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Berechnung von Volumen

Beispiel:

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Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
VZ = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V1 = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(3 cm)² ⋅ 3 cm = 27π cm³ ≈ 84,82 cm³

Beim draufliegenden Kegel lässt sich das Volumen einfach als
VKegel = 1 3 G ⋅ h = 1 3 ⋅π⋅r² ⋅ h :

V2 = 1 3 ⋅ π ⋅ (3 cm)² ⋅ 4 cm ≈ 37,7 cm²

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V1 + V2 ≈ 84,82 cm² + 37,7 cm² ≈ 122,5 cm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

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Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2 cm⋅3 cm + 2⋅2 cm⋅3 cm + 2⋅3 cm⋅3 cm
= 6 cm² + 12 cm² + 18 cm²
36 cm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 1 cm,
also 2⋅ 1 2 πr² = π⋅1² cm² ≈ 3,14 cm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=3 cm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= a 2 =1 cm, also U = π⋅r = 1π cm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 1²π cm + π⋅1⋅3 cm = 4⋅π cm² ≈ 12,57 cm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 36 cm² + 12,57 cm² ≈ 48,57 cm²