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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$5^{x}$	=	$5$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (5)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (5)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (5)}{\lg (5)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $5^{x}$ = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{3}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$192 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 16^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$192 \cdot 4^{x} - 3 \cdot 16^{x}$ = 0| $- 192 \cdot 4^{x}$

$- 3 \cdot 16^{x}$ = $- 192 \cdot 4^{x}$ | : $- 3$ : $4^{x}$

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{192}{3}$

${(\frac{16}{4})}^{x}$ = $64$

$4^{x}$	=	$64$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (64)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (64)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (64)}{\lg (4)}$

x

3

L={ $3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 \cdot {2,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 8 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 \cdot {2,4}^{0}$ =3. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 8 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=11, weil ja 11 - 3 = 8 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 11, also $3 \cdot {2,4}^{t}$ = 11.

$3 \cdot {2,4}^{t}$	=	$11$	\|: $3$
${2,4}^{t}$	=	$\frac{11}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{3})$
$t \cdot \lg (2,4)$	=	$\lg (\frac{11}{3})$	\|: $\lg (2,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{3})}{\lg (2,4)}$

t

1,4841

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,4841$ Jahre ist der Bestand 11 Millionen, also um 8 Millionen größer als zu Beginn..