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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Da der Graph von f '' bei x = 0 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 0 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;2] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [2;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

- 1

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f(1) = 0 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 1.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(-2) + f(-2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-2) = f(-2) = $- 1$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-2) + f(-2) = 1 + ( - 1 ) = $0$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(2)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(2) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(2)) = F( $2$ ).

F( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(2)) = F( $2$ ) = $- 1$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme

\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-3) = 1 und F(-1) = -1 ablesen.

Also gilt $\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ = F(-1)- F(-3) = -1 - 1 = -2.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(1) - F(-3).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(1)- F(-3) durch den Wert des Integrals $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-3;1] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 2 )⋅2 = -2 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅2⋅2 = 2 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = 0 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(1)-F(-3) = 0

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist der Funktionswert einer Stammfunktion F am größten? Sortiere von klein nach groß F(-2.1), F(-0.7), F(-0.2).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2.1 und x = -0.7 die Werte von f alle negativ sind, die Stammfunktion F ist hier also monton fallend. Also muss F(-0.7) < F(-2.1) sein.

Zwischen x=-0.7 und x=-0.2 sind die Werte von f dagegen alle positiv, die Stammfunktion F muss hier also monton steigend sein. Folglich ist F(-0.2) > F(-0.7).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(-0.7) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob F(-2.1)>F(-0.2) oder F(-0.2)>F(-2.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-2.1}^{-0.7} f(x) ⅆ x |$ > $| \int_{-0.7}^{-0.2} f(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -2.1 und -0.7 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -0.7 und -0.2.

Also muss F(-2.1) größer als F(-0.2) sein. Insgesamt gilt:

F(-0.7) < F(-0.2) < F(-2.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = 0.
Entscheide dich für einen Wert von F(-1).

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Den Zuwachs von F(-3) zu F(-1), also F(-1) - F(-3) = $\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ ≈ 2.9

Wegen $\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ = F(-1) - F(-3) ≈ 2.9 gilt dann
F(-1) = $\int_{-3}^{-1} f(x) ⅆ x$ + F(-3) ≈ 2.9 + 0 = 2.9

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-4 = $\int_{-4}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -4 eine Nullstelle von J_-4.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(-2) = 0, J_-4 hat also bei x = -2 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 0 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(0) = $\int_{-4}^{0} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-4}^{-2} f(t) ⅆ t$ + $\int_{-2}^{0} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-4 hat also bei x = 0 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-4(2) = $\int_{-4}^{2} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-4}^{0} f(t) ⅆ t$ + $\int_{0}^{2} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-4 hat also bei x = 2 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-4(x) = $\int_{-4}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.

Verkettung rückwärts

Beispiel:

Gezeichnet sind die Graphen von f (rote Kurve) und g (blaue Gerade).
Die Funktion h ist gegeben durch h(x)=g(f(x)).
Bestimme ein x, so dass h(x) = 3 gilt.

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Wenn wir auf der y-Achse bei y = 3 waagrecht zur blauen Geraden von g gehen, erkennen wir den Punkt P mit P(3|3), der auf dem Graph von g liegt, also gilt:
3 = g(3)
Wegen 3 = h(x)= g(f(x))= g(3) gilt also f(x) = 3.

Wir müssen nun also nur noch nach einem der beiden Punkte auf dem (roten) Graph von f suchen, deren y-Werte =3 sind.

Diese erkennen wir bei Q₁(1|3) und Q₂(-3|3), also bei
x₁ = 1 und x₂ = -3

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Verkettung rückwärts