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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{4}}$

= $x^{5 - 4}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{3}}{5^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{3}}{5^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{3}}{5}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5}{5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{3}}{5^{1}}$

= $5^{3 - 1}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{2 x^{7}}$

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$\frac{x^{9}}{2 x^{7}}$ = $\frac{1 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{7}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{9}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{9 - 7}$

= $\frac{1}{2} x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{- 7} \cdot 3 x^{- 6}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{- 7} \cdot 3 x^{- 6}$ = $(- 6 \cdot x^{- 7}) \cdot 3 \cdot x^{- 6}$ = $- 18 x^{- 7} \cdot x^{- 6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 18$ $x^{- 7 + (- 6)}$

= $- 18 x^{- 13}$

= $- \frac{18}{x^{13}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{2} + (x^{- 1} + x^{2}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + (x^{- 1} + x^{2}) \cdot x^{3}$

= $- 2 x^{2} + (x^{- 1} \cdot x^{3} + x^{2} \cdot x^{3})$

= $- 2 x^{2} + x^{2} + x^{5}$

= $x^{5} - x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$5^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(5 \cdot 4)}^{x}$

= $20^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{5}{2})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2}}}$

= ${(\frac{5}{2})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{5}{2} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{10}{3})}^{2}$

= $\frac{100}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

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Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{2}$

= $x^{2 \cdot 2}$

= $x^{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{5})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{5})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{5})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{5 \cdot 4}$

= $81 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{4} \cdot 2^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{4} \cdot 2^{- 4}$

= $\frac{6^{4}}{2^{4}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{4} \cdot 5^{2} + 6^{4} \cdot 5^{4}}{30^{4}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{4} \cdot 5^{2} + 6^{4} \cdot 5^{4}}{30^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (5^{2} + 5^{4})}{{(6 \cdot 5)}^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (5^{2} + 5^{4})}{6^{4} \cdot 5^{4}}$

= $\frac{5^{2} + 5^{4}}{5^{4}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{4}}$

= $\frac{1 + 25}{5^{2}}$

= $\frac{26}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{4}}{{({(x + 1)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln