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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{48}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{48}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{48}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x^{2}$

$48$	=	$3 x^{2}$	\| $- 48$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{29 x + 9}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{29 x + 9}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{29 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$29 x + 9$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

29 x + 9

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9+15}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 9-15}{- 8}$ = $\frac{- 24}{- 8}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 9 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 4$ = $- \frac{- 52}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$3 x - 4$	=	$\frac{52}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$3 x \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{52}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$3 x (x - 1) - 4 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} - 3 x - 4 x + 4$	=	$52$
$3 x^{2} - 7 x + 4$	=	$52$

3 x^{2} - 7 x + 4

=

52

|

- 52

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7+25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7-25}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{16}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{5}{x}$ = $\frac{14}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{5}{x}$	=	$\frac{14}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{14}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 5 x$	=	$14$

x^{2} + 5 x

=

14

|

- 14

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{0,25}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{0,25}{x + 1}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{0,25}{x + 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{0,25}{x + 1}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$- 4 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 0,25}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$
$- 16 x (x + 1)$	=	$- x - 1$
$- 16 x \cdot x - 16 x \cdot 1$	=	$- x - 1$
$- 16 x \cdot x - 16 x$	=	$- x - 1$
$- 16 x^{2} - 16 x$	=	$- x - 1$

- 16 x^{2} - 16 x

=

- x - 1

|

+ x

+ 1

$- 16 x^{2} - 15 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 1}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 32}$ = $\frac{15+17}{- 32}$ = $\frac{32}{- 32}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 32}$ = $\frac{15-17}{- 32}$ = $\frac{- 2}{- 32}$ = $\frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 15 x + 1$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{15}{16} x - \frac{1}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{1}{16})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{1}{16}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{64}{1024}$ = $\frac{289}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{289}{1024}}$

x₁ = $- \frac{15}{32}$ - $\frac{17}{32}$ = $- \frac{32}{32}$ = -1

x₂ = $- \frac{15}{32}$ + $\frac{17}{32}$ = $\frac{2}{32}$ = 0.0625

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{16}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - x$	=	$- a$
$x^{2} - x + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):