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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{- 3 x + 2}$ = $\frac{1}{3}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$3^{- 3 x + 2}$ = $\frac{1}{3}$

$3^{- 3 x + 2}$ = $3^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 3.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- 3 x + 2$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- 3 x + 2$	=	$- 1$	\| $- 2$
$- 3 x$	=	$- 3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 2^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$7 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 2^{x}$ = 0| $- 7 \cdot 4^{x}$

$- 5 \cdot 2^{x}$ = $- 7 \cdot 4^{x}$ | : $- 5$ : $4^{x}$

$\frac{2^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{7}{5}$

${(\frac{2}{4})}^{x}$ = $\frac{7}{5}$

${(\frac{1}{2})}^{x}$	=	$\frac{7}{5}$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{1}{2})}^{x})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$
$x \cdot \lg (\frac{1}{2})$	=	$\lg (\frac{7}{5})$	\|: $\lg (\frac{1}{2})$
$x$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{5})}{\lg (\frac{1}{2})}$

x

- 0,4854

L={ $- 0,4854$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass die Anzahl der Nutzer näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 600 \cdot {1,26}^{t}$ (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn) beschrieben werden kann. Wann hat sich die Anzahl der Webseitennutzer um 600 vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 600 \cdot {1,26}^{0}$ =4600. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 600 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=5200, weil ja 5200 - 4600 = 600 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 5200, also $4 600 \cdot {1,26}^{t}$ = 5200.

$4 600 \cdot {1,26}^{t}$	=	$5 200$	\|: $4 600$
${1,26}^{t}$	=	$\frac{26}{23}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,26}^{t})$	=	$\lg (\frac{26}{23})$
$t \cdot \lg (1,26)$	=	$\lg (\frac{26}{23})$	\|: $\lg (1,26)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{26}{23})}{\lg (1,26)}$

t

0,5305

Zum Zeitpunkt t ≈ $0,5305$ Wochen ist der Bestand 5200 Nutzer, also um 600 Nutzer größer als zu Beginn..