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Volumen bei rechteckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den Kantenlängen a = 9 m und b = 3 m, sowie die Höhe h = 11 m.
Berechne ihr Volumen.

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Zuerst berechnen wir die rechteckige Bodenfläche als Grundfläche:

G = a ⋅ b = 9 m ⋅ 3 m = 27 m²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 27 m² ⋅ 11 m ≈ 99 m³

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

Eine Pyramide hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a = 8 cm und b = 3 cm, sowie die Höhe h = 9 cm.
Berechne ihr Volumen.

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Zuerst berechnen wir die Bodenfläche als Grundfläche. Da ja beim rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten jeweils die Höhen zueinander sind, lässt sich der Flächeninhalt sehr einfach berechnen als:

G = $\frac{1}{2}$ a ⋅ b = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 cm ⋅ 3 cm = 12 cm²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 12 cm² ⋅ 9 cm ≈ 36 cm³

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 6 cm, b = 6 cm, h = 7 cm.
Berechne h_b und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 7² + 3 ² = 49 + 9 = 58

Also gilt h_b = $\sqrt{58}$ cm ≈ 7,6 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,62² + 3² = 58,06 + 9 = 67

Also gilt s = $\sqrt{67.06}$ cm ≈ 8,2 cm

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 4 m, s = 8.9 m.
Berechne h und h_b.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ( $\frac{1}{2}$ b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ b)² = h_b ²

h_b² = 8,9² - 2² = 79,21 - 4 = 75,21

Also gilt h_b = $\sqrt{75.21}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 8,67² - 3,5² = 75,21 - 12,25 = 62,96

Also gilt h = $\sqrt{62.96}$ m ≈ 7,9 m

Winkel in Pyramiden

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 cm und h_b = 6.9 cm.
Berechne die Größe des Winkels α.

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Wir sehen, dass der gesuchte Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck liegt, so dass wir den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden zu können:

Die Länge der (gestrichelt dargestellten) Ankathete auf der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt von h und dem von h_b nennen wir d. Dieses d ist ja gerade die Hälfte von a, also gilt d = 3.5 cm.

In dem Dreieck mit dem Winkel α gilt:

cos(α) = $\frac{AK}{Hyp}$ = $\frac{d}{h_{b}}$ = $\frac{3.5}{6.9}$ ≈ 0.51

Somit gilt: α ≈ 59.5°

Volumen und Oberfläche Pyramidenstumpf

Beispiel:

Eine gerade Pyramide mit der quadratischen Grundfläche der Länge a = 8 cm und der Höhe h = 9 cm wird parallel zur Grundfläche abgeschnitten, so dass der verbleibende Pyramidenstumpf nur noch das $\frac{2}{5}$ -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide hat.
Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs.

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Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Da der untere Pyramidenstumpf das $\frac{2}{5}$ -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide hat, muss diese kleine obere Pyramide das $\frac{3}{5}$ -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide, also h' = 5.4 cm, als Höhe haben.

Um auf die Seitenlänge des oberen Schnittquadrats zu kommen, betrachten wir jeweils das rechtwinlige Dreieck, deren Katheten die Höhe und die halbe Bodendiagonale und deren Hypotenuse die Kante s sind, in der ganzen und in der oberen Teilpyramide.

Wegen der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke (oder mit dem 1. Strahlensatz) erkennt man so, dass auch die Kante s von dem Schnittquadrat im Verhältnis $\frac{3}{5}$ : $\frac{2}{5}$ geteilt wird.

Wenn man jetzt die rechte Seitenfläche betrachtet, erkennt man mit dem 2. Strahlensatz, dass sich wenn die Kante im oberen kleinen Teildreck $\frac{3}{5}$ der ganzen Kante s ist, dass dann auch die Seitenlänge des Schnittquadrats $\frac{3}{5}$ der Seitenlänge des Bodenquadrat a=8 cm ist,
also a₂= $\frac{3}{5}$ ⋅ 8 cm = 4.8 cm.

Für das Volumen der ganzen Pyramide gilt:

V₁ = $\frac{1}{3}$ ⋅ G₁ ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 8 cm ⋅ 8 cm ⋅ 9 cm = 192 cm³.

Für das Volumen der kleinen oberen Pyramide gilt:

V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ G₂ ⋅ h₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ a₂ ⋅ a₂ ⋅ h₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 4.8 cm ⋅ 4.8 cm ⋅ 5.4 cm ≈ 41.47 cm³.

Somit gilt für das Volumen des Pyramidenstumpfs :

V = V₁ - V₂ = 192 cm³ - 41.47 cm³ ≈ 150.53 cm³.

Die Oberfläche des Pyramidenstumps besteht aus der Boden- und der Deckelfläche sowie aus 4 kongruenten Seitenflächen.

Die Bodenfläche ist quadratisch und dadurch sehr leicht zu berechnen: A_B = (8 cm)² =64 cm².

Da wir ja inzwischen auch die Seitenlänge der oberen Schnittfläche kennen, ist auch die Deckelfläche leicht zu berechnen:
A_D = (4.8 cm)² =23.04 cm².

Die Seitenflächen haben die Form eines Trapezes. Die Längen der Ober- und Unterkanten kennen wir bereits, somit muss nur noch die Höhe dieses Trapezes berechnet werden.

Dazu berechnen wir zuerst die Höhe der dreieckigen Seitenflächen der vollen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras:

h_b² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²
= (9)² + (4)² = 81 + 16 = 97
also h_b² = $\sqrt{97}$ ≈ 9.85

Auch hier gilt wieder aufgrund des Strahlensatzes, dass die Schnittfläche die Seitenhöhe h_b im Verhältnis $\frac{3}{5}$ : $\frac{2}{5}$ teilt. Somit ist die Trapezhöhe h_T = $\frac{2}{5}$ ⋅ 9.85 ≈ 3.94.

Eingesetzt in Flächeninhaltsformel für ein Trapez:
A_S = $\frac{1}{2}$ (a+a₂) ⋅ h_T
= $\frac{1}{2}$ (8 + 4.8) ⋅ 3.94
= $\frac{1}{2}$ ⋅12.8 ⋅ 3.94
= 6.4 ⋅ 3.94
= 25.216

Damit können wir nun endlich die Obeflächer des Pyramidenstumpfs Berechnen:

O = A_B + A_D + 4 ⋅ A_S
= 64 cm² + 23.04 cm² + 100.864 cm²
≈ 187.9 cm²

Volumen Pyramidenstumpf (schwerer)

Beispiel:

Eine gerade Pyramide mit der quadratischen Grundfläche der Länge a = 9 cm wird parallel zur Grundfläche abgeschnitten. Der verbleibende Pyramidenstumpf hat als Deckelfläche wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge c = 3.6 cm. Die Länge der seitlichen Kanten beträgt k = 4.2 cm.
Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs.

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Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Für die Volumen der beiden Pyramiden benötigen wir jeweils die Höhen. Um die Höhen zu berechnen, müssen wir zuerst die Kantenlänge s der großen ganzen Pyramide bestimmen:
Dazu wenden wir den 2. Strahlensatz in dem rechten Seitendreick an. Als x bezeichnen wir die Länge des Teils der Kante s, das zwischen der Oberseite des Pyramidenstumpfs und der Spitze liegt. Damit gilt:

$\frac{x+k}{x}$ = $\frac{a}{c}$

$\frac{x}{x}$ + $\frac{k}{x}$ = $\frac{a}{c}$

1 + $\frac{k}{x}$ = $\frac{a}{c}$

1 + $\frac{4.2}{x}$ = $\frac{9}{3.6}$ |-1

$\frac{4,2}{x}$ = $1,5$ | ⋅x : 1.5

$\frac{4.2}{1.5}$ = x

Also gilt x = 2.8 cm

Somit ist die gesamte Pyramidenkante s = x + k = 2.8 cm + 4.2 cm = 7 cm.

Jetzt können wir die Höhe h der ganzen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dazu brauchen wir aber erst noch die halbe Diagonale der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt der Höhe und einer der Ecken. Auch diese kann mit Pythagoras berechnet werden:

d² = ( $\frac{a}{2}$ )² + ( $\frac{a}{2}$ )² = $\frac{a²}{4}$ + $\frac{a²}{4}$ = $\frac{a²}{2}$ = $\frac{81}{2}$ = 40.5

Somit gilt d = $\sqrt{40.5}$ cm ≈ 6.36 cm und wir können die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechen.

h² + d² = s² | - d²

h² = s² - d² = 7² - 6.36² = 49 - 40.5 = 8.5

Somit gilt h = $\sqrt{8.5}$ cm ≈ 2.92 cm.

Jetzt können wir das Volumen der ganzen Pyramide berechnen:

V_g = $\frac{1}{3}$ a² ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ 81 cm² ⋅ 2.92 cm ≈ 78.72 cm³

Für die kleine abgeschnittene Pyramide brauchen wir wieder deren Höhe. Wegen dem Strahlensatz oder der Ähnlichkeit der Dreiecke wissen wir, dass die Schnittfläche die Höhe im gleichen Verhältnis $\frac{2.8}{7}$ : $\frac{4.2}{7}$ teilt wie die Kante s.

Also ist die Höhe der kleinen abgeschnittenen Pyramide h' = $\frac{2.8}{7}$ ⋅ 2.92 cm ≈ 1.17 cm und es gilt für das Volumen:

V_k = $\frac{1}{3}$ c² ⋅ h' = $\frac{1}{3}$ ⋅ 12.96 cm² ⋅ 1.17 cm ≈ 5.04 cm³

Damit können wir nun endlich das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

V = V_g - V_k = 78.72 cm³ - 5.04 cm³ = 73.7 cm³

Oberflächenberechnungen

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Oberfläche O = 81,97 cm² und Grundfläche G = 16 cm².
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Höhe der Seitenfläche ha.

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Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantelfläche M berechnen:

Da sich ja die Oberfläche aus Grundfläche und Mantelfläche zusammensetzt, können wir die Mantelfläche dieser Pyramide einfach als Differenz M = O - G bestimmen:

somit gilt: M = O - G = 81,97 cm² - 16 cm² = 65,97 cm²

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 65,97 cm² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$ ⋅ 65,97 cm² = 16.492 cm².

Zum anderen gilt aber auch
A_S =

\frac{1}{2}

a⋅h_a, also: 16.492 cm² =

\frac{1}{2}

a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{2⋅16.49}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Grundfläche G ist ja mit G = 16 cm² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{16}$ cm = 4 cm

somit gilt: h_a = $\frac{32.98}{4}$ cm ≈ 8,25 cm

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 4 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h²

h² = 0² - 2² = 0 - 4 = -4

Also gilt h = $\sqrt{-4}$ cm ≈ NAN cm

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 8,25 cm berechnet.

Volumenberechnungen

Beispiel:

Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundflächenlänge a = 8 cm und Kantenlänge s = 7,55 cm.
Berechne die Höhe der Seitenfläche ha und die Grundfläche G.

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Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$ a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ( $\frac{1}{2}$ a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ( $\frac{1}{2}$ a)² = h_a ²

h_a² = 7,55² - 4² = 57 - 16 = 41

Also gilt h_a = $\sqrt{41}$ cm ≈ 0 cm

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (8 cm)² = 64 cm²

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Volumen bei rechteckigen Pyramide

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Kanten bei einer Pyramide

Winkel in Pyramiden

Volumen und Oberfläche Pyramidenstumpf

Volumen Pyramidenstumpf (schwerer)

Oberflächenberechnungen

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Volumenberechnungen

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Bestimmung der Grundfläche G