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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{4} + x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{4} + x^{2}$

$f'(x) =$ $4 x^{3} + 2 x$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 6 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 6 x^{4} + \frac{1}{2 x^{2}}$

= $- 6 x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 2}$

=> f'(x) = $- 24 x^{3} - x^{- 3}$

$f'(x) =$ $- 24 x^{3} - \frac{1}{x^{3}}$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $- 8 \sqrt[4]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 8 \sqrt[4]{x}$

= $- 8 x^{\frac{1}{4}}$

=> f'(x) = $- 2 x^{- \frac{3}{4}}$

$f'(x) =$ $- \frac{2}{{(\sqrt[4]{x})}^{3}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - 7 x$ parallel zur Geraden y = $- 5 x - 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 5 x - 2$ hat als Steigung m = -5 und als y-Achsenabschnitt c = $- 2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -5 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - 7 x$

= $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 7 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}} - 7$

$f'(x) =$ $\sqrt[3]{x} - 7$

Diese Ableitung muss ja = -5 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x} - 7$ = -5.

$\sqrt[3]{x} - 7$	=	$- 5$	\| $+ 7$
$\sqrt[3]{x}$	=	$2$	\|(⋅)³ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$2^{3}$

x

8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt[3]{x} - 7$

$=$ $\sqrt[3]{8} - 7$

= $2 - 7$

= $- 5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $- 5$

$=$ $- 5$

Also -5 = -5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $8$ ) = $\sqrt[3]{8} - 7$ = $- 5$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 8

Probe für x = $8$