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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x + 1$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x + 1$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 1 + 0$

= $5 x^{4} + 4 x^{3} + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} + 2$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{x^{2}} + 2$

= $5 x^{- 2} + 2$

=> f'(x) = $- 10 x^{- 3} + 0$

$f'(x) =$ $- \frac{10}{x^{3}} + 0$

= $- \frac{10}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 5 \sqrt[4]{x} + x^{5}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 5 \sqrt[4]{x} + x^{5}$

= $- 5 x^{\frac{1}{4}} + x^{5}$

=> f'(x) = $- \frac{5}{4} x^{- \frac{3}{4}} + 5 x^{4}$

$f'(x) =$ $- \frac{5}{4 {(\sqrt[4]{x})}^{3}} + 5 x^{4}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - 8$ parallel zur Geraden y = $2 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $2 x - 3$ hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{2}{3} {(\sqrt{x})}^{3} - 8$

= $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{2}} + 0$

$f'(x) =$ $\sqrt{x} + 0$

= $\sqrt{x}$

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir $\sqrt{x} + 0$ = 2.

$\sqrt{x}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{2}$

x

4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{x}$

$=$ $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $4$ ) = $\sqrt{4} + 0$ = $2$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 4

Probe für x = $4$