Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-10\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-5\cdot 0^2+4\cdot 0$ = $-5\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $4$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)·\left(3+0\right)$

= $-\cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)·3$

= $-3\cdot \cos \left(3x+\frac{3}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot \cos \left(3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $-\sin \left(3\cdot \left(0\right)+\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-\sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-\left(-1\right)$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅ $0$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x·e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3·1·e^{x+3}+3x·e^{x+3}·1$

= $3e^{x+3}+3x·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(3+3x\right)$

= $e^{x+3}·\left(3x+3\right)$

= $\left(3x+3\right)·e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-3+3}·\left(3\cdot \left(-3\right)+3\right)$

= $e^0·\left(-9+3\right)$

= $1·\left(-6\right)$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3·\left(-3\right)·e^{-3+3}$ = $3·\left(-3\right)·e^0$ = $3·\left(-3\right)·1$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $-6$⋅( $-3$) + c

$-9$ = $18$ + c | $-18$

$-27$ = c

also c= $-27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-27$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(x^2-2\right)·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2x+0\right)·e^x+\left(x^2-2\right)·e^x$

= $\left(x^2-2\right)·e^x+2x·e^x$

= $e^x·\left(x^2-2+2x\right)$

= $e^x·\left(x^2+2x-2\right)$

= $\left(x^2+2x-2\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^2·\left(2^2+2\cdot 2-2\right)$

= $e^2·\left(4+4-2\right)$

= $e^2·\left(4+4-2\right)$

= $e^2·6$

= $6e^2$

≈ 44.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6e^2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(2^2-2\right)·e^2$ = $2·e^2$ = $2e^2$ ≈ 14.78

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $2e^2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^2$ = $6e^2$⋅ $2$ + c

$2e^2$ = $12e^2$ + c | $-12e^2$

$-10e^2$ = c

also c= $-10e^2$ ≈ -73.89

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6e^2$⋅x $-10e^2$ oder y=44.33x -73.89

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-6\cdot 0-1$

= $0-1$

= $-1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3\cdot 0^2-0$ = $-3\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $1$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-12) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-12) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-12 = $\left(8u+1\right)·\left(0-u\right)$ + $4u^2+u+4$ | +12

$-\left(8u+1\right)u+4u^2+u+4+12$ = 0

$-8u^2-u+4u^2+u+4+12$ = 0

$-4u^2+0+16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2+0+16$	=	0
$-4u^2+16$	=	0	| $-16$
$-4u^2$	=	$-16$	|: $\left(-4\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+1+0$

= $8x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-2\right)+1$

= $-16+1$

= $-15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^2-2+4$ = $4\cdot 4-2+4$ = $16-2+4$ = $18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$18$ = $-15$⋅( $-2$) + c

$18$ = $30$ + c | $-30$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-15$⋅x $-12$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+1+0$

= $8x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot 2+1$

= $16+1$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^2+2+4$ = $4\cdot 4+2+4$ = $16+2+4$ = $22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$22$ = $17$⋅ $2$ + c

$22$ = $34$ + c | $-34$

$-12$ = c

also c= $-12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$⋅x $-12$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|18) mit der zugehörigen Tangente: $-15x-12$

B(2|22) mit der zugehörigen Tangente: $17x-12$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+6x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+6u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+6u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+3u^2$

$-\left(-3u^2+6u\right)u-u^3+3u^2$ = 0

$3u^3-6u^2-u^3+3u^2$ = 0

$2u^3-3u^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-3u^2$	=	0
$u^2\left(2u-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\frac{3}{2}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+3x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>3</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2+6\cdot \left(\frac{3}{2}\right)$

= $-3\cdot \left(\frac{9}{4}\right)+9$

= $-\frac{27}{4}+9$

= $-\frac{27}{4}+\frac{36}{4}$

= $\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{9}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(\frac{3}{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ = $-\left(\frac{27}{8}\right)+3\cdot \left(\frac{9}{4}\right)$ = $-\frac{27}{8}+\frac{27}{4}$ = $-\frac{27}{8}+\frac{54}{8}$ = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}$| $\frac{27}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{8}$ = $\frac{9}{4}$⋅ $\frac{3}{2}$ + c

$\frac{27}{8}$ = $\frac{27}{8}$ + c | $-\frac{27}{8}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{9}{4}$⋅x +0

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.5|3.375) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{2,25}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\frac{9}{4}x$	=	$5$	|⋅ 4
$9x$	=	$20$	|:$9$
$x$	=	$\frac{20}{9}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.222.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-4}$ = $-\frac{1}{2u-4}$

Wir können also P(2|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-4}·\left(2-u\right)$ + $u^2-4u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{2-u}{2u-4}+u^2-4u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-4u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-4\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $4$) = $4^2-4\cdot 4+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{4,3}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{6,3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{6,3}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{6,3}$ = $1-3+\mathrm{6,3}$ = $\mathrm{4,3}$ ≈ 4.3

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{4,3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,3}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{4,3}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{7,3}$ = c

also c= $\mathrm{7,3}$ ≈ 7.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{7,3}$ oder y=-3x +7.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{7,3}$	=	0	| $-\mathrm{7,3}$
$-3x$	=	$-\mathrm{7,3}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{2,4333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.433.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|-25) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|-25) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-25 = $\left(-8u+2\right)·\left(-3-u\right)$ + $-4u^2+2u+1$ | +25

$\left(-8u+2\right)\left(-3-u\right)-4u^2+2u+1+25$ = 0

$8u^2+22u-6-4u^2+2u+1+25$ = 0

$4u^2+24u+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+24u+20$ = 0 |:4

$u^2+6u+5$ = 0

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+2+0$

= $-8x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-5\right)+2$

= $40+2$

= $42$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $42$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-5\right)}^2+2\cdot \left(-5\right)+1$ = $-4\cdot 25-10+1$ = $-100-10+1$ = $-109$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $-109$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-109$ = $42$⋅( $-5$) + c

$-109$ = $-210$ + c | + $210$

$101$ = c

also c= $101$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $42$⋅x + $101$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+2+0$

= $-8x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-1\right)+2$

= $8+2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)+1$ = $-4\cdot 1-2+1$ = $-4-2+1$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $10$⋅( $-1$) + c

$-5$ = $-10$ + c | + $10$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x + $5$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-5|-109) mit der zugehörigen Tangente: $42x+101$

B(-1|-5) mit der zugehörigen Tangente: $10x+5$