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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{3}$

= $x^{4 + 3}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 2)}^{2}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 2)}^{2}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 9}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 2)}^{2} \cdot (\frac{1}{{(- 2)}^{9}})$

= $\frac{(- 2) \cdot (- 2)}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $\frac{1}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $- \frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 2)}^{2}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 9}$

= ${(- 2)}^{2 - 9}$

= ${(- 2)}^{- 7}$

= $\frac{1}{{(- 2)}^{7}}$

= $- \frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{8}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{8}}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{2}}$ = $- 3 \frac{x^{8}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{8 - 2}$

= $- 3 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{1 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{8}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{8 - (- 2)}$

= $\frac{1}{2} x^{10}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5} + x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{5} + x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{3}$

= $\frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}} - 4 x^{3}$

= $x^{3} + x^{2} - 4 x^{3}$

= $- 3 x^{3} + x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $8^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{8^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{8 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

= $\frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2}$

= ${(\frac{8}{2})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{2}$

= $x^{3 \cdot 2}$

= $x^{6}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{5})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{5})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{5})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{5 \cdot 4}$

= $81 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{4^{7} \cdot 4^{5}}{16^{5}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $16$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 5 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{4^{7} \cdot 4^{5}}{16^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot 4^{7}}{16^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot 4^{5 + 2}}{16^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot 4^{5} \cdot 4^{2}}{16^{5}}$

= $\frac{{(4 \cdot 4)}^{5}}{16^{5}} \cdot 4^{2}$

= $\frac{16^{5}}{16^{5}} \cdot 4^{2}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{4} \cdot 8^{6} + 4^{7} \cdot 8^{6}}{32^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{4} \cdot 8^{6} + 4^{7} \cdot 8^{6}}{32^{6}}$

= $\frac{(4^{4} + 4^{7}) \cdot 8^{6}}{{(4 \cdot 8)}^{6}}$

= $\frac{(4^{4} + 4^{7}) \cdot 8^{6}}{4^{6} \cdot 8^{6}}$

= $\frac{4^{4} + 4^{7}}{4^{6}}$

= $\frac{4^{4} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{6}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{2}}$

= $\frac{65}{16}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{32 {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{2^{5} \cdot {(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {({(x + 2)}^{2})}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {(x + 2)}^{10}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{32 {(x + 2)}^{5}}{1}$

= $32 {(x + 2)}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln