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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $\frac{- 2 x + 15}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$\frac{- 2 x + 15}{x - 4}$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$\frac{- 2 x + 15}{x - 4} \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4)$	=	$- 2 x + 15$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$- 2 x + 15$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- 2 x + 15$
$x^{2} - 4 x$	=	$- 2 x + 15$

x^{2} - 4 x

=

- 2 x + 15

|

+ 2 x

- 15

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4$ = $- \frac{5 x}{2 x + 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- 4$	=	$- \frac{5 x}{2 x + 1} - x$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- 4 \cdot (2 x + 1)$	=	$- \frac{5 x}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) - x \cdot (2 x + 1)$
$- 4 (2 x + 1)$	=	$- 5 x - x \cdot (2 x + 1)$
$- 8 x - 4$	=	$- 5 x - x \cdot (2 x + 1)$
$- 8 x - 4$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

- 8 x - 4

=

- 2 x^{2} - 6 x

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{8}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$8$	=	$- x^{2} + 6 x$

8

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12}$ = $- \frac{- 22}{3 x + 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12}$	=	$\frac{22}{3 x + 12} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)}$	=	$\frac{22}{3 (x + 4)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)}$	=	$\frac{22}{3 (x + 4)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$\frac{22}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + 2 x \cdot (3 (x + 4))$
$x$	=	$22 + 6 x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$6 x^{2} + 24 x + 22$

x

=

6 x^{2} + 24 x + 22

|

- 6 x^{2}

- 24 x

- 22

$- 6 x^{2} - 23 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 22)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 528}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1}}{- 12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{23+1}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1}}{- 12}$ = $\frac{23-1}{- 12}$ = $\frac{22}{- 12}$ = $- \frac{11}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 23 x - 22$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{23}{6} x + \frac{11}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{12})}^{2} - (\frac{11}{3})$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{11}{3}$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{528}{144}$ = $\frac{1}{144}$

x_1,2 = $- \frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1}{144}}$

x₁ = $- \frac{23}{12}$ - $\frac{1}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $- \frac{23}{12}$ + $\frac{1}{12}$ = $- \frac{22}{12}$ = -1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{11}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):