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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} + 8 x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

L={ $- 8$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $x^{2} + 4 x$

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-4+0}{2}$ = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = ${(- 2)}^{2} + 4 \cdot (- 2)$ = $4 - 8$ = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-4 und x₂=0 , Scheitel: S(-2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$ .

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1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 1$

= ${(x + 1)}^{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|0).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1$ = $1 - 2 + 1$ = 0

also: S(-1|0).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 8 x - 1$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$f(x) =$ $2 x^{2} - 8 x - 1$

= $2 (x^{2} - 4 x) - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} - 4 x + 4 - 4) - 1$

= $2 (x^{2} - 4 x + 4) + 2 \cdot (- 4) - 1$

= $2 {(x - 2)}^{2} - 8 - 1$

= $2 {(x - 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} - 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} - 8 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} - 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} - 8 x$	=	0
$2 x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = $2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 - 1$ = $8 - 16 - 1$ = -9

also: S(2|-9).

Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang $180$ cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

$f(x) =$ $- x^{2} + 90 x$

= $- (x^{2} - 90 x)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 90 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 90 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -45 zu 2025. Diese 2025 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2025, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $- (x^{2} - 90 x + 2025 - 2025)$

= $- (x^{2} - 90 x + 2025) - 1 \cdot (- 2025)$

= $- {(x - 45)}^{2} + 2 025$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(45|2025).

2. Weg

Von $- x^{2} + 90 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$- x^{2} + 90 x$	=	0
$x (- x + 90)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 90$	=	0	\| $- 90$
$- x$	=	$- 90$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$90$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(45|f(45)).

f(45) = $- 45^{2} + 90 \cdot 45$ = $- 2 025 + 4 050$ = 2025

also: S(45|2025).

Für x=45 bekommen wir also mit 2025 einen extremalen Wert von $- x^{2} + 90 x$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

Extremwertaufgaben (Anwend.)

1. Weg

2. Weg