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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfach mit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V₁ = a⋅b⋅c
= 5 mm⋅5 mm⋅2 mm
= 50 mm³

Die draufliegende Pyramide berechnen wir mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

Somit gilt: V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 25 mm² ⋅ 4 mm
= 33,33 mm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V₁ + V₂ ≈ 50 mm³ + 33,33 mm³ ≈ 83,3 mm³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 4 mm⋅6 mm + 2⋅4 mm⋅3 mm + 2⋅6 mm⋅3 mm
= 24 mm² + 24 mm² + 36 mm²
84 mm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 2 mm,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅2² mm² ≈ 12,57 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=6 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =2 mm, also U = π⋅r = 2π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 2²π mm + π⋅2⋅6 mm = 16⋅π mm² ≈ 50,27 mm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 84 mm² + 50,27 mm² ≈ 134,27 mm²