Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{9}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{9}}$

= $x^{2 - 9}$

= $x^{- 7}$

= $\frac{1}{x^{7}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{5} \cdot \frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= 5 · 5

= $25$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{5}$ ⋅ $5^{- 3}$

= $5^{5 - 3}$

= $5^{2}$

= $25$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4 x^{8}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{4 x^{8}}{2 x^{2}}$ = $\frac{4 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{2}}$ = $2 \frac{x^{8}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{8 - 2}$

= $2 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x^{- 4} \cdot 5 x^{9}$

Lösung einblenden

$- 5 x^{- 4} \cdot 5 x^{9}$ = $(- 5 \cdot x^{- 4}) \cdot 5 \cdot x^{9}$ = $- 25 x^{- 4} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 25$ $x^{- 4 + 9}$

= $- 25 x^{5}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{2}$

= $2^{2} \cdot x^{2}$

= $4 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{24^{3}}{6^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{24^{3}}{6^{3}}$

= $\frac{24 \cdot 24 \cdot 24}{6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{24}{6} \cdot \frac{24}{6} \cdot \frac{24}{6}$

= ${(\frac{24}{6})}^{3}$

= $4^{3}$

= $64$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 2} \cdot 10^{2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 2} \cdot 10^{2}$

= $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

= ${(\frac{10}{2})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{3} \cdot 30 - 6^{4} \cdot 4}{6^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 30 als 5 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{3} \cdot 30 - 6^{4} \cdot 4}{6^{4}}$

= $\frac{6^{3} \cdot 5 \cdot 6 - 6^{4} \cdot 4}{6^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot 5 - 6^{4} \cdot 4}{6^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (5 - 4)}{6^{4}}$

= $5 - 4$

= $1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{4}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

= $\frac{{({(x - 1)}^{2})}^{4}}{{((x - 1) \cdot (x + 1))}^{4}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{8}}{{(x - 1)}^{4} \cdot {(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{4}}{1 \cdot {(x + 1)}^{4}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

= ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{4}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln