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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{4}$ ⋅ $5^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 4}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{4} \cdot \frac{1}{5^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 4}$

= $5^{4 - 4}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{8}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{8}}{2 x^{5}}$ = $\frac{8 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{5}}$ = $4 \frac{x^{8}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $4$ $x^{8 - 5}$

= $4 x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{3}}{3 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{3}}{3 x^{9}}$ = $\frac{9 \cdot x^{3}}{3 \cdot x^{9}}$ = $3 \frac{x^{3}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3 - 9}$

= $3 x^{- 6}$

= $\frac{3}{x^{6}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $9 x^{2} - 3 x^{2}$

= $6 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{2}$

= $2^{x \cdot 2}$

= $2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{2})}^{x}$

= $4^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{4 \cdot 5}$

= $32 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 4} \cdot 8^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 4} \cdot 8^{4}$

= $\frac{8^{4}}{4^{4}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{6} \cdot 3^{2} + 5^{6} \cdot 3^{6}}{15^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (15 = 3 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{6} \cdot 3^{2} + 5^{6} \cdot 3^{6}}{15^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (3^{2} + 3^{6})}{{(5 \cdot 3)}^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (3^{2} + 3^{6})}{5^{6} \cdot 3^{6}}$

= $\frac{3^{2} + 3^{6}}{3^{6}}$

= $\frac{3^{2} \cdot (1 + 3^{4})}{3^{6}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{4}}$

= $\frac{82}{81}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 25)}^{4}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{4}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}$

= $\frac{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{4}}{{({(x - 5)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{4} \cdot {(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{8}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{4}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln