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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-2|0) und N2(0|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +2 ) · x sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x +2 ) x .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -6x +5 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -6x +5 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 5 21

x1,2 = +6 ± 36 -20 2

x1,2 = +6 ± 16 2

x1 = 6 + 16 2 = 6 +4 2 = 10 2 = 5

x2 = 6 - 16 2 = 6 -4 2 = 2 2 = 1

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -5 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x 2 -6x +5 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= ( x -1 ) ( x -5 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +4 ) · ( x -1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|2).
Es gilt dann ja: f(-3) = 2,
also f(-3) = a · ( -3 +4 ) · ( -3 -1 ) = -4a =2.

Hieraus ergibt sich a= - 1 2 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - 1 2 ( x +4 ) ( x -1 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(0|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · x · ( x -2 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: f(-2) = 2,
also f(-2) = a · ( -2 · ( -2 -2 ) ) = 8a =2.

Hieraus ergibt sich a= 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 1 4 x ( x -2 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= 1 4 x ( x -2 )

= 1 4 ( x · x + x · ( -2 ))

= 1 4 ( x · x -2x )

= 1 4 ( x 2 -2x )

= 1 4 x 2 - 1 2 x

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= 1 4 x 2 - 1 2 x

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -4 x 2 +20x -16 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

-4 x 2 +20x -16 = 0 |:4

- x 2 +5x -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -5 ± 5 2 -4 · ( -1 ) · ( -4 ) 2( -1 )

x1,2 = -5 ± 25 -16 -2

x1,2 = -5 ± 9 -2

x1 = -5 + 9 -2 = -5 +3 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -5 - 9 -2 = -5 -3 -2 = -8 -2 = 4

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x -1 ) · ( x -4 ) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= -4 x 2 +20x -16 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a · ( x -1 ) · ( x -4 )

= a · ( x · x + x · ( -4 ) -1 · x -1 · ( -4 ) )

= a · ( x · x -4x - x +4 )

= a · ( x 2 -5x +4 )

Für a = -4 ergibt sich also tatsächlich:

-4( x 2 -5x +4 ) = -4 x 2 +20x -16 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= -4 ( x -1 ) ( x -4 )