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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x^{2}$

$16$	=	$x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 3$ = $\frac{- 9 x + 2}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{- 9 x + 2}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 9 x + 2}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 6 x$	=	$- 9 x + 2$
$2 x^{2} - 6 x$	=	$- 9 x + 2$

2 x^{2} - 6 x

=

- 9 x + 2

|

+ 9 x

- 2

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3+5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 3-5}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $1$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- \frac{20 x}{2 x - 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

x - 4

=

\frac{- 20 x}{2 (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 20 x}{2 (x - 1)}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$x \cdot (2 (x - 1)) - 4 \cdot (2 (x - 1))$	=	$\frac{- 20 x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1))$
$2 x (x - 1) - 8 x + 8$	=	$- 2 \frac{10 x}{1}$
$2 x (x - 1) - 8 x + 8$	=	$- 20 x$
$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8$	=	$- 20 x$
$2 x^{2} - 10 x + 8$	=	$- 20 x$

2 x^{2} - 10 x + 8

=

- 20 x

|

+ 20 x

2 x^{2} + 10 x + 8

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{36}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{13}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{36}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{36}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$13 x$	=	$- x^{2} - 36$

13 x

=

- x^{2} - 36

|

+ x^{2}

+ 36

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9}$ = $- \frac{- 26}{3 x - 9} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{3 x - 9}$	=	$\frac{26}{3 x - 9} + 4 x$
$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$\frac{26}{3 (x - 3)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$\frac{26}{3 (x - 3)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$	=	$\frac{26}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + 4 x \cdot (3 (x - 3))$
$x$	=	$26 + 12 x (x - 3)$
$x$	=	$12 x^{2} - 36 x + 26$

x

=

12 x^{2} - 36 x + 26

|

- 12 x^{2}

+ 36 x

- 26

$- 12 x^{2} + 37 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot (- 26)}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 248}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{121}}{- 24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{- 37+11}{- 24}$ = $\frac{- 26}{- 24}$ = $\frac{13}{12}$ ≈ 1.08

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{121}}{- 24}$ = $\frac{- 37-11}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} + 37 x - 26$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} - \frac{37}{12} x + \frac{13}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{24})}^{2} - (\frac{13}{6})$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{13}{6}$ = $\frac{1369}{576}$ $-$ $\frac{1248}{576}$ = $\frac{121}{576}$

x_1,2 = $\frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{121}{576}}$

x₁ = $\frac{37}{24}$ - $\frac{11}{24}$ = $\frac{26}{24}$ = 1.0833333333333

x₂ = $\frac{37}{24}$ + $\frac{11}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{13}{12}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{18}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{18}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$- \frac{18}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 18 + a x$	=	$- x^{2}$
$- 18 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):