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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{30}{x + 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{30}{x + 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{30}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$- 30$	=	$- 2 x \cdot (x + 2)$
$- 30$	=	$- 2 x^{2} - 4 x$

- 30

=

- 2 x^{2} - 4 x

|

+ 2 x^{2}

+ 4 x

2 x^{2} + 4 x - 30

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11 x - 3}{x + 3}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{11 x - 3}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{11 x - 3}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$11 x - 3$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$11 x - 3$	=	$2 x^{2} + 6 x$

11 x - 3

=

2 x^{2} + 6 x

|

- 2 x^{2}

- 6 x

$- 2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 5+1}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 5-1}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3$ = $- \frac{- 77}{3 x - 1} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

3

=

\frac{77}{3 x - 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$3$	=	$\frac{77}{3 x - 1} - x$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$3 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{77}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1)$
$3 (3 x - 1)$	=	$77 - x \cdot (3 x - 1)$
$9 x - 3$	=	$77 - x \cdot (3 x - 1)$
$9 x - 3$	=	$- 3 x^{2} + x + 77$

9 x - 3

=

- 3 x^{2} + x + 77

|

+ 3 x^{2}

- x

- 77

$3 x^{2} + 8 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 960}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{1 024}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{- 8+32}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{1 024}}{6}$ = $\frac{- 8-32}{6}$ = $\frac{- 40}{6}$ = $- \frac{20}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 80$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - \frac{80}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{80}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{80}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{240}{9}$ = $\frac{256}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{256}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{16}{3}$ = $- \frac{20}{3}$ = -6.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{16}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{20}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{24}{x^{2}}$ = $\frac{11}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{24}{x^{2}}$	=	$\frac{11}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{11}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 24$	=	$11 x$

x^{2} + 24

=

11 x

|

- 11 x

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{10}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{10}{x + 3}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{10}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{10}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$- 2 x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 10}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$- 4 x \cdot (x + 3)$	=	$- x - 20$
$- 4 x \cdot x - 4 x \cdot 3$	=	$- x - 20$
$- 4 x \cdot x - 12 x$	=	$- x - 20$
$- 4 x^{2} - 12 x$	=	$- x - 20$

- 4 x^{2} - 12 x

=

- x - 20

|

+ x

+ 20

$- 4 x^{2} - 11 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 20}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 320}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{441}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{11+21}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{11-21}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x + 20$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $5$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{320}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 7$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 7$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 7 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 7 x$	=	$- x^{2}$
$a - 7 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):