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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{2}}{x^{7}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{2}}{x^{7}}$

= $x^{2 - 7}$

= $x^{- 5}$

= $\frac{1}{x^{5}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{5^{6}}{5^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{5^{6}}{5^{8}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{5^{6}}{5^{8}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{25}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{5^{6}}{5^{8}}$

= $5^{6 - 8}$

= $5^{- 2}$

= $\frac{1}{5^{2}}$

= $\frac{1}{25}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{6}}{2 x^{3}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{6}}{2 x^{3}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{6}}{2 \cdot x^{3}}$ = $- 4 \frac{x^{6}}{x^{3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 4$ $x^{6 - 3}$

= $- 4 x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{- 4} \cdot 8 x^{- 8}$

Lösung einblenden

$2 x^{- 4} \cdot 8 x^{- 8}$ = $2 \cdot x^{- 4} \cdot 8 \cdot x^{- 8}$ = $16 x^{- 4} \cdot x^{- 8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $16$ $x^{- 4 + (- 8)}$

= $16 x^{- 12}$

= $\frac{16}{x^{12}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot (x^{9} + x^{3}) - 3 x^{7}$

Lösung einblenden

$x^{4} \cdot (x^{9} + x^{3}) - 3 x^{7}$

= $x^{4} \cdot x^{9} + x^{4} \cdot x^{3} - 3 x^{7}$

= $x^{13} + x^{7} - 3 x^{7}$

= $x^{13} - 2 x^{7}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(4 x)}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3}$

= $64 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{10 \cdot 10}{2 \cdot 2}$

= $\frac{10}{2} \cdot \frac{10}{2}$

= ${(\frac{10}{2})}^{2}$

= $5^{2}$

= $25$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{2} \cdot 34^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{2} \cdot 34^{- 2}$

= $\frac{2^{2}}{34^{2}}$

= ${(\frac{2}{34})}^{2}$

= ${(\frac{1}{17})}^{2}$

= $\frac{1}{289}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{5} \cdot 3^{5} + 8^{5} \cdot 3^{7}}{24^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (24 = 3 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{5} \cdot 3^{5} + 8^{5} \cdot 3^{7}}{24^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{{(8 \cdot 3)}^{5}}$

= $\frac{8^{5} \cdot (3^{5} + 3^{7})}{8^{5} \cdot 3^{5}}$

= $\frac{3^{5} + 3^{7}}{3^{5}}$

= $\frac{3^{5} \cdot (1 + 3^{2})}{3^{5}}$

= $\frac{1 + 9}{1}$

= $10$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}{128 {(x + 1)}^{7}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{5}}{128 {(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{4^{5} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{128 {(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{{(2^{2})}^{5} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{2^{7} \cdot {(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{2^{10} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{2^{7} \cdot {(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{2^{3} \cdot {(x^{2} + 2 x + 1)}^{5}}{{(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {({(x + 1)}^{2})}^{5}}{{(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {(x + 1)}^{10}}{{(x + 1)}^{7}}$

= $\frac{8 {(x + 1)}^{3}}{1}$

= $8 {(x + 1)}^{3}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln