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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + x$

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} + x$	=	0
$x (2 x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$2 x + 1$	=	0	\| $- 1$
$2 x$	=	$- 1$	\|: $2$
x₂	=	$- \frac{1}{2}$ = -0.5

L={ $- \frac{1}{2}$ ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
$f(x) =$ $2 x^{2} + 4 x$

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen $\frac{-2+0}{2}$ = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1)$ = $2 - 4$ = -2.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x₁=-2 und x₂=0 , Scheitel: S(-1|-2).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$ .

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1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$f(x) =$ $x^{2} + 2 x + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 + 3$

= $x^{2} + 2 x + 1 + 1 \cdot (- 1) + 3$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 + 3$

= ${(x + 1)}^{2} + 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) + 3$ = $1 - 2 + 3$ = 2

also: S(-1|2).

Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Zaun der Länge $24$ soll zusammen mit einer sehr langen Scheunenwand eine rechteckige Fläche einzäunen. Wie lang muss man die beiden Stücke zur Scheune hin wählen damit das Rechteck möglichst groß wird?

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1. Weg

$f(x) =$ $- 2 x^{2} + 24 x$

= $- 2 (x^{2} - 12 x)$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 12 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 12 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -6 zu 36. Diese 36 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 36, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $- 2 (x^{2} - 12 x + 36 - 36)$

= $- 2 (x^{2} - 12 x + 36) - 2 \cdot (- 36)$

= $- 2 {(x - 6)}^{2} + 72$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(6|72).

2. Weg

Von $- 2 x^{2} + 24 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$- 2 x^{2} + 24 x$	=	0
$2 x (- x + 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- x$	=	$- 12$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$12$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(6|f(6)).

f(6) = $- 2 \cdot 6^{2} + 24 \cdot 6$ = $- 72 + 144$ = 72

also: S(6|72).

Für x=6 bekommen wir also mit 72 einen extremalen Wert von $- 2 x^{2} + 24 x$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Nullstellen mit Nullprodukt

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

Extremwertaufgaben (Anwend.)

1. Weg

2. Weg