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Nullstellen mit Nullprodukt
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2x2-4x
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| 2x2-4x | = | ||
| 2x(x-2) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x-2 | = | | +2 | |
| x2 | = | 2 |
L={
Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)
Beispiel:
Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3x2+6x
Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.
Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden
| 3x2+6x | = | ||
| 3x(x+2) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x+2 | = | | -2 | |
| x2 | = | -2 |
L={
-2;
Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+02 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.
Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = 3⋅(-1)2+6⋅(-1) = 3-6 = -3.
Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-3).
x²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x2+10x+3.
1. Weg
f(x)= x2+10x+3
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x2+10x) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
= x2+10x+25-25+3
= (x+5)2-25+3
= (x+5)2-22
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-22).
2. Weg
Wir betrachten nun nur x2+10x. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x2+10x+3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von x2+10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| x2+10x | = | ||
| x(x+10) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x+10 | = | | -10 | |
| x2 | = | -10 |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).
f(-5) = (-5)2+10⋅(-5)+3 = 25-50+3 = -22
also: S(-5|-22).
ax²+bx+c -> Scheitelform
Beispiel:
Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x2+6x+1.
1. Weg
f(x)= x2+6x+1
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x2+6x) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
= x2+6x+9-9+1
= x2+6x+9+1·(-9)+1
= (x+3)2-9+1
= (x+3)2-8
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-8).
2. Weg
Wir betrachten nun nur x2+6x. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x2+6x+1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.
Von x2+6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| x2+6x | = | ||
| x(x+6) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| x+6 | = | | -6 | |
| x2 | = | -6 |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).
f(-3) = (-3)2+6⋅(-3)+1 = 9-18+1 = -8
also: S(-3|-8).
Extremwertaufgaben (Anwend.)
Beispiel:
Die Summe zweier Zahlen ist 10 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.
1. Weg
f(x)= -x2+10x
= -(x2-10x)
Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x2-10x) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.
= -(x2-10x+25-25)
= -(x2-10x+25)-1·(-25)
= -(x-5)2+25
= -(x-5)2+25
Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|25).
2. Weg
Von -x2+10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.
| -x2+10x | = | ||
| x(-x+10) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| -x+10 | = | | -10 | |
| -x | = | -10 | |:(-1) |
| x2 | = | 10 |
Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).
f(5) = -52+10⋅5 = -25+50 = 25
also: S(5|25).
Für x=5 bekommen wir also mit 25 einen extremalen Wert von -x2+10x