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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 78 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 78, weil ja 26 ⋅ 3 = 78 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 78 - 78 = 0.
Somit gilt: 78 mod 3 ≡ 0.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 25 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.
Somit gilt: 25 mod 4 ≡ 1.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 80, z.B. 80 = 20 ⋅ 4
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 80 und erhalten so 81.
Somit gilt: 81 ≡ 25 ≡ 1 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (15997 - 20004) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(15997 - 20004) mod 4 ≡ (15997 mod 4 - 20004 mod 4) mod 4.
15997 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15997
= 15000
20004 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20004
= 20000
Somit gilt:
(15997 - 20004) mod 4 ≡ (1 - 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (92 ⋅ 50) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(92 ⋅ 50) mod 9 ≡ (92 mod 9 ⋅ 50 mod 9) mod 9.
92 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90 + 2 = 10 ⋅ 9 + 2 ist.
50 mod 9 ≡ 5 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 45 + 5 = 5 ⋅ 9 + 5 ist.
Somit gilt:
(92 ⋅ 50) mod 9 ≡ (2 ⋅ 5) mod 9 ≡ 10 mod 9 ≡ 1 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
28 mod m = 38 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 28 aus, ob zufällig 28 mod m = 38 mod m gilt:
m=2: 28 mod 2 = 0 = 0 = 38 mod 2
m=3: 28 mod 3 = 1 ≠ 2 = 38 mod 3
m=4: 28 mod 4 = 0 ≠ 2 = 38 mod 4
m=5: 28 mod 5 = 3 = 3 = 38 mod 5
m=6: 28 mod 6 = 4 ≠ 2 = 38 mod 6
m=7: 28 mod 7 = 0 ≠ 3 = 38 mod 7
m=8: 28 mod 8 = 4 ≠ 6 = 38 mod 8
m=9: 28 mod 9 = 1 ≠ 2 = 38 mod 9
m=10: 28 mod 10 = 8 = 8 = 38 mod 10
m=11: 28 mod 11 = 6 ≠ 5 = 38 mod 11
m=12: 28 mod 12 = 4 ≠ 2 = 38 mod 12
m=13: 28 mod 13 = 2 ≠ 12 = 38 mod 13
m=14: 28 mod 14 = 0 ≠ 10 = 38 mod 14
m=15: 28 mod 15 = 13 ≠ 8 = 38 mod 15
m=16: 28 mod 16 = 12 ≠ 6 = 38 mod 16
m=17: 28 mod 17 = 11 ≠ 4 = 38 mod 17
m=18: 28 mod 18 = 10 ≠ 2 = 38 mod 18
m=19: 28 mod 19 = 9 ≠ 0 = 38 mod 19
m=20: 28 mod 20 = 8 ≠ 18 = 38 mod 20
m=21: 28 mod 21 = 7 ≠ 17 = 38 mod 21
m=22: 28 mod 22 = 6 ≠ 16 = 38 mod 22
m=23: 28 mod 23 = 5 ≠ 15 = 38 mod 23
m=24: 28 mod 24 = 4 ≠ 14 = 38 mod 24
m=25: 28 mod 25 = 3 ≠ 13 = 38 mod 25
m=26: 28 mod 26 = 2 ≠ 12 = 38 mod 26
m=27: 28 mod 27 = 1 ≠ 11 = 38 mod 27
m=28: 28 mod 28 = 0 ≠ 10 = 38 mod 28
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (38 - 28) = 10 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 5; 10
