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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 80, weil ja 16 ⋅ 5 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 80 = 1.

Somit gilt: 81 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 97 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 91 = 6.

Somit gilt: 97 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 14 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 97 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44997 - 363) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44997 - 363) mod 9 ≡ (44997 mod 9 - 363 mod 9) mod 9.

44997 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44997 = 45000-3 = 9 ⋅ 5000 -3 = 9 ⋅ 5000 - 9 + 6.

363 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 363 = 360+3 = 9 ⋅ 40 +3.

Somit gilt:

(44997 - 363) mod 9 ≡ (6 - 3) mod 9 ≡ 3 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 44) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 44) mod 7 ≡ (30 mod 7 ⋅ 44 mod 7) mod 7.

30 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 28 + 2 = 4 ⋅ 7 + 2 ist.

44 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 6 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 44) mod 7 ≡ (2 ⋅ 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6