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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{8}}{x^{5}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{8}}{x^{5}}$

= $x^{8 - 5}$

= $x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 3)}^{7}}{{(- 3)}^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 3)}^{7}}{{(- 3)}^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 3)}^{7}}{{(- 3)}^{4}}$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= ( $- 3$ ) · ( $- 3$ ) · ( $- 3$ )

= $- 27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 3)}^{7}}{{(- 3)}^{4}}$

= ${(- 3)}^{7 - 4}$

= ${(- 3)}^{3}$

= $- 27$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{3} \cdot 8 x^{9}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{3} \cdot 8 x^{9}$ = $(- 4 \cdot x^{3}) \cdot 8 \cdot x^{9}$ = $- 32 x^{3} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 32$ $x^{3 + 9}$

= $- 32 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{- 3} \cdot 2 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{- 3} \cdot 2 x^{4}$ = $(- 3 \cdot x^{- 3}) \cdot 2 \cdot x^{4}$ = $- 6 x^{- 3} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 6$ $x^{- 3 + 4}$

= $- 6 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{4} - 3 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 3 x^{4}$

= $81 x^{4} - 3 x^{4}$

= $78 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(2 x)}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4}$

= $16 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{8^{8}}{4^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{8^{8}}{4^{8}}$

= $\frac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4}$

= ${(\frac{8}{4})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{3})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{3})}^{3}$

= $x^{3 \cdot 3}$

= $x^{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{6}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot {(x^{4})}^{6}$

= $2^{6} \cdot x^{4 \cdot 6}$

= $64 x^{24}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{3} \cdot 7^{6} + 3^{7} \cdot 7^{6}}{21^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (21 = 3 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{3} \cdot 7^{6} + 3^{7} \cdot 7^{6}}{21^{6}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{7}) \cdot 7^{6}}{{(3 \cdot 7)}^{6}}$

= $\frac{(3^{3} + 3^{7}) \cdot 7^{6}}{3^{6} \cdot 7^{6}}$

= $\frac{3^{3} + 3^{7}}{3^{6}}$

= $\frac{3^{3} \cdot (1 + 3^{4})}{3^{6}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{3}}$

= $\frac{82}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{((x + 1) \cdot (x - 1))}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot {(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(x - 1)}^{2}}{1}$

= ${(x - 1)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln