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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 27 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 20, weil ja 2 ⋅ 10 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 20 = 7.

Somit gilt: 27 mod 10 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 56 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.

Somit gilt: 56 mod 3 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 40, z.B. 39 = 13 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 39 und erhalten so 41.

Somit gilt: 41 ≡ 56 ≡ 2 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12001 - 12002) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12001 - 12002) mod 3 ≡ (12001 mod 3 - 12002 mod 3) mod 3.

12001 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12001 = 12000+1 = 3 ⋅ 4000 +1.

12002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12002 = 12000+2 = 3 ⋅ 4000 +2.

Somit gilt:

(12001 - 12002) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 ⋅ 73) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 ⋅ 73) mod 3 ≡ (95 mod 3 ⋅ 73 mod 3) mod 3.

95 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 93 + 2 = 31 ⋅ 3 + 2 ist.

73 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 72 + 1 = 24 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(95 ⋅ 73) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 = 5 = 37 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 9 = 37 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 8 = 37 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 29) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8