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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 17 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.

Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 91 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 91 = 0.

Somit gilt: 91 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 50, z.B. 56 = 8 ⋅ 7

Somit gilt: 56 ≡ 91 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (356 - 146) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(356 - 146) mod 7 ≡ (356 mod 7 - 146 mod 7) mod 7.

356 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 356 = 350+6 = 7 ⋅ 50 +6.

146 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 146 = 140+6 = 7 ⋅ 20 +6.

Somit gilt:

(356 - 146) mod 7 ≡ (6 - 6) mod 7 ≡ 0 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36 ⋅ 27) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36 ⋅ 27) mod 10 ≡ (36 mod 10 ⋅ 27 mod 10) mod 10.

36 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36 = 30 + 6 = 3 ⋅ 10 + 6 ist.

27 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 20 + 7 = 2 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(36 ⋅ 27) mod 10 ≡ (6 ⋅ 7) mod 10 ≡ 42 mod 10 ≡ 2 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
46 mod m = 61 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 46 aus, ob zufällig 46 mod m = 61 mod m gilt:

m=2: 46 mod 2 = 0 ≠ 1 = 61 mod 2

m=3: 46 mod 3 = 1 = 1 = 61 mod 3

m=4: 46 mod 4 = 2 ≠ 1 = 61 mod 4

m=5: 46 mod 5 = 1 = 1 = 61 mod 5

m=6: 46 mod 6 = 4 ≠ 1 = 61 mod 6

m=7: 46 mod 7 = 4 ≠ 5 = 61 mod 7

m=8: 46 mod 8 = 6 ≠ 5 = 61 mod 8

m=9: 46 mod 9 = 1 ≠ 7 = 61 mod 9

m=10: 46 mod 10 = 6 ≠ 1 = 61 mod 10

m=11: 46 mod 11 = 2 ≠ 6 = 61 mod 11

m=12: 46 mod 12 = 10 ≠ 1 = 61 mod 12

m=13: 46 mod 13 = 7 ≠ 9 = 61 mod 13

m=14: 46 mod 14 = 4 ≠ 5 = 61 mod 14

m=15: 46 mod 15 = 1 = 1 = 61 mod 15

m=16: 46 mod 16 = 14 ≠ 13 = 61 mod 16

m=17: 46 mod 17 = 12 ≠ 10 = 61 mod 17

m=18: 46 mod 18 = 10 ≠ 7 = 61 mod 18

m=19: 46 mod 19 = 8 ≠ 4 = 61 mod 19

m=20: 46 mod 20 = 6 ≠ 1 = 61 mod 20

m=21: 46 mod 21 = 4 ≠ 19 = 61 mod 21

m=22: 46 mod 22 = 2 ≠ 17 = 61 mod 22

m=23: 46 mod 23 = 0 ≠ 15 = 61 mod 23

m=24: 46 mod 24 = 22 ≠ 13 = 61 mod 24

m=25: 46 mod 25 = 21 ≠ 11 = 61 mod 25

m=26: 46 mod 26 = 20 ≠ 9 = 61 mod 26

m=27: 46 mod 27 = 19 ≠ 7 = 61 mod 27

m=28: 46 mod 28 = 18 ≠ 5 = 61 mod 28

m=29: 46 mod 29 = 17 ≠ 3 = 61 mod 29

m=30: 46 mod 30 = 16 ≠ 1 = 61 mod 30

m=31: 46 mod 31 = 15 ≠ 30 = 61 mod 31

m=32: 46 mod 32 = 14 ≠ 29 = 61 mod 32

m=33: 46 mod 33 = 13 ≠ 28 = 61 mod 33

m=34: 46 mod 34 = 12 ≠ 27 = 61 mod 34

m=35: 46 mod 35 = 11 ≠ 26 = 61 mod 35

m=36: 46 mod 36 = 10 ≠ 25 = 61 mod 36

m=37: 46 mod 37 = 9 ≠ 24 = 61 mod 37

m=38: 46 mod 38 = 8 ≠ 23 = 61 mod 38

m=39: 46 mod 39 = 7 ≠ 22 = 61 mod 39

m=40: 46 mod 40 = 6 ≠ 21 = 61 mod 40

m=41: 46 mod 41 = 5 ≠ 20 = 61 mod 41

m=42: 46 mod 42 = 4 ≠ 19 = 61 mod 42

m=43: 46 mod 43 = 3 ≠ 18 = 61 mod 43

m=44: 46 mod 44 = 2 ≠ 17 = 61 mod 44

m=45: 46 mod 45 = 1 ≠ 16 = 61 mod 45

m=46: 46 mod 46 = 0 ≠ 15 = 61 mod 46

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (61 - 46) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15