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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{5}$

= $x^{7 + 5}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{3}}{2^{- 4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{3}}{2^{- 4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{3}}{2^{- 4}}$

= $2^{3} \cdot \frac{1}{2^{- 4}}$

= $2^{3} \cdot 2^{4}$

= 2 · 2 · 2·2 · 2 · 2 · 2

= $128$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{3}}{2^{- 4}}$

= $2^{3} \cdot \frac{1}{2^{- 4}}$

= $2^{3} \cdot 2^{4}$

= $2^{3 + 4}$

= $2^{7}$

= $128$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{3}}{3 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{3}}{3 x^{9}}$ = $\frac{9 \cdot x^{3}}{3 \cdot x^{9}}$ = $3 \frac{x^{3}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3 - 9}$

= $3 x^{- 6}$

= $\frac{3}{x^{6}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{- 5}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{- 5}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{5 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{- 5}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{- 5 - (- 2)}$

= $\frac{5}{2} x^{- 3}$

= $\frac{5}{2 x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{3} - 5 x^{3}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{3} - 5 x^{3}$

= $2^{3} \cdot x^{3} - 5 x^{3}$

= $8 x^{3} - 5 x^{3}$

= $3 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{5}}{6^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{5}}{6^{5}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6}$

= ${(\frac{12}{6})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{6}$

= $x^{2 \cdot 6}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{2}}{7^{- 2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{2}}{7^{- 2}}$

= $2^{2} \cdot 7^{2}$

= ${(2 \cdot 7)}^{2}$

= $14^{2}$

= $196$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{7} \cdot 25 - 5^{8} \cdot 3}{5^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 25 als 5 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{7} \cdot 25 - 5^{8} \cdot 3}{5^{8}}$

= $\frac{5^{7} \cdot 5 \cdot 5 - 5^{8} \cdot 3}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot 5 - 5^{8} \cdot 3}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot (5 - 3)}{5^{8}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{{(4 x^{2} + 16 x + 16)}^{3}}$

= $\frac{8 {(x + 2)}^{3}}{4^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{{(2^{2})}^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x + 2)}^{3}}{2^{6} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{2^{3} \cdot {(x^{2} + 4 x + 4)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {({(x + 2)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{8 {(x + 2)}^{6}}$

= $\frac{1}{8 {(x + 2)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln