nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 36 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 21 für die gilt n ≡ 56 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 55, weil ja 5 ⋅ 11 = 55 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 55 = 1.

Somit gilt: 56 mod 11 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 21 für die gilt: n ≡ 1 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 10, z.B. 11 = 1 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 1 mod 11 sein, also addieren wir noch 1 auf die 11 und erhalten so 12.

Somit gilt: 12 ≡ 56 ≡ 1 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (264 - 35994) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(264 - 35994) mod 9 ≡ (264 mod 9 - 35994 mod 9) mod 9.

264 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 264 = 270-6 = 9 ⋅ 30 -6 = 9 ⋅ 30 - 9 + 3.

35994 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35994 = 36000-6 = 9 ⋅ 4000 -6 = 9 ⋅ 4000 - 9 + 3.

Somit gilt:

(264 - 35994) mod 9 ≡ (3 - 3) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 77) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 77) mod 10 ≡ (38 mod 10 ⋅ 77 mod 10) mod 10.

38 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 30 + 8 = 3 ⋅ 10 + 8 ist.

77 mod 10 ≡ 7 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 70 + 7 = 7 ⋅ 10 + 7 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 77) mod 10 ≡ (8 ⋅ 7) mod 10 ≡ 56 mod 10 ≡ 6 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 18 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 18 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 18 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 ≠ 0 = 18 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 = 2 = 18 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 3 = 18 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 ≠ 0 = 18 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 4 = 18 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 2 = 18 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 0 = 18 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 8 = 18 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 7 = 18 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 6 = 18 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 5 = 18 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 4 = 18 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (18 - 14) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4