Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{3}}$

= $x^{6 - 3}$

= $x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 4}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 4}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

= ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )·( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )

= $- 128$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 4}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 4}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{4}$

= ${(- 2)}^{3 + 4}$

= ${(- 2)}^{7}$

= $- 128$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{9} \cdot 8 x^{5}$

Lösung einblenden

$- x^{9} \cdot 8 x^{5}$ = $(- 1 \cdot x^{9}) \cdot 8 \cdot x^{5}$ = $- 8 x^{9} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 8$ $x^{9 + 5}$

= $- 8 x^{14}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 3}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 3}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 3}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $2 \frac{x^{- 3}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 3 - (- 7)}$

= $2 x^{4}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 2 x^{4}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{4} - 2 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 2 x^{4}$

= $81 x^{4} - 2 x^{4}$

= $79 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{3}{20})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{3}{20})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{3}{20} \cdot \frac{3}{20}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{3}{20} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{3}{20} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{3}$

= $x^{3 \cdot 3}$

= $x^{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 x^{6})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 x^{6})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(x^{6})}^{2}$

= $7^{2} \cdot x^{6 \cdot 2}$

= $49 x^{12}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{8}}{5^{- 8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{8}}{5^{- 8}}$

= $2^{8} \cdot 5^{8}$

= ${(2 \cdot 5)}^{8}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{4} \cdot 32 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{4} \cdot 32 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{4} \cdot 4 \cdot 8 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot 4 - 8^{5} \cdot 5}{8^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (4 - 5)}{8^{5}}$

= $4 - 5$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

= $\frac{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot {(2 x - 3)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 3)}^{3}}{1}$

= ${(2 x - 3)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln