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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{4}}$

= $x^{2 - 4}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{2}}{3^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{2}}{3^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{2}}{3^{5}}$

= $\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{2}}{3^{5}}$

= $3^{2 - 5}$

= $3^{- 3}$

= $\frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{3} \cdot 2 x^{9}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{3} \cdot 2 x^{9}$ = $(- 5 \cdot x^{3}) \cdot 2 \cdot x^{9}$ = $- 10 x^{3} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 10$ $x^{3 + 9}$

= $- 10 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{5}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{5}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $- 3 \frac{x^{5}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{5 - (- 8)}$

= $- 3 x^{13}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{6}}{x^{2}} + 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{6}}{x^{2}} + 4 x^{2}$

= $\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{x^{6}}{x^{2}} + 4 x^{2}$

= $x^{2} + x^{4} + 4 x^{2}$

= $x^{4} + 5 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{8}{2})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{3}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{10}{2} \cdot \frac{10}{2} \cdot \frac{10}{2}$

= ${(\frac{10}{2})}^{3}$

= $5^{3}$

= $125$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{6}$

= $x^{6 \cdot 6}$

= $x^{36}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 x^{3})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 x^{3})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}$

= $9^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$

= $81 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{21 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 7 \cdot 7^{6} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 7^{7} - 5 \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $\frac{(3 - 5) \cdot 7^{7}}{7^{7}}$

= $3 - 5$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{2}}{{(4 x^{2} - 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{2}}{{(4 x^{2} - 16)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x - 4)}^{2})}^{2}}{{((2 x - 4) \cdot (2 x + 4))}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 4)}^{4}}{{(2 x - 4)}^{2} \cdot {(2 x + 4)}^{2}}$

= $\frac{{(2 (x - 2))}^{2}}{1 \cdot {(2 (x + 2))}^{2}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

= ${(\frac{x - 2}{x + 2})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln