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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{12}{x}$ = $- 3 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{12}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 12$	=	$- 3 x^{2}$

$- 12$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 12$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 21 x - 24}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 21 x - 24}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 21 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 21 x - 24$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 21 x - 24

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19+13}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19-13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 14}{x - 1} + 2 x$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{14}{x - 1} + 2 x

=

- 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{14}{x - 1} + 2 x$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{14}{x - 1} \cdot (x - 1) + 2 x \cdot (x - 1)$	=	$- 1 \cdot (x - 1)$
$- 14 + 2 x (x - 1)$	=	$- (x - 1)$
$- 14 + (2 x^{2} - 2 x)$	=	$- (x - 1)$
$2 x^{2} - 2 x - 14$	=	$- x + 1$

2 x^{2} - 2 x - 14

=

- x + 1

|

+ x

- 1

$2 x^{2} - x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1+11}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{1-11}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{8}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{8}{x} \cdot x^{2} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$8 x + 12$	=	$- x^{2}$

8 x + 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3,5}{x + 4} - x$ = $- \frac{x}{4 x + 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{3,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{4 x + 16}$
$- \frac{3,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$- \frac{3,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{- 3,5}{x + 4} \cdot (4 (x + 4)) - x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$- 14 - 4 x (x + 4)$	=	$- x$
$- 14 + (- 4 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} - 16 x - 14$	=	$- x$

- 4 x^{2} - 16 x - 14

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} - 15 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{15+1}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{- 8}$ = $\frac{15-1}{- 8}$ = $\frac{14}{- 8}$ = $- 1,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x - 14$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $-$ $\frac{224}{64}$ = $\frac{1}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{1}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $- \frac{14}{8}$ = -1.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,75$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 3$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 3$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 3 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 3 x$	=	$- x^{2}$
$a + 3 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):