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Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

4 x 2 = -2x

Lösung einblenden
4 x 2 = -2x | +2x
4 x 2 +2x = 0
2 x ( 2x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

2x +1 = 0 | -1
2x = -1 |:2
x2 = - 1 2 = -0.5

L={ - 1 2 ; 0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 3 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ cos( x ) = 3 |:2
cos( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }