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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{6}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{6}$

$f'(x) =$ $- 18 x^{5}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{x^{6}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{x^{6}}$

= $- 5 x^{- 6}$

=> f'(x) = $30 x^{- 7}$

$f'(x) =$ $\frac{30}{x^{7}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$

= $x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{2 x^{3}}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{2 x^{3}}$

= $\frac{5}{2} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- \frac{15}{2} x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{15}{2 x^{4}}$

f'(2) = $- \frac{15}{2 \cdot 2^{4}}$ = $- \frac{15}{2} \cdot (\frac{1}{16})$ = $- \frac{15}{32}$ ≈ -0.47

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 5$ hat als Steigung m = $2$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $2$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{5}}$

Diese Ableitung muss ja = $2$ sein, also setzen wir $\frac{2}{x^{5}}$ = $2$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{5}$ weg!

$\frac{2}{x^{5}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{5}$ )
$\frac{2}{x^{5}} \cdot x^{5}$	=	$2 \cdot x^{5}$
$2$	=	$2 x^{5}$

$2$	=	$2 x^{5}$	\| $- 2$ $- 2 x^{5}$
$- 2 x^{5}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{5}$	=	$1$	\| $\sqrt[5]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[5]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\frac{2}{1^{5}}$ = $2$