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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$10^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (4)$	≈ 0.6021
$x$	=	$2 \lg (2)$

L={ $2 \lg (2)$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$50 \cdot 5^{x} - 2 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 2 \cdot 5^{2 x}$ in $- 2 \cdot 5^{2 x}$ = $- 2 \cdot 5^{x + x}$ = $- 2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 2 \cdot 5^{2 x} + 50 \cdot 5^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 5^{x + x} + 50 \cdot 5^{x}$ = 0

$- 2 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 50 \cdot 5^{x}$ = 0

$5^{x} (50 - 2 \cdot 5^{x})$	=	0
$5^{x} (- 2 \cdot 5^{x} + 50)$	=	0
$(- 2 \cdot 5^{x} + 50) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 \cdot 5^{x} + 50$	=	0	\| $- 50$
$- 2 \cdot 5^{x}$	=	$- 50$	\|: $- 2$
$5^{x}$	=	$25$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (25)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (25)$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (25)}{\lg (5)}$

x₁

2

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $91 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 70 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 70, also $91 \cdot {0,75}^{t}$ = 70.

$91 \cdot {0,75}^{t}$	=	$70$	\|: $91$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{10}{13}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{10}{13})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{10}{13})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{10}{13})}{\lg (0,75)}$

t

0,912

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,912$ Jahre ist der Bestand 70 Millionen.