Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{7} \cdot x^{9}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{7} \cdot x^{9}$

= $x^{7 + 9}$

= $x^{16}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{4}$ ⋅ $3^{- 2}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{4}$ ⋅ $3^{- 2}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{4} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

= 3 · 3

= $9$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{4}$ ⋅ $3^{- 2}$

= $3^{4 - 2}$

= $3^{2}$

= $9$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{9} \cdot 4 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{9} \cdot 4 x^{5}$ = $(- 4 \cdot x^{9}) \cdot 4 \cdot x^{5}$ = $- 16 x^{9} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 16$ $x^{9 + 5}$

= $- 16 x^{14}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{5 x^{3}}{2 x^{7}}$

Lösung einblenden

$\frac{5 x^{3}}{2 x^{7}}$ = $\frac{5 \cdot x^{3}}{2 \cdot x^{7}}$ = $\frac{5}{2} \frac{x^{3}}{x^{7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $\frac{5}{2}$ $x^{3 - 7}$

= $\frac{5}{2} x^{- 4}$

= $\frac{5}{2 x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{5} + x^{5} \cdot (1 + x^{7})$

Lösung einblenden

$- 2 x^{5} + x^{5} \cdot (1 + x^{7})$

= $- 2 x^{5} + (x^{5} \cdot 1 + x^{5} \cdot x^{7})$

= $- 2 x^{5} + x^{5} + x^{12}$

= $x^{12} - x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{12^{x}}{4^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{12^{x}}{4^{x}}$

= ${(\frac{12}{4})}^{x}$

= $3^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{6}$ ⋅ $6^{- 6}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{6}$ ⋅ $6^{- 6}$

= $6^{6} \cdot \frac{1}{6^{6}}$

= $\frac{6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}$

= $\frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6} \cdot \frac{6}{6}$

= ${(\frac{6}{6})}^{6}$

= $1^{6}$

= $1$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{5}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{5}$

= $2^{x \cdot 5}$

= $2^{5 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{5})}^{x}$

= $32^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{5})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(x^{5})}^{4}$

= $2^{4} \cdot x^{5 \cdot 4}$

= $16 x^{20}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{5} \cdot 2^{3}}{10^{3}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $2$ ⋅ $5$ gerade gleich der Basis des Nenners ( $10$ ) ist.
Wenn man nun die $5^{5}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 3 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{5^{5} \cdot 2^{3}}{10^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 5^{5}}{10^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 5^{3 + 2}}{10^{3}}$

= $\frac{2^{3} \cdot 5^{3} \cdot 5^{2}}{10^{3}}$

= $\frac{{(2 \cdot 5)}^{3}}{10^{3}} \cdot 5^{2}$

= $\frac{10^{3}}{10^{3}} \cdot 5^{2}$

= $25$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{40 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{40 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{5 \cdot 8 \cdot 8^{6} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{5 \cdot 8^{7} - 3 \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $\frac{(5 - 3) \cdot 8^{7}}{8^{7}}$

= $5 - 3$

= $2$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

= $\frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{4}}{{(x - 3)}^{2} \cdot {(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{2}}{1 \cdot {(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

= ${(\frac{x - 3}{x + 3})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln