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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 2 x 2 +3x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +3x = 0
x ( 2x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x +3 = 0 | -3
2x = -3 |:2
x2 = - 3 2 = -1.5

L={ - 3 2 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= 4 x 2 +16x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

4 x 2 +16x = 0
4 x ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -4+0 2 = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = 4⋅ ( -2 ) 2 +16⋅( -2 ) = 16 -32 = -16.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-4 und x2=0 , Scheitel: S(-2|-16).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +2 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -10x +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 +2

= ( x -5 ) 2 -25 +2

= ( x -5 ) 2 -23

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-23).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 5 2 -10⋅5 +2 = 25 -50 +2 = -23

also: S(5|-23).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 1 2 x 2 +4x +2 .

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1. Weg

f(x)= 1 2 x 2 +4x +2

= 1 2 ( x 2 +8x ) +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +8x +16 -16 ) +2

= 1 2 ( x 2 +8x +16 ) + 1 2 · ( -16 ) +2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -8 +2

= 1 2 ( x +4 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +4x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +4x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +4x ) = 0
x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|f(-4)).

f(-4) = 1 2 ⋅ ( -4 ) 2 +4⋅( -4 ) +2 = 8 -16 +2 = -6

also: S(-4|-6).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 130 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +130x

= -( x 2 -130x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -130x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -130x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -65 zu 4225. Diese 4225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -130x +4225 -4225 )

= -( x 2 -130x +4225 ) -1 · ( -4225 )

= - ( x -65 ) 2 +4225

= - ( x -65 ) 2 +4225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(65|4225).


2. Weg

Von - x 2 +130x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +130x = 0
x ( -x +130 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +130 = 0 | -130
-x = -130 |:(-1 )
x2 = 130

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(65|f(65)).

f(65) = - 65 2 +130⋅65 = -4225 +8450 = 4225

also: S(65|4225).


Für x=65 bekommen wir also mit 4225 einen extremalen Wert von - x 2 +130x