Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{9}$

= $x^{4 + 9}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{1}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 2)}^{4} \cdot ((- 2))$

= ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )·( $- 2$ )

= $- 32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{1}$

= ${(- 2)}^{4 + 1}$

= ${(- 2)}^{5}$

= $- 32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 7 x^{4} \cdot 5 x^{6}$

Lösung einblenden

$- 7 x^{4} \cdot 5 x^{6}$ = $(- 7 \cdot x^{4}) \cdot 5 \cdot x^{6}$ = $- 35 x^{4} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 35$ $x^{4 + 6}$

= $- 35 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 9 x^{2}}{3 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 9 x^{2}}{3 x^{- 6}}$ = $\frac{- 9 \cdot x^{2}}{3 \cdot x^{- 6}}$ = $- 3 \frac{x^{2}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{2 - (- 6)}$

= $- 3 x^{8}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{5} + x^{4} \cdot (x + x^{6})$

Lösung einblenden

$- 4 x^{5} + x^{4} \cdot (x + x^{6})$

= $- 4 x^{5} + (x^{4} \cdot x + x^{4} \cdot x^{6})$

= $- 4 x^{5} + x^{5} + x^{10}$

= $x^{10} - 3 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{8}}{6^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6}$

= ${(\frac{12}{6})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 2}}{9^{2}}$

= $\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{9^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 9)}^{2}}$

= $\frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{1}{324}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{3} \cdot 7^{5} + 4^{5} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{3} \cdot 7^{5} + 4^{5} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{5}) \cdot 7^{5}}{{(4 \cdot 7)}^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{5}) \cdot 7^{5}}{4^{5} \cdot 7^{5}}$

= $\frac{4^{3} + 4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{4^{2}}$

= $\frac{17}{16}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{((x - 4) \cdot (x + 4))}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 4)}^{2}}{1}$

= ${(x + 4)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln