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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{8}}$

= $x^{6 - 8}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{6}}{3^{2}}$

= $3^{6 - 2}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{6}}{3 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{6}}{3 x^{3}}$ = $\frac{9 \cdot x^{6}}{3 \cdot x^{3}}$ = $3 \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{6 - 3}$

= $3 x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{2}}{4 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{2}}{4 x^{6}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{2}}{4 \cdot x^{6}}$ = $- 2 \frac{x^{2}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{2 - 6}$

= $- 2 x^{- 4}$

= $- \frac{2}{x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

${(5 x)}^{2} - 3 x^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $25 x^{2} - 3 x^{2}$

= $22 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $5 \cdot 5$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $5 \cdot \frac{3}{2} \cdot 5 \cdot \frac{3}{2}$

= ${(5 \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{15}{2})}^{2}$

= $\frac{225}{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 \cdot 3^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5 \cdot 3^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot {(3^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot 3^{x \cdot 2}$

= $25 \cdot 3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $25 \cdot {(3^{2})}^{x}$

= $25 \cdot 9^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{8} \cdot \frac{13^{10}}{26^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $13$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $26$ ) ist.
Wenn man nun die $13^{10}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 8 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{8} \cdot \frac{13^{10}}{26^{8}}$

= $\frac{2^{8} \cdot 13^{10}}{26^{8}}$

= $\frac{2^{8} \cdot 13^{8 + 2}}{26^{8}}$

= $\frac{2^{8} \cdot 13^{8} \cdot 13^{2}}{26^{8}}$

= $\frac{{(2 \cdot 13)}^{8}}{26^{8}} \cdot 13^{2}$

= $\frac{26^{8}}{26^{8}} \cdot 13^{2}$

= $169$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{6} \cdot 20 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 4 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{6} \cdot 20 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{6} \cdot 4 \cdot 5 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{7} \cdot 4 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{7} \cdot (4 + 2)}{5^{7}}$

= $4 + 2$

= $6$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x - 1)}^{3}}{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x - 1)}^{3}}{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x - 1)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x - 1)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x - 1)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{3}}{8 {({(x - 1)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{3}}{8 {(x - 1)}^{6}}$

= $\frac{1}{8 {(x - 1)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln