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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x 3 + x 2 + x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 + x 3 + x 2 + x

f'(x)= 5 x 4 +3 x 2 +2x +1

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 3 x 2 -2 x 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 3 x 2 -2 x 5

= -3 x -2 -2 x 5

=> f'(x) = 6 x -3 -10 x 4

f'(x)= 6 x 3 -10 x 4

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 -4 x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 -4 x 3

= 4 -4 x 1 3

=> f'(x) = 0 - 4 3 x - 2 3

f'(x)= 0 - 4 3 ( x 3 ) 2

= - 4 3 ( x 3 ) 2

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 4 5 ( x 4 ) 5 -5 parallel zur Geraden y = 2x +5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 2x +5 hat als Steigung m = 2 und als y-Achsenabschnitt c = 5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 2 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 4 5 ( x 4 ) 5 -5

= 4 5 x 5 4 -5

=> f'(x) = x 1 4 +0

f'(x)= x 4 +0

= x 4

Diese Ableitung muss ja = 2 sein, also setzen wir x 4 +0 = 2.

x 4 = 2 |(⋅)4 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 2 4
x = 16

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 16

Linke Seite:

x = 16 in x 4

= 16 4

= 2

Rechte Seite:

x = 16 in 2

= 2

Also 2 = 2

x = 16 ist somit eine Lösung !

L={ 16 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 16 ) = 16 4 +0 = 2