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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 94 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 93 = 1.
Somit gilt: 94 mod 3 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 80 für die gilt n ≡ 58 mod 10.
Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 50, weil ja 5 ⋅ 10 = 50 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 58 - 50 = 8.
Somit gilt: 58 mod 10 ≡ 8.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 80 für die gilt: n ≡ 8 mod 10.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 7 ⋅ 10
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 8 mod 10 sein, also addieren wir noch 8 auf die 70 und erhalten so 78.
Somit gilt: 78 ≡ 58 ≡ 8 mod 10.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (3608 - 35999) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(3608 - 35999) mod 9 ≡ (3608 mod 9 - 35999 mod 9) mod 9.
3608 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3608
= 3600
35999 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35999
= 36000
Somit gilt:
(3608 - 35999) mod 9 ≡ (8 - 8) mod 9 ≡ 0 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (35 ⋅ 60) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(35 ⋅ 60) mod 7 ≡ (35 mod 7 ⋅ 60 mod 7) mod 7.
35 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 35 + 0 = 5 ⋅ 7 + 0 ist.
60 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 56 + 4 = 8 ⋅ 7 + 4 ist.
Somit gilt:
(35 ⋅ 60) mod 7 ≡ (0 ⋅ 4) mod 7 ≡ 0 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
27 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 27 aus, ob zufällig 27 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 27 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 27 mod 3 = 0 ≠ 1 = 37 mod 3
m=4: 27 mod 4 = 3 ≠ 1 = 37 mod 4
m=5: 27 mod 5 = 2 = 2 = 37 mod 5
m=6: 27 mod 6 = 3 ≠ 1 = 37 mod 6
m=7: 27 mod 7 = 6 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 27 mod 8 = 3 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 27 mod 9 = 0 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 27 mod 10 = 7 = 7 = 37 mod 10
m=11: 27 mod 11 = 5 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 27 mod 12 = 3 ≠ 1 = 37 mod 12
m=13: 27 mod 13 = 1 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 27 mod 14 = 13 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 27 mod 15 = 12 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 27 mod 16 = 11 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 27 mod 17 = 10 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 27 mod 18 = 9 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 27 mod 19 = 8 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 27 mod 20 = 7 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 27 mod 21 = 6 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 27 mod 22 = 5 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 27 mod 23 = 4 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 27 mod 24 = 3 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 27 mod 25 = 2 ≠ 12 = 37 mod 25
m=26: 27 mod 26 = 1 ≠ 11 = 37 mod 26
m=27: 27 mod 27 = 0 ≠ 10 = 37 mod 27
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 27) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
