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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 95 mod 8.

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Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 88, weil ja 11 ⋅ 8 = 88 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 95 - 88 = 7.

Somit gilt: 95 mod 8 ≡ 7.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 25 mod 9.

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Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 18, weil ja 2 ⋅ 9 = 18 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 25 - 18 = 7.

Somit gilt: 25 mod 9 ≡ 7.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 7 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 50, z.B. 45 = 5 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 7 mod 9 sein, also addieren wir noch 7 auf die 45 und erhalten so 52.

Somit gilt: 52 ≡ 25 ≡ 7 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (29994 - 178) mod 6.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(29994 - 178) mod 6 ≡ (29994 mod 6 - 178 mod 6) mod 6.

29994 mod 6 ≡ 0 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29994 = 30000-6 = 6 ⋅ 5000 -6 = 6 ⋅ 5000 - 6 + 0.

178 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 178 = 180-2 = 6 ⋅ 30 -2 = 6 ⋅ 30 - 6 + 4.

Somit gilt:

(29994 - 178) mod 6 ≡ (0 - 4) mod 6 ≡ -4 mod 6 ≡ 2 mod 6.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (84 ⋅ 20) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(84 ⋅ 20) mod 4 ≡ (84 mod 4 ⋅ 20 mod 4) mod 4.

84 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 84 = 84 + 0 = 21 ⋅ 4 + 0 ist.

20 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20 = 20 + 0 = 5 ⋅ 4 + 0 ist.

Somit gilt:

(84 ⋅ 20) mod 4 ≡ (0 ⋅ 0) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
38 mod m = 50 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 38 aus, ob zufällig 38 mod m = 50 mod m gilt:

m=2: 38 mod 2 = 0 = 0 = 50 mod 2

m=3: 38 mod 3 = 2 = 2 = 50 mod 3

m=4: 38 mod 4 = 2 = 2 = 50 mod 4

m=5: 38 mod 5 = 3 ≠ 0 = 50 mod 5

m=6: 38 mod 6 = 2 = 2 = 50 mod 6

m=7: 38 mod 7 = 3 ≠ 1 = 50 mod 7

m=8: 38 mod 8 = 6 ≠ 2 = 50 mod 8

m=9: 38 mod 9 = 2 ≠ 5 = 50 mod 9

m=10: 38 mod 10 = 8 ≠ 0 = 50 mod 10

m=11: 38 mod 11 = 5 ≠ 6 = 50 mod 11

m=12: 38 mod 12 = 2 = 2 = 50 mod 12

m=13: 38 mod 13 = 12 ≠ 11 = 50 mod 13

m=14: 38 mod 14 = 10 ≠ 8 = 50 mod 14

m=15: 38 mod 15 = 8 ≠ 5 = 50 mod 15

m=16: 38 mod 16 = 6 ≠ 2 = 50 mod 16

m=17: 38 mod 17 = 4 ≠ 16 = 50 mod 17

m=18: 38 mod 18 = 2 ≠ 14 = 50 mod 18

m=19: 38 mod 19 = 0 ≠ 12 = 50 mod 19

m=20: 38 mod 20 = 18 ≠ 10 = 50 mod 20

m=21: 38 mod 21 = 17 ≠ 8 = 50 mod 21

m=22: 38 mod 22 = 16 ≠ 6 = 50 mod 22

m=23: 38 mod 23 = 15 ≠ 4 = 50 mod 23

m=24: 38 mod 24 = 14 ≠ 2 = 50 mod 24

m=25: 38 mod 25 = 13 ≠ 0 = 50 mod 25

m=26: 38 mod 26 = 12 ≠ 24 = 50 mod 26

m=27: 38 mod 27 = 11 ≠ 23 = 50 mod 27

m=28: 38 mod 28 = 10 ≠ 22 = 50 mod 28

m=29: 38 mod 29 = 9 ≠ 21 = 50 mod 29

m=30: 38 mod 30 = 8 ≠ 20 = 50 mod 30

m=31: 38 mod 31 = 7 ≠ 19 = 50 mod 31

m=32: 38 mod 32 = 6 ≠ 18 = 50 mod 32

m=33: 38 mod 33 = 5 ≠ 17 = 50 mod 33

m=34: 38 mod 34 = 4 ≠ 16 = 50 mod 34

m=35: 38 mod 35 = 3 ≠ 15 = 50 mod 35

m=36: 38 mod 36 = 2 ≠ 14 = 50 mod 36

m=37: 38 mod 37 = 1 ≠ 13 = 50 mod 37

m=38: 38 mod 38 = 0 ≠ 12 = 50 mod 38

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (50 - 38) = 12 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 4; 6; 12