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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x - 3}$ = $- 3 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{6}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{6}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 3 x \cdot (x - 3)$
$6$	=	$- 3 x (x - 3)$
$6$	=	$- 3 x^{2} + 9 x$

6

=

- 3 x^{2} + 9 x

|

+ 3 x^{2}

- 9 x

3 x^{2} - 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 4$ = $- 3 + \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 4$	=	$- 3 + \frac{8}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 4 \cdot x$	=	$- 3 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$
$x \cdot x + 4 x$	=	$- 3 x + 8$
$x^{2} + 4 x$	=	$- 3 x + 8$

x^{2} + 4 x

=

- 3 x + 8

|

+ 3 x

- 8

$x^{2} + 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7+9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 7-9}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8}{2 x - 5}$ = $- x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$- \frac{8}{2 x - 5}$	=	$- x - 5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$- \frac{8}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- x \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$
$- 8$	=	$- x (2 x - 5) - 10 x + 25$
$- 8$	=	$- 2 x^{2} - 5 x + 25$

- 8

=

- 2 x^{2} - 5 x + 25

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 25

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 264}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5+17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 5-17}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 33$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{33}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{33}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{33}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{264}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{7}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{7}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 7 x + 8$

0

=

- x^{2} + 7 x + 8

|

+ x^{2}

- 7 x

- 8

$x^{2} - 7 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7+9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{7-9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $8$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 61,5}{x - 4} + 3 x$ = $- \frac{x}{2 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 x - 8}$
$- \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{- 61,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + 3 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$\frac{- x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4))$
$- 123 + 6 x (x - 4)$	=	$- x$
$- 123 + (6 x^{2} - 24 x)$	=	$- x$
$6 x^{2} - 24 x - 123$	=	$- x$

6 x^{2} - 24 x - 123

=

- x

|

+ x

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 123)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 2 952}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{3 481}}{12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23+59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23-59}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{23}{6} x - \frac{41}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{12})}^{2} - (- \frac{41}{2})$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{41}{2}$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{2952}{144}$ = $\frac{3481}{144}$

x_1,2 = $\frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{144}}$

x₁ = $\frac{23}{12}$ - $\frac{59}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{23}{12}$ + $\frac{59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = 6.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{41}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{10}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{10}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{10}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 10 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 10 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):