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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 - x = 0
x ( 5x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

5x -1 = 0 | +1
5x = 1 |:5
x2 = 1 5 = 0.2

L={0; 1 5 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 +4x = 0
4 x ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -1+0 2 = -0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-0.5|f(-0.5)) mit f(-0.5) = 4⋅ ( -0,5 ) 2 +4⋅( -0,5 ) = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-1 und x2=0 , Scheitel: S(-0.5|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -4x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -4x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -4x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -4x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -4x +4 -4 +2

= ( x -2 ) 2 -4 +2

= ( x -2 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(2|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -4x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(2|f(2)).

f(2) = 2 2 -4⋅2 +2 = 4 -8 +2 = -2

also: S(2|-2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 + x +3 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 + x +3

= 1 2 ( x 2 +2x ) +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +2x +1 -1 ) +3

= 1 2 ( x 2 +2x +1 ) + 1 2 · ( -1 ) +3

= 1 2 ( x +1 ) 2 - 1 2 +3

= 1 2 ( x +1 ) 2 + 5 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|2.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 + x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 + x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 + x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 + x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 + x ) = 0
x 2 +2x = 0
x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = 1 2 ⋅ ( -1 ) 2 -1 +3 = 1 2 -1 +3 = 2.5

also: S(-1|2.5).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 100 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +100x

= -( x 2 -100x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -100x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -100x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -50 zu 2500. Diese 2500 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 2500, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -100x +2500 -2500 )

= -( x 2 -100x +2500 ) -1 · ( -2500 )

= - ( x -50 ) 2 +2500

= - ( x -50 ) 2 +2500

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(50|2500).


2. Weg

Von - x 2 +100x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +100x = 0
x ( -x +100 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +100 = 0 | -100
-x = -100 |:(-1 )
x2 = 100

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(50|f(50)).

f(50) = - 50 2 +100⋅50 = -2500 +5000 = 2500

also: S(50|2500).


Für x=50 bekommen wir also mit 2500 einen extremalen Wert von - x 2 +100x