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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x 4 + x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 + x 4 + x

f'(x)= 5 x 4 +4 x 3 +1

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 6 x 5 - 3 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 6 x 5 - 3 x 3

= 6 x 5 -3 x -3

=> f'(x) = 30 x 4 +9 x -4

f'(x)= 30 x 4 + 9 x 4

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x 3 -4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -3 x 3 -4

= -3 x 1 3 -4

=> f'(x) = - x - 2 3 +0

f'(x)= - 1 ( x 3 ) 2 +0

= - 1 ( x 3 ) 2

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +3x parallel zur Geraden y = 5x -3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 5x -3 hat als Steigung m = 5 und als y-Achsenabschnitt c = -3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 5 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +3x

= 3 4 x 4 3 +3x

=> f'(x) = x 1 3 +3

f'(x)= x 3 +3

Diese Ableitung muss ja = 5 sein, also setzen wir x 3 +3 = 5.

x 3 +3 = 5 | -3
x 3 = 2 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 2 3
x = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 8

Linke Seite:

x = 8 in x 3 +3

= 8 3 +3

= 2 +3

= 5

Rechte Seite:

x = 8 in 5

= 5

Also 5 = 5

x = 8 ist somit eine Lösung !

L={ 8 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 8 ) = 8 3 +3 = 5