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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 31 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 22, weil ja 2 ⋅ 11 = 22 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 31 - 22 = 9.

Somit gilt: 31 mod 11 ≡ 9.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 40 und 49 für die gilt n ≡ 36 mod 7.

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Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 35, weil ja 5 ⋅ 7 = 35 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 36 - 35 = 1.

Somit gilt: 36 mod 7 ≡ 1.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 40 und 49 für die gilt: n ≡ 1 mod 7.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 40, z.B. 42 = 6 ⋅ 7

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 7 , sondern ≡ 1 mod 7 sein, also addieren wir noch 1 auf die 42 und erhalten so 43.

Somit gilt: 43 ≡ 36 ≡ 1 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (324 + 3203) mod 8.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(324 + 3203) mod 8 ≡ (324 mod 8 + 3203 mod 8) mod 8.

324 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 324 = 320+4 = 8 ⋅ 40 +4.

3203 mod 8 ≡ 3 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 3203 = 3200+3 = 8 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(324 + 3203) mod 8 ≡ (4 + 3) mod 8 ≡ 7 mod 8.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (24 ⋅ 30) mod 5.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(24 ⋅ 30) mod 5 ≡ (24 mod 5 ⋅ 30 mod 5) mod 5.

24 mod 5 ≡ 4 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 ist.

30 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 30 = 30 + 0 = 6 ⋅ 5 + 0 ist.

Somit gilt:

(24 ⋅ 30) mod 5 ≡ (4 ⋅ 0) mod 5 ≡ 0 mod 5.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
13 mod m = 17 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 13 aus, ob zufällig 13 mod m = 17 mod m gilt:

m=2: 13 mod 2 = 1 = 1 = 17 mod 2

m=3: 13 mod 3 = 1 ≠ 2 = 17 mod 3

m=4: 13 mod 4 = 1 = 1 = 17 mod 4

m=5: 13 mod 5 = 3 ≠ 2 = 17 mod 5

m=6: 13 mod 6 = 1 ≠ 5 = 17 mod 6

m=7: 13 mod 7 = 6 ≠ 3 = 17 mod 7

m=8: 13 mod 8 = 5 ≠ 1 = 17 mod 8

m=9: 13 mod 9 = 4 ≠ 8 = 17 mod 9

m=10: 13 mod 10 = 3 ≠ 7 = 17 mod 10

m=11: 13 mod 11 = 2 ≠ 6 = 17 mod 11

m=12: 13 mod 12 = 1 ≠ 5 = 17 mod 12

m=13: 13 mod 13 = 0 ≠ 4 = 17 mod 13

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (17 - 13) = 4 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 4