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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{2}}$

= $x^{4 - 2}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $4^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{8}}{4 x^{2}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{8}}{4 \cdot x^{2}}$ = $- 2 \frac{x^{8}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{8 - 2}$

= $- 2 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{- 5} \cdot 4 x^{6}$

Lösung einblenden

$8 x^{- 5} \cdot 4 x^{6}$ = $8 \cdot x^{- 5} \cdot 4 \cdot x^{6}$ = $32 x^{- 5} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $32$ $x^{- 5 + 6}$

= $32 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2} + x^{4}}{x} - 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2} + x^{4}}{x} - 3 x^{3}$

= $\frac{x^{2}}{x} + \frac{x^{4}}{x} - 3 x^{3}$

= $x + x^{3} - 3 x^{3}$

= $- 2 x^{3} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{12^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{12}{4})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{28^{3}}{7^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{28^{3}}{7^{3}}$

= $\frac{28 \cdot 28 \cdot 28}{7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{28}{7} \cdot \frac{28}{7} \cdot \frac{28}{7}$

= ${(\frac{28}{7})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{3} \cdot 10^{- 3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{3} \cdot 10^{- 3}$

= $\frac{2^{3}}{10^{3}}$

= ${(\frac{2}{10})}^{3}$

= ${(\frac{1}{5})}^{3}$

= $\frac{1}{125}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{21 \cdot 7^{3} - 4 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21 \cdot 7^{3} - 4 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 7 \cdot 7^{3} - 4 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 7^{4} - 4 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{(3 - 4) \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $3 - 4$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 25)}^{5}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{5}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

= $\frac{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{5}}{{({(x - 5)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5} \cdot {(x + 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{5}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln