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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 35 x + 8}{x - 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 35 x + 8}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 35 x + 8}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$- 35 x + 8$	=	$3 x (x - 4)$
$- 35 x + 8$	=	$3 x^{2} - 12 x$

- 35 x + 8

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23+25}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23-25}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 1$ = $- \frac{4 x}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{- 4 x}{x - 3}$	\|⋅( $x - 3$ )
$x \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x - 3)$	=	$\frac{- 4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$
$x (x - 3) + x - 3$	=	$- \frac{4 x}{1}$
$x (x - 3) + x - 3$	=	$- 4 x$
$x^{2} - 3 x + x - 3$	=	$- 4 x$
$x^{2} - 2 x - 3$	=	$- 4 x$

x^{2} - 2 x - 3

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 6 x + 8$	=

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{35,4}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{35,4}{x + 3}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{35,4}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} - \frac{35,4}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$- 2 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{- 35,4}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$- 10 x (x + 3)$	=	$- x - 177$
$- 10 x \cdot x - 10 x \cdot 3$	=	$- x - 177$
$- 10 x \cdot x - 30 x$	=	$- x - 177$
$- 10 x^{2} - 30 x$	=	$- x - 177$

- 10 x^{2} - 30 x

=

- x - 177

|

+ x

+ 177

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 177}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 080}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{7 921}}{- 20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29+89}{- 20}$ = $\frac{118}{- 20}$ = $- 5,9$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{7 921}}{- 20}$ = $\frac{29-89}{- 20}$ = $\frac{- 60}{- 20}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 29 x + 177$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{29}{10} x - \frac{177}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{177}{10})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{177}{10}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{7080}{400}$ = $\frac{7921}{400}$

x_1,2 = $- \frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{400}}$

x₁ = $- \frac{29}{20}$ - $\frac{89}{20}$ = $- \frac{118}{20}$ = -5.9

x₂ = $- \frac{29}{20}$ + $\frac{89}{20}$ = $\frac{60}{20}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,9$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 20$	=	$- a x$
$x^{2} + 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):