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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{2} + x + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{2} + x + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x + 1 + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} - 3 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{3}} - 3 x$

= $5 x^{- 3} - 3 x$

=> f'(x) = $- 15 x^{- 4} - 3$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{x^{4}} - 3$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $6 x^{2} - \frac{1}{3} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $6 x^{2} - \frac{1}{3} \sqrt{x}$

= $6 x^{2} - \frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $12 x - \frac{1}{6} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $12 x - \frac{1}{6 \sqrt{x}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 7 x$ parallel zur Geraden y = $10 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $10 x + 4$ hat als Steigung m = 10 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 10 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 7 x$

= $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 7 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}} + 7$

$f'(x) =$ $\sqrt{x} + 7$

Diese Ableitung muss ja = 10 sein, also setzen wir $\sqrt{x} + 7$ = 10.

$\sqrt{x} + 7$	=	$10$	\| $- 7$
$\sqrt{x}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$3^{2}$

x

9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x} + 7$

$=$ $\sqrt{9} + 7$

= $3 + 7$

= $10$

Rechte Seite:

x = $9$ in $10$

$=$ $10$

Also 10 = 10

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $9$ ) = $\sqrt{9} + 7$ = $10$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 9

Probe für x = $9$