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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{7}$

= $x^{5 + 7}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{7}}{10^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

= $10^{7 - 2}$

= $10^{5}$

= $100 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{2}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{2}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{2}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{2 - 3}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 1}$

= $- \frac{7}{2 x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{- 3}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{- 3}}{2 x^{3}}$ = $\frac{7 \cdot x^{- 3}}{2 \cdot x^{3}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{- 3}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{- 3 - 3}$

= $\frac{7}{2} x^{- 6}$

= $\frac{7}{2 x^{6}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot (x^{2} + x^{6}) - 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{3} \cdot (x^{2} + x^{6}) - 3 x^{5}$

= $x^{3} \cdot x^{2} + x^{3} \cdot x^{6} - 3 x^{5}$

= $x^{5} + x^{9} - 3 x^{5}$

= $x^{9} - 2 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{9^{2}}{3^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{9^{2}}{3^{2}}$

= $\frac{9 \cdot 9}{3 \cdot 3}$

= $\frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3}$

= ${(\frac{9}{3})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 2}}{7^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 2}}{7^{2}}$

= $\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{7^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 7)}^{2}}$

= $\frac{1}{14^{2}}$

= $\frac{1}{196}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{5} \cdot 6^{8} + 4^{8} \cdot 6^{8}}{24^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 4 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{5} \cdot 6^{8} + 4^{8} \cdot 6^{8}}{24^{8}}$

= $\frac{(4^{5} + 4^{8}) \cdot 6^{8}}{{(4 \cdot 6)}^{8}}$

= $\frac{(4^{5} + 4^{8}) \cdot 6^{8}}{4^{8} \cdot 6^{8}}$

= $\frac{4^{5} + 4^{8}}{4^{8}}$

= $\frac{4^{5} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{8}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{3}}$

= $\frac{65}{64}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{({(x + 4)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x + 4)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln