Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{2}$

= $x^{5 + 2}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{4}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

= $5^{4 - 2}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{2}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{2}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{2 - 4}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 2}$

= $- \frac{7}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{2} \cdot 2 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{2} \cdot 2 x^{5}$ = $(- 6 \cdot x^{2}) \cdot 2 \cdot x^{5}$ = $- 12 x^{2} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{2 + 5}$

= $- 12 x^{7}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot (x^{2} + x^{- 2}) - 2$

Lösung einblenden

$x^{2} \cdot (x^{2} + x^{- 2}) - 2$

= $x^{2} \cdot x^{2} + x^{2} \cdot x^{- 2} - 2$

= $x^{4} + 1 - 2$

= $x^{4} - 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $18^{4}$ ⋅ $6^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $18^{4}$ ⋅ $6^{- 4}$

= $18^{4} \cdot \frac{1}{6^{4}}$

= $\frac{18^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6}$

= ${(\frac{18}{6})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{3}$

= $x^{6 \cdot 3}$

= $x^{18}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 2^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 2^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(2^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 2^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(2^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 8^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{2} \cdot 2^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{2} \cdot 2^{- 4}$

= $\frac{8^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{2}}{2^{4}}$

= $\frac{2^{6}}{2^{4}}$

= $2^{6 - 4}$

= $2^{2}$

= $4$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{2} \cdot 4^{2} + 5^{2} \cdot 4^{4}}{20^{2}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (20 = 4 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{2} \cdot 4^{2} + 5^{2} \cdot 4^{4}}{20^{2}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (4^{2} + 4^{4})}{{(5 \cdot 4)}^{2}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (4^{2} + 4^{4})}{5^{2} \cdot 4^{2}}$

= $\frac{4^{2} + 4^{4}}{4^{2}}$

= $\frac{4^{2} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{2}}$

= $\frac{1 + 16}{1}$

= $17$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

= $\frac{{({(x - 5)}^{2})}^{4}}{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{4}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{8}}{{(x - 5)}^{4} \cdot {(x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{4}}{1 \cdot {(x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{4}}{{(x + 5)}^{4}}$

= ${(\frac{x - 5}{x + 5})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln