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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -2 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -2 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 1 und x = -1.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;3] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

2 x - 3

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 2 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 2 haben. Es muss also f(x) = 2 gelten.

Am Schaubild kann man f(-2) = 2 und f(2) = 2 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -2 und x₂ = 2.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(-1) + f(-1).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = $- 1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-1) = 0 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-1) + f(-1) = 0 + ( - 1 ) = $- 1$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = $3$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme

\int_{-4}^{-1} f '(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-4) = -2 und f(-1) = -2 ablesen.

Also gilt $\int_{-4}^{-1} f '(x) ⅆ x$ = f(-1)- f(-4) = -2 - ( - 2 ) = 0.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '.
Bestimme f(2) - f(-2).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(2)- f(-2) durch den Wert des Integrals $\int_{-2}^{2} f '(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-2;2] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 1 )⋅2 = -1 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅1⋅2 = 1 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 0 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(2)-f(-2) = 0

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist der Funktionswert einer Stammfunktion F am größten? Sortiere von klein nach groß F(-1.1), F(0.3), F(0.8).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.1 und x = 0.3 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(0.3) < F(-1.1) sein.

Zwischen x=0.3 und x=0.8 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(0.8) > F(0.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(0.3) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-1.1)>F(0.8) oder F(0.8)>F(-1.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-1.1}^{0.3} f(x) ⅆ x |$ > $| \int_{0.3}^{0.8} f(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -1.1 und 0.3 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 0.3 und 0.8.

Also muss F(-1.1) größer als F(0.8) sein. Insgesamt gilt:

F(0.3) < F(0.8) < F(-1.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-2) = -1,3.
Entscheide dich für einen Wert von F(0).

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Den Zuwachs von F(-2) zu F(0), also F(0) - F(-2) = $\int_{-2}^{0} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-2}^{0} f(x) ⅆ x$ ≈ 2.6

Wegen $\int_{-2}^{0} f(x) ⅆ x$ = F(0) - F(-2) ≈ 2.6 gilt dann
F(0) = $\int_{-2}^{0} f(x) ⅆ x$ + F(-2) ≈ 2.6 + ( - 1.3 ) = 1.3

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-4 = $\int_{-4}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -4 eine Nullstelle von J_-4.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(-2) = 0, J_-4 hat also bei x = -2 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 0 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(0) = $\int_{-4}^{0} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ + $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-4 hat also bei x = 0 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(2) = $\int_{-4}^{2} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-4}^{0} f(t) ⅆ t$ + $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-4 hat also bei x = 2 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-4(x) = $\int_{-4}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $0$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F( $0$ ).

F( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F( $0$ ) = $- \frac{1}{2}$ .

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Verkettung von f und f' (mit F)