Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{5}$

= $x^{7 + 5}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{6}}{4^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{6}}{4^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{6}}{4^{5}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $4$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{6}}{4^{5}}$

= $4^{6 - 5}$

= $4$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{4}}{4 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{4}}{4 x^{3}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{4}}{4 \cdot x^{3}}$ = $- 2 \frac{x^{4}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{4 - 3}$

= $- 2 x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{- 5}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{- 5}}{2 x^{5}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{5}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{- 5}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{- 5 - 5}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 10}$

= $- \frac{5}{2 x^{10}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (x + x^{- 5}) - 3$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (x + x^{- 5}) - 3$

= $x^{5} \cdot x + x^{5} \cdot x^{- 5} - 3$

= $x^{6} + 1 - 3$

= $x^{6} - 2$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(2 \cdot 7)}^{x}$

= $14^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{8}$ ⋅ $4^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{8}$ ⋅ $4^{- 8}$

= $8^{8} \cdot \frac{1}{4^{8}}$

= $\frac{8^{8}}{4^{8}}$

= $\frac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4}$

= ${(\frac{8}{4})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{5}$

= $x^{6 \cdot 5}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{7^{- 2}}{2^{2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{7^{- 2}}{2^{2}}$

= $\frac{1}{7^{2}} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{{(7 \cdot 2)}^{2}}$

= $\frac{1}{14^{2}}$

= $\frac{1}{196}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{3} + 4 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{3} + 4 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{3} + 4 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{4} + 4 \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{(5 + 4) \cdot 8^{4}}{8^{4}}$

= $5 + 4$

= $9$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{({(x + 3)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x + 3)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 3)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln