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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{10}{x - 4}$ = $2 x$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{10}{x - 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{10}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$2 x \cdot (x - 4)$
$10$	=	$2 x (x - 4)$
$10$	=	$2 x^{2} - 8 x$

10

=

2 x^{2} - 8 x

|

- 2 x^{2}

+ 8 x

- 2 x^{2} + 8 x + 10

= 0 |:2

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{25 x - 5}{x + 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{25 x - 5}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{25 x - 5}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$25 x - 5$	=	$3 x (x + 3)$
$25 x - 5$	=	$3 x^{2} + 9 x$

25 x - 5

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 60}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16+14}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 16-14}{- 6}$ = $\frac{- 30}{- 6}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 16 x - 5$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{15}{3}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{3 x + 3} + x$ = $4$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{4 x}{3 (x + 1)} + x

=

4

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{4 x}{3 (x + 1)} + x$	=	$4$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{4 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + x \cdot (3 (x + 1))$	=	$4 \cdot (3 (x + 1))$
$4 x + 3 x (x + 1)$	=	$12 (x + 1)$
$4 x + (3 x^{2} + 3 x)$	=	$12 (x + 1)$
$3 x^{2} + 7 x$	=	$12 x + 12$

3 x^{2} + 7 x

=

12 x + 12

|

- 12 x

- 12

$3 x^{2} - 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{5+13}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{5-13}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $4$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{144}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $\frac{6}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$\frac{6}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$6 x + 16$

x^{2}

=

6 x + 16

|

- 6 x

- 16

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6+10}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{6-10}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + 2 x$ = $- \frac{- 8,8}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{5 (x - 3)} + 2 x

=

\frac{8,8}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} + 2 x$	=	$\frac{8,8}{x - 3}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + 2 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{8,8}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$
$x + 10 x (x - 3)$	=	$44$
$x + (10 x^{2} - 30 x)$	=	$44$
$10 x^{2} - 29 x$	=	$44$

10 x^{2} - 29 x

=

44

|

- 44

$10 x^{2} - 29 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 1 760}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{2 601}}{20}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{29+51}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = $4$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{29-51}{20}$ = $\frac{- 22}{20}$ = $- 1,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 29 x - 44$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{29}{10} x - \frac{22}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{29}{20})}^{2} - (- \frac{22}{5})$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{22}{5}$ = $\frac{841}{400}$ $+$ $\frac{1760}{400}$ = $\frac{2601}{400}$

x_1,2 = $\frac{29}{20}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{400}}$

x₁ = $\frac{29}{20}$ - $\frac{51}{20}$ = $- \frac{22}{20}$ = -1.1

x₂ = $\frac{29}{20}$ + $\frac{51}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,1$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{12}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{12}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{12}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 12$
$x^{2} + a x + 12$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):