Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{9}$

= $x^{3 + 9}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $16^{5}$ ⋅ $16^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$16^{5}$ ⋅ $16^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$16^{5} \cdot \frac{1}{16^{3}}$

= $\frac{16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16}{16 \cdot 16 \cdot 16}$

= 16 · 16

= $256$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$16^{5}$ ⋅ $16^{- 3}$

= $16^{5 - 3}$

= $16^{2}$

= $256$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{9}}{4 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{9}}{4 x^{4}}$ = $\frac{8 \cdot x^{9}}{4 \cdot x^{4}}$ = $2 \frac{x^{9}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{9 - 4}$

= $2 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7 x^{- 3} \cdot 2 x^{9}$

Lösung einblenden

$7 x^{- 3} \cdot 2 x^{9}$ = $7 \cdot x^{- 3} \cdot 2 \cdot x^{9}$ = $14 x^{- 3} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $14$ $x^{- 3 + 9}$

= $14 x^{6}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{7}}{x^{3}} + 2 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{7}}{x^{3}} + 2 x$

= $\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{x^{7}}{x^{3}} + 2 x$

= $x + x^{4} + 2 x$

= $x^{4} + 3 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{12}$ ⋅ $2^{- 12}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{12}$ ⋅ $2^{- 12}$

= $2^{12} \cdot \frac{1}{2^{12}}$

= $\frac{2^{12}}{2^{12}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2}$

= ${(\frac{2}{2})}^{12}$

= $1^{12}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{4 \cdot 5}$

= $32 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 3} \cdot 2^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 3} \cdot 2^{6}$

= $\frac{2^{6}}{8^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{{(2^{3})}^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{9}}$

= $2^{6 - 9}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{16 \cdot 8^{5} - 3 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{16 \cdot 8^{5} - 3 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 8 \cdot 8^{5} - 3 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{(2 - 3) \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $2 - 3$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{x - 5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln