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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 5

f'(x)= 25 x 4

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 3

= -2 x -3

=> f'(x) = 6 x -4

f'(x)= 6 x 4

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 8 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 8

= 5 x 1 8

=> f'(x) = 5 8 x - 7 8

f'(x)= 5 8 ( x 8 ) 7

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= 7 x 2 im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

f(x)= 7 x 2

= 7 x -2

=> f'(x) = -14 x -3

=>f'(x)= - 14 x 3

f'(2) = - 14 2 3 = -14( 1 8 ) = - 7 4 ≈ -1.75

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit f(x)= -6 x im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

f(x)= -6 x

= -6 x 1 2

=> f'(x) = -3 x - 1 2

=>f'(x)= - 3 x

f'(16) = - 3 16 = - 3 4 = - 3 4 ≈ -0.75

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= - 1 3 x 3 parallel zur Geraden y = 81x -5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 81x -5 hat als Steigung m = 81 und als y-Achsenabschnitt c = -5 .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =81 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= - 1 3 x 3

= - 1 3 x -3

=> f'(x) = x -4

f'(x)= 1 x 4

Diese Ableitung muss ja = 81 sein, also setzen wir 1 x 4 = 81 .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

1 x 4 = 81 |⋅( x 4 )
1 x 4 · x 4 = 81 · x 4
1 = 81 x 4
1 = 81 x 4 | -1 -81 x 4
-81 x 4 = -1 |: ( -81 )
x 4 = 1 81 | 4
x1 = - 1 81 4 -0,333
x2 = 1 81 4 0,333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -0,333 ; 0,333 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( -0,333 ) = 1 ( -0,333 ) 4 = 81,32481162284

f '( 0,333 ) = 1 0,333 4 = 81,32481162284