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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{3}}$

= $x^{5 - 3}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 2)}^{7}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 2)}^{7}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 2)}^{7} \cdot (\frac{1}{{(- 2)}^{11}})$

= $\frac{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $\frac{1}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $\frac{1}{16}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 2)}^{7}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

= ${(- 2)}^{7 - 11}$

= ${(- 2)}^{- 4}$

= $\frac{1}{{(- 2)}^{4}}$

= $\frac{1}{16}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{5} \cdot 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{5} \cdot 4 x^{3}$ = $(- 4 \cdot x^{5}) \cdot 4 \cdot x^{3}$ = $- 16 x^{5} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 16$ $x^{5 + 3}$

= $- 16 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{- 9}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{- 9}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{- 9}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{- 9}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{- 9 - 8}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 17}$

= $- \frac{7}{2 x^{17}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{4} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{4} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{5}$

= $- 2 x^{4} + (x^{5} \cdot x^{5} + x^{- 1} \cdot x^{5})$

= $- 2 x^{4} + x^{10} + x^{4}$

= $x^{10} - x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $15^{3}$ ⋅ $5^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $15^{3}$ ⋅ $5^{- 3}$

= $15^{3} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{15^{3}}{5^{3}}$

= $\frac{15 \cdot 15 \cdot 15}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5}$

= ${(\frac{15}{5})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $16 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $16 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{- 6} \cdot 10^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{- 6} \cdot 10^{6}$

= $\frac{10^{6}}{5^{6}}$

= ${(\frac{10}{5})}^{6}$

= $2^{6}$

= $64$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{4} \cdot 24 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{4} \cdot 24 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{4} \cdot 3 \cdot 8 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot 3 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (3 - 5)}{8^{5}}$

= $3 - 5$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{({(x + 3)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x + 3)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 3)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln