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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ = $2$

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot 2^{x}$	=	$2$	\|⋅ $2$
$2^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (2^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (2)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (2)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (2)}$

x

2

L={ $2$ }

Im Idealfall erkennt man bereits:

$2^{x}$ = 4

$2^{x}$ = $2^{2}$

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=2 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $- 2$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$- 2$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$- 1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={}

$4^{x}$ muss immer >0 sein und kann daher nicht = $- 1$ sein.

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \cdot 4^{x} - 48 \cdot 4^{2 x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst spaltet man $- 48 \cdot 4^{2 x}$ in $- 48 \cdot 4^{2 x}$ = $- 48 \cdot 4^{x + x}$ = $- 48 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x}$ auf::

$- 48 \cdot 4^{2 x} + 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 48 \cdot 4^{x + x} + 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$- 48 \cdot 4^{x} \cdot 4^{x} + 3 \cdot 4^{x}$ = 0

$4^{x} (3 - 48 \cdot 4^{x})$	=	0
$4^{x} (- 48 \cdot 4^{x} + 3)$	=	0
$(- 48 \cdot 4^{x} + 3) \cdot 4^{x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 48 \cdot 4^{x} + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 48 \cdot 4^{x}$	=	$- 3$	\|: $- 48$
$4^{x}$	=	$\frac{1}{16}$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (\frac{1}{16})$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (\frac{1}{16})$	\|: $\lg (4)$
x₁	=	$\frac{\lg (\frac{1}{16})}{\lg (4)}$

x₁

- 2

2. Fall:

4^{x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $- 2$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $98 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 71 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 71, also $98 \cdot {0,75}^{t}$ = 71.

$98 \cdot {0,75}^{t}$	=	$71$	\|: $98$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{71}{98}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{71}{98})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{71}{98})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{71}{98})}{\lg (0,75)}$

t

1,1203

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,1203$ Jahre ist der Bestand 71 Millionen.