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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{25}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{25}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x^{2}$

$25$	=	$x^{2}$	\| $- 25$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{23 x - 24}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{23 x - 24}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{23 x - 24}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$23 x - 24$	=	$4 x (x - 3)$
$23 x - 24$	=	$4 x^{2} - 12 x$

23 x - 24

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35+29}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35-29}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - 6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4}{2 x - 5}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{4}{2 x - 5}$	=	$- x - 1$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{4}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- x \cdot (2 x - 5) - 1 \cdot (2 x - 5)$
$- 4$	=	$- x (2 x - 5) - 2 x + 5$
$- 4$	=	$- 2 x^{2} + 3 x + 5$

- 4

=

- 2 x^{2} + 3 x + 5

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

- 5

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3+9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3-9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2}{x} - \frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 2 x - 8$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 8

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 1}{x - 2} - x$ = $- \frac{x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- \frac{1}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{2 x - 4}$
$- \frac{1}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$- \frac{1}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{- 1}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) - x \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$- 2 - 2 x (x - 2)$	=	$- x$
$- 2 + (- 2 x^{2} + 4 x)$	=	$- x$
$- 2 x^{2} + 4 x - 2$	=	$- x$

- 2 x^{2} + 4 x - 2

=

- x

|

+ x

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{24}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{24}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{24}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{24}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$24$
$x^{2} + a x - 24$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):