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1. Potenzgesetz x^a*x^b

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{5} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{5} \cdot x^{7}$

= $x^{5 + 7}$

= $x^{12}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{4}}{4^{4}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $1$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{4}}{4^{4}}$

= $4^{4 - 4}$

= $1$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{8 x^{6}}{4 x^{9}}$

Lösung einblenden

$\frac{8 x^{6}}{4 x^{9}}$ = $\frac{8 \cdot x^{6}}{4 \cdot x^{9}}$ = $2 \frac{x^{6}}{x^{9}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $2$ $x^{6 - 9}$

= $2 x^{- 3}$

= $\frac{2}{x^{3}}$

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 2 x^{- 3} \cdot 5 x^{8}$

Lösung einblenden

$- 2 x^{- 3} \cdot 5 x^{8}$ = $(- 2 \cdot x^{- 3}) \cdot 5 \cdot x^{8}$ = $- 10 x^{- 3} \cdot x^{8}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 10$ $x^{- 3 + 8}$

= $- 10 x^{5}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 + (x^{- 3} + 1) \cdot x^{3}$

Lösung einblenden

$- 4 + (x^{- 3} + 1) \cdot x^{3}$

= $- 4 + (x^{- 3} \cdot x^{3} + 1 \cdot x^{3})$

= $- 4 + 1 + x^{3}$

= $x^{3} - 3$

2. Potenzgesetz x^a*y^a

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{10^{x}}{5^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{10^{x}}{5^{x}}$

= ${(\frac{10}{5})}^{x}$

= $2^{x}$

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{7}$ ⋅ $5^{7}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{7} \cdot 5^{7}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{7}$

= $10^{7}$

= $10 000 000$

3. Potenzgesetz (x^a)^b

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(5^{x})}^{2}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(5^{x})}^{2}$

= $5^{x \cdot 2}$

= $5^{2 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(5^{2})}^{x}$

= $25^{x}$

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4 \cdot 4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot {(4^{x})}^{3}$

= $4^{3} \cdot 4^{x \cdot 3}$

= $64 \cdot 4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $64 \cdot {(4^{3})}^{x}$

= $64 \cdot 64^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$\frac{5^{9}}{2^{- 9}}$

= $5^{9} \cdot 2^{9}$

= ${(5 \cdot 2)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

Ausklammern mit Potenzgesetze

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{8^{3} \cdot 40 + 8^{4} \cdot 5}{8^{4}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass man die 40 als 5 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{8^{3} \cdot 40 + 8^{4} \cdot 5}{8^{4}}$

= $\frac{8^{3} \cdot 5 \cdot 8 + 8^{4} \cdot 5}{8^{4}}$

= $\frac{8^{4} \cdot 5 + 8^{4} \cdot 5}{8^{4}}$

= $\frac{8^{4} \cdot (5 + 5)}{8^{4}}$

= $5 + 5$

= $10$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} + 8 x + 4)}^{2}}{{(4 x^{2} - 4)}^{2}}$

= $\frac{{({(2 x + 2)}^{2})}^{2}}{{((2 x + 2) \cdot (2 x - 2))}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 2)}^{4}}{{(2 x + 2)}^{2} \cdot {(2 x - 2)}^{2}}$

= $\frac{{(2 (x + 1))}^{2}}{1 \cdot {(2 (x - 1))}^{2}}$

= $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

= ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{2}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

1. Potenzgesetz x^a*x^b

1. Potenzgesetz x^a*x^b (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff)

1. Potenzgesetz x^a*x^b (+coeff+neg.)

Vereinfachen von Potenzen

2. Potenzgesetz x^a*y^a

2. Potenzgesetz x^a*y^a (Zahlen)

3. Potenzgesetz (x^a)^b

3. Potenzgesetz (x^a)^b (+coeff)

Potenzen multiplizieren

Ausklammern mit Potenzgesetze

Potenzen mit binom. Formeln