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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{7}$

= $x^{4 + 7}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{4}$ ⋅ $10^{- 13}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 13}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{4} \cdot \frac{1}{10^{13}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{1000000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 13}$

= $10^{4 - 13}$

= $10^{- 9}$

= $\frac{1}{10^{9}}$

= $\frac{1}{1000000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{7}}{4 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{7}}{4 x^{5}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{7}}{4 \cdot x^{5}}$ = $- 2 \frac{x^{7}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{7 - 5}$

= $- 2 x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{1 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{8}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{8 - (- 4)}$

= $\frac{1}{2} x^{12}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{- 3} + x^{3}) \cdot x^{3} - 5$

Lösung einblenden

$(x^{- 3} + x^{3}) \cdot x^{3} - 5$

= $x^{- 3} \cdot x^{3} + x^{3} \cdot x^{3} - 5$

= $1 + x^{6} - 5$

= $x^{6} - 4$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{7}{2})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{7}{2})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{14}{3})}^{2}$

= $\frac{196}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 3} \cdot 2^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 3} \cdot 2^{6}$

= $\frac{2^{6}}{8^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{{(2^{3})}^{3}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{9}}$

= $2^{6 - 9}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{7} \cdot 3^{5} + 7^{7} \cdot 3^{8}}{21^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{7} \cdot 3^{5} + 7^{7} \cdot 3^{8}}{21^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (3^{5} + 3^{8})}{{(7 \cdot 3)}^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (3^{5} + 3^{8})}{7^{7} \cdot 3^{7}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{8}}{3^{7}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{7}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{2}}$

= $\frac{28}{9}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

= $\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x - 1)}^{2}}{{(2^{2})}^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x - 1)}^{2}}{2^{4} \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4 {((x - 1) \cdot (x + 1))}^{2}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} \cdot 4 {(x + 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{1 \cdot 4 {(x + 1)}^{2}}$

= $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln