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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{2}}$

= $x^{7 - 2}$

= $x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{5} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

= $5^{5 - 3}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{9} \cdot 8 x^{3}$

Lösung einblenden

$4 x^{9} \cdot 8 x^{3}$ = $4 \cdot x^{9} \cdot 8 \cdot x^{3}$ = $32 x^{9} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $32$ $x^{9 + 3}$

= $32 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{- 3} \cdot 7 x^{7}$

Lösung einblenden

$2 x^{- 3} \cdot 7 x^{7}$ = $2 \cdot x^{- 3} \cdot 7 \cdot x^{7}$ = $14 x^{- 3} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $14$ $x^{- 3 + 7}$

= $14 x^{4}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} + (x^{4} + 1) \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + (x^{4} + 1) \cdot x^{2}$

= $- 5 x^{2} + (x^{4} \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{2})$

= $- 5 x^{2} + x^{6} + x^{2}$

= $x^{6} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $9^{2}$ ⋅ $3^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $9^{2}$ ⋅ $3^{- 2}$

= $9^{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{9^{2}}{3^{2}}$

= $\frac{9 \cdot 9}{3 \cdot 3}$

= $\frac{9}{3} \cdot \frac{9}{3}$

= ${(\frac{9}{3})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{3}$

= $x^{3 \cdot 3}$

= $x^{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{5})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{5 \cdot 4}$

= $16 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{3} \cdot \frac{4^{5}}{12^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $3$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $12$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{5}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$3^{3} \cdot \frac{4^{5}}{12^{3}}$

= $\frac{3^{3} \cdot 4^{5}}{12^{3}}$

= $\frac{3^{3} \cdot 4^{3 + 2}}{12^{3}}$

= $\frac{3^{3} \cdot 4^{3} \cdot 4^{2}}{12^{3}}$

= $\frac{{(3 \cdot 4)}^{3}}{12^{3}} \cdot 4^{2}$

= $\frac{12^{3}}{12^{3}} \cdot 4^{2}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{6} \cdot 25 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 25 als 5 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{6} \cdot 25 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{6} \cdot 5 \cdot 5 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{7} \cdot 5 + 5^{7} \cdot 2}{5^{7}}$

= $\frac{5^{7} \cdot (5 + 2)}{5^{7}}$

= $5 + 2$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(4 x^{2} - 25)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{((2 x - 5) \cdot (2 x + 5))}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4} \cdot {(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln