Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{6}$

= $x^{2 + 6}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{4}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{4}}{5^{2}}$

= $5^{4 - 2}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{3} \cdot 8 x^{2}$

Lösung einblenden

$5 x^{3} \cdot 8 x^{2}$ = $5 \cdot x^{3} \cdot 8 \cdot x^{2}$ = $40 x^{3} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $40$ $x^{3 + 2}$

= $40 x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{9}}{3 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{9}}{3 x^{- 8}}$ = $\frac{9 \cdot x^{9}}{3 \cdot x^{- 8}}$ = $3 \frac{x^{9}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{9 - (- 8)}$

= $3 x^{17}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{3} + \frac{x^{6} + x^{9}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{3} + \frac{x^{6} + x^{9}}{x^{3}}$

= $- 4 x^{3} + (\frac{x^{6}}{x^{3}} + \frac{x^{9}}{x^{3}})$

= $- 4 x^{3} + x^{3} + x^{6}$

= $x^{6} - 3 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{8^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{9}$ ⋅ $5^{9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{3^{2}}{5^{- 2}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{3^{2}}{5^{- 2}}$

= $3^{2} \cdot 5^{2}$

= ${(3 \cdot 5)}^{2}$

= $15^{2}$

= $225$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{7} \cdot 12 + 6^{8} \cdot 3}{6^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{7} \cdot 12 + 6^{8} \cdot 3}{6^{8}}$

= $\frac{6^{7} \cdot 2 \cdot 6 + 6^{8} \cdot 3}{6^{8}}$

= $\frac{6^{8} \cdot 2 + 6^{8} \cdot 3}{6^{8}}$

= $\frac{6^{8} \cdot (2 + 3)}{6^{8}}$

= $2 + 3$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{2}}$

= $\frac{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{2}}{{({(x - 5)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{2} \cdot {(x + 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

= ${(\frac{x + 5}{x - 5})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln