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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 15 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 15, weil ja 3 ⋅ 5 = 15 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 15 - 15 = 0.

Somit gilt: 15 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 50 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 48 = 2.

Somit gilt: 50 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 4 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 32 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 50 ≡ 2 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9003 + 11999) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9003 + 11999) mod 3 ≡ (9003 mod 3 + 11999 mod 3) mod 3.

9003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9003 = 9000+3 = 3 ⋅ 3000 +3.

11999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 11999 = 12000-1 = 3 ⋅ 4000 -1 = 3 ⋅ 4000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(9003 + 11999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (78 ⋅ 58) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(78 ⋅ 58) mod 4 ≡ (78 mod 4 ⋅ 58 mod 4) mod 4.

78 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78 = 76 + 2 = 19 ⋅ 4 + 2 ist.

58 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 14 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(78 ⋅ 58) mod 4 ≡ (2 ⋅ 2) mod 4 ≡ 4 mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
43 mod m = 63 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 63 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 63 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 ≠ 0 = 63 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 = 3 = 63 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 = 3 = 63 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 ≠ 3 = 63 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 0 = 63 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 7 = 63 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 0 = 63 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 = 3 = 63 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 8 = 63 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 3 = 63 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 11 = 63 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 7 = 63 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 3 = 63 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 15 = 63 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 12 = 63 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 9 = 63 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 6 = 63 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 = 3 = 63 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 0 = 63 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 19 = 63 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 17 = 63 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 15 = 63 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 13 = 63 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 11 = 63 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 9 = 63 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 7 = 63 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 5 = 63 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 3 = 63 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 1 = 63 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 31 = 63 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 30 = 63 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 29 = 63 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 28 = 63 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 27 = 63 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 26 = 63 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 25 = 63 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 24 = 63 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 23 = 63 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 22 = 63 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 21 = 63 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 20 = 63 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (63 - 43) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20