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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{4}}$

= $x^{3 - 4}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{3}}{10^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{3}}{10^{- 2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{3}}{10^{- 2}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 2}}$

= $10^{3} \cdot 10^{2}$

= 10 · 10 · 10·10 · 10

= $100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{3}}{10^{- 2}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 2}}$

= $10^{3} \cdot 10^{2}$

= $10^{3 + 2}$

= $10^{5}$

= $100 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{2} \cdot 7 x^{9}$

Lösung einblenden

$6 x^{2} \cdot 7 x^{9}$ = $6 \cdot x^{2} \cdot 7 \cdot x^{9}$ = $42 x^{2} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $42$ $x^{2 + 9}$

= $42 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 6}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 6}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $2 \frac{x^{- 6}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 6 - (- 9)}$

= $2 x^{3}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x^{4} + x}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x^{4} + x}{x^{2}}$

= $3 x^{2} + (\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}})$

= $3 x^{2} + x^{2} + {(x)}^{- 1}$

= $4 x^{2} + x^{- 1}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

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Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$4^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(4 \cdot 7)}^{x}$

= $28^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{2^{11}}{2^{11}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{2^{11}}{2^{11}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2}$

= ${(\frac{2}{2})}^{11}$

= $1^{11}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

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Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{6}$

= $x^{4 \cdot 6}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(2^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 2^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(2^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 4^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

= $5^{9} \cdot 2^{9}$

= ${(5 \cdot 2)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{5} \cdot 3^{3} + 4^{5} \cdot 3^{7}}{12^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 3 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{5} \cdot 3^{3} + 4^{5} \cdot 3^{7}}{12^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot (3^{3} + 3^{7})}{{(4 \cdot 3)}^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot (3^{3} + 3^{7})}{4^{5} \cdot 3^{5}}$

= $\frac{3^{3} + 3^{7}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{3} \cdot (1 + 3^{4})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{2}}$

= $\frac{82}{9}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{{({(x + 2)}^{2})}^{3}}{{((x + 2) \cdot (x - 2))}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{6}}{{(x + 2)}^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{1 \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{3}}$

= ${(\frac{x + 2}{x - 2})}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln