Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{3}$

= $x^{5 + 3}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{7}$ ⋅ $3^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{7}$ ⋅ $3^{- 5}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{7} \cdot \frac{1}{3^{5}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= 3 · 3

= $9$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{7}$ ⋅ $3^{- 5}$

= $3^{7 - 5}$

= $3^{2}$

= $9$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{7} \cdot 4 x^{4}$

Lösung einblenden

$4 x^{7} \cdot 4 x^{4}$ = $4 \cdot x^{7} \cdot 4 \cdot x^{4}$ = $16 x^{7} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $16$ $x^{7 + 4}$

= $16 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{8}}{3 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{8}}{3 x^{- 9}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{8}}{3 \cdot x^{- 9}}$ = $- 3 \frac{x^{8}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{8 - (- 9)}$

= $- 3 x^{17}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4} - 4 x^{4}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{4} - 4 x^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4} - 4 x^{4}$

= $16 x^{4} - 4 x^{4}$

= $12 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5^{x} \cdot 6^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$5^{x} \cdot 6^{x}$

= ${(5 \cdot 6)}^{x}$

= $30^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{25})}^{4}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{25})}^{4} \cdot {(\frac{5}{4})}^{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{6}{25}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{6}{25} \cdot \frac{5}{4})}^{4}$

= ${(\frac{3}{10})}^{4}$

= $\frac{81}{10000}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{2}$

= $x^{6 \cdot 2}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 x^{2})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 x^{2})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(x^{2})}^{2}$

= $7^{2} \cdot x^{2 \cdot 2}$

= $49 x^{4}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{4} \cdot 15^{- 4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{4} \cdot 15^{- 4}$

= $\frac{5^{4}}{15^{4}}$

= ${(\frac{5}{15})}^{4}$

= ${(\frac{1}{3})}^{4}$

= $\frac{1}{81}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 25 - 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 25 als 5 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 25 - 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{5} \cdot 5 \cdot 5 - 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot 5 - 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (5 - 3)}{5^{6}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{5}}{{(4 x^{2} - 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{5}}{{(4 x^{2} - 25)}^{5}}$

= $\frac{{({(2 x - 5)}^{2})}^{5}}{{((2 x - 5) \cdot (2 x + 5))}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{10}}{{(2 x - 5)}^{5} \cdot {(2 x + 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{5}}{1 \cdot {(2 x + 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{5}}{{(2 x + 5)}^{5}}$

= ${(\frac{2 x - 5}{2 x + 5})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln