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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32 x - 16}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{32 x - 16}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{32 x - 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$32 x - 16$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

32 x - 16

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 26 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26\pm\sqrt{26^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 26\pm\sqrt{676 - 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 26\pm\sqrt{484}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 26+22}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{484}}{- 6}$ = $\frac{- 26-22}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15 x}{x - 4} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{15 x}{x - 4} + 4

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{15 x}{x - 4} + 4$	=	$- x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{15 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 4 \cdot (x - 4)$	=	$- x \cdot (x - 4)$
$- 15 x + 4 x - 16$	=	$- x (x - 4)$
$- 11 x - 16$	=	$- x^{2} + 4 x$

- 11 x - 16

=

- x^{2} + 4 x

|

+ x^{2}

- 4 x

$x^{2} - 15 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 15\pm\sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15\pm\sqrt{225 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15\pm\sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15+17}{2}$ = $\frac{32}{2}$ = $16$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{15-17}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $16$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{8}{x} + \frac{15}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$8 x + 15$	=	$- x^{2}$

8 x + 15

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 8\pm\sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8\pm\sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8\pm\sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{17}{3 x + 6}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{x}{3 x + 6} + \frac{17}{3 x + 6}

=

2 x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 6$ weg!

$\frac{x}{3 x + 6} + \frac{17}{3 x + 6}$	=	$2 x$	\|⋅( $3 x + 6$ )
$\frac{x}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6) + \frac{17}{3 x + 6} \cdot (3 x + 6)$	=	$2 x \cdot (3 x + 6)$
$x + 17$	=	$2 x (3 x + 6)$
$x + 17$	=	$6 x^{2} + 12 x$

x + 17

=

6 x^{2} + 12 x

|

- 6 x^{2}

- 12 x

$- 6 x^{2} - 11 x + 17$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11\pm\sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 17}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11\pm\sqrt{121 + 408}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11\pm\sqrt{529}}{- 12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{11+23}{- 12}$ = $\frac{34}{- 12}$ = $- \frac{17}{6}$ ≈ -2.83

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{11-23}{- 12}$ = $\frac{- 12}{- 12}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{6}$ ; $1$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)