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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 93 mod 3.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 93, weil ja 31 ⋅ 3 = 93 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 93 = 0.

Somit gilt: 93 mod 3 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 10 und 19 für die gilt n ≡ 33 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 30, weil ja 6 ⋅ 5 = 30 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 33 - 30 = 3.

Somit gilt: 33 mod 5 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 10 und 19 für die gilt: n ≡ 3 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 10, z.B. 10 = 2 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 3 mod 5 sein, also addieren wir noch 3 auf die 10 und erhalten so 13.

Somit gilt: 13 ≡ 33 ≡ 3 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (15003 + 6002) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(15003 + 6002) mod 3 ≡ (15003 mod 3 + 6002 mod 3) mod 3.

15003 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 15003 = 15000+3 = 3 ⋅ 5000 +3.

6002 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 6002 = 6000+2 = 3 ⋅ 2000 +2.

Somit gilt:

(15003 + 6002) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (74 ⋅ 72) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(74 ⋅ 72) mod 7 ≡ (74 mod 7 ⋅ 72 mod 7) mod 7.

74 mod 7 ≡ 4 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 74 = 70 + 4 = 10 ⋅ 7 + 4 ist.

72 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 72 = 70 + 2 = 10 ⋅ 7 + 2 ist.

Somit gilt:

(74 ⋅ 72) mod 7 ≡ (4 ⋅ 2) mod 7 ≡ 8 mod 7 ≡ 1 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
54 mod m = 69 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 54 aus, ob zufällig 54 mod m = 69 mod m gilt:

m=2: 54 mod 2 = 0 ≠ 1 = 69 mod 2

m=3: 54 mod 3 = 0 = 0 = 69 mod 3

m=4: 54 mod 4 = 2 ≠ 1 = 69 mod 4

m=5: 54 mod 5 = 4 = 4 = 69 mod 5

m=6: 54 mod 6 = 0 ≠ 3 = 69 mod 6

m=7: 54 mod 7 = 5 ≠ 6 = 69 mod 7

m=8: 54 mod 8 = 6 ≠ 5 = 69 mod 8

m=9: 54 mod 9 = 0 ≠ 6 = 69 mod 9

m=10: 54 mod 10 = 4 ≠ 9 = 69 mod 10

m=11: 54 mod 11 = 10 ≠ 3 = 69 mod 11

m=12: 54 mod 12 = 6 ≠ 9 = 69 mod 12

m=13: 54 mod 13 = 2 ≠ 4 = 69 mod 13

m=14: 54 mod 14 = 12 ≠ 13 = 69 mod 14

m=15: 54 mod 15 = 9 = 9 = 69 mod 15

m=16: 54 mod 16 = 6 ≠ 5 = 69 mod 16

m=17: 54 mod 17 = 3 ≠ 1 = 69 mod 17

m=18: 54 mod 18 = 0 ≠ 15 = 69 mod 18

m=19: 54 mod 19 = 16 ≠ 12 = 69 mod 19

m=20: 54 mod 20 = 14 ≠ 9 = 69 mod 20

m=21: 54 mod 21 = 12 ≠ 6 = 69 mod 21

m=22: 54 mod 22 = 10 ≠ 3 = 69 mod 22

m=23: 54 mod 23 = 8 ≠ 0 = 69 mod 23

m=24: 54 mod 24 = 6 ≠ 21 = 69 mod 24

m=25: 54 mod 25 = 4 ≠ 19 = 69 mod 25

m=26: 54 mod 26 = 2 ≠ 17 = 69 mod 26

m=27: 54 mod 27 = 0 ≠ 15 = 69 mod 27

m=28: 54 mod 28 = 26 ≠ 13 = 69 mod 28

m=29: 54 mod 29 = 25 ≠ 11 = 69 mod 29

m=30: 54 mod 30 = 24 ≠ 9 = 69 mod 30

m=31: 54 mod 31 = 23 ≠ 7 = 69 mod 31

m=32: 54 mod 32 = 22 ≠ 5 = 69 mod 32

m=33: 54 mod 33 = 21 ≠ 3 = 69 mod 33

m=34: 54 mod 34 = 20 ≠ 1 = 69 mod 34

m=35: 54 mod 35 = 19 ≠ 34 = 69 mod 35

m=36: 54 mod 36 = 18 ≠ 33 = 69 mod 36

m=37: 54 mod 37 = 17 ≠ 32 = 69 mod 37

m=38: 54 mod 38 = 16 ≠ 31 = 69 mod 38

m=39: 54 mod 39 = 15 ≠ 30 = 69 mod 39

m=40: 54 mod 40 = 14 ≠ 29 = 69 mod 40

m=41: 54 mod 41 = 13 ≠ 28 = 69 mod 41

m=42: 54 mod 42 = 12 ≠ 27 = 69 mod 42

m=43: 54 mod 43 = 11 ≠ 26 = 69 mod 43

m=44: 54 mod 44 = 10 ≠ 25 = 69 mod 44

m=45: 54 mod 45 = 9 ≠ 24 = 69 mod 45

m=46: 54 mod 46 = 8 ≠ 23 = 69 mod 46

m=47: 54 mod 47 = 7 ≠ 22 = 69 mod 47

m=48: 54 mod 48 = 6 ≠ 21 = 69 mod 48

m=49: 54 mod 49 = 5 ≠ 20 = 69 mod 49

m=50: 54 mod 50 = 4 ≠ 19 = 69 mod 50

m=51: 54 mod 51 = 3 ≠ 18 = 69 mod 51

m=52: 54 mod 52 = 2 ≠ 17 = 69 mod 52

m=53: 54 mod 53 = 1 ≠ 16 = 69 mod 53

m=54: 54 mod 54 = 0 ≠ 15 = 69 mod 54

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (69 - 54) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15