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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 75 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 72, weil ja 9 ⋅ 8 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 75 - 72 = 3.

Somit gilt: 75 mod 8 ≡ 3.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 89 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 85, weil ja 17 ⋅ 5 = 85 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 89 - 85 = 4.

Somit gilt: 89 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 70, z.B. 70 = 14 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 70 und erhalten so 74.

Somit gilt: 74 ≡ 89 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (1499 + 31) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(1499 + 31) mod 3 ≡ (1499 mod 3 + 31 mod 3) mod 3.

1499 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 1499 = 1500-1 = 3 ⋅ 500 -1 = 3 ⋅ 500 - 3 + 2.

31 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 30+1 = 3 ⋅ 10 +1.

Somit gilt:

(1499 + 31) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (85 ⋅ 69) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(85 ⋅ 69) mod 9 ≡ (85 mod 9 ⋅ 69 mod 9) mod 9.

85 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 81 + 4 = 9 ⋅ 9 + 4 ist.

69 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 63 + 6 = 7 ⋅ 9 + 6 ist.

Somit gilt:

(85 ⋅ 69) mod 9 ≡ (4 ⋅ 6) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4