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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 36, weil ja 9 ⋅ 4 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 36 = 1.

Somit gilt: 37 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 95 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 95, weil ja 19 ⋅ 5 = 95 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 95 = 0.

Somit gilt: 95 mod 5 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 20, z.B. 20 = 4 ⋅ 5

Somit gilt: 20 ≡ 95 ≡ 0 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1799 + 275) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1799 + 275) mod 9 ≡ (1799 mod 9 + 275 mod 9) mod 9.

1799 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1799 = 1800-1 = 9 ⋅ 200 -1 = 9 ⋅ 200 - 9 + 8.

275 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 275 = 270+5 = 9 ⋅ 30 +5.

Somit gilt:

(1799 + 275) mod 9 ≡ (8 + 5) mod 9 ≡ 13 mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (80 ⋅ 58) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(80 ⋅ 58) mod 5 ≡ (80 mod 5 ⋅ 58 mod 5) mod 5.

80 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 80 = 80 + 0 = 16 ⋅ 5 + 0 ist.

58 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 11 ⋅ 5 + 3 ist.

Somit gilt:

(80 ⋅ 58) mod 5 ≡ (0 ⋅ 3) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 36 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 36 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 = 0 = 36 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 36 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 = 0 = 36 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 1 = 36 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 = 0 = 36 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 1 = 36 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 4 = 36 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 ≠ 0 = 36 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 6 = 36 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 3 = 36 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 = 0 = 36 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 10 = 36 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 8 = 36 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 6 = 36 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 4 = 36 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 2 = 36 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 0 = 36 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 17 = 36 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 16 = 36 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 15 = 36 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 14 = 36 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 13 = 36 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 12 = 36 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (36 - 24) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12