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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{4}$

= $x^{2 + 4}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{2}}{10^{10}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

= $\frac{10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{100000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{2}}{10^{10}}$

= $10^{2 - 10}$

= $10^{- 8}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{6}}{3 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{6}}{3 x^{3}}$ = $\frac{9 \cdot x^{6}}{3 \cdot x^{3}}$ = $3 \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{6 - 3}$

= $3 x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{7} \cdot 8 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$5 x^{7} \cdot 8 x^{- 5}$ = $5 \cdot x^{7} \cdot 8 \cdot x^{- 5}$ = $40 x^{7} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $40$ $x^{7 + (- 5)}$

= $40 x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{4} + (x^{- 1} + x^{7}) \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{4} + (x^{- 1} + x^{7}) \cdot x^{5}$

= $- 4 x^{4} + (x^{- 1} \cdot x^{5} + x^{7} \cdot x^{5})$

= $- 4 x^{4} + x^{4} + x^{12}$

= $x^{12} - 3 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $18^{3}$ ⋅ $6^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $18^{3}$ ⋅ $6^{- 3}$

= $18^{3} \cdot \frac{1}{6^{3}}$

= $\frac{18^{3}}{6^{3}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18}{6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6}$

= ${(\frac{18}{6})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 x^{4})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 x^{4})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(x^{4})}^{2}$

= $9^{2} \cdot x^{4 \cdot 2}$

= $81 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 2} \cdot 2^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 2} \cdot 2^{4}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 10 + 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 10 als 2 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 10 + 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{5} \cdot 2 \cdot 5 + 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot 2 + 5^{6} \cdot 3}{5^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (2 + 3)}{5^{6}}$

= $2 + 3$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} \cdot {(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln