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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 26 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 24, weil ja 6 ⋅ 4 = 24 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 26 - 24 = 2.
Somit gilt: 26 mod 4 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 72 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 72, weil ja 24 ⋅ 3 = 72 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 72 - 72 = 0.
Somit gilt: 72 mod 3 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 3.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 3 in der Nähe von 50, z.B. 51 = 17 ⋅ 3
Somit gilt: 51 ≡ 72 ≡ 0 mod 3.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (4000 - 804) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(4000 - 804) mod 4 ≡ (4000 mod 4 - 804 mod 4) mod 4.
4000 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 4000
= 4000
804 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 804
= 800
Somit gilt:
(4000 - 804) mod 4 ≡ (0 - 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 50) mod 6.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(44 ⋅ 50) mod 6 ≡ (44 mod 6 ⋅ 50 mod 6) mod 6.
44 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 42 + 2 = 7 ⋅ 6 + 2 ist.
50 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 48 + 2 = 8 ⋅ 6 + 2 ist.
Somit gilt:
(44 ⋅ 50) mod 6 ≡ (2 ⋅ 2) mod 6 ≡ 4 mod 6.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
25 mod m = 37 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 25 aus, ob zufällig 25 mod m = 37 mod m gilt:
m=2: 25 mod 2 = 1 = 1 = 37 mod 2
m=3: 25 mod 3 = 1 = 1 = 37 mod 3
m=4: 25 mod 4 = 1 = 1 = 37 mod 4
m=5: 25 mod 5 = 0 ≠ 2 = 37 mod 5
m=6: 25 mod 6 = 1 = 1 = 37 mod 6
m=7: 25 mod 7 = 4 ≠ 2 = 37 mod 7
m=8: 25 mod 8 = 1 ≠ 5 = 37 mod 8
m=9: 25 mod 9 = 7 ≠ 1 = 37 mod 9
m=10: 25 mod 10 = 5 ≠ 7 = 37 mod 10
m=11: 25 mod 11 = 3 ≠ 4 = 37 mod 11
m=12: 25 mod 12 = 1 = 1 = 37 mod 12
m=13: 25 mod 13 = 12 ≠ 11 = 37 mod 13
m=14: 25 mod 14 = 11 ≠ 9 = 37 mod 14
m=15: 25 mod 15 = 10 ≠ 7 = 37 mod 15
m=16: 25 mod 16 = 9 ≠ 5 = 37 mod 16
m=17: 25 mod 17 = 8 ≠ 3 = 37 mod 17
m=18: 25 mod 18 = 7 ≠ 1 = 37 mod 18
m=19: 25 mod 19 = 6 ≠ 18 = 37 mod 19
m=20: 25 mod 20 = 5 ≠ 17 = 37 mod 20
m=21: 25 mod 21 = 4 ≠ 16 = 37 mod 21
m=22: 25 mod 22 = 3 ≠ 15 = 37 mod 22
m=23: 25 mod 23 = 2 ≠ 14 = 37 mod 23
m=24: 25 mod 24 = 1 ≠ 13 = 37 mod 24
m=25: 25 mod 25 = 0 ≠ 12 = 37 mod 25
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (37 - 25) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
