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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 10 - 8 x^{2}$ = $10 x - 10 - 3 x^{2}$

Lösung einblenden

$- 10 - 8 x^{2}$	=	$10 x - 10 - 3 x^{2}$
$- 8 x^{2} - 10$	=	$- 3 x^{2} + 10 x - 10$	\| $+ 10$
$- 8 x^{2}$	=	$- 3 x^{2} + 10 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 10 x)$
$- 8 x^{2} + 3 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 5 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 5 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 2$ ; 0}

trigonometrische Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

π

2. Fall:

\cos (x)

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }