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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{2}}$

= $x^{3 - 2}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{3}}{4^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{3}}{4^{4}}$

= $4^{3 - 4}$

= $4^{- 1}$

= $\frac{1}{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{2} \cdot 8 x^{7}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} \cdot 8 x^{7}$ = $(- 6 \cdot x^{2}) \cdot 8 \cdot x^{7}$ = $- 48 x^{2} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 48$ $x^{2 + 7}$

= $- 48 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{3}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{3}}{2 x^{5}}$ = $\frac{7 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{5}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{3}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{3 - 5}$

= $\frac{7}{2} x^{- 2}$

= $\frac{7}{2 x^{2}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{4} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{4} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{5}$

= $- 5 x^{4} + (x^{5} \cdot x^{5} + x^{- 1} \cdot x^{5})$

= $- 5 x^{4} + x^{10} + x^{4}$

= $x^{10} - 4 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{9^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{9}{3})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{3}{8})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{3}{8})}^{2}}{{(\frac{4}{3})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{3}{8})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{4}{3})}^{2}}}$

= ${(\frac{3}{8})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{1}{2})}^{2}$

= $\frac{1}{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 x^{6})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 x^{6})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(x^{6})}^{2}$

= $7^{2} \cdot x^{6 \cdot 2}$

= $49 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{6^{2}}{2^{- 2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{6^{2}}{2^{- 2}}$

= $6^{2} \cdot 2^{2}$

= ${(6 \cdot 2)}^{2}$

= $12^{2}$

= $144$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{6} \cdot 4^{5} + 8^{6} \cdot 4^{8}}{32^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{6} \cdot 4^{5} + 8^{6} \cdot 4^{8}}{32^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (4^{5} + 4^{8})}{{(8 \cdot 4)}^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (4^{5} + 4^{8})}{8^{6} \cdot 4^{6}}$

= $\frac{4^{5} + 4^{8}}{4^{6}}$

= $\frac{4^{5} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{6}}$

= $\frac{1 + 64}{4}$

= $\frac{65}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}$

= $\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{4^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x + 1)}^{2}}{{(2^{2})}^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x + 1)}^{2}}{2^{4} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{4 {({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{4 {(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln