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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 72 mod 3.

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Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 72, weil ja 24 ⋅ 3 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.

Somit gilt: 72 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 80 und 89 für die gilt n ≡ 45 mod 6.

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Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 42, weil ja 7 ⋅ 6 = 42 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 42 = 3.

Somit gilt: 45 mod 6 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 80 und 89 für die gilt: n ≡ 3 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 80, z.B. 78 = 13 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 3 mod 6 sein, also addieren wir noch 3 auf die 78 und erhalten so 81.

Somit gilt: 81 ≡ 45 ≡ 3 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (253 - 10002) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(253 - 10002) mod 5 ≡ (253 mod 5 - 10002 mod 5) mod 5.

253 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 253 = 250+3 = 5 ⋅ 50 +3.

10002 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 10002 = 10000+2 = 5 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(253 - 10002) mod 5 ≡ (3 - 2) mod 5 ≡ 1 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (77 ⋅ 43) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(77 ⋅ 43) mod 7 ≡ (77 mod 7 ⋅ 43 mod 7) mod 7.

77 mod 7 ≡ 0 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 77 = 77 + 0 = 11 ⋅ 7 + 0 ist.

43 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 43 = 42 + 1 = 6 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(77 ⋅ 43) mod 7 ≡ (0 ⋅ 1) mod 7 ≡ 0 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
11 mod m = 15 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 11 aus, ob zufällig 11 mod m = 15 mod m gilt:

m=2: 11 mod 2 = 1 = 1 = 15 mod 2

m=3: 11 mod 3 = 2 ≠ 0 = 15 mod 3

m=4: 11 mod 4 = 3 = 3 = 15 mod 4

m=5: 11 mod 5 = 1 ≠ 0 = 15 mod 5

m=6: 11 mod 6 = 5 ≠ 3 = 15 mod 6

m=7: 11 mod 7 = 4 ≠ 1 = 15 mod 7

m=8: 11 mod 8 = 3 ≠ 7 = 15 mod 8

m=9: 11 mod 9 = 2 ≠ 6 = 15 mod 9

m=10: 11 mod 10 = 1 ≠ 5 = 15 mod 10

m=11: 11 mod 11 = 0 ≠ 4 = 15 mod 11

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (15 - 11) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4