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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $64$

Lösung einblenden

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 64

$4^{x}$ = $4^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 10^{x}$ = $9$

Lösung einblenden

$3 \cdot 10^{x}$	=	$9$	\|: $3$
$10^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (3)$	≈ 0.4771

L={ $\lg (3)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$32 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$32 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 32 \cdot 2^{x}$

$- 2 \cdot 4^{x}$ = $- 32 \cdot 2^{x}$ | : $- 2$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{32}{2}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $16$

$2^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (2)}$

x

4

L={ $4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $820 \cdot {0,96}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 280 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $820 \cdot {0,96}^{0}$ =820. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 280 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=540, weil ja 540 - 820 = -280 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 540, also $820 \cdot {0,96}^{t}$ = 540.

$820 \cdot {0,96}^{t}$	=	$540$	\|: $820$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{27}{41}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{27}{41})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{27}{41})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{27}{41})}{\lg (0,96)}$

t

10,2331

Zum Zeitpunkt t ≈ $10,2331$ Jahre ist der Bestand 540 Millionen Tonnen, also um 280 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..