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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x - 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{16}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{16}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- 16$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- 16$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

- 16

=

- 2 x^{2} + 4 x

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

2 x^{2} - 4 x - 16

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{2} + \frac{5}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{2} + \frac{5}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{2} \cdot x + \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$\frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x - x$

$\frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x^{2} - x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x + \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} - x)$
$7 x + 5$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9+11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9-11}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8}{2 x - 2} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$- \frac{8}{2 x - 2} + x + 2$	=	0
$- \frac{8}{2 (x - 1)} + x + 2$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{8}{2 (x - 1)} + x + 2$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 8}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + x \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1)$	=
$- 4 + x \cdot (x - 1) + 2 x - 2$	=
$- 4 + (x^{2} - x) + 2 x - 2$	=
$x^{2} + x - 6$	=

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{16}{x^{2}}$ = $- \frac{60}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{16}{x^{2}}$	=	$- \frac{60}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{60}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 16 x$	=	$- 60$

x^{2} + 16 x

=

- 60

|

+ 60

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + 4 x$ = $- \frac{15}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{x}{2 (x - 4)} + 4 x

=

- \frac{15}{x - 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} + 4 x$	=	$- \frac{15}{x - 4}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + 4 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{15}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$
$x + 8 x \cdot (x - 4)$	=	$- 30$
$x + (8 x^{2} - 32 x)$	=	$- 30$
$8 x^{2} - 31 x$	=	$- 30$

8 x^{2} - 31 x

=

- 30

|

+ 30

$8 x^{2} - 31 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 30}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 960}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1}}{16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1}}{16}$ = $\frac{31+1}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = $2$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1}}{16}$ = $\frac{31-1}{16}$ = $\frac{30}{16}$ = $1,875$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 31 x + 30$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{31}{8} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{16})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{960}{256}$ = $\frac{1}{256}$

x_1,2 = $\frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1}{256}}$

x₁ = $\frac{31}{16}$ - $\frac{1}{16}$ = $\frac{30}{16}$ = 1.875

x₂ = $\frac{31}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,875$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 3 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 3 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 3 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 3 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 3 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):