Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{9}$

= $x^{6 + 9}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{5}$ ⋅ $4^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{5}$ ⋅ $4^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{5} \cdot \frac{1}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $4$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{5}$ ⋅ $4^{- 4}$

= $4^{5 - 4}$

= $4$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{3} \cdot 2 x^{7}$

Lösung einblenden

$2 x^{3} \cdot 2 x^{7}$ = $2 \cdot x^{3} \cdot 2 \cdot x^{7}$ = $4 x^{3} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $4$ $x^{3 + 7}$

= $4 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{- 3} \cdot 4 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{- 3} \cdot 4 x^{- 5}$ = $(- 4 \cdot x^{- 3}) \cdot 4 \cdot x^{- 5}$ = $- 16 x^{- 3} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 16$ $x^{- 3 + (- 5)}$

= $- 16 x^{- 8}$

= $- \frac{16}{x^{8}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 3 x^{4}$

= $81 x^{4} - 3 x^{4}$

= $78 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{9}{40})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{9}{40})}^{3} \cdot {(\frac{4}{3})}^{3}$

= $\frac{9}{40} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{9}{40}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{9}{40} \cdot \frac{4}{3})}^{3}$

= ${(\frac{3}{10})}^{3}$

= $\frac{27}{1000}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{2}$

= $x^{4 \cdot 2}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{4 \cdot 6}$

= $64 x^{24}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{6} \cdot 2^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{6} \cdot 2^{- 6}$

= $\frac{4^{6}}{2^{6}}$

= ${(\frac{4}{2})}^{6}$

= $2^{6}$

= $64$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2^{5} \cdot 4^{6} + 2^{8} \cdot 4^{6}}{8^{6}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (8 = 2 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2^{5} \cdot 4^{6} + 2^{8} \cdot 4^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{(2^{5} + 2^{8}) \cdot 4^{6}}{{(2 \cdot 4)}^{6}}$

= $\frac{(2^{5} + 2^{8}) \cdot 4^{6}}{2^{6} \cdot 4^{6}}$

= $\frac{2^{5} + 2^{8}}{2^{6}}$

= $\frac{2^{5} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{6}}$

= $\frac{1 + 8}{2}$

= $\frac{9}{2}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{8}}{{(2 x + 3)}^{4} \cdot {(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{1 \cdot {(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= ${(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln