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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(4 m)² ⋅ 4 m = 64π m³ ≈ 201,06 m³

Beim draufliegenden Kegel lässt sich das Volumen einfach als
V_Kegel = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅π⋅r² ⋅ h :

V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ (4 m)² ⋅ 4 m ≈ 67,02 m²

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 201,06 m² + 67,02 m² ≈ 268,1 m²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.

Normalerweise hätte der Zylinder einen Mantel, und zwei Kreisflächen als Ober- und Unterseite. Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Halbkugel bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Zylinder:

O₁ = M + G

Die Grundfläche ist ja einfach ein Kreis mit dem Flächeninhalt G = π⋅ r² = π⋅(5 mm)² ≈ 78,54 mm².
Der Mantel hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe z = 3 mm und die andere Seite ein Kreisumfang mit Radius r = 5 mm ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5 mm. Der Mantel hat also eine Fläche von M = z⋅U = 3 mm⋅10π mm ≈ 94,25 mm².
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Zylinders:
O₁ = M + G ≈ 94,25 mm² + 78,54 mm² ≈ 172,79 mm²

Um den Mantel des draufliegenden Kegel zu berechnen, müssen wir zuerst die Mantellinie s, also die Länge zwischen der Kegelspitze und einem Punkt auf dem Grundkreis, bestimmen. An der Skizze kann man recht gut erkennen, dass diese Mantellinie s die Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypothenusen r und h ist.
Es gilt somit mit dem Satz des Pythagoras:
s² = r² + h², oder eben s = $\sqrt{r² + h²}$ = $\sqrt{25 + 9}$ = $\sqrt{34}$ ≈ 5,83 mm

Jetzt können wir mit der Formel für den Mantel den oberen Teil der Oberfläche berechnen: M = π ⋅ r ⋅ s

Wie kommt man zu der Formel: M = π ⋅ r ⋅ s

Der Mantel eines Kegels hat die Form eines Kreisausschnitts. Dabei entspricht die Bogenlänge des Kreisausschnitts dem Umfang des Grundkreises des Kegels. Der Radius des Kreisausschnitts ist dabei die Mantellinie s des Kegels. Um den Flächeninhalt dieses Kreisausschnitts berechnen zu können, benötigen wir noch den Öffnungswinkel α. Diesen bekommen wir über die Bogenlänge des Kreisausschnitts, die ja dem Umfang des Grundkreises des Kegels entspricht, also:

$\frac{α}{360°}$ ⋅ 2π ⋅ s = 2π ⋅ r | : 2π

$\frac{α}{360°}$ ⋅ s = r

Statt α jetzt auszurechnen (Ergebnis wäre 308.7°) schauen wir uns direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts und damit des Kegelmantels an und setzen die obige Gleichung ein:

M = $\frac{α}{360°}$ ⋅ π ⋅ s²
= ( $\frac{α}{360°}$ ⋅ s) π ⋅ s
= r ⋅ π ⋅ s

O₂ = π ⋅ r ⋅ s = π⋅5 mm ⋅ 5,83 mm ≈ 91,59 mm²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 172,79 mm² + 91,59 mm² ≈ 264,4 mm²