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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{40}{x - 1}$ = $2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{40}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{40}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$40$	=	$2 x (x - 1)$
$40$	=	$2 x^{2} - 2 x$

40

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

- 2 x^{2} + 2 x + 40

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1+9}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 1-9}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + \frac{3}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{3}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- x + 3$	=	$x \cdot x - 3 x$

- x + 3

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x - 5} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{1}{x - 5} - 3$	=	$- x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{1}{x - 5} \cdot (x - 5) - 3 \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5)$
$1 - 3 x + 15$	=	$- x (x - 5)$
$- 3 x + 16$	=	$- x^{2} + 5 x$

- 3 x + 16

=

- x^{2} + 5 x

|

+ x^{2}

- 5 x

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x} - \frac{14}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2} - \frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + 5 x - 14$	=

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{70}{3 x + 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{70}{3 x + 3} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{70}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{70}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - \frac{70}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 4 x \cdot (3 (x + 1))$
=	$- x - 70 + 12 x (x + 1)$
=	$12 x^{2} + 11 x - 70$

0

=

12 x^{2} + 11 x - 70

|

- 12 x^{2}

- 11 x

+ 70

$- 12 x^{2} - 11 x + 70$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 70}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 3 360}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{3 481}}{- 24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{3 481}}{- 24}$ = $\frac{11+59}{- 24}$ = $\frac{70}{- 24}$ = $- \frac{35}{12}$ ≈ -2.92

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{3 481}}{- 24}$ = $\frac{11-59}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{12}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 10$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 10 x$	=	$- x^{2}$
$a + 10 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

L={ $- 12$ ; $2$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter