Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3+5x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2+10x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ ${\left(-2\right)}^2+10\cdot \left(-2\right)$

= $4-20$

= $-16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-8\right)+5\cdot 4$ = $-\frac{8}{3}+20$ = $-\frac{8}{3}+\frac{60}{3}$ = $\frac{52}{3}$ ≈ 17.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{52}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{52}{3}$ = $-16$⋅( $-2$) + c

$\frac{52}{3}$ = $32$ + c | $-32$

$-\frac{44}{3}$ = c

also c= $-\frac{44}{3}$ ≈ -14.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-16$⋅x $-\frac{44}{3}$ oder y=-16x -14.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+4\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3{\left(-2x+4\right)}^2·\left(-2+0\right)$

= $3{\left(-2x+4\right)}^2·\left(-2\right)$

= $-6{\left(-2x+4\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-6\cdot {\left(-2\cdot 2+4\right)}^2$

= $-6\cdot {\left(-4+4\right)}^2$

= $-6\cdot 0^2$

= $-6\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(-2\cdot 2+4\right)}^3$ = ${\left(-4+4\right)}^3$ = $0^3$ = $0$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅$2$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x·e^{x+2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $1·e^{x+2}+x·e^{x+2}·1$

= $e^{x+2}+x·e^{x+2}$

= $e^{x+2}·\left(1+x\right)$

= $e^{x+2}·\left(x+1\right)$

= $\left(x+1\right)·e^{x+2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-2+2}·\left(-2+1\right)$

= $e^0·\left(-1\right)$

= $1·\left(-1\right)$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·e^{-2+2}$ = $-2·e^0$ = $-2·1$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-1$⋅( $-2$) + c

$-2$ = $2$ + c | $-2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3·e^{\mathrm{0,4}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·3x^2·e^{\mathrm{0,4}x}-2x^3·e^{\mathrm{0,4}x}·\mathrm{0,4}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,4}x}-2x^3·\mathrm{0,4}{e}^{\mathrm{0,4}x}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,4}x}-\mathrm{0,8}{x}^3·e^{\mathrm{0,4}x}$

= $e^{\mathrm{0,4}x}·\left(-\mathrm{0,8}{x}^3-6x^2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}{x}^3-6x^2\right)·e^{\mathrm{0,4}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}·\left(-\mathrm{0,8}\cdot 1^3-6\cdot 1^2\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\left(-\mathrm{0,8}\cdot 1-6\cdot 1\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\left(-\mathrm{0,8}-6\right)$

= $e^{\mathrm{0,4}}·\left(-\mathrm{6,8}\right)$

= $-\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$

≈ -10.14

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·1^3·e^{\mathrm{0,4}\cdot 1}$ = $-2·1·e^{\mathrm{0,4}}$ = $-2e^{\mathrm{0,4}}$ ≈ -2.98

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2e^{\mathrm{0,4}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e^{\mathrm{0,4}}$ = $-\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$⋅ $1$ + c

$-2e^{\mathrm{0,4}}$ = $-\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ + c | + $\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$

$\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ = c

also c= $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ ≈ 7.16

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{6,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$⋅x + $\mathrm{4,8}{e}^{\mathrm{0,4}}$ oder y=-10.14x +7.16

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-1+2$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 1^2+2\cdot 1$ = $-\frac{1}{2}\cdot 1+2$ = $-\frac{1}{2}+2$ = $-\frac{1}{2}+\frac{4}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $-1$⋅ $1$ + c

$\frac{3}{2}$ = $-1$ + c | + $1$

$\frac{5}{2}$ = c

also c= $\frac{5}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-1$⋅x + $\frac{5}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|49) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|49) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

49 = $\left(10u+3\right)·\left(-4-u\right)$ + $5u^2+3u+1$ | -49

$\left(10u+3\right)·\left(-4-u\right)+5u^2+3u+1-49$ = 0

$-10u^2-43u-12+5u^2+3u+1-49$ = 0

$-5u^2-40u-60$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2-40u-60$ = 0 |:5

$-u^2-8u-12$ = 0

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+3+0$

= $10x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-6\right)+3$

= $-60+3$

= $-57$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-57$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-6\right)}^2+3\cdot \left(-6\right)+1$ = $5\cdot 36-18+1$ = $180-18+1$ = $163$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $163$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$163$ = $-57$⋅( $-6$) + c

$163$ = $342$ + c | $-342$

$-179$ = c

also c= $-179$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-57$⋅x $-179$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+3+0$

= $10x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)+3$

= $-20+3$

= $-17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+1$ = $5\cdot 4-6+1$ = $20-6+1$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $15$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $-17$⋅( $-2$) + c

$15$ = $34$ + c | $-34$

$-19$ = c

also c= $-19$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-17$⋅x $-19$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-6|163) mit der zugehörigen Tangente: $-57x-179$

B(-2|15) mit der zugehörigen Tangente: $-17x-19$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{2,5}u-2}$

$-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$

$\left(-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-2}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-15\left(45-u\right)+6\left(\mathrm{2,5}u-2\right)$ = 0

$-675+15u+15u-12$ = 0

$30u-687$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$30u-687$	=	0	| $+687$
$30u$	=	$687$	|:$30$
$u$	=	$\frac{229}{10}$ = 22.9

L={ $\frac{229}{10}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(22.9|0.109)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 22.9 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($16$|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($16$|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($16$|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(16-u\right)$ + $u^2+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}+u^2+2-\frac{5}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{16-u}{u}·2u+u^2·2u+2·2u-\frac{5}{2}·2u$ = 0

$-\left(16-u\right)+2u^2·u+4u-5u$ = 0

$-16+u+2u^3+4u-5u$ = 0

$2u^3+0-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-16$	=	0
$2u^3-16$	=	0	| $+16$
$2u^3$	=	$16$	|:$2$
$u^3$	=	$8$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$) = $2^2+2$ = $6$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $6$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{9,477}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,019}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{9,477}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{8,019}$ ≈ 8.02

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,019}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,019}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{8,019}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{10,206}$ = c

also c= $\mathrm{10,206}$ ≈ 10.21

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{10,206}$ oder y=-2.43x +10.21

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 (Gerade in der der Fangzaun liegt) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{10,206}$	=	0	| $-\mathrm{10,206}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{10,206}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{4,2}$

Der gesuchte x-Wert (das linke Ende des Bereichs, an dem der Snowboarder im Fangzaun landen kann) ist somit x ≈ 4.2.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|8) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|8) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

8 = $\left(-6u-3\right)·\left(0-u\right)$ + $-3u^2-3u-4$ | -8

$-\left(-6u-3\right)u-3u^2-3u-4-8$ = 0

$6u^2+3u-3u^2-3u-4-8$ = 0

$3u^2+0-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+0-12$	=	0
$3u^2-12$	=	0	| $+12$
$3u^2$	=	$12$	|:$3$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-3+0$

= $-6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)-3$

= $12-3$

= $9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-3\cdot \left(-2\right)-4$ = $-3\cdot 4+6-4$ = $-12+6-4$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $9$⋅( $-2$) + c

$-10$ = $-18$ + c | + $18$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $9$⋅x + $8$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-3+0$

= $-6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2-3$

= $-12-3$

= $-15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2-3\cdot 2-4$ = $-3\cdot 4-6-4$ = $-12-6-4$ = $-22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-22$ = $-15$⋅ $2$ + c

$-22$ = $-30$ + c | + $30$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-15$⋅x + $8$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-10) mit der zugehörigen Tangente: $9x+8$

B(2|-22) mit der zugehörigen Tangente: $-15x+8$