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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{7}$

$f'(x) =$ $28 x^{6}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{7}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{3 x^{7}}$

= $- \frac{1}{3} x^{- 7}$

=> f'(x) = $\frac{7}{3} x^{- 8}$

$f'(x) =$ $\frac{7}{3 x^{8}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \sqrt[4]{x}$

= $- x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{4}}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{4}}$

= $\frac{3}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{5}}$

f'(1) = $- \frac{6}{1^{5}}$ = $- 6 \cdot 1$ = $- 6$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt{x}$

= $- 5 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{5}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{5}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $- \frac{5}{2 \cdot 4}$ = $- \frac{5}{8}$ ≈ -0.63

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{2}{9 x^{3}}$ parallel zur Geraden y = $54 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $54 x - 3$ hat als Steigung m = $54$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $54$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{2}{9 x^{3}}$

= $- \frac{2}{9} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{2}{3} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{2}{3 x^{4}}$

Diese Ableitung muss ja = $54$ sein, also setzen wir $\frac{2}{3 x^{4}}$ = $54$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2}{3 x^{4}}$	=	$54$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2}{3 x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$54 \cdot x^{4}$
$\frac{2}{3}$	=	$54 x^{4}$

$\frac{2}{3}$	=	$54 x^{4}$	\| $- \frac{2}{3}$ $- 54 x^{4}$
$- 54 x^{4}$	=	$- \frac{2}{3}$	\|: $(- 54)$
$x^{4}$	=	$\frac{1}{81}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $- \frac{1}{3}$
x₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$	≈ $\frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- \frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{3 {(- \frac{1}{3})}^{4}}$ = $54$

f '( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{2}{3 {(\frac{1}{3})}^{4}}$ = $54$