nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x +1 ) · ( x -2 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a=1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x +1 ) ( x -2 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +5x +4 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 +5x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = -5 ± 25 -16 2

x1,2 = -5 ± 9 2

x1 = -5 + 9 2 = -5 +3 2 = -2 2 = -1

x2 = -5 - 9 2 = -5 -3 2 = -8 2 = -4

Der Funktionterm ( x +4 ) ( x +1 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x 2 +5x +4 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= ( x +4 ) ( x +1 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x +2 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-2).
Es gilt dann ja: f(-1)=-2,
also f(-1)= a · ( -1 +2 ) · ( -1 -3 ) = -4a =-2.

Hieraus ergibt sich a= 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 1 2 ( x +2 ) ( x -3 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm a · ( x -1 ) · ( x -4 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0)=-1,
also f(0)= a · ( 0 -1 ) · ( 0 -4 ) = 4a =-1.

Hieraus ergibt sich a= - 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - 1 4 ( x -1 ) ( x -4 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= - 1 4 ( x -1 ) ( x -4 )

= - 1 4 ( x · x + x · ( -4 ) -1 · x -1 · ( -4 ))

= - 1 4 ( x · x -4x - x +4 )

= - 1 4 ( x 2 -5x +4 )

= - 1 4 x 2 + 5 4 x -1

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= - 1 4 x 2 + 5 4 x -1

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +18x +24 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

3 x 2 +18x +24 = 0 |:3

x 2 +6x +8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · 8 21

x1,2 = -6 ± 36 -32 2

x1,2 = -6 ± 4 2

x1 = -6 + 4 2 = -6 +2 2 = -4 2 = -2

x2 = -6 - 4 2 = -6 -2 2 = -8 2 = -4

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x +4 ) · ( x +2 ) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= 3 x 2 +18x +24 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a · ( x +4 ) · ( x +2 )

= a · ( x · x + x · 2 + 4 · x + 4 · 2 )

= a · ( x · x +2x +4x +8 )

= a · ( x 2 +6x +8 )

Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:

3( x 2 +6x +8 ) = 3 x 2 +18x +24 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= 3 ( x +4 ) ( x +2 )