Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{9}$

= $x^{6 + 9}$

= $x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{4}}{4^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{4}}{4^{3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{4}}{4^{3}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $4$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{4}}{4^{3}}$

= $4^{4 - 3}$

= $4$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{5}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{5}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- 3 \frac{x^{5}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{5 - 3}$

= $- 3 x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{- 8} \cdot 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{- 8} \cdot 3 x^{5}$ = $(- 9 \cdot x^{- 8}) \cdot 3 \cdot x^{5}$ = $- 27 x^{- 8} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 27$ $x^{- 8 + 5}$

= $- 27 x^{- 3}$

= $- \frac{27}{x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{2} + (x^{5} + x^{- 2}) \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + (x^{5} + x^{- 2}) \cdot x^{4}$

= $- 2 x^{2} + (x^{5} \cdot x^{4} + x^{- 2} \cdot x^{4})$

= $- 2 x^{2} + x^{9} + x^{2}$

= $x^{9} - x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{6 \cdot 6}{2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{11} \cdot 4^{8}}{20^{8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $20$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{11}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 8 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{5^{11} \cdot 4^{8}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{11}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{8 + 3}}{20^{8}}$

= $\frac{4^{8} \cdot 5^{8} \cdot 5^{3}}{20^{8}}$

= $\frac{{(4 \cdot 5)}^{8}}{20^{8}} \cdot 5^{3}$

= $\frac{20^{8}}{20^{8}} \cdot 5^{3}$

= $125$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{7} \cdot 20 + 5^{8} \cdot 4}{5^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 4 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{7} \cdot 20 + 5^{8} \cdot 4}{5^{8}}$

= $\frac{5^{7} \cdot 4 \cdot 5 + 5^{8} \cdot 4}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot 4 + 5^{8} \cdot 4}{5^{8}}$

= $\frac{5^{8} \cdot (4 + 4)}{5^{8}}$

= $4 + 4$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{2}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x - 5)}^{2})}^{2}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln