Klasse 5-6
Klasse 7-8
Klasse 9-10
Kursstufe
cosh
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
Linearfaktordarst. am Graph (|a|=1)
Beispiel:
Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x+1) sein.
Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= (x+3)(x+1).
Linearfaktordarst. aus Term (|a|=1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x2-2x-3.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2-2x-3 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = +2±√(-2)2-4·1·(-3)2⋅1
x1,2 = +2±√4+122
x1,2 = +2±√162
x1 = 2+√162 = 2+42 = 62 = 3
x2 = 2-√162 = 2-42 = -22 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-1)2-(-3) = 1+ 3 = 4
x1,2 = 1 ± √4
x1 = 1 - 2 = -1
x2 = 1 + 2 = 3
Der Funktionterm (x+1)(x-3) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= x2-2x-3 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).
Also ist f(x)= (x+1)(x-3) bereits der gesuchte Term.
Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(-1|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x+1) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-2|1).
Es gilt dann ja: f(-2) = 1,
also f(-2) =
a·(-2+3)·(-2+1)
=
-a=1.
Hieraus ergibt sich a=-1.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= -(x+3)(x+1).
Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.
Beispiel:
Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-3|0) und N2(2|0).
Also muss der Funktionsterm f(x)= a·(x+3)·(x-2) sein.
Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert
ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B.
P(-4|2).
Es gilt dann ja: f(-4) = 2,
also f(-4) =
a·(-4+3)·(-4-2)
=
6a=2.
Hieraus ergibt sich a=13.
Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit f(x)= 13(x+3)(x-2).
Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:
f(x)= 13(x+3)(x-2)
= 13(x·x+x·(-2)+3·x+3·(-2))
= 13(x·x-2x+3x-6)
= 13(x2+x-6)
= 13x2+13x-2
Der gesuchte Funktionsterm in der Form f(x) = ax² + bx + c ist somit f(x)= 13x2+13x-2
Linearfakt. aus Term (a≠1)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 3x2+18x+24.
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.
Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.
x2+6x+8 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
x1,2 = -6±√62-4·1·82⋅1
x1,2 = -6±√36-322
x1,2 = -6±√42
x1 = -6+√42 = -6+22 = -42 = -2
x2 = -6-√42 = -6-22 = -82 = -4
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = 32-8 = 9 - 8 = 1
x1,2 = -3 ± √1
x1 = -3 - 1 = -4
x2 = -3 + 1 = -2
Für jedes a hat also der Funktionterm a·(x+4)·(x+2) genau die gleichen Nullstellen wie f(x)= 3x2+18x+24.
Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:
f(x)= a·(x+4)·(x+2)
= a·(x·x+x·2+4·x+4·2)
= a·(x·x+2x+4x+8)
= a·(x2+6x+8)
Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:
3(x2+6x+8) = 3x2+18x+24 = f(x)
Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: f(x)= 3(x+4)(x+2)