Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 x^{5}$

$f'(x) =$ $- 35 x^{4}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{4}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{2 x^{4}}$

= $- \frac{7}{2} x^{- 4}$

=> f'(x) = $14 x^{- 5}$

$f'(x) =$ $\frac{14}{x^{5}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 \sqrt[4]{x}$

= $3 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{3}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $\frac{3}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{3 x}$ im Punkt P(2|f(2)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{3 x}$

= $- \frac{4}{3} x^{- 1}$

=> f'(x) = $\frac{4}{3} x^{- 2}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{3 x^{2}}$

f'(2) = $\frac{4}{3 \cdot 2^{2}}$ = $\frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{4})$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\sqrt[4]{x}$

= $x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

f'(16) = $\frac{1}{4 {(\sqrt[4]{16})}^{3}}$ = $\frac{1}{4 \cdot 2^{3}}$ = $\frac{1}{4 \cdot 8}$ = $\frac{1}{32}$ ≈ 0.03

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}}$ parallel zur Geraden y = $27 x + 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $27 x + 3$ hat als Steigung m = $27$ und als y-Achsenabschnitt c = $3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $27$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $- \frac{1}{2 x^{2}}$

= $- \frac{1}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

Diese Ableitung muss ja = $27$ sein, also setzen wir $\frac{1}{x^{3}}$ = $27$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x^{3}}$	=	$27$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$27 \cdot x^{3}$
$1$	=	$27 x^{3}$

$1$	=	$27 x^{3}$	\| $- 1$ $- 27 x^{3}$
$- 27 x^{3}$	=	$- 1$	\|: $(- 27)$
$x^{3}$	=	$\frac{1}{27}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$	= $\frac{1}{3}$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{3}}$ = $27$