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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 32 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 22 = 10.

Somit gilt: 32 mod 11 ≡ 10.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 93 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 12 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 72 und erhalten so 75.

Somit gilt: 75 ≡ 93 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4004 + 2406) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4004 + 2406) mod 8 ≡ (4004 mod 8 + 2406 mod 8) mod 8.

4004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4004 = 4000+4 = 8 ⋅ 500 +4.

2406 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2406 = 2400+6 = 8 ⋅ 300 +6.

Somit gilt:

(4004 + 2406) mod 8 ≡ (4 + 6) mod 8 ≡ 10 mod 8 ≡ 2 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 19) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 19) mod 5 ≡ (68 mod 5 ⋅ 19 mod 5) mod 5.

68 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 65 + 3 = 13 ⋅ 5 + 3 ist.

19 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 15 + 4 = 3 ⋅ 5 + 4 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 19) mod 5 ≡ (3 ⋅ 4) mod 5 ≡ 12 mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
106 mod m = 133 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 106 aus, ob zufällig 106 mod m = 133 mod m gilt:

m=2: 106 mod 2 = 0 ≠ 1 = 133 mod 2

m=3: 106 mod 3 = 1 = 1 = 133 mod 3

m=4: 106 mod 4 = 2 ≠ 1 = 133 mod 4

m=5: 106 mod 5 = 1 ≠ 3 = 133 mod 5

m=6: 106 mod 6 = 4 ≠ 1 = 133 mod 6

m=7: 106 mod 7 = 1 ≠ 0 = 133 mod 7

m=8: 106 mod 8 = 2 ≠ 5 = 133 mod 8

m=9: 106 mod 9 = 7 = 7 = 133 mod 9

m=10: 106 mod 10 = 6 ≠ 3 = 133 mod 10

m=11: 106 mod 11 = 7 ≠ 1 = 133 mod 11

m=12: 106 mod 12 = 10 ≠ 1 = 133 mod 12

m=13: 106 mod 13 = 2 ≠ 3 = 133 mod 13

m=14: 106 mod 14 = 8 ≠ 7 = 133 mod 14

m=15: 106 mod 15 = 1 ≠ 13 = 133 mod 15

m=16: 106 mod 16 = 10 ≠ 5 = 133 mod 16

m=17: 106 mod 17 = 4 ≠ 14 = 133 mod 17

m=18: 106 mod 18 = 16 ≠ 7 = 133 mod 18

m=19: 106 mod 19 = 11 ≠ 0 = 133 mod 19

m=20: 106 mod 20 = 6 ≠ 13 = 133 mod 20

m=21: 106 mod 21 = 1 ≠ 7 = 133 mod 21

m=22: 106 mod 22 = 18 ≠ 1 = 133 mod 22

m=23: 106 mod 23 = 14 ≠ 18 = 133 mod 23

m=24: 106 mod 24 = 10 ≠ 13 = 133 mod 24

m=25: 106 mod 25 = 6 ≠ 8 = 133 mod 25

m=26: 106 mod 26 = 2 ≠ 3 = 133 mod 26

m=27: 106 mod 27 = 25 = 25 = 133 mod 27

m=28: 106 mod 28 = 22 ≠ 21 = 133 mod 28

m=29: 106 mod 29 = 19 ≠ 17 = 133 mod 29

m=30: 106 mod 30 = 16 ≠ 13 = 133 mod 30

m=31: 106 mod 31 = 13 ≠ 9 = 133 mod 31

m=32: 106 mod 32 = 10 ≠ 5 = 133 mod 32

m=33: 106 mod 33 = 7 ≠ 1 = 133 mod 33

m=34: 106 mod 34 = 4 ≠ 31 = 133 mod 34

m=35: 106 mod 35 = 1 ≠ 28 = 133 mod 35

m=36: 106 mod 36 = 34 ≠ 25 = 133 mod 36

m=37: 106 mod 37 = 32 ≠ 22 = 133 mod 37

m=38: 106 mod 38 = 30 ≠ 19 = 133 mod 38

m=39: 106 mod 39 = 28 ≠ 16 = 133 mod 39

m=40: 106 mod 40 = 26 ≠ 13 = 133 mod 40

m=41: 106 mod 41 = 24 ≠ 10 = 133 mod 41

m=42: 106 mod 42 = 22 ≠ 7 = 133 mod 42

m=43: 106 mod 43 = 20 ≠ 4 = 133 mod 43

m=44: 106 mod 44 = 18 ≠ 1 = 133 mod 44

m=45: 106 mod 45 = 16 ≠ 43 = 133 mod 45

m=46: 106 mod 46 = 14 ≠ 41 = 133 mod 46

m=47: 106 mod 47 = 12 ≠ 39 = 133 mod 47

m=48: 106 mod 48 = 10 ≠ 37 = 133 mod 48

m=49: 106 mod 49 = 8 ≠ 35 = 133 mod 49

m=50: 106 mod 50 = 6 ≠ 33 = 133 mod 50

m=51: 106 mod 51 = 4 ≠ 31 = 133 mod 51

m=52: 106 mod 52 = 2 ≠ 29 = 133 mod 52

m=53: 106 mod 53 = 0 ≠ 27 = 133 mod 53

m=54: 106 mod 54 = 52 ≠ 25 = 133 mod 54

m=55: 106 mod 55 = 51 ≠ 23 = 133 mod 55

m=56: 106 mod 56 = 50 ≠ 21 = 133 mod 56

m=57: 106 mod 57 = 49 ≠ 19 = 133 mod 57

m=58: 106 mod 58 = 48 ≠ 17 = 133 mod 58

m=59: 106 mod 59 = 47 ≠ 15 = 133 mod 59

m=60: 106 mod 60 = 46 ≠ 13 = 133 mod 60

m=61: 106 mod 61 = 45 ≠ 11 = 133 mod 61

m=62: 106 mod 62 = 44 ≠ 9 = 133 mod 62

m=63: 106 mod 63 = 43 ≠ 7 = 133 mod 63

m=64: 106 mod 64 = 42 ≠ 5 = 133 mod 64

m=65: 106 mod 65 = 41 ≠ 3 = 133 mod 65

m=66: 106 mod 66 = 40 ≠ 1 = 133 mod 66

m=67: 106 mod 67 = 39 ≠ 66 = 133 mod 67

m=68: 106 mod 68 = 38 ≠ 65 = 133 mod 68

m=69: 106 mod 69 = 37 ≠ 64 = 133 mod 69

m=70: 106 mod 70 = 36 ≠ 63 = 133 mod 70

m=71: 106 mod 71 = 35 ≠ 62 = 133 mod 71

m=72: 106 mod 72 = 34 ≠ 61 = 133 mod 72

m=73: 106 mod 73 = 33 ≠ 60 = 133 mod 73

m=74: 106 mod 74 = 32 ≠ 59 = 133 mod 74

m=75: 106 mod 75 = 31 ≠ 58 = 133 mod 75

m=76: 106 mod 76 = 30 ≠ 57 = 133 mod 76

m=77: 106 mod 77 = 29 ≠ 56 = 133 mod 77

m=78: 106 mod 78 = 28 ≠ 55 = 133 mod 78

m=79: 106 mod 79 = 27 ≠ 54 = 133 mod 79

m=80: 106 mod 80 = 26 ≠ 53 = 133 mod 80

m=81: 106 mod 81 = 25 ≠ 52 = 133 mod 81

m=82: 106 mod 82 = 24 ≠ 51 = 133 mod 82

m=83: 106 mod 83 = 23 ≠ 50 = 133 mod 83

m=84: 106 mod 84 = 22 ≠ 49 = 133 mod 84

m=85: 106 mod 85 = 21 ≠ 48 = 133 mod 85

m=86: 106 mod 86 = 20 ≠ 47 = 133 mod 86

m=87: 106 mod 87 = 19 ≠ 46 = 133 mod 87

m=88: 106 mod 88 = 18 ≠ 45 = 133 mod 88

m=89: 106 mod 89 = 17 ≠ 44 = 133 mod 89

m=90: 106 mod 90 = 16 ≠ 43 = 133 mod 90

m=91: 106 mod 91 = 15 ≠ 42 = 133 mod 91

m=92: 106 mod 92 = 14 ≠ 41 = 133 mod 92

m=93: 106 mod 93 = 13 ≠ 40 = 133 mod 93

m=94: 106 mod 94 = 12 ≠ 39 = 133 mod 94

m=95: 106 mod 95 = 11 ≠ 38 = 133 mod 95

m=96: 106 mod 96 = 10 ≠ 37 = 133 mod 96

m=97: 106 mod 97 = 9 ≠ 36 = 133 mod 97

m=98: 106 mod 98 = 8 ≠ 35 = 133 mod 98

m=99: 106 mod 99 = 7 ≠ 34 = 133 mod 99

m=100: 106 mod 100 = 6 ≠ 33 = 133 mod 100

m=101: 106 mod 101 = 5 ≠ 32 = 133 mod 101

m=102: 106 mod 102 = 4 ≠ 31 = 133 mod 102

m=103: 106 mod 103 = 3 ≠ 30 = 133 mod 103

m=104: 106 mod 104 = 2 ≠ 29 = 133 mod 104

m=105: 106 mod 105 = 1 ≠ 28 = 133 mod 105

m=106: 106 mod 106 = 0 ≠ 27 = 133 mod 106

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (133 - 106) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27