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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 81 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 78, weil ja 13 ⋅ 6 = 78 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 81 - 78 = 3.

Somit gilt: 81 mod 6 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 20 für die gilt n ≡ 85 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 80, weil ja 8 ⋅ 10 = 80 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 80 = 5.

Somit gilt: 85 mod 10 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 20 für die gilt: n ≡ 5 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 1 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 5 mod 10 sein, also addieren wir noch 5 auf die 10 und erhalten so 15.

Somit gilt: 15 ≡ 85 ≡ 5 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (145 + 255) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(145 + 255) mod 5 ≡ (145 mod 5 + 255 mod 5) mod 5.

145 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 145 = 140+5 = 5 ⋅ 28 +5.

255 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 255 = 250+5 = 5 ⋅ 50 +5.

Somit gilt:

(145 + 255) mod 5 ≡ (0 + 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (88 ⋅ 87) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(88 ⋅ 87) mod 8 ≡ (88 mod 8 ⋅ 87 mod 8) mod 8.

88 mod 8 ≡ 0 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 88 = 88 + 0 = 11 ⋅ 8 + 0 ist.

87 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 80 + 7 = 10 ⋅ 8 + 7 ist.

Somit gilt:

(88 ⋅ 87) mod 8 ≡ (0 ⋅ 7) mod 8 ≡ 0 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 29 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9