Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{5}$

= $x^{3 + 5}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{5}}$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{5}}$

= ${(- 4)}^{5 - 5}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{2}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{2}}{2 x^{7}}$ = $\frac{4 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{7}}$ = $2 \frac{x^{2}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{2 - 7}$

= $2 x^{- 5}$

= $\frac{2}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{- 7}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{- 7}}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{- 7}}{2 \cdot x^{2}}$ = $- 4 \frac{x^{- 7}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 4$ $x^{- 7 - 2}$

= $- 4 x^{- 9}$

= $- \frac{4}{x^{9}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2} - 5 x^{2}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{2} - 5 x^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2} - 5 x^{2}$

= $9 x^{2} - 5 x^{2}$

= $4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{34 \cdot 34}{2 \cdot 2}$

= $\frac{34}{2} \cdot \frac{34}{2}$

= ${(\frac{34}{2})}^{2}$

= $17^{2}$

= $289$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{5}$

= $x^{5 \cdot 5}$

= $x^{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 x^{2})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 x^{2})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(x^{2})}^{2}$

= $9^{2} \cdot x^{2 \cdot 2}$

= $81 x^{4}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{3} \cdot 15^{- 3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{3} \cdot 15^{- 3}$

= $\frac{5^{3}}{15^{3}}$

= ${(\frac{5}{15})}^{3}$

= ${(\frac{1}{3})}^{3}$

= $\frac{1}{27}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{6} \cdot 14 - 7^{7} \cdot 2}{7^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{6} \cdot 14 - 7^{7} \cdot 2}{7^{7}}$

= $\frac{7^{6} \cdot 2 \cdot 7 - 7^{7} \cdot 2}{7^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot 2 - 7^{7} \cdot 2}{7^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (2 - 2)}{7^{7}}$

= $2 - 2$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 12 x + 9)}^{3}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x - 3)}^{2})}^{3}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{6}}{{(2 x - 3)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 3)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln