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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 56 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 54, weil ja 18 ⋅ 3 = 54 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 56 - 54 = 2.
Somit gilt: 56 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 77 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 75, weil ja 25 ⋅ 3 = 75 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 77 - 75 = 2.
Somit gilt: 77 mod 3 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 3.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 16 ⋅ 3
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 2 mod 3 sein, also addieren wir noch 2 auf die 48 und erhalten so 50.
Somit gilt: 50 ≡ 77 ≡ 2 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9005 - 449) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9005 - 449) mod 9 ≡ (9005 mod 9 - 449 mod 9) mod 9.
9005 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9005
= 9000
449 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 449
= 450
Somit gilt:
(9005 - 449) mod 9 ≡ (5 - 8) mod 9 ≡ -3 mod 9 ≡ 6 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 79) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(88 ⋅ 79) mod 9 ≡ (88 mod 9 ⋅ 79 mod 9) mod 9.
88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 81 + 7 = 9 ⋅ 9 + 7 ist.
79 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 72 + 7 = 8 ⋅ 9 + 7 ist.
Somit gilt:
(88 ⋅ 79) mod 9 ≡ (7 ⋅ 7) mod 9 ≡ 49 mod 9 ≡ 4 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
106 mod m = 136 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 106 aus, ob zufällig 106 mod m = 136 mod m gilt:
m=2: 106 mod 2 = 0 = 0 = 136 mod 2
m=3: 106 mod 3 = 1 = 1 = 136 mod 3
m=4: 106 mod 4 = 2 ≠ 0 = 136 mod 4
m=5: 106 mod 5 = 1 = 1 = 136 mod 5
m=6: 106 mod 6 = 4 = 4 = 136 mod 6
m=7: 106 mod 7 = 1 ≠ 3 = 136 mod 7
m=8: 106 mod 8 = 2 ≠ 0 = 136 mod 8
m=9: 106 mod 9 = 7 ≠ 1 = 136 mod 9
m=10: 106 mod 10 = 6 = 6 = 136 mod 10
m=11: 106 mod 11 = 7 ≠ 4 = 136 mod 11
m=12: 106 mod 12 = 10 ≠ 4 = 136 mod 12
m=13: 106 mod 13 = 2 ≠ 6 = 136 mod 13
m=14: 106 mod 14 = 8 ≠ 10 = 136 mod 14
m=15: 106 mod 15 = 1 = 1 = 136 mod 15
m=16: 106 mod 16 = 10 ≠ 8 = 136 mod 16
m=17: 106 mod 17 = 4 ≠ 0 = 136 mod 17
m=18: 106 mod 18 = 16 ≠ 10 = 136 mod 18
m=19: 106 mod 19 = 11 ≠ 3 = 136 mod 19
m=20: 106 mod 20 = 6 ≠ 16 = 136 mod 20
m=21: 106 mod 21 = 1 ≠ 10 = 136 mod 21
m=22: 106 mod 22 = 18 ≠ 4 = 136 mod 22
m=23: 106 mod 23 = 14 ≠ 21 = 136 mod 23
m=24: 106 mod 24 = 10 ≠ 16 = 136 mod 24
m=25: 106 mod 25 = 6 ≠ 11 = 136 mod 25
m=26: 106 mod 26 = 2 ≠ 6 = 136 mod 26
m=27: 106 mod 27 = 25 ≠ 1 = 136 mod 27
m=28: 106 mod 28 = 22 ≠ 24 = 136 mod 28
m=29: 106 mod 29 = 19 ≠ 20 = 136 mod 29
m=30: 106 mod 30 = 16 = 16 = 136 mod 30
m=31: 106 mod 31 = 13 ≠ 12 = 136 mod 31
m=32: 106 mod 32 = 10 ≠ 8 = 136 mod 32
m=33: 106 mod 33 = 7 ≠ 4 = 136 mod 33
m=34: 106 mod 34 = 4 ≠ 0 = 136 mod 34
m=35: 106 mod 35 = 1 ≠ 31 = 136 mod 35
m=36: 106 mod 36 = 34 ≠ 28 = 136 mod 36
m=37: 106 mod 37 = 32 ≠ 25 = 136 mod 37
m=38: 106 mod 38 = 30 ≠ 22 = 136 mod 38
m=39: 106 mod 39 = 28 ≠ 19 = 136 mod 39
m=40: 106 mod 40 = 26 ≠ 16 = 136 mod 40
m=41: 106 mod 41 = 24 ≠ 13 = 136 mod 41
m=42: 106 mod 42 = 22 ≠ 10 = 136 mod 42
m=43: 106 mod 43 = 20 ≠ 7 = 136 mod 43
m=44: 106 mod 44 = 18 ≠ 4 = 136 mod 44
m=45: 106 mod 45 = 16 ≠ 1 = 136 mod 45
m=46: 106 mod 46 = 14 ≠ 44 = 136 mod 46
m=47: 106 mod 47 = 12 ≠ 42 = 136 mod 47
m=48: 106 mod 48 = 10 ≠ 40 = 136 mod 48
m=49: 106 mod 49 = 8 ≠ 38 = 136 mod 49
m=50: 106 mod 50 = 6 ≠ 36 = 136 mod 50
m=51: 106 mod 51 = 4 ≠ 34 = 136 mod 51
m=52: 106 mod 52 = 2 ≠ 32 = 136 mod 52
m=53: 106 mod 53 = 0 ≠ 30 = 136 mod 53
m=54: 106 mod 54 = 52 ≠ 28 = 136 mod 54
m=55: 106 mod 55 = 51 ≠ 26 = 136 mod 55
m=56: 106 mod 56 = 50 ≠ 24 = 136 mod 56
m=57: 106 mod 57 = 49 ≠ 22 = 136 mod 57
m=58: 106 mod 58 = 48 ≠ 20 = 136 mod 58
m=59: 106 mod 59 = 47 ≠ 18 = 136 mod 59
m=60: 106 mod 60 = 46 ≠ 16 = 136 mod 60
m=61: 106 mod 61 = 45 ≠ 14 = 136 mod 61
m=62: 106 mod 62 = 44 ≠ 12 = 136 mod 62
m=63: 106 mod 63 = 43 ≠ 10 = 136 mod 63
m=64: 106 mod 64 = 42 ≠ 8 = 136 mod 64
m=65: 106 mod 65 = 41 ≠ 6 = 136 mod 65
m=66: 106 mod 66 = 40 ≠ 4 = 136 mod 66
m=67: 106 mod 67 = 39 ≠ 2 = 136 mod 67
m=68: 106 mod 68 = 38 ≠ 0 = 136 mod 68
m=69: 106 mod 69 = 37 ≠ 67 = 136 mod 69
m=70: 106 mod 70 = 36 ≠ 66 = 136 mod 70
m=71: 106 mod 71 = 35 ≠ 65 = 136 mod 71
m=72: 106 mod 72 = 34 ≠ 64 = 136 mod 72
m=73: 106 mod 73 = 33 ≠ 63 = 136 mod 73
m=74: 106 mod 74 = 32 ≠ 62 = 136 mod 74
m=75: 106 mod 75 = 31 ≠ 61 = 136 mod 75
m=76: 106 mod 76 = 30 ≠ 60 = 136 mod 76
m=77: 106 mod 77 = 29 ≠ 59 = 136 mod 77
m=78: 106 mod 78 = 28 ≠ 58 = 136 mod 78
m=79: 106 mod 79 = 27 ≠ 57 = 136 mod 79
m=80: 106 mod 80 = 26 ≠ 56 = 136 mod 80
m=81: 106 mod 81 = 25 ≠ 55 = 136 mod 81
m=82: 106 mod 82 = 24 ≠ 54 = 136 mod 82
m=83: 106 mod 83 = 23 ≠ 53 = 136 mod 83
m=84: 106 mod 84 = 22 ≠ 52 = 136 mod 84
m=85: 106 mod 85 = 21 ≠ 51 = 136 mod 85
m=86: 106 mod 86 = 20 ≠ 50 = 136 mod 86
m=87: 106 mod 87 = 19 ≠ 49 = 136 mod 87
m=88: 106 mod 88 = 18 ≠ 48 = 136 mod 88
m=89: 106 mod 89 = 17 ≠ 47 = 136 mod 89
m=90: 106 mod 90 = 16 ≠ 46 = 136 mod 90
m=91: 106 mod 91 = 15 ≠ 45 = 136 mod 91
m=92: 106 mod 92 = 14 ≠ 44 = 136 mod 92
m=93: 106 mod 93 = 13 ≠ 43 = 136 mod 93
m=94: 106 mod 94 = 12 ≠ 42 = 136 mod 94
m=95: 106 mod 95 = 11 ≠ 41 = 136 mod 95
m=96: 106 mod 96 = 10 ≠ 40 = 136 mod 96
m=97: 106 mod 97 = 9 ≠ 39 = 136 mod 97
m=98: 106 mod 98 = 8 ≠ 38 = 136 mod 98
m=99: 106 mod 99 = 7 ≠ 37 = 136 mod 99
m=100: 106 mod 100 = 6 ≠ 36 = 136 mod 100
m=101: 106 mod 101 = 5 ≠ 35 = 136 mod 101
m=102: 106 mod 102 = 4 ≠ 34 = 136 mod 102
m=103: 106 mod 103 = 3 ≠ 33 = 136 mod 103
m=104: 106 mod 104 = 2 ≠ 32 = 136 mod 104
m=105: 106 mod 105 = 1 ≠ 31 = 136 mod 105
m=106: 106 mod 106 = 0 ≠ 30 = 136 mod 106
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (136 - 106) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
