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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 2^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2 \cdot 2^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x}$	=	$2$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 1

$3^{x}$ = 3⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 4 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 3^{x}$ = 0| $+ 4 \cdot 4^{x}$

$2 \cdot 3^{x}$ = $4 \cdot 4^{x}$ | : $2$ : $4^{x}$

$\frac{3^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{4}{2}$

${(\frac{3}{4})}^{x}$ = $2$

${(\frac{3}{4})}^{x}$	=	$2$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{3}{4})}^{x})$	=	$\lg (2)$
$x \cdot \lg (\frac{3}{4})$	=	$\lg (2)$	\|: $\lg (\frac{3}{4})$
$x$	=	$\frac{\lg (2)}{\lg (\frac{3}{4})}$

x

- 2,4094

L={ $- 2,4094$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $20 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 26 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 26, also $20 \cdot {1,4}^{t}$ = 26.

$20 \cdot {1,4}^{t}$	=	$26$	\|: $20$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{13}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{13}{10})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{13}{10})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{13}{10})}{\lg (1,4)}$

t

0,7798

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,7798$ Jahre ist der Bestand 26 Millionen.