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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{6}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{6}$

$f'(x) =$ $6 x^{5}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{4}{x^{4}}$

= $4 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 16 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $- \frac{16}{x^{5}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[3]{x}$

= $5 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}}$ im Punkt P(3|f(3)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{2 x^{2}}$

= $- \frac{3}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $3 x^{- 3}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{x^{3}}$

f'(3) = $\frac{3}{3^{3}}$ = $3 \cdot (\frac{1}{27})$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt{x}$

= $3 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{3}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{3}{2 \cdot 4}$ = $\frac{3}{8}$ ≈ 0.38

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{3 x}$ parallel zur Geraden y = $6 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $6 x + 4$ hat als Steigung m = $6$ und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $6$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{2}{3 x}$

= $- \frac{2}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- 2}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $6$ sein, also setzen wir $\frac{2}{3 x^{2}}$ = $6$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{3 x^{2}}$	=	$6$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{3 x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$6 \cdot x^{2}$
$\frac{2}{3}$	=	$6 x^{2}$

$\frac{2}{3}$	=	$6 x^{2}$	\| $- \frac{2}{3}$ $- 6 x^{2}$
$- 6 x^{2}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|: $(- 6)$
$x^{2}$	=	$\frac{1}{9}$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt{\frac{1}{9}}$	≈ $\frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- \frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{3 {(- \frac{1}{3})}^{2}}$ = $6$

f '( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{3 {(\frac{1}{3})}^{2}}$ = $6$