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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-x -2 x 2 -2 = -7x -2

Lösung einblenden
-x -2 x 2 -2 = -7x -2
-2 x 2 - x -2 = -7x -2 | +2
-2 x 2 - x = -7x | +7x
-2 x 2 - x +7x = 0
-2 x 2 +6x = 0
2 x ( -x +3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

-x +3 = 0 | -3
-x = -3 |:(-1 )
x2 = 3

L={0; 3 }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -1 = 0 | +1
2⋅ cos( x ) = 1 |:2
canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5 3 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 1 3 π ; π ; 5 3 π }