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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{3}$

= $x^{4 + 3}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{2}}{3^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{2}}{3^{- 2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{2}}{3^{- 2}}$

= $3^{2} \cdot \frac{1}{3^{- 2}}$

= $3^{2} \cdot 3^{2}$

= 3 · 3·3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{2}}{3^{- 2}}$

= $3^{2} \cdot \frac{1}{3^{- 2}}$

= $3^{2} \cdot 3^{2}$

= $3^{2 + 2}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{5} \cdot 8 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{5} \cdot 8 x^{8}$ = $(- 9 \cdot x^{5}) \cdot 8 \cdot x^{8}$ = $- 72 x^{5} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 72$ $x^{5 + 8}$

= $- 72 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{- 5}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{- 5}}{2 x^{9}}$ = $\frac{2 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{9}}$ = $\frac{x^{- 5}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{- 5 - 9}$

= $x^{- 14}$

= $\frac{1}{x^{14}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2} + x^{3}}{x} - 5 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2} + x^{3}}{x} - 5 x$

= $\frac{x^{2}}{x} + \frac{x^{3}}{x} - 5 x$

= $x + x^{2} - 5 x$

= $x^{2} - 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{8}$ ⋅ $5^{8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{8} \cdot 5^{8}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{8}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{4}$

= $x^{5 \cdot 4}$

= $x^{20}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{6} \cdot 16 + 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 4 ⋅ 4 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{6} \cdot 16 + 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{6} \cdot 4 \cdot 4 + 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot 4 + 4^{7} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{4^{7} \cdot (4 + 2)}{4^{7}}$

= $4 + 2$

= $6$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 2 x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln