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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{9}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{9}}$

= $x^{8 - 9}$

= $x^{- 1}$

= $\frac{1}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $11^{3}$ ⋅ $11^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$11^{3}$ ⋅ $11^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

$11^{3} \cdot \frac{1}{11}$

= $\frac{11 \cdot 11 \cdot 11}{11}$

= 11 · 11

= $121$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$11^{3}$ ⋅ $11^{- 1}$

= $11^{3 - 1}$

= $11^{2}$

= $121$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2 x^{2}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{2 x^{2}}{2 x^{4}}$ = $\frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{4}}$ = $\frac{x^{2}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $1$ $x^{2 - 4}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6 x^{- 8} \cdot 3 x^{- 6}$

Lösung einblenden

$6 x^{- 8} \cdot 3 x^{- 6}$ = $6 \cdot x^{- 8} \cdot 3 \cdot x^{- 6}$ = $18 x^{- 8} \cdot x^{- 6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $18$ $x^{- 8 + (- 6)}$

= $18 x^{- 14}$

= $\frac{18}{x^{14}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3} - 3 x^{3}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{3} - 3 x^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3} - 3 x^{3}$

= $27 x^{3} - 3 x^{3}$

= $24 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $6^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{6^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{2}$

= $x^{5 \cdot 2}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{5})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{5})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{5})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5 \cdot 5}$

= $32 x^{25}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 6} \cdot 8^{3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 6} \cdot 8^{3}$

= $\frac{8^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{2^{9}}{2^{6}}$

= $2^{9 - 6}$

= $2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{16 \cdot 8^{6} + 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 16 als 2 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{16 \cdot 8^{6} + 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 8 \cdot 8^{6} + 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 8^{7} + 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{(2 + 2) \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $2 + 2$

= $4$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 3)}^{3}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{3}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{3}}{{(x - 3)}^{4}}$

= $\frac{1}{x - 3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln