Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x - 1}$ = $- x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{6}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- x^{2} + x$

- 6

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- 11 + \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 4$	=	$- 11 + \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 4 \cdot x$	=	$- 11 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 4 x$	=	$- 11 x + 8$
$x^{2} - 4 x$	=	$- 11 x + 8$

x^{2} - 4 x

=

- 11 x + 8

|

+ 11 x

- 8

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18 x}{3 x + 4} + x$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{18 x}{3 x + 4} + x$	=	$5$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{18 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4)$	=	$5 \cdot (3 x + 4)$
$18 x + x \cdot (3 x + 4)$	=	$5 (3 x + 4)$
$18 x + (3 x^{2} + 4 x)$	=	$5 (3 x + 4)$
$3 x^{2} + 22 x$	=	$15 x + 20$

3 x^{2} + 22 x

=

15 x + 20

|

- 15 x

- 20

$3 x^{2} + 7 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 7+17}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 7-17}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{6}{x} - \frac{27}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{6}{x} - \frac{27}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x} \cdot x^{2} - \frac{27}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 6 x - 27$	=

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} - 2 x$ = $- \frac{24,8}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{5 (x + 1)} - 2 x

=

- \frac{24,8}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - 2 x$	=	$- \frac{24,8}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - 2 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{24,8}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$x - 10 x \cdot (x + 1)$	=	$- 124$
$x + (- 10 x^{2} - 10 x)$	=	$- 124$
$- 10 x^{2} - 9 x$	=	$- 124$

- 10 x^{2} - 9 x

=

- 124

|

+ 124

$- 10 x^{2} - 9 x + 124$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 124}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 4 960}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{5 041}}{- 20}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{5 041}}{- 20}$ = $\frac{9+71}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{5 041}}{- 20}$ = $\frac{9-71}{- 20}$ = $\frac{- 62}{- 20}$ = $3,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 9 x + 124$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{9}{10} x - \frac{62}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{20})}^{2} - (- \frac{62}{5})$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{62}{5}$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{4960}{400}$ = $\frac{5041}{400}$

x_1,2 = $- \frac{9}{20}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{400}}$

x₁ = $- \frac{9}{20}$ - $\frac{71}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{20}$ + $\frac{71}{20}$ = $\frac{62}{20}$ = 3.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3,1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 7$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 7 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 7 x$	=	$- x^{2}$
$a - 7 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):