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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{2}$

= $x^{5 + 2}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{2}$ ⋅ $2^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{2}$ ⋅ $2^{4}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{2} \cdot 2^{4}$

= 2 · 2·2 · 2 · 2 · 2

= $64$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{2}$ ⋅ $2^{4}$

= $2^{2 + 4}$

= $2^{6}$

= $64$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{9} \cdot 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$4 x^{9} \cdot 2 x^{4}$ = $4 \cdot x^{9} \cdot 2 \cdot x^{4}$ = $8 x^{9} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $8$ $x^{9 + 4}$

= $8 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{6}}{2 x^{3}}$ = $\frac{1 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{3}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{6 - 3}$

= $\frac{1}{2} x^{3}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6} + x^{4}}{x} - 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{6} + x^{4}}{x} - 4 x^{3}$

= $\frac{x^{6}}{x} + \frac{x^{4}}{x} - 4 x^{3}$

= $x^{5} + x^{3} - 4 x^{3}$

= $x^{5} - 3 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{3}$

= $8 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{5})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{5})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{8}{5})}^{2}$

= $\frac{64}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{6})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{6 \cdot 6}$

= $64 x^{36}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 15^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 15^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{15^{2}}$

= ${(\frac{3}{15})}^{2}$

= ${(\frac{1}{5})}^{2}$

= $\frac{1}{25}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3 \cdot 8^{4} + 3^{5} \cdot 8^{4}}{24^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3 \cdot 8^{4} + 3^{5} \cdot 8^{4}}{24^{4}}$

= $\frac{(3 + 3^{5}) \cdot 8^{4}}{{(3 \cdot 8)}^{4}}$

= $\frac{(3 + 3^{5}) \cdot 8^{4}}{3^{4} \cdot 8^{4}}$

= $\frac{3 + 3^{5}}{3^{4}}$

= $\frac{3 \cdot (1 + 3^{4})}{3^{4}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{3}}$

= $\frac{82}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4)}^{5}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4)}^{5}}{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{((2 x + 2) \cdot (2 x - 2))}^{5}}{{({(2 x + 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(2 x + 2)}^{5} \cdot {(2 x - 2)}^{5}}{{(2 x + 2)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 (x - 1))}^{5}}{{(2 (x + 1))}^{5}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{5}}$

= ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln