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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{7}$

= $x^{2 + 7}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 3)}^{5}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 3)}^{5}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 8}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 3)}^{5} \cdot (\frac{1}{{(- 3)}^{8}})$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $\frac{1}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $- \frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 3)}^{5}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 8}$

= ${(- 3)}^{5 - 8}$

= ${(- 3)}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(- 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{7} \cdot 5 x^{3}$

Lösung einblenden

$4 x^{7} \cdot 5 x^{3}$ = $4 \cdot x^{7} \cdot 5 \cdot x^{3}$ = $20 x^{7} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $20$ $x^{7 + 3}$

= $20 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7 x^{7} \cdot 6 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$7 x^{7} \cdot 6 x^{- 5}$ = $7 \cdot x^{7} \cdot 6 \cdot x^{- 5}$ = $42 x^{7} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $42$ $x^{7 + (- 5)}$

= $42 x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (x^{- 5} + x^{3}) - 2$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (x^{- 5} + x^{3}) - 2$

= $x^{5} \cdot x^{- 5} + x^{5} \cdot x^{3} - 2$

= $1 + x^{8} - 2$

= $x^{8} - 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 6^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 6^{x}$

= ${(2 \cdot 6)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{2}{5})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{2}{5})}^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{1}{2})}^{2}$

= $\frac{1}{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{2}$

= $x^{3 \cdot 2}$

= $x^{6}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{4} \cdot \frac{4^{7}}{16^{4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $16$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$4^{4} \cdot \frac{4^{7}}{16^{4}}$

= $\frac{4^{4} \cdot 4^{7}}{16^{4}}$

= $\frac{4^{4} \cdot 4^{4 + 3}}{16^{4}}$

= $\frac{4^{4} \cdot 4^{4} \cdot 4^{3}}{16^{4}}$

= $\frac{{(4 \cdot 4)}^{4}}{16^{4}} \cdot 4^{3}$

= $\frac{16^{4}}{16^{4}} \cdot 4^{3}$

= $64$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{24 \cdot 6^{3} + 4 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

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Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{24 \cdot 6^{3} + 4 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 6 \cdot 6^{3} + 4 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 6^{4} + 4 \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $\frac{(4 + 4) \cdot 6^{4}}{6^{4}}$

= $4 + 4$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{4}}{{(x - 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{4}}{{(x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{({(x - 1)}^{2})}^{4}}{{(x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{8}}{{(x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}$

= ${(x - 1)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln