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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{3}$

= $x^{7 + 3}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 5}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 5}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot {(- 10)}^{5}$

= ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )·( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )

= $- 1 000 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 5}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 5}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot {(- 10)}^{5}$

= ${(- 10)}^{4 + 5}$

= ${(- 10)}^{9}$

= $- 1 000 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7 x^{4} \cdot 5 x^{8}$

Lösung einblenden

$7 x^{4} \cdot 5 x^{8}$ = $7 \cdot x^{4} \cdot 5 \cdot x^{8}$ = $35 x^{4} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $35$ $x^{4 + 8}$

= $35 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{4} \cdot 3 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$8 x^{4} \cdot 3 x^{- 8}$ = $8 \cdot x^{4} \cdot 3 \cdot x^{- 8}$ = $24 x^{4} \cdot x^{- 8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $24$ $x^{4 + (- 8)}$

= $24 x^{- 4}$

= $\frac{24}{x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{7} + x^{4} \cdot (x^{8} + x^{3})$

Lösung einblenden

$- 3 x^{7} + x^{4} \cdot (x^{8} + x^{3})$

= $- 3 x^{7} + (x^{4} \cdot x^{8} + x^{4} \cdot x^{3})$

= $- 3 x^{7} + x^{12} + x^{7}$

= $x^{12} - 2 x^{7}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(6 \cdot 3)}^{x}$

= $18^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{7^{8}}{7^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{7^{8}}{7^{8}}$

= $\frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7}$

= ${(\frac{7}{7})}^{8}$

= $1^{8}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{4}$

= $x^{4 \cdot 4}$

= $x^{16}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{2 \cdot 5}$

= $32 x^{10}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{11^{9} \cdot 2^{7}}{22^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $11$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $22$ ) ist.
Wenn man nun die $11^{9}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 7 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{11^{9} \cdot 2^{7}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{9}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{7 + 2}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{7} \cdot 11^{2}}{22^{7}}$

= $\frac{{(2 \cdot 11)}^{7}}{22^{7}} \cdot 11^{2}$

= $\frac{22^{7}}{22^{7}} \cdot 11^{2}$

= $121$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{4} \cdot 6^{7} + 5^{7} \cdot 6^{7}}{30^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{4} \cdot 6^{7} + 5^{7} \cdot 6^{7}}{30^{7}}$

= $\frac{(5^{4} + 5^{7}) \cdot 6^{7}}{{(5 \cdot 6)}^{7}}$

= $\frac{(5^{4} + 5^{7}) \cdot 6^{7}}{5^{7} \cdot 6^{7}}$

= $\frac{5^{4} + 5^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{7}}$

= $\frac{1 + 125}{5^{3}}$

= $\frac{126}{125}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 5)}^{2})}^{3}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{2}}{1}$

= ${(2 x + 5)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln