nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 24 = 4.

Somit gilt: 28 mod 6 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 50 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 45, weil ja 5 ⋅ 9 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 50 - 45 = 5.

Somit gilt: 50 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 9 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 50 ≡ 5 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (86 + 96) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(86 + 96) mod 9 ≡ (86 mod 9 + 96 mod 9) mod 9.

86 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 86 = 90-4 = 9 ⋅ 10 -4 = 9 ⋅ 10 - 9 + 5.

96 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 96 = 90+6 = 9 ⋅ 10 +6.

Somit gilt:

(86 + 96) mod 9 ≡ (5 + 6) mod 9 ≡ 11 mod 9 ≡ 2 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 98) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 98) mod 9 ≡ (18 mod 9 ⋅ 98 mod 9) mod 9.

18 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 18 + 0 = 2 ⋅ 9 + 0 ist.

98 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 98 = 90 + 8 = 10 ⋅ 9 + 8 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 98) mod 9 ≡ (0 ⋅ 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 27 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 = 1 = 27 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 = 3 = 27 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 ≠ 0 = 27 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 9 = 27 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 8 = 27 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 7 = 27 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 6 = 27 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 21) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6