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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{12}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{12}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$12$	=	$3 x \cdot x$
$12$	=	$3 x^{2}$

$12$	=	$3 x^{2}$	\| $- 12$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 12$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 + \frac{3}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 7 + \frac{3}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 7 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 7 x + 3$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 7 x + 3

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x + 4$ = $- \frac{- 9 x}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2 x + 4$	=	$\frac{9 x}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$2 x \cdot (x - 1) + 4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{9 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$2 x (x - 1) + 4 x - 4$	=	$9 x$
$2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4$	=	$9 x$
$2 x^{2} + 2 x - 4$	=	$9 x$

2 x^{2} + 2 x - 4

=

9 x

|

- 9 x

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16 x + 63}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{16 x + 63}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{16 x + 63}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$16 x + 63$	=	$- x^{2}$

16 x + 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16}$ = $- \frac{- 1}{x - 4} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16}$	=	$\frac{1}{x - 4} + 2 x$
$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{1}{x - 4} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)}$	=	$\frac{1}{x - 4} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{1}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) + 2 x \cdot (4 (x - 4))$
$x$	=	$4 + 8 x (x - 4)$
$x$	=	$8 x^{2} - 32 x + 4$

x

=

8 x^{2} - 32 x + 4

|

- 8 x^{2}

+ 32 x

- 4

$- 8 x^{2} + 33 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{961}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{961}}{- 16}$ = $\frac{- 33+31}{- 16}$ = $\frac{- 2}{- 16}$ = $0,125$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{961}}{- 16}$ = $\frac{- 33-31}{- 16}$ = $\frac{- 64}{- 16}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 4$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{128}{256}$ = $\frac{961}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{961}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{31}{16}$ = $\frac{2}{16}$ = 0.125

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{31}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{12}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{12}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$12$
$a x + x^{2} - 12$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):