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cosh
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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(1|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+2)·(x-1) sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -(x+2)(x-1).
Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x2-2x-3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2-2x-3 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +2±√(-2)2-4·1·(-3)2⋅1
x1,2 = +2±√4+122
x1,2 = +2±√162
x1 = 2+√162 = 2+42 = 62 = 3
x2 = 2-√162 = 2-42 = -22 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-1)2-(-3) = 1+ 3 = 4
x1,2 = 1 ± √4
x1 = 1 - 2 = -1
x2 = 1 + 2 = 3
Der Funktionterm (x+1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x2-2x-3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).
Also ist f(x)= (x+1)(x-3) bereits der gesuchte Term.
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(4|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+1)·(x-4) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0) = -1,
also f(0) =
a·(0+1)·(0-4)
=
-4a=-1.
Hieraus ergibt sich a=14.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 14(x+1)(x-4).
Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x-1)·(x-3) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1) = -2,
also f(-1) =
a·(-1-1)·(-1-3)
=
8a=-2.
Hieraus ergibt sich a=-14.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -14(x-1)(x-3).
Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:
f(x)= -14(x-1)(x-3)
= -14(x·x+x·(-3)-1·x-1·(-3))
= -14(x·x-3x-x+3)
= -14(x2-4x+3)
= -14x2+x-34
Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= -14x2+x-34
Linearfakt. aus Term (a≠1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -4x2+4.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
-4x2+4 | = | | -4 | |
-4x2 | = | -4 | |: (-4) |
x2 | = | 1 | | 2√⋅ |
x1 | = | -√1 | = -1 |
x2 | = | √1 | = 1 |
Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= -4x2+4.
Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:
f(x)= a·(x+1)·(x-1)
= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))
= a·(x·x-x+x-1)
= a·(x2-1)
Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:
-4(x2-1) = -4x2+4 = f(x)
Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= -4(x+1)(x-1)