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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{6}}$

= $x^{7 - 6}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{6}}{5^{9}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{6}}{5^{9}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{6}}{5^{9}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{125}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{6}}{5^{9}}$

= $5^{6 - 9}$

= $5^{- 3}$

= $\frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{125}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{6} \cdot 6 x^{4}$

Lösung einblenden

$3 x^{6} \cdot 6 x^{4}$ = $3 \cdot x^{6} \cdot 6 \cdot x^{4}$ = $18 x^{6} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $18$ $x^{6 + 4}$

= $18 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{7} \cdot 4 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{7} \cdot 4 x^{- 8}$ = $(- 6 \cdot x^{7}) \cdot 4 \cdot x^{- 8}$ = $- 24 x^{7} \cdot x^{- 8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 24$ $x^{7 + (- 8)}$

= $- 24 x^{- 1}$

= $- \frac{24}{x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 3 x^{4}$

= $81 x^{4} - 3 x^{4}$

= $78 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{3}}{4^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{3}}{4^{3}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4}$

= ${(\frac{12}{4})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 3} \cdot 4^{3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 3} \cdot 4^{3}$

= $\frac{4^{3}}{8^{3}}$

= ${(\frac{4}{8})}^{3}$

= ${(\frac{1}{2})}^{3}$

= $\frac{1}{8}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{7} \cdot 5^{6} + 7^{7} \cdot 5^{8}}{35^{7}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (35 = 5 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{7} \cdot 5^{6} + 7^{7} \cdot 5^{8}}{35^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (5^{6} + 5^{8})}{{(7 \cdot 5)}^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (5^{6} + 5^{8})}{7^{7} \cdot 5^{7}}$

= $\frac{5^{6} + 5^{8}}{5^{7}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{7}}$

= $\frac{1 + 25}{5}$

= $\frac{26}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln