Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{4}$

= $x^{5 + 4}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{4} \cdot \frac{1}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

= $4^{4 - 4}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{5}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{5}}{2 x^{7}}$ = $\frac{7 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{7}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{5}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{5 - 7}$

= $\frac{7}{2} x^{- 2}$

= $\frac{7}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{4}}{4 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{4}}{4 x^{- 5}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{4}}{4 \cdot x^{- 5}}$ = $- 2 \frac{x^{4}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{4 - (- 5)}$

= $- 2 x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{6} + (x^{8} + x^{3}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{6} + (x^{8} + x^{3}) \cdot x^{3}$

= $- 5 x^{6} + (x^{8} \cdot x^{3} + x^{3} \cdot x^{3})$

= $- 5 x^{6} + x^{11} + x^{6}$

= $x^{11} - 4 x^{6}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(6 \cdot 3)}^{x}$

= $18^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{4^{4}}{2^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{4^{4}}{2^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2}$

= ${(\frac{4}{2})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 6} \cdot 8^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 6} \cdot 8^{6}$

= $\frac{8^{6}}{4^{6}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{6}$

= $2^{6}$

= $64$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{6} \cdot 16 - 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{6} \cdot 16 - 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{6} \cdot 2 \cdot 8 - 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot 2 - 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2 - 2)}{8^{7}}$

= $2 - 2$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{((2 x + 1) \cdot (2 x - 1))}^{5}}{{({(2 x + 1)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{5} \cdot {(2 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 1)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{5}}{{(2 x + 1)}^{5}}$

= ${(\frac{2 x - 1}{2 x + 1})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln