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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 97 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 96, weil ja 16 ⋅ 6 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 6 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 20 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 20, weil ja 5 ⋅ 4 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 4 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Somit gilt: 52 ≡ 20 ≡ 0 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 - 114) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 - 114) mod 6 ≡ (60 mod 6 - 114 mod 6) mod 6.

60 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60+0 = 6 ⋅ 10 +0.

114 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 114 = 120-6 = 6 ⋅ 20 -6 = 6 ⋅ 20 - 6 + 0.

Somit gilt:

(60 - 114) mod 6 ≡ (0 - 0) mod 6 ≡ 0 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18 ⋅ 45) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18 ⋅ 45) mod 10 ≡ (18 mod 10 ⋅ 45 mod 10) mod 10.

18 mod 10 ≡ 8 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18 = 10 + 8 = 1 ⋅ 10 + 8 ist.

45 mod 10 ≡ 5 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 45 = 40 + 5 = 4 ⋅ 10 + 5 ist.

Somit gilt:

(18 ⋅ 45) mod 10 ≡ (8 ⋅ 5) mod 10 ≡ 40 mod 10 ≡ 0 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
22 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 22 aus, ob zufällig 22 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 22 mod 2 = 0 = 0 = 30 mod 2

m=3: 22 mod 3 = 1 ≠ 0 = 30 mod 3

m=4: 22 mod 4 = 2 = 2 = 30 mod 4

m=5: 22 mod 5 = 2 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 22 mod 6 = 4 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 22 mod 7 = 1 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 22 mod 8 = 6 = 6 = 30 mod 8

m=9: 22 mod 9 = 4 ≠ 3 = 30 mod 9

m=10: 22 mod 10 = 2 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 22 mod 11 = 0 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 22 mod 12 = 10 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 22 mod 13 = 9 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 22 mod 14 = 8 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 22 mod 15 = 7 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 22 mod 16 = 6 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 22 mod 17 = 5 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 22 mod 18 = 4 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 22 mod 19 = 3 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 22 mod 20 = 2 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 22 mod 21 = 1 ≠ 9 = 30 mod 21

m=22: 22 mod 22 = 0 ≠ 8 = 30 mod 22

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 22) = 8 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 8