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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{2}$

= $x^{6 + 2}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $12^{7}$ ⋅ $12^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$12^{7}$ ⋅ $12^{- 5}$

Herkömmlicher Weg:

$12^{7} \cdot \frac{1}{12^{5}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}$

= 12 · 12

= $144$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$12^{7}$ ⋅ $12^{- 5}$

= $12^{7 - 5}$

= $12^{2}$

= $144$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{3} \cdot 2 x^{6}$

Lösung einblenden

$2 x^{3} \cdot 2 x^{6}$ = $2 \cdot x^{3} \cdot 2 \cdot x^{6}$ = $4 x^{3} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $4$ $x^{3 + 6}$

= $4 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 4}}{2 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 4}}{2 x^{- 5}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 4}}{2 \cdot x^{- 5}}$ = $2 \frac{x^{- 4}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 4 - (- 5)}$

= $2 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x + \frac{x^{2} + x^{5}}{x}$

Lösung einblenden

$- 5 x + \frac{x^{2} + x^{5}}{x}$

= $- 5 x + (\frac{x^{2}}{x} + \frac{x^{5}}{x})$

= $- 5 x + x + x^{4}$

= $x^{4} - 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{12^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{12}{3})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{4}}{4^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4}$

= ${(\frac{12}{4})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{5})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{5})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{5})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{5 \cdot 3}$

= $27 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{4} \cdot 15^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{4} \cdot 15^{- 4}$

= $\frac{5^{4}}{15^{4}}$

= ${(\frac{5}{15})}^{4}$

= ${(\frac{1}{3})}^{4}$

= $\frac{1}{81}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{24 \cdot 6^{7} + 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{24 \cdot 6^{7} + 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{4 \cdot 6 \cdot 6^{7} + 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{4 \cdot 6^{8} + 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{(4 + 5) \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $4 + 5$

= $9$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{4} \cdot {(2 x - 3)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 3)}^{4}}{1}$

= ${(2 x - 3)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln