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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= x 5 + x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= x 5 + x

f'(x)= 5 x 4 +1

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 4 x 3 + 5 2 x und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 4 x 3 + 5 2 x

= 4 x 3 + 5 2 x -1

=> f'(x) = 12 x 2 - 5 2 x -2

f'(x)= 12 x 2 - 5 2 x 2

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit f(x)= 3 4 x - x 4 und vereinfache:

Lösung einblenden

f(x)= 3 4 x - x 4

= 3 4 x 1 2 - x 4

=> f'(x) = 3 8 x - 1 2 -4 x 3

f'(x)= 3 8 x -4 x 3

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit f(x)= 2 3 ( x ) 3 -9x parallel zur Geraden y = -5x +1 ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = -5x +1 hat als Steigung m = -5 und als y-Achsenabschnitt c = 1 .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -5 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

f(x)= 2 3 ( x ) 3 -9x

= 2 3 x 3 2 -9x

=> f'(x) = x 1 2 -9

f'(x)= x -9

Diese Ableitung muss ja = -5 sein, also setzen wir x -9 = -5.

x -9 = -5 | +9
x = 4 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x = 4 2
x = 16

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 16

Linke Seite:

x = 16 in x -9

= 16 -9

= 4 -9

= -5

Rechte Seite:

x = 16 in -5

= -5

Also -5 = -5

x = 16 ist somit eine Lösung !

L={ 16 }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( 16 ) = 16 -9 = -5