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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{3} + x^{2} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{3} + x^{2} + x$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}} - 2 x^{5}$

= $- 3 x^{- 2} - 2 x^{5}$

=> f'(x) = $6 x^{- 3} - 10 x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}} - 10 x^{4}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 - 4 \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 - 4 \sqrt[3]{x}$

= $4 - 4 x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $0 - \frac{4}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $0 - \frac{4}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

= $- \frac{4}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} - 5$ parallel zur Geraden y = $2 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 5$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} - 5$

= $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - 5$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{4}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt[4]{x} + 0$

= $\sqrt[4]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt[4]{x} + 0$ = 2.

$\sqrt[4]{x}$	=	$2$	\|(⋅)⁴ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{4}$

x

16

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Linke Seite:

x = $16$ in $\sqrt[4]{x}$

$=$ $\sqrt[4]{16}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $16$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$ ) = $\sqrt[4]{16} + 0$ = $2$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 16

Probe für x = $16$