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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 20 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 20 - 20 = 0.

Somit gilt: 20 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 59 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 59 - 56 = 3.

Somit gilt: 59 mod 8 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 3 mod 8.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 60, z.B. 64 = 8 ⋅ 8

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 3 mod 8 sein, also addieren wir noch 3 auf die 64 und erhalten so 67.

Somit gilt: 67 ≡ 59 ≡ 3 mod 8.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1502 - 12000) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1502 - 12000) mod 3 ≡ (1502 mod 3 - 12000 mod 3) mod 3.

1502 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1502 = 1500+2 = 3 ⋅ 500 +2.

12000 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12000 = 12000+0 = 3 ⋅ 4000 +0.

Somit gilt:

(1502 - 12000) mod 3 ≡ (2 - 0) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (60 ⋅ 21) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(60 ⋅ 21) mod 3 ≡ (60 mod 3 ⋅ 21 mod 3) mod 3.

60 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 60 = 60 + 0 = 20 ⋅ 3 + 0 ist.

21 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21 = 21 + 0 = 7 ⋅ 3 + 0 ist.

Somit gilt:

(60 ⋅ 21) mod 3 ≡ (0 ⋅ 0) mod 3 ≡ 0 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:

m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2

m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3

m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4

m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5

m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6

m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7

m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8

m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9

m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10

m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11

m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12

m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13

m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14

m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15

m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16

m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17

m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18

m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19

m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20

m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21

m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22

m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23

m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24

m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12