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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 14 = 4.

Somit gilt: 18 mod 7 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 57 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 78 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 57 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (118 - 149) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(118 - 149) mod 3 ≡ (118 mod 3 - 149 mod 3) mod 3.

118 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 118 = 120-2 = 3 ⋅ 40 -2 = 3 ⋅ 40 - 3 + 1.

149 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 149 = 150-1 = 3 ⋅ 50 -1 = 3 ⋅ 50 - 3 + 2.

Somit gilt:

(118 - 149) mod 3 ≡ (1 - 2) mod 3 ≡ -1 mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (61 ⋅ 15) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(61 ⋅ 15) mod 11 ≡ (61 mod 11 ⋅ 15 mod 11) mod 11.

61 mod 11 ≡ 6 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 61 = 55 + 6 = 5 ⋅ 11 + 6 ist.

15 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 11 + 4 = 1 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(61 ⋅ 15) mod 11 ≡ (6 ⋅ 4) mod 11 ≡ 24 mod 11 ≡ 2 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
49 mod m = 64 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 49 aus, ob zufällig 49 mod m = 64 mod m gilt:

m=2: 49 mod 2 = 1 ≠ 0 = 64 mod 2

m=3: 49 mod 3 = 1 = 1 = 64 mod 3

m=4: 49 mod 4 = 1 ≠ 0 = 64 mod 4

m=5: 49 mod 5 = 4 = 4 = 64 mod 5

m=6: 49 mod 6 = 1 ≠ 4 = 64 mod 6

m=7: 49 mod 7 = 0 ≠ 1 = 64 mod 7

m=8: 49 mod 8 = 1 ≠ 0 = 64 mod 8

m=9: 49 mod 9 = 4 ≠ 1 = 64 mod 9

m=10: 49 mod 10 = 9 ≠ 4 = 64 mod 10

m=11: 49 mod 11 = 5 ≠ 9 = 64 mod 11

m=12: 49 mod 12 = 1 ≠ 4 = 64 mod 12

m=13: 49 mod 13 = 10 ≠ 12 = 64 mod 13

m=14: 49 mod 14 = 7 ≠ 8 = 64 mod 14

m=15: 49 mod 15 = 4 = 4 = 64 mod 15

m=16: 49 mod 16 = 1 ≠ 0 = 64 mod 16

m=17: 49 mod 17 = 15 ≠ 13 = 64 mod 17

m=18: 49 mod 18 = 13 ≠ 10 = 64 mod 18

m=19: 49 mod 19 = 11 ≠ 7 = 64 mod 19

m=20: 49 mod 20 = 9 ≠ 4 = 64 mod 20

m=21: 49 mod 21 = 7 ≠ 1 = 64 mod 21

m=22: 49 mod 22 = 5 ≠ 20 = 64 mod 22

m=23: 49 mod 23 = 3 ≠ 18 = 64 mod 23

m=24: 49 mod 24 = 1 ≠ 16 = 64 mod 24

m=25: 49 mod 25 = 24 ≠ 14 = 64 mod 25

m=26: 49 mod 26 = 23 ≠ 12 = 64 mod 26

m=27: 49 mod 27 = 22 ≠ 10 = 64 mod 27

m=28: 49 mod 28 = 21 ≠ 8 = 64 mod 28

m=29: 49 mod 29 = 20 ≠ 6 = 64 mod 29

m=30: 49 mod 30 = 19 ≠ 4 = 64 mod 30

m=31: 49 mod 31 = 18 ≠ 2 = 64 mod 31

m=32: 49 mod 32 = 17 ≠ 0 = 64 mod 32

m=33: 49 mod 33 = 16 ≠ 31 = 64 mod 33

m=34: 49 mod 34 = 15 ≠ 30 = 64 mod 34

m=35: 49 mod 35 = 14 ≠ 29 = 64 mod 35

m=36: 49 mod 36 = 13 ≠ 28 = 64 mod 36

m=37: 49 mod 37 = 12 ≠ 27 = 64 mod 37

m=38: 49 mod 38 = 11 ≠ 26 = 64 mod 38

m=39: 49 mod 39 = 10 ≠ 25 = 64 mod 39

m=40: 49 mod 40 = 9 ≠ 24 = 64 mod 40

m=41: 49 mod 41 = 8 ≠ 23 = 64 mod 41

m=42: 49 mod 42 = 7 ≠ 22 = 64 mod 42

m=43: 49 mod 43 = 6 ≠ 21 = 64 mod 43

m=44: 49 mod 44 = 5 ≠ 20 = 64 mod 44

m=45: 49 mod 45 = 4 ≠ 19 = 64 mod 45

m=46: 49 mod 46 = 3 ≠ 18 = 64 mod 46

m=47: 49 mod 47 = 2 ≠ 17 = 64 mod 47

m=48: 49 mod 48 = 1 ≠ 16 = 64 mod 48

m=49: 49 mod 49 = 0 ≠ 15 = 64 mod 49

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (64 - 49) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15