Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{15 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 15 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 15 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{15 x}{1}$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} - 15 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} - 12 x$	=	0
$3 x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{11 x - 8}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{11 x - 8}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{11 x - 8}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 6 x$	=	$11 x - 8$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$11 x - 8$

2 x^{2} - 6 x

=

11 x - 8

|

- 11 x

+ 8

$2 x^{2} - 17 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17+15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = $8$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{17-15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 17 x + 8$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18}{x + 2} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{18}{x + 2} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{18}{x + 2} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{18}{x + 2} \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 18 - 5 x - 10$	=	$- x (x + 2)$
$- 5 x - 28$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 5 x - 28

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{7}{x}$ = $- \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{7}{x}$	=	$- \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 7 x$	=	$- 12$

x^{2} - 7 x

=

- 12

|

+ 12

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7+1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{7-1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5,5}{x - 1} + 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{5,5}{x - 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 2}$
$- \frac{5,5}{x - 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{5,5}{x - 1} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{- 5,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + 3 x \cdot (2 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$
$- 11 + 6 x (x - 1)$	=	$- x$
$- 11 + (6 x^{2} - 6 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} - 6 x - 11$	=	$- x$

6 x^{2} - 6 x - 11

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} - 5 x - 11$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 11)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{289}}{12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{5+17}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{289}}{12}$ = $\frac{5-17}{12}$ = $\frac{- 12}{12}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 5 x - 11$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{5}{6} x - \frac{11}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{11}{6})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{11}{6}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{264}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $\frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $\frac{5}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $- \frac{12}{12}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{11}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):