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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 x^{3}$

$f'(x) =$ $- 15 x^{2}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{3 x^{7}}$

= $\frac{1}{3} x^{- 7}$

=> f'(x) = $- \frac{7}{3} x^{- 8}$

$f'(x) =$ $- \frac{7}{3 x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 \sqrt{x}$

= $6 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $3 x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{\sqrt{x}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x}$ im Punkt P(-2|f(-2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{2}}$

f'(-2) = $\frac{1}{3 {(- 2)}^{2}}$ = $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{1}{12}$ ≈ 0.08

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{5}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{5}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{5}{8}$ ≈ -0.63

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{9 x^{3}}$ parallel zur Geraden y = $27 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $27 x + 4$ hat als Steigung m = $27$ und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $27$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{9 x^{3}}$

= $- \frac{1}{9} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{3} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{3 x^{4}}$

Diese Ableitung muss ja = $27$ sein, also setzen wir $\frac{1}{3 x^{4}}$ = $27$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{3 x^{4}}$	=	$27$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{3 x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$27 \cdot x^{4}$
$\frac{1}{3}$	=	$27 x^{4}$

$\frac{1}{3}$	=	$27 x^{4}$	\| $- \frac{1}{3}$ $- 27 x^{4}$
$- 27 x^{4}$	=	$- \frac{1}{3}$	\|: $(- 27)$
$x^{4}$	=	$\frac{1}{81}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $\frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- \frac{1}{3}$ ) = $\frac{1}{3 {(- \frac{1}{3})}^{4}}$ = $27$

f '( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{1}{3 {(\frac{1}{3})}^{4}}$ = $27$