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Berechnung von Volumen
Beispiel:
Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.
Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
VZ = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.
V1 = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(3 mm)² ⋅ 2 mm = 18π mm³ ≈ 56,55 mm³
Beim draufliegenden Kegel lässt sich das Volumen einfach als
VKegel = G ⋅ h =
⋅π⋅r² ⋅ h :
V2 = ⋅ π ⋅ (3 mm)² ⋅ 5 mm ≈ 47,12 mm²
Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V1 + V2 ≈ 56,55 mm² + 47,12 mm² ≈ 103,7 mm²
Berechnung von Oberflächeninhalt
Beispiel:
Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.
Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.
Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:
O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 9 cm⋅8 cm +
2⋅9 cm⋅5 cm + 2⋅8 cm⋅5 cm
=
72 cm² + 90 cm² + 80 cm²
242 cm²
Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 4,5 cm,
also 2⋅πr² = π⋅4,5² cm²
≈ 63,62 cm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt)
die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=8 cm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius
r==4.5 cm, also U = π⋅r = 4.5π cm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 4.5²π cm
+ π⋅4.5⋅8 cm = 56.25⋅π cm² ≈
176,71 cm².
Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 242 cm² + 176,71 cm² ≈ 418,71 cm²