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Berechnung von Volumen

Beispiel:

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Berechne das Volumen des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Zylinder und einem Kegel, der auf dem Zylinder liegt.

Das Volumen des Zylinder kann man ja relativ einfach mit der Formel
VZ = G ⋅ h = π ⋅ r² ⋅ h berechnen.

V1 = π ⋅ r² ⋅ h = π⋅(4 mm)² ⋅ 2 mm = 32π mm³ ≈ 100,53 mm³

Beim draufliegenden Kegel lässt sich das Volumen einfach als
VKegel = 1 3 G ⋅ h = 1 3 ⋅π⋅r² ⋅ h :

V2 = 1 3 ⋅ π ⋅ (4 mm)² ⋅ 5 mm ≈ 83,78 mm²

Für das gesuchte Volumen ergibt sich somit: V = V1 + V2 ≈ 100,53 mm² + 83,78 mm² ≈ 184,3 mm²

Berechnung von Oberflächeninhalt

Beispiel:

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Berechne die Oberfläche des zusammengesetzten Körpers.

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Der gezeichnete Körper besteht aus zwei Teilen: einem Quader und einem halben Zylinder, der auf dem Quader liegt.

Normalerweise hätte der Quader 6 Flächen: je zwei mit dem Flächeninhalt a⋅b (Boden un Decke), zwei mit a⋅c (vorne, hinten) und zwei mit b⋅c (Seitenwände). Weil ja hier aber die Deckfläche nicht frei ist, sondern von dem halben Zylinder belegt ist, gilt hier für die sichtbare Oberfläche des Quaders:

O1 = a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 7 mm⋅4 mm + 2⋅7 mm⋅6 mm + 2⋅4 mm⋅6 mm
= 28 mm² + 84 mm² + 48 mm²
160 mm²

Bei dem draufliegenden Halbzylinder sehen wir vorne und hinten jeweils einen halben Kreis mit Radius 3,5 mm,
also 2⋅ 1 2 πr² = π⋅3,5² mm² ≈ 38,48 mm²
Außerdem haben wir noch den halben Zylindermantel: Dieser hat (abgerollt) die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite eben die Tiefe nach hinten b=4 mm ist und die andere Seite ein halber Kreisumfang mit Radius r= a 2 =3.5 mm, also U = π⋅r = 3.5π mm.
Somit gilt für die sichtbare Oberfläche des Halbylinders:
O2 = πr² + π⋅r⋅b = 3.5²π mm + π⋅3.5⋅4 mm = 26.25⋅π mm² ≈ 82,47 mm².

Für die gesuchte Oberfläche ergibt sich somit: O = O1 + O2 ≈ 160 mm² + 82,47 mm² ≈ 242,47 mm²