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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{6}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{6}}$

= $x^{9 - 6}$

= $x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{6}$ ⋅ $5^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 8}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{6} \cdot \frac{1}{5^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{25}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 8}$

= $5^{6 - 8}$

= $5^{- 2}$

= $\frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{1}{25}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{6} \cdot 7 x^{2}$

Lösung einblenden

$6 x^{6} \cdot 7 x^{2}$ = $6 \cdot x^{6} \cdot 7 \cdot x^{2}$ = $42 x^{6} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $42$ $x^{6 + 2}$

= $42 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{- 7}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{- 7}}{2 x^{4}}$ = $\frac{2 \cdot x^{- 7}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{x^{- 7}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{- 7 - 4}$

= $x^{- 11}$

= $\frac{1}{x^{11}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{4} + x^{4} \cdot (1 + x^{4})$

Lösung einblenden

$- 5 x^{4} + x^{4} \cdot (1 + x^{4})$

= $- 5 x^{4} + (x^{4} \cdot 1 + x^{4} \cdot x^{4})$

= $- 5 x^{4} + x^{4} + x^{8}$

= $x^{8} - 4 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $7^{2}$ ⋅ $2^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $7^{2} \cdot 2^{2}$

= $7 \cdot 7$ ⋅ $2 \cdot 2$

= $7 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2$

= ${(7 \cdot 2)}^{2}$

= $14^{2}$

= $196$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(x^{2})}^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{2 \cdot 3}$

= $8 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{3^{7} \cdot 2^{5}}{6^{5}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $3$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $6$ ) ist.
Wenn man nun die $3^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 5 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{3^{7} \cdot 2^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot 3^{7}}{6^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot 3^{5 + 2}}{6^{5}}$

= $\frac{2^{5} \cdot 3^{5} \cdot 3^{2}}{6^{5}}$

= $\frac{{(2 \cdot 3)}^{5}}{6^{5}} \cdot 3^{2}$

= $\frac{6^{5}}{6^{5}} \cdot 3^{2}$

= $9$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{18 \cdot 6^{7} + 4 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{18 \cdot 6^{7} + 4 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{3 \cdot 6 \cdot 6^{7} + 4 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{3 \cdot 6^{8} + 4 \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{(3 + 4) \cdot 6^{8}}{6^{8}}$

= $3 + 4$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{7}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{7}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{7}}{{({(x + 4)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{7}}{{(x + 4)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln