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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{8}$

= $x^{2 + 8}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{6}}{10^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{6}}{10^{- 3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{6}}{10^{- 3}}$

= $10^{6} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{6} \cdot 10^{3}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10·10 · 10 · 10

= $1 000 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{6}}{10^{- 3}}$

= $10^{6} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{6} \cdot 10^{3}$

= $10^{6 + 3}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{4}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{4}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{4}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{4 - 3}$

= $- \frac{1}{2} x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{1 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{8}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{8 - (- 6)}$

= $\frac{1}{2} x^{14}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{4} + x^{5} \cdot (x^{4} + x^{- 1})$

Lösung einblenden

$- 5 x^{4} + x^{5} \cdot (x^{4} + x^{- 1})$

= $- 5 x^{4} + (x^{5} \cdot x^{4} + x^{5} \cdot x^{- 1})$

= $- 5 x^{4} + x^{9} + x^{4}$

= $x^{9} - 4 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{3}$

= $8 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{25})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{25})}^{3} \cdot {(\frac{5}{4})}^{3}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4})}^{3}$

= ${(\frac{3}{10})}^{3}$

= $\frac{27}{1000}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{2}$

= $x^{4 \cdot 2}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{4})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{4})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{4})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{4 \cdot 3}$

= $27 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{6}}{2^{- 6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{6}}{2^{- 6}}$

= $5^{6} \cdot 2^{6}$

= ${(5 \cdot 2)}^{6}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 30 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 30 als 5 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 30 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 5 \cdot 6 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 5 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (5 + 3)}{6^{6}}$

= $5 + 3$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{2}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{2}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x - 3)}^{2})}^{2}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{4}}{{(2 x - 3)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 3)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln