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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3 x = 3

Lösung einblenden
3 x = 3 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 3 )
x · lg( 3 ) = lg( 3 ) |: lg( 3 )
x = lg( 3 ) lg( 3 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 3 x = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x = -16

Lösung einblenden
4 x = -16

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

4 x muss immer >0 sein und kann daher nicht = -16 sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-32 4 x +2 16 x = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

-32 4 x +2 16 x = 0| +32 4 x

2 16 x = 32 4 x | : 2 : 4 x

16 x 4 x = 32 2

( 16 4 ) x = 16

4 x = 16 |lg(⋅)
lg( 4 x ) = lg( 16 )
x · lg( 4 ) = lg( 16 ) |: lg( 4 )
x = lg( 16 ) lg( 4 )
x = 2

L={ 2 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 4 2,2 t (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 5 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= 4 2,2 0 =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 5 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=9, weil ja 9 - 4 = 5 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 9, also 4 2,2 t = 9.

4 2,2 t = 9 |:4
2,2 t = 9 4 |lg(⋅)
lg( 2,2 t ) = lg( 9 4 )
t · lg( 2,2 ) = lg( 9 4 ) |: lg( 2,2 )
t = lg( 9 4 ) lg( 2,2 )
t = 1,0285

Zum Zeitpunkt t ≈ 1,0285 Jahre ist der Bestand 9 Millionen, also um 5 Millionen größer als zu Beginn..