Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2-\frac{4}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-2\cdot 4+\frac{8}{3}$

= $-8+\frac{8}{3}$

= $-\frac{24}{3}+\frac{8}{3}$

= $-\frac{16}{3}$

≈ -5.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{16}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^3-\frac{2}{3}\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-\frac{2}{3}\cdot \left(-8\right)-\frac{2}{3}\cdot 4$ = $\frac{16}{3}-\frac{8}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{8}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $-\frac{16}{3}$⋅( $-2$) + c

$\frac{8}{3}$ = $\frac{32}{3}$ + c | $-\frac{32}{3}$

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{16}{3}$⋅x $-8$ oder y=-5.33x -8

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(3+0\right)$

= $\cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)·3$

= $3\cdot \cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $3\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $3\cdot \left(-1\right)$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\sin \left(\pi \right)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

0 = $-\frac{3}{2}\pi$ + c | + $\frac{3}{2}\pi$

$\frac{3}{2}\pi$ = c

also c= $\frac{3}{2}\pi$ ≈ 4.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\frac{3}{2}\pi$ oder y=-3x +4.71

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2\left(x-3\right)}·2$

= $-\frac{7}{2}{e}^{2\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{2\left(3-3\right)}$

= $-\frac{7}{2}{e}^{2·0}$

= $-\frac{7}{2}{e}^0$

= $-\frac{7}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{7}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{2\left(3-3\right)}$ = $-\frac{7}{4}{e}^{2·0}$ = $-\frac{7}{4}{e}^0$ = $-\frac{7}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-\frac{7}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{4}$ = $-\frac{7}{2}$⋅ $3$ + c

$-\frac{7}{4}$ = $-\frac{21}{2}$ + c | + $\frac{21}{2}$

$\frac{35}{4}$ = c

also c= $\frac{35}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{7}{2}$⋅x + $\frac{35}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3·e^{\mathrm{0,7}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·3x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+2x^3·e^{\mathrm{0,7}x}·\mathrm{0,7}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+2x^3·\mathrm{0,7}{e}^{\mathrm{0,7}x}$

= $6x^2·e^{\mathrm{0,7}x}+\mathrm{1,4}{x}^3·e^{\mathrm{0,7}x}$

= $e^{\mathrm{0,7}x}·\left(\mathrm{1,4}{x}^3+6x^2\right)$

= $\left(\mathrm{1,4}{x}^3+6x^2\right)·e^{\mathrm{0,7}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,7}\cdot \left(-2\right)}·\left(\mathrm{1,4}\cdot {\left(-2\right)}^3+6\cdot {\left(-2\right)}^2\right)$

= $e^{-\mathrm{1,4}}·\left(\mathrm{1,4}\cdot \left(-8\right)+6\cdot 4\right)$

= $e^{-\mathrm{1,4}}·\left(-\mathrm{11,2}+24\right)$

= $e^{-\mathrm{1,4}}·\mathrm{12,8}$

= $\mathrm{12,8}{e}^{-\mathrm{1,4}}$

≈ 3.16

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{12,8}{e}^{-\mathrm{1,4}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·{\left(-2\right)}^3·e^{\mathrm{0,7}\cdot \left(-2\right)}$ = $2·\left(-8\right)·e^{-\mathrm{1,4}}$ = $-16e^{-\mathrm{1,4}}$ ≈ -3.95

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-16e^{-\mathrm{1,4}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-16e^{-\mathrm{1,4}}$ = $\mathrm{12,8}{e}^{-\mathrm{1,4}}$⋅( $-2$) + c

$-16e^{-\mathrm{1,4}}$ = $-\mathrm{25,6}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ + c | + $\mathrm{25,6}{e}^{-\mathrm{1,4}}$

$\mathrm{9,6}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ = c

also c= $\mathrm{9,6}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ ≈ 2.37

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{12,8}{e}^{-\mathrm{1,4}}$⋅x + $\mathrm{9,6}{e}^{-\mathrm{1,4}}$ oder y=3.16x +2.37

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-8\cdot 0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $0-\frac{2}{3}$

= $-\frac{2}{3}$

≈ -0.67

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0^2-\frac{2}{3}\cdot 0$ = $-4\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $\frac{3}{2}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{2}$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(-2u-2\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^2-2u+1$ | -5

$-\left(-2u-2\right)u-u^2-2u+1-5$ = 0

$2u^2+2u-u^2-2u+1-5$ = 0

$u^2+0-4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+0-4$	=	0
$u^2-4$	=	0	| $+4$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-2\right)-2$

= $4-2$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-2\right)}^2-2\cdot \left(-2\right)+1$ = $-4+4+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $2$⋅( $-2$) + c

$1$ = $-4$ + c | + $4$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x + $5$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 2-2$

= $-4-2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2^2-2\cdot 2+1$ = $-4-4+1$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-6$⋅ $2$ + c

$-7$ = $-12$ + c | + $12$

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $5$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|1) mit der zugehörigen Tangente: $2x+5$

B(2|-7) mit der zugehörigen Tangente: $-6x+5$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(15|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(15|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,2}}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·\left(15-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}$

$-\mathrm{1,2}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,2}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\frac{15-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{0,2}u-1}·{\left(\mathrm{0,2}u-1\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,2}\left(15-u\right)+6\left(\mathrm{0,2}u-1\right)$ = 0

$-18+\mathrm{1,2}u+\mathrm{1,2}u-6$ = 0

$\mathrm{2,4}u-24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{2,4}u-24$	=	0	| $+24$
$\mathrm{2,4}u$	=	$24$	|:$\mathrm{2,4}$
$u$	=	$10$

L={ $10$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(10|6)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 10 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{5,292}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{4,606}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{5,292}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{5,292}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{5,292}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{5,292}$ = $\mathrm{4,606}$ ≈ 4.61

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{4,606}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,606}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{4,606}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{5,635}$ = c

also c= $\mathrm{5,635}$ ≈ 5.64

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{5,635}$ oder y=-1.47x +5.64

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{5,635}$	=	0	| $-\mathrm{5,635}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{5,635}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{3,8333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.833.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $2u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $\left(2u+3\right)·\left(-1-u\right)$ + $u^2+3u+2$ | +4

$\left(2u+3\right)\left(-1-u\right)+u^2+3u+2+4$ = 0

$-2u^2-5u-3+u^2+3u+2+4$ = 0

$-u^2-2u+3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-u^2-2u+3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+3x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+3+0$

= $2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot \left(-3\right)+3$

= $-6+3$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\left(-3\right)}^2+3\cdot \left(-3\right)+2$ = $9-9+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-3$⋅( $-3$) + c

$2$ = $9$ + c | $-9$

$-7$ = c

also c= $-7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x $-7$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^2+3x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2x+3+0$

= $2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $2\cdot 1+3$

= $2+3$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $1^2+3\cdot 1+2$ = $1+3+2$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $5$⋅ $1$ + c

$6$ = $5$ + c | $-5$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x + $1$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|2) mit der zugehörigen Tangente: $-3x-7$

B(1|6) mit der zugehörigen Tangente: $5x+1$