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Term aus Schaubild (einfach)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man eine verschobene Normalparabel. Bestimme den Funktionsterm der zugehörigen quadratischen Funktion.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(0|-1) liegt.

Die Parabel ist also um -1 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $y =$ $x^{2} + e$ , in diesem Fall mit e= -1.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $y =$ $x^{2} - 1$ .

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 1$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ $x^{2} - 1$ ist ein Spezialfall von $x^{2} + e$ . Der kleinste Wert wird dabei also bei x=0 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=-1. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(0|-1).

Term aus Schaubild - Normalparabel

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer verschobenen Normalparabel. Bestimme deren Funktionsterm.

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Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der verschobenen Normalparabel bei S(1|-5) liegt.

Eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x - d)}^{2} + e$ .

Weil ${(x - d)}^{2}$ nie kleiner Null werden kann, muss der kleinste Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x - d)}^{2}$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu ${(x - d)}^{2}$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die verschobene Normalparabel nach oben geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= ${(x - 1)}^{2} - 5$ .

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x - 5)}^{2} + 2$ ist eine quadratische Funktion. Ihr Graph ist eine Parabel. Bestimme den Scheitel.

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Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x - 5)}^{2} + 2$ ist ein Spezialfall von ${(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=5 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 2. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(5|2).

Weiterer Wert bei Normalparabel

Beispiel:

Der Punkt P(-4|y) liegt auf einer nach oben geöffneten verschobenen Normalparabel mit Scheitel S(-3|-5). Bestimme die y-Koordinate von P.

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1. Weg

Eine nach oben geöffnete verschobene Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $y =$ ${(x - d)}^{2} + e$ .

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $y =$ ${(x + 3)}^{2} - 5$ sein.

Setzt man nun x=-4 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${(- 4 + 3)}^{2} - 5$ = $1 - 5$ = $- 4$ .

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine verschobene Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = -5+1 = -4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-4|-4).

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Term aus Schaubild (einfach)

Scheitel von (x-d)² oder x²+e ablesen

Term aus Schaubild - Normalparabel

Scheitel von (x-d)²+e ablesen

Weiterer Wert bei Normalparabel

1. Weg

2. Weg