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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.

Somit gilt: 94 mod 10 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 73 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 72, weil ja 24 ⋅ 3 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 73 - 72 = 1.

Somit gilt: 73 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 80, z.B. 81 = 27 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 81 und erhalten so 82.

Somit gilt: 82 ≡ 73 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36001 - 185) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36001 - 185) mod 9 ≡ (36001 mod 9 - 185 mod 9) mod 9.

36001 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36001 = 36000+1 = 9 ⋅ 4000 +1.

185 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 185 = 180+5 = 9 ⋅ 20 +5.

Somit gilt:

(36001 - 185) mod 9 ≡ (1 - 5) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (46 ⋅ 99) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(46 ⋅ 99) mod 10 ≡ (46 mod 10 ⋅ 99 mod 10) mod 10.

46 mod 10 ≡ 6 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 4 ⋅ 10 + 6 ist.

99 mod 10 ≡ 9 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 90 + 9 = 9 ⋅ 10 + 9 ist.

Somit gilt:

(46 ⋅ 99) mod 10 ≡ (6 ⋅ 9) mod 10 ≡ 54 mod 10 ≡ 4 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
78 mod m = 108 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 78 aus, ob zufällig 78 mod m = 108 mod m gilt:

m=2: 78 mod 2 = 0 = 0 = 108 mod 2

m=3: 78 mod 3 = 0 = 0 = 108 mod 3

m=4: 78 mod 4 = 2 ≠ 0 = 108 mod 4

m=5: 78 mod 5 = 3 = 3 = 108 mod 5

m=6: 78 mod 6 = 0 = 0 = 108 mod 6

m=7: 78 mod 7 = 1 ≠ 3 = 108 mod 7

m=8: 78 mod 8 = 6 ≠ 4 = 108 mod 8

m=9: 78 mod 9 = 6 ≠ 0 = 108 mod 9

m=10: 78 mod 10 = 8 = 8 = 108 mod 10

m=11: 78 mod 11 = 1 ≠ 9 = 108 mod 11

m=12: 78 mod 12 = 6 ≠ 0 = 108 mod 12

m=13: 78 mod 13 = 0 ≠ 4 = 108 mod 13

m=14: 78 mod 14 = 8 ≠ 10 = 108 mod 14

m=15: 78 mod 15 = 3 = 3 = 108 mod 15

m=16: 78 mod 16 = 14 ≠ 12 = 108 mod 16

m=17: 78 mod 17 = 10 ≠ 6 = 108 mod 17

m=18: 78 mod 18 = 6 ≠ 0 = 108 mod 18

m=19: 78 mod 19 = 2 ≠ 13 = 108 mod 19

m=20: 78 mod 20 = 18 ≠ 8 = 108 mod 20

m=21: 78 mod 21 = 15 ≠ 3 = 108 mod 21

m=22: 78 mod 22 = 12 ≠ 20 = 108 mod 22

m=23: 78 mod 23 = 9 ≠ 16 = 108 mod 23

m=24: 78 mod 24 = 6 ≠ 12 = 108 mod 24

m=25: 78 mod 25 = 3 ≠ 8 = 108 mod 25

m=26: 78 mod 26 = 0 ≠ 4 = 108 mod 26

m=27: 78 mod 27 = 24 ≠ 0 = 108 mod 27

m=28: 78 mod 28 = 22 ≠ 24 = 108 mod 28

m=29: 78 mod 29 = 20 ≠ 21 = 108 mod 29

m=30: 78 mod 30 = 18 = 18 = 108 mod 30

m=31: 78 mod 31 = 16 ≠ 15 = 108 mod 31

m=32: 78 mod 32 = 14 ≠ 12 = 108 mod 32

m=33: 78 mod 33 = 12 ≠ 9 = 108 mod 33

m=34: 78 mod 34 = 10 ≠ 6 = 108 mod 34

m=35: 78 mod 35 = 8 ≠ 3 = 108 mod 35

m=36: 78 mod 36 = 6 ≠ 0 = 108 mod 36

m=37: 78 mod 37 = 4 ≠ 34 = 108 mod 37

m=38: 78 mod 38 = 2 ≠ 32 = 108 mod 38

m=39: 78 mod 39 = 0 ≠ 30 = 108 mod 39

m=40: 78 mod 40 = 38 ≠ 28 = 108 mod 40

m=41: 78 mod 41 = 37 ≠ 26 = 108 mod 41

m=42: 78 mod 42 = 36 ≠ 24 = 108 mod 42

m=43: 78 mod 43 = 35 ≠ 22 = 108 mod 43

m=44: 78 mod 44 = 34 ≠ 20 = 108 mod 44

m=45: 78 mod 45 = 33 ≠ 18 = 108 mod 45

m=46: 78 mod 46 = 32 ≠ 16 = 108 mod 46

m=47: 78 mod 47 = 31 ≠ 14 = 108 mod 47

m=48: 78 mod 48 = 30 ≠ 12 = 108 mod 48

m=49: 78 mod 49 = 29 ≠ 10 = 108 mod 49

m=50: 78 mod 50 = 28 ≠ 8 = 108 mod 50

m=51: 78 mod 51 = 27 ≠ 6 = 108 mod 51

m=52: 78 mod 52 = 26 ≠ 4 = 108 mod 52

m=53: 78 mod 53 = 25 ≠ 2 = 108 mod 53

m=54: 78 mod 54 = 24 ≠ 0 = 108 mod 54

m=55: 78 mod 55 = 23 ≠ 53 = 108 mod 55

m=56: 78 mod 56 = 22 ≠ 52 = 108 mod 56

m=57: 78 mod 57 = 21 ≠ 51 = 108 mod 57

m=58: 78 mod 58 = 20 ≠ 50 = 108 mod 58

m=59: 78 mod 59 = 19 ≠ 49 = 108 mod 59

m=60: 78 mod 60 = 18 ≠ 48 = 108 mod 60

m=61: 78 mod 61 = 17 ≠ 47 = 108 mod 61

m=62: 78 mod 62 = 16 ≠ 46 = 108 mod 62

m=63: 78 mod 63 = 15 ≠ 45 = 108 mod 63

m=64: 78 mod 64 = 14 ≠ 44 = 108 mod 64

m=65: 78 mod 65 = 13 ≠ 43 = 108 mod 65

m=66: 78 mod 66 = 12 ≠ 42 = 108 mod 66

m=67: 78 mod 67 = 11 ≠ 41 = 108 mod 67

m=68: 78 mod 68 = 10 ≠ 40 = 108 mod 68

m=69: 78 mod 69 = 9 ≠ 39 = 108 mod 69

m=70: 78 mod 70 = 8 ≠ 38 = 108 mod 70

m=71: 78 mod 71 = 7 ≠ 37 = 108 mod 71

m=72: 78 mod 72 = 6 ≠ 36 = 108 mod 72

m=73: 78 mod 73 = 5 ≠ 35 = 108 mod 73

m=74: 78 mod 74 = 4 ≠ 34 = 108 mod 74

m=75: 78 mod 75 = 3 ≠ 33 = 108 mod 75

m=76: 78 mod 76 = 2 ≠ 32 = 108 mod 76

m=77: 78 mod 77 = 1 ≠ 31 = 108 mod 77

m=78: 78 mod 78 = 0 ≠ 30 = 108 mod 78

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (108 - 78) = 30 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 5; 6; 10; 15; 30