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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12 x}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$12 x$	=	$- 3 x (x - 1)$
$12 x$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

$12 x$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 3 x)$
$3 x^{2} + 12 x - 3 x$	=	0
$3 x^{2} + 9 x$	=	0
$3 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7 x - 6}{x - 2}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 7 x - 6}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 7 x - 6}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$- 7 x - 6$	=	$x (x - 2)$
$- 7 x - 6$	=	$x^{2} - 2 x$

- 7 x - 6

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 54}{x + 2} + 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{54}{x + 2} + 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{54}{x + 2} + 5$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{54}{x + 2} \cdot (x + 2) + 5 \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 54 + 5 x + 10$	=	$- x (x + 2)$
$5 x - 44$	=	$- x^{2} - 2 x$

5 x - 44

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} + 7 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7+15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 7-15}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 44)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $44$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{176}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{18}{x^{2}}$ = $- \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{18}{x^{2}}$	=	$- \frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 18$	=	$- 7 x$

x^{2} - 18

=

- 7 x

|

+ 7 x

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{- 47}{x + 1}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4} - \frac{47}{x + 1}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{47}{x + 1}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{47}{x + 1}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 47}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- 4 x \cdot (4 (x + 1))$
$x - 188$	=	$- 16 x (x + 1)$
$x - 188$	=	$- 16 x^{2} - 16 x$

x - 188

=

- 16 x^{2} - 16 x

|

+ 16 x^{2}

+ 16 x

$16 x^{2} + 17 x - 188$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 188)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 12 032}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{12 321}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{12 321}}{32}$ = $\frac{- 17+111}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = $\frac{47}{16}$ ≈ 2.94

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{12 321}}{32}$ = $\frac{- 17-111}{32}$ = $\frac{- 128}{32}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x - 188$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x - \frac{47}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{47}{4})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{47}{4}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{12032}{1024}$ = $\frac{12321}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{12321}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{111}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{111}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = 2.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{47}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$8 + a x$	=	$- x^{2}$
$8 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):