Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 10^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$2 \cdot 10^{x}$	=	$5$	\|: $2$
$10^{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	≈ 0.3979

L={ $\lg (\frac{5}{2})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 2^{x} + 3$ = $- 2^{x + 2}$

Lösung einblenden

$- 7 \cdot 2^{x} + 3$ = $- 2^{x + 2}$ | $+ 2^{x + 2}$ $- 3$

$2^{x + 2} - 7 \cdot 2^{x}$ = $- 3$

Wir müssen $2^{x + 2}$ in $2^{x} \cdot 2^{2}$ aufspalten um die beiden 2er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2^{x} \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2^{x}$ = $- 3$

$4 \cdot 2^{x} - 7 \cdot 2^{x}$ = $- 3$

$- 3 \cdot 2^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 3$
$2^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (2)$	=	0	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (2)}$

x

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,05}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 25 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 25, also $20 \cdot {1,05}^{t}$ = 25.

$20 \cdot {1,05}^{t}$	=	$25$	\|: $20$
${1,05}^{t}$	=	$\frac{5}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,05}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{4})$
$t \cdot \lg (1,05)$	=	$\lg (\frac{5}{4})$	\|: $\lg (1,05)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{4})}{\lg (1,05)}$

t

4,5735

Zum Zeitpunkt t ≈ $4,5735$ Jahre ist der Bestand 25 Millionen.