nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 9x x +1 = -3x

Lösung einblenden

D=R\{ -1 }

Wir multiplizieren den Nenner x +1 weg!

- 9x x +1 = -3x |⋅( x +1 )
- 9x x +1 · ( x +1 ) = -3x · ( x +1 )
-9x = -3 x ( x +1 )
-9x = -3 x 2 -3x
-9x = -3 x 2 -3x | - ( -3 x 2 -3x )
3 x 2 -9x +3x = 0
3 x 2 -6x = 0
3 x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; 2 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-9x +12 2x = x -2

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

-9x +12 2x = x -2 |⋅( 2x )
-9x +12 2x · 2x = x · 2x -2 · 2x
-9x +12 = 2 x · x -4x
-9x +12 = 2 x 2 -4x | -2 x 2 +4x

-2 x 2 -5x +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · ( -2 ) · 12 2( -2 )

x1,2 = +5 ± 25 +96 -4

x1,2 = +5 ± 121 -4

x1 = 5 + 121 -4 = 5 +11 -4 = 16 -4 = -4

x2 = 5 - 121 -4 = 5 -11 -4 = -6 -4 = 1,5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -4 ; 1,5 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x -3 = - -2 x -2

Lösung einblenden

D=R\{ 2 }

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

x -3 = 2 x -2 |⋅( x -2 )
x · ( x -2 ) -3 · ( x -2 ) = 2 x -2 · ( x -2 )
x ( x -2 ) -3x +6 = 2
x 2 -2x -3x +6 = 2
x 2 -5x +6 = 2
x 2 -5x +6 = 2 | -2

x 2 -5x +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 ; 4 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x 2 = -11x +10 x 4

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 4 weg!

- 1 x 2 = -11x +10 x 4 |⋅( x 4 )
- 1 x 2 · x 4 = -11x +10 x 4 · x 4
- x 2 = -11x +10
- x 2 = -11x +10 | +11x -10

- x 2 +11x -10 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -11 ± 11 2 -4 · ( -1 ) · ( -10 ) 2( -1 )

x1,2 = -11 ± 121 -40 -2

x1,2 = -11 ± 81 -2

x1 = -11 + 81 -2 = -11 +9 -2 = -2 -2 = 1

x2 = -11 - 81 -2 = -11 -9 -2 = -20 -2 = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 ; 10 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

7,5 2x +8 + x = - x 4x +16

Lösung einblenden

D=R\{ -4 }

7,5 2x +8 + x = - x 4x +16
7,5 2( x +4 ) + x = - x 4( x +4 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 4( x +4 ) weg!

7,5 2( x +4 ) + x = - x 4( x +4 ) |⋅( 4( x +4 ) )
7,5 2( x +4 ) · ( 4( x +4 ) ) + x · ( 4( x +4 ) ) = - x 4( x +4 ) · ( 4( x +4 ) )
15 +4 x ( x +4 ) = -x
15 + ( 4 x 2 +16x ) = -x
4 x 2 +16x +15 = -x
4 x 2 +16x +15 = -x | + x

4 x 2 +17x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = -17 ± 17 2 -4 · 4 · 15 24

x1,2 = -17 ± 289 -240 8

x1,2 = -17 ± 49 8

x1 = -17 + 49 8 = -17 +7 8 = -10 8 = -1,25

x2 = -17 - 49 8 = -17 -7 8 = -24 8 = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -3 ; -1,25 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

15 x + a = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

15 x + a = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

15 x + a = -x |⋅x
15 x · x + a · x = -x · x
15 + a x = - x 2
15 + a x + x 2 = 0
x 2 + a x +15 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +15 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn 3 · 5 = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 3 +5 ) = -8

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -8x +15 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 15 21

x1,2 = +8 ± 64 -60 2

x1,2 = +8 ± 4 2

x1 = 8 + 4 2 = 8 +2 2 = 10 2 = 5

x2 = 8 - 4 2 = 8 -2 2 = 6 2 = 3

L={ 3 ; 5 }