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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 3$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x) + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + 0$

= $3 \cdot \cos (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $3 \cdot \cos (0)$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $3 \cdot \sin (0) + 3$ = $3 \cdot 0 + 3$ = $0 + 3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $3$ ⋅ $0$ + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $3$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π)$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{3}{2} π)$ ,
also

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π) \cdot (- 2 + 0)$

= $3 \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π) \cdot (- 2)$

= $- 6 \cdot \cos (- 2 x + \frac{3}{2} π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 6 \cdot \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$

= $- 6 \cdot \cos (\frac{3}{2} π)$

= $- 6 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $3 \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + \frac{3}{2} π)$ = $3 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$ = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = 0⋅ $0$ + c

$- 3$ = 0 + c

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $- 3$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 e^{2 (x + 1)}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 e^{2 (x + 1)}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 e^{2 (x + 1)} \cdot 2$

= $- 6 e^{2 (x + 1)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 6 e^{2 (- 1 + 1)}$

= $- 6 e^{2 \cdot 0}$

= $- 6 e^{0}$

= $- 6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 6$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 3 e^{2 (- 1 + 1)}$ = $- 3 e^{2 \cdot 0}$ = $- 3 e^{0}$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $- 6$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 3$ = $6$ + c | $- 6$

$- 9$ = c

also c= $- 9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 6$ ⋅x $- 9$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot e^{0,7 x}$ an der Stelle x= $- 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(2 x^{2} - 9) \cdot e^{0,7 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(4 x + 0) \cdot e^{0,7 x} + (2 x^{2} - 9) \cdot e^{0,7 x} \cdot 0,7$

= $4 x \cdot e^{0,7 x} + (2 x^{2} - 9) \cdot 0,7 e^{0,7 x}$

= $4 x \cdot e^{0,7 x} + 0,7 (2 x^{2} - 9) \cdot e^{0,7 x}$

= $e^{0,7 x} \cdot (1,4 x^{2} - 6,3 + 4 x)$

= $e^{0,7 x} \cdot (1,4 x^{2} + 4 x - 6,3)$

= $(1,4 x^{2} + 4 x - 6,3) \cdot e^{0,7 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $e^{0,7 \cdot (- 3)} \cdot (1,4 \cdot {(- 3)}^{2} + 4 \cdot (- 3) - 6,3)$

= $e^{- 2,1} \cdot (1,4 \cdot 9 - 12 - 6,3)$

= $e^{- 2,1} \cdot (12,6 - 12 - 6,3)$

= $e^{- 2,1} \cdot (- 5,7)$

= $- 5,7 e^{- 2,1}$

≈ -0.7

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 5,7 e^{- 2,1}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $(2 \cdot {(- 3)}^{2} - 9) \cdot e^{0,7 \cdot (- 3)}$ = $(2 \cdot 9 - 9) \cdot e^{- 2,1}$ = $9 \cdot e^{- 2,1}$ = $9 e^{- 2,1}$ ≈ 1.1

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $9 e^{- 2,1}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9 e^{- 2,1}$ = $- 5,7 e^{- 2,1}$ ⋅( $- 3$ ) + c

$9 e^{- 2,1}$ = $17,1 e^{- 2,1}$ + c | $- 17,1 e^{- 2,1}$

$- 8,1 e^{- 2,1}$ = c

also c= $- 8,1 e^{- 2,1}$ ≈ -0.99

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 5,7 e^{- 2,1}$ ⋅x $- 8,1 e^{- 2,1}$ oder y=-0.7x -0.99

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4$ an der Stelle x= $\frac{3}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 0$

= $- 4 \cdot \sin (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2} π) =$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 4 \cdot (- 1)$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2} π) =$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4$ = $4 \cdot 0 + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2} π$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{2} π$ + c

$4$ = $- \frac{3}{8} π$ + c | + $\frac{3}{8} π$

$4 + \frac{3}{8} π$ = c

also c= $4 + \frac{3}{8} π$ ≈ 5.18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x + $4 + \frac{3}{8} π$ oder y=-0.25x +5.18

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-3|-4) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x - 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u - 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $(- 6 u - 3) \cdot (- 3 - u)$ + $- 3 u^{2} - 3 u + 2$ | +4

$(- 6 u - 3) \cdot (- 3 - u) - 3 u^{2} - 3 u + 2 + 4$ = 0

$6 u^{2} + 21 u + 9 - 3 u^{2} - 3 u + 2 + 4$ = 0

$3 u^{2} + 18 u + 15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} + 18 u + 15

= 0 |:3

$u^{2} + 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6+4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 6-4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 3 + 0$

= $- 6 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 5) =$ $- 6 \cdot (- 5) - 3$

= $30 - 3$

= $27$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $27$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 5) =$ $- 3 \cdot {(- 5)}^{2} - 3 \cdot (- 5) + 2$ = $- 3 \cdot 25 + 15 + 2$ = $- 75 + 15 + 2$ = $- 58$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 5$ | $- 58$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 58$ = $27$ ⋅( $- 5$ ) + c

$- 58$ = $- 135$ + c | + $135$

$77$ = c

also c= $77$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $27$ ⋅x + $77$

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 3 + 0$

= $- 6 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 6 \cdot (- 1) - 3$

= $6 - 3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) + 2$ = $- 3 \cdot 1 + 3 + 2$ = $- 3 + 3 + 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $3$ ⋅( $- 1$ ) + c

$2$ = $- 3$ + c | + $3$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $5$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-5|-58) mit der zugehörigen Tangente: $27 x + 77$

B(-1|2) mit der zugehörigen Tangente: $3 x + 5$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{7}{0,2 x - 2}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (20|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{1,4}{{(0,2 x - 2)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{1,4}{{(0,2 u - 2)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{1,4}{{(0,2 u - 2)}^{2}} \cdot (20 - u)$ + $\frac{7}{0,2 u - 2}$

$- 1,4 \frac{20 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} + \frac{7}{0,2 u - 2}$ = 0 | ⋅ ${(0,2 u - 2)}^{2}$

$(- 1,4 \frac{20 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} + \frac{7}{0,2 u - 2}) \cdot {(0,2 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 1,4 \frac{20 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} \cdot {(0,2 u - 2)}^{2} + \frac{7}{0,2 u - 2} \cdot {(0,2 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 1,4 (20 - u) + 7 (0,2 u - 2)$ = 0

$- 28 + 1,4 u + 1,4 u - 14$ = 0

$2,8 u - 42$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2,8 u - 42$	=	0	\| $+ 42$
$2,8 u$	=	$42$	\|: $2,8$
$u$	=	$15$

L={ $15$ }

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(15|7)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 15 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{4}{27}$ | $2$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{2} x^{2} + 1$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{4}{27}$ | $2$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{4}{27}$ | $2$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{u}$ = $- \frac{1}{u}$

Wir können also P( $\frac{4}{27}$ | $2$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{- 1}{u} \cdot (\frac{4}{27} - u)$ + $\frac{1}{2} u^{2} + 1$ | - $2$

$- \frac{\frac{4}{27} - u}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + 1 - 2$ = 0 | ⋅ $u$

$(- \frac{\frac{4}{27} - u}{u} + \frac{1}{2} u^{2} + 1 - 2) \cdot u$ = 0

$- \frac{\frac{4}{27} - u}{u} \cdot u + \frac{1}{2} u^{2} \cdot u + 1 \cdot u - 2 \cdot u$ = 0

$- (\frac{4}{27} - u) + \frac{1}{2} u^{2} \cdot u + u - 2 u$ = 0

$- \frac{4}{27} + u + \frac{1}{2} u^{3} + u - 2 u$ = 0

$\frac{1}{2} u^{3} + 0 - \frac{4}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2} u^{3} + 0 - \frac{4}{27}$	=	0
$\frac{1}{2} u^{3} - \frac{4}{27}$	=	0	\| $+ \frac{4}{27}$
$\frac{1}{2} u^{3}$	=	$\frac{4}{27}$	\|⋅ $2$
$u^{3}$	=	$\frac{8}{27}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$	= $\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{2}{3}$ ) = $\frac{1}{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + 1$ = $\frac{11}{9}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{2}{3}$ | $\frac{11}{9}$ ) bzw. Q(0.67|1.22)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 3 x^{2} + 5,4$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 5,4$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $1$ | $3,4$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 5,4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 5,4$ = $1 - 3 \cdot 1 + 5,4$ = $1 - 3 + 5,4$ = $3,4$ ≈ 3.4

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $3,4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3,4$ = $- 3$ ⋅ $1$ + c

$3,4$ = $- 3$ + c | + $3$

$6,4$ = c

also c= $6,4$ ≈ 6.4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $6,4$ oder y=-3x +6.4

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 3 x + 6,4$	=	0	\| $- 6,4$
$- 3 x$	=	$- 6,4$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2,1333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.133.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-31) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 5$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 8 x + 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-31) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-31) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 8 u + 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-31 = $(- 8 u + 3) \cdot (4 - u)$ + $- 4 u^{2} + 3 u + 5$ | +31

$(- 8 u + 3) \cdot (4 - u) - 4 u^{2} + 3 u + 5 + 31$ = 0

$8 u^{2} - 35 u + 12 - 4 u^{2} + 3 u + 5 + 31$ = 0

$4 u^{2} - 32 u + 48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

4 u^{2} - 32 u + 48

= 0 |:4

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 3 + 0$

= $- 8 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 8 \cdot 2 + 3$

= $- 16 + 3$

= $- 13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 13$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 4 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 5$ = $- 4 \cdot 4 + 6 + 5$ = $- 16 + 6 + 5$ = $- 5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 5$ = $- 13$ ⋅ $2$ + c

$- 5$ = $- 26$ + c | + $26$

$21$ = c

also c= $21$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 13$ ⋅x + $21$

An der Stelle x= $6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 3 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 3 + 0$

= $- 8 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(6) =$ $- 8 \cdot 6 + 3$

= $- 48 + 3$

= $- 45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 45$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(6) =$ $- 4 \cdot 6^{2} + 3 \cdot 6 + 5$ = $- 4 \cdot 36 + 18 + 5$ = $- 144 + 18 + 5$ = $- 121$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$ | $- 121$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 121$ = $- 45$ ⋅ $6$ + c

$- 121$ = $- 270$ + c | + $270$

$149$ = c

also c= $149$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 45$ ⋅x + $149$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(2|-5) mit der zugehörigen Tangente: $- 13 x + 21$

B(6|-121) mit der zugehörigen Tangente: $- 45 x + 149$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= -5 :

An der Stelle x= -1 :

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( 4 27 |2) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 2 :

An der Stelle x= 6 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $- 5$ :

An der Stelle x= $- 1$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{4}{27}$ | $2$ ) verläuft.

An der Stelle x= $2$ :

An der Stelle x= $6$ :