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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{32}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{32}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{32}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x^{2}$

$- 32$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 32$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1 + \frac{5}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 1 + \frac{5}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 1 \cdot x + \frac{5}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- x + 5$	=	$x \cdot x - 5 x$

- x + 5

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x - 5}$ = $- 2 x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{4 x}{x - 5}$	=	$- 2 x + 1$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{4 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 2 x \cdot (x - 5) + 1 \cdot (x - 5)$
$4 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 5) + x - 5$
$4 x$	=	$- 2 x^{2} + 11 x - 5$

4 x

=

- 2 x^{2} + 11 x - 5

|

+ 2 x^{2}

- 11 x

+ 5

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7+3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{7-3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- x - 90$	=	$- x^{2}$

- x - 90

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1+19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{1-19}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10}$ = $- \frac{- 9,6}{x - 2} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10}$	=	$\frac{9,6}{x - 2} - 3 x$
$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$\frac{9,6}{x - 2} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$\frac{9,6}{x - 2} - 3 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2))$	=	$\frac{9,6}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) - 3 x \cdot (5 (x - 2))$
$x$	=	$48 - 15 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$- 15 x^{2} + 30 x + 48$

x

=

- 15 x^{2} + 30 x + 48

|

+ 15 x^{2}

- 30 x

- 48

$15 x^{2} - 29 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 2 880}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{3 721}}{30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{3 721}}{30}$ = $\frac{29+61}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = $3$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{3 721}}{30}$ = $\frac{29-61}{30}$ = $\frac{- 32}{30}$ = $- \frac{16}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 29 x - 48$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{29}{15} x - \frac{16}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{16}{5})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{16}{5}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{2880}{900}$ = $\frac{3721}{900}$

x_1,2 = $\frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{900}}$

x₁ = $\frac{29}{30}$ - $\frac{61}{30}$ = $- \frac{32}{30}$ = -1.0666666666667

x₂ = $\frac{29}{30}$ + $\frac{61}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{15}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):