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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 46 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 45, weil ja 15 ⋅ 3 = 45 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 46 - 45 = 1.
Somit gilt: 46 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 91 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 88, weil ja 22 ⋅ 4 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.
Somit gilt: 91 mod 4 ≡ 3.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 80 und erhalten so 83.
Somit gilt: 83 ≡ 91 ≡ 3 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (320 + 78) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(320 + 78) mod 8 ≡ (320 mod 8 + 78 mod 8) mod 8.
320 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 320
= 320
78 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 78
= 80
Somit gilt:
(320 + 78) mod 8 ≡ (0 + 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 36) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(77 ⋅ 36) mod 3 ≡ (77 mod 3 ⋅ 36 mod 3) mod 3.
77 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 75 + 2 = 25 ⋅ 3 + 2 ist.
36 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 36 + 0 = 12 ⋅ 3 + 0 ist.
Somit gilt:
(77 ⋅ 36) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
47 mod m = 62 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 47 aus, ob zufällig 47 mod m = 62 mod m gilt:
m=2: 47 mod 2 = 1 ≠ 0 = 62 mod 2
m=3: 47 mod 3 = 2 = 2 = 62 mod 3
m=4: 47 mod 4 = 3 ≠ 2 = 62 mod 4
m=5: 47 mod 5 = 2 = 2 = 62 mod 5
m=6: 47 mod 6 = 5 ≠ 2 = 62 mod 6
m=7: 47 mod 7 = 5 ≠ 6 = 62 mod 7
m=8: 47 mod 8 = 7 ≠ 6 = 62 mod 8
m=9: 47 mod 9 = 2 ≠ 8 = 62 mod 9
m=10: 47 mod 10 = 7 ≠ 2 = 62 mod 10
m=11: 47 mod 11 = 3 ≠ 7 = 62 mod 11
m=12: 47 mod 12 = 11 ≠ 2 = 62 mod 12
m=13: 47 mod 13 = 8 ≠ 10 = 62 mod 13
m=14: 47 mod 14 = 5 ≠ 6 = 62 mod 14
m=15: 47 mod 15 = 2 = 2 = 62 mod 15
m=16: 47 mod 16 = 15 ≠ 14 = 62 mod 16
m=17: 47 mod 17 = 13 ≠ 11 = 62 mod 17
m=18: 47 mod 18 = 11 ≠ 8 = 62 mod 18
m=19: 47 mod 19 = 9 ≠ 5 = 62 mod 19
m=20: 47 mod 20 = 7 ≠ 2 = 62 mod 20
m=21: 47 mod 21 = 5 ≠ 20 = 62 mod 21
m=22: 47 mod 22 = 3 ≠ 18 = 62 mod 22
m=23: 47 mod 23 = 1 ≠ 16 = 62 mod 23
m=24: 47 mod 24 = 23 ≠ 14 = 62 mod 24
m=25: 47 mod 25 = 22 ≠ 12 = 62 mod 25
m=26: 47 mod 26 = 21 ≠ 10 = 62 mod 26
m=27: 47 mod 27 = 20 ≠ 8 = 62 mod 27
m=28: 47 mod 28 = 19 ≠ 6 = 62 mod 28
m=29: 47 mod 29 = 18 ≠ 4 = 62 mod 29
m=30: 47 mod 30 = 17 ≠ 2 = 62 mod 30
m=31: 47 mod 31 = 16 ≠ 0 = 62 mod 31
m=32: 47 mod 32 = 15 ≠ 30 = 62 mod 32
m=33: 47 mod 33 = 14 ≠ 29 = 62 mod 33
m=34: 47 mod 34 = 13 ≠ 28 = 62 mod 34
m=35: 47 mod 35 = 12 ≠ 27 = 62 mod 35
m=36: 47 mod 36 = 11 ≠ 26 = 62 mod 36
m=37: 47 mod 37 = 10 ≠ 25 = 62 mod 37
m=38: 47 mod 38 = 9 ≠ 24 = 62 mod 38
m=39: 47 mod 39 = 8 ≠ 23 = 62 mod 39
m=40: 47 mod 40 = 7 ≠ 22 = 62 mod 40
m=41: 47 mod 41 = 6 ≠ 21 = 62 mod 41
m=42: 47 mod 42 = 5 ≠ 20 = 62 mod 42
m=43: 47 mod 43 = 4 ≠ 19 = 62 mod 43
m=44: 47 mod 44 = 3 ≠ 18 = 62 mod 44
m=45: 47 mod 45 = 2 ≠ 17 = 62 mod 45
m=46: 47 mod 46 = 1 ≠ 16 = 62 mod 46
m=47: 47 mod 47 = 0 ≠ 15 = 62 mod 47
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (62 - 47) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15