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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{6}}$

= $x^{2 - 6}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{3}$ ⋅ $10^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{3}$ ⋅ $10^{3}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{3} \cdot 10^{3}$

= 10 · 10 · 10·10 · 10 · 10

= $1 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{3}$ ⋅ $10^{3}$

= $10^{3 + 3}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{6} \cdot 7 x^{4}$

Lösung einblenden

$3 x^{6} \cdot 7 x^{4}$ = $3 \cdot x^{6} \cdot 7 \cdot x^{4}$ = $21 x^{6} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $21$ $x^{6 + 4}$

= $21 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{3}}{2 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{3}}{2 x^{- 5}}$ = $\frac{6 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{- 5}}$ = $3 \frac{x^{3}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3 - (- 5)}$

= $3 x^{8}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2} - 2 x^{2}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{2} - 2 x^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2} - 2 x^{2}$

= $9 x^{2} - 2 x^{2}$

= $7 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{25^{2}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{25^{2}}{5^{2}}$

= $\frac{25 \cdot 25}{5 \cdot 5}$

= $\frac{25}{5} \cdot \frac{25}{5}$

= ${(\frac{25}{5})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{4}$

= $x^{4 \cdot 4}$

= $x^{16}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{2})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{2 \cdot 4}$

= $16 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $9^{- 4} \cdot 3^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$9^{- 4} \cdot 3^{4}$

= $\frac{3^{4}}{9^{4}}$

= ${(\frac{3}{9})}^{4}$

= ${(\frac{1}{3})}^{4}$

= $\frac{1}{81}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{3} \cdot 8^{4} + 4^{6} \cdot 8^{4}}{32^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{3} \cdot 8^{4} + 4^{6} \cdot 8^{4}}{32^{4}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 8^{4}}{{(4 \cdot 8)}^{4}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 8^{4}}{4^{4} \cdot 8^{4}}$

= $\frac{4^{3} + 4^{6}}{4^{4}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{4}}$

= $\frac{1 + 64}{4}$

= $\frac{65}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{2}}{1}$

= ${(x - 5)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln