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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x + 2}$ = $2 x$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{16}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{16}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$16$	=	$2 x (x + 2)$
$16$	=	$2 x^{2} + 4 x$

16

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2 x^{2} - 4 x + 16

= 0 |:2

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17 x + 18}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 17 x + 18}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 17 x + 18}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- 17 x + 18$	=	$4 x (x + 1)$
$- 17 x + 18$	=	$4 x^{2} + 4 x$

- 17 x + 18

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 18}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21+27}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21-27}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7 x}{x - 4} + 5$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{7 x}{x - 4} + 5$	=	$- x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{7 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + 5 \cdot (x - 4)$	=	$- x \cdot (x - 4)$
$7 x + 5 x - 20$	=	$- x (x - 4)$
$12 x - 20$	=	$- x^{2} + 4 x$

12 x - 20

=

- x^{2} + 4 x

|

+ x^{2}

- 4 x

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{17}{x^{2}}$ = $- \frac{72}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{17}{x^{2}}$	=	$- \frac{72}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{17}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{72}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 17 x$	=	$- 72$

x^{2} - 17 x

=

- 72

|

+ 72

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} - 3 x$ = $- \frac{0,2}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x

=

- \frac{0,2}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} - 3 x$	=	$- \frac{0,2}{x + 1}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) - 3 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$- \frac{0,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$
$x - 15 x (x + 1)$	=	$- 1$
$x + (- 15 x^{2} - 15 x)$	=	$- 1$
$- 15 x^{2} - 14 x$	=	$- 1$

- 15 x^{2} - 14 x

=

- 1

|

+ 1

$- 15 x^{2} - 14 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 1}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{- 30}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{- 30}$ = $\frac{14+16}{- 30}$ = $\frac{30}{- 30}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{- 30}$ = $\frac{14-16}{- 30}$ = $\frac{- 2}{- 30}$ = $\frac{1}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 14 x + 1$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{14}{15} x - \frac{1}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{15})}^{2} - (- \frac{1}{15})$ = $\frac{49}{225}$ $+$ $\frac{1}{15}$ = $\frac{49}{225}$ $+$ $\frac{15}{225}$ = $\frac{64}{225}$

x_1,2 = $- \frac{7}{15}$ ± $\sqrt{\frac{64}{225}}$

x₁ = $- \frac{7}{15}$ - $\frac{8}{15}$ = $- \frac{15}{15}$ = -1

x₂ = $- \frac{7}{15}$ + $\frac{8}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 0.066666666666667

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{15}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - x$	=	$- x^{2}$
$a - x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):