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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{4}$

= $x^{2 + 4}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 5)}^{5}}{{(- 5)}^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 5)}^{5}}{{(- 5)}^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 5)}^{5}}{{(- 5)}^{2}}$

= $\frac{(- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)}{(- 5) \cdot (- 5)}$

= ( $- 5$ ) · ( $- 5$ ) · ( $- 5$ )

= $- 125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 5)}^{5}}{{(- 5)}^{2}}$

= ${(- 5)}^{5 - 2}$

= ${(- 5)}^{3}$

= $- 125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{9} \cdot 2 x^{6}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{9} \cdot 2 x^{6}$ = $(- 5 \cdot x^{9}) \cdot 2 \cdot x^{6}$ = $- 10 x^{9} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 10$ $x^{9 + 6}$

= $- 10 x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{- 2} \cdot 6 x^{3}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{- 2} \cdot 6 x^{3}$ = $(- 2 \cdot x^{- 2}) \cdot 6 \cdot x^{3}$ = $- 12 x^{- 2} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{- 2 + 3}$

= $- 12 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (x^{9} + x) - 2 x^{6}$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (x^{9} + x) - 2 x^{6}$

= $x^{5} \cdot x^{9} + x^{5} \cdot x - 2 x^{6}$

= $x^{14} + x^{6} - 2 x^{6}$

= $x^{14} - x^{6}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(2 \cdot 7)}^{x}$

= $14^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{8}{15})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{8}{15})}^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{8}{15}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{2}$

= $x^{3 \cdot 2}$

= $x^{6}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{2} \cdot 8^{5} + 3^{5} \cdot 8^{5}}{24^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{2} \cdot 8^{5} + 3^{5} \cdot 8^{5}}{24^{5}}$

= $\frac{(3^{2} + 3^{5}) \cdot 8^{5}}{{(3 \cdot 8)}^{5}}$

= $\frac{(3^{2} + 3^{5}) \cdot 8^{5}}{3^{5} \cdot 8^{5}}$

= $\frac{3^{2} + 3^{5}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{2} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{3}}$

= $\frac{28}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{((x + 4) \cdot (x - 4))}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3} \cdot {(x - 4)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 4)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln