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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +3 ) · ( x +1 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - ( x +3 ) ( x +1 ) .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -5x +4 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -5x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -4 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x 2 -5x +4 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= ( x -1 ) ( x -4 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-1|0) und N2(1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +1 ) · ( x -1 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-1).
Es gilt dann ja: f(0) = -1,
also f(0) = a · ( 0 +1 ) · ( 0 -1 ) = -a =-1.

Hieraus ergibt sich a=1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= ( x +1 ) ( x -1 ) .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

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Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(3|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a · ( x +3 ) · ( x -3 ) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|2).
Es gilt dann ja: f(-1) = 2,
also f(-1) = a · ( -1 +3 ) · ( -1 -3 ) = -8a =2.

Hieraus ergibt sich a= - 1 4 .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= - 1 4 ( x +3 ) ( x -3 ) .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= - 1 4 ( x +3 ) ( x -3 )

= - 1 4 ( x · x + x · ( -3 ) + 3 · x + 3 · ( -3 ))

= - 1 4 ( x · x -3x +3x -9 )

= - 1 4 ( x 2 -9 )

= - 1 4 x 2 + 9 4

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= - 1 4 x 2 + 9 4

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -2 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

2 x 2 -2 = 0 | +2
2 x 2 = 2 |:2
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

Für jedes a hat also der Funktionterm a · ( x +1 ) · ( x -1 ) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= 2 x 2 -2 .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a · ( x +1 ) · ( x -1 )

= a · ( x · x + x · ( -1 ) + 1 · x + 1 · ( -1 ) )

= a · ( x · x - x + x -1 )

= a · ( x 2 -1 )

Für a = 2 ergibt sich also tatsächlich:

2( x 2 -1 ) = 2 x 2 -2 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= 2 ( x +1 ) ( x -1 )