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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 83 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 80 = 3.

Somit gilt: 83 mod 4 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 95 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 93 = 2.

Somit gilt: 95 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 70, z.B. 69 = 23 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 69 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 95 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (401 - 3200) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(401 - 3200) mod 8 ≡ (401 mod 8 - 3200 mod 8) mod 8.

401 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 401 = 400+1 = 8 ⋅ 50 +1.

3200 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3200 = 3200+0 = 8 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(401 - 3200) mod 8 ≡ (1 - 0) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 83) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 83) mod 3 ≡ (47 mod 3 ⋅ 83 mod 3) mod 3.

47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.

83 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 83 = 81 + 2 = 27 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 83) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 46 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 46 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 ≠ 0 = 46 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 46 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 ≠ 2 = 46 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 = 1 = 46 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 ≠ 4 = 46 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 4 = 46 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 6 = 46 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 1 = 46 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 6 = 46 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 2 = 46 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 ≠ 10 = 46 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 7 = 46 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 4 = 46 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 = 1 = 46 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 14 = 46 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 12 = 46 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 10 = 46 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 8 = 46 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 6 = 46 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 4 = 46 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 2 = 46 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 0 = 46 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 22 = 46 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 21 = 46 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 20 = 46 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 19 = 46 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 18 = 46 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 17 = 46 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 16 = 46 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 15 = 46 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (46 - 31) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15