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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 4 + x 2 + x +1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 4 + x 2 + x +1

f'(x)= 4 x 3 +2x +1 +0

= 4 x 3 +2x +1

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 2 x 2 +2 x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 2 x 2 +2 x 4

= -2 x -2 +2 x 4

=> f'(x) = 4 x -3 +8 x 3

f'(x)= 4 x 3 +8 x 3

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 x -4x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 x -4x

= 3 x 1 2 -4x

=> f'(x) = 3 2 x - 1 2 -4

f'(x)= 3 2 x -4

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 2 3 ( x ) 3 +1 parallel zur Geraden y = 3x -4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 3x -4 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = -4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 2 3 ( x ) 3 +1

= 2 3 x 3 2 +1

=> f'(x) = x 1 2 +0

f'(x)= x +0

= x

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x +0 = 3.

x = 3 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 3 2
x = 9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 9

Linke Seite:

x = 9 in x

= 9

= 3

Rechte Seite:

x = 9 in 3

= 3

Also 3 = 3

x = 9 ist somit eine Lösung !

L={ 9 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 9 ) = 9 +0 = 3