Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $9\cdot 0^2$

= $9\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^3-4$ = $3\cdot 0-4$ = $0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = 0⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{{\left(-2x+3\right)}^2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(-2x+3\right)}^3}·\left(-2+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(-2x+3\right)}^3}·\left(-2\right)$

= $-\frac{4}{{\left(-2x+3\right)}^3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>)}=$ $-\frac{4}{{\left(-2\cdot 3+3\right)}^3}$

= $-\frac{4}{{\left(-6+3\right)}^3}$

= $-\frac{4}{{\left(-3\right)}^3}$

= $-4\cdot \left(-\frac{1}{27}\right)$

= $\frac{4}{27}$

≈ 0.15

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{4}{27}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow></math>)}=$ $-\frac{1}{{\left(-2\cdot 3+3\right)}^2}$ = $-\frac{1}{{\left(-6+3\right)}^2}$ = $-\frac{1}{{\left(-3\right)}^2}$ = $-\left(\frac{1}{9}\right)$ ≈ -0.11

Wir erhalten so also den Punkt B($3$| $-\frac{1}{9}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{1}{9}$ = $\frac{4}{27}$⋅$3$ + c

$-\frac{1}{9}$ = $\frac{4}{9}$ + c | $-\frac{4}{9}$

$-\frac{5}{9}$ = c

also c= $-\frac{5}{9}$ ≈ -0.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{4}{27}$⋅x $-\frac{5}{9}$ oder y=0.15x -0.56

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3e^{2\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3e^{2\left(x+2\right)}·2$

= $-6e^{2\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-6e^{2\left(-2+2\right)}$

= $-6e^{2·0}$

= $-6e^0$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3e^{2\left(-2+2\right)}$ = $-3e^{2·0}$ = $-3e^0$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-6$⋅ $-2$ + c

$-3$ = $12$ + c | $-12$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(2x+7\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{\mathrm{0,7}x}+\left(2x+7\right)·e^{\mathrm{0,7}x}·\mathrm{0,7}$

= $2e^{\mathrm{0,7}x}+\left(2x+7\right)·\mathrm{0,7}{e}^{\mathrm{0,7}x}$

= $2e^{\mathrm{0,7}x}+\mathrm{0,7}\left(2x+7\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$

= $e^{\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}x+\mathrm{6,9}\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}x+\mathrm{6,9}\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,7}\cdot \left(-2\right)}·\left(\mathrm{1,4}\cdot \left(-2\right)+\mathrm{6,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,4}}·\left(-\mathrm{2,8}+\mathrm{6,9}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,4}}·\mathrm{4,1}$

= $\mathrm{4,1}{e}^{-\mathrm{1,4}}$

≈ 1.01

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{4,1}{e}^{-\mathrm{1,4}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(2\cdot \left(-2\right)+7\right)·e^{\mathrm{0,7}\cdot \left(-2\right)}$ = $\left(-4+7\right)·e^{-\mathrm{1,4}}$ = $3e^{-\mathrm{1,4}}$ ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $3e^{-\mathrm{1,4}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3e^{-\mathrm{1,4}}$ = $\mathrm{4,1}{e}^{-\mathrm{1,4}}$⋅ $-2$ + c

$3e^{-\mathrm{1,4}}$ = $-\mathrm{8,2}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ + c | + $8.2e^{-\mathrm{1,4}}$

$\mathrm{11,2}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ = c

also c= $\mathrm{11,2}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ ≈ 2.76

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{4,1}{e}^{-\mathrm{1,4}}$⋅x + $\mathrm{11,2}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ oder y=1.01x +2.76

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{2}x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{2}\cdot \left(-2\right)+1$

= $3+1$

= $4$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $-\frac{3}{4}\cdot 4-2$ = $-3-2$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-\frac{1}{4}$⋅ $-2$ + c

$-5$ = $\frac{1}{2}$ + c | $-\frac{1}{2}$

$-\frac{11}{2}$ = c

also c= $-\frac{11}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$-\frac{1}{4}$⋅x $-\frac{11}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|30) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentsteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|30) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

30 = $\left(-6u+5\right)·\left(1-u\right)$ + $-3u^2+5u+1$ | -30

$\left(-6u+5\right)·\left(1-u\right)+\left(-3u^2+5u+1\right)-30$ = 0

$6u^2-11u+5+\left(-3u^2+5u+1\right)-30$ = 0

$3u^2-6u-24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2-6u-24$ = 0 |:3

$u^2-2u-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 =

u_1,2 =

u_1,2 =

u₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

L={ $-2$; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+5x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+5+0$

= $-6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)+5$

= $12+5$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+5\cdot \left(-2\right)+1$ = $-3\cdot 4-10+1$ = $-12-10+1$ = $-21$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-21$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-21$ = $17$⋅ $-2$ + c

$-21$ = $-34$ + c | + $34$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$⋅x + $13$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2+5x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x+5+0$

= $-6x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-6\cdot 4+5$

= $-24+5$

= $-19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 4^2+5\cdot 4+1$ = $-3\cdot 16+20+1$ = $-48+20+1$ = $-27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-27$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-27$ = $-19$⋅ $4$ + c

$-27$ = $-76$ + c | + $76$

$49$ = c

also c= $49$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-19$⋅x + $49$