Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{4}}$

= $x^{6 - 4}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{5}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{5}}{5^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{5}}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

= 5 · 5 · 5

= $125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{5}}{5^{2}}$

= $5^{5 - 2}$

= $5^{3}$

= $125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{2}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{2}}{2 x^{9}}$ = $\frac{4 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{9}}$ = $2 \frac{x^{2}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{2 - 9}$

= $2 x^{- 7}$

= $\frac{2}{x^{7}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{- 6}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{- 6}}{2 x^{8}}$ = $\frac{3 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{8}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{- 6}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{- 6 - 8}$

= $\frac{3}{2} x^{- 14}$

= $\frac{3}{2 x^{14}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{3} + \frac{x^{7} + x^{6}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{3} + \frac{x^{7} + x^{6}}{x^{3}}$

= $- 4 x^{3} + (\frac{x^{7}}{x^{3}} + \frac{x^{6}}{x^{3}})$

= $- 4 x^{3} + x^{4} + x^{3}$

= $x^{4} - 3 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{8}{15})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{8}{15})}^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{8}{15}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{2}$

= $2^{2} \cdot {(x^{4})}^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{4 \cdot 2}$

= $4 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 7} \cdot 2^{7}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 7} \cdot 2^{7}$

= $\frac{2^{7}}{4^{7}}$

= ${(\frac{2}{4})}^{7}$

= ${(\frac{1}{2})}^{7}$

= $\frac{1}{128}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{16 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{16 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{2 \cdot 8 \cdot 8^{3} - 2 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{2 \cdot 8^{4} - 2 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{(2 - 2) \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $2 - 2$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{({(2 x + 1)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln