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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x 7 und vereinfache:

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f(x)= 2 x 7

f'(x)= 14 x 6

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 2 x 6 und vereinfache:

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f(x)= - 5 2 x 6

= - 5 2 x -6

=> f'(x) = 15 x -7

f'(x)= 15 x 7

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 9 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 9

= 4 x 1 9

=> f'(x) = 4 9 x - 8 9

f'(x)= 4 9 ( x 9 ) 8

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 3 x im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

f(x)= 3 x

= 3 x -1

=> f'(x) = -3 x -2

=>f'(x)= - 3 x 2

f'(-2) = - 3 ( -2 ) 2 = -3( 1 4 ) = - 3 4 ≈ -0.75

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 3 ( x 4 ) 3 im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

f(x)= 3 ( x 4 ) 3

= 3 x 3 4

=> f'(x) = 9 4 x - 1 4

=>f'(x)= 9 4 x 4

f'(16) = 9 4 16 4 = 9 4 2 = 9 8 ≈ 1.13

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 4 parallel zur Geraden y = - 1 16 x +2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = - 1 16 x +2 hat als Steigung m = - 1 16 und als y-Achsenabschnitt c = 2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = - 1 16 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 1 2 x 4

= 1 2 x -4

=> f'(x) = -2 x -5

f'(x)= - 2 x 5

Diese Ableitung muss ja = - 1 16 sein, also setzen wir - 2 x 5 = - 1 16 .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 5 weg!

- 2 x 5 = - 1 16 |⋅( x 5 )
- 2 x 5 · x 5 = - 1 16 · x 5
-2 = - 1 16 x 5
-2 = - 1 16 x 5 | +2 + 1 16 x 5
1 16 x 5 = 2 |⋅16
x 5 = 32 | 5
x = 32 5 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 2 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 2 ) = - 2 2 5 = - 1 16