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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x 2 und vereinfache:

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f(x)= x 5 + x 2

f'(x)= 5 x 4 +2x

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 2 x und vereinfache:

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f(x)= 2 x

= 2 x -1

=> f'(x) = -2 x -2

f'(x)= - 2 x 2

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -3 x - x 5 und vereinfache:

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f(x)= -3 x - x 5

= -3 x 1 2 - x 5

=> f'(x) = - 3 2 x - 1 2 -5 x 4

f'(x)= - 3 2 x -5 x 4

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 - x parallel zur Geraden y = 2x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 2x +4 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 - x

= 3 4 x 4 3 - x

=> f'(x) = x 1 3 -1

f'(x)= x 3 -1

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 3 -1 = 2.

x 3 -1 = 2 | +1
x 3 = 3 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 3 3
x = 27

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 27

Linke Seite:

x = 27 in x 3 -1

= 27 3 -1

= 3 -1

= 2

Rechte Seite:

x = 27 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = 27 ist somit eine Lösung !

L={ 27 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 27 ) = 27 3 -1 = 2