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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -1 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y=

- 3 x - 3

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -3 und f '(2) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 0 und x₂ = 2.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f) (rote Kurve).
Bestimme F(-1) + f(-1).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = $- 2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich F(-1) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: F(-1) + f(-1) = -2 + ( - 2 ) = $- 4$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(0)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(0) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(0)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(0)) = f( $0$ ) = 0.

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme

\int_{-3}^{-2} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(-3) = 3 und F(-2) = 0 ablesen.

Also gilt $\int_{-3}^{-2} f(x) ⅆ x$ = F(-2)- F(-3) = 0 - 3 = -3.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '.
Bestimme f(3) - f(-1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(3)- f(-1) durch den Wert des Integrals $\int_{-1}^{3} f '(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1;3] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅1⋅1 = 0.5 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 3 )⋅3 = -4.5 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -4 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(3)-f(-1) = -4

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-4), f(-1), f(1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -4 und x = -1 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(-1) < f(-4) sein.

Zwischen x=-1 und x=1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(1) > f(-1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-4)>f(1) oder f(1)>f(-4) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-4}^{-1} f '(x) ⅆ x |$ > $| \int_{-1}^{1} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -4 und -1 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1 und 1.

Also muss f(-4) größer als f(1) sein. Insgesamt gilt:

f(-1) < f(1) < f(-4)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = 8,5.
Entscheide dich für einen Wert von F(2).

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Den Zuwachs von F(-3) zu F(2), also F(2) - F(-3) = $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ ≈ -11.8

Wegen $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ = F(2) - F(-3) ≈ -11.8 gilt dann
F(2) = $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ + F(-3) ≈ -11.8 + 8.5 = -3.3

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-2 = $\int_{-2}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -2 eine Nullstelle von J_-2.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2}^{1.5} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2}^{1.5} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-2(1.5) = 0, J_-2 hat also bei x = 1.5 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{1.5}^{5} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{1.5}^{5} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-2(5) = $\int_{-2}^{5} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-2}^{1.5} f(t) ⅆ t$ + $\int_{1.5}^{5} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-2 hat also bei x = 5 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-5.5 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-5.5}^{-2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-5.5}^{-2} f(t) ⅆ t$ = 0 und J_-2(-5.5) = $\int_{-2}^{-5.5} f(t) ⅆ t$ = - $\int_{-5.5}^{-2} f(t) ⅆ t$ = 0, J_-2 hat also bei x = -5.5 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-2(x) = $\int_{-2}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-2.1), f(1.25), f(3.9).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2.1 und x = 1.25 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(1.25) < f(-2.1) sein.

Zwischen x=1.25 und x=3.9 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(3.9) > f(1.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1.25) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-2.1)>f(3.9) oder f(3.9)>f(-2.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-2.1}^{1.25} f '(x) ⅆ x |$ > $| \int_{1.25}^{3.9} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -2.1 und 1.25 größer ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen 1.25 und 3.9.

Also muss f(-2.1) größer als f(3.9) sein. Insgesamt gilt:

f(1.25) < f(3.9) < f(-2.1)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Größenvergleich in f (mit F)