Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{8}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{8}$

= $x^{5 + 8}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{15^{5}}{15^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{15^{5}}{15^{3}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{15^{5}}{15^{3}}$

= $\frac{15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15}{15 \cdot 15 \cdot 15}$

= 15 · 15

= $225$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{15^{5}}{15^{3}}$

= $15^{5 - 3}$

= $15^{2}$

= $225$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $8 x^{6} \cdot 2 x^{9}$

Lösung einblenden

$8 x^{6} \cdot 2 x^{9}$ = $8 \cdot x^{6} \cdot 2 \cdot x^{9}$ = $16 x^{6} \cdot x^{9}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $16$ $x^{6 + 9}$

= $16 x^{15}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{3}}{2 x^{- 6}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{3}}{2 x^{- 6}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{- 6}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{3}}{x^{- 6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{3 - (- 6)}$

= $- \frac{3}{2} x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

${(3 x)}^{2} - 3 x^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2} - 3 x^{2}$

= $9 x^{2} - 3 x^{2}$

= $6 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{15^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{15^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $5^{4}$ ⋅ $2^{4}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $5^{4} \cdot 2^{4}$

= $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ ⋅ $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

= $5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2$

= ${(5 \cdot 2)}^{4}$

= $10^{4}$

= $10 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x^{3})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 x^{3})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(x^{3})}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{3 \cdot 3}$

= $64 x^{9}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{- 6} \cdot 8^{3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{- 6} \cdot 8^{3}$

= $\frac{8^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{{(2^{3})}^{3}}{2^{6}}$

= $\frac{2^{9}}{2^{6}}$

= $2^{9 - 6}$

= $2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{4} \cdot 3 + 6^{4} \cdot 3^{5}}{18^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (18 = 3 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{4} \cdot 3 + 6^{4} \cdot 3^{5}}{18^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (3 + 3^{5})}{{(6 \cdot 3)}^{4}}$

= $\frac{6^{4} \cdot (3 + 3^{5})}{6^{4} \cdot 3^{4}}$

= $\frac{3 + 3^{5}}{3^{4}}$

= $\frac{3 \cdot (1 + 3^{4})}{3^{4}}$

= $\frac{1 + 81}{3^{3}}$

= $\frac{82}{27}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x - 3)}^{5}}{{(4 x^{2} - 9)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x - 3)}^{5}}{{(4 x^{2} - 9)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{5}}{{((2 x - 3) \cdot (2 x + 3))}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 3)}^{5}}{{(2 x - 3)}^{5} \cdot {(2 x + 3)}^{5}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x + 3)}^{5}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln