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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{2}{x}$

= $2 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{x^{2}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 \sqrt{x} - x^{5}$

= $- 3 x^{\frac{1}{2}} - x^{5}$

=> f'(x) = $- \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{2 \sqrt{x}} - 5 x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - x$ parallel zur Geraden y = $2 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x + 4$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - x$

= $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}} - 1$

$f'(x) =$ $\sqrt[3]{x} - 1$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x} - 1$ = 2.

$\sqrt[3]{x} - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
$\sqrt[3]{x}$	=	$3$	\|(⋅)³ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$3^{3}$

x

27

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $27$

Linke Seite:

x = $27$ in $\sqrt[3]{x} - 1$

$=$ $\sqrt[3]{27} - 1$

= $3 - 1$

= $2$

Rechte Seite:

x = $27$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $27$ ist somit eine Lösung !

L={ $27$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $27$ ) = $\sqrt[3]{27} - 1$ = $2$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 27

Probe für x = $27$