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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{5}}$

= $x^{4 - 5}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 4)}^{7}}{{(- 4)}^{10}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 4)}^{7}}{{(- 4)}^{10}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 4)}^{7}}{{(- 4)}^{10}}$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $\frac{1}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $- \frac{1}{64}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 4)}^{7}}{{(- 4)}^{10}}$

= ${(- 4)}^{7 - 10}$

= ${(- 4)}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

= $- \frac{1}{64}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{9} \cdot 3 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{9} \cdot 3 x^{8}$ = $(- 3 \cdot x^{9}) \cdot 3 \cdot x^{8}$ = $- 9 x^{9} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 9$ $x^{9 + 8}$

= $- 9 x^{17}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{- 6} \cdot 5 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$5 x^{- 6} \cdot 5 x^{- 5}$ = $5 \cdot x^{- 6} \cdot 5 \cdot x^{- 5}$ = $25 x^{- 6} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $25$ $x^{- 6 + (- 5)}$

= $25 x^{- 11}$

= $\frac{25}{x^{11}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2} - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{2} - 4 x^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2} - 4 x^{2}$

= $4 x^{2} - 4 x^{2}$

= 0

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$4^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(4 \cdot 3)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $12^{5}$ ⋅ $6^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $12^{5}$ ⋅ $6^{- 5}$

= $12^{5} \cdot \frac{1}{6^{5}}$

= $\frac{12^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6}$

= ${(\frac{12}{6})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{6}$

= $x^{2 \cdot 6}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 2}}{6^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 2}}{6^{2}}$

= $\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{1}{6^{2}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 6)}^{2}}$

= $\frac{1}{12^{2}}$

= $\frac{1}{144}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{7} - 3 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{7} - 3 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{7} - 3 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{8} - 3 \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $\frac{(5 - 3) \cdot 8^{8}}{8^{8}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{4}}{{(x - 2)}^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{4}}{{(x - 2)}^{6}}$

= $\frac{{({(x - 2)}^{2})}^{4}}{{(x - 2)}^{6}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{8}}{{(x - 2)}^{6}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{2}}{1}$

= ${(x - 2)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln