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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -13 x 2 +36 = 0

Lösung einblenden
x 4 -13 x 2 +36 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +36 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 36 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -144 2

u1,2 = +13 ± 25 2

u1 = 13 + 25 2 = 13 +5 2 = 18 2 = 9

u2 = 13 - 25 2 = 13 -5 2 = 8 2 = 4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 36 = 169 4 - 36 = 169 4 - 144 4 = 25 4

x1,2 = 13 2 ± 25 4

x1 = 13 2 - 5 2 = 8 2 = 4

x2 = 13 2 + 5 2 = 18 2 = 9

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 9

x 2 = 9 | ⋅2
x1 = - 9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x3 = - 4 = -2
x4 = 4 = 2

L={ -3 ; -2 ; 2 ; 3 }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -13 e x +42 = 0

Lösung einblenden
e 2x -13 e x +42 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -13u +42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · 1 · 42 2⋅1

u1,2 = +13 ± 169 -168 2

u1,2 = +13 ± 1 2

u1 = 13 + 1 2 = 13 +1 2 = 14 2 = 7

u2 = 13 - 1 2 = 13 -1 2 = 12 2 = 6

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 42 = 169 4 - 42 = 169 4 - 168 4 = 1 4

x1,2 = 13 2 ± 1 4

x1 = 13 2 - 1 2 = 12 2 = 6

x2 = 13 2 + 1 2 = 14 2 = 7

Rücksubstitution:

u1: e x = 7

e x = 7 |ln(⋅)
x1 = ln( 7 ) ≈ 1.9459

u2: e x = 6

e x = 6 |ln(⋅)
x2 = ln( 6 ) ≈ 1.7918

L={ ln( 6 ) ; ln( 7 ) }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 +3⋅ cos( x ) -4 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 +3⋅ cos( x ) -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · ( -4 ) 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 +16 2

u1,2 = -3 ± 25 2

u1 = -3 + 25 2 = -3 +5 2 = 2 2 = 1

u2 = -3 - 25 2 = -3 -5 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = - 3 2 ± 25 4

x1 = - 3 2 - 5 2 = - 8 2 = -4

x2 = - 3 2 + 5 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -4

cos( x ) = -4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}