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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x^{2}$

$8$	=	$2 x^{2}$	\| $- 8$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $\frac{10 x - 6}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x$	=	$\frac{10 x - 6}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{10 x - 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1)$	=	$10 x - 6$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$10 x - 6$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$10 x - 6$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$10 x - 6$

2 x^{2} + 2 x

=

10 x - 6

|

- 10 x

+ 6

2 x^{2} - 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x + 3$ = $- \frac{6 x}{x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$3 x + 3$	=	$- \frac{6 x}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$3 x \cdot (x - 2) + 3 \cdot (x - 2)$	=	$- \frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$3 x (x - 2) + 3 x - 6$	=	$- 6 x$
$3 x^{2} - 6 x + 3 x - 6$	=	$- 6 x$
$3 x^{2} - 3 x - 6$	=	$- 6 x$

3 x^{2} - 3 x - 6

=

- 6 x

|

+ 6 x

3 x^{2} + 3 x - 6

= 0 |:3

$x^{2} + x - 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{2}{x} - \frac{48}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{2}{x} - \frac{48}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 2 x - 48$	=

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23}{x - 2} + 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- \frac{23}{x - 2} + 3 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 4}$
$- \frac{23}{x - 2} + 3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$- \frac{23}{x - 2} + 3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{- 23}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 3 x \cdot (2 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$
$- 46 + 6 x (x - 2)$	=	$- x$
$- 46 + (6 x^{2} - 12 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} - 12 x - 46$	=	$- x$

6 x^{2} - 12 x - 46

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} - 11 x - 46$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 46)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 1 104}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1 225}}{12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{11+35}{12}$ = $\frac{46}{12}$ = $\frac{23}{6}$ ≈ 3.83

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{11-35}{12}$ = $\frac{- 24}{12}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{23}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 30$	=	$- a x$
$x^{2} + 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter