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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{8}}$

= $x^{9 - 8}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{4}}{2^{- 1}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{4}}{2^{- 1}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{4}}{2^{- 1}}$

= $2^{4} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{4} \cdot 2$

= 2 · 2 · 2 · 2·2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{4}}{2^{- 1}}$

= $2^{4} \cdot \frac{1}{2^{- 1}}$

= $2^{4} \cdot 2$

= $2^{4 + 1}$

= $2^{5}$

= $32$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{7} \cdot 8 x^{4}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{7} \cdot 8 x^{4}$ = $(- 4 \cdot x^{7}) \cdot 8 \cdot x^{4}$ = $- 32 x^{7} \cdot x^{4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 32$ $x^{7 + 4}$

= $- 32 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{- 6}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{- 6}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{- 6}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $- 4 \frac{x^{- 6}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 4$ $x^{- 6 - (- 7)}$

= $- 4 x$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{3} \cdot (x^{- 1} + x^{3}) - 4 x^{2}$

Lösung einblenden

$x^{3} \cdot (x^{- 1} + x^{3}) - 4 x^{2}$

= $x^{3} \cdot x^{- 1} + x^{3} \cdot x^{3} - 4 x^{2}$

= $x^{2} + x^{6} - 4 x^{2}$

= $x^{6} - 3 x^{2}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{25^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{25^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{25}{5})}^{x}$

= $5^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $6^{5}$ ⋅ $3^{- 5}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $6^{5}$ ⋅ $3^{- 5}$

= $6^{5} \cdot \frac{1}{3^{5}}$

= $\frac{6^{5}}{3^{5}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3}$

= ${(\frac{6}{3})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{2}$

= $2^{x \cdot 2}$

= $2^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{2})}^{x}$

= $4^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2^{- 9}}{5^{9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{2^{- 9}}{5^{9}}$

= $\frac{1}{2^{9}} \cdot \frac{1}{5^{9}}$

= $\frac{1}{{(2 \cdot 5)}^{9}}$

= $\frac{1}{10^{9}}$

= $\frac{1}{1000000000}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 2^{2} + 5^{5} \cdot 2^{6}}{10^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (10 = 2 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 2^{2} + 5^{5} \cdot 2^{6}}{10^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (2^{2} + 2^{6})}{{(5 \cdot 2)}^{5}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (2^{2} + 2^{6})}{5^{5} \cdot 2^{5}}$

= $\frac{2^{2} + 2^{6}}{2^{5}}$

= $\frac{2^{2} \cdot (1 + 2^{4})}{2^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{2^{3}}$

= $\frac{17}{8}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{({(x - 5)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{3}}{{(x - 5)}^{6}}$

= $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln