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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 70 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.

Somit gilt: 70 mod 7 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 33 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 32, weil ja 8 ⋅ 4 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 32 = 1.

Somit gilt: 33 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 92 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 33 ≡ 1 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2096 - 7004) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2096 - 7004) mod 7 ≡ (2096 mod 7 - 7004 mod 7) mod 7.

2096 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2096 = 2100-4 = 7 ⋅ 300 -4 = 7 ⋅ 300 - 7 + 3.

7004 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7004 = 7000+4 = 7 ⋅ 1000 +4.

Somit gilt:

(2096 - 7004) mod 7 ≡ (3 - 4) mod 7 ≡ -1 mod 7 ≡ 6 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 59) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 59) mod 3 ≡ (56 mod 3 ⋅ 59 mod 3) mod 3.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

59 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 59 = 57 + 2 = 19 ⋅ 3 + 2 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 59) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 34 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 34 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 ≠ 0 = 34 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 34 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 ≠ 2 = 34 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 4 = 34 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 ≠ 4 = 34 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 6 = 34 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 2 = 34 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 = 7 = 34 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 4 = 34 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 1 = 34 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 ≠ 10 = 34 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 8 = 34 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 6 = 34 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 4 = 34 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 2 = 34 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 0 = 34 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 16 = 34 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 15 = 34 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 14 = 34 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 13 = 34 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 12 = 34 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 11 = 34 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 10 = 34 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 9 = 34 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (34 - 25) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9