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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{18}{x + 1}$ = $- 3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{18}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{18}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 18$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 18$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

- 18

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

3 x^{2} + 3 x - 18

= 0 |:3

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{2} - \frac{1}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{2} - \frac{1}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{2} \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$\frac{7}{2} x - 1$	=	$x \cdot x + x$

$\frac{7}{2} x - 1$	=	$x^{2} + x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x - 1)$	=	$2 (x^{2} + x)$
$7 x - 2$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 2 x$

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4$ = $- \frac{16 x}{x - 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- 4$	=	$- \frac{16 x}{x - 4} - x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- 4 \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{16 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - x \cdot (x - 4)$
$- 4 (x - 4)$	=	$- 16 x - x \cdot (x - 4)$
$- 4 x + 16$	=	$- 16 x - x \cdot (x - 4)$
$- 4 x + 16$	=	$- x^{2} - 12 x$

- 4 x + 16

=

- x^{2} - 12 x

|

+ x^{2}

+ 12 x

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{2}{x^{2}}$ = $\frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{2}{x^{2}}$	=	$\frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 2$	=	$x$

x^{2} - 2

=

x

|

- x

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 284}{6 x - 24} + 4 x$ = $- \frac{x}{3 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{284}{6 x - 24} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 x - 12}$
$- \frac{284}{6 (x - 4)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$- \frac{284}{6 (x - 4)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{- 284}{6 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + 4 x \cdot (3 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$- 142 + 12 x \cdot (x - 4)$	=	$- x$
$- 142 + (12 x^{2} - 48 x)$	=	$- x$
$12 x^{2} - 48 x - 142$	=	$- x$

12 x^{2} - 48 x - 142

=

- x

|

+ x

$12 x^{2} - 47 x - 142$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 142)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 6 816}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{9 025}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{9 025}}{24}$ = $\frac{47+95}{24}$ = $\frac{142}{24}$ = $\frac{71}{12}$ ≈ 5.92

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{9 025}}{24}$ = $\frac{47-95}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x - 142$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x - \frac{71}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{71}{6})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{71}{6}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{6816}{576}$ = $\frac{9025}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{9025}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{95}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{95}{24}$ = $\frac{142}{24}$ = 5.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{71}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 9 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):