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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4$

$f'(x) =$ 0

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

= $x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$

= $- 7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

= $- 2 x^{- 2}$

=> f'(x) = $4 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{x^{3}}$

f'(3) = $\frac{4}{3^{3}}$ = $4 \cdot (\frac{1}{27})$ = $\frac{4}{27}$ ≈ 0.15

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$

= $x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

f'(16) = $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{16})}^{3}}$ = $\frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$ = $\frac{1}{4 \cdot 8}$ = $\frac{1}{32}$ ≈ 0.03

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{15}{x}$ parallel zur Geraden y = $\frac{3}{5} x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{3}{5} x - 5$ hat als Steigung m = $\frac{3}{5}$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{3}{5}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{15}{x}$

= $- 15 x^{- 1}$

=> f'(x) = $15 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{15}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{3}{5}$ sein, also setzen wir $\frac{15}{x^{2}}$ = $\frac{3}{5}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{15}{x^{2}}$	=	$\frac{3}{5}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{3}{5} \cdot x^{2}$
$15$	=	$\frac{3}{5} x^{2}$

$15$	=	$\frac{3}{5} x^{2}$	\| $- 15$ $- \frac{3}{5} x^{2}$
$- \frac{3}{5} x^{2}$	=	$- 15$	\|⋅ $(- \frac{5}{3})$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 5$ ) = $\frac{15}{{(- 5)}^{2}}$ = $\frac{3}{5}$

f '( $5$ ) = $\frac{15}{5^{2}}$ = $\frac{3}{5}$