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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 + x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 + x = 0
x · ( 5x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

5x +1 = 0 | -1
5x = -1 |:5
x2 = - 1 5 = -0.2

L={ - 1 5 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 +20x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 +20x = 0
4 x · ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -5+0 2 = -2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2.5|f(-2.5)) mit f(-2.5) = 4⋅ ( -2,5 ) 2 +20⋅( -2,5 ) = 25 -50 = -25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-5 und x2=0 , Scheitel: S(-2.5|-25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -4x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 +2

= ( x -2 ) 2 -4 +2

= ( x -2 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2 2 -4⋅2 +2 = 4 -8 +2 = -2

also: S(2|-2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -4x +2 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 -4x +2

= 1 2 ( x 2 -8x ) +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -8x +16 -16 ) +2

= 1 2 ( x 2 -8x +16 ) + 1 2 · ( -16 ) +2

= 1 2 ( x -4 ) 2 -8 +2

= 1 2 ( x -4 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -4x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -4x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -4x ) = 0
x 2 -8x = 0
x · ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 1 2 ⋅ 4 2 -4⋅4 +2 = 8 -16 +2 = -6

also: S(4|-6).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 160 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +80x

= -( x 2 -80x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -80x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -80x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -40 zu 1600. Diese 1600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -80x +1600 -1600 )

= -( x 2 -80x +1600 ) -1 · ( -1600 )

= - ( x -40 ) 2 +1600

= - ( x -40 ) 2 +1600

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(40|1600).


2. Weg

Von - x 2 +80x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +80x = 0
x · ( -x +80 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +80 = 0 | -80
-x = -80 |:(-1 )
x2 = 80

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(40|f(40)).

f(40) = - 40 2 +80⋅40 = -1600 +3200 = 1600

also: S(40|1600).


Für x=40 bekommen wir also mit 1600 einen extremalen Wert von - x 2 +80x