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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 30 = 4.

Somit gilt: 34 mod 5 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 99 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 96 = 3.

Somit gilt: 99 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 8 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 99 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (185 - 17995) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(185 - 17995) mod 6 ≡ (185 mod 6 - 17995 mod 6) mod 6.

185 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185 = 180+5 = 6 ⋅ 30 +5.

17995 mod 6 ≡ 1 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17995 = 18000-5 = 6 ⋅ 3000 -5 = 6 ⋅ 3000 - 6 + 1.

Somit gilt:

(185 - 17995) mod 6 ≡ (5 - 1) mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 68) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 68) mod 4 ≡ (47 mod 4 ⋅ 68 mod 4) mod 4.

47 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 44 + 3 = 11 ⋅ 4 + 3 ist.

68 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 68 + 0 = 17 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 68) mod 4 ≡ (3 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
36 mod m = 51 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 36 aus, ob zufällig 36 mod m = 51 mod m gilt:

m=2: 36 mod 2 = 0 ≠ 1 = 51 mod 2

m=3: 36 mod 3 = 0 = 0 = 51 mod 3

m=4: 36 mod 4 = 0 ≠ 3 = 51 mod 4

m=5: 36 mod 5 = 1 = 1 = 51 mod 5

m=6: 36 mod 6 = 0 ≠ 3 = 51 mod 6

m=7: 36 mod 7 = 1 ≠ 2 = 51 mod 7

m=8: 36 mod 8 = 4 ≠ 3 = 51 mod 8

m=9: 36 mod 9 = 0 ≠ 6 = 51 mod 9

m=10: 36 mod 10 = 6 ≠ 1 = 51 mod 10

m=11: 36 mod 11 = 3 ≠ 7 = 51 mod 11

m=12: 36 mod 12 = 0 ≠ 3 = 51 mod 12

m=13: 36 mod 13 = 10 ≠ 12 = 51 mod 13

m=14: 36 mod 14 = 8 ≠ 9 = 51 mod 14

m=15: 36 mod 15 = 6 = 6 = 51 mod 15

m=16: 36 mod 16 = 4 ≠ 3 = 51 mod 16

m=17: 36 mod 17 = 2 ≠ 0 = 51 mod 17

m=18: 36 mod 18 = 0 ≠ 15 = 51 mod 18

m=19: 36 mod 19 = 17 ≠ 13 = 51 mod 19

m=20: 36 mod 20 = 16 ≠ 11 = 51 mod 20

m=21: 36 mod 21 = 15 ≠ 9 = 51 mod 21

m=22: 36 mod 22 = 14 ≠ 7 = 51 mod 22

m=23: 36 mod 23 = 13 ≠ 5 = 51 mod 23

m=24: 36 mod 24 = 12 ≠ 3 = 51 mod 24

m=25: 36 mod 25 = 11 ≠ 1 = 51 mod 25

m=26: 36 mod 26 = 10 ≠ 25 = 51 mod 26

m=27: 36 mod 27 = 9 ≠ 24 = 51 mod 27

m=28: 36 mod 28 = 8 ≠ 23 = 51 mod 28

m=29: 36 mod 29 = 7 ≠ 22 = 51 mod 29

m=30: 36 mod 30 = 6 ≠ 21 = 51 mod 30

m=31: 36 mod 31 = 5 ≠ 20 = 51 mod 31

m=32: 36 mod 32 = 4 ≠ 19 = 51 mod 32

m=33: 36 mod 33 = 3 ≠ 18 = 51 mod 33

m=34: 36 mod 34 = 2 ≠ 17 = 51 mod 34

m=35: 36 mod 35 = 1 ≠ 16 = 51 mod 35

m=36: 36 mod 36 = 0 ≠ 15 = 51 mod 36

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (51 - 36) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15