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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{2}$

= $x^{5 + 2}$

= $x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{7}}{10^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{7}}{10^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{7}}{10}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10}$

= 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10

= $1 000 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{7}}{10^{1}}$

= $10^{7 - 1}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{9} \cdot 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{9} \cdot 3 x^{7}$ = $(- 9 \cdot x^{9}) \cdot 3 \cdot x^{7}$ = $- 27 x^{9} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 27$ $x^{9 + 7}$

= $- 27 x^{16}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{- 5}}{3 x^{- 4}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{- 5}}{3 x^{- 4}}$ = $\frac{9 \cdot x^{- 5}}{3 \cdot x^{- 4}}$ = $3 \frac{x^{- 5}}{x^{- 4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{- 5 - (- 4)}$

= $3 x^{- 1}$

= $\frac{3}{x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 5 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 5 x^{5}$

= $32 x^{5} - 5 x^{5}$

= $27 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{2}$

= $4^{2} \cdot x^{2}$

= $16 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $7^{10}$ ⋅ $7^{- 10}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $7^{10}$ ⋅ $7^{- 10}$

= $7^{10} \cdot \frac{1}{7^{10}}$

= $\frac{7^{10}}{7^{10}}$

= $\frac{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7} \cdot \frac{7}{7}$

= ${(\frac{7}{7})}^{10}$

= $1^{10}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{3}$

= $x^{4 \cdot 3}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 7}}{5^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 7}}{5^{7}}$

= $\frac{1}{2^{7}} \cdot \frac{1}{5^{7}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{7}}$

= $\frac{1}{10^{7}}$

= $\frac{1}{10000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{2} \cdot 6^{2} + 5^{4} \cdot 6^{2}}{30^{2}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (30 = 5 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{2} \cdot 6^{2} + 5^{4} \cdot 6^{2}}{30^{2}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{4}) \cdot 6^{2}}{{(5 \cdot 6)}^{2}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{4}) \cdot 6^{2}}{5^{2} \cdot 6^{2}}$

= $\frac{5^{2} + 5^{4}}{5^{2}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (1 + 5^{2})}{5^{2}}$

= $\frac{1 + 25}{1}$

= $26$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x^{2} + 8 x + 16)}^{2}}$

= $\frac{{((x + 4) \cdot (x - 4))}^{2}}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{4}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

= ${(\frac{x - 4}{x + 4})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln