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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{6}$

= $x^{3 + 6}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{5}$ ⋅ $2^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{5}$ ⋅ $2^{1}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{5} \cdot 2$

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2·2

= $64$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{5}$ ⋅ $2^{1}$

= $2^{5 + 1}$

= $2^{6}$

= $64$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7 x^{3} \cdot 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$7 x^{3} \cdot 3 x^{7}$ = $7 \cdot x^{3} \cdot 3 \cdot x^{7}$ = $21 x^{3} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $21$ $x^{3 + 7}$

= $21 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{8}}{2 x^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{8}}{2 x^{- 3}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{- 3}}$ = $- 3 \frac{x^{8}}{x^{- 3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{8 - (- 3)}$

= $- 3 x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{2} + x^{2} \cdot (1 + x^{2})$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + x^{2} \cdot (1 + x^{2})$

= $- 3 x^{2} + (x^{2} \cdot 1 + x^{2} \cdot x^{2})$

= $- 3 x^{2} + x^{2} + x^{4}$

= $x^{4} - 2 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{9}{8})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{9}{8})}^{3} \cdot {(\frac{4}{3})}^{3}$

= $\frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{9}{8}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3})}^{3}$

= ${(\frac{3}{2})}^{3}$

= $\frac{27}{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

= $\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{9^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 9)}^{2}}$

= $\frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{1}{324}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2 \cdot 6^{3} + 2^{4} \cdot 6^{3}}{12^{3}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2 \cdot 6^{3} + 2^{4} \cdot 6^{3}}{12^{3}}$

= $\frac{(2 + 2^{4}) \cdot 6^{3}}{{(2 \cdot 6)}^{3}}$

= $\frac{(2 + 2^{4}) \cdot 6^{3}}{2^{3} \cdot 6^{3}}$

= $\frac{2 + 2^{4}}{2^{3}}$

= $\frac{2 \cdot (1 + 2^{3})}{2^{3}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{2}}$

= $\frac{9}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{({(2 x + 5)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{2 x + 5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln