Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{3}}$

= $x^{7 - 3}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{6}}{10^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10}$

= 10 · 10 · 10 · 10

= $10 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

= $10^{6 - 2}$

= $10^{4}$

= $10 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{9} \cdot 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$3 x^{9} \cdot 3 x^{2}$ = $3 \cdot x^{9} \cdot 3 \cdot x^{2}$ = $9 x^{9} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $9$ $x^{9 + 2}$

= $9 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{- 3} \cdot 2 x^{5}$

Lösung einblenden

$6 x^{- 3} \cdot 2 x^{5}$ = $6 \cdot x^{- 3} \cdot 2 \cdot x^{5}$ = $12 x^{- 3} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $12$ $x^{- 3 + 5}$

= $12 x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x + (x + x^{- 2}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 4 x + (x + x^{- 2}) \cdot x^{3}$

= $- 4 x + (x \cdot x^{3} + x^{- 2} \cdot x^{3})$

= $- 4 x + x^{4} + x$

= $x^{4} - 3 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2}$

= $4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $38^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $38^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $38^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{38^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{38 \cdot 38}{2 \cdot 2}$

= $\frac{38}{2} \cdot \frac{38}{2}$

= ${(\frac{38}{2})}^{2}$

= $19^{2}$

= $361$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{- 5} \cdot 3^{5}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{- 5} \cdot 3^{5}$

= $\frac{3^{5}}{6^{5}}$

= ${(\frac{3}{6})}^{5}$

= ${(\frac{1}{2})}^{5}$

= $\frac{1}{32}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{30 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 30 als 5 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{30 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{5 \cdot 6 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{5 \cdot 6^{6} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{(5 - 2) \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $5 - 2$

= $3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}}{{(4 x^{2} - 1)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{3}}{{(4 x^{2} - 1)}^{3}}$

= $\frac{{({(2 x - 1)}^{2})}^{3}}{{((2 x - 1) \cdot (2 x + 1))}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{6}}{{(2 x - 1)}^{3} \cdot {(2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{3}}{1 \cdot {(2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{3}}$

= ${(\frac{2 x - 1}{2 x + 1})}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln