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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -6 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -6

f'(x)=0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 3 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 3 x 2

= 4 3 x -2

=> f'(x) = - 8 3 x -3

f'(x)= - 8 3 x 3

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -6 x 7 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -6 x 7

= -6 x 1 7

=> f'(x) = - 6 7 x - 6 7

f'(x)= - 6 7 ( x 7 ) 6

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 7 x 2 im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

f(x)= 7 x 2

= 7 x -2

=> f'(x) = -14 x -3

=>f'(x)= - 14 x 3

f'(-2) = - 14 ( -2 ) 3 = -14( - 1 8 ) = 7 4 ≈ 1.75

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= -7 x im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

f(x)= -7 x

= -7 x 1 2

=> f'(x) = - 7 2 x - 1 2

=>f'(x)= - 7 2 x

f'(16) = - 7 2 16 = - 7 2 4 = - 7 8 ≈ -0.88

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 3 x 2 parallel zur Geraden y = 18x -2 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 18x -2 hat als Steigung m = 18 und als y-Achsenabschnitt c = -2 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 18 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= - 1 3 x 2

= - 1 3 x -2

=> f'(x) = 2 3 x -3

f'(x)= 2 3 x 3

Diese Ableitung muss ja = 18 sein, also setzen wir 2 3 x 3 = 18 .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

2 3 x 3 = 18 |⋅( x 3 )
2 3 x 3 · x 3 = 18 · x 3
2 3 = 18 x 3
2 3 = 18 x 3 | - 2 3 -18 x 3
-18 x 3 = - 2 3 |: ( -18 )
x 3 = 1 27 | 3
x = 1 27 3 = 1 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 3 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 1 3 ) = 2 3 ( 1 3 ) 3 = 18