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Polynomgleichungen (Substitution)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 4 -5 x 2 +4 = 0

Lösung einblenden
x 4 -5 x 2 +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = x 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: x 2 = 4

x 2 = 4 | ⋅2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

u2: x 2 = 1

x 2 = 1 | ⋅2
x3 = - 1 = -1
x4 = 1 = 1

L={ -2 ; -1 ; 1 ; 2 }

Exponentialgl. Substitution

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 -2 e -x -8 e -2x = 0

Lösung einblenden
1 -2 e -x -8 e -2x = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

-2 e -x -8 e -2x +1 = 0 |⋅ e 2x
e 2x -2 e x -8 = 0

Setze u = e x

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 +32 2

u1,2 = +2 ± 36 2

u1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

u2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = 1 ± 9

x1 = 1 - 3 = -2

x2 = 1 + 3 = 4

Rücksubstitution:

u1: e x = 4

e x = 4 |ln(⋅)
x1 = ln( 4 ) ≈ 1.3863
x1 = 2 ln( 2 )

u2: e x = -2

e x = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 2 ln( 2 ) }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ sin( x ) + 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 3 2 u + 1 2 ) = 0

2 u 2 -3u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 2 · 1 2⋅2

u1,2 = +3 ± 9 -8 4

u1,2 = +3 ± 1 4

u1 = 3 + 1 4 = 3 +1 4 = 4 4 = 1

u2 = 3 - 1 4 = 3 -1 4 = 2 4 = 0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 -3u +1 = 0 |: 2

u 2 - 3 2 u + 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 4 ) 2 - ( 1 2 ) = 9 16 - 1 2 = 9 16 - 8 16 = 1 16

x1,2 = 3 4 ± 1 16

x1 = 3 4 - 1 4 = 2 4 = 0.5

x2 = 3 4 + 1 4 = 4 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = 0,5

canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x2 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 1 6 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π }