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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 - x = 0
x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +5x = 0
x · ( x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +5 = 0 | -5
x2 = -5

L={ -5 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -5+0 2 = -2.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2.5|f(-2.5)) mit f(-2.5) = ( -2,5 ) 2 +5⋅( -2,5 ) = 6,25 -12,5 = -6.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-5 und x2=0 , Scheitel: S(-2.5|-6.25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -6x -1 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -6x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 -1

= ( x -3 ) 2 -9 -1

= ( x -3 ) 2 -10

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-10).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x · ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|f(3)).

f(3) = 3 2 -6⋅3 -1 = 9 -18 -1 = -10

also: S(3|-10).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +4x -4 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +4x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +4x +4 -4 -4

= x 2 +4x +4 + 1 · ( -4 ) -4

= ( x +2 ) 2 -4 -4

= ( x +2 ) 2 -8

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-8).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +4x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +4x = 0
x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = ( -2 ) 2 +4⋅( -2 ) -4 = 4 -8 -4 = -8

also: S(-2|-8).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 280 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +140x

= -( x 2 -140x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -140x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -140x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -70 zu 4900. Diese 4900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -140x +4900 -4900 )

= -( x 2 -140x +4900 ) -1 · ( -4900 )

= - ( x -70 ) 2 +4900

= - ( x -70 ) 2 +4900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(70|4900).


2. Weg

Von - x 2 +140x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +140x = 0
x · ( -x +140 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +140 = 0 | -140
-x = -140 |:(-1 )
x2 = 140

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(70|f(70)).

f(70) = - 70 2 +140⋅70 = -4900 +9800 = 4900

also: S(70|4900).


Für x=70 bekommen wir also mit 4900 einen extremalen Wert von - x 2 +140x