Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x - 6}$ = $- 2 x$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$\frac{10}{x - 6}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 6$ )
$\frac{10}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$- 2 x \cdot (x - 6)$
$10$	=	$- 2 x \cdot (x - 6)$
$10$	=	$- 2 x^{2} + 12 x$

10

=

- 2 x^{2} + 12 x

|

+ 2 x^{2}

- 12 x

2 x^{2} - 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x + 12}{x + 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{25 x + 12}{x + 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{25 x + 12}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$4 x \cdot (x + 3)$
$25 x + 12$	=	$4 x \cdot (x + 3)$
$25 x + 12$	=	$4 x^{2} + 12 x$

25 x + 12

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 12}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13+19}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{- 8}$ = $\frac{- 13-19}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 10}{3 x - 2}$ = $- x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$- \frac{10}{3 x - 2}$	=	$- x + 3$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$- \frac{10}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$	=	$- x \cdot (3 x - 2) + 3 \cdot (3 x - 2)$
$- 10$	=	$- x \cdot (3 x - 2) + 9 x - 6$
$- 10$	=	$- 3 x^{2} + 11 x - 6$

- 10

=

- 3 x^{2} + 11 x - 6

|

+ 3 x^{2}

- 11 x

+ 6

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11+13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11-13}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{100}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{100}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{100}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 100$	=	$- x^{2}$

$- 100$	=	$- x^{2}$	\| $+ 100$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$100$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{100}$	= $- 10$
x₂	=	$\sqrt{100}$	= $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{26}{3 x - 6} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{3 x - 6} + \frac{26}{3 x - 6} - x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{26}{3 (x - 2)} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + \frac{26}{3 (x - 2)} - x$	=	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + \frac{26}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - x \cdot (3 (x - 2))$	=
$x + 26 - 3 x \cdot (x - 2)$	=
$x + 26 + (- 3 x^{2} + 6 x)$	=
$- 3 x^{2} + 7 x + 26$	=

$- 3 x^{2} + 7 x + 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 26}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 7+19}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 7-19}{- 6}$ = $\frac{- 26}{- 6}$ = $\frac{13}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x + 26$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{26}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{312}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{26}{6}$ = 4.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{13}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 2 x$
$x^{2} + a + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):