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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{6}}$

= $x^{3 - 6}$

= $x^{- 3}$

= $\frac{1}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{3}}{3^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{3}}{3^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{3}}{3}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{3}$

= 3 · 3

= $9$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{3}}{3^{1}}$

= $3^{3 - 1}$

= $3^{2}$

= $9$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 8 x^{5} \cdot 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{5} \cdot 5 x^{2}$ = $(- 8 \cdot x^{5}) \cdot 5 \cdot x^{2}$ = $- 40 x^{5} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 40$ $x^{5 + 2}$

= $- 40 x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{- 4}}{4 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{- 4}}{4 x^{- 6}}$ = $\frac{8 \cdot x^{- 4}}{4 \cdot x^{- 6}}$ = $2 \frac{x^{- 4}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 4 - (- 6)}$

= $2 x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{5} + x^{3} \cdot (x^{7} + x^{2})$

Lösung einblenden

$- 4 x^{5} + x^{3} \cdot (x^{7} + x^{2})$

= $- 4 x^{5} + (x^{3} \cdot x^{7} + x^{3} \cdot x^{2})$

= $- 4 x^{5} + x^{10} + x^{5}$

= $x^{10} - 3 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{2}$ ⋅ $9^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{2} \cdot 9^{2}$

= $2 \cdot 2$ ⋅ $9 \cdot 9$

= $2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 9$

= ${(2 \cdot 9)}^{2}$

= $18^{2}$

= $324$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{4}$

= $3^{x \cdot 4}$

= $3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{4})}^{x}$

= $81^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x^{3})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 x^{3})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$

= $16 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{7} \cdot \frac{11^{9}}{22^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $11$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $22$ ) ist.
Wenn man nun die $11^{9}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 7 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{7} \cdot \frac{11^{9}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{9}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{7 + 2}}{22^{7}}$

= $\frac{2^{7} \cdot 11^{7} \cdot 11^{2}}{22^{7}}$

= $\frac{{(2 \cdot 11)}^{7}}{22^{7}} \cdot 11^{2}$

= $\frac{22^{7}}{22^{7}} \cdot 11^{2}$

= $121$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 2^{4} + 8^{7} \cdot 2^{7}}{16^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (16 = 2 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 2^{4} + 8^{7} \cdot 2^{7}}{16^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2^{4} + 2^{7})}{{(8 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2^{4} + 2^{7})}{8^{7} \cdot 2^{7}}$

= $\frac{2^{4} + 2^{7}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{4} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{3}}$

= $\frac{9}{8}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{3}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 1)}^{2})}^{3}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{6}}{{(2 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{1}$

= ${(2 x + 1)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln