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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{4}}{x^{8}}$

= $x^{4 - 8}$

= $x^{- 4}$

= $\frac{1}{x^{4}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $5^{6}$ ⋅ $5^{- 9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 9}$

Herkömmlicher Weg:

$5^{6} \cdot \frac{1}{5^{9}}$

= $\frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{1}{125}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$5^{6}$ ⋅ $5^{- 9}$

= $5^{6 - 9}$

= $5^{- 3}$

= $\frac{1}{5^{3}}$

= $\frac{1}{125}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{6}}{4 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{6}}{4 x^{2}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{6}}{4 \cdot x^{2}}$ = $- 2 \frac{x^{6}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{6 - 2}$

= $- 2 x^{4}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- x^{3} \cdot 6 x^{- 7}$

Lösung einblenden

$- x^{3} \cdot 6 x^{- 7}$ = $(- 1 \cdot x^{3}) \cdot 6 \cdot x^{- 7}$ = $- 6 x^{3} \cdot x^{- 7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 6$ $x^{3 + (- 7)}$

= $- 6 x^{- 4}$

= $- \frac{6}{x^{4}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x + x^{- 2}) \cdot x^{3} - 3 x$

Lösung einblenden

$(x + x^{- 2}) \cdot x^{3} - 3 x$

= $x \cdot x^{3} + x^{- 2} \cdot x^{3} - 3 x$

= $x^{4} + x - 3 x$

= $x^{4} - 2 x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4}$

= $81 x^{4}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $10^{8}$ ⋅ $5^{- 8}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $10^{8}$ ⋅ $5^{- 8}$

= $10^{8} \cdot \frac{1}{5^{8}}$

= $\frac{10^{8}}{5^{8}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{8}$

= $2^{8}$

= $256$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{2}$

= $4^{x \cdot 2}$

= $4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{2})}^{x}$

= $16^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x^{3})}^{5}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2 x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot {(x^{3})}^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{3 \cdot 5}$

= $32 x^{15}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $5^{- 4} \cdot 15^{4}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^{- 4} \cdot 15^{4}$

= $\frac{15^{4}}{5^{4}}$

= ${(\frac{15}{5})}^{4}$

= $3^{4}$

= $81$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{4} \cdot 20 + 5^{5} \cdot 4}{5^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 20 als 4 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{4} \cdot 20 + 5^{5} \cdot 4}{5^{5}}$

= $\frac{5^{4} \cdot 4 \cdot 5 + 5^{5} \cdot 4}{5^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot 4 + 5^{5} \cdot 4}{5^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (4 + 4)}{5^{5}}$

= $4 + 4$

= $8$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 16)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{((x - 4) \cdot (x + 4))}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 4)}^{2} \cdot {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}}$

= $\frac{1 \cdot {(x + 4)}^{2}}{1}$

= ${(x + 4)}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln