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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x - 3}$ = $x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{2 x}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{2 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$2 x$	=	$x (x - 3)$
$2 x$	=	$x^{2} - 3 x$

$2 x$	=	$x^{2} - 3 x$	\| $- (x^{2} - 3 x)$
$- x^{2} + 2 x + 3 x$	=	0
$- x^{2} + 5 x$	=	0
$x (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 5$ = $\frac{x - 8}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{x - 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=	$\frac{x - 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 15 x$	=	$x - 8$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$x - 8$

3 x^{2} + 15 x

=

x - 8

|

- x

+ 8

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14+10}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 14-10}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 35}{x - 1} - x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

0

=

\frac{35}{x - 1} - x + 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

=	$\frac{35}{x - 1} - x + 3$	\|⋅( $x - 1$ )
=	$\frac{35}{x - 1} \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1) + 3 \cdot (x - 1)$
=	$35 - x (x - 1) + 3 x - 3$
=	$- x^{2} + 4 x + 32$

0

=

- x^{2} + 4 x + 32

|

+ x^{2}

- 4 x

- 32

$x^{2} - 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4+12}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{4-12}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $2$ - $6$ = -4

x₂ = $2$ + $6$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{30}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{30}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$x - 30$	=	$- x^{2}$

x - 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{- 61,5}{x - 4} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} - \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{61,5}{x - 4} + 3 x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 61,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + 3 x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x - 123 + 6 x (x - 4)$	=
$x - 123 + (6 x^{2} - 24 x)$	=
$6 x^{2} - 23 x - 123$	=

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 123)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 2 952}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{3 481}}{12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23+59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = $\frac{41}{6}$ ≈ 6.83

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{3 481}}{12}$ = $\frac{23-59}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 23 x - 123$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{23}{6} x - \frac{41}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{12})}^{2} - (- \frac{41}{2})$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{41}{2}$ = $\frac{529}{144}$ $+$ $\frac{2952}{144}$ = $\frac{3481}{144}$

x_1,2 = $\frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{144}}$

x₁ = $\frac{23}{12}$ - $\frac{59}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{23}{12}$ + $\frac{59}{12}$ = $\frac{82}{12}$ = 6.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{41}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$30 + x^{2}$	=	$- a x$
$30 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):