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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 540° im Bogenmaß x an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

540° sind aber nur ein 540° 360° Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 540° auch nur 540° 360° ⋅ 2π = 540 180 ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = 540° 180° ⋅π = 18 6 ⋅π = 3⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = 7 3 π im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

7 3 π entspricht also dem Gradmaß 7 3 ⋅180° = 420°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 4.2 im Gradmaß α an.

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Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

4.2 = 4.2 π ⋅π entspricht also dem Gradmaß 4.2 π ⋅180° ≈ 240.6°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

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Bestimme näherungsweise sin( - 1 2 π ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

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- 1 2 π bedeutet - 1 4 eines Kreises, also - 1 4 von 360° = -90°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -90° + 360° = 270°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( - 1 2 π ) bzw. für sin(-90°) ablesen:

sin( - 1 2 π ) bzw. sin(-90°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( - 1 2 π °) ≈ -1

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Sinuswert haben wie x = 10 3 π.

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canvas

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie 10 3 π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= 6 3 π) vom gegebenen Winkel: 10 3 π - 6 3 π = 4 3 π.

Somit gilt x1 = 4 3 π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Sinus-Werten symmetrisch bezüglich der y-Achse liegen, so dass man also x2 einfach als x2 = π - x1, also π - 4 3 π = - 1 3 π berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt - 1 3 π einfach - 1 3 π + 2 π = 5 3 π für x2.

Somit gilt: x1 = 4 3 π und x2 = 5 3 π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel 10 3 π als 10 3 ⋅ 180° = 600° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 240°.

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Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Sinuswert (grüner senkrechter Strich) symmetrisch zur y-Achse liegen.

Wenn wir jetzt den (braunen) Ausgangswinkel 240° als negativen Winkel 240° -360° = -120° sehen, (also im Uhrzeigersinn unten rum), dann sehen wir, dass sich der gespiegelte (pinke) Winkel - im Uhrzeigersinn unten rum - mit dem Ausgangswinkel zu 180° ergänzt. Wir können also hier einfach -180°- den gegebenen Winkel rechnen, um auf den Winkel mit dem gleichen Sinuswert zu kommen: hier also

β = -180° - (-120°) = -60°

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -60° + 360° = 300°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x1 = 4 3 π und x2 = 5 3 π