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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 +4 x 2 -5 = 0

Lösung einblenden
x 4 +4 x 2 -5 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

u1,2 = -4 ± 16 +20 2

u1,2 = -4 ± 36 2

u1 = -4 + 36 2 = -4 +6 2 = 2 2 = 1

u2 = -4 - 36 2 = -4 -6 2 = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = -2 ± 9

x1 = -2 - 3 = -5

x2 = -2 + 3 = 1

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 1

x 2 = 1 | 2
x1 = - 1 = -1
x2 = 1 = 1

u2: x 2 = -5

x 2 = -5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ -1 ; 1 }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

e 2x -3 e x -4 = 0

Lösung einblenden
e 2x -3 e x -4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -4 ) 21

u1,2 = +3 ± 9 +16 2

u1,2 = +3 ± 25 2

u1 = 3 + 25 2 = 3 +5 2 = 8 2 = 4

u2 = 3 - 25 2 = 3 -5 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -4 ) = 9 4 + 4 = 9 4 + 16 4 = 25 4

x1,2 = 3 2 ± 25 4

x1 = 3 2 - 5 2 = - 2 2 = -1

x2 = 3 2 + 5 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = -1

e x = -1

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 1 2 sin( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 1 2 sin( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 22

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 + u -1 = 0 |: 2

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = - 1 4 ± 9 16

x1 = - 1 4 - 3 4 = - 4 4 = -1

x2 = - 1 4 + 3 4 = 2 4 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 3 2 π

L={ 1 6 π ; 5 6 π ; 3 2 π }