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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 -5x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 -5x = 0
5 x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 3 x 2 -9x

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Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

3 x 2 -9x = 0
3 x ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={0; 3 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+3 2 = 1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1.5|f(1.5)) mit f(1.5) = 3⋅ 1.5 2 -9⋅1.5 = 6,75 -13,5 = -6.75.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=3 , Scheitel: S(1.5|-6.75).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -1 .

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1. Weg

x 2 -2x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -2x +1 -1 -1

= ( x -1 ) 2 -1 -1

= ( x -1 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -2x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 1 2 -2⋅1 -1 = 1 -2 -1 = -2

also: S(1|-2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 -5x +1 .

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1. Weg

1 2 x 2 -5x +1

= 1 2 ( x 2 -10x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 -10x +25 -25 ) +1

= 1 2 ( x 2 -10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) +1

= 1 2 ( x -5 ) 2 - 25 2 +1

= 1 2 ( x -5 ) 2 - 23 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-11.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 -5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 -5x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 -5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 -5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 -5x ) = 0
x 2 -10x = 0
x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 1 2 ⋅ 5 2 -5⋅5 +1 = 25 2 -25 +1 = -11.5

also: S(5|-11.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 110 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

- x 2 +110x

= -( x 2 -110x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -110x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -110x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -55 zu 3025. Diese 3025 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 3025, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -110x +3025 -3025 )

= -( x 2 -110x +3025 ) -1 · ( -3025 )

= - ( x -55 ) 2 +3025

= - ( x -55 ) 2 +3025

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(55|3025).


2. Weg

Von - x 2 +110x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +110x = 0
- x ( x -110 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -110 = 0 | +110
x2 = 110

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(55|f(55)).

f(55) = - 55 2 +110⋅55 = -3025 +6050 = 3025

also: S(55|3025).


Für x=55 bekommen wir also mit 3025 einen extremalen Wert von - x 2 +110x