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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{45}{x - 2}$ = $- 3 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{45}{x - 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{45}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$- 45$	=	$- 3 x (x - 2)$
$- 45$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

- 45

=

- 3 x^{2} + 6 x

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

3 x^{2} - 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x + 21}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{- 5 x + 21}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{- 5 x + 21}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$- 5 x + 21$	=	$4 x (x + 5)$
$- 5 x + 21$	=	$4 x^{2} + 20 x$

- 5 x + 21

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 25 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 21}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{25+31}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{25-31}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 25 x + 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{25}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{25}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{25}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{3 x + 4} + x + 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{3 x + 4} + x + 3$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{2 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4) + 3 \cdot (3 x + 4)$	=
$2 x + x (3 x + 4) + 9 x + 12$	=
$2 x + (3 x^{2} + 4 x) + 9 x + 12$	=
$3 x^{2} + 15 x + 12$	=

3 x^{2} + 15 x + 12

= 0 |:3

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{16}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{16}{x^{2}} + \frac{64}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{16}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{64}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 16 x + 64$	=	$- x^{2}$

- 16 x + 64

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 16 x + 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 256}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 64$ = $64$ $-$ $64$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $8$ ± 0 = $8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{3 x - 3} - \frac{- 14}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$x$	=	$- \frac{x}{3 x - 3} + \frac{14}{2 x - 2}$
$x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{14}{2 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{14}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$x \cdot (3 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{14}{2 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$
$3 x (x - 1)$	=	$- x + 21$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 1)$	=	$- x + 21$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$- x + 21$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$- x + 21$

3 x^{2} - 3 x

=

- x + 21

|

+ x

- 21

$3 x^{2} - 2 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{2+16}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{2-16}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 21$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- 7)$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $7$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{63}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{7}{3}$ = -2.3333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 30$	=	$- a x$
$x^{2} - 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):