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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 17 x + 5}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 17 x + 5}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 17 x + 5}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 17 x + 5$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 17 x + 5

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 14 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 5}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{14+16}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{14-16}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 14 x + 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{14}{3} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{3})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $+$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{7}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{15}{3}$ = -5

x₂ = $- \frac{7}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4$ = $- \frac{9 x}{x - 5} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$4$	=	$- \frac{9 x}{x - 5} - x$	\|⋅( $x - 5$ )
$4 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{9 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5)$
$4 (x - 5)$	=	$- 9 x - x \cdot (x - 5)$
$4 x - 20$	=	$- 9 x - x \cdot (x - 5)$
$4 x - 20$	=	$- x^{2} - 4 x$

4 x - 20

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{45}{x^{4}}$ = $\frac{14}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{45}{x^{4}}$	=	$\frac{14}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{45}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 45$	=	$14 x$

x^{2} + 45

=

14 x

|

- 14 x

$x^{2} - 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14+4}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{14-4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $7$ - $2$ = 5

x₂ = $7$ + $2$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4,25}{x - 1} - 2 x$ = $- \frac{x}{4 x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{4,25}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x - 4}$
$\frac{4,25}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{4,25}{x - 1} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)}$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{4,25}{x - 1} \cdot (4 (x - 1)) - 2 x \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$
$17 - 8 x \cdot (x - 1)$	=	$- x$
$17 + (- 8 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$- 8 x^{2} + 8 x + 17$	=	$- x$

- 8 x^{2} + 8 x + 17

=

- x

|

+ x

$- 8 x^{2} + 9 x + 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 17}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{- 16}$ = $\frac{- 9+25}{- 16}$ = $\frac{16}{- 16}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{- 16}$ = $\frac{- 9-25}{- 16}$ = $\frac{- 34}{- 16}$ = $2,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 9 x + 17$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{9}{8} x - \frac{17}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{16})}^{2} - (- \frac{17}{8})$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{17}{8}$ = $\frac{81}{256}$ $+$ $\frac{544}{256}$ = $\frac{625}{256}$

x_1,2 = $\frac{9}{16}$ ± $\sqrt{\frac{625}{256}}$

x₁ = $\frac{9}{16}$ - $\frac{25}{16}$ = $- \frac{16}{16}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{16}$ + $\frac{25}{16}$ = $\frac{34}{16}$ = 2.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 18 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):