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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 71 mod 7.
Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 70, weil ja 10 ⋅ 7 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 71 - 70 = 1.
Somit gilt: 71 mod 7 ≡ 1.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 70 mod 5.
Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 70, weil ja 14 ⋅ 5 = 70 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 70 - 70 = 0.
Somit gilt: 70 mod 5 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 5.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 6 ⋅ 5
Somit gilt: 30 ≡ 70 ≡ 0 mod 5.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (9009 + 17993) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(9009 + 17993) mod 9 ≡ (9009 mod 9 + 17993 mod 9) mod 9.
9009 mod 9 ≡ 0 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 9009
= 9000
17993 mod 9 ≡ 2 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 17993
= 18000
Somit gilt:
(9009 + 17993) mod 9 ≡ (0 + 2) mod 9 ≡ 2 mod 9.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 31) mod 7.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 31) mod 7 ≡ (31 mod 7 ⋅ 31 mod 7) mod 7.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
31 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 4 ⋅ 7 + 3 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 31) mod 7 ≡ (3 ⋅ 3) mod 7 ≡ 9 mod 7 ≡ 2 mod 7.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
74 mod m = 104 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 74 aus, ob zufällig 74 mod m = 104 mod m gilt:
m=2: 74 mod 2 = 0 = 0 = 104 mod 2
m=3: 74 mod 3 = 2 = 2 = 104 mod 3
m=4: 74 mod 4 = 2 ≠ 0 = 104 mod 4
m=5: 74 mod 5 = 4 = 4 = 104 mod 5
m=6: 74 mod 6 = 2 = 2 = 104 mod 6
m=7: 74 mod 7 = 4 ≠ 6 = 104 mod 7
m=8: 74 mod 8 = 2 ≠ 0 = 104 mod 8
m=9: 74 mod 9 = 2 ≠ 5 = 104 mod 9
m=10: 74 mod 10 = 4 = 4 = 104 mod 10
m=11: 74 mod 11 = 8 ≠ 5 = 104 mod 11
m=12: 74 mod 12 = 2 ≠ 8 = 104 mod 12
m=13: 74 mod 13 = 9 ≠ 0 = 104 mod 13
m=14: 74 mod 14 = 4 ≠ 6 = 104 mod 14
m=15: 74 mod 15 = 14 = 14 = 104 mod 15
m=16: 74 mod 16 = 10 ≠ 8 = 104 mod 16
m=17: 74 mod 17 = 6 ≠ 2 = 104 mod 17
m=18: 74 mod 18 = 2 ≠ 14 = 104 mod 18
m=19: 74 mod 19 = 17 ≠ 9 = 104 mod 19
m=20: 74 mod 20 = 14 ≠ 4 = 104 mod 20
m=21: 74 mod 21 = 11 ≠ 20 = 104 mod 21
m=22: 74 mod 22 = 8 ≠ 16 = 104 mod 22
m=23: 74 mod 23 = 5 ≠ 12 = 104 mod 23
m=24: 74 mod 24 = 2 ≠ 8 = 104 mod 24
m=25: 74 mod 25 = 24 ≠ 4 = 104 mod 25
m=26: 74 mod 26 = 22 ≠ 0 = 104 mod 26
m=27: 74 mod 27 = 20 ≠ 23 = 104 mod 27
m=28: 74 mod 28 = 18 ≠ 20 = 104 mod 28
m=29: 74 mod 29 = 16 ≠ 17 = 104 mod 29
m=30: 74 mod 30 = 14 = 14 = 104 mod 30
m=31: 74 mod 31 = 12 ≠ 11 = 104 mod 31
m=32: 74 mod 32 = 10 ≠ 8 = 104 mod 32
m=33: 74 mod 33 = 8 ≠ 5 = 104 mod 33
m=34: 74 mod 34 = 6 ≠ 2 = 104 mod 34
m=35: 74 mod 35 = 4 ≠ 34 = 104 mod 35
m=36: 74 mod 36 = 2 ≠ 32 = 104 mod 36
m=37: 74 mod 37 = 0 ≠ 30 = 104 mod 37
m=38: 74 mod 38 = 36 ≠ 28 = 104 mod 38
m=39: 74 mod 39 = 35 ≠ 26 = 104 mod 39
m=40: 74 mod 40 = 34 ≠ 24 = 104 mod 40
m=41: 74 mod 41 = 33 ≠ 22 = 104 mod 41
m=42: 74 mod 42 = 32 ≠ 20 = 104 mod 42
m=43: 74 mod 43 = 31 ≠ 18 = 104 mod 43
m=44: 74 mod 44 = 30 ≠ 16 = 104 mod 44
m=45: 74 mod 45 = 29 ≠ 14 = 104 mod 45
m=46: 74 mod 46 = 28 ≠ 12 = 104 mod 46
m=47: 74 mod 47 = 27 ≠ 10 = 104 mod 47
m=48: 74 mod 48 = 26 ≠ 8 = 104 mod 48
m=49: 74 mod 49 = 25 ≠ 6 = 104 mod 49
m=50: 74 mod 50 = 24 ≠ 4 = 104 mod 50
m=51: 74 mod 51 = 23 ≠ 2 = 104 mod 51
m=52: 74 mod 52 = 22 ≠ 0 = 104 mod 52
m=53: 74 mod 53 = 21 ≠ 51 = 104 mod 53
m=54: 74 mod 54 = 20 ≠ 50 = 104 mod 54
m=55: 74 mod 55 = 19 ≠ 49 = 104 mod 55
m=56: 74 mod 56 = 18 ≠ 48 = 104 mod 56
m=57: 74 mod 57 = 17 ≠ 47 = 104 mod 57
m=58: 74 mod 58 = 16 ≠ 46 = 104 mod 58
m=59: 74 mod 59 = 15 ≠ 45 = 104 mod 59
m=60: 74 mod 60 = 14 ≠ 44 = 104 mod 60
m=61: 74 mod 61 = 13 ≠ 43 = 104 mod 61
m=62: 74 mod 62 = 12 ≠ 42 = 104 mod 62
m=63: 74 mod 63 = 11 ≠ 41 = 104 mod 63
m=64: 74 mod 64 = 10 ≠ 40 = 104 mod 64
m=65: 74 mod 65 = 9 ≠ 39 = 104 mod 65
m=66: 74 mod 66 = 8 ≠ 38 = 104 mod 66
m=67: 74 mod 67 = 7 ≠ 37 = 104 mod 67
m=68: 74 mod 68 = 6 ≠ 36 = 104 mod 68
m=69: 74 mod 69 = 5 ≠ 35 = 104 mod 69
m=70: 74 mod 70 = 4 ≠ 34 = 104 mod 70
m=71: 74 mod 71 = 3 ≠ 33 = 104 mod 71
m=72: 74 mod 72 = 2 ≠ 32 = 104 mod 72
m=73: 74 mod 73 = 1 ≠ 31 = 104 mod 73
m=74: 74 mod 74 = 0 ≠ 30 = 104 mod 74
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (104 - 74) = 30 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
