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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + 5 x^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{3} + 5 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x^{2} + 10 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $4 \cdot 1^{2} + 10 \cdot 1$

= $4 \cdot 1 + 10$

= $4 + 10$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{4}{3} \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2}$ = $\frac{4}{3} \cdot 1 + 5 \cdot 1$ = $\frac{4}{3} + 5$ = $\frac{4}{3} + \frac{15}{3}$ = $\frac{19}{3}$ ≈ 6.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{19}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{19}{3}$ = $14$ ⋅ $1$ + c

$\frac{19}{3}$ = $14$ + c | $- 14$

$- \frac{23}{3}$ = c

also c= $- \frac{23}{3}$ ≈ -7.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$ ⋅x $- \frac{23}{3}$ oder y=14x -7.67

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 {(3 x - 5)}^{2} - 3$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 {(3 x - 5)}^{2} - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $4 (3 x - 5) \cdot (3 + 0) + 0$

= $4 (3 x - 5) \cdot (3)$

= $12 (3 x - 5)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $36 \cdot 2 - 60$

= $72 - 60$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2 \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{2} - 3$ = $2 \cdot {(6 - 5)}^{2} - 3$ = $2 \cdot 1^{2} - 3$ = $2 \cdot 1 - 3$ = $2 - 3$ = $- 1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1$ = $12$ ⋅ $2$ + c

$- 1$ = $24$ + c | $- 24$

$- 25$ = c

also c= $- 25$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x $- 25$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{5} e^{2 (x + 1)}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{1}{5} e^{2 (x + 1)}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{1}{5} e^{2 (x + 1)} \cdot 2$

= $- \frac{2}{5} e^{2 (x + 1)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- \frac{2}{5} e^{2 (- 1 + 1)}$

= $- \frac{2}{5} e^{2 \cdot 0}$

= $- \frac{2}{5} e^{0}$

= $- \frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- \frac{1}{5} e^{2 (- 1 + 1)}$ = $- \frac{1}{5} e^{2 \cdot 0}$ = $- \frac{1}{5} e^{0}$ = $- \frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{1}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{1}{5}$ = $- \frac{2}{5}$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{1}{5}$ = $\frac{2}{5}$ + c | $- \frac{2}{5}$

$- \frac{3}{5}$ = c

also c= $- \frac{3}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{5}$ ⋅x $- \frac{3}{5}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 1}$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 e^{- x + 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 2 e^{- x + 1} \cdot (- 1)$

= $2 e^{- x + 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $2 e^{- 0 + 1}$

= $2 e$

≈ 5.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2 e$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 2 e^{- 0 + 1}$ = $- 2 e$ ≈ -5.44

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $- 2 e$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2 e$ = $2 e$ ⋅ $0$ + c

$- 2 e$ = 0 + c

$- 2 e$ = c

also c= $- 2 e$ ≈ -5.44

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2 e$ ⋅x $- 2 e$ oder y=5.44x -5.44

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{3} x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} + \frac{1}{3} x$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + \frac{1}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $3 \cdot 0^{2} + \frac{1}{3}$

= $3 \cdot 0 + \frac{1}{3}$

= $0 + \frac{1}{3}$

= $\frac{1}{3}$

≈ 0.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $0^{3} + \frac{1}{3} \cdot 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 3$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 3$ ⋅x +0

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|18) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $6 x - 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|18) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|18) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6 u - 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

18 = $(6 u - 5) \cdot (4 - u)$ + $3 u^{2} - 5 u + 2$ | -18

$(6 u - 5) (4 - u) + 3 u^{2} - 5 u + 2 - 18$ = 0

$- 6 u^{2} + 29 u - 20 + 3 u^{2} - 5 u + 2 - 18$ = 0

$- 3 u^{2} + 24 u - 36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 3 u^{2} + 24 u - 36

= 0 |:3

$- u^{2} + 8 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} + 8 u - 12$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x - 5 + 0$

= $6 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $6 \cdot 2 - 5$

= $12 - 5$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $3 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 2$ = $3 \cdot 4 - 10 + 2$ = $12 - 10 + 2$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $7$ ⋅ $2$ + c

$4$ = $14$ + c | $- 14$

$- 10$ = c

also c= $- 10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x $- 10$

An der Stelle x= $6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x^{2} - 5 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $6 x - 5 + 0$

= $6 x - 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(6) =$ $6 \cdot 6 - 5$

= $36 - 5$

= $31$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $31$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(6) =$ $3 \cdot 6^{2} - 5 \cdot 6 + 2$ = $3 \cdot 36 - 30 + 2$ = $108 - 30 + 2$ = $80$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$ | $80$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$80$ = $31$ ⋅ $6$ + c

$80$ = $186$ + c | $- 186$

$- 106$ = c

also c= $- 106$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $31$ ⋅x $- 106$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $4$ (für x ≥ 2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 6 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 6 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 3 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 6 u) u - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 6 u^{2} - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 3 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 3 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 u$	=	$3$	\|: $2$
u₂	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={0; $\frac{3}{2}$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2}) =$ $- 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 \cdot (\frac{3}{2})$

= $- 3 \cdot (\frac{9}{4}) + 9$

= $- \frac{27}{4} + 9$

= $- \frac{27}{4} + \frac{36}{4}$

= $\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{9}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2}) =$ $- {(\frac{3}{2})}^{3} + 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$ = $- (\frac{27}{8}) + 3 \cdot (\frac{9}{4})$ = $- \frac{27}{8} + \frac{27}{4}$ = $- \frac{27}{8} + \frac{54}{8}$ = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{8}$ = $\frac{9}{4}$ ⋅ $\frac{3}{2}$ + c

$\frac{27}{8}$ = $\frac{27}{8}$ + c | $- \frac{27}{8}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{9}{4}$ ⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\frac{9}{4} x$	=	$5$	\|⋅ 4
$9 x$	=	$20$	\|: $9$
$x$	=	$\frac{20}{9}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.222.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $x^{2} + 1$ , der den kürzesten Abstand zu P( $16$ | $\frac{3}{2}$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $16$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $16$ | $\frac{3}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u}$ = $- \frac{1}{2 u}$

Wir können also P( $16$ | $\frac{3}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u} \cdot (16 - u)$ + $u^{2} + 1$ | - $\frac{3}{2}$

$- \frac{1}{2} \frac{16 - u}{u} + u^{2} + 1 - \frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $2 u$

$(- \frac{1}{2} \frac{16 - u}{u} + u^{2} + 1 - \frac{3}{2}) \cdot 2 u$ = 0

$- \frac{1}{2} \frac{16 - u}{u} \cdot 2 u + u^{2} \cdot 2 u + 1 \cdot 2 u - \frac{3}{2} \cdot 2 u$ = 0

$- (16 - u) + 2 u^{2} \cdot u + 2 u - 3 u$ = 0

$- 16 + u + 2 u^{3} + 2 u - 3 u$ = 0

$2 u^{3} + 0 - 16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} + 0 - 16$	=	0
$2 u^{3} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$2 u^{3}$	=	$16$	\|: $2$
$u^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$ ) = $2^{2} + 1$ = $5$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$ | $5$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3,6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$6 x$	=	$3,6$	\|: $6$
$x$	=	$0,6$

Die Lösung x= $0,6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,6$ | $3,132$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 3,564$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,6) =$ $3 \cdot {0,6}^{2} - 3,6 \cdot 0,6$

= $3 \cdot 0,36 - 2,16$

= $1,08 - 2,16$

= $- 1,08$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,08$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,6) =$ ${0,6}^{3} - 1,8 \cdot {0,6}^{2} + 3,564$ = $0,216 - 1,8 \cdot 0,36 + 3,564$ = $0,216 - 0,648 + 3,564$ = $3,132$ ≈ 3.13

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,6$ | $3,132$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3,132$ = $- 1,08$ ⋅ $0,6$ + c

$3,132$ = $- 0,648$ + c | + $0,648$

$3,78$ = c

also c= $3,78$ ≈ 3.78

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,08$ ⋅x + $3,78$ oder y=-1.08x +3.78

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,08 x + 3,78$	=	0	\| $- 3,78$
$- 1,08 x$	=	$- 3,78$	\|:( $- 1,08$ )
$x$	=	$3,5$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.5.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(3|-9) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 8 x + 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-9) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-9) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 8 u + 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-9 = $(- 8 u + 4) \cdot (3 - u)$ + $- 4 u^{2} + 4 u - 1$ | +9

$(- 8 u + 4) (3 - u) - 4 u^{2} + 4 u - 1 + 9$ = 0

$8 u^{2} - 28 u + 12 - 4 u^{2} + 4 u - 1 + 9$ = 0

$4 u^{2} - 24 u + 20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

4 u^{2} - 24 u + 20

= 0 |:4

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 4 + 0$

= $- 8 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 8 \cdot 1 + 4$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 4 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 1$ = $- 4 \cdot 1 + 4 - 1$ = $- 4 + 4 - 1$ = $- 1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1$ = $- 4$ ⋅ $1$ + c

$- 1$ = $- 4$ + c | + $4$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x + $3$

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 4 + 0$

= $- 8 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $- 8 \cdot 5 + 4$

= $- 40 + 4$

= $- 36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 36$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $- 4 \cdot 5^{2} + 4 \cdot 5 - 1$ = $- 4 \cdot 25 + 20 - 1$ = $- 100 + 20 - 1$ = $- 81$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $- 81$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 81$ = $- 36$ ⋅ $5$ + c

$- 81$ = $- 180$ + c | + $180$

$99$ = c

also c= $99$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 36$ ⋅x + $99$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 2 :

An der Stelle x= 6 :

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 3 2 :

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(16| 3 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 5 :

An der Stelle x= $2$ :

An der Stelle x= $6$ :

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $16$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $5$ :