nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 91 mod 5.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 5 ist 90, weil ja 18 ⋅ 5 = 90 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 91 - 90 = 1.

Somit gilt: 91 mod 5 ≡ 1.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 90 und 100 für die gilt n ≡ 69 mod 10.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 10 ist 60, weil ja 6 ⋅ 10 = 60 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 69 - 60 = 9.

Somit gilt: 69 mod 10 ≡ 9.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 90 und 100 für die gilt: n ≡ 9 mod 10.

Dazu suchen wir erstmal ein Vielfaches von 10 in der Nähe von 90, z.B. 90 = 9 ⋅ 10

Jetzt muss die gesuchte Zahl ja aber nicht ≡ 0 mod 10 , sondern ≡ 9 mod 10 sein, also addieren wir noch 9 auf die 90 und erhalten so 99.

Somit gilt: 99 ≡ 69 ≡ 9 mod 10.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (34995 + 20995) mod 7.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(34995 + 20995) mod 7 ≡ (34995 mod 7 + 20995 mod 7) mod 7.

34995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 34995 = 35000-5 = 7 ⋅ 5000 -5 = 7 ⋅ 5000 - 7 + 2.

20995 mod 7 ≡ 2 mod 7 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 20995 = 21000-5 = 7 ⋅ 3000 -5 = 7 ⋅ 3000 - 7 + 2.

Somit gilt:

(34995 + 20995) mod 7 ≡ (2 + 2) mod 7 ≡ 4 mod 7.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (32 ⋅ 42) mod 4.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(32 ⋅ 42) mod 4 ≡ (32 mod 4 ⋅ 42 mod 4) mod 4.

32 mod 4 ≡ 0 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 32 = 32 + 0 = 8 ⋅ 4 + 0 ist.

42 mod 4 ≡ 2 mod 4 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 42 = 40 + 2 = 10 ⋅ 4 + 2 ist.

Somit gilt:

(32 ⋅ 42) mod 4 ≡ (0 ⋅ 2) mod 4 ≡ 0 mod 4.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
93 mod m = 138 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 93 aus, ob zufällig 93 mod m = 138 mod m gilt:

m=2: 93 mod 2 = 1 ≠ 0 = 138 mod 2

m=3: 93 mod 3 = 0 = 0 = 138 mod 3

m=4: 93 mod 4 = 1 ≠ 2 = 138 mod 4

m=5: 93 mod 5 = 3 = 3 = 138 mod 5

m=6: 93 mod 6 = 3 ≠ 0 = 138 mod 6

m=7: 93 mod 7 = 2 ≠ 5 = 138 mod 7

m=8: 93 mod 8 = 5 ≠ 2 = 138 mod 8

m=9: 93 mod 9 = 3 = 3 = 138 mod 9

m=10: 93 mod 10 = 3 ≠ 8 = 138 mod 10

m=11: 93 mod 11 = 5 ≠ 6 = 138 mod 11

m=12: 93 mod 12 = 9 ≠ 6 = 138 mod 12

m=13: 93 mod 13 = 2 ≠ 8 = 138 mod 13

m=14: 93 mod 14 = 9 ≠ 12 = 138 mod 14

m=15: 93 mod 15 = 3 = 3 = 138 mod 15

m=16: 93 mod 16 = 13 ≠ 10 = 138 mod 16

m=17: 93 mod 17 = 8 ≠ 2 = 138 mod 17

m=18: 93 mod 18 = 3 ≠ 12 = 138 mod 18

m=19: 93 mod 19 = 17 ≠ 5 = 138 mod 19

m=20: 93 mod 20 = 13 ≠ 18 = 138 mod 20

m=21: 93 mod 21 = 9 ≠ 12 = 138 mod 21

m=22: 93 mod 22 = 5 ≠ 6 = 138 mod 22

m=23: 93 mod 23 = 1 ≠ 0 = 138 mod 23

m=24: 93 mod 24 = 21 ≠ 18 = 138 mod 24

m=25: 93 mod 25 = 18 ≠ 13 = 138 mod 25

m=26: 93 mod 26 = 15 ≠ 8 = 138 mod 26

m=27: 93 mod 27 = 12 ≠ 3 = 138 mod 27

m=28: 93 mod 28 = 9 ≠ 26 = 138 mod 28

m=29: 93 mod 29 = 6 ≠ 22 = 138 mod 29

m=30: 93 mod 30 = 3 ≠ 18 = 138 mod 30

m=31: 93 mod 31 = 0 ≠ 14 = 138 mod 31

m=32: 93 mod 32 = 29 ≠ 10 = 138 mod 32

m=33: 93 mod 33 = 27 ≠ 6 = 138 mod 33

m=34: 93 mod 34 = 25 ≠ 2 = 138 mod 34

m=35: 93 mod 35 = 23 ≠ 33 = 138 mod 35

m=36: 93 mod 36 = 21 ≠ 30 = 138 mod 36

m=37: 93 mod 37 = 19 ≠ 27 = 138 mod 37

m=38: 93 mod 38 = 17 ≠ 24 = 138 mod 38

m=39: 93 mod 39 = 15 ≠ 21 = 138 mod 39

m=40: 93 mod 40 = 13 ≠ 18 = 138 mod 40

m=41: 93 mod 41 = 11 ≠ 15 = 138 mod 41

m=42: 93 mod 42 = 9 ≠ 12 = 138 mod 42

m=43: 93 mod 43 = 7 ≠ 9 = 138 mod 43

m=44: 93 mod 44 = 5 ≠ 6 = 138 mod 44

m=45: 93 mod 45 = 3 = 3 = 138 mod 45

m=46: 93 mod 46 = 1 ≠ 0 = 138 mod 46

m=47: 93 mod 47 = 46 ≠ 44 = 138 mod 47

m=48: 93 mod 48 = 45 ≠ 42 = 138 mod 48

m=49: 93 mod 49 = 44 ≠ 40 = 138 mod 49

m=50: 93 mod 50 = 43 ≠ 38 = 138 mod 50

m=51: 93 mod 51 = 42 ≠ 36 = 138 mod 51

m=52: 93 mod 52 = 41 ≠ 34 = 138 mod 52

m=53: 93 mod 53 = 40 ≠ 32 = 138 mod 53

m=54: 93 mod 54 = 39 ≠ 30 = 138 mod 54

m=55: 93 mod 55 = 38 ≠ 28 = 138 mod 55

m=56: 93 mod 56 = 37 ≠ 26 = 138 mod 56

m=57: 93 mod 57 = 36 ≠ 24 = 138 mod 57

m=58: 93 mod 58 = 35 ≠ 22 = 138 mod 58

m=59: 93 mod 59 = 34 ≠ 20 = 138 mod 59

m=60: 93 mod 60 = 33 ≠ 18 = 138 mod 60

m=61: 93 mod 61 = 32 ≠ 16 = 138 mod 61

m=62: 93 mod 62 = 31 ≠ 14 = 138 mod 62

m=63: 93 mod 63 = 30 ≠ 12 = 138 mod 63

m=64: 93 mod 64 = 29 ≠ 10 = 138 mod 64

m=65: 93 mod 65 = 28 ≠ 8 = 138 mod 65

m=66: 93 mod 66 = 27 ≠ 6 = 138 mod 66

m=67: 93 mod 67 = 26 ≠ 4 = 138 mod 67

m=68: 93 mod 68 = 25 ≠ 2 = 138 mod 68

m=69: 93 mod 69 = 24 ≠ 0 = 138 mod 69

m=70: 93 mod 70 = 23 ≠ 68 = 138 mod 70

m=71: 93 mod 71 = 22 ≠ 67 = 138 mod 71

m=72: 93 mod 72 = 21 ≠ 66 = 138 mod 72

m=73: 93 mod 73 = 20 ≠ 65 = 138 mod 73

m=74: 93 mod 74 = 19 ≠ 64 = 138 mod 74

m=75: 93 mod 75 = 18 ≠ 63 = 138 mod 75

m=76: 93 mod 76 = 17 ≠ 62 = 138 mod 76

m=77: 93 mod 77 = 16 ≠ 61 = 138 mod 77

m=78: 93 mod 78 = 15 ≠ 60 = 138 mod 78

m=79: 93 mod 79 = 14 ≠ 59 = 138 mod 79

m=80: 93 mod 80 = 13 ≠ 58 = 138 mod 80

m=81: 93 mod 81 = 12 ≠ 57 = 138 mod 81

m=82: 93 mod 82 = 11 ≠ 56 = 138 mod 82

m=83: 93 mod 83 = 10 ≠ 55 = 138 mod 83

m=84: 93 mod 84 = 9 ≠ 54 = 138 mod 84

m=85: 93 mod 85 = 8 ≠ 53 = 138 mod 85

m=86: 93 mod 86 = 7 ≠ 52 = 138 mod 86

m=87: 93 mod 87 = 6 ≠ 51 = 138 mod 87

m=88: 93 mod 88 = 5 ≠ 50 = 138 mod 88

m=89: 93 mod 89 = 4 ≠ 49 = 138 mod 89

m=90: 93 mod 90 = 3 ≠ 48 = 138 mod 90

m=91: 93 mod 91 = 2 ≠ 47 = 138 mod 91

m=92: 93 mod 92 = 1 ≠ 46 = 138 mod 92

m=93: 93 mod 93 = 0 ≠ 45 = 138 mod 93

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (138 - 93) = 45 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 5; 9; 15; 45