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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(3|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x - 1) \cdot (x - 3)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = $1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $(x - 1) (x - 3)$ .

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 1$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Der Funktionterm $(x + 1) (x - 1)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $x^{2} - 1$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $f(x) =$ $(x + 1) (x - 1)$ bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(4|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 4)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|2).
Es gilt dann ja: f(-2) = 2,
also f(-2) = $a \cdot (- 2 + 1) \cdot (- 2 - 4)$ = $6 a$ =2.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $\frac{1}{3} (x + 1) (x - 4)$ .

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot (x + 3) \cdot (x - 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-2).
Es gilt dann ja: f(-4) = -2,
also f(-4) = $a \cdot (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 2)$ = $6 a$ =-2.

Hieraus ergibt sich a= $- \frac{1}{3}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 2)$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$f(x) =$ $- \frac{1}{3} (x + 3) (x - 2)$

= $- \frac{1}{3} (x \cdot x + x \cdot (- 2) + 3 \cdot x + 3 \cdot (- 2))$

= $- \frac{1}{3} (x \cdot x - 2 x + 3 x - 6)$

= $- \frac{1}{3} (x^{2} + x - 6)$

= $- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + 2$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x + 2$

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 9$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

3 x^{2} - 6 x - 9

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$ genau die gleichen Nullstellen wie $f(x) =$ $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$f(x) =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 3)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 3) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 3))$

= $a \cdot (x \cdot x - 3 x + x - 3)$

= $a \cdot (x^{2} - 2 x - 3)$

Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:

$3 (x^{2} - 2 x - 3)$ = $3 x^{2} - 6 x - 9$ = f(x)

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $f(x) =$ $3 (x + 1) (x - 3)$

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Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)

Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Linearfakt. aus Term (a≠1)