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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 68 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 7 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 21 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 21 = 0.

Somit gilt: 21 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 9 ⋅ 7

Somit gilt: 63 ≡ 21 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (120 - 1203) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(120 - 1203) mod 3 ≡ (120 mod 3 - 1203 mod 3) mod 3.

120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120 = 120+0 = 3 ⋅ 40 +0.

1203 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1203 = 1200+3 = 3 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(120 - 1203) mod 3 ≡ (0 - 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 45) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 45) mod 9 ≡ (91 mod 9 ⋅ 45 mod 9) mod 9.

91 mod 9 ≡ 1 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 10 ⋅ 9 + 1 ist.

45 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 45 + 0 = 5 ⋅ 9 + 0 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 45) mod 9 ≡ (1 ⋅ 0) mod 9 ≡ 0 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12