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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{5}$

$f'(x) =$ $25 x^{4}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{3}}$

= $- 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{4}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt[8]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[8]{x}$

= $5 x^{\frac{1}{8}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{8} x^{- \frac{7}{8}}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8 {(\sqrt[8]{x})}^{7}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{x^{2}}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{x^{2}}$

= $7 x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 14 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{14}{x^{3}}$

f'(2) = $- \frac{14}{2^{3}}$ = $- 14 \cdot (\frac{1}{8})$ = $- \frac{7}{4}$ ≈ -1.75

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 6 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 \sqrt{x}$

= $- 6 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{\sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{3}{\sqrt{16}}$ = $- \frac{3}{4}$ = $- \frac{3}{4}$ ≈ -0.75

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{3}}$ parallel zur Geraden y = $81 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $81 x - 5$ hat als Steigung m = $81$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m = $81$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{3}}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{4}}$

Diese Ableitung muss ja = $81$ sein, also setzen wir $\frac{1}{x^{4}}$ = $81$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{4}}$	=	$81$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$81 \cdot x^{4}$
$1$	=	$81 x^{4}$

$1$	=	$81 x^{4}$	\| $- 1$ $- 81 x^{4}$
$- 81 x^{4}$	=	$- 1$	\|: $(- 81)$
$x^{4}$	=	$\frac{1}{81}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $- 0,333$
x₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $0,333$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,333$ ; $0,333$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 0,333$ ) = $\frac{1}{{(- 0,333)}^{4}}$ = $81,32481162284$

f '( $0,333$ ) = $\frac{1}{{0,333}^{4}}$ = $81,32481162284$