nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 96 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 91, weil ja 13 ⋅ 7 = 91 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 96 - 91 = 5.

Somit gilt: 96 mod 7 ≡ 5.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 95 mod 6.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 90, weil ja 15 ⋅ 6 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 90 = 5.

Somit gilt: 95 mod 6 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 5 mod 6.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 6 in der Nähe von 30, z.B. 30 = 5 ⋅ 6

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 6 , sondern ≡ 5 mod 6 sein, also addieren wir noch 5 auf die 30 und erhalten so 35.

Somit gilt: 35 ≡ 95 ≡ 5 mod 6.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (398 - 802) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(398 - 802) mod 4 ≡ (398 mod 4 - 802 mod 4) mod 4.

398 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 398 = 300+98 = 4 ⋅ 75 +98.

802 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 802 = 800+2 = 4 ⋅ 200 +2.

Somit gilt:

(398 - 802) mod 4 ≡ (2 - 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (91 ⋅ 24) mod 10.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(91 ⋅ 24) mod 10 ≡ (91 mod 10 ⋅ 24 mod 10) mod 10.

91 mod 10 ≡ 1 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 91 = 90 + 1 = 9 ⋅ 10 + 1 ist.

24 mod 10 ≡ 4 mod 10 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 24 = 20 + 4 = 2 ⋅ 10 + 4 ist.

Somit gilt:

(91 ⋅ 24) mod 10 ≡ (1 ⋅ 4) mod 10 ≡ 4 mod 10.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
37 mod m = 55 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 37 aus, ob zufällig 37 mod m = 55 mod m gilt:

m=2: 37 mod 2 = 1 = 1 = 55 mod 2

m=3: 37 mod 3 = 1 = 1 = 55 mod 3

m=4: 37 mod 4 = 1 ≠ 3 = 55 mod 4

m=5: 37 mod 5 = 2 ≠ 0 = 55 mod 5

m=6: 37 mod 6 = 1 = 1 = 55 mod 6

m=7: 37 mod 7 = 2 ≠ 6 = 55 mod 7

m=8: 37 mod 8 = 5 ≠ 7 = 55 mod 8

m=9: 37 mod 9 = 1 = 1 = 55 mod 9

m=10: 37 mod 10 = 7 ≠ 5 = 55 mod 10

m=11: 37 mod 11 = 4 ≠ 0 = 55 mod 11

m=12: 37 mod 12 = 1 ≠ 7 = 55 mod 12

m=13: 37 mod 13 = 11 ≠ 3 = 55 mod 13

m=14: 37 mod 14 = 9 ≠ 13 = 55 mod 14

m=15: 37 mod 15 = 7 ≠ 10 = 55 mod 15

m=16: 37 mod 16 = 5 ≠ 7 = 55 mod 16

m=17: 37 mod 17 = 3 ≠ 4 = 55 mod 17

m=18: 37 mod 18 = 1 = 1 = 55 mod 18

m=19: 37 mod 19 = 18 ≠ 17 = 55 mod 19

m=20: 37 mod 20 = 17 ≠ 15 = 55 mod 20

m=21: 37 mod 21 = 16 ≠ 13 = 55 mod 21

m=22: 37 mod 22 = 15 ≠ 11 = 55 mod 22

m=23: 37 mod 23 = 14 ≠ 9 = 55 mod 23

m=24: 37 mod 24 = 13 ≠ 7 = 55 mod 24

m=25: 37 mod 25 = 12 ≠ 5 = 55 mod 25

m=26: 37 mod 26 = 11 ≠ 3 = 55 mod 26

m=27: 37 mod 27 = 10 ≠ 1 = 55 mod 27

m=28: 37 mod 28 = 9 ≠ 27 = 55 mod 28

m=29: 37 mod 29 = 8 ≠ 26 = 55 mod 29

m=30: 37 mod 30 = 7 ≠ 25 = 55 mod 30

m=31: 37 mod 31 = 6 ≠ 24 = 55 mod 31

m=32: 37 mod 32 = 5 ≠ 23 = 55 mod 32

m=33: 37 mod 33 = 4 ≠ 22 = 55 mod 33

m=34: 37 mod 34 = 3 ≠ 21 = 55 mod 34

m=35: 37 mod 35 = 2 ≠ 20 = 55 mod 35

m=36: 37 mod 36 = 1 ≠ 19 = 55 mod 36

m=37: 37 mod 37 = 0 ≠ 18 = 55 mod 37

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (55 - 37) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18