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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{13^{6}}{13^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{13^{6}}{13^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{13^{6}}{13^{4}}$

= $\frac{13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13}{13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13}$

= 13 · 13

= $169$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{13^{6}}{13^{4}}$

= $13^{6 - 4}$

= $13^{2}$

= $169$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{8} \cdot 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$9 x^{8} \cdot 3 x^{5}$ = $9 \cdot x^{8} \cdot 3 \cdot x^{5}$ = $27 x^{8} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $27$ $x^{8 + 5}$

= $27 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 8 x^{3} \cdot 5 x^{- 6}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{3} \cdot 5 x^{- 6}$ = $(- 8 \cdot x^{3}) \cdot 5 \cdot x^{- 6}$ = $- 40 x^{3} \cdot x^{- 6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 40$ $x^{3 + (- 6)}$

= $- 40 x^{- 3}$

= $- \frac{40}{x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x + x^{5} \cdot (x^{- 4} + x^{4})$

Lösung einblenden

$- 3 x + x^{5} \cdot (x^{- 4} + x^{4})$

= $- 3 x + (x^{5} \cdot x^{- 4} + x^{5} \cdot x^{4})$

= $- 3 x + x + x^{9}$

= $x^{9} - 2 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(2 \cdot 7)}^{x}$

= $14^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $16^{3}$ ⋅ $4^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $16^{3}$ ⋅ $4^{- 3}$

= $16^{3} \cdot \frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{16^{3}}{4^{3}}$

= $\frac{16 \cdot 16 \cdot 16}{4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{16}{4} \cdot \frac{16}{4} \cdot \frac{16}{4}$

= ${(\frac{16}{4})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{2}$

= $x^{4 \cdot 2}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 8}}{5^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 8}}{5^{8}}$

= $\frac{1}{2^{8}} \cdot \frac{1}{5^{8}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{8}}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{16 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{16 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{2 \cdot 8 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{2 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{(2 - 5) \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $2 - 5$

= $- 3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}{{((x + 1) \cdot (x - 1))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{2} \cdot {(x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{1 \cdot {(x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

= ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln