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cosh
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Polynomgleichungen (Substitution)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 4
x2 = + = = 9
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
u2: =
| = | | | ||
| x3 | = | = | |
| x4 | = | = |
L={ ; ; ; }
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.7918 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 1.7918 |
L={ }
ist 2-fache Lösung!
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 1
x2 = + = = 2
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | |
1. Fall
| = | ≈ |
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall
| = | ≈ |
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
u2: =
| = | | |
1. Fall
| = | = |
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = |
2. Fall
| = | = |
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x2 | = |
L={ ; }