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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 71 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 69, weil ja 23 ⋅ 3 = 69 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 71 - 69 = 2.

Somit gilt: 71 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 66 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 66 = 0.

Somit gilt: 66 mod 3 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 10 ⋅ 3

Somit gilt: 30 ≡ 66 ≡ 0 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (98 + 25000) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(98 + 25000) mod 5 ≡ (98 mod 5 + 25000 mod 5) mod 5.

98 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90+8 = 5 ⋅ 18 +8.

25000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 25000 = 25000+0 = 5 ⋅ 5000 +0.

Somit gilt:

(98 + 25000) mod 5 ≡ (3 + 0) mod 5 ≡ 3 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 66) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(92 ⋅ 66) mod 5 ≡ (92 mod 5 ⋅ 66 mod 5) mod 5.

92 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 18 ⋅ 5 + 2 ist.

66 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 65 + 1 = 13 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(92 ⋅ 66) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4