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Volumen bei rechteckigen Pyramide

Beispiel:

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Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den Kantenlängen a = 7 m und b = 6 m, sowie die Höhe h = 12 m.
Berechne ihr Volumen.

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Zuerst berechnen wir die rechteckige Bodenfläche als Grundfläche:

G = a ⋅ b = 7 m ⋅ 6 m = 42 m²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = 1 3 G ⋅ h = 1 3 ⋅ 42 m² ⋅ 12 m ≈ 168 m³

Volumen einer dreieckigen Pyramide

Beispiel:

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Eine Pyramide hat als Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a = 8 mm und b = 5 mm, sowie die Höhe h = 9 mm.
Berechne ihr Volumen.

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Zuerst berechnen wir die Bodenfläche als Grundfläche. Da ja beim rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten jeweils die Höhen zueinander sind, lässt sich der Flächeninhalt sehr einfach berechnen als:

G = 1 2 a ⋅ b = 1 2 ⋅ 8 mm ⋅ 5 mm = 20 mm²

,

Jetzt können wir die Volumenformel der Pyramide benutzen:

V = 1 3 G ⋅ h = 1 3 ⋅ 20 mm² ⋅ 9 mm ≈ 60 mm³

Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 7 m, b = 6 m, h = 5 m.
Berechne hb und s.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

hb2 = 52 + 3.52 = 25 + 12.25 = 37.25

Also gilt hb = 37.25 m ≈ 6.1 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 6.12 + 32 = 37.21 + 9 = 49.46

Also gilt s = 46.21 m ≈ 6.8 m

Kanten bei einer Pyramide

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: h = 8 cm, hb = 8.4 cm, s = 8.8 cm.
Berechne a und b.

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Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete 1 2 a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

( 1 2 a)2 = hb2 - h2

( 1 2 a)2 = 8.42 - 82 = 70.56 - 64 = 6.56

Also gilt 1 2 a = 6.56 cm ≈ 2.6 cm

Somit gilt: a ≈ 5.1 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete 1 2 b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s2 = hb2 + ( 1 2 b)2

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

( 1 2 b)2 = s2 - hb2

( 1 2 b)2 = 8.82 - 8.42 = 77.44 - 70.56 = 6.88

Also gilt 1 2 b = 6.88 cm ≈ 2.63 cm

Somit gilt: b ≈ 5.3 cm

Winkel in Pyramiden

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 5 m und h = 6 m.
Berechne die Größe des Winkels α.

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Wir sehen, dass der gesuchte Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck liegt, so dass wir den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden zu können:

Die Länge der (gestrichelt dargestellten) Ankathete auf der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt von h und dem von hb nennen wir d. Dieses d ist ja gerade die Hälfte von a, also gilt d = 2.5 m.

In dem Dreieck mit dem Winkel α gilt:

tan(α) = GK AK = h d = 6 2.5 ≈ 2.4

Somit gilt: α ≈ 67.4°

Volumen und Oberfläche Pyramidenstumpf

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide mit der quadratischen Grundfläche der Länge a = 6 m und der Höhe h = 8 m wird parallel zur Grundfläche abgeschnitten, so dass der verbleibende Pyramidenstumpf nur noch das 7 10 -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide hat.
Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs.

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Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Da der untere Pyramidenstumpf das 7 10 -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide hat, muss diese kleine obere Pyramide das 3 10 -fache der Höhe der ursprünglichen Pyramide, also h' = 2.4 m, als Höhe haben.

Um auf die Seitenlänge des oberen Schnittquadrats zu kommen, betrachten wir jeweils das rechtwinlige Dreieck, deren Katheten die Höhe und die halbe Bodendiagonale und deren Hypotenuse die Kante s sind, in der ganzen und in der oberen Teilpyramide.

Wegen der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke (oder mit dem 1. Strahlensatz) erkennt man so, dass auch die Kante s von dem Schnittquadrat im Verhältnis 3 10 : 7 10 geteilt wird.

Wenn man jetzt die rechte Seitenfläche betrachtet, erkennt man mit dem 2. Strahlensatz, dass sich wenn die Kante im oberen kleinen Teildreck 3 10 der ganzen Kante s ist, dass dann auch die Seitenlänge des Schnittquadrats 3 10 der Seitenlänge des Bodenquadrat a=6 m ist,
also a2= 3 10 ⋅ 6 m = 1.8 m.

Für das Volumen der ganzen Pyramide gilt:

V1 = 1 3 ⋅ G1 ⋅ h = 1 3 ⋅ 6 m ⋅ 6 m ⋅ 8 m = 96 m³.

Für das Volumen der kleinen oberen Pyramide gilt:

V2 = 1 3 ⋅ G2 ⋅ h2 = 1 3 ⋅ a2 ⋅ a2 ⋅ h2 = 1 3 ⋅ 1.8 m ⋅ 1.8 m ⋅ 2.4 m ≈ 2.59 m³.

Somit gilt für das Volumen des Pyramidenstumpfs :

V = V1 - V2 = 96 m³ - 2.59 m³ ≈ 93.41 m³.

Die Oberfläche des Pyramidenstumps besteht aus der Boden- und der Deckelfläche sowie aus 4 kongruenten Seitenflächen.

Die Bodenfläche ist quadratisch und dadurch sehr leicht zu berechnen: AB = (6 m)² =36 m².

Da wir ja inzwischen auch die Seitenlänge der oberen Schnittfläche kennen, ist auch die Deckelfläche leicht zu berechnen:
AD = (1.8 m)² =3.24 m².

Die Seitenflächen haben die Form eines Trapezes. Die Längen der Ober- und Unterkanten kennen wir bereits, somit muss nur noch die Höhe dieses Trapezes berechnet werden.

Dazu berechnen wir zuerst die Höhe der dreieckigen Seitenflächen der vollen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras:

hb2 = h2 + ( 1 2 a)2
= (8)2 + (3)2 = 64 + 9 = 73
also hb2 = 73 ≈ 8.54

Auch hier gilt wieder aufgrund des Strahlensatzes, dass die Schnittfläche die Seitenhöhe hb im Verhältnis 3 10 : 7 10 teilt. Somit ist die Trapezhöhe hT = 7 10 ⋅ 8.54 ≈ 5.98.

Eingesetzt in Flächeninhaltsformel für ein Trapez:
AS = 1 2 (a+a2) ⋅ hT
= 1 2 (6 + 1.8) ⋅ 5.98
= 1 2 ⋅7.8 ⋅ 5.98
= 3.9 ⋅ 5.98
= 23.322

Damit können wir nun endlich die Obeflächer des Pyramidenstumpfs Berechnen:

O = AB + AD + 4 ⋅ AS
= 36 m² + 3.24 m² + 93.288 m²
132.5 m²

Volumen Pyramidenstumpf (schwerer)

Beispiel:

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Eine gerade Pyramide mit der quadratischen Grundfläche der Länge a = 5 m wird parallel zur Grundfläche abgeschnitten. Der verbleibende Pyramidenstumpf hat als Deckelfläche wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge c = 2.5 m. Die Länge der seitlichen Kanten beträgt k = 4.5 m.
Berechne das Volumen des Pyramidenstumpfs.

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Wir berechnen das Volumen des Pyramidenstumpfs als Differenz der Volumen der ganzen (großen) Pyramide und das der kleinen abgeschnittenen oberen Pyramide.

Für die Volumen der beiden Pyramiden benötigen wir jeweils die Höhen. Um die Höhen zu berechnen, müssen wir zuerst die Kantenlänge s der großen ganzen Pyramide bestimmen:
Dazu wenden wir den 2. Strahlensatz in dem rechten Seitendreick an. Als x bezeichnen wir die Länge des Teils der Kante s, das zwischen der Oberseite des Pyramidenstumpfs und der Spitze liegt. Damit gilt:

x+k x = a c

x x + k x = a c

1 + k x = a c

1 + 4.5 x = 5 2.5 |-1

4,5 x = 1 | ⋅x : 1

4.5 1 = x

Also gilt x = 4.5 m

Somit ist die gesamte Pyramidenkante s = x + k = 4.5 m + 4.5 m = 9 m.

Jetzt können wir die Höhe h der ganzen Pyramide mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dazu brauchen wir aber erst noch die halbe Diagonale der Bodenfläche zwischen dem Fußpunkt der Höhe und einer der Ecken. Auch diese kann mit Pythagoras berechnet werden:

d2 = ( a 2 )2 + ( a 2 )2 = 4 + 4 = 2 = 25 2 = 12.5

Somit gilt d = 12.5 m ≈ 3.54 m und wir können die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechen.

h2 + d2 = s2 | - d2

h2 = s2 - d2 = 92 - 3.542 = 81 - 12.5 = 68.5

Somit gilt h = 68.5 m ≈ 8.28 m.

Jetzt können wir das Volumen der ganzen Pyramide berechnen:

Vg = 1 3 a2 ⋅ h = 1 3 ⋅ 25 m² ⋅ 8.28 m ≈ 68.97 m³

Für die kleine abgeschnittene Pyramide brauchen wir wieder deren Höhe. Wegen dem Strahlensatz oder der Ähnlichkeit der Dreiecke wissen wir, dass die Schnittfläche die Höhe im gleichen Verhältnis 4.5 9 : 4.5 9 teilt wie die Kante s.

Also ist die Höhe der kleinen abgeschnittenen Pyramide h' = 4.5 9 ⋅ 8.28 m ≈ 4.14 m und es gilt für das Volumen:

Vk = 1 3 c2 ⋅ h' = 1 3 ⋅ 6.25 m² ⋅ 4.14 m ≈ 8.62 m³

Damit können wir nun endlich das Volumen des Pyramidenstumpfs berechnen:

V = Vg - Vk = 68.97 m³ - 8.62 m³ = 60.3 m³