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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $- 16$

Lösung einblenden

2^{x}

- 16

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$2^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 4^{x} + 32 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $32 \cdot 4^{2 x}$ in $32 \cdot 4^{2 x}$ = $32 \cdot 4^{x + x}$ = $32 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$32 \cdot 4^{2 x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$32 \cdot 4^{x + x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$32 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} \cdot (32 \cdot 4^{x} - 2)$	=	0
$(32 \cdot 4^{x} - 2) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$32 \cdot 4^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$32 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $32$
$4^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (4)}$

x₁

- 2

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= ${1,6}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= ${1,6}^{0}$ =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4, weil ja 4 - 1 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4, also ${1,6}^{t}$ = 4.

${1,6}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,6}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,6)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,6)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,6)}$

t

2,9495

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,9495$ Jahre ist der Bestand 4 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..