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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 63 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 55 = 8.

Somit gilt: 63 mod 11 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 24 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 24 - 24 = 0.

Somit gilt: 24 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 90, z.B. 92 = 23 ⋅ 4

Somit gilt: 92 ≡ 24 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (793 + 402) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(793 + 402) mod 8 ≡ (793 mod 8 + 402 mod 8) mod 8.

793 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 793 = 800-7 = 8 ⋅ 100 -7 = 8 ⋅ 100 - 8 + 1.

402 mod 8 ≡ 2 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 402 = 400+2 = 8 ⋅ 50 +2.

Somit gilt:

(793 + 402) mod 8 ≡ (1 + 2) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (19 ⋅ 58) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(19 ⋅ 58) mod 7 ≡ (19 mod 7 ⋅ 58 mod 7) mod 7.

19 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19 = 14 + 5 = 2 ⋅ 7 + 5 ist.

58 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 56 + 2 = 8 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(19 ⋅ 58) mod 7 ≡ (5 ⋅ 2) mod 7 ≡ 10 mod 7 ≡ 3 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 40 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 40 mod m gilt:

m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 40 mod 2

m=3: 28 mod 3 = 1 = 1 = 40 mod 3

m=4: 28 mod 4 = 0 = 0 = 40 mod 4

m=5: 28 mod 5 = 3 ≠ 0 = 40 mod 5

m=6: 28 mod 6 = 4 = 4 = 40 mod 6

m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 5 = 40 mod 7

m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 0 = 40 mod 8

m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 4 = 40 mod 9

m=10: 28 mod 10 = 8 ≠ 0 = 40 mod 10

m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 7 = 40 mod 11

m=12: 28 mod 12 = 4 = 4 = 40 mod 12

m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 1 = 40 mod 13

m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 12 = 40 mod 14

m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 10 = 40 mod 15

m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 8 = 40 mod 16

m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 6 = 40 mod 17

m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 4 = 40 mod 18

m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 2 = 40 mod 19

m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 0 = 40 mod 20

m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 19 = 40 mod 21

m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 18 = 40 mod 22

m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 17 = 40 mod 23

m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 16 = 40 mod 24

m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 15 = 40 mod 25

m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 14 = 40 mod 26

m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 13 = 40 mod 27

m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 12 = 40 mod 28

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (40 - 28) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12