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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4 x}{x + 3}$ = $2 x$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 4 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 4 x$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$

$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- (2 x^{2} + 6 x)$
$- 2 x^{2} - 4 x - 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $\frac{- 13 x - 5}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{- 13 x - 5}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 13 x - 5}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$- 13 x - 5$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$- 13 x - 5$

3 x^{2} + 3 x

=

- 13 x - 5

|

+ 13 x

+ 5

$3 x^{2} + 16 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 16+14}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 16-14}{6}$ = $\frac{- 30}{6}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{15}{3}$ = -5

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 27 x}{x + 5}$ = $- 2 x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 27 x}{x + 5}$	=	$- 2 x - 4$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 27 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 4 \cdot (x + 5)$
$- \frac{27 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 4 x - 20$
$- 27 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 4 x - 20$
$- 27 x$	=	$- 2 x^{2} - 14 x - 20$

- 27 x

=

- 2 x^{2} - 14 x - 20

|

+ 2 x^{2}

+ 14 x

+ 20

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 20}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13+3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{13-3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x + 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $10$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{4}}$ = $\frac{6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{4}}$	=	$\frac{6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{7}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 7$	=	$6 x$

x^{2} - 7

=

6 x

|

- 6 x

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6+8}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{6-8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{25,5}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{25,5}{x - 1} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{25,5}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{25,5}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 25,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$
=	$- x - 51 + 4 x \cdot (x - 1)$
=	$4 x^{2} - 5 x - 51$

0

=

4 x^{2} - 5 x - 51

|

- 4 x^{2}

+ 5 x

+ 51

$- 4 x^{2} + 5 x + 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 51}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 816}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 5+29}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 5-29}{- 8}$ = $\frac{- 34}{- 8}$ = $4,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 51$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{51}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{51}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{51}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{816}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{34}{8}$ = 4.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 15 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):