Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x - 3}$ = $- x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{10}{x - 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{10}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$- 10$	=	$- x (x - 3)$
$- 10$	=	$- x^{2} + 3 x$

- 10

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{43 x - 24}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{43 x - 24}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{43 x - 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$43 x - 24$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

43 x - 24

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35+29}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35-29}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - 6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x}{2 x + 5} + x$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

- \frac{9 x}{2 x + 5} + x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$- \frac{9 x}{2 x + 5} + x$	=	$2$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$- \frac{9 x}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) + x \cdot (2 x + 5)$	=	$2 \cdot (2 x + 5)$
$- 9 x + x (2 x + 5)$	=	$2 (2 x + 5)$
$- 9 x + (2 x^{2} + 5 x)$	=	$2 (2 x + 5)$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$4 x + 10$

2 x^{2} - 4 x

=

4 x + 10

|

- 4 x

- 10

2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{15}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{15}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$15$	=	$- x^{2} - 8 x$

15

=

- x^{2} - 8 x

|

+ x^{2}

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{- 29,6}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 15} + \frac{29,6}{x - 3}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{29,6}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + \frac{29,6}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$3 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{29,6}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$15 x (x - 3)$	=	$- x + 148$
$15 x \cdot x + 15 x \cdot (- 3)$	=	$- x + 148$
$15 x \cdot x - 45 x$	=	$- x + 148$
$15 x^{2} - 45 x$	=	$- x + 148$

15 x^{2} - 45 x

=

- x + 148

|

+ x

- 148

$15 x^{2} - 44 x - 148$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 148)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 + 8 880}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{10 816}}{30}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{10 816}}{30}$ = $\frac{44+104}{30}$ = $\frac{148}{30}$ = $\frac{74}{15}$ ≈ 4.93

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{10 816}}{30}$ = $\frac{44-104}{30}$ = $\frac{- 60}{30}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 44 x - 148$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{44}{15} x - \frac{148}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{15})}^{2} - (- \frac{148}{15})$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{148}{15}$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{2220}{225}$ = $\frac{2704}{225}$

x_1,2 = $\frac{22}{15}$ ± $\sqrt{\frac{2704}{225}}$

x₁ = $\frac{22}{15}$ - $\frac{52}{15}$ = $- \frac{30}{15}$ = -2

x₂ = $\frac{22}{15}$ + $\frac{52}{15}$ = $\frac{74}{15}$ = 4.9333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{74}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$2 x$
$a + x^{2} - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):