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Nullprodukt (mit Vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 11 x^{2} + 4$ = $- 7 x^{2} + 4 + 10 x$

Lösung einblenden

$- 11 x^{2} + 4$	=	$- 7 x^{2} + 4 + 10 x$
$- 11 x^{2} + 4$	=	$- 7 x^{2} + 10 x + 4$	\| $- 4$
$- 11 x^{2}$	=	$- 7 x^{2} + 10 x$	\| $- (- 7 x^{2} + 10 x)$
$- 11 x^{2} + 7 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 4 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 2 x \cdot (2 x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$2 x + 5$	=	0	\| $- 5$
$2 x$	=	$- 5$	\|: $2$
x₂	=	$- \frac{5}{2}$ = -2.5

L={ $- \frac{5}{2}$ ; 0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

- 3

2

\sin (x)

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }