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Kursstufe
cosh
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Polynomgleichungen (Substitution)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
|
x1 | = |
|
=
|
x2 | = |
|
=
|
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={
Exponentialgl. Substitution
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |ln(⋅) | |
x1 | = |
|
≈ 1.3863 |
x1 | = |
|
u2:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0;
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
|
= | |⋅ 2 | |
|
= |
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die
ganze Gleichung durch "
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983
1. Fall:
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
x2 | = |
|
u2:
|
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x3 | = |
|
L={