Mathebattle EduRandomtasks

einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x}$ = $x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x^{2}$

$4$	=	$x^{2}$	\| $- 4$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + 2$ = $\frac{11 x + 4}{2 x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{11 x + 4}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 2 \cdot 2 x$	=	$\frac{11 x + 4}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$11 x + 4$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$11 x + 4$

2 x^{2} + 4 x

=

11 x + 4

|

- 11 x

- 4

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7+9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{7-9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 20}{3 x + 4} - x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

0

=

\frac{20}{3 x + 4} - x + 1

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

=	$\frac{20}{3 x + 4} - x + 1$	\|⋅( $3 x + 4$ )
=	$\frac{20}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - x \cdot (3 x + 4) + 1 \cdot (3 x + 4)$
=	$20 - x \cdot (3 x + 4) + 3 x + 4$
=	$- 3 x^{2} - x + 24$

0

=

- 3 x^{2} - x + 24

|

+ 3 x^{2}

+ x

- 24

$3 x^{2} + x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 1+17}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{- 1-17}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 24$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- 8)$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $8$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{288}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = 2.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{8}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{6}{x} + \frac{5}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{5}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 6 x + 5$	=	$- x^{2}$

- 6 x + 5

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 18}{x - 1}$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{18}{x - 1}

=

- \frac{x}{2 (x - 1)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$- \frac{18}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} - x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$- \frac{18}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) - x \cdot (2 (x - 1))$
$- 36$	=	$- x - 2 x \cdot (x - 1)$
$- 36$	=	$- 2 x^{2} + x$

- 36

=

- 2 x^{2} + x

|

+ 2 x^{2}

- x

$2 x^{2} - x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1+17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{1-17}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 36$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $18$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{288}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4,5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):