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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 - x = 0
x ( 2x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x -1 = 0 | +1
2x = 1 |:2
x2 = 1 2 = 0.5

L={0; 1 2 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 - x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 - x = 0
x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

L={0; 1 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+1 2 = 0.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(0.5|f(0.5)) mit f(0.5) = 0,5 2 - 0,5 = 0,25 -0,5 = -0.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=1 , Scheitel: S(0.5|-0.25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x -3 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -8x -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16 -3

= ( x -4 ) 2 -16 -3

= ( x -4 ) 2 -19

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-19).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -8x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|f(4)).

f(4) = 4 2 -8⋅4 -3 = 16 -32 -3 = -19

also: S(4|-19).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +12x -3 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 +12x -3

= 2( x 2 +6x ) -3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +6x +9 -9 ) -3

= 2( x 2 +6x +9 ) + 2 · ( -9 ) -3

= 2 ( x +3 ) 2 -18 -3

= 2 ( x +3 ) 2 -21

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-21).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +12x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +12x -3 nur um -3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +12x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +12x = 0
2 x ( x +6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +6 = 0 | -6
x2 = -6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|f(-3)).

f(-3) = 2⋅ ( -3 ) 2 +12⋅( -3 ) -3 = 18 -36 -3 = -21

also: S(-3|-21).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 50 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +50x

= -( x 2 -50x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -50x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -50x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -25 zu 625. Diese 625 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 625, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -50x +625 -625 )

= -( x 2 -50x +625 ) -1 · ( -625 )

= - ( x -25 ) 2 +625

= - ( x -25 ) 2 +625

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(25|625).


2. Weg

Von - x 2 +50x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +50x = 0
x ( -x +50 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +50 = 0 | -50
-x = -50 |:(-1 )
x2 = 50

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(25|f(25)).

f(25) = - 25 2 +50⋅25 = -625 +1250 = 625

also: S(25|625).


Für x=25 bekommen wir also mit 625 einen extremalen Wert von - x 2 +50x