nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x 3 + x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 + x 3 + x 2

f'(x)= 5 x 4 +3 x 2 +2x

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 5 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 5 x 2

= 5 x -2

=> f'(x) = -10 x -3

f'(x)= - 10 x 3

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 9 4 x +4x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 9 4 x +4x

= 9 4 x 1 2 +4x

=> f'(x) = 9 8 x - 1 2 +4

f'(x)= 9 8 x +4

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 -8 parallel zur Geraden y = 2x -1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 2x -1 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = -1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 -8

= 3 4 x 4 3 -8

=> f'(x) = x 1 3 +0

f'(x)= x 3 +0

= x 3

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 3 +0 = 2.

x 3 = 2 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 2 3
x = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 8

Linke Seite:

x = 8 in x 3

= 8 3

= 2

Rechte Seite:

x = 8 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = 8 ist somit eine Lösung !

L={ 8 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 8 ) = 8 3 +0 = 2