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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x - 1}$ = $3 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{18}{x - 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{18}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$3 x \cdot (x - 1)$
$18$	=	$3 x (x - 1)$
$18$	=	$3 x^{2} - 3 x$

18

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

- 3 x^{2} + 3 x + 18

= 0 |:3

$- x^{2} + x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1+5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 1-5}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19}{2} + \frac{3}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{19}{2} + \frac{3}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{19}{2} \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$\frac{19}{2} x + 3$	=	$x \cdot x + 4 x$

$\frac{19}{2} x + 3$	=	$x^{2} + 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{19}{2} x + 3)$	=	$2 (x^{2} + 4 x)$
$19 x + 6$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 8 x$

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11+13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11-13}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $3$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 51}{x + 1} + 3 x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{51}{x + 1} + 3 x - 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{51}{x + 1} + 3 x - 5$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{51}{x + 1} \cdot (x + 1) + 3 x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=
$- 51 + 3 x (x + 1) - 5 x - 5$	=
$- 51 + (3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5$	=
$3 x^{2} - 2 x - 56$	=

$3 x^{2} - 2 x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 672}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{2+26}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{2-26}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 56$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{56}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{56}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{56}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{168}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{14}{3}$ = 4.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{14}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{2}} - \frac{48}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{14}{x^{2}} - \frac{48}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{48}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 14 x - 48$

0

=

- x^{2} + 14 x - 48

|

+ x^{2}

- 14 x

+ 48

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3} + \frac{- 34}{2 x + 2} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3} - \frac{34}{2 x + 2} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{34}{2 (x + 1)} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{34}{2 (x + 1)} + 3 x$	=	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{- 34}{2 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 3 x \cdot (3 (x + 1))$	=
$x - 51 + 9 x (x + 1)$	=
$x - 51 + (9 x^{2} + 9 x)$	=
$9 x^{2} + 10 x - 51$	=

$9 x^{2} + 10 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 51)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 1 836}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{1 936}}{18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{1 936}}{18}$ = $\frac{- 10+44}{18}$ = $\frac{34}{18}$ = $\frac{17}{9}$ ≈ 1.89

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{1 936}}{18}$ = $\frac{- 10-44}{18}$ = $\frac{- 54}{18}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 10 x - 51$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{10}{9} x - \frac{17}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{9})}^{2} - (- \frac{17}{3})$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{17}{3}$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{459}{81}$ = $\frac{484}{81}$

x_1,2 = $- \frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{484}{81}}$

x₁ = $- \frac{5}{9}$ - $\frac{22}{9}$ = $- \frac{27}{9}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{9}$ + $\frac{22}{9}$ = $\frac{17}{9}$ = 1.8888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{17}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 7 x$	=	$- a$
$x^{2} - 7 x + a$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):