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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 x^{4}$

$f'(x) =$ $- 12 x^{3}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{3 x^{7}}$

= $\frac{2}{3} x^{- 7}$

=> f'(x) = $- \frac{14}{3} x^{- 8}$

$f'(x) =$ $- \frac{14}{3 x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt[6]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt[6]{x}$

= $4 x^{\frac{1}{6}}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- \frac{5}{6}}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 {(\sqrt[6]{x})}^{5}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{x}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{2}{x}$

= $- 2 x^{- 1}$

=> f'(x) = $2 x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{2}{x^{2}}$

f'(-2) = $\frac{2}{{(- 2)}^{2}}$ = $2 \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{1}{2}$ ≈ 0.5

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt{x}$

= $x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{1}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{1}{2 \cdot 4}$ = $\frac{1}{8}$ ≈ 0.13

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $32 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $32 x - 3$ hat als Steigung m = $32$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $32$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{4 x^{2}}$

= $- \frac{1}{4} x^{- 2}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $32$ sein, also setzen wir $\frac{1}{2 x^{3}}$ = $32$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{2 x^{3}}$	=	$32$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{2 x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$32 \cdot x^{3}$
$\frac{1}{2}$	=	$32 x^{3}$

$\frac{1}{2}$	=	$32 x^{3}$	\| $- \frac{1}{2}$ $- 32 x^{3}$
$- 32 x^{3}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|: $(- 32)$
$x^{3}$	=	$\frac{1}{64}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$	= $\frac{1}{4}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{4}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $\frac{1}{4}$ ) = $\frac{1}{2 {(\frac{1}{4})}^{3}}$ = $32$