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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x^{2}$

$3$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 - \frac{24}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 10 - \frac{24}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- 10 \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- 10 x - 24$	=	$x \cdot x + x$

- 10 x - 24

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11+5}{- 2}$ = $\frac{16}{- 2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{11-5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 11 x - 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 11 x + 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{33}{3 x + 5} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

\frac{33}{3 x + 5} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{33}{3 x + 5} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{33}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - 5 \cdot (3 x + 5)$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$33 - 15 x - 25$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$- 15 x + 8$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$

- 15 x + 8

=

- 3 x^{2} - 5 x

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10+2}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10-2}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{10}{x}$ = $- \frac{25}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{10}{x}$	=	$- \frac{25}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{25}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 10 x$	=	$- 25$

x^{2} + 10 x

=

- 25

|

+ 25

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 25$ = $25$ $-$ $25$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 5$ ± 0 = $- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{106}{3 x + 12}$ = $- \frac{x}{3 x + 12} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{106}{3 (x + 4)}

=

- \frac{x}{3 (x + 4)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{106}{3 (x + 4)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{106}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + 3 x \cdot (3 (x + 4))$
$106$	=	$- x + 9 x \cdot (x + 4)$
$106$	=	$9 x^{2} + 35 x$

106

=

9 x^{2} + 35 x

|

- 9 x^{2}

- 35 x

$- 9 x^{2} - 35 x + 106$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 106}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 3 816}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{5 041}}{- 18}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{5 041}}{- 18}$ = $\frac{35+71}{- 18}$ = $\frac{106}{- 18}$ = $- \frac{53}{9}$ ≈ -5.89

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{5 041}}{- 18}$ = $\frac{35-71}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 35 x + 106$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{35}{9} x - \frac{106}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{18})}^{2} - (- \frac{106}{9})$ = $\frac{1225}{324}$ $+$ $\frac{106}{9}$ = $\frac{1225}{324}$ $+$ $\frac{3816}{324}$ = $\frac{5041}{324}$

x_1,2 = $- \frac{35}{18}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{324}}$

x₁ = $- \frac{35}{18}$ - $\frac{71}{18}$ = $- \frac{106}{18}$ = -5.8888888888889

x₂ = $- \frac{35}{18}$ + $\frac{71}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{53}{9}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 30$	=	$- x^{2}$
$a x - 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):