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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{8}}$

= $x^{2 - 8}$

= $x^{- 6}$

= $\frac{1}{x^{6}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 13)}^{5}$ ⋅ ${(- 13)}^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 13)}^{5}$ ⋅ ${(- 13)}^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 13)}^{5} \cdot (\frac{1}{{(- 13)}^{3}})$

= $\frac{(- 13) \cdot (- 13) \cdot (- 13) \cdot (- 13) \cdot (- 13)}{(- 13) \cdot (- 13) \cdot (- 13)}$

= ( $- 13$ ) · ( $- 13$ )

= $169$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 13)}^{5}$ ⋅ ${(- 13)}^{- 3}$

= ${(- 13)}^{5 - 3}$

= ${(- 13)}^{2}$

= $169$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2}}{2 x^{4}}$ = $\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{2 - 4}$

= $\frac{1}{2} x^{- 2}$

= $\frac{1}{2 x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{5} \cdot 4 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{5} \cdot 4 x^{4}$ = $(- 2 \cdot x^{5}) \cdot 4 \cdot x^{4}$ = $- 8 x^{5} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 8$ $x^{5 + 4}$

= $- 8 x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 2 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 2 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 2 x^{5}$

= $32 x^{5} - 2 x^{5}$

= $30 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{22^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{22^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{22 \cdot 22}{2 \cdot 2}$

= $\frac{22}{2} \cdot \frac{22}{2}$

= ${(\frac{22}{2})}^{2}$

= $11^{2}$

= $121$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{6}$

= $x^{6 \cdot 6}$

= $x^{36}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x^{3})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 x^{3})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(x^{3})}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}$

= $16 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{3} \cdot 2^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{3} \cdot 2^{- 6}$

= $\frac{8^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{2^{9}}{2^{6}}$

= $2^{9 - 6}$

= $2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{6} \cdot 8^{6} + 5^{8} \cdot 8^{6}}{40^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{6} \cdot 8^{6} + 5^{8} \cdot 8^{6}}{40^{6}}$

= $\frac{(5^{6} + 5^{8}) \cdot 8^{6}}{{(5 \cdot 8)}^{6}}$

= $\frac{(5^{6} + 5^{8}) \cdot 8^{6}}{5^{6} \cdot 8^{6}}$

= $\frac{5^{6} + 5^{8}}{5^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{6}}$

= $\frac{1 + 25}{1}$

= $26$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 4)}^{5}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 4)}^{5}}{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{5}}{{({(x - 4)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{5}}{{(x - 4)}^{6}}$

= $\frac{1}{x - 4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln