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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 65 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 64, weil ja 8 ⋅ 8 = 64 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 65 - 64 = 1.

Somit gilt: 65 mod 8 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 97 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 97 - 96 = 1.

Somit gilt: 97 mod 4 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 1 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 1 mod 4 sein, also addieren wir noch 1 auf die 52 und erhalten so 53.

Somit gilt: 53 ≡ 97 ≡ 1 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (2501 - 19996) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(2501 - 19996) mod 5 ≡ (2501 mod 5 - 19996 mod 5) mod 5.

2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501 = 2500+1 = 5 ⋅ 500 +1.

19996 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 19996 = 19000+996 = 5 ⋅ 3800 +996.

Somit gilt:

(2501 - 19996) mod 5 ≡ (1 - 1) mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (16 ⋅ 22) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(16 ⋅ 22) mod 7 ≡ (16 mod 7 ⋅ 22 mod 7) mod 7.

16 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 16 = 14 + 2 = 2 ⋅ 7 + 2 ist.

22 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 22 = 21 + 1 = 3 ⋅ 7 + 1 ist.

Somit gilt:

(16 ⋅ 22) mod 7 ≡ (2 ⋅ 1) mod 7 ≡ 2 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
121 mod m = 166 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 121 aus, ob zufällig 121 mod m = 166 mod m gilt:

m=2: 121 mod 2 = 1 ≠ 0 = 166 mod 2

m=3: 121 mod 3 = 1 = 1 = 166 mod 3

m=4: 121 mod 4 = 1 ≠ 2 = 166 mod 4

m=5: 121 mod 5 = 1 = 1 = 166 mod 5

m=6: 121 mod 6 = 1 ≠ 4 = 166 mod 6

m=7: 121 mod 7 = 2 ≠ 5 = 166 mod 7

m=8: 121 mod 8 = 1 ≠ 6 = 166 mod 8

m=9: 121 mod 9 = 4 = 4 = 166 mod 9

m=10: 121 mod 10 = 1 ≠ 6 = 166 mod 10

m=11: 121 mod 11 = 0 ≠ 1 = 166 mod 11

m=12: 121 mod 12 = 1 ≠ 10 = 166 mod 12

m=13: 121 mod 13 = 4 ≠ 10 = 166 mod 13

m=14: 121 mod 14 = 9 ≠ 12 = 166 mod 14

m=15: 121 mod 15 = 1 = 1 = 166 mod 15

m=16: 121 mod 16 = 9 ≠ 6 = 166 mod 16

m=17: 121 mod 17 = 2 ≠ 13 = 166 mod 17

m=18: 121 mod 18 = 13 ≠ 4 = 166 mod 18

m=19: 121 mod 19 = 7 ≠ 14 = 166 mod 19

m=20: 121 mod 20 = 1 ≠ 6 = 166 mod 20

m=21: 121 mod 21 = 16 ≠ 19 = 166 mod 21

m=22: 121 mod 22 = 11 ≠ 12 = 166 mod 22

m=23: 121 mod 23 = 6 ≠ 5 = 166 mod 23

m=24: 121 mod 24 = 1 ≠ 22 = 166 mod 24

m=25: 121 mod 25 = 21 ≠ 16 = 166 mod 25

m=26: 121 mod 26 = 17 ≠ 10 = 166 mod 26

m=27: 121 mod 27 = 13 ≠ 4 = 166 mod 27

m=28: 121 mod 28 = 9 ≠ 26 = 166 mod 28

m=29: 121 mod 29 = 5 ≠ 21 = 166 mod 29

m=30: 121 mod 30 = 1 ≠ 16 = 166 mod 30

m=31: 121 mod 31 = 28 ≠ 11 = 166 mod 31

m=32: 121 mod 32 = 25 ≠ 6 = 166 mod 32

m=33: 121 mod 33 = 22 ≠ 1 = 166 mod 33

m=34: 121 mod 34 = 19 ≠ 30 = 166 mod 34

m=35: 121 mod 35 = 16 ≠ 26 = 166 mod 35

m=36: 121 mod 36 = 13 ≠ 22 = 166 mod 36

m=37: 121 mod 37 = 10 ≠ 18 = 166 mod 37

m=38: 121 mod 38 = 7 ≠ 14 = 166 mod 38

m=39: 121 mod 39 = 4 ≠ 10 = 166 mod 39

m=40: 121 mod 40 = 1 ≠ 6 = 166 mod 40

m=41: 121 mod 41 = 39 ≠ 2 = 166 mod 41

m=42: 121 mod 42 = 37 ≠ 40 = 166 mod 42

m=43: 121 mod 43 = 35 ≠ 37 = 166 mod 43

m=44: 121 mod 44 = 33 ≠ 34 = 166 mod 44

m=45: 121 mod 45 = 31 = 31 = 166 mod 45

m=46: 121 mod 46 = 29 ≠ 28 = 166 mod 46

m=47: 121 mod 47 = 27 ≠ 25 = 166 mod 47

m=48: 121 mod 48 = 25 ≠ 22 = 166 mod 48

m=49: 121 mod 49 = 23 ≠ 19 = 166 mod 49

m=50: 121 mod 50 = 21 ≠ 16 = 166 mod 50

m=51: 121 mod 51 = 19 ≠ 13 = 166 mod 51

m=52: 121 mod 52 = 17 ≠ 10 = 166 mod 52

m=53: 121 mod 53 = 15 ≠ 7 = 166 mod 53

m=54: 121 mod 54 = 13 ≠ 4 = 166 mod 54

m=55: 121 mod 55 = 11 ≠ 1 = 166 mod 55

m=56: 121 mod 56 = 9 ≠ 54 = 166 mod 56

m=57: 121 mod 57 = 7 ≠ 52 = 166 mod 57

m=58: 121 mod 58 = 5 ≠ 50 = 166 mod 58

m=59: 121 mod 59 = 3 ≠ 48 = 166 mod 59

m=60: 121 mod 60 = 1 ≠ 46 = 166 mod 60

m=61: 121 mod 61 = 60 ≠ 44 = 166 mod 61

m=62: 121 mod 62 = 59 ≠ 42 = 166 mod 62

m=63: 121 mod 63 = 58 ≠ 40 = 166 mod 63

m=64: 121 mod 64 = 57 ≠ 38 = 166 mod 64

m=65: 121 mod 65 = 56 ≠ 36 = 166 mod 65

m=66: 121 mod 66 = 55 ≠ 34 = 166 mod 66

m=67: 121 mod 67 = 54 ≠ 32 = 166 mod 67

m=68: 121 mod 68 = 53 ≠ 30 = 166 mod 68

m=69: 121 mod 69 = 52 ≠ 28 = 166 mod 69

m=70: 121 mod 70 = 51 ≠ 26 = 166 mod 70

m=71: 121 mod 71 = 50 ≠ 24 = 166 mod 71

m=72: 121 mod 72 = 49 ≠ 22 = 166 mod 72

m=73: 121 mod 73 = 48 ≠ 20 = 166 mod 73

m=74: 121 mod 74 = 47 ≠ 18 = 166 mod 74

m=75: 121 mod 75 = 46 ≠ 16 = 166 mod 75

m=76: 121 mod 76 = 45 ≠ 14 = 166 mod 76

m=77: 121 mod 77 = 44 ≠ 12 = 166 mod 77

m=78: 121 mod 78 = 43 ≠ 10 = 166 mod 78

m=79: 121 mod 79 = 42 ≠ 8 = 166 mod 79

m=80: 121 mod 80 = 41 ≠ 6 = 166 mod 80

m=81: 121 mod 81 = 40 ≠ 4 = 166 mod 81

m=82: 121 mod 82 = 39 ≠ 2 = 166 mod 82

m=83: 121 mod 83 = 38 ≠ 0 = 166 mod 83

m=84: 121 mod 84 = 37 ≠ 82 = 166 mod 84

m=85: 121 mod 85 = 36 ≠ 81 = 166 mod 85

m=86: 121 mod 86 = 35 ≠ 80 = 166 mod 86

m=87: 121 mod 87 = 34 ≠ 79 = 166 mod 87

m=88: 121 mod 88 = 33 ≠ 78 = 166 mod 88

m=89: 121 mod 89 = 32 ≠ 77 = 166 mod 89

m=90: 121 mod 90 = 31 ≠ 76 = 166 mod 90

m=91: 121 mod 91 = 30 ≠ 75 = 166 mod 91

m=92: 121 mod 92 = 29 ≠ 74 = 166 mod 92

m=93: 121 mod 93 = 28 ≠ 73 = 166 mod 93

m=94: 121 mod 94 = 27 ≠ 72 = 166 mod 94

m=95: 121 mod 95 = 26 ≠ 71 = 166 mod 95

m=96: 121 mod 96 = 25 ≠ 70 = 166 mod 96

m=97: 121 mod 97 = 24 ≠ 69 = 166 mod 97

m=98: 121 mod 98 = 23 ≠ 68 = 166 mod 98

m=99: 121 mod 99 = 22 ≠ 67 = 166 mod 99

m=100: 121 mod 100 = 21 ≠ 66 = 166 mod 100

m=101: 121 mod 101 = 20 ≠ 65 = 166 mod 101

m=102: 121 mod 102 = 19 ≠ 64 = 166 mod 102

m=103: 121 mod 103 = 18 ≠ 63 = 166 mod 103

m=104: 121 mod 104 = 17 ≠ 62 = 166 mod 104

m=105: 121 mod 105 = 16 ≠ 61 = 166 mod 105

m=106: 121 mod 106 = 15 ≠ 60 = 166 mod 106

m=107: 121 mod 107 = 14 ≠ 59 = 166 mod 107

m=108: 121 mod 108 = 13 ≠ 58 = 166 mod 108

m=109: 121 mod 109 = 12 ≠ 57 = 166 mod 109

m=110: 121 mod 110 = 11 ≠ 56 = 166 mod 110

m=111: 121 mod 111 = 10 ≠ 55 = 166 mod 111

m=112: 121 mod 112 = 9 ≠ 54 = 166 mod 112

m=113: 121 mod 113 = 8 ≠ 53 = 166 mod 113

m=114: 121 mod 114 = 7 ≠ 52 = 166 mod 114

m=115: 121 mod 115 = 6 ≠ 51 = 166 mod 115

m=116: 121 mod 116 = 5 ≠ 50 = 166 mod 116

m=117: 121 mod 117 = 4 ≠ 49 = 166 mod 117

m=118: 121 mod 118 = 3 ≠ 48 = 166 mod 118

m=119: 121 mod 119 = 2 ≠ 47 = 166 mod 119

m=120: 121 mod 120 = 1 ≠ 46 = 166 mod 120

m=121: 121 mod 121 = 0 ≠ 45 = 166 mod 121

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (166 - 121) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45