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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{8 x}{x - 2}$ = $2 x$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 8 x}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 8 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- \frac{8 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 8 x$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 8 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$

$- 8 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} - 8 x + 4 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{17}{2} + \frac{2}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{17}{2} + \frac{2}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{17}{2} \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- \frac{17}{2} x + 2$	=	$x \cdot x - 5 x$

$- \frac{17}{2} x + 2$	=	$x^{2} - 5 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{17}{2} x + 2)$	=	$2 (x^{2} - 5 x)$
$- 17 x + 4$	=	$2 x^{2} - 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 10 x$

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{7+9}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{7-9}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x + 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 1$ = $- \frac{3}{x - 5} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $5$ }

- 1

=

- \frac{3}{x - 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- 1$	=	$- \frac{3}{x - 5} - x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- 1 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{3}{x - 5} \cdot (x - 5) - x \cdot (x - 5)$
$- (x - 5)$	=	$- 3 - x \cdot (x - 5)$
$- x + 5$	=	$- 3 - x \cdot (x - 5)$
$- x + 5$	=	$- x^{2} + 5 x - 3$

- x + 5

=

- x^{2} + 5 x - 3

|

+ x^{2}

- 5 x

+ 3

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3 x + 2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{3 x + 2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{3 x + 2}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$3 x + 2$	=	$- x^{2}$

3 x + 2

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 22}{x + 2}$ = $- \frac{x}{2 x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{22}{x + 2}

=

- \frac{x}{2 (x + 2)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- \frac{22}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$- \frac{22}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 3 x \cdot (2 (x + 2))$
$- 44$	=	$- x - 6 x \cdot (x + 2)$
$- 44$	=	$- 6 x^{2} - 13 x$

- 44

=

- 6 x^{2} - 13 x

|

+ 6 x^{2}

+ 13 x

$6 x^{2} + 13 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{- 13+35}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{- 13-35}{12}$ = $\frac{- 48}{12}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 44$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{22}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{22}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{22}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1056}{144}$ = $\frac{1225}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{35}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{35}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{11}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 2$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 2 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 2 x$
$a + x^{2} + 2 x$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):