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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3^{x}$ = $3$

Lösung einblenden

$3^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (3)$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (3)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $3^{x}$ = 3 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $- 16$

Lösung einblenden

4^{x}

- 16

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 16$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 32 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 16^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$- 32 \cdot 4^{x} + 2 \cdot 16^{x}$ = 0| $+ 32 \cdot 4^{x}$

$2 \cdot 16^{x}$ = $32 \cdot 4^{x}$ | : $2$ : $4^{x}$

$\frac{16^{x}}{4^{x}}$ = $\frac{32}{2}$

${(\frac{16}{4})}^{x}$ = $16$

$4^{x}$	=	$16$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (16)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (16)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (16)}{\lg (4)}$

x

2

L={ $2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $4 \cdot {2,2}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 5 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $4 \cdot {2,2}^{0}$ =4. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 5 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=9, weil ja 9 - 4 = 5 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 9, also $4 \cdot {2,2}^{t}$ = 9.

$4 \cdot {2,2}^{t}$	=	$9$	\|: $4$
${2,2}^{t}$	=	$\frac{9}{4}$	\|lg(⋅)
$\lg ({2,2}^{t})$	=	$\lg (\frac{9}{4})$
$t \cdot \lg (2,2)$	=	$\lg (\frac{9}{4})$	\|: $\lg (2,2)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{9}{4})}{\lg (2,2)}$

t

1,0285

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,0285$ Jahre ist der Bestand 9 Millionen, also um 5 Millionen größer als zu Beginn..