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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.

Somit gilt: 95 mod 10 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 59 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 54, weil ja 9 ⋅ 6 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 54 = 5.

Somit gilt: 59 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 10 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 60 und erhalten so 65.

Somit gilt: 65 ≡ 59 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (10000 - 10000) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(10000 - 10000) mod 5 ≡ (10000 mod 5 - 10000 mod 5) mod 5.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

10000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10000 = 10000+0 = 5 ⋅ 2000 +0.

Somit gilt:

(10000 - 10000) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 31) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 31) mod 5 ≡ (87 mod 5 ⋅ 31 mod 5) mod 5.

87 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 85 + 2 = 17 ⋅ 5 + 2 ist.

31 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30 + 1 = 6 ⋅ 5 + 1 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 31) mod 5 ≡ (2 ⋅ 1) mod 5 ≡ 2 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 32 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 32 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 32 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 2 = 32 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 32 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 = 2 = 32 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 2 = 32 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 4 = 32 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 0 = 32 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 5 = 32 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 = 2 = 32 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 10 = 32 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 8 = 32 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 6 = 32 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 4 = 32 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 2 = 32 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 0 = 32 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 15 = 32 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 14 = 32 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 13 = 32 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 12 = 32 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 11 = 32 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 10 = 32 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (32 - 22) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10