Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{6} \cdot x^{8}$

= $x^{6 + 8}$

= $x^{14}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{1}$

Herkömmlicher Weg:

${(- 3)}^{3} \cdot ((- 3))$

= ( $- 3$ ) · ( $- 3$ ) · ( $- 3$ )·( $- 3$ )

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${(- 3)}^{3}$ ⋅ ${(- 3)}^{1}$

= ${(- 3)}^{3 + 1}$

= ${(- 3)}^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{6} \cdot 4 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{6} \cdot 4 x^{5}$ = $(- 3 \cdot x^{6}) \cdot 4 \cdot x^{5}$ = $- 12 x^{6} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{6 + 5}$

= $- 12 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{- 6} \cdot 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{- 6} \cdot 3 x^{3}$ = $(- 3 \cdot x^{- 6}) \cdot 3 \cdot x^{3}$ = $- 9 x^{- 6} \cdot x^{3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 9$ $x^{- 6 + 3}$

= $- 9 x^{- 3}$

= $- \frac{9}{x^{3}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{6} + x^{3}}{x^{3}} + 3 x^{3}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{6} + x^{3}}{x^{3}} + 3 x^{3}$

= $\frac{x^{6}}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{x^{3}} + 3 x^{3}$

= $x^{3} + 1 + 3 x^{3}$

= $4 x^{3} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$3^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(3 \cdot 7)}^{x}$

= $21^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): ${(\frac{8}{15})}^{2}$ ⋅ ${(\frac{5}{4})}^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= ${(\frac{8}{15})}^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{8}{15}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{2}{3})}^{2}$

= $\frac{4}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{3}$

= $x^{2 \cdot 3}$

= $x^{6}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x^{5})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 x^{5})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(x^{5})}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{5 \cdot 3}$

= $27 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 7}}{2^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 7}}{2^{7}}$

= $\frac{1}{5^{7}} \cdot \frac{1}{2^{7}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{1}{10^{7}}$

= $\frac{1}{10000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{5} \cdot 24 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 24 als 4 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{5} \cdot 24 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{5} \cdot 4 \cdot 6 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot 4 + 6^{6} \cdot 3}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6} \cdot (4 + 3)}{6^{6}}$

= $4 + 3$

= $7$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}{{(2 x - 1)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 1)}^{5}}{{(2 x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{((2 x - 1) \cdot (2 x + 1))}^{5}}{{(2 x - 1)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 1)}^{5} \cdot {(2 x + 1)}^{5}}{{(2 x - 1)}^{5}}$

= $\frac{1 \cdot {(2 x + 1)}^{5}}{1}$

= ${(2 x + 1)}^{5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln