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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 93 = 0.

Somit gilt: 93 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 90 für die gilt n ≡ 77 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 70 = 7.

Somit gilt: 77 mod 10 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 90 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 8 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 80 und erhalten so 87.

Somit gilt: 87 ≡ 77 ≡ 7 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15997 + 328) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15997 + 328) mod 8 ≡ (15997 mod 8 + 328 mod 8) mod 8.

15997 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997 = 15000+997 = 8 ⋅ 1875 +997.

328 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 328 = 320+8 = 8 ⋅ 40 +8.

Somit gilt:

(15997 + 328) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (30 ⋅ 47) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(30 ⋅ 47) mod 6 ≡ (30 mod 6 ⋅ 47 mod 6) mod 6.

30 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 5 ⋅ 6 + 0 ist.

47 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 42 + 5 = 7 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(30 ⋅ 47) mod 6 ≡ (0 ⋅ 5) mod 6 ≡ 0 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
26 mod m = 35 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 26 aus, ob zufällig 26 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 26 mod 2 = 0 ≠ 1 = 35 mod 2

m=3: 26 mod 3 = 2 = 2 = 35 mod 3

m=4: 26 mod 4 = 2 ≠ 3 = 35 mod 4

m=5: 26 mod 5 = 1 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 26 mod 6 = 2 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 26 mod 7 = 5 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 26 mod 8 = 2 ≠ 3 = 35 mod 8

m=9: 26 mod 9 = 8 = 8 = 35 mod 9

m=10: 26 mod 10 = 6 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 26 mod 11 = 4 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 26 mod 12 = 2 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 26 mod 13 = 0 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 26 mod 14 = 12 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 26 mod 15 = 11 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 26 mod 16 = 10 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 26 mod 17 = 9 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 26 mod 18 = 8 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 26 mod 19 = 7 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 26 mod 20 = 6 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 26 mod 21 = 5 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 26 mod 22 = 4 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 26 mod 23 = 3 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 26 mod 24 = 2 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 26 mod 25 = 1 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 26 mod 26 = 0 ≠ 9 = 35 mod 26

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 26) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9