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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{3}}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{21}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{21}{2 x^{4}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 {(\sqrt[9]{x})}^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 {(\sqrt[9]{x})}^{7}$

= $5 x^{\frac{7}{9}}$

=> f'(x) = $\frac{35}{9} x^{- \frac{2}{9}}$

$f'(x) =$ $\frac{35}{9 {(\sqrt[9]{x})}^{2}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}}$ im Punkt P(1|f(1)):

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$f(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}}$

= $- 6 x^{- 3}$

=> f'(x) = $18 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $\frac{18}{x^{4}}$

f'(1) = $\frac{18}{1^{4}}$ = $18 \cdot 1$ = $18$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 \sqrt[4]{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

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$f(x) =$ $- 6 \sqrt[4]{x}$

= $- 6 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{4}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

f'(16) = $- \frac{3}{2 {(\sqrt[4]{16})}^{3}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 2^{3}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 8}$ = $- \frac{3}{16}$ ≈ -0.19

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $- 18 x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 18 x - 4$ hat als Steigung m = $- 18$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- 18$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{2}}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $- 18$ sein, also setzen wir $\frac{2}{3 x^{3}}$ = $- 18$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{3 x^{3}}$	=	$- 18$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{3 x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- 18 \cdot x^{3}$
$\frac{2}{3}$	=	$- 18 x^{3}$

$\frac{2}{3}$	=	$- 18 x^{3}$	\| $- \frac{2}{3}$ $+ 18 x^{3}$
$18 x^{3}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|: $18$
$x^{3}$	=	$- \frac{1}{27}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{\frac{1}{27}}$	= $- \frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- \frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{3 {(- \frac{1}{3})}^{3}}$ = $- 18$