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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 47 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 47 - 40 = 7.

Somit gilt: 47 mod 10 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 26 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.

Somit gilt: 26 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 80 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 26 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (202 - 52) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(202 - 52) mod 5 ≡ (202 mod 5 - 52 mod 5) mod 5.

202 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 202 = 200+2 = 5 ⋅ 40 +2.

52 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 52 = 50+2 = 5 ⋅ 10 +2.

Somit gilt:

(202 - 52) mod 5 ≡ (2 - 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 93) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 93) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 93 mod 9) mod 9.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.

93 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 93 = 90 + 3 = 10 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 93) mod 9 ≡ (7 ⋅ 3) mod 9 ≡ 21 mod 9 ≡ 3 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 56 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 56 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 56 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 ≠ 0 = 56 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 ≠ 1 = 56 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 = 2 = 56 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 0 = 56 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 0 = 56 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 = 2 = 56 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 6 = 56 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 1 = 56 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 ≠ 8 = 56 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 4 = 56 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 0 = 56 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 11 = 56 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 8 = 56 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 5 = 56 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 = 2 = 56 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 18 = 56 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 16 = 56 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 14 = 56 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 12 = 56 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 10 = 56 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 8 = 56 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 6 = 56 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 4 = 56 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 2 = 56 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 0 = 56 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 27 = 56 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 26 = 56 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 25 = 56 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 24 = 56 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 23 = 56 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 22 = 56 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 21 = 56 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 20 = 56 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 19 = 56 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 18 = 56 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 38) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18