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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{48}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{48}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{48}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x^{2}$

$48$	=	$3 x^{2}$	\| $- 48$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 45 x - 6}{4 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 45 x - 6}{4 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 45 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$
$- 45 x - 6$	=	$4 x \cdot x - 20 x$

- 45 x - 6

=

4 x^{2} - 20 x

|

- 4 x^{2}

+ 20 x

$- 4 x^{2} - 25 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{25+23}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{25-23}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 25 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $- \frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $- \frac{25}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{25}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{- 10 x}{3 x - 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

1

=

\frac{10 x}{3 x - 4} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$1$	=	$\frac{10 x}{3 x - 4} - x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$1 \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{10 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - x \cdot (3 x - 4)$
$3 x - 4$	=	$10 x - x (3 x - 4)$
$3 x - 4$	=	$- 3 x^{2} + 14 x$

3 x - 4

=

- 3 x^{2} + 14 x

|

+ 3 x^{2}

- 14 x

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11+13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11-13}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{32}{x^{3}}$ = $- \frac{4}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{32}{x^{3}}$	=	$- \frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{32}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 32$	=	$- 4 x$

x^{2} - 32

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} - 3 x$ = $- \frac{1,5}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 x

=

- \frac{1,5}{x + 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - 3 x$	=	$- \frac{1,5}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 3 x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{1,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$x - 6 x (x + 3)$	=	$- 3$
$x + (- 6 x^{2} - 18 x)$	=	$- 3$
$- 6 x^{2} - 17 x$	=	$- 3$

- 6 x^{2} - 17 x

=

- 3

|

+ 3

$- 6 x^{2} - 17 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 3}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{17+19}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{- 12}$ = $\frac{17-19}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x + 3$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{72}{144}$ = $\frac{361}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{361}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{19}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{19}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

Lösung x= $- 3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - x$	=	$- a$
$x^{2} - x + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):