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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +3x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +3x = 0
x · ( x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +3 = 0 | -3
x2 = -3

L={ -3 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 +4x = 0
4 x · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -1+0 2 = -0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-0.5|f(-0.5)) mit f(-0.5) = 4⋅ ( -0,5 ) 2 +4⋅( -0,5 ) = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-1 und x2=0 , Scheitel: S(-0.5|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 +2

= ( x -1 ) 2 -1 +2

= ( x -1 ) 2 +1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 +2 = 1 -2 +2 = 1

also: S(1|1).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +2x -5 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +2x -5

= 1 2 ( x 2 +4x ) -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +4x +4 -4 ) -5

= 1 2 ( x 2 +4x +4 ) + 1 2 · ( -4 ) -5

= 1 2 ( x +2 ) 2 -2 -5

= 1 2 ( x +2 ) 2 -7

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-7).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +2x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +2x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +2x ) = 0
x 2 +4x = 0
x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = 1 2 ⋅ ( -2 ) 2 +2⋅( -2 ) -5 = 2 -4 -5 = -7

also: S(-2|-7).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 90 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +90x

= -( x 2 -90x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -90x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -90x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -45 zu 2025. Diese 2025 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2025, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -90x +2025 -2025 )

= -( x 2 -90x +2025 ) -1 · ( -2025 )

= - ( x -45 ) 2 +2025

= - ( x -45 ) 2 +2025

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(45|2025).


2. Weg

Von - x 2 +90x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +90x = 0
x · ( -x +90 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +90 = 0 | -90
-x = -90 |:(-1 )
x2 = 90

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(45|f(45)).

f(45) = - 45 2 +90⋅45 = -2025 +4050 = 2025

also: S(45|2025).


Für x=45 bekommen wir also mit 2025 einen extremalen Wert von - x 2 +90x