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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 52, weil ja 13 ⋅ 4 = 52 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 52 = 0.

Somit gilt: 52 mod 4 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 61 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 56, weil ja 8 ⋅ 7 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 61 - 56 = 5.

Somit gilt: 61 mod 7 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 5 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 5 mod 7 sein, also addieren wir noch 5 auf die 91 und erhalten so 96.

Somit gilt: 96 ≡ 61 ≡ 5 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (4003 + 24000) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(4003 + 24000) mod 8 ≡ (4003 mod 8 + 24000 mod 8) mod 8.

4003 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4003 = 4000+3 = 8 ⋅ 500 +3.

24000 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24000 = 24000+0 = 8 ⋅ 3000 +0.

Somit gilt:

(4003 + 24000) mod 8 ≡ (3 + 0) mod 8 ≡ 3 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 75) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 75) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 75 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

75 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 75 = 72 + 3 = 18 ⋅ 4 + 3 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 75) mod 4 ≡ (3 ⋅ 3) mod 4 ≡ 9 mod 4 ≡ 1 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
63 mod m = 83 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 63 aus, ob zufällig 63 mod m = 83 mod m gilt:

m=2: 63 mod 2 = 1 = 1 = 83 mod 2

m=3: 63 mod 3 = 0 ≠ 2 = 83 mod 3

m=4: 63 mod 4 = 3 = 3 = 83 mod 4

m=5: 63 mod 5 = 3 = 3 = 83 mod 5

m=6: 63 mod 6 = 3 ≠ 5 = 83 mod 6

m=7: 63 mod 7 = 0 ≠ 6 = 83 mod 7

m=8: 63 mod 8 = 7 ≠ 3 = 83 mod 8

m=9: 63 mod 9 = 0 ≠ 2 = 83 mod 9

m=10: 63 mod 10 = 3 = 3 = 83 mod 10

m=11: 63 mod 11 = 8 ≠ 6 = 83 mod 11

m=12: 63 mod 12 = 3 ≠ 11 = 83 mod 12

m=13: 63 mod 13 = 11 ≠ 5 = 83 mod 13

m=14: 63 mod 14 = 7 ≠ 13 = 83 mod 14

m=15: 63 mod 15 = 3 ≠ 8 = 83 mod 15

m=16: 63 mod 16 = 15 ≠ 3 = 83 mod 16

m=17: 63 mod 17 = 12 ≠ 15 = 83 mod 17

m=18: 63 mod 18 = 9 ≠ 11 = 83 mod 18

m=19: 63 mod 19 = 6 ≠ 7 = 83 mod 19

m=20: 63 mod 20 = 3 = 3 = 83 mod 20

m=21: 63 mod 21 = 0 ≠ 20 = 83 mod 21

m=22: 63 mod 22 = 19 ≠ 17 = 83 mod 22

m=23: 63 mod 23 = 17 ≠ 14 = 83 mod 23

m=24: 63 mod 24 = 15 ≠ 11 = 83 mod 24

m=25: 63 mod 25 = 13 ≠ 8 = 83 mod 25

m=26: 63 mod 26 = 11 ≠ 5 = 83 mod 26

m=27: 63 mod 27 = 9 ≠ 2 = 83 mod 27

m=28: 63 mod 28 = 7 ≠ 27 = 83 mod 28

m=29: 63 mod 29 = 5 ≠ 25 = 83 mod 29

m=30: 63 mod 30 = 3 ≠ 23 = 83 mod 30

m=31: 63 mod 31 = 1 ≠ 21 = 83 mod 31

m=32: 63 mod 32 = 31 ≠ 19 = 83 mod 32

m=33: 63 mod 33 = 30 ≠ 17 = 83 mod 33

m=34: 63 mod 34 = 29 ≠ 15 = 83 mod 34

m=35: 63 mod 35 = 28 ≠ 13 = 83 mod 35

m=36: 63 mod 36 = 27 ≠ 11 = 83 mod 36

m=37: 63 mod 37 = 26 ≠ 9 = 83 mod 37

m=38: 63 mod 38 = 25 ≠ 7 = 83 mod 38

m=39: 63 mod 39 = 24 ≠ 5 = 83 mod 39

m=40: 63 mod 40 = 23 ≠ 3 = 83 mod 40

m=41: 63 mod 41 = 22 ≠ 1 = 83 mod 41

m=42: 63 mod 42 = 21 ≠ 41 = 83 mod 42

m=43: 63 mod 43 = 20 ≠ 40 = 83 mod 43

m=44: 63 mod 44 = 19 ≠ 39 = 83 mod 44

m=45: 63 mod 45 = 18 ≠ 38 = 83 mod 45

m=46: 63 mod 46 = 17 ≠ 37 = 83 mod 46

m=47: 63 mod 47 = 16 ≠ 36 = 83 mod 47

m=48: 63 mod 48 = 15 ≠ 35 = 83 mod 48

m=49: 63 mod 49 = 14 ≠ 34 = 83 mod 49

m=50: 63 mod 50 = 13 ≠ 33 = 83 mod 50

m=51: 63 mod 51 = 12 ≠ 32 = 83 mod 51

m=52: 63 mod 52 = 11 ≠ 31 = 83 mod 52

m=53: 63 mod 53 = 10 ≠ 30 = 83 mod 53

m=54: 63 mod 54 = 9 ≠ 29 = 83 mod 54

m=55: 63 mod 55 = 8 ≠ 28 = 83 mod 55

m=56: 63 mod 56 = 7 ≠ 27 = 83 mod 56

m=57: 63 mod 57 = 6 ≠ 26 = 83 mod 57

m=58: 63 mod 58 = 5 ≠ 25 = 83 mod 58

m=59: 63 mod 59 = 4 ≠ 24 = 83 mod 59

m=60: 63 mod 60 = 3 ≠ 23 = 83 mod 60

m=61: 63 mod 61 = 2 ≠ 22 = 83 mod 61

m=62: 63 mod 62 = 1 ≠ 21 = 83 mod 62

m=63: 63 mod 63 = 0 ≠ 20 = 83 mod 63

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (83 - 63) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20