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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(2 mm)² ⋅ 4 mm = 16π mm³ ≈ 50,27 mm³

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3}$ π⋅r³ = $\frac{2}{3}$ ⋅ π ⋅(2 mm)³ = $\frac{16}{3}$ π mm³ ≈ 16,76 mm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 50,27 mm² + 16,76 mm² ≈ 67 mm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 4 cm⋅3 cm + 2⋅4 cm⋅2 cm + 2⋅3 cm⋅2 cm
= 12 cm² + 16 cm² + 12 cm²
40 cm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 2 cm,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅2² cm² ≈ 12,57 cm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=3 cm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =2 cm, also U = π⋅r = 2π cm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 2²π cm + π⋅2⋅3 cm = 10⋅π cm² ≈ 31,42 cm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 40 cm² + 31,42 cm² ≈ 71,42 cm²