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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 8 x +2 = -x

Lösung einblenden

D=R\{ -2 }

Wir multiplizieren den Nenner x +2 weg!

- 8 x +2 = -x |⋅( x +2 )
- 8 x +2 · ( x +2 ) = -x · ( x +2 )
-8 = - x ( x +2 )
-8 = - x 2 -2x
-8 = - x 2 -2x | + x 2 +2x

x 2 +2x -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = -2 ± 4 +32 2

x1,2 = -2 ± 36 2

x1 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

x2 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 2 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-41x +18 4x = x -5

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 4x weg!

-41x +18 4x = x -5 |⋅( 4x )
-41x +18 4x · 4x = x · 4x -5 · 4x
-41x +18 = 4 x · x -20x
-41x +18 = 4 x 2 -20x | -4 x 2 +20x

-4 x 2 -21x +18 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +21 ± ( -21 ) 2 -4 · ( -4 ) · 18 2( -4 )

x1,2 = +21 ± 441 +288 -8

x1,2 = +21 ± 729 -8

x1 = 21 + 729 -8 = 21 +27 -8 = 48 -8 = -6

x2 = 21 - 729 -8 = 21 -27 -8 = -6 -8 = 0,75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -6 ; 0,75 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-4x x -2 + x +4 = 0

Lösung einblenden

D=R\{ 2 }

- 4x x -2 + x +4 = 0

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

- 4x x -2 + x +4 = 0 |⋅( x -2 )
- 4x x -2 · ( x -2 ) + x · ( x -2 ) + 4 · ( x -2 ) = 0
-4x + x ( x -2 ) +4x -8 = 0
-4x + ( x 2 -2x ) +4x -8 = 0
x 2 -2x -8 = 0

x 2 -2x -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 4 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 - 56 x 2 = 1 x

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

1 - 56 x 2 = 1 x |⋅( x 2 )
1 · x 2 - 56 x 2 · x 2 = 1 x · x 2
x 2 -56 = x
x 2 -56 = x | - x

x 2 - x -56 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -56 ) 21

x1,2 = +1 ± 1 +224 2

x1,2 = +1 ± 225 2

x1 = 1 + 225 2 = 1 +15 2 = 16 2 = 8

x2 = 1 - 225 2 = 1 -15 2 = -14 2 = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -7 ; 8 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-1 x -3 - x = - x 3x -9

Lösung einblenden

D=R\{ 3 }

- 1 x -3 - x = - x 3x -9
- 1 x -3 - x = - x 3( x -3 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 3( x -3 ) weg!

- 1 x -3 - x = - x 3( x -3 ) |⋅( 3( x -3 ) )
-1 x -3 · ( 3( x -3 ) ) -x · ( 3( x -3 ) ) = - x 3( x -3 ) · ( 3( x -3 ) )
-3 -3 x ( x -3 ) = -x
-3 + ( -3 x 2 +9x ) = -x
-3 x 2 +9x -3 = -x
-3 x 2 +9x -3 = -x | + x

-3 x 2 +10x -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · ( -3 ) · ( -3 ) 2( -3 )

x1,2 = -10 ± 100 -36 -6

x1,2 = -10 ± 64 -6

x1 = -10 + 64 -6 = -10 +8 -6 = -2 -6 = 1 3 ≈ 0.33

x2 = -10 - 64 -6 = -10 -8 -6 = -18 -6 = 3

Lösung x= 3 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ 1 3 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a x +9 = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a x +9 = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a x +9 = -x |⋅x
a x · x + 9 · x = -x · x
a +9x = - x 2
a +9x + x 2 = 0
x 2 +9x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +9x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn -( 2 -11 ) = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -11 ) = -22

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +9x -22 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · ( -22 ) 21

x1,2 = -9 ± 81 +88 2

x1,2 = -9 ± 169 2

x1 = -9 + 169 2 = -9 +13 2 = 4 2 = 2

x2 = -9 - 169 2 = -9 -13 2 = -22 2 = -11

L={ -11 ; 2 }