Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{4}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{4}$

= $x^{9 + 4}$

= $x^{13}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{6}$ ⋅ $3^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{6}$ ⋅ $3^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{6} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

= 3 · 3 · 3 · 3

= $81$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{6}$ ⋅ $3^{- 2}$

= $3^{6 - 2}$

= $3^{4}$

= $81$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 9 x^{5} \cdot 7 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{5} \cdot 7 x^{4}$ = $(- 9 \cdot x^{5}) \cdot 7 \cdot x^{4}$ = $- 63 x^{5} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 63$ $x^{5 + 4}$

= $- 63 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{3 x^{- 7}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{3 x^{- 7}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{3 \cdot x^{- 7}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $\frac{3}{2} \frac{x^{- 7}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{3}{2}$ $x^{- 7 - (- 9)}$

= $\frac{3}{2} x^{2}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 4 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 4 x^{5}$

= $32 x^{5} - 4 x^{5}$

= $28 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 5^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 5^{x}$

= ${(6 \cdot 5)}^{x}$

= $30^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{21^{4}}{7^{4}}$

= $\frac{21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7} \cdot \frac{21}{7}$

= ${(\frac{21}{7})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{5})}^{4}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{5})}^{4}$

= $x^{5 \cdot 4}$

= $x^{20}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{6})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{6})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{6 \cdot 5}$

= $32 x^{30}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{4}}{2^{- 4}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{4}}{2^{- 4}}$

= $5^{4} \cdot 2^{4}$

= ${(5 \cdot 2)}^{4}$

= $10^{4}$

= $10 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{7^{3} \cdot 2 + 7^{3} \cdot 2^{5}}{14^{3}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (14 = 2 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^{3} \cdot 2 + 7^{3} \cdot 2^{5}}{14^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (2 + 2^{5})}{{(7 \cdot 2)}^{3}}$

= $\frac{7^{3} \cdot (2 + 2^{5})}{7^{3} \cdot 2^{3}}$

= $\frac{2 + 2^{5}}{2^{3}}$

= $\frac{2 \cdot (1 + 2^{4})}{2^{3}}$

= $\frac{1 + 16}{2^{2}}$

= $\frac{17}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln