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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 x - x^{2} + 6$ = $6 - 13 x$

Lösung einblenden

$- 7 x - x^{2} + 6$	=	$6 - 13 x$
$- x^{2} - 7 x + 6$	=	$- 13 x + 6$	\| $- 6$
$- x^{2} - 7 x$	=	$- 13 x$	\| $+ 13 x$
$- x^{2} - 7 x + 13 x$	=	0
$- x^{2} + 6 x$	=	0
$x \cdot (- x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 6$	=	0	\| $- 6$
$- x$	=	$- 6$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$6$

L={0; $6$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

- 3

2

\sin (x)

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }