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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -5 x 2 +4 = 0

Lösung einblenden
x 4 -5 x 2 +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -2 ; -1 ; 1 ; 2 }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -3 -4 e -2x = 0

Lösung einblenden
e 2x -3 -4 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

e 2x -4 e -2x -3 = 0 |⋅ e 2x
e 4x -3 e 2x -4 = 0

Setze u = e 2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: e 2x = 4

e 2x = 4 |ln(⋅)
2x = ln( 4 ) |:2
x1 = 1 2 ln( 4 ) ≈ 0.6931
x1 = ln( 2 )

u2: e 2x = -1

e 2x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ ln( 2 ) }

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -2 cos( x ) +1 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -2 cos( x ) +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!