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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-1|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a= $- 1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- (x + 3) (x + 1)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $f(x) =$ $(x + 2) x$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|1).
Es gilt dann ja: f(-5)=1,
also f(-5)= $a \cdot (- 5 + 4) \cdot (- 5 + 2)$ = $3 a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{3} (x + 4) (x + 2)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0)=-1,
also f(0)= $a \cdot (0 + 1) \cdot (0 - 1)$ = $- a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$

= $x \cdot x + x \cdot (- 1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 1)$

= $x \cdot x - x + x - 1$

= $x^{2} - 1$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $x^{2} - 1$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 12 x - 9$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

- 3 x^{2} + 12 x - 9

= 0 |:3

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 12 x - 9$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 3) - 1 \cdot x - 1 \cdot (- 3))$

= $a \cdot (x \cdot x - 3 x - x + 3)$

= $a \cdot (x^{2} - 4 x + 3)$

Für a = -3 ergibt sich also tatsächlich:

$- 3 (x^{2} - 4 x + 3)$ = $- 3 x^{2} + 12 x - 9$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $f(x) =$ $- 3 (x - 1) (x - 3)$

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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)