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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{8}}$

= $x^{6 - 8}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $10^{7}$ ⋅ $10^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$10^{7}$ ⋅ $10^{2}$

Herkömmlicher Weg:

$10^{7} \cdot 10^{2}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10·10 · 10

= $1 000 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$10^{7}$ ⋅ $10^{2}$

= $10^{7 + 2}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{3}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{3}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- 2 \frac{x^{3}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{3 - 4}$

= $- 2 x^{- 1}$

= $- \frac{2}{x}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{7}}{3 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{7}}{3 x^{3}}$ = $\frac{9 \cdot x^{7}}{3 \cdot x^{3}}$ = $3 \frac{x^{7}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{7 - 3}$

= $3 x^{4}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4} - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{4} - 3 x^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4} - 3 x^{4}$

= $16 x^{4} - 3 x^{4}$

= $13 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $8^{2}$ ⋅ $2^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $8^{2} \cdot 2^{2}$

= $8 \cdot 8$ ⋅ $2 \cdot 2$

= $8 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 2$

= ${(8 \cdot 2)}^{2}$

= $16^{2}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{5}$

= $x^{2 \cdot 5}$

= $x^{10}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{4 \cdot 6}$

= $64 x^{24}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{7}}{2^{- 7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{7}}{2^{- 7}}$

= $5^{7} \cdot 2^{7}$

= ${(5 \cdot 2)}^{7}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{12 \cdot 6^{5} + 4 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 12 als 2 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{12 \cdot 6^{5} + 4 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 6 \cdot 6^{5} + 4 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{2 \cdot 6^{6} + 4 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{(2 + 4) \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $2 + 4$

= $6$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 4)}^{4}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 4)}^{4}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{4}}$

= $\frac{{((x + 2) \cdot (x - 2))}^{4}}{{({(x + 2)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{4} \cdot {(x - 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{8}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{4}}{{(x + 2)}^{4}}$

= ${(\frac{x - 2}{x + 2})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln