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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfach mit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V₁ = a⋅b⋅c
= 7 m⋅7 m⋅3 m
= 147 m³

Die draufliegende Pyramide berechnen wir mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

Somit gilt: V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 49 m² ⋅ 3 m
= 49 m³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V₁ + V₂ ≈ 147 m³ + 49 m³ ≈ 196 m³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 9 cm⋅7 cm + 2⋅9 cm⋅9 cm + 2⋅7 cm⋅9 cm
= 63 cm² + 162 cm² + 126 cm²
351 cm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 4,5 cm,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅4,5² cm² ≈ 63,62 cm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=7 cm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =4.5 cm, also U = π⋅r = 4.5π cm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 4.5²π cm + π⋅4.5⋅7 cm = 51.75⋅π cm² ≈ 162,58 cm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 351 cm² + 162,58 cm² ≈ 513,58 cm²