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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 57 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 54, weil ja 6 ⋅ 9 = 54 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 57 - 54 = 3.

Somit gilt: 57 mod 9 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 72 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 72, weil ja 12 ⋅ 6 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 6 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 6.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 15 ⋅ 6

Somit gilt: 90 ≡ 72 ≡ 0 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (150 + 8999) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(150 + 8999) mod 3 ≡ (150 mod 3 + 8999 mod 3) mod 3.

150 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 150 = 150+0 = 3 ⋅ 50 +0.

8999 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 8999 = 9000-1 = 3 ⋅ 3000 -1 = 3 ⋅ 3000 - 3 + 2.

Somit gilt:

(150 + 8999) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (66 ⋅ 58) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(66 ⋅ 58) mod 11 ≡ (66 mod 11 ⋅ 58 mod 11) mod 11.

66 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 66 = 66 + 0 = 6 ⋅ 11 + 0 ist.

58 mod 11 ≡ 3 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 58 = 55 + 3 = 5 ⋅ 11 + 3 ist.

Somit gilt:

(66 ⋅ 58) mod 11 ≡ (0 ⋅ 3) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
62 mod m = 82 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 62 aus, ob zufällig 62 mod m = 82 mod m gilt:

m=2: 62 mod 2 = 0 = 0 = 82 mod 2

m=3: 62 mod 3 = 2 ≠ 1 = 82 mod 3

m=4: 62 mod 4 = 2 = 2 = 82 mod 4

m=5: 62 mod 5 = 2 = 2 = 82 mod 5

m=6: 62 mod 6 = 2 ≠ 4 = 82 mod 6

m=7: 62 mod 7 = 6 ≠ 5 = 82 mod 7

m=8: 62 mod 8 = 6 ≠ 2 = 82 mod 8

m=9: 62 mod 9 = 8 ≠ 1 = 82 mod 9

m=10: 62 mod 10 = 2 = 2 = 82 mod 10

m=11: 62 mod 11 = 7 ≠ 5 = 82 mod 11

m=12: 62 mod 12 = 2 ≠ 10 = 82 mod 12

m=13: 62 mod 13 = 10 ≠ 4 = 82 mod 13

m=14: 62 mod 14 = 6 ≠ 12 = 82 mod 14

m=15: 62 mod 15 = 2 ≠ 7 = 82 mod 15

m=16: 62 mod 16 = 14 ≠ 2 = 82 mod 16

m=17: 62 mod 17 = 11 ≠ 14 = 82 mod 17

m=18: 62 mod 18 = 8 ≠ 10 = 82 mod 18

m=19: 62 mod 19 = 5 ≠ 6 = 82 mod 19

m=20: 62 mod 20 = 2 = 2 = 82 mod 20

m=21: 62 mod 21 = 20 ≠ 19 = 82 mod 21

m=22: 62 mod 22 = 18 ≠ 16 = 82 mod 22

m=23: 62 mod 23 = 16 ≠ 13 = 82 mod 23

m=24: 62 mod 24 = 14 ≠ 10 = 82 mod 24

m=25: 62 mod 25 = 12 ≠ 7 = 82 mod 25

m=26: 62 mod 26 = 10 ≠ 4 = 82 mod 26

m=27: 62 mod 27 = 8 ≠ 1 = 82 mod 27

m=28: 62 mod 28 = 6 ≠ 26 = 82 mod 28

m=29: 62 mod 29 = 4 ≠ 24 = 82 mod 29

m=30: 62 mod 30 = 2 ≠ 22 = 82 mod 30

m=31: 62 mod 31 = 0 ≠ 20 = 82 mod 31

m=32: 62 mod 32 = 30 ≠ 18 = 82 mod 32

m=33: 62 mod 33 = 29 ≠ 16 = 82 mod 33

m=34: 62 mod 34 = 28 ≠ 14 = 82 mod 34

m=35: 62 mod 35 = 27 ≠ 12 = 82 mod 35

m=36: 62 mod 36 = 26 ≠ 10 = 82 mod 36

m=37: 62 mod 37 = 25 ≠ 8 = 82 mod 37

m=38: 62 mod 38 = 24 ≠ 6 = 82 mod 38

m=39: 62 mod 39 = 23 ≠ 4 = 82 mod 39

m=40: 62 mod 40 = 22 ≠ 2 = 82 mod 40

m=41: 62 mod 41 = 21 ≠ 0 = 82 mod 41

m=42: 62 mod 42 = 20 ≠ 40 = 82 mod 42

m=43: 62 mod 43 = 19 ≠ 39 = 82 mod 43

m=44: 62 mod 44 = 18 ≠ 38 = 82 mod 44

m=45: 62 mod 45 = 17 ≠ 37 = 82 mod 45

m=46: 62 mod 46 = 16 ≠ 36 = 82 mod 46

m=47: 62 mod 47 = 15 ≠ 35 = 82 mod 47

m=48: 62 mod 48 = 14 ≠ 34 = 82 mod 48

m=49: 62 mod 49 = 13 ≠ 33 = 82 mod 49

m=50: 62 mod 50 = 12 ≠ 32 = 82 mod 50

m=51: 62 mod 51 = 11 ≠ 31 = 82 mod 51

m=52: 62 mod 52 = 10 ≠ 30 = 82 mod 52

m=53: 62 mod 53 = 9 ≠ 29 = 82 mod 53

m=54: 62 mod 54 = 8 ≠ 28 = 82 mod 54

m=55: 62 mod 55 = 7 ≠ 27 = 82 mod 55

m=56: 62 mod 56 = 6 ≠ 26 = 82 mod 56

m=57: 62 mod 57 = 5 ≠ 25 = 82 mod 57

m=58: 62 mod 58 = 4 ≠ 24 = 82 mod 58

m=59: 62 mod 59 = 3 ≠ 23 = 82 mod 59

m=60: 62 mod 60 = 2 ≠ 22 = 82 mod 60

m=61: 62 mod 61 = 1 ≠ 21 = 82 mod 61

m=62: 62 mod 62 = 0 ≠ 20 = 82 mod 62

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (82 - 62) = 20 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4; 5; 10; 20