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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{6}$

= $x^{2 + 6}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{11^{4}}{11^{6}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{11^{4}}{11^{6}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{11^{4}}{11^{6}}$

= $\frac{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}{11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11 \cdot 11}$

= $\frac{1}{11 \cdot 11}$

= $\frac{1}{121}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{11^{4}}{11^{6}}$

= $11^{4 - 6}$

= $11^{- 2}$

= $\frac{1}{11^{2}}$

= $\frac{1}{121}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{3}}{3 x^{6}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{3}}{3 x^{6}}$ = $\frac{9 \cdot x^{3}}{3 \cdot x^{6}}$ = $3 \frac{x^{3}}{x^{6}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{3 - 6}$

= $3 x^{- 3}$

= $\frac{3}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{2 x^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{9}}{2 x^{- 3}}$ = $\frac{1 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{- 3}}$ = $\frac{1}{2} \frac{x^{9}}{x^{- 3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{1}{2}$ $x^{9 - (- 3)}$

= $\frac{1}{2} x^{12}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{4} - 2 x^{4}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{4} - 2 x^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{4} - 2 x^{4}$

= $16 x^{4} - 2 x^{4}$

= $14 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{{(\frac{5}{4})}^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{{(\frac{5}{4})}^{- 2}}$

= $\frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{\frac{1}{{(\frac{5}{4})}^{2}}}$

= ${(\frac{8}{3})}^{2} \cdot {(\frac{5}{4})}^{2}$

= $\frac{8}{3} \cdot \frac{8}{3}$ ⋅ $\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4}$

= $\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4}$

= ${(\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4})}^{2}$

= ${(\frac{10}{3})}^{2}$

= $\frac{100}{9}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(9 \cdot 2^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(9 \cdot 2^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot {(2^{x})}^{2}$

= $9^{2} \cdot 2^{x \cdot 2}$

= $81 \cdot 2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{2})}^{x}$

= $81 \cdot 4^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $7^{8} \cdot 14^{- 8}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$7^{8} \cdot 14^{- 8}$

= $\frac{7^{8}}{14^{8}}$

= ${(\frac{7}{14})}^{8}$

= ${(\frac{1}{2})}^{8}$

= $\frac{1}{256}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{3^{5} \cdot 9 - 3^{6} \cdot 2}{3^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 9 als 3 ⋅ 3 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^{5} \cdot 9 - 3^{6} \cdot 2}{3^{6}}$

= $\frac{3^{5} \cdot 3 \cdot 3 - 3^{6} \cdot 2}{3^{6}}$

= $\frac{3^{6} \cdot 3 - 3^{6} \cdot 2}{3^{6}}$

= $\frac{3^{6} \cdot (3 - 2)}{3^{6}}$

= $3 - 2$

= $1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x + 3)}^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x + 3)}^{3}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{3}}{{((x + 3) \cdot (x - 3))}^{3}}$

= $\frac{{(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{3} \cdot {(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{1 \cdot {(x - 3)}^{3}}$

= $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln