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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4^{x}$ = $1$

Lösung einblenden

$4^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (4)$	=	0	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (4)}$

x

L={0}

Im Idealfall erkennt man bereits:

$4^{x}$ = 1

$4^{x}$ = 4⁰

und kann so schneller und ohne WTR auf die Lösung x=0 kommen.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2^{3 x + 3}$ = $\frac{1}{2}$

Lösung einblenden

Wir schreiben einfach um:

$2^{3 x + 3}$ = $\frac{1}{2}$

$2^{3 x + 3}$ = $2^{- 1}$

Jetzt stehen links und rechts zwei Potenzen mit der gleichen Basis 2.

Um die Gleichung zu lösen, können wir also einfach die beiden Exponenten (links: $3 x + 3$ und rechts: -1) gleichsetzen:

$3 x + 3$	=	$- 1$	\| $- 3$
$3 x$	=	$- 4$	\|: $3$
$x$	=	$- \frac{4}{3}$

L={ $- \frac{4}{3}$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 13 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $- 5$

Lösung einblenden

$- 13 \cdot 4^{2 x - 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $- 5$

Wir müssen $- 13 \cdot 4^{2 x - 1}$ in $- 13 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1}$ aufspalten um die beiden 4er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$- 13 \cdot 4^{2 x} \cdot 4^{- 1} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $- 5$

$- \frac{13}{4} \cdot 4^{2 x} + 2 \cdot 4^{2 x}$ = $- 5$ | ⋅ 4

$- 13 \cdot 4^{2 x} + 8 \cdot 4^{2 x}$ = $- 20$

$- 5 \cdot 4^{2 x}$	=	$- 20$	\|: $- 5$
$4^{2 x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{2 x})$	=	$\lg (4)$
$2 x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$2 x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

$2 x$	=	$1$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

L={ $\frac{1}{2}$ }

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Die Größe einer Bakterienkultur kann näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $3 \cdot {1,7}^{t}$ (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen) beschrieben werden. Wann hat sich die Bakterienkultur um 4 Millionen vergrößert.

Lösung einblenden

Zu Beginn (t=0) ist der Bestand f(0)= $3 \cdot {1,7}^{0}$ =3. Wenn also danach gefragt wird, wann der Bestand um 4 größer geworden ist, suchen wir den Zeitpunkt wann der Bestand f(t)=7, weil ja 7 - 3 = 4 .

Gesucht wird das t mit f(t) = 7, also $3 \cdot {1,7}^{t}$ = 7.

$3 \cdot {1,7}^{t}$	=	$7$	\|: $3$
${1,7}^{t}$	=	$\frac{7}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,7}^{t})$	=	$\lg (\frac{7}{3})$
$t \cdot \lg (1,7)$	=	$\lg (\frac{7}{3})$	\|: $\lg (1,7)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{7}{3})}{\lg (1,7)}$

t

1,5968

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,5968$ Jahre ist der Bestand 7 Millionen, also um 4 Millionen größer als zu Beginn..