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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $18$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$18$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$9$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (9)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (9)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (9)}{\lg (3)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 9

$3^{x}$ = $3^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $10$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$10$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 3^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $3 \cdot 3^{2 x}$ in $3 \cdot 3^{2 x}$ = $3 \cdot 3^{x + x}$ = $3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x}$ auf::

$3 \cdot 3^{2 x} - 3 \cdot 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x + x} - 3 \cdot 3^{x}$ = 0

$3 \cdot 3^{x} \cdot 3^{x} - 3 \cdot 3^{x}$ = 0

$3^{x} \cdot (3 \cdot 3^{x} - 3)$	=	0
$(3 \cdot 3^{x} - 3) \cdot 3^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$3 \cdot 3^{x} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 \cdot 3^{x}$	=	$3$	\|: $3$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x₁

2. Fall:

3^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= ${2,3}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= ${2,3}^{0}$ =1. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=4, weil ja 4 - 1 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 4, also ${2,3}^{t}$ = 4.

${2,3}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,3}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (2,3)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2,3)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2,3)}$

t

1,6644

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,6644$ Jahre ist der Bestand 4 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..