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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 25 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 24, weil ja 3 ⋅ 8 = 24 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 24 = 1.

Somit gilt: 25 mod 8 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 43 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 36, weil ja 4 ⋅ 9 = 36 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 43 - 36 = 7.

Somit gilt: 43 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 30, z.B. 27 = 3 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 27 und erhalten so 34.

Somit gilt: 34 ≡ 43 ≡ 7 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (999 + 101) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(999 + 101) mod 5 ≡ (999 mod 5 + 101 mod 5) mod 5.

999 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 999 = 900+99 = 5 ⋅ 180 +99.

101 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 101 = 100+1 = 5 ⋅ 20 +1.

Somit gilt:

(999 + 101) mod 5 ≡ (4 + 1) mod 5 ≡ 5 mod 5 ≡ 0 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (71 ⋅ 53) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(71 ⋅ 53) mod 4 ≡ (71 mod 4 ⋅ 53 mod 4) mod 4.

71 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 71 = 68 + 3 = 17 ⋅ 4 + 3 ist.

53 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 52 + 1 = 13 ⋅ 4 + 1 ist.

Somit gilt:

(71 ⋅ 53) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
79 mod m = 106 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 79 aus, ob zufällig 79 mod m = 106 mod m gilt:

m=2: 79 mod 2 = 1 ≠ 0 = 106 mod 2

m=3: 79 mod 3 = 1 = 1 = 106 mod 3

m=4: 79 mod 4 = 3 ≠ 2 = 106 mod 4

m=5: 79 mod 5 = 4 ≠ 1 = 106 mod 5

m=6: 79 mod 6 = 1 ≠ 4 = 106 mod 6

m=7: 79 mod 7 = 2 ≠ 1 = 106 mod 7

m=8: 79 mod 8 = 7 ≠ 2 = 106 mod 8

m=9: 79 mod 9 = 7 = 7 = 106 mod 9

m=10: 79 mod 10 = 9 ≠ 6 = 106 mod 10

m=11: 79 mod 11 = 2 ≠ 7 = 106 mod 11

m=12: 79 mod 12 = 7 ≠ 10 = 106 mod 12

m=13: 79 mod 13 = 1 ≠ 2 = 106 mod 13

m=14: 79 mod 14 = 9 ≠ 8 = 106 mod 14

m=15: 79 mod 15 = 4 ≠ 1 = 106 mod 15

m=16: 79 mod 16 = 15 ≠ 10 = 106 mod 16

m=17: 79 mod 17 = 11 ≠ 4 = 106 mod 17

m=18: 79 mod 18 = 7 ≠ 16 = 106 mod 18

m=19: 79 mod 19 = 3 ≠ 11 = 106 mod 19

m=20: 79 mod 20 = 19 ≠ 6 = 106 mod 20

m=21: 79 mod 21 = 16 ≠ 1 = 106 mod 21

m=22: 79 mod 22 = 13 ≠ 18 = 106 mod 22

m=23: 79 mod 23 = 10 ≠ 14 = 106 mod 23

m=24: 79 mod 24 = 7 ≠ 10 = 106 mod 24

m=25: 79 mod 25 = 4 ≠ 6 = 106 mod 25

m=26: 79 mod 26 = 1 ≠ 2 = 106 mod 26

m=27: 79 mod 27 = 25 = 25 = 106 mod 27

m=28: 79 mod 28 = 23 ≠ 22 = 106 mod 28

m=29: 79 mod 29 = 21 ≠ 19 = 106 mod 29

m=30: 79 mod 30 = 19 ≠ 16 = 106 mod 30

m=31: 79 mod 31 = 17 ≠ 13 = 106 mod 31

m=32: 79 mod 32 = 15 ≠ 10 = 106 mod 32

m=33: 79 mod 33 = 13 ≠ 7 = 106 mod 33

m=34: 79 mod 34 = 11 ≠ 4 = 106 mod 34

m=35: 79 mod 35 = 9 ≠ 1 = 106 mod 35

m=36: 79 mod 36 = 7 ≠ 34 = 106 mod 36

m=37: 79 mod 37 = 5 ≠ 32 = 106 mod 37

m=38: 79 mod 38 = 3 ≠ 30 = 106 mod 38

m=39: 79 mod 39 = 1 ≠ 28 = 106 mod 39

m=40: 79 mod 40 = 39 ≠ 26 = 106 mod 40

m=41: 79 mod 41 = 38 ≠ 24 = 106 mod 41

m=42: 79 mod 42 = 37 ≠ 22 = 106 mod 42

m=43: 79 mod 43 = 36 ≠ 20 = 106 mod 43

m=44: 79 mod 44 = 35 ≠ 18 = 106 mod 44

m=45: 79 mod 45 = 34 ≠ 16 = 106 mod 45

m=46: 79 mod 46 = 33 ≠ 14 = 106 mod 46

m=47: 79 mod 47 = 32 ≠ 12 = 106 mod 47

m=48: 79 mod 48 = 31 ≠ 10 = 106 mod 48

m=49: 79 mod 49 = 30 ≠ 8 = 106 mod 49

m=50: 79 mod 50 = 29 ≠ 6 = 106 mod 50

m=51: 79 mod 51 = 28 ≠ 4 = 106 mod 51

m=52: 79 mod 52 = 27 ≠ 2 = 106 mod 52

m=53: 79 mod 53 = 26 ≠ 0 = 106 mod 53

m=54: 79 mod 54 = 25 ≠ 52 = 106 mod 54

m=55: 79 mod 55 = 24 ≠ 51 = 106 mod 55

m=56: 79 mod 56 = 23 ≠ 50 = 106 mod 56

m=57: 79 mod 57 = 22 ≠ 49 = 106 mod 57

m=58: 79 mod 58 = 21 ≠ 48 = 106 mod 58

m=59: 79 mod 59 = 20 ≠ 47 = 106 mod 59

m=60: 79 mod 60 = 19 ≠ 46 = 106 mod 60

m=61: 79 mod 61 = 18 ≠ 45 = 106 mod 61

m=62: 79 mod 62 = 17 ≠ 44 = 106 mod 62

m=63: 79 mod 63 = 16 ≠ 43 = 106 mod 63

m=64: 79 mod 64 = 15 ≠ 42 = 106 mod 64

m=65: 79 mod 65 = 14 ≠ 41 = 106 mod 65

m=66: 79 mod 66 = 13 ≠ 40 = 106 mod 66

m=67: 79 mod 67 = 12 ≠ 39 = 106 mod 67

m=68: 79 mod 68 = 11 ≠ 38 = 106 mod 68

m=69: 79 mod 69 = 10 ≠ 37 = 106 mod 69

m=70: 79 mod 70 = 9 ≠ 36 = 106 mod 70

m=71: 79 mod 71 = 8 ≠ 35 = 106 mod 71

m=72: 79 mod 72 = 7 ≠ 34 = 106 mod 72

m=73: 79 mod 73 = 6 ≠ 33 = 106 mod 73

m=74: 79 mod 74 = 5 ≠ 32 = 106 mod 74

m=75: 79 mod 75 = 4 ≠ 31 = 106 mod 75

m=76: 79 mod 76 = 3 ≠ 30 = 106 mod 76

m=77: 79 mod 77 = 2 ≠ 29 = 106 mod 77

m=78: 79 mod 78 = 1 ≠ 28 = 106 mod 78

m=79: 79 mod 79 = 0 ≠ 27 = 106 mod 79

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (106 - 79) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27