Mathebattle EduRandomtasks

1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{5}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{5}$

= $x^{4 + 5}$

= $x^{9}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{2^{2}}{2^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{2^{2}}{2^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^{2}}{2^{5}}$

= $\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

= $\frac{1}{8}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{2^{2}}{2^{5}}$

= $2^{2 - 5}$

= $2^{- 3}$

= $\frac{1}{2^{3}}$

= $\frac{1}{8}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- x^{9}}{2 x^{2}}$

Lösung einblenden

$\frac{- x^{9}}{2 x^{2}}$ = $\frac{- 1 \cdot x^{9}}{2 \cdot x^{2}}$ = $- \frac{1}{2} \frac{x^{9}}{x^{2}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{1}{2}$ $x^{9 - 2}$

= $- \frac{1}{2} x^{7}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{- 9}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 4 x^{2}}{2 x^{- 9}}$ = $\frac{- 4 \cdot x^{2}}{2 \cdot x^{- 9}}$ = $- 2 \frac{x^{2}}{x^{- 9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- 2$ $x^{2 - (- 9)}$

= $- 2 x^{11}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{3} + \frac{x^{4} + x^{6}}{x^{3}}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{3} + \frac{x^{4} + x^{6}}{x^{3}}$

= $- 2 x^{3} + (\frac{x^{4}}{x^{3}} + \frac{x^{6}}{x^{3}})$

= $- 2 x^{3} + x + x^{3}$

= $- x^{3} + x$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $6^{x} \cdot 7^{x}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$6^{x} \cdot 7^{x}$

= ${(6 \cdot 7)}^{x}$

= $42^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{3^{2}}{6^{- 2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{3^{2}}{6^{- 2}}$

= $\frac{3^{2}}{\frac{1}{6^{2}}}$

= $3^{2} \cdot 6^{2}$

= $3 \cdot 3$ ⋅ $6 \cdot 6$

= $3 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 6$

= ${(3 \cdot 6)}^{2}$

= $18^{2}$

= $324$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(x^{6})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(x^{6})}^{2}$

= $x^{6 \cdot 2}$

= $x^{12}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 x^{2})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 x^{2})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(x^{2})}^{3}$

= $4^{3} \cdot x^{2 \cdot 3}$

= $64 x^{6}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $4^{- 7} \cdot 8^{7}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$4^{- 7} \cdot 8^{7}$

= $\frac{8^{7}}{4^{7}}$

= ${(\frac{8}{4})}^{7}$

= $2^{7}$

= $128$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{5} \cdot 7^{5} + 4^{7} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{5} \cdot 7^{5} + 4^{7} \cdot 7^{5}}{28^{5}}$

= $\frac{(4^{5} + 4^{7}) \cdot 7^{5}}{{(4 \cdot 7)}^{5}}$

= $\frac{(4^{5} + 4^{7}) \cdot 7^{5}}{4^{5} \cdot 7^{5}}$

= $\frac{4^{5} + 4^{7}}{4^{5}}$

= $\frac{4^{5} \cdot (1 + 4^{2})}{4^{5}}$

= $\frac{1 + 16}{1}$

= $17$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{4}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{8}}$

= $\frac{1}{{(2 x + 3)}^{2}}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln