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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$ = $\frac{3}{2}$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 3^{x}$	=	$\frac{3}{2}$	\|⋅ $2$
$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5^{- 2 x + 2}$ = $\frac{1}{5}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$5^{- 2 x + 2}$ = $\frac{1}{5}$

$5^{- 2 x + 2}$ = $5^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 5.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 2 x + 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 2 x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$- 2 x$	=	$- 3$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={ $\frac{3}{2}$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$24 \cdot 2^{x} - 3 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$24 \cdot 2^{x} - 3 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 24 \cdot 2^{x}$

$- 3 \cdot 4^{x}$ = $- 24 \cdot 2^{x}$ | : $- 3$ : $2^{x}$

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$ = $\frac{24}{3}$

${(\frac{4}{2})}^{x}$ = $8$

$2^{x}$	=	$8$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (8)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (8)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (8)}{\lg (2)}$

x

3

L={ $3$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $112 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 80 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 80, also $112 \cdot {0,75}^{t}$ = 80.

$112 \cdot {0,75}^{t}$	=	$80$	\|: $112$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{5}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{5}{7})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{5}{7})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{5}{7})}{\lg (0,75)}$

t

1,1696

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,1696$ Jahre ist der Bestand 80 Millionen.