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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{- x - 1}$ = $\frac{1}{5}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$5^{- x - 1}$ = $\frac{1}{5}$

$5^{- x - 1}$ = $5^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- x - 1$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- x - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$- x$	=	0	\|:( $- 1$ )
$x$	=	0

L={0}

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 \cdot 3^{x} + 81$ = $- 3^{x + 2}$

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$- 10 \cdot 3^{x} + 81$ = $- 3^{x + 2}$ | $+ 3^{x + 2}$ $- 81$

$3^{x + 2} - 10 \cdot 3^{x}$ = $- 81$

Wir müssen $3^{x + 2}$ in $3^{x} \cdot 3^{2}$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$3^{x} \cdot 3^{2} - 10 \cdot 3^{x}$ = $- 81$

$9 \cdot 3^{x} - 10 \cdot 3^{x}$ = $- 81$

$- 3^{x}$	=	$- 81$	\|: $- 1$
$3^{x}$	=	$81$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (81)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (81)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (81)}{\lg (3)}$

x

4

L={ $4$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $890 \cdot {0,96}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 335 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $890 \cdot {0,96}^{0}$ =890. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 335 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=555, weil ja 555 - 890 = -335 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 555, also $890 \cdot {0,96}^{t}$ = 555.

$890 \cdot {0,96}^{t}$	=	$555$	\|: $890$
${0,96}^{t}$	=	$\frac{111}{178}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,96}^{t})$	=	$\lg (\frac{111}{178})$
$t \cdot \lg (0,96)$	=	$\lg (\frac{111}{178})$	\|: $\lg (0,96)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{111}{178})}{\lg (0,96)}$

t

11,5686

Zum Zeitpunkt t ≈ $11,5686$ Jahre ist der Bestand 555 Millionen Tonnen, also um 335 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..