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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 10 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 29 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 27, weil ja 3 ⋅ 9 = 27 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 27 = 2.

Somit gilt: 29 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 9 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 29 ≡ 2 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (36000 - 1804) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(36000 - 1804) mod 9 ≡ (36000 mod 9 - 1804 mod 9) mod 9.

36000 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 36000 = 36000+0 = 9 ⋅ 4000 +0.

1804 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1804 = 1800+4 = 9 ⋅ 200 +4.

Somit gilt:

(36000 - 1804) mod 9 ≡ (0 - 4) mod 9 ≡ -4 mod 9 ≡ 5 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (37 ⋅ 51) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(37 ⋅ 51) mod 10 ≡ (37 mod 10 ⋅ 51 mod 10) mod 10.

37 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 37 = 30 + 7 = 3 ⋅ 10 + 7 ist.

51 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 51 = 50 + 1 = 5 ⋅ 10 + 1 ist.

Somit gilt:

(37 ⋅ 51) mod 10 ≡ (7 ⋅ 1) mod 10 ≡ 7 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
209 mod m = 284 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 209 aus, ob zufällig 209 mod m = 284 mod m gilt:

m=2: 209 mod 2 = 1 ≠ 0 = 284 mod 2

m=3: 209 mod 3 = 2 = 2 = 284 mod 3

m=4: 209 mod 4 = 1 ≠ 0 = 284 mod 4

m=5: 209 mod 5 = 4 = 4 = 284 mod 5

m=6: 209 mod 6 = 5 ≠ 2 = 284 mod 6

m=7: 209 mod 7 = 6 ≠ 4 = 284 mod 7

m=8: 209 mod 8 = 1 ≠ 4 = 284 mod 8

m=9: 209 mod 9 = 2 ≠ 5 = 284 mod 9

m=10: 209 mod 10 = 9 ≠ 4 = 284 mod 10

m=11: 209 mod 11 = 0 ≠ 9 = 284 mod 11

m=12: 209 mod 12 = 5 ≠ 8 = 284 mod 12

m=13: 209 mod 13 = 1 ≠ 11 = 284 mod 13

m=14: 209 mod 14 = 13 ≠ 4 = 284 mod 14

m=15: 209 mod 15 = 14 = 14 = 284 mod 15

m=16: 209 mod 16 = 1 ≠ 12 = 284 mod 16

m=17: 209 mod 17 = 5 ≠ 12 = 284 mod 17

m=18: 209 mod 18 = 11 ≠ 14 = 284 mod 18

m=19: 209 mod 19 = 0 ≠ 18 = 284 mod 19

m=20: 209 mod 20 = 9 ≠ 4 = 284 mod 20

m=21: 209 mod 21 = 20 ≠ 11 = 284 mod 21

m=22: 209 mod 22 = 11 ≠ 20 = 284 mod 22

m=23: 209 mod 23 = 2 ≠ 8 = 284 mod 23

m=24: 209 mod 24 = 17 ≠ 20 = 284 mod 24

m=25: 209 mod 25 = 9 = 9 = 284 mod 25

m=26: 209 mod 26 = 1 ≠ 24 = 284 mod 26

m=27: 209 mod 27 = 20 ≠ 14 = 284 mod 27

m=28: 209 mod 28 = 13 ≠ 4 = 284 mod 28

m=29: 209 mod 29 = 6 ≠ 23 = 284 mod 29

m=30: 209 mod 30 = 29 ≠ 14 = 284 mod 30

m=31: 209 mod 31 = 23 ≠ 5 = 284 mod 31

m=32: 209 mod 32 = 17 ≠ 28 = 284 mod 32

m=33: 209 mod 33 = 11 ≠ 20 = 284 mod 33

m=34: 209 mod 34 = 5 ≠ 12 = 284 mod 34

m=35: 209 mod 35 = 34 ≠ 4 = 284 mod 35

m=36: 209 mod 36 = 29 ≠ 32 = 284 mod 36

m=37: 209 mod 37 = 24 ≠ 25 = 284 mod 37

m=38: 209 mod 38 = 19 ≠ 18 = 284 mod 38

m=39: 209 mod 39 = 14 ≠ 11 = 284 mod 39

m=40: 209 mod 40 = 9 ≠ 4 = 284 mod 40

m=41: 209 mod 41 = 4 ≠ 38 = 284 mod 41

m=42: 209 mod 42 = 41 ≠ 32 = 284 mod 42

m=43: 209 mod 43 = 37 ≠ 26 = 284 mod 43

m=44: 209 mod 44 = 33 ≠ 20 = 284 mod 44

m=45: 209 mod 45 = 29 ≠ 14 = 284 mod 45

m=46: 209 mod 46 = 25 ≠ 8 = 284 mod 46

m=47: 209 mod 47 = 21 ≠ 2 = 284 mod 47

m=48: 209 mod 48 = 17 ≠ 44 = 284 mod 48

m=49: 209 mod 49 = 13 ≠ 39 = 284 mod 49

m=50: 209 mod 50 = 9 ≠ 34 = 284 mod 50

m=51: 209 mod 51 = 5 ≠ 29 = 284 mod 51

m=52: 209 mod 52 = 1 ≠ 24 = 284 mod 52

m=53: 209 mod 53 = 50 ≠ 19 = 284 mod 53

m=54: 209 mod 54 = 47 ≠ 14 = 284 mod 54

m=55: 209 mod 55 = 44 ≠ 9 = 284 mod 55

m=56: 209 mod 56 = 41 ≠ 4 = 284 mod 56

m=57: 209 mod 57 = 38 ≠ 56 = 284 mod 57

m=58: 209 mod 58 = 35 ≠ 52 = 284 mod 58

m=59: 209 mod 59 = 32 ≠ 48 = 284 mod 59

m=60: 209 mod 60 = 29 ≠ 44 = 284 mod 60

m=61: 209 mod 61 = 26 ≠ 40 = 284 mod 61

m=62: 209 mod 62 = 23 ≠ 36 = 284 mod 62

m=63: 209 mod 63 = 20 ≠ 32 = 284 mod 63

m=64: 209 mod 64 = 17 ≠ 28 = 284 mod 64

m=65: 209 mod 65 = 14 ≠ 24 = 284 mod 65

m=66: 209 mod 66 = 11 ≠ 20 = 284 mod 66

m=67: 209 mod 67 = 8 ≠ 16 = 284 mod 67

m=68: 209 mod 68 = 5 ≠ 12 = 284 mod 68

m=69: 209 mod 69 = 2 ≠ 8 = 284 mod 69

m=70: 209 mod 70 = 69 ≠ 4 = 284 mod 70

m=71: 209 mod 71 = 67 ≠ 0 = 284 mod 71

m=72: 209 mod 72 = 65 ≠ 68 = 284 mod 72

m=73: 209 mod 73 = 63 ≠ 65 = 284 mod 73

m=74: 209 mod 74 = 61 ≠ 62 = 284 mod 74

m=75: 209 mod 75 = 59 = 59 = 284 mod 75

m=76: 209 mod 76 = 57 ≠ 56 = 284 mod 76

m=77: 209 mod 77 = 55 ≠ 53 = 284 mod 77

m=78: 209 mod 78 = 53 ≠ 50 = 284 mod 78

m=79: 209 mod 79 = 51 ≠ 47 = 284 mod 79

m=80: 209 mod 80 = 49 ≠ 44 = 284 mod 80

m=81: 209 mod 81 = 47 ≠ 41 = 284 mod 81

m=82: 209 mod 82 = 45 ≠ 38 = 284 mod 82

m=83: 209 mod 83 = 43 ≠ 35 = 284 mod 83

m=84: 209 mod 84 = 41 ≠ 32 = 284 mod 84

m=85: 209 mod 85 = 39 ≠ 29 = 284 mod 85

m=86: 209 mod 86 = 37 ≠ 26 = 284 mod 86

m=87: 209 mod 87 = 35 ≠ 23 = 284 mod 87

m=88: 209 mod 88 = 33 ≠ 20 = 284 mod 88

m=89: 209 mod 89 = 31 ≠ 17 = 284 mod 89

m=90: 209 mod 90 = 29 ≠ 14 = 284 mod 90

m=91: 209 mod 91 = 27 ≠ 11 = 284 mod 91

m=92: 209 mod 92 = 25 ≠ 8 = 284 mod 92

m=93: 209 mod 93 = 23 ≠ 5 = 284 mod 93

m=94: 209 mod 94 = 21 ≠ 2 = 284 mod 94

m=95: 209 mod 95 = 19 ≠ 94 = 284 mod 95

m=96: 209 mod 96 = 17 ≠ 92 = 284 mod 96

m=97: 209 mod 97 = 15 ≠ 90 = 284 mod 97

m=98: 209 mod 98 = 13 ≠ 88 = 284 mod 98

m=99: 209 mod 99 = 11 ≠ 86 = 284 mod 99

m=100: 209 mod 100 = 9 ≠ 84 = 284 mod 100

m=101: 209 mod 101 = 7 ≠ 82 = 284 mod 101

m=102: 209 mod 102 = 5 ≠ 80 = 284 mod 102

m=103: 209 mod 103 = 3 ≠ 78 = 284 mod 103

m=104: 209 mod 104 = 1 ≠ 76 = 284 mod 104

m=105: 209 mod 105 = 104 ≠ 74 = 284 mod 105

m=106: 209 mod 106 = 103 ≠ 72 = 284 mod 106

m=107: 209 mod 107 = 102 ≠ 70 = 284 mod 107

m=108: 209 mod 108 = 101 ≠ 68 = 284 mod 108

m=109: 209 mod 109 = 100 ≠ 66 = 284 mod 109

m=110: 209 mod 110 = 99 ≠ 64 = 284 mod 110

m=111: 209 mod 111 = 98 ≠ 62 = 284 mod 111

m=112: 209 mod 112 = 97 ≠ 60 = 284 mod 112

m=113: 209 mod 113 = 96 ≠ 58 = 284 mod 113

m=114: 209 mod 114 = 95 ≠ 56 = 284 mod 114

m=115: 209 mod 115 = 94 ≠ 54 = 284 mod 115

m=116: 209 mod 116 = 93 ≠ 52 = 284 mod 116

m=117: 209 mod 117 = 92 ≠ 50 = 284 mod 117

m=118: 209 mod 118 = 91 ≠ 48 = 284 mod 118

m=119: 209 mod 119 = 90 ≠ 46 = 284 mod 119

m=120: 209 mod 120 = 89 ≠ 44 = 284 mod 120

m=121: 209 mod 121 = 88 ≠ 42 = 284 mod 121

m=122: 209 mod 122 = 87 ≠ 40 = 284 mod 122

m=123: 209 mod 123 = 86 ≠ 38 = 284 mod 123

m=124: 209 mod 124 = 85 ≠ 36 = 284 mod 124

m=125: 209 mod 125 = 84 ≠ 34 = 284 mod 125

m=126: 209 mod 126 = 83 ≠ 32 = 284 mod 126

m=127: 209 mod 127 = 82 ≠ 30 = 284 mod 127

m=128: 209 mod 128 = 81 ≠ 28 = 284 mod 128

m=129: 209 mod 129 = 80 ≠ 26 = 284 mod 129

m=130: 209 mod 130 = 79 ≠ 24 = 284 mod 130

m=131: 209 mod 131 = 78 ≠ 22 = 284 mod 131

m=132: 209 mod 132 = 77 ≠ 20 = 284 mod 132

m=133: 209 mod 133 = 76 ≠ 18 = 284 mod 133

m=134: 209 mod 134 = 75 ≠ 16 = 284 mod 134

m=135: 209 mod 135 = 74 ≠ 14 = 284 mod 135

m=136: 209 mod 136 = 73 ≠ 12 = 284 mod 136

m=137: 209 mod 137 = 72 ≠ 10 = 284 mod 137

m=138: 209 mod 138 = 71 ≠ 8 = 284 mod 138

m=139: 209 mod 139 = 70 ≠ 6 = 284 mod 139

m=140: 209 mod 140 = 69 ≠ 4 = 284 mod 140

m=141: 209 mod 141 = 68 ≠ 2 = 284 mod 141

m=142: 209 mod 142 = 67 ≠ 0 = 284 mod 142

m=143: 209 mod 143 = 66 ≠ 141 = 284 mod 143

m=144: 209 mod 144 = 65 ≠ 140 = 284 mod 144

m=145: 209 mod 145 = 64 ≠ 139 = 284 mod 145

m=146: 209 mod 146 = 63 ≠ 138 = 284 mod 146

m=147: 209 mod 147 = 62 ≠ 137 = 284 mod 147

m=148: 209 mod 148 = 61 ≠ 136 = 284 mod 148

m=149: 209 mod 149 = 60 ≠ 135 = 284 mod 149

m=150: 209 mod 150 = 59 ≠ 134 = 284 mod 150

m=151: 209 mod 151 = 58 ≠ 133 = 284 mod 151

m=152: 209 mod 152 = 57 ≠ 132 = 284 mod 152

m=153: 209 mod 153 = 56 ≠ 131 = 284 mod 153

m=154: 209 mod 154 = 55 ≠ 130 = 284 mod 154

m=155: 209 mod 155 = 54 ≠ 129 = 284 mod 155

m=156: 209 mod 156 = 53 ≠ 128 = 284 mod 156

m=157: 209 mod 157 = 52 ≠ 127 = 284 mod 157

m=158: 209 mod 158 = 51 ≠ 126 = 284 mod 158

m=159: 209 mod 159 = 50 ≠ 125 = 284 mod 159

m=160: 209 mod 160 = 49 ≠ 124 = 284 mod 160

m=161: 209 mod 161 = 48 ≠ 123 = 284 mod 161

m=162: 209 mod 162 = 47 ≠ 122 = 284 mod 162

m=163: 209 mod 163 = 46 ≠ 121 = 284 mod 163

m=164: 209 mod 164 = 45 ≠ 120 = 284 mod 164

m=165: 209 mod 165 = 44 ≠ 119 = 284 mod 165

m=166: 209 mod 166 = 43 ≠ 118 = 284 mod 166

m=167: 209 mod 167 = 42 ≠ 117 = 284 mod 167

m=168: 209 mod 168 = 41 ≠ 116 = 284 mod 168

m=169: 209 mod 169 = 40 ≠ 115 = 284 mod 169

m=170: 209 mod 170 = 39 ≠ 114 = 284 mod 170

m=171: 209 mod 171 = 38 ≠ 113 = 284 mod 171

m=172: 209 mod 172 = 37 ≠ 112 = 284 mod 172

m=173: 209 mod 173 = 36 ≠ 111 = 284 mod 173

m=174: 209 mod 174 = 35 ≠ 110 = 284 mod 174

m=175: 209 mod 175 = 34 ≠ 109 = 284 mod 175

m=176: 209 mod 176 = 33 ≠ 108 = 284 mod 176

m=177: 209 mod 177 = 32 ≠ 107 = 284 mod 177

m=178: 209 mod 178 = 31 ≠ 106 = 284 mod 178

m=179: 209 mod 179 = 30 ≠ 105 = 284 mod 179

m=180: 209 mod 180 = 29 ≠ 104 = 284 mod 180

m=181: 209 mod 181 = 28 ≠ 103 = 284 mod 181

m=182: 209 mod 182 = 27 ≠ 102 = 284 mod 182

m=183: 209 mod 183 = 26 ≠ 101 = 284 mod 183

m=184: 209 mod 184 = 25 ≠ 100 = 284 mod 184

m=185: 209 mod 185 = 24 ≠ 99 = 284 mod 185

m=186: 209 mod 186 = 23 ≠ 98 = 284 mod 186

m=187: 209 mod 187 = 22 ≠ 97 = 284 mod 187

m=188: 209 mod 188 = 21 ≠ 96 = 284 mod 188

m=189: 209 mod 189 = 20 ≠ 95 = 284 mod 189

m=190: 209 mod 190 = 19 ≠ 94 = 284 mod 190

m=191: 209 mod 191 = 18 ≠ 93 = 284 mod 191

m=192: 209 mod 192 = 17 ≠ 92 = 284 mod 192

m=193: 209 mod 193 = 16 ≠ 91 = 284 mod 193

m=194: 209 mod 194 = 15 ≠ 90 = 284 mod 194

m=195: 209 mod 195 = 14 ≠ 89 = 284 mod 195

m=196: 209 mod 196 = 13 ≠ 88 = 284 mod 196

m=197: 209 mod 197 = 12 ≠ 87 = 284 mod 197

m=198: 209 mod 198 = 11 ≠ 86 = 284 mod 198

m=199: 209 mod 199 = 10 ≠ 85 = 284 mod 199

m=200: 209 mod 200 = 9 ≠ 84 = 284 mod 200

m=201: 209 mod 201 = 8 ≠ 83 = 284 mod 201

m=202: 209 mod 202 = 7 ≠ 82 = 284 mod 202

m=203: 209 mod 203 = 6 ≠ 81 = 284 mod 203

m=204: 209 mod 204 = 5 ≠ 80 = 284 mod 204

m=205: 209 mod 205 = 4 ≠ 79 = 284 mod 205

m=206: 209 mod 206 = 3 ≠ 78 = 284 mod 206

m=207: 209 mod 207 = 2 ≠ 77 = 284 mod 207

m=208: 209 mod 208 = 1 ≠ 76 = 284 mod 208

m=209: 209 mod 209 = 0 ≠ 75 = 284 mod 209

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (284 - 209) = 75 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15; 25; 75