Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{5}$

= $x^{7 + 5}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{6}$ ⋅ $5^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{6} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5 · 5

= $125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 3}$

= $5^{6 - 3}$

= $5^{3}$

= $125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{7} \cdot 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{7} \cdot 4 x^{2}$ = $(- 9 \cdot x^{7}) \cdot 4 \cdot x^{2}$ = $- 36 x^{7} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 36$ $x^{7 + 2}$

= $- 36 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{7} \cdot 4 x^{- 9}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{7} \cdot 4 x^{- 9}$ = $(- 6 \cdot x^{7}) \cdot 4 \cdot x^{- 9}$ = $- 24 x^{7} \cdot x^{- 9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 24$ $x^{7 + (- 9)}$

= $- 24 x^{- 2}$

= $- \frac{24}{x^{2}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x + (x^{- 2} + x^{3}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 2 x + (x^{- 2} + x^{3}) \cdot x^{3}$

= $- 2 x + (x^{- 2} \cdot x^{3} + x^{3} \cdot x^{3})$

= $- 2 x + x + x^{6}$

= $x^{6} - x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{5})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{5})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{9}{5})}^{2}$

= $\frac{81}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{5}$

= $x^{5 \cdot 5}$

= $x^{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{8}}{2^{- 8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{8}}{2^{- 8}}$

= $5^{8} \cdot 2^{8}$

= ${(5 \cdot 2)}^{8}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{6} \cdot 4^{6} + 7^{6} \cdot 4^{8}}{28^{6}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{6} \cdot 4^{6} + 7^{6} \cdot 4^{8}}{28^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{{(7 \cdot 4)}^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot (4^{6} + 4^{8})}{7^{6} \cdot 4^{6}}$

= $\frac{4^{6} + 4^{8}}{4^{6}}$

= $\frac{4^{6} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{6}}$

= $\frac{1 + 16}{1}$

= $17$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x - 2)}^{3}}{{(4 x^{2} - 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x - 2)}^{3}}{{(4 x^{2} - 16)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x - 2)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{3}}{8 {((x - 2) \cdot (x + 2))}^{3}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{3}}{{(x - 2)}^{3} \cdot 8 {(x + 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot 8 {(x + 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln