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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -5x = 0
x · ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={0; 5 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+5 2 = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|f(2.5)) mit f(2.5) = 2,5 2 -5⋅2,5 = 6,25 -12,5 = -6.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=5 , Scheitel: S(2.5|-6.25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x -5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -4x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -4 -5

= ( x -2 ) 2 -9

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2 2 -4⋅2 -5 = 4 -8 -5 = -9

also: S(2|-9).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x -4 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -8x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -4

= x 2 -8x +16 + 1 · ( -16 ) -4

= ( x -4 ) 2 -16 -4

= ( x -4 ) 2 -20

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-20).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x · ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 -4 = 16 -32 -4 = -20

also: S(4|-20).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 40 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +20x

= -( x 2 -20x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -20x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -20x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -10 zu 100. Diese 100 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 100, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -20x +100 -100 )

= -( x 2 -20x +100 ) -1 · ( -100 )

= - ( x -10 ) 2 +100

= - ( x -10 ) 2 +100

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(10|100).


2. Weg

Von - x 2 +20x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +20x = 0
x · ( -x +20 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +20 = 0 | -20
-x = -20 |:(-1 )
x2 = 20

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(10|f(10)).

f(10) = - 10 2 +20⋅10 = -100 +200 = 100

also: S(10|100).


Für x=10 bekommen wir also mit 100 einen extremalen Wert von - x 2 +20x