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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{2}}$

= $x^{6 - 2}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{7}}{10^{14}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{7}}{10^{14}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{7}}{10^{14}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{7}}{10^{14}}$

= $10^{7 - 14}$

= $10^{- 7}$

= $\frac{1}{10^{7}}$

= $\frac{1}{10000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{7}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{7}}{2 x^{2}}$ = $\frac{8 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{2}}$ = $4 \frac{x^{7}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $4$ $x^{7 - 2}$

= $4 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot 5 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$x^{2} \cdot 5 x^{- 2}$ = $1 \cdot x^{2} \cdot 5 \cdot x^{- 2}$ = $5 x^{2} \cdot x^{- 2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $5$ $x^{2 + (- 2)}$

= $5$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{- 3} + x^{3}) \cdot x^{3} - 2$

Lösung einblenden

$(x^{- 3} + x^{3}) \cdot x^{3} - 2$

= $x^{- 3} \cdot x^{3} + x^{3} \cdot x^{3} - 2$

= $1 + x^{6} - 2$

= $x^{6} - 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{16^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{16}{4})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{28^{3}}{7^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{28^{3}}{7^{3}}$

= $\frac{28 \cdot 28 \cdot 28}{7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{28}{7} \cdot \frac{28}{7} \cdot \frac{28}{7}$

= ${(\frac{28}{7})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{5}$

= $x^{4 \cdot 5}$

= $x^{20}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $16 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $16 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{9^{2}}{2^{- 2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{9^{2}}{2^{- 2}}$

= $9^{2} \cdot 2^{2}$

= ${(9 \cdot 2)}^{2}$

= $18^{2}$

= $324$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{24 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{24 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{3 \cdot 8 \cdot 8^{4} - 5 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{3 \cdot 8^{5} - 5 \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $\frac{(3 - 5) \cdot 8^{5}}{8^{5}}$

= $3 - 5$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 16)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{4^{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{2}}{4 {(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{2^{4} \cdot {(x^{2} - 4)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{4 {((x + 2) \cdot (x - 2))}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{2} \cdot 4 {(x - 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 1 \cdot {(x - 2)}^{2}}{1}$

= $4 {(x - 2)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln