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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{0}{x - 1}$ = $- 2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{0}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{0}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
0	=	$- 2 x (x - 1)$
0	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

0	=	$- 2 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 2 x)$
$2 x^{2} - 2 x$	=	0
$2 x (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{2} - \frac{3}{2 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{2} - \frac{3}{2 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{2} \cdot x - \frac{3}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$- \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$x \cdot x + 2 x$

$- \frac{3}{2} x - \frac{3}{2}$	=	$x^{2} + 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x - \frac{3}{2})$	=	$2 (x^{2} + 2 x)$
$- 3 x - 3$	=	$2 x^{2} + 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 4 x$

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7+5}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{7-5}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x - 5$ = $- \frac{3}{x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$2 x - 5$	=	$- \frac{3}{x - 5}$	\|⋅( $x - 5$ )
$2 x \cdot (x - 5) - 5 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{3}{x - 5} \cdot (x - 5)$
$2 x (x - 5) - 5 x + 25$	=	$- 3$
$2 x^{2} - 10 x - 5 x + 25$	=	$- 3$
$2 x^{2} - 15 x + 25$	=	$- 3$

2 x^{2} - 15 x + 25

=

- 3

|

+ 3

$2 x^{2} - 15 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 28}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{15+1}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{15-1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x + 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - 14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $14$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{15}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{15}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$15$	=	$- x^{2} + 8 x$

15

=

- x^{2} + 8 x

|

+ x^{2}

- 8 x

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + 4 x$ = $- \frac{- 46,5}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{4 (x + 1)} + 4 x

=

\frac{46,5}{2 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{46,5}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 4 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{46,5}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$x + 16 x (x + 1)$	=	$93$
$x + (16 x^{2} + 16 x)$	=	$93$
$16 x^{2} + 17 x$	=	$93$

16 x^{2} + 17 x

=

93

|

- 93

$16 x^{2} + 17 x - 93$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 93)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 5 952}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{6 241}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{- 17+79}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = $\frac{31}{16}$ ≈ 1.94

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{- 17-79}{32}$ = $\frac{- 96}{32}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x - 93$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x - \frac{93}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{93}{16})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{93}{16}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{5952}{1024}$ = $\frac{6241}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{79}{32}$ = $- \frac{96}{32}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{79}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = 1.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{31}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):