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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 49 = 5.

Somit gilt: 54 mod 7 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 87 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 87 - 77 = 10.

Somit gilt: 87 mod 11 ≡ 10.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 10 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 0 = 0 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 10 mod 11 sein, also addieren wir noch 10 auf die 0 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 87 ≡ 10 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (596 - 29999) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(596 - 29999) mod 6 ≡ (596 mod 6 - 29999 mod 6) mod 6.

596 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 596 = 600-4 = 6 ⋅ 100 -4 = 6 ⋅ 100 - 6 + 2.

29999 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29999 = 30000-1 = 6 ⋅ 5000 -1 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 5.

Somit gilt:

(596 - 29999) mod 6 ≡ (2 - 5) mod 6 ≡ -3 mod 6 ≡ 3 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 87) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 87) mod 5 ≡ (15 mod 5 ⋅ 87 mod 5) mod 5.

15 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 15 + 0 = 3 ⋅ 5 + 0 ist.

87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 87) mod 5 ≡ (0 ⋅ 2) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 32 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 32 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 2 = 32 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 = 0 = 32 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 2 = 32 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 10 = 32 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 9 = 32 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 8 = 32 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 24) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8