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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 105° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

105° sind aber nur ein $\frac{105°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 105° auch nur $\frac{105°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{105}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{105°}{180°}$ ⋅π = $\frac{21}{36}$ ⋅π = $\frac{7}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $2$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$2$ π entspricht also dem Gradmaß $2$ ⋅180° = 360°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 0.4 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

0.4 = $\frac{0.4}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{0.4}{π}$ ⋅180° ≈ 22.9°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $\frac{7}{2} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$\frac{7}{2} π$ bedeutet $\frac{7}{4}$ eines Kreises, also $\frac{7}{4}$ von 360° = 630°.

Da dieser Winkel > 2π ist, kann man diesen einfach als 630° = 270° + 360° schreiben kann. Das bedeutet, dass man bei 630° wieder an der gleichen Stelle im Einheitskreis ist wie bei 270°.

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $\frac{7}{2} π$ ) bzw. für sin(630°) ablesen:

sin( $\frac{7}{2} π$ ) bzw. sin(630°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $\frac{7}{2} π$ °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = $- \frac{1}{12}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $- \frac{1}{12}$ π. Dazu addieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) zum gegebenen Winkel: $- \frac{1}{12}$ π + $\frac{24}{12}$ π = $\frac{23}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{23}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = π - x₁, also π - $\frac{23}{12}$ π = $- \frac{11}{12}$ π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{11}{12}$ π einfach $- \frac{11}{12}$ π + 2 π = $\frac{13}{12}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{23}{12}$ π und x₂ = $\frac{13}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $- \frac{1}{12}$ π als $- \frac{1}{12}$ ⋅ 180° = -15° ins Gradmaß um und addieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 345°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 345° als negativen Winkel 345° -360° = -15° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-15°) = -165°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -165° + 360° = 195°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{23}{12}$ π und x₂ = $\frac{13}{12}$ π

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)