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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{3}}{x^{7}}$

= $x^{3 - 7}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{4}}{3^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{4}}{3^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{4}}{3}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3}$

= 3 · 3 · 3

= $27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{4}}{3^{1}}$

= $3^{4 - 1}$

= $3^{3}$

= $27$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{9} \cdot 7 x^{4}$

Lösung einblenden

$6 x^{9} \cdot 7 x^{4}$ = $6 \cdot x^{9} \cdot 7 \cdot x^{4}$ = $42 x^{9} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $42$ $x^{9 + 4}$

= $42 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{6}}{2 x^{9}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{9}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{6}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{6 - 9}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 3}$

= $- \frac{7}{2 x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8} + x^{5}}{x^{2}} + 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{8} + x^{5}}{x^{2}} + 3 x^{3}$

= $\frac{x^{8}}{x^{2}} + \frac{x^{5}}{x^{2}} + 3 x^{3}$

= $x^{6} + x^{3} + 3 x^{3}$

= $x^{6} + 4 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{7}$ ⋅ $2^{7}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{7} \cdot 2^{7}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{7}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{5}$

= $x^{5 \cdot 5}$

= $x^{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{2} \cdot 22^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{2} \cdot 22^{- 2}$

= $\frac{2^{2}}{22^{2}}$

= ${(\frac{2}{22})}^{2}$

= ${(\frac{1}{11})}^{2}$

= $\frac{1}{121}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{18 \cdot 6^{6} - 5 \cdot 6^{7}}{6^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{18 \cdot 6^{6} - 5 \cdot 6^{7}}{6^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 6 \cdot 6^{6} - 5 \cdot 6^{7}}{6^{7}}$

= $\frac{3 \cdot 6^{7} - 5 \cdot 6^{7}}{6^{7}}$

= $\frac{(3 - 5) \cdot 6^{7}}{6^{7}}$

= $3 - 5$

= $- 2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{({(x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln