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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +7x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +7x = 0
x · ( x +7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +7 = 0 | -7
x2 = -7

L={ -7 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +6x = 0
x · ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

L={ -6 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -6+0 2 = -3 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-3|f(-3)) mit f(-3) = ( -3 ) 2 +6⋅( -3 ) = 9 -18 = -9.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-6 und x2=0 , Scheitel: S(-3|-9).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -3 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +2x -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 -3

= ( x +1 ) 2 -1 -3

= ( x +1 ) 2 -4

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-4).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) -3 = 1 -2 -3 = -4

also: S(-1|-4).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +5x -3 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +5x -3

= 1 2 ( x 2 +10x ) -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +10x +25 -25 ) -3

= 1 2 ( x 2 +10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) -3

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 25 2 -3

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 31 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-15.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +5x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +5x ) = 0
x 2 +10x = 0
x · ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 1 2 ⋅ ( -5 ) 2 +5⋅( -5 ) -3 = 25 2 -25 -3 = -15.5

also: S(-5|-15.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 320 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +160x

= -( x 2 -160x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -160x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -160x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -80 zu 6400. Diese 6400 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 6400, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -160x +6400 -6400 )

= -( x 2 -160x +6400 ) -1 · ( -6400 )

= - ( x -80 ) 2 +6400

= - ( x -80 ) 2 +6400

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(80|6400).


2. Weg

Von - x 2 +160x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +160x = 0
x · ( -x +160 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +160 = 0 | -160
-x = -160 |:(-1 )
x2 = 160

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(80|f(80)).

f(80) = - 80 2 +160⋅80 = -6400 +12800 = 6400

also: S(80|6400).


Für x=80 bekommen wir also mit 6400 einen extremalen Wert von - x 2 +160x