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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{7}}$

= $x^{4 - 7}$

= $x^{- 3}$

= $\frac{1}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 6}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 3)}^{3} \cdot (\frac{1}{{(- 3)}^{6}})$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $\frac{1}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $- \frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{- 6}$

= ${(- 3)}^{3 - 6}$

= ${(- 3)}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(- 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} \cdot 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} \cdot 2 x^{4}$ = $(- 5 \cdot x^{2}) \cdot 2 \cdot x^{4}$ = $- 10 x^{2} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 10$ $x^{2 + 4}$

= $- 10 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{7}}{3 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{7}}{3 x^{- 4}}$ = $\frac{9 \cdot x^{7}}{3 \cdot x^{- 4}}$ = $3 \frac{x^{7}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{7 - (- 4)}$

= $3 x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{3} - 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$(x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{3} - 5 x^{2}$

= $x^{5} \cdot x^{3} + x^{- 1} \cdot x^{3} - 5 x^{2}$

= $x^{8} + x^{2} - 5 x^{2}$

= $x^{8} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{8}{2})}^{x}$

= $4^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{3^{2}}{5^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{3^{2}}{5^{- 2}}$

= $\frac{3^{2}}{\frac{1}{5^{2}}}$

= $3^{2} \cdot 5^{2}$

= $3 \cdot 3$ ⋅ $5 \cdot 5$

= $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5$

= ${(3 \cdot 5)}^{2}$

= $15^{2}$

= $225$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{6}$

= $x^{4 \cdot 6}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 2} \cdot 2^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 2} \cdot 2^{4}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{28 \cdot 7^{4} - 5 \cdot 7^{5}}{7^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 28 als 4 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{28 \cdot 7^{4} - 5 \cdot 7^{5}}{7^{5}}$

= $\frac{4 \cdot 7 \cdot 7^{4} - 5 \cdot 7^{5}}{7^{5}}$

= $\frac{4 \cdot 7^{5} - 5 \cdot 7^{5}}{7^{5}}$

= $\frac{(4 - 5) \cdot 7^{5}}{7^{5}}$

= $4 - 5$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{3}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 9)}^{3}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{3}}$

= $\frac{{((2 x + 3) \cdot (2 x - 3))}^{3}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{3} \cdot {(2 x - 3)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{6}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x - 3)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{3}}$

= ${(\frac{2 x - 3}{2 x + 3})}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln