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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $27$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 3^{x} - 30$ = $24$

Lösung einblenden

$2 \cdot 3^{x} - 30$	=	$24$	\| $+ 30$
$2 \cdot 3^{x}$	=	$54$	\|: $2$
$3^{x}$	=	$27$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (27)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (27)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (27)}{\lg (3)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$3^{x}$ = 27

$3^{x}$ = $3^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{x} - 5 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 5 \cdot 5^{2 x}$ in $- 5 \cdot 5^{2 x}$ = $- 5 \cdot 5^{x + x}$ = $- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$- 5 \cdot 5^{2 x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x + x} + 5^{x}$ = 0

$- 5 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} + 5^{x}$ = 0

$5^{x} \cdot (- 5 \cdot 5^{x} + 1)$	=	0
$(- 5 \cdot 5^{x} + 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 5 \cdot 5^{x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 5 \cdot 5^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 5$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{5})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{5})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{5})}{\lg (5)}$

x₁

- 1

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 1$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Bevölkerung eines Landes soll näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $40 \cdot {1,4}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat das Land nach diesem Modell 44 Millionen Einwohner?

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 44, also $40 \cdot {1,4}^{t}$ = 44.

$40 \cdot {1,4}^{t}$	=	$44$	\|: $40$
${1,4}^{t}$	=	$\frac{11}{10}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,4}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{10})$
$t \cdot \lg (1,4)$	=	$\lg (\frac{11}{10})$	\|: $\lg (1,4)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{10})}{\lg (1,4)}$

t

0,2833

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,2833$ Jahre ist der Bestand 44 Millionen.