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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 5 + 7 x$ = $- 5 + 12 x$

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 5 + 7 x$	=	$- 5 + 12 x$
$- 4 x^{2} + 7 x - 5$	=	$12 x - 5$	\| $+ 5$
$- 4 x^{2} + 7 x$	=	$12 x$	\| $- 12 x$
$- 4 x^{2} + 7 x - 12 x$	=	0
$- 4 x^{2} - 5 x$	=	0
$- x (4 x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$4 x + 5$	=	0	\| $- 5$
$4 x$	=	$- 5$	\|: $4$
x₂	=	$- \frac{5}{4}$ = -1.25

L={ $- \frac{5}{4}$ ; 0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \cos (x)

3

2

\cos (x)

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

π

L={0; $π$ }