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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{2}}$

= $x^{8 - 2}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 2)}^{3}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 2)}^{3}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 10}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 2)}^{3} \cdot (\frac{1}{{(- 2)}^{10}})$

= $\frac{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $\frac{1}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $- \frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 2)}^{3}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 10}$

= ${(- 2)}^{3 - 10}$

= ${(- 2)}^{- 7}$

= $\frac{1}{{(- 2)}^{7}}$

= $- \frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{9}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{9}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{5}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{5 - 9}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 4}$

= $- \frac{5}{2 x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{7}}{4 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{7}}{4 x^{- 7}}$ = $\frac{8 \cdot x^{7}}{4 \cdot x^{- 7}}$ = $2 \frac{x^{7}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{7 - (- 7)}$

= $2 x^{14}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(1 + x^{4}) \cdot x^{4} - 5 x^{4}$

Lösung einblenden

$(1 + x^{4}) \cdot x^{4} - 5 x^{4}$

= $1 \cdot x^{4} + x^{4} \cdot x^{4} - 5 x^{4}$

= $x^{4} + x^{8} - 5 x^{4}$

= $x^{8} - 4 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{21^{2}}{7^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{21^{2}}{7^{2}}$

= $\frac{21 \cdot 21}{7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{3})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{3 \cdot 4}$

= $16 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{- 2} \cdot 2^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{- 2} \cdot 2^{2}$

= $\frac{2^{2}}{6^{2}}$

= ${(\frac{2}{6})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 3 + 7^{3} \cdot 3^{3}}{21^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 3 + 7^{3} \cdot 3^{3}}{21^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (3 + 3^{3})}{{(7 \cdot 3)}^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (3 + 3^{3})}{7^{3} \cdot 3^{3}}$

= $\frac{3 + 3^{3}}{3^{3}}$

= $\frac{3 \cdot (1 + 3^{2})}{3^{3}}$

= $\frac{1 + 9}{3^{2}}$

= $\frac{10}{9}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{32 {(x + 2)}^{5}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{32 {(x + 2)}^{5}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}$

= $\frac{32 {(x + 2)}^{5}}{4^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}{2^{10} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{32 {({(x + 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{32 {(x + 2)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln