Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^3·x^2$

= $x^{3+2}$

= $x^5$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^6}{4^8}$

= $\frac{4·4·4·4·4·4}{4·4·4·4·4·4·4·4}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mrow>}}$

= $\frac{1}{16}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $4^{6-8}$

= $4^{-2}$

= $\frac{1}{4^2}$

= $\frac{1}{16}$

$-9x^7·2x^6$ = $(-9·x^7)·2·x^6$ = $-18x^7·x^6$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-18$ $x^{7+6}$

= $-18x^{13}$

$\frac{-4x^{-8}}{2x^{-2}}$ = $\frac{-4·x^{-8}}{2·x^{-2}}$ = $-2\frac{x^{-8}}{x^{-2}}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-2$ $x^{-8-\left(-2\right)}$

= $-2x^{-6}$

= $-\frac{2}{x^6}$

$-4x^5+\left(x^3+x^7\right)·x^2$

= $-4x^5+(x^3·x^2+x^7·x^2)$

= $-4x^5+x^5+x^9$

= $x^9-3x^5$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$4^x·2^x$

= ${(4·2)}^x$

= $8^x$

= $\frac{{16}^3}{4^3}$

= $\frac{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>16</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>16</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>16</mn></mrow></mrow></math>}}{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mrow></math>}}$

= $\frac{16}{4}·\frac{16}{4}·\frac{16}{4}$

= ${\left(\frac{16}{4}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2^x\right)}^4$

= $2^{x·4}$

= $2^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(2^4\right)}^x$

= ${16}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 3^x\right)}^4$

= $2^4·{\left(3^x\right)}^4$

= $2^4·3^{x·4}$

= $16\cdot 3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16\cdot {\left(3^4\right)}^x$

= $16\cdot {81}^x$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $4$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ($20$) ist.
Wenn man nun die $5^5$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{5^5·4^3}{{20}^3}$

= $\frac{4^3·5^5}{{20}^3}$

= $\frac{4^3·5^{3+2}}{{20}^3}$

= $\frac{4^3·5^3·5^2}{{20}^3}$

= $\frac{{\left(4\cdot 5\right)}^3}{{20}^3}·5^2$

= $\frac{{20}^3}{{20}^3}·5^2$

= $25$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2·5^2+2^4·5^2}{{10}^2}$

= $\frac{\left(2+2^4\right)·5^2}{{\left(2\cdot 5\right)}^2}$

= $\frac{\left(2+2^4\right)·5^2}{2^2·5^2}$

= $\frac{2+2^4}{2^2}$

= $\frac{2·\left(1+2^3\right)}{2^2}$

= $\frac{1+8}{2}$

= $\frac{9}{2}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{32{\left(x+2\right)}^5}{{\left(4x^2-16\right)}^5}$

= $\frac{32{\left(x+2\right)}^5}{4^5·{\left(x^2-4\right)}^5}$

= $\frac{2^5·{\left(x+2\right)}^5}{{\left(2^2\right)}^5·{\left(x^2-4\right)}^5}$

= $\frac{2^5·{\left(x+2\right)}^5}{2^{10}·{\left(x^2-4\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x+2\right)}^5}{2^5·{\left(x^2-4\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x+2\right)}^5}{32{(\left(x+2\right)·\left(x-2\right))}^5}$

= $\frac{{\left(x+2\right)}^5}{{\left(x+2\right)}^5·32{\left(x-2\right)}^5}$

= $\frac{1}{1·32{\left(x-2\right)}^5}$

= $\frac{1}{32{\left(x-2\right)}^5}$