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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x - 4}$ = $x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- \frac{3}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- \frac{3}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- 3$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- 3$	=	$x^{2} - 4 x$

- 3

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $\frac{9 x + 12}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{9 x + 12}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 1 \cdot 4 x$	=	$\frac{9 x + 12}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 4 x$	=	$9 x + 12$
$4 x^{2} - 4 x$	=	$9 x + 12$

4 x^{2} - 4 x

=

9 x + 12

|

- 9 x

- 12

$4 x^{2} - 13 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{13+19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{13-19}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 13 x - 12$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x}{x - 2} + 3$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{6 x}{x - 2} + 3

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{6 x}{x - 2} + 3$	=	$- x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 \cdot (x - 2)$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 6 x + 3 x - 6$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 3 x - 6$	=	$- x^{2} + 2 x$

- 3 x - 6

=

- x^{2} + 2 x

|

+ x^{2}

- 2 x

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{42}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{42}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{13}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{42}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 13 x + 42$	=

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 58}{x + 3}$ = $- \frac{x}{2 x + 6} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{58}{x + 3}

=

- \frac{x}{2 (x + 3)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$- \frac{58}{x + 3}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - 2 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$- \frac{58}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) - 2 x \cdot (2 (x + 3))$
$- 116$	=	$- x - 4 x \cdot (x + 3)$
$- 116$	=	$- 4 x^{2} - 13 x$

- 116

=

- 4 x^{2} - 13 x

|

+ 4 x^{2}

+ 13 x

$4 x^{2} + 13 x - 116$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 116)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 856}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{2 025}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 13+45}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 13-45}{8}$ = $\frac{- 58}{8}$ = $- 7,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 116$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - 29$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- 29)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $29$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{1856}{64}$ = $\frac{2025}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{2025}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{45}{8}$ = $- \frac{58}{8}$ = -7.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{45}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,25$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$18$
$x^{2} + a x - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):