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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{x}{x - 3}$ = $- x$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- x}{x - 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$- x$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$- x$	=	$- x^{2} + 3 x$

$- x$	=	$- x^{2} + 3 x$	\| $- (- x^{2} + 3 x)$
$x^{2} - x - 3 x$	=	0
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 1$ = $\frac{10 x + 10}{3 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{10 x + 10}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{10 x + 10}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 3 x$	=	$10 x + 10$
$3 x^{2} - 3 x$	=	$10 x + 10$

3 x^{2} - 3 x

=

10 x + 10

|

- 10 x

- 10

$3 x^{2} - 13 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{13+17}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = $5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{13-17}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{30}{6}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 80}{x + 5} + 3 x + 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{80}{x + 5} + 3 x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{80}{x + 5} + 3 x + 1$	=	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{80}{x + 5} \cdot (x + 5) + 3 x \cdot (x + 5) + 1 \cdot (x + 5)$	=
$- 80 + 3 x \cdot (x + 5) + x + 5$	=
$- 80 + (3 x^{2} + 15 x) + x + 5$	=
$3 x^{2} + 16 x - 75$	=

$3 x^{2} + 16 x - 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 75)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 900}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{1 156}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{- 16+34}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{- 16-34}{6}$ = $\frac{- 50}{6}$ = $- \frac{25}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x - 75$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $25$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{225}{9}$ = $\frac{289}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{289}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{17}{3}$ = $- \frac{25}{3}$ = -8.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{17}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{80}{x^{4}}$ = $\frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{80}{x^{4}}$	=	$\frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{80}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 80$	=	$2 x$

x^{2} - 80

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 80)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{324}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2+18}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{324}}{2}$ = $\frac{2-18}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 80)$ = $1$ $+$ $80$ = $81$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{81}$

x₁ = $1$ - $9$ = -8

x₂ = $1$ + $9$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10}$ = $- \frac{- 3,2}{x - 2} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10}$	=	$\frac{3,2}{x - 2} + 3 x$
$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$\frac{3,2}{x - 2} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)}$	=	$\frac{3,2}{x - 2} + 3 x$	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2))$	=	$\frac{3,2}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) + 3 x \cdot (5 (x - 2))$
$x$	=	$16 + 15 x \cdot (x - 2)$
$x$	=	$15 x^{2} - 30 x + 16$

x

=

15 x^{2} - 30 x + 16

|

- 15 x^{2}

+ 30 x

- 16

$- 15 x^{2} + 31 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 - 960}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{1}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{1}}{- 30}$ = $\frac{- 31+1}{- 30}$ = $\frac{- 30}{- 30}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{1}}{- 30}$ = $\frac{- 31-1}{- 30}$ = $\frac{- 32}{- 30}$ = $\frac{16}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 31 x - 16$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{31}{15} x + \frac{16}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{30})}^{2} - (\frac{16}{15})$ = $\frac{961}{900}$ $-$ $\frac{16}{15}$ = $\frac{961}{900}$ $-$ $\frac{960}{900}$ = $\frac{1}{900}$

x_1,2 = $\frac{31}{30}$ ± $\sqrt{\frac{1}{900}}$

x₁ = $\frac{31}{30}$ - $\frac{1}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

x₂ = $\frac{31}{30}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{32}{30}$ = 1.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{16}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $3$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$3$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$3 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$3 x$
$a + x^{2} - 3 x$	=	0
$x^{2} - 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (2 + 1)$ = -3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 1$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):