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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 8

$2^{x}$ = $2^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} - 3$ = $9,5$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 5^{x} - 3$	=	$9,5$	\| $+ 3$
$\frac{1}{2} \cdot 5^{x}$	=	$12,5$	\|⋅ $2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 2^{x} + 4 \cdot 2^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $4 \cdot 2^{2 x}$ in $4 \cdot 2^{2 x}$ = $4 \cdot 2^{x + x}$ = $4 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x}$ auf::

$4 \cdot 2^{2 x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$4 \cdot 2^{x + x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$4 \cdot 2^{x} \cdot 2^{x} - 2 \cdot 2^{x}$ = 0

$2^{x} (- 2 + 4 \cdot 2^{x})$	=	0
$2^{x} (4 \cdot 2^{x} - 2)$	=	0
$(4 \cdot 2^{x} - 2) \cdot 2^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$4 \cdot 2^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$4 \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|: $4$
$2^{x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{2})$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (\frac{1}{2})$	\|: $\lg (2)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{2})}{\lg (2)}$

x₁

- 1

2. Fall:

2^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $84 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 52 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 52, also $84 \cdot {0,9}^{t}$ = 52.

$84 \cdot {0,9}^{t}$	=	$52$	\|: $84$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{13}{21}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{21})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{13}{21})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{21})}{\lg (0,9)}$

t

4,5517

Zum Zeitpunkt t ≈ $4,5517$ Jahre ist der Bestand 52 Millionen.