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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{2}}$

= $x^{3 - 2}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{19^{5}}{19^{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{19^{5}}{19^{7}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{19^{5}}{19^{7}}$

= $\frac{19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19}{19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19 \cdot 19}$

= $\frac{1}{19 \cdot 19}$

= $\frac{1}{361}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{19^{5}}{19^{7}}$

= $19^{5 - 7}$

= $19^{- 2}$

= $\frac{1}{19^{2}}$

= $\frac{1}{361}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{8}}{3 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{8}}{3 x^{4}}$ = $\frac{6 \cdot x^{8}}{3 \cdot x^{4}}$ = $2 \frac{x^{8}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{8 - 4}$

= $2 x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{4} \cdot 2 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$9 x^{4} \cdot 2 x^{- 2}$ = $9 \cdot x^{4} \cdot 2 \cdot x^{- 2}$ = $18 x^{4} \cdot x^{- 2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $18$ $x^{4 + (- 2)}$

= $18 x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{3} + (x^{3} + x^{- 1}) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{3} + (x^{3} + x^{- 1}) \cdot x^{4}$

= $- 3 x^{3} + (x^{3} \cdot x^{4} + x^{- 1} \cdot x^{4})$

= $- 3 x^{3} + x^{7} + x^{3}$

= $x^{7} - 2 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{3})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{3})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{3})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{3 \cdot 4}$

= $81 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 15^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 15^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{15^{2}}$

= ${(\frac{3}{15})}^{2}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 24 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 24 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 4 \cdot 6 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 4 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (4 + 3)}{6^{6}}$

= $4 + 3$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{8}}{{(2 x + 3)}^{4} \cdot {(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{1 \cdot {(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= ${(\frac{2 x + 3}{2 x - 3})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln