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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x^{2}$

$- 2$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x - 7}{x + 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{25 x - 7}{x + 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{25 x - 7}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$2 x \cdot (x + 5)$
$25 x - 7$	=	$2 x (x + 5)$
$25 x - 7$	=	$2 x^{2} + 10 x$

25 x - 7

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15+13}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15-13}{- 4}$ = $\frac{- 28}{- 4}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x}{x + 2}$ = $- 3 x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{6 x}{x + 2}$	=	$- 3 x + 5$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{6 x}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x \cdot (x + 2) + 5 \cdot (x + 2)$
$6 x$	=	$- 3 x (x + 2) + 5 x + 10$
$6 x$	=	$- 3 x^{2} - x + 10$

6 x

=

- 3 x^{2} - x + 10

|

+ 3 x^{2}

+ x

- 10

$3 x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 7+13}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 7-13}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{20}{6}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{50}{x^{4}}$ = $- \frac{5}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{50}{x^{4}}$	=	$- \frac{5}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{50}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 50$	=	$- 5 x$

x^{2} - 50

=

- 5 x

|

+ 5 x

$x^{2} + 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5+15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5-15}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 8} + x$ = $- \frac{- 13}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

\frac{x}{2 (x + 4)} + x

=

\frac{13}{x + 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 4)} + x$	=	$\frac{13}{x + 4}$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + x \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{13}{x + 4} \cdot (2 (x + 4))$
$x + 2 x (x + 4)$	=	$26$
$x + (2 x^{2} + 8 x)$	=	$26$
$2 x^{2} + 9 x$	=	$26$

2 x^{2} + 9 x

=

26

|

- 26

$2 x^{2} + 9 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 208}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 9+17}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 9-17}{4}$ = $\frac{- 26}{4}$ = $- 6,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x - 26$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $13$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{208}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{26}{4}$ = -6.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 4$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 4$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 4$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 4 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 4 x$	=	$- x^{2}$
$a + 4 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):