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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3 x}{x - 4}$ = $- 3 x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 4}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 3 x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$- 3 x$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$- 3 x$	=	$- 3 x^{2} + 12 x$

$- 3 x$	=	$- 3 x^{2} + 12 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 12 x)$
$3 x^{2} - 3 x - 12 x$	=	0
$3 x^{2} - 15 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 21}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 21}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 13 x + 21}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 13 x + 21$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 13 x + 21

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 11 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 21}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{11+17}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{11-17}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x + 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24 x}{2 x + 4}$ = $- x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

\frac{- 24 x}{2 (x + 2)}

=

- x - 4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$\frac{- 24 x}{2 (x + 2)}$	=	$- x - 4$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{- 24 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- x \cdot (2 (x + 2)) - 4 \cdot (2 (x + 2))$
$- 2 \frac{12 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 2) - 8 x - 16$
$- 24 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 2) - 8 x - 16$
$- 24 x$	=	$- 2 x^{2} - 12 x - 16$

- 24 x

=

- 2 x^{2} - 12 x - 16

|

+ 2 x^{2}

+ 12 x

+ 16

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 6 x - 16$	=

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{42}{x - 1} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{42}{x - 1} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{42}{x - 1} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{42}{x - 1} - 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{42}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$x + 84 - 4 x \cdot (x - 1)$	=
$x + 84 + (- 4 x^{2} + 4 x)$	=
$- 4 x^{2} + 5 x + 84$	=

$- 4 x^{2} + 5 x + 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 84}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 1 344}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1 369}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 5+37}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 5-37}{- 8}$ = $\frac{- 42}{- 8}$ = $5,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 84$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- 21)$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $21$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{1344}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{42}{8}$ = 5.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{24}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{24}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 24$	=	$- x^{2}$
$a x - 24 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):