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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{0}{x - 4}$ = $- x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{0}{x - 4}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{0}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- x \cdot (x - 4)$
0	=	$- x \cdot (x - 4)$
0	=	$- x^{2} + 4 x$

0	=	$- x^{2} + 4 x$	\| $- (- x^{2} + 4 x)$
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{37 x + 18}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{37 x + 18}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{37 x + 18}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$37 x + 18$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

37 x + 18

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 18}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 21+27}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{- 21-27}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 21 x + 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $\frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $\frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2$ = $- \frac{- 98}{x + 3} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

2

=

\frac{98}{x + 3} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$2$	=	$\frac{98}{x + 3} - 3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$2 \cdot (x + 3)$	=	$\frac{98}{x + 3} \cdot (x + 3) - 3 x \cdot (x + 3)$
$2 (x + 3)$	=	$98 - 3 x \cdot (x + 3)$
$2 x + 6$	=	$98 - 3 x \cdot (x + 3)$
$2 x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 9 x + 98$

2 x + 6

=

- 3 x^{2} - 9 x + 98

|

+ 3 x^{2}

+ 9 x

- 98

$3 x^{2} + 11 x - 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 92)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 1 104}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1 225}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 11+35}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 11-35}{6}$ = $\frac{- 46}{6}$ = $- \frac{23}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x - 92$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x - \frac{92}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{92}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{92}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{1104}{36}$ = $\frac{1225}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{35}{6}$ = $- \frac{46}{6}$ = -7.6666666666667

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{35}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{23}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x} - \frac{48}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{2}{x} - \frac{48}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{2}{x} \cdot x^{2} - \frac{48}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$2 x - 48$	=	$- x^{2}$

2 x - 48

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{112,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 15} - \frac{112,8}{x - 3}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{112,8}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{112,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$- 4 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 112,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$- 20 x \cdot (x - 3)$	=	$- x - 564$
$- 20 x \cdot x - 20 x \cdot (- 3)$	=	$- x - 564$
$- 20 x \cdot x + 60 x$	=	$- x - 564$
$- 20 x^{2} + 60 x$	=	$- x - 564$

- 20 x^{2} + 60 x

=

- x - 564

|

+ x

+ 564

$- 20 x^{2} + 61 x + 564$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 564}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 + 45 120}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{48 841}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{48 841}}{- 40}$ = $\frac{- 61+221}{- 40}$ = $\frac{160}{- 40}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{48 841}}{- 40}$ = $\frac{- 61-221}{- 40}$ = $\frac{- 282}{- 40}$ = $7,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 61 x + 564$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{61}{20} x - \frac{141}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{61}{40})}^{2} - (- \frac{141}{5})$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{141}{5}$ = $\frac{3721}{1600}$ $+$ $\frac{45120}{1600}$ = $\frac{48841}{1600}$

x_1,2 = $\frac{61}{40}$ ± $\sqrt{\frac{48841}{1600}}$

x₁ = $\frac{61}{40}$ - $\frac{221}{40}$ = $- \frac{160}{40}$ = -4

x₂ = $\frac{61}{40}$ + $\frac{221}{40}$ = $\frac{282}{40}$ = 7.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7,05$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):