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Polynomgleichungen (Ausklammern)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

x 3 - x = 0

Lösung einblenden
x 3 - x = 0
x · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

L={ -1 ; 0; 1 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ cos( x ) = -1 |:2
canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 2 3 π ; 4 3 π ; 3 2 π }