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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{6}$

= $x^{5 + 6}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{4}$ ⋅ $10^{- 9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 9}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{4} \cdot \frac{1}{10^{9}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{100000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{4}$ ⋅ $10^{- 9}$

= $10^{4 - 9}$

= $10^{- 5}$

= $\frac{1}{10^{5}}$

= $\frac{1}{100000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{6}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{6}}{2 x^{4}}$ = $\frac{7 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{6}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{6 - 4}$

= $\frac{7}{2} x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{- 5}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{- 5}}{2 x^{7}}$ = $\frac{3 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{7}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{- 5}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{- 5 - 7}$

= $\frac{3}{2} x^{- 12}$

= $\frac{3}{2 x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{2} + \frac{x^{8} + x^{5}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$3 x^{2} + \frac{x^{8} + x^{5}}{x^{3}}$

= $3 x^{2} + (\frac{x^{8}}{x^{3}} + \frac{x^{5}}{x^{3}})$

= $3 x^{2} + x^{5} + x^{2}$

= $x^{5} + 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{20^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{20^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{20}{4})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{3}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{10}{2} \cdot \frac{10}{2} \cdot \frac{10}{2}$

= ${(\frac{10}{2})}^{3}$

= $5^{3}$

= $125$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 2^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 2^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(2^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 2^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(2^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 4^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 8}}{2^{8}}$

= $\frac{1}{5^{8}} \cdot \frac{1}{2^{8}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{8}}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 35 + 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 35 als 5 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 35 + 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{3} \cdot 5 \cdot 7 + 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot 5 + 7^{4} \cdot 4}{7^{4}}$

= $\frac{7^{4} \cdot (5 + 4)}{7^{4}}$

= $5 + 4$

= $9$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{64 {(x + 1)}^{6}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{64 {(x + 1)}^{6}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{64 {(x + 1)}^{6}}{4^{5} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x + 1)}^{6}}{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{2^{6} \cdot {(x + 1)}^{6}}{2^{10} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{6}}{2^{4} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{6}}{16 {({(x + 1)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{6}}{16 {(x + 1)}^{10}}$

= $\frac{1}{16 {(x + 1)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln