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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 11 = 9.

Somit gilt: 20 mod 11 ≡ 9.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 58 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 57, weil ja 19 ⋅ 3 = 57 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 57 = 1.

Somit gilt: 58 mod 3 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 1 mod 3.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 3 ⋅ 3

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 3 , sondern ≡ 1 mod 3 sein, also addieren wir noch 1 auf die 9 und erhalten so 10.

Somit gilt: 10 ≡ 58 ≡ 1 mod 3.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 - 2998) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 - 2998) mod 3 ≡ (32 mod 3 - 2998 mod 3) mod 3.

32 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 30+2 = 3 ⋅ 10 +2.

2998 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2998 = 3000-2 = 3 ⋅ 1000 -2 = 3 ⋅ 1000 - 3 + 1.

Somit gilt:

(32 - 2998) mod 3 ≡ (2 - 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (55 ⋅ 68) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(55 ⋅ 68) mod 9 ≡ (55 mod 9 ⋅ 68 mod 9) mod 9.

55 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 55 = 54 + 1 = 6 ⋅ 9 + 1 ist.

68 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 63 + 5 = 7 ⋅ 9 + 5 ist.

Somit gilt:

(55 ⋅ 68) mod 9 ≡ (1 ⋅ 5) mod 9 ≡ 5 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 29 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9