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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Da der Graph von f '' bei x = -4 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = -3.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;0] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- x - 3

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -1 haben. Es muss also f '(x) = -1 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -1 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(0) + f '(0).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(0) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(0) + f '(0) = -2 + 0 = $- 2$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(-1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-1)) = F( $0$ ).

F( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-1)) = F( $0$ ) = $- 3$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme

\int_{-1}^{2} f '(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-1) = -3 und f(2) = 0 ablesen.

Also gilt $\int_{-1}^{2} f '(x) ⅆ x$ = f(2)- f(-1) = 0 - ( - 3 ) = 3.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(0) - F(-2).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(0)- F(-2) durch den Wert des Integrals $\int_{-2}^{0} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;0] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = 2⋅2 = 4 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅1⋅2 = 1 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 5 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(0)-F(-2) = 5

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-1), f(1), f(2).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1 und x = 1 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(1) > f(-1) sein.

Zwischen x=1 und x=2 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(2) < f(1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-1)>f(2) oder f(2)>f(-1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-1}^{1} f '(x) ⅆ x |$ > $| \int_{1}^{2} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -1 und 1 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1 und 2.

Also muss f(-1) kleiner als f(2) sein. Insgesamt gilt:

f(-1) < f(2) < f(1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = -8,5.
Entscheide dich für einen Wert von F(2).

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Den Zuwachs von F(-3) zu F(2), also F(2) - F(-3) = $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ ≈ 11.8

Wegen $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ = F(2) - F(-3) ≈ 11.8 gilt dann
F(2) = $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ + F(-3) ≈ 11.8 + ( - 8.5 ) = 3.3

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-1 = $\int_{-1}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J_-1.

Man kann aber keine Integralflächen über und unterhalb der x-Achse finden, die sich gegenseitig kann aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-1(x) = $\int_{-1}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 1 Nullstelle.

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(-2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(-2) = $- 2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(-2)) = F( $- 2$ ).

F( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(-2)) = F( $- 2$ ) = $1$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Verkettung von f und f' (mit F)