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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 6 x 2

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an-m gilt:

x 6 x 2

= x 6-2

= x 4

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: 10 7 10 1

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

10 7 10 1

Herkömmlicher Weg:

10 7 10

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 10

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= 1000000

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

10 7 10 1

= 10 7 -1

= 10 6

= 1000000

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -3 x 9 2 x 4

Lösung einblenden

-3 x 9 2 x 4 = -3 · x 9 2 · x 4 = - 3 2 x 9 x 4

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an-m gilt:

= - 3 2 x 9-4

= - 3 2 x 5

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 8 x 7 · 2 x 8

Lösung einblenden

8 x 7 · 2 x 8 = 8 · x 7 · 2 · x 8 = 16 x 7 · x 8

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an+m gilt:

= 16 x 7 + 8

= 16 x 15

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -4 x 3 + x 5 + x 4 x

Lösung einblenden

-4 x 3 + x 5 + x 4 x

= -4 x 3 + ( x 5 x + x 4 x )

= -4 x 3 + x 4 + x 3

= x 4 -3 x 3

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 20 x 5 x

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: an⋅bn= (a⋅b)n gilt:

20 x 5 x

= ( 20 5 ) x

= 4 x

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): 2 6 5 6

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= 2 6 · 5 6

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 25 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

= 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5

= ( 2 · 5 ) 6

= 10 6

= 1000000

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ( 3 x ) 3

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31x oder x19.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 3 x ) 3

= 3 x · 3

= 3 3x

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (an)m= an⋅m rückwärts an:

= ( 3 3 ) x

= 27 x

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 2 x 6 ) 6

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 2 x 6 ) 6

= 2 6 · ( x 6 ) 6

= 2 6 · x 6 · 6

= 64 x 36

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: 3 5 15 5 · 5 7

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also 35 gerade gleich der Basis des Nenners (15) ist.
Wenn man nun die 5 7 so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 5 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

3 5 15 5 · 5 7

= 3 5 · 5 7 15 5

= 3 5 · 5 5 +2 15 5

= 3 5 · 5 5 · 5 2 15 5

= ( 35 ) 5 15 5 · 5 2

= 15 5 15 5 · 5 2

= 25

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: 5 7 · 3 4 + 5 7 · 3 7 15 7

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (15 = 3 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

5 7 · 3 4 + 5 7 · 3 7 15 7

= 5 7 · ( 3 4 + 3 7 ) ( 53 ) 7

= 5 7 · ( 3 4 + 3 7 ) 5 7 · 3 7

= 3 4 + 3 7 3 7

= 3 4 · ( 1 + 3 3 ) 3 7

= 1 + 27 3 3

= 28 27

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 4 x 2 -8x +4 ) 5 ( 4 x 2 -4 ) 5

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

( 4 x 2 -8x +4 ) 5 ( 4 x 2 -4 ) 5

= ( ( 2x -2 ) 2 ) 5 ( ( 2x -2 ) · ( 2x +2 ) ) 5

= ( 2x -2 ) 10 ( 2x -2 ) 5 · ( 2x +2 ) 5

= ( 2( x -1 ) ) 5 1 · ( 2( x +1 ) ) 5

= ( x -1 ) 5 ( x +1 ) 5

= ( x -1 x +1 ) 5