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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x^{2}$

$4$	=	$x^{2}$	\| $- 4$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{17}{2} - \frac{3}{x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{17}{2} - \frac{3}{x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{17}{2} \cdot x - \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$- \frac{17}{2} x - 3$	=	$x \cdot x - 2 x$

$- \frac{17}{2} x - 3$	=	$x^{2} - 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{17}{2} x - 3)$	=	$2 (x^{2} - 2 x)$
$- 17 x - 6$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 4 x$

$- 2 x^{2} - 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{13+11}{- 4}$ = $\frac{24}{- 4}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{13-11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x - 4$ = $- \frac{7}{x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$x - 4$	=	$- \frac{7}{x + 4}$	\|⋅( $x + 4$ )
$x \cdot (x + 4) - 4 \cdot (x + 4)$	=	$- \frac{7}{x + 4} \cdot (x + 4)$
$x (x + 4) - 4 x - 16$	=	$- 7$
$x^{2} + 4 x - 4 x - 16$	=	$- 7$
$x^{2} - 16$	=	$- 7$

$x^{2} - 16$	=	$- 7$	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{63}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{63}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$- 63$	=	$- x^{2} + 2 x$

- 63

=

- x^{2} + 2 x

|

+ x^{2}

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2+16}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{2-16}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 63)$ = $1$ $+$ $63$ = $64$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $1$ - $8$ = -7

x₂ = $1$ + $8$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 46}{2 x + 2}$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{46}{2 (x + 1)}

=

- \frac{x}{3 (x + 1)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 1)$ weg!

$- \frac{46}{2 (x + 1)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - 4 x$	\|⋅( $6 (x + 1)$ )
$- \frac{46}{2 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1)) - 4 x \cdot (6 (x + 1))$
$- 138$	=	$- 2 x - 24 x (x + 1)$
$- 138$	=	$- 24 x^{2} - 26 x$

- 138

=

- 24 x^{2} - 26 x

|

+ 24 x^{2}

+ 26 x

24 x^{2} + 26 x - 138

= 0 |:2

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 69)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 3 312}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{3 481}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13+59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = $\frac{23}{12}$ ≈ 1.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{3 481}}{24}$ = $\frac{- 13-59}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 69$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{3312}{576}$ = $\frac{3481}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{59}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{59}{24}$ = $\frac{46}{24}$ = 1.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{23}{12}$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$x$
$x^{2} + a - x$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):