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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 24 - 21 = 3.
Somit gilt: 24 mod 7 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 43 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 43 - 42 = 1.
Somit gilt: 43 mod 6 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 10, z.B. 12 = 2 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 1 mod 6 sein, also addieren wir noch 1 auf die 12 und erhalten so 13.
Somit gilt: 13 ≡ 43 ≡ 1 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (238 - 162) mod 8.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(238 - 162) mod 8 ≡ (238 mod 8 - 162 mod 8) mod 8.
238 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 238
= 240
162 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 162
= 160
Somit gilt:
(238 - 162) mod 8 ≡ (6 - 2) mod 8 ≡ 4 mod 8.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 92) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(81 ⋅ 92) mod 7 ≡ (81 mod 7 ⋅ 92 mod 7) mod 7.
81 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 77 + 4 = 11 ⋅ 7 + 4 ist.
92 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 91 + 1 = 13 ⋅ 7 + 1 ist.
Somit gilt:
(81 ⋅ 92) mod 7 ≡ (4 ⋅ 1) mod 7 ≡ 4 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
63 mod m = 88 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 88 mod m gilt:
m=2: 63 mod 2 = 1 ≠ 0 = 88 mod 2
m=3: 63 mod 3 = 0 ≠ 1 = 88 mod 3
m=4: 63 mod 4 = 3 ≠ 0 = 88 mod 4
m=5: 63 mod 5 = 3 = 3 = 88 mod 5
m=6: 63 mod 6 = 3 ≠ 4 = 88 mod 6
m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 4 = 88 mod 7
m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 0 = 88 mod 8
m=9: 63 mod 9 = 0 ≠ 7 = 88 mod 9
m=10: 63 mod 10 = 3 ≠ 8 = 88 mod 10
m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 0 = 88 mod 11
m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 4 = 88 mod 12
m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 10 = 88 mod 13
m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 4 = 88 mod 14
m=15: 63 mod 15 = 3 ≠ 13 = 88 mod 15
m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 8 = 88 mod 16
m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 3 = 88 mod 17
m=18: 63 mod 18 = 9 ≠ 16 = 88 mod 18
m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 12 = 88 mod 19
m=20: 63 mod 20 = 3 ≠ 8 = 88 mod 20
m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 4 = 88 mod 21
m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 0 = 88 mod 22
m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 19 = 88 mod 23
m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 16 = 88 mod 24
m=25: 63 mod 25 = 13 = 13 = 88 mod 25
m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 10 = 88 mod 26
m=27: 63 mod 27 = 9 ≠ 7 = 88 mod 27
m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 4 = 88 mod 28
m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 1 = 88 mod 29
m=30: 63 mod 30 = 3 ≠ 28 = 88 mod 30
m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 26 = 88 mod 31
m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 24 = 88 mod 32
m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 22 = 88 mod 33
m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 20 = 88 mod 34
m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 18 = 88 mod 35
m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 16 = 88 mod 36
m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 14 = 88 mod 37
m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 12 = 88 mod 38
m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 10 = 88 mod 39
m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 8 = 88 mod 40
m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 6 = 88 mod 41
m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 4 = 88 mod 42
m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 2 = 88 mod 43
m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 0 = 88 mod 44
m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 43 = 88 mod 45
m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 42 = 88 mod 46
m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 41 = 88 mod 47
m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 40 = 88 mod 48
m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 39 = 88 mod 49
m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 38 = 88 mod 50
m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 37 = 88 mod 51
m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 36 = 88 mod 52
m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 35 = 88 mod 53
m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 34 = 88 mod 54
m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 33 = 88 mod 55
m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 32 = 88 mod 56
m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 31 = 88 mod 57
m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 30 = 88 mod 58
m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 29 = 88 mod 59
m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 28 = 88 mod 60
m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 27 = 88 mod 61
m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 26 = 88 mod 62
m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 25 = 88 mod 63
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (88 - 63) = 25 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
5; 25
