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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 67 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 67 - 66 = 1.

Somit gilt: 67 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 81 für die gilt n ≡ 85 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 77 = 8.

Somit gilt: 85 mod 11 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 81 für die gilt: n ≡ 8 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 6 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 8 mod 11 sein, also addieren wir noch 8 auf die 66 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 85 ≡ 8 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2795 + 34996) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2795 + 34996) mod 7 ≡ (2795 mod 7 + 34996 mod 7) mod 7.

2795 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2795 = 2800-5 = 7 ⋅ 400 -5 = 7 ⋅ 400 - 7 + 2.

34996 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34996 = 35000-4 = 7 ⋅ 5000 -4 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 3.

Somit gilt:

(2795 + 34996) mod 7 ≡ (2 + 3) mod 7 ≡ 5 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (97 ⋅ 84) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(97 ⋅ 84) mod 4 ≡ (97 mod 4 ⋅ 84 mod 4) mod 4.

97 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 96 + 1 = 24 ⋅ 4 + 1 ist.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(97 ⋅ 84) mod 4 ≡ (1 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
130 mod m = 180 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 130 aus, ob zufällig 130 mod m = 180 mod m gilt:

m=2: 130 mod 2 = 0 = 0 = 180 mod 2

m=3: 130 mod 3 = 1 ≠ 0 = 180 mod 3

m=4: 130 mod 4 = 2 ≠ 0 = 180 mod 4

m=5: 130 mod 5 = 0 = 0 = 180 mod 5

m=6: 130 mod 6 = 4 ≠ 0 = 180 mod 6

m=7: 130 mod 7 = 4 ≠ 5 = 180 mod 7

m=8: 130 mod 8 = 2 ≠ 4 = 180 mod 8

m=9: 130 mod 9 = 4 ≠ 0 = 180 mod 9

m=10: 130 mod 10 = 0 = 0 = 180 mod 10

m=11: 130 mod 11 = 9 ≠ 4 = 180 mod 11

m=12: 130 mod 12 = 10 ≠ 0 = 180 mod 12

m=13: 130 mod 13 = 0 ≠ 11 = 180 mod 13

m=14: 130 mod 14 = 4 ≠ 12 = 180 mod 14

m=15: 130 mod 15 = 10 ≠ 0 = 180 mod 15

m=16: 130 mod 16 = 2 ≠ 4 = 180 mod 16

m=17: 130 mod 17 = 11 ≠ 10 = 180 mod 17

m=18: 130 mod 18 = 4 ≠ 0 = 180 mod 18

m=19: 130 mod 19 = 16 ≠ 9 = 180 mod 19

m=20: 130 mod 20 = 10 ≠ 0 = 180 mod 20

m=21: 130 mod 21 = 4 ≠ 12 = 180 mod 21

m=22: 130 mod 22 = 20 ≠ 4 = 180 mod 22

m=23: 130 mod 23 = 15 ≠ 19 = 180 mod 23

m=24: 130 mod 24 = 10 ≠ 12 = 180 mod 24

m=25: 130 mod 25 = 5 = 5 = 180 mod 25

m=26: 130 mod 26 = 0 ≠ 24 = 180 mod 26

m=27: 130 mod 27 = 22 ≠ 18 = 180 mod 27

m=28: 130 mod 28 = 18 ≠ 12 = 180 mod 28

m=29: 130 mod 29 = 14 ≠ 6 = 180 mod 29

m=30: 130 mod 30 = 10 ≠ 0 = 180 mod 30

m=31: 130 mod 31 = 6 ≠ 25 = 180 mod 31

m=32: 130 mod 32 = 2 ≠ 20 = 180 mod 32

m=33: 130 mod 33 = 31 ≠ 15 = 180 mod 33

m=34: 130 mod 34 = 28 ≠ 10 = 180 mod 34

m=35: 130 mod 35 = 25 ≠ 5 = 180 mod 35

m=36: 130 mod 36 = 22 ≠ 0 = 180 mod 36

m=37: 130 mod 37 = 19 ≠ 32 = 180 mod 37

m=38: 130 mod 38 = 16 ≠ 28 = 180 mod 38

m=39: 130 mod 39 = 13 ≠ 24 = 180 mod 39

m=40: 130 mod 40 = 10 ≠ 20 = 180 mod 40

m=41: 130 mod 41 = 7 ≠ 16 = 180 mod 41

m=42: 130 mod 42 = 4 ≠ 12 = 180 mod 42

m=43: 130 mod 43 = 1 ≠ 8 = 180 mod 43

m=44: 130 mod 44 = 42 ≠ 4 = 180 mod 44

m=45: 130 mod 45 = 40 ≠ 0 = 180 mod 45

m=46: 130 mod 46 = 38 ≠ 42 = 180 mod 46

m=47: 130 mod 47 = 36 ≠ 39 = 180 mod 47

m=48: 130 mod 48 = 34 ≠ 36 = 180 mod 48

m=49: 130 mod 49 = 32 ≠ 33 = 180 mod 49

m=50: 130 mod 50 = 30 = 30 = 180 mod 50

m=51: 130 mod 51 = 28 ≠ 27 = 180 mod 51

m=52: 130 mod 52 = 26 ≠ 24 = 180 mod 52

m=53: 130 mod 53 = 24 ≠ 21 = 180 mod 53

m=54: 130 mod 54 = 22 ≠ 18 = 180 mod 54

m=55: 130 mod 55 = 20 ≠ 15 = 180 mod 55

m=56: 130 mod 56 = 18 ≠ 12 = 180 mod 56

m=57: 130 mod 57 = 16 ≠ 9 = 180 mod 57

m=58: 130 mod 58 = 14 ≠ 6 = 180 mod 58

m=59: 130 mod 59 = 12 ≠ 3 = 180 mod 59

m=60: 130 mod 60 = 10 ≠ 0 = 180 mod 60

m=61: 130 mod 61 = 8 ≠ 58 = 180 mod 61

m=62: 130 mod 62 = 6 ≠ 56 = 180 mod 62

m=63: 130 mod 63 = 4 ≠ 54 = 180 mod 63

m=64: 130 mod 64 = 2 ≠ 52 = 180 mod 64

m=65: 130 mod 65 = 0 ≠ 50 = 180 mod 65

m=66: 130 mod 66 = 64 ≠ 48 = 180 mod 66

m=67: 130 mod 67 = 63 ≠ 46 = 180 mod 67

m=68: 130 mod 68 = 62 ≠ 44 = 180 mod 68

m=69: 130 mod 69 = 61 ≠ 42 = 180 mod 69

m=70: 130 mod 70 = 60 ≠ 40 = 180 mod 70

m=71: 130 mod 71 = 59 ≠ 38 = 180 mod 71

m=72: 130 mod 72 = 58 ≠ 36 = 180 mod 72

m=73: 130 mod 73 = 57 ≠ 34 = 180 mod 73

m=74: 130 mod 74 = 56 ≠ 32 = 180 mod 74

m=75: 130 mod 75 = 55 ≠ 30 = 180 mod 75

m=76: 130 mod 76 = 54 ≠ 28 = 180 mod 76

m=77: 130 mod 77 = 53 ≠ 26 = 180 mod 77

m=78: 130 mod 78 = 52 ≠ 24 = 180 mod 78

m=79: 130 mod 79 = 51 ≠ 22 = 180 mod 79

m=80: 130 mod 80 = 50 ≠ 20 = 180 mod 80

m=81: 130 mod 81 = 49 ≠ 18 = 180 mod 81

m=82: 130 mod 82 = 48 ≠ 16 = 180 mod 82

m=83: 130 mod 83 = 47 ≠ 14 = 180 mod 83

m=84: 130 mod 84 = 46 ≠ 12 = 180 mod 84

m=85: 130 mod 85 = 45 ≠ 10 = 180 mod 85

m=86: 130 mod 86 = 44 ≠ 8 = 180 mod 86

m=87: 130 mod 87 = 43 ≠ 6 = 180 mod 87

m=88: 130 mod 88 = 42 ≠ 4 = 180 mod 88

m=89: 130 mod 89 = 41 ≠ 2 = 180 mod 89

m=90: 130 mod 90 = 40 ≠ 0 = 180 mod 90

m=91: 130 mod 91 = 39 ≠ 89 = 180 mod 91

m=92: 130 mod 92 = 38 ≠ 88 = 180 mod 92

m=93: 130 mod 93 = 37 ≠ 87 = 180 mod 93

m=94: 130 mod 94 = 36 ≠ 86 = 180 mod 94

m=95: 130 mod 95 = 35 ≠ 85 = 180 mod 95

m=96: 130 mod 96 = 34 ≠ 84 = 180 mod 96

m=97: 130 mod 97 = 33 ≠ 83 = 180 mod 97

m=98: 130 mod 98 = 32 ≠ 82 = 180 mod 98

m=99: 130 mod 99 = 31 ≠ 81 = 180 mod 99

m=100: 130 mod 100 = 30 ≠ 80 = 180 mod 100

m=101: 130 mod 101 = 29 ≠ 79 = 180 mod 101

m=102: 130 mod 102 = 28 ≠ 78 = 180 mod 102

m=103: 130 mod 103 = 27 ≠ 77 = 180 mod 103

m=104: 130 mod 104 = 26 ≠ 76 = 180 mod 104

m=105: 130 mod 105 = 25 ≠ 75 = 180 mod 105

m=106: 130 mod 106 = 24 ≠ 74 = 180 mod 106

m=107: 130 mod 107 = 23 ≠ 73 = 180 mod 107

m=108: 130 mod 108 = 22 ≠ 72 = 180 mod 108

m=109: 130 mod 109 = 21 ≠ 71 = 180 mod 109

m=110: 130 mod 110 = 20 ≠ 70 = 180 mod 110

m=111: 130 mod 111 = 19 ≠ 69 = 180 mod 111

m=112: 130 mod 112 = 18 ≠ 68 = 180 mod 112

m=113: 130 mod 113 = 17 ≠ 67 = 180 mod 113

m=114: 130 mod 114 = 16 ≠ 66 = 180 mod 114

m=115: 130 mod 115 = 15 ≠ 65 = 180 mod 115

m=116: 130 mod 116 = 14 ≠ 64 = 180 mod 116

m=117: 130 mod 117 = 13 ≠ 63 = 180 mod 117

m=118: 130 mod 118 = 12 ≠ 62 = 180 mod 118

m=119: 130 mod 119 = 11 ≠ 61 = 180 mod 119

m=120: 130 mod 120 = 10 ≠ 60 = 180 mod 120

m=121: 130 mod 121 = 9 ≠ 59 = 180 mod 121

m=122: 130 mod 122 = 8 ≠ 58 = 180 mod 122

m=123: 130 mod 123 = 7 ≠ 57 = 180 mod 123

m=124: 130 mod 124 = 6 ≠ 56 = 180 mod 124

m=125: 130 mod 125 = 5 ≠ 55 = 180 mod 125

m=126: 130 mod 126 = 4 ≠ 54 = 180 mod 126

m=127: 130 mod 127 = 3 ≠ 53 = 180 mod 127

m=128: 130 mod 128 = 2 ≠ 52 = 180 mod 128

m=129: 130 mod 129 = 1 ≠ 51 = 180 mod 129

m=130: 130 mod 130 = 0 ≠ 50 = 180 mod 130

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (180 - 130) = 50 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10; 25; 50