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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 3 x = 3 2

Lösung einblenden
1 2 3 x = 3 2 |⋅2
3 x = 3 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 3 )
x · lg( 3 ) = lg( 3 ) |: lg( 3 )
x = lg( 3 ) lg( 3 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 3 x = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 -2x +2 = 1 5

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

5 -2x +2 = 1 5

5 -2x +2 = 5 -1

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: -2x +2 und rechts: -1) gleichsetzen:

-2x +2 = -1 | -2
-2x = -3 |:(-2 )
x = 3 2 = 1.5

L={ 3 2 }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

24 2 x -3 4 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

24 2 x -3 4 x = 0| -24 2 x

-3 4 x = -24 2 x | : -3 : 2 x

4 x 2 x = 24 3

( 4 2 ) x = 8

2 x = 8 |lg(⋅)
lg( 2 x ) = lg( 8 )
x · lg( 2 ) = lg( 8 ) |: lg( 2 )
x = lg( 8 ) lg( 2 )
x = 3

L={ 3 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 112 0,75 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 80 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 80, also 112 0,75 t = 80.

112 0,75 t = 80 |:112
0,75 t = 5 7 |lg(⋅)
lg( 0,75 t ) = lg( 5 7 )
t · lg( 0,75 ) = lg( 5 7 ) |: lg( 0,75 )
t = lg( 5 7 ) lg( 0,75 )
t = 1,1696

Zum Zeitpunkt t ≈ 1,1696 Jahre ist der Bestand 80 Millionen.