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cosh
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einfache Modulo Aufgabe
Beispiel:
Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 35 mod 6.
Das nächst kleinere Vielfache von 6 ist 30, weil ja 5 ⋅ 6 = 30 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 35 - 30 = 5.
Somit gilt: 35 mod 6 ≡ 5.
Modulo in einem Intervall
Beispiel:
Bestimme eine Zahl n zwischen 50 und 59 für die gilt n ≡ 84 mod 4.
Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 84, weil ja 21 ⋅ 4 = 84 ist.
Also bleibt als Rest eben noch 84 - 84 = 0.
Somit gilt: 84 mod 4 ≡ 0.
Wir suchen also eine Zahl zwischen 50 und 59 für die gilt: n ≡ 0 mod 4.
Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 50, z.B. 52 = 13 ⋅ 4
Somit gilt: 52 ≡ 84 ≡ 0 mod 4.
Modulo addieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (155 - 252) mod 5.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(155 - 252) mod 5 ≡ (155 mod 5 - 252 mod 5) mod 5.
155 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 155
= 150
252 mod 5 ≡ 2 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 252
= 250
Somit gilt:
(155 - 252) mod 5 ≡ (0 - 2) mod 5 ≡ -2 mod 5 ≡ 3 mod 5.
Modulo multiplizieren
Beispiel:
Berechne ohne WTR: (31 ⋅ 29) mod 4.
Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:
(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (31 mod 4 ⋅ 29 mod 4) mod 4.
31 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 28 + 3 = 7 ⋅ 4 + 3 ist.
29 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 29 = 28 + 1 = 7 ⋅ 4 + 1 ist.
Somit gilt:
(31 ⋅ 29) mod 4 ≡ (3 ⋅ 1) mod 4 ≡ 3 mod 4.
gemeinsame Modulos finden
Beispiel:
Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
10 mod m = 14 mod m.
1. (etwas umständliche) Möglichkeit:
Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 10 aus, ob zufällig 10 mod m = 14 mod m gilt:
m=2: 10 mod 2 = 0 = 0 = 14 mod 2
m=3: 10 mod 3 = 1 ≠ 2 = 14 mod 3
m=4: 10 mod 4 = 2 = 2 = 14 mod 4
m=5: 10 mod 5 = 0 ≠ 4 = 14 mod 5
m=6: 10 mod 6 = 4 ≠ 2 = 14 mod 6
m=7: 10 mod 7 = 3 ≠ 0 = 14 mod 7
m=8: 10 mod 8 = 2 ≠ 6 = 14 mod 8
m=9: 10 mod 9 = 1 ≠ 5 = 14 mod 9
m=10: 10 mod 10 = 0 ≠ 4 = 14 mod 10
2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:
Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.
Somit müssen wir nur die Teiler von (14 - 10) = 4 bestimmen:
die gesuchten Zahlen sind somit:
2; 4
