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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 22 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 22 - 21 = 1.

Somit gilt: 22 mod 7 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 20 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Somit gilt: 52 ≡ 20 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 - 15998) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 - 15998) mod 4 ≡ (44 mod 4 - 15998 mod 4) mod 4.

44 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 40+4 = 4 ⋅ 10 +4.

15998 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15998 = 15000+998 = 4 ⋅ 3750 +998.

Somit gilt:

(44 - 15998) mod 4 ≡ (0 - 2) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (89 ⋅ 46) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(89 ⋅ 46) mod 8 ≡ (89 mod 8 ⋅ 46 mod 8) mod 8.

89 mod 8 ≡ 1 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 89 = 88 + 1 = 11 ⋅ 8 + 1 ist.

46 mod 8 ≡ 6 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 40 + 6 = 5 ⋅ 8 + 6 ist.

Somit gilt:

(89 ⋅ 46) mod 8 ≡ (1 ⋅ 6) mod 8 ≡ 6 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
39 mod m = 57 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 39 aus, ob zufällig 39 mod m = 57 mod m gilt:

m=2: 39 mod 2 = 1 = 1 = 57 mod 2

m=3: 39 mod 3 = 0 = 0 = 57 mod 3

m=4: 39 mod 4 = 3 ≠ 1 = 57 mod 4

m=5: 39 mod 5 = 4 ≠ 2 = 57 mod 5

m=6: 39 mod 6 = 3 = 3 = 57 mod 6

m=7: 39 mod 7 = 4 ≠ 1 = 57 mod 7

m=8: 39 mod 8 = 7 ≠ 1 = 57 mod 8

m=9: 39 mod 9 = 3 = 3 = 57 mod 9

m=10: 39 mod 10 = 9 ≠ 7 = 57 mod 10

m=11: 39 mod 11 = 6 ≠ 2 = 57 mod 11

m=12: 39 mod 12 = 3 ≠ 9 = 57 mod 12

m=13: 39 mod 13 = 0 ≠ 5 = 57 mod 13

m=14: 39 mod 14 = 11 ≠ 1 = 57 mod 14

m=15: 39 mod 15 = 9 ≠ 12 = 57 mod 15

m=16: 39 mod 16 = 7 ≠ 9 = 57 mod 16

m=17: 39 mod 17 = 5 ≠ 6 = 57 mod 17

m=18: 39 mod 18 = 3 = 3 = 57 mod 18

m=19: 39 mod 19 = 1 ≠ 0 = 57 mod 19

m=20: 39 mod 20 = 19 ≠ 17 = 57 mod 20

m=21: 39 mod 21 = 18 ≠ 15 = 57 mod 21

m=22: 39 mod 22 = 17 ≠ 13 = 57 mod 22

m=23: 39 mod 23 = 16 ≠ 11 = 57 mod 23

m=24: 39 mod 24 = 15 ≠ 9 = 57 mod 24

m=25: 39 mod 25 = 14 ≠ 7 = 57 mod 25

m=26: 39 mod 26 = 13 ≠ 5 = 57 mod 26

m=27: 39 mod 27 = 12 ≠ 3 = 57 mod 27

m=28: 39 mod 28 = 11 ≠ 1 = 57 mod 28

m=29: 39 mod 29 = 10 ≠ 28 = 57 mod 29

m=30: 39 mod 30 = 9 ≠ 27 = 57 mod 30

m=31: 39 mod 31 = 8 ≠ 26 = 57 mod 31

m=32: 39 mod 32 = 7 ≠ 25 = 57 mod 32

m=33: 39 mod 33 = 6 ≠ 24 = 57 mod 33

m=34: 39 mod 34 = 5 ≠ 23 = 57 mod 34

m=35: 39 mod 35 = 4 ≠ 22 = 57 mod 35

m=36: 39 mod 36 = 3 ≠ 21 = 57 mod 36

m=37: 39 mod 37 = 2 ≠ 20 = 57 mod 37

m=38: 39 mod 38 = 1 ≠ 19 = 57 mod 38

m=39: 39 mod 39 = 0 ≠ 18 = 57 mod 39

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (57 - 39) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18