Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$ = $- \frac{25}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$- \frac{25}{2}$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$- 25$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$5^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 25$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 48 \cdot 4^{x} + 3 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 4^{2 x}$ in $3 \cdot 4^{2 x}$ = $3 \cdot 4^{x + x}$ = $3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$3 \cdot 4^{2 x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x + x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$3 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} - 48 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} \cdot (3 \cdot 4^{x} - 48)$	=	0
$(3 \cdot 4^{x} - 48) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 4^{x} - 48$	=	0	\| $+ 48$
$3 \cdot 4^{x}$	=	$48$	\|: $3$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x₁

2

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $70 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 38 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 38, also $70 \cdot {0,75}^{t}$ = 38.

$70 \cdot {0,75}^{t}$	=	$38$	\|: $70$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{19}{35}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{19}{35})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{19}{35})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{19}{35})}{\lg (0,75)}$

t

2,1236

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,1236$ Jahre ist der Bestand 38 Millionen.