Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 89 mod 3.
Das nächst kleinere Vielfache von 3 ist 87, weil ja 29 ⋅ 3 = 87 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 89 - 87 = 2.
Somit gilt: 89 mod 3 ≡ 2.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 87 mod 8.
Das nächst kleinere Vielfache von 8 ist 80, weil ja 10 ⋅ 8 = 80 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 87 - 80 = 7.
Somit gilt: 87 mod 8 ≡ 7.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 7 mod 8.
Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 8 in der Nähe von 70, z.B. 64 = 8 ⋅ 8
Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 8 , sondern ≡ 7 mod 8 sein, also addieren wir noch 7 auf die 64 und erhalten so 71.
Somit gilt: 71 ≡ 87 ≡ 7 mod 8.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (246 - 2497) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(246 - 2497) mod 5 ≡ (246 mod 5 - 2497 mod 5) mod 5.
246 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 246
= 240
2497 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2497
= 2400
Somit gilt:
(246 - 2497) mod 5 ≡ (1 - 2) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 47) mod 3.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(56 ⋅ 47) mod 3 ≡ (56 mod 3 ⋅ 47 mod 3) mod 3.
56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.
47 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 47 = 45 + 2 = 15 ⋅ 3 + 2 ist.
Somit gilt:
(56 ⋅ 47) mod 3 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
51 mod m = 76 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 51 aus, ob zufällig 51 mod m = 76 mod m gilt:
m=2: 51 mod 2 = 1 ≠ 0 = 76 mod 2
m=3: 51 mod 3 = 0 ≠ 1 = 76 mod 3
m=4: 51 mod 4 = 3 ≠ 0 = 76 mod 4
m=5: 51 mod 5 = 1 = 1 = 76 mod 5
m=6: 51 mod 6 = 3 ≠ 4 = 76 mod 6
m=7: 51 mod 7 = 2 ≠ 6 = 76 mod 7
m=8: 51 mod 8 = 3 ≠ 4 = 76 mod 8
m=9: 51 mod 9 = 6 ≠ 4 = 76 mod 9
m=10: 51 mod 10 = 1 ≠ 6 = 76 mod 10
m=11: 51 mod 11 = 7 ≠ 10 = 76 mod 11
m=12: 51 mod 12 = 3 ≠ 4 = 76 mod 12
m=13: 51 mod 13 = 12 ≠ 11 = 76 mod 13
m=14: 51 mod 14 = 9 ≠ 6 = 76 mod 14
m=15: 51 mod 15 = 6 ≠ 1 = 76 mod 15
m=16: 51 mod 16 = 3 ≠ 12 = 76 mod 16
m=17: 51 mod 17 = 0 ≠ 8 = 76 mod 17
m=18: 51 mod 18 = 15 ≠ 4 = 76 mod 18
m=19: 51 mod 19 = 13 ≠ 0 = 76 mod 19
m=20: 51 mod 20 = 11 ≠ 16 = 76 mod 20
m=21: 51 mod 21 = 9 ≠ 13 = 76 mod 21
m=22: 51 mod 22 = 7 ≠ 10 = 76 mod 22
m=23: 51 mod 23 = 5 ≠ 7 = 76 mod 23
m=24: 51 mod 24 = 3 ≠ 4 = 76 mod 24
m=25: 51 mod 25 = 1 = 1 = 76 mod 25
m=26: 51 mod 26 = 25 ≠ 24 = 76 mod 26
m=27: 51 mod 27 = 24 ≠ 22 = 76 mod 27
m=28: 51 mod 28 = 23 ≠ 20 = 76 mod 28
m=29: 51 mod 29 = 22 ≠ 18 = 76 mod 29
m=30: 51 mod 30 = 21 ≠ 16 = 76 mod 30
m=31: 51 mod 31 = 20 ≠ 14 = 76 mod 31
m=32: 51 mod 32 = 19 ≠ 12 = 76 mod 32
m=33: 51 mod 33 = 18 ≠ 10 = 76 mod 33
m=34: 51 mod 34 = 17 ≠ 8 = 76 mod 34
m=35: 51 mod 35 = 16 ≠ 6 = 76 mod 35
m=36: 51 mod 36 = 15 ≠ 4 = 76 mod 36
m=37: 51 mod 37 = 14 ≠ 2 = 76 mod 37
m=38: 51 mod 38 = 13 ≠ 0 = 76 mod 38
m=39: 51 mod 39 = 12 ≠ 37 = 76 mod 39
m=40: 51 mod 40 = 11 ≠ 36 = 76 mod 40
m=41: 51 mod 41 = 10 ≠ 35 = 76 mod 41
m=42: 51 mod 42 = 9 ≠ 34 = 76 mod 42
m=43: 51 mod 43 = 8 ≠ 33 = 76 mod 43
m=44: 51 mod 44 = 7 ≠ 32 = 76 mod 44
m=45: 51 mod 45 = 6 ≠ 31 = 76 mod 45
m=46: 51 mod 46 = 5 ≠ 30 = 76 mod 46
m=47: 51 mod 47 = 4 ≠ 29 = 76 mod 47
m=48: 51 mod 48 = 3 ≠ 28 = 76 mod 48
m=49: 51 mod 49 = 2 ≠ 27 = 76 mod 49
m=50: 51 mod 50 = 1 ≠ 26 = 76 mod 50
m=51: 51 mod 51 = 0 ≠ 25 = 76 mod 51
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (76 - 51) = 25 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
5; 25
