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Tangente anlegen (einfache Funktionen)
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
e-Funktionen: Tangente anlegen BF
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
e-Funktionen: Tangente anlegen
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
Normale anlegen
Beispiel:
Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit
Zuerst braucht man die Ableitung von
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:
mn=-
also mn=
Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=
Tangente von außen anlegen
Beispiel:
Vom Punkt P(1.5|
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1.5|
Wir können also P(1.5|
y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)
einsetzen:
Die Lösung der Gleichung:
|
= | ||
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
u1 | = |
2. Fall:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u2,3 =
u2,3 =
u2,3 =
u2 =
u3 =
L={
Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.
An der Stelle x=0 :
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
An der Stelle x=
0,75
:
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
An der Stelle x=
2
:
Zuerst braucht man die Ableitung von
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
Wir erhalten so also den Punkt B(
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=