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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 - x^{2}$ = $4 - 6 x - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$4 - x^{2}$	=	$4 - 6 x - 3 x^{2}$
$- x^{2} + 4$	=	$- 3 x^{2} - 6 x + 4$	\| $- 4$
$- x^{2}$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 6 x)$
$- x^{2} + 3 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

L={ $- 3$ ; 0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

- 3

2

\cos (x)

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

π

L={0; $π$ }