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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 28 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 25, weil ja 5 ⋅ 5 = 25 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 28 - 25 = 3.

Somit gilt: 28 mod 5 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 31 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 30 = 1.

Somit gilt: 31 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 20, z.B. 21 = 7 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 21 und erhalten so 22.

Somit gilt: 22 ≡ 31 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (40000 + 393) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(40000 + 393) mod 8 ≡ (40000 mod 8 + 393 mod 8) mod 8.

40000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 40000 = 40000+0 = 8 ⋅ 5000 +0.

393 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 393 = 400-7 = 8 ⋅ 50 -7 = 8 ⋅ 50 - 8 + 1.

Somit gilt:

(40000 + 393) mod 8 ≡ (0 + 1) mod 8 ≡ 1 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (26 ⋅ 30) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(26 ⋅ 30) mod 11 ≡ (26 mod 11 ⋅ 30 mod 11) mod 11.

26 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 22 + 4 = 2 ⋅ 11 + 4 ist.

30 mod 11 ≡ 8 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 22 + 8 = 2 ⋅ 11 + 8 ist.

Somit gilt:

(26 ⋅ 30) mod 11 ≡ (4 ⋅ 8) mod 11 ≡ 32 mod 11 ≡ 10 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 38 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10