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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{x^{9}}{x^{8}}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

$\frac{x^{9}}{x^{8}}$

= $x^{9 - 8}$

= $x$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{10^{4}}{10^{12}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{10^{4}}{10^{12}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{10^{4}}{10^{12}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}$

= $\frac{1}{100000000}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{10^{4}}{10^{12}}$

= $10^{4 - 12}$

= $10^{- 8}$

= $\frac{1}{10^{8}}$

= $\frac{1}{100000000}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{6} \cdot 6 x^{5}$

Lösung einblenden

$x^{6} \cdot 6 x^{5}$ = $1 \cdot x^{6} \cdot 6 \cdot x^{5}$ = $6 x^{6} \cdot x^{5}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{6 + 5}$

= $6 x^{11}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{- 6}}{3 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{- 6}}{3 x^{2}}$ = $\frac{9 \cdot x^{- 6}}{3 \cdot x^{2}}$ = $3 \frac{x^{- 6}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{- 6 - 2}$

= $3 x^{- 8}$

= $\frac{3}{x^{8}}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{5} + x^{4} \cdot (x^{8} + x)$

Lösung einblenden

$- 2 x^{5} + x^{4} \cdot (x^{8} + x)$

= $- 2 x^{5} + (x^{4} \cdot x^{8} + x^{4} \cdot x)$

= $- 2 x^{5} + x^{12} + x^{5}$

= $x^{12} - x^{5}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $7^{x} \cdot 4^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^{x} \cdot 4^{x}$

= ${(7 \cdot 4)}^{x}$

= $28^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{10^{7}}{5^{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{10^{7}}{5^{7}}$

= $\frac{10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}$

= $\frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{10}{5}$

= ${(\frac{10}{5})}^{7}$

= $2^{7}$

= $128$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(3^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3^{x})}^{2}$

= $3^{x \cdot 2}$

= $3^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(3^{2})}^{x}$

= $9^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(3^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 3^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 3^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(3^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 81^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $8^{- 8} \cdot 4^{8}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{- 8} \cdot 4^{8}$

= $\frac{4^{8}}{8^{8}}$

= ${(\frac{4}{8})}^{8}$

= ${(\frac{1}{2})}^{8}$

= $\frac{1}{256}$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{6^{7} \cdot 2^{5} + 6^{7} \cdot 2^{8}}{12^{7}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 2 ⋅ 6)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{6^{7} \cdot 2^{5} + 6^{7} \cdot 2^{8}}{12^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{{(6 \cdot 2)}^{7}}$

= $\frac{6^{7} \cdot (2^{5} + 2^{8})}{6^{7} \cdot 2^{7}}$

= $\frac{2^{5} + 2^{8}}{2^{7}}$

= $\frac{2^{5} \cdot (1 + 2^{3})}{2^{7}}$

= $\frac{1 + 8}{2^{2}}$

= $\frac{9}{4}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x^{2} - 10 x + 25)}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{({(x - 5)}^{2})}^{5}}$

= $\frac{{(x - 5)}^{6}}{{(x - 5)}^{10}}$

= $\frac{1}{{(x - 5)}^{4}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln