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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 - \frac{24}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 8 - \frac{24}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- 8 \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- 8 x - 24$	=	$x \cdot x + 3 x$

- 8 x - 24

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 4 x}{3 x - 1} - x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

0

=

\frac{4 x}{3 x - 1} - x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

=	$\frac{4 x}{3 x - 1} - x - 2$	\|⋅( $3 x - 1$ )
=	$\frac{4 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1) - 2 \cdot (3 x - 1)$
=	$4 x - x (3 x - 1) - 6 x + 2$
=	$- 3 x^{2} - x + 2$

0

=

- 3 x^{2} - x + 2

|

+ 3 x^{2}

+ x

- 2

$3 x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1+5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1-5}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$3 x - 10$	=	$- x^{2}$

3 x - 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} - 3 x$ = $- \frac{36,8}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x

=

- \frac{36,8}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x$	=	$- \frac{36,8}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - 3 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{36,8}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$x - 15 x (x + 1)$	=	$- 184$
$x + (- 15 x^{2} - 15 x)$	=	$- 184$
$- 15 x^{2} - 14 x$	=	$- 184$

- 15 x^{2} - 14 x

=

- 184

|

+ 184

$- 15 x^{2} - 14 x + 184$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 184}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 11 040}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{11 236}}{- 30}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{11 236}}{- 30}$ = $\frac{14+106}{- 30}$ = $\frac{120}{- 30}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{11 236}}{- 30}$ = $\frac{14-106}{- 30}$ = $\frac{- 92}{- 30}$ = $\frac{46}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 14 x + 184$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{14}{15} x - \frac{184}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{15})}^{2} - (- \frac{184}{15})$ = $\frac{49}{225}$ $+$ $\frac{184}{15}$ = $\frac{49}{225}$ $+$ $\frac{2760}{225}$ = $\frac{2809}{225}$

x_1,2 = $- \frac{7}{15}$ ± $\sqrt{\frac{2809}{225}}$

x₁ = $- \frac{7}{15}$ - $\frac{53}{15}$ = $- \frac{60}{15}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{15}$ + $\frac{53}{15}$ = $\frac{46}{15}$ = 3.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{46}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 2 x$
$a + x^{2} + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):