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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{6}}$

= $x^{2 - 6}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{2}$ ⋅ $4^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{2}$ ⋅ $4^{1}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{2} \cdot 4$

= 4 · 4·4

= $64$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{2}$ ⋅ $4^{1}$

= $4^{2 + 1}$

= $4^{3}$

= $64$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{4} \cdot 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$2 x^{4} \cdot 3 x^{7}$ = $2 \cdot x^{4} \cdot 3 \cdot x^{7}$ = $6 x^{4} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{4 + 7}$

= $6 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{- 8}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{- 8}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{- 8}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{- 8}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{- 8 - (- 9)}$

= $- \frac{3}{2} x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot (x^{- 1} + x^{4}) - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{3} \cdot (x^{- 1} + x^{4}) - 4 x^{2}$

= $x^{3} \cdot x^{- 1} + x^{3} \cdot x^{4} - 4 x^{2}$

= $x^{2} + x^{7} - 4 x^{2}$

= $x^{7} - 3 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{35^{2}}{7^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{35^{2}}{7^{2}}$

= $\frac{35 \cdot 35}{7 \cdot 7}$

= $\frac{35}{7} \cdot \frac{35}{7}$

= ${(\frac{35}{7})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{6}$

= $x^{5 \cdot 6}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{3})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{3 \cdot 6}$

= $64 x^{18}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{2} \cdot 6^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{2} \cdot 6^{- 2}$

= $\frac{2^{2}}{6^{2}}$

= ${(\frac{2}{6})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{2} \cdot 5 + 7^{2} \cdot 5^{4}}{35^{2}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (35 = 5 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{2} \cdot 5 + 7^{2} \cdot 5^{4}}{35^{2}}$

= $\frac{7^{2} \cdot (5 + 5^{4})}{{(7 \cdot 5)}^{2}}$

= $\frac{7^{2} \cdot (5 + 5^{4})}{7^{2} \cdot 5^{2}}$

= $\frac{5 + 5^{4}}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot (1 + 5^{3})}{5^{2}}$

= $\frac{1 + 125}{5}$

= $\frac{126}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {({(x + 2)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln