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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 70 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 66, weil ja 11 ⋅ 6 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 66 = 4.

Somit gilt: 70 mod 6 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 99 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 98, weil ja 14 ⋅ 7 = 98 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 99 - 98 = 1.

Somit gilt: 99 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 42 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 99 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2395 - 40004) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2395 - 40004) mod 8 ≡ (2395 mod 8 - 40004 mod 8) mod 8.

2395 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2395 = 2400-5 = 8 ⋅ 300 -5 = 8 ⋅ 300 - 8 + 3.

40004 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40004 = 40000+4 = 8 ⋅ 5000 +4.

Somit gilt:

(2395 - 40004) mod 8 ≡ (3 - 4) mod 8 ≡ -1 mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (68 ⋅ 48) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(68 ⋅ 48) mod 3 ≡ (68 mod 3 ⋅ 48 mod 3) mod 3.

68 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 66 + 2 = 22 ⋅ 3 + 2 ist.

48 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 48 + 0 = 16 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(68 ⋅ 48) mod 3 ≡ (2 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
63 mod m = 81 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 81 mod m gilt:

m=2: 63 mod 2 = 1 = 1 = 81 mod 2

m=3: 63 mod 3 = 0 = 0 = 81 mod 3

m=4: 63 mod 4 = 3 ≠ 1 = 81 mod 4

m=5: 63 mod 5 = 3 ≠ 1 = 81 mod 5

m=6: 63 mod 6 = 3 = 3 = 81 mod 6

m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 4 = 81 mod 7

m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 1 = 81 mod 8

m=9: 63 mod 9 = 0 = 0 = 81 mod 9

m=10: 63 mod 10 = 3 ≠ 1 = 81 mod 10

m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 4 = 81 mod 11

m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 9 = 81 mod 12

m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 3 = 81 mod 13

m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 11 = 81 mod 14

m=15: 63 mod 15 = 3 ≠ 6 = 81 mod 15

m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 1 = 81 mod 16

m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 13 = 81 mod 17

m=18: 63 mod 18 = 9 = 9 = 81 mod 18

m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 5 = 81 mod 19

m=20: 63 mod 20 = 3 ≠ 1 = 81 mod 20

m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 18 = 81 mod 21

m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 15 = 81 mod 22

m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 12 = 81 mod 23

m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 9 = 81 mod 24

m=25: 63 mod 25 = 13 ≠ 6 = 81 mod 25

m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 3 = 81 mod 26

m=27: 63 mod 27 = 9 ≠ 0 = 81 mod 27

m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 25 = 81 mod 28

m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 23 = 81 mod 29

m=30: 63 mod 30 = 3 ≠ 21 = 81 mod 30

m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 19 = 81 mod 31

m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 17 = 81 mod 32

m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 15 = 81 mod 33

m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 13 = 81 mod 34

m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 11 = 81 mod 35

m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 9 = 81 mod 36

m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 7 = 81 mod 37

m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 5 = 81 mod 38

m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 3 = 81 mod 39

m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 1 = 81 mod 40

m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 40 = 81 mod 41

m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 39 = 81 mod 42

m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 38 = 81 mod 43

m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 37 = 81 mod 44

m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 36 = 81 mod 45

m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 35 = 81 mod 46

m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 34 = 81 mod 47

m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 33 = 81 mod 48

m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 32 = 81 mod 49

m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 31 = 81 mod 50

m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 30 = 81 mod 51

m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 29 = 81 mod 52

m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 28 = 81 mod 53

m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 27 = 81 mod 54

m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 26 = 81 mod 55

m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 25 = 81 mod 56

m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 24 = 81 mod 57

m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 23 = 81 mod 58

m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 22 = 81 mod 59

m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 21 = 81 mod 60

m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 20 = 81 mod 61

m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 19 = 81 mod 62

m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 18 = 81 mod 63

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (81 - 63) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18