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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 + x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 + x = 0
x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 +8x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +8x = 0
2 x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -4+0 2 = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = 2⋅ ( -2 ) 2 +8⋅( -2 ) = 8 -16 = -8.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-4 und x2=0 , Scheitel: S(-2|-8).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -4x +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 +5

= ( x -2 ) 2 -4 +5

= ( x -2 ) 2 +1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2 2 -4⋅2 +5 = 4 -8 +5 = 1

also: S(2|1).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x +5 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 -5x +5

= 1 2 ( x 2 -10x ) +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -10x +25 -25 ) +5

= 1 2 ( x 2 -10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) +5

= 1 2 ( x -5 ) 2 - 25 2 +5

= 1 2 ( x -5 ) 2 - 15 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-7.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -5x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -5x ) = 0
x 2 -10x = 0
x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 1 2 ⋅ 5 2 -5⋅5 +5 = 25 2 -25 +5 = -7.5

also: S(5|-7.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 360 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +180x

= -( x 2 -180x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -180x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -180x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -90 zu 8100. Diese 8100 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 8100, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -180x +8100 -8100 )

= -( x 2 -180x +8100 ) -1 · ( -8100 )

= - ( x -90 ) 2 +8100

= - ( x -90 ) 2 +8100

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(90|8100).


2. Weg

Von - x 2 +180x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +180x = 0
x ( -x +180 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +180 = 0 | -180
-x = -180 |:(-1 )
x2 = 180

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(90|f(90)).

f(90) = - 90 2 +180⋅90 = -8100 +16200 = 8100

also: S(90|8100).


Für x=90 bekommen wir also mit 8100 einen extremalen Wert von - x 2 +180x