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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{16}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{16}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 16$	=	$- x \cdot x$
$- 16$	=	$- x^{2}$

$- 16$	=	$- x^{2}$	\| $+ 16$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{1}{2} + \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{1}{2} + \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 3 \cdot x$	=	$\frac{1}{2} \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 3 x$	=	$\frac{1}{2} x + 2$
$x^{2} - 3 x$	=	$\frac{1}{2} x + 2$

$x^{2} - 3 x$	=	$\frac{1}{2} x + 2$	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - 3 x)$	=	$2 (\frac{1}{2} x + 2)$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$x + 4$	\| $- x$ $- 4$

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 63}{x + 5}$ = $- 3 x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{63}{x + 5}$	=	$- 3 x + 5$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{63}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 3 x \cdot (x + 5) + 5 \cdot (x + 5)$
$- 63$	=	$- 3 x \cdot (x + 5) + 5 x + 25$
$- 63$	=	$- 3 x^{2} - 10 x + 25$

- 63

=

- 3 x^{2} - 10 x + 25

|

+ 3 x^{2}

+ 10 x

- 25

$3 x^{2} + 10 x - 88$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 88)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 1 056}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{1 156}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{- 10+34}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{- 10-34}{6}$ = $\frac{- 44}{6}$ = $- \frac{22}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 88$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{88}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{88}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{88}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{264}{9}$ = $\frac{289}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{289}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{17}{3}$ = $- \frac{22}{3}$ = -7.3333333333333

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{17}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{22}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{21}{x^{4}}$ = $- \frac{10}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{21}{x^{4}}$	=	$- \frac{10}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{21}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 21$	=	$- 10 x$

x^{2} + 21

=

- 10 x

|

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10+4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 10-4}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 5$ - $2$ = -7

x₂ = $- 5$ + $2$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9} + \frac{- 20}{3 x - 9} - 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{3 x - 9} - \frac{20}{3 x - 9} - 3 x$	=	0
$\frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{20}{3 (x - 3)} - 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)} - \frac{20}{3 (x - 3)} - 3 x$	=	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - \frac{20}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 3 x \cdot (3 (x - 3))$	=
$x - 20 - 9 x \cdot (x - 3)$	=
$x - 20 + (- 9 x^{2} + 27 x)$	=
$- 9 x^{2} + 28 x - 20$	=

$- 9 x^{2} + 28 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 720}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{64}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 28+8}{- 18}$ = $\frac{- 20}{- 18}$ = $\frac{10}{9}$ ≈ 1.11

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{64}}{- 18}$ = $\frac{- 28-8}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 28 x - 20$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{28}{9} x + \frac{20}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{14}{9})}^{2} - (\frac{20}{9})$ = $\frac{196}{81}$ $-$ $\frac{20}{9}$ = $\frac{196}{81}$ $-$ $\frac{180}{81}$ = $\frac{16}{81}$

x_1,2 = $\frac{14}{9}$ ± $\sqrt{\frac{16}{81}}$

x₁ = $\frac{14}{9}$ - $\frac{4}{9}$ = $\frac{10}{9}$ = 1.1111111111111

x₂ = $\frac{14}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{10}{9}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 12$
$a x + x^{2} + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):