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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 2}$ = $x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x$	=	$x \cdot (x - 2)$
$2 x$	=	$x^{2} - 2 x$

$2 x$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- (x^{2} - 2 x)$
$- x^{2} + 2 x + 2 x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $11 - \frac{12}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 3$	=	$11 - \frac{12}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 3 \cdot x$	=	$11 \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 3 x$	=	$11 x - 12$
$x^{2} + 3 x$	=	$11 x - 12$

x^{2} + 3 x

=

11 x - 12

|

- 11 x

+ 12

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 20}{x + 2} - 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

x

=

\frac{20}{x + 2} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$x$	=	$\frac{20}{x + 2} - 1$	\|⋅( $x + 2$ )
$x \cdot (x + 2)$	=	$\frac{20}{x + 2} \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$
$x \cdot (x + 2)$	=	$20 - x - 2$
$x \cdot x + x \cdot 2$	=	$20 - x - 2$
$x \cdot x + 2 x$	=	$20 - x - 2$
$x^{2} + 2 x$	=	$- x + 18$

x^{2} + 2 x

=

- x + 18

|

+ x

- 18

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$ = $- \frac{24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{11}{x^{2}}$	=	$- \frac{24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 11 x$	=	$- 24$

x^{2} - 11 x

=

- 24

|

+ 24

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + 4 x$ = $- \frac{- 8,5}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{4 (x - 1)} + 4 x

=

\frac{8,5}{x - 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} + 4 x$	=	$\frac{8,5}{x - 1}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + 4 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{8,5}{x - 1} \cdot (4 (x - 1))$
$x + 16 x \cdot (x - 1)$	=	$34$
$x + (16 x^{2} - 16 x)$	=	$34$
$16 x^{2} - 15 x$	=	$34$

16 x^{2} - 15 x

=

34

|

- 34

$16 x^{2} - 15 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 34)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 2 176}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{2 401}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{2 401}}{32}$ = $\frac{15+49}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = $2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{2 401}}{32}$ = $\frac{15-49}{32}$ = $\frac{- 34}{32}$ = $- \frac{17}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 34$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{17}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{17}{8})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{17}{8}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{2176}{1024}$ = $\frac{2401}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{49}{32}$ = $- \frac{34}{32}$ = -1.0625

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{49}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{16}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 2 x$	=	$- x^{2}$
$a - 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):