nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 10 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 32 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 28, weil ja 4 ⋅ 7 = 28 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 28 = 4.

Somit gilt: 32 mod 7 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 4 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 77 = 11 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 4 mod 7 sein, also addieren wir noch 4 auf die 77 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 32 ≡ 4 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 + 2003) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 + 2003) mod 5 ≡ (96 mod 5 + 2003 mod 5) mod 5.

96 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 5 ⋅ 18 +6.

2003 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2003 = 2000+3 = 5 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(96 + 2003) mod 5 ≡ (1 + 3) mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (72 ⋅ 65) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(72 ⋅ 65) mod 6 ≡ (72 mod 6 ⋅ 65 mod 6) mod 6.

72 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 72 + 0 = 12 ⋅ 6 + 0 ist.

65 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 65 = 60 + 5 = 10 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(72 ⋅ 65) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 39 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 = 4 = 39 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 = 9 = 39 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 10 = 39 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 29) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10