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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{8} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{8} \cdot x^{7}$

= $x^{8 + 7}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{4}}$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{4}}$

= ${(- 4)}^{4 - 4}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{8} \cdot 8 x^{9}$

Lösung einblenden

$4 x^{8} \cdot 8 x^{9}$ = $4 \cdot x^{8} \cdot 8 \cdot x^{9}$ = $32 x^{8} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $32$ $x^{8 + 9}$

= $32 x^{17}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{3} \cdot 3 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$3 x^{3} \cdot 3 x^{- 2}$ = $3 \cdot x^{3} \cdot 3 \cdot x^{- 2}$ = $9 x^{3} \cdot x^{- 2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $9$ $x^{3 + (- 2)}$

= $9 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{3} + \frac{x^{4} + x^{2}}{x}$

Lösung einblenden

$5 x^{3} + \frac{x^{4} + x^{2}}{x}$

= $5 x^{3} + (\frac{x^{4}}{x} + \frac{x^{2}}{x})$

= $5 x^{3} + x^{3} + x$

= $6 x^{3} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$5^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(5 \cdot 7)}^{x}$

= $35^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{25^{2}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{25^{2}}{5^{2}}$

= $\frac{25 \cdot 25}{5 \cdot 5}$

= $\frac{25}{5} \cdot \frac{25}{5}$

= ${(\frac{25}{5})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $16 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $16 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{6^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{6^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{6^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(6 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{12^{2}}$

= $\frac{1}{144}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{2} \cdot 6^{3} + 5^{5} \cdot 6^{3}}{30^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{2} \cdot 6^{3} + 5^{5} \cdot 6^{3}}{30^{3}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{5}) \cdot 6^{3}}{{(5 \cdot 6)}^{3}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{5}) \cdot 6^{3}}{5^{3} \cdot 6^{3}}$

= $\frac{5^{2} + 5^{5}}{5^{3}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{3}}$

= $\frac{1 + 125}{5}$

= $\frac{126}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} - 4)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} - 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} - 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot {(x^{2} - 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {((x + 2) \cdot (x - 2))}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5} \cdot 32 {(x - 2)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 \cdot 1 \cdot {(x - 2)}^{5}}{1}$

= $32 {(x - 2)}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln