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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{25}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{25}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x^{2}$

$25$	=	$x^{2}$	\| $- 25$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 9}{x - 4}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 11 x + 9}{x - 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 11 x + 9}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$- 11 x + 9$	=	$2 x (x - 4)$
$- 11 x + 9$	=	$2 x^{2} - 8 x$

- 11 x + 9

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

$- 2 x^{2} - 3 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 9}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{3+9}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{3-9}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x + 9$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x - 1$ = $- \frac{- 16 x}{x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$3 x - 1$	=	$\frac{16 x}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$3 x \cdot (x + 5) - 1 \cdot (x + 5)$	=	$\frac{16 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$3 x (x + 5) - x - 5$	=	$16 x$
$3 x^{2} + 15 x - x - 5$	=	$16 x$
$3 x^{2} + 14 x - 5$	=	$16 x$

3 x^{2} + 14 x - 5

=

16 x

|

- 16 x

$3 x^{2} - 2 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{2+8}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{2-8}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{3}{3}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{5}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{1}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{1}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$1$

$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 6} + 2 x$ = $- \frac{- 34}{6 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

\frac{x}{3 (x - 2)} + 2 x

=

\frac{34}{6 (x - 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 2)} + 2 x$	=	$\frac{34}{6 (x - 2)}$	\|⋅( $6 (x - 2)$ )
$\frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (6 (x - 2)) + 2 x \cdot (6 (x - 2))$	=	$\frac{34}{6 (x - 2)} \cdot (6 (x - 2))$
$2 x + 12 x (x - 2)$	=	$34$
$2 x + (12 x^{2} - 24 x)$	=	$34$
$12 x^{2} - 22 x$	=	$34$

12 x^{2} - 22 x

=

34

|

- 34

12 x^{2} - 22 x - 34

= 0 |:2

$6 x^{2} - 11 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 17)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 408}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{529}}{12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{529}}{12}$ = $\frac{11+23}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = $\frac{17}{6}$ ≈ 2.83

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{529}}{12}$ = $\frac{11-23}{12}$ = $\frac{- 12}{12}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 11 x - 17$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{11}{6} x - \frac{17}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{12})}^{2} - (- \frac{17}{6})$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{17}{6}$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{408}{144}$ = $\frac{529}{144}$

x_1,2 = $\frac{11}{12}$ ± $\sqrt{\frac{529}{144}}$

x₁ = $\frac{11}{12}$ - $\frac{23}{12}$ = $- \frac{12}{12}$ = -1

x₂ = $\frac{11}{12}$ + $\frac{23}{12}$ = $\frac{34}{12}$ = 2.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{17}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):