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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -3 x 2 -4 = 0

Lösung einblenden
x 4 -3 x 2 -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = -1

x 2 = -1 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -2 ; 2 }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x +5 e x -6 = 0

Lösung einblenden
e 2x +5 e x -6 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +5u -6 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · ( -6 ) 21

u1,2 = -5 ± 25 +24 2

u1,2 = -5 ± 49 2

u1 = -5 + 49 2 = -5 +7 2 = 2 2 = 1

u2 = -5 - 49 2 = -5 -7 2 = -12 2 = -6

Rücksubstitution:

u1: e x = 1

e x = 1 |ln(⋅)
x1 = 0 ≈ 0

u2: e x = -6

e x = -6

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 1 2 cos( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 1 2 cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 - u -1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 22

u1,2 = +1 ± 1 +8 4

u1,2 = +1 ± 9 4

u1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

u2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -0,5

canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x2 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 4 3 π

L={0; 2 3 π ; 4 3 π }