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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.

Somit gilt: 29 mod 8 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 29 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 22 = 7.

Somit gilt: 29 mod 11 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 7 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 7 mod 11 sein, also addieren wir noch 7 auf die 11 und erhalten so 18.

Somit gilt: 18 ≡ 29 ≡ 7 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6996 - 208) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6996 - 208) mod 7 ≡ (6996 mod 7 - 208 mod 7) mod 7.

6996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6996 = 7000-4 = 7 ⋅ 1000 -4 = 7 ⋅ 1000 - 7 + 3.

208 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 208 = 210-2 = 7 ⋅ 30 -2 = 7 ⋅ 30 - 7 + 5.

Somit gilt:

(6996 - 208) mod 7 ≡ (3 - 5) mod 7 ≡ -2 mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 82) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 82) mod 6 ≡ (16 mod 6 ⋅ 82 mod 6) mod 6.

16 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 12 + 4 = 2 ⋅ 6 + 4 ist.

82 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 78 + 4 = 13 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 82) mod 6 ≡ (4 ⋅ 4) mod 6 ≡ 16 mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
73 mod m = 100 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 73 aus, ob zufällig 73 mod m = 100 mod m gilt:

m=2: 73 mod 2 = 1 ≠ 0 = 100 mod 2

m=3: 73 mod 3 = 1 = 1 = 100 mod 3

m=4: 73 mod 4 = 1 ≠ 0 = 100 mod 4

m=5: 73 mod 5 = 3 ≠ 0 = 100 mod 5

m=6: 73 mod 6 = 1 ≠ 4 = 100 mod 6

m=7: 73 mod 7 = 3 ≠ 2 = 100 mod 7

m=8: 73 mod 8 = 1 ≠ 4 = 100 mod 8

m=9: 73 mod 9 = 1 = 1 = 100 mod 9

m=10: 73 mod 10 = 3 ≠ 0 = 100 mod 10

m=11: 73 mod 11 = 7 ≠ 1 = 100 mod 11

m=12: 73 mod 12 = 1 ≠ 4 = 100 mod 12

m=13: 73 mod 13 = 8 ≠ 9 = 100 mod 13

m=14: 73 mod 14 = 3 ≠ 2 = 100 mod 14

m=15: 73 mod 15 = 13 ≠ 10 = 100 mod 15

m=16: 73 mod 16 = 9 ≠ 4 = 100 mod 16

m=17: 73 mod 17 = 5 ≠ 15 = 100 mod 17

m=18: 73 mod 18 = 1 ≠ 10 = 100 mod 18

m=19: 73 mod 19 = 16 ≠ 5 = 100 mod 19

m=20: 73 mod 20 = 13 ≠ 0 = 100 mod 20

m=21: 73 mod 21 = 10 ≠ 16 = 100 mod 21

m=22: 73 mod 22 = 7 ≠ 12 = 100 mod 22

m=23: 73 mod 23 = 4 ≠ 8 = 100 mod 23

m=24: 73 mod 24 = 1 ≠ 4 = 100 mod 24

m=25: 73 mod 25 = 23 ≠ 0 = 100 mod 25

m=26: 73 mod 26 = 21 ≠ 22 = 100 mod 26

m=27: 73 mod 27 = 19 = 19 = 100 mod 27

m=28: 73 mod 28 = 17 ≠ 16 = 100 mod 28

m=29: 73 mod 29 = 15 ≠ 13 = 100 mod 29

m=30: 73 mod 30 = 13 ≠ 10 = 100 mod 30

m=31: 73 mod 31 = 11 ≠ 7 = 100 mod 31

m=32: 73 mod 32 = 9 ≠ 4 = 100 mod 32

m=33: 73 mod 33 = 7 ≠ 1 = 100 mod 33

m=34: 73 mod 34 = 5 ≠ 32 = 100 mod 34

m=35: 73 mod 35 = 3 ≠ 30 = 100 mod 35

m=36: 73 mod 36 = 1 ≠ 28 = 100 mod 36

m=37: 73 mod 37 = 36 ≠ 26 = 100 mod 37

m=38: 73 mod 38 = 35 ≠ 24 = 100 mod 38

m=39: 73 mod 39 = 34 ≠ 22 = 100 mod 39

m=40: 73 mod 40 = 33 ≠ 20 = 100 mod 40

m=41: 73 mod 41 = 32 ≠ 18 = 100 mod 41

m=42: 73 mod 42 = 31 ≠ 16 = 100 mod 42

m=43: 73 mod 43 = 30 ≠ 14 = 100 mod 43

m=44: 73 mod 44 = 29 ≠ 12 = 100 mod 44

m=45: 73 mod 45 = 28 ≠ 10 = 100 mod 45

m=46: 73 mod 46 = 27 ≠ 8 = 100 mod 46

m=47: 73 mod 47 = 26 ≠ 6 = 100 mod 47

m=48: 73 mod 48 = 25 ≠ 4 = 100 mod 48

m=49: 73 mod 49 = 24 ≠ 2 = 100 mod 49

m=50: 73 mod 50 = 23 ≠ 0 = 100 mod 50

m=51: 73 mod 51 = 22 ≠ 49 = 100 mod 51

m=52: 73 mod 52 = 21 ≠ 48 = 100 mod 52

m=53: 73 mod 53 = 20 ≠ 47 = 100 mod 53

m=54: 73 mod 54 = 19 ≠ 46 = 100 mod 54

m=55: 73 mod 55 = 18 ≠ 45 = 100 mod 55

m=56: 73 mod 56 = 17 ≠ 44 = 100 mod 56

m=57: 73 mod 57 = 16 ≠ 43 = 100 mod 57

m=58: 73 mod 58 = 15 ≠ 42 = 100 mod 58

m=59: 73 mod 59 = 14 ≠ 41 = 100 mod 59

m=60: 73 mod 60 = 13 ≠ 40 = 100 mod 60

m=61: 73 mod 61 = 12 ≠ 39 = 100 mod 61

m=62: 73 mod 62 = 11 ≠ 38 = 100 mod 62

m=63: 73 mod 63 = 10 ≠ 37 = 100 mod 63

m=64: 73 mod 64 = 9 ≠ 36 = 100 mod 64

m=65: 73 mod 65 = 8 ≠ 35 = 100 mod 65

m=66: 73 mod 66 = 7 ≠ 34 = 100 mod 66

m=67: 73 mod 67 = 6 ≠ 33 = 100 mod 67

m=68: 73 mod 68 = 5 ≠ 32 = 100 mod 68

m=69: 73 mod 69 = 4 ≠ 31 = 100 mod 69

m=70: 73 mod 70 = 3 ≠ 30 = 100 mod 70

m=71: 73 mod 71 = 2 ≠ 29 = 100 mod 71

m=72: 73 mod 72 = 1 ≠ 28 = 100 mod 72

m=73: 73 mod 73 = 0 ≠ 27 = 100 mod 73

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (100 - 73) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27