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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 x^{7}$

$f'(x) =$ $- 14 x^{6}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{7}}$

= $- 2 x^{- 7}$

=> f'(x) = $14 x^{- 8}$

$f'(x) =$ $\frac{14}{x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt[3]{x}$

= $4 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x}$

= $2 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

f'(1) = $- \frac{2}{1^{2}}$ = $- 2 \cdot 1$ = $- 2$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{3}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{3}{8}$ ≈ -0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $2 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 2$ hat als Steigung m = $2$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $2$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{2}}$

= $- x^{- 2}$

=> f'(x) = $2 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $2$ sein, also setzen wir $\frac{2}{x^{3}}$ = $2$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{x^{3}}$	=	$2$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$2 \cdot x^{3}$
$2$	=	$2 x^{3}$

$2$	=	$2 x^{3}$	\| $- 2$ $- 2 x^{3}$
$- 2 x^{3}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\frac{2}{1^{3}}$ = $2$