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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

5 x = 5

Lösung einblenden
5 x = 5 |lg(⋅)
lg( 5 x ) = lg( 5 )
x · lg( 5 ) = lg( 5 ) |: lg( 5 )
x = lg( 5 ) lg( 5 )
x = 1

L={ 1 }

Man erkennt bereits bei 5 x = 5 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 2 2 x = -1

Lösung einblenden
1 2 2 x = -1 |⋅2
2 x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

2 x muss immer >0 sein und kann daher nicht = -2 sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 3 x -1 + 3 x = 6

Lösung einblenden

- 3 x -1 + 3 x = 6

Wir müssen - 3 x -1 in - 3 x · 3 -1 aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

- 3 x · 3 -1 + 3 x = 6

- 1 3 3 x + 3 x = 6 | ⋅ 3

- 3 x +3 3 x = 18

2 3 x = 18 |:2
3 x = 9 |lg(⋅)
lg( 3 x ) = lg( 9 )
x · lg( 3 ) = lg( 9 ) |: lg( 3 )
x = lg( 9 ) lg( 3 )
x = 2

L={ 2 }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= 133 0,75 t darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 104 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 104, also 133 0,75 t = 104.

133 0,75 t = 104 |:133
0,75 t = 104 133 |lg(⋅)
lg( 0,75 t ) = lg( 104 133 )
t · lg( 0,75 ) = lg( 104 133 ) |: lg( 0,75 )
t = lg( 104 133 ) lg( 0,75 )
t = 0,855

Zum Zeitpunkt t ≈ 0,855 Jahre ist der Bestand 104 Millionen.