Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{3}$

= $x^{6 + 3}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{7}$ ⋅ $3^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{7}$ ⋅ $3^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{7} \cdot \frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{7}$ ⋅ $3^{- 3}$

= $3^{7 - 3}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{2} \cdot 8 x^{5}$

Lösung einblenden

$6 x^{2} \cdot 8 x^{5}$ = $6 \cdot x^{2} \cdot 8 \cdot x^{5}$ = $48 x^{2} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $48$ $x^{2 + 5}$

= $48 x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 7 x^{- 2}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 7 x^{- 2}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{- 7 \cdot x^{- 2}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $- \frac{7}{2} \frac{x^{- 2}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{7}{2}$ $x^{- 2 - (- 6)}$

= $- \frac{7}{2} x^{4}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} + \frac{x^{8} + x^{5}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + \frac{x^{8} + x^{5}}{x^{3}}$

= $- 5 x^{2} + (\frac{x^{8}}{x^{3}} + \frac{x^{5}}{x^{3}})$

= $- 5 x^{2} + x^{5} + x^{2}$

= $x^{5} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(2 \cdot 4)}^{x}$

= $8^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{5}}{5^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{5}}{5^{5}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{4})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{4})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(x^{4})}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4 \cdot 4}$

= $81 x^{16}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 5}}{5^{5}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 5}}{5^{5}}$

= $\frac{1}{2^{5}} \cdot \frac{1}{5^{5}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{5}}$

= $\frac{1}{10^{5}}$

= $\frac{1}{100000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{14 \cdot 7^{5} - 3 \cdot 7^{6}}{7^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{14 \cdot 7^{5} - 3 \cdot 7^{6}}{7^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 7 \cdot 7^{5} - 3 \cdot 7^{6}}{7^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 7^{6} - 3 \cdot 7^{6}}{7^{6}}$

= $\frac{(2 - 3) \cdot 7^{6}}{7^{6}}$

= $2 - 3$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{({(x + 3)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x + 3)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 3)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln