Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{6}}$

= $x^{5 - 6}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{2}$ ⋅ $10^{5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{2}$ ⋅ $10^{5}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{2} \cdot 10^{5}$

= 10 · 10·10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $10 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{2}$ ⋅ $10^{5}$

= $10^{2 + 5}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{7} \cdot 2 x^{6}$

Lösung einblenden

$4 x^{7} \cdot 2 x^{6}$ = $4 \cdot x^{7} \cdot 2 \cdot x^{6}$ = $8 x^{7} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $8$ $x^{7 + 6}$

= $8 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{- 8}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{- 8}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{- 8}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{- 8}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{- 8 - (- 2)}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 6}$

= $- \frac{1}{2 x^{6}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{2} + x^{2} \cdot (1 + x^{3})$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} + x^{2} \cdot (1 + x^{3})$

= $- 3 x^{2} + (x^{2} \cdot 1 + x^{2} \cdot x^{3})$

= $- 3 x^{2} + x^{2} + x^{5}$

= $x^{5} - 2 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{9^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{9}{3})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $4^{7}$ ⋅ $4^{- 7}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $4^{7}$ ⋅ $4^{- 7}$

= $4^{7} \cdot \frac{1}{4^{7}}$

= $\frac{4^{7}}{4^{7}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}$

= ${(\frac{4}{4})}^{7}$

= $1^{7}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 2} \cdot 10^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 2} \cdot 10^{2}$

= $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6 \cdot 5 + 6 \cdot 5^{3}}{30}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6 \cdot 5 + 6 \cdot 5^{3}}{30}$

= $\frac{6 \cdot (5 + 5^{3})}{6 \cdot 5}$

= $\frac{5 + 5^{3}}{5}$

= $\frac{5 \cdot (1 + 5^{2})}{5}$

= $\frac{1 + 25}{1}$

= $26$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{({(2 x + 5)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln