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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 21 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 20, weil ja 4 ⋅ 5 = 20 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 21 - 20 = 1.

Somit gilt: 21 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 60 für die gilt n ≡ 97 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 90 = 7.

Somit gilt: 97 mod 10 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 60 für die gilt: n ≡ 7 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 50, z.B. 50 = 5 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 7 mod 10 sein, also addieren wir noch 7 auf die 50 und erhalten so 57.

Somit gilt: 57 ≡ 97 ≡ 7 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (248 + 497) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(248 + 497) mod 5 ≡ (248 mod 5 + 497 mod 5) mod 5.

248 mod 5 ≡ 3 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 248 = 240+8 = 5 ⋅ 48 +8.

497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 497 = 400+97 = 5 ⋅ 80 +97.

Somit gilt:

(248 + 497) mod 5 ≡ (3 + 2) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 20) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 20) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 20 mod 7) mod 7.

50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.

20 mod 7 ≡ 6 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 14 + 6 = 2 ⋅ 7 + 6 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 20) mod 7 ≡ (1 ⋅ 6) mod 7 ≡ 6 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
35 mod m = 45 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 35 aus, ob zufällig 35 mod m = 45 mod m gilt:

m=2: 35 mod 2 = 1 = 1 = 45 mod 2

m=3: 35 mod 3 = 2 ≠ 0 = 45 mod 3

m=4: 35 mod 4 = 3 ≠ 1 = 45 mod 4

m=5: 35 mod 5 = 0 = 0 = 45 mod 5

m=6: 35 mod 6 = 5 ≠ 3 = 45 mod 6

m=7: 35 mod 7 = 0 ≠ 3 = 45 mod 7

m=8: 35 mod 8 = 3 ≠ 5 = 45 mod 8

m=9: 35 mod 9 = 8 ≠ 0 = 45 mod 9

m=10: 35 mod 10 = 5 = 5 = 45 mod 10

m=11: 35 mod 11 = 2 ≠ 1 = 45 mod 11

m=12: 35 mod 12 = 11 ≠ 9 = 45 mod 12

m=13: 35 mod 13 = 9 ≠ 6 = 45 mod 13

m=14: 35 mod 14 = 7 ≠ 3 = 45 mod 14

m=15: 35 mod 15 = 5 ≠ 0 = 45 mod 15

m=16: 35 mod 16 = 3 ≠ 13 = 45 mod 16

m=17: 35 mod 17 = 1 ≠ 11 = 45 mod 17

m=18: 35 mod 18 = 17 ≠ 9 = 45 mod 18

m=19: 35 mod 19 = 16 ≠ 7 = 45 mod 19

m=20: 35 mod 20 = 15 ≠ 5 = 45 mod 20

m=21: 35 mod 21 = 14 ≠ 3 = 45 mod 21

m=22: 35 mod 22 = 13 ≠ 1 = 45 mod 22

m=23: 35 mod 23 = 12 ≠ 22 = 45 mod 23

m=24: 35 mod 24 = 11 ≠ 21 = 45 mod 24

m=25: 35 mod 25 = 10 ≠ 20 = 45 mod 25

m=26: 35 mod 26 = 9 ≠ 19 = 45 mod 26

m=27: 35 mod 27 = 8 ≠ 18 = 45 mod 27

m=28: 35 mod 28 = 7 ≠ 17 = 45 mod 28

m=29: 35 mod 29 = 6 ≠ 16 = 45 mod 29

m=30: 35 mod 30 = 5 ≠ 15 = 45 mod 30

m=31: 35 mod 31 = 4 ≠ 14 = 45 mod 31

m=32: 35 mod 32 = 3 ≠ 13 = 45 mod 32

m=33: 35 mod 33 = 2 ≠ 12 = 45 mod 33

m=34: 35 mod 34 = 1 ≠ 11 = 45 mod 34

m=35: 35 mod 35 = 0 ≠ 10 = 45 mod 35

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (45 - 35) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10