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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4}$ = $- x$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{x}{x + 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- x^{2} - 4 x$

$x$	=	$- x^{2} - 4 x$	\| $- (- x^{2} - 4 x)$
$x^{2} + x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{23 x - 8}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{23 x - 8}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{23 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$23 x - 8$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

23 x - 8

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14+10}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{- 14-10}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 14 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{16}{x - 5} + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

3 x

=

- \frac{16}{x - 5} + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{16}{x - 5} + 1$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{16}{x - 5} \cdot (x - 5) + 1 \cdot (x - 5)$
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$- 16 + x - 5$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 5)$	=	$- 16 + x - 5$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$- 16 + x - 5$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$x - 21$

3 x^{2} - 15 x

=

x - 21

|

- x

+ 21

$3 x^{2} - 16 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 21}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{16+2}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{16-2}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = $\frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x + 21$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - 7$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $7$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{63}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$ = 2.3333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{7}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{10}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} + 3 x + 10$

0

=

- x^{2} + 3 x + 10

|

+ x^{2}

- 3 x

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{2 x - 4} - x$ = $- \frac{x}{4 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{14}{2 x - 4} - x$	=	$\frac{- x}{4 x - 8}$
$\frac{14}{2 (x - 2)} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{14}{2 (x - 2)} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{14}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) - x \cdot (4 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$28 - 4 x \cdot (x - 2)$	=	$- x$
$28 + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 8 x + 28$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 8 x + 28

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 9 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 28}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 9+23}{- 8}$ = $\frac{14}{- 8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 9-23}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 28$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $7$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{448}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$2 x + a$	=	$- x^{2}$
$2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):