Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{7}$

= $x^{5 + 7}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $2^{5}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$2^{5}$ ⋅ $2^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$2^{5} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

= 2 · 2 · 2

= $8$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$2^{5}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $2^{5 - 2}$

= $2^{3}$

= $8$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{2} \cdot 5 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{2} \cdot 5 x^{8}$ = $(- 5 \cdot x^{2}) \cdot 5 \cdot x^{8}$ = $- 25 x^{2} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 25$ $x^{2 + 8}$

= $- 25 x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{2}}{2 x^{8}}$ = $\frac{1 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{8}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{2}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{2 - 8}$

= $\frac{1}{2} x^{- 6}$

= $\frac{1}{2 x^{6}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{2} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} + (x^{5} + x^{- 1}) \cdot x^{3}$

= $- 4 x^{2} + (x^{5} \cdot x^{3} + x^{- 1} \cdot x^{3})$

= $- 4 x^{2} + x^{8} + x^{2}$

= $x^{8} - 3 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{10}$ ⋅ $5^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{10}$ ⋅ $5^{- 10}$

= $5^{10} \cdot \frac{1}{5^{10}}$

= $\frac{5^{10}}{5^{10}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5} \cdot \frac{5}{5}$

= ${(\frac{5}{5})}^{10}$

= $1^{10}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{6}$

= $x^{6 \cdot 6}$

= $x^{36}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot {(3^{x})}^{2}$

= $2^{2} \cdot 3^{x \cdot 2}$

= $4 \cdot 3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $4 \cdot {(3^{2})}^{x}$

= $4 \cdot 9^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{3} \cdot \frac{12^{5}}{24^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $12$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $24$ ) ist.
Wenn man nun die $12^{5}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$2^{3} \cdot \frac{12^{5}}{24^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 12^{5}}{24^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 12^{3 + 2}}{24^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 12^{3} \cdot 12^{2}}{24^{3}}$

= $\frac{{(2 \cdot 12)}^{3}}{24^{3}} \cdot 12^{2}$

= $\frac{24^{3}}{24^{3}} \cdot 12^{2}$

= $144$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{6} \cdot 3^{3} + 5^{6} \cdot 3^{7}}{15^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (15 = 3 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{6} \cdot 3^{3} + 5^{6} \cdot 3^{7}}{15^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (3^{3} + 3^{7})}{{(5 \cdot 3)}^{6}}$

= $\frac{5^{6} \cdot (3^{3} + 3^{7})}{5^{6} \cdot 3^{6}}$

= $\frac{3^{3} + 3^{7}}{3^{6}}$

= $\frac{3^{3} \cdot (1 + 3^{4})}{3^{6}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{3}}$

= $\frac{82}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{({(x + 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{5}}{{(x + 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x + 2)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln