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Berechnung von Volumen

Beispiel:

Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einer geraden quadratischen Pyramide, die auf dem Quader liegt.

Das Volumen des Quaders lässt sich ja recht einfach mit der Formel V = a⋅b⋅c berechnen:

V₁ = a⋅b⋅c
= 7 mm⋅7 mm⋅2 mm
= 98 mm³

Die draufliegende Pyramide berechnen wir mit der Formel V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ a² ⋅ h

Somit gilt: V₂ = $\frac{1}{3}$ ⋅ 49 mm² ⋅ 5 mm
= 81,67 mm³

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit:V = V₁ + V₂ ≈ 98 mm³ + 81,67 mm³ ≈ 179,7 mm³

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

Lösung einblenden

Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O₁ = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 7 m⋅2 m + 2⋅7 m⋅5 m + 2⋅2 m⋅5 m
= 14 m² + 70 m² + 20 m²
104 m²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 3,5 m,
also 2⋅ $\frac{1}{2}$ πr² = π⋅3,5² m² ≈ 38,48 m²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=2 m ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= $\frac{a}{2}$ =3.5 m, also U = π⋅r = 3.5π m.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O₂ = πr² + π⋅r⋅b = 3.5²π m + π⋅3.5⋅2 m = 19.25⋅π m² ≈ 60,48 m².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O₁ + O₂ ≈ 104 m² + 60,48 m² ≈ 164,48 m²