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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{9}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{9}{x^{3}}$

= $9 x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 27 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{27}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 9 \sqrt{x} - 2 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 9 \sqrt{x} - 2 x$

= $- 9 x^{\frac{1}{2}} - 2 x$

=> f'(x) = $- \frac{9}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2$

$f'(x) =$ $- \frac{9}{2 \sqrt{x}} - 2$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 5$ parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x + 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} + 5$

= $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + 5$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt[3]{x} + 0$

= $\sqrt[3]{x}$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x} + 0$ = 3.

$\sqrt[3]{x}$	=	$3$	\|(⋅)³ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$3^{3}$

x

27

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $27$

Linke Seite:

x = $27$ in $\sqrt[3]{x}$

$=$ $\sqrt[3]{27}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $27$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $27$ ist somit eine Lösung !

L={ $27$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $27$ ) = $\sqrt[3]{27} + 0$ = $3$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 27

Probe für x = $27$