Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{4}$

= $x^{2 + 4}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{4}}{4^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

= $4^{4 - 4}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{4} \cdot 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{4} \cdot 3 x^{5}$ = $(- 4 \cdot x^{4}) \cdot 3 \cdot x^{5}$ = $- 12 x^{4} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{4 + 5}$

= $- 12 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{3} \cdot 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$2 x^{3} \cdot 3 x^{7}$ = $2 \cdot x^{3} \cdot 3 \cdot x^{7}$ = $6 x^{3} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{3 + 7}$

= $6 x^{10}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot (x + x^{5}) - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot (x + x^{5}) - 5 x^{5}$

= $x^{4} \cdot x + x^{4} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $x^{5} + x^{9} - 5 x^{5}$

= $x^{9} - 4 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $25^{3}$ ⋅ $5^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $25^{3}$ ⋅ $5^{- 3}$

= $25^{3} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{25^{3}}{5^{3}}$

= $\frac{25 \cdot 25 \cdot 25}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{25}{5} \cdot \frac{25}{5} \cdot \frac{25}{5}$

= ${(\frac{25}{5})}^{3}$

= $5^{3}$

= $125$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{4})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{4})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{4})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{4 \cdot 3}$

= $27 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{10 \cdot 5^{4} - 4 \cdot 5^{5}}{5^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 10 als 2 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{10 \cdot 5^{4} - 4 \cdot 5^{5}}{5^{5}}$

= $\frac{2 \cdot 5 \cdot 5^{4} - 4 \cdot 5^{5}}{5^{5}}$

= $\frac{2 \cdot 5^{5} - 4 \cdot 5^{5}}{5^{5}}$

= $\frac{(2 - 4) \cdot 5^{5}}{5^{5}}$

= $2 - 4$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{5}}{128 {(x - 1)}^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{5}}{128 {(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{5}}{128 {(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{5}}{2^{7} \cdot {(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{5}}{2^{7} \cdot {(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{5}}{{(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {({(x - 1)}^{2})}^{5}}{{(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {(x - 1)}^{10}}{{(x - 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {(x - 1)}^{3}}{1}$

= $8 {(x - 1)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln