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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{6}$

= $x^{5 + 6}$

= $x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 10)}^{6}}{{(- 10)}^{13}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 10)}^{6}}{{(- 10)}^{13}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 10)}^{6}}{{(- 10)}^{13}}$

= $\frac{(- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10)}{(- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10)}$

= $\frac{1}{(- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10) \cdot (- 10)}$

= $- \frac{1}{10000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 10)}^{6}}{{(- 10)}^{13}}$

= ${(- 10)}^{6 - 13}$

= ${(- 10)}^{- 7}$

= $\frac{1}{{(- 10)}^{7}}$

= $- \frac{1}{10000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot 4 x^{6}$

Lösung einblenden

$x^{7} \cdot 4 x^{6}$ = $1 \cdot x^{7} \cdot 4 \cdot x^{6}$ = $4 x^{7} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $4$ $x^{7 + 6}$

= $4 x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $4 x^{4} \cdot 4 x^{3}$

Lösung einblenden

$4 x^{4} \cdot 4 x^{3}$ = $4 \cdot x^{4} \cdot 4 \cdot x^{3}$ = $16 x^{4} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $16$ $x^{4 + 3}$

= $16 x^{7}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $3^{2}$ ⋅ $6^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $3^{2} \cdot 6^{2}$

= $3 \cdot 3$ ⋅ $6 \cdot 6$

= $3 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 6$

= ${(3 \cdot 6)}^{2}$

= $18^{2}$

= $324$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{4}$

= $3^{x \cdot 4}$

= $3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{4})}^{x}$

= $81^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{4}}{5^{- 4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{4}}{5^{- 4}}$

= $2^{4} \cdot 5^{4}$

= ${(2 \cdot 5)}^{4}$

= $10^{4}$

= $10 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 18 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 18 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 3 \cdot 6 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 3 - 6^{6} \cdot 4}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (3 - 4)}{6^{6}}$

= $3 - 4$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{((x + 2) \cdot (x - 2))}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5} \cdot {(x - 2)}^{5}}{{(x + 2)}^{5}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 2)}^{5}}{1}$

= ${(x - 2)}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln