Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3$

= $2\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\left(-\frac{1}{2}\pi \right)\right)+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot \left(-1\right)+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-2+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ ≈ -6.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\frac{1}{2}\pi$| $-2-\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2-\frac{3}{2}\pi$ = $3$⋅( $-\frac{1}{2}\pi$) + c

$-2-\frac{3}{2}\pi$ = $-\frac{3}{2}\pi$ + c | + $\frac{3}{2}\pi$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(-2x+1\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\left(-2x+1\right)·\left(-2+0\right)$

= $2\left(-2x+1\right)·\left(-2\right)$

= $-4\left(-2x+1\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-4\left(-2\cdot 2+1\right)$

= $-4\left(-4+1\right)$

= $-4·\left(-3\right)$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(-2\cdot 2+1\right)}^2$ = ${\left(-4+1\right)}^2$ = ${\left(-3\right)}^2$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $12$⋅$2$ + c

$9$ = $24$ + c | $-24$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x·e^{x-3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $1·e^{x-3}+x·e^{x-3}·1$

= $e^{x-3}+x·e^{x-3}$

= $e^{x-3}·\left(1+x\right)$

= $e^{x-3}·\left(x+1\right)$

= $\left(x+1\right)·e^{x-3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{3-3}·\left(3+1\right)$

= $e^0·4$

= $1·4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3·e^{3-3}$ = $3·e^0$ = $3·1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $4$⋅ $3$ + c

$3$ = $12$ + c | $-12$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^{\mathrm{0,9}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^{\mathrm{0,9}x}-2x·e^{\mathrm{0,9}x}·\mathrm{0,9}$

= $-2e^{\mathrm{0,9}x}-2x·\mathrm{0,9}{e}^{\mathrm{0,9}x}$

= $-2e^{\mathrm{0,9}x}-\mathrm{1,8}x·e^{\mathrm{0,9}x}$

= $e^{\mathrm{0,9}x}·\left(-2-\mathrm{1,8}x\right)$

= $e^{\mathrm{0,9}x}·\left(-\mathrm{1,8}x-2\right)$

= $\left(-\mathrm{1,8}x-2\right)·e^{\mathrm{0,9}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,9}\cdot 3}·\left(-\mathrm{1,8}\cdot 3-2\right)$

= $e^{\mathrm{2,7}}·\left(-\mathrm{5,4}-2\right)$

= $e^{\mathrm{2,7}}·\left(-\mathrm{7,4}\right)$

= $-\mathrm{7,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$

≈ -110.11

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{7,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·3·e^{\mathrm{0,9}\cdot 3}$ = $-2·3·e^{\mathrm{2,7}}$ = $-6e^{\mathrm{2,7}}$ ≈ -89.28

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-6e^{\mathrm{2,7}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6e^{\mathrm{2,7}}$ = $-\mathrm{7,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$⋅ $3$ + c

$-6e^{\mathrm{2,7}}$ = $-\mathrm{22,2}{e}^{\mathrm{2,7}}$ + c | + $\mathrm{22,2}{e}^{\mathrm{2,7}}$

$\mathrm{16,2}{e}^{\mathrm{2,7}}$ = c

also c= $\mathrm{16,2}{e}^{\mathrm{2,7}}$ ≈ 241.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{7,4}{e}^{\mathrm{2,7}}$⋅x + $\mathrm{16,2}{e}^{\mathrm{2,7}}$ oder y=-110.11x +241.05

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{9}{x}^3-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^2-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{4}{3}\cdot 2^2-2$

= $\frac{4}{3}\cdot 4-2$

= $\frac{16}{3}-2$

= $\frac{16}{3}-\frac{6}{3}$

= $\frac{10}{3}$

≈ 3.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{3}{10}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{3}{10}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{4}{9}\cdot 2^3-2\cdot 2$ = $\frac{4}{9}\cdot 8-4$ = $\frac{32}{9}-4$ = $\frac{32}{9}-\frac{36}{9}$ = $-\frac{4}{9}$ ≈ -0.44

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{4}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{4}{9}$ = $-\frac{3}{10}$⋅ $2$ + c

$-\frac{4}{9}$ = $-\frac{3}{5}$ + c | + $\frac{3}{5}$

$\frac{7}{45}$ = c

also c= $\frac{7}{45}$ ≈ 0.16

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{3}{10}$⋅x + $\frac{7}{45}$ oder y=-0.3x +0.16

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|8) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|8) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

8 = $\left(-6u+1\right)·\left(0-u\right)$ + $-3u^2+u-4$ | -8

$-\left(-6u+1\right)u-3u^2+u-4-8$ = 0

$6u^2-u-3u^2+u-4-8$ = 0

$3u^2+0-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+0-12$	=	0
$3u^2-12$	=	0	| $+12$
$3u^2$	=	$12$	|:$3$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+1$

= $12+1$

= $13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-2-4$ = $-3\cdot 4-2-4$ = $-12-2-4$ = $-18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-18$ = $13$⋅( $-2$) + c

$-18$ = $-26$ + c | + $26$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $13$⋅x + $8$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+1+0$

= $-6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2+1$

= $-12+1$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2+2-4$ = $-3\cdot 4+2-4$ = $-12+2-4$ = $-14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-14$ = $-11$⋅ $2$ + c

$-14$ = $-22$ + c | + $22$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x + $8$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-18) mit der zugehörigen Tangente: $13x+8$

B(2|-14) mit der zugehörigen Tangente: $-11x+8$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{6}{{\left(u-3\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{6}{u-3}$

$-6\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-3\right)}^2$

$\left(-6\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}+\frac{6}{u-3}\right)·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\frac{20-u}{{\left(u-3\right)}^2}·{\left(u-3\right)}^2+\frac{6}{u-3}·{\left(u-3\right)}^2$ = 0

$-6\left(20-u\right)+6\left(u-3\right)$ = 0

$-120+6u+6u-18$ = 0

$12u-138$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$12u-138$	=	0	| $+138$
$12u$	=	$138$	|:$12$
$u$	=	$\frac{23}{2}$ = 11.5

L={ $\frac{23}{2}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(11.5|0.706)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 11.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{5}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{5}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{5}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+2$ | -$\frac{5}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+2-\frac{5}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $2$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+2$ = $2$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $2$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{9,792}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{8,768}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{9,792}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{8,768}$ ≈ 8.77

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{8,768}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,768}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{8,768}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{10,304}$ = c

also c= $\mathrm{10,304}$ ≈ 10.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{10,304}$ oder y=-1.92x +10.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{10,304}$	=	0	| $-\mathrm{10,304}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{10,304}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{5,3667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.367.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(-8u+3\right)·\left(2-u\right)$ + $-4u^2+3u-1$ | -5

$\left(-8u+3\right)\left(2-u\right)-4u^2+3u-1-5$ = 0

$8u^2-19u+6-4u^2+3u-1-5$ = 0

$4u^2-16u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2-16u+0$	=	0
$4u^2-16u$	=	0
$4u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+3+0$

= $-8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2+3\cdot 0-1$ = $-4\cdot 0+0-1$ = $0+0-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $3$⋅0 + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-1$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+3+0$

= $-8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 4+3$

= $-32+3$

= $-29$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-29$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 4^2+3\cdot 4-1$ = $-4\cdot 16+12-1$ = $-64+12-1$ = $-53$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-53$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-53$ = $-29$⋅ $4$ + c

$-53$ = $-116$ + c | + $116$

$63$ = c

also c= $63$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-29$⋅x + $63$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|-1) mit der zugehörigen Tangente: $3x-1$

B(4|-53) mit der zugehörigen Tangente: $-29x+63$