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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x = 125

Lösung einblenden
5 x = 125 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 125 )
x · lg( 5 ) = lg( 125 ) |: lg( 5 )
x = lg( 125 ) lg( 5 )
x = 3

L={ 3 }

Im Idealfall erkennt man bereits:

5 x = 125

5 x = 5 3

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 3 x = - 9 2

Lösung einblenden
1 2 3 x = - 9 2 |⋅2
3 x = -9

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

3 x muss immer >0 sein und kann daher nicht = -9 sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 5 x +2 5 2x = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man 2 5 2x in 2 5 2x = 2 5 x + x = 2 5 x · 5 x auf::

2 5 2x -2 5 x = 0

2 5 x + x -2 5 x = 0

2 5 x · 5 x -2 5 x = 0

5 x ( 2 5 x -2 ) = 0
( 2 5 x -2 ) · 5 x = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 5 x -2 = 0 | +2
2 5 x = 2 |:2
5 x = 1 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = 0
x · lg( 5 ) = 0 |: lg( 5 )
x1 = 0 lg( 5 )
x1 = 0

2. Fall:

5 x = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 4 2,4 t (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 3 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= 4 2.4 0 =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 3 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=7, weil ja 7 - 4 = 3 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 7, also 4 2.4 t = 7.

4 2.4 t = 7 |:4
2.4 t = 7 4 |lg(⋅)
lg( 2.4 t ) = lg( 7 4 )
t · lg( 2.4 ) = lg( 7 4 ) |: lg( 2.4 )
t = lg( 7 4 ) lg( 2.4 )
t = 0,6392

Zum Zeitpunkt t ≈ 0,6392 Jahre ist der Bestand 7 Millionen, also um 3 Millionen größer als zu Beginn..