Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{7}$

= $x^{5 + 7}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{6}$ ⋅ $2^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{6}$ ⋅ $2^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{6} \cdot \frac{1}{2}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2}$

= 2 · 2 · 2 · 2 · 2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{6}$ ⋅ $2^{- 1}$

= $2^{6 - 1}$

= $2^{5}$

= $32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{4}}{3 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{4}}{3 x^{2}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{4}}{3 \cdot x^{2}}$ = $- 3 \frac{x^{4}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{4 - 2}$

= $- 3 x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{- 8} \cdot 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{- 8} \cdot 2 x^{2}$ = $(- 9 \cdot x^{- 8}) \cdot 2 \cdot x^{2}$ = $- 18 x^{- 8} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 18$ $x^{- 8 + 2}$

= $- 18 x^{- 6}$

= $- \frac{18}{x^{6}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8} + x^{6}}{x^{3}} + 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8} + x^{6}}{x^{3}} + 4 x^{3}$

= $\frac{x^{8}}{x^{3}} + \frac{x^{6}}{x^{3}} + 4 x^{3}$

= $x^{5} + x^{3} + 4 x^{3}$

= $x^{5} + 5 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{25^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{25}{5})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $21^{3}$ ⋅ $7^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $21^{3}$ ⋅ $7^{- 3}$

= $21^{3} \cdot \frac{1}{7^{3}}$

= $\frac{21^{3}}{7^{3}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{4})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{4})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{4})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4 \cdot 4}$

= $81 x^{16}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{4} \cdot \frac{5^{7}}{15^{4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $3$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $15$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$3^{4} \cdot \frac{5^{7}}{15^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{7}}{15^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{4 + 3}}{15^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 5^{3}}{15^{4}}$

= $\frac{{(3 \cdot 5)}^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{3}$

= $\frac{15^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{3}$

= $125$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 6^{6} + 5^{8} \cdot 6^{6}}{30^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 6^{6} + 5^{8} \cdot 6^{6}}{30^{6}}$

= $\frac{(5^{5} + 5^{8}) \cdot 6^{6}}{{(5 \cdot 6)}^{6}}$

= $\frac{(5^{5} + 5^{8}) \cdot 6^{6}}{5^{6} \cdot 6^{6}}$

= $\frac{5^{5} + 5^{8}}{5^{6}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{6}}$

= $\frac{1 + 125}{5}$

= $\frac{126}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{({(x - 4)}^{2})}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{4}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{2}}{1}$

= ${(x - 4)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln