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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $4$

Lösung einblenden

$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{- x + 3}$ = $\frac{1}{4}$

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Wir schreiben einfach um:

$4^{- x + 3}$ = $\frac{1}{4}$

$4^{- x + 3}$ = $4^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 4.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $- x + 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$- x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 \cdot 6^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0

Lösung einblenden

Zuerst bringt man die beiden Summanden auf zwei verschiedene Seiten der Gleichung:

$6 \cdot 6^{x} - 2 \cdot 4^{x}$ = 0| $- 6 \cdot 6^{x}$

$- 2 \cdot 4^{x}$ = $- 6 \cdot 6^{x}$ | : $- 2$ : $6^{x}$

$\frac{4^{x}}{6^{x}}$ = $\frac{6}{2}$

${(\frac{4}{6})}^{x}$ = $3$

${(\frac{2}{3})}^{x}$	=	$3$	\|lg(⋅)
$\lg ({(\frac{2}{3})}^{x})$	=	$\lg (3)$
$x \cdot \lg (\frac{2}{3})$	=	$\lg (3)$	\|: $\lg (\frac{2}{3})$
$x$	=	$\frac{\lg (3)}{\lg (\frac{2}{3})}$

x

- 2,7095

L={ $- 2,7095$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Durch intensive Klimaschutzprogramme schafft es ein Staat seine CO₂-Emissonen leicht zu reduzieren, so dass der jährliche CO₂-Ausstoß näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $770 \cdot {0,95}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen Tonnen) beschrieben werden kann. Wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn werden 295 Millionen Tonnen weniger CO₂ ausgestoßen als noch zu Beginn?

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $770 \cdot {0.95}^{0}$ =770. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 295 kleiner geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=475, weil ja 475 - 770 = -295 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 475, also $770 \cdot {0.95}^{t}$ = 475.

$770 \cdot {0.95}^{t}$	=	$475$	\|: $770$
${0.95}^{t}$	=	$\frac{95}{154}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0.95}^{t})$	=	$\lg (\frac{95}{154})$
$t \cdot \lg (0.95)$	=	$\lg (\frac{95}{154})$	\|: $\lg (0.95)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{95}{154})}{\lg (0.95)}$

t

9,4179

Zum Zeitpunkt t ≈ $9,4179$ Jahre ist der Bestand 475 Millionen Tonnen, also um 295 Millionen Tonnen kleiner als zu Beginn..