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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x + 3}$ = $3 x$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{12}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{12}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$12$	=	$3 x (x + 3)$
$12$	=	$3 x^{2} + 9 x$

12

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

- 3 x^{2} - 9 x + 12

= 0 |:3

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x + 12}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 6 x + 12}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 6 x + 12}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$- 6 x + 12$	=	$2 x (x + 2)$
$- 6 x + 12$	=	$2 x^{2} + 4 x$

- 6 x + 12

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2 x^{2} - 10 x + 12

= 0 |:2

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5+7}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{5-7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $- \frac{- 25}{3 x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{25}{3 x - 1}$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$x \cdot (3 x - 1) + 3 \cdot (3 x - 1)$	=	$\frac{25}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$
$x (3 x - 1) + 9 x - 3$	=	$25$
$3 x^{2} - x + 9 x - 3$	=	$25$
$3 x^{2} + 8 x - 3$	=	$25$

3 x^{2} + 8 x - 3

=

25

|

- 25

$3 x^{2} + 8 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 8+20}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{- 8-20}{6}$ = $\frac{- 28}{6}$ = $- \frac{14}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{28}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{84}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{14}{3}$ = -4.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{14}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{11}{x}$ = $- \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{11}{x}$	=	$- \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{11}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 11 x$	=	$- 30$

x^{2} + 11 x

=

- 30

|

+ 30

$x^{2} + 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11+1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 11-1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 496}{6 x - 18}$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{496}{6 (x - 3)}

=

- \frac{x}{3 (x - 3)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 3)$ weg!

$- \frac{496}{6 (x - 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - 3 x$	\|⋅( $6 (x - 3)$ )
$- \frac{496}{6 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (6 (x - 3)) - 3 x \cdot (6 (x - 3))$
$- 496$	=	$- 2 x - 18 x (x - 3)$
$- 496$	=	$- 18 x^{2} + 52 x$

- 496

=

- 18 x^{2} + 52 x

|

+ 18 x^{2}

- 52 x

18 x^{2} - 52 x - 496

= 0 |:2

$9 x^{2} - 26 x - 248$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 248)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 8 928}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{9 604}}{18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{9 604}}{18}$ = $\frac{26+98}{18}$ = $\frac{124}{18}$ = $\frac{62}{9}$ ≈ 6.89

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{9 604}}{18}$ = $\frac{26-98}{18}$ = $\frac{- 72}{18}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 26 x - 248$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{26}{9} x - \frac{248}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{9})}^{2} - (- \frac{248}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{248}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{2232}{81}$ = $\frac{2401}{81}$

x_1,2 = $\frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{81}}$

x₁ = $\frac{13}{9}$ - $\frac{49}{9}$ = $- \frac{36}{9}$ = -4

x₂ = $\frac{13}{9}$ + $\frac{49}{9}$ = $\frac{62}{9}$ = 6.8888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{62}{9}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 24 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 24 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):