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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x}{x - 3}$ = $- 2 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{10 x}{x - 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{10 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$10 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 3)$
$10 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$

$10 x$	=	$- 2 x^{2} + 6 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 6 x)$
$2 x^{2} + 10 x - 6 x$	=	0
$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17 x + 8}{2 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{17 x + 8}{2 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{17 x + 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x$
$17 x + 8$	=	$2 x \cdot x + 2 x$

17 x + 8

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15+17}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15-17}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{4 x}{x - 3} - x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$- \frac{4 x}{x - 3} - x - 1$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$- \frac{4 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - x \cdot (x - 3) - 1 \cdot (x - 3)$
=	$- 4 x - x \cdot (x - 3) - x + 3$
=	$- x^{2} - 2 x + 3$

0

=

- x^{2} - 2 x + 3

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 3

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{9}{x^{3}} + \frac{20}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{9}{x^{3}} + \frac{20}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{20}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$9 x + 20$	=	$- x^{2}$

9 x + 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 12} + 2 x$ = $- \frac{- 35,25}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x

=

\frac{35,25}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x$	=	$\frac{35,25}{x - 3}$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + 2 x \cdot (4 (x - 3))$	=	$\frac{35,25}{x - 3} \cdot (4 (x - 3))$
$x + 8 x \cdot (x - 3)$	=	$141$
$x + (8 x^{2} - 24 x)$	=	$141$
$8 x^{2} - 23 x$	=	$141$

8 x^{2} - 23 x

=

141

|

- 141

$8 x^{2} - 23 x - 141$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 141)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 4 512}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{5 041}}{16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{5 041}}{16}$ = $\frac{23+71}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = $5,875$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{5 041}}{16}$ = $\frac{23-71}{16}$ = $\frac{- 48}{16}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 23 x - 141$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{23}{8} x - \frac{141}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{141}{8})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{141}{8}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{4512}{256}$ = $\frac{5041}{256}$

x_1,2 = $\frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{256}}$

x₁ = $\frac{23}{16}$ - $\frac{71}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $\frac{23}{16}$ + $\frac{71}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = 5.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5,875$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$15 + x^{2}$	=	$- a x$
$15 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):