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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x + 1}$ = $2 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$12$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$12$	=	$2 x^{2} + 2 x$

12

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

- 2 x^{2} - 2 x + 12

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 3$ = $\frac{3 x + 9}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{3 x + 9}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{3 x + 9}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 6 x$	=	$3 x + 9$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$3 x + 9$

2 x^{2} + 6 x

=

3 x + 9

|

- 3 x

- 9

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3+9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 3-9}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{22}{2 x - 5} - x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

0

=

- \frac{22}{2 x - 5} - x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

=	$- \frac{22}{2 x - 5} - x - 5$	\|⋅( $2 x - 5$ )
=	$- \frac{22}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - x \cdot (2 x - 5) - 5 \cdot (2 x - 5)$
=	$- 22 - x \cdot (2 x - 5) - 10 x + 25$
=	$- 2 x^{2} - 5 x + 3$

0

=

- 2 x^{2} - 5 x + 3

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

- 3

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 5-7}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{36}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{36}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 36$	=

$x^{2} - 36$	=	0	\| $+ 36$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{x}{2 x + 8} - \frac{- 64,5}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 x + 8} + \frac{64,5}{x + 4}$
$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} + \frac{64,5}{x + 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$3 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} + \frac{64,5}{x + 4}$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$3 x \cdot (2 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + \frac{64,5}{x + 4} \cdot (2 (x + 4))$
$6 x \cdot (x + 4)$	=	$- x + 129$
$6 x \cdot x + 6 x \cdot 4$	=	$- x + 129$
$6 x \cdot x + 24 x$	=	$- x + 129$
$6 x^{2} + 24 x$	=	$- x + 129$

6 x^{2} + 24 x

=

- x + 129

|

+ x

- 129

$6 x^{2} + 25 x - 129$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 129)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 3 096}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{3 721}}{12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 25+61}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{3 721}}{12}$ = $\frac{- 25-61}{12}$ = $\frac{- 86}{12}$ = $- \frac{43}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 25 x - 129$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{25}{6} x - \frac{43}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{12})}^{2} - (- \frac{43}{2})$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{43}{2}$ = $\frac{625}{144}$ $+$ $\frac{3096}{144}$ = $\frac{3721}{144}$

x_1,2 = $- \frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3721}{144}}$

x₁ = $- \frac{25}{12}$ - $\frac{61}{12}$ = $- \frac{86}{12}$ = -7.1666666666667

x₂ = $- \frac{25}{12}$ + $\frac{61}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{43}{6}$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$10$
$a x + x^{2} - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):