nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 53 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 50 = 3.

Somit gilt: 53 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 80 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 78 = 2.

Somit gilt: 80 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 80 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31997 - 1594) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31997 - 1594) mod 8 ≡ (31997 mod 8 - 1594 mod 8) mod 8.

31997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31997 = 31000+997 = 8 ⋅ 3875 +997.

1594 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1594 = 1600-6 = 8 ⋅ 200 -6 = 8 ⋅ 200 - 8 + 2.

Somit gilt:

(31997 - 1594) mod 8 ≡ (5 - 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (33 ⋅ 35) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(33 ⋅ 35) mod 10 ≡ (33 mod 10 ⋅ 35 mod 10) mod 10.

33 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30 + 3 = 3 ⋅ 10 + 3 ist.

35 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 3 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(33 ⋅ 35) mod 10 ≡ (3 ⋅ 5) mod 10 ≡ 15 mod 10 ≡ 5 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
136 mod m = 181 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 136 aus, ob zufällig 136 mod m = 181 mod m gilt:

m=2: 136 mod 2 = 0 ≠ 1 = 181 mod 2

m=3: 136 mod 3 = 1 = 1 = 181 mod 3

m=4: 136 mod 4 = 0 ≠ 1 = 181 mod 4

m=5: 136 mod 5 = 1 = 1 = 181 mod 5

m=6: 136 mod 6 = 4 ≠ 1 = 181 mod 6

m=7: 136 mod 7 = 3 ≠ 6 = 181 mod 7

m=8: 136 mod 8 = 0 ≠ 5 = 181 mod 8

m=9: 136 mod 9 = 1 = 1 = 181 mod 9

m=10: 136 mod 10 = 6 ≠ 1 = 181 mod 10

m=11: 136 mod 11 = 4 ≠ 5 = 181 mod 11

m=12: 136 mod 12 = 4 ≠ 1 = 181 mod 12

m=13: 136 mod 13 = 6 ≠ 12 = 181 mod 13

m=14: 136 mod 14 = 10 ≠ 13 = 181 mod 14

m=15: 136 mod 15 = 1 = 1 = 181 mod 15

m=16: 136 mod 16 = 8 ≠ 5 = 181 mod 16

m=17: 136 mod 17 = 0 ≠ 11 = 181 mod 17

m=18: 136 mod 18 = 10 ≠ 1 = 181 mod 18

m=19: 136 mod 19 = 3 ≠ 10 = 181 mod 19

m=20: 136 mod 20 = 16 ≠ 1 = 181 mod 20

m=21: 136 mod 21 = 10 ≠ 13 = 181 mod 21

m=22: 136 mod 22 = 4 ≠ 5 = 181 mod 22

m=23: 136 mod 23 = 21 ≠ 20 = 181 mod 23

m=24: 136 mod 24 = 16 ≠ 13 = 181 mod 24

m=25: 136 mod 25 = 11 ≠ 6 = 181 mod 25

m=26: 136 mod 26 = 6 ≠ 25 = 181 mod 26

m=27: 136 mod 27 = 1 ≠ 19 = 181 mod 27

m=28: 136 mod 28 = 24 ≠ 13 = 181 mod 28

m=29: 136 mod 29 = 20 ≠ 7 = 181 mod 29

m=30: 136 mod 30 = 16 ≠ 1 = 181 mod 30

m=31: 136 mod 31 = 12 ≠ 26 = 181 mod 31

m=32: 136 mod 32 = 8 ≠ 21 = 181 mod 32

m=33: 136 mod 33 = 4 ≠ 16 = 181 mod 33

m=34: 136 mod 34 = 0 ≠ 11 = 181 mod 34

m=35: 136 mod 35 = 31 ≠ 6 = 181 mod 35

m=36: 136 mod 36 = 28 ≠ 1 = 181 mod 36

m=37: 136 mod 37 = 25 ≠ 33 = 181 mod 37

m=38: 136 mod 38 = 22 ≠ 29 = 181 mod 38

m=39: 136 mod 39 = 19 ≠ 25 = 181 mod 39

m=40: 136 mod 40 = 16 ≠ 21 = 181 mod 40

m=41: 136 mod 41 = 13 ≠ 17 = 181 mod 41

m=42: 136 mod 42 = 10 ≠ 13 = 181 mod 42

m=43: 136 mod 43 = 7 ≠ 9 = 181 mod 43

m=44: 136 mod 44 = 4 ≠ 5 = 181 mod 44

m=45: 136 mod 45 = 1 = 1 = 181 mod 45

m=46: 136 mod 46 = 44 ≠ 43 = 181 mod 46

m=47: 136 mod 47 = 42 ≠ 40 = 181 mod 47

m=48: 136 mod 48 = 40 ≠ 37 = 181 mod 48

m=49: 136 mod 49 = 38 ≠ 34 = 181 mod 49

m=50: 136 mod 50 = 36 ≠ 31 = 181 mod 50

m=51: 136 mod 51 = 34 ≠ 28 = 181 mod 51

m=52: 136 mod 52 = 32 ≠ 25 = 181 mod 52

m=53: 136 mod 53 = 30 ≠ 22 = 181 mod 53

m=54: 136 mod 54 = 28 ≠ 19 = 181 mod 54

m=55: 136 mod 55 = 26 ≠ 16 = 181 mod 55

m=56: 136 mod 56 = 24 ≠ 13 = 181 mod 56

m=57: 136 mod 57 = 22 ≠ 10 = 181 mod 57

m=58: 136 mod 58 = 20 ≠ 7 = 181 mod 58

m=59: 136 mod 59 = 18 ≠ 4 = 181 mod 59

m=60: 136 mod 60 = 16 ≠ 1 = 181 mod 60

m=61: 136 mod 61 = 14 ≠ 59 = 181 mod 61

m=62: 136 mod 62 = 12 ≠ 57 = 181 mod 62

m=63: 136 mod 63 = 10 ≠ 55 = 181 mod 63

m=64: 136 mod 64 = 8 ≠ 53 = 181 mod 64

m=65: 136 mod 65 = 6 ≠ 51 = 181 mod 65

m=66: 136 mod 66 = 4 ≠ 49 = 181 mod 66

m=67: 136 mod 67 = 2 ≠ 47 = 181 mod 67

m=68: 136 mod 68 = 0 ≠ 45 = 181 mod 68

m=69: 136 mod 69 = 67 ≠ 43 = 181 mod 69

m=70: 136 mod 70 = 66 ≠ 41 = 181 mod 70

m=71: 136 mod 71 = 65 ≠ 39 = 181 mod 71

m=72: 136 mod 72 = 64 ≠ 37 = 181 mod 72

m=73: 136 mod 73 = 63 ≠ 35 = 181 mod 73

m=74: 136 mod 74 = 62 ≠ 33 = 181 mod 74

m=75: 136 mod 75 = 61 ≠ 31 = 181 mod 75

m=76: 136 mod 76 = 60 ≠ 29 = 181 mod 76

m=77: 136 mod 77 = 59 ≠ 27 = 181 mod 77

m=78: 136 mod 78 = 58 ≠ 25 = 181 mod 78

m=79: 136 mod 79 = 57 ≠ 23 = 181 mod 79

m=80: 136 mod 80 = 56 ≠ 21 = 181 mod 80

m=81: 136 mod 81 = 55 ≠ 19 = 181 mod 81

m=82: 136 mod 82 = 54 ≠ 17 = 181 mod 82

m=83: 136 mod 83 = 53 ≠ 15 = 181 mod 83

m=84: 136 mod 84 = 52 ≠ 13 = 181 mod 84

m=85: 136 mod 85 = 51 ≠ 11 = 181 mod 85

m=86: 136 mod 86 = 50 ≠ 9 = 181 mod 86

m=87: 136 mod 87 = 49 ≠ 7 = 181 mod 87

m=88: 136 mod 88 = 48 ≠ 5 = 181 mod 88

m=89: 136 mod 89 = 47 ≠ 3 = 181 mod 89

m=90: 136 mod 90 = 46 ≠ 1 = 181 mod 90

m=91: 136 mod 91 = 45 ≠ 90 = 181 mod 91

m=92: 136 mod 92 = 44 ≠ 89 = 181 mod 92

m=93: 136 mod 93 = 43 ≠ 88 = 181 mod 93

m=94: 136 mod 94 = 42 ≠ 87 = 181 mod 94

m=95: 136 mod 95 = 41 ≠ 86 = 181 mod 95

m=96: 136 mod 96 = 40 ≠ 85 = 181 mod 96

m=97: 136 mod 97 = 39 ≠ 84 = 181 mod 97

m=98: 136 mod 98 = 38 ≠ 83 = 181 mod 98

m=99: 136 mod 99 = 37 ≠ 82 = 181 mod 99

m=100: 136 mod 100 = 36 ≠ 81 = 181 mod 100

m=101: 136 mod 101 = 35 ≠ 80 = 181 mod 101

m=102: 136 mod 102 = 34 ≠ 79 = 181 mod 102

m=103: 136 mod 103 = 33 ≠ 78 = 181 mod 103

m=104: 136 mod 104 = 32 ≠ 77 = 181 mod 104

m=105: 136 mod 105 = 31 ≠ 76 = 181 mod 105

m=106: 136 mod 106 = 30 ≠ 75 = 181 mod 106

m=107: 136 mod 107 = 29 ≠ 74 = 181 mod 107

m=108: 136 mod 108 = 28 ≠ 73 = 181 mod 108

m=109: 136 mod 109 = 27 ≠ 72 = 181 mod 109

m=110: 136 mod 110 = 26 ≠ 71 = 181 mod 110

m=111: 136 mod 111 = 25 ≠ 70 = 181 mod 111

m=112: 136 mod 112 = 24 ≠ 69 = 181 mod 112

m=113: 136 mod 113 = 23 ≠ 68 = 181 mod 113

m=114: 136 mod 114 = 22 ≠ 67 = 181 mod 114

m=115: 136 mod 115 = 21 ≠ 66 = 181 mod 115

m=116: 136 mod 116 = 20 ≠ 65 = 181 mod 116

m=117: 136 mod 117 = 19 ≠ 64 = 181 mod 117

m=118: 136 mod 118 = 18 ≠ 63 = 181 mod 118

m=119: 136 mod 119 = 17 ≠ 62 = 181 mod 119

m=120: 136 mod 120 = 16 ≠ 61 = 181 mod 120

m=121: 136 mod 121 = 15 ≠ 60 = 181 mod 121

m=122: 136 mod 122 = 14 ≠ 59 = 181 mod 122

m=123: 136 mod 123 = 13 ≠ 58 = 181 mod 123

m=124: 136 mod 124 = 12 ≠ 57 = 181 mod 124

m=125: 136 mod 125 = 11 ≠ 56 = 181 mod 125

m=126: 136 mod 126 = 10 ≠ 55 = 181 mod 126

m=127: 136 mod 127 = 9 ≠ 54 = 181 mod 127

m=128: 136 mod 128 = 8 ≠ 53 = 181 mod 128

m=129: 136 mod 129 = 7 ≠ 52 = 181 mod 129

m=130: 136 mod 130 = 6 ≠ 51 = 181 mod 130

m=131: 136 mod 131 = 5 ≠ 50 = 181 mod 131

m=132: 136 mod 132 = 4 ≠ 49 = 181 mod 132

m=133: 136 mod 133 = 3 ≠ 48 = 181 mod 133

m=134: 136 mod 134 = 2 ≠ 47 = 181 mod 134

m=135: 136 mod 135 = 1 ≠ 46 = 181 mod 135

m=136: 136 mod 136 = 0 ≠ 45 = 181 mod 136

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (181 - 136) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45