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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 43 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 40, weil ja 10 ⋅ 4 = 40 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 43 - 40 = 3.
Somit gilt: 43 mod 4 ≡ 3.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 44 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 44, weil ja 11 ⋅ 4 = 44 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 44 - 44 = 0.
Somit gilt: 44 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 30, z.B. 32 = 8 ⋅ 4
Somit gilt: 32 ≡ 44 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (1500 - 200) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(1500 - 200) mod 5 ≡ (1500 mod 5 - 200 mod 5) mod 5.
1500 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1500
= 1500
200 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 200
= 200
Somit gilt:
(1500 - 200) mod 5 ≡ (0 - 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (21 ⋅ 73) mod 10.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(21 ⋅ 73) mod 10 ≡ (21 mod 10 ⋅ 73 mod 10) mod 10.
21 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 20 + 1 = 2 ⋅ 10 + 1 ist.
73 mod 10 ≡ 3 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 73 = 70 + 3 = 7 ⋅ 10 + 3 ist.
Somit gilt:
(21 ⋅ 73) mod 10 ≡ (1 ⋅ 3) mod 10 ≡ 3 mod 10.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
49 mod m = 64 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 49 aus, ob zufällig 49 mod m = 64 mod m gilt:
m=2: 49 mod 2 = 1 ≠ 0 = 64 mod 2
m=3: 49 mod 3 = 1 = 1 = 64 mod 3
m=4: 49 mod 4 = 1 ≠ 0 = 64 mod 4
m=5: 49 mod 5 = 4 = 4 = 64 mod 5
m=6: 49 mod 6 = 1 ≠ 4 = 64 mod 6
m=7: 49 mod 7 = 0 ≠ 1 = 64 mod 7
m=8: 49 mod 8 = 1 ≠ 0 = 64 mod 8
m=9: 49 mod 9 = 4 ≠ 1 = 64 mod 9
m=10: 49 mod 10 = 9 ≠ 4 = 64 mod 10
m=11: 49 mod 11 = 5 ≠ 9 = 64 mod 11
m=12: 49 mod 12 = 1 ≠ 4 = 64 mod 12
m=13: 49 mod 13 = 10 ≠ 12 = 64 mod 13
m=14: 49 mod 14 = 7 ≠ 8 = 64 mod 14
m=15: 49 mod 15 = 4 = 4 = 64 mod 15
m=16: 49 mod 16 = 1 ≠ 0 = 64 mod 16
m=17: 49 mod 17 = 15 ≠ 13 = 64 mod 17
m=18: 49 mod 18 = 13 ≠ 10 = 64 mod 18
m=19: 49 mod 19 = 11 ≠ 7 = 64 mod 19
m=20: 49 mod 20 = 9 ≠ 4 = 64 mod 20
m=21: 49 mod 21 = 7 ≠ 1 = 64 mod 21
m=22: 49 mod 22 = 5 ≠ 20 = 64 mod 22
m=23: 49 mod 23 = 3 ≠ 18 = 64 mod 23
m=24: 49 mod 24 = 1 ≠ 16 = 64 mod 24
m=25: 49 mod 25 = 24 ≠ 14 = 64 mod 25
m=26: 49 mod 26 = 23 ≠ 12 = 64 mod 26
m=27: 49 mod 27 = 22 ≠ 10 = 64 mod 27
m=28: 49 mod 28 = 21 ≠ 8 = 64 mod 28
m=29: 49 mod 29 = 20 ≠ 6 = 64 mod 29
m=30: 49 mod 30 = 19 ≠ 4 = 64 mod 30
m=31: 49 mod 31 = 18 ≠ 2 = 64 mod 31
m=32: 49 mod 32 = 17 ≠ 0 = 64 mod 32
m=33: 49 mod 33 = 16 ≠ 31 = 64 mod 33
m=34: 49 mod 34 = 15 ≠ 30 = 64 mod 34
m=35: 49 mod 35 = 14 ≠ 29 = 64 mod 35
m=36: 49 mod 36 = 13 ≠ 28 = 64 mod 36
m=37: 49 mod 37 = 12 ≠ 27 = 64 mod 37
m=38: 49 mod 38 = 11 ≠ 26 = 64 mod 38
m=39: 49 mod 39 = 10 ≠ 25 = 64 mod 39
m=40: 49 mod 40 = 9 ≠ 24 = 64 mod 40
m=41: 49 mod 41 = 8 ≠ 23 = 64 mod 41
m=42: 49 mod 42 = 7 ≠ 22 = 64 mod 42
m=43: 49 mod 43 = 6 ≠ 21 = 64 mod 43
m=44: 49 mod 44 = 5 ≠ 20 = 64 mod 44
m=45: 49 mod 45 = 4 ≠ 19 = 64 mod 45
m=46: 49 mod 46 = 3 ≠ 18 = 64 mod 46
m=47: 49 mod 47 = 2 ≠ 17 = 64 mod 47
m=48: 49 mod 48 = 1 ≠ 16 = 64 mod 48
m=49: 49 mod 49 = 0 ≠ 15 = 64 mod 49
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (64 - 49) = 15 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
3; 5; 15
