Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{8}}$

= $x^{4 - 8}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{2}}{10^{10}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

= $\frac{10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{100000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

= $10^{2 - 10}$

= $10^{- 8}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{4}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{4}}{2 x^{8}}$ = $\frac{3 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{8}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{4}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{4 - 8}$

= $\frac{3}{2} x^{- 4}$

= $\frac{3}{2 x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{5}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{5}}{2 x^{9}}$ = $\frac{7 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{9}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{5}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{5 - 9}$

= $\frac{7}{2} x^{- 4}$

= $\frac{7}{2 x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x + x^{4}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x + x^{4}}{x^{2}}$

= $3 x^{2} + (\frac{x}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}})$

= $3 x^{2} + {(x)}^{- 1} + x^{2}$

= $4 x^{2} + x^{- 1}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{3^{9}}{3^{9}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{3^{9}}{3^{9}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3} \cdot \frac{3}{3}$

= ${(\frac{3}{3})}^{9}$

= $1^{9}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{2})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{2})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{2})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{2 \cdot 4}$

= $81 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{5} \cdot 3^{2} + 8^{5} \cdot 3^{5}}{24^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{5} \cdot 3^{2} + 8^{5} \cdot 3^{5}}{24^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (3^{2} + 3^{5})}{{(8 \cdot 3)}^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (3^{2} + 3^{5})}{8^{5} \cdot 3^{5}}$

= $\frac{3^{2} + 3^{5}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{2} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{3}}$

= $\frac{28}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{5}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{5}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{5}}{{({(x + 4)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{5}}{{(x + 4)}^{6}}$

= $\frac{1}{x + 4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln