Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-15x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-15\cdot {\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)$

= $-15\cdot 1-4$

= $-15-4$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-1\right)}^3+2\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-5\cdot \left(-1\right)+2\cdot 1$ = $5+2$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $-19$⋅( $-1$) + c

$7$ = $19$ + c | $-19$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x $-12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}·\left(1+0\right)$

= $-\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}·\left(1\right)$

= $-\frac{4}{{\left(x-2\right)}^3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>)}=$ $-\frac{4}{{\left(4-2\right)}^3}$

= $-\frac{4}{2^3}$

= $-4\cdot \left(\frac{1}{8}\right)$

= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>)}=$ $\frac{2}{{\left(4-2\right)}^2}$ = $\frac{2}{2^2}$ = $2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B($4$| $\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{2}$⋅$4$ + c

$\frac{1}{2}$ = $-2$ + c | + $2$

$\frac{5}{2}$ = c

also c= $\frac{5}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{5}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\left(x-1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\left(x-1\right)}·2$

= $e^{2\left(x-1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{2\left(1-1\right)}$

= $e^{2·0}$

= $e^0$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\left(1-1\right)}$ = $\frac{1}{2}{e}^{2·0}$ = $\frac{1}{2}{e}^0$ = $\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{2}$ = $1$⋅ $1$ + c

$\frac{1}{2}$ = $1$ + c | $-1$

$-\frac{1}{2}$ = c

also c= $-\frac{1}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-\frac{1}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x^2-7\right)·e^{\mathrm{0,9}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^{\mathrm{0,9}x}+\left(x^2-7\right)·e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$

= $2x·e^{\mathrm{0,9}x}+\left(x^2-7\right)·\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

= $2x·e^{\mathrm{0,9}x}+\mathrm{0,9}\left(x^2-7\right)·e^{\mathrm{0,9}x}$

= $e^{\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{0,9}{x}^2-\mathrm{6,3}+2x\right)$

= $e^{\mathrm{0,9}x}·\left(\mathrm{0,9}{x}^2+2x-\mathrm{6,3}\right)$

= $\left(\mathrm{0,9}{x}^2+2x-\mathrm{6,3}\right)·e^{\mathrm{0,9}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,9}\cdot 3}·\left(\mathrm{0,9}\cdot 3^2+2\cdot 3-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{\mathrm{2,7}}·\left(\mathrm{0,9}\cdot 9+6-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{\mathrm{2,7}}·\left(\mathrm{8,1}+6-\mathrm{6,3}\right)$

= $e^{\mathrm{2,7}}·\mathrm{7,8}$

= $\mathrm{7,8}{e}^{\mathrm{2,7}}$

≈ 116.06

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{7,8}{e}^{\mathrm{2,7}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3^2-7\right)·e^{\mathrm{0,9}\cdot 3}$ = $\left(9-7\right)·e^{\mathrm{2,7}}$ = $2·e^{\mathrm{2,7}}$ = $2e^{\mathrm{2,7}}$ ≈ 29.76

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $2e^{\mathrm{2,7}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^{\mathrm{2,7}}$ = $\mathrm{7,8}{e}^{\mathrm{2,7}}$⋅ $3$ + c

$2e^{\mathrm{2,7}}$ = $\mathrm{23,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$ + c | $-\mathrm{23,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$

$-\mathrm{21,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$ = c

also c= $-\mathrm{21,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$ ≈ -318.43

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{7,8}{e}^{\mathrm{2,7}}$⋅x $-\mathrm{21,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$ oder y=116.06x -318.43

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-4\cdot \sin \left(3\pi \right)+3$

= $-4\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(3\pi \right)+3\cdot \left(3\pi \right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+3\cdot \left(3\pi \right)$ = $-4+3\cdot \left(3\pi \right)$ ≈ 24.27

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $-4+9\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+9\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $3\pi$ + c

$-4+9\pi$ = $-\pi$ + c | + $\pi$

$-4+10\pi$ = c

also c= $-4+10\pi$ ≈ 27.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $-4+10\pi$ oder y=-0.33x +27.42

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|14) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|14) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

14 = $\left(-6u-5\right)·\left(-2-u\right)$ + $-3u^2-5u+4$ | -14

$\left(-6u-5\right)·\left(-2-u\right)-3u^2-5u+4-14$ = 0

$6u^2+17u+10-3u^2-5u+4-14$ = 0

$3u^2+12u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+12u+0$	=	0
$3u^2+12u$	=	0
$3u·\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-5+0$

= $-6x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-4\right)-5$

= $24-5$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-4\right)}^2-5\cdot \left(-4\right)+4$ = $-3\cdot 16+20+4$ = $-48+20+4$ = $-24$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-24$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-24$ = $19$⋅( $-4$) + c

$-24$ = $-76$ + c | + $76$

$52$ = c

also c= $52$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x + $52$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-5x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-5+0$

= $-6x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0-5$

= $0-5$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2-5\cdot 0+4$ = $-3\cdot 0+0+4$ = $0+0+4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $-5$⋅0 + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $4$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-4|-24) mit der zugehörigen Tangente: $19x+52$

B(0|4) mit der zugehörigen Tangente: $-5x+4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{3,6}}{{\left(\mathrm{0,4}x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(25|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(25|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{3,6}}{{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{3,6}}{{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2}·\left(25-u\right)$ + $\frac{9}{\mathrm{0,4}u-1}$

$-\mathrm{3,6}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{0,4}u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2$

$\left(-\mathrm{3,6}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{0,4}u-1}\right)·{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{3,6}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2+\frac{9}{\mathrm{0,4}u-1}·{\left(\mathrm{0,4}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{3,6}\left(25-u\right)+9\left(\mathrm{0,4}u-1\right)$ = 0

$-90+\mathrm{3,6}u+\mathrm{3,6}u-9$ = 0

$\mathrm{7,2}u-99$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{7,2}u-99$	=	0	| $+99$
$\mathrm{7,2}u$	=	$99$	|:$\mathrm{7,2}$
$u$	=	$\mathrm{13,75}$

L={ $\mathrm{13,75}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(13.75|2)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 13.75 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u-\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u·\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$|0)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{6,174}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{5,488}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{6,174}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{6,174}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{6,174}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{6,174}$ = $\mathrm{5,488}$ ≈ 5.49

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{5,488}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,488}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{5,488}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{6,517}$ = c

also c= $\mathrm{6,517}$ ≈ 6.52

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{6,517}$ oder y=-1.47x +6.52

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{6,517}$	=	0	| $-\mathrm{6,517}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{6,517}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{4,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.433.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|23) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|23) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

23 = $\left(-10u-2\right)·\left(0-u\right)$ + $-5u^2-2u+3$ | -23

$-\left(-10u-2\right)u-5u^2-2u+3-23$ = 0

$10u^2+2u-5u^2-2u+3-23$ = 0

$5u^2+0-20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2+0-20$	=	0
$5u^2-20$	=	0	| $+20$
$5u^2$	=	$20$	|:$5$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-2x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-2+0$

= $-10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-2\right)-2$

= $20-2$

= $18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $18$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+3$ = $-5\cdot 4+4+3$ = $-20+4+3$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $18$⋅( $-2$) + c

$-13$ = $-36$ + c | + $36$

$23$ = c

also c= $23$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $18$⋅x + $23$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-2x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-2+0$

= $-10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 2-2$

= $-20-2$

= $-22$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-22$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 2^2-2\cdot 2+3$ = $-5\cdot 4-4+3$ = $-20-4+3$ = $-21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-21$ = $-22$⋅ $2$ + c

$-21$ = $-44$ + c | + $44$

$23$ = c

also c= $23$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-22$⋅x + $23$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-13) mit der zugehörigen Tangente: $18x+23$

B(2|-21) mit der zugehörigen Tangente: $-22x+23$