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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x}{x + 3}$ = $- 2 x$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$2 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$2 x$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

$2 x$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 6 x)$
$2 x^{2} + 2 x + 6 x$	=	0
$2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13 x + 8}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{13 x + 8}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{13 x + 8}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$13 x + 8$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

13 x + 8

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15+17}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{- 15-17}{- 4}$ = $\frac{- 32}{- 4}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{32}{4}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 7 x}{x + 4} + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

3 x

=

\frac{7 x}{x + 4} + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$3 x$	=	$\frac{7 x}{x + 4} + 1$	\|⋅( $x + 4$ )
$3 x \cdot (x + 4)$	=	$\frac{7 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 1 \cdot (x + 4)$
$3 x \cdot (x + 4)$	=	$7 x + x + 4$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 4$	=	$7 x + x + 4$
$3 x \cdot x + 12 x$	=	$7 x + x + 4$
$3 x^{2} + 12 x$	=	$8 x + 4$

3 x^{2} + 12 x

=

8 x + 4

|

- 8 x

- 4

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4+8}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 4-8}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 11 x + 10}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 11 x + 10$	=	$- x^{2}$

- 11 x + 10

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11+9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{11-9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7}{x + 3} + 2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- \frac{7}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 12}$
$- \frac{7}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$- \frac{7}{x + 3} + 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 3)}$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{- 7}{x + 3} \cdot (4 (x + 3)) + 2 x \cdot (4 (x + 3))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3))$
$- 28 + 8 x \cdot (x + 3)$	=	$- x$
$- 28 + (8 x^{2} + 24 x)$	=	$- x$
$8 x^{2} + 24 x - 28$	=	$- x$

8 x^{2} + 24 x - 28

=

- x

|

+ x

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 896}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 521}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25+39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = $0,875$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{- 25-39}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 28$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{896}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{14}{16}$ = 0.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,875$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 9$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 9$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 9 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 9 x$	=	$- a$
$x^{2} - 9 x + a$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):