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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x+1) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= (x+3)(x+1).

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x2-2x-3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x2-2x-3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = +2±(-2)2-4·1·(-3)21

x1,2 = +2±4+122

x1,2 = +2±162

x1 = 2+162 = 2+42 = 62 = 3

x2 = 2-162 = 2-42 = -22 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-1)2-(-3) = 1+ 3 = 4

x1,2 = 1 ± 4

x1 = 1 - 2 = -1

x2 = 1 + 2 = 3

Der Funktionterm (x+1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x2-2x-3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist f(x)= (x+1)(x-3) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x+1) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: f(-2) = 1,
also f(-2) = a·(-2+3)·(-2+1) = -a=1.

Hieraus ergibt sich a=-1.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -(x+3)(x+1).

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(2|0).

Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x-2) sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|2).
Es gilt dann ja: f(-4) = 2,
also f(-4) = a·(-4+3)·(-4-2) = 6a=2.

Hieraus ergibt sich a=13.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 13(x+3)(x-2).

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

f(x)= 13(x+3)(x-2)

= 13(x·x+x·(-2)+3·x+3·(-2))

= 13(x·x-2x+3x-6)

= 13(x2+x-6)

= 13x2+13x-2

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= 13x2+13x-2

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x2+18x+24.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

3x2+18x+24 = 0 |:3

x2+6x+8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

x1,2 = -6±62-4·1·821

x1,2 = -6±36-322

x1,2 = -6±42

x1 = -6+42 = -6+22 = -42 = -2

x2 = -6-42 = -6-22 = -82 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = 32-8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = -3 ± 1

x1 = -3 - 1 = -4

x2 = -3 + 1 = -2

Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+4)·(x+2) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= 3x2+18x+24.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

f(x)= a·(x+4)·(x+2)

= a·(x·x+x·2+4·x+4·2)

= a·(x·x+2x+4x+8)

= a·(x2+6x+8)

Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:

3(x2+6x+8) = 3x2+18x+24 = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= 3(x+4)(x+2)