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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9 x}{x + 1}$ = $3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 9 x}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 9 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$3 x (x + 1)$
$- 9 x$	=	$3 x (x + 1)$
$- 9 x$	=	$3 x^{2} + 3 x$

$- 9 x$	=	$3 x^{2} + 3 x$	\| $- (3 x^{2} + 3 x)$
$- 3 x^{2} - 9 x - 3 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 12 x$	=	0
$- 3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x + 4}{x + 3}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{4 x + 4}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{4 x + 4}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$4 x + 4$	=	$2 x (x + 3)$
$4 x + 4$	=	$2 x^{2} + 6 x$

4 x + 4

=

2 x^{2} + 6 x

|

- 2 x^{2}

- 6 x

- 2 x^{2} - 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{10}{x - 5} + 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

3 x

=

- \frac{10}{x - 5} + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{10}{x - 5} + 2$	\|⋅( $x - 5$ )
$3 x \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{10}{x - 5} \cdot (x - 5) + 2 \cdot (x - 5)$
$3 x (x - 5)$	=	$- 10 + 2 x - 10$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 5)$	=	$- 10 + 2 x - 10$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$- 10 + 2 x - 10$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$2 x - 20$

3 x^{2} - 15 x

=

2 x - 20

|

- 2 x

+ 20

$3 x^{2} - 17 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{17+7}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{17-7}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 17 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 3 x - 4}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 3 x - 4}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 3 x - 4}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 3 x - 4$

- x^{2}

=

- 3 x - 4

|

+ 3 x

+ 4

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x - 4} - \frac{- 0,25}{x - 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x - 4} + \frac{0,25}{x - 1} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{0,25}{x - 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{0,25}{x - 1} - 4 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{0,25}{x - 1} \cdot (4 (x - 1)) - 4 x \cdot (4 (x - 1))$
=	$- x + 1 - 16 x (x - 1)$
=	$- 16 x^{2} + 15 x + 1$

0

=

- 16 x^{2} + 15 x + 1

|

+ 16 x^{2}

- 15 x

- 1

$16 x^{2} - 15 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{32}$ = $\frac{15+17}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = $1$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{32}$ = $\frac{15-17}{32}$ = $\frac{- 2}{32}$ = $- \frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 1$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{1}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{1}{16})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{1}{16}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{64}{1024}$ = $\frac{289}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{289}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{17}{32}$ = $- \frac{2}{32}$ = -0.0625

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{17}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 7$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 7 x$
$x^{2} + a + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):