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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.

Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 24 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 18 = 6.

Somit gilt: 24 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 9 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 24 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 + 35001) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 + 35001) mod 7 ≡ (71 mod 7 + 35001 mod 7) mod 7.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70+1 = 7 ⋅ 10 +1.

35001 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35001 = 35000+1 = 7 ⋅ 5000 +1.

Somit gilt:

(71 + 35001) mod 7 ≡ (1 + 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (79 ⋅ 71) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (79 mod 7 ⋅ 71 mod 7) mod 7.

79 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 79 = 77 + 2 = 11 ⋅ 7 + 2 ist.

71 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 70 + 1 = 10 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(79 ⋅ 71) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 28 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 ≠ 1 = 28 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 = 0 = 28 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 4 = 28 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 = 4 = 28 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 8 = 28 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 20) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8