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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+2)·(x-1) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -(x+2)(x-1).

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x2-2x-3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x2-2x-3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +2±(-2)2-4·1·(-3)21

x1,2 = +2±4+122

x1,2 = +2±162

x1 = 2+162 = 2+42 = 62 = 3

x2 = 2-162 = 2-42 = -22 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-1)2-(-3) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

Der Funktionterm (x+1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x2-2x-3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= (x+1)(x-3) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+1)·(x-4) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0) = -1,
also f(0) = a·(0+1)·(0-4) = -4a=-1.

Hieraus ergibt sich a=14.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 14(x+1)(x-4).

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x-1)·(x-3) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1) = -2,
also f(-1) = a·(-1-1)·(-1-3) = 8a=-2.

Hieraus ergibt sich a=-14.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -14(x-1)(x-3).

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= -14(x-1)(x-3)

= -14(x·x+x·(-3)-1·x-1·(-3))

= -14(x·x-3x-x+3)

= -14(x2-4x+3)

= -14x2+x-34

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= -14x2+x-34

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -4x2+4.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

-4x2+4 = 0 | -4
-4x2 = -4 |: (-4)
x2 = 1 | 2
x1 = -1 = -1
x2 = 1 = 1

Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+1)·(x-1) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= -4x2+4.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a·(x+1)·(x-1)

= a·(x·x+x·(-1)+1·x+1·(-1))

= a·(x·x-x+x-1)

= a·(x2-1)

Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:

-4(x2-1) = -4x2+4 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= -4(x+1)(x-1)