Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{5}}$

= $x^{6 - 5}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{4}$ ⋅ $5^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{4} \cdot \frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{4}$ ⋅ $5^{- 2}$

= $5^{4 - 2}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{8} \cdot 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$9 x^{8} \cdot 8 x^{4}$ = $9 \cdot x^{8} \cdot 8 \cdot x^{4}$ = $72 x^{8} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $72$ $x^{8 + 4}$

= $72 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{- 6}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{- 6}}{2 x^{6}}$ = $\frac{4 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{6}}$ = $2 \frac{x^{- 6}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{- 6 - 6}$

= $2 x^{- 12}$

= $\frac{2}{x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2} + x^{4}}{x^{2}} + 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2} + x^{4}}{x^{2}} + 5 x^{2}$

= $\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{4}}{x^{2}} + 5 x^{2}$

= $1 + x^{2} + 5 x^{2}$

= $6 x^{2} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{25^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{25}{5})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $21^{4}$ ⋅ $7^{- 4}$

= $21^{4} \cdot \frac{1}{7^{4}}$

= $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{2})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{2})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{2})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{2 \cdot 4}$

= $81 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 2} \cdot 20^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 2} \cdot 20^{2}$

= $\frac{20^{2}}{4^{2}}$

= ${(\frac{20}{4})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{6} \cdot 16 + 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{6} \cdot 16 + 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{6} \cdot 2 \cdot 8 + 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot 2 + 8^{7} \cdot 2}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (2 + 2)}{8^{7}}$

= $2 + 2$

= $4$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{({(2 x - 1)}^{2})}^{4}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{8}}{{(2 x - 1)}^{6}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1}$

= ${(2 x - 1)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln