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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{3}$

= $x^{2 + 3}$

= $x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{5}$ ⋅ $2^{- 13}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{5}$ ⋅ $2^{- 13}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{5} \cdot \frac{1}{2^{13}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{256}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{5}$ ⋅ $2^{- 13}$

= $2^{5 - 13}$

= $2^{- 8}$

= $\frac{1}{2^{8}}$

= $\frac{1}{256}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{2} \cdot 6 x^{3}$

Lösung einblenden

$5 x^{2} \cdot 6 x^{3}$ = $5 \cdot x^{2} \cdot 6 \cdot x^{3}$ = $30 x^{2} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $30$ $x^{2 + 3}$

= $30 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{4}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{4}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{3 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{4}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{4 - (- 7)}$

= $\frac{3}{2} x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3} - 4 x^{3}$

Lösung einblenden

${(4 x)}^{3} - 4 x^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3} - 4 x^{3}$

= $64 x^{3} - 4 x^{3}$

= $60 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{3}}{6^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{3}}{6^{3}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6}$

= ${(\frac{12}{6})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{6}$

= $x^{6 \cdot 6}$

= $x^{36}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(6 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(6 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $36 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $36 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $36 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{4} \cdot 64^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{4} \cdot 64^{- 2}$

= $\frac{4^{4}}{64^{2}}$

= $\frac{4^{4}}{{(4^{3})}^{2}}$

= $\frac{4^{4}}{4^{6}}$

= $4^{4 - 6}$

= $\frac{1}{4^{2}}$

= $\frac{1}{16}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{7} - 4 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{7} - 4 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{7} - 4 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{8} - 4 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{(5 - 4) \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $5 - 4$

= $1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 10 x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 10 x + 25)}^{2}}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

= $\frac{{({(x + 5)}^{2})}^{2}}{{((x + 5) \cdot (x - 5))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x + 5)}^{2} \cdot {(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{2}}{1 \cdot {(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln