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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 21 x^{2}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{x^{5}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{7}{x^{5}}$

= $7 x^{- 5}$

=> f'(x) = $- 35 x^{- 6}$

$f'(x) =$ $- \frac{35}{x^{6}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 \sqrt[9]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 \sqrt[9]{x}$

= $- 4 x^{\frac{1}{9}}$

=> f'(x) = $- \frac{4}{9} x^{- \frac{8}{9}}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{9 {(\sqrt[9]{x})}^{8}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{3}}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3 x^{3}}$

= $\frac{5}{3} x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 5 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{5}{x^{4}}$

f'(-2) = $- \frac{5}{{(- 2)}^{4}}$ = $- 5 \cdot (\frac{1}{16})$ = $- \frac{5}{16}$ ≈ -0.31

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[3]{x}$ im Punkt P(27|f(27)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt[3]{x}$

= $- x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

f'(27) = $- \frac{1}{3 {(\sqrt[3]{27})}^{2}}$ = $- \frac{1}{3 \cdot 3^{2}}$ = $- \frac{1}{3 \cdot 9}$ = $- \frac{1}{27}$ ≈ -0.04

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{6}{x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $\frac{3}{16} x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $\frac{3}{16} x - 1$ hat als Steigung m = $\frac{3}{16}$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $\frac{3}{16}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{6}{x^{2}}$

= $- 6 x^{- 2}$

=> f'(x) = $12 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $\frac{3}{16}$ sein, also setzen wir $\frac{12}{x^{3}}$ = $\frac{3}{16}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{12}{x^{3}}$	=	$\frac{3}{16}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{3}{16} \cdot x^{3}$
$12$	=	$\frac{3}{16} x^{3}$

$12$	=	$\frac{3}{16} x^{3}$	\| $- 12$ $- \frac{3}{16} x^{3}$
$- \frac{3}{16} x^{3}$	=	$- 12$	\|⋅ $(- \frac{16}{3})$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $\frac{12}{4^{3}}$ = $\frac{3}{16}$