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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 2 +1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 2 +1

f'(x)= 2x +0

= 2x

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= -2 x 5 - 2 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= -2 x 5 - 2 x 2

= -2 x 5 -2 x -2

=> f'(x) = -10 x 4 +4 x -3

f'(x)= -10 x 4 + 4 x 3

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 7 x 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 7 x 5

f'(x)= 35 x 4

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +3 parallel zur Geraden y = 3x +4 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 3x +4 hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = 4 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +3

= 3 4 x 4 3 +3

=> f'(x) = x 1 3 +0

f'(x)= x 3 +0

= x 3

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir x 3 +0 = 3.

x 3 = 3 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 3 3
x = 27

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 27

Linke Seite:

x = 27 in x 3

= 27 3

= 3

Rechte Seite:

x = 27 in 3

= 3

Also 3 = 3

x = 27 ist somit eine Lösung !

L={ 27 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 27 ) = 27 3 +0 = 3