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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)
Beispiel:
Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.
Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).
Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.
Wir erkennen bei x = -1 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -1 einen Tiefpunkt haben.
Da der Graph von f '' bei x = 2 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).
Wendepunkte in f (mit F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)
Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.
Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.
Monotonie (mit F)
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen F monoton steigend, bzw. monoton fallend ist (F ist eine Stammfunktion der Funktion f).
Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion der Stammfunktion F, also der Funktion f, positiv bzw. negativ ist.
Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.
Wir erkennen: Im Intervall [-2;0] gilt: f(x) ≤ 0, also ist F monoton fallend.
Wir erkennen: Im Intervall [0;6] gilt: f(x) ≥ 0, also ist F monoton steigend.
Punkt mit paralleler Tangente (mit F)
Beispiel:
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y= verläuft.
Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.
Da die Gerade g die Steigung -5 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -5 haben. Es muss also f(x) = -5 gelten.
Am Schaubild kann man f(-1) = -5 ablesen.
Die gesuchte Stelle ist also x = -1.
Summe f(x) und f'(x) (mit F)
Beispiel:
Bestimme F(-1) + f(-1).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente F '(-1) = f(-1) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich F(-1) = -4 am Schaubild ablesen:
Also gilt: F(-1) + f(-1) =
-4 +
Verkettung von f und f' (mit F)
Beispiel:
Bestimme F(f(1)).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.
Wir suchen also F(f(1)) = F().
F() können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):
F(f(1)) = F() = .
Integral von f' ablesen
Beispiel:
Bestimme .
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a)
Wir können im Schaubild F(0) = 0 und F(1) = 3 ablesen.
Also gilt
= F(1)- F(0) =
3 -
Differenz Funktionswerte
Beispiel:
Bestimme F(6) - F(-6).
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a)
Wir können also F(6)- F(-6) durch den Wert des Integrals aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-6;6] einschließt.
Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:
I1 = ⋅
I2 = ⋅
Wir erhalten also I=I1+I2 = 0 als orientierten Flächeninhalt.
Somit gilt: F(6)-F(-6) = 0
Größenvergleich in f (mit F)
Beispiel:
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:
= F(b)- F(a) oder = f(b)- f(a)
Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).
Wir erkennen, dass zwischen x = -2.1 und x = 1.25 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(1.25) > f(-2.1) sein.
Zwischen x=1.25 und x=3.9 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(3.9) < f(1.25).
Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1.25) der größte der drei Werte ist.
Um nun noch herauszufinden. ob f(-2.1)>f(3.9) oder f(3.9)>f(-2.1) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.
Hierbei erkennt man klar:
>
Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -2.1 und 1.25 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1.25 und 3.9.
Also muss f(-2.1) kleiner als f(3.9) sein. Insgesamt gilt:
f(-2.1) < f(3.9) < f(1.25)
Wert einer Stammfunktion bestimmen
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = -1,1.
Entscheide dich für einen Wert von F(0).
Den Zuwachs von F(-3) zu F(0), also F(0) - F(-3) = kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.
Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.
Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
≈
0.8
Wegen
= F(0) - F(-3) ≈
0.8 gilt dann
F(0) =
+ F(-3) ≈ 0.8
+
Nullstellenanzahl bei Integralfunktion
Beispiel:
Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J-1 = im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .
- Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J-1.
- Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 2.1 erkennen, weil man am Graph beim Integral zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt =0 und J-1(2.1) = 0, J-1 hat also bei x = 2.1 eine Nullstelle.
- Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 5.3 erkennen, weil man am Graph beim Integral zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt =0 und J-1(5.3) = = + = 0 + 0 = 0, J-1 hat also bei x = 5.3 eine Nullstelle.
- Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4.1 erkennen, weil man am Graph beim Integral zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt = 0 und J-1(-4.1) = = - = 0, J-1 hat also bei x = -4.1 eine Nullstelle.
An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.
Somit hat die Integralfunktion J-1(x) = im abgebildeten Bereich 4 Nullstellen.
Summe f(x) und f'(x) (mit F)
Beispiel:
Bestimme f(-1) + f '(-1).
Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-1) = entnehmen.
Außerdem können wir natürlich f(-1) = 1 am Schaubild ablesen:
Also gilt: f(-1) + f '(-1) =
1 +