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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 2 · x 8

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

x 2 · x 8

= x 2+8

= x 10

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: 2 4 ⋅ 2 -8

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

2 4 ⋅ 2 -8

Herkömmlicher Weg:

2 4 · 1 2 8

= 2 · 2 · 2 · 2 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2

= 1 2 · 2 · 2 · 2

= 1 16

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

2 4 ⋅ 2 -8

= 2 4 -8

= 2 -4

= 1 2 4

= 1 16

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 9 x 5 3 x 3

Lösung einblenden

9 x 5 3 x 3 = 9 · x 5 3 · x 3 = 3 x 5 x 3

Nach dem Potenzgesetz: a n a m = an-m gilt:

= 3 x 5-3

= 3 x 2

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: 3 x 5 · 5 x 3

Lösung einblenden

3 x 5 · 5 x 3 = 3 · x 5 · 5 · x 3 = 15 x 5 · x 3

Nach dem Potenzgesetz: a n ⋅ a m = an+m gilt:

= 15 x 5 + 3

= 15 x 8

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: x 4 + x 5 x 2 -2 x 2

Lösung einblenden

x 4 + x 5 x 2 -2 x 2

= x 4 x 2 + x 5 x 2 -2 x 2

= x 2 + x 3 -2 x 2

= x 3 - x 2

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 4x ) 3

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: an⋅bn= (a⋅b)n gilt:

( 4x ) 3

= 4 3 · x 3

= 64 x 3

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): 9 3 3 3

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= 9 3 3 3

= 9 · 9 · 9 3 · 3 · 3

= 9 3 · 9 3 · 9 3

= ( 9 3 ) 3

= 3 3

= 27

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ( 2 x ) 3

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31x oder x19.

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Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 2 x ) 3

= 2 x · 3

= 2 3x

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (an)m= an⋅m rückwärts an:

= ( 2 3 ) x

= 8 x

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( 2 x 2 ) 6

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (an)m= an⋅m gilt:

( 2 x 2 ) 6

= 2 6 · ( x 2 ) 6

= 2 6 · x 2 · 6

= 64 x 12

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: 5 -5 2 5

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

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Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

5 -5 2 5

= 1 5 5 · 1 2 5

= 1 ( 5⋅2 ) 5

= 1 10 5

= 1 100000

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: 2 · 3 6 + 2 6 · 3 6 6 6

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (6 = 2 ⋅ 3)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

2 · 3 6 + 2 6 · 3 6 6 6

= ( 2 + 2 6 ) · 3 6 ( 2⋅3 ) 6

= ( 2 + 2 6 ) · 3 6 2 6 · 3 6

= 2 + 2 6 2 6

= 2 · ( 1 + 2 5 ) 2 6

= 1 + 32 2 5

= 33 32

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ( x 2 -1 ) 3 ( x +1 ) 3

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

( x 2 -1 ) 3 ( x +1 ) 3

= ( ( x +1 ) · ( x -1 ) ) 3 ( x +1 ) 3

= ( x +1 ) 3 · ( x -1 ) 3 ( x +1 ) 3

= 1 · ( x -1 ) 3 1

= ( x -1 ) 3