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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 65 = 0.

Somit gilt: 65 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 69 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 68 = 1.

Somit gilt: 69 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 69 ≡ 1 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (5994 - 29994) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(5994 - 29994) mod 6 ≡ (5994 mod 6 - 29994 mod 6) mod 6.

5994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 5994 = 6000-6 = 6 ⋅ 1000 -6 = 6 ⋅ 1000 - 6 + 0.

29994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29994 = 30000-6 = 6 ⋅ 5000 -6 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 0.

Somit gilt:

(5994 - 29994) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 84) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 84) mod 6 ≡ (38 mod 6 ⋅ 84 mod 6) mod 6.

38 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 36 + 2 = 6 ⋅ 6 + 2 ist.

84 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 14 ⋅ 6 + 0 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 84) mod 6 ≡ (2 ⋅ 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 16 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 16 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 16 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 ≠ 1 = 16 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 = 0 = 16 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 1 = 16 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 ≠ 4 = 16 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 2 = 16 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 0 = 16 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 7 = 16 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 6 = 16 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 5 = 16 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 4 = 16 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (16 - 12) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4