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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 29 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 29 - 22 = 7.

Somit gilt: 29 mod 11 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 20 und 29 für die gilt n ≡ 55 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 49, weil ja 7 ⋅ 7 = 49 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 55 - 49 = 6.

Somit gilt: 55 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 20 und 29 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 20, z.B. 14 = 2 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 14 und erhalten so 20.

Somit gilt: 20 ≡ 55 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1791 + 2695) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1791 + 2695) mod 9 ≡ (1791 mod 9 + 2695 mod 9) mod 9.

1791 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1791 = 1800-9 = 9 ⋅ 200 -9 = 9 ⋅ 200 - 9 + 0.

2695 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2695 = 2700-5 = 9 ⋅ 300 -5 = 9 ⋅ 300 - 9 + 4.

Somit gilt:

(1791 + 2695) mod 9 ≡ (0 + 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 26) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 26) mod 6 ≡ (44 mod 6 ⋅ 26 mod 6) mod 6.

44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.

26 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26 = 24 + 2 = 4 ⋅ 6 + 2 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 26) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
14 mod m = 20 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 14 aus, ob zufällig 14 mod m = 20 mod m gilt:

m=2: 14 mod 2 = 0 = 0 = 20 mod 2

m=3: 14 mod 3 = 2 = 2 = 20 mod 3

m=4: 14 mod 4 = 2 ≠ 0 = 20 mod 4

m=5: 14 mod 5 = 4 ≠ 0 = 20 mod 5

m=6: 14 mod 6 = 2 = 2 = 20 mod 6

m=7: 14 mod 7 = 0 ≠ 6 = 20 mod 7

m=8: 14 mod 8 = 6 ≠ 4 = 20 mod 8

m=9: 14 mod 9 = 5 ≠ 2 = 20 mod 9

m=10: 14 mod 10 = 4 ≠ 0 = 20 mod 10

m=11: 14 mod 11 = 3 ≠ 9 = 20 mod 11

m=12: 14 mod 12 = 2 ≠ 8 = 20 mod 12

m=13: 14 mod 13 = 1 ≠ 7 = 20 mod 13

m=14: 14 mod 14 = 0 ≠ 6 = 20 mod 14

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (20 - 14) = 6 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6