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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 84 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.

Somit gilt: 84 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 68 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 63, weil ja 7 ⋅ 9 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 68 - 63 = 5.

Somit gilt: 68 mod 9 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 5 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 10, z.B. 9 = 1 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 5 mod 9 sein, also addieren wir noch 5 auf die 9 und erhalten so 14.

Somit gilt: 14 ≡ 68 ≡ 5 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 - 179) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 - 179) mod 9 ≡ (88 mod 9 - 179 mod 9) mod 9.

88 mod 9 ≡ 7 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 90-2 = 9 ⋅ 10 -2 = 9 ⋅ 10 - 9 + 7.

179 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 179 = 180-1 = 9 ⋅ 20 -1 = 9 ⋅ 20 - 9 + 8.

Somit gilt:

(88 - 179) mod 9 ≡ (7 - 8) mod 9 ≡ -1 mod 9 ≡ 8 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (20 ⋅ 74) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(20 ⋅ 74) mod 7 ≡ (20 mod 7 ⋅ 74 mod 7) mod 7.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

Somit gilt:

(20 ⋅ 74) mod 7 ≡ (6 ⋅ 4) mod 7 ≡ 24 mod 7 ≡ 3 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 31 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 31 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 ≠ 1 = 31 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 = 1 = 31 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 ≠ 3 = 31 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 1 = 31 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 1 = 31 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 3 = 31 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 ≠ 7 = 31 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 = 4 = 31 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 1 = 31 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 9 = 31 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 7 = 31 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 5 = 31 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 3 = 31 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 1 = 31 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 15 = 31 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 14 = 31 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 13 = 31 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 12 = 31 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 11 = 31 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 10 = 31 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 9 = 31 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (31 - 22) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9