nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 6 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 6

f'(x)= 6 x 5

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 4

= 4 x -4

=> f'(x) = -16 x -5

f'(x)= - 16 x 5

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 3

= 5 x 1 3

=> f'(x) = 5 3 x - 2 3

f'(x)= 5 3 ( x 3 ) 2

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= - 3 2 x 2 im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

f(x)= - 3 2 x 2

= - 3 2 x -2

=> f'(x) = 3 x -3

=>f'(x)= 3 x 3

f'(3) = 3 3 3 = 3( 1 27 ) = 1 9 ≈ 0.11

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 3 x im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

f(x)= 3 x

= 3 x 1 2

=> f'(x) = 3 2 x - 1 2

=>f'(x)= 3 2 x

f'(16) = 3 2 16 = 3 2 4 = 3 8 ≈ 0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 2 3 x parallel zur Geraden y = 6x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 6x +4 hat als Steigung m = 6 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 6 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= - 2 3 x

= - 2 3 x -1

=> f'(x) = 2 3 x -2

f'(x)= 2 3 x 2

Diese Ableitung muss ja = 6 sein, also setzen wir 2 3 x 2 = 6 .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

2 3 x 2 = 6 |⋅( x 2 )
2 3 x 2 · x 2 = 6 · x 2
2 3 = 6 x 2
2 3 = 6 x 2 | - 2 3 -6 x 2
-6 x 2 = - 2 3 |: ( -6 )
x 2 = 1 9 | 2
x1 = - 1 9 - 1 3
x2 = 1 9 1 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 1 3 ; 1 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( - 1 3 ) = 2 3 ( - 1 3 ) 2 = 6

f '( 1 3 ) = 2 3 ( 1 3 ) 2 = 6