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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-47x -5 x 2 -8 = -97x -8

Lösung einblenden
-47x -5 x 2 -8 = -97x -8
-5 x 2 -47x -8 = -97x -8 | +8
-5 x 2 -47x = -97x | +97x
-5 x 2 -47x +97x = 0
-5 x 2 +50x = 0
5 x ( -x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +10 = 0 | -10
-x = -10 |:(-1 )
x2 = 10

L={0; 10 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; 1 2 π ; π }