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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 41 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 40, weil ja 8 ⋅ 5 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 41 - 40 = 1.

Somit gilt: 41 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 80 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 80 - 80 = 0.

Somit gilt: 80 mod 10 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 0 mod 10.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10

Somit gilt: 70 ≡ 80 ≡ 0 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2003 - 1004) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2003 - 1004) mod 5 ≡ (2003 mod 5 - 1004 mod 5) mod 5.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

1004 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1004 = 1000+4 = 5 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(2003 - 1004) mod 5 ≡ (3 - 4) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 88) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 88) mod 6 ≡ (36 mod 6 ⋅ 88 mod 6) mod 6.

36 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 6 ⋅ 6 + 0 ist.

88 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 84 + 4 = 14 ⋅ 6 + 4 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 88) mod 6 ≡ (0 ⋅ 4) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
12 mod m = 18 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 12 aus, ob zufällig 12 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 12 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 12 mod 3 = 0 = 0 = 18 mod 3

m=4: 12 mod 4 = 0 ≠ 2 = 18 mod 4

m=5: 12 mod 5 = 2 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 12 mod 6 = 0 = 0 = 18 mod 6

m=7: 12 mod 7 = 5 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 12 mod 8 = 4 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 12 mod 9 = 3 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 12 mod 10 = 2 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 12 mod 11 = 1 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 12 mod 12 = 0 ≠ 6 = 18 mod 12

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 12) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6