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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 +9x = 0
x ( 5x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

5x +9 = 0 | -9
5x = -9 |:5
x2 = - 9 5 = -1.8

L={ - 9 5 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 -12x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 -12x = 0
3 x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 3⋅ 2 2 -12⋅2 = 12 -24 = -12.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-12).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +1 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -4x +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 +1

= ( x -2 ) 2 -4 +1

= ( x -2 ) 2 -3

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-3).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2 2 -4⋅2 +1 = 4 -8 +1 = -3

also: S(2|-3).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +4x -2 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +4x -2

= 1 2 ( x 2 +8x ) -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +8x +16 -16 ) -2

= 1 2 ( x 2 +8x +16 ) + 1 2 · ( -16 ) -2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -8 -2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -10

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-10).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +4x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +4x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +4x ) = 0
x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = 1 2 ⋅ ( -4 ) 2 +4⋅( -4 ) -2 = 8 -16 -2 = -10

also: S(-4|-10).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 140 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +140x

= -( x 2 -140x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -140x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -140x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -70 zu 4900. Diese 4900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -140x +4900 -4900 )

= -( x 2 -140x +4900 ) -1 · ( -4900 )

= - ( x -70 ) 2 +4900

= - ( x -70 ) 2 +4900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(70|4900).


2. Weg

Von - x 2 +140x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +140x = 0
x ( -x +140 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +140 = 0 | -140
-x = -140 |:(-1 )
x2 = 140

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(70|f(70)).

f(70) = - 70 2 +140⋅70 = -4900 +9800 = 4900

also: S(70|4900).


Für x=70 bekommen wir also mit 4900 einen extremalen Wert von - x 2 +140x