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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{20}{x + 1}$ = $- x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{20}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{20}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$- 20$	=	$- x (x + 1)$
$- 20$	=	$- x^{2} - x$

- 20

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 2$ = $5 - \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 2$	=	$5 - \frac{6}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$5 \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 2 x$	=	$5 x - 6$
$x^{2} - 2 x$	=	$5 x - 6$

x^{2} - 2 x

=

5 x - 6

|

- 5 x

+ 6

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 15}{2 x + 5} - x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

0

=

\frac{15}{2 x + 5} - x + 1

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

=	$\frac{15}{2 x + 5} - x + 1$	\|⋅( $2 x + 5$ )
=	$\frac{15}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - x \cdot (2 x + 5) + 1 \cdot (2 x + 5)$
=	$15 - x (2 x + 5) + 2 x + 5$
=	$- 2 x^{2} - 3 x + 20$

0

=

- 2 x^{2} - 3 x + 20

|

+ 2 x^{2}

+ 3 x

- 20

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3+13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{- 3-13}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{28}{x^{4}}$ = $- \frac{3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{28}{x^{4}}$	=	$- \frac{3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{28}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 28$	=	$- 3 x$

x^{2} - 28

=

- 3 x

|

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{72,8}{x - 2} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{72,8}{x - 2} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{72,8}{x - 2} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{72,8}{x - 2} - 3 x$	=	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + \frac{72,8}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) - 3 x \cdot (5 (x - 2))$	=
$x + 364 - 15 x (x - 2)$	=
$x + 364 + (- 15 x^{2} + 30 x)$	=
$- 15 x^{2} + 31 x + 364$	=

$- 15 x^{2} + 31 x + 364$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 364}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 21 840}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{22 801}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{22 801}}{- 30}$ = $\frac{- 31+151}{- 30}$ = $\frac{120}{- 30}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{22 801}}{- 30}$ = $\frac{- 31-151}{- 30}$ = $\frac{- 182}{- 30}$ = $\frac{91}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 31 x + 364$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{31}{15} x - \frac{364}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{30})}^{2} - (- \frac{364}{15})$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{364}{15}$ = $\frac{961}{900}$ $+$ $\frac{21840}{900}$ = $\frac{22801}{900}$

x_1,2 = $\frac{31}{30}$ ± $\sqrt{\frac{22801}{900}}$

x₁ = $\frac{31}{30}$ - $\frac{151}{30}$ = $- \frac{120}{30}$ = -4

x₂ = $\frac{31}{30}$ + $\frac{151}{30}$ = $\frac{182}{30}$ = 6.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{91}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 2 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):