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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x + 1}$ = $x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$x \cdot (x + 1)$
$6$	=	$x (x + 1)$
$6$	=	$x^{2} + x$

6

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 4 x - 6}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 4 x - 6}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 4 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 4 x - 6$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 4 x - 6

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11+7}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{- 11-7}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{2 x - 3}$ = $- x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{3 x}{2 x - 3}$	=	$- x - 2$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{3 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3)$	=	$- x \cdot (2 x - 3) - 2 \cdot (2 x - 3)$
$3 x$	=	$- x (2 x - 3) - 4 x + 6$
$3 x$	=	$- 2 x^{2} - x + 6$

3 x

=

- 2 x^{2} - x + 6

|

+ 2 x^{2}

+ x

- 6

2 x^{2} + 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x} - \frac{15}{x^{2}} - \frac{50}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

=	$- \frac{1}{x} - \frac{15}{x^{2}} - \frac{50}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{50}{x^{3}} \cdot x^{3}$
=	$- x^{2} - 15 x - 50$

0

=

- x^{2} - 15 x - 50

|

+ x^{2}

+ 15 x

+ 50

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15+5}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15-5}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{9,2}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 20} - \frac{9,2}{x + 4}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{9,2}{x + 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} - \frac{9,2}{x + 4}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$3 x \cdot (5 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4)) + \frac{- 9,2}{x + 4} \cdot (5 (x + 4))$
$15 x (x + 4)$	=	$- x - 46$
$15 x \cdot x + 15 x \cdot 4$	=	$- x - 46$
$15 x \cdot x + 60 x$	=	$- x - 46$
$15 x^{2} + 60 x$	=	$- x - 46$

15 x^{2} + 60 x

=

- x - 46

|

+ x

+ 46

$15 x^{2} + 61 x + 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot 15 \cdot 46}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 - 2 760}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{961}}{30}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{961}}{30}$ = $\frac{- 61+31}{30}$ = $\frac{- 30}{30}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{961}}{30}$ = $\frac{- 61-31}{30}$ = $\frac{- 92}{30}$ = $- \frac{46}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 61 x + 46$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{61}{15} x + \frac{46}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{61}{30})}^{2} - (\frac{46}{15})$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{46}{15}$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{2760}{900}$ = $\frac{961}{900}$

x_1,2 = $- \frac{61}{30}$ ± $\sqrt{\frac{961}{900}}$

x₁ = $- \frac{61}{30}$ - $\frac{31}{30}$ = $- \frac{92}{30}$ = -3.0666666666667

x₂ = $- \frac{61}{30}$ + $\frac{31}{30}$ = $- \frac{30}{30}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{46}{15}$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$7 x$
$a + x^{2} - 7 x$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):