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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{3}}$

= $x^{9 - 3}$

= $x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 5)}^{6}}{{(- 5)}^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 5)}^{6}}{{(- 5)}^{3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 5)}^{6}}{{(- 5)}^{3}}$

= $\frac{(- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)}{(- 5) \cdot (- 5) \cdot (- 5)}$

= ( $- 5$ ) · ( $- 5$ ) · ( $- 5$ )

= $- 125$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 5)}^{6}}{{(- 5)}^{3}}$

= ${(- 5)}^{6 - 3}$

= ${(- 5)}^{3}$

= $- 125$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{2}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{2}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{2}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{2 - 8}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 6}$

= $- \frac{3}{2 x^{6}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{5} \cdot 4 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$8 x^{5} \cdot 4 x^{- 8}$ = $8 \cdot x^{5} \cdot 4 \cdot x^{- 8}$ = $32 x^{5} \cdot x^{- 8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $32$ $x^{5 + (- 8)}$

= $32 x^{- 3}$

= $\frac{32}{x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot (x^{2} + x^{- 2}) - 5$

Lösung einblenden

$x^{2} \cdot (x^{2} + x^{- 2}) - 5$

= $x^{2} \cdot x^{2} + x^{2} \cdot x^{- 2} - 5$

= $x^{4} + 1 - 5$

= $x^{4} - 4$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{6}{3})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{8}$ ⋅ $3^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{8}$ ⋅ $3^{- 8}$

= $6^{8} \cdot \frac{1}{3^{8}}$

= $\frac{6^{8}}{3^{8}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3}$

= ${(\frac{6}{3})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{3}$

= $x^{3 \cdot 3}$

= $x^{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{5})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{5 \cdot 4}$

= $16 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{6} \cdot 8^{- 6}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{6} \cdot 8^{- 6}$

= $\frac{4^{6}}{8^{6}}$

= ${(\frac{4}{8})}^{6}$

= ${(\frac{1}{2})}^{6}$

= $\frac{1}{64}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 24 + 8^{8} \cdot 3}{8^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 3 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 24 + 8^{8} \cdot 3}{8^{8}}$

= $\frac{8^{7} \cdot 3 \cdot 8 + 8^{8} \cdot 3}{8^{8}}$

= $\frac{8^{8} \cdot 3 + 8^{8} \cdot 3}{8^{8}}$

= $\frac{8^{8} \cdot (3 + 3)}{8^{8}}$

= $3 + 3$

= $6$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x^{2} + 4 x + 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{({(x + 2)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x + 2)}^{3}}{{(x + 2)}^{4}}$

= $\frac{1}{x + 2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln