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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{7}}$

= $x^{5 - 7}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 5)}^{4}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 5)}^{4}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 5)}^{4} \cdot (\frac{1}{(- 5)})$

= $\frac{(- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)}{(- 5)}$

= ( $- 5$ ) · ( $- 5$ ) · ( $- 5$ )

= $- 125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 5)}^{4}$ ⋅ ${(- 5)}^{- 1}$

= ${(- 5)}^{4 - 1}$

= ${(- 5)}^{3}$

= $- 125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{4} \cdot 6 x^{9}$

Lösung einblenden

$- x^{4} \cdot 6 x^{9}$ = $(- 1 \cdot x^{4}) \cdot 6 \cdot x^{9}$ = $- 6 x^{4} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 6$ $x^{4 + 9}$

= $- 6 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{5}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{5}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{5 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{5}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{5 - (- 8)}$

= $\frac{5}{2} x^{13}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{2} + \frac{x^{5} + x^{3}}{x}$

Lösung einblenden

$5 x^{2} + \frac{x^{5} + x^{3}}{x}$

= $5 x^{2} + (\frac{x^{5}}{x} + \frac{x^{3}}{x})$

= $5 x^{2} + x^{4} + x^{2}$

= $x^{4} + 6 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 2^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 2^{x}$

= ${(6 \cdot 2)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{7^{9}}{7^{9}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{7^{9}}{7^{9}}$

= $\frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7}$

= ${(\frac{7}{7})}^{9}$

= $1^{9}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{3})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{3})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{3})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3 \cdot 3}$

= $27 x^{9}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot \frac{3^{2}}{30^{4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass die beiden Potenzen im Zähler die gleiche Basis haben und man sie deswegen gut mit einander multilpizieren kann. Da die Summe der zugehörigen Hochzahlen gerade gleich der Hochzahl des Nenners (4) wird, können wir so das 2. Potenzgesetz anwenden.

$3^{2} \cdot \frac{3^{2}}{30^{4}}$

= $\frac{3^{2} \cdot 3^{2}}{30^{4}}$

= $\frac{3^{2 + 2}}{30^{4}}$

= $\frac{3^{4}}{30^{4}}$

= ${(\frac{3}{30})}^{4}$

= ${(\frac{1}{10})}^{4}$

= $\frac{1}{10000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{3} \cdot 7^{3} + 3^{5} \cdot 7^{3}}{21^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{3} \cdot 7^{3} + 3^{5} \cdot 7^{3}}{21^{3}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{5}) \cdot 7^{3}}{{(3 \cdot 7)}^{3}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{5}) \cdot 7^{3}}{3^{3} \cdot 7^{3}}$

= $\frac{3^{3} + 3^{5}}{3^{3}}$

= $\frac{3^{3} \cdot (1 + 3^{2})}{3^{3}}$

= $\frac{1 + 9}{1}$

= $10$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{4}}{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{4}}{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 5)}^{2})}^{4}}{{((2 x + 5) \cdot (2 x - 5))}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{8}}{{(2 x + 5)}^{4} \cdot {(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{4}}{1 \cdot {(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= ${(\frac{2 x + 5}{2 x - 5})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln