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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 2 x$

0	=	$- 2 x$
0	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{2} + \frac{1}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{2} + \frac{1}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{2} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$\frac{7}{2} x + 1$	=	$x \cdot x + 5 x$

$\frac{7}{2} x + 1$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x + 1)$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$7 x + 2$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 2}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3+5}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{3-5}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x + 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{14 x}{x - 5} - x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

=	$- \frac{14 x}{x - 5} - x + 2$	\|⋅( $x - 5$ )
=	$- \frac{14 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5) + 2 \cdot (x - 5)$
=	$- 14 x - x \cdot (x - 5) + 2 x - 10$
=	$- x^{2} - 7 x - 10$

0

=

- x^{2} - 7 x - 10

|

+ x^{2}

+ 7 x

+ 10

$x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7+3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 7-3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{7}{x}$ = $- \frac{6}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{7}{x}$	=	$- \frac{6}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{7}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 7 x$	=	$- 6$

x^{2} + 7 x

=

- 6

|

+ 6

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 50}{3 x - 12} - 4 x$ = $- \frac{x}{3 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{50}{3 x - 12} - 4 x$	=	$\frac{- x}{3 x - 12}$
$- \frac{50}{3 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$- \frac{50}{3 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$- \frac{50}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) - 4 x \cdot (3 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$- 50 - 12 x \cdot (x - 4)$	=	$- x$
$- 50 + (- 12 x^{2} + 48 x)$	=	$- x$
$- 12 x^{2} + 48 x - 50$	=	$- x$

- 12 x^{2} + 48 x - 50

=

- x

|

+ x

$- 12 x^{2} + 49 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 50)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 2 400}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{- 49+1}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1}}{- 24}$ = $\frac{- 49-1}{- 24}$ = $\frac{- 50}{- 24}$ = $\frac{25}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 49 x - 50$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{49}{12} x + \frac{25}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{49}{24})}^{2} - (\frac{25}{6})$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{25}{6}$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{2400}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $\frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $\frac{49}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

x₂ = $\frac{49}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $\frac{50}{24}$ = 2.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $\frac{25}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):