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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -9x = 0
x ( 2x -9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x -9 = 0 | +9
2x = 9 |:2
x2 = 9 2 = 4.5

L={0; 9 2 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 -16x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 -16x = 0
4 x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 4⋅ 2 2 -16⋅2 = 16 -32 = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-16).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x +5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -8x +5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 +5

= ( x -4 ) 2 -16 +5

= ( x -4 ) 2 -11

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-11).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x +5 nur um 5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 +5 = 16 -32 +5 = -11

also: S(4|-11).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +30x -1 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 +30x -1

= 3( x 2 +10x ) -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 +10x +25 -25 ) -1

= 3( x 2 +10x +25 ) + 3 · ( -25 ) -1

= 3 ( x +5 ) 2 -75 -1

= 3 ( x +5 ) 2 -76

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-76).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 +30x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 +30x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 +30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 +30x = 0
3 x ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 3⋅ ( -5 ) 2 +30⋅( -5 ) -1 = 75 -150 -1 = -76

also: S(-5|-76).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 10 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +10x

= -( x 2 -10x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -10x +25 -25 )

= -( x 2 -10x +25 ) -1 · ( -25 )

= - ( x -5 ) 2 +25

= - ( x -5 ) 2 +25

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|25).


2. Weg

Von - x 2 +10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +10x = 0
x ( -x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +10 = 0 | -10
-x = -10 |:(-1 )
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = - 5 2 +10⋅5 = -25 +50 = 25

also: S(5|25).


Für x=5 bekommen wir also mit 25 einen extremalen Wert von - x 2 +10x