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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{3} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $15 x^{2} - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $15 \cdot {(- 1)}^{2} - 1$

= $15 \cdot 1 - 1$

= $15 - 1$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $5 \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$ = $5 \cdot (- 1) + 1$ = $- 5 + 1$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $14$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 4$ = $- 14$ + c | + $14$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$ ⋅x + $10$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 1)}^{2}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 {(- 2 x + 1)}^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 (- 2 x + 1) \cdot (- 2 + 0)$

= $- 4 (- 2 x + 1) \cdot (- 2)$

= $8 (- 2 x + 1)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $8 (- 2 \cdot 2 + 1)$

= $8 (- 4 + 1)$

= $8 \cdot (- 3)$

= $- 24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 24$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2 \cdot {(- 2 \cdot 2 + 1)}^{2}$ = $- 2 \cdot {(- 4 + 1)}^{2}$ = $- 2 \cdot {(- 3)}^{2}$ = $- 2 \cdot 9$ = $- 18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 18$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 18$ = $- 24$ ⋅ $2$ + c

$- 18$ = $- 48$ + c | + $48$

$30$ = c

also c= $30$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 24$ ⋅x + $30$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x \cdot e^{x - 1}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x \cdot e^{x - 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $1 \cdot e^{x - 1} + x \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $e^{x - 1} + x \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (x + 1)$

= $(x + 1) \cdot e^{x - 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{1 - 1} \cdot (1 + 1)$

= $e^{0} \cdot 2$

= $1 \cdot 2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1 \cdot e^{1 - 1}$ = $1 \cdot e^{0}$ = $1 \cdot 1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $2$ ⋅ $1$ + c

$1$ = $2$ + c | $- 2$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$ ⋅x $- 1$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $e^{x - 3}$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $e^{x - 3}$ ,
also

$f'(x) =$ $e^{x - 3} \cdot 1$

= $e^{x - 3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $e^{0 - 3}$

= $e^{- 3}$

≈ 0.05

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $e^{- 3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $e^{0 - 3}$ = $e^{- 3}$ ≈ 0.05

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $e^{- 3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$e^{- 3}$ = $e^{- 3}$ ⋅ $0$ + c

$e^{- 3}$ = 0 + c

$e^{- 3}$ = c

also c= $e^{- 3}$ ≈ 0.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $e^{- 3}$ ⋅x + $e^{- 3}$ oder y=0.05x +0.05

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x)$ an der Stelle x= $3 π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \sin (x)$ ,
also

$f'(x) =$ $3 \cdot \cos (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3 π) =$ $3 \cdot \cos (3 π)$

= $3 \cdot (- 1)$

= $- 3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3 π) =$ $3 \cdot \sin (3 π)$ = $3 \cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $3 π$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{1}{3}$ ⋅ $3 π$ + c

0 = $π$ + c | $- π$

$- π$ = c

also c= $- π$ ≈ -3.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$ ⋅x $- π$ oder y=0.33x -3.14

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(5|-7) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 5$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 4 x + 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(5|-7) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(5|-7) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 4 u + 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-7 = $(- 4 u + 4) \cdot (5 - u)$ + $- 2 u^{2} + 4 u + 5$ | +7

$(- 4 u + 4) (5 - u) - 2 u^{2} + 4 u + 5 + 7$ = 0

$4 u^{2} - 24 u + 20 - 2 u^{2} + 4 u + 5 + 7$ = 0

$2 u^{2} - 20 u + 32$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

2 u^{2} - 20 u + 32

= 0 |:2

$u^{2} - 10 u + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

u₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + 4 + 0$

= $- 4 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 4 \cdot 2 + 4$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 2 + 5$ = $- 2 \cdot 4 + 8 + 5$ = $- 8 + 8 + 5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- 4$ ⋅ $2$ + c

$5$ = $- 8$ + c | + $8$

$13$ = c

also c= $13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 4$ ⋅x + $13$

An der Stelle x= $8$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + 4 + 0$

= $- 4 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(8) =$ $- 4 \cdot 8 + 4$

= $- 32 + 4$

= $- 28$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 28$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(8) =$ $- 2 \cdot 8^{2} + 4 \cdot 8 + 5$ = $- 2 \cdot 64 + 32 + 5$ = $- 128 + 32 + 5$ = $- 91$

Wir erhalten so also den Punkt B( $8$ | $- 91$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 91$ = $- 28$ ⋅ $8$ + c

$- 91$ = $- 224$ + c | + $224$

$133$ = c

also c= $133$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 28$ ⋅x + $133$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3,6 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 2,4) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $6,912$ (für x ≥ 2,4) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 7,2 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 7,2 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 7,2 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 3,6 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 7,2 u) u - u^{3} + 3,6 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 7,2 u^{2} - u^{3} + 3,6 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 3,6 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 3,6 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 3,6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$2 u$	=	$3,6$	\|: $2$
u₂	=	$1,8$

L={0; $1,8$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1,8$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 3,6 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 7,2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1,8) =$ $- 3 \cdot {1,8}^{2} + 7,2 \cdot 1,8$

= $- 3 \cdot 3,24 + 12,96$

= $- 9,72 + 12,96$

= $3,24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3,24$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1,8) =$ $- {1,8}^{3} + 3,6 \cdot {1,8}^{2}$ = $- 5,832 + 3,6 \cdot 3,24$ = $- 5,832 + 11,664$ = $5,832$ ≈ 5.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $1,8$ | $5,832$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5,832$ = $3,24$ ⋅ $1,8$ + c

$5,832$ = $5,832$ + c | $- 5,832$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3,24$ ⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$3,24 x$	=	$7,912$	\|: $3,24$
$x$	=	$2,442$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.442.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $\frac{1}{4} x^{2}$ , der den kürzesten Abstand zu P( $8$ | $2$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $8$ | $2$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{1}{2} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $8$ | $2$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u}$ = $- \frac{2}{u}$

Wir können also P( $8$ | $2$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$2$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u} \cdot (8 - u)$ + $\frac{1}{4} u^{2}$ | - $2$

$- 2 \frac{8 - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} - 2$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2} u$

$(- 2 \frac{8 - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} - 2) \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- 2 \frac{8 - u}{u} \cdot \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} u^{2} \cdot \frac{1}{2} u - 2 \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- (8 - u) + \frac{1}{8} u^{2} \cdot u - u$ = 0

$- 8 + u + \frac{1}{8} u^{3} - u$ = 0

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - 8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - 8$	=	0
$\frac{1}{8} u^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$\frac{1}{8} u^{3}$	=	$8$	\|⋅ $8$
$u^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$ ) = $\frac{1}{4} \cdot 4^{2}$ = $4$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$ | $4$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,832$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,832$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3,6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3,6$	=	0	\| $+ 3,6$
$6 x$	=	$3,6$	\|: $6$
$x$	=	$0,6$

Die Lösung x= $0,6$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,6$ | $5,4$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,8 x^{2} + 5,832$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3,6 x + 0$

= $3 x^{2} - 3,6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,6) =$ $3 \cdot {0,6}^{2} - 3,6 \cdot 0,6$

= $3 \cdot 0,36 - 2,16$

= $1,08 - 2,16$

= $- 1,08$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,08$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,6) =$ ${0,6}^{3} - 1,8 \cdot {0,6}^{2} + 5,832$ = $0,216 - 1,8 \cdot 0,36 + 5,832$ = $0,216 - 0,648 + 5,832$ = $5,4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,6$ | $5,4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5,4$ = $- 1,08$ ⋅ $0,6$ + c

$5,4$ = $- 0,648$ + c | + $0,648$

$6,048$ = c

also c= $6,048$ ≈ 6.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,08$ ⋅x + $6,048$ oder y=-1.08x +6.05

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,08 x + 6,048$	=	0	\| $- 6,048$
$- 1,08 x$	=	$- 6,048$	\|:( $- 1,08$ )
$x$	=	$5,6$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.6.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(3|-21) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 3$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x - 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|-21) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|-21) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u - 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-21 = $(- 6 u - 3) \cdot (3 - u)$ + $- 3 u^{2} - 3 u + 3$ | +21

$(- 6 u - 3) (3 - u) - 3 u^{2} - 3 u + 3 + 21$ = 0

$6 u^{2} - 15 u - 9 - 3 u^{2} - 3 u + 3 + 21$ = 0

$3 u^{2} - 18 u + 15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} - 18 u + 15

= 0 |:3

$u^{2} - 6 u + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

L={ $1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 3 + 0$

= $- 6 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 6 \cdot 1 - 3$

= $- 6 - 3$

= $- 9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 9$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 3 \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + 3$ = $- 3 \cdot 1 - 3 + 3$ = $- 3 - 3 + 3$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $- 9$ ⋅ $1$ + c

$- 3$ = $- 9$ + c | + $9$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 9$ ⋅x + $6$

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 3 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 3 + 0$

= $- 6 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $- 6 \cdot 5 - 3$

= $- 30 - 3$

= $- 33$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 33$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $- 3 \cdot 5^{2} - 3 \cdot 5 + 3$ = $- 3 \cdot 25 - 15 + 3$ = $- 75 - 15 + 3$ = $- 87$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $- 87$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 87$ = $- 33$ ⋅ $5$ + c

$- 87$ = $- 165$ + c | + $165$

$78$ = c

also c= $78$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 33$ ⋅x + $78$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 2 :

An der Stelle x= 8 :

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 1,8 :

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(8|2) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 5 :

An der Stelle x= $2$ :

An der Stelle x= $8$ :

An der Stelle x= $1,8$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $8$ | $2$ ) verläuft.

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $5$ :