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cosh
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Polynomgleichungen (Substitution)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.
x = ± 0 =
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
u2: =
| = | | | ||
| x3 | = | = | |
| x4 | = | = |
L={ ; }
ist 2-fache Lösung! ist 2-fache Lösung!
Exponentialgl. Substitution BF
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = 3
x2 = + = 5
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x1 | = | ≈ 1.6094 |
u2: =
| = | |ln(⋅) | ||
| x2 | = | ≈ 1.0986 |
L={ ; }
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
| = | |⋅ 2 | ||
| = |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "" teilen:
=
= 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = 0.5
x2 = + = = 1
Rücksubstitution:
u1: =
| = | | |
1. Fall
| = | = |
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = |
2. Fall
| = | = |
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x2 | = |
u2: =
| = | | |
1. Fall
| = | ≈ |
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.78524716339515
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
| x3 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - =-2.3564 bzw. bei -2.3564+2π= liegen muss.
2. Fall:
| x4 | = |
2. Fall
| = | ≈ |
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 0.78524716339515
1. Fall:
| x5 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - = liegen muss.
2. Fall:
| x6 | = |
L={ ; ; ; ; ; }