Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{75}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{75}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{75}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x \cdot x$
$75$	=	$3 x^{2}$

$75$	=	$3 x^{2}$	\| $- 75$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 75$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 + \frac{4}{x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 8 + \frac{4}{x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- 8 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- 8 x + 4$	=	$x \cdot x - 5 x$

- 8 x + 4

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{- 49}{3 x - 5} - 3$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

x

=

\frac{49}{3 x - 5} - 3

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{49}{3 x - 5} - 3$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$x \cdot (3 x - 5)$	=	$\frac{49}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - 3 \cdot (3 x - 5)$
$x \cdot (3 x - 5)$	=	$49 - 9 x + 15$
$x \cdot 3 x + x \cdot (- 5)$	=	$49 - 9 x + 15$
$3 x \cdot x - 5 x$	=	$49 - 9 x + 15$
$3 x^{2} - 5 x$	=	$- 9 x + 64$

3 x^{2} - 5 x

=

- 9 x + 64

|

+ 9 x

- 64

$3 x^{2} + 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 768}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 4+28}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{- 4-28}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 64$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{192}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{16}{3}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{16}{x}$ = $- \frac{63}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{16}{x}$	=	$- \frac{63}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 16 x$	=	$- 63$

x^{2} - 16 x

=

- 63

|

+ 63

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 2}$ = $- \frac{- 16,5}{x + 1} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{2 x + 2}$	=	$\frac{16,5}{x + 1} - 3 x$
$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$\frac{16,5}{x + 1} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 1)}$	=	$\frac{16,5}{x + 1} - 3 x$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{16,5}{x + 1} \cdot (2 (x + 1)) - 3 x \cdot (2 (x + 1))$
$x$	=	$33 - 6 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$- 6 x^{2} - 6 x + 33$

x

=

- 6 x^{2} - 6 x + 33

|

+ 6 x^{2}

+ 6 x

- 33

$6 x^{2} + 7 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 792}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{841}}{12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{- 7+29}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{841}}{12}$ = $\frac{- 7-29}{12}$ = $\frac{- 36}{12}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 7 x - 33$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{7}{6} x - \frac{11}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{11}{2})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{11}{2}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{792}{144}$ = $\frac{841}{144}$

x_1,2 = $- \frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{841}{144}}$

x₁ = $- \frac{7}{12}$ - $\frac{29}{12}$ = $- \frac{36}{12}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{12}$ + $\frac{29}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{11}{6}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{30}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{30}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 30$	=	$- a x$
$x^{2} + 30 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):