Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^8}{x^9}$

= $x^{8-9}$

= $x^{-1}$

= $\frac{1}{x}$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{\left(-4\right)}^5}{{\left(-4\right)}^3}$

= $\frac{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}$

= ($-4$) · ($-4$)

= $16$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${\left(-4\right)}^{5-3}$

= ${\left(-4\right)}^2$

= $16$

$2x^9·3x^6$ = $2·x^9·3·x^6$ = $6x^9·x^6$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{9+6}$

= $6x^{15}$

$\frac{-9x^2}{3x^8}$ = $\frac{-9·x^2}{3·x^8}$ = $-3\frac{x^2}{x^8}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-3$ $x^{2-8}$

= $-3x^{-6}$

= $-\frac{3}{x^6}$

$\left(x^3+x^{-5}\right)·x^5-2$

= $x^3·x^5+x^{-5}·x^5-2$

= $x^8+1-2$

= $x^8-1$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{{15}^x}{3^x}$

= ${\left(\frac{15}{3}\right)}^x$

= $5^x$

= ${\left(\frac{4}{15}\right)}^2·{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

= $\frac{4}{15}·\frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{3}{2}·\frac{3}{2}$

= $\frac{4}{15}·\frac{3}{2}·\frac{4}{15}·\frac{3}{2}$

= ${(\frac{4}{15}·\frac{3}{2})}^2$

= ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2$

= $\frac{4}{25}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3^x\right)}^3$

= $3^{x·3}$

= $3^{3x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(3^3\right)}^x$

= ${27}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^4\right)}^5$

= $2^5·{\left(x^4\right)}^5$

= $2^5·x^{4·5}$

= $32x^{20}$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $3$ gerade gleich der Basis des Nenners ($12$) ist.
Wenn man nun die $3^6$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{3^6·4^3}{{12}^3}$

= $\frac{4^3·3^6}{{12}^3}$

= $\frac{4^3·3^{3+3}}{{12}^3}$

= $\frac{4^3·3^3·3^3}{{12}^3}$

= $\frac{{\left(4\cdot 3\right)}^3}{{12}^3}·3^3$

= $\frac{{12}^3}{{12}^3}·3^3$

= $27$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (16 = 2 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2·8^6+2^6·8^6}{{16}^6}$

= $\frac{\left(2+2^6\right)·8^6}{{\left(2\cdot 8\right)}^6}$

= $\frac{\left(2+2^6\right)·8^6}{2^6·8^6}$

= $\frac{2+2^6}{2^6}$

= $\frac{2·\left(1+2^5\right)}{2^6}$

= $\frac{1+32}{2^5}$

= $\frac{33}{32}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(x^2-10x+25\right)}^5}{{\left(x^2-25\right)}^5}$

= $\frac{{\left({\left(x-5\right)}^2\right)}^5}{{(\left(x-5\right)·\left(x+5\right))}^5}$

= $\frac{{\left(x-5\right)}^{10}}{{\left(x-5\right)}^5·{\left(x+5\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x-5\right)}^5}{1·{\left(x+5\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x-5\right)}^5}{{\left(x+5\right)}^5}$

= ${\left(\frac{x-5}{x+5}\right)}^5$