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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{4}{x^{3}}$

= $- 4 x^{- 3}$

=> f'(x) = $12 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $\frac{12}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 x^{3} + \frac{5}{4} \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 x^{3} + \frac{5}{4} \sqrt[3]{x}$

= $- 7 x^{3} + \frac{5}{4} x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- 21 x^{2} + \frac{5}{12} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- 21 x^{2} + \frac{5}{12 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 6$ parallel zur Geraden y = $2 x - 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 1$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 6$

= $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 6$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{5}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt[5]{x} + 0$

= $\sqrt[5]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt[5]{x} + 0$ = 2.

$\sqrt[5]{x}$	=	$2$	\|(⋅)⁵ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{5}$

x

32

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $32$

Linke Seite:

x = $32$ in $\sqrt[5]{x}$

$=$ $\sqrt[5]{32}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $32$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $32$ ist somit eine Lösung !

L={ $32$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $32$ ) = $\sqrt[5]{32} + 0$ = $2$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 32

Probe für x = $32$