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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$10$ = $- 2 x$

$10$	=	$- 2 x$	\| $- 10$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{29 x + 9}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{29 x + 9}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{29 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$29 x + 9$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

29 x + 9

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 20 x}{2 x + 2} - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$x$	=	$\frac{20 x}{2 x + 2} - 4$
$x$	=	$\frac{20 x}{2 (x + 1)} - 4$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$\frac{20 x}{2 (x + 1)} - 4$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{20 x}{2 (x + 1)} \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$
$x (x + 1)$	=	$10 x - 4 x - 4$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$10 x - 4 x - 4$
$x \cdot x + x$	=	$10 x - 4 x - 4$
$x^{2} + x$	=	$6 x - 4$

x^{2} + x

=

6 x - 4

|

- 6 x

+ 4

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$16$

$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9} + 3 x$ = $- \frac{32}{6 x - 18}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{3 (x - 3)} + 3 x

=

- \frac{32}{6 (x - 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)} + 3 x$	=	$- \frac{32}{6 (x - 3)}$	\|⋅( $6 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3)) + 3 x \cdot (6 (x - 3))$	=	$- \frac{32}{6 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3))$
$2 x + 18 x (x - 3)$	=	$- 32$
$2 x + (18 x^{2} - 54 x)$	=	$- 32$
$18 x^{2} - 52 x$	=	$- 32$

18 x^{2} - 52 x

=

- 32

|

+ 32

18 x^{2} - 52 x + 32

= 0 |:2

$9 x^{2} - 26 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 16}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 - 576}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{100}}{18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{100}}{18}$ = $\frac{26+10}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = $2$

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{100}}{18}$ = $\frac{26-10}{18}$ = $\frac{16}{18}$ = $\frac{8}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 26 x + 16$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{26}{9} x + \frac{16}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{9})}^{2} - (\frac{16}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $-$ $\frac{16}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $-$ $\frac{144}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $\frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $\frac{13}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $\frac{8}{9}$ = 0.88888888888889

x₂ = $\frac{13}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{9}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 20$	=	$- a x$
$x^{2} + 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):