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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +9x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +9x = 0
x · ( x +9 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +9 = 0 | -9
x2 = -9

L={ -9 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+0 2 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|f(-1)) mit f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +4x -5 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +4x -5

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +4x +4 -4 -5

= ( x +2 ) 2 -4 -5

= ( x +2 ) 2 -9

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +4x -5 nur um -5 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +4x = 0
x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|f(-2)).

f(-2) = ( -2 ) 2 +4⋅( -2 ) -5 = 4 -8 -5 = -9

also: S(-2|-9).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 -4x -4 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 -4x -4

= 2( x 2 -2x ) -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 -2x +1 -1 ) -4

= 2( x 2 -2x +1 ) + 2 · ( -1 ) -4

= 2 ( x -1 ) 2 -2 -4

= 2 ( x -1 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 -4x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 -4x = 0
2 x · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|f(1)).

f(1) = 2⋅ 1 2 -4⋅1 -4 = 2 -4 -4 = -6

also: S(1|-6).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 320 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +160x

= -( x 2 -160x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -160x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -160x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -80 zu 6400. Diese 6400 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 6400, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -160x +6400 -6400 )

= -( x 2 -160x +6400 ) -1 · ( -6400 )

= - ( x -80 ) 2 +6400

= - ( x -80 ) 2 +6400

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(80|6400).


2. Weg

Von - x 2 +160x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +160x = 0
x · ( -x +160 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +160 = 0 | -160
-x = -160 |:(-1 )
x2 = 160

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(80|f(80)).

f(80) = - 80 2 +160⋅80 = -6400 +12800 = 6400

also: S(80|6400).


Für x=80 bekommen wir also mit 6400 einen extremalen Wert von - x 2 +160x