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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x + 18}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{7 x + 18}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{7 x + 18}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$7 x + 18$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

7 x + 18

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} + 9 x + 18$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9+15}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{- 9-15}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 21}{x + 1} + 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{21}{x + 1} + 1

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{21}{x + 1} + 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{21}{x + 1} \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 21 + x + 1$	=	$- 3 x (x + 1)$
$x - 20$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

x - 20

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

$3 x^{2} + 4 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 4+16}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 4-16}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$ ≈ -3.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$3 x - 40$	=	$- x^{2}$

3 x - 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x - 40$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3+13}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 3-13}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{16}{3 x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{16}{3 x + 3}$
$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{16}{3 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{16}{3 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$- x \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - \frac{16}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$- 3 x (x + 1)$	=	$- x - 16$
$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot 1$	=	$- x - 16$
$- 3 x \cdot x - 3 x$	=	$- x - 16$
$- 3 x^{2} - 3 x$	=	$- x - 16$

- 3 x^{2} - 3 x

=

- x - 16

|

+ x

+ 16

$- 3 x^{2} - 2 x + 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{2+14}{- 6}$ = $\frac{16}{- 6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{2-14}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 12$	=	$- a x$
$x^{2} + 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

L={ $2$ ; $6$ }

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einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung mit Parameter