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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 45 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 45, weil ja 9 ⋅ 5 = 45 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 45 - 45 = 0.

Somit gilt: 45 mod 5 ≡ 0.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 41 für die gilt n ≡ 49 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 44, weil ja 4 ⋅ 11 = 44 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 49 - 44 = 5.

Somit gilt: 49 mod 11 ≡ 5.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 41 für die gilt: n ≡ 5 mod 11.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 11 in der Nähe von 30, z.B. 33 = 3 ⋅ 11

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 11 , sondern ≡ 5 mod 11 sein, also addieren wir noch 5 auf die 33 und erhalten so 38.

Somit gilt: 38 ≡ 49 ≡ 5 mod 11.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (899 + 898) mod 3.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(899 + 898) mod 3 ≡ (899 mod 3 + 898 mod 3) mod 3.

899 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 899 = 900-1 = 3 ⋅ 300 -1 = 3 ⋅ 300 - 3 + 2.

898 mod 3 ≡ 1 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 898 = 900-2 = 3 ⋅ 300 -2 = 3 ⋅ 300 - 3 + 1.

Somit gilt:

(899 + 898) mod 3 ≡ (2 + 1) mod 3 ≡ 3 mod 3 ≡ 0 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (50 ⋅ 54) mod 7.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(50 ⋅ 54) mod 7 ≡ (50 mod 7 ⋅ 54 mod 7) mod 7.

50 mod 7 ≡ 1 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 50 = 49 + 1 = 7 ⋅ 7 + 1 ist.

54 mod 7 ≡ 5 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 54 = 49 + 5 = 7 ⋅ 7 + 5 ist.

Somit gilt:

(50 ⋅ 54) mod 7 ≡ (1 ⋅ 5) mod 7 ≡ 5 mod 7.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
41 mod m = 56 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 41 aus, ob zufällig 41 mod m = 56 mod m gilt:

m=2: 41 mod 2 = 1 ≠ 0 = 56 mod 2

m=3: 41 mod 3 = 2 = 2 = 56 mod 3

m=4: 41 mod 4 = 1 ≠ 0 = 56 mod 4

m=5: 41 mod 5 = 1 = 1 = 56 mod 5

m=6: 41 mod 6 = 5 ≠ 2 = 56 mod 6

m=7: 41 mod 7 = 6 ≠ 0 = 56 mod 7

m=8: 41 mod 8 = 1 ≠ 0 = 56 mod 8

m=9: 41 mod 9 = 5 ≠ 2 = 56 mod 9

m=10: 41 mod 10 = 1 ≠ 6 = 56 mod 10

m=11: 41 mod 11 = 8 ≠ 1 = 56 mod 11

m=12: 41 mod 12 = 5 ≠ 8 = 56 mod 12

m=13: 41 mod 13 = 2 ≠ 4 = 56 mod 13

m=14: 41 mod 14 = 13 ≠ 0 = 56 mod 14

m=15: 41 mod 15 = 11 = 11 = 56 mod 15

m=16: 41 mod 16 = 9 ≠ 8 = 56 mod 16

m=17: 41 mod 17 = 7 ≠ 5 = 56 mod 17

m=18: 41 mod 18 = 5 ≠ 2 = 56 mod 18

m=19: 41 mod 19 = 3 ≠ 18 = 56 mod 19

m=20: 41 mod 20 = 1 ≠ 16 = 56 mod 20

m=21: 41 mod 21 = 20 ≠ 14 = 56 mod 21

m=22: 41 mod 22 = 19 ≠ 12 = 56 mod 22

m=23: 41 mod 23 = 18 ≠ 10 = 56 mod 23

m=24: 41 mod 24 = 17 ≠ 8 = 56 mod 24

m=25: 41 mod 25 = 16 ≠ 6 = 56 mod 25

m=26: 41 mod 26 = 15 ≠ 4 = 56 mod 26

m=27: 41 mod 27 = 14 ≠ 2 = 56 mod 27

m=28: 41 mod 28 = 13 ≠ 0 = 56 mod 28

m=29: 41 mod 29 = 12 ≠ 27 = 56 mod 29

m=30: 41 mod 30 = 11 ≠ 26 = 56 mod 30

m=31: 41 mod 31 = 10 ≠ 25 = 56 mod 31

m=32: 41 mod 32 = 9 ≠ 24 = 56 mod 32

m=33: 41 mod 33 = 8 ≠ 23 = 56 mod 33

m=34: 41 mod 34 = 7 ≠ 22 = 56 mod 34

m=35: 41 mod 35 = 6 ≠ 21 = 56 mod 35

m=36: 41 mod 36 = 5 ≠ 20 = 56 mod 36

m=37: 41 mod 37 = 4 ≠ 19 = 56 mod 37

m=38: 41 mod 38 = 3 ≠ 18 = 56 mod 38

m=39: 41 mod 39 = 2 ≠ 17 = 56 mod 39

m=40: 41 mod 40 = 1 ≠ 16 = 56 mod 40

m=41: 41 mod 41 = 0 ≠ 15 = 56 mod 41

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (56 - 41) = 15 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 15