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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{32}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{32}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x \cdot x$
$32$	=	$2 x^{2}$

$32$	=	$2 x^{2}$	\| $- 32$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 17 x + 1}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 17 x + 1}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 17 x + 1}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 20 x$	=	$- 17 x + 1$
$4 x^{2} - 20 x$	=	$- 17 x + 1$

4 x^{2} - 20 x

=

- 17 x + 1

|

+ 17 x

- 1

$4 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{3+5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{3-5}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 119}{x + 3} + 3 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{119}{x + 3} + 3 x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{119}{x + 3} + 3 x + 5$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{119}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) + 5 \cdot (x + 3)$	=
$- 119 + 3 x (x + 3) + 5 x + 15$	=
$- 119 + (3 x^{2} + 9 x) + 5 x + 15$	=
$3 x^{2} + 14 x - 104$	=

$3 x^{2} + 14 x - 104$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 104)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 1 248}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{1 444}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{1 444}}{6}$ = $\frac{- 14+38}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{1 444}}{6}$ = $\frac{- 14-38}{6}$ = $\frac{- 52}{6}$ = $- \frac{26}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x - 104$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x - \frac{104}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{104}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{104}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{312}{9}$ = $\frac{361}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{361}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{19}{3}$ = $- \frac{26}{3}$ = -8.6666666666667

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{19}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{26}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - \frac{70}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{70}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 3 x - 70$	=

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{- 28}{2 x - 4} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6} - \frac{28}{2 x - 4} + x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{28}{2 (x - 2)} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} - \frac{28}{2 (x - 2)} + x$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{- 28}{2 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + x \cdot (3 (x - 2))$	=
$x - 42 + 3 x (x - 2)$	=
$x - 42 + (3 x^{2} - 6 x)$	=
$3 x^{2} - 5 x - 42$	=

$3 x^{2} - 5 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{5+23}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{5-23}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 42$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{504}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = 4.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{14}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 20$	=	$- a x$
$x^{2} - 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):