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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.

Somit gilt: 58 mod 4 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 82 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 80, weil ja 20 ⋅ 4 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 82 - 80 = 2.

Somit gilt: 82 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 2 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 8 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 82 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3003 + 6000) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3003 + 6000) mod 3 ≡ (3003 mod 3 + 6000 mod 3) mod 3.

3003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3003 = 3000+3 = 3 ⋅ 1000 +3.

6000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6000 = 6000+0 = 3 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(3003 + 6000) mod 3 ≡ (0 + 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 91) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 91) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 91 mod 7) mod 7.

31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.

91 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 91 + 0 = 13 ⋅ 7 + 0 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 91) mod 7 ≡ (3 ⋅ 0) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 43 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 43 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 = 1 = 43 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 = 7 = 43 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 12 = 43 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 31) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12