Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x + 1}$ = $3 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$6$	=	$3 x (x + 1)$
$6$	=	$3 x^{2} + 3 x$

6

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x^{2} - 3 x + 6

= 0 |:3

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{37 x - 6}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{37 x - 6}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{37 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$37 x - 6$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

37 x - 6

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + 25 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 25+23}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 25-23}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 25 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{625}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{529}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{529}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{23}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{23}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 13}{x - 2} - 3 x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

0

=

\frac{13}{x - 2} - 3 x - 4

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

=	$\frac{13}{x - 2} - 3 x - 4$	\|⋅( $x - 2$ )
=	$\frac{13}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 x \cdot (x - 2) - 4 \cdot (x - 2)$
=	$13 - 3 x (x - 2) - 4 x + 8$
=	$- 3 x^{2} + 2 x + 21$

0

=

- 3 x^{2} + 2 x + 21

|

+ 3 x^{2}

- 2 x

- 21

$3 x^{2} - 2 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{2+16}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{2-16}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 21$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $7$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{63}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{7}{3}$ = -2.3333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{4}}$ = $- \frac{17}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{72}{x^{4}}$	=	$- \frac{17}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{72}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{17}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 72$	=	$- 17 x$

x^{2} + 72

=

- 17 x

|

+ 17 x

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17+1}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 17-1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16,5}{2 x - 6}$ = $- \frac{x}{4 x - 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{16,5}{2 (x - 3)}

=

- \frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$\frac{16,5}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{16,5}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + 2 x \cdot (4 (x - 3))$
$33$	=	$- x + 8 x (x - 3)$
$33$	=	$8 x^{2} - 25 x$

33

=

8 x^{2} - 25 x

|

- 8 x^{2}

+ 25 x

$- 8 x^{2} + 25 x + 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 33}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 056}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 681}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{- 25+41}{- 16}$ = $\frac{16}{- 16}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{- 25-41}{- 16}$ = $\frac{- 66}{- 16}$ = $4,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 25 x + 33$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{25}{8} x - \frac{33}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{33}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{33}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{1056}{256}$ = $\frac{1681}{256}$

x_1,2 = $\frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{256}}$

x₁ = $\frac{25}{16}$ - $\frac{41}{16}$ = $- \frac{16}{16}$ = -1

x₂ = $\frac{25}{16}$ + $\frac{41}{16}$ = $\frac{66}{16}$ = 4.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 10$
$x^{2} + a x + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):