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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2}}$

= $\frac{1}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 x^{3}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt[4]{x}$

= $3 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}}$

= $2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{5}}$

f'(-1) = $- \frac{8}{{(- 1)}^{5}}$ = $- 8 \cdot (- 1)$ = $8$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x}$ im Punkt P(27|f(27)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{2}{3}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

f'(27) = $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{2}}$ = $- \frac{1}{3^{2}}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $- \frac{1}{4} x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- \frac{1}{4} x + 5$ hat als Steigung m = $- \frac{1}{4}$ und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- \frac{1}{4}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$

= $- x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $- \frac{1}{4}$ sein, also setzen wir $\frac{2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{4}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{4} \cdot x^{3}$
$2$	=	$- \frac{1}{4} x^{3}$

$2$	=	$- \frac{1}{4} x^{3}$	\| $- 2$ $+ \frac{1}{4} x^{3}$
$\frac{1}{4} x^{3}$	=	$- 2$	\|⋅ $4$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$ = $- \frac{1}{4}$