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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6 x}{x + 1}$ = $2 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 6 x}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 6 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$2 x (x + 1)$
$- 6 x$	=	$2 x (x + 1)$
$- 6 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$

$- 6 x$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- (2 x^{2} + 2 x)$
$- 2 x^{2} - 6 x - 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 8 x$	=	0
$- 2 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 24}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 13 x + 24}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 13 x + 24}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$- 13 x + 24$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

- 13 x + 24

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 24}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 384}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{1 225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{29+35}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{1 225}}{- 8}$ = $\frac{29-35}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 29 x + 24$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{29}{4} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{8})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $6$ = $\frac{841}{64}$ $+$ $\frac{384}{64}$ = $\frac{1225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{29}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{64}}$

x₁ = $- \frac{29}{8}$ - $\frac{35}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{29}{8}$ + $\frac{35}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{- 10 x}{x + 3} + 1$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

2 x

=

\frac{10 x}{x + 3} + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$2 x$	=	$\frac{10 x}{x + 3} + 1$	\|⋅( $x + 3$ )
$2 x \cdot (x + 3)$	=	$\frac{10 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 1 \cdot (x + 3)$
$2 x (x + 3)$	=	$10 x + x + 3$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 3$	=	$10 x + x + 3$
$2 x \cdot x + 6 x$	=	$10 x + x + 3$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$11 x + 3$

2 x^{2} + 6 x

=

11 x + 3

|

- 11 x

- 3

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5+7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5-7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x - 48}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 2 x - 48}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 2 x - 48}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 2 x - 48$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 48

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2+14}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{2-14}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $1$ - $7$ = -6

x₂ = $1$ + $7$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $8$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5}$ = $- \frac{4,2}{x - 1} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5}$	=	$- \frac{4,2}{x - 1} + 2 x$
$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{4,2}{x - 1} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)}$	=	$- \frac{4,2}{x - 1} + 2 x$	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1))$	=	$\frac{- 4,2}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 2 x \cdot (5 (x - 1))$
$x$	=	$- 21 + 10 x (x - 1)$
$x$	=	$10 x^{2} - 10 x - 21$

x

=

10 x^{2} - 10 x - 21

|

- 10 x^{2}

+ 10 x

+ 21

$- 10 x^{2} + 11 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 21}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 840}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{961}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 11+31}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{961}}{- 20}$ = $\frac{- 11-31}{- 20}$ = $\frac{- 42}{- 20}$ = $2,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 11 x + 21$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{11}{10} x - \frac{21}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{20})}^{2} - (- \frac{21}{10})$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{21}{10}$ = $\frac{121}{400}$ $+$ $\frac{840}{400}$ = $\frac{961}{400}$

x_1,2 = $\frac{11}{20}$ ± $\sqrt{\frac{961}{400}}$

x₁ = $\frac{11}{20}$ - $\frac{31}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $\frac{11}{20}$ + $\frac{31}{20}$ = $\frac{42}{20}$ = 2.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2,1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):