Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{20}{x + 1}$ = $- x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{20}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{20}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$- 20$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$- 20$	=	$- x^{2} - x$

- 20

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x - 8}{3 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 8}{3 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 13 x - 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$
$- 13 x - 8$	=	$3 x \cdot x + 12 x$

- 13 x - 8

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} - 25 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{25+23}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{25-23}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 25 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{25}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{25}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{25}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{25}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 5$ = $- \frac{- 18 x}{x + 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- 5

=

\frac{18 x}{x + 4} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- 5$	=	$\frac{18 x}{x + 4} - x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- 5 \cdot (x + 4)$	=	$\frac{18 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - x \cdot (x + 4)$
$- 5 (x + 4)$	=	$18 x - x \cdot (x + 4)$
$- 5 x - 20$	=	$18 x - x \cdot (x + 4)$
$- 5 x - 20$	=	$- x^{2} + 14 x$

- 5 x - 20

=

- x^{2} + 14 x

|

+ x^{2}

- 14 x

$x^{2} - 19 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19+21}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19-21}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $20$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{8 x + 7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{8 x + 7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{8 x + 7}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$8 x + 7$

- x^{2}

=

8 x + 7

|

- 8 x

- 7

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8+6}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{8-6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{4 x - 8} - \frac{- 17,5}{2 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 x - 8} + \frac{17,5}{2 x - 4}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{17,5}{2 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} + \frac{17,5}{2 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$3 x \cdot (4 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2)) + \frac{17,5}{2 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$12 x \cdot (x - 2)$	=	$- x + 35$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot (- 2)$	=	$- x + 35$
$12 x \cdot x - 24 x$	=	$- x + 35$
$12 x^{2} - 24 x$	=	$- x + 35$

12 x^{2} - 24 x

=

- x + 35

|

+ x

- 35

$12 x^{2} - 23 x - 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 35)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 680}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{2 209}}{24}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{2 209}}{24}$ = $\frac{23+47}{24}$ = $\frac{70}{24}$ = $\frac{35}{12}$ ≈ 2.92

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{2 209}}{24}$ = $\frac{23-47}{24}$ = $\frac{- 24}{24}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 23 x - 35$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{23}{12} x - \frac{35}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{24})}^{2} - (- \frac{35}{12})$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{35}{12}$ = $\frac{529}{576}$ $+$ $\frac{1680}{576}$ = $\frac{2209}{576}$

x_1,2 = $\frac{23}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{576}}$

x₁ = $\frac{23}{24}$ - $\frac{47}{24}$ = $- \frac{24}{24}$ = -1

x₂ = $\frac{23}{24}$ + $\frac{47}{24}$ = $\frac{70}{24}$ = 2.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{35}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):