Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{8} \cdot x^{2}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{8} \cdot x^{2}$

= $x^{8 + 2}$

= $x^{10}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{6}}{10^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10}$

= 10 · 10 · 10 · 10

= $10 000$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{6}}{10^{2}}$

= $10^{6 - 2}$

= $10^{4}$

= $10 000$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 6 x^{4} \cdot 2 x^{5}$

Lösung einblenden

$- 6 x^{4} \cdot 2 x^{5}$ = $(- 6 \cdot x^{4}) \cdot 2 \cdot x^{5}$ = $- 12 x^{4} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 12$ $x^{4 + 5}$

= $- 12 x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 6 x^{- 9}}{3 x^{8}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 6 x^{- 9}}{3 x^{8}}$ = $\frac{- 6 \cdot x^{- 9}}{3 \cdot x^{8}}$ = $- 2 \frac{x^{- 9}}{x^{8}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{- 9 - 8}$

= $- 2 x^{- 17}$

= $- \frac{2}{x^{17}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot (x^{6} + 1) - 2 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{5} \cdot (x^{6} + 1) - 2 x^{5}$

= $x^{5} \cdot x^{6} + x^{5} \cdot 1 - 2 x^{5}$

= $x^{11} + x^{5} - 2 x^{5}$

= $x^{11} - x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 5^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 5^{x}$

= ${(6 \cdot 5)}^{x}$

= $30^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $14^{8}$ ⋅ $7^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $14^{8}$ ⋅ $7^{- 8}$

= $14^{8} \cdot \frac{1}{7^{8}}$

= $\frac{14^{8}}{7^{8}}$

= $\frac{14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14 \cdot 14}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}$

= $\frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7} \cdot \frac{14}{7}$

= ${(\frac{14}{7})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $2^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $16 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $16 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $16 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{2} \cdot 12^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{2} \cdot 12^{- 2}$

= $\frac{4^{2}}{12^{2}}$

= ${(\frac{4}{12})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{18 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 18 als 3 ⋅ 6 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{18 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 6 \cdot 6^{5} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{3 \cdot 6^{6} - 2 \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $\frac{(3 - 2) \cdot 6^{6}}{6^{6}}$

= $3 - 2$

= $1$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 2)}^{5}}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 2)}^{5}}{{(x^{2} - 4 x + 4)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{5}}{{({(x - 2)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 2)}^{5}}{{(x - 2)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x - 2)}^{5}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln