Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{2}$

= $x^{7 + 2}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $13^{6}$ ⋅ $13^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$13^{6}$ ⋅ $13^{- 8}$

Herkömmlicher Weg:

$13^{6} \cdot \frac{1}{13^{8}}$

= $\frac{13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13}{13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13}$

= $\frac{1}{13 \cdot 13}$

= $\frac{1}{169}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$13^{6}$ ⋅ $13^{- 8}$

= $13^{6 - 8}$

= $13^{- 2}$

= $\frac{1}{13^{2}}$

= $\frac{1}{169}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{8} \cdot 8 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{8} \cdot 8 x^{2}$ = $(- 4 \cdot x^{8}) \cdot 8 \cdot x^{2}$ = $- 32 x^{8} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 32$ $x^{8 + 2}$

= $- 32 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{5} \cdot 6 x^{- 4}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{5} \cdot 6 x^{- 4}$ = $(- 3 \cdot x^{5}) \cdot 6 \cdot x^{- 4}$ = $- 18 x^{5} \cdot x^{- 4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 18$ $x^{5 + (- 4)}$

= $- 18 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{7} + x^{2}) \cdot x^{3} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

$(x^{7} + x^{2}) \cdot x^{3} - 5 x^{5}$

= $x^{7} \cdot x^{3} + x^{2} \cdot x^{3} - 5 x^{5}$

= $x^{10} + x^{5} - 5 x^{5}$

= $x^{10} - 4 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{3}$

= $8 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{8^{3}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{8^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{8 \cdot 8 \cdot 8}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{8}{2}$

= ${(\frac{8}{2})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{5}$

= $x^{3 \cdot 5}$

= $x^{15}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 x^{4})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 x^{4})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(x^{4})}^{2}$

= $9^{2} \cdot x^{4 \cdot 2}$

= $81 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{- 4} \cdot 2^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{- 4} \cdot 2^{4}$

= $\frac{2^{4}}{6^{4}}$

= ${(\frac{2}{6})}^{4}$

= ${(\frac{1}{3})}^{4}$

= $\frac{1}{81}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{8} \cdot 2^{5} + 5^{8} \cdot 2^{8}}{10^{8}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{8} \cdot 2^{5} + 5^{8} \cdot 2^{8}}{10^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{{(5 \cdot 2)}^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{5^{8} \cdot 2^{8}}$

= $\frac{2^{5} + 2^{8}}{2^{8}}$

= $\frac{2^{5} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{8}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{3}}$

= $\frac{9}{8}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{2}}{4 {(x - 2)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 16 x + 16)}^{2}}{4 {(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{4^{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}{4 {(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{2^{4} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}{2^{2} \cdot {(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{2^{2} \cdot {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{4 {({(x - 2)}^{2})}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{4 {(x - 2)}^{4}}{{(x - 2)}^{2}}$

= $\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{1}$

= $4 {(x - 2)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln