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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $125$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $- \frac{9}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$- \frac{9}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$- 9$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$3^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 9$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \cdot 5^{x} + 2 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $2 \cdot 5^{2 x}$ in $2 \cdot 5^{2 x}$ = $2 \cdot 5^{x + x}$ = $2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$2 \cdot 5^{2 x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$2 \cdot 5^{x + x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} - 2 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} (2 \cdot 5^{x} - 2)$	=	0
$(2 \cdot 5^{x} - 2) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$2 \cdot 5^{x} - 2$	=	0	\| $+ 2$
$2 \cdot 5^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (5)$	=	0	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{0}{\lg (5)}$

x₁

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {2,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {2.4}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=7, weil ja 7 - 4 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 7, also $4 \cdot {2.4}^{t}$ = 7.

$4 \cdot {2.4}^{t}$	=	$7$	\|: $4$
${2.4}^{t}$	=	$\frac{7}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({2.4}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{4})$
$t \cdot \lg (2.4)$	=	$\lg (\frac{7}{4})$	\|: $\lg (2.4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{4})}{\lg (2.4)}$

t

0,6392

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,6392$ Jahre ist der Bestand 7 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..