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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 2 x$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x^{2}$

$- 2$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{31 x + 14}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{31 x + 14}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{31 x + 14}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$31 x + 14$	=	$3 x (x + 4)$
$31 x + 14$	=	$3 x^{2} + 12 x$

31 x + 14

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 14}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19+23}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 19-23}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 19 x + 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{- 35}{2 x - 1} - x + 5$

Lösung einblenden

D=R\{ $\frac{1}{2}$ }

0

=

\frac{35}{2 x - 1} - x + 5

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 1$ weg!

=	$\frac{35}{2 x - 1} - x + 5$	\|⋅( $2 x - 1$ )
=	$\frac{35}{2 x - 1} \cdot (2 x - 1) - x \cdot (2 x - 1) + 5 \cdot (2 x - 1)$
=	$35 - x (2 x - 1) + 10 x - 5$
=	$- 2 x^{2} + 11 x + 30$

0

=

- 2 x^{2} + 11 x + 30

|

+ 2 x^{2}

- 11 x

- 30

$2 x^{2} - 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 240}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{11+19}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = $7,5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{11-19}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x - 30$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (- 15)$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $15$ = $\frac{121}{16}$ $+$ $\frac{240}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $7,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 14 x + 40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 14 x + 40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 14 x + 40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 14 x + 40$

- x^{2}

=

- 14 x + 40

|

+ 14 x

- 40

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14+6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 14-6}{- 2}$ = $\frac{- 20}{- 2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{17,5}{x + 1}$ = $- \frac{x}{4 x + 4} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{17,5}{x + 1}

=

- \frac{x}{4 (x + 1)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{17,5}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + 3 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{17,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 3 x \cdot (4 (x + 1))$
$70$	=	$- x + 12 x (x + 1)$
$70$	=	$12 x^{2} + 11 x$

70

=

12 x^{2} + 11 x

|

- 12 x^{2}

- 11 x

$- 12 x^{2} - 11 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 70}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 3 360}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{3 481}}{- 24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{3 481}}{- 24}$ = $\frac{11+59}{- 24}$ = $\frac{70}{- 24}$ = $- \frac{35}{12}$ ≈ -2.92

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{3 481}}{- 24}$ = $\frac{11-59}{- 24}$ = $\frac{- 48}{- 24}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 11 x + 70$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{11}{12} x - \frac{35}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{35}{6})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{35}{6}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{3360}{576}$ = $\frac{3481}{576}$

x_1,2 = $- \frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{576}}$

x₁ = $- \frac{11}{24}$ - $\frac{59}{24}$ = $- \frac{70}{24}$ = -2.9166666666667

x₂ = $- \frac{11}{24}$ + $\frac{59}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{35}{12}$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $6$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $6$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$6$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$6 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$6 x$
$a + x^{2} - 6 x$	=	0
$x^{2} - 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $- (2 + 4)$ = -6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 4$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):