nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 34 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 34 - 32 = 2.

Somit gilt: 34 mod 8 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 76 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 76 - 75 = 1.

Somit gilt: 76 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 20 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 60 und erhalten so 61.

Somit gilt: 61 ≡ 76 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2500 + 997) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2500 + 997) mod 5 ≡ (2500 mod 5 + 997 mod 5) mod 5.

2500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2500 = 2500+0 = 5 ⋅ 500 +0.

997 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 997 = 900+97 = 5 ⋅ 180 +97.

Somit gilt:

(2500 + 997) mod 5 ≡ (0 + 2) mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 39) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 39) mod 7 ≡ (81 mod 7 ⋅ 39 mod 7) mod 7.

81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.

39 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 39 = 35 + 4 = 5 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 39) mod 7 ≡ (4 ⋅ 4) mod 7 ≡ 16 mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
122 mod m = 172 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 122 aus, ob zufällig 122 mod m = 172 mod m gilt:

m=2: 122 mod 2 = 0 = 0 = 172 mod 2

m=3: 122 mod 3 = 2 ≠ 1 = 172 mod 3

m=4: 122 mod 4 = 2 ≠ 0 = 172 mod 4

m=5: 122 mod 5 = 2 = 2 = 172 mod 5

m=6: 122 mod 6 = 2 ≠ 4 = 172 mod 6

m=7: 122 mod 7 = 3 ≠ 4 = 172 mod 7

m=8: 122 mod 8 = 2 ≠ 4 = 172 mod 8

m=9: 122 mod 9 = 5 ≠ 1 = 172 mod 9

m=10: 122 mod 10 = 2 = 2 = 172 mod 10

m=11: 122 mod 11 = 1 ≠ 7 = 172 mod 11

m=12: 122 mod 12 = 2 ≠ 4 = 172 mod 12

m=13: 122 mod 13 = 5 ≠ 3 = 172 mod 13

m=14: 122 mod 14 = 10 ≠ 4 = 172 mod 14

m=15: 122 mod 15 = 2 ≠ 7 = 172 mod 15

m=16: 122 mod 16 = 10 ≠ 12 = 172 mod 16

m=17: 122 mod 17 = 3 ≠ 2 = 172 mod 17

m=18: 122 mod 18 = 14 ≠ 10 = 172 mod 18

m=19: 122 mod 19 = 8 ≠ 1 = 172 mod 19

m=20: 122 mod 20 = 2 ≠ 12 = 172 mod 20

m=21: 122 mod 21 = 17 ≠ 4 = 172 mod 21

m=22: 122 mod 22 = 12 ≠ 18 = 172 mod 22

m=23: 122 mod 23 = 7 ≠ 11 = 172 mod 23

m=24: 122 mod 24 = 2 ≠ 4 = 172 mod 24

m=25: 122 mod 25 = 22 = 22 = 172 mod 25

m=26: 122 mod 26 = 18 ≠ 16 = 172 mod 26

m=27: 122 mod 27 = 14 ≠ 10 = 172 mod 27

m=28: 122 mod 28 = 10 ≠ 4 = 172 mod 28

m=29: 122 mod 29 = 6 ≠ 27 = 172 mod 29

m=30: 122 mod 30 = 2 ≠ 22 = 172 mod 30

m=31: 122 mod 31 = 29 ≠ 17 = 172 mod 31

m=32: 122 mod 32 = 26 ≠ 12 = 172 mod 32

m=33: 122 mod 33 = 23 ≠ 7 = 172 mod 33

m=34: 122 mod 34 = 20 ≠ 2 = 172 mod 34

m=35: 122 mod 35 = 17 ≠ 32 = 172 mod 35

m=36: 122 mod 36 = 14 ≠ 28 = 172 mod 36

m=37: 122 mod 37 = 11 ≠ 24 = 172 mod 37

m=38: 122 mod 38 = 8 ≠ 20 = 172 mod 38

m=39: 122 mod 39 = 5 ≠ 16 = 172 mod 39

m=40: 122 mod 40 = 2 ≠ 12 = 172 mod 40

m=41: 122 mod 41 = 40 ≠ 8 = 172 mod 41

m=42: 122 mod 42 = 38 ≠ 4 = 172 mod 42

m=43: 122 mod 43 = 36 ≠ 0 = 172 mod 43

m=44: 122 mod 44 = 34 ≠ 40 = 172 mod 44

m=45: 122 mod 45 = 32 ≠ 37 = 172 mod 45

m=46: 122 mod 46 = 30 ≠ 34 = 172 mod 46

m=47: 122 mod 47 = 28 ≠ 31 = 172 mod 47

m=48: 122 mod 48 = 26 ≠ 28 = 172 mod 48

m=49: 122 mod 49 = 24 ≠ 25 = 172 mod 49

m=50: 122 mod 50 = 22 = 22 = 172 mod 50

m=51: 122 mod 51 = 20 ≠ 19 = 172 mod 51

m=52: 122 mod 52 = 18 ≠ 16 = 172 mod 52

m=53: 122 mod 53 = 16 ≠ 13 = 172 mod 53

m=54: 122 mod 54 = 14 ≠ 10 = 172 mod 54

m=55: 122 mod 55 = 12 ≠ 7 = 172 mod 55

m=56: 122 mod 56 = 10 ≠ 4 = 172 mod 56

m=57: 122 mod 57 = 8 ≠ 1 = 172 mod 57

m=58: 122 mod 58 = 6 ≠ 56 = 172 mod 58

m=59: 122 mod 59 = 4 ≠ 54 = 172 mod 59

m=60: 122 mod 60 = 2 ≠ 52 = 172 mod 60

m=61: 122 mod 61 = 0 ≠ 50 = 172 mod 61

m=62: 122 mod 62 = 60 ≠ 48 = 172 mod 62

m=63: 122 mod 63 = 59 ≠ 46 = 172 mod 63

m=64: 122 mod 64 = 58 ≠ 44 = 172 mod 64

m=65: 122 mod 65 = 57 ≠ 42 = 172 mod 65

m=66: 122 mod 66 = 56 ≠ 40 = 172 mod 66

m=67: 122 mod 67 = 55 ≠ 38 = 172 mod 67

m=68: 122 mod 68 = 54 ≠ 36 = 172 mod 68

m=69: 122 mod 69 = 53 ≠ 34 = 172 mod 69

m=70: 122 mod 70 = 52 ≠ 32 = 172 mod 70

m=71: 122 mod 71 = 51 ≠ 30 = 172 mod 71

m=72: 122 mod 72 = 50 ≠ 28 = 172 mod 72

m=73: 122 mod 73 = 49 ≠ 26 = 172 mod 73

m=74: 122 mod 74 = 48 ≠ 24 = 172 mod 74

m=75: 122 mod 75 = 47 ≠ 22 = 172 mod 75

m=76: 122 mod 76 = 46 ≠ 20 = 172 mod 76

m=77: 122 mod 77 = 45 ≠ 18 = 172 mod 77

m=78: 122 mod 78 = 44 ≠ 16 = 172 mod 78

m=79: 122 mod 79 = 43 ≠ 14 = 172 mod 79

m=80: 122 mod 80 = 42 ≠ 12 = 172 mod 80

m=81: 122 mod 81 = 41 ≠ 10 = 172 mod 81

m=82: 122 mod 82 = 40 ≠ 8 = 172 mod 82

m=83: 122 mod 83 = 39 ≠ 6 = 172 mod 83

m=84: 122 mod 84 = 38 ≠ 4 = 172 mod 84

m=85: 122 mod 85 = 37 ≠ 2 = 172 mod 85

m=86: 122 mod 86 = 36 ≠ 0 = 172 mod 86

m=87: 122 mod 87 = 35 ≠ 85 = 172 mod 87

m=88: 122 mod 88 = 34 ≠ 84 = 172 mod 88

m=89: 122 mod 89 = 33 ≠ 83 = 172 mod 89

m=90: 122 mod 90 = 32 ≠ 82 = 172 mod 90

m=91: 122 mod 91 = 31 ≠ 81 = 172 mod 91

m=92: 122 mod 92 = 30 ≠ 80 = 172 mod 92

m=93: 122 mod 93 = 29 ≠ 79 = 172 mod 93

m=94: 122 mod 94 = 28 ≠ 78 = 172 mod 94

m=95: 122 mod 95 = 27 ≠ 77 = 172 mod 95

m=96: 122 mod 96 = 26 ≠ 76 = 172 mod 96

m=97: 122 mod 97 = 25 ≠ 75 = 172 mod 97

m=98: 122 mod 98 = 24 ≠ 74 = 172 mod 98

m=99: 122 mod 99 = 23 ≠ 73 = 172 mod 99

m=100: 122 mod 100 = 22 ≠ 72 = 172 mod 100

m=101: 122 mod 101 = 21 ≠ 71 = 172 mod 101

m=102: 122 mod 102 = 20 ≠ 70 = 172 mod 102

m=103: 122 mod 103 = 19 ≠ 69 = 172 mod 103

m=104: 122 mod 104 = 18 ≠ 68 = 172 mod 104

m=105: 122 mod 105 = 17 ≠ 67 = 172 mod 105

m=106: 122 mod 106 = 16 ≠ 66 = 172 mod 106

m=107: 122 mod 107 = 15 ≠ 65 = 172 mod 107

m=108: 122 mod 108 = 14 ≠ 64 = 172 mod 108

m=109: 122 mod 109 = 13 ≠ 63 = 172 mod 109

m=110: 122 mod 110 = 12 ≠ 62 = 172 mod 110

m=111: 122 mod 111 = 11 ≠ 61 = 172 mod 111

m=112: 122 mod 112 = 10 ≠ 60 = 172 mod 112

m=113: 122 mod 113 = 9 ≠ 59 = 172 mod 113

m=114: 122 mod 114 = 8 ≠ 58 = 172 mod 114

m=115: 122 mod 115 = 7 ≠ 57 = 172 mod 115

m=116: 122 mod 116 = 6 ≠ 56 = 172 mod 116

m=117: 122 mod 117 = 5 ≠ 55 = 172 mod 117

m=118: 122 mod 118 = 4 ≠ 54 = 172 mod 118

m=119: 122 mod 119 = 3 ≠ 53 = 172 mod 119

m=120: 122 mod 120 = 2 ≠ 52 = 172 mod 120

m=121: 122 mod 121 = 1 ≠ 51 = 172 mod 121

m=122: 122 mod 122 = 0 ≠ 50 = 172 mod 122

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (172 - 122) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50