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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|⋅ $2$
$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 16

$4^{x}$ = $4^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$- 2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 1$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{2 x} + 4$ = $8 \cdot 4^{2 x - 1}$

Lösung einblenden

$4^{2 x} + 4$ = $8 \cdot 4^{2 x - 1}$ | $- 8 \cdot 4^{2 x - 1}$ $- 4$

$- 8 \cdot 4^{2 x - 1} + 4^{2 x}$ = $- 4$

Wir müssen $- 8 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 8 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 8 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 4^{2 x}$ = $- 4$

$- 2 \cdot 4^{2 x} + 4^{2 x}$ = $- 4$

$- 4^{2 x}$	=	$- 4$	\|: $- 1$
$4^{2 x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (4)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {1,7}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 2 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {1,7}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 2 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=6, weil ja 6 - 4 = 2 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 6, also $4 \cdot {1,7}^{t}$ = 6.

$4 \cdot {1,7}^{t}$	=	$6$	\|: $4$
${1,7}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,7}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,7)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,7)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,7)}$

t

0,7641

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,7641$ Jahre ist der Bestand 6 Millionen, also um 2 Millionen größer als zu Beginn..