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Verschiebung am Graph erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{2}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 1 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $x^{2} + 1$

Verschiebung am Graph erkennen II

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{4}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Hinweis: Die beiden Graphen sind deckungsgleich.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 3 nach oben.

Außerdem erkennt man eine Verschiebung um 2 nach rechts, was bedeutet dass statt den Funktionswerten von x die von (x - 2) berechnet werden, also das man im Funktionsterm x durch (x-2) ersetzt.

Somit erhält man für den gesuchten Funktionsterm g(x)= ${(x - 2)}^{4} + 3$ .

Verschiebung am Term erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{5} + 3$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{5}$ entsteht.

Lösung einblenden

Hinter dem Potenzterm steht noch eine 3. Das bedeutet, dass zu jedem Funktionswert noch 3 dazu addiert wird. Also wird der Graph von g um 3 nach oben verschoben.

Die $- \frac{1}{4}$ als Koeffizient vor der Potenz bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor $- \frac{1}{4}$ multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um $- \frac{1}{4}$ gestreckt. (das negative Vorzeichen von $- \frac{1}{4}$ ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Versc/Streck. bestimmen (Potenzfktn)

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ wird um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 5 nach rechts verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Bei der Verschiebung um 5 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -5) ersetzt.

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{2}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{2}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- \frac{1}{2} {(x - 5)}^{3}$