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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{8}}$

= $x^{9 - 8}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 2}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 2}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{2}$

= ( $- 2$ ) · ( $- 2$ ) · ( $- 2$ )·( $- 2$ ) · ( $- 2$ )

= $- 32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{- 2}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot \frac{1}{{(- 2)}^{- 2}}$

= ${(- 2)}^{3} \cdot {(- 2)}^{2}$

= ${(- 2)}^{3 + 2}$

= ${(- 2)}^{5}$

= $- 32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{5} \cdot 2 x^{7}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{5} \cdot 2 x^{7}$ = $(- 4 \cdot x^{5}) \cdot 2 \cdot x^{7}$ = $- 8 x^{5} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 8$ $x^{5 + 7}$

= $- 8 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{- 6}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{- 6}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{- 6}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{- 6 - (- 2)}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 4}$

= $- \frac{1}{2 x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $9 x^{2} - 3 x^{2}$

= $6 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{6}{3})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $8^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{8^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{8 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

= $\frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2}$

= ${(\frac{8}{2})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{2}$

= $x^{6 \cdot 2}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{6} \cdot 6^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{6} \cdot 6^{- 6}$

= $\frac{3^{6}}{6^{6}}$

= ${(\frac{3}{6})}^{6}$

= ${(\frac{1}{2})}^{6}$

= $\frac{1}{64}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 5^{5} + 8^{7} \cdot 5^{8}}{40^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 5^{5} + 8^{7} \cdot 5^{8}}{40^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (5^{5} + 5^{8})}{{(8 \cdot 5)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (5^{5} + 5^{8})}{8^{7} \cdot 5^{7}}$

= $\frac{5^{5} + 5^{8}}{5^{7}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{7}}$

= $\frac{1 + 125}{5^{2}}$

= $\frac{126}{25}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{({(2 x - 5)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln