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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

Lösung einblenden

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$10^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (5)$	≈ 0.699

L={ $\lg (5)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 5^{x} + 50 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $50 \cdot 5^{2 x}$ in $50 \cdot 5^{2 x}$ = $50 \cdot 5^{x + x}$ = $50 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$50 \cdot 5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$50 \cdot 5^{x + x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$50 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} (- 2 + 50 \cdot 5^{x})$	=	0
$5^{x} (50 \cdot 5^{x} - 2)$	=	0
$(50 \cdot 5^{x} - 2) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$50 \cdot 5^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$50 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $50$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{25}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{25})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{25})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{25})}{\lg (5)}$

x₁

- 2

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $105 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 68 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 68, also $105 \cdot {0,9}^{t}$ = 68.

$105 \cdot {0,9}^{t}$	=	$68$	\|: $105$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{68}{105}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{68}{105})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{68}{105})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{68}{105})}{\lg (0,9)}$

t

4,1235

Zum Zeitpunkt t ≈ $4,1235$ Jahre ist der Bestand 68 Millionen.