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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{4}}$

= $x^{8 - 4}$

= $x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{7}}{2^{14}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{7}}{2^{14}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{7}}{2^{14}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{7}}{2^{14}}$

= $2^{7 - 14}$

= $2^{- 7}$

= $\frac{1}{2^{7}}$

= $\frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{4}}{3 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{4}}{3 x^{9}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{4}}{3 \cdot x^{9}}$ = $- 2 \frac{x^{4}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{4 - 9}$

= $- 2 x^{- 5}$

= $- \frac{2}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{- 5}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{- 5}}{2 x^{5}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{5}}$ = $- 2 \frac{x^{- 5}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{- 5 - 5}$

= $- 2 x^{- 10}$

= $- \frac{2}{x^{10}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{- 2} + x) \cdot x^{3} - 5 x$

Lösung einblenden

$(x^{- 2} + x) \cdot x^{3} - 5 x$

= $x^{- 2} \cdot x^{3} + x \cdot x^{3} - 5 x$

= $x + x^{4} - 5 x$

= $x^{4} - 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(6 \cdot 4)}^{x}$

= $24^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{15}{8})}^{3}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{15}{8})}^{3} \cdot {(\frac{4}{3})}^{3}$

= $\frac{15}{8} \cdot \frac{15}{8} \cdot \frac{15}{8}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{15}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{8} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{8} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{15}{8} \cdot \frac{4}{3})}^{3}$

= ${(\frac{5}{2})}^{3}$

= $\frac{125}{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{4})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{4 \cdot 5}$

= $32 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 5} \cdot 2^{5}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 5} \cdot 2^{5}$

= $\frac{2^{5}}{4^{5}}$

= ${(\frac{2}{4})}^{5}$

= ${(\frac{1}{2})}^{5}$

= $\frac{1}{32}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{4} \cdot 4^{3} + 6^{4} \cdot 4^{6}}{24^{4}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 4 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{4} \cdot 4^{3} + 6^{4} \cdot 4^{6}}{24^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (4^{3} + 4^{6})}{{(6 \cdot 4)}^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (4^{3} + 4^{6})}{6^{4} \cdot 4^{4}}$

= $\frac{4^{3} + 4^{6}}{4^{4}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{4}}$

= $\frac{1 + 64}{4}$

= $\frac{65}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{4}}{{(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{((2 x - 1) \cdot (2 x + 1))}^{4}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{4} \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{8}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{{(2 x - 1)}^{4}}$

= ${(\frac{2 x + 1}{2 x - 1})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln