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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 54 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 54 - 52 = 2.

Somit gilt: 54 mod 4 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 51 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 48, weil ja 6 ⋅ 8 = 48 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 51 - 48 = 3.

Somit gilt: 51 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 10, z.B. 8 = 1 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 8 und erhalten so 11.

Somit gilt: 11 ≡ 51 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (27006 - 87) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(27006 - 87) mod 9 ≡ (27006 mod 9 - 87 mod 9) mod 9.

27006 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 27006 = 27000+6 = 9 ⋅ 3000 +6.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 90-3 = 9 ⋅ 10 -3 = 9 ⋅ 10 - 9 + 6.

Somit gilt:

(27006 - 87) mod 9 ≡ (6 - 6) mod 9 ≡ 0 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15 ⋅ 94) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15 ⋅ 94) mod 4 ≡ (15 mod 4 ⋅ 94 mod 4) mod 4.

15 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15 = 12 + 3 = 3 ⋅ 4 + 3 ist.

94 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 92 + 2 = 23 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(15 ⋅ 94) mod 4 ≡ (3 ⋅ 2) mod 4 ≡ 6 mod 4 ≡ 2 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 39 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 39 mod m gilt:

m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 39 mod 2

m=3: 29 mod 3 = 2 ≠ 0 = 39 mod 3

m=4: 29 mod 4 = 1 ≠ 3 = 39 mod 4

m=5: 29 mod 5 = 4 = 4 = 39 mod 5

m=6: 29 mod 6 = 5 ≠ 3 = 39 mod 6

m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 4 = 39 mod 7

m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 7 = 39 mod 8

m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 3 = 39 mod 9

m=10: 29 mod 10 = 9 = 9 = 39 mod 10

m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 6 = 39 mod 11

m=12: 29 mod 12 = 5 ≠ 3 = 39 mod 12

m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 0 = 39 mod 13

m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 11 = 39 mod 14

m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 9 = 39 mod 15

m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 7 = 39 mod 16

m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 5 = 39 mod 17

m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 3 = 39 mod 18

m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 1 = 39 mod 19

m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 19 = 39 mod 20

m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 18 = 39 mod 21

m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 17 = 39 mod 22

m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 16 = 39 mod 23

m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 15 = 39 mod 24

m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 14 = 39 mod 25

m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 13 = 39 mod 26

m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 12 = 39 mod 27

m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 11 = 39 mod 28

m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 10 = 39 mod 29

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (39 - 29) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10