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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $7 x^{4}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 x^{4}$

$f'(x) =$ $28 x^{3}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{6}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{6}}$

= $x^{- 6}$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 7}$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{7}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 \sqrt[5]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 \sqrt[5]{x}$

= $4 x^{\frac{1}{5}}$

=> f'(x) = $\frac{4}{5} x^{- \frac{4}{5}}$

$f'(x) =$ $\frac{4}{5 {(\sqrt[5]{x})}^{4}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}}$ im Punkt P(1|f(1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x^{4}}$

= $2 x^{- 4}$

=> f'(x) = $- 8 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{8}{x^{5}}$

f'(1) = $- \frac{8}{1^{5}}$ = $- 8 \cdot 1$ = $- 8$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt{x}$

= $- 2 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $- \frac{1}{\sqrt{x}}$

f'(16) = $- \frac{1}{\sqrt{16}}$ = $- \frac{1}{4}$ ≈ -0.25

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{6 x^{3}}$ parallel zur Geraden y = $8 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $8 x - 5$ hat als Steigung m = $8$ und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $8$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{6 x^{3}}$

= $- \frac{1}{6} x^{- 3}$

=> f'(x) = $\frac{1}{2} x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{2 x^{4}}$

Diese Ableitung muss ja = $8$ sein, also setzen wir $\frac{1}{2 x^{4}}$ = $8$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{2 x^{4}}$	=	$8$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{2 x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$8 \cdot x^{4}$
$\frac{1}{2}$	=	$8 x^{4}$

$\frac{1}{2}$	=	$8 x^{4}$	\| $- \frac{1}{2}$ $- 8 x^{4}$
$- 8 x^{4}$	=	$- \frac{1}{2}$	\|: $(- 8)$
$x^{4}$	=	$\frac{1}{16}$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{\frac{1}{16}}$	= $- \frac{1}{2}$
x₂	=	$\sqrt[4]{\frac{1}{16}}$	= $\frac{1}{2}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- \frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{2 {(- \frac{1}{2})}^{4}}$ = $8$

f '( $\frac{1}{2}$ ) = $\frac{1}{2 {(\frac{1}{2})}^{4}}$ = $8$