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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine verschobene Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x \cdot (x - 2)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $x (x - 2)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 8$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Der Funktionterm $(x + 4) (x + 2)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $x^{2} + 6 x + 8$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $f(x) =$ $(x + 4) (x + 2)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(2|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x - 2) \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(1|-1).
Es gilt dann ja: f(1) = -1,
also f(1) = $a \cdot (1 - 2) \cdot (1 - 3)$ = $2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} (x - 2) (x - 3)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(0|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x \cdot (x - 3)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: f(-1) = -1,
also f(-1) = $a \cdot (- 1 \cdot (- 1 - 3))$ = $4 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{4}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x (x - 3)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4} x (x - 3)$

= $- \frac{1}{4} (x \cdot x + x \cdot (- 3))$

= $- \frac{1}{4} (x \cdot x - 3 x)$

= $- \frac{1}{4} (x^{2} - 3 x)$

= $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 20 x - 15$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

- 5 x^{2} - 20 x - 15

= 0 |:5

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4+2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{4-2}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$ genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $- 5 x^{2} - 20 x - 15$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x + 1)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot 1 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1)$

= $a \cdot (x \cdot x + x + 3 x + 3)$

= $a \cdot (x^{2} + 4 x + 3)$

Für a = -5 ergibt sich also tatsächlich:

$- 5 (x^{2} + 4 x + 3)$ = $- 5 x^{2} - 20 x - 15$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $f(x) =$ $- 5 (x + 3) (x + 1)$

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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):