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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 4 3 x 3 -2x an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 4 3 x 3 -2x ,
also

f'(x)= 4 x 2 -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= 4 0 2 -2

= 40 -2

= 0 -2

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= 4 3 0 3 -20 = 4 3 0 +0 = 0+0 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = -2 0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x +0

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= ( -x +2 ) 3 - x an der Stelle x=1:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= ( -x +2 ) 3 - x ,
also

f'(x)= 3 ( -x +2 ) 2 · ( -1 +0 ) -1

= 3 ( -x +2 ) 2 · ( -1 ) -1

= -3 ( -x +2 ) 2 -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(1)= -3 ( -1 +2 ) 2 -1

= -3 1 2 -1

= -31 -1

= -3 -1

= -4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(1)= ( -1 +2 ) 3 - 1 = 1 3 -1 = 1 -1 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(1|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = -4 1 + c

0 = -4 + c | + 4

4 = c

also c= 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -4 ⋅x + 4

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 3 4 e 2( x +2 ) an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 3 4 e 2( x +2 ) ,
also

f'(x)= 3 4 e 2( x +2 ) · 2

= 3 2 e 2( x +2 )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -2 )= 3 2 e 2( -2 +2 )

= 3 2 e 2 · 0

= 3 2 e 0

= 3 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 3 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= 3 4 e 2( -2 +2 ) = 3 4 e 2 · 0 = 3 4 e 0 = 3 4

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | 3 4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

3 4 = 3 2 ⋅( -2 ) + c

3 4 = -3 + c | + 3

15 4 = c

also c= 15 4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 3 2 ⋅x + 15 4

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= e x -1 an der Stelle x=2:

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= e x -1 ,
also

f'(x)= e x -1 · 1

= e x -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(2)= e 2 -1

= e

= e

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= e x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(2)= e 2 -1 = e = e ≈ 2.72

Wir erhalten so also den Punkt B(2| e ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

e = e 2 + c

e = 2e + c | -2e

-e = c

also c= -e ≈ -2.72

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= e ⋅x -e oder y=2.72x -2.72

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 2 cos( x ) an der Stelle x= 1 2 π :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 cos( x ) ,
also

f'(x)= -2 sin( x )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 1 2 π )= -2 sin( 1 2 π )

= -21

= -2

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn= - 1 mt

also mn= 1 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= 1 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 2 π )= 2 cos( 1 2 π ) = 20 = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 2 π |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 1 2 1 2 π + c

0 = 1 4 π + c | - 1 4 π

- 1 4 π = c

also c= - 1 4 π ≈ -0.79

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= 1 2 ⋅x - 1 4 π oder y=0.5x -0.79

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(2|-5) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= - x 2 -4x -2 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

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Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= -2x -4

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|-5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|-5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= -2u -4 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-5 = ( -2u -4 ) · ( 2 - u ) + - u 2 -4u -2 | +5

( -2u -4 ) ( 2 - u ) - u 2 -4u -2 +5 = 0

2 u 2 -8 - u 2 -4u -2 +5 = 0

u 2 -4u -5 = 0

Die Lösung der Gleichung:

u 2 -4u -5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · ( -5 ) 21

u1,2 = +4 ± 16 +20 2

u1,2 = +4 ± 36 2

u1 = 4 + 36 2 = 4 +6 2 = 10 2 = 5

u2 = 4 - 36 2 = 4 -6 2 = -2 2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - ( -5 ) = 4+ 5 = 9

x1,2 = 2 ± 9

x1 = 2 - 3 = -1

x2 = 2 + 3 = 5

L={ -1 ; 5 }


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x= -1 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - x 2 -4x -2 ,
also

f'(x)= -2x -4 +0

= -2x -4

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -1 )= -2( -1 ) -4

= 2 -4

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -1 )= - ( -1 ) 2 -4( -1 ) -2 = -1 +4 -2 = 1

Wir erhalten so also den Punkt B( -1 | 1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

1 = -2 ⋅( -1 ) + c

1 = 2 + c | -2

-1 = c

also c= -1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x -1


An der Stelle x= 5 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - x 2 -4x -2 ,
also

f'(x)= -2x -4 +0

= -2x -4

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( 5 )= -25 -4

= -10 -4

= -14

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -14 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 5 )= - 5 2 -45 -2 = -25 -20 -2 = -47

Wir erhalten so also den Punkt B( 5 | -47 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-47 = -14 5 + c

-47 = -70 + c | + 70

23 = c

also c= 23

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -14 ⋅x + 23

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Computerspiel kann man Figuren erwerben, deren Stärke sich durch die Funktion f mit f(t)= - 1 20 t 2 + 1 5 t + 39 5 (t in Minuten nach Erwerb der Figur) beschreiben lässt. Wenn die Stärke auf 0 abgesunken ist, verschwindet die Figur wieder aus dem Spiel.
Durch Eintauschen von Punkte kann man ab t=2,1 das Absinken der Stärke verlangsamen. Ab dann nimmt die Stärke gleichmäßig mit konstanter Änderungsrate ab, nämlich mit der momentanen Änderungsrate zum Zeitpunkt des Eintauschs.
Ein Spieler vollzieht diesen Tausch zu einem bestimmen Zeitpunkt t1. Dadurch sinkt die Stärke seiner Figur erst bei t= 745 28 ≈ 26,607 Minuten auf 0. Bestimme diesen Zeitpunkt t1.

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Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(t)= - 1 10 t + 1 5

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P( 745 28 |0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den t-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P( 745 28 |0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= - 1 10 u + 1 5 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = ( - 1 10 u + 1 5 ) · ( 745 28 - u ) + - 1 20 u 2 + 1 5 u + 39 5

( - 1 10 u + 1 5 ) ( 745 28 - u ) - 1 20 u 2 + 1 5 u + 39 5 = 0

1 10 u 2 - 801 280 u + 149 28 - 1 20 u 2 + 1 5 u + 39 5 = 0

1 20 u 2 - 149 56 u + 1837 140 = 0

Die Lösung der Gleichung:

1 20 u 2 - 149 56 u + 1837 140 = 0 |⋅ 280
280( 1 20 u 2 - 149 56 u + 1837 140 ) = 0

14 u 2 -745u +3674 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +745 ± ( -745 ) 2 -4 · 14 · 3674 214

u1,2 = +745 ± 555025 -205744 28

u1,2 = +745 ± 349281 28

u1 = 745 + 349281 28 = 745 +591 28 = 1336 28 = 334 7 ≈ 47.71

u2 = 745 - 349281 28 = 745 -591 28 = 154 28 = 5,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "14 " teilen:

14 u 2 -745u +3674 = 0 |: 14

u 2 - 745 14 u + 1837 7 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 745 28 ) 2 - ( 1837 7 ) = 555025 784 - 1837 7 = 555025 784 - 205744 784 = 349.281 784

x1,2 = 745 28 ± 349281 784

x1 = 745 28 - 591 28 = 154 28 = 5.5

x2 = 745 28 + 591 28 = 1336 28 = 47.714285714286

L={ 5,5 ; 334 7 }


Es gibt also zwei Berührstellen, eine vor der finalen Nullstelle ( 745 28 |0) und eine danach. Natürlich macht hier nur die kleinere Sinn, weil ja der Wechsel der Funktion vorher stattfindet.

(Man erkennt auch am Funktionsterm, dass der Graph dazu eine nach unten geöffnete Parabel mit positivem y-Achsenabschnitt sein muss und somit nur der Berührpunkt mit dem kleineren t-Wert im positiven y-Bereich in Frage kommt.)

Der gesuchte Zeitpunkt des Wechsels war also bei t = 5.5

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P(4| 1 2 ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= x 2 -8x schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

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Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4| 1 2 ) verläuft.

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= 2x -8

Wir kennen den Kurvenpunkt von Gf, an dem die gesuchte Normale durch P(4| 1 2 ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

mn = - 1 mt = - 1 f '(u) = -1 2u -8 = - 1 2u -8

Wir können also P(4| 1 2 ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - 1 f '(u) = - 1 2u -8 in die allgemeine Normalengleichung

y = - 1 f '(u) ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

1 2 = -1 2u -8 · ( 4 - u ) + u 2 -8u | - 1 2

- 4 - u 2u -8 + u 2 -8u - 1 2 = 0

1 2 + u 2 -8u - 1 2 = 0

u 2 -8u +0 = 0

Die Lösung der Gleichung:

u 2 -8u +0 = 0
u 2 -8u = 0
u ( u -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u1 = 0

2. Fall:

u -8 = 0 | +8
u2 = 8

L={0; 8 }


Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = 0 2 -80 = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( 8 ) = 8 2 -88 = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( 8 |0)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= -0,4 x 3 +1,2 x 2 (mit 0 ≤ x ≤ 2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = 1,6 (für x ≥ 2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man das ganze Tal einsehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

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Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

f(x)= -0,4 x 3 +1,2 x 2

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

f'(x)= -1,2 x 2 +2,4x


f''(x)= -2,4x +2,4


Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

-2,4x +2,4 = 0 | -2,4
-2,4x = -2,4 |:(-2,4 )
x = 1

Die Lösung x= 1 ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.


Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W(1 | 0,8 ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -0,4 x 3 +1,2 x 2 ,
also

f'(x)= -1,2 x 2 +2,4x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(1 )= -1,2 1 2 +2,41

= -1,21 +2,4

= -1,2 +2,4

= 1,2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 1,2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(1 )= -0,4 1 3 +1,2 1 2 = -0,41 +1,21 = -0,4 +1,2 = 0,8 ≈ 0.8

Wir erhalten so also den Punkt B(1 | 0,8 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0,8 = 1,2 1 + c

0,8 = 1,2 + c | -1,2

-0,4 = c

also c= -0,4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 1,2 ⋅x -0,4

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 2,6 (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

1,2x -0,4 = 2,6 | +0,4
1,2x = 3 |:1,2
x = 2,5

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.5.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-2|-6) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= -2 x 2 +2x -2 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= -4x +2

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-6) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-6) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= -4u +2 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-6 = ( -4u +2 ) · ( -2 - u ) + -2 u 2 +2u -2 | +6

( -4u +2 ) ( -2 - u ) -2 u 2 +2u -2 +6 = 0

4 u 2 +6u -4 -2 u 2 +2u -2 +6 = 0

2 u 2 +8u +0 = 0

Die Lösung der Gleichung:

2 u 2 +8u +0 = 0
2 u 2 +8u = 0
2 u ( u +4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u1 = 0

2. Fall:

u +4 = 0 | -4
u2 = -4

L={ -4 ; 0}


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x= -4 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -2 x 2 +2x -2 ,
also

f'(x)= -4x +2 +0

= -4x +2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'( -4 )= -4( -4 ) +2

= 16 +2

= 18

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 18 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -4 )= -2 ( -4 ) 2 +2( -4 ) -2 = -216 -8 -2 = -32 -8 -2 = -42

Wir erhalten so also den Punkt B( -4 | -42 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-42 = 18 ⋅( -4 ) + c

-42 = -72 + c | + 72

30 = c

also c= 30

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 18 ⋅x + 30


An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -2 x 2 +2x -2 ,
also

f'(x)= -4x +2 +0

= -4x +2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

mt = f'(0)= -40 +2

= 0 +2

= 2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= -2 0 2 +20 -2 = -20 +0 -2 = 0+0 -2 = -2

Wir erhalten so also den Punkt B(0| -2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-2 = 2 0 + c

-2 = 0 + c

-2 = c

also c= -2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 2 ⋅x -2