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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3}$ = $2 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$

$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- (2 x^{2} - 6 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x + 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14 x - 2}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{14 x - 2}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{14 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$14 x - 2$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

14 x - 2

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5+1}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5-1}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{20}{2 x - 4} + x + 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{20}{2 x - 4} + x + 5$	=	0
$\frac{20}{2 (x - 2)} + x + 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{20}{2 (x - 2)} + x + 5$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{20}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 5 \cdot (x - 2)$	=
$10 + x \cdot (x - 2) + 5 x - 10$	=
$10 + (x^{2} - 2 x) + 5 x - 10$	=
$x^{2} + 3 x$	=

$x^{2} + 3 x$	=	0
$x \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 12$	=	$- 4 x$

x^{2} - 12

=

- 4 x

|

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6}$ = $- \frac{- 1,5}{x - 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6}$	=	$\frac{1,5}{x - 3} + 2 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$\frac{1,5}{x - 3} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$\frac{1,5}{x - 3} + 2 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{1,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 2 x \cdot (2 (x - 3))$
$x$	=	$3 + 4 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$4 x^{2} - 12 x + 3$

x

=

4 x^{2} - 12 x + 3

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

- 3

$- 4 x^{2} + 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 13+11}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 13-11}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,25$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):