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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfach mit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V₁ = a⋅b⋅c
= 6 m⋅6 m⋅3 m
= 108 m³

Die draufliegende Pyramide berechnen wir mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

Somit gilt: V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 36 m² ⋅ 6 m
= 72 m³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V₁ + V₂ ≈ 108 m³ + 72 m³ ≈ 180 m³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Normalerweise hätte der Zylinder einen Mantel, und zwei Kreisflächen als Ober- und Unterseite. Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Halbkugel bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Zylinder:

O₁ = M + G

Die Grundfläche ist ja einfach ein Kreis mit dem Flächeninhalt G = π⋅ r² = π⋅(4 mm)² ≈ 50,27 mm².
Der Mantel hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe z = 2 mm und die andere Seite ein Kreisumfang mit Radius r = 4 mm ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 mm. Der Mantel hat also eine Fläche von M = z⋅U = 2 mm⋅8π mm ≈ 50,27 mm².
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Zylinders:
O₁ = M + G ≈ 50,27 mm² + 50,27 mm² ≈ 100,53 mm²

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich die Oberfläche einfach als halbe Kugelfläche berechnen:
O₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4π⋅r² = 2π⋅r² = 2π⋅(4 mm)² ≈ 100,53 mm²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 100,53 mm² + 100,53 mm² ≈ 201,06 mm²