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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{40}{x - 1}$ = $- 2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{40}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{40}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 40$	=	$- 2 x (x - 1)$
$- 40$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

- 40

=

- 2 x^{2} + 2 x

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

2 x^{2} - 2 x - 40

= 0 |:2

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $- 2 + \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- 2 + \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- 2 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 2 x + 4$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 2 x + 4$

x^{2} - 5 x

=

- 2 x + 4

|

+ 2 x

- 4

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5$ = $- \frac{- 104}{3 x + 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

5

=

\frac{104}{3 x + 4} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$5$	=	$\frac{104}{3 x + 4} - x$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$5 \cdot (3 x + 4)$	=	$\frac{104}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - x \cdot (3 x + 4)$
$5 (3 x + 4)$	=	$104 - x (3 x + 4)$
$15 x + 20$	=	$104 - x (3 x + 4)$
$15 x + 20$	=	$- 3 x^{2} - 4 x + 104$

15 x + 20

=

- 3 x^{2} - 4 x + 104

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

- 104

$3 x^{2} + 19 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 1 008}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1 369}}{6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1 369}}{6}$ = $\frac{- 19+37}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1 369}}{6}$ = $\frac{- 19-37}{6}$ = $\frac{- 56}{6}$ = $- \frac{28}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 19 x - 84$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x - 28$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $28$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{1008}{36}$ = $\frac{1369}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{37}{6}$ = $- \frac{56}{6}$ = -9.3333333333333

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{37}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{28}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{18}{x^{3}} - \frac{80}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{18}{x^{3}} - \frac{80}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{18}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{80}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$18 x - 80$

x^{2}

=

18 x - 80

|

- 18 x

+ 80

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $9$ - $1$ = 8

x₂ = $9$ + $1$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 110}{2 x - 6} + 2 x$ = $- \frac{x}{4 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- \frac{110}{2 x - 6} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x - 12}$
$- \frac{110}{2 (x - 3)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$- \frac{110}{2 (x - 3)} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{- 110}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + 2 x \cdot (4 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$
$- 220 + 8 x (x - 3)$	=	$- x$
$- 220 + (8 x^{2} - 24 x)$	=	$- x$
$8 x^{2} - 24 x - 220$	=	$- x$

8 x^{2} - 24 x - 220

=

- x

|

+ x

$8 x^{2} - 23 x - 220$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 220)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 7 040}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{7 569}}{16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{7 569}}{16}$ = $\frac{23+87}{16}$ = $\frac{110}{16}$ = $6,875$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{7 569}}{16}$ = $\frac{23-87}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 23 x - 220$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{23}{8} x - \frac{55}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{55}{2})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{55}{2}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{7040}{256}$ = $\frac{7569}{256}$

x_1,2 = $\frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{7569}{256}}$

x₁ = $\frac{23}{16}$ - $\frac{87}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{23}{16}$ + $\frac{87}{16}$ = $\frac{110}{16}$ = 6.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $6,875$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 5 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 5 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 5 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 5 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 5 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 5 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 5 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -5 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $- (2 + 3)$ = -5

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 3$ = $6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):