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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 53 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 50 = 3.

Somit gilt: 53 mod 10 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 101 für die gilt n ≡ 25 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 22 = 3.

Somit gilt: 25 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 101 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 8 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 88 und erhalten so 91.

Somit gilt: 91 ≡ 25 ≡ 3 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16004 + 8004) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16004 + 8004) mod 4 ≡ (16004 mod 4 + 8004 mod 4) mod 4.

16004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16004 = 16000+4 = 4 ⋅ 4000 +4.

8004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 4 ⋅ 2000 +4.

Somit gilt:

(16004 + 8004) mod 4 ≡ (0 + 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27 ⋅ 20) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27 ⋅ 20) mod 3 ≡ (27 mod 3 ⋅ 20 mod 3) mod 3.

27 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 27 + 0 = 9 ⋅ 3 + 0 ist.

20 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 18 + 2 = 6 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(27 ⋅ 20) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 36 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12