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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Da der Graph von f '' bei x = -1 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -1 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 2 einen VZW in der Funktion f '' von + nach -. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x = 4 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 4 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = -3.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-3] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;0] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;1] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [1;3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f ', also der Ableitungsfunktion einer Funktion f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von f parallel zur Geraden g: y= -3x +3 verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von f, kurz die Tangentensteigung von f, ist f ', die Ableitung von f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f '(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f '(0) = -3 und f '(2) = -3 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x1 = 0 und x2 = 2.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(-2) + f '(-2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(-2) = -2 entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(-2) = -2 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(-2) + f '(-2) = -2 + ( - 2 ) = -4.

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = 0 entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F(0).

F(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F(0) = -3 .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme 0 2 f(x) x .
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

a b f(x) x = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(0) = 3 und F(2) = -3 ablesen.

Also gilt 0 2 f(x) x = F(2)- F(0) = -3 - 3 = -6.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f '.
Bestimme f(2) - f(-1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

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a b f(x) x = F(b)- F(a) oder a b f'(x) x = f(b)- f(a)

Wir können also f(2)- f(-1) durch den Wert des Integrals -1 2 f '(x) x aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-1;2] einschließt.

Dazu zerlegen wir die Fläche in eine Rechtecks- und eine Dreiecksfläche:

I1 = 1⋅3 = 3 (Rechteck)

I2 = 1 2 3⋅3 = 4.5 (Dreieck)

Wir erhalten also I=I1+I2 = 7.5 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: f(2)-f(-1) = 7.5

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von f. An welcher Stelle ist der Funktionswert einer Stammfunktion F am größten? Sortiere von klein nach groß F(-2), F(0), F(1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

a b f(x) x = F(b)- F(a)

Oder anders ausgedrückt F(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als F(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2 und x = 0 die Werte von f alle positiv sind, die Stammfunktion F ist hier also monton steigend. Also muss F(0) > F(-2) sein.

Zwischen x=0 und x=1 sind die Werte von f dagegen alle negativ, die Stammfunktion F muss hier also monton fallend sein. Folglich ist F(1) < F(0).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte F(0) der größte der drei Werte ist.

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Um nun noch herauszufinden. ob F(-2)>F(1) oder F(1)>F(-2) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

| -2 0 f(x) x | > | 0 1 f(x) x |

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -2 und 0 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 0 und 1.

Also muss F(-2) kleiner als F(1) sein. Insgesamt gilt:

F(-2) < F(1) < F(0)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-1) = 8,2.
Entscheide dich für einen Wert von F(4).

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Den Zuwachs von F(-1) zu F(4), also F(4) - F(-1) = -1 4 f(x) x kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
-1 4 f(x) x ≈ -8.4

Wegen -1 4 f(x) x = F(4) - F(-1) ≈ -8.4 gilt dann
F(4) = -1 4 f(x) x + F(-1) ≈ -8.4 + 8.2 = -0.2

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J-1 = -1 x f(t) t im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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  1. Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja c c f(t) t = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -1 eine Nullstelle von J-1.
  2. Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
  3. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1 erkennen, weil man am Graph beim Integral -1 1 f(t) t zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt -1 1 f(t) t =0 und J-1(1) = 0, J-1 hat also bei x = 1 eine Nullstelle.
  4. Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x=-4 erkennen, weil man am Graph beim Integral -4 -1 f(t) t zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt -4 -1 f(t) t = 0 und J-1(-4) = -1 -4 f(t) t = - -4 -1 f(t) t = 0, J-1 hat also bei x = -4 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J-1(x) = -1 x f(t) t im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

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Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(0)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(0) = 0 entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(0)) = F(0).

F(0) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(0)) = F(0) = -4 .