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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{5}$

= $x^{4 + 5}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{7}$ ⋅ $5^{- 9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 9}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{7} \cdot \frac{1}{5^{9}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{25}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{7}$ ⋅ $5^{- 9}$

= $5^{7 - 9}$

= $5^{- 2}$

= $\frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{1}{25}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{7} \cdot 2 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{7} \cdot 2 x^{8}$ = $(- 5 \cdot x^{7}) \cdot 2 \cdot x^{8}$ = $- 10 x^{7} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 10$ $x^{7 + 8}$

= $- 10 x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{3}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{3}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{3}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{3 - (- 6)}$

= $- \frac{7}{2} x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (1 + x^{5}) - 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (1 + x^{5}) - 3 x^{5}$

= $x^{5} \cdot 1 + x^{5} \cdot x^{5} - 3 x^{5}$

= $x^{5} + x^{10} - 3 x^{5}$

= $x^{10} - 2 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{4}}{3^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{4}}{3^{4}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3}$

= ${(\frac{6}{3})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{5}$

= $x^{6 \cdot 5}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{4} \cdot 12^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{4} \cdot 12^{- 4}$

= $\frac{6^{4}}{12^{4}}$

= ${(\frac{6}{12})}^{4}$

= ${(\frac{1}{2})}^{4}$

= $\frac{1}{16}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{3} \cdot 15 - 5^{4} \cdot 4}{5^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 15 als 3 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{3} \cdot 15 - 5^{4} \cdot 4}{5^{4}}$

= $\frac{5^{3} \cdot 3 \cdot 5 - 5^{4} \cdot 4}{5^{4}}$

= $\frac{5^{4} \cdot 3 - 5^{4} \cdot 4}{5^{4}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (3 - 4)}{5^{4}}$

= $3 - 4$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{64 {(x - 2)}^{6}}{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{64 {(x - 2)}^{6}}{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{5}}$

= $\frac{64 {(x - 2)}^{6}}{4^{5} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x - 2)}^{6}}{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x - 2)}^{6}}{2^{10} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{6}}{2^{4} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{6}}{16 {({(x - 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{6}}{16 {(x - 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{16 {(x - 2)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln