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Summernregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2}$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 4 x^{3} + 3 x^{2} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{x^{3}}$

= $x^{- 3}$

=> f'(x) = $- 3 x^{- 4}$

$f'(x) =$ $- \frac{3}{x^{4}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 7 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 7 - \frac{3}{\sqrt{x}}$

= $- 7 - 3 x^{- \frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $0 + \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

$f'(x) =$ $0 + \frac{3}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

= $\frac{3}{2 {(\sqrt{x})}^{3}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + x$ parallel zur Geraden y = $3 x + 5$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $3 x + 5$ hat als Steigung m = 3 und als y-Achsenabschnitt c = $5$ .

Wenn nun die Tangentensteigung an einer Stelle x parallel zur Steigung der gegebenen Geraden sein, soll muss also f '(x) = m =3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{4}{5} {(\sqrt[4]{x})}^{5} + x$

= $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{4}} + 1$

$f'(x) =$ $\sqrt[4]{x} + 1$

Diese Ableitung muss ja = 3 sein, also setzen wir $\sqrt[4]{x} + 1$ = 3.

$\sqrt[4]{x} + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$\sqrt[4]{x}$	=	$2$	\|(⋅)⁴ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{4}$

x

16

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $16$

Linke Seite:

x = $16$ in $\sqrt[4]{x} + 1$

$=$ $\sqrt[4]{16} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Rechte Seite:

x = $16$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $16$ ist somit eine Lösung !

L={ $16$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $16$ ) = $\sqrt[4]{16} + 1$ = $3$

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Summernregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 16

Probe für x = $16$