Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{6}$

= $x^{2 + 6}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{2} \cdot 2^{3}$

= 2 · 2·2 · 2 · 2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{2}$ ⋅ $2^{3}$

= $2^{2 + 3}$

= $2^{5}$

= $32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{2}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{2}}{2 x^{4}}$ = $\frac{5 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{2 - 4}$

= $\frac{5}{2} x^{- 2}$

= $\frac{5}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 7 x^{- 9} \cdot 4 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 7 x^{- 9} \cdot 4 x^{8}$ = $(- 7 \cdot x^{- 9}) \cdot 4 \cdot x^{8}$ = $- 28 x^{- 9} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 28$ $x^{- 9 + 8}$

= $- 28 x^{- 1}$

= $- \frac{28}{x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 + (x^{- 4} + x) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 4 + (x^{- 4} + x) \cdot x^{4}$

= $- 4 + (x^{- 4} \cdot x^{4} + x \cdot x^{4})$

= $- 4 + 1 + x^{5}$

= $x^{5} - 3$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{25})}^{4}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{25})}^{4} \cdot {(\frac{5}{4})}^{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4})}^{4}$

= ${(\frac{3}{10})}^{4}$

= $\frac{81}{10000}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $16 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $16 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{7^{2}}{2^{- 2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{7^{2}}{2^{- 2}}$

= $7^{2} \cdot 2^{2}$

= ${(7 \cdot 2)}^{2}$

= $14^{2}$

= $196$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{6} \cdot 12 - 6^{7} \cdot 3}{6^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{6} \cdot 12 - 6^{7} \cdot 3}{6^{7}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 2 \cdot 6 - 6^{7} \cdot 3}{6^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot 2 - 6^{7} \cdot 3}{6^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot (2 - 3)}{6^{7}}$

= $2 - 3$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

= $\frac{{({(2 x + 5)}^{2})}^{3}}{{((2 x + 5) \cdot (2 x - 5))}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{3} \cdot {(2 x - 5)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{1 \cdot {(2 x - 5)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x - 5)}^{3}}$

= ${(\frac{2 x + 5}{2 x - 5})}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln