nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -2x

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -2x = 0
x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 -3x

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 -3x = 0
3 x · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+1 2 = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|f(0.5)) mit f(0.5) = 3⋅ 0,5 2 -3⋅0,5 = 0,75 -1,5 = -0.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=1 , Scheitel: S(0.5|-0.75).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x -5 .

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= x 2 -10x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 -5

= ( x -5 ) 2 -25 -5

= ( x -5 ) 2 -30

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-30).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x · ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 5 2 -10⋅5 -5 = 25 -50 -5 = -30

also: S(5|-30).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +8x +2 .

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= x 2 +8x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 +2

= x 2 +8x +16 + 1 · ( -16 ) +2

= ( x +4 ) 2 -16 +2

= ( x +4 ) 2 -14

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-14).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x · ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = ( -4 ) 2 +8⋅( -4 ) +2 = 16 -32 +2 = -14

also: S(-4|-14).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 120 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= - x 2 +120x

= -( x 2 -120x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -120x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -120x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -60 zu 3600. Diese 3600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 3600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -120x +3600 -3600 )

= -( x 2 -120x +3600 ) -1 · ( -3600 )

= - ( x -60 ) 2 +3600

= - ( x -60 ) 2 +3600

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(60|3600).


2. Weg

Von - x 2 +120x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +120x = 0
x · ( -x +120 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +120 = 0 | -120
-x = -120 |:(-1 )
x2 = 120

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(60|f(60)).

f(60) = - 60 2 +120⋅60 = -3600 +7200 = 3600

also: S(60|3600).


Für x=60 bekommen wir also mit 3600 einen extremalen Wert von - x 2 +120x