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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 27 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.

Somit gilt: 83 ≡ 27 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (168 + 1592) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(168 + 1592) mod 8 ≡ (168 mod 8 + 1592 mod 8) mod 8.

168 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 168 = 160+8 = 8 ⋅ 20 +8.

1592 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1592 = 1600-8 = 8 ⋅ 200 -8 = 8 ⋅ 200 - 8 + 0.

Somit gilt:

(168 + 1592) mod 8 ≡ (0 + 0) mod 8 ≡ 0 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 73) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 73) mod 8 ≡ (55 mod 8 ⋅ 73 mod 8) mod 8.

55 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 48 + 7 = 6 ⋅ 8 + 7 ist.

73 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 9 ⋅ 8 + 1 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 73) mod 8 ≡ (7 ⋅ 1) mod 8 ≡ 7 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 = 0 = 30 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 = 0 = 30 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 10 = 30 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 20) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10