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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x + 4}$ = $- x$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{x}{x + 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- x \cdot (x + 4)$
$x$	=	$- x (x + 4)$
$x$	=	$- x^{2} - 4 x$

$x$	=	$- x^{2} - 4 x$	\| $- (- x^{2} - 4 x)$
$x^{2} + x + 4 x$	=	0
$x^{2} + 5 x$	=	0
$x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{2} + \frac{3}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{2} + \frac{3}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{2} \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$\frac{9}{2} x + 3$	=	$x \cdot x - x$

$\frac{9}{2} x + 3$	=	$x^{2} - x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{9}{2} x + 3)$	=	$2 (x^{2} - x)$
$9 x + 6$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$

$- 2 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 6}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11+13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 11-13}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 40}{3 x + 4}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- \frac{40}{3 x + 4}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- \frac{40}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4)$	=	$- x \cdot (3 x + 4) + 5 \cdot (3 x + 4)$
$- 40$	=	$- x (3 x + 4) + 15 x + 20$
$- 40$	=	$- 3 x^{2} + 11 x + 20$

- 40

=

- 3 x^{2} + 11 x + 20

|

+ 3 x^{2}

- 11 x

- 20

$3 x^{2} - 11 x - 60$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 720}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{841}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{841}}{6}$ = $\frac{11+29}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{841}}{6}$ = $\frac{11-29}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{20}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{2}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 2 x + 8$

0

=

- x^{2} + 2 x + 8

|

+ x^{2}

- 2 x

- 8

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x + 2}$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{2}{x + 2}

=

- \frac{x}{3 (x + 2)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$- \frac{2}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} - x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$- \frac{2}{x + 2} \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) - x \cdot (3 (x + 2))$
$- 6$	=	$- x - 3 x (x + 2)$
$- 6$	=	$- 3 x^{2} - 7 x$

- 6

=

- 3 x^{2} - 7 x

|

+ 3 x^{2}

+ 7 x

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7+11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7-11}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{18}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{18}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 18$	=	$- x^{2}$
$a x - 18 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $2$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter