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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +9x = 0
x ( 2x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x +9 = 0 | -9
2x = -9 |:2
x2 = - 9 2 = -4.5

L={ - 9 2 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 2 2 -4⋅2 = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -3 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +2x -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 -3

= ( x +1 ) 2 -1 -3

= ( x +1 ) 2 -4

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) -3 = 1 -2 -3 = -4

also: S(-1|-4).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +8x -5 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 +8x -5

= 2( x 2 +4x ) -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +4x +4 -4 ) -5

= 2( x 2 +4x +4 ) + 2 · ( -4 ) -5

= 2 ( x +2 ) 2 -8 -5

= 2 ( x +2 ) 2 -13

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-13).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +8x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +8x = 0
2 x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = 2⋅ ( -2 ) 2 +8⋅( -2 ) -5 = 8 -16 -5 = -13

also: S(-2|-13).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 150 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +150x

= -( x 2 -150x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -150x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -150x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -75 zu 5625. Diese 5625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 5625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -150x +5625 -5625 )

= -( x 2 -150x +5625 ) -1 · ( -5625 )

= - ( x -75 ) 2 +5625

= - ( x -75 ) 2 +5625

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(75|5625).


2. Weg

Von - x 2 +150x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +150x = 0
x ( -x +150 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +150 = 0 | -150
-x = -150 |:(-1 )
x2 = 150

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(75|f(75)).

f(75) = - 75 2 +150⋅75 = -5625 +11250 = 5625

also: S(75|5625).


Für x=75 bekommen wir also mit 5625 einen extremalen Wert von - x 2 +150x