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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{8}$

= $x^{4 + 8}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{6}$ ⋅ $4^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{6}$ ⋅ $4^{- 8}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{6} \cdot \frac{1}{4^{8}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{16}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{6}$ ⋅ $4^{- 8}$

= $4^{6 - 8}$

= $4^{- 2}$

= $\frac{1}{4^{2}}$

= $\frac{1}{16}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{5} \cdot 4 x^{8}$

Lösung einblenden

$- x^{5} \cdot 4 x^{8}$ = $(- 1 \cdot x^{5}) \cdot 4 \cdot x^{8}$ = $- 4 x^{5} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 4$ $x^{5 + 8}$

= $- 4 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 7 x^{- 7} \cdot 2 x^{7}$

Lösung einblenden

$- 7 x^{- 7} \cdot 2 x^{7}$ = $(- 7 \cdot x^{- 7}) \cdot 2 \cdot x^{7}$ = $- 14 x^{- 7} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 14$ $x^{- 7 + 7}$

= $- 14$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{2} + (1 + x^{5}) \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + (1 + x^{5}) \cdot x^{2}$

= $- 3 x^{2} + (1 \cdot x^{2} + x^{5} \cdot x^{2})$

= $- 3 x^{2} + x^{2} + x^{7}$

= $x^{7} - 2 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$3^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(3 \cdot 4)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{7}{2})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{7}{2})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{14}{3})}^{2}$

= $\frac{196}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{2}$

= $x^{2 \cdot 2}$

= $x^{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

= $5^{3} \cdot 2^{3}$

= ${(5 \cdot 2)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{3} \cdot 24 + 6^{4} \cdot 3}{6^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{3} \cdot 24 + 6^{4} \cdot 3}{6^{4}}$

= $\frac{6^{3} \cdot 4 \cdot 6 + 6^{4} \cdot 3}{6^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 4 + 6^{4} \cdot 3}{6^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (4 + 3)}{6^{4}}$

= $4 + 3$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln