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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 50, weil ja 10 ⋅ 5 = 50 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 50 = 2.

Somit gilt: 52 mod 5 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 99 für die gilt n ≡ 35 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 35 - 35 = 0.

Somit gilt: 35 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 99 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 90, z.B. 91 = 13 ⋅ 7

Somit gilt: 91 ≡ 35 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24003 - 599) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24003 - 599) mod 6 ≡ (24003 mod 6 - 599 mod 6) mod 6.

24003 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24003 = 24000+3 = 6 ⋅ 4000 +3.

599 mod 6 ≡ 5 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 599 = 600-1 = 6 ⋅ 100 -1 = 6 ⋅ 100 - 6 + 5.

Somit gilt:

(24003 - 599) mod 6 ≡ (3 - 5) mod 6 ≡ -2 mod 6 ≡ 4 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (28 ⋅ 46) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(28 ⋅ 46) mod 3 ≡ (28 mod 3 ⋅ 46 mod 3) mod 3.

28 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 28 = 27 + 1 = 9 ⋅ 3 + 1 ist.

46 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 46 = 45 + 1 = 15 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(28 ⋅ 46) mod 3 ≡ (1 ⋅ 1) mod 3 ≡ 1 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
21 mod m = 30 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 21 aus, ob zufällig 21 mod m = 30 mod m gilt:

m=2: 21 mod 2 = 1 ≠ 0 = 30 mod 2

m=3: 21 mod 3 = 0 = 0 = 30 mod 3

m=4: 21 mod 4 = 1 ≠ 2 = 30 mod 4

m=5: 21 mod 5 = 1 ≠ 0 = 30 mod 5

m=6: 21 mod 6 = 3 ≠ 0 = 30 mod 6

m=7: 21 mod 7 = 0 ≠ 2 = 30 mod 7

m=8: 21 mod 8 = 5 ≠ 6 = 30 mod 8

m=9: 21 mod 9 = 3 = 3 = 30 mod 9

m=10: 21 mod 10 = 1 ≠ 0 = 30 mod 10

m=11: 21 mod 11 = 10 ≠ 8 = 30 mod 11

m=12: 21 mod 12 = 9 ≠ 6 = 30 mod 12

m=13: 21 mod 13 = 8 ≠ 4 = 30 mod 13

m=14: 21 mod 14 = 7 ≠ 2 = 30 mod 14

m=15: 21 mod 15 = 6 ≠ 0 = 30 mod 15

m=16: 21 mod 16 = 5 ≠ 14 = 30 mod 16

m=17: 21 mod 17 = 4 ≠ 13 = 30 mod 17

m=18: 21 mod 18 = 3 ≠ 12 = 30 mod 18

m=19: 21 mod 19 = 2 ≠ 11 = 30 mod 19

m=20: 21 mod 20 = 1 ≠ 10 = 30 mod 20

m=21: 21 mod 21 = 0 ≠ 9 = 30 mod 21

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (30 - 21) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9