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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x^{2}$

$16$	=	$x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{55 x - 24}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{55 x - 24}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{55 x - 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$55 x - 24$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

55 x - 24

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{35^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{1 225 - 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 35 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 35 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35+29}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 35 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{- 35-29}{- 8}$ = $\frac{- 64}{- 8}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 35 x - 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{35}{4} x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{8})}^{2} - 6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $6$ = $\frac{1225}{64}$ $-$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{35}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{35}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{35}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{64}{8}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10 x}{x - 4} + 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{10 x}{x - 4} + 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{10 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 1 \cdot (x - 4)$	=	$- 3 x \cdot (x - 4)$
$10 x + x - 4$	=	$- 3 x (x - 4)$
$11 x - 4$	=	$- 3 x^{2} + 12 x$

11 x - 4

=

- 3 x^{2} + 12 x

|

+ 3 x^{2}

- 12 x

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 17 x + 72}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 17 x + 72}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 17 x + 72}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 17 x + 72$

- x^{2}

=

- 17 x + 72

|

+ 17 x

- 72

$- x^{2} + 17 x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 72)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 17+1}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 17-1}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 17 x - 72$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{10,5}{x + 1} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 2} + \frac{10,5}{x + 1} - x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{10,5}{x + 1} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)} + \frac{10,5}{x + 1} - x$	=	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1)) + \frac{10,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - x \cdot (2 (x + 1))$	=
$x + 21 - 2 x (x + 1)$	=
$x + 21 + (- 2 x^{2} - 2 x)$	=
$- 2 x^{2} - x + 21$	=

$- 2 x^{2} - x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 21}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{1+13}{- 4}$ = $\frac{14}{- 4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{1-13}{- 4}$ = $\frac{- 12}{- 4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 21$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 20$	=	$- a x$
$x^{2} + 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):