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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{2}$

= $x^{4 + 2}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{17^{7}}{17^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{17^{7}}{17^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{17^{7}}{17^{5}}$

= $\frac{17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17}{17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17}$

= 17 · 17

= $289$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{17^{7}}{17^{5}}$

= $17^{7 - 5}$

= $17^{2}$

= $289$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{3}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{3}}{2 x^{2}}$ = $\frac{3 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{2}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{3}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{3 - 2}$

= $\frac{3}{2} x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{- 4} \cdot 2 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{- 4} \cdot 2 x^{- 5}$ = $(- 4 \cdot x^{- 4}) \cdot 2 \cdot x^{- 5}$ = $- 8 x^{- 4} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 8$ $x^{- 4 + (- 5)}$

= $- 8 x^{- 9}$

= $- \frac{8}{x^{9}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 2^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 2^{x}$

= ${(6 \cdot 2)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $10^{8}$ ⋅ $5^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $10^{8}$ ⋅ $5^{- 8}$

= $10^{8} \cdot \frac{1}{5^{8}}$

= $\frac{10^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $8^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $64 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $64 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{6} \cdot \frac{4^{8}}{8^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $8$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{8}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{6} \cdot \frac{4^{8}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{8}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{6 + 2}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{6} \cdot 4^{2}}{8^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 4)}^{6}}{8^{6}} \cdot 4^{2}$

= $\frac{8^{6}}{8^{6}} \cdot 4^{2}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{7} \cdot 2^{2} + 7^{7} \cdot 2^{7}}{14^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (14 = 2 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{7} \cdot 2^{2} + 7^{7} \cdot 2^{7}}{14^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (2^{2} + 2^{7})}{{(7 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (2^{2} + 2^{7})}{7^{7} \cdot 2^{7}}$

= $\frac{2^{2} + 2^{7}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{2} \cdot (1 + 2^{5})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 32}{2^{5}}$

= $\frac{33}{32}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 25)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{((x - 5) \cdot (x + 5))}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{5} \cdot {(x + 5)}^{5}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x + 5)}^{5}}$

= $\frac{1}{{(x + 5)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln