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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +4 ) · ( x +1 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x +4 ) ( x +1 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 +2x .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir können einfach x ausklammern und erhalten so f(x)= ( x +2 ) x .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x -1 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|1).
Es gilt dann ja: f(2) = 1,
also f(2) = a · ( 2 -1 ) · ( 2 -3 ) = -a =1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - ( x -1 ) ( x -3 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +3 ) · x sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-2).
Es gilt dann ja: f(-2) = -2,
also f(-2) = a · ( -2 +3 ) · ( -2 ) = -2a =-2.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x +3 ) x .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= ( x +3 ) x

= x · x + 3 · x

= x · x +3x

= x 2 +3x

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= x 2 +3x

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 5 x 2 +5x -10 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

5 x 2 +5x -10 = 0 |:5

x 2 + x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x +2 ) · ( x -1 ) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= 5 x 2 +5x -10 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a · ( x +2 ) · ( x -1 )

= a · ( x · x + x · ( -1 ) + 2 · x + 2 · ( -1 ) )

= a · ( x · x - x +2x -2 )

= a · ( x 2 + x -2 )

Für a = 5 ergibt sich also tatsächlich:

5( x 2 + x -2 ) = 5 x 2 +5x -10 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= 5 ( x +2 ) ( x -1 )