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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(3 mm)² ⋅ 4 mm = 36π mm³ ≈ 113,1 mm³

Beim draufliegenden Kegel lässt sich das Volumen einfach als
V_Kegel = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅π⋅r² ⋅ h :

V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ (3 mm)² ⋅ 5 mm ≈ 47,12 mm²

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 113,1 mm² + 47,12 mm² ≈ 160,2 mm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Normalerweise hätte der Zylinder einen Mantel, und zwei Kreisflächen als Ober- und Unterseite. Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von der Halbkugel bedeckt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Zylinder:

O₁ = M + G

Die Grundfläche ist ja einfach ein Kreis mit dem Flächeninhalt G = π⋅ r² = π⋅(4 mm)² ≈ 50,27 mm².
Der Mantel hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe z = 5 mm und die andere Seite ein Kreisumfang mit Radius r = 4 mm ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 mm. Der Mantel hat also eine Fläche von M = z⋅U = 5 mm⋅8π mm ≈ 125,66 mm².
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Zylinders:
O₁ = M + G ≈ 125,66 mm² + 50,27 mm² ≈ 175,93 mm²

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich die Oberfläche einfach als halbe Kugelfläche berechnen:
O₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ 4π⋅r² = 2π⋅r² = 2π⋅(4 mm)² ≈ 100,53 mm²

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 175,93 mm² + 100,53 mm² ≈ 276,46 mm²