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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 +1 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 +1

f'(x)= 5 x 4 +0

= 5 x 4

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 1 x 2 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 1 x 2

= - x -2

=> f'(x) = 2 x -3

f'(x)= 2 x 3

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - x 3 -3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - x 3 -3

= - x 1 3 -3

=> f'(x) = - 1 3 x - 2 3 +0

f'(x)= - 1 3 ( x 3 ) 2 +0

= - 1 3 ( x 3 ) 2

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 -3x parallel zur Geraden y = 0 +5 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 0 +5 hat als Steigung m = 0 und als y-Achsenabschnitt c = 5 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 0 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 -3x

= 3 4 x 4 3 -3x

=> f'(x) = x 1 3 -3

f'(x)= x 3 -3

Diese Ableitung muss ja = 0 sein, also setzen wir x 3 -3 = 0.

x 3 -3 = 0 | +3
x 3 = 3 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 3 3
x = 27

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 27

Linke Seite:

x = 27 in x 3 -3

= 27 3 -3

= 3 -3

= 0

 Rechte Seite:

x = 27 in 0

=0

Also 0 = 0

x = 27 ist somit eine Lösung !

L={ 27 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 27 ) = 27 3 -3 = 0