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Winkel im Bogenmaß angeben

Beispiel:

Gib den Winkel α = 75° im Bogenmaß x an.

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

75° sind aber nur ein $\frac{75°}{360°}$ Kreis, also ist die gesuchte Bogenlänge x zu 75° auch nur $\frac{75°}{360°}$ ⋅ 2π = $\frac{75}{180}$ ⋅ π.

Jetzt müssen wir nur noch kürzen:

x = $\frac{75°}{180°}$ ⋅π = $\frac{15}{36}$ ⋅π = $\frac{5}{12}$ ⋅π

vom Bogenmaß ins Gradmaß

Beispiel:

Gib den Winkel x = $\frac{1}{6}$ π im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π dem Gradmaß 180°.

$\frac{1}{6}$ π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1}{6}$ ⋅180° = 30°

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

Beispiel:

Gib den Winkel x = 1.6 im Gradmaß α an.

Lösung einblenden

Die Bogenlänge eines vollen Einheitskreises beträgt 2π⋅r, also 2π⋅1 = 2π und entschpricht somit 360°.

Somit entspricht die Bogenlänge π ≈ 3,14 dem Gradmaß 180°.

1.6 = $\frac{1.6}{π}$ ⋅π entspricht also dem Gradmaß $\frac{1.6}{π}$ ⋅180° ≈ 91.7°

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

Beispiel:

Bestimme näherungsweise sin( $- \frac{1}{3} π$ ).

Auf dem Einheitskreis rechts kann man mit der Maus (Finger) Winkel einzeichen

Lösung einblenden

$- \frac{1}{3} π$ bedeutet $- \frac{1}{6}$ eines Kreises, also $- \frac{1}{6}$ von 360° = -60°.

Bei negativen Winkel muss man einfach in die andere Richtung, also im Urzeigersinn, im Einheitskreis vorgehen. Dabei landet man dann natürlich wieder an der gleichen Stelle wie bei -60° + 360° = 300°

Am Einheitskreis kann man den Wert für sin( $- \frac{1}{3} π$ ) bzw. für sin(-60°) ablesen:

sin( $- \frac{1}{3} π$ ) bzw. sin(-60°) ist der y-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der grünen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (orange) waagrechte Linie zur y-Aches verfolgt:

sin( $- \frac{1}{3} π$ °) ≈ -0.87

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)

Beispiel:

Gib die beiden Winkel zwischen 0 und 2π an, die den gleichen Kosinuswert haben wie x = $\frac{35}{12}$ π.

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir den Winkel zwischem 0 und 2π, der im Einheitskreis an der selben Stelle steht wie $\frac{35}{12}$ π. Dazu subtrahieren wir einfach 2π (= $\frac{24}{12}$ π) vom gegebenen Winkel: $\frac{35}{12}$ π - $\frac{24}{12}$ π = $\frac{11}{12}$ π.

Somit gilt x₁ = $\frac{11}{12}$ π.

Die andere Stelle muss nun an einer anderen Stelle im Einheitskreis liegen.

Wie beim Gradmaß erkennt man auch hier, dass die beiden Winkel mit gleichen Kosinuns-Werten symmetrisch bezüglich der x-Achse liegen, so dass man also x₂ einfach als x₂ = - x₁ berechnen kann.

Weil ja aber auch der zweite Winkel zwischen 0 und 2π liegen muss, nehmen wir statt $- \frac{11}{12}$ π einfach $- \frac{11}{12}$ π + 2 π = $\frac{13}{12}$ π für x₂.

Somit gilt: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{13}{12}$ π und

Theoreitsch kann man aber auch den Umweg über das Gradmaß gehen.
Dazu rechnet man dann zuerst mal den Winkel $\frac{35}{12}$ π als $\frac{35}{12}$ ⋅ 180° = 525° ins Gradmaß um und subtrahieren 360° um den Winkel zwischem 0° und 360° zu bekommen. Es gilt also = 165°.

Man erkennt am Schaubild rechts, dass die beiden Winkel mit dem gleichen Kosinuswert (oranger waagrechter Strich) symmetrisch zur x-Achse liegen.

Wenn man also den (braunen) Ausgangswinkel 165° an der x-Achse spiegelt, erhält man doch einfach den negativen Winkel -165°, also eben in die falsche Richtung gedreht: mit dem Uhrzeiger und unten rum.

Da wir ja aber einen positiven Winkel suchen, müssen wir eben wieder eine volle Umdrehung draufaddieren:

β = -165° + 360° = 195°

Wenn man nun α und β wieder ins Bogenmaß umrechnet, erhält man die beiden Lösungen: x₁ = $\frac{11}{12}$ π und x₂ = $\frac{13}{12}$ π

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Winkel im Bogenmaß angeben

vom Bogenmaß ins Gradmaß

vom Bogenmaß ins Gradmaß (WTR)

sin, cos Einheitskreis (Bogenmaß)

gleiche sin- oder cos-Werte (Bogenmaß)