Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{9}$

= $x^{6 + 9}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{7}}{5^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{7}}{5^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{7}}{5^{4}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5 · 5

= $125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{7}}{5^{4}}$

= $5^{7 - 4}$

= $5^{3}$

= $125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{2} \cdot 5 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{2} \cdot 5 x^{4}$ = $(- 9 \cdot x^{2}) \cdot 5 \cdot x^{4}$ = $- 45 x^{2} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 45$ $x^{2 + 4}$

= $- 45 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{9}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{9}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $- 2 \frac{x^{9}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{9 - (- 6)}$

= $- 2 x^{15}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} + (x^{3} + x^{- 2}) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} + (x^{3} + x^{- 2}) \cdot x^{4}$

= $- 5 x^{2} + (x^{3} \cdot x^{4} + x^{- 2} \cdot x^{4})$

= $- 5 x^{2} + x^{7} + x^{2}$

= $x^{7} - 4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $4^{6}$ ⋅ $4^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $4^{6}$ ⋅ $4^{- 6}$

= $4^{6} \cdot \frac{1}{4^{6}}$

= $\frac{4^{6}}{4^{6}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4} \cdot \frac{4}{4}$

= ${(\frac{4}{4})}^{6}$

= $1^{6}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{2}$

= $x^{6 \cdot 2}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(7 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(7 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $7^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $49 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $49 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $49 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{6}}{5^{- 6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{6}}{5^{- 6}}$

= $2^{6} \cdot 5^{6}$

= ${(2 \cdot 5)}^{6}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2 \cdot 4^{4} + 2^{6} \cdot 4^{4}}{8^{4}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (8 = 2 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2 \cdot 4^{4} + 2^{6} \cdot 4^{4}}{8^{4}}$

= $\frac{(2 + 2^{6}) \cdot 4^{4}}{{(2 \cdot 4)}^{4}}$

= $\frac{(2 + 2^{6}) \cdot 4^{4}}{2^{4} \cdot 4^{4}}$

= $\frac{2 + 2^{6}}{2^{4}}$

= $\frac{2 \cdot (1 + 2^{5})}{2^{4}}$

= $\frac{1 + 32}{2^{3}}$

= $\frac{33}{8}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 9)}^{5}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 9)}^{5}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{5}}$

= $\frac{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{5}}{{({(x - 3)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot {(x + 3)}^{5}}{{(x - 3)}^{10}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 3)}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{5}}{{(x - 3)}^{5}}$

= ${(\frac{x + 3}{x - 3})}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln