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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{5}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{5}}{x^{4}}$

= $x^{5 - 4}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 14)}^{3}$ ⋅ ${(- 14)}^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 14)}^{3}$ ⋅ ${(- 14)}^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 14)}^{3} \cdot (\frac{1}{(- 14)})$

= $\frac{(- 14) \cdot (- 14) \cdot (- 14)}{(- 14)}$

= ( $- 14$ ) · ( $- 14$ )

= $196$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 14)}^{3}$ ⋅ ${(- 14)}^{- 1}$

= ${(- 14)}^{3 - 1}$

= ${(- 14)}^{2}$

= $196$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{7}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{7}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{7}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{7}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{7 - 4}$

= $- \frac{3}{2} x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{2 x^{- 2}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{9}}{2 x^{- 2}}$ = $\frac{1 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 2}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{9}}{x^{- 2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{9 - (- 2)}$

= $\frac{1}{2} x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{3} + x^{2}}{x} + 3 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{3} + x^{2}}{x} + 3 x$

= $\frac{x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + 3 x$

= $x^{2} + x + 3 x$

= $x^{2} + 4 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 6^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 6^{x}$

= ${(2 \cdot 6)}^{x}$

= $12^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $34^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $34^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $34^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{34 \cdot 34}{2 \cdot 2}$

= $\frac{34}{2} \cdot \frac{34}{2}$

= ${(\frac{34}{2})}^{2}$

= $17^{2}$

= $289$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $5^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $25 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $25 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $25 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 9^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 9^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{9^{2}}$

= ${(\frac{3}{9})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{5} \cdot 14 - 7^{6} \cdot 3}{7^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 14 als 2 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{5} \cdot 14 - 7^{6} \cdot 3}{7^{6}}$

= $\frac{7^{5} \cdot 2 \cdot 7 - 7^{6} \cdot 3}{7^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot 2 - 7^{6} \cdot 3}{7^{6}}$

= $\frac{7^{6} \cdot (2 - 3)}{7^{6}}$

= $2 - 3$

= $- 1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{({(x - 5)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x - 5)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x - 5)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln