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Hypothenuse bestimmen (mit Pyth.)

Beispiel:

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Berechne die Länge der Hypotenuse.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Katheten (also die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

152 + 82 = b2

225 + 64 = b2

289 = b2 |

17 = b

Die gesuchte Länge ist somit b = 17 m.

Pythagoras mit ganzen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

132 + a2 = 852

169 + a2 = 7225 | - 169

a2 = 7056 |

a = 84

Pythagoras mit reellen Zahlen

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge im abgebildeten rechtwinkligen Dreieck.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

812 + b2 = 842

6561 + b2 = 7056 | - 6561

b2 = 495 |

b ≈ 22.25

Pythagoras (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Länge einer Kathete c = 75 mm und die Länge der Hypotenuse b = 86 mm gegeben. Berechne die Länge der anderen Kathete.

Runde auf zwei Stellen nach dem Komma.

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Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

752 + a2 = 862

5625 + a2 = 7396 | - 5625

a2 = 1771 |

a ≈ 42.08

Quadrate über rechtwinkl. Dreieck

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt der roten Fläche A.

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Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

49 + A = 92

49 + A = 81 | - 49

A = 32

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 32 m2.

Flächeninhalt eines rechtwinkl. Dreiecks

Beispiel:

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Berechne den Flächeninhalt des abgebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

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Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

82 + b2 = 102

64 + b2 = 100 | - 64

b2 = 36 |

b = 6

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = 1 2 ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm

also A = 24 cm2

Pythagoras im Rechteck und Dreieck

Beispiel:

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Berechne die fehlende Länge h im abgebildeten Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 5 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke h berechnen.

52 + h2 = 72

25 + h2 = 49 | - 25

h2 = 24 |

h = 24 ≈ 4.9

Die gesuchte Länge ist somit h ≈ 4.9 mm.

Pyth. im Rechteck und Dreieck (ohne Skizze)

Beispiel:

In einem Rechteck sind die beiden Seitenlängen mit a=11 mm und b=9 mm gegeben. Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke d berechnen.

112 + 92 = d2

121 + 81 = d2

202 = d2 |

d = 202 ≈ 14.21

Die gesuchte Länge ist somit d ≈ 14.21 mm.

Pythagoras rückwärts

Beispiel:

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit dem Flächeninhalt A=39 cm2 Berechne die Seitenlänge a dieses gleichseitigen Dreieck.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Höhe im gleichseitigen Dreieck in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

( 1 2 a ) 2 + h2 = a2

4 + h2 = a2 | - 4

h2 = 3 4 a2 |

h = 3 4 = 3 2 a

Für den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks gilt dann:

A = 1 2 ⋅ a ⋅ h = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a = 3 4 a2

Somit gilt in unserem Fall:

39 = 3 4 a2 | ⋅ 4 3

90.067 ≈ a2 |

Wenn man nun auf beiden Seiten die Wurzel zieht erhält man für die Seitenlänge a :

a ≈ 90.067 cm ≈ 9.49 cm

Pythagoras rückwärts (schwer)

Beispiel:

Gegeben ist ein Rechteck mit der Diagonalenlänge d=41 m und dem Umfang 98 m.

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks.

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Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a2 + b2 = d2

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 98=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a2 + b2 = 412

vereinfacht

I: 49=a + b

II: a2 + b2 = 1681

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 49 - a

II: a2 + b2 = 1681

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a2 + (49 - a)2 = 1681

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

a 2 + a 2 -98a +2401 = 1681
2 a 2 -98a +2401 = 1681 | -1681
2 a 2 -98a +720 = 0 |:2

a 2 -49a +360 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

a1,2 = +49 ± ( -49 ) 2 -4 · 1 · 360 21

a1,2 = +49 ± 2401 -1440 2

a1,2 = +49 ± 961 2

a1 = 49 + 961 2 = 49 +31 2 = 80 2 = 40

a2 = 49 - 961 2 = 49 -31 2 = 18 2 = 9

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 49 = 40 + 9

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 40 m ⋅ 9 m = 360 m2

Abstand zweier Punkte

Beispiel:

Berechne den Abstand der beiden Punkte A(3|-5) und B(-1|-3) im Koordinatensystem.

Runde das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen.

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Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 3 - ( - 1 ) = 4

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = -3 - ( - 5 ) = 2

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d2 = 42 + 22

d2 = 16 + 4

d2 = 20

d = 20 ≈ 4.47

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 4.47

Anwendungen Pythagoras

Beispiel:

Ein Kegel ist 50 cm hoch. Sein Grundkreis hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie lang ist die Strecke von einem Punkt auf dem Grundkreis zur Spitze?

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Es gilt:

102 + 502 =h2

100 +2500 = h2

2600 = h2 |

50.99 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 50.99cm