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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{6}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{6}$

$f'(x) =$ $36 x^{5}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{2 x^{2}}$

= $\frac{1}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{3}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$

= $- 7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{4}}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $2 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{x^{5}}$

f'(1) = $\frac{2}{1^{5}}$ = $2 \cdot 1$ = $2$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{10}{x}$ parallel zur Geraden y = $\frac{2}{5} x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{2}{5} x + 5$ hat als Steigung m = $\frac{2}{5}$ und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{2}{5}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{10}{x}$

= $- 10 x^{- 1}$

=> f'(x) = $10 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{10}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{2}{5}$ sein, also setzen wir $\frac{10}{x^{2}}$ = $\frac{2}{5}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{5}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{5} \cdot x^{2}$
$10$	=	$\frac{2}{5} x^{2}$

$10$	=	$\frac{2}{5} x^{2}$	\| $- 10$ $- \frac{2}{5} x^{2}$
$- \frac{2}{5} x^{2}$	=	$- 10$	\|⋅ $(- \frac{5}{2})$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 5$ ) = $\frac{10}{{(- 5)}^{2}}$ = $\frac{2}{5}$

f '( $5$ ) = $\frac{10}{5^{2}}$ = $\frac{2}{5}$