nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 4 3 x 3 +4 an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 3 x 3 +4 ,
also

f'(x)= 4 x 2 +0

= 4 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= 4 0 2

= 40

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= 4 3 0 3 +4 = 4 3 0 +4 = 0 +4 = 4

Wir erhalten so also den Punkt B(0| 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4 = 00 + c

4 = 0 + c

4 = c

also c= 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + 4

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 +2 an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 ( -x +3 ) 2 +2 ,
also

f'(x)= 4( -x +3 ) · ( -1 +0 )+0

= 4( -x +3 ) · ( -1 )

= -4( -x +3 )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= 40 -12

= 0 -12

= -12

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -12 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= 2 ( -0 +3 ) 2 +2 = 2 +18 = 20

Wir erhalten so also den Punkt B(0| 20 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

20 = -12 0 + c

20 = 0 + c

20 = c

also c= 20

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -12 ⋅x + 20

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -7 e x -1 an der Stelle x= 1 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -7 e x -1 ,
also

f'(x)= -7 e x -1 · 1

= -7 e x -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= -7 e 1 -1

= -7 e 0

= -7

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -7 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= -7 e 1 -1 = -7 e 0 = -7

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | -7 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-7 = -7 1 + c

-7 = -7 + c | + 7

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -7 ⋅x +0

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= ( 2x -1 ) · e x an der Stelle x= 3 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= ( 2x -1 ) · e x ,
also

f'(x)= ( 2 +0 ) · e x + ( 2x -1 ) · e x

= 2 e x + ( 2x -1 ) · e x

= e x · ( 2x -1 +2 )

= e x · ( 2x +1 )

= ( 2x +1 ) · e x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 3 )= e 3 · ( 23 +1 )

= e 3 · ( 6 +1 )

= e 3 · 7

= 7 e 3

≈ 140.6

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 7 e 3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 3 )= ( 23 -1 ) · e 3 = 5 · e 3 = 5 e 3 ≈ 100.43

Wir erhalten so also den Punkt B( 3 | 5 e 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

5 e 3 = 7 e 3 3 + c

5 e 3 = 21 e 3 + c | -21 e 3

-16 e 3 = c

also c= -16 e 3 ≈ -321.37

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 7 e 3 ⋅x -16 e 3 oder y=140.6x -321.37

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 2 sin( x ) +3 an der Stelle x= 2π :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 sin( x ) +3 ,
also

f'(x)= 2 cos( x ) +0

= 2 cos( x )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 2π )= 2 cos( 2π )

= 21

= 2

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= - 1 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 1 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2π )= 2 sin( 2π ) +3 = 20 +3 = 0 +3 = 3

Wir erhalten so also den Punkt B( 2π | 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

3 = - 1 2 2π + c

3 = -π + c | + π

3 + π = c

also c= 3 + π ≈ 6.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 1 2 ⋅x + 3 + π oder y=-0.5x +6.14

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-10) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= -4 x 2 +4x +2 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= -8x +4

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-10) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-10) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= -8u +4 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-10 = ( -8u +4 ) · ( 4 - u ) + -4 u 2 +4u +2 | +10

( -8u +4 ) ( 4 - u ) -4 u 2 +4u +2 +10 = 0

8 u 2 -36u +16 -4 u 2 +4u +2 +10 = 0

4 u 2 -32u +28 = 0

Die Lösung der Gleichung:

4 u 2 -32u +28 = 0 |:4

u 2 -8u +7 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 7 21

u1,2 = +8 ± 64 -28 2

u1,2 = +8 ± 36 2

u1 = 8 + 36 2 = 8 +6 2 = 14 2 = 7

u2 = 8 - 36 2 = 8 -6 2 = 2 2 = 1

L={ 1 ; 7 }


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x= 1 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -4 x 2 +4x +2 ,
also

f'(x)= -8x +4 +0

= -8x +4

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 )= -81 +4

= -8 +4

= -4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= -4 1 2 +41 +2 = -41 +4 +2 = -4 +4 +2 = 2

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 = -4 1 + c

2 = -4 + c | + 4

6 = c

also c= 6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -4 ⋅x + 6


An der Stelle x= 7 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -4 x 2 +4x +2 ,
also

f'(x)= -8x +4 +0

= -8x +4

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 7 )= -87 +4

= -56 +4

= -52

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -52 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 7 )= -4 7 2 +47 +2 = -449 +28 +2 = -196 +28 +2 = -166

Wir erhalten so also den Punkt B( 7 | -166 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-166 = -52 7 + c

-166 = -364 + c | + 364

198 = c

also c= 198

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -52 ⋅x + 198

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= 2 0,4x -3 beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (15|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= - 0,8 ( 0,4x -3 ) 2

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(15|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(15|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= - 0,8 ( 0,4u -3 ) 2 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = - 0,8 ( 0,4u -3 ) 2 · ( 15 - u ) + 2 0,4u -3

-0,8 15 - u ( 0,4u -3 ) 2 + 2 0,4u -3 = 0 | ⋅ ( 0,4u -3 ) 2

( -0,8 15 - u ( 0,4u -3 ) 2 + 2 0,4u -3 ) · ( 0,4u -3 ) 2 = 0

-0,8 15 - u ( 0,4u -3 ) 2 · ( 0,4u -3 ) 2 + 2 0,4u -3 · ( 0,4u -3 ) 2 = 0

-0,8( 15 - u )+2( 0,4u -3 ) = 0

0,8u -12 + ( 0,8u -6 ) = 0

1,6u -18 = 0

Die Lösung der Gleichung:

1,6u -18 = 0 | +18
1,6u = 18 |:1,6
u = 11,25

L={ 11,25 }


Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 11.25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P(3| 1 2 ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -6x schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3| 1 2 ) verläuft.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= 2x -6

Wir kennen den Kurvenpunkt von Gf, an dem die gesuchte Normale durch P(3| 1 2 ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

mn = - 1 mt = - 1 f '(u) = -1 2u -6 = - 1 2u -6

Wir können also P(3| 1 2 ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - 1 f '(u) = - 1 2u -6 in die allgemeine Normalengleichung

y = - 1 f '(u) ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

1 2 = -1 2u -6 · ( 3 - u ) + u 2 -6u | - 1 2

- 3 - u 2u -6 + u 2 -6u - 1 2 = 0

1 2 + u 2 -6u - 1 2 = 0

u 2 -6u +0 = 0

Die Lösung der Gleichung:

u 2 -6u +0 = 0
u 2 -6u = 0
u ( u -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u1 = 0

2. Fall:

u -6 = 0 | +6
u2 = 6

L={0; 6 }


Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = 0 2 -60 = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( 6 ) = 6 2 -66 = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( 6 |0)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= x 3 -2,1 x 2 +5,292 (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

f(x)= x 3 -2,1 x 2 +5,292

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= 3 x 2 -4,2x +0

= 3 x 2 -4,2x


f''(x)= 6x -4,2


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

6x -4,2 = 0 | +4,2
6x = 4,2 |:6
x = 0,7

Die Lösung x= 0,7 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.


Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W(0,7 | 4,606 ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 -2,1 x 2 +5,292 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -4,2x +0

= 3 x 2 -4,2x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0,7 )= 3 0,7 2 -4,20,7

= 30,49 -2,94

= 1,47 -2,94

= -1,47

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -1,47 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0,7 )= 0,7 3 -2,1 0,7 2 +5,292 = 0,343 -2,10,49 +5,292 = 0,343 -1,029 +5,292 = 4,606 ≈ 4.61

Wir erhalten so also den Punkt B(0,7 | 4,606 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

4,606 = -1,47 0,7 + c

4,606 = -1,029 + c | + 1,029

5,635 = c

also c= 5,635 ≈ 5.64

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -1,47 ⋅x + 5,635 oder y=-1.47x +5.64

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

-1,47x +5,635 = 0 | -5,635
-1,47x = -5,635 |:(-1,47 )
x = 3,8333

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.833.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-82) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= -5 x 2 -5x -2 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= -10x -5

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-82) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-82) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= -10u -5 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-82 = ( -10u -5 ) · ( 4 - u ) + -5 u 2 -5u -2 | +82

( -10u -5 ) ( 4 - u ) -5 u 2 -5u -2 +82 = 0

10 u 2 -35u -20 -5 u 2 -5u -2 +82 = 0

5 u 2 -40u +60 = 0

Die Lösung der Gleichung:

5 u 2 -40u +60 = 0 |:5

u 2 -8u +12 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +8 ± ( -8 ) 2 -4 · 1 · 12 21

u1,2 = +8 ± 64 -48 2

u1,2 = +8 ± 16 2

u1 = 8 + 16 2 = 8 +4 2 = 12 2 = 6

u2 = 8 - 16 2 = 8 -4 2 = 4 2 = 2

L={ 2 ; 6 }


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x= 2 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -5 x 2 -5x -2 ,
also

f'(x)= -10x -5 +0

= -10x -5

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 2 )= -102 -5

= -20 -5

= -25

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -25 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= -5 2 2 -52 -2 = -54 -10 -2 = -20 -10 -2 = -32

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | -32 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-32 = -25 2 + c

-32 = -50 + c | + 50

18 = c

also c= 18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -25 ⋅x + 18


An der Stelle x= 6 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -5 x 2 -5x -2 ,
also

f'(x)= -10x -5 +0

= -10x -5

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 6 )= -106 -5

= -60 -5

= -65

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -65 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 6 )= -5 6 2 -56 -2 = -536 -30 -2 = -180 -30 -2 = -212

Wir erhalten so also den Punkt B( 6 | -212 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-212 = -65 6 + c

-212 = -390 + c | + 390

178 = c

also c= 178

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -65 ⋅x + 178