Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{x - 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{8 x}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{8 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 4 x)$
$2 x^{2} + 8 x - 4 x$	=	0
$2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $\frac{5 x + 2}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{5 x + 2}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$	=	$\frac{5 x + 2}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 6 x$	=	$5 x + 2$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$5 x + 2$

3 x^{2} + 6 x

=

5 x + 2

|

- 5 x

- 2

$3 x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1+5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 1-5}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x}{x + 1} + 2 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{8 x}{x + 1} + 2 x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{8 x}{x + 1} + 2 x$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1)$	=	$- 2 \cdot (x + 1)$
$- 8 x + 2 x \cdot (x + 1)$	=	$- 2 (x + 1)$
$- 8 x + (2 x^{2} + 2 x)$	=	$- 2 (x + 1)$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$- 2 x - 2$

2 x^{2} - 6 x

=

- 2 x - 2

|

+ 2 x

+ 2

2 x^{2} - 4 x + 2

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{4}{x^{3}} + \frac{5}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$- 4 x + 5$

x^{2}

=

- 4 x + 5

|

+ 4 x

- 5

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{- 47}{x + 1} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 4} + \frac{47}{x + 1} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{47}{x + 1} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{47}{x + 1} - 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{47}{x + 1} \cdot (4 (x + 1)) - 4 x \cdot (4 (x + 1))$
=	$- x + 188 - 16 x \cdot (x + 1)$
=	$- 16 x^{2} - 17 x + 188$

0

=

- 16 x^{2} - 17 x + 188

|

+ 16 x^{2}

+ 17 x

- 188

$16 x^{2} + 17 x - 188$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 188)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 12 032}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{12 321}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{12 321}}{32}$ = $\frac{- 17+111}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = $\frac{47}{16}$ ≈ 2.94

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{12 321}}{32}$ = $\frac{- 17-111}{32}$ = $\frac{- 128}{32}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x - 188$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x - \frac{47}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{47}{4})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{47}{4}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{12032}{1024}$ = $\frac{12321}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{12321}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{111}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{111}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = 2.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{47}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $5$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$5$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$5 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$5 x$
$a + x^{2} - 5 x$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):