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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6 x}{x - 2}$ = $- 2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$- 2 x (x - 2)$
$- 6 x$	=	$- 2 x (x - 2)$
$- 6 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

$- 6 x$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 4 x)$
$2 x^{2} - 6 x - 4 x$	=	0
$2 x^{2} - 10 x$	=	0
$2 x (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 9 x - 3}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 9 x - 3}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 9 x - 3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 9 x - 3$	=	$2 x (x - 2)$
$- 9 x - 3$	=	$2 x^{2} - 4 x$

- 9 x - 3

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{5+1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{5-1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$5$ = $- \frac{- 117}{x + 5} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

5

=

\frac{117}{x + 5} - 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$5$	=	$\frac{117}{x + 5} - 2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$5 \cdot (x + 5)$	=	$\frac{117}{x + 5} \cdot (x + 5) - 2 x \cdot (x + 5)$
$5 (x + 5)$	=	$117 - 2 x (x + 5)$
$5 x + 25$	=	$117 - 2 x (x + 5)$
$5 x + 25$	=	$- 2 x^{2} - 10 x + 117$

5 x + 25

=

- 2 x^{2} - 10 x + 117

|

+ 2 x^{2}

+ 10 x

- 117

$2 x^{2} + 15 x - 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 92)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 736}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{961}}{4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{961}}{4}$ = $\frac{- 15+31}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{961}}{4}$ = $\frac{- 15-31}{4}$ = $\frac{- 46}{4}$ = $- 11,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 15 x - 92$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 46$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 46)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $46$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{736}{16}$ = $\frac{961}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{961}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{31}{4}$ = $- \frac{46}{4}$ = -11.5

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{31}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 11,5$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x^{3}} - \frac{27}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{6}{x^{3}} - \frac{27}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{27}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$6 x - 27$	=	$- x^{2}$

6 x - 27

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{30,6}{x - 2} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{x}{5 x - 10} + \frac{30,6}{x - 2} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{30,6}{x - 2} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 2)} + \frac{30,6}{x - 2} - 2 x$	=	\|⋅( $5 (x - 2)$ )
$\frac{x}{5 (x - 2)} \cdot (5 (x - 2)) + \frac{30,6}{x - 2} \cdot (5 (x - 2)) - 2 x \cdot (5 (x - 2))$	=
$x + 153 - 10 x (x - 2)$	=
$x + 153 + (- 10 x^{2} + 20 x)$	=
$- 10 x^{2} + 21 x + 153$	=

$- 10 x^{2} + 21 x + 153$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 153}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 6 120}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{6 561}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{6 561}}{- 20}$ = $\frac{- 21+81}{- 20}$ = $\frac{60}{- 20}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{6 561}}{- 20}$ = $\frac{- 21-81}{- 20}$ = $\frac{- 102}{- 20}$ = $5,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 21 x + 153$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{21}{10} x - \frac{153}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{20})}^{2} - (- \frac{153}{10})$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{153}{10}$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{6120}{400}$ = $\frac{6561}{400}$

x_1,2 = $\frac{21}{20}$ ± $\sqrt{\frac{6561}{400}}$

x₁ = $\frac{21}{20}$ - $\frac{81}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $\frac{21}{20}$ + $\frac{81}{20}$ = $\frac{102}{20}$ = 5.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5,1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$4$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$4 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$4 x$
$x^{2} + a - 4 x$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):