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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$1$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (2)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $2^{x}$ = 2 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{3}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 \cdot 4^{x} + 48 \cdot 16^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 3 \cdot 4^{x} + 48 \cdot 16^{x}$ = 0| $+ 3 \cdot 4^{x}$

$48 \cdot 16^{x}$ = $3 \cdot 4^{x}$ | : $48$ : $4^{x}$

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{3}{48}$

${(\frac{16}{4})}^{x}$ = $\frac{1}{16}$

$4^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (4)}$

x

- 2

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 \cdot {1,9}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 9 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 \cdot {1,9}^{0}$ =3. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 9 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=12, weil ja 12 - 3 = 9 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 12, also $3 \cdot {1,9}^{t}$ = 12.

$3 \cdot {1,9}^{t}$	=	$12$	\|: $3$
${1,9}^{t}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,9}^{t})$	=	$\lg (4)$
$t \cdot \lg (1,9)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (1,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (1,9)}$

t

2,1598

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,1598$ Jahre ist der Bestand 12 Millionen, also um 9 Millionen größer als zu Beginn..