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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{7}$

= $x^{3 + 7}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{17^{3}}{17^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{17^{3}}{17^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{17^{3}}{17^{5}}$

= $\frac{17 \cdot 17 \cdot 17}{17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17}$

= $\frac{1}{17 \cdot 17}$

= $\frac{1}{289}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{17^{3}}{17^{5}}$

= $17^{3 - 5}$

= $17^{- 2}$

= $\frac{1}{17^{2}}$

= $\frac{1}{289}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{2}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{5}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{5 - 2}$

= $- \frac{5}{2} x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 8 x^{- 8} \cdot 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$- 8 x^{- 8} \cdot 3 x^{3}$ = $(- 8 \cdot x^{- 8}) \cdot 3 \cdot x^{3}$ = $- 24 x^{- 8} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 24$ $x^{- 8 + 3}$

= $- 24 x^{- 5}$

= $- \frac{24}{x^{5}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 + x^{5} \cdot (x + x^{- 5})$

Lösung einblenden

$- 5 + x^{5} \cdot (x + x^{- 5})$

= $- 5 + (x^{5} \cdot x + x^{5} \cdot x^{- 5})$

= $- 5 + x^{6} + 1$

= $x^{6} - 4$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{4}{15})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{4}{15})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{4}{15} \cdot \frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{4}{15} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{2}{5})}^{2}$

= $\frac{4}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{5}$

= $x^{3 \cdot 5}$

= $x^{15}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $4 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $4 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $4 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{12 \cdot 6^{7} - 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{12 \cdot 6^{7} - 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{2 \cdot 6 \cdot 6^{7} - 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{2 \cdot 6^{8} - 5 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{(2 - 5) \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $2 - 5$

= $- 3$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{2}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln