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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 +5x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 +5x = 0
5 x · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

L={ -1 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -4x = 0
x · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|f(2)) mit f(2) = 2 2 -4⋅2 = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x -2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -8x -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -2

= ( x -4 ) 2 -16 -2

= ( x -4 ) 2 -18

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x · ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 -2 = 16 -32 -2 = -18

also: S(4|-18).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +10x -2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +10x -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +10x +25 -25 -2

= x 2 +10x +25 + 1 · ( -25 ) -2

= ( x +5 ) 2 -25 -2

= ( x +5 ) 2 -27

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-27).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +10x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +10x = 0
x · ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = ( -5 ) 2 +10⋅( -5 ) -2 = 25 -50 -2 = -27

also: S(-5|-27).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 60 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +30x

= -( x 2 -30x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -30x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -30x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -15 zu 225. Diese 225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -30x +225 -225 )

= -( x 2 -30x +225 ) -1 · ( -225 )

= - ( x -15 ) 2 +225

= - ( x -15 ) 2 +225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(15|225).


2. Weg

Von - x 2 +30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +30x = 0
x · ( -x +30 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +30 = 0 | -30
-x = -30 |:(-1 )
x2 = 30

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(15|f(15)).

f(15) = - 15 2 +30⋅15 = -225 +450 = 225

also: S(15|225).


Für x=15 bekommen wir also mit 225 einen extremalen Wert von - x 2 +30x