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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 51 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 50 = 1.

Somit gilt: 51 mod 10 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 45 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 40, weil ja 5 ⋅ 8 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 40 = 5.

Somit gilt: 45 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 90, z.B. 88 = 11 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 88 und erhalten so 93.

Somit gilt: 93 ≡ 45 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (8004 + 80) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(8004 + 80) mod 8 ≡ (8004 mod 8 + 80 mod 8) mod 8.

8004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8004 = 8000+4 = 8 ⋅ 1000 +4.

80 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80+0 = 8 ⋅ 10 +0.

Somit gilt:

(8004 + 80) mod 8 ≡ (4 + 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 55) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 55) mod 11 ≡ (80 mod 11 ⋅ 55 mod 11) mod 11.

80 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 77 + 3 = 7 ⋅ 11 + 3 ist.

55 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 55 + 0 = 5 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 55) mod 11 ≡ (3 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 28 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 ≠ 0 = 28 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 = 1 = 28 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 9 = 28 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 19) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9