Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{8}$

= $x^{7 + 8}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{5}}{3^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{5}}{3^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{5}}{3^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3

= $27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{5}}{3^{2}}$

= $3^{5 - 2}$

= $3^{3}$

= $27$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{2}}{3 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{2}}{3 x^{7}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{2}}{3 \cdot x^{7}}$ = $- 3 \frac{x^{2}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{2 - 7}$

= $- 3 x^{- 5}$

= $- \frac{3}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{- 3} \cdot 8 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$8 x^{- 3} \cdot 8 x^{- 5}$ = $8 \cdot x^{- 3} \cdot 8 \cdot x^{- 5}$ = $64 x^{- 3} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $64$ $x^{- 3 + (- 5)}$

= $64 x^{- 8}$

= $\frac{64}{x^{8}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{2}}{x^{2}} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{2}}{x^{2}} - 3 x^{2}$

= $\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{x^{2}} - 3 x^{2}$

= $x^{2} + 1 - 3 x^{2}$

= $- 2 x^{2} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{3}{10})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{3}{10})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{3}{10})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2}}}$

= ${(\frac{3}{10})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{3}{10} \cdot \frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{3}{10} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{3}{10} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{2}{5})}^{2}$

= $\frac{4}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{2}$

= $x^{6 \cdot 2}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 3^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 3^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(3^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 3^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(3^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 9^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{4}}{2^{- 4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{4}}{2^{- 4}}$

= $5^{4} \cdot 2^{4}$

= ${(5 \cdot 2)}^{4}$

= $10^{4}$

= $10 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{6} \cdot 14 + 7^{7} \cdot 5}{7^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{6} \cdot 14 + 7^{7} \cdot 5}{7^{7}}$

= $\frac{7^{6} \cdot 2 \cdot 7 + 7^{7} \cdot 5}{7^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot 2 + 7^{7} \cdot 5}{7^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (2 + 5)}{7^{7}}$

= $2 + 5$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}}$

= $\frac{1}{x - 4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln