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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{9}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{9}}$

= $x^{7 - 9}$

= $x^{- 2}$

= $\frac{1}{x^{2}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $18^{4}$ ⋅ $18^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$18^{4}$ ⋅ $18^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$18^{4} \cdot \frac{1}{18^{2}}$

= $\frac{18 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 18}{18 \cdot 18}$

= 18 · 18

= $324$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$18^{4}$ ⋅ $18^{- 2}$

= $18^{4 - 2}$

= $18^{2}$

= $324$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{2} \cdot 4 x^{6}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{2} \cdot 4 x^{6}$ = $(- 3 \cdot x^{2}) \cdot 4 \cdot x^{6}$ = $- 12 x^{2} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{2 + 6}$

= $- 12 x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{4}}{2 x^{- 5}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{4}}{2 x^{- 5}}$ = $\frac{3 \cdot x^{4}}{2 \cdot x^{- 5}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{4}}{x^{- 5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{4 - (- 5)}$

= $\frac{3}{2} x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x^{7}}{x^{3}} - 4 x$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x^{7}}{x^{3}} - 4 x$

= $\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{x^{7}}{x^{3}} - 4 x$

= $x + x^{4} - 4 x$

= $x^{4} - 3 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{3^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{3^{x}}$

= ${(\frac{6}{3})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{8^{5}}{4^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{8^{5}}{4^{5}}$

= $\frac{8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4} \cdot \frac{8}{4}$

= ${(\frac{8}{4})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{2})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{2})}^{6}$

= $x^{2 \cdot 6}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{4})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{4})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{4})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4 \cdot 4}$

= $16 x^{16}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 3} \cdot 6^{3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 3} \cdot 6^{3}$

= $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{32 \cdot 8^{6} - 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{32 \cdot 8^{6} - 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{4 \cdot 8 \cdot 8^{6} - 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{4 \cdot 8^{7} - 2 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{(4 - 2) \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $4 - 2$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 20 x + 25)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{({(2 x + 5)}^{2})}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{4}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

= $\frac{1}{1}$

= $1$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln