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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 70 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 68, weil ja 17 ⋅ 4 = 68 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 70 - 68 = 2.

Somit gilt: 70 mod 4 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 32 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 32 - 32 = 0.

Somit gilt: 32 mod 8 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 0 mod 8.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 10 ⋅ 8

Somit gilt: 80 ≡ 32 ≡ 0 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (237 - 126) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(237 - 126) mod 6 ≡ (237 mod 6 - 126 mod 6) mod 6.

237 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 237 = 240-3 = 6 ⋅ 40 -3 = 6 ⋅ 40 - 6 + 3.

126 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 126 = 120+6 = 6 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(237 - 126) mod 6 ≡ (3 - 0) mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (47 ⋅ 21) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(47 ⋅ 21) mod 5 ≡ (47 mod 5 ⋅ 21 mod 5) mod 5.

47 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 9 ⋅ 5 + 2 ist.

21 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 4 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(47 ⋅ 21) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
43 mod m = 61 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 = 1 = 61 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 ≠ 1 = 61 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 = 1 = 61 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 = 7 = 61 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 ≠ 1 = 61 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 = 7 = 61 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 18 = 61 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 43) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18