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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{7}}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 7}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3} x^{- 8}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt[5]{x}$ und vereinfache:

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$f(x) =$ $- 5 \sqrt[5]{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{5}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{4}{5}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[5]{x})}^{4}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}}$

= $3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}}$

f'(2) = $- \frac{6}{2^{3}}$ = $- 6 \cdot (\frac{1}{8})$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x}$ im Punkt P(27|f(27)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt[3]{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{2}{3}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

f'(27) = $- \frac{1}{{(\sqrt[3]{27})}^{2}}$ = $- \frac{1}{3^{2}}$ = $- \frac{1}{9}$ ≈ -0.11

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x}$ parallel zur Geraden y = $- x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- x - 1$ hat als Steigung m = $- 1$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- 1$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{x}$

= $x^{- 1}$

=> f'(x) = $- x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $- 1$ sein, also setzen wir $- \frac{1}{x^{2}}$ = $- 1$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 1$ ) = $- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$ = $- 1$

f '( $1$ ) = $- \frac{1}{1^{2}}$ = $- 1$