Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{6}$

= $x^{2 + 6}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 3)}^{5}}{{(- 3)}^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 3)}^{5}}{{(- 3)}^{8}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 3)}^{5}}{{(- 3)}^{8}}$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $\frac{1}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $- \frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 3)}^{5}}{{(- 3)}^{8}}$

= ${(- 3)}^{5 - 8}$

= ${(- 3)}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(- 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{27}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{9}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{9}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- \frac{x^{9}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{9 - 8}$

= $- x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 7 x^{- 2} \cdot 7 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$- 7 x^{- 2} \cdot 7 x^{- 5}$ = $(- 7 \cdot x^{- 2}) \cdot 7 \cdot x^{- 5}$ = $- 49 x^{- 2} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 49$ $x^{- 2 + (- 5)}$

= $- 49 x^{- 7}$

= $- \frac{49}{x^{7}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 1} + x^{2}}{x} - 2 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 1} + x^{2}}{x} - 2 x$

= $\frac{x^{- 1}}{x} + \frac{x^{2}}{x} - 2 x$

= ${(x^{2})}^{- 1} + x - 2 x$

= $- x + x^{- 2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(7 \cdot 4)}^{x}$

= $28^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{18^{3}}{6^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{18^{3}}{6^{3}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18}{6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6} \cdot \frac{18}{6}$

= ${(\frac{18}{6})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $81 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $81 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{6^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{6^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{6^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(6 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{12^{2}}$

= $\frac{1}{144}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{20 \cdot 4^{4} - 3 \cdot 4^{5}}{4^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 5 ⋅ 4 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{20 \cdot 4^{4} - 3 \cdot 4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 4 \cdot 4^{4} - 3 \cdot 4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{5 \cdot 4^{5} - 3 \cdot 4^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{(5 - 3) \cdot 4^{5}}{4^{5}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{({(x + 1)}^{2})}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{8}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{4}}{1}$

= ${(x + 1)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln