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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +6 x 2 -7 = 0

Lösung einblenden
x 4 +6 x 2 -7 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +6u -7 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -6 ± 6 2 -4 · 1 · ( -7 ) 21

u1,2 = -6 ± 36 +28 2

u1,2 = -6 ± 64 2

u1 = -6 + 64 2 = -6 +8 2 = 2 2 = 1

u2 = -6 - 64 2 = -6 -8 2 = -14 2 = -7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 3 2 - ( -7 ) = 9+ 7 = 16

x1,2 = -3 ± 16

x1 = -3 - 4 = -7

x2 = -3 + 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -7

x 2 = -7 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x - e x -2 = 0

Lösung einblenden
e 2x - e x -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = 1 2 ± 9 4

x1 = 1 2 - 3 2 = - 2 2 = -1

x2 = 1 2 + 3 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: e x = 2

e x = 2 |ln(⋅)
x1 = ln( 2 ) ≈ 0.6931

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 +3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 +3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 21

u1,2 = -3 ± 9 -8 2

u1,2 = -3 ± 1 2

u1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

u2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = - 3 2 ± 1 4

x1 = - 3 2 - 1 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 3 2 + 1 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = -1

( sin( x ) ) 2 = -1 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = -2

( sin( x ) ) 2 = -2 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}