Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{2}$

= $x^{9 + 2}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

= $3^{6 - 2}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{5}}{2 x^{7}}$ = $\frac{1 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{7}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{5}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{5 - 7}$

= $\frac{1}{2} x^{- 2}$

= $\frac{1}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{- 5}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{8}}{4 \cdot x^{- 5}}$ = $- 2 \frac{x^{8}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{8 - (- 5)}$

= $- 2 x^{13}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x^{3} + x}{x}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x^{3} + x}{x}$

= $3 x^{2} + (\frac{x^{3}}{x} + \frac{x}{x})$

= $3 x^{2} + x^{2} + 1$

= $4 x^{2} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(7 \cdot 3)}^{x}$

= $21^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{2^{6}}{5^{- 6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{2^{6}}{5^{- 6}}$

= $\frac{2^{6}}{\frac{1}{5^{6}}}$

= $2^{6} \cdot 5^{6}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{6}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{4}$

= $3^{x \cdot 4}$

= $3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{4})}^{x}$

= $81^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{9}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $10$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{9}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{2^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{9}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{9}}{10^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{6 + 3}}{10^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 5^{6} \cdot 5^{3}}{10^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 5)}^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{3}$

= $\frac{10^{6}}{10^{6}} \cdot 5^{3}$

= $125$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{4} \cdot 8^{5} + 3^{7} \cdot 8^{5}}{24^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{4} \cdot 8^{5} + 3^{7} \cdot 8^{5}}{24^{5}}$

= $\frac{(3^{4} + 3^{7}) \cdot 8^{5}}{{(3 \cdot 8)}^{5}}$

= $\frac{(3^{4} + 3^{7}) \cdot 8^{5}}{3^{5} \cdot 8^{5}}$

= $\frac{3^{4} + 3^{7}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{4} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 27}{3}$

= $\frac{28}{3}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{((x + 5) \cdot (x - 5))}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x + 5)}^{4} \cdot {(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(x - 5)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln