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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{5}$

= $x^{3 + 5}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{2}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{2}}{5^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{2}}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{2}}{5^{2}}$

= $5^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{3} \cdot 5 x^{6}$

Lösung einblenden

$- x^{3} \cdot 5 x^{6}$ = $(- 1 \cdot x^{3}) \cdot 5 \cdot x^{6}$ = $- 5 x^{3} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 5$ $x^{3 + 6}$

= $- 5 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{- 7}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{- 7}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{- 7}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{- 7}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{- 7 - (- 4)}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 3}$

= $- \frac{3}{2 x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x + \frac{x^{5} + x^{3}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$3 x + \frac{x^{5} + x^{3}}{x^{2}}$

= $3 x + (\frac{x^{5}}{x^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}})$

= $3 x + x^{3} + x$

= $x^{3} + 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $12^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $12^{4}$ ⋅ $4^{- 4}$

= $12^{4} \cdot \frac{1}{4^{4}}$

= $\frac{12^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4} \cdot \frac{12}{4}$

= ${(\frac{12}{4})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 6}}{2^{6}}$

= $\frac{1}{5^{6}} \cdot \frac{1}{2^{6}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{10^{6}}$

= $\frac{1}{1000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{15 \cdot 5^{7} - 3 \cdot 5^{8}}{5^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 15 als 3 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{15 \cdot 5^{7} - 3 \cdot 5^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{3 \cdot 5 \cdot 5^{7} - 3 \cdot 5^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{3 \cdot 5^{8} - 3 \cdot 5^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{(3 - 3) \cdot 5^{8}}{5^{8}}$

= $3 - 3$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 3)}^{5}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 3)}^{5}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{5}}{{({(x - 3)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{5}}{{(x - 3)}^{6}}$

= $\frac{1}{x - 3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln