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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 24 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 91 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 88 = 3.

Somit gilt: 91 mod 11 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 3 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 3 mod 11 sein, also addieren wir noch 3 auf die 11 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 91 ≡ 3 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2999 + 1202) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2999 + 1202) mod 3 ≡ (2999 mod 3 + 1202 mod 3) mod 3.

2999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2999 = 3000-1 = 3 ⋅ 1000 -1 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 2.

1202 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1202 = 1200+2 = 3 ⋅ 400 +2.

Somit gilt:

(2999 + 1202) mod 3 ≡ (2 + 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (82 ⋅ 46) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(82 ⋅ 46) mod 8 ≡ (82 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

82 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 80 + 2 = 10 ⋅ 8 + 2 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(82 ⋅ 46) mod 8 ≡ (2 ⋅ 6) mod 8 ≡ 12 mod 8 ≡ 4 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
33 mod m = 43 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 33 aus, ob zufällig 33 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 33 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 33 mod 3 = 0 ≠ 1 = 43 mod 3

m=4: 33 mod 4 = 1 ≠ 3 = 43 mod 4

m=5: 33 mod 5 = 3 = 3 = 43 mod 5

m=6: 33 mod 6 = 3 ≠ 1 = 43 mod 6

m=7: 33 mod 7 = 5 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 33 mod 8 = 1 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 33 mod 9 = 6 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 33 mod 10 = 3 = 3 = 43 mod 10

m=11: 33 mod 11 = 0 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 33 mod 12 = 9 ≠ 7 = 43 mod 12

m=13: 33 mod 13 = 7 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 33 mod 14 = 5 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 33 mod 15 = 3 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 33 mod 16 = 1 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 33 mod 17 = 16 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 33 mod 18 = 15 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 33 mod 19 = 14 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 33 mod 20 = 13 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 33 mod 21 = 12 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 33 mod 22 = 11 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 33 mod 23 = 10 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 33 mod 24 = 9 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 33 mod 25 = 8 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 33 mod 26 = 7 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 33 mod 27 = 6 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 33 mod 28 = 5 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 33 mod 29 = 4 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 33 mod 30 = 3 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 33 mod 31 = 2 ≠ 12 = 43 mod 31

m=32: 33 mod 32 = 1 ≠ 11 = 43 mod 32

m=33: 33 mod 33 = 0 ≠ 10 = 43 mod 33

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 33) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10