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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{2}$

= $x^{6 + 2}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{11^{2}}{11^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{11^{2}}{11^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{11^{2}}{11^{4}}$

= $\frac{11 \cdot 11}{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}$

= $\frac{1}{11 \cdot 11}$

= $\frac{1}{121}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{11^{2}}{11^{4}}$

= $11^{2 - 4}$

= $11^{- 2}$

= $\frac{1}{11^{2}}$

= $\frac{1}{121}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{3}}{3 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{3}}{3 x^{4}}$ = $\frac{6 \cdot x^{3}}{3 \cdot x^{4}}$ = $2 \frac{x^{3}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{3 - 4}$

= $2 x^{- 1}$

= $\frac{2}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{7}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{7}}{2 x^{5}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{5}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{7}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{7 - 5}$

= $- \frac{7}{2} x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{5} + x^{2} \cdot (x^{5} + x^{3})$

Lösung einblenden

$- 3 x^{5} + x^{2} \cdot (x^{5} + x^{3})$

= $- 3 x^{5} + (x^{2} \cdot x^{5} + x^{2} \cdot x^{3})$

= $- 3 x^{5} + x^{7} + x^{5}$

= $x^{7} - 2 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{10^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{5}$ ⋅ $2^{5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{5} \cdot 2^{5}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{5}$

= $10^{5}$

= $100 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{2}$

= $x^{2 \cdot 2}$

= $x^{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $81 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $81 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 2}}{3^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 2}}{3^{2}}$

= $\frac{1}{5^{2}} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 3)}^{2}}$

= $\frac{1}{15^{2}}$

= $\frac{1}{225}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{5} - 2 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{5} - 2 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{5} - 2 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{6} - 2 \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $\frac{(5 - 2) \cdot 8^{6}}{8^{6}}$

= $5 - 2$

= $3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 25)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{5} \cdot {(x + 5)}^{5}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x + 5)}^{5}}$

= $\frac{1}{{(x + 5)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln