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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +4x = 0
x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +4x = 0
x · ( x +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +4 = 0 | -4
x2 = -4

L={ -4 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -4+0 2 = -2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-2|f(-2)) mit f(-2) = ( -2 ) 2 +4⋅( -2 ) = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-4 und x2=0 , Scheitel: S(-2|-4).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 +2x -1 .

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1. Weg

f(x)= x 2 +2x -1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +2x +1 -1 -1

= ( x +1 ) 2 -1 -1

= ( x +1 ) 2 -2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +2x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +2x -1 nur um -1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +2x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +2x = 0
x · ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|f(-1)).

f(-1) = ( -1 ) 2 +2⋅( -1 ) -1 = 1 -2 -1 = -2

also: S(-1|-2).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 3 x 2 -30x +2 .

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1. Weg

f(x)= 3 x 2 -30x +2

= 3( x 2 -10x ) +2

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 3( x 2 -10x +25 -25 ) +2

= 3( x 2 -10x +25 ) + 3 · ( -25 ) +2

= 3 ( x -5 ) 2 -75 +2

= 3 ( x -5 ) 2 -73

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-73).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 3 x 2 -30x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 3 x 2 -30x +2 nur um 2 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 3 x 2 -30x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

3 x 2 -30x = 0
3 x · ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 3⋅ 5 2 -30⋅5 +2 = 75 -150 +2 = -73

also: S(5|-73).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang 140 cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Rechtecks am größten wird.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +70x

= -( x 2 -70x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -70x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -70x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -35 zu 1225. Diese 1225 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1225, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -70x +1225 -1225 )

= -( x 2 -70x +1225 ) -1 · ( -1225 )

= - ( x -35 ) 2 +1225

= - ( x -35 ) 2 +1225

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(35|1225).


2. Weg

Von - x 2 +70x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +70x = 0
x · ( -x +70 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +70 = 0 | -70
-x = -70 |:(-1 )
x2 = 70

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(35|f(35)).

f(35) = - 35 2 +70⋅35 = -1225 +2450 = 1225

also: S(35|1225).


Für x=35 bekommen wir also mit 1225 einen extremalen Wert von - x 2 +70x