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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{15}{x - 4}$ = $- 3 x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{15}{x - 4}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{15}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$- 15$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$- 15$	=	$- 3 x^{2} + 12 x$

- 15

=

- 3 x^{2} + 12 x

|

+ 3 x^{2}

- 12 x

3 x^{2} - 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{26 x + 6}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{26 x + 6}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{26 x + 6}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$26 x + 6$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$26 x + 6$	=	$3 x^{2} + 9 x$

26 x + 6

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17+19}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17-19}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x}{x + 3} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{20 x}{x + 3} + x

=

- 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{20 x}{x + 3} + x$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{20 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + x \cdot (x + 3)$	=	$- 4 \cdot (x + 3)$
$- 20 x + x \cdot (x + 3)$	=	$- 4 (x + 3)$
$- 20 x + (x^{2} + 3 x)$	=	$- 4 (x + 3)$
$x^{2} - 17 x$	=	$- 4 x - 12$

x^{2} - 17 x

=

- 4 x - 12

|

+ 4 x

+ 12

$x^{2} - 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{13+11}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{13-11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $12$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x + 50}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{15 x + 50}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{15 x + 50}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$15 x + 50$	=	$- x^{2}$

15 x + 50

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15+5}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15-5}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{54}{x + 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{54}{x + 3} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{54}{x + 3} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{54}{x + 3} + 2 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 54}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + 2 x \cdot (2 (x + 3))$
=	$- x - 108 + 4 x \cdot (x + 3)$
=	$4 x^{2} + 11 x - 108$

0

=

4 x^{2} + 11 x - 108

|

- 4 x^{2}

- 11 x

+ 108

$- 4 x^{2} - 11 x + 108$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 108}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 1 728}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1 849}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1 849}}{- 8}$ = $\frac{11+43}{- 8}$ = $\frac{54}{- 8}$ = $- 6,75$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1 849}}{- 8}$ = $\frac{11-43}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x + 108$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x - 27$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (- 27)$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $27$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{1728}{64}$ = $\frac{1849}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{43}{8}$ = $- \frac{54}{8}$ = -6.75

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{43}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 30$	=	$- a x$
$x^{2} - 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):