Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{3}$

= $x^{7 + 3}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{6}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{6}}$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $\frac{1}{(- 4)}$

= $- \frac{1}{4}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 4)}^{5}}{{(- 4)}^{6}}$

= ${(- 4)}^{5 - 6}$

= ${(- 4)}^{- 1}$

= $\frac{1}{(- 4)}$

= $- \frac{1}{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{6}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{6}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{6}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{6 - 4}$

= $- \frac{1}{2} x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 3}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 3}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 3}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $2 \frac{x^{- 3}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 3 - (- 8)}$

= $2 x^{5}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{16^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{16}{4})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{15^{4}}{5^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{15^{4}}{5^{4}}$

= $\frac{15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5}$

= ${(\frac{15}{5})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{4}$

= $x^{6 \cdot 4}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{3})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{3})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{3})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3 \cdot 3}$

= $27 x^{9}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

= $\frac{1}{5^{8}} \cdot \frac{1}{2^{8}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{8}}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{4} \cdot 4 + 6^{4} \cdot 4^{4}}{24^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 4 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{4} \cdot 4 + 6^{4} \cdot 4^{4}}{24^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (4 + 4^{4})}{{(6 \cdot 4)}^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (4 + 4^{4})}{6^{4} \cdot 4^{4}}$

= $\frac{4 + 4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot (1 + 4^{3})}{4^{4}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{3}}$

= $\frac{65}{64}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 4 x + 1)}^{2}}{{(4 x^{2} - 1)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x + 1)}^{2})}^{2}}{{((2 x + 1) \cdot (2 x - 1))}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot {(2 x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{1 \cdot {(2 x - 1)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$

= ${(\frac{2 x + 1}{2 x - 1})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln