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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 -8x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 -8x = 0
2 x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

L={0; 6 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+6 2 = 3 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(3|f(3)) mit f(3) = 3 2 -6⋅3 = 9 -18 = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=6 , Scheitel: S(3|-9).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 +2

= ( x -1 ) 2 -1 +2

= ( x -1 ) 2 +1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 +2 = 1 -2 +2 = 1

also: S(1|1).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -2x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 -5

= x 2 -2x +1 + 1 · ( -1 ) -5

= ( x -1 ) 2 -1 -5

= ( x -1 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 -5 = 1 -2 -5 = -6

also: S(1|-6).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 60 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +60x

= -( x 2 -60x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -60x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -60x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -30 zu 900. Diese 900 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 900, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -60x +900 -900 )

= -( x 2 -60x +900 ) -1 · ( -900 )

= - ( x -30 ) 2 +900

= - ( x -30 ) 2 +900

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(30|900).


2. Weg

Von - x 2 +60x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +60x = 0
x ( -x +60 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +60 = 0 | -60
-x = -60 |:(-1 )
x2 = 60

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(30|f(30)).

f(30) = - 30 2 +60⋅30 = -900 +1800 = 900

also: S(30|900).


Für x=30 bekommen wir also mit 900 einen extremalen Wert von - x 2 +60x