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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 66, weil ja 22 ⋅ 3 = 66 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 66 = 2.

Somit gilt: 68 mod 3 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 69 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 64 = 5.

Somit gilt: 69 mod 8 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 5 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 72 = 9 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 5 mod 8 sein, also addieren wir noch 5 auf die 72 und erhalten so 77.

Somit gilt: 77 ≡ 69 ≡ 5 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1597 + 240) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1597 + 240) mod 8 ≡ (1597 mod 8 + 240 mod 8) mod 8.

1597 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1597 = 1600-3 = 8 ⋅ 200 -3 = 8 ⋅ 200 - 8 + 5.

240 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 240 = 240+0 = 8 ⋅ 30 +0.

Somit gilt:

(1597 + 240) mod 8 ≡ (5 + 0) mod 8 ≡ 5 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (58 ⋅ 23) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(58 ⋅ 23) mod 10 ≡ (58 mod 10 ⋅ 23 mod 10) mod 10.

58 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 50 + 8 = 5 ⋅ 10 + 8 ist.

23 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23 = 20 + 3 = 2 ⋅ 10 + 3 ist.

Somit gilt:

(58 ⋅ 23) mod 10 ≡ (8 ⋅ 3) mod 10 ≡ 24 mod 10 ≡ 4 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
18 mod m = 27 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 18 aus, ob zufällig 18 mod m = 27 mod m gilt:

m=2: 18 mod 2 = 0 ≠ 1 = 27 mod 2

m=3: 18 mod 3 = 0 = 0 = 27 mod 3

m=4: 18 mod 4 = 2 ≠ 3 = 27 mod 4

m=5: 18 mod 5 = 3 ≠ 2 = 27 mod 5

m=6: 18 mod 6 = 0 ≠ 3 = 27 mod 6

m=7: 18 mod 7 = 4 ≠ 6 = 27 mod 7

m=8: 18 mod 8 = 2 ≠ 3 = 27 mod 8

m=9: 18 mod 9 = 0 = 0 = 27 mod 9

m=10: 18 mod 10 = 8 ≠ 7 = 27 mod 10

m=11: 18 mod 11 = 7 ≠ 5 = 27 mod 11

m=12: 18 mod 12 = 6 ≠ 3 = 27 mod 12

m=13: 18 mod 13 = 5 ≠ 1 = 27 mod 13

m=14: 18 mod 14 = 4 ≠ 13 = 27 mod 14

m=15: 18 mod 15 = 3 ≠ 12 = 27 mod 15

m=16: 18 mod 16 = 2 ≠ 11 = 27 mod 16

m=17: 18 mod 17 = 1 ≠ 10 = 27 mod 17

m=18: 18 mod 18 = 0 ≠ 9 = 27 mod 18

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (27 - 18) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9