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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{x}{x - 5}$ = $x$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- x}{x - 5}$	=	$x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- x$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- x$	=	$x^{2} - 5 x$

$- x$	=	$x^{2} - 5 x$	\| $- (x^{2} - 5 x)$
$- x^{2} - x + 5 x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$13 - \frac{8}{x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$13 - \frac{8}{x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $x$ )
$13 \cdot x - \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 4 \cdot x$
$13 x - 8$	=	$x \cdot x + 4 x$

13 x - 8

=

x^{2} + 4 x

|

- x^{2}

- 4 x

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 99}{x + 5}$ = $- 2 x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{99}{x + 5}$	=	$- 2 x - 3$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{99}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 3 \cdot (x + 5)$
$- 99$	=	$- 2 x \cdot (x + 5) - 3 x - 15$
$- 99$	=	$- 2 x^{2} - 13 x - 15$

- 99

=

- 2 x^{2} - 13 x - 15

|

+ 2 x^{2}

+ 13 x

+ 15

$2 x^{2} + 13 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 672}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{841}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 13+29}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{841}}{4}$ = $\frac{- 13-29}{4}$ = $\frac{- 42}{4}$ = $- 10,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 84$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 42$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $42$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{672}{16}$ = $\frac{841}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{841}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{29}{4}$ = $- \frac{42}{4}$ = -10.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{29}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{11}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{11}{x^{2}} - \frac{24}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{11}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{24}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$11 x - 24$

x^{2}

=

11 x - 24

|

- 11 x

+ 24

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $24$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 58}{x + 3} + 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- \frac{58}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x + 6}$
$- \frac{58}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$- \frac{58}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{- 58}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + 2 x \cdot (2 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3))$
$- 116 + 4 x \cdot (x + 3)$	=	$- x$
$- 116 + (4 x^{2} + 12 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} + 12 x - 116$	=	$- x$

4 x^{2} + 12 x - 116

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} + 13 x - 116$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 116)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 856}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{2 025}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 13+45}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{2 025}}{8}$ = $\frac{- 13-45}{8}$ = $\frac{- 58}{8}$ = $- 7,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 116$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - 29$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- 29)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $29$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{1856}{64}$ = $\frac{2025}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{2025}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{45}{8}$ = $- \frac{58}{8}$ = -7.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{45}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,25$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 12$	=	$- x^{2}$
$a x - 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):