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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{40}{x + 1}$ = $2 x$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{40}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{40}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$40$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$40$	=	$2 x^{2} + 2 x$

40

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

- 2 x^{2} - 2 x + 40

= 0 |:2

$- x^{2} - x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 20}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1+9}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{1-9}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 35 x - 14}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 35 x - 14}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 35 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$- 35 x - 14$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

- 35 x - 14

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{23+19}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{23-19}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{42}{6}$ = -7

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x}{x + 4} + 3 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{20 x}{x + 4} + 3 x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{20 x}{x + 4} + 3 x - 2$	=	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{20 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 3 x \cdot (x + 4) - 2 \cdot (x + 4)$	=
$- 20 x + 3 x \cdot (x + 4) - 2 x - 8$	=
$- 20 x + (3 x^{2} + 12 x) - 2 x - 8$	=
$3 x^{2} - 10 x - 8$	=

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10+14}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{10-14}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{12}{x} + \frac{20}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{12}{x} + \frac{20}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{12}{x} \cdot x^{2} + \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 12 x + 20$	=

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20}$ = $- \frac{- 47,6}{x - 4} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20}$	=	$\frac{47,6}{x - 4} - 4 x$
$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$\frac{47,6}{x - 4} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$\frac{47,6}{x - 4} - 4 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{47,6}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) - 4 x \cdot (5 (x - 4))$
$x$	=	$238 - 20 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- 20 x^{2} + 80 x + 238$

x

=

- 20 x^{2} + 80 x + 238

|

+ 20 x^{2}

- 80 x

- 238

$20 x^{2} - 79 x - 238$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{{(- 79)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 238)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{6 241 + 19 040}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{25 281}}{40}$

x₁ = $\frac{79 + \sqrt{25 281}}{40}$ = $\frac{79+159}{40}$ = $\frac{238}{40}$ = $5,95$

x₂ = $\frac{79 - \sqrt{25 281}}{40}$ = $\frac{79-159}{40}$ = $\frac{- 80}{40}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 79 x - 238$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{79}{20} x - \frac{119}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{79}{40})}^{2} - (- \frac{119}{10})$ = $\frac{6241}{1600}$ $+$ $\frac{119}{10}$ = $\frac{6241}{1600}$ $+$ $\frac{19040}{1600}$ = $\frac{25281}{1600}$

x_1,2 = $\frac{79}{40}$ ± $\sqrt{\frac{25281}{1600}}$

x₁ = $\frac{79}{40}$ - $\frac{159}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $\frac{79}{40}$ + $\frac{159}{40}$ = $\frac{238}{40}$ = 5.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5,95$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$15 + a x$	=	$- x^{2}$
$15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):