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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 85 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 84 = 1.

Somit gilt: 85 mod 4 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 49 mod 5.

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Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 45 = 4.

Somit gilt: 49 mod 5 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 5.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 5 in der Nähe von 60, z.B. 60 = 12 ⋅ 5

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 5 , sondern ≡ 4 mod 5 sein, also addieren wir noch 4 auf die 60 und erhalten so 64.

Somit gilt: 64 ≡ 49 ≡ 4 mod 5.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (696 - 21002) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(696 - 21002) mod 7 ≡ (696 mod 7 - 21002 mod 7) mod 7.

696 mod 7 ≡ 3 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 696 = 700-4 = 7 ⋅ 100 -4 = 7 ⋅ 100 - 7 + 3.

21002 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 21002 = 21000+2 = 7 ⋅ 3000 +2.

Somit gilt:

(696 - 21002) mod 7 ≡ (3 - 2) mod 7 ≡ 1 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (38 ⋅ 70) mod 11.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(38 ⋅ 70) mod 11 ≡ (38 mod 11 ⋅ 70 mod 11) mod 11.

38 mod 11 ≡ 5 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 38 = 33 + 5 = 3 ⋅ 11 + 5 ist.

70 mod 11 ≡ 4 mod 11 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 6 ⋅ 11 + 4 ist.

Somit gilt:

(38 ⋅ 70) mod 11 ≡ (5 ⋅ 4) mod 11 ≡ 20 mod 11 ≡ 9 mod 11.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
69 mod m = 87 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 69 aus, ob zufällig 69 mod m = 87 mod m gilt:

m=2: 69 mod 2 = 1 = 1 = 87 mod 2

m=3: 69 mod 3 = 0 = 0 = 87 mod 3

m=4: 69 mod 4 = 1 ≠ 3 = 87 mod 4

m=5: 69 mod 5 = 4 ≠ 2 = 87 mod 5

m=6: 69 mod 6 = 3 = 3 = 87 mod 6

m=7: 69 mod 7 = 6 ≠ 3 = 87 mod 7

m=8: 69 mod 8 = 5 ≠ 7 = 87 mod 8

m=9: 69 mod 9 = 6 = 6 = 87 mod 9

m=10: 69 mod 10 = 9 ≠ 7 = 87 mod 10

m=11: 69 mod 11 = 3 ≠ 10 = 87 mod 11

m=12: 69 mod 12 = 9 ≠ 3 = 87 mod 12

m=13: 69 mod 13 = 4 ≠ 9 = 87 mod 13

m=14: 69 mod 14 = 13 ≠ 3 = 87 mod 14

m=15: 69 mod 15 = 9 ≠ 12 = 87 mod 15

m=16: 69 mod 16 = 5 ≠ 7 = 87 mod 16

m=17: 69 mod 17 = 1 ≠ 2 = 87 mod 17

m=18: 69 mod 18 = 15 = 15 = 87 mod 18

m=19: 69 mod 19 = 12 ≠ 11 = 87 mod 19

m=20: 69 mod 20 = 9 ≠ 7 = 87 mod 20

m=21: 69 mod 21 = 6 ≠ 3 = 87 mod 21

m=22: 69 mod 22 = 3 ≠ 21 = 87 mod 22

m=23: 69 mod 23 = 0 ≠ 18 = 87 mod 23

m=24: 69 mod 24 = 21 ≠ 15 = 87 mod 24

m=25: 69 mod 25 = 19 ≠ 12 = 87 mod 25

m=26: 69 mod 26 = 17 ≠ 9 = 87 mod 26

m=27: 69 mod 27 = 15 ≠ 6 = 87 mod 27

m=28: 69 mod 28 = 13 ≠ 3 = 87 mod 28

m=29: 69 mod 29 = 11 ≠ 0 = 87 mod 29

m=30: 69 mod 30 = 9 ≠ 27 = 87 mod 30

m=31: 69 mod 31 = 7 ≠ 25 = 87 mod 31

m=32: 69 mod 32 = 5 ≠ 23 = 87 mod 32

m=33: 69 mod 33 = 3 ≠ 21 = 87 mod 33

m=34: 69 mod 34 = 1 ≠ 19 = 87 mod 34

m=35: 69 mod 35 = 34 ≠ 17 = 87 mod 35

m=36: 69 mod 36 = 33 ≠ 15 = 87 mod 36

m=37: 69 mod 37 = 32 ≠ 13 = 87 mod 37

m=38: 69 mod 38 = 31 ≠ 11 = 87 mod 38

m=39: 69 mod 39 = 30 ≠ 9 = 87 mod 39

m=40: 69 mod 40 = 29 ≠ 7 = 87 mod 40

m=41: 69 mod 41 = 28 ≠ 5 = 87 mod 41

m=42: 69 mod 42 = 27 ≠ 3 = 87 mod 42

m=43: 69 mod 43 = 26 ≠ 1 = 87 mod 43

m=44: 69 mod 44 = 25 ≠ 43 = 87 mod 44

m=45: 69 mod 45 = 24 ≠ 42 = 87 mod 45

m=46: 69 mod 46 = 23 ≠ 41 = 87 mod 46

m=47: 69 mod 47 = 22 ≠ 40 = 87 mod 47

m=48: 69 mod 48 = 21 ≠ 39 = 87 mod 48

m=49: 69 mod 49 = 20 ≠ 38 = 87 mod 49

m=50: 69 mod 50 = 19 ≠ 37 = 87 mod 50

m=51: 69 mod 51 = 18 ≠ 36 = 87 mod 51

m=52: 69 mod 52 = 17 ≠ 35 = 87 mod 52

m=53: 69 mod 53 = 16 ≠ 34 = 87 mod 53

m=54: 69 mod 54 = 15 ≠ 33 = 87 mod 54

m=55: 69 mod 55 = 14 ≠ 32 = 87 mod 55

m=56: 69 mod 56 = 13 ≠ 31 = 87 mod 56

m=57: 69 mod 57 = 12 ≠ 30 = 87 mod 57

m=58: 69 mod 58 = 11 ≠ 29 = 87 mod 58

m=59: 69 mod 59 = 10 ≠ 28 = 87 mod 59

m=60: 69 mod 60 = 9 ≠ 27 = 87 mod 60

m=61: 69 mod 61 = 8 ≠ 26 = 87 mod 61

m=62: 69 mod 62 = 7 ≠ 25 = 87 mod 62

m=63: 69 mod 63 = 6 ≠ 24 = 87 mod 63

m=64: 69 mod 64 = 5 ≠ 23 = 87 mod 64

m=65: 69 mod 65 = 4 ≠ 22 = 87 mod 65

m=66: 69 mod 66 = 3 ≠ 21 = 87 mod 66

m=67: 69 mod 67 = 2 ≠ 20 = 87 mod 67

m=68: 69 mod 68 = 1 ≠ 19 = 87 mod 68

m=69: 69 mod 69 = 0 ≠ 18 = 87 mod 69

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (87 - 69) = 18 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 3; 6; 9; 18