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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 95 = 2.

Somit gilt: 97 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 31 für die gilt n ≡ 95 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 31 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 20, z.B. 22 = 2 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 22 und erhalten so 29.

Somit gilt: 29 ≡ 95 ≡ 7 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (9999 - 2000) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(9999 - 2000) mod 5 ≡ (9999 mod 5 - 2000 mod 5) mod 5.

9999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9999 = 9000+999 = 5 ⋅ 1800 +999.

2000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2000 = 2000+0 = 5 ⋅ 400 +0.

Somit gilt:

(9999 - 2000) mod 5 ≡ (4 - 0) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (69 ⋅ 61) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(69 ⋅ 61) mod 11 ≡ (69 mod 11 ⋅ 61 mod 11) mod 11.

69 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 6 ⋅ 11 + 3 ist.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

Somit gilt:

(69 ⋅ 61) mod 11 ≡ (3 ⋅ 6) mod 11 ≡ 18 mod 11 ≡ 7 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 1 = 37 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 1 = 37 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 = 5 = 37 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 1 = 37 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 12 = 37 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 11 = 37 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 10 = 37 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 9 = 37 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 8 = 37 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 29) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8