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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +9x = 0
x ( x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +9 = 0 | -9
x2 = -9

L={ -9 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -8x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -8x = 0
2 x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 2⋅ 2 2 -8⋅2 = 8 -16 = -8.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-8).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +4x +5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +4x +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +4x +4 -4 +5

= ( x +2 ) 2 -4 +5

= ( x +2 ) 2 +1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +4x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +4x = 0
x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = ( -2 ) 2 +4⋅( -2 ) +5 = 4 -8 +5 = 1

also: S(-2|1).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 -18x -1 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 -18x -1

= 3( x 2 -6x ) -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 -6x +9 -9 ) -1

= 3( x 2 -6x +9 ) + 3 · ( -9 ) -1

= 3 ( x -3 ) 2 -27 -1

= 3 ( x -3 ) 2 -28

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-28).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 -18x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 -18x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 -18x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 -18x = 0
3 x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = 3⋅ 3 2 -18⋅3 -1 = 27 -54 -1 = -28

also: S(3|-28).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 100 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +50x

= -( x 2 -50x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -50x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -50x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -25 zu 625. Diese 625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -50x +625 -625 )

= -( x 2 -50x +625 ) -1 · ( -625 )

= - ( x -25 ) 2 +625

= - ( x -25 ) 2 +625

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(25|625).


2. Weg

Von - x 2 +50x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +50x = 0
x ( -x +50 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +50 = 0 | -50
-x = -50 |:(-1 )
x2 = 50

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(25|f(25)).

f(25) = - 25 2 +50⋅25 = -625 +1250 = 625

also: S(25|625).


Für x=25 bekommen wir also mit 625 einen extremalen Wert von - x 2 +50x