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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{20}{x - 3}$ = $- 2 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{20}{x - 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{20}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$- 20$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$- 20$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$

- 20

=

- 2 x^{2} + 6 x

|

+ 2 x^{2}

- 6 x

2 x^{2} - 6 x - 20

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{2} + \frac{1}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$\frac{5}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x + 2 x$

$\frac{5}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x^{2} + 2 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x + \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} + 2 x)$
$5 x + 1$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1+3}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1-3}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- \frac{5 x}{3 x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 5 x}{3 x - 1}$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$x \cdot (3 x - 1) - 4 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{- 5 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$
$x \cdot (3 x - 1) - 12 x + 4$	=	$- \frac{5 x}{1}$
$x \cdot (3 x - 1) - 12 x + 4$	=	$- 5 x$
$3 x^{2} - x - 12 x + 4$	=	$- 5 x$
$3 x^{2} - 13 x + 4$	=	$- 5 x$

3 x^{2} - 13 x + 4

=

- 5 x

|

+ 5 x

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8+4}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{8-4}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$6 x + 8$	=	$- x^{2}$

6 x + 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{22,5}{x + 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 2} - \frac{22,5}{x + 1} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{22,5}{x + 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} - \frac{22,5}{x + 1} + 2 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{- 22,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) + 2 x \cdot (2 (x + 1))$
=	$- x - 45 + 4 x \cdot (x + 1)$
=	$4 x^{2} + 3 x - 45$

0

=

4 x^{2} + 3 x - 45

|

- 4 x^{2}

- 3 x

+ 45

$- 4 x^{2} - 3 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 45}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 720}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{3+27}{- 8}$ = $\frac{30}{- 8}$ = $- 3,75$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{3-27}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 45$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{45}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{45}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{45}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{720}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{30}{8}$ = -3.75

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,75$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):