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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{7}$

= $x^{3 + 7}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{4}$ ⋅ $2^{- 11}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{4}$ ⋅ $2^{- 11}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{4} \cdot \frac{1}{2^{11}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{4}$ ⋅ $2^{- 11}$

= $2^{4 - 11}$

= $2^{- 7}$

= $\frac{1}{2^{7}}$

= $\frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{6}}{4 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{6}}{4 x^{2}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{6}}{4 \cdot x^{2}}$ = $- 2 \frac{x^{6}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{6 - 2}$

= $- 2 x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{- 5}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{- 5}}{2 x^{6}}$ = $\frac{6 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{6}}$ = $3 \frac{x^{- 5}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{- 5 - 6}$

= $3 x^{- 11}$

= $\frac{3}{x^{11}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3} - 2 x^{3}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{3} - 2 x^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3} - 2 x^{3}$

= $27 x^{3} - 2 x^{3}$

= $25 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{6}$ ⋅ $5^{6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{6} \cdot 5^{6}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{6}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{5}$

= $x^{6 \cdot 5}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{6 \cdot 6}$

= $64 x^{36}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{8} \cdot \frac{5^{10}}{20^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $20$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{10}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 8 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$4^{8} \cdot \frac{5^{10}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{10}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{8 + 2}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{8} \cdot 5^{2}}{20^{8}}$

= $\frac{{(4 \cdot 5)}^{8}}{20^{8}} \cdot 5^{2}$

= $\frac{20^{8}}{20^{8}} \cdot 5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{3} \cdot 5^{6} + 3^{6} \cdot 5^{6}}{15^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (15 = 3 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{3} \cdot 5^{6} + 3^{6} \cdot 5^{6}}{15^{6}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{6}) \cdot 5^{6}}{{(3 \cdot 5)}^{6}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{6}) \cdot 5^{6}}{3^{6} \cdot 5^{6}}$

= $\frac{3^{3} + 3^{6}}{3^{6}}$

= $\frac{3^{3} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{6}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{3}}$

= $\frac{28}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{3}}{{(x - 4)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{3}}{{(x - 4)}^{3}}$

= $\frac{{((x - 4) \cdot (x + 4))}^{3}}{{(x - 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{3} \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{3}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 4)}^{3}}{1}$

= ${(x + 4)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln