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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{30}{x + 2}$ = $2 x$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{30}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{30}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$30$	=	$2 x (x + 2)$
$30$	=	$2 x^{2} + 4 x$

30

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2 x^{2} - 4 x + 30

= 0 |:2

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 25 x + 6}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 25 x + 6}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 25 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$- 25 x + 6$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$- 25 x + 6$

4 x^{2} - 20 x

=

- 25 x + 6

|

+ 25 x

- 6

$4 x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 5+11}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{8}$ = $\frac{- 5-11}{8}$ = $\frac{- 16}{8}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- \frac{1}{2 x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$x + 3$	=	$- \frac{1}{2 x + 3}$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$x \cdot (2 x + 3) + 3 \cdot (2 x + 3)$	=	$- \frac{1}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$
$x (2 x + 3) + 6 x + 9$	=	$- 1$
$2 x^{2} + 3 x + 6 x + 9$	=	$- 1$
$2 x^{2} + 9 x + 9$	=	$- 1$

2 x^{2} + 9 x + 9

=

- 1

|

+ 1

$2 x^{2} + 9 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 9+1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 9-1}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x - 7}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{6 x - 7}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{6 x - 7}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$6 x - 7$	=	$- x^{2}$

6 x - 7

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{328}{6 x + 18}$ = $- \frac{x}{3 x + 9} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{328}{6 (x + 3)}

=

- \frac{x}{3 (x + 3)} + 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 3)$ weg!

$\frac{328}{6 (x + 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + 2 x$	\|⋅( $6 (x + 3)$ )
$\frac{328}{6 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3)) + 2 x \cdot (6 (x + 3))$
$328$	=	$- 2 x + 12 x (x + 3)$
$328$	=	$12 x^{2} + 34 x$

328

=

12 x^{2} + 34 x

|

- 12 x^{2}

- 34 x

- 12 x^{2} - 34 x + 328

= 0 |:2

$- 6 x^{2} - 17 x + 164$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 164}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 3 936}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{4 225}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{4 225}}{- 12}$ = $\frac{17+65}{- 12}$ = $\frac{82}{- 12}$ = $- \frac{41}{6}$ ≈ -6.83

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{4 225}}{- 12}$ = $\frac{17-65}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x + 164$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x - \frac{82}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{82}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{82}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{3936}{144}$ = $\frac{4225}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{4225}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{65}{12}$ = $- \frac{82}{12}$ = -6.8333333333333

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{65}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{41}{6}$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 + a x$	=	$- x^{2}$
$8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):