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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{4}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{4}}$

= $x^{9 - 4}$

= $x^{5}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{2}}{4^{1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{2}}{4^{1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{2}}{4}$

= $\frac{4 \cdot 4}{4}$

= $4$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{2}}{4^{1}}$

= $4^{2 - 1}$

= $4$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{8}}{2 x^{5}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{8}}{2 x^{5}}$ = $\frac{5 \cdot x^{8}}{2 \cdot x^{5}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{8}}{x^{5}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{8 - 5}$

= $\frac{5}{2} x^{3}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9 x^{3} \cdot 7 x^{6}$

Lösung einblenden

$9 x^{3} \cdot 7 x^{6}$ = $9 \cdot x^{3} \cdot 7 \cdot x^{6}$ = $63 x^{3} \cdot x^{6}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $63$ $x^{3 + 6}$

= $63 x^{9}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{7} + x) \cdot x^{3} - 5 x^{4}$

Lösung einblenden

$(x^{7} + x) \cdot x^{3} - 5 x^{4}$

= $x^{7} \cdot x^{3} + x \cdot x^{3} - 5 x^{4}$

= $x^{10} + x^{4} - 5 x^{4}$

= $x^{10} - 4 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2^{x} \cdot 3^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$2^{x} \cdot 3^{x}$

= ${(2 \cdot 3)}^{x}$

= $6^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $3^{2}$ ⋅ $5^{2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $3^{2} \cdot 5^{2}$

= $3 \cdot 3$ ⋅ $5 \cdot 5$

= $3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5$

= ${(3 \cdot 5)}^{2}$

= $15^{2}$

= $225$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{4})}^{6}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{4})}^{6}$

= $x^{4 \cdot 6}$

= $x^{24}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 2^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 2^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(2^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 2^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(2^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 8^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{- 3}}{2^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{- 3}}{2^{3}}$

= $\frac{1}{5^{3}} \cdot \frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{{(5 \cdot 2)}^{3}}$

= $\frac{1}{10^{3}}$

= $\frac{1}{1000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{3} \cdot 2^{3} + 4^{3} \cdot 2^{5}}{8^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (8 = 2 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{3} \cdot 2^{3} + 4^{3} \cdot 2^{5}}{8^{3}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (2^{3} + 2^{5})}{{(4 \cdot 2)}^{3}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (2^{3} + 2^{5})}{4^{3} \cdot 2^{3}}$

= $\frac{2^{3} + 2^{5}}{2^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot (1 + 2^{2})}{2^{3}}$

= $\frac{1 + 4}{1}$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 8 x + 4)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x - 2)}^{2})}^{2}}{{((2 x - 2) \cdot (2 x + 2))}^{2}}$

= $\frac{{(2 x - 2)}^{4}}{{(2 x - 2)}^{2} \cdot {(2 x + 2)}^{2}}$

= $\frac{{(2 (x - 1))}^{2}}{1 \cdot {(2 (x + 1))}^{2}}$

= $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

= ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln