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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x^{2}$

$3$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{19 x - 4}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{19 x - 4}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{19 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$19 x - 4$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

19 x - 4

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13+11}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13-11}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x}{x - 1} + 2$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{2 x}{x - 1} + 2

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{2 x}{x - 1} + 2$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{2 x}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 2 x + 2 x - 2$	=	$- x (x - 1)$
$- 2$	=	$- x^{2} + x$

- 2

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{45}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{45}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{45}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{4}{x} \cdot x^{2}$
$- 45$	=	$- x^{2} - 4 x$

- 45

=

- x^{2} - 4 x

|

+ x^{2}

+ 4 x

$x^{2} + 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4+14}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 4-14}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 2$ - $7$ = -9

x₂ = $- 2$ + $7$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{- 41,4}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 20} + \frac{41,4}{x - 4}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{41,4}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{41,4}{x - 4}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$2 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{41,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$
$10 x (x - 4)$	=	$- x + 207$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot (- 4)$	=	$- x + 207$
$10 x \cdot x - 40 x$	=	$- x + 207$
$10 x^{2} - 40 x$	=	$- x + 207$

10 x^{2} - 40 x

=

- x + 207

|

+ x

- 207

$10 x^{2} - 39 x - 207$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 207)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 + 8 280}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{9 801}}{20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{9 801}}{20}$ = $\frac{39+99}{20}$ = $\frac{138}{20}$ = $6,9$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{9 801}}{20}$ = $\frac{39-99}{20}$ = $\frac{- 60}{20}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 39 x - 207$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{39}{10} x - \frac{207}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{20})}^{2} - (- \frac{207}{10})$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{207}{10}$ = $\frac{1521}{400}$ $+$ $\frac{8280}{400}$ = $\frac{9801}{400}$

x_1,2 = $\frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{9801}{400}}$

x₁ = $\frac{39}{20}$ - $\frac{99}{20}$ = $- \frac{60}{20}$ = -3

x₂ = $\frac{39}{20}$ + $\frac{99}{20}$ = $\frac{138}{20}$ = 6.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 6$	=	$- a x$
$x^{2} + 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):