Mathebattle EduRandomtasks

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

Lösung einblenden

Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Wir erkennen bei x = -4 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -4 einen Tiefpunkt haben.

Wir erkennen bei x = -2 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 3 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 3 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme alle Wendestellen von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

Lösung einblenden

Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f ' suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

Lösung einblenden

Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

1

verläuft.

Lösung einblenden

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f(0) = 0 und f(2) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = 0 und x₂ = 2.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = -1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = -1 + 2 = $1$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

Lösung einblenden

Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $0$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $0$ ).

f( $0$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $0$ ) = $- \frac{7}{2}$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme

\int_{2}^{4} f '(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(2) = 0 und f(4) = 4 ablesen.

Also gilt $\int_{2}^{4} f '(x) ⅆ x$ = f(4)- f(2) = 4 - 0 = 4.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '.
Bestimme f(6) - f(-1).

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können also f(6)- f(-1) durch den Wert des Integrals $\int_{-1}^{6} f '(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1;6] einschließt.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅1⋅1 = 0.5 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 6 )⋅6 = -18 (rechts)

Wir erhalten also I=I₁+I₂ = -17.5 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(6)-f(-1) = -17.5

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-2.9), f(-1.25), f(1.1).

Lösung einblenden

Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2.9 und x = -1.25 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(-1.25) > f(-2.9) sein.

Zwischen x=-1.25 und x=1.1 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(1.1) < f(-1.25).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1.25) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-2.9)>f(1.1) oder f(1.1)>f(-2.9) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-2.9}^{-1.25} f '(x) ⅆ x |$ < $| \int_{-1.25}^{1.1} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -2.9 und -1.25 kleiner ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen -1.25 und 1.1.

Also muss f(-2.9) größer als f(1.1) sein. Insgesamt gilt:

f(1.1) < f(-2.9) < f(-1.25)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(1) = 4.
Entscheide dich für einen Wert von F(4).

Lösung einblenden

Den Zuwachs von F(1) zu F(4), also F(4) - F(1) = $\int_{1}^{4} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{1}^{4} f(x) ⅆ x$ ≈ -5.3

Wegen $\int_{1}^{4} f(x) ⅆ x$ = F(4) - F(1) ≈ -5.3 gilt dann
F(4) = $\int_{1}^{4} f(x) ⅆ x$ + F(1) ≈ -5.3 + 4 = -1.3

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J₂ = $\int_{2}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

Lösung einblenden

Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = 2 eine Nullstelle von J₂.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-2 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-2}^{2} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-2}^{2} f(t) ⅆ t$ = 0 und J₂(-2) = $\int_{2}^{-2} f(t) ⅆ t$ = - $\int_{-2}^{2} f(t) ⅆ t$ = 0, J₂ hat also bei x = -2 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J₂(x) = $\int_{2}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 2 Nullstellen.

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f im abgebildeten Bereich.

Lösung einblenden

Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion f '.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f, um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f ' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Da der Graph von f ' bei x = 2 die x-Achse berührt und f ' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Originalfunktion f bei x = 2 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f ' von - nach +. Also muss der Graph der Originalfunktion f bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)