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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 2 · x 4

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an+m gilt:

x 2 · x 4

= x 2+4

= x 6

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: 3 7 3 -3

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

3 7 3 -3

Herkömmlicher Weg:

3 7 · 1 3 3

= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 3 · 3 · 3

= 3 · 3 · 3 · 3

= 81

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

3 7 3 -3

= 3 7 -3

= 3 4

= 81

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -7 x 6 2 x 2

Lösung einblenden

-7 x 6 2 x 2 = -7 · x 6 2 · x 2 = - 7 2 x 6 x 2

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an-m gilt:

= - 7 2 x 6-2

= - 7 2 x 4

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: -5 x -2 · 2 x 7

Lösung einblenden

-5 x -2 · 2 x 7 = -5 · x -2 · 2 · x 7 = -10 x -2 · x 7

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an+m gilt:

= -10 x -2 + 7

= -10 x 5

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 4x ) 3 -5 x 3

Lösung einblenden

( 4x ) 3 -5 x 3

= 4 3 · x 3 -5 x 3

= 64 x 3 -5 x 3

= 59 x 3

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 2 x · 3 x

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: an⋅bn= (a⋅b)n gilt:

2 x · 3 x

= ( 2 · 3 ) x

= 6 x

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ( 17 15 ) 2 ( 3 2 ) 2

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ( 17 15 ) 2 · ( 3 2 ) 2

= 17 15 · 17 15 3 2 · 3 2

= 17 15 · 3 2 · 17 15 · 3 2

= ( 17 15 · 3 2 ) 2

= ( 17 10 ) 2

= 289 100

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ( x 5 ) 4

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31x oder x19.

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Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( x 5 ) 4

= x 5 · 4

= x 20

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 5 2 x ) 2

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 5 2 x ) 2

= 5 2 · ( 2 x ) 2

= 5 2 · 2 x · 2

= 25 2 2x

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (an)m= an⋅m rückwärts an:

= 25 ( 2 2 ) x

= 25 4 x

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: 4 -4 · 12 4

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

4 -4 · 12 4

= 12 4 4 4

= ( 12 4 ) 4

= 3 4

= 81

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: 8 5 · 24 - 8 6 · 4 8 6

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Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

8 5 · 24 - 8 6 · 4 8 6

= 8 5 · 38 - 8 6 · 4 8 6

= 8 6 · 3 - 8 6 · 4 8 6

= 8 6 · ( 3 - 4 ) 8 6

= 3 - 4

= -1

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 4 x 2 -16x +16 ) 3 8 ( x -2 ) 3

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

( 4 x 2 -16x +16 ) 3 8 ( x -2 ) 3

= 4 3 · ( x 2 -4x +4 ) 3 8 ( x -2 ) 3

= ( 2 2 ) 3 · ( x 2 -4x +4 ) 3 2 3 · ( x -2 ) 3

= 2 6 · ( x 2 -4x +4 ) 3 2 3 · ( x -2 ) 3

= 2 3 · ( x 2 -4x +4 ) 3 ( x -2 ) 3

= 8 ( ( x -2 ) 2 ) 3 ( x -2 ) 3

= 8 ( x -2 ) 6 ( x -2 ) 3

= 8 ( x -2 ) 3 1

= 8 ( x -2 ) 3