Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{30}{x - 2}$ = $2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{30}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{30}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$30$	=	$2 x (x - 2)$
$30$	=	$2 x^{2} - 4 x$

30

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

- 2 x^{2} + 4 x + 30

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2+8}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 2-8}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 43 x - 21}{4 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 43 x - 21}{4 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 43 x - 21}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$
$- 43 x - 21$	=	$4 x \cdot x - 12 x$

- 43 x - 21

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31+25}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31-25}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x + \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{4})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 27}{2 x - 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{27}{2 x - 5}$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$x \cdot (2 x - 5) + 5 \cdot (2 x - 5)$	=	$\frac{27}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$
$x (2 x - 5) + 10 x - 25$	=	$27$
$2 x^{2} - 5 x + 10 x - 25$	=	$27$
$2 x^{2} + 5 x - 25$	=	$27$

2 x^{2} + 5 x - 25

=

27

|

- 27

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 416}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{441}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5+21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{441}}{4}$ = $\frac{- 5-21}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 52$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 26$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $26$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{416}{16}$ = $\frac{441}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{441}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{21}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{21}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{24}{x^{3}}$ = $- \frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{24}{x^{3}}$	=	$- \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 24$	=	$- 10 x$

x^{2} + 24

=

- 10 x

|

+ 10 x

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x - 5} - \frac{- 48,8}{x - 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x - 5} + \frac{48,8}{x - 1} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{48,8}{x - 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} + \frac{48,8}{x - 1} - 4 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{48,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) - 4 x \cdot (5 (x - 1))$
=	$- x + 244 - 20 x (x - 1)$
=	$- 20 x^{2} + 19 x + 244$

0

=

- 20 x^{2} + 19 x + 244

|

+ 20 x^{2}

- 19 x

- 244

$20 x^{2} - 19 x - 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 244)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 19 520}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{19 881}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{19+141}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = $4$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{19 881}}{40}$ = $\frac{19-141}{40}$ = $\frac{- 122}{40}$ = $- 3,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 244$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{61}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{61}{5})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{61}{5}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{19520}{1600}$ = $\frac{19881}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{19881}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{141}{40}$ = $- \frac{122}{40}$ = -3.05

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{141}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,05$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 2 x$
$x^{2} + a + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):