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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{9}$

= $x^{4 + 9}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 10)}^{4}$ ⋅ ${(- 10)}^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 10)}^{4}$ ⋅ ${(- 10)}^{1}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 10)}^{4} \cdot ((- 10))$

= ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )·( $- 10$ )

= $- 100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 10)}^{4}$ ⋅ ${(- 10)}^{1}$

= ${(- 10)}^{4 + 1}$

= ${(- 10)}^{5}$

= $- 100 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{9}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{9}}{2 x^{2}}$ = $\frac{2 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{2}}$ = $\frac{x^{9}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{9 - 2}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{3} \cdot 8 x^{9}$

Lösung einblenden

$6 x^{3} \cdot 8 x^{9}$ = $6 \cdot x^{3} \cdot 8 \cdot x^{9}$ = $48 x^{3} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $48$ $x^{3 + 9}$

= $48 x^{12}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (x^{4} + x^{- 3}) - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (x^{4} + x^{- 3}) - 4 x^{2}$

= $x^{5} \cdot x^{4} + x^{5} \cdot x^{- 3} - 4 x^{2}$

= $x^{9} + x^{2} - 4 x^{2}$

= $x^{9} - 3 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{4}{9})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{4}{9})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 x^{3})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 x^{3})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}$

= $9^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$

= $81 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

= $\frac{1}{5^{6}} \cdot \frac{1}{2^{6}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{10^{6}}$

= $\frac{1}{1000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2^{5} \cdot 6^{7} + 2^{8} \cdot 6^{7}}{12^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2^{5} \cdot 6^{7} + 2^{8} \cdot 6^{7}}{12^{7}}$

= $\frac{(2^{5} + 2^{8}) \cdot 6^{7}}{{(2 \cdot 6)}^{7}}$

= $\frac{(2^{5} + 2^{8}) \cdot 6^{7}}{2^{7} \cdot 6^{7}}$

= $\frac{2^{5} + 2^{8}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{5} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{2}}$

= $\frac{9}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{((x + 2) \cdot (x - 2))}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x + 2)}^{3} \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln