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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f ' von + nach -. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = -1 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- 4 x

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -4 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -4 haben. Es muss also f '(x) = -4 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-2) = -4 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = -2.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = 2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = 2 + ( - 2 ) = $0$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F( $2$ ).

F( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F( $2$ ) = $\frac{3}{2}$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme

\int_{-1}^{1} f '(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = 1 und f(1) = -1 ablesen.

Also gilt $\int_{-1}^{1} f '(x) ⅆ x$ = f(1)- f(-1) = -1 - 1 = -2.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(4) - F(-2).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(4)- F(-2) durch den Wert des Integrals $\int_{-2}^{4} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;4] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 1 )⋅1 = -0.5 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅5⋅5 = 12.5 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 12 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(4)-F(-2) = 12

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-1.9), f(0.75), f(4.1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.9 und x = 0.75 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(0.75) < f(-1.9) sein.

Zwischen x=0.75 und x=4.1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(4.1) > f(0.75).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(0.75) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-1.9)>f(4.1) oder f(4.1)>f(-1.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-1.9}^{0.75} f '(x) ⅆ x |$ < $| \int_{0.75}^{4.1} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -1.9 und 0.75 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 0.75 und 4.1.

Also muss f(-1.9) kleiner als f(4.1) sein. Insgesamt gilt:

f(0.75) < f(-1.9) < f(4.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = 0.
Entscheide dich für einen Wert von F(1).

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Den Zuwachs von F(-3) zu F(1), also F(1) - F(-3) = $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ ≈ 0

Wegen $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ = F(1) - F(-3) ≈ 0 gilt dann
F(1) = $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ + F(-3) ≈ 0 + 0 = 0

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-5 = $\int_{-5}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -5 eine Nullstelle von J_-5.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-5}^{-2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-5}^{-2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-5(-2) = 0, J_-5 hat also bei x = -2 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2}^{1} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2}^{1} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-5(1) = $\int_{-5}^{1} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-5}^{-2} f(t) ⅆ t$ + $\int_{-2}^{1} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-5 hat also bei x = 1 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-5(x) = $\int_{-5}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- 4

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f '(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f '(2) = 0 und f '(0) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 2 und x₂ = 0.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)