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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{8}$

= $x^{5 + 8}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 2)}^{6}}{{(- 2)}^{- 1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 2)}^{6}}{{(- 2)}^{- 1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 2)}^{6}}{{(- 2)}^{- 1}}$

= ${(- 2)}^{6} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 1}}$

= ${(- 2)}^{6} \cdot ((- 2))$

= ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )·( $- 2$ )

= $- 128$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 2)}^{6}}{{(- 2)}^{- 1}}$

= ${(- 2)}^{6} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 1}}$

= ${(- 2)}^{6} \cdot ((- 2))$

= ${(- 2)}^{6 + 1}$

= ${(- 2)}^{7}$

= $- 128$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{6}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{6}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{6 - 3}$

= $- \frac{5}{2} x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{9}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{9}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $- \frac{x^{9}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{9 - (- 8)}$

= $- x^{17}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{2} + x^{- 5}) \cdot x^{5} - 3$

Lösung einblenden

$(x^{2} + x^{- 5}) \cdot x^{5} - 3$

= $x^{2} \cdot x^{5} + x^{- 5} \cdot x^{5} - 3$

= $x^{7} + 1 - 3$

= $x^{7} - 2$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{5^{8}}{5^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{5^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5}$

= ${(\frac{5}{5})}^{8}$

= $1^{8}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 2^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 2^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(2^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 2^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(2^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 8^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{4} \cdot 7^{6} + 5^{6} \cdot 7^{6}}{35^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (35 = 5 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{4} \cdot 7^{6} + 5^{6} \cdot 7^{6}}{35^{6}}$

= $\frac{(5^{4} + 5^{6}) \cdot 7^{6}}{{(5 \cdot 7)}^{6}}$

= $\frac{(5^{4} + 5^{6}) \cdot 7^{6}}{5^{6} \cdot 7^{6}}$

= $\frac{5^{4} + 5^{6}}{5^{6}}$

= $\frac{5^{4} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{6}}$

= $\frac{1 + 25}{5^{2}}$

= $\frac{26}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 3)}^{6}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 3)}^{6}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{6}}{{({(x - 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{6}}{{(x - 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln