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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 9 x^{2}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

= $- 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 {(\sqrt[5]{x})}^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 {(\sqrt[5]{x})}^{7}$

= $- 3 x^{\frac{7}{5}}$

=> f'(x) = $- \frac{21}{5} x^{\frac{2}{5}}$

$f'(x) =$ $- \frac{21}{5} {(\sqrt[5]{x})}^{2}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{2}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{2}}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $7 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{7}{x^{3}}$

f'(-1) = $\frac{7}{{(- 1)}^{3}}$ = $7 \cdot (- 1)$ = $- 7$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$

= $- 7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{7}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{7}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{7}{8}$ ≈ -0.88

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{12}{x}$ parallel zur Geraden y = $\frac{3}{4} x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{3}{4} x + 5$ hat als Steigung m = $\frac{3}{4}$ und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{3}{4}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{12}{x}$

= $- 12 x^{- 1}$

=> f'(x) = $12 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{3}{4}$ sein, also setzen wir $\frac{12}{x^{2}}$ = $\frac{3}{4}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{12}{x^{2}}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{3}{4} \cdot x^{2}$
$12$	=	$\frac{3}{4} x^{2}$

$12$	=	$\frac{3}{4} x^{2}$	\| $- 12$ $- \frac{3}{4} x^{2}$
$- \frac{3}{4} x^{2}$	=	$- 12$	\|⋅ $(- \frac{4}{3})$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $\frac{12}{{(- 4)}^{2}}$ = $\frac{3}{4}$

f '( $4$ ) = $\frac{12}{4^{2}}$ = $\frac{3}{4}$