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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

25 x = x

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x weg!

25 x = x |⋅( x )
25 x · x = x · x
25 = x · x
25 = x 2
25 = x 2 | -25 - x 2
- x 2 = -25 |: ( -1 )
x 2 = 25 | 2
x1 = - 25 = -5
x2 = 25 = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -5 ; 5 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-11x +9 x -4 = 2x

Lösung einblenden

D=R\{ 4 }

Wir multiplizieren den Nenner x -4 weg!

-11x +9 x -4 = 2x |⋅( x -4 )
-11x +9 x -4 · ( x -4 ) = 2x · ( x -4 )
-11x +9 = 2 x ( x -4 )
-11x +9 = 2 x 2 -8x
-11x +9 = 2 x 2 -8x | -2 x 2 +8x

-2 x 2 -3x +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · ( -2 ) · 9 2( -2 )

x1,2 = +3 ± 9 +72 -4

x1,2 = +3 ± 81 -4

x1 = 3 + 81 -4 = 3 +9 -4 = 12 -4 = -3

x2 = 3 - 81 -4 = 3 -9 -4 = -6 -4 = 1,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-2 " teilen:

-2 x 2 -3x +9 = 0 |: -2

x 2 + 3 2 x - 9 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 4 ) 2 - ( - 9 2 ) = 9 16 + 9 2 = 9 16 + 72 16 = 81 16

x1,2 = - 3 4 ± 81 16

x1 = - 3 4 - 9 4 = - 12 4 = -3

x2 = - 3 4 + 9 4 = 6 4 = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; 1,5 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

3x -1 = - -16x x +5

Lösung einblenden

D=R\{ -5 }

Wir multiplizieren den Nenner x +5 weg!

3x -1 = 16x x +5 |⋅( x +5 )
3x · ( x +5 ) -1 · ( x +5 ) = 16x x +5 · ( x +5 )
3 x ( x +5 ) - x -5 = 16x
3 x 2 +15x - x -5 = 16x
3 x 2 +14x -5 = 16x
3 x 2 +14x -5 = 16x | -16x

3 x 2 -2x -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 3 · ( -5 ) 23

x1,2 = +2 ± 4 +60 6

x1,2 = +2 ± 64 6

x1 = 2 + 64 6 = 2 +8 6 = 10 6 = 5 3 ≈ 1.67

x2 = 2 - 64 6 = 2 -8 6 = -6 6 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 -2x -5 = 0 |: 3

x 2 - 2 3 x - 5 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 3 ) 2 - ( - 5 3 ) = 1 9 + 5 3 = 1 9 + 15 9 = 16 9

x1,2 = 1 3 ± 16 9

x1 = 1 3 - 4 3 = - 3 3 = -1

x2 = 1 3 + 4 3 = 5 3 = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 5 3 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 x = 1 x 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

1 x = 1 x 3 |⋅( x 3 )
1 x · x 3 = 1 x 3 · x 3
x 2 = 1
x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 1 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3x -6 +2x = - -34 6x -12

Lösung einblenden

D=R\{ 2 }

x 3( x -2 ) +2x = 34 6( x -2 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 6( x -2 ) weg!

x 3( x -2 ) +2x = 34 6( x -2 ) |⋅( 6( x -2 ) )
x 3( x -2 ) · ( 6( x -2 ) ) + 2x · ( 6( x -2 ) ) = 34 6( x -2 ) · ( 6( x -2 ) )
2x +12 x ( x -2 ) = 34
2x + ( 12 x 2 -24x ) = 34
12 x 2 -22x = 34
12 x 2 -22x = 34 | -34
12 x 2 -22x -34 = 0 |:2

6 x 2 -11x -17 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +11 ± ( -11 ) 2 -4 · 6 · ( -17 ) 26

x1,2 = +11 ± 121 +408 12

x1,2 = +11 ± 529 12

x1 = 11 + 529 12 = 11 +23 12 = 34 12 = 17 6 ≈ 2.83

x2 = 11 - 529 12 = 11 -23 12 = -12 12 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "6 " teilen:

6 x 2 -11x -17 = 0 |: 6

x 2 - 11 6 x - 17 6 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 11 12 ) 2 - ( - 17 6 ) = 121 144 + 17 6 = 121 144 + 408 144 = 529 144

x1,2 = 11 12 ± 529 144

x1 = 11 12 - 23 12 = - 12 12 = -1

x2 = 11 12 + 23 12 = 34 12 = 2.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 17 6 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

x + a x = -9

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

x + a x = -9

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

x + a x = -9 |⋅x
x · x + a x · x = -9 · x
x 2 + a = -9x
x 2 + a +9x = 0
x 2 +9x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +9x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn -( 2 -11 ) = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -11 ) = -22

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +9x -22 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -9 ± 9 2 -4 · 1 · ( -22 ) 21

x1,2 = -9 ± 81 +88 2

x1,2 = -9 ± 169 2

x1 = -9 + 169 2 = -9 +13 2 = 4 2 = 2

x2 = -9 - 169 2 = -9 -13 2 = -22 2 = -11

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - ( -22 ) = 81 4 + 22 = 81 4 + 88 4 = 169 4

x1,2 = - 9 2 ± 169 4

x1 = - 9 2 - 13 2 = - 22 2 = -11

x2 = - 9 2 + 13 2 = 4 2 = 2

L={ -11 ; 2 }