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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{5}}$

= $x^{3 - 5}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 4)}^{5}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 4)}^{5}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 5}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 4)}^{5} \cdot (\frac{1}{{(- 4)}^{5}})$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 4)}^{5}$ ⋅ ${(- 4)}^{- 5}$

= ${(- 4)}^{5 - 5}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{6} \cdot 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$6 x^{6} \cdot 3 x^{3}$ = $6 \cdot x^{6} \cdot 3 \cdot x^{3}$ = $18 x^{6} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $18$ $x^{6 + 3}$

= $18 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 4}}{2 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 4}}{2 x^{- 5}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 4}}{2 \cdot x^{- 5}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 4}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 4 - (- 5)}$

= $\frac{1}{2} x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(1 + x^{8}) \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

$(1 + x^{8}) \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $1 \cdot x^{5} + x^{8} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $x^{5} + x^{13} - 5 x^{5}$

= $x^{13} - 4 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{20^{2}}{4^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{20^{2}}{4^{2}}$

= $\frac{20 \cdot 20}{4 \cdot 4}$

= $\frac{20}{4} \cdot \frac{20}{4}$

= ${(\frac{20}{4})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 3}}{2^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 3}}{2^{3}}$

= $\frac{1}{5^{3}} \cdot \frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{10^{3}}$

= $\frac{1}{1000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 3^{5} + 5^{5} \cdot 3^{7}}{15^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (15 = 3 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 3^{5} + 5^{5} \cdot 3^{7}}{15^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{{(5 \cdot 3)}^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{5^{5} \cdot 3^{5}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{7}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{2})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 9}{1}$

= $10$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{({(x - 4)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln