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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Beispiel:

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Berechne die Länge der Hypotenuse.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

62 + 82 = a2

36 + 64 = a2

100 = a2 |

10 = a

Die gesuchte Länge ist somit a = 10 m.

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

802 + a2 = 822

6400 + a2 = 6724 | - 6400

a2 = 324 |

a = 18

Pythagoras mit reellen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

382 + a2 = 632

1444 + a2 = 3969 | - 1444

a2 = 2525 |

a ≈ 50.25

Pythagoras (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten mit c = 81 cm und a = 59 cm gegeben. Berechne die Länge der Hypotenuse.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

812 + 592 = b2

6561 + 3481 = b2

10042 = b2 |

100.21 ≈ b

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

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Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

49 + 82 = A

49 + 64 = A

113 = A

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 113 cm2.

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

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Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

82 + b2 = 172

64 + b2 = 289 | - 64

b2 = 225 |

b = 15

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = 1 2 ⋅ 15 mm ⋅ 8 mm

also A = 60 mm2

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge h im abgebildeten Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 6 cm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

62 + h2 = 102

36 + h2 = 100 | - 36

h2 = 64 |

h = 64 ≈ 8

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 8 cm.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem Rechteck sind die beiden Seitenlängen mit a=11 cm und b=7 cm gegeben. Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

112 + 72 = d2

121 + 49 = d2

170 = d2 |

d = 170 ≈ 13.04

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 13.04 cm.

Pythagoras rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d=9 mm Berechne den Umfang dieses Quadrats.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Länge der Diagonalen eines Quadrats in Abhängigkeit von der Kantenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

a2 + a2 = d2

2a2 = d2 |

also gilt d= 2a² = 2 ⋅ a

oder eben a = d 2

Somit gilt in unserem Fall: a = 9 2 ≈ 6.364

Für den Umfang gilt dann: U = 4 ⋅ a ≈ 4 ⋅ 6.364 mm ≈ 25.46 mm

Pythagoras rückwärts (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=20 m und dem Umfang 56 m.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a2 + b2 = d2

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 56=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a2 + b2 = 202

vereinfacht

I: 28=a + b

II: a2 + b2 = 400

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 28 - a

II: a2 + b2 = 400

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a2 + (28 - a)2 = 400

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

a 2 + a 2 -56a +784 = 400
2 a 2 -56a +784 = 400 | -400
2 a 2 -56a +384 = 0 |:2

a 2 -28a +192 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a1,2 = +28 ± ( -28 ) 2 -4 · 1 · 192 21

a1,2 = +28 ± 784 -768 2

a1,2 = +28 ± 16 2

a1 = 28 + 16 2 = 28 +4 2 = 32 2 = 16

a2 = 28 - 16 2 = 28 -4 2 = 24 2 = 12

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 28 = 16 + 12

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 16 m ⋅ 12 m = 192 m2

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(-3|4) und B(-4|-5) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = -3 - ( - 4 ) = 1

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 4 - ( - 5 ) = 9

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d2 = 12 + 92

d2 = 1 + 81

d2 = 82

d = 82 ≈ 9.06

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 9.06

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein 7m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 8m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 11m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?

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Im ersten Dreieck gilt:

72 + k12 = 82

49 + k12 = 64 |-49

k12 = 15 |

k1 ≈ 3.87

Im zweiten Dreieck gilt:

72 + k22 = 112

49 + k22 = 121 |-49

k22 = 72 |

k2 ≈ 8.49

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 12.36m