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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{15 x}{x + 4}$ = $3 x$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{15 x}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{15 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$15 x$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$15 x$	=	$3 x^{2} + 12 x$

$15 x$	=	$3 x^{2} + 12 x$	\| $- (3 x^{2} + 12 x)$
$- 3 x^{2} + 15 x - 12 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 3 x$	=	0
$3 x \cdot (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x + 24}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 9 x + 24}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 9 x + 24}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$- 9 x + 24$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$- 9 x + 24$	=	$2 x^{2} + 4 x$

- 9 x + 24

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

$- 2 x^{2} - 13 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 24}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13+19}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13-19}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x + 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 4$ = $- \frac{- 52}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x - 4$	=	$\frac{52}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{52}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$3 x \cdot (x - 1) - 4 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} - 3 x - 4 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} - 7 x + 4$	=	$52$

3 x^{2} - 7 x + 4

=

52

|

- 52

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7+25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7-25}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{16}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{9}{x} - \frac{20}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{9}{x} - \frac{20}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{9}{x} \cdot x^{2} - \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$9 x - 20$

x^{2}

=

9 x - 20

|

- 9 x

+ 20

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{16,5}{x - 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{16,5}{x - 3} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{16,5}{x - 3} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{16,5}{x - 3} + 4 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{- 16,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 4 x \cdot (2 (x - 3))$
=	$- x - 33 + 8 x \cdot (x - 3)$
=	$8 x^{2} - 25 x - 33$

0

=

8 x^{2} - 25 x - 33

|

- 8 x^{2}

+ 25 x

+ 33

$- 8 x^{2} + 25 x + 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 33}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 056}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 681}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{- 25+41}{- 16}$ = $\frac{16}{- 16}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{- 25-41}{- 16}$ = $\frac{- 66}{- 16}$ = $4,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 25 x + 33$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{25}{8} x - \frac{33}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{33}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{33}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{1056}{256}$ = $\frac{1681}{256}$

x_1,2 = $\frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{256}}$

x₁ = $\frac{25}{16}$ - $\frac{41}{16}$ = $- \frac{16}{16}$ = -1

x₂ = $\frac{25}{16}$ + $\frac{41}{16}$ = $\frac{66}{16}$ = 4.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$7 x$
$a + x^{2} - 7 x$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):