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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{27}{x}$ = $3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{27}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{27}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x \cdot x$
$27$	=	$3 x^{2}$

$27$	=	$3 x^{2}$	\| $- 27$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 27$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 23 x + 24}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 23 x + 24}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 23 x + 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 5 \cdot 2 x$
$- 23 x + 24$	=	$2 x \cdot x - 10 x$

- 23 x + 24

=

2 x^{2} - 10 x

|

- 2 x^{2}

+ 10 x

$- 2 x^{2} - 13 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 24}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{361}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13+19}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{361}}{- 4}$ = $\frac{13-19}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x + 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $12$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 32 x}{3 x + 3} - x - 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$\frac{32 x}{3 x + 3} - x - 5$
0	=	$\frac{32 x}{3 (x + 1)} - x - 5$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

=	$\frac{32 x}{3 (x + 1)} - x - 5$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
=	$\frac{32 x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) - x \cdot (3 (x + 1)) - 5 \cdot (3 (x + 1))$
=	$32 x - 3 x \cdot (x + 1) - 15 x - 15$
=	$- 3 x^{2} + 14 x - 15$

0

=

- 3 x^{2} + 14 x - 15

|

+ 3 x^{2}

- 14 x

+ 15

$3 x^{2} - 14 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 15}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{14+4}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{14-4}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 14 x + 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - 5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $5$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}$ = $\frac{48}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}}$	=	$\frac{48}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{48}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 2 x$	=	$48$

x^{2} + 2 x

=

48

|

- 48

$x^{2} + 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2+14}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 2-14}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 1$ - $7$ = -8

x₂ = $- 1$ + $7$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $6$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{34}{x - 4} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 8} - \frac{34}{x - 4} + x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{34}{x - 4} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{34}{x - 4} + x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 34}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + x \cdot (2 (x - 4))$
=	$- x - 68 + 2 x \cdot (x - 4)$
=	$2 x^{2} - 9 x - 68$

0

=

2 x^{2} - 9 x - 68

|

- 2 x^{2}

+ 9 x

+ 68

$- 2 x^{2} + 9 x + 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 68}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 544}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{625}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{625}}{- 4}$ = $\frac{- 9+25}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{625}}{- 4}$ = $\frac{- 9-25}{- 4}$ = $\frac{- 34}{- 4}$ = $8,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x + 68$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x - 34$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - (- 34)$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $34$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{544}{16}$ = $\frac{625}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{625}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{25}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{25}{4}$ = $\frac{34}{4}$ = 8.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 20$	=	$- a x$
$x^{2} - 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):