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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $2$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{6}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{3 x^{6}}$

= $- \frac{4}{3} x^{- 6}$

=> f'(x) = $8 x^{- 7}$

$f'(x) =$ $\frac{8}{x^{7}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt[9]{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 4 \sqrt[9]{x}$

= $- 4 x^{\frac{1}{9}}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{9} x^{- \frac{8}{9}}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{9 {(\sqrt[9]{x})}^{8}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{2}}$

= $\frac{3}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{3}}$

f'(-2) = $- \frac{3}{{(- 2)}^{3}}$ = $- 3 \cdot (- \frac{1}{8})$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.38

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $7 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \sqrt{x}$

= $7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{7}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{7}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{7}{2 \cdot 4}$ = $\frac{7}{8}$ ≈ 0.88

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{4}}$ parallel zur Geraden y = $\frac{1}{8} x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{1}{8} x + 2$ hat als Steigung m = $\frac{1}{8}$ und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{1}{8}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{4}}$

= $x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{5}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{1}{8}$ sein, also setzen wir $- \frac{4}{x^{5}}$ = $\frac{1}{8}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{5}$ weg!

$- \frac{4}{x^{5}}$	=	$\frac{1}{8}$	\|⋅( $x^{5}$ )
$- \frac{4}{x^{5}} \cdot x^{5}$	=	$\frac{1}{8} \cdot x^{5}$
$- 4$	=	$\frac{1}{8} x^{5}$

$- 4$	=	$\frac{1}{8} x^{5}$	\| $+ 4$ $- \frac{1}{8} x^{5}$
$- \frac{1}{8} x^{5}$	=	$4$	\|⋅ $(- 8)$
$x^{5}$	=	$- 32$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[5]{32}$	= $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- \frac{4}{{(- 2)}^{5}}$ = $\frac{1}{8}$