nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 19 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 10, weil ja 1 ⋅ 10 = 10 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 19 - 10 = 9.

Somit gilt: 19 mod 10 ≡ 9.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 92 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 90, weil ja 10 ⋅ 9 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 54 und erhalten so 56.

Somit gilt: 56 ≡ 92 ≡ 2 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (900 + 63) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(900 + 63) mod 3 ≡ (900 mod 3 + 63 mod 3) mod 3.

900 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 3 ⋅ 300 +0.

63 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 60+3 = 3 ⋅ 20 +3.

Somit gilt:

(900 + 63) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 61) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 61) mod 5 ≡ (32 mod 5 ⋅ 61 mod 5) mod 5.

32 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30 + 2 = 6 ⋅ 5 + 2 ist.

61 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 60 + 1 = 12 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 61) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 34 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 34 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 1 = 34 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 = 4 = 34 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 7 = 34 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 = 4 = 34 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 10 = 34 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 24) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10