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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{3}}$

= $x^{6 - 3}$

= $x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{7}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{7}}{2^{3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{7}}{2^{3}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= 2 · 2 · 2 · 2

= $16$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{7}}{2^{3}}$

= $2^{7 - 3}$

= $2^{4}$

= $16$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{5}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{5}}{2 x^{3}}$ = $\frac{6 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{3}}$ = $3 \frac{x^{5}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{5 - 3}$

= $3 x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 6}}{2 x^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 6}}{2 x^{- 3}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 3}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 6}}{x^{- 3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 6 - (- 3)}$

= $\frac{1}{2} x^{- 3}$

= $\frac{1}{2 x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 + (x^{3} + x^{- 5}) \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

$- 3 + (x^{3} + x^{- 5}) \cdot x^{5}$

= $- 3 + (x^{3} \cdot x^{5} + x^{- 5} \cdot x^{5})$

= $- 3 + x^{8} + 1$

= $x^{8} - 2$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{12^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{12}{4})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{3}$ ⋅ $2^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{3} \cdot 2^{3}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 2} \cdot 20^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 2} \cdot 20^{2}$

= $\frac{20^{2}}{4^{2}}$

= ${(\frac{20}{4})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{4} \cdot 2^{2} + 5^{4} \cdot 2^{6}}{10^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{4} \cdot 2^{2} + 5^{4} \cdot 2^{6}}{10^{4}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (2^{2} + 2^{6})}{{(5 \cdot 2)}^{4}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (2^{2} + 2^{6})}{5^{4} \cdot 2^{4}}$

= $\frac{2^{2} + 2^{6}}{2^{4}}$

= $\frac{2^{2} \cdot (1 + 2^{4})}{2^{4}}$

= $\frac{1 + 16}{2^{2}}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x - 1)}^{6}}{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x - 1)}^{6}}{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{6}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{6}}{{(2 x - 1)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln