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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 21, weil ja 3 ⋅ 7 = 21 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 21 = 0.

Somit gilt: 21 mod 7 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 51 für die gilt n ≡ 77 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 77, weil ja 7 ⋅ 11 = 77 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 77 - 77 = 0.

Somit gilt: 77 mod 11 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 51 für die gilt: n ≡ 0 mod 11.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 40, z.B. 44 = 4 ⋅ 11

Somit gilt: 44 ≡ 77 ≡ 0 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (23996 - 24008) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(23996 - 24008) mod 8 ≡ (23996 mod 8 - 24008 mod 8) mod 8.

23996 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 23996 = 23000+996 = 8 ⋅ 2875 +996.

24008 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24008 = 24000+8 = 8 ⋅ 3000 +8.

Somit gilt:

(23996 - 24008) mod 8 ≡ (4 - 0) mod 8 ≡ 4 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (94 ⋅ 35) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(94 ⋅ 35) mod 6 ≡ (94 mod 6 ⋅ 35 mod 6) mod 6.

94 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 94 = 90 + 4 = 15 ⋅ 6 + 4 ist.

35 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 35 = 30 + 5 = 5 ⋅ 6 + 5 ist.

Somit gilt:

(94 ⋅ 35) mod 6 ≡ (4 ⋅ 5) mod 6 ≡ 20 mod 6 ≡ 2 mod 6.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
59 mod m = 77 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 59 aus, ob zufällig 59 mod m = 77 mod m gilt:

m=2: 59 mod 2 = 1 = 1 = 77 mod 2

m=3: 59 mod 3 = 2 = 2 = 77 mod 3

m=4: 59 mod 4 = 3 ≠ 1 = 77 mod 4

m=5: 59 mod 5 = 4 ≠ 2 = 77 mod 5

m=6: 59 mod 6 = 5 = 5 = 77 mod 6

m=7: 59 mod 7 = 3 ≠ 0 = 77 mod 7

m=8: 59 mod 8 = 3 ≠ 5 = 77 mod 8

m=9: 59 mod 9 = 5 = 5 = 77 mod 9

m=10: 59 mod 10 = 9 ≠ 7 = 77 mod 10

m=11: 59 mod 11 = 4 ≠ 0 = 77 mod 11

m=12: 59 mod 12 = 11 ≠ 5 = 77 mod 12

m=13: 59 mod 13 = 7 ≠ 12 = 77 mod 13

m=14: 59 mod 14 = 3 ≠ 7 = 77 mod 14

m=15: 59 mod 15 = 14 ≠ 2 = 77 mod 15

m=16: 59 mod 16 = 11 ≠ 13 = 77 mod 16

m=17: 59 mod 17 = 8 ≠ 9 = 77 mod 17

m=18: 59 mod 18 = 5 = 5 = 77 mod 18

m=19: 59 mod 19 = 2 ≠ 1 = 77 mod 19

m=20: 59 mod 20 = 19 ≠ 17 = 77 mod 20

m=21: 59 mod 21 = 17 ≠ 14 = 77 mod 21

m=22: 59 mod 22 = 15 ≠ 11 = 77 mod 22

m=23: 59 mod 23 = 13 ≠ 8 = 77 mod 23

m=24: 59 mod 24 = 11 ≠ 5 = 77 mod 24

m=25: 59 mod 25 = 9 ≠ 2 = 77 mod 25

m=26: 59 mod 26 = 7 ≠ 25 = 77 mod 26

m=27: 59 mod 27 = 5 ≠ 23 = 77 mod 27

m=28: 59 mod 28 = 3 ≠ 21 = 77 mod 28

m=29: 59 mod 29 = 1 ≠ 19 = 77 mod 29

m=30: 59 mod 30 = 29 ≠ 17 = 77 mod 30

m=31: 59 mod 31 = 28 ≠ 15 = 77 mod 31

m=32: 59 mod 32 = 27 ≠ 13 = 77 mod 32

m=33: 59 mod 33 = 26 ≠ 11 = 77 mod 33

m=34: 59 mod 34 = 25 ≠ 9 = 77 mod 34

m=35: 59 mod 35 = 24 ≠ 7 = 77 mod 35

m=36: 59 mod 36 = 23 ≠ 5 = 77 mod 36

m=37: 59 mod 37 = 22 ≠ 3 = 77 mod 37

m=38: 59 mod 38 = 21 ≠ 1 = 77 mod 38

m=39: 59 mod 39 = 20 ≠ 38 = 77 mod 39

m=40: 59 mod 40 = 19 ≠ 37 = 77 mod 40

m=41: 59 mod 41 = 18 ≠ 36 = 77 mod 41

m=42: 59 mod 42 = 17 ≠ 35 = 77 mod 42

m=43: 59 mod 43 = 16 ≠ 34 = 77 mod 43

m=44: 59 mod 44 = 15 ≠ 33 = 77 mod 44

m=45: 59 mod 45 = 14 ≠ 32 = 77 mod 45

m=46: 59 mod 46 = 13 ≠ 31 = 77 mod 46

m=47: 59 mod 47 = 12 ≠ 30 = 77 mod 47

m=48: 59 mod 48 = 11 ≠ 29 = 77 mod 48

m=49: 59 mod 49 = 10 ≠ 28 = 77 mod 49

m=50: 59 mod 50 = 9 ≠ 27 = 77 mod 50

m=51: 59 mod 51 = 8 ≠ 26 = 77 mod 51

m=52: 59 mod 52 = 7 ≠ 25 = 77 mod 52

m=53: 59 mod 53 = 6 ≠ 24 = 77 mod 53

m=54: 59 mod 54 = 5 ≠ 23 = 77 mod 54

m=55: 59 mod 55 = 4 ≠ 22 = 77 mod 55

m=56: 59 mod 56 = 3 ≠ 21 = 77 mod 56

m=57: 59 mod 57 = 2 ≠ 20 = 77 mod 57

m=58: 59 mod 58 = 1 ≠ 19 = 77 mod 58

m=59: 59 mod 59 = 0 ≠ 18 = 77 mod 59

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (77 - 59) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18