Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{8}$

= $x^{5 + 8}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{6}}{5^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{6}}{5^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{6}}{5^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{6}}{5^{4}}$

= $5^{6 - 4}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{8}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{8}}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{2}}$ = $- \frac{x^{8}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{8 - 2}$

= $- x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{6} \cdot 3 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{6} \cdot 3 x^{- 5}$ = $(- 4 \cdot x^{6}) \cdot 3 \cdot x^{- 5}$ = $- 12 x^{6} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{6 + (- 5)}$

= $- 12 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5^{x} \cdot 6^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$5^{x} \cdot 6^{x}$

= ${(5 \cdot 6)}^{x}$

= $30^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{{(\frac{3}{2})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{{(\frac{3}{2})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2}}}$

= ${(\frac{4}{9})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{6}$

= $x^{5 \cdot 6}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 2^{x})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 2^{x})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(2^{x})}^{5}$

= $2^{5} \cdot 2^{x \cdot 5}$

= $32 \cdot 2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $32 \cdot {(2^{5})}^{x}$

= $32 \cdot 32^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

= $\frac{1}{5^{6}} \cdot \frac{1}{2^{6}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{10^{6}}$

= $\frac{1}{1000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{4} \cdot 7^{5} + 4^{6} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{4} \cdot 7^{5} + 4^{6} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

= $\frac{(4^{4} + 4^{6}) \cdot 7^{5}}{{(4 \cdot 7)}^{5}}$

= $\frac{(4^{4} + 4^{6}) \cdot 7^{5}}{4^{5} \cdot 7^{5}}$

= $\frac{4^{4} + 4^{6}}{4^{5}}$

= $\frac{4^{4} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{4}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 9)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{3} \cdot {(x + 3)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 3)}^{3}}{1}$

= ${(x + 3)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln