mod 105 = 74 ≠ 14 = 224 mod 105

m=106: 179 mod 106 = 73 ≠ 12 = 224 mod 106

m=107: 179 mod 107 = 72 ≠ 10 = 224 mod 107

m=108: 179 mod 108 = 71 ≠ 8 = 224 mod 108

m=109: 179 mod 109 = 70 ≠ 6 = 224 mod 109

m=110: 179 mod 110 = 69 ≠ 4 = 224 mod 110

m=111: 179 mod 111 = 68 ≠ 2 = 224 mod 111

m=112: 179 mod 112 = 67 ≠ 0 = 224 mod 112

m=113: 179 mod 113 = 66 ≠ 111 = 224 mod 113

m=114: 179 mod 114 = 65 ≠ 110 = 224 mod 114

m=115: 179 mod 115 = 64 ≠ 109 = 224 mod 115

m=116: 179 mod 116 = 63 ≠ 108 = 224 mod 116

m=117: 179 mod 117 = 62 ≠ 107 = 224 mod 117

m=118: 179 mod 118 = 61 ≠ 106 = 224 mod 118

m=119: 179 mod 119 = 60 ≠ 105 = 224 mod 119

m=120: 179 mod 120 = 59 ≠ 104 = 224 mod 120

m=121: 179 mod 121 = 58 ≠ 103 = 224 mod 121

m=122: 179 mod 122 = 57 ≠ 102 = 224 mod 122

m=123: 179 mod 123 = 56 ≠ 101 = 224 mod 123

m=124: 179 mod 124 = 55 ≠ 100 = 224 mod 124

m=125: 179 mod 125 = 54 ≠ 99 = 224 mod 125

m=126: 179 mod 126 = 53 ≠ 98 = 224 mod 126

m=127: 179 mod 127 = 52 ≠ 97 = 224 mod 127

m=128: 179 mod 128 = 51 ≠ 96 = 224 mod 128

m=129: 179 mod 129 = 50 ≠ 95 = 224 mod 129

m=130: 179 mod 130 = 49 ≠ 94 = 224 mod 130

m=131: 179 mod 131 = 48 ≠ 93 = 224 mod 131

m=132: 179 mod 132 = 47 ≠ 92 = 224 mod 132

m=133: 179 mod 133 = 46 ≠ 91 = 224 mod 133

m=134: 179 mod 134 = 45 ≠ 90 = 224 mod 134

m=135: 179 mod 135 = 44 ≠ 89 = 224 mod 135

m=136: 179 mod 136 = 43 ≠ 88 = 224 mod 136

m=137: 179 mod 137 = 42 ≠ 87 = 224 mod 137

m=138: 179 mod 138 = 41 ≠ 86 = 224 mod 138

m=139: 179 mod 139 = 40 ≠ 85 = 224 mod 139

m=140: 179 mod 140 = 39 ≠ 84 = 224 mod 140

m=141: 179 mod 141 = 38 ≠ 83 = 224 mod 141

m=142: 179 mod 142 = 37 ≠ 82 = 224 mod 142

m=143: 179 mod 143 = 36 ≠ 81 = 224 mod 143

m=144: 179 mod 144 = 35 ≠ 80 = 224 mod 144

m=145: 179 mod 145 = 34 ≠ 79 = 224 mod 145

m=146: 179 mod 146 = 33 ≠ 78 = 224 mod 146

m=147: 179 mod 147 = 32 ≠ 77 = 224 mod 147

m=148: 179 mod 148 = 31 ≠ 76 = 224 mod 148

m=149: 179 mod 149 = 30 ≠ 75 = 224 mod 149

m=150: 179 mod 150 = 29 ≠ 74 = 224 mod 150

m=151: 179 mod 151 = 28 ≠ 73 = 224 mod 151

m=152: 179 mod 152 = 27 ≠ 72 = 224 mod 152

m=153: 179 mod 153 = 26 ≠ 71 = 224 mod 153

m=154: 179 mod 154 = 25 ≠ 70 = 224 mod 154

m=155: 179 mod 155 = 24 ≠ 69 = 224 mod 155

m=156: 179 mod 156 = 23 ≠ 68 = 224 mod 156

m=157: 179 mod 157 = 22 ≠ 67 = 224 mod 157

m=158: 179 mod 158 = 21 ≠ 66 = 224 mod 158

m=159: 179 mod 159 = 20 ≠ 65 = 224 mod 159

m=160: 179 mod 160 = 19 ≠ 64 = 224 mod 160

m=161: 179 mod 161 = 18 ≠ 63 = 224 mod 161

m=162: 179 mod 162 = 17 ≠ 62 = 224 mod 162

m=163: 179 mod 163 = 16 ≠ 61 = 224 mod 163

m=164: 179 mod 164 = 15 ≠ 60 = 224 mod 164

m=165: 179 mod 165 = 14 ≠ 59 = 224 mod 165

m=166: 179 mod 166 = 13 ≠ 58 = 224 mod 166

m=167: 179 mod 167 = 12 ≠ 57 = 224 mod 167

m=168: 179 mod 168 = 11 ≠ 56 = 224 mod 168

m=169: 179 mod 169 = 10 ≠ 55 = 224 mod 169

m=170: 179 mod 170 = 9 ≠ 54 = 224 mod 170

m=171: 179 mod 171 = 8 ≠ 53 = 224 mod 171

m=172: 179 mod 172 = 7 ≠ 52 = 224 mod 172

m=173: 179 mod 173 = 6 ≠ 51 = 224 mod 173

m=174: 179 mod 174 = 5 ≠ 50 = 224 mod 174

m=175: 179 mod 175 = 4 ≠ 49 = 224 mod 175

m=176: 179 mod 176 = 3 ≠ 48 = 224 mod 176

m=177: 179 mod 177 = 2 ≠ 47 = 224 mod 177

m=178: 179 mod 178 = 1 ≠ 46 = 224 mod 178

m=179: 179 mod 179 = 0 ≠ 45 = 224 mod 179

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (224 - 179) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45