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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{0}{x - 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{0}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{0}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
0	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
0	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

0	=	$- 3 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 3 x)$
$3 x^{2} - 3 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 25 x + 14}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 25 x + 14}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 25 x + 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 25 x + 14$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 25 x + 14

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 19 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 14}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{19+23}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{19-23}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x + 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{42}{6}$ = -7

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18 x}{2 x - 4} + x + 4$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- \frac{18 x}{2 x - 4} + x + 4$	=	0
$- \frac{18 x}{2 (x - 2)} + x + 4$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{18 x}{2 (x - 2)} + x + 4$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{18 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 4 \cdot (x - 2)$	=
$- 9 x + x \cdot (x - 2) + 4 x - 8$	=
$- 9 x + (x^{2} - 2 x) + 4 x - 8$	=
$x^{2} - 7 x - 8$	=

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$ = $\frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$	=	$\frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 2 x$	=	$24$

x^{2} + 2 x

=

24

|

- 24

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 4}$ = $- \frac{- 2,5}{x - 2} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{2 x - 4}$	=	$\frac{2,5}{x - 2} + 2 x$
$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$\frac{2,5}{x - 2} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 2)}$	=	$\frac{2,5}{x - 2} + 2 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
$\frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2))$	=	$\frac{2,5}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 2 x \cdot (2 (x - 2))$
$x$	=	$5 + 4 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$4 x^{2} - 8 x + 5$

x

=

4 x^{2} - 8 x + 5

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

- 5

$- 4 x^{2} + 9 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{- 9+1}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{- 9-1}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x - 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (\frac{5}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $1,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 2 x$	=	$- a$
$x^{2} + 2 x + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):