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Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

6 ( x -3 ) · ( x -3 ) = 0

Lösung einblenden
6 ( x -3 ) ( x -3 ) = 0
6 ( x -3 ) 2 = 0 |:6
( x -3 ) 2 = 0 | ⋅2
x -3 = 0
x -3 = 0 | +3
x = 3

L={ 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

π ist 2-fache Lösung!