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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{9}$

= $x^{4 + 9}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{4}}{10^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{4}}{10^{- 3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{4}}{10^{- 3}}$

= $10^{4} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{4} \cdot 10^{3}$

= 10 · 10 · 10 · 10·10 · 10 · 10

= $10 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{4}}{10^{- 3}}$

= $10^{4} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{4} \cdot 10^{3}$

= $10^{4 + 3}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{2} \cdot 7 x^{3}$

Lösung einblenden

$4 x^{2} \cdot 7 x^{3}$ = $4 \cdot x^{2} \cdot 7 \cdot x^{3}$ = $28 x^{2} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $28$ $x^{2 + 3}$

= $28 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{6}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{6}}{2 x^{5}}$ = $\frac{2 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{5}}$ = $\frac{x^{6}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{6 - 5}$

= $x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x + x^{4}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x + x^{4}}{x^{2}}$

= $3 x^{2} + (\frac{x}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}})$

= $3 x^{2} + {(x)}^{- 1} + x^{2}$

= $4 x^{2} + x^{- 1}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{15^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{15^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $4^{2}$ ⋅ $4^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $4^{2} \cdot 4^{2}$

= $4 \cdot 4$ ⋅ $4 \cdot 4$

= $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$

= ${(4 \cdot 4)}^{2}$

= $16^{2}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{6}$

= $x^{3 \cdot 6}$

= $x^{18}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(6 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(6 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $36 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $36 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $36 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{3} \cdot \frac{19^{5}}{38^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $19$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $38$ ) ist.
Wenn man nun die $19^{5}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{3} \cdot \frac{19^{5}}{38^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 19^{5}}{38^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 19^{3 + 2}}{38^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 19^{3} \cdot 19^{2}}{38^{3}}$

= $\frac{{(2 \cdot 19)}^{3}}{38^{3}} \cdot 19^{2}$

= $\frac{38^{3}}{38^{3}} \cdot 19^{2}$

= $361$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{6} \cdot 20 - 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 5 ⋅ 4 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{6} \cdot 20 - 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{6} \cdot 5 \cdot 4 - 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 5 - 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot (5 - 2)}{4^{7}}$

= $5 - 2$

= $3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{5}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{5}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{5}}$

= $\frac{{((x - 4) \cdot (x + 4))}^{5}}{{({(x - 4)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{5} \cdot {(x + 4)}^{5}}{{(x - 4)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 4)}^{5}}{{(x - 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{5}}{{(x - 4)}^{5}}$

= ${(\frac{x + 4}{x - 4})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln