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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- (x + 3) (x + 1)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + 4$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Der Funktionterm $(x - 1) (x - 4)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + 4$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $f(x) =$ $(x - 1) (x - 4)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0) = -1,
also f(0) = $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: f(-1) = 2,
also f(-1) = $a \cdot (- 1 + 3) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 8 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) (x - 3)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} (x + 3) (x - 3)$

= $- \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot (- 3) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{4} (x \cdot x - 3 x + 3 x - 9)$

= $- \frac{1}{4} (x^{2} - 9)$

= $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{9}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{9}{4}$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 2$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$2 x^{2} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $2 x^{2} - 2$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 1))$

= $a \cdot (x \cdot x - x + x - 1)$

= $a \cdot (x^{2} - 1)$

Für a = 2 ergibt sich also tatsächlich:

$2 (x^{2} - 1)$ = $2 x^{2} - 2$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $f(x) =$ $2 (x + 1) (x - 1)$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)