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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x + 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{18}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{18}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 18$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 18$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

- 18

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

3 x^{2} + 3 x - 18

= 0 |:3

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x + 5}{x - 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{2 x + 5}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{2 x + 5}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$2 x + 5$	=	$3 x (x - 4)$
$2 x + 5$	=	$3 x^{2} - 12 x$

2 x + 5

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} + 14 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 14+16}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{- 14-16}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 14 x + 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{15}{3}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 33}{x + 1} - 2 x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0

=

\frac{33}{x + 1} - 2 x + 3

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

=	$\frac{33}{x + 1} - 2 x + 3$	\|⋅( $x + 1$ )
=	$\frac{33}{x + 1} \cdot (x + 1) - 2 x \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x + 1)$
=	$33 - 2 x (x + 1) + 3 x + 3$
=	$- 2 x^{2} + x + 36$

0

=

- 2 x^{2} + x + 36

|

+ 2 x^{2}

- x

- 36

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 14 x + 40}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 14 x + 40}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 14 x + 40}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 14 x + 40$

- x^{2}

=

- 14 x + 40

|

+ 14 x

- 40

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14+6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14-6}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{- 17}{x - 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 2} + \frac{17}{x - 1} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{17}{x - 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{17}{x - 1} - 3 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{17}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) - 3 x \cdot (2 (x - 1))$
=	$- x + 34 - 6 x (x - 1)$
=	$- 6 x^{2} + 5 x + 34$

0

=

- 6 x^{2} + 5 x + 34

|

+ 6 x^{2}

- 5 x

- 34

$6 x^{2} - 5 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 34)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 816}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{841}}{12}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{5+29}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = $\frac{17}{6}$ ≈ 2.83

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{5-29}{12}$ = $\frac{- 24}{12}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 5 x - 34$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{5}{6} x - \frac{17}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{12})}^{2} - (- \frac{17}{3})$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{17}{3}$ = $\frac{25}{144}$ $+$ $\frac{816}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $\frac{5}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $\frac{5}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = 2.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{17}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$4 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$4 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$4 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$4 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$4 x + a$	=	$- x^{2}$
$4 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):