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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{3}$

= $x^{7 + 3}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{3}}{10^{- 6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{3}}{10^{- 6}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{3}}{10^{- 6}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 6}}$

= $10^{3} \cdot 10^{6}$

= 10 · 10 · 10·10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $1 000 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{3}}{10^{- 6}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 6}}$

= $10^{3} \cdot 10^{6}$

= $10^{3 + 6}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 8 x^{3} \cdot 7 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{3} \cdot 7 x^{5}$ = $(- 8 \cdot x^{3}) \cdot 7 \cdot x^{5}$ = $- 56 x^{3} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 56$ $x^{3 + 5}$

= $- 56 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{- 5}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{- 5}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $- \frac{x^{- 5}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{- 5 - (- 4)}$

= $- x^{- 1}$

= $- \frac{1}{x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot (x^{2} + x^{- 4}) - 5$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot (x^{2} + x^{- 4}) - 5$

= $x^{4} \cdot x^{2} + x^{4} \cdot x^{- 4} - 5$

= $x^{6} + 1 - 5$

= $x^{6} - 4$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{10^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2}}}$

= ${(\frac{5}{2})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{10}{3})}^{2}$

= $\frac{100}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{2}$

= $2^{x \cdot 2}$

= $2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{2})}^{x}$

= $4^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 3}}{5^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 3}}{5^{3}}$

= $\frac{1}{2^{3}} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{10^{3}}$

= $\frac{1}{1000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{4} \cdot 5^{4} + 8^{4} \cdot 5^{6}}{40^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{4} \cdot 5^{4} + 8^{4} \cdot 5^{6}}{40^{4}}$

= $\frac{8^{4} \cdot (5^{4} + 5^{6})}{{(8 \cdot 5)}^{4}}$

= $\frac{8^{4} \cdot (5^{4} + 5^{6})}{8^{4} \cdot 5^{4}}$

= $\frac{5^{4} + 5^{6}}{5^{4}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{4}}$

= $\frac{1 + 25}{1}$

= $26$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 4)}^{4}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 4)}^{4}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{4}}{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{4}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln