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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 79 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 79 - 78 = 1.

Somit gilt: 79 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 27 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 27 - 24 = 3.

Somit gilt: 27 mod 4 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 48 = 12 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 3 mod 4 sein, also addieren wir noch 3 auf die 48 und erhalten so 51.

Somit gilt: 51 ≡ 27 ≡ 3 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (12003 - 605) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(12003 - 605) mod 6 ≡ (12003 mod 6 - 605 mod 6) mod 6.

12003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 6 ⋅ 2000 +3.

605 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 605 = 600+5 = 6 ⋅ 100 +5.

Somit gilt:

(12003 - 605) mod 6 ≡ (3 - 5) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (96 ⋅ 79) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(96 ⋅ 79) mod 4 ≡ (96 mod 4 ⋅ 79 mod 4) mod 4.

96 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 96 + 0 = 24 ⋅ 4 + 0 ist.

79 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 76 + 3 = 19 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(96 ⋅ 79) mod 4 ≡ (0 ⋅ 3) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8