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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfachmit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V₁ = a⋅b⋅c
= 5 m⋅7 m⋅7 m
= 245 m³

Den draufliegenden Halbzylinder berechnen wir mit der (halben) Zylinderformel V = G ⋅ h = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ⋅ r² ⋅ h

Mit r = $\frac{a}{2}$ = 2.5 m und h = b = 7 m gilt dann :
V₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ π ( $\frac{a}{2}$ )² ⋅ b
= $\frac{1}{2}$ ⋅ π 6.25 m² ⋅ 7 m
= 68,72 m³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V₁ + V₂ ≈ 245 m³ + 68,72 m³ ≈ 313,7 m³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Pyramide bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 5 mm⋅5 mm + 2⋅5 mm⋅2 mm + 2⋅5 mm⋅2 mm
= 25 mm² + 20 mm² + 20 mm²
65 mm²

Bei der draufliegenden Pyramide besteht die sichtbare Oberfläche nur aus den 4 gleichen Seitenflächen. Um deren Flächeninhalt zu berechnen, brauchen wir außer der Grundseitenlänge a = 5 mm auch noch die Höhe eines Seitendreicks. Diese können wir als Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $\frac{a}{2}$ = 2.5 mm und h = 2 mm berechnen, da ja der Fuß der Höhe genau in der Mitte der Grundfläche liegt. Es gilt also:
h_a² = ( $\frac{a}{2}$ )² + h², oder eben h_a = $\sqrt{(\frac{a}{2})² + h²}$ = $\sqrt{6.25 + 25}$ = $\sqrt{31.25}$ ≈ 5,59 mm

Damit können wir den Mantel der Pyramide berechnen: O₂ = 4 ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅a⋅h_a = 2⋅a⋅h_a ≈ = 2⋅5 mm⋅5,59 mm ≈ 55,9 mm²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 65 mm² + 55,9 mm² ≈ 120,9 mm²