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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{6}}$

= $x^{7 - 6}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{5}}$

= $\frac{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}{(- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4) \cdot (- 4)}$

= $\frac{1}{(- 4)}$

= $- \frac{1}{4}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 4)}^{4}}{{(- 4)}^{5}}$

= ${(- 4)}^{4 - 5}$

= ${(- 4)}^{- 1}$

= $\frac{1}{(- 4)}$

= $- \frac{1}{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{7}}{4 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{7}}{4 x^{2}}$ = $\frac{8 \cdot x^{7}}{4 \cdot x^{2}}$ = $2 \frac{x^{7}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{7 - 2}$

= $2 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{- 2}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{- 2}}{2 x^{6}}$ = $\frac{1 \cdot x^{- 2}}{2 \cdot x^{6}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{- 2}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{- 2 - 6}$

= $\frac{1}{2} x^{- 8}$

= $\frac{1}{2 x^{8}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x + x^{4} \cdot (x^{3} + x^{- 3})$

Lösung einblenden

$- 5 x + x^{4} \cdot (x^{3} + x^{- 3})$

= $- 5 x + (x^{4} \cdot x^{3} + x^{4} \cdot x^{- 3})$

= $- 5 x + x^{7} + x$

= $x^{7} - 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2}$

= $4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{16^{2}}{4^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{16^{2}}{4^{2}}$

= $\frac{16 \cdot 16}{4 \cdot 4}$

= $\frac{16}{4} \cdot \frac{16}{4}$

= ${(\frac{16}{4})}^{2}$

= $4^{2}$

= $16$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{4}$

= $2^{x \cdot 4}$

= $2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{4})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{7} \cdot 12^{- 7}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{7} \cdot 12^{- 7}$

= $\frac{6^{7}}{12^{7}}$

= ${(\frac{6}{12})}^{7}$

= ${(\frac{1}{2})}^{7}$

= $\frac{1}{128}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{12 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{12 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{2 \cdot 6 \cdot 6^{4} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{2 \cdot 6^{5} - 3 \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{(2 - 3) \cdot 6^{5}}{6^{5}}$

= $2 - 3$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{128 {(x + 2)}^{7}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{128 {(x + 2)}^{7}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{5}}$

= $\frac{128 {(x + 2)}^{7}}{4^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{7} \cdot {(x + 2)}^{7}}{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{2^{7} \cdot {(x + 2)}^{7}}{2^{10} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{7}}{2^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{7}}{8 {({(x + 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{7}}{8 {(x + 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln