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Verschiebung am Graph erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{3}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Lösung einblenden

Man erkennt schnell, dass der rote Graph in y-Richtung verschoben wurde, und zwar um 3 nach oben. Der gesuchte Funktionsterm ist also g(x)= $x^{3} + 3$

Verschiebung am Graph erkennen II

Beispiel:

Im Schaubild sieht man den Graph von $f(x) =$ $x^{3}$ in schwarzer Farbe.
Bestimme den Funktionsterm der Funktion g, deren Graph in rot eingezeichnet ist.

Hinweis: Die beiden Graphen sind deckungsgleich.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass der rote Graph an der x-Achse gespiegelt (oder eben mit dem Streckfaktor -1 in y-Richtung gestreckt) wurde. Vor dem gesuchten Term muss also ein '-' stehen.

Außerdem erkennt man eine Verschiebung um 1 nach links, bzw. -1 nach rechts, was bedeutet dass statt den Funktionswerten von x die von (x - ( - 1 )) berechnet werden, also das man im Funktionsterm x durch (x-( - 1 )) ersetzt.

Somit erhält man für den gesuchten Funktionsterm g(x)= $- {(x + 1)}^{3}$ .

Verschiebung am Term erkennen (Potenzfktn)

Beispiel:

Beschreibe, wie der Graph von g mit $g(x) =$ $- 5 {(x - 3)}^{3}$ aus dem Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ entsteht.

Lösung einblenden

Man erkennt sofort, dass das 'x' in g(x) in f(x) durch (x -3) ersetzt wurde. Das bedeutet, dass in g die Funktionswerte von f von den um 3 kleineren x-Werten genommen werden. (Also sind bei gleichen Funktionswerten die x-Werte bei g um 3 größer als bei f) Für den Graph bedeutet das, dass er um 3 nach rechts in x-Richtung verschoben wird.

Die -5 als Koeffizient vor der Potenz bewirkt, dass die Funktionswerte mit dem Faktor -5 multipliziert werden. Dadurch wird der Graph um -5 gestreckt. (das negative Vorzeichen von -5 ändert das Vorzeichen der Funktionswerte und bewirkt somit noch zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse.)

Term aus Versc/Streck. bestimmen (Potenzfktn)

Beispiel:

Der Graph von f mit $f(x) =$ $x^{3}$ wird um den Faktor $\frac{1}{3}$ in y-Richtung gestreckt und an der x-Achse gespiegelt und um 1 nach rechts verschoben.

Bestimme den Funktionsterm g(x) des neuen Graphen.

Lösung einblenden

Bei der Verschiebung um 1 nach rechts wird jedes 'x' durch (x -1) ersetzt.

Die Streckung um den Faktor $\frac{1}{3}$ in y-Richtung erreicht man durch den Koeffizienten $\frac{1}{3}$ vor der Potenz.

Die Spiegelung an der x-Achse bekommt man durch ein negatives Vorzeichen bei dem Koeffizienten vor der Potenz, also - $\frac{1}{3}$ .

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $g(x) =$ $- \frac{1}{3} {(x - 1)}^{3}$