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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} + 9 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 9 x$	=	0
$x (x + 9)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 9$	=	0	\| $- 9$
x₂	=	$- 9$

L={ $- 9$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} + 4 x$

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-4+0}{2}$ = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)$ = $4 - 8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-4 und x₂=0 , Scheitel: S(-2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 1$ .

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1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} - 8 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 8 x + 16 - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 16 - 1$

= ${(x - 4)}^{2} - 17$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-17).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 8 x$	=	0
$x (x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 8$	=	0	\| $+ 8$
x₂	=	$8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = $4^{2} - 8 \cdot 4 - 1$ = $16 - 32 - 1$ = -17

also: S(4|-17).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 12 x + 4$ .

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1. Weg

$f(x) =$ $3 x^{2} + 12 x + 4$

= $3 (x^{2} + 4 x) + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3 (x^{2} + 4 x + 4 - 4) + 4$

= $3 (x^{2} + 4 x + 4) + 3 \cdot (- 4) + 4$

= $3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4$

= $3 {(x + 2)}^{2} - 8$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-8).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3 x^{2} + 12 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3 x^{2} + 12 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3 x^{2} + 12 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = $3 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) + 4$ = $12 - 24 + 4$ = -8

also: S(-2|-8).

Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Aus einer rechteckigen Fläche, die a= $44$ cm breit und b= $55$ cm hoch ist soll oben ein Rechteck entfernt werden, so dass links oben und rechts oben noch zwei gleiche Quadrate stehen bleiben (siehe Skizze). Welche Seitenlänge müssen diese Quadrate haben, damit der Flächeninhalt der übrig gebliebenen Fläche (in der Skizze hellblau) minimal wird?

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1. Weg

$f(x) =$ $2 x^{2} - 44 x + 2420$

= $2 (x^{2} - 22 x) + 2420$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 22 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 22 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -11 zu 121. Diese 121 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 121, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} - 22 x + 121 - 121) + 2420$

= $2 (x^{2} - 22 x + 121) + 2 \cdot (- 121) + 2420$

= $2 {(x - 11)}^{2} - 242 + 2420$

= $2 {(x - 11)}^{2} + 2 178$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(11|2178).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} - 44 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} - 44 x + 2420$ nur um $2420$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} - 44 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} - 44 x$	=	0
$2 x (x - 22)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 22$	=	0	\| $+ 22$
x₂	=	$22$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(11|f(11)).

f(11) = $2 \cdot 11^{2} - 44 \cdot 11 + 2420$ = $242 - 484 + 2420$ = 2178

also: S(11|2178).

Für x=11 bekommen wir also mit 2178 einen extremalen Wert von $2 x^{2} - 44 x + 2420$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

Extremwertaufgaben (Anwend.)

1. Weg

2. Weg