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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{7}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{7}}{x^{2}}$

= $x^{7 - 2}$

= $x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{3^{3}}{3^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{3^{3}}{3^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^{3}}{3}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{3}$

= 3 · 3

= $9$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{3^{3}}{3^{1}}$

= $3^{3 - 1}$

= $3^{2}$

= $9$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{4} \cdot 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$9 x^{4} \cdot 3 x^{2}$ = $9 \cdot x^{4} \cdot 3 \cdot x^{2}$ = $27 x^{4} \cdot x^{2}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $27$ $x^{4 + 2}$

= $27 x^{6}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{- 8}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{- 8}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{- 8}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{- 8}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{- 8 - (- 7)}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 1}$

= $- \frac{3}{2 x}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 x^{3} + \frac{x^{2} + x^{5}}{x^{2}}$

Lösung einblenden

$2 x^{3} + \frac{x^{2} + x^{5}}{x^{2}}$

= $2 x^{3} + (\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{5}}{x^{2}})$

= $2 x^{3} + 1 + x^{3}$

= $3 x^{3} + 1$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{6^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{6^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{6}{2})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $34^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $34^{2}$ ⋅ $2^{- 2}$

= $34^{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{34^{2}}{2^{2}}$

= $\frac{34 \cdot 34}{2 \cdot 2}$

= $\frac{34}{2} \cdot \frac{34}{2}$

= ${(\frac{34}{2})}^{2}$

= $17^{2}$

= $289$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot {(5^{x})}^{2}$

= $4^{2} \cdot 5^{x \cdot 2}$

= $16 \cdot 5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(5^{2})}^{x}$

= $16 \cdot 25^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{8}}{5^{- 8}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{8}}{5^{- 8}}$

= $2^{8} \cdot 5^{8}$

= ${(2 \cdot 5)}^{8}$

= $10^{8}$

= $100 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{2} \cdot 8^{5} + 5^{5} \cdot 8^{5}}{40^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{2} \cdot 8^{5} + 5^{5} \cdot 8^{5}}{40^{5}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{5}) \cdot 8^{5}}{{(5 \cdot 8)}^{5}}$

= $\frac{(5^{2} + 5^{5}) \cdot 8^{5}}{5^{5} \cdot 8^{5}}$

= $\frac{5^{2} + 5^{5}}{5^{5}}$

= $\frac{5^{2} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{5}}$

= $\frac{1 + 125}{5^{3}}$

= $\frac{126}{125}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{6}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{6}}{{(x^{2} + 6 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{6}}{{({(x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{6}}{{(x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln