Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

8² + 6² = a²

64 + 36 = a²

100 = a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

10 = a

Die gesuchte Länge ist somit a = 10 mm.

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

20² + b² = 29²

400 + b² = 841 | - 400

b² = 441 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

b = 21

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

85² + c² = 94²

7225 + c² = 8836 | - 7225

c² = 1611 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

c ≈ 40.14

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

81² + b² = 96²

6561 + b² = 9216 | - 6561

b² = 2655 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

b ≈ 51.53

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

A + 5² = 41

A + 25 = 41 | - 25

A = 16

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 16 mm².

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

48² + a² = 73²

2304 + a² = 5329 | - 2304

a² = 3025 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = 55

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 55 cm ⋅ 48 cm

also A = 1320 cm²

Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 4.5 cm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

4.5² + h² = 10²

20.25 + h² = 100 | - 20.25

h² = 79.75 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

h = $\sqrt{\mathrm{79.75}}$ ≈ 8.93

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 8.93 cm.

Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

9² + 7² = d²

81 + 49 = d²

130 = d² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

d = $\sqrt{\mathrm{130}}$ ≈ 11.4

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 11.4 mm.

Für den Flächeninhalt im Dreieck gilt: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ c ⋅ h_c

In unserem Fall also:

27 = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 ⋅ h = 3 ⋅ h |:3

9 = h

Wenn wir jetzt nur das rechte Teildreieck anschauen, können wir mit dem Satz des Pythagoras die Länge der beiden gleichlangen Schenkel a berechnen:

a² = 3² + 9²

a² = 9 + 81

a² = 90| $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{90}}$ ≈ 9.49

Somit gilt für den Umfang U ≈ 9.49 mm + 9.49 mm + 6 mm = 24.97 mm

Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 34=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 13²

vereinfacht

I: 17=a + b

II: a² + b² = 169

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 17 - a

II: a² + b² = 169

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (17 - a)² = 169

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^2+a^2-34a+289$	=	$169$
$2a^2-34a+289$	=	$169$	| $-169$

$2a^2-34a+120$ = 0 |:2

$a^2-17a+60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a_1,2 =

a_1,2 =

a_1,2 =

a₁ = $\frac{17+\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

a₂ = $\frac{17-\sqrt{49}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>17</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 17 = 12 + 5

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 12 m ⋅ 5 m = 60 m²

Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 3 - 2 = 1

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 5 - ( - 5 ) = 10

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 1² + 10²

d² = 1 + 100

d² = 101

d = $\sqrt{\mathrm{101}}$ ≈ 10.05

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 10.05

Es gilt:

6371000² + k1² = 6371061²

40589641000000 + k1² = 40590418265721 |-40589641000000

k1² = 777265721 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k1 ≈ 27879.49

Somit gilt für die gesuchte Kathete:
k1 ≈ 27879.49m