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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{6}$

= $x^{9 + 6}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 2}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 2}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot {(- 10)}^{2}$

= ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ ) · ( $- 10$ )·( $- 10$ ) · ( $- 10$ )

= $1 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 10)}^{4}}{{(- 10)}^{- 2}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot \frac{1}{{(- 10)}^{- 2}}$

= ${(- 10)}^{4} \cdot {(- 10)}^{2}$

= ${(- 10)}^{4 + 2}$

= ${(- 10)}^{6}$

= $1 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{7}}{2 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{7}}{2 x^{6}}$ = $\frac{2 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{6}}$ = $\frac{x^{7}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{7 - 6}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{- 7}}{4 x^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{- 7}}{4 x^{- 3}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{- 7}}{4 \cdot x^{- 3}}$ = $- 2 \frac{x^{- 7}}{x^{- 3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{- 7 - (- 3)}$

= $- 2 x^{- 4}$

= $- \frac{2}{x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{2} + x^{6}) \cdot x^{3} - 4 x^{5}$

Lösung einblenden

$(x^{2} + x^{6}) \cdot x^{3} - 4 x^{5}$

= $x^{2} \cdot x^{3} + x^{6} \cdot x^{3} - 4 x^{5}$

= $x^{5} + x^{9} - 4 x^{5}$

= $x^{9} - 3 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5}$

= $32 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{1}{3})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{3}{2})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{1}{3})}^{2} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$

= $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

= ${(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2})}^{2}$

= ${(\frac{1}{2})}^{2}$

= $\frac{1}{4}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{6}$

= $x^{5 \cdot 6}$

= $x^{30}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{9}}{5^{- 9}}$

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{7} \cdot 3^{5} + 7^{7} \cdot 3^{7}}{21^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{7} \cdot 3^{5} + 7^{7} \cdot 3^{7}}{21^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{{(7 \cdot 3)}^{7}}$

= $\frac{7^{7} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{7^{7} \cdot 3^{7}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{7}}{3^{7}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{2})}{3^{7}}$

= $\frac{1 + 9}{3^{2}}$

= $\frac{10}{9}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{5}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{5}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{({(2 x - 5)}^{2})}^{5}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{10}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{5}}{1}$

= ${(2 x - 5)}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln