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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 93 - 91 = 2.
Somit gilt: 93 mod 7 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 94 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 94 - 90 = 4.
Somit gilt: 94 mod 6 ≡ 4.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 6.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 70, z.B. 66 = 11 ⋅ 6
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 4 mod 6 sein, also addieren wir noch 4 auf die 66 und erhalten so 70.
Somit gilt: 70 ≡ 94 ≡ 4 mod 6.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (159 - 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(159 - 804) mod 4 ≡ (159 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.
159 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 159
= 160
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(159 - 804) mod 4 ≡ (3 - 0) mod 4 ≡ 3 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (75 ⋅ 50) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(75 ⋅ 50) mod 3 ≡ (75 mod 3 ⋅ 50 mod 3) mod 3.
75 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 75 + 0 = 25 ⋅ 3 + 0 ist.
50 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 16 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(75 ⋅ 50) mod 3 ≡ (0 ⋅ 2) mod 3 ≡ 0 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
116 mod m = 166 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 116 aus, ob zufällig 116 mod m = 166 mod m gilt:
m=2: 116 mod 2 = 0 = 0 = 166 mod 2
m=3: 116 mod 3 = 2 ≠ 1 = 166 mod 3
m=4: 116 mod 4 = 0 ≠ 2 = 166 mod 4
m=5: 116 mod 5 = 1 = 1 = 166 mod 5
m=6: 116 mod 6 = 2 ≠ 4 = 166 mod 6
m=7: 116 mod 7 = 4 ≠ 5 = 166 mod 7
m=8: 116 mod 8 = 4 ≠ 6 = 166 mod 8
m=9: 116 mod 9 = 8 ≠ 4 = 166 mod 9
m=10: 116 mod 10 = 6 = 6 = 166 mod 10
m=11: 116 mod 11 = 6 ≠ 1 = 166 mod 11
m=12: 116 mod 12 = 8 ≠ 10 = 166 mod 12
m=13: 116 mod 13 = 12 ≠ 10 = 166 mod 13
m=14: 116 mod 14 = 4 ≠ 12 = 166 mod 14
m=15: 116 mod 15 = 11 ≠ 1 = 166 mod 15
m=16: 116 mod 16 = 4 ≠ 6 = 166 mod 16
m=17: 116 mod 17 = 14 ≠ 13 = 166 mod 17
m=18: 116 mod 18 = 8 ≠ 4 = 166 mod 18
m=19: 116 mod 19 = 2 ≠ 14 = 166 mod 19
m=20: 116 mod 20 = 16 ≠ 6 = 166 mod 20
m=21: 116 mod 21 = 11 ≠ 19 = 166 mod 21
m=22: 116 mod 22 = 6 ≠ 12 = 166 mod 22
m=23: 116 mod 23 = 1 ≠ 5 = 166 mod 23
m=24: 116 mod 24 = 20 ≠ 22 = 166 mod 24
m=25: 116 mod 25 = 16 = 16 = 166 mod 25
m=26: 116 mod 26 = 12 ≠ 10 = 166 mod 26
m=27: 116 mod 27 = 8 ≠ 4 = 166 mod 27
m=28: 116 mod 28 = 4 ≠ 26 = 166 mod 28
m=29: 116 mod 29 = 0 ≠ 21 = 166 mod 29
m=30: 116 mod 30 = 26 ≠ 16 = 166 mod 30
m=31: 116 mod 31 = 23 ≠ 11 = 166 mod 31
m=32: 116 mod 32 = 20 ≠ 6 = 166 mod 32
m=33: 116 mod 33 = 17 ≠ 1 = 166 mod 33
m=34: 116 mod 34 = 14 ≠ 30 = 166 mod 34
m=35: 116 mod 35 = 11 ≠ 26 = 166 mod 35
m=36: 116 mod 36 = 8 ≠ 22 = 166 mod 36
m=37: 116 mod 37 = 5 ≠ 18 = 166 mod 37
m=38: 116 mod 38 = 2 ≠ 14 = 166 mod 38
m=39: 116 mod 39 = 38 ≠ 10 = 166 mod 39
m=40: 116 mod 40 = 36 ≠ 6 = 166 mod 40
m=41: 116 mod 41 = 34 ≠ 2 = 166 mod 41
m=42: 116 mod 42 = 32 ≠ 40 = 166 mod 42
m=43: 116 mod 43 = 30 ≠ 37 = 166 mod 43
m=44: 116 mod 44 = 28 ≠ 34 = 166 mod 44
m=45: 116 mod 45 = 26 ≠ 31 = 166 mod 45
m=46: 116 mod 46 = 24 ≠ 28 = 166 mod 46
m=47: 116 mod 47 = 22 ≠ 25 = 166 mod 47
m=48: 116 mod 48 = 20 ≠ 22 = 166 mod 48
m=49: 116 mod 49 = 18 ≠ 19 = 166 mod 49
m=50: 116 mod 50 = 16 = 16 = 166 mod 50
m=51: 116 mod 51 = 14 ≠ 13 = 166 mod 51
m=52: 116 mod 52 = 12 ≠ 10 = 166 mod 52
m=53: 116 mod 53 = 10 ≠ 7 = 166 mod 53
m=54: 116 mod 54 = 8 ≠ 4 = 166 mod 54
m=55: 116 mod 55 = 6 ≠ 1 = 166 mod 55
m=56: 116 mod 56 = 4 ≠ 54 = 166 mod 56
m=57: 116 mod 57 = 2 ≠ 52 = 166 mod 57
m=58: 116 mod 58 = 0 ≠ 50 = 166 mod 58
m=59: 116 mod 59 = 57 ≠ 48 = 166 mod 59
m=60: 116 mod 60 = 56 ≠ 46 = 166 mod 60
m=61: 116 mod 61 = 55 ≠ 44 = 166 mod 61
m=62: 116 mod 62 = 54 ≠ 42 = 166 mod 62
m=63: 116 mod 63 = 53 ≠ 40 = 166 mod 63
m=64: 116 mod 64 = 52 ≠ 38 = 166 mod 64
m=65: 116 mod 65 = 51 ≠ 36 = 166 mod 65
m=66: 116 mod 66 = 50 ≠ 34 = 166 mod 66
m=67: 116 mod 67 = 49 ≠ 32 = 166 mod 67
m=68: 116 mod 68 = 48 ≠ 30 = 166 mod 68
m=69: 116 mod 69 = 47 ≠ 28 = 166 mod 69
m=70: 116 mod 70 = 46 ≠ 26 = 166 mod 70
m=71: 116 mod 71 = 45 ≠ 24 = 166 mod 71
m=72: 116 mod 72 = 44 ≠ 22 = 166 mod 72
m=73: 116 mod 73 = 43 ≠ 20 = 166 mod 73
m=74: 116 mod 74 = 42 ≠ 18 = 166 mod 74
m=75: 116 mod 75 = 41 ≠ 16 = 166 mod 75
m=76: 116 mod 76 = 40 ≠ 14 = 166 mod 76
m=77: 116 mod 77 = 39 ≠ 12 = 166 mod 77
m=78: 116 mod 78 = 38 ≠ 10 = 166 mod 78
m=79: 116 mod 79 = 37 ≠ 8 = 166 mod 79
m=80: 116 mod 80 = 36 ≠ 6 = 166 mod 80
m=81: 116 mod 81 = 35 ≠ 4 = 166 mod 81
m=82: 116 mod 82 = 34 ≠ 2 = 166 mod 82
m=83: 116 mod 83 = 33 ≠ 0 = 166 mod 83
m=84: 116 mod 84 = 32 ≠ 82 = 166 mod 84
m=85: 116 mod 85 = 31 ≠ 81 = 166 mod 85
m=86: 116 mod 86 = 30 ≠ 80 = 166 mod 86
m=87: 116 mod 87 = 29 ≠ 79 = 166 mod 87
m=88: 116 mod 88 = 28 ≠ 78 = 166 mod 88
m=89: 116 mod 89 = 27 ≠ 77 = 166 mod 89
m=90: 116 mod 90 = 26 ≠ 76 = 166 mod 90
m=91: 116 mod 91 = 25 ≠ 75 = 166 mod 91
m=92: 116 mod 92 = 24 ≠ 74 = 166 mod 92
m=93: 116 mod 93 = 23 ≠ 73 = 166 mod 93
m=94: 116 mod 94 = 22 ≠ 72 = 166 mod 94
m=95: 116 mod 95 = 21 ≠ 71 = 166 mod 95
m=96: 116 mod 96 = 20 ≠ 70 = 166 mod 96
m=97: 116 mod 97 = 19 ≠ 69 = 166 mod 97
m=98: 116 mod 98 = 18 ≠ 68 = 166 mod 98
m=99: 116 mod 99 = 17 ≠ 67 = 166 mod 99
m=100: 116 mod 100 = 16 ≠ 66 = 166 mod 100
m=101: 116 mod 101 = 15 ≠ 65 = 166 mod 101
m=102: 116 mod 102 = 14 ≠ 64 = 166 mod 102
m=103: 116 mod 103 = 13 ≠ 63 = 166 mod 103
m=104: 116 mod 104 = 12 ≠ 62 = 166 mod 104
m=105: 116 mod 105 = 11 ≠ 61 = 166 mod 105
m=106: 116 mod 106 = 10 ≠ 60 = 166 mod 106
m=107: 116 mod 107 = 9 ≠ 59 = 166 mod 107
m=108: 116 mod 108 = 8 ≠ 58 = 166 mod 108
m=109: 116 mod 109 = 7 ≠ 57 = 166 mod 109
m=110: 116 mod 110 = 6 ≠ 56 = 166 mod 110
m=111: 116 mod 111 = 5 ≠ 55 = 166 mod 111
m=112: 116 mod 112 = 4 ≠ 54 = 166 mod 112
m=113: 116 mod 113 = 3 ≠ 53 = 166 mod 113
m=114: 116 mod 114 = 2 ≠ 52 = 166 mod 114
m=115: 116 mod 115 = 1 ≠ 51 = 166 mod 115
m=116: 116 mod 116 = 0 ≠ 50 = 166 mod 116
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (166 - 116) = 50 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10; 25; 50
