Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x}{x + 1}$ = $- x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{3 x}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{3 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$3 x$	=	$- x (x + 1)$
$3 x$	=	$- x^{2} - x$

$3 x$	=	$- x^{2} - x$	\| $- (- x^{2} - x)$
$x^{2} + 3 x + x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 15}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{3 x + 15}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{3 x + 15}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$3 x + 15$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

3 x + 15

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 15}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 7+13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 7-13}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x + 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 12 x}{x + 2} + x + 3$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{12 x}{x + 2} + x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{12 x}{x + 2} + x + 3$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{12 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2) + 3 \cdot (x + 2)$	=
$- 12 x + x (x + 2) + 3 x + 6$	=
$- 12 x + (x^{2} + 2 x) + 3 x + 6$	=
$x^{2} - 7 x + 6$	=

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $6$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{70}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{70}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{70}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 3 x + 70$

0

=

- x^{2} + 3 x + 70

|

+ x^{2}

- 3 x

- 70

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{29}{x + 3} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{29}{x + 3} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{29}{x + 3} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{29}{x + 3} + 3 x$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 29}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + 3 x \cdot (2 (x + 3))$
=	$- x - 58 + 6 x (x + 3)$
=	$6 x^{2} + 17 x - 58$

0

=

6 x^{2} + 17 x - 58

|

- 6 x^{2}

- 17 x

+ 58

$- 6 x^{2} - 17 x + 58$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 58}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 1 392}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1 681}}{- 12}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{17+41}{- 12}$ = $\frac{58}{- 12}$ = $- \frac{29}{6}$ ≈ -4.83

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1 681}}{- 12}$ = $\frac{17-41}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 17 x + 58$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{17}{6} x - \frac{29}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{12})}^{2} - (- \frac{29}{3})$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{29}{3}$ = $\frac{289}{144}$ $+$ $\frac{1392}{144}$ = $\frac{1681}{144}$

x_1,2 = $- \frac{17}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{144}}$

x₁ = $- \frac{17}{12}$ - $\frac{41}{12}$ = $- \frac{58}{12}$ = -4.8333333333333

x₂ = $- \frac{17}{12}$ + $\frac{41}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{29}{6}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 8 x$	=	$- a$
$x^{2} + 8 x + a$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):