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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 30 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 30, weil ja 10 ⋅ 3 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 30 - 30 = 0.

Somit gilt: 30 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 20 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 14, weil ja 2 ⋅ 7 = 14 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 14 = 6.

Somit gilt: 20 mod 7 ≡ 6.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 6 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 84 = 12 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 6 mod 7 sein, also addieren wir noch 6 auf die 84 und erhalten so 90.

Somit gilt: 90 ≡ 20 ≡ 6 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (6002 + 33) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(6002 + 33) mod 3 ≡ (6002 mod 3 + 33 mod 3) mod 3.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

33 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 33 = 30+3 = 3 ⋅ 10 +3.

Somit gilt:

(6002 + 33) mod 3 ≡ (2 + 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 18) mod 10.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 18) mod 10 ≡ (85 mod 10 ⋅ 18 mod 10) mod 10.

85 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 80 + 5 = 8 ⋅ 10 + 5 ist.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 18) mod 10 ≡ (5 ⋅ 8) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
31 mod m = 43 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 31 aus, ob zufällig 31 mod m = 43 mod m gilt:

m=2: 31 mod 2 = 1 = 1 = 43 mod 2

m=3: 31 mod 3 = 1 = 1 = 43 mod 3

m=4: 31 mod 4 = 3 = 3 = 43 mod 4

m=5: 31 mod 5 = 1 ≠ 3 = 43 mod 5

m=6: 31 mod 6 = 1 = 1 = 43 mod 6

m=7: 31 mod 7 = 3 ≠ 1 = 43 mod 7

m=8: 31 mod 8 = 7 ≠ 3 = 43 mod 8

m=9: 31 mod 9 = 4 ≠ 7 = 43 mod 9

m=10: 31 mod 10 = 1 ≠ 3 = 43 mod 10

m=11: 31 mod 11 = 9 ≠ 10 = 43 mod 11

m=12: 31 mod 12 = 7 = 7 = 43 mod 12

m=13: 31 mod 13 = 5 ≠ 4 = 43 mod 13

m=14: 31 mod 14 = 3 ≠ 1 = 43 mod 14

m=15: 31 mod 15 = 1 ≠ 13 = 43 mod 15

m=16: 31 mod 16 = 15 ≠ 11 = 43 mod 16

m=17: 31 mod 17 = 14 ≠ 9 = 43 mod 17

m=18: 31 mod 18 = 13 ≠ 7 = 43 mod 18

m=19: 31 mod 19 = 12 ≠ 5 = 43 mod 19

m=20: 31 mod 20 = 11 ≠ 3 = 43 mod 20

m=21: 31 mod 21 = 10 ≠ 1 = 43 mod 21

m=22: 31 mod 22 = 9 ≠ 21 = 43 mod 22

m=23: 31 mod 23 = 8 ≠ 20 = 43 mod 23

m=24: 31 mod 24 = 7 ≠ 19 = 43 mod 24

m=25: 31 mod 25 = 6 ≠ 18 = 43 mod 25

m=26: 31 mod 26 = 5 ≠ 17 = 43 mod 26

m=27: 31 mod 27 = 4 ≠ 16 = 43 mod 27

m=28: 31 mod 28 = 3 ≠ 15 = 43 mod 28

m=29: 31 mod 29 = 2 ≠ 14 = 43 mod 29

m=30: 31 mod 30 = 1 ≠ 13 = 43 mod 30

m=31: 31 mod 31 = 0 ≠ 12 = 43 mod 31

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (43 - 31) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12