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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{3}}$

= $x^{4 - 3}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$4^{2} \cdot \frac{1}{4^{2}}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$4^{2}$ ⋅ $4^{- 2}$

= $4^{2 - 2}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{5}}{2 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{5}}{2 x^{9}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{9}}$ = $- \frac{x^{5}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{5 - 9}$

= $- x^{- 4}$

= $- \frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 2 x^{- 7}}{2 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 2 x^{- 7}}{2 x^{8}}$ = $\frac{- 2 \cdot x^{- 7}}{2 \cdot x^{8}}$ = $- \frac{x^{- 7}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 1$ $x^{- 7 - 8}$

= $- x^{- 15}$

= $- \frac{1}{x^{15}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{3} + x^{5}) \cdot x^{2} - 5 x^{5}$

Lösung einblenden

$(x^{3} + x^{5}) \cdot x^{2} - 5 x^{5}$

= $x^{3} \cdot x^{2} + x^{5} \cdot x^{2} - 5 x^{5}$

= $x^{5} + x^{7} - 5 x^{5}$

= $x^{7} - 4 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{2}$

= $3^{2} \cdot x^{2}$

= $9 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{8}}{6^{8}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{8}}{6^{8}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6}$

= ${(\frac{6}{6})}^{8}$

= $1^{8}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{2}$

= $x^{4 \cdot 2}$

= $x^{8}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{- 3} \cdot 15^{3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{- 3} \cdot 15^{3}$

= $\frac{15^{3}}{5^{3}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{2^{3} \cdot 6^{5} + 2^{7} \cdot 6^{5}}{12^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{2^{3} \cdot 6^{5} + 2^{7} \cdot 6^{5}}{12^{5}}$

= $\frac{(2^{3} + 2^{7}) \cdot 6^{5}}{{(2 \cdot 6)}^{5}}$

= $\frac{(2^{3} + 2^{7}) \cdot 6^{5}}{2^{5} \cdot 6^{5}}$

= $\frac{2^{3} + 2^{7}}{2^{5}}$

= $\frac{2^{3} \cdot (1 + 2^{4})}{2^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{2^{2}}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(4 x^{2} - 25)}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{((2 x + 5) \cdot (2 x - 5))}^{3}}$

= $\frac{{(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{3} \cdot {(2 x - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(2 x - 5)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(2 x - 5)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln