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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{9}$

= $x^{3 + 9}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{3}$ ⋅ $5^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{3}$ ⋅ $5^{- 5}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{3} \cdot \frac{1}{5^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{25}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{3}$ ⋅ $5^{- 5}$

= $5^{3 - 5}$

= $5^{- 2}$

= $\frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{1}{25}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{6}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{6}}{2 x^{2}}$ = $\frac{3 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{2}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{6}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{6 - 2}$

= $\frac{3}{2} x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{8} \cdot 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$5 x^{8} \cdot 3 x^{2}$ = $5 \cdot x^{8} \cdot 3 \cdot x^{2}$ = $15 x^{8} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $15$ $x^{8 + 2}$

= $15 x^{10}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{3} + x^{5} \cdot (x^{- 2} + x^{4})$

Lösung einblenden

$- 4 x^{3} + x^{5} \cdot (x^{- 2} + x^{4})$

= $- 4 x^{3} + (x^{5} \cdot x^{- 2} + x^{5} \cdot x^{4})$

= $- 4 x^{3} + x^{3} + x^{9}$

= $x^{9} - 3 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{x} \cdot 5^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$4^{x} \cdot 5^{x}$

= ${(4 \cdot 5)}^{x}$

= $20^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{4^{6}}{2^{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{4^{6}}{2^{6}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2}$

= ${(\frac{4}{2})}^{6}$

= $2^{6}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{2}$

= $2^{x \cdot 2}$

= $2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{2})}^{x}$

= $4^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{4 \cdot 6}$

= $64 x^{24}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{4} \cdot 6^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{4} \cdot 6^{- 4}$

= $\frac{3^{4}}{6^{4}}$

= ${(\frac{3}{6})}^{4}$

= ${(\frac{1}{2})}^{4}$

= $\frac{1}{16}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{4} \cdot 18 - 6^{5} \cdot 5}{6^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{4} \cdot 18 - 6^{5} \cdot 5}{6^{5}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 3 \cdot 6 - 6^{5} \cdot 5}{6^{5}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 3 - 6^{5} \cdot 5}{6^{5}}$

= $\frac{6^{5} \cdot (3 - 5)}{6^{5}}$

= $3 - 5$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{4}}{{(4 x^{2} - 16)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{4}}{{(4 x^{2} - 16)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 4)}^{2})}^{4}}{{((2 x + 4) \cdot (2 x - 4))}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 4)}^{8}}{{(2 x + 4)}^{4} \cdot {(2 x - 4)}^{4}}$

= $\frac{{(2 (x + 2))}^{4}}{1 \cdot {(2 (x - 2))}^{4}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{4}}{{(x - 2)}^{4}}$

= ${(\frac{x + 2}{x - 2})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln