Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^8}{x^6}$

= $x^{8-6}$

= $x^2$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>7</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{\left(-4\right)}^7}{{\left(-4\right)}^8}$

= $\frac{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow></math><mo>)</mo></mrow>}}$

= $-\frac{1}{4}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>7</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>8</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${\left(-4\right)}^{7-8}$

= ${\left(-4\right)}^{-1}$

= $\frac{1}{\left(-4\right)}$

= $-\frac{1}{4}$

$\frac{-x^8}{2x^2}$ = $\frac{-1·x^8}{2·x^2}$ = $-\frac{1}{2}\frac{x^8}{x^2}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{1}{2}$ $x^{8-2}$

= $-\frac{1}{2}{x}^6$

$\frac{-x^{-3}}{2x^{-6}}$ = $\frac{-1·x^{-3}}{2·x^{-6}}$ = $-\frac{1}{2}\frac{x^{-3}}{x^{-6}}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{1}{2}$ $x^{-3-\left(-6\right)}$

= $-\frac{1}{2}{x}^3$

$-5x^3+x^3·\left(1+x^3\right)$

= $-5x^3+(x^3·1+x^3·x^3)$

= $-5x^3+x^3+x^6$

= $x^6-4x^3$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(4x\right)}^3$

= $4^3·x^3$

= $64x^3$

= $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>38</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>9</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{{\left(\frac{38}{9}\right)}^2}{\frac{1}{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2}}$

= ${\left(\frac{38}{9}\right)}^2·{\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

= $\frac{38}{9}·\frac{38}{9}$ ⋅ $\frac{3}{2}·\frac{3}{2}$

= $\frac{38}{9}·\frac{3}{2}·\frac{38}{9}·\frac{3}{2}$

= ${(\frac{38}{9}·\frac{3}{2})}^2$

= ${\left(\frac{19}{3}\right)}^2$

= $\frac{361}{9}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^5\right)}^5$

= $x^{5·5}$

= $x^{25}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^6\right)}^3$

= $2^3·{\left(x^6\right)}^3$

= $2^3·x^{6·3}$

= $8x^{18}$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^3·{10}^{-3}$

= $\frac{2^3}{{10}^3}$

= ${\left(\frac{2}{10}\right)}^3$

= ${\left(\frac{1}{5}\right)}^3$

= $\frac{1}{125}$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 3 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^4·4^6+3^8·4^6}{{12}^6}$

= $\frac{\left(3^4+3^8\right)·4^6}{{\left(3\cdot 4\right)}^6}$

= $\frac{\left(3^4+3^8\right)·4^6}{3^6·4^6}$

= $\frac{3^4+3^8}{3^6}$

= $\frac{3^4·\left(1+3^4\right)}{3^6}$

= $\frac{1+81}{3^2}$

= $\frac{82}{9}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(x^2-25\right)}^2}{{\left(x^2-10x+25\right)}^2}$

= $\frac{{(\left(x-5\right)·\left(x+5\right))}^2}{{\left({\left(x-5\right)}^2\right)}^2}$

= $\frac{{\left(x-5\right)}^2·{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x-5\right)}^4}$

= $\frac{1·{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x-5\right)}^2}$

= $\frac{{\left(x+5\right)}^2}{{\left(x-5\right)}^2}$

= ${\left(\frac{x+5}{x-5}\right)}^2$