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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 2 x$

0	=	$- 2 x$
0	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 4}{3 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x + 4}{3 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x + 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$
$8 x + 4$	=	$3 x \cdot x + 12 x$

8 x + 4

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4+8}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4-8}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{11}{x - 5} - 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

\frac{11}{x - 5} - 1

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{11}{x - 5} - 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{11}{x - 5} \cdot (x - 5) - 1 \cdot (x - 5)$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$11 - x + 5$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$- x + 16$	=	$- 3 x^{2} + 15 x$

- x + 16

=

- 3 x^{2} + 15 x

|

+ 3 x^{2}

- 15 x

$3 x^{2} - 16 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16+8}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{16-8}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x + 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (\frac{16}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{70}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{17}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{70}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{17}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{70}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{17}{x} \cdot x^{2}$
$70$	=	$- x^{2} - 17 x$

70

=

- x^{2} - 17 x

|

+ x^{2}

+ 17 x

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17+3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17-3}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8,25}{x + 3}$ = $- \frac{x}{4 x + 12} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{8,25}{x + 3}

=

- \frac{x}{4 (x + 3)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$- \frac{8,25}{x + 3}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$- \frac{8,25}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) - 2 x \cdot (4 (x + 3))$
$- 33$	=	$- x - 8 x \cdot (x + 3)$
$- 33$	=	$- 8 x^{2} - 25 x$

- 33

=

- 8 x^{2} - 25 x

|

+ 8 x^{2}

+ 25 x

$8 x^{2} + 25 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 1 056}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{1 681}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 25+41}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{1 681}}{16}$ = $\frac{- 25-41}{16}$ = $\frac{- 66}{16}$ = $- 4,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 33$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{33}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{33}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{33}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{1056}{256}$ = $\frac{1681}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{41}{16}$ = $- \frac{66}{16}$ = -4.125

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{41}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,125$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):