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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{8}}$

= $x^{9 - 8}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{4}$ ⋅ $4^{- 7}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{4}$ ⋅ $4^{- 7}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{4} \cdot \frac{1}{4^{7}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{64}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{4}$ ⋅ $4^{- 7}$

= $4^{4 - 7}$

= $4^{- 3}$

= $\frac{1}{4^{3}}$

= $\frac{1}{64}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{6}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{6}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- 2 \frac{x^{6}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{6 - 8}$

= $- 2 x^{- 2}$

= $- \frac{2}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{8} \cdot 6 x^{- 5}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{8} \cdot 6 x^{- 5}$ = $(- 6 \cdot x^{8}) \cdot 6 \cdot x^{- 5}$ = $- 36 x^{8} \cdot x^{- 5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 36$ $x^{8 + (- 5)}$

= $- 36 x^{3}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x + x^{4} \cdot (x^{- 3} + x)$

Lösung einblenden

$- 4 x + x^{4} \cdot (x^{- 3} + x)$

= $- 4 x + (x^{4} \cdot x^{- 3} + x^{4} \cdot x)$

= $- 4 x + x + x^{5}$

= $x^{5} - 3 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{34 \cdot 34}{2 \cdot 2}$

= $\frac{34}{2} \cdot \frac{34}{2}$

= ${(\frac{34}{2})}^{2}$

= $17^{2}$

= $289$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{2})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{2})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{2 \cdot 5}$

= $32 x^{10}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{6} \cdot \frac{4^{8}}{8^{6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $4$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $8$ ) ist.
Wenn man nun die $4^{8}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 6 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{6} \cdot \frac{4^{8}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{8}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{6 + 2}}{8^{6}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 4^{6} \cdot 4^{2}}{8^{6}}$

= $\frac{{(2 \cdot 4)}^{6}}{8^{6}} \cdot 4^{2}$

= $\frac{8^{6}}{8^{6}} \cdot 4^{2}$

= $16$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{35 \cdot 7^{3} + 5 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 35 als 5 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{35 \cdot 7^{3} + 5 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 7 \cdot 7^{3} + 5 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 7^{4} + 5 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{(5 + 5) \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $5 + 5$

= $10$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 9)}^{3}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{3}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{3}}$

= $\frac{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{3}}{{({(x - 3)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{3} \cdot {(x + 3)}^{3}}{{(x - 3)}^{6}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 3)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{3}}{{(x - 3)}^{3}}$

= ${(\frac{x + 3}{x - 3})}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln