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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 40 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 40, weil ja 4 ⋅ 10 = 40 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 40 - 40 = 0.

Somit gilt: 40 mod 10 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 90 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 90 - 84 = 6.

Somit gilt: 90 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 49 = 7 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 49 und erhalten so 55.

Somit gilt: 55 ≡ 90 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (21001 + 77) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(21001 + 77) mod 7 ≡ (21001 mod 7 + 77 mod 7) mod 7.

21001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21001 = 21000+1 = 7 ⋅ 3000 +1.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70+7 = 7 ⋅ 10 +7.

Somit gilt:

(21001 + 77) mod 7 ≡ (1 + 0) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 90) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 90) mod 3 ≡ (85 mod 3 ⋅ 90 mod 3) mod 3.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

90 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 90 = 90 + 0 = 30 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 90) mod 3 ≡ (1 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 19 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 19 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 19 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 = 1 = 19 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 ≠ 3 = 19 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 4 = 19 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 = 1 = 19 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 5 = 19 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 3 = 19 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 1 = 19 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 9 = 19 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 8 = 19 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 7 = 19 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 6 = 19 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (19 - 13) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6