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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 37 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 32, weil ja 4 ⋅ 8 = 32 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 37 - 32 = 5.

Somit gilt: 37 mod 8 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 40 für die gilt n ≡ 93 mod 10.

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Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 90, weil ja 9 ⋅ 10 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 93 - 90 = 3.

Somit gilt: 93 mod 10 ≡ 3.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 40 für die gilt: n ≡ 3 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 3 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 3 mod 10 sein, also addieren wir noch 3 auf die 30 und erhalten so 33.

Somit gilt: 33 ≡ 93 ≡ 3 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2001 + 204) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2001 + 204) mod 4 ≡ (2001 mod 4 + 204 mod 4) mod 4.

2001 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2001 = 2000+1 = 4 ⋅ 500 +1.

204 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 204 = 200+4 = 4 ⋅ 50 +4.

Somit gilt:

(2001 + 204) mod 4 ≡ (1 + 0) mod 4 ≡ 1 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (63 ⋅ 100) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(63 ⋅ 100) mod 8 ≡ (63 mod 8 ⋅ 100 mod 8) mod 8.

63 mod 8 ≡ 7 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 63 = 56 + 7 = 7 ⋅ 8 + 7 ist.

100 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 100 = 96 + 4 = 12 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(63 ⋅ 100) mod 8 ≡ (7 ⋅ 4) mod 8 ≡ 28 mod 8 ≡ 4 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:

m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2

m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3

m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4

m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5

m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6

m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7

m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8

m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9

m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4