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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{7}}$

= $x^{5 - 7}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{2}}{3^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{2}}{3^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{2}}{3^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{9}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{2}}{3^{4}}$

= $3^{2 - 4}$

= $3^{- 2}$

= $\frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{1}{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{7} \cdot 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$- x^{7} \cdot 2 x^{4}$ = $(- 1 \cdot x^{7}) \cdot 2 \cdot x^{4}$ = $- 2 x^{7} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 2$ $x^{7 + 4}$

= $- 2 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{4} \cdot 5 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$- x^{4} \cdot 5 x^{- 4}$ = $(- 1 \cdot x^{4}) \cdot 5 \cdot x^{- 4}$ = $- 5 x^{4} \cdot x^{- 4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 5$ $x^{4 + (- 4)}$

= $- 5$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{2} + \frac{x^{4} + x^{3}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$4 x^{2} + \frac{x^{4} + x^{3}}{x^{2}}$

= $4 x^{2} + (\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}})$

= $4 x^{2} + x^{2} + x$

= $5 x^{2} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{35^{3}}{7^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{35^{3}}{7^{3}}$

= $\frac{35 \cdot 35 \cdot 35}{7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{35}{7} \cdot \frac{35}{7} \cdot \frac{35}{7}$

= ${(\frac{35}{7})}^{3}$

= $5^{3}$

= $125$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(x^{4})}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{4 \cdot 3}$

= $8 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 2} \cdot 10^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 2} \cdot 10^{2}$

= $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{28 \cdot 7^{7} - 5 \cdot 7^{8}}{7^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 28 als 4 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{28 \cdot 7^{7} - 5 \cdot 7^{8}}{7^{8}}$

= $\frac{4 \cdot 7 \cdot 7^{7} - 5 \cdot 7^{8}}{7^{8}}$

= $\frac{4 \cdot 7^{8} - 5 \cdot 7^{8}}{7^{8}}$

= $\frac{(4 - 5) \cdot 7^{8}}{7^{8}}$

= $4 - 5$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}$

= $\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{4^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x + 1)}^{2}}{{(2^{2})}^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x + 1)}^{2}}{2^{4} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{4 {({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{4 {(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1}{4 {(x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln