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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 72 = 6.

Somit gilt: 78 mod 8 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 64 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 64 - 63 = 1.

Somit gilt: 64 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 91 und erhalten so 92.

Somit gilt: 92 ≡ 64 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (114 - 303) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(114 - 303) mod 6 ≡ (114 mod 6 - 303 mod 6) mod 6.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

303 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 303 = 300+3 = 6 ⋅ 50 +3.

Somit gilt:

(114 - 303) mod 6 ≡ (0 - 3) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 77) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 77) mod 3 ≡ (20 mod 3 ⋅ 77 mod 3) mod 3.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 77) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 38 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 38 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 = 2 = 38 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 3 = 38 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 = 2 = 38 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 8 = 38 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 = 2 = 38 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 12 = 38 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 26) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12