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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -5x = 0
x · ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={0; 5 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+0 2 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +3 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 +3

= ( x -1 ) 2 -1 +3

= ( x -1 ) 2 +2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 +3 = 1 -2 +3 = 2

also: S(1|2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +12x -1 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 +12x -1

= 3( x 2 +4x ) -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 +4x +4 -4 ) -1

= 3( x 2 +4x +4 ) + 3 · ( -4 ) -1

= 3 ( x +2 ) 2 -12 -1

= 3 ( x +2 ) 2 -13

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-13).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 +12x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 +12x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 +12x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 +12x = 0
3 x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = 3⋅ ( -2 ) 2 +12⋅( -2 ) -1 = 12 -24 -1 = -13

also: S(-2|-13).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 20 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +10x

= -( x 2 -10x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -10x +25 -25 )

= -( x 2 -10x +25 ) -1 · ( -25 )

= - ( x -5 ) 2 +25

= - ( x -5 ) 2 +25

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|25).


2. Weg

Von - x 2 +10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +10x = 0
x · ( -x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +10 = 0 | -10
-x = -10 |:(-1 )
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = - 5 2 +10⋅5 = -25 +50 = 25

also: S(5|25).


Für x=5 bekommen wir also mit 25 einen extremalen Wert von - x 2 +10x