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Kursstufe
cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 86 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 84, weil ja 28 ⋅ 3 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 86 - 84 = 2.
Somit gilt: 86 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 71 für die gilt n ≡ 90 mod 11.
Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 88, weil ja 8 ⋅ 11 = 88 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 90 - 88 = 2.
Somit gilt: 90 mod 11 ≡ 2.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 71 für die gilt: n ≡ 2 mod 11.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 60, z.B. 66 = 6 ⋅ 11
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 2 mod 11 sein, also addieren wir noch 2 auf die 66 und erhalten so 68.
Somit gilt: 68 ≡ 90 ≡ 2 mod 11.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (120 + 602) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(120 + 602) mod 3 ≡ (120 mod 3 + 602 mod 3) mod 3.
120 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 120
= 120
602 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 602
= 600
Somit gilt:
(120 + 602) mod 3 ≡ (0 + 2) mod 3 ≡ 2 mod 3.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (67 ⋅ 48) mod 9.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(67 ⋅ 48) mod 9 ≡ (67 mod 9 ⋅ 48 mod 9) mod 9.
67 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 67 = 63 + 4 = 7 ⋅ 9 + 4 ist.
48 mod 9 ≡ 3 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 48 = 45 + 3 = 5 ⋅ 9 + 3 ist.
Somit gilt:
(67 ⋅ 48) mod 9 ≡ (4 ⋅ 3) mod 9 ≡ 12 mod 9 ≡ 3 mod 9.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
29 mod m = 41 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 29 aus, ob zufällig 29 mod m = 41 mod m gilt:
m=2: 29 mod 2 = 1 = 1 = 41 mod 2
m=3: 29 mod 3 = 2 = 2 = 41 mod 3
m=4: 29 mod 4 = 1 = 1 = 41 mod 4
m=5: 29 mod 5 = 4 ≠ 1 = 41 mod 5
m=6: 29 mod 6 = 5 = 5 = 41 mod 6
m=7: 29 mod 7 = 1 ≠ 6 = 41 mod 7
m=8: 29 mod 8 = 5 ≠ 1 = 41 mod 8
m=9: 29 mod 9 = 2 ≠ 5 = 41 mod 9
m=10: 29 mod 10 = 9 ≠ 1 = 41 mod 10
m=11: 29 mod 11 = 7 ≠ 8 = 41 mod 11
m=12: 29 mod 12 = 5 = 5 = 41 mod 12
m=13: 29 mod 13 = 3 ≠ 2 = 41 mod 13
m=14: 29 mod 14 = 1 ≠ 13 = 41 mod 14
m=15: 29 mod 15 = 14 ≠ 11 = 41 mod 15
m=16: 29 mod 16 = 13 ≠ 9 = 41 mod 16
m=17: 29 mod 17 = 12 ≠ 7 = 41 mod 17
m=18: 29 mod 18 = 11 ≠ 5 = 41 mod 18
m=19: 29 mod 19 = 10 ≠ 3 = 41 mod 19
m=20: 29 mod 20 = 9 ≠ 1 = 41 mod 20
m=21: 29 mod 21 = 8 ≠ 20 = 41 mod 21
m=22: 29 mod 22 = 7 ≠ 19 = 41 mod 22
m=23: 29 mod 23 = 6 ≠ 18 = 41 mod 23
m=24: 29 mod 24 = 5 ≠ 17 = 41 mod 24
m=25: 29 mod 25 = 4 ≠ 16 = 41 mod 25
m=26: 29 mod 26 = 3 ≠ 15 = 41 mod 26
m=27: 29 mod 27 = 2 ≠ 14 = 41 mod 27
m=28: 29 mod 28 = 1 ≠ 13 = 41 mod 28
m=29: 29 mod 29 = 0 ≠ 12 = 41 mod 29
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (41 - 29) = 12 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 3; 4; 6; 12
