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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -6x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -6x = 0
x · ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

L={0; 6 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
f(x)= x 2 -3x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach f(x) = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -3x = 0
x · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x2 = 3

L={0; 3 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+3 2 = 1.5 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(1.5|f(1.5)) mit f(1.5) = 1,5 2 -3⋅1,5 = 2,25 -4,5 = -2.25.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=3 , Scheitel: S(1.5|-2.25).

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= x 2 -10x -4 .

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1. Weg

f(x)= x 2 -10x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -10x +25 -25 -4

= ( x -5 ) 2 -25 -4

= ( x -5 ) 2 -29

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(5|-29).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -10x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -10x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -10x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -10x = 0
x · ( x -10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -10 = 0 | +10
x2 = 10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(5|f(5)).

f(5) = 5 2 -10⋅5 -4 = 25 -50 -4 = -29

also: S(5|-29).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit f(x)= 2 x 2 +20x +1 .

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1. Weg

f(x)= 2 x 2 +20x +1

= 2( x 2 +10x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +10x +25 -25 ) +1

= 2( x 2 +10x +25 ) + 2 · ( -25 ) +1

= 2 ( x +5 ) 2 -50 +1

= 2 ( x +5 ) 2 -49

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-49).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +20x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +20x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +20x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +20x = 0
2 x · ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|f(-5)).

f(-5) = 2⋅ ( -5 ) 2 +20⋅( -5 ) +1 = 50 -100 +1 = -49

also: S(-5|-49).


Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist 40 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

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1. Weg

f(x)= - x 2 +40x

= -( x 2 -40x )

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -40x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -40x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -20 zu 400. Diese 400 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 400, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= -( x 2 -40x +400 -400 )

= -( x 2 -40x +400 ) -1 · ( -400 )

= - ( x -20 ) 2 +400

= - ( x -20 ) 2 +400

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(20|400).


2. Weg

Von - x 2 +40x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

- x 2 +40x = 0
x · ( -x +40 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +40 = 0 | -40
-x = -40 |:(-1 )
x2 = 40

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(20|f(20)).

f(20) = - 20 2 +40⋅20 = -400 +800 = 400

also: S(20|400).


Für x=20 bekommen wir also mit 400 einen extremalen Wert von - x 2 +40x