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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(2 cm)² ⋅ 4 cm = 16π cm³ ≈ 50,27 cm³

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3}$ π⋅r³ = $\frac{2}{3}$ ⋅ π ⋅(2 cm)³ = $\frac{16}{3}$ π cm³ ≈ 16,76 cm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 50,27 cm² + 16,76 cm² ≈ 67 cm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Pyramide bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 5 m⋅5 m + 2⋅5 m⋅3 m + 2⋅5 m⋅3 m
= 25 m² + 30 m² + 30 m²
85 m²

Bei der draufliegenden Pyramide besteht die sichtbare Oberfläche nur aus den 4 gleichen Seitenflächen. Um deren Flächeninhalt zu berechnen, brauchen wir außer der Grundseitenlänge a = 5 m auch noch die Höhe eines Seitendreicks. Diese können wir als Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\frac{a}{2}$ = 2.5 m und h = 3 m berechnen, da ja der Fuß der Höhe genau in der Mitte der Grundfläche liegt. Es gilt also:
h_a² = ( $\frac{a}{2}$ )² + h², oder eben h_a = $\sqrt{(\frac{a}{2})² + h²}$ = $\sqrt{6.25 + 49}$ = $\sqrt{55.25}$ ≈ 7,43 m

Damit können wir den Mantel der Pyramide berechnen: O₂ = 4 ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅a⋅h_a = 2⋅a⋅h_a ≈ = 2⋅5 m⋅7,43 m ≈ 74,33 m²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 85 m² + 74,33 m² ≈ 159,33 m²