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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 -20x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 -20x = 0
4 x ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

L={0; 5 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+5 2 = 2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2.5|f(2.5)) mit f(2.5) = 4⋅ 2,5 2 -20⋅2,5 = 25 -50 = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=5 , Scheitel: S(2.5|-25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -1 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 -1

= ( x -1 ) 2 -1 -1

= ( x -1 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 -1 = 1 -2 -1 = -2

also: S(1|-2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +12x -4 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 +12x -4

= 2( x 2 +6x ) -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +6x +9 -9 ) -4

= 2( x 2 +6x +9 ) + 2 · ( -9 ) -4

= 2 ( x +3 ) 2 -18 -4

= 2 ( x +3 ) 2 -22

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-22).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +12x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +12x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +12x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +12x = 0
2 x ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).

f(-3) = 2⋅ ( -3 ) 2 +12⋅( -3 ) -4 = 18 -36 -4 = -22

also: S(-3|-22).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 30 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +30x

= -( x 2 -30x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -30x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -30x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -15 zu 225. Diese 225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -30x +225 -225 )

= -( x 2 -30x +225 ) -1 · ( -225 )

= - ( x -15 ) 2 +225

= - ( x -15 ) 2 +225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(15|225).


2. Weg

Von - x 2 +30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +30x = 0
x ( -x +30 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +30 = 0 | -30
-x = -30 |:(-1 )
x2 = 30

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(15|f(15)).

f(15) = - 15 2 +30⋅15 = -225 +450 = 225

also: S(15|225).


Für x=15 bekommen wir also mit 225 einen extremalen Wert von - x 2 +30x