nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 -5x

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 -5x = 0
5 x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +8x

Lösung einblenden

Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

L={ -8 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -8+0 2 = -4 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-4|f(-4)) mit f(-4) = ( -4 ) 2 +8⋅( -4 ) = 16 -32 = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-8 und x2=0 , Scheitel: S(-4|-16).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x +4 .

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= x 2 -8x +4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 +4

= ( x -4 ) 2 -16 +4

= ( x -4 ) 2 -12

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-12).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x +4 nur um 4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 +4 = 16 -32 +4 = -12

also: S(4|-12).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +4x -2 .

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +4x -2

= 1 2 ( x 2 +8x ) -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +8x +16 -16 ) -2

= 1 2 ( x 2 +8x +16 ) + 1 2 · ( -16 ) -2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -8 -2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -10

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-10).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +4x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +4x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +4x ) = 0
x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = 1 2 ⋅ ( -4 ) 2 +4⋅( -4 ) -2 = 8 -16 -2 = -10

also: S(-4|-10).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 60 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

Lösung einblenden

1. Weg

f(x)= - x 2 +30x

= -( x 2 -30x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -30x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -30x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -15 zu 225. Diese 225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -30x +225 -225 )

= -( x 2 -30x +225 ) -1 · ( -225 )

= - ( x -15 ) 2 +225

= - ( x -15 ) 2 +225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(15|225).


2. Weg

Von - x 2 +30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +30x = 0
x ( -x +30 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +30 = 0 | -30
-x = -30 |:(-1 )
x2 = 30

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(15|f(15)).

f(15) = - 15 2 +30⋅15 = -225 +450 = 225

also: S(15|225).


Für x=15 bekommen wir also mit 225 einen extremalen Wert von - x 2 +30x