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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$

= $- 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x} + 2 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 2 \sqrt[3]{x} + 2 x^{2}$

= $- 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{2}$

=> f'(x) = $- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 4 x$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{3 {(\sqrt[3]{x})}^{2}} + 4 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 3 x$ parallel zur Geraden y = $7 x - 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $7 x - 5$ hat als Steigung m = 7 und als y-Achsenabschnitt c = $- 5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 7 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 3 x$

= $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + 3 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}} + 3$

$f'(x) =$ $\sqrt[3]{x} + 3$

Diese Ableitung muss ja = 7 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x} + 3$ = 7.

$\sqrt[3]{x} + 3$	=	$7$	\| $- 3$
$\sqrt[3]{x}$	=	$4$	\|(⋅)³ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$4^{3}$

x

64

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Linke Seite:

x = $64$ in $\sqrt[3]{x} + 3$

$=$ $\sqrt[3]{64} + 3$

= $4 + 3$

= $7$

Rechte Seite:

x = $64$ in $7$

$=$ $7$

Also 7 = 7

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$ ) = $\sqrt[3]{64} + 3$ = $7$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 64

Probe für x = $64$