nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 26 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 26 - 22 = 4.

Somit gilt: 26 mod 11 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 74 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 70 = 4.

Somit gilt: 74 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 8 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 40 und erhalten so 44.

Somit gilt: 44 ≡ 74 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12004 + 19999) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12004 + 19999) mod 4 ≡ (12004 mod 4 + 19999 mod 4) mod 4.

12004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12004 = 12000+4 = 4 ⋅ 3000 +4.

19999 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19999 = 19000+999 = 4 ⋅ 4750 +999.

Somit gilt:

(12004 + 19999) mod 4 ≡ (0 + 3) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 41) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 41) mod 9 ≡ (47 mod 9 ⋅ 41 mod 9) mod 9.

47 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 5 ⋅ 9 + 2 ist.

41 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 41 = 36 + 5 = 4 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 41) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
15 mod m = 19 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 15 aus, ob zufällig 15 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 15 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 15 mod 3 = 0 ≠ 1 = 19 mod 3

m=4: 15 mod 4 = 3 = 3 = 19 mod 4

m=5: 15 mod 5 = 0 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 15 mod 6 = 3 ≠ 1 = 19 mod 6

m=7: 15 mod 7 = 1 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 15 mod 8 = 7 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 15 mod 9 = 6 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 15 mod 10 = 5 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 15 mod 11 = 4 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 15 mod 12 = 3 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 15 mod 13 = 2 ≠ 6 = 19 mod 13

m=14: 15 mod 14 = 1 ≠ 5 = 19 mod 14

m=15: 15 mod 15 = 0 ≠ 4 = 19 mod 15

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 15) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4