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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{6}}{x^{4}}$

= $x^{6 - 4}$

= $x^{2}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{7}}{10^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $100 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{7}}{10^{2}}$

= $10^{7 - 2}$

= $10^{5}$

= $100 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{6} \cdot 7 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{6} \cdot 7 x^{8}$ = $(- 2 \cdot x^{6}) \cdot 7 \cdot x^{8}$ = $- 14 x^{6} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 14$ $x^{6 + 8}$

= $- 14 x^{14}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{5} \cdot 2 x^{6}$

Lösung einblenden

$- x^{5} \cdot 2 x^{6}$ = $(- 1 \cdot x^{5}) \cdot 2 \cdot x^{6}$ = $- 2 x^{5} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 2$ $x^{5 + 6}$

= $- 2 x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 4 x^{5}$

= $32 x^{5} - 4 x^{5}$

= $28 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 2^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 2^{x}$

= ${(7 \cdot 2)}^{x}$

= $14^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{16^{3}}{4^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{16^{3}}{4^{3}}$

= $\frac{16 \cdot 16 \cdot 16}{4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{16}{4} \cdot \frac{16}{4} \cdot \frac{16}{4}$

= ${(\frac{16}{4})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{3}$

= $x^{3 \cdot 3}$

= $x^{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $3^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $9 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $9 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $9 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{4} \cdot \frac{2^{7}}{12^{4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $6$ ⋅ $2$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $12$ ) ist.
Wenn man nun die $2^{7}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 4 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$6^{4} \cdot \frac{2^{7}}{12^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 2^{7}}{12^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 2^{4 + 3}}{12^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 2^{4} \cdot 2^{3}}{12^{4}}$

= $\frac{{(6 \cdot 2)}^{4}}{12^{4}} \cdot 2^{3}$

= $\frac{12^{4}}{12^{4}} \cdot 2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 3^{4} + 8^{7} \cdot 3^{7}}{24^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 3^{4} + 8^{7} \cdot 3^{7}}{24^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (3^{4} + 3^{7})}{{(8 \cdot 3)}^{7}}$

= $\frac{8^{7} \cdot (3^{4} + 3^{7})}{8^{7} \cdot 3^{7}}$

= $\frac{3^{4} + 3^{7}}{3^{7}}$

= $\frac{3^{4} \cdot (1 + 3^{3})}{3^{7}}$

= $\frac{1 + 27}{3^{3}}$

= $\frac{28}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{((x + 1) \cdot (x - 1))}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{4} \cdot {(x - 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 1)}^{4}}{1}$

= ${(x - 1)}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln