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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{5}$

= $x^{4 + 5}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{7}}{5^{10}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{7}}{5^{10}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{7}}{5^{10}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{125}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{7}}{5^{10}}$

= $5^{7 - 10}$

= $5^{- 3}$

= $\frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{125}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{4} \cdot 3 x^{6}$

Lösung einblenden

$4 x^{4} \cdot 3 x^{6}$ = $4 \cdot x^{4} \cdot 3 \cdot x^{6}$ = $12 x^{4} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $12$ $x^{4 + 6}$

= $12 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 8}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 8}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 8}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 8}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 8 - (- 4)}$

= $\frac{1}{2} x^{- 4}$

= $\frac{1}{2 x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{3} + x^{9}) \cdot x^{4} - 4 x^{7}$

Lösung einblenden

$(x^{3} + x^{9}) \cdot x^{4} - 4 x^{7}$

= $x^{3} \cdot x^{4} + x^{9} \cdot x^{4} - 4 x^{7}$

= $x^{7} + x^{13} - 4 x^{7}$

= $x^{13} - 3 x^{7}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{5^{3}}{2^{- 3}}$

= $\frac{5^{3}}{\frac{1}{2^{3}}}$

= $5^{3} \cdot 2^{3}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{2}$

= $x^{5 \cdot 2}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{2} \cdot 12^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{2} \cdot 12^{- 2}$

= $\frac{4^{2}}{12^{2}}$

= ${(\frac{4}{12})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{4} \cdot 35 - 7^{5} \cdot 5}{7^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 35 als 5 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{4} \cdot 35 - 7^{5} \cdot 5}{7^{5}}$

= $\frac{7^{4} \cdot 5 \cdot 7 - 7^{5} \cdot 5}{7^{5}}$

= $\frac{7^{5} \cdot 5 - 7^{5} \cdot 5}{7^{5}}$

= $\frac{7^{5} \cdot (5 - 5)}{7^{5}}$

= $5 - 5$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{x - 5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln