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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einer halben Kugel, die auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
V_Z = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V₁ = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(4 cm)² ⋅ 3 cm = 48π cm³ ≈ 150,8 cm³

Bei der draufliegenden Halbkugel lässt sich das Volumen einfach als halbes Kugelvolumen berechnen:
V₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{4}{3}$ π⋅r³ = $\frac{2}{3}$ ⋅ π ⋅(4 cm)³ = $\frac{128}{3}$ π cm³ ≈ 134,04 cm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V₁ + V₂ ≈ 150,8 cm² + 134,04 cm² ≈ 284,8 cm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2 mm⋅2 mm + 2⋅2 mm⋅8 mm + 2⋅2 mm⋅8 mm
= 4 mm² + 32 mm² + 32 mm²
68 mm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 1 mm,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅1² mm² ≈ 3,14 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=2 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =1 mm, also U = π⋅r = 1π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 1²π mm + π⋅1⋅2 mm = 3⋅π mm² ≈ 9,42 mm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 68 mm² + 9,42 mm² ≈ 77,42 mm²