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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -9x = 0
x · ( x -9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -9 = 0 | +9
x2 = 9

L={0; 9 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -6x = 0
x · ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

L={0; 6 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+6 2 = 3 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(3|f(3)) mit f(3) = 3 2 -6⋅3 = 9 -18 = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=6 , Scheitel: S(3|-9).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x -1 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -10x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 -1

= ( x -5 ) 2 -25 -1

= ( x -5 ) 2 -26

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-26).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x · ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 5 2 -10⋅5 -1 = 25 -50 -1 = -26

also: S(5|-26).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -8x +1 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 -8x +1

= 2( x 2 -4x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 -4x +4 -4 ) +1

= 2( x 2 -4x +4 ) + 2 · ( -4 ) +1

= 2 ( x -2 ) 2 -8 +1

= 2 ( x -2 ) 2 -7

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-7).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 -8x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 -8x = 0
2 x · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2⋅ 2 2 -8⋅2 +1 = 8 -16 +1 = -7

also: S(2|-7).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 100 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +100x

= -( x 2 -100x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -100x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -100x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -50 zu 2500. Diese 2500 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2500, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -100x +2500 -2500 )

= -( x 2 -100x +2500 ) -1 · ( -2500 )

= - ( x -50 ) 2 +2500

= - ( x -50 ) 2 +2500

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(50|2500).


2. Weg

Von - x 2 +100x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +100x = 0
x · ( -x +100 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +100 = 0 | -100
-x = -100 |:(-1 )
x2 = 100

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(50|f(50)).

f(50) = - 50 2 +100⋅50 = -2500 +5000 = 2500

also: S(50|2500).


Für x=50 bekommen wir also mit 2500 einen extremalen Wert von - x 2 +100x