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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{5}}$

= $x^{2 - 5}$

= $x^{- 3}$

= $\frac{1}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{6}$ ⋅ $3^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{6}$ ⋅ $3^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{6} \cdot \frac{1}{3^{3}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3

= $27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{6}$ ⋅ $3^{- 3}$

= $3^{6 - 3}$

= $3^{3}$

= $27$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{7} \cdot 2 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{7} \cdot 2 x^{5}$ = $(- 2 \cdot x^{7}) \cdot 2 \cdot x^{5}$ = $- 4 x^{7} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 4$ $x^{7 + 5}$

= $- 4 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{3}}{2 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{3}}{2 x^{- 4}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{- 4}}$ = $- 3 \frac{x^{3}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 3$ $x^{3 - (- 4)}$

= $- 3 x^{7}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3} - 4 x^{3}$

Lösung einblenden

${(4 x)}^{3} - 4 x^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3} - 4 x^{3}$

= $64 x^{3} - 4 x^{3}$

= $60 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(7 \cdot 3)}^{x}$

= $21^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{6}{5})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{4}{3})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{6}{5})}^{2} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{6}{5}$ ⋅ $\frac{4}{3} \cdot \frac{4}{3}$

= $\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3}$

= ${(\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3})}^{2}$

= ${(\frac{8}{5})}^{2}$

= $\frac{64}{25}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $2^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $8 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $8 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{6}}{2^{- 6}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{6}}{2^{- 6}}$

= $5^{6} \cdot 2^{6}$

= ${(5 \cdot 2)}^{6}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{2} \cdot 8^{2} + 5^{4} \cdot 8^{2}}{40^{2}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{2} \cdot 8^{2} + 5^{4} \cdot 8^{2}}{40^{2}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{4}) \cdot 8^{2}}{{(5 \cdot 8)}^{2}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{4}) \cdot 8^{2}}{5^{2} \cdot 8^{2}}$

= $\frac{5^{2} + 5^{4}}{5^{2}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{2}}$

= $\frac{1 + 25}{1}$

= $26$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3}}$

= $\frac{{({(x - 1)}^{2})}^{3}}{{(x - 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{3}}{1}$

= ${(x - 1)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln