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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{8}}$

= $x^{6 - 8}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{4}$ ⋅ $5^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 5}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{4} \cdot \frac{1}{5^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 5}$

= $5^{4 - 5}$

= $5^{- 1}$

= $\frac{1}{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{6} \cdot 7 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{6} \cdot 7 x^{2}$ = $(- 2 \cdot x^{6}) \cdot 7 \cdot x^{2}$ = $- 14 x^{6} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 14$ $x^{6 + 2}$

= $- 14 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{- 6}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{- 6}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{- 6}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{- 6 - (- 7)}$

= $- \frac{5}{2} x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2} - 5 x^{2}$

Lösung einblenden

${(5 x)}^{2} - 5 x^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2} - 5 x^{2}$

= $25 x^{2} - 5 x^{2}$

= $20 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $6 \cdot 6$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $6 \cdot \frac{5}{4} \cdot 6 \cdot \frac{5}{4}$

= ${(6 \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{15}{2})}^{2}$

= $\frac{225}{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(x^{3})}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{3 \cdot 3}$

= $8 x^{9}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{2} \cdot 22^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{2} \cdot 22^{- 2}$

= $\frac{2^{2}}{22^{2}}$

= ${(\frac{2}{22})}^{2}$

= ${(\frac{1}{11})}^{2}$

= $\frac{1}{121}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{3} \cdot 6^{5} + 5^{6} \cdot 6^{5}}{30^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{3} \cdot 6^{5} + 5^{6} \cdot 6^{5}}{30^{5}}$

= $\frac{(5^{3} + 5^{6}) \cdot 6^{5}}{{(5 \cdot 6)}^{5}}$

= $\frac{(5^{3} + 5^{6}) \cdot 6^{5}}{5^{5} \cdot 6^{5}}$

= $\frac{5^{3} + 5^{6}}{5^{5}}$

= $\frac{5^{3} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{5}}$

= $\frac{1 + 125}{5^{2}}$

= $\frac{126}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x - 5)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x - 5)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{3}}{{((2 x - 5) \cdot (2 x + 5))}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{3}}{{(2 x - 5)}^{3} \cdot {(2 x + 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x + 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln