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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6 x}{x - 1}$ = $2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 6 x$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$

$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- (2 x^{2} - 2 x)$
$- 2 x^{2} - 6 x + 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{35 x - 15}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{35 x - 15}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{35 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$35 x - 15$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

35 x - 15

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23+17}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{- 23-17}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 23 x - 15$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 12 x}{2 x + 4} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{12 x}{2 x + 4} + x - 5$	=	0
$- \frac{12 x}{2 (x + 2)} + x - 5$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{12 x}{2 (x + 2)} + x - 5$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{12 x}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) - 5 \cdot (x + 2)$	=
$- 6 x + x \cdot (x + 2) - 5 x - 10$	=
$- 6 x + (x^{2} + 2 x) - 5 x - 10$	=
$x^{2} - 9 x - 10$	=

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $10$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{4}{x^{2}}$ = $\frac{3}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{4}{x^{2}}$	=	$\frac{3}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{3}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 4$	=	$3 x$

x^{2} - 4

=

3 x

|

- 3 x

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + 3 x$ = $- \frac{- 83,2}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{5 (x - 3)} + 3 x

=

\frac{83,2}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} + 3 x$	=	$\frac{83,2}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + 3 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{83,2}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$x + 15 x \cdot (x - 3)$	=	$416$
$x + (15 x^{2} - 45 x)$	=	$416$
$15 x^{2} - 44 x$	=	$416$

15 x^{2} - 44 x

=

416

|

- 416

$15 x^{2} - 44 x - 416$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 416)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 + 24 960}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{26 896}}{30}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{26 896}}{30}$ = $\frac{44+164}{30}$ = $\frac{208}{30}$ = $\frac{104}{15}$ ≈ 6.93

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{26 896}}{30}$ = $\frac{44-164}{30}$ = $\frac{- 120}{30}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 44 x - 416$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{44}{15} x - \frac{416}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{15})}^{2} - (- \frac{416}{15})$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{416}{15}$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{6240}{225}$ = $\frac{6724}{225}$

x_1,2 = $\frac{22}{15}$ ± $\sqrt{\frac{6724}{225}}$

x₁ = $\frac{22}{15}$ - $\frac{82}{15}$ = $- \frac{60}{15}$ = -4

x₂ = $\frac{22}{15}$ + $\frac{82}{15}$ = $\frac{104}{15}$ = 6.9333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{104}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):