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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{75}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{75}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{75}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x^{2}$

$- 75$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 75$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$75$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $8 - \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 5$	=	$8 - \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 5 \cdot x$	=	$8 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 5 x$	=	$8 x - 2$
$x^{2} + 5 x$	=	$8 x - 2$

x^{2} + 5 x

=

8 x - 2

|

- 8 x

+ 2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 2$ = $- \frac{5 x}{x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$3 x + 2$	=	$\frac{- 5 x}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$3 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)$	=	$\frac{- 5 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$3 x (x - 2) + 2 x - 4$	=	$- \frac{5 x}{1}$
$3 x (x - 2) + 2 x - 4$	=	$- 5 x$
$3 x^{2} - 6 x + 2 x - 4$	=	$- 5 x$
$3 x^{2} - 4 x - 4$	=	$- 5 x$

3 x^{2} - 4 x - 4

=

- 5 x

|

+ 5 x

$3 x^{2} + x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1+7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 1-7}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x - 4}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3 x - 4}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3 x - 4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$3 x - 4$	=	$- x^{2}$

3 x - 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20} + \frac{15,6}{x - 4} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20} + \frac{15,6}{x - 4} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{15,6}{x - 4} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{15,6}{x - 4} + 4 x$	=	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{15,6}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) + 4 x \cdot (5 (x - 4))$	=
$x + 78 + 20 x (x - 4)$	=
$x + 78 + (20 x^{2} - 80 x)$	=
$20 x^{2} - 79 x + 78$	=

$20 x^{2} - 79 x + 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{{(- 79)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot 78}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{6 241 - 6 240}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{1}}{40}$

x₁ = $\frac{79 + \sqrt{1}}{40}$ = $\frac{79+1}{40}$ = $\frac{80}{40}$ = $2$

x₂ = $\frac{79 - \sqrt{1}}{40}$ = $\frac{79-1}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = $1,95$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 79 x + 78$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{79}{20} x + \frac{39}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{79}{40})}^{2} - (\frac{39}{10})$ = $\frac{6241}{1600}$ $-$ $\frac{39}{10}$ = $\frac{6241}{1600}$ $-$ $\frac{6240}{1600}$ = $\frac{1}{1600}$

x_1,2 = $\frac{79}{40}$ ± $\sqrt{\frac{1}{1600}}$

x₁ = $\frac{79}{40}$ - $\frac{1}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = 1.95

x₂ = $\frac{79}{40}$ + $\frac{1}{40}$ = $\frac{80}{40}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,95$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):