Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{9} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{9} \cdot x^{7}$

= $x^{9 + 7}$

= $x^{16}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $3^{4}$ ⋅ $3^{- 1}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$3^{4}$ ⋅ $3^{- 1}$

Herkömmlicher Weg:

$3^{4} \cdot \frac{1}{3}$

= $\frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3}$

= 3 · 3 · 3

= $27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$3^{4}$ ⋅ $3^{- 1}$

= $3^{4 - 1}$

= $3^{3}$

= $27$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $3 x^{7} \cdot 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$3 x^{7} \cdot 3 x^{5}$ = $3 \cdot x^{7} \cdot 3 \cdot x^{5}$ = $9 x^{7} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $9$ $x^{7 + 5}$

= $9 x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 8 x^{5}}{2 x^{- 7}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 8 x^{5}}{2 x^{- 7}}$ = $\frac{- 8 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{- 7}}$ = $- 4 \frac{x^{5}}{x^{- 7}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 4$ $x^{5 - (- 7)}$

= $- 4 x^{12}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(x^{6} + x^{2}) \cdot x^{3} - 3 x^{5}$

Lösung einblenden

$(x^{6} + x^{2}) \cdot x^{3} - 3 x^{5}$

= $x^{6} \cdot x^{3} + x^{2} \cdot x^{3} - 3 x^{5}$

= $x^{9} + x^{5} - 3 x^{5}$

= $x^{9} - 2 x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{10^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{10}{5})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{3}}{2^{3}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2} \cdot \frac{6}{2}$

= ${(\frac{6}{2})}^{3}$

= $3^{3}$

= $27$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{3}$

= $3^{x \cdot 3}$

= $3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{3})}^{x}$

= $27^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(6 \cdot 4^{x})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(6 \cdot 4^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot {(4^{x})}^{2}$

= $6^{2} \cdot 4^{x \cdot 2}$

= $36 \cdot 4^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $36 \cdot {(4^{2})}^{x}$

= $36 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $6^{3} \cdot 3^{- 3}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$6^{3} \cdot 3^{- 3}$

= $\frac{6^{3}}{3^{3}}$

= ${(\frac{6}{3})}^{3}$

= $2^{3}$

= $8$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{10 \cdot 5^{6} + 3 \cdot 5^{7}}{5^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 10 als 2 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{10 \cdot 5^{6} + 3 \cdot 5^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 5 \cdot 5^{6} + 3 \cdot 5^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{2 \cdot 5^{7} + 3 \cdot 5^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{(2 + 3) \cdot 5^{7}}{5^{7}}$

= $2 + 3$

= $5$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{3}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{3}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{({(x - 5)}^{2})}^{3}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{5}}{{(x - 5)}^{6}}$

= $\frac{1}{x - 5}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln