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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 65, weil ja 13 ⋅ 5 = 65 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 65 = 0.

Somit gilt: 65 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 50 für die gilt n ≡ 75 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 70, weil ja 7 ⋅ 10 = 70 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 70 = 5.

Somit gilt: 75 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 50 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 40, z.B. 40 = 4 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 40 und erhalten so 45.

Somit gilt: 45 ≡ 75 ≡ 5 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (250 - 1503) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(250 - 1503) mod 5 ≡ (250 mod 5 - 1503 mod 5) mod 5.

250 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 250 = 250+0 = 5 ⋅ 50 +0.

1503 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1503 = 1500+3 = 5 ⋅ 300 +3.

Somit gilt:

(250 - 1503) mod 5 ≡ (0 - 3) mod 5 ≡ -3 mod 5 ≡ 2 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 60) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 60) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 60) mod 7 ≡ (5 ⋅ 4) mod 7 ≡ 20 mod 7 ≡ 6 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
40 mod m = 55 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 40 aus, ob zufällig 40 mod m = 55 mod m gilt:

m=2: 40 mod 2 = 0 ≠ 1 = 55 mod 2

m=3: 40 mod 3 = 1 = 1 = 55 mod 3

m=4: 40 mod 4 = 0 ≠ 3 = 55 mod 4

m=5: 40 mod 5 = 0 = 0 = 55 mod 5

m=6: 40 mod 6 = 4 ≠ 1 = 55 mod 6

m=7: 40 mod 7 = 5 ≠ 6 = 55 mod 7

m=8: 40 mod 8 = 0 ≠ 7 = 55 mod 8

m=9: 40 mod 9 = 4 ≠ 1 = 55 mod 9

m=10: 40 mod 10 = 0 ≠ 5 = 55 mod 10

m=11: 40 mod 11 = 7 ≠ 0 = 55 mod 11

m=12: 40 mod 12 = 4 ≠ 7 = 55 mod 12

m=13: 40 mod 13 = 1 ≠ 3 = 55 mod 13

m=14: 40 mod 14 = 12 ≠ 13 = 55 mod 14

m=15: 40 mod 15 = 10 = 10 = 55 mod 15

m=16: 40 mod 16 = 8 ≠ 7 = 55 mod 16

m=17: 40 mod 17 = 6 ≠ 4 = 55 mod 17

m=18: 40 mod 18 = 4 ≠ 1 = 55 mod 18

m=19: 40 mod 19 = 2 ≠ 17 = 55 mod 19

m=20: 40 mod 20 = 0 ≠ 15 = 55 mod 20

m=21: 40 mod 21 = 19 ≠ 13 = 55 mod 21

m=22: 40 mod 22 = 18 ≠ 11 = 55 mod 22

m=23: 40 mod 23 = 17 ≠ 9 = 55 mod 23

m=24: 40 mod 24 = 16 ≠ 7 = 55 mod 24

m=25: 40 mod 25 = 15 ≠ 5 = 55 mod 25

m=26: 40 mod 26 = 14 ≠ 3 = 55 mod 26

m=27: 40 mod 27 = 13 ≠ 1 = 55 mod 27

m=28: 40 mod 28 = 12 ≠ 27 = 55 mod 28

m=29: 40 mod 29 = 11 ≠ 26 = 55 mod 29

m=30: 40 mod 30 = 10 ≠ 25 = 55 mod 30

m=31: 40 mod 31 = 9 ≠ 24 = 55 mod 31

m=32: 40 mod 32 = 8 ≠ 23 = 55 mod 32

m=33: 40 mod 33 = 7 ≠ 22 = 55 mod 33

m=34: 40 mod 34 = 6 ≠ 21 = 55 mod 34

m=35: 40 mod 35 = 5 ≠ 20 = 55 mod 35

m=36: 40 mod 36 = 4 ≠ 19 = 55 mod 36

m=37: 40 mod 37 = 3 ≠ 18 = 55 mod 37

m=38: 40 mod 38 = 2 ≠ 17 = 55 mod 38

m=39: 40 mod 39 = 1 ≠ 16 = 55 mod 39

m=40: 40 mod 40 = 0 ≠ 15 = 55 mod 40

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (55 - 40) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15