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Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f '. Bestimme jeweils Typ und den x-Wert aller Extrempunkte von f im abgebildeten Bereich.

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Da Extrempunkte immer eine waagrechte Tangente haben, gilt die notwendige Bedingung f '= 0, wir suchen also die Nullstellen der Ableitungsfunktion.

Um beurteilen zu können, ob es sich um einen Hochpunkt, Tiefpunkt oder keines von beidem (Sattelpunkt) handelt, kann man jeweils den Vorzeichenwechsel (VZW) anschauen (hinreichende Bedingung).

Wir untersuchen also alle Nullstellen der abgebildeten Ableitungsfunktion f '.

Wir erkennen bei x=-2 einen VZW von + nach -. Also muss die Originalfunktion f bei x=-2 einen Hochpunkt haben.

Wir erkennen bei x=3 einen VZW von - nach +. Also muss die Originalfunktion f bei x=3 einen Tiefpunkt haben.

Wendepunkte in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f '. Bestimme jeweils den x-Wert aller Wendepunkte von f im abgebildeten Bereich.
(die gesuchten x-Werte sind alle ganzzahlig)

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Da Wendepunkte immer Extrempunkte der Ableitung sind, müssen wir nur nach den Extrempunkten suchen.

Diese erkennen wir leicht bei x = 0 und x = -2.

Monotonie (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f ''. Bestimme möglichst große Intervalle, auf denen f ' monoton steigend, bzw. monoton fallend ist .

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Nach dem Monotoniesatz genügt es die Intervalle zu finden, in denen die 2.Ableitungsfunktion f '' positiv bzw. negativ ist.

Wir erkennen: Im Intervall [-6;-4] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Wir erkennen: Im Intervall [-4;-3] gilt: f ''(x) ≤ 0, also ist f ' monoton fallend.

Wir erkennen: Im Intervall [-3;6] gilt: f ''(x) ≥ 0, also ist f ' monoton steigend.

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

4

verläuft.

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Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist deren Ableitung f.

Da die Gerade g die Steigung 0 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = 0 haben. Es muss also f(x) = 0 gelten.

Am Schaubild kann man f(1) = 0 und f(-3) = 0 ablesen.

Die gesuchten Stellen sind also bei x₁ = 1 und x₂ = -3.

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(2) + f '(2).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(2) = $2$ entnehmen.

Außerdem können wir natürlich f(2) = 1 am Schaubild ablesen:

Also gilt: f(2) + f '(2) = 1 + 2 = $3$ .

Verkettung von f und f' (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist der Graph von f (rote Kurve).
Bestimme f(f '(-1)).

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Wir können der Zeichnung rechts mit Hilfe der eingezeichneten Tangente f '(-1) = $- 2$ entnehmen.

Wir suchen also f(f '(-1)) = f( $- 2$ ).

f( $- 2$ ) können wir aber auch wieder einfach am Schaubild ablesen
(an der y-Koordinate des roten Punkts):

f(f '(-1)) = f( $- 2$ ) = $5$ .

Integral von f' ablesen

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von F (F ist eine Stammfunktion einer Funktion f).
Bestimme

\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x

.
(Das Ergebnis ist ganzzahlig)

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können im Schaubild F(2) = 0 und F(4) = 4 ablesen.

Also gilt $\int_{2}^{4} f(x) ⅆ x$ = F(4)- F(2) = 4 - 0 = 4.

Differenz Funktionswerte

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f (F ist eine Stammfunktion von f).
Bestimme F(2) - F(0).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a)

Wir können also F(2)- F(0) durch den Wert des Integrals $\int_{0}^{2} f(x) ⅆ x$ aus dem Schaubild ablesen.

Dazu betrachten wir die beiden Dreiecksflächen:

I₁ = $\frac{1}{2}$ ⋅1⋅0.5 = 0.25 (links)

I₂ = $\frac{1}{2}$ ⋅( - 3 )⋅1.5 = -2.25 (rechts)

Wir erhalten also als I=I₁+I₂ = -2 als orientierten Flächeninhalt.

Somit gilt: F(2)-F(0) = -2

Größenvergleich in f (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f '. An welcher Stelle ist der Funktionswert der Originalfunktion f am größten? Sortiere von klein nach groß f(-2), f(1), f(3).

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Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt:

$\int_{a}^{b} f(x) ⅆ x$ = F(b)- F(a) oder $\int_{a}^{b} f'(x) ⅆ x$ = f(b)- f(a)

Oder anders ausgedrück f(b) ist gerade um den Wert des Integrals größer als f(a).

Wir erkennen, dass zwischen x = -2 und x = 1 die Werte von f ' alle positiv sind, die Originalfunktion f ist hier also monton steigend. Also muss f(1) > f(-2) sein.

Zwischen x=1 und x=3 sind die Werte von f ' dagegen alle negativ, die Originalfunktion f muss hier also monton fallend sein. Folglich ist f(3) < f(1).

Damit ist jetzt bereits klar, dass der Wert in der Mitte f(1) der größte der drei Werte ist.

Um nun noch herauszufinden. ob f(-2)>f(3) oder f(3)>f(-2) gilt, schauen wir uns jeweils die Flächen unter der Kurve an, deren Inhalt sich ja mit dem entsprechenden Integral berechnen lässt.

Hierbei erkennt man klar:

$| \int_{-2}^{1} f ' ⅆ x |$ > $| \int_{1}^{3} f ' ⅆ x |$

Das bedeutet, dass der Zuwachs im linken Interval zwischen -2 und 1 größer ist als die Abnahme im rechten Interval zwischen 1 und 3.

Also muss f(-2) kleiner als f(3) sein. Insgesamt gilt:

f(-2) < f(3) < f(1)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild von f.
Bestimme eine Stelle x, an der die Tangente an den Graph von F (F ist eine Stammfunktion der Funktion f) parallel zur Geraden g: y=

- 3 x - 5

verläuft.

Lösung einblenden

Die Steigung der Tangente an den Graph von F, kurz die Tangentensteigung von F, ist deren Ableitung f.

Da die Gerade g die Steigung -3 hat, muss die parallele Tangente auch die Steigung m = -3 haben. Es muss also f(x) = -3 gelten.

Am Schaubild kann man f(0) = -3 ablesen.

Die gesuchte Stelle ist also x = 0.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Hoch- und Tiefpunkte in f (mit F)

Wendepunkte in f (mit F)

Monotonie (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)

Summe f(x) und f'(x) (mit F)

Verkettung von f und f' (mit F)

Integral von f' ablesen

Differenz Funktionswerte

Größenvergleich in f (mit F)

Punkt mit paralleler Tangente (mit F)