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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $\frac{35 x + 4}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$4 x$	=	$\frac{35 x + 4}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$4 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{35 x + 4}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$4 x (x + 5)$	=	$35 x + 4$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5$	=	$35 x + 4$
$4 x \cdot x + 20 x$	=	$35 x + 4$
$4 x^{2} + 20 x$	=	$35 x + 4$

4 x^{2} + 20 x

=

35 x + 4

|

- 35 x

- 4

$4 x^{2} - 15 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{15+17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{15-17}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 15 x - 4$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x}{x + 2} + x - 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{2 x}{x + 2} + x - 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{2 x}{x + 2} + x - 1$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{2 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$	=
$- 2 x + x (x + 2) - x - 2$	=
$- 2 x + (x^{2} + 2 x) - x - 2$	=
$x^{2} - x - 2$	=

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{40}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{13}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{40}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{13}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$40$	=	$- x^{2} - 13 x$

40

=

- x^{2} - 13 x

|

+ x^{2}

+ 13 x

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} - 4 x$ = $- \frac{166,5}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{4 (x + 4)} - 4 x

=

- \frac{166,5}{2 (x + 4)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} - 4 x$	=	$- \frac{166,5}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 4 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$- \frac{166,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$x - 16 x (x + 4)$	=	$- 333$
$x + (- 16 x^{2} - 64 x)$	=	$- 333$
$- 16 x^{2} - 63 x$	=	$- 333$

- 16 x^{2} - 63 x

=

- 333

|

+ 333

$- 16 x^{2} - 63 x + 333$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 333}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 21 312}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{25 281}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{25 281}}{- 32}$ = $\frac{63+159}{- 32}$ = $\frac{222}{- 32}$ = $- \frac{111}{16}$ ≈ -6.94

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{25 281}}{- 32}$ = $\frac{63-159}{- 32}$ = $\frac{- 96}{- 32}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x + 333$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x - \frac{333}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{333}{16})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{333}{16}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{21312}{1024}$ = $\frac{25281}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{25281}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{159}{32}$ = $- \frac{222}{32}$ = -6.9375

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{159}{32}$ = $\frac{96}{32}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{111}{16}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 15$
$a x + x^{2} + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):