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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} + 6 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

L={ $- 6$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} - 4 x$

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

L={0; $4$ }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{0+4}{2}$ = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = $2^{2} - 4 \cdot 2$ = $4 - 8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=0 und x₂=4 , Scheitel: S(2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$ .

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1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} + 4 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 4 x + 4 - 4 + 4$

= ${(x + 2)}^{2} - 4 + 4$

= ${(x + 2)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 4 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 4 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 4 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2) + 4$ = $4 - 8 + 4$ = 0

also: S(-2|0).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 3$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} + 6 x - 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 - 3$

= $x^{2} + 6 x + 9 + 1 \cdot (- 9) - 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 - 3$

= ${(x + 3)}^{2} - 12$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-12).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x - 3$ nur um $- 3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).

f(-3) = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) - 3$ = $9 - 18 - 3$ = -12

also: S(-3|-12).

Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang $280$ cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

$f(x) =$ $- x^{2} + 140 x$

= $- (x^{2} - 140 x)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 140 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 140 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -70 zu 4900. Diese 4900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $- (x^{2} - 140 x + 4900 - 4900)$

= $- (x^{2} - 140 x + 4900) - 1 \cdot (- 4900)$

= $- {(x - 70)}^{2} + 4 900$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(70|4900).

2. Weg

Von $- x^{2} + 140 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$- x^{2} + 140 x$	=	0
$x \cdot (- x + 140)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 140$	=	0	\| $- 140$
$- x$	=	$- 140$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$140$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(70|f(70)).

f(70) = $- 70^{2} + 140 \cdot 70$ = $- 4 900 + 9 800$ = 4900

also: S(70|4900).

Für x=70 bekommen wir also mit 4900 einen extremalen Wert von $- x^{2} + 140 x$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

Extremwertaufgaben (Anwend.)

1. Weg

2. Weg