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cosh
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Polynomgleichungen (Substitution)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
x4-10x2+9 =
| x4-10x2+9 | = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u = x2
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
u2-10u+9 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
u1,2 = +10±√(-10)2-4·1·92⋅1
u1,2 = +10±√100-362
u1,2 = +10±√642
u1 = 10+√642 = 10+82 = 182 = 9
u2 = 10-√642 = 10-82 = 22 = 1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-5)2-9 = 25 - 9 = 16
x1,2 = 5 ± √16
x1 = 5 - 4 = 1
x2 = 5 + 4 = 9
Rücksubstitution:
u1: x2 = 9
| x2 | = | 9 | | 2√⋅ |
| x1 | = | -√9 | = -3 |
| x2 | = | √9 | = 3 |
u2: x2 = 1
| x2 | = | 1 | | 2√⋅ |
| x3 | = | -√1 | = -1 |
| x4 | = | √1 | = 1 |
L={ -3; -1; 1; 3}
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
e5x-2e3x-15ex =
| e5x-2e3x-15ex | = | ||
| (e4x-2e2x-15)ex | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| e4x-2e2x-15 | = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u = e2x
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
u2-2u-15 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
u1,2 = +2±√(-2)2-4·1·(-15)2⋅1
u1,2 = +2±√4+602
u1,2 = +2±√642
u1 = 2+√642 = 2+82 = 102 = 5
u2 = 2-√642 = 2-82 = -62 = -3
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-1)2-(-15) = 1+ 15 = 16
x1,2 = 1 ± √16
x1 = 1 - 4 = -3
x2 = 1 + 4 = 5
Rücksubstitution:
u1: e2x = 5
| e2x | = | 5 | |ln(⋅) |
| 2x | = | ln(5) | |:2 |
| x1 | = | 12ln(5) | ≈ 0.8047 |
u2: e2x = -3
| e2x | = | -3 |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
| ex | = | 0 |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ 12ln(5)}
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(sin(x))2-sin(x)-2 =
| (sin(x))2-sin(x)-2 | = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u = sin(x)
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
u2-u-2 = 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = -b±√b2-4a·c2a ergibt:
u1,2 = +1±√(-1)2-4·1·(-2)2⋅1
u1,2 = +1±√1+82
u1,2 = +1±√92
u1 = 1+√92 = 1+32 = 42 = 2
u2 = 1-√92 = 1-32 = -22 = -1
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
-p2
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
(p2)2-q:
D = (-12)2-(-2) = 14+ 2 = 14+ 84 = 94
x1,2 = 12 ± √94
x1 = 12 - 32 = -22 = -1
x2 = 12 + 32 = 42 = 2
Rücksubstitution:
u1: sin(x) = 2
| sin(x) | = | 2 |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
u2: sin(x) = -1
| sin(x) | = | -1 | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = | 32π |
L={ 32π}