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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 52 mod 11.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 52 - 44 = 8.

Somit gilt: 52 mod 11 ≡ 8.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 60 und 69 für die gilt n ≡ 85 mod 9.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 9 ist 81, weil ja 9 ⋅ 9 = 81 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 85 - 81 = 4.

Somit gilt: 85 mod 9 ≡ 4.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 60 und 69 für die gilt: n ≡ 4 mod 9.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 9 in der Nähe von 60, z.B. 63 = 7 ⋅ 9

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 9 , sondern ≡ 4 mod 9 sein, also addieren wir noch 4 auf die 63 und erhalten so 67.

Somit gilt: 67 ≡ 85 ≡ 4 mod 9.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (18008 - 26995) mod 9.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(18008 - 26995) mod 9 ≡ (18008 mod 9 - 26995 mod 9) mod 9.

18008 mod 9 ≡ 8 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 18008 = 18000+8 = 9 ⋅ 2000 +8.

26995 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 26995 = 27000-5 = 9 ⋅ 3000 -5 = 9 ⋅ 3000 - 9 + 4.

Somit gilt:

(18008 - 26995) mod 9 ≡ (8 - 4) mod 9 ≡ 4 mod 9.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (56 ⋅ 85) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(56 ⋅ 85) mod 3 ≡ (56 mod 3 ⋅ 85 mod 3) mod 3.

56 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 56 = 54 + 2 = 18 ⋅ 3 + 2 ist.

85 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 85 = 84 + 1 = 28 ⋅ 3 + 1 ist.

Somit gilt:

(56 ⋅ 85) mod 3 ≡ (2 ⋅ 1) mod 3 ≡ 2 mod 3.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
175 mod m = 220 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 175 aus, ob zufällig 175 mod m = 220 mod m gilt:

m=2: 175 mod 2 = 1 ≠ 0 = 220 mod 2

m=3: 175 mod 3 = 1 = 1 = 220 mod 3

m=4: 175 mod 4 = 3 ≠ 0 = 220 mod 4

m=5: 175 mod 5 = 0 = 0 = 220 mod 5

m=6: 175 mod 6 = 1 ≠ 4 = 220 mod 6

m=7: 175 mod 7 = 0 ≠ 3 = 220 mod 7

m=8: 175 mod 8 = 7 ≠ 4 = 220 mod 8

m=9: 175 mod 9 = 4 = 4 = 220 mod 9

m=10: 175 mod 10 = 5 ≠ 0 = 220 mod 10

m=11: 175 mod 11 = 10 ≠ 0 = 220 mod 11

m=12: 175 mod 12 = 7 ≠ 4 = 220 mod 12

m=13: 175 mod 13 = 6 ≠ 12 = 220 mod 13

m=14: 175 mod 14 = 7 ≠ 10 = 220 mod 14

m=15: 175 mod 15 = 10 = 10 = 220 mod 15

m=16: 175 mod 16 = 15 ≠ 12 = 220 mod 16

m=17: 175 mod 17 = 5 ≠ 16 = 220 mod 17

m=18: 175 mod 18 = 13 ≠ 4 = 220 mod 18

m=19: 175 mod 19 = 4 ≠ 11 = 220 mod 19

m=20: 175 mod 20 = 15 ≠ 0 = 220 mod 20

m=21: 175 mod 21 = 7 ≠ 10 = 220 mod 21

m=22: 175 mod 22 = 21 ≠ 0 = 220 mod 22

m=23: 175 mod 23 = 14 ≠ 13 = 220 mod 23

m=24: 175 mod 24 = 7 ≠ 4 = 220 mod 24

m=25: 175 mod 25 = 0 ≠ 20 = 220 mod 25

m=26: 175 mod 26 = 19 ≠ 12 = 220 mod 26

m=27: 175 mod 27 = 13 ≠ 4 = 220 mod 27

m=28: 175 mod 28 = 7 ≠ 24 = 220 mod 28

m=29: 175 mod 29 = 1 ≠ 17 = 220 mod 29

m=30: 175 mod 30 = 25 ≠ 10 = 220 mod 30

m=31: 175 mod 31 = 20 ≠ 3 = 220 mod 31

m=32: 175 mod 32 = 15 ≠ 28 = 220 mod 32

m=33: 175 mod 33 = 10 ≠ 22 = 220 mod 33

m=34: 175 mod 34 = 5 ≠ 16 = 220 mod 34

m=35: 175 mod 35 = 0 ≠ 10 = 220 mod 35

m=36: 175 mod 36 = 31 ≠ 4 = 220 mod 36

m=37: 175 mod 37 = 27 ≠ 35 = 220 mod 37

m=38: 175 mod 38 = 23 ≠ 30 = 220 mod 38

m=39: 175 mod 39 = 19 ≠ 25 = 220 mod 39

m=40: 175 mod 40 = 15 ≠ 20 = 220 mod 40

m=41: 175 mod 41 = 11 ≠ 15 = 220 mod 41

m=42: 175 mod 42 = 7 ≠ 10 = 220 mod 42

m=43: 175 mod 43 = 3 ≠ 5 = 220 mod 43

m=44: 175 mod 44 = 43 ≠ 0 = 220 mod 44

m=45: 175 mod 45 = 40 = 40 = 220 mod 45

m=46: 175 mod 46 = 37 ≠ 36 = 220 mod 46

m=47: 175 mod 47 = 34 ≠ 32 = 220 mod 47

m=48: 175 mod 48 = 31 ≠ 28 = 220 mod 48

m=49: 175 mod 49 = 28 ≠ 24 = 220 mod 49

m=50: 175 mod 50 = 25 ≠ 20 = 220 mod 50

m=51: 175 mod 51 = 22 ≠ 16 = 220 mod 51

m=52: 175 mod 52 = 19 ≠ 12 = 220 mod 52

m=53: 175 mod 53 = 16 ≠ 8 = 220 mod 53

m=54: 175 mod 54 = 13 ≠ 4 = 220 mod 54

m=55: 175 mod 55 = 10 ≠ 0 = 220 mod 55

m=56: 175 mod 56 = 7 ≠ 52 = 220 mod 56

m=57: 175 mod 57 = 4 ≠ 49 = 220 mod 57

m=58: 175 mod 58 = 1 ≠ 46 = 220 mod 58

m=59: 175 mod 59 = 57 ≠ 43 = 220 mod 59

m=60: 175 mod 60 = 55 ≠ 40 = 220 mod 60

m=61: 175 mod 61 = 53 ≠ 37 = 220 mod 61

m=62: 175 mod 62 = 51 ≠ 34 = 220 mod 62

m=63: 175 mod 63 = 49 ≠ 31 = 220 mod 63

m=64: 175 mod 64 = 47 ≠ 28 = 220 mod 64

m=65: 175 mod 65 = 45 ≠ 25 = 220 mod 65

m=66: 175 mod 66 = 43 ≠ 22 = 220 mod 66

m=67: 175 mod 67 = 41 ≠ 19 = 220 mod 67

m=68: 175 mod 68 = 39 ≠ 16 = 220 mod 68

m=69: 175 mod 69 = 37 ≠ 13 = 220 mod 69

m=70: 175 mod 70 = 35 ≠ 10 = 220 mod 70

m=71: 175 mod 71 = 33 ≠ 7 = 220 mod 71

m=72: 175 mod 72 = 31 ≠ 4 = 220 mod 72

m=73: 175 mod 73 = 29 ≠ 1 = 220 mod 73

m=74: 175 mod 74 = 27 ≠ 72 = 220 mod 74

m=75: 175 mod 75 = 25 ≠ 70 = 220 mod 75

m=76: 175 mod 76 = 23 ≠ 68 = 220 mod 76

m=77: 175 mod 77 = 21 ≠ 66 = 220 mod 77

m=78: 175 mod 78 = 19 ≠ 64 = 220 mod 78

m=79: 175 mod 79 = 17 ≠ 62 = 220 mod 79

m=80: 175 mod 80 = 15 ≠ 60 = 220 mod 80

m=81: 175 mod 81 = 13 ≠ 58 = 220 mod 81

m=82: 175 mod 82 = 11 ≠ 56 = 220 mod 82

m=83: 175 mod 83 = 9 ≠ 54 = 220 mod 83

m=84: 175 mod 84 = 7 ≠ 52 = 220 mod 84

m=85: 175 mod 85 = 5 ≠ 50 = 220 mod 85

m=86: 175 mod 86 = 3 ≠ 48 = 220 mod 86

m=87: 175 mod 87 = 1 ≠ 46 = 220 mod 87

m=88: 175 mod 88 = 87 ≠ 44 = 220 mod 88

m=89: 175 mod 89 = 86 ≠ 42 = 220 mod 89

m=90: 175 mod 90 = 85 ≠ 40 = 220 mod 90

m=91: 175 mod 91 = 84 ≠ 38 = 220 mod 91

m=92: 175 mod 92 = 83 ≠ 36 = 220 mod 92

m=93: 175 mod 93 = 82 ≠ 34 = 220 mod 93

m=94: 175 mod 94 = 81 ≠ 32 = 220 mod 94

m=95: 175 mod 95 = 80 ≠ 30 = 220 mod 95

m=96: 175 mod 96 = 79 ≠ 28 = 220 mod 96

m=97: 175 mod 97 = 78 ≠ 26 = 220 mod 97

m=98: 175 mod 98 = 77 ≠ 24 = 220 mod 98

m=99: 175 mod 99 = 76 ≠ 22 = 220 mod 99

m=100: 175 mod 100 = 75 ≠ 20 = 220 mod 100

m=101: 175 mod 101 = 74 ≠ 18 = 220 mod 101

m=102: 175 mod 102 = 73 ≠ 16 = 220 mod 102

m=103: 175 mod 103 = 72 ≠ 14 = 220 mod 103

m=104: 175 mod 104 = 71 ≠ 12 = 220 mod 104

m=105: 175 mod 105 = 70 ≠ 10 = 220 mod 105

m=106: 175 mod 106 = 69 ≠ 8 = 220 mod 106

m=107: 175 mod 107 = 68 ≠ 6 = 220 mod 107

m=108: 175 mod 108 = 67 ≠ 4 = 220 mod 108

m=109: 175 mod 109 = 66 ≠ 2 = 220 mod 109

m=110: 175 mod 110 = 65 ≠ 0 = 220 mod 110

m=111: 175 mod 111 = 64 ≠ 109 = 220 mod 111

m=112: 175 mod 112 = 63 ≠ 108 = 220 mod 112

m=113: 175 mod 113 = 62 ≠ 107 = 220 mod 113

m=114: 175 mod 114 = 61 ≠ 106 = 220 mod 114

m=115: 175 mod 115 = 60 ≠ 105 = 220 mod 115

m=116: 175 mod 116 = 59 ≠ 104 = 220 mod 116

m=117: 175 mod 117 = 58 ≠ 103 = 220 mod 117

m=118: 175 mod 118 = 57 ≠ 102 = 220 mod 118

m=119: 175 mod 119 = 56 ≠ 101 = 220 mod 119

m=120: 175 mod 120 = 55 ≠ 100 = 220 mod 120

m=121: 175 mod 121 = 54 ≠ 99 = 220 mod 121

m=122: 175 mod 122 = 53 ≠ 98 = 220 mod 122

m=123: 175 mod 123 = 52 ≠ 97 = 220 mod 123

m=124: 175 mod 124 = 51 ≠ 96 = 220 mod 124

m=125: 175 mod 125 = 50 ≠ 95 = 220 mod 125

m=126: 175 mod 126 = 49 ≠ 94 = 220 mod 126

m=127: 175 mod 127 = 48 ≠ 93 = 220 mod 127

m=128: 175 mod 128 = 47 ≠ 92 = 220 mod 128

m=129: 175 mod 129 = 46 ≠ 91 = 220 mod 129

m=130: 175 mod 130 = 45 ≠ 90 = 220 mod 130

m=131: 175 mod 131 = 44 ≠ 89 = 220 mod 131

m=132: 175 mod 132 = 43 ≠ 88 = 220 mod 132

m=133: 175 mod 133 = 42 ≠ 87 = 220 mod 133

m=134: 175 mod 134 = 41 ≠ 86 = 220 mod 134

m=135: 175 mod 135 = 40 ≠ 85 = 220 mod 135

m=136: 175 mod 136 = 39 ≠ 84 = 220 mod 136

m=137: 175 mod 137 = 38 ≠ 83 = 220 mod 137

m=138: 175 mod 138 = 37 ≠ 82 = 220 mod 138

m=139: 175 mod 139 = 36 ≠ 81 = 220 mod 139

m=140: 175 mod 140 = 35 ≠ 80 = 220 mod 140

m=141: 175 mod 141 = 34 ≠ 79 = 220 mod 141

m=142: 175 mod 142 = 33 ≠ 78 = 220 mod 142

m=143: 175 mod 143 = 32 ≠ 77 = 220 mod 143

m=144: 175 mod 144 = 31 ≠ 76 = 220 mod 144

m=145: 175 mod 145 = 30 ≠ 75 = 220 mod 145

m=146: 175 mod 146 = 29 ≠ 74 = 220 mod 146

m=147: 175 mod 147 = 28 ≠ 73 = 220 mod 147

m=148: 175 mod 148 = 27 ≠ 72 = 220 mod 148

m=149: 175 mod 149 = 26 ≠ 71 = 220 mod 149

m=150: 175 mod 150 = 25 ≠ 70 = 220 mod 150

m=151: 175 mod 151 = 24 ≠ 69 = 220 mod 151

m=152: 175 mod 152 = 23 ≠ 68 = 220 mod 152

m=153: 175 mod 153 = 22 ≠ 67 = 220 mod 153

m=154: 175 mod 154 = 21 ≠ 66 = 220 mod 154

m=155: 175 mod 155 = 20 ≠ 65 = 220 mod 155

m=156: 175 mod 156 = 19 ≠ 64 = 220 mod 156

m=157: 175 mod 157 = 18 ≠ 63 = 220 mod 157

m=158: 175 mod 158 = 17 ≠ 62 = 220 mod 158

m=159: 175 mod 159 = 16 ≠ 61 = 220 mod 159

m=160: 175 mod 160 = 15 ≠ 60 = 220 mod 160

m=161: 175 mod 161 = 14 ≠ 59 = 220 mod 161

m=162: 175 mod 162 = 13 ≠ 58 = 220 mod 162

m=163: 175 mod 163 = 12 ≠ 57 = 220 mod 163

m=164: 175 mod 164 = 11 ≠ 56 = 220 mod 164

m=165: 175 mod 165 = 10 ≠ 55 = 220 mod 165

m=166: 175 mod 166 = 9 ≠ 54 = 220 mod 166

m=167: 175 mod 167 = 8 ≠ 53 = 220 mod 167

m=168: 175 mod 168 = 7 ≠ 52 = 220 mod 168

m=169: 175 mod 169 = 6 ≠ 51 = 220 mod 169

m=170: 175 mod 170 = 5 ≠ 50 = 220 mod 170

m=171: 175 mod 171 = 4 ≠ 49 = 220 mod 171

m=172: 175 mod 172 = 3 ≠ 48 = 220 mod 172

m=173: 175 mod 173 = 2 ≠ 47 = 220 mod 173

m=174: 175 mod 174 = 1 ≠ 46 = 220 mod 174

m=175: 175 mod 175 = 0 ≠ 45 = 220 mod 175

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (220 - 175) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45