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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 19 x - 8}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 19 x - 8}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 19 x - 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 19 x - 8$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 19 x - 8

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 17 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{17+15}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{17-15}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 17 x - 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1$ = $- \frac{- 70}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- 1

=

\frac{70}{x - 4} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- 1$	=	$\frac{70}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- 1 \cdot (x - 4)$	=	$\frac{70}{x - 4} \cdot (x - 4) - 3 x \cdot (x - 4)$
$- (x - 4)$	=	$70 - 3 x (x - 4)$
$- x + 4$	=	$70 - 3 x (x - 4)$
$- x + 4$	=	$- 3 x^{2} + 12 x + 70$

- x + 4

=

- 3 x^{2} + 12 x + 70

|

+ 3 x^{2}

- 12 x

- 70

$3 x^{2} - 13 x - 66$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 66)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 792}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{961}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{961}}{6}$ = $\frac{13+31}{6}$ = $\frac{44}{6}$ = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{961}}{6}$ = $\frac{13-31}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 66$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - 22$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $22$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{792}{36}$ = $\frac{961}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{961}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{31}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{31}{6}$ = $\frac{44}{6}$ = 7.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{22}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x}$ = $- 1 - \frac{9}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{10}{x}$	=	$- 1 - \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$10 x$	=	$- x^{2} - 9$

10 x

=

- x^{2} - 9

|

+ x^{2}

+ 9

$x^{2} + 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10+8}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 10-8}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 5$ - $4$ = -9

x₂ = $- 5$ + $4$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 9} - \frac{- 44}{6 x + 18}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 9} + \frac{44}{6 x + 18}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{44}{6 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{44}{6 (x + 3)}$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$- 4 x \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{44}{6 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$
$- 12 x (x + 3)$	=	$- x + 22$
$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot 3$	=	$- x + 22$
$- 12 x \cdot x - 36 x$	=	$- x + 22$
$- 12 x^{2} - 36 x$	=	$- x + 22$

- 12 x^{2} - 36 x

=

- x + 22

|

+ x

- 22

$- 12 x^{2} - 35 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 22)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 - 1 056}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{169}}{- 24}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{35+13}{- 24}$ = $\frac{48}{- 24}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{169}}{- 24}$ = $\frac{35-13}{- 24}$ = $\frac{22}{- 24}$ = $- \frac{11}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 35 x - 22$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{35}{12} x + \frac{11}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{35}{24})}^{2} - (\frac{11}{6})$ = $\frac{1225}{576}$ $-$ $\frac{11}{6}$ = $\frac{1225}{576}$ $-$ $\frac{1056}{576}$ = $\frac{169}{576}$

x_1,2 = $- \frac{35}{24}$ ± $\sqrt{\frac{169}{576}}$

x₁ = $- \frac{35}{24}$ - $\frac{13}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $- \frac{35}{24}$ + $\frac{13}{24}$ = $- \frac{22}{24}$ = -0.91666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{11}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 7 x$	=	$- a$
$x^{2} + 7 x + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):