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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 1 + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{3}} + 7 x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{7}{4 x^{3}} + 7 x^{5}$

= $- \frac{7}{4} x^{- 3} + 7 x^{5}$

=> f'(x) = $\frac{21}{4} x^{- 4} + 35 x^{4}$

$f'(x) =$ $\frac{21}{4 x^{4}} + 35 x^{4}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} - \frac{5}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 x^{2} - \frac{5}{2} \sqrt{x}$

= $4 x^{2} - \frac{5}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $8 x - \frac{5}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $8 x - \frac{5}{4 \sqrt{x}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 5$ parallel zur Geraden y = $x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $x + 4$ hat als Steigung m = 1 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 5$

= $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 5$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{5}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt[5]{x} + 0$

= $\sqrt[5]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 1 sein, also setzen wir $\sqrt[5]{x} + 0$ = 1.

$\sqrt[5]{x}$	=	$1$	\|(⋅)⁵ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{5}$

x

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt[5]{x}$

$=$ $\sqrt[5]{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $1$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\sqrt[5]{1} + 0$ = $1$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 1

Probe für x = $1$