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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $25$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 25

$5^{x}$ = $5^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$10^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (8)$	≈ 0.9031

L={ $\lg (8)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 \cdot 4^{2 x - 1} + 4^{2 x}$ = $- 80$

Lösung einblenden

$- 9 \cdot 4^{2 x - 1} + 4^{2 x}$ = $- 80$

Wir müssen $- 9 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 9 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 9 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 4^{2 x}$ = $- 80$

$- \frac{9}{4} \cdot 4^{2 x} + 4^{2 x}$ = $- 80$ | ⋅ 4

$- 9 \cdot 4^{2 x} + 4 \cdot 4^{2 x}$ = $- 320$

$- 5 \cdot 4^{2 x}$	=	$- 320$	\|: $- 5$
$4^{2 x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (64)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$3$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $880 \cdot {0,92}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 200 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $880 \cdot {0,92}^{0}$ =880. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 200 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=680, weil ja 680 - 880 = -200 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 680, also $880 \cdot {0,92}^{t}$ = 680.

$880 \cdot {0,92}^{t}$	=	$680$	\|: $880$
${0,92}^{t}$	=	$\frac{17}{22}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,92}^{t})$	=	$\lg (\frac{17}{22})$
$t \cdot \lg (0,92)$	=	$\lg (\frac{17}{22})$	\|: $\lg (0,92)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{17}{22})}{\lg (0,92)}$

t

3,0922

Zum Zeitpunkt t ≈ $3,0922$ Jahre ist der Bestand 680 Millionen Tonnen, also um 200 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..