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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 66 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 66 - 64 = 2.

Somit gilt: 66 mod 8 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 78 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 76, weil ja 19 ⋅ 4 = 76 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 78 - 76 = 2.

Somit gilt: 78 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 15 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 60 und erhalten so 62.

Somit gilt: 62 ≡ 78 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1496 + 15000) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1496 + 15000) mod 5 ≡ (1496 mod 5 + 15000 mod 5) mod 5.

1496 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1496 = 1400+96 = 5 ⋅ 280 +96.

15000 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15000 = 15000+0 = 5 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(1496 + 15000) mod 5 ≡ (1 + 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (81 ⋅ 85) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(81 ⋅ 85) mod 5 ≡ (81 mod 5 ⋅ 85 mod 5) mod 5.

81 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 81 = 80 + 1 = 16 ⋅ 5 + 1 ist.

85 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 85 + 0 = 17 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(81 ⋅ 85) mod 5 ≡ (1 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
43 mod m = 58 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 43 aus, ob zufällig 43 mod m = 58 mod m gilt:

m=2: 43 mod 2 = 1 ≠ 0 = 58 mod 2

m=3: 43 mod 3 = 1 = 1 = 58 mod 3

m=4: 43 mod 4 = 3 ≠ 2 = 58 mod 4

m=5: 43 mod 5 = 3 = 3 = 58 mod 5

m=6: 43 mod 6 = 1 ≠ 4 = 58 mod 6

m=7: 43 mod 7 = 1 ≠ 2 = 58 mod 7

m=8: 43 mod 8 = 3 ≠ 2 = 58 mod 8

m=9: 43 mod 9 = 7 ≠ 4 = 58 mod 9

m=10: 43 mod 10 = 3 ≠ 8 = 58 mod 10

m=11: 43 mod 11 = 10 ≠ 3 = 58 mod 11

m=12: 43 mod 12 = 7 ≠ 10 = 58 mod 12

m=13: 43 mod 13 = 4 ≠ 6 = 58 mod 13

m=14: 43 mod 14 = 1 ≠ 2 = 58 mod 14

m=15: 43 mod 15 = 13 = 13 = 58 mod 15

m=16: 43 mod 16 = 11 ≠ 10 = 58 mod 16

m=17: 43 mod 17 = 9 ≠ 7 = 58 mod 17

m=18: 43 mod 18 = 7 ≠ 4 = 58 mod 18

m=19: 43 mod 19 = 5 ≠ 1 = 58 mod 19

m=20: 43 mod 20 = 3 ≠ 18 = 58 mod 20

m=21: 43 mod 21 = 1 ≠ 16 = 58 mod 21

m=22: 43 mod 22 = 21 ≠ 14 = 58 mod 22

m=23: 43 mod 23 = 20 ≠ 12 = 58 mod 23

m=24: 43 mod 24 = 19 ≠ 10 = 58 mod 24

m=25: 43 mod 25 = 18 ≠ 8 = 58 mod 25

m=26: 43 mod 26 = 17 ≠ 6 = 58 mod 26

m=27: 43 mod 27 = 16 ≠ 4 = 58 mod 27

m=28: 43 mod 28 = 15 ≠ 2 = 58 mod 28

m=29: 43 mod 29 = 14 ≠ 0 = 58 mod 29

m=30: 43 mod 30 = 13 ≠ 28 = 58 mod 30

m=31: 43 mod 31 = 12 ≠ 27 = 58 mod 31

m=32: 43 mod 32 = 11 ≠ 26 = 58 mod 32

m=33: 43 mod 33 = 10 ≠ 25 = 58 mod 33

m=34: 43 mod 34 = 9 ≠ 24 = 58 mod 34

m=35: 43 mod 35 = 8 ≠ 23 = 58 mod 35

m=36: 43 mod 36 = 7 ≠ 22 = 58 mod 36

m=37: 43 mod 37 = 6 ≠ 21 = 58 mod 37

m=38: 43 mod 38 = 5 ≠ 20 = 58 mod 38

m=39: 43 mod 39 = 4 ≠ 19 = 58 mod 39

m=40: 43 mod 40 = 3 ≠ 18 = 58 mod 40

m=41: 43 mod 41 = 2 ≠ 17 = 58 mod 41

m=42: 43 mod 42 = 1 ≠ 16 = 58 mod 42

m=43: 43 mod 43 = 0 ≠ 15 = 58 mod 43

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (58 - 43) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15