nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 56 mod 8.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 56, weil ja 7 ⋅ 8 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 56 - 56 = 0.

Somit gilt: 56 mod 8 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 74 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 72, weil ja 8 ⋅ 9 = 72 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 74 - 72 = 2.

Somit gilt: 74 mod 9 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 2 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 54 = 6 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 2 mod 9 sein, also addieren wir noch 2 auf die 54 und erhalten so 56.

Somit gilt: 56 ≡ 74 ≡ 2 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (176 - 2403) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(176 - 2403) mod 6 ≡ (176 mod 6 - 2403 mod 6) mod 6.

176 mod 6 ≡ 2 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 176 = 180-4 = 6 ⋅ 30 -4 = 6 ⋅ 30 - 6 + 2.

2403 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2403 = 2400+3 = 6 ⋅ 400 +3.

Somit gilt:

(176 - 2403) mod 6 ≡ (2 - 3) mod 6 ≡ -1 mod 6 ≡ 5 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (44 ⋅ 97) mod 11.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(44 ⋅ 97) mod 11 ≡ (44 mod 11 ⋅ 97 mod 11) mod 11.

44 mod 11 ≡ 0 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 44 = 44 + 0 = 4 ⋅ 11 + 0 ist.

97 mod 11 ≡ 9 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 97 = 88 + 9 = 8 ⋅ 11 + 9 ist.

Somit gilt:

(44 ⋅ 97) mod 11 ≡ (0 ⋅ 9) mod 11 ≡ 0 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
20 mod m = 29 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 20 aus, ob zufällig 20 mod m = 29 mod m gilt:

m=2: 20 mod 2 = 0 ≠ 1 = 29 mod 2

m=3: 20 mod 3 = 2 = 2 = 29 mod 3

m=4: 20 mod 4 = 0 ≠ 1 = 29 mod 4

m=5: 20 mod 5 = 0 ≠ 4 = 29 mod 5

m=6: 20 mod 6 = 2 ≠ 5 = 29 mod 6

m=7: 20 mod 7 = 6 ≠ 1 = 29 mod 7

m=8: 20 mod 8 = 4 ≠ 5 = 29 mod 8

m=9: 20 mod 9 = 2 = 2 = 29 mod 9

m=10: 20 mod 10 = 0 ≠ 9 = 29 mod 10

m=11: 20 mod 11 = 9 ≠ 7 = 29 mod 11

m=12: 20 mod 12 = 8 ≠ 5 = 29 mod 12

m=13: 20 mod 13 = 7 ≠ 3 = 29 mod 13

m=14: 20 mod 14 = 6 ≠ 1 = 29 mod 14

m=15: 20 mod 15 = 5 ≠ 14 = 29 mod 15

m=16: 20 mod 16 = 4 ≠ 13 = 29 mod 16

m=17: 20 mod 17 = 3 ≠ 12 = 29 mod 17

m=18: 20 mod 18 = 2 ≠ 11 = 29 mod 18

m=19: 20 mod 19 = 1 ≠ 10 = 29 mod 19

m=20: 20 mod 20 = 0 ≠ 9 = 29 mod 20

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (29 - 20) = 9 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9