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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{3} + x + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + x^{3} + x + 1$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 3 x^{2} + 1 + 0$

= $4 x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{3} - \frac{2}{x^{3}}$

= $- 6 x^{3} - 2 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 18 x^{2} + 6 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- 18 x^{2} + \frac{6}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 4 {(\sqrt{x})}^{3} + 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 4 {(\sqrt{x})}^{3} + 5 x^{2}$

= $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 5 x^{2}$

=> f'(x) = $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 10 x$

$f'(x) =$ $- 6 \sqrt{x} + 10 x$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + 5 x$ parallel zur Geraden y = $6 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $6 x + 4$ hat als Steigung m = 6 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 6 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + 5 x$

= $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + 5 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{4}} + 5$

$f'(x) =$ $\sqrt[4]{x} + 5$

Diese Ableitung muss ja = 6 sein, also setzen wir $\sqrt[4]{x} + 5$ = 6.

$\sqrt[4]{x} + 5$	=	$6$	\| $- 5$
$\sqrt[4]{x}$	=	$1$	\|(⋅)⁴ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{4}$

x

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt[4]{x} + 5$

$=$ $\sqrt[4]{1} + 5$

= $1 + 5$

= $6$

Rechte Seite:

x = $1$ in $6$

$=$ $6$

Also 6 = 6

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\sqrt[4]{1} + 5$ = $6$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 1

Probe für x = $1$