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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 3}$ = $2 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{4 x}{x - 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$

$4 x$	=	$2 x^{2} - 6 x$	\| $- (2 x^{2} - 6 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x + 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x - 1}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 13 x - 1}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 13 x - 1}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 13 x - 1$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 13 x - 1$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 13 x - 1

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} - 4 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{4+2}{- 6}$ = $\frac{6}{- 6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{4-2}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 4 x - 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x}{x - 5} + x - 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{16 x}{x - 5} + x - 3$	=	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{16 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + x \cdot (x - 5) - 3 \cdot (x - 5)$	=
$16 x + x \cdot (x - 5) - 3 x + 15$	=
$16 x + (x^{2} - 5 x) - 3 x + 15$	=
$x^{2} + 8 x + 15$	=

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8+2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 8-2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{8 x + 15}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{8 x + 15}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{8 x + 15}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$8 x + 15$

- x^{2}

=

8 x + 15

|

- 8 x

- 15

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8+2}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{8-2}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 4$ - $1$ = -5

x₂ = $- 4$ + $1$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8,2}{x - 3} - 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- \frac{8,2}{x - 3} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 15}$
$- \frac{8,2}{x - 3} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$- \frac{8,2}{x - 3} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{- 8,2}{x - 3} \cdot (5 (x - 3)) - 4 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3))$
$- 41 - 20 x \cdot (x - 3)$	=	$- x$
$- 41 + (- 20 x^{2} + 60 x)$	=	$- x$
$- 20 x^{2} + 60 x - 41$	=	$- x$

- 20 x^{2} + 60 x - 41

=

- x

|

+ x

$- 20 x^{2} + 61 x - 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 41)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 - 3 280}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{441}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{441}}{- 40}$ = $\frac{- 61+21}{- 40}$ = $\frac{- 40}{- 40}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{441}}{- 40}$ = $\frac{- 61-21}{- 40}$ = $\frac{- 82}{- 40}$ = $2,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 61 x - 41$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{61}{20} x + \frac{41}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{61}{40})}^{2} - (\frac{41}{20})$ = $\frac{3721}{1600}$ $-$ $\frac{41}{20}$ = $\frac{3721}{1600}$ $-$ $\frac{3280}{1600}$ = $\frac{441}{1600}$

x_1,2 = $\frac{61}{40}$ ± $\sqrt{\frac{441}{1600}}$

x₁ = $\frac{61}{40}$ - $\frac{21}{40}$ = $\frac{40}{40}$ = 1

x₂ = $\frac{61}{40}$ + $\frac{21}{40}$ = $\frac{82}{40}$ = 2.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2,05$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$2 x + x^{2}$	=	$- a$
$2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):