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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{40}{x - 1}$ = $- 2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{40}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{40}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 40$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 40$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

- 40

=

- 2 x^{2} + 2 x

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

2 x^{2} - 2 x - 40

= 0 |:2

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{21 x - 8}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{21 x - 8}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{21 x - 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$
$21 x - 8$	=	$2 x \cdot x + 4 x$

21 x - 8

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17+15}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 17-15}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 17 x - 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{- 12 x}{3 x + 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$1$	=	$\frac{12 x}{3 x + 3} - x$
$1$	=	$\frac{12 x}{3 (x + 1)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$1$	=	$\frac{12 x}{3 (x + 1)} - x$	\|⋅( $x + 1$ )
$1 \cdot (x + 1)$	=	$\frac{12 x}{3 (x + 1)} \cdot (x + 1) - x \cdot (x + 1)$
$x + 1$	=	$4 x - x \cdot (x + 1)$
$x + 1$	=	$- x^{2} + 3 x$

x + 1

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{7}{x^{2}} - \frac{18}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{18}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 7 x - 18$	=

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{92}{2 x - 4} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{92}{2 x - 4} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{92}{2 (x - 2)} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{92}{2 (x - 2)} - 3 x$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{92}{2 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - 3 x \cdot (3 (x - 2))$	=
$x + 138 - 9 x \cdot (x - 2)$	=
$x + 138 + (- 9 x^{2} + 18 x)$	=
$- 9 x^{2} + 19 x + 138$	=

$- 9 x^{2} + 19 x + 138$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 138}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 4 968}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{5 329}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{5 329}}{- 18}$ = $\frac{- 19+73}{- 18}$ = $\frac{54}{- 18}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{5 329}}{- 18}$ = $\frac{- 19-73}{- 18}$ = $\frac{- 92}{- 18}$ = $\frac{46}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 19 x + 138$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{19}{9} x - \frac{46}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{18})}^{2} - (- \frac{46}{3})$ = $\frac{361}{324}$ $+$ $\frac{46}{3}$ = $\frac{361}{324}$ $+$ $\frac{4968}{324}$ = $\frac{5329}{324}$

x_1,2 = $\frac{19}{18}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{324}}$

x₁ = $\frac{19}{18}$ - $\frac{73}{18}$ = $- \frac{54}{18}$ = -3

x₂ = $\frac{19}{18}$ + $\frac{73}{18}$ = $\frac{92}{18}$ = 5.1111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{46}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$18 + a x$	=	$- x^{2}$
$18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):