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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{3}$

$f'(x) =$ $9 x^{2}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{x^{7}}$

= $- 7 x^{- 7}$

=> f'(x) = $49 x^{- 8}$

$f'(x) =$ $\frac{49}{x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 \sqrt[6]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \sqrt[6]{x}$

= $7 x^{\frac{1}{6}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{6} x^{- \frac{5}{6}}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{6 {(\sqrt[6]{x})}^{5}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{x^{4}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{x^{4}}$

= $- 7 x^{- 4}$

=> f'(x) = $28 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $\frac{28}{x^{5}}$

f'(-1) = $\frac{28}{{(- 1)}^{5}}$ = $28 \cdot (- 1)$ = $- 28$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 \sqrt{x}$

= $- 7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{7}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{7}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{7}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{7}{8}$ ≈ -0.88

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{6}{x}$ parallel zur Geraden y = $- \frac{3}{2} x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- \frac{3}{2} x - 5$ hat als Steigung m = $- \frac{3}{2}$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- \frac{3}{2}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{6}{x}$

= $6 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $- \frac{3}{2}$ sein, also setzen wir $- \frac{6}{x^{2}}$ = $- \frac{3}{2}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{6}{x^{2}}$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{3}{2} \cdot x^{2}$
$- 6$	=	$- \frac{3}{2} x^{2}$

$- 6$	=	$- \frac{3}{2} x^{2}$	\| $+ 6$ $+ \frac{3}{2} x^{2}$
$\frac{3}{2} x^{2}$	=	$6$	\|⋅ $\frac{2}{3}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = $- \frac{6}{{(- 2)}^{2}}$ = $- \frac{3}{2}$

f '( $2$ ) = $- \frac{6}{2^{2}}$ = $- \frac{3}{2}$