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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x4-10x2+9 = 0

Lösung einblenden
x4-10x2+9 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u2-10u+9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

u1,2 = +10±(-10)2-4·1·921

u1,2 = +10±100-362

u1,2 = +10±642

u1 = 10+642 = 10+82 = 182 = 9

u2 = 10-642 = 10-82 = 22 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-5)2-9 = 25 - 9 = 16

x1,2 = 5 ± 16

x1 = 5 - 4 = 1

x2 = 5 + 4 = 9

Rücksubstitution:

u1: x2 = 9

x2 = 9 | 2
x1 = -9 = -3
x2 = 9 = 3

u2: x2 = 1

x2 = 1 | 2
x3 = -1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -3; -1; 1; 3}

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e5x-2e3x-15ex = 0

Lösung einblenden
e5x-2e3x-15ex = 0
(e4x-2e2x-15)ex = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

e4x-2e2x-15 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e2x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u2-2u-15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

u1,2 = +2±(-2)2-4·1·(-15)21

u1,2 = +2±4+602

u1,2 = +2±642

u1 = 2+642 = 2+82 = 102 = 5

u2 = 2-642 = 2-82 = -62 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-1)2-(-15) = 1+ 15 = 16

x1,2 = 1 ± 16

x1 = 1 - 4 = -3

x2 = 1 + 4 = 5

Rücksubstitution:

u1: e2x = 5

e2x = 5 |ln(⋅)
2x = ln(5) |:2
x1 = 12ln(5) ≈ 0.8047

u2: e2x = -3

e2x = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

ex = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 12ln(5)}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π):
(sin(x))2-sin(x)-2 = 0

Lösung einblenden
(sin(x))2-sin(x)-2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin(x)

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u2-u-2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = -b±b2-4a·c2a ergibt:

u1,2 = +1±(-1)2-4·1·(-2)21

u1,2 = +1±1+82

u1,2 = +1±92

u1 = 1+92 = 1+32 = 42 = 2

u2 = 1-92 = 1-32 = -22 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = -p2 ± (p2)2-q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = (p2)2-q:

D = (-12)2-(-2) = 14+ 2 = 14+ 84 = 94

x1,2 = 12 ± 94

x1 = 12 - 32 = -22 = -1

x2 = 12 + 32 = 42 = 2

Rücksubstitution:

u1: sin(x) = 2

sin(x) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin(x) = -1

canvas
sin(x) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 32π

L={ 32π}