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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte des Graphen von f ' im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f ''= 0, wir suchen also die Nullstellen der 2.Ableitungsfunktion f ''.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt des Graphen von f ', um eine Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) der Funktion f '' anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten 2.Ableitungsfunktion f ''.

Da der Graph von f '' bei x = -4 die x-Achse berührt und f '' somit keinen VZW aufweist, kann der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = -4 auch keinen Extrempunkt haben (Er hat dort einen Sattelpunkt).

Wir erkennen bei x = 1 einen VZW in der Funktion f '' von - nach +. Also muss der Graph der Ableitungsfunktion f ' bei x = 1 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f. Bestimme alle Wendestellen von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendestellen immer Extremstellen der Ableitung sind, müssen wir in der Abbildung nur nach den Extremstellen von f suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = -1 und x = 1.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die Ableitungsfunktion von f ', also die 2. Ableitungsfunktion f '', positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-2] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-2;0] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [0;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

- 4

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist f, die Ableitung von F.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f(-3) = 0 und f(1) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also x₁ = -3 und x₂ = 1.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(1) + f '(1).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der Tangente eingezeichneten Tangente f '(1) = $0$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(1) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(1) + f '(1) = 1 + 0 = $1$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (rote Kurve). (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f)
Bestimme F(f(1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f(1) = $2$ entnehmen, weil ja f die Ableitungsfunktion von F ist und somit die Tangentensteigung von F angibt.

Wir suchen also F(f(1)) = F( $2$ ).

F( $2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

F(f(1)) = F( $2$ ) = $\frac{5}{2}$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f.
Bestimme

\int_{-2}^{-1} f '(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Wir können im Schaubild f(-2) = 2 und f(-1) = 0 ablesen.

Also gilt $\int_{-2}^{-1} f '(x) ⅆ x$ = f(-1)- f(-2) = 0 - 2 = -2.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(2) - F(-3).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(-3) durch den Wert des Integrals $\int_{-3}^{2} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen. Es entspricht dem orientierten Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse im Intervall [-3;2] einschließt.

Den gesuchten Flächeninhalt können wir über die eingezeichnete Dreiecksfläche berechnen:

I = $\frac{1}{2}$ ⋅5⋅5 = 12.5

Somit gilt: F(2)-F(-3) = 12.5

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-1.8), f(-1.3), f(0.1).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrückt f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -1.8 und x = -1.3 die Werte von f ' alle negativ sind, die Originalfunktion f ist hier also monton fallend. Also muss f(-1.3) < f(-1.8) sein.

Zwischen x=-1.3 und x=0.1 sind die Werte von f ' dagegen alle positiv, die Originalfunktion f muss hier also monton steigend sein. Folglich ist f(0.1) > f(-1.3).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(-1.3) der kleinste der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-1.8)>f(0.1) oder f(0.1)>f(-1.8) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-1.8}^{-1.3} f '(x) ⅆ x |$ < $| \int_{-1.3}^{0.1} f '(x) ⅆ x |$

Das bedeutet, dass die Abnahme im linken Interval zwischen -1.8 und -1.3 kleiner ist als der Zuwachs im rechten Interval zwischen -1.3 und 0.1.

Also muss f(-1.8) kleiner als f(0.1) sein. Insgesamt gilt:

f(-1.3) < f(-1.8) < f(0.1)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion der Funktion f mit F(-3) = -2,1.
Entscheide dich für einen Wert von F(1).

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Den Zuwachs von F(-3) zu F(1), also F(1) - F(-3) = $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ kann man als orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graph von f und der x-Achse ablesen.

Dabei heben sich negative und positive Teilflächen gegenseitig auf.

Anhand der Kästchen kann man diesen Flächeninhalt grob abschätzen:
$\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ ≈ 1.9

Wegen $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ = F(1) - F(-3) ≈ 1.9 gilt dann
F(1) = $\int_{-3}^{1} f(x) ⅆ x$ + F(-3) ≈ 1.9 + ( - 2.1 ) = -0.2

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph einer Funktion f.
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der Integralfunktion J_-3 = $\int_{-3}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich -6 ≤ x ≤ 6 .

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Eine Nullstelle hat natürlich jede Integralfunktion, nämlich die untere Intergralgrenze, da ja $\int_{c}^{c} f(t) ⅆ t$ = 0 für alle c gilt. Somit ist x = -3 eine Nullstelle von J_-3.

Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = -1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-3}^{-1} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-3}^{-1} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-3(-1) = 0, J_-3 hat also bei x = -1 eine Nullstelle.
Eine weitere Nullstelle können wir ca. bei x = 1 erkennen, weil man am Graph beim Integral $\int_{-1}^{1} f(t) ⅆ t$ zwei gleichgroße Flächen je über und unter der x-Achse erkennen kann, so dass sich dabei die negative und positive Teilfläche gegenseitig aufheben. Somit gilt $\int_{-1}^{1} f(t) ⅆ t$ =0 und J_-3(1) = $\int_{-3}^{1} f(t) ⅆ t$ = $\int_{-3}^{-1} f(t) ⅆ t$ + $\int_{-1}^{1} f(t) ⅆ t$ = 0 + 0 = 0, J_-3 hat also bei x = 1 eine Nullstelle.

An den Rändern kann man erkennen, dass es keine weiteren Teilflächen gibt, die sich aufheben könnten.

Somit hat die Integralfunktion J_-3(x) = $\int_{-3}^{x} f(t) ⅆ t$ im abgebildeten Bereich 3 Nullstellen.

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von F (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme

\int_{1}^{3} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(1) = 0 und F(3) = 4 ablesen.

Also gilt $\int_{1}^{3} f(x) ⅆ x$ = F(3)- F(1) = 4 - 0 = 4.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Wert einer Stammfunktion bestimmen

Nullstellenanzahl bei Integralfunktion

Integral von f' ablesen