Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{7}$

= $x^{3 + 7}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{5}}{3^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{5}}{3^{8}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{5}}{3^{8}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{5}}{3^{8}}$

= $3^{5 - 8}$

= $3^{- 3}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{6}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{8}}{4 \cdot x^{6}}$ = $- 2 \frac{x^{8}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{8 - 6}$

= $- 2 x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7 x^{4} \cdot 2 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$7 x^{4} \cdot 2 x^{- 7}$ = $7 \cdot x^{4} \cdot 2 \cdot x^{- 7}$ = $14 x^{4} \cdot x^{- 7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $14$ $x^{4 + (- 7)}$

= $14 x^{- 3}$

= $\frac{14}{x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{- 3} + x^{5}) \cdot x^{5} - 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$(x^{- 3} + x^{5}) \cdot x^{5} - 5 x^{2}$

= $x^{- 3} \cdot x^{5} + x^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{2}$

= $x^{2} + x^{10} - 5 x^{2}$

= $x^{10} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $8^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{8^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{8 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

= $\frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2}$

= ${(\frac{8}{2})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{5}$

= $x^{5 \cdot 5}$

= $x^{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 15^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 15^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{15^{2}}$

= ${(\frac{3}{15})}^{2}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{5} \cdot 4^{8} + 3^{8} \cdot 4^{8}}{12^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 3 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{5} \cdot 4^{8} + 3^{8} \cdot 4^{8}}{12^{8}}$

= $\frac{(3^{5} + 3^{8}) \cdot 4^{8}}{{(3 \cdot 4)}^{8}}$

= $\frac{(3^{5} + 3^{8}) \cdot 4^{8}}{3^{8} \cdot 4^{8}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{8}}{3^{8}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{8}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{3}}$

= $\frac{28}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 1)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln