Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{8}}$

= $x^{3 - 8}$

= $x^{- 5}$

= $\frac{1}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{4}$ ⋅ $2^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{4}$ ⋅ $2^{1}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{4} \cdot 2$

= 2 · 2 · 2 · 2·2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{4}$ ⋅ $2^{1}$

= $2^{4 + 1}$

= $2^{5}$

= $32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{9} \cdot 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{9} \cdot 2 x^{2}$ = $(- 6 \cdot x^{9}) \cdot 2 \cdot x^{2}$ = $- 12 x^{9} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{9 + 2}$

= $- 12 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{- 3}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{- 3}}{2 x^{9}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{- 3}}{2 \cdot x^{9}}$ = $- 2 \frac{x^{- 3}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{- 3 - 9}$

= $- 2 x^{- 12}$

= $- \frac{2}{x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 4 x^{5}$

= $32 x^{5} - 4 x^{5}$

= $28 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(6 \cdot 7)}^{x}$

= $42^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{8^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{8^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{8 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

= $\frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2}$

= ${(\frac{8}{2})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{2}$

= $x^{2 \cdot 2}$

= $x^{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 x^{4})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 x^{4})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(x^{4})}^{2}$

= $8^{2} \cdot x^{4 \cdot 2}$

= $64 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{6} \cdot 12^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{6} \cdot 12^{- 6}$

= $\frac{6^{6}}{12^{6}}$

= ${(\frac{6}{12})}^{6}$

= ${(\frac{1}{2})}^{6}$

= $\frac{1}{64}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{24 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{24 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 8 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 8^{7} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{(3 - 3) \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $3 - 3$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{({(x + 2)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x + 2)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x + 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln