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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{4}$

= $x^{9 + 4}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{3}$ ⋅ $3^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{3}$ ⋅ $3^{- 6}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{3} \cdot \frac{1}{3^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{3}$ ⋅ $3^{- 6}$

= $3^{3 - 6}$

= $3^{- 3}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{5}}{3 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{5}}{3 x^{8}}$ = $\frac{9 \cdot x^{5}}{3 \cdot x^{8}}$ = $3 \frac{x^{5}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{5 - 8}$

= $3 x^{- 3}$

= $\frac{3}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot 2 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$x^{3} \cdot 2 x^{- 2}$ = $1 \cdot x^{3} \cdot 2 \cdot x^{- 2}$ = $2 x^{3} \cdot x^{- 2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $2$ $x^{3 + (- 2)}$

= $2 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 3 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 3 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 3 x^{5}$

= $32 x^{5} - 3 x^{5}$

= $29 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $10^{4}$ ⋅ $5^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $10^{4}$ ⋅ $5^{- 4}$

= $10^{4} \cdot \frac{1}{5^{4}}$

= $\frac{10^{4}}{5^{4}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{4}$

= $2^{4}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{5}$

= $x^{6 \cdot 5}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

= $5^{9} \cdot 2^{9}$

= ${(5 \cdot 2)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{7} \cdot 10 + 5^{8} \cdot 2}{5^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 10 als 2 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{7} \cdot 10 + 5^{8} \cdot 2}{5^{8}}$

= $\frac{5^{7} \cdot 2 \cdot 5 + 5^{8} \cdot 2}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot 2 + 5^{8} \cdot 2}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot (2 + 2)}{5^{8}}$

= $2 + 2$

= $4$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x + 5) \cdot (2 x - 5))}^{4}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{4} \cdot {(2 x - 5)}^{4}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 5)}^{4}}{1}$

= ${(2 x - 5)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln