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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 54 = 4.

Somit gilt: 58 mod 6 ≡ 4.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 53 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 53 - 50 = 3.

Somit gilt: 53 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 60 und erhalten so 63.

Somit gilt: 63 ≡ 53 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (198 + 19997) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(198 + 19997) mod 4 ≡ (198 mod 4 + 19997 mod 4) mod 4.

198 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 198 = 200-2 = 4 ⋅ 50 -2 = 4 ⋅ 50 - 4 + 2.

19997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19997 = 19000+997 = 4 ⋅ 4750 +997.

Somit gilt:

(198 + 19997) mod 4 ≡ (2 + 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (22 ⋅ 27) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(22 ⋅ 27) mod 7 ≡ (22 mod 7 ⋅ 27 mod 7) mod 7.

22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.

27 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27 = 21 + 6 = 3 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(22 ⋅ 27) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
19 mod m = 25 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 19 aus, ob zufällig 19 mod m = 25 mod m gilt:

m=2: 19 mod 2 = 1 = 1 = 25 mod 2

m=3: 19 mod 3 = 1 = 1 = 25 mod 3

m=4: 19 mod 4 = 3 ≠ 1 = 25 mod 4

m=5: 19 mod 5 = 4 ≠ 0 = 25 mod 5

m=6: 19 mod 6 = 1 = 1 = 25 mod 6

m=7: 19 mod 7 = 5 ≠ 4 = 25 mod 7

m=8: 19 mod 8 = 3 ≠ 1 = 25 mod 8

m=9: 19 mod 9 = 1 ≠ 7 = 25 mod 9

m=10: 19 mod 10 = 9 ≠ 5 = 25 mod 10

m=11: 19 mod 11 = 8 ≠ 3 = 25 mod 11

m=12: 19 mod 12 = 7 ≠ 1 = 25 mod 12

m=13: 19 mod 13 = 6 ≠ 12 = 25 mod 13

m=14: 19 mod 14 = 5 ≠ 11 = 25 mod 14

m=15: 19 mod 15 = 4 ≠ 10 = 25 mod 15

m=16: 19 mod 16 = 3 ≠ 9 = 25 mod 16

m=17: 19 mod 17 = 2 ≠ 8 = 25 mod 17

m=18: 19 mod 18 = 1 ≠ 7 = 25 mod 18

m=19: 19 mod 19 = 0 ≠ 6 = 25 mod 19

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (25 - 19) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6