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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 35, weil ja 7 ⋅ 5 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 43 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 42, weil ja 6 ⋅ 7 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.

Somit gilt: 43 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 10, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 14 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 43 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8991 + 27008) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8991 + 27008) mod 9 ≡ (8991 mod 9 + 27008 mod 9) mod 9.

8991 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8991 = 9000-9 = 9 ⋅ 1000 -9 = 9 ⋅ 1000 - 9 + 0.

27008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27008 = 27000+8 = 9 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(8991 + 27008) mod 9 ≡ (0 + 8) mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 56) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 56) mod 5 ≡ (99 mod 5 ⋅ 56 mod 5) mod 5.

99 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 95 + 4 = 19 ⋅ 5 + 4 ist.

56 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 55 + 1 = 11 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 56) mod 5 ≡ (4 ⋅ 1) mod 5 ≡ 4 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 35 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9