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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +6x = 0
x · ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

L={ -6 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -6+0 2 = -3 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-3|f(-3)) mit f(-3) = ( -3 ) 2 +6⋅( -3 ) = 9 -18 = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-6 und x2=0 , Scheitel: S(-3|-9).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +2x +5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +2x +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 +5

= ( x +1 ) 2 -1 +5

= ( x +1 ) 2 +4

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|4).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) +5 = 1 -2 +5 = 4

also: S(-1|4).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 - x -3 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 - x -3

= 1 2 ( x 2 -2x ) -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -2x +1 -1 ) -3

= 1 2 ( x 2 -2x +1 ) + 1 2 · ( -1 ) -3

= 1 2 ( x -1 ) 2 - 1 2 -3

= 1 2 ( x -1 ) 2 - 7 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-3.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 - x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 - x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 - x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 - x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 - x ) = 0
x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 ⋅ 1 2 - 1 -3 = 1 2 -1 -3 = -3.5

also: S(1|-3.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 100 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +100x

= -( x 2 -100x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -100x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -100x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -50 zu 2500. Diese 2500 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2500, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -100x +2500 -2500 )

= -( x 2 -100x +2500 ) -1 · ( -2500 )

= - ( x -50 ) 2 +2500

= - ( x -50 ) 2 +2500

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(50|2500).


2. Weg

Von - x 2 +100x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +100x = 0
x · ( -x +100 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +100 = 0 | -100
-x = -100 |:(-1 )
x2 = 100

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(50|f(50)).

f(50) = - 50 2 +100⋅50 = -2500 +5000 = 2500

also: S(50|2500).


Für x=50 bekommen wir also mit 2500 einen extremalen Wert von - x 2 +100x