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einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 17 mod 11.

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Das nächst kleinere Vielfache von 11 ist 11, weil ja 1 ⋅ 11 = 11 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 17 - 11 = 6.

Somit gilt: 17 mod 11 ≡ 6.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 70 und 79 für die gilt n ≡ 98 mod 4.

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Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 96, weil ja 24 ⋅ 4 = 96 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 98 - 96 = 2.

Somit gilt: 98 mod 4 ≡ 2.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 70 und 79 für die gilt: n ≡ 2 mod 4.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 4 in der Nähe von 70, z.B. 68 = 17 ⋅ 4

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 4 , sondern ≡ 2 mod 4 sein, also addieren wir noch 2 auf die 68 und erhalten so 70.

Somit gilt: 70 ≡ 98 ≡ 2 mod 4.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (121 - 12003) mod 4.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(121 - 12003) mod 4 ≡ (121 mod 4 - 12003 mod 4) mod 4.

121 mod 4 ≡ 1 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 121 = 120+1 = 4 ⋅ 30 +1.

12003 mod 4 ≡ 3 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 12003 = 12000+3 = 4 ⋅ 3000 +3.

Somit gilt:

(121 - 12003) mod 4 ≡ (1 - 3) mod 4 ≡ -2 mod 4 ≡ 2 mod 4.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (87 ⋅ 31) mod 9.

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Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(87 ⋅ 31) mod 9 ≡ (87 mod 9 ⋅ 31 mod 9) mod 9.

87 mod 9 ≡ 6 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 87 = 81 + 6 = 9 ⋅ 9 + 6 ist.

31 mod 9 ≡ 4 mod 9 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 31 = 27 + 4 = 3 ⋅ 9 + 4 ist.

Somit gilt:

(87 ⋅ 31) mod 9 ≡ (6 ⋅ 4) mod 9 ≡ 24 mod 9 ≡ 6 mod 9.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
23 mod m = 33 mod m.

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1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 23 aus, ob zufällig 23 mod m = 33 mod m gilt:

m=2: 23 mod 2 = 1 = 1 = 33 mod 2

m=3: 23 mod 3 = 2 ≠ 0 = 33 mod 3

m=4: 23 mod 4 = 3 ≠ 1 = 33 mod 4

m=5: 23 mod 5 = 3 = 3 = 33 mod 5

m=6: 23 mod 6 = 5 ≠ 3 = 33 mod 6

m=7: 23 mod 7 = 2 ≠ 5 = 33 mod 7

m=8: 23 mod 8 = 7 ≠ 1 = 33 mod 8

m=9: 23 mod 9 = 5 ≠ 6 = 33 mod 9

m=10: 23 mod 10 = 3 = 3 = 33 mod 10

m=11: 23 mod 11 = 1 ≠ 0 = 33 mod 11

m=12: 23 mod 12 = 11 ≠ 9 = 33 mod 12

m=13: 23 mod 13 = 10 ≠ 7 = 33 mod 13

m=14: 23 mod 14 = 9 ≠ 5 = 33 mod 14

m=15: 23 mod 15 = 8 ≠ 3 = 33 mod 15

m=16: 23 mod 16 = 7 ≠ 1 = 33 mod 16

m=17: 23 mod 17 = 6 ≠ 16 = 33 mod 17

m=18: 23 mod 18 = 5 ≠ 15 = 33 mod 18

m=19: 23 mod 19 = 4 ≠ 14 = 33 mod 19

m=20: 23 mod 20 = 3 ≠ 13 = 33 mod 20

m=21: 23 mod 21 = 2 ≠ 12 = 33 mod 21

m=22: 23 mod 22 = 1 ≠ 11 = 33 mod 22

m=23: 23 mod 23 = 0 ≠ 10 = 33 mod 23

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (33 - 23) = 10 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

2; 5; 10