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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x 3 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 + x 3

f'(x)= 5 x 4 +3 x 2

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 5 x -7 x 5 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 5 x -7 x 5

= -5 x -1 -7 x 5

=> f'(x) = 5 x -2 -35 x 4

f'(x)= 5 x 2 -35 x 4

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= - 9 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= - 9 2 x

= - 9 2 x 1 2

=> f'(x) = - 9 4 x - 1 2

f'(x)= - 9 4 x

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +2 parallel zur Geraden y = 4x +3 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = 4x +3 hat als Steigung m = 4 und als y-Achsenabschnitt c = 3 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = 4 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 3 4 ( x 3 ) 4 +2

= 3 4 x 4 3 +2

=> f'(x) = x 1 3 +0

f'(x)= x 3 +0

= x 3

Diese Ableitung muss ja = 4 sein, also setzen wir x 3 +0 = 4.

x 3 = 4 |(⋅)3 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 4 3
x = 64

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 64

Linke Seite:

x = 64 in x 3

= 64 3

= 4

Rechte Seite:

x = 64 in 4

= 4

Also 4 = 4

x = 64 ist somit eine Lösung !

L={ 64 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 64 ) = 64 3 +0 = 4