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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +5x = 0
x ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+2 2 = 1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1|f(1)) mit f(1) = 1 2 -2⋅1 = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=2 , Scheitel: S(1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 -5

= ( x -1 ) 2 -1 -5

= ( x -1 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 -5 = 1 -2 -5 = -6

also: S(1|-6).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -2x -4 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 -2x -4

= 1 2 ( x 2 -4x ) -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -4x +4 -4 ) -4

= 1 2 ( x 2 -4x +4 ) + 1 2 · ( -4 ) -4

= 1 2 ( x -2 ) 2 -2 -4

= 1 2 ( x -2 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -2x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -2x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -2x ) = 0
x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 1 2 ⋅ 2 2 -2⋅2 -4 = 2 -4 -4 = -6

also: S(2|-6).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 150 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +150x

= -( x 2 -150x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -150x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -150x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -75 zu 5625. Diese 5625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 5625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -150x +5625 -5625 )

= -( x 2 -150x +5625 ) -1 · ( -5625 )

= - ( x -75 ) 2 +5625

= - ( x -75 ) 2 +5625

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(75|5625).


2. Weg

Von - x 2 +150x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +150x = 0
x ( -x +150 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +150 = 0 | -150
-x = -150 |:(-1 )
x2 = 150

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(75|f(75)).

f(75) = - 75 2 +150⋅75 = -5625 +11250 = 5625

also: S(75|5625).


Für x=75 bekommen wir also mit 5625 einen extremalen Wert von - x 2 +150x