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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 92 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 92 - 90 = 2.

Somit gilt: 92 mod 6 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 91 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 80, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Somit gilt: 84 ≡ 91 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1404 - 7000) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1404 - 7000) mod 7 ≡ (1404 mod 7 - 7000 mod 7) mod 7.

1404 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1404 = 1400+4 = 7 ⋅ 200 +4.

7000 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 7000 = 7000+0 = 7 ⋅ 1000 +0.

Somit gilt:

(1404 - 7000) mod 7 ≡ (4 - 0) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 28) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 28) mod 10 ≡ (84 mod 10 ⋅ 28 mod 10) mod 10.

84 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 80 + 4 = 8 ⋅ 10 + 4 ist.

28 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 20 + 8 = 2 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 28) mod 10 ≡ (4 ⋅ 8) mod 10 ≡ 32 mod 10 ≡ 2 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 41 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12