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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $3$

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$- 5 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $3$

Wir müssen $- 5 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 5 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 5 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $3$

$- \frac{5}{4} \cdot 4^{2 x} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $3$ | ⋅ 4

$- 5 \cdot 4^{2 x} + 8 \cdot 4^{2 x}$ = $12$

$3 \cdot 4^{2 x}$	=	$12$	\|: $3$
$4^{2 x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (4)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $840 \cdot {0,93}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 340 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $840 \cdot {0,93}^{0}$ =840. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 340 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=500, weil ja 500 - 840 = -340 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 500, also $840 \cdot {0,93}^{t}$ = 500.

$840 \cdot {0,93}^{t}$	=	$500$	\|: $840$
${0,93}^{t}$	=	$\frac{25}{42}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,93}^{t})$	=	$\lg (\frac{25}{42})$
$t \cdot \lg (0,93)$	=	$\lg (\frac{25}{42})$	\|: $\lg (0,93)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{25}{42})}{\lg (0,93)}$

t

7,1488

Zum Zeitpunkt t ≈ $7,1488$ Jahre ist der Bestand 500 Millionen Tonnen, also um 340 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..