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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{4}}$

= $x^{6 - 4}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 2)}^{4} \cdot (\frac{1}{{(- 2)}^{11}})$

= $\frac{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $\frac{1}{(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2)}$

= $- \frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 2)}^{4}$ ⋅ ${(- 2)}^{- 11}$

= ${(- 2)}^{4 - 11}$

= ${(- 2)}^{- 7}$

= $\frac{1}{{(- 2)}^{7}}$

= $- \frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{7} \cdot 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{7} \cdot 8 x^{4}$ = $(- 5 \cdot x^{7}) \cdot 8 \cdot x^{4}$ = $- 40 x^{7} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 40$ $x^{7 + 4}$

= $- 40 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{- 4}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{- 4}}{2 x^{4}}$ = $\frac{2 \cdot x^{- 4}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{x^{- 4}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{- 4 - 4}$

= $x^{- 8}$

= $\frac{1}{x^{8}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 2 x^{4}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{4} - 2 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 2 x^{4}$

= $81 x^{4} - 2 x^{4}$

= $79 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $15^{2}$ ⋅ $5^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $15^{2}$ ⋅ $5^{- 2}$

= $15^{2} \cdot \frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{15^{2}}{5^{2}}$

= $\frac{15 \cdot 15}{5 \cdot 5}$

= $\frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5}$

= ${(\frac{15}{5})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{6}$

= $x^{4 \cdot 6}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 x^{2})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 x^{2})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(x^{2})}^{2}$

= $8^{2} \cdot x^{2 \cdot 2}$

= $64 x^{4}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 6} \cdot 2^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 6} \cdot 2^{6}$

= $\frac{2^{6}}{4^{6}}$

= ${(\frac{2}{4})}^{6}$

= ${(\frac{1}{2})}^{6}$

= $\frac{1}{64}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{9 \cdot 3^{5} + 2 \cdot 3^{6}}{3^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 9 als 3 ⋅ 3 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{9 \cdot 3^{5} + 2 \cdot 3^{6}}{3^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3^{5} + 2 \cdot 3^{6}}{3^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 3^{6} + 2 \cdot 3^{6}}{3^{6}}$

= $\frac{(3 + 2) \cdot 3^{6}}{3^{6}}$

= $3 + 2$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 25)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{((2 x - 5) \cdot (2 x + 5))}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{2} \cdot {(2 x + 5)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x + 5)}^{2}}{1}$

= ${(2 x + 5)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln