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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung F '= f = 0, wir suchen also die Nullstellen der Originalfunktion f.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von F, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Originalfunktion f.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f von - nach +. Also muss der Graph der Stammfunktion F bei x = -4 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x = -2 einen VZW in der Funktion f von + nach -. Also muss der Graph der Stammfunktion F bei x = -2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f von - nach +. Also muss der Graph der Stammfunktion F bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = 2.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;3] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

x + 3

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 1 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 1 haben. Es muss also f(x) = 1 gelten.

Am Schaubild kann man f(3) = 1 und f(-1) = 1 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 3 und x₂ = -1.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(2) + f(2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(2) = f(2) = $1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(2) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(2) + f(2) = -1 + 1 = $0$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(2) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(2)) = F( $2$ ).

F( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(2)) = F( $2$ ) = $1$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme

\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-3) = -1 und F(-1) = -1 ablesen.

Also gilt $\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ = F(-1)- F(-3) = -1 - ( - 1 ) = 0.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(2) - F(0).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(0) durch den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [0;2] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I₁ = ( - 2 )⋅2 = -4 (Rechteck)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 4 )⋅2 = -4 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -8 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(0) = -8

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-3.9), f(-1.25), f(2.1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -3.9 und x = -1.25 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(-1.25) < f(-3.9) sein.

Zwischen x=-1.25 und x=2.1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(2.1) > f(-1.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1.25) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-3.9)>f(2.1) oder f(2.1)>f(-3.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-3.9}^{-1.25} f '(x) ⅆ x |$ < $| \int_{-1.25}^{2.1} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -3.9 und -1.25 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1.25 und 2.1.

Also muss f(-3.9) kleiner als f(2.1) sein. Insgesamt gilt:

f(-1.25) < f(-3.9) < f(2.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-1) = -8,2.
Entscheide dich für einen Wert von F(4).

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Den Zuwachs von F(-1) zu F(4), also F(4) - F(-1) = $\int_{-1}^{4} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-1}^{4} f(x) ⅆ x$ ≈ 8.4

Wegen $\int_{-1}^{4} f(x) ⅆ x$ = F(4) - F(-1) ≈ 8.4 gilt dann
F(4) = $\int_{-1}^{4} f(x) ⅆ x$ + F(-1) ≈ 8.4 + ( - 8.2 ) = 0.2

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-1 = $\int_{-1}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J_-1.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 4 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-1}^{4} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-1}^{4} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-1(4) = 0, J_-1 hat also bei x = 4 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-1(x) = $\int_{-1}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -3 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -3 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 0 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 0 einen Tiefpunkt haben.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)