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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{15}{x - 2}$ = $- x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{15}{x - 2}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{15}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 15$	=	$- x (x - 2)$
$- 15$	=	$- x^{2} + 2 x$

- 15

=

- x^{2} + 2 x

|

+ x^{2}

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 - \frac{16}{x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{16}{x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 3 \cdot x$
$7 x - 16$	=	$x \cdot x - 3 x$

7 x - 16

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10+6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 10-6}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 4} + x$ = $- 4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{2 x}{x + 4} + x$	=	$- 4$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + x \cdot (x + 4)$	=	$- 4 \cdot (x + 4)$
$2 x + x (x + 4)$	=	$- 4 (x + 4)$
$2 x + (x^{2} + 4 x)$	=	$- 4 (x + 4)$
$x^{2} + 6 x$	=	$- 4 x - 16$

x^{2} + 6 x

=

- 4 x - 16

|

+ 4 x

+ 16

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{9}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{9}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{20}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 9 x$	=	$- x^{2} - 20$

- 9 x

=

- x^{2} - 20

|

+ x^{2}

+ 20

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9+1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{9-1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 14}{6 x + 6}$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{14}{6 (x + 1)}

=

- \frac{x}{3 (x + 1)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 1)$ weg!

$- \frac{14}{6 (x + 1)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - x$	\|⋅( $6 (x + 1)$ )
$- \frac{14}{6 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1)) - x \cdot (6 (x + 1))$
$- 14$	=	$- 2 x - 6 x (x + 1)$
$- 14$	=	$- 6 x^{2} - 8 x$

- 14

=

- 6 x^{2} - 8 x

|

+ 6 x^{2}

+ 8 x

6 x^{2} + 8 x - 14

= 0 |:2

$3 x^{2} + 4 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4+10}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 4-10}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 7$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{7}{3}$ = -2.3333333333333

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- x$
$a + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):