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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{3} + x^{2} + x$

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 2 x + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{3}{x^{2}}$

= $- 3 x^{- 2}$

=> f'(x) = $6 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{6}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{2} \sqrt{x}$

= $- \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{2}}$

$f'(x) =$ $- \frac{1}{4 \sqrt{x}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 3$ parallel zur Geraden y = $3 x + 1$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x + 1$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $1$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} + 3$

= $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt{x} + 0$

= $\sqrt{x}$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $\sqrt{x} + 0$ = 3.

$\sqrt{x}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$3^{2}$

x

9

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{x}$

$=$ $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $9$ ) = $\sqrt{9} + 0$ = $3$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 9

Probe für x = $9$