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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{2} + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{2} + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- \frac{5}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{5}{2 x^{2}}$

= $- \frac{5}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $5 x^{- 3}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- x^{4} + \frac{2}{3} \sqrt[3]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- x^{4} + \frac{2}{3} \sqrt[3]{x}$

= $- x^{4} + \frac{2}{3} x^{\frac{1}{3}}$

=> f'(x) = $- 4 x^{3} + \frac{2}{9} x^{- \frac{2}{3}}$

$f'(x) =$ $- 4 x^{3} + \frac{2}{9 {(\sqrt[3]{x})}^{2}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 9 x$ parallel zur Geraden y = $- 8 x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 8 x + 4$ hat als Steigung m = -8 und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -8 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{5}{6} {(\sqrt[5]{x})}^{6} - 9 x$

= $\frac{5}{6} x^{\frac{6}{5}} - 9 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{5}} - 9$

$f'(x) =$ $\sqrt[5]{x} - 9$

Diese Ableitung muss ja = -8 sein, also setzen wir $\sqrt[5]{x} - 9$ = -8.

$\sqrt[5]{x} - 9$	=	$- 8$	\| $+ 9$
$\sqrt[5]{x}$	=	$1$	\|(⋅)⁵ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$1^{5}$

x

1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt[5]{x} - 9$

$=$ $\sqrt[5]{1} - 9$

= $1 - 9$

= $- 8$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 8$

$=$ $- 8$

Also -8 = -8

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $1$ ) = $\sqrt[5]{1} - 9$ = $- 8$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 1

Probe für x = $1$