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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{7}}$

= $x^{6 - 7}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{2}}{4^{2}}$

= $4^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{7 x^{7}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{7 x^{7}}{2 x^{5}}$ = $\frac{7 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{5}}$ = $\frac{7}{2} \frac{x^{7}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{7}{2}$ $x^{7 - 5}$

= $\frac{7}{2} x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6 x^{- 5}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{6 x^{- 5}}{2 x^{9}}$ = $\frac{6 \cdot x^{- 5}}{2 \cdot x^{9}}$ = $3 \frac{x^{- 5}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{- 5 - 9}$

= $3 x^{- 14}$

= $\frac{3}{x^{14}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{- 1} + x^{4}) \cdot x^{2} - 2 x$

Lösung einblenden

$(x^{- 1} + x^{4}) \cdot x^{2} - 2 x$

= $x^{- 1} \cdot x^{2} + x^{4} \cdot x^{2} - 2 x$

= $x + x^{6} - 2 x$

= $x^{6} - x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{12^{6}}{6^{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{12^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6} \cdot \frac{12}{6}$

= ${(\frac{12}{6})}^{6}$

= $2^{6}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{4}$

= $x^{2 \cdot 4}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{3^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $3$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $15$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{6}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{3^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{6}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{6}}{15^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{4 + 2}}{15^{4}}$

= $\frac{3^{4} \cdot 5^{4} \cdot 5^{2}}{15^{4}}$

= $\frac{{(3 \cdot 5)}^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{2}$

= $\frac{15^{4}}{15^{4}} \cdot 5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{21 \cdot 7^{3} - 3 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21 \cdot 7^{3} - 3 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 7 \cdot 7^{3} - 3 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{3 \cdot 7^{4} - 3 \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{(3 - 3) \cdot 7^{4}}{7^{4}}$

= $3 - 3$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{({(x + 4)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{4}}{{(x + 4)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x + 4)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln