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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 9 x^{2} - 2$ = $- 28 x - 2 - 5 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 9 x^{2} - 2$	=	$- 28 x - 2 - 5 x^{2}$
$- 9 x^{2} - 2$	=	$- 5 x^{2} - 28 x - 2$	\| $+ 2$
$- 9 x^{2}$	=	$- 5 x^{2} - 28 x$	\| $- (- 5 x^{2} - 28 x)$
$- 9 x^{2} + 5 x^{2} + 28 x$	=	0
$- 4 x^{2} + 28 x$	=	0
$4 x \cdot (- x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$- x + 7$	=	0	\| $- 7$
$- x$	=	$- 7$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$7$

L={0; $7$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

π

2. Fall:

\sin (x)

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!