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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{6}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{6}$

$f'(x) =$ $- 6 x^{5}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{4}}$

= $\frac{1}{3} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{3} x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{5}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[8]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt[8]{x}$

= $- x^{\frac{1}{8}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{8} x^{- \frac{7}{8}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{8 {(\sqrt[8]{x})}^{7}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2 x}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{2 x}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{5}{2} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{5}{2 x^{2}}$

f'(1) = $\frac{5}{2 \cdot 1^{2}}$ = $\frac{5}{2} \cdot 1$ = $\frac{5}{2}$ ≈ 2.5

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x}$

= $x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{1}{2 \cdot 4}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.13

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $\frac{1}{8} x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{1}{8} x - 5$ hat als Steigung m = $\frac{1}{8}$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{1}{8}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$

= $- 4 x^{- 2}$

=> f'(x) = $8 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{1}{8}$ sein, also setzen wir $\frac{8}{x^{3}}$ = $\frac{1}{8}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{8}{x^{3}}$	=	$\frac{1}{8}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{8}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{1}{8} \cdot x^{3}$
$8$	=	$\frac{1}{8} x^{3}$

$8$	=	$\frac{1}{8} x^{3}$	\| $- 8$ $- \frac{1}{8} x^{3}$
$- \frac{1}{8} x^{3}$	=	$- 8$	\|⋅ $(- 8)$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $\frac{8}{4^{3}}$ = $\frac{1}{8}$