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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 x -1 = x

Lösung einblenden

D=R\{ 1 }

Wir multiplizieren den Nenner x -1 weg!

6 x -1 = x |⋅( x -1 )
6 x -1 · ( x -1 ) = x · ( x -1 )
6 = x ( x -1 )
6 = x 2 - x
6 = x 2 - x | - x 2 + x

- x 2 + x +6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · ( -1 ) · 6 2( -1 )

x1,2 = -1 ± 1 +24 -2

x1,2 = -1 ± 25 -2

x1 = -1 + 25 -2 = -1 +5 -2 = 4 -2 = -2

x2 = -1 - 25 -2 = -1 -5 -2 = -6 -2 = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 3 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

19 2 + 7 2 x = x +3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

19 2 + 7 2 x = x +3 |⋅( x )
19 2 · x + 7 2 x · x = x · x + 3 · x
19 2 x + 7 2 = x · x +3x
19 2 x + 7 2 = x 2 +3x |⋅ 2
2( 19 2 x + 7 2 ) = 2( x 2 +3x )
19x +7 = 2 x 2 +6x | -2 x 2 -6x

-2 x 2 +13x +7 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · ( -2 ) · 7 2( -2 )

x1,2 = -13 ± 169 +56 -4

x1,2 = -13 ± 225 -4

x1 = -13 + 225 -4 = -13 +15 -4 = 2 -4 = -0,5

x2 = -13 - 225 -4 = -13 -15 -4 = -28 -4 = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -0,5 ; 7 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-21 x +1 +5 = -x

Lösung einblenden

D=R\{ -1 }

- 21 x +1 +5 = -x

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

- 21 x +1 +5 = -x |⋅( x +1 )
- 21 x +1 · ( x +1 ) + 5 · ( x +1 ) = -x · ( x +1 )
-21 +5x +5 = - x ( x +1 )
5x -16 = - x 2 - x
5x -16 = - x 2 - x | + x 2 + x

x 2 +6x -16 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -16 ) 21

x1,2 = -6 ± 36 +64 2

x1,2 = -6 ± 100 2

x1 = -6 + 100 2 = -6 +10 2 = 4 2 = 2

x2 = -6 - 100 2 = -6 -10 2 = -16 2 = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -8 ; 2 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 + 11 x + 28 x 2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

1 + 11 x + 28 x 2 = 0 |⋅( x 2 )
1 · x 2 + 11 x · x 2 + 28 x 2 · x 2 = 0
x 2 +11x +28 = 0

x 2 +11x +28 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · 1 · 28 21

x1,2 = -11 ± 121 -112 2

x1,2 = -11 ± 9 2

x1 = -11 + 9 2 = -11 +3 2 = -8 2 = -4

x2 = -11 - 9 2 = -11 -3 2 = -14 2 = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -7 ; -4 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 2x +6 + 5 x +3 +2x = 0

Lösung einblenden

D=R\{ -3 }

x 2x +6 + 5 x +3 +2x = 0
x 2( x +3 ) + 5 x +3 +2x = 0 |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 2( x +3 ) weg!

x 2( x +3 ) + 5 x +3 +2x = 0 |⋅( 2( x +3 ) )
x 2( x +3 ) · ( 2( x +3 ) ) + 5 x +3 · ( 2( x +3 ) ) + 2x · ( 2( x +3 ) ) = 0
x +10 +4 x ( x +3 ) = 0
x +10 + ( 4 x 2 +12x ) = 0
4 x 2 +13x +10 = 0

4 x 2 +13x +10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -13 ± 13 2 -4 · 4 · 10 24

x1,2 = -13 ± 169 -160 8

x1,2 = -13 ± 9 8

x1 = -13 + 9 8 = -13 +3 8 = -10 8 = -1,25

x2 = -13 - 9 8 = -13 -3 8 = -16 8 = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; -1,25 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a + x = - 30 x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a + x = - 30 x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a + x = - 30 x |⋅x
a · x + x · x = - 30 x · x
a x + x 2 = -30
a x + x 2 +30 = 0
x 2 + a x +30 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +30 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn 2 · 15 = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 +15 ) = -17

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -17x +30 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +17 ± ( -17 ) 2 -4 · 1 · 30 21

x1,2 = +17 ± 289 -120 2

x1,2 = +17 ± 169 2

x1 = 17 + 169 2 = 17 +13 2 = 30 2 = 15

x2 = 17 - 169 2 = 17 -13 2 = 4 2 = 2

L={ 2 ; 15 }