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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{6}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{6}$

$f'(x) =$ $18 x^{5}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{3 x^{7}}$

= $- \frac{5}{3} x^{- 7}$

=> f'(x) = $\frac{35}{3} x^{- 8}$

$f'(x) =$ $\frac{35}{3 x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 {(\sqrt[4]{x})}^{3}$

= $- 2 x^{\frac{3}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt[4]{x}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

= $x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$

f'(2) = $- \frac{3}{2^{4}}$ = $- 3 \cdot (\frac{1}{16})$ = $- \frac{3}{16}$ ≈ -0.19

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x}$

= $3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{3}{2 \cdot 4}$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{12}{x}$ parallel zur Geraden y = $- \frac{3}{4} x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- \frac{3}{4} x - 4$ hat als Steigung m = $- \frac{3}{4}$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- \frac{3}{4}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{12}{x}$

= $12 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 12 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{12}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $- \frac{3}{4}$ sein, also setzen wir $- \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{3}{4}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{3}{4}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{3}{4} \cdot x^{2}$
$- 12$	=	$- \frac{3}{4} x^{2}$

$- 12$	=	$- \frac{3}{4} x^{2}$	\| $+ 12$ $+ \frac{3}{4} x^{2}$
$\frac{3}{4} x^{2}$	=	$12$	\|⋅ $\frac{4}{3}$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- \frac{12}{{(- 4)}^{2}}$ = $- \frac{3}{4}$

f '( $4$ ) = $- \frac{12}{4^{2}}$ = $- \frac{3}{4}$