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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 56 = 1.

Somit gilt: 57 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 74 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 8 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 2 mod 8 sein, also addieren wir noch 2 auf die 64 und erhalten so 66.

Somit gilt: 66 ≡ 74 ≡ 2 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (67 - 3496) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(67 - 3496) mod 7 ≡ (67 mod 7 - 3496 mod 7) mod 7.

67 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 70-3 = 7 ⋅ 10 -3 = 7 ⋅ 10 - 7 + 4.

3496 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3496 = 3500-4 = 7 ⋅ 500 -4 = 7 ⋅ 500 - 7 + 3.

Somit gilt:

(67 - 3496) mod 7 ≡ (4 - 3) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (99 ⋅ 22) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(99 ⋅ 22) mod 4 ≡ (99 mod 4 ⋅ 22 mod 4) mod 4.

99 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 99 = 96 + 3 = 24 ⋅ 4 + 3 ist.

22 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 20 + 2 = 5 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(99 ⋅ 22) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
24 mod m = 33 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 24 aus, ob zufällig 24 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 24 mod 2 = 0 ≠ 1 = 33 mod 2

m=3: 24 mod 3 = 0 = 0 = 33 mod 3

m=4: 24 mod 4 = 0 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 24 mod 5 = 4 ≠ 3 = 33 mod 5

m=6: 24 mod 6 = 0 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 24 mod 7 = 3 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 24 mod 8 = 0 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 24 mod 9 = 6 = 6 = 33 mod 9

m=10: 24 mod 10 = 4 ≠ 3 = 33 mod 10

m=11: 24 mod 11 = 2 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 24 mod 12 = 0 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 24 mod 13 = 11 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 24 mod 14 = 10 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 24 mod 15 = 9 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 24 mod 16 = 8 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 24 mod 17 = 7 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 24 mod 18 = 6 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 24 mod 19 = 5 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 24 mod 20 = 4 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 24 mod 21 = 3 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 24 mod 22 = 2 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 24 mod 23 = 1 ≠ 10 = 33 mod 23

m=24: 24 mod 24 = 0 ≠ 9 = 33 mod 24

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 24) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9