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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 24, weil ja 4 ⋅ 6 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 24 = 5.

Somit gilt: 29 mod 6 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 33 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 27 = 6.

Somit gilt: 33 mod 9 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 6 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 8 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 6 mod 9 sein, also addieren wir noch 6 auf die 72 und erhalten so 78.

Somit gilt: 78 ≡ 33 ≡ 6 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (3496 + 69) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(3496 + 69) mod 7 ≡ (3496 mod 7 + 69 mod 7) mod 7.

3496 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3496 = 3500-4 = 7 ⋅ 500 -4 = 7 ⋅ 500 - 7 + 3.

69 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 70-1 = 7 ⋅ 10 -1 = 7 ⋅ 10 - 7 + 6.

Somit gilt:

(3496 + 69) mod 7 ≡ (3 + 6) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (62 ⋅ 82) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(62 ⋅ 82) mod 7 ≡ (62 mod 7 ⋅ 82 mod 7) mod 7.

62 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 62 = 56 + 6 = 8 ⋅ 7 + 6 ist.

82 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 82 = 77 + 5 = 11 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(62 ⋅ 82) mod 7 ≡ (6 ⋅ 5) mod 7 ≡ 30 mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 35 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 35 mod m gilt:

m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 35 mod 2

m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 2 = 35 mod 3

m=4: 27 mod 4 = 3 = 3 = 35 mod 4

m=5: 27 mod 5 = 2 ≠ 0 = 35 mod 5

m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 5 = 35 mod 6

m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 0 = 35 mod 7

m=8: 27 mod 8 = 3 = 3 = 35 mod 8

m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 8 = 35 mod 9

m=10: 27 mod 10 = 7 ≠ 5 = 35 mod 10

m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 2 = 35 mod 11

m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 11 = 35 mod 12

m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 9 = 35 mod 13

m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 7 = 35 mod 14

m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 5 = 35 mod 15

m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 3 = 35 mod 16

m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 1 = 35 mod 17

m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 17 = 35 mod 18

m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 16 = 35 mod 19

m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 15 = 35 mod 20

m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 14 = 35 mod 21

m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 13 = 35 mod 22

m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 12 = 35 mod 23

m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 11 = 35 mod 24

m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 10 = 35 mod 25

m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 9 = 35 mod 26

m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 8 = 35 mod 27

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (35 - 27) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8