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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 83 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 81, weil ja 27 ⋅ 3 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 83 - 81 = 2.

Somit gilt: 83 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 76 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 70 = 6.

Somit gilt: 76 mod 10 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 6 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 6 mod 10 sein, also addieren wir noch 6 auf die 40 und erhalten so 46.

Somit gilt: 46 ≡ 76 ≡ 6 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18007 + 900) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18007 + 900) mod 9 ≡ (18007 mod 9 + 900 mod 9) mod 9.

18007 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18007 = 18000+7 = 9 ⋅ 2000 +7.

900 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 900 = 900+0 = 9 ⋅ 100 +0.

Somit gilt:

(18007 + 900) mod 9 ≡ (7 + 0) mod 9 ≡ 7 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (31 mod 11 ⋅ 29 mod 11) mod 11.

31 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 22 + 9 = 2 ⋅ 11 + 9 ist.

29 mod 11 ≡ 7 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 22 + 7 = 2 ⋅ 11 + 7 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 29) mod 11 ≡ (9 ⋅ 7) mod 11 ≡ 63 mod 11 ≡ 8 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
34 mod m = 49 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 34 aus, ob zufällig 34 mod m = 49 mod m gilt:

m=2: 34 mod 2 = 0 ≠ 1 = 49 mod 2

m=3: 34 mod 3 = 1 = 1 = 49 mod 3

m=4: 34 mod 4 = 2 ≠ 1 = 49 mod 4

m=5: 34 mod 5 = 4 = 4 = 49 mod 5

m=6: 34 mod 6 = 4 ≠ 1 = 49 mod 6

m=7: 34 mod 7 = 6 ≠ 0 = 49 mod 7

m=8: 34 mod 8 = 2 ≠ 1 = 49 mod 8

m=9: 34 mod 9 = 7 ≠ 4 = 49 mod 9

m=10: 34 mod 10 = 4 ≠ 9 = 49 mod 10

m=11: 34 mod 11 = 1 ≠ 5 = 49 mod 11

m=12: 34 mod 12 = 10 ≠ 1 = 49 mod 12

m=13: 34 mod 13 = 8 ≠ 10 = 49 mod 13

m=14: 34 mod 14 = 6 ≠ 7 = 49 mod 14

m=15: 34 mod 15 = 4 = 4 = 49 mod 15

m=16: 34 mod 16 = 2 ≠ 1 = 49 mod 16

m=17: 34 mod 17 = 0 ≠ 15 = 49 mod 17

m=18: 34 mod 18 = 16 ≠ 13 = 49 mod 18

m=19: 34 mod 19 = 15 ≠ 11 = 49 mod 19

m=20: 34 mod 20 = 14 ≠ 9 = 49 mod 20

m=21: 34 mod 21 = 13 ≠ 7 = 49 mod 21

m=22: 34 mod 22 = 12 ≠ 5 = 49 mod 22

m=23: 34 mod 23 = 11 ≠ 3 = 49 mod 23

m=24: 34 mod 24 = 10 ≠ 1 = 49 mod 24

m=25: 34 mod 25 = 9 ≠ 24 = 49 mod 25

m=26: 34 mod 26 = 8 ≠ 23 = 49 mod 26

m=27: 34 mod 27 = 7 ≠ 22 = 49 mod 27

m=28: 34 mod 28 = 6 ≠ 21 = 49 mod 28

m=29: 34 mod 29 = 5 ≠ 20 = 49 mod 29

m=30: 34 mod 30 = 4 ≠ 19 = 49 mod 30

m=31: 34 mod 31 = 3 ≠ 18 = 49 mod 31

m=32: 34 mod 32 = 2 ≠ 17 = 49 mod 32

m=33: 34 mod 33 = 1 ≠ 16 = 49 mod 33

m=34: 34 mod 34 = 0 ≠ 15 = 49 mod 34

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (49 - 34) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15