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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{x - 4}$ = $x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{x}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$x^{2} - 4 x$

$x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + x + 4 x$	=	0
$- x^{2} + 5 x$	=	0
$x \cdot (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x - 2}{x - 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 5 x - 2}{x - 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 5 x - 2}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- 5 x - 2$	=	$2 x \cdot (x - 5)$
$- 5 x - 2$	=	$2 x^{2} - 10 x$

- 5 x - 2

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x}{x + 4} + 3 x$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{6 x}{x + 4} + 3 x

=

4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{6 x}{x + 4} + 3 x$	=	$4$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{6 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 3 x \cdot (x + 4)$	=	$4 \cdot (x + 4)$
$- 6 x + 3 x \cdot (x + 4)$	=	$4 (x + 4)$
$- 6 x + (3 x^{2} + 12 x)$	=	$4 (x + 4)$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$4 x + 16$

3 x^{2} + 6 x

=

4 x + 16

|

- 4 x

- 16

$3 x^{2} + 2 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2+14}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2-14}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 6 x + 8$	=

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10}$ = $- \frac{14,4}{x + 2} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10}$	=	$- \frac{14,4}{x + 2} + x$
$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{14,4}{x + 2} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)}$	=	$- \frac{14,4}{x + 2} + x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{- 14,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + x \cdot (5 (x + 2))$
$x$	=	$- 72 + 5 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$5 x^{2} + 10 x - 72$

x

=

5 x^{2} + 10 x - 72

|

- 5 x^{2}

- 10 x

+ 72

$- 5 x^{2} - 9 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 72}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 1 440}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1 521}}{- 10}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1 521}}{- 10}$ = $\frac{9+39}{- 10}$ = $\frac{48}{- 10}$ = $- 4,8$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1 521}}{- 10}$ = $\frac{9-39}{- 10}$ = $\frac{- 30}{- 10}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} - 9 x + 72$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} + \frac{9}{5} x - \frac{72}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{10})}^{2} - (- \frac{72}{5})$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{72}{5}$ = $\frac{81}{100}$ $+$ $\frac{1440}{100}$ = $\frac{1521}{100}$

x_1,2 = $- \frac{9}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{100}}$

x₁ = $- \frac{9}{10}$ - $\frac{39}{10}$ = $- \frac{48}{10}$ = -4.8

x₂ = $- \frac{9}{10}$ + $\frac{39}{10}$ = $\frac{30}{10}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,8$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 10 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 10 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 10 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 10 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):