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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{24}{x - 1}$ = $- 2 x$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{24}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{24}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 24$	=	$- 2 x (x - 1)$
$- 24$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

- 24

=

- 2 x^{2} + 2 x

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

2 x^{2} - 2 x - 24

= 0 |:2

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{18 x + 2}{x + 5}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{18 x + 2}{x + 5}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{18 x + 2}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$4 x \cdot (x + 5)$
$18 x + 2$	=	$4 x (x + 5)$
$18 x + 2$	=	$4 x^{2} + 20 x$

18 x + 2

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

- 4 x^{2} - 2 x + 2

= 0 |:2

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1+3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{1-3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x}{3 x - 3} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{8 x}{3 (x - 1)} + x + 1

=

0

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{8 x}{3 (x - 1)} + x + 1$	=	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{8 x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + x \cdot (3 (x - 1)) + 1 \cdot (3 (x - 1))$	=
$8 x + 3 x (x - 1) + 3 x - 3$	=
$8 x + (3 x^{2} - 3 x) + 3 x - 3$	=
$3 x^{2} + 8 x - 3$	=

$3 x^{2} + 8 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 8+10}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{- 8-10}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $1$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{5}{x} \cdot x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$5 x + 4$	=	$- x^{2}$

5 x + 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} - 4 x$ = $- \frac{- 17}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{x}{2 (x - 4)} - 4 x

=

\frac{17}{x - 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{17}{x - 4}$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) - 4 x \cdot (2 (x - 4))$	=	$\frac{17}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$
$x - 8 x (x - 4)$	=	$34$
$x + (- 8 x^{2} + 32 x)$	=	$34$
$- 8 x^{2} + 33 x$	=	$34$

- 8 x^{2} + 33 x

=

34

|

- 34

$- 8 x^{2} + 33 x - 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 34)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 1 088}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{1}}{- 16}$ = $\frac{- 33+1}{- 16}$ = $\frac{- 32}{- 16}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{1}}{- 16}$ = $\frac{- 33-1}{- 16}$ = $\frac{- 34}{- 16}$ = $2,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 34$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{17}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{17}{4})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{17}{4}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{1088}{256}$ = $\frac{1}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{1}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = 2

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{34}{16}$ = 2.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $2,125$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 8$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 8$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 8 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 8 x$	=	$- a$
$x^{2} - 8 x + a$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):