Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^3+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x^2+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0^2+3$

= $4\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 0^3+3\cdot 0$ = $\frac{4}{3}\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2{\left(x-2\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\left(x-2\right)·\left(1+0\right)$

= $4\left(x-2\right)·\left(1\right)$

= $4\left(x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $4\left(2-2\right)$

= $4·0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $2\cdot {\left(2-2\right)}^2$ = $2\cdot 0^2$ = $2\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B($2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅$2$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^0$

= $-\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^0$ = $-\frac{3}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{3}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{5}$ = $-\frac{3}{5}$⋅0 + c

$-\frac{3}{5}$ = 0 + c

$-\frac{3}{5}$ = c

also c= $-\frac{3}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{5}$⋅x $-\frac{3}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x·e^{\mathrm{0,7}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·1·e^{\mathrm{0,7}x}+2x·e^{\mathrm{0,7}x}·\mathrm{0,7}$

= $2e^{\mathrm{0,7}x}+2x·\mathrm{0,7}{e}^{\mathrm{0,7}x}$

= $2e^{\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}x·e^{\mathrm{0,7}x}$

= $e^{\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+2\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x+2\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,7}\cdot 0}·\left(\mathrm{1,4}\cdot 0+2\right)$

= $e^0·\left(0+2\right)$

= $1·2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2·0·e^{\mathrm{0,7}\cdot 0}$ = $2·0·e^0$ = $2·0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left((-\pi )\right)+4$

= $-2\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left((-\pi )\right)+4\cdot (-\pi )$ = $2\cdot \left(-1\right)+4\cdot (-\pi )$ = $-2+4\cdot (-\pi )$ ≈ -14.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\pi$| $-2-4\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2-4\pi$ = $-\frac{1}{4}$⋅( $-\pi$) + c

$-2-4\pi$ = $\frac{1}{4}\pi$ + c | $-\frac{1}{4}\pi$

$-2-\frac{17}{4}\pi$ = c

also c= $-2-\frac{17}{4}\pi$ ≈ -15.35

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x + $-2-\frac{17}{4}\pi$ oder y=-0.25x -15.35

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-9) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-9) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-9 = $\left(-6u-1\right)·\left(-3-u\right)$ + $-3u^2-u+3$ | +9

$\left(-6u-1\right)\left(-3-u\right)-3u^2-u+3+9$ = 0

$6u^2+19u+3-3u^2-u+3+9$ = 0

$3u^2+18u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+18u+15$ = 0 |:3

$u^2+6u+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{36-20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{-6\pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{-6+\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

u₂ = $\frac{-6-\sqrt{16}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{2}$ = $-5$

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-5\right)-1$

= $30-1$

= $29$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $29$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-5\right)}^2-\left(-5\right)+3$ = $-3\cdot 25+5+3$ = $-75+5+3$ = $-67$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-67$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-67$ = $29$⋅( $-5$) + c

$-67$ = $-145$ + c | + $145$

$78$ = c

also c= $78$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $29$⋅x + $78$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-1\right)-1$

= $6-1$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3$ = $-3\cdot 1+1+3$ = $-3+1+3$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $5$⋅( $-1$) + c

$1$ = $-5$ + c | + $5$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $6$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{3,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{3,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{3,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{3,6}u\right)u-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{3,6}{u}^2-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,8}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,8}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,9}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,9}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,8}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,9}$

= $-3\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{3,24}$

= $-\mathrm{2,43}+\mathrm{3,24}$

= $\mathrm{0,81}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,81}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,9}}^3+\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,9}}^2$ = $-\mathrm{0,729}+\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,81}$ = $-\mathrm{0,729}+\mathrm{1,458}$ = $\mathrm{0,729}$ ≈ 0.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,9}$| $\mathrm{0,729}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,729}$ = $\mathrm{0,81}$⋅ $\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{0,729}$ = $\mathrm{0,729}$ + c | $-\mathrm{0,729}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,81}$⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,81}x$	=	$\mathrm{1,864}$	|:$\mathrm{0,81}$
$x$	=	$\mathrm{2,3012}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.301.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$6$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$6$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$6$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$6$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2+4$ | -$6$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+4-6$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+4-6\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u+4·\frac{1}{2}u-6·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u+2u-3u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3+2u-3u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2+4$ = $8$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $8$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,25}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $2$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,25}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{9}{4}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{18}{8}$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$2$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{19}{8}$ = c

also c= $\frac{19}{8}$ ≈ 2.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{19}{8}$ oder y=-0.75x +2.38

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\frac{19}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}x+\frac{19}{8}\right)$	=	0
$-6x+19$	=	0	| $-19$
$-6x$	=	$-19$	|:($-6$)
$x$	=	$\frac{19}{6}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.167.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $\left(6u-3\right)·\left(-1-u\right)$ + $3u^2-3u+5$ | +1

$\left(6u-3\right)\left(-1-u\right)+3u^2-3u+5+1$ = 0

$-6u^2-3u+3+3u^2-3u+5+1$ = 0

$-3u^2-6u+9$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2-6u+9$ = 0 |:3

$-u^2-2u+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·\left(-1\right)·3}}{2\cdot \left(-1\right)}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+12}}{-2}$

u_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{16}}{-2}$

u₁ = $\frac{2+\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{16}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-3x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-3+0$

= $6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-3\right)-3$

= $-18-3$

= $-21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-3\right)}^2-3\cdot \left(-3\right)+5$ = $3\cdot 9+9+5$ = $27+9+5$ = $41$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $41$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$41$ = $-21$⋅( $-3$) + c

$41$ = $63$ + c | $-63$

$-22$ = c

also c= $-22$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-21$⋅x $-22$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-3x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-3+0$

= $6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 1-3$

= $6-3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 1^2-3\cdot 1+5$ = $3\cdot 1-3+5$ = $3-3+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $3$⋅ $1$ + c

$5$ = $3$ + c | $-3$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $2$