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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{7}$

$f'(x) =$ $- 21 x^{6}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x}$

= $2 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 \sqrt[9]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \sqrt[9]{x}$

= $- 6 x^{\frac{1}{9}}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} x^{- \frac{8}{9}}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(\sqrt[9]{x})}^{8}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}}$

f'(-2) = $\frac{3}{2 {(- 2)}^{2}}$ = $\frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.38

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

= $- 2 x^{\frac{3}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{4}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt[4]{x}}$

f'(16) = $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt[4]{16}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 2}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{10}{x}$ parallel zur Geraden y = $- \frac{2}{5} x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- \frac{2}{5} x + 5$ hat als Steigung m = $- \frac{2}{5}$ und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- \frac{2}{5}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{10}{x}$

= $10 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 10 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $- \frac{2}{5}$ sein, also setzen wir $- \frac{10}{x^{2}}$ = $- \frac{2}{5}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{10}{x^{2}}$	=	$- \frac{2}{5}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{2}{5} \cdot x^{2}$
$- 10$	=	$- \frac{2}{5} x^{2}$

$- 10$	=	$- \frac{2}{5} x^{2}$	\| $+ 10$ $+ \frac{2}{5} x^{2}$
$\frac{2}{5} x^{2}$	=	$10$	\|⋅ $\frac{5}{2}$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 5$ ) = $- \frac{10}{{(- 5)}^{2}}$ = $- \frac{2}{5}$

f '( $5$ ) = $- \frac{10}{5^{2}}$ = $- \frac{2}{5}$