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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{6}$

= $x^{3 + 6}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{2}}{2^{- 1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{2}}{2^{- 1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{2}}{2^{- 1}}$

= $2^{2} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{2} \cdot 2$

= 2 · 2·2

= $8$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{2}}{2^{- 1}}$

= $2^{2} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{2} \cdot 2$

= $2^{2 + 1}$

= $2^{3}$

= $8$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{4}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{4}}{2 x^{8}}$ = $\frac{4 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{8}}$ = $2 \frac{x^{4}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{4 - 8}$

= $2 x^{- 4}$

= $\frac{2}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{- 6} \cdot 8 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{- 6} \cdot 8 x^{- 9}$ = $(- 9 \cdot x^{- 6}) \cdot 8 \cdot x^{- 9}$ = $- 72 x^{- 6} \cdot x^{- 9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 72$ $x^{- 6 + (- 9)}$

= $- 72 x^{- 15}$

= $- \frac{72}{x^{15}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6} + x^{4}}{x^{3}} - 5 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{6} + x^{4}}{x^{3}} - 5 x$

= $\frac{x^{6}}{x^{3}} + \frac{x^{4}}{x^{3}} - 5 x$

= $x^{3} + x - 5 x$

= $x^{3} - 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{4}{9})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{4}{9})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $25 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $25 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $25 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 2} \cdot 10^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 2} \cdot 10^{2}$

= $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{4} + 3 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{4} + 3 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{4} + 3 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{5} + 3 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{(5 + 3) \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $5 + 3$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x - 5) \cdot (2 x + 5))}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4} \cdot {(2 x + 5)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x + 5)}^{4}}{1}$

= ${(2 x + 5)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln