Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{4}}$

= $x^{3 - 4}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 3)}^{4}}{{(- 3)}^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 3)}^{4}}{{(- 3)}^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 3)}^{4}}{{(- 3)}^{2}}$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3)}$

= ( $- 3$ ) · ( $- 3$ )

= $9$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 3)}^{4}}{{(- 3)}^{2}}$

= ${(- 3)}^{4 - 2}$

= ${(- 3)}^{2}$

= $9$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{5} \cdot 6 x^{3}$

Lösung einblenden

$2 x^{5} \cdot 6 x^{3}$ = $2 \cdot x^{5} \cdot 6 \cdot x^{3}$ = $12 x^{5} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $12$ $x^{5 + 3}$

= $12 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{6 - 3}$

= $- \frac{7}{2} x^{3}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2} - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

${(5 x)}^{2} - 4 x^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2} - 4 x^{2}$

= $25 x^{2} - 4 x^{2}$

= $21 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{18^{4}}{6^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{18^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6}$

= ${(\frac{18}{6})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{4}$

= $x^{4 \cdot 4}$

= $x^{16}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{9^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{9^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{9^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(9 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{1}{324}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{30 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 30 als 5 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{30 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 6 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 6^{5} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{(5 - 3) \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} \cdot {(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln