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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{3}}$

= $x^{2 - 3}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{2}$ ⋅ $2^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{2}$ ⋅ $2^{2}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{2} \cdot 2^{2}$

= 2 · 2·2 · 2

= $16$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{2}$ ⋅ $2^{2}$

= $2^{2 + 2}$

= $2^{4}$

= $16$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{6}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{6}}{2 x^{7}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{7}}$ = $- \frac{x^{6}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{6 - 7}$

= $- x^{- 1}$

= $- \frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{7}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{7}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $- 3 \frac{x^{7}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{7 - (- 6)}$

= $- 3 x^{13}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x + x^{3} \cdot (x^{- 2} + x^{4})$

Lösung einblenden

$- 2 x + x^{3} \cdot (x^{- 2} + x^{4})$

= $- 2 x + (x^{3} \cdot x^{- 2} + x^{3} \cdot x^{4})$

= $- 2 x + x + x^{7}$

= $x^{7} - x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{15^{3}}{5^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{15^{3}}{5^{3}}$

= $\frac{15 \cdot 15 \cdot 15}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5}$

= ${(\frac{15}{5})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{3}$

= $x^{2 \cdot 3}$

= $x^{6}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot {(3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot 3^{x \cdot 2}$

= $4 \cdot 3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $4 \cdot {(3^{2})}^{x}$

= $4 \cdot 9^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{6} \cdot \frac{13^{8}}{26^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $13$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $26$ ) ist.
Wenn man nun die $13^{8}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{6} \cdot \frac{13^{8}}{26^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{8}}{26^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{6 + 2}}{26^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 13^{6} \cdot 13^{2}}{26^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 13)}^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{2}$

= $\frac{26^{6}}{26^{6}} \cdot 13^{2}$

= $169$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 2^{6} + 8^{7} \cdot 2^{8}}{16^{7}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (16 = 2 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 2^{6} + 8^{7} \cdot 2^{8}}{16^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2^{6} + 2^{8})}{{(8 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2^{6} + 2^{8})}{8^{7} \cdot 2^{7}}$

= $\frac{2^{6} + 2^{8}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{6} \cdot (1 + 2^{2})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 4}{2}$

= $\frac{5}{2}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 10 x + 25)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 10 x + 25)}^{4}}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

= $\frac{{({(x + 5)}^{2})}^{4}}{{((x + 5) \cdot (x - 5))}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{8}}{{(x + 5)}^{4} \cdot {(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{1 \cdot {(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{4}}{{(x - 5)}^{4}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln