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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x - 2}$ = $x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$8$	=	$x (x - 2)$
$8$	=	$x^{2} - 2 x$

8

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{17}{2} - \frac{5}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{17}{2} - \frac{5}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{17}{2} \cdot x - \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x - 3 x$

$- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2}$	=	$x^{2} - 3 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{17}{2} x - \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} - 3 x)$
$- 17 x - 5$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 6 x$

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11+9}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{11-9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 11 x - 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 4$ = $- \frac{36 x}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x - 4$	=	$\frac{- 36 x}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5) - 4 \cdot (x - 5)$	=	$\frac{- 36 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$3 x (x - 5) - 4 x + 20$	=	$- \frac{36 x}{1}$
$3 x (x - 5) - 4 x + 20$	=	$- 36 x$
$3 x^{2} - 15 x - 4 x + 20$	=	$- 36 x$
$3 x^{2} - 19 x + 20$	=	$- 36 x$

3 x^{2} - 19 x + 20

=

- 36 x

|

+ 36 x

$3 x^{2} + 17 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 17+7}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$ ≈ -1.67

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 17-7}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 17 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 2 x - 3}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 2 x - 3}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 2 x - 3}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 2 x - 3$

- x^{2}

=

- 2 x - 3

|

+ 2 x

+ 3

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{5,6}{x + 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{5,6}{x + 1}$	=	$x$
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{5,6}{x + 1}$	=	$x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{5,6}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{5,6}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$x \cdot (5 (x + 1))$
$x + 28$	=	$5 x (x + 1)$
$x + 28$	=	$5 x^{2} + 5 x$

x + 28

=

5 x^{2} + 5 x

|

- 5 x^{2}

- 5 x

$- 5 x^{2} - 4 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 28}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 560}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{576}}{- 10}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{576}}{- 10}$ = $\frac{4+24}{- 10}$ = $\frac{28}{- 10}$ = $- 2,8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{576}}{- 10}$ = $\frac{4-24}{- 10}$ = $\frac{- 20}{- 10}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 4 x + 28$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{28}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{5})}^{2} - (- \frac{28}{5})$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{28}{5}$ = $\frac{4}{25}$ $+$ $\frac{140}{25}$ = $\frac{144}{25}$

x_1,2 = $- \frac{2}{5}$ ± $\sqrt{\frac{144}{25}}$

x₁ = $- \frac{2}{5}$ - $\frac{12}{5}$ = $- \frac{14}{5}$ = -2.8

x₂ = $- \frac{2}{5}$ + $\frac{12}{5}$ = $\frac{10}{5}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,8$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):