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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x - 3}$ = $- 3 x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{6}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{6}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- 3 x \cdot (x - 3)$
$6$	=	$- 3 x \cdot (x - 3)$
$6$	=	$- 3 x^{2} + 9 x$

6

=

- 3 x^{2} + 9 x

|

+ 3 x^{2}

- 9 x

3 x^{2} - 9 x + 6

= 0 |:3

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{32 x + 6}{3 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{32 x + 6}{3 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{32 x + 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$
$32 x + 6$	=	$3 x \cdot x + 15 x$

32 x + 6

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17+19}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 17-19}{- 6}$ = $\frac{- 36}{- 6}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 17 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{2 x - 3} + x$ = $5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{2 x - 3} + x$	=	$5$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$\frac{2 x}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + x \cdot (2 x - 3)$	=	$5 \cdot (2 x - 3)$
$2 x + x \cdot (2 x - 3)$	=	$5 (2 x - 3)$
$2 x + (2 x^{2} - 3 x)$	=	$5 (2 x - 3)$
$2 x^{2} - x$	=	$10 x - 15$

2 x^{2} - x

=

10 x - 15

|

- 10 x

+ 15

$2 x^{2} - 11 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11+1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{11-1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x + 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{4}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{32}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{32}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 4 x$	=	$- x^{2} + 32$

- 4 x

=

- x^{2} + 32

|

+ x^{2}

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x - 4} - \frac{- 23}{2 x - 2} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x - 4} + \frac{23}{2 x - 2} - 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{23}{2 (x - 1)} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{23}{2 (x - 1)} - 2 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{23}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 2 x \cdot (4 (x - 1))$
=	$- x + 46 - 8 x \cdot (x - 1)$
=	$- 8 x^{2} + 7 x + 46$

0

=

- 8 x^{2} + 7 x + 46

|

+ 8 x^{2}

- 7 x

- 46

$8 x^{2} - 7 x - 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 46)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{7+39}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = $2,875$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{7-39}{16}$ = $\frac{- 32}{16}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 7 x - 46$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{7}{8} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{1472}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $\frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $\frac{7}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{32}{16}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = 2.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,875$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):