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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{8}}$

= $x^{7 - 8}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{5}}{10^{9}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{5}}{10^{9}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{5}}{10^{9}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{5}}{10^{9}}$

= $10^{5 - 9}$

= $10^{- 4}$

= $\frac{1}{10^{4}}$

= $\frac{1}{10000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot 7 x^{3}$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot 7 x^{3}$ = $1 \cdot x^{4} \cdot 7 \cdot x^{3}$ = $7 x^{4} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $7$ $x^{4 + 3}$

= $7 x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 4}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 4}}{2 x^{8}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 4}}{2 \cdot x^{8}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 4}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 4 - 8}$

= $\frac{1}{2} x^{- 12}$

= $\frac{1}{2 x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{6} + x^{- 1}) \cdot x^{5} - 4 x^{4}$

Lösung einblenden

$(x^{6} + x^{- 1}) \cdot x^{5} - 4 x^{4}$

= $x^{6} \cdot x^{5} + x^{- 1} \cdot x^{5} - 4 x^{4}$

= $x^{11} + x^{4} - 4 x^{4}$

= $x^{11} - 3 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$5^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(5 \cdot 3)}^{x}$

= $15^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{9^{3}}{3^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{9^{3}}{3^{3}}$

= $\frac{9 \cdot 9 \cdot 9}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3}$

= ${(\frac{9}{3})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{4}$

= $x^{4 \cdot 4}$

= $x^{16}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

= $\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{9^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 9)}^{2}}$

= $\frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{1}{324}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 14 - 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 14 - 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{3} \cdot 2 \cdot 7 - 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot 2 - 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot (2 - 4)}{7^{4}}$

= $2 - 4$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x + 1) \cdot (2 x - 1))}^{4}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{4} \cdot {(2 x - 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 1)}^{4}}{1}$

= ${(2 x - 1)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln