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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $- \frac{27}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$- \frac{27}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$- 27$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$3^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 27$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 3 \cdot 3^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$5^{x} - 3 \cdot 3^{x}$ = 0| $- 5^{x}$

$- 3 \cdot 3^{x}$ = $- 5^{x}$ | : $- 3$ : $5^{x}$

$\frac{3^{x}}{5^{x}}$ = $\frac{1}{3}$

${(\frac{3}{5})}^{x}$ = $\frac{1}{3}$

${(\frac{3}{5})}^{x}$	=	$\frac{1}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{5})}^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$
$x \cdot \lg (\frac{3}{5})$	=	$\lg (\frac{1}{3})$	\|: $\lg (\frac{3}{5})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{1}{3})}{\lg (\frac{3}{5})}$

x

2,1507

L={ $2,1507$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 28 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 28, also $20 \cdot {1,4}^{t}$ = 28.

$20 \cdot {1,4}^{t}$	=	$28$	\|: $20$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{7}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{7}{5})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{5})}{\lg (1,4)}$

t

1

Zum Zeitpunkt t ≈ $1$ Jahre ist der Bestand 28 Millionen.