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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 5 x 2 +3x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

5 x 2 +3x = 0
x ( 5x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

5x +3 = 0 | -3
5x = -3 |:5
x2 = - 3 5 = -0.6

L={ - 3 5 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -2x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

L={0; 2 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+2 2 = 1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1|f(1)) mit f(1) = 1 2 -2⋅1 = 1 -2 = -1.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=2 , Scheitel: S(1|-1).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x -2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -8x -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -2

= ( x -4 ) 2 -16 -2

= ( x -4 ) 2 -18

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-18).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 -2 = 16 -32 -2 = -18

also: S(4|-18).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 +24x -2 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 +24x -2

= 3( x 2 +8x ) -2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 +8x +16 -16 ) -2

= 3( x 2 +8x +16 ) + 3 · ( -16 ) -2

= 3 ( x +4 ) 2 -48 -2

= 3 ( x +4 ) 2 -50

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-50).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 +24x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 +24x -2 nur um -2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 +24x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 +24x = 0
3 x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = 3⋅ ( -4 ) 2 +24⋅( -4 ) -2 = 48 -96 -2 = -50

also: S(-4|-50).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 240 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +120x

= -( x 2 -120x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -120x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -120x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -60 zu 3600. Diese 3600 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 3600, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -120x +3600 -3600 )

= -( x 2 -120x +3600 ) -1 · ( -3600 )

= - ( x -60 ) 2 +3600

= - ( x -60 ) 2 +3600

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(60|3600).


2. Weg

Von - x 2 +120x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +120x = 0
x ( -x +120 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +120 = 0 | -120
-x = -120 |:(-1 )
x2 = 120

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(60|f(60)).

f(60) = - 60 2 +120⋅60 = -3600 +7200 = 3600

also: S(60|3600).


Für x=60 bekommen wir also mit 3600 einen extremalen Wert von - x 2 +120x