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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x}$ = $2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$2$	=	$2 x \cdot x$
$2$	=	$2 x^{2}$

$2$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 5$ = $3 - \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$3 - \frac{7}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$3 \cdot x - \frac{7}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$3 x - 7$
$x^{2} - 5 x$	=	$3 x - 7$

x^{2} - 5 x

=

3 x - 7

|

- 3 x

+ 7

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12 x}{x - 2} + 2 x$ = $2$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{12 x}{x - 2} + 2 x$	=	$2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{12 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$2 \cdot (x - 2)$
$12 x + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$2 (x - 2)$
$12 x + (2 x^{2} - 4 x)$	=	$2 (x - 2)$
$2 x^{2} + 8 x$	=	$2 x - 4$

2 x^{2} + 8 x

=

2 x - 4

|

- 2 x

+ 4

2 x^{2} + 6 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$ = $- \frac{27}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	=	$- \frac{27}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{27}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 12 x$	=	$- 27$

x^{2} + 12 x

=

- 27

|

+ 27

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{55,5}{x - 3} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{55,5}{x - 3} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{55,5}{x - 3} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{55,5}{x - 3} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{- 55,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$
=	$- x - 111 + 6 x \cdot (x - 3)$
=	$6 x^{2} - 19 x - 111$

0

=

6 x^{2} - 19 x - 111

|

- 6 x^{2}

+ 19 x

+ 111

$- 6 x^{2} + 19 x + 111$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 111}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 2 664}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{3 025}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{3 025}}{- 12}$ = $\frac{- 19+55}{- 12}$ = $\frac{36}{- 12}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{3 025}}{- 12}$ = $\frac{- 19-55}{- 12}$ = $\frac{- 74}{- 12}$ = $\frac{37}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 111$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{37}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{37}{2})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{37}{2}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{2664}{144}$ = $\frac{3025}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{55}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{55}{12}$ = $\frac{74}{12}$ = 6.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{37}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{18}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{18}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{18}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{18}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 18 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 18 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):