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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 18 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 18 - 11 = 7.

Somit gilt: 18 mod 11 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 68 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 65 = 3.

Somit gilt: 68 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 10 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 50 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 68 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (270 - 4491) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(270 - 4491) mod 9 ≡ (270 mod 9 - 4491 mod 9) mod 9.

270 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 270 = 270+0 = 9 ⋅ 30 +0.

4491 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4491 = 4500-9 = 9 ⋅ 500 -9 = 9 ⋅ 500 - 9 + 0.

Somit gilt:

(270 - 4491) mod 9 ≡ (0 - 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 21) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(31 ⋅ 21) mod 9 ≡ (31 mod 9 ⋅ 21 mod 9) mod 9.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

21 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 18 + 3 = 2 ⋅ 9 + 3 ist.

Somit gilt:

(31 ⋅ 21) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 47 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 47 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 = 1 = 47 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 = 2 = 47 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 = 3 = 47 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 ≠ 2 = 47 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 = 5 = 47 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 5 = 47 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 7 = 47 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 2 = 47 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 ≠ 7 = 47 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 3 = 47 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 = 11 = 47 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 8 = 47 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 5 = 47 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 2 = 47 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 15 = 47 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 13 = 47 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 11 = 47 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 9 = 47 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 7 = 47 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 5 = 47 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 3 = 47 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 1 = 47 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 23 = 47 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 22 = 47 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 21 = 47 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 20 = 47 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 19 = 47 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 18 = 47 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 17 = 47 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 16 = 47 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 15 = 47 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 14 = 47 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 13 = 47 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 12 = 47 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (47 - 35) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12