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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 6 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 6 x$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 6 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 6 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} - 6 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} - 3 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x + 15}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 25 x + 15}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 25 x + 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 25 x + 15$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 25 x + 15

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} - 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 15}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{17+23}{- 8}$ = $\frac{40}{- 8}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{17-23}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 17 x + 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- \frac{- 56}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{56}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$x \cdot (x - 5) - 4 \cdot (x - 5)$	=	$\frac{56}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$x \cdot (x - 5) - 4 x + 20$	=	$56$
$x^{2} - 5 x - 4 x + 20$	=	$56$
$x^{2} - 9 x + 20$	=	$56$

x^{2} - 9 x + 20

=

56

|

- 56

$x^{2} - 9 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9+15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{9-15}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $12$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{56}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{56}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{56}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$x - 56$	=	$- x^{2}$

x - 56

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1+15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 1-15}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9}{x - 3}$ = $- \frac{x}{2 x - 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{9}{x - 3}

=

- \frac{x}{2 (x - 3)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$- \frac{9}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$- \frac{9}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - x \cdot (2 (x - 3))$
$- 18$	=	$- x - 2 x \cdot (x - 3)$
$- 18$	=	$- 2 x^{2} + 5 x$

- 18

=

- 2 x^{2} + 5 x

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5+13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5-13}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$15 + x^{2}$	=	$- a x$
$15 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):