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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{3} \cdot x^{4}$

= $x^{3 + 4}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{3}}{10^{- 3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{3}}{10^{- 3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{3}}{10^{- 3}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{3} \cdot 10^{3}$

= 10 · 10 · 10·10 · 10 · 10

= $1 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{3}}{10^{- 3}}$

= $10^{3} \cdot \frac{1}{10^{- 3}}$

= $10^{3} \cdot 10^{3}$

= $10^{3 + 3}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x^{3} \cdot 3 x^{6}$

Lösung einblenden

$5 x^{3} \cdot 3 x^{6}$ = $5 \cdot x^{3} \cdot 3 \cdot x^{6}$ = $15 x^{3} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $15$ $x^{3 + 6}$

= $15 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{8}}{2 x^{- 8}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{8}}{2 x^{- 8}}$ = $\frac{3 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{- 8}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{8}}{x^{- 8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{8 - (- 8)}$

= $\frac{3}{2} x^{16}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{3} + 1) \cdot x^{2} - 2 x^{2}$

Lösung einblenden

$(x^{3} + 1) \cdot x^{2} - 2 x^{2}$

= $x^{3} \cdot x^{2} + 1 \cdot x^{2} - 2 x^{2}$

= $x^{5} + x^{2} - 2 x^{2}$

= $x^{5} - x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{3}$ ⋅ $2^{3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{3} \cdot 2^{3}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{4})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{4})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(x^{4})}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{4 \cdot 2}$

= $9 x^{8}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{3}}{5^{- 3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{3}}{5^{- 3}}$

= $2^{3} \cdot 5^{3}$

= ${(2 \cdot 5)}^{3}$

= $10^{3}$

= $1 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{6} \cdot 32 + 8^{7} \cdot 4}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{6} \cdot 32 + 8^{7} \cdot 4}{8^{7}}$

= $\frac{8^{6} \cdot 4 \cdot 8 + 8^{7} \cdot 4}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot 4 + 8^{7} \cdot 4}{8^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (4 + 4)}{8^{7}}$

= $4 + 4$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 8 x + 16)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}}$

= $\frac{{({(x - 4)}^{2})}^{3}}{{(x - 4)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{6}}{{(x - 4)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{2}}{1}$

= ${(x - 4)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln