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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{2} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{2} \cdot x^{6}$

= $x^{2 + 6}$

= $x^{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{5}}{2^{12}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{5}}{2^{12}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{5}}{2^{12}}$

= $\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{128}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{5}}{2^{12}}$

= $2^{5 - 12}$

= $2^{- 7}$

= $\frac{1}{2^{7}}$

= $\frac{1}{128}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 3 x^{5}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 3 x^{5}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 3 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- \frac{3}{2} \frac{x^{5}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{3}{2}$ $x^{5 - 4}$

= $- \frac{3}{2} x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 3 x^{- 4} \cdot 3 x^{- 3}$

Lösung einblenden

$- 3 x^{- 4} \cdot 3 x^{- 3}$ = $(- 3 \cdot x^{- 4}) \cdot 3 \cdot x^{- 3}$ = $- 9 x^{- 4} \cdot x^{- 3}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 9$ $x^{- 4 + (- 3)}$

= $- 9 x^{- 7}$

= $- \frac{9}{x^{7}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{4} + x}{x^{2}} + 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$\frac{x^{4} + x}{x^{2}} + 5 x^{2}$

= $\frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{x}{x^{2}} + 5 x^{2}$

= $x^{2} + {(x)}^{- 1} + 5 x^{2}$

= $6 x^{2} + x^{- 1}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(3 x)}^{3}$

= $3^{3} \cdot x^{3}$

= $27 x^{3}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{6^{5}}{3^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{6^{5}}{3^{5}}$

= $\frac{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}$

= $\frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3} \cdot \frac{6}{3}$

= ${(\frac{6}{3})}^{5}$

= $2^{5}$

= $32$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(8 x^{2})}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(8 x^{2})}^{2}$

= $8^{2} \cdot {(x^{2})}^{2}$

= $8^{2} \cdot x^{2 \cdot 2}$

= $64 x^{4}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $3^{2} \cdot 9^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^{2} \cdot 9^{- 2}$

= $\frac{3^{2}}{9^{2}}$

= ${(\frac{3}{9})}^{2}$

= ${(\frac{1}{3})}^{2}$

= $\frac{1}{9}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{7} \cdot 32 - 8^{8} \cdot 4}{8^{8}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{7} \cdot 32 - 8^{8} \cdot 4}{8^{8}}$

= $\frac{8^{7} \cdot 4 \cdot 8 - 8^{8} \cdot 4}{8^{8}}$

= $\frac{8^{8} \cdot 4 - 8^{8} \cdot 4}{8^{8}}$

= $\frac{8^{8} \cdot (4 - 4)}{8^{8}}$

= $4 - 4$

= 0

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x^{2} - 6 x + 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

= $\frac{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}{{((x - 3) \cdot (x + 3))}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{4}}{{(x - 3)}^{2} \cdot {(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{2}}{1 \cdot {(x + 3)}^{2}}$

= $\frac{{(x - 3)}^{2}}{{(x + 3)}^{2}}$

= ${(\frac{x - 3}{x + 3})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln