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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(2 cm)² ⋅ 4 cm = 16π cm³ ≈ 50,27 cm³

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3}$ π⋅r³ = $\frac{2}{3}$ ⋅ π ⋅(2 cm)³ = $\frac{16}{3}$ π cm³ ≈ 16,76 cm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 50,27 cm² + 16,76 cm² ≈ 67 cm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 5 mm⋅4 mm + 2⋅5 mm⋅7 mm + 2⋅4 mm⋅7 mm
= 20 mm² + 70 mm² + 56 mm²
146 mm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 2,5 mm,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅2,5² mm² ≈ 19,63 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=4 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =2.5 mm, also U = π⋅r = 2.5π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 2.5²π mm + π⋅2.5⋅4 mm = 16.25⋅π mm² ≈ 51,05 mm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 146 mm² + 51,05 mm² ≈ 197,05 mm²