Mathebattle EduRandomtasks

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

Lösung einblenden

Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -3 einen Tiefpunkt haben.

Da der Graph von f '' bei x = -2 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

Lösung einblenden

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = -3.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

Lösung einblenden

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion f ', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;2] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [2;4] gilt: f '(x) ≤ 0, also ist f monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [4;6] gilt: f '(x) ≥ 0, also ist f monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

x - 4

verläuft.

Lösung einblenden

Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung 1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 1 haben. Es muss also f '(x) = 1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(-3) = 1 und f '(1) = 1 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -3 und x₂ = 1.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(1) + f(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(1) = f(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(1) = -3 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(1) + f(1) = -3 + 2 = $- 1$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 1$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 1$ ).

f( $- 1$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 1$ ) = $- 2$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme

\int_{2}^{3} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(2) = 0 und F(3) = -2 ablesen.

Also gilt $\int_{2}^{3} f(x) ⅆ x$ = F(3)- F(2) = -2 - 0 = -2.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '.
Bestimme f(1) - f(-1).

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(1)- f(-1) durch den Wert des Integrals $\int_{-1}^{1} f '(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1;1] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 4 )⋅2 = -4

Somit gilt: f(1)-f(-1) = -4

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist der Funktionswert einer Stammfunktion F am größten? Sortiere von klein nach groß F(-0.8), F(-0.3), F(1.1).

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -0.8 und x = -0.3 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-0.3) < F(-0.8) sein.

Zwischen x=-0.3 und x=1.1 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(1.1) > F(-0.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.3) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-0.8)>F(1.1) oder F(1.1)>F(-0.8) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-0.8}^{-0.3} f(x) ⅆ x |$ < $| \int_{-0.3}^{1.1} f(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -0.8 und -0.3 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -0.3 und 1.1.

Also muss F(-0.8) kleiner als F(1.1) sein. Insgesamt gilt:

F(-0.3) < F(-0.8) < F(1.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-1) = 2,7.
Entscheide dich für einen Wert von F(2).

Lösung einblenden

Den Zuwachs von F(-1) zu F(2), also F(2) - F(-1) = $\int_{-1}^{2} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-1}^{2} f(x) ⅆ x$ ≈ -3

Wegen $\int_{-1}^{2} f(x) ⅆ x$ = F(2) - F(-1) ≈ -3 gilt dann
F(2) = $\int_{-1}^{2} f(x) ⅆ x$ + F(-1) ≈ -3 + 2.7 = -0.3

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-0 = $\int_{-0}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

Lösung einblenden

Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -0 eine Nullstelle von J_-0.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2.6 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{0}^{2.6} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{0}^{2.6} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-0(2.6) = 0, J_-0 hat also bei x = 2.6 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5.2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{2.6}^{5.2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{2.6}^{5.2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-0(5.2) = $\int_{-0}^{5.2} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-0}^{2.6} f(t) ⅆ t$ + $\int_{2.6}^{5.2} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-0 hat also bei x = 5.2 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-2.6 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2.6}^{0} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2.6}^{0} f(t) ⅆ t$ = 0 und J_-0(-2.6) = $\int_{0}^{-2.6} f(t) ⅆ t$ = - $\int_{-2.6}^{0} f(t) ⅆ t$ = 0, J_-0 hat also bei x = -2.6 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-5.2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-5.2}^{-2.6} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{0}^{2.6} f(t) ⅆ t$ = 0 und J_-0(0) = $\int_{2.6}^{0} f(t) ⅆ t$ = - $\int_{0}^{2.6} f(t) ⅆ t$ = 0, J_-0 hat also bei x = 0 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-0(x) = $\int_{-0}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 5 Nullstellen.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(2) - F(-2).

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(-2) durch den Wert des Integrals $\int_{-2}^{2} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;2] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = ( - 1 )⋅4 = -4 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 2 )⋅4 = -4 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -8 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(-2) = -8

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Differenz Funktionswerte