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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{75}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{75}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{75}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x^{2}$

$- 75$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 75$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$75$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{3}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{3}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$x + 3$	=	$x \cdot x - x$

x + 3

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x - 5$ = $- \frac{3}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x - 5$	=	$- \frac{3}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$	=	$- \frac{3}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1) - 5 x - 5$	=	$- 3$
$2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5$	=	$- 3$
$2 x^{2} - 3 x - 5$	=	$- 3$

2 x^{2} - 3 x - 5

=

- 3

|

+ 3

$2 x^{2} - 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{3+5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{3-5}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{2}{x} + \frac{35}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{2}{x} + \frac{35}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{35}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$2 x + 35$

x^{2}

=

2 x + 35

|

- 2 x

- 35

$x^{2} - 2 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2+12}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{2-12}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 35)$ = $1$ $+$ $35$ = $36$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $1$ - $6$ = -5

x₂ = $1$ + $6$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 15,2}{x + 3} + 4 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- \frac{15,2}{x + 3} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 15}$
$- \frac{15,2}{x + 3} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$- \frac{15,2}{x + 3} + 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$\frac{- 15,2}{x + 3} \cdot (5 (x + 3)) + 4 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3))$
$- 76 + 20 x (x + 3)$	=	$- x$
$- 76 + (20 x^{2} + 60 x)$	=	$- x$
$20 x^{2} + 60 x - 76$	=	$- x$

20 x^{2} + 60 x - 76

=

- x

|

+ x

$20 x^{2} + 61 x - 76$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 76)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 + 6 080}}{40}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{9 801}}{40}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{- 61+99}{40}$ = $\frac{38}{40}$ = $0,95$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{9 801}}{40}$ = $\frac{- 61-99}{40}$ = $\frac{- 160}{40}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} + 61 x - 76$ = 0 |: $20$

$x^{2} + \frac{61}{20} x - \frac{19}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{61}{40})}^{2} - (- \frac{19}{5})$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{19}{5}$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{6080}{1600}$ = $\frac{9801}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{61}{40}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{1600}}$

x₁ = $- \frac{61}{40}$ - $\frac{99}{40}$ = $- \frac{160}{40}$ = -4

x₂ = $- \frac{61}{40}$ + $\frac{99}{40}$ = $\frac{38}{40}$ = 0.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,95$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 9 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):