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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 84, weil ja 12 ⋅ 7 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 44 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 44 - 36 = 8.

Somit gilt: 44 mod 9 ≡ 8.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 8 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 70, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 8 mod 9 sein, also addieren wir noch 8 auf die 63 und erhalten so 71.

Somit gilt: 71 ≡ 44 ≡ 8 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15001 - 1005) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15001 - 1005) mod 5 ≡ (15001 mod 5 - 1005 mod 5) mod 5.

15001 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15001 = 15000+1 = 5 ⋅ 3000 +1.

1005 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1005 = 1000+5 = 5 ⋅ 200 +5.

Somit gilt:

(15001 - 1005) mod 5 ≡ (1 - 0) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 66) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 66) mod 11 ≡ (71 mod 11 ⋅ 66 mod 11) mod 11.

71 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 66 + 5 = 6 ⋅ 11 + 5 ist.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 66) mod 11 ≡ (5 ⋅ 0) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 28 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 28 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 28 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 28 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 0 = 28 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 3 = 28 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 = 4 = 28 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 0 = 28 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 4 = 28 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 1 = 28 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 8 = 28 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 6 = 28 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 4 = 28 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 2 = 28 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 0 = 28 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 13 = 28 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 12 = 28 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 11 = 28 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 10 = 28 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 9 = 28 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 8 = 28 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 7 = 28 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 6 = 28 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (28 - 22) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6