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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{24}{x + 1}$ = $- 2 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{24}{x + 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{24}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 24$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 24$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$

- 24

=

- 2 x^{2} - 2 x

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

2 x^{2} + 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{21 x - 2}{4 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{21 x - 2}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{21 x - 2}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$21 x - 2$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$21 x - 2$

4 x^{2} + 12 x

=

21 x - 2

|

- 21 x

+ 2

$4 x^{2} - 9 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{9+7}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{9-7}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 9 x + 2$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{81}{64}$ $-$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5}{x + 3} - 1$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{5}{x + 3} - 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{5}{x + 3} - 1$	=	$- x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{5}{x + 3} \cdot (x + 3) - 1 \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- 5 - x - 3$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- x - 8$	=	$- x^{2} - 3 x$

- x - 8

=

- x^{2} - 3 x

|

+ x^{2}

+ 3 x

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18}{x}$ = $- 1 - \frac{80}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$- 1 - \frac{80}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{18}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$18 x$	=	$- x^{2} - 80$

18 x

=

- x^{2} - 80

|

+ x^{2}

+ 80

$x^{2} + 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{18^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18+2}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 18-2}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $9^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $- 9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 9$ - $1$ = -10

x₂ = $- 9$ + $1$ = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6,25}{x - 4} - 2 x$ = $- \frac{x}{4 x - 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{6,25}{x - 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x - 16}$
$- \frac{6,25}{x - 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$- \frac{6,25}{x - 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)}$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{- 6,25}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) - 2 x \cdot (4 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4))$
$- 25 - 8 x \cdot (x - 4)$	=	$- x$
$- 25 + (- 8 x^{2} + 32 x)$	=	$- x$
$- 8 x^{2} + 32 x - 25$	=	$- x$

- 8 x^{2} + 32 x - 25

=

- x

|

+ x

$- 8 x^{2} + 33 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 25)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 800}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{289}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{- 33+17}{- 16}$ = $\frac{- 16}{- 16}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{289}}{- 16}$ = $\frac{- 33-17}{- 16}$ = $\frac{- 50}{- 16}$ = $3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 25$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{25}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{25}{8})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{25}{8}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{800}{256}$ = $\frac{289}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{289}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{17}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{17}{16}$ = $\frac{50}{16}$ = 3.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$6 + x^{2}$	=	$- a x$
$6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):