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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{2}$ ⋅ $3^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{2}$ ⋅ $3^{2}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{2} \cdot 3^{2}$

= 3 · 3·3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{2}$ ⋅ $3^{2}$

= $3^{2 + 2}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{6} \cdot 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$5 x^{6} \cdot 8 x^{4}$ = $5 \cdot x^{6} \cdot 8 \cdot x^{4}$ = $40 x^{6} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $40$ $x^{6 + 4}$

= $40 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 5}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 5}}{2 x^{8}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{8}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 5}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 5 - 8}$

= $\frac{1}{2} x^{- 13}$

= $\frac{1}{2 x^{13}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{4} + (x^{7} + x) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{4} + (x^{7} + x) \cdot x^{3}$

= $- 2 x^{4} + (x^{7} \cdot x^{3} + x \cdot x^{3})$

= $- 2 x^{4} + x^{10} + x^{4}$

= $x^{10} - x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{6}{25})}^{4}}{{(\frac{5}{4})}^{- 4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{6}{25})}^{4}}{{(\frac{5}{4})}^{- 4}}$

= $\frac{{(\frac{6}{25})}^{4}}{\frac{1}{{(\frac{5}{4})}^{4}}}$

= ${(\frac{6}{25})}^{4} \cdot {(\frac{5}{4})}^{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4})}^{4}$

= ${(\frac{3}{10})}^{4}$

= $\frac{81}{10000}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{4}$

= $x^{6 \cdot 4}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{4})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4 \cdot 4}$

= $16 x^{16}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{4} \cdot 2^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{4} \cdot 2^{- 4}$

= $\frac{6^{4}}{2^{4}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{5} \cdot 32 + 8^{6} \cdot 3}{8^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{5} \cdot 32 + 8^{6} \cdot 3}{8^{6}}$

= $\frac{8^{5} \cdot 4 \cdot 8 + 8^{6} \cdot 3}{8^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot 4 + 8^{6} \cdot 3}{8^{6}}$

= $\frac{8^{6} \cdot (4 + 3)}{8^{6}}$

= $4 + 3$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{({(2 x - 1)}^{2})}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{8}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 1)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln