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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 5^{x}$ = $250$

Lösung einblenden

$2 \cdot 5^{x}$	=	$250$	\|: $2$
$5^{x}$	=	$125$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (125)$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (125)$	\|: $\lg (5)$
$x$	=	$\frac{\lg (125)}{\lg (5)}$

x

3

L={ $3$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$5^{x}$ = 125

$5^{x}$ = $5^{3}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=3 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{3}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5^{x} + 125 \cdot 5^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $125 \cdot 5^{2 x}$ in $125 \cdot 5^{2 x}$ = $125 \cdot 5^{x + x}$ = $125 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x}$ auf::

$125 \cdot 5^{2 x} - 5^{x}$ = 0

$125 \cdot 5^{x + x} - 5^{x}$ = 0

$125 \cdot 5^{x} \cdot 5^{x} - 5^{x}$ = 0

$5^{x} (125 \cdot 5^{x} - 1)$	=	0
$(125 \cdot 5^{x} - 1) \cdot 5^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$125 \cdot 5^{x} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$125 \cdot 5^{x}$	=	$1$	\|: $125$
$5^{x}$	=	$\frac{1}{125}$	\|lg(⋅)
$\lg (5^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{125})$
$x \cdot \lg (5)$	=	$\lg (\frac{1}{125})$	\|: $\lg (5)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{125})}{\lg (5)}$

x₁

- 3

2. Fall:

5^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $126 \cdot {0,9}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 99 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 99, also $126 \cdot {0,9}^{t}$ = 99.

$126 \cdot {0,9}^{t}$	=	$99$	\|: $126$
${0,9}^{t}$	=	$\frac{11}{14}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,9}^{t})$	=	$\lg (\frac{11}{14})$
$t \cdot \lg (0,9)$	=	$\lg (\frac{11}{14})$	\|: $\lg (0,9)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{11}{14})}{\lg (0,9)}$

t

2,2889

Zum Zeitpunkt t ≈ $2,2889$ Jahre ist der Bestand 99 Millionen.