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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{4}{9} x^{3} - \frac{2}{3} x$ an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{4}{9} x^{3} - \frac{2}{3} x$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{2} - \frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- \frac{4}{3} \cdot 0^{2} - \frac{2}{3}$

= $- \frac{4}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3}$

= $0 - \frac{2}{3}$

= $- \frac{2}{3}$

≈ -0.67

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{2}{3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- \frac{4}{9} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$ = $- \frac{4}{9} \cdot 0 + 0$ = $0 + 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- \frac{2}{3}$ ⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{2}{3}$ ⋅x +0 oder y=-0.67x

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)$ an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)$ ,
also

$f'(x) =$ $- \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 2 + 0)$

= $- \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 2)$

= $2 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2} π) =$ $2 \cdot \sin (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $2 \cdot (- 1)$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2} π) =$ $\cos (- 2 \cdot (\frac{1}{2} π) + \frac{1}{2} π)$ = $\cos (- \frac{1}{2} π)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2} π$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $- 2$ ⋅ $\frac{1}{2} π$ + c

0 = $- π$ + c | + $π$

$π$ = c

also c= $π$ ≈ 3.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $π$ oder y=-2x +3.14

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{7}{5} e^{- (x + 3)}$ an der Stelle x= $- 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- \frac{7}{5} e^{- (x + 3)}$ ,
also

$f'(x) =$ $- \frac{7}{5} e^{- (x + 3)} \cdot (- 1)$

= $\frac{7}{5} e^{- (x + 3)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $\frac{7}{5} e^{- (- 3 + 3)}$

= $\frac{7}{5} e^{- 1 \cdot 0}$

= $\frac{7}{5} e^{0}$

= $\frac{7}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{7}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $- \frac{7}{5} e^{- (- 3 + 3)}$ = $- \frac{7}{5} e^{- 1 \cdot 0}$ = $- \frac{7}{5} e^{0}$ = $- \frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $- \frac{7}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{7}{5}$ = $\frac{7}{5}$ ⋅( $- 3$ ) + c

$- \frac{7}{5}$ = $- \frac{21}{5}$ + c | + $\frac{21}{5}$

$\frac{14}{5}$ = c

also c= $\frac{14}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{7}{5}$ ⋅x + $\frac{14}{5}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{0,3 x}$ an der Stelle x= $- 3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(x - 8) \cdot e^{0,3 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{0,3 x} + (x - 8) \cdot e^{0,3 x} \cdot 0,3$

= $e^{0,3 x} + (x - 8) \cdot 0,3 e^{0,3 x}$

= $e^{0,3 x} + 0,3 (x - 8) \cdot e^{0,3 x}$

= $e^{0,3 x} \cdot (1 + 0,3 x - 2,4)$

= $e^{0,3 x} \cdot (0,3 x - 1,4)$

= $(0,3 x - 1,4) \cdot e^{0,3 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $e^{0,3 \cdot (- 3)} \cdot (0,3 \cdot (- 3) - 1,4)$

= $e^{- 0,9} \cdot (- 0,9 - 1,4)$

= $e^{- 0,9} \cdot (- 2,3)$

= $- 2,3 e^{- 0,9}$

≈ -0.94

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2,3 e^{- 0,9}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $(- 3 - 8) \cdot e^{0,3 \cdot (- 3)}$ = $- 11 \cdot e^{- 0,9}$ = $- 11 e^{- 0,9}$ ≈ -4.47

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $- 11 e^{- 0,9}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 11 e^{- 0,9}$ = $- 2,3 e^{- 0,9}$ ⋅( $- 3$ ) + c

$- 11 e^{- 0,9}$ = $6,9 e^{- 0,9}$ + c | $- 6,9 e^{- 0,9}$

$- 17,9 e^{- 0,9}$ = c

also c= $- 17,9 e^{- 0,9}$ ≈ -7.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2,3 e^{- 0,9}$ ⋅x $- 17,9 e^{- 0,9}$ oder y=-0.94x -7.28

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (x) + 4$ an der Stelle x= $2 π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\sin (x) + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $\cos (x) + 0$

= $\cos (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2 π) =$ $\cos (2 π)$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2 π) =$ $\sin (2 π) + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2 π$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- 1$ ⋅ $2 π$ + c

$4$ = $- 2 π$ + c | + $2 π$

$4 + 2 π$ = c

also c= $4 + 2 π$ ≈ 10.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x + $4 + 2 π$ oder y=-1x +10.28

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-3|11) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 3 x - 5$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $10 x + 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|11) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|11) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10 u + 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

11 = $(10 u + 3) \cdot (- 3 - u)$ + $5 u^{2} + 3 u - 5$ | -11

$(10 u + 3) (- 3 - u) + 5 u^{2} + 3 u - 5 - 11$ = 0

$- 10 u^{2} - 33 u - 9 + 5 u^{2} + 3 u - 5 - 11$ = 0

$- 5 u^{2} - 30 u - 25$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 5 u^{2} - 30 u - 25

= 0 |:5

$- u^{2} - 6 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

u₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} - 6 u - 5$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} + 6 u + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} + 3 x - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x + 3 + 0$

= $10 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 5) =$ $10 \cdot (- 5) + 3$

= $- 50 + 3$

= $- 47$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 47$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 5) =$ $5 \cdot {(- 5)}^{2} + 3 \cdot (- 5) - 5$ = $5 \cdot 25 - 15 - 5$ = $125 - 15 - 5$ = $105$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 5$ | $105$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$105$ = $- 47$ ⋅( $- 5$ ) + c

$105$ = $235$ + c | $- 235$

$- 130$ = c

also c= $- 130$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 47$ ⋅x $- 130$

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} + 3 x - 5$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x + 3 + 0$

= $10 x + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $10 \cdot (- 1) + 3$

= $- 10 + 3$

= $- 7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $5 \cdot {(- 1)}^{2} + 3 \cdot (- 1) - 5$ = $5 \cdot 1 - 3 - 5$ = $5 - 3 - 5$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $- 7$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 3$ = $7$ + c | $- 7$

$- 10$ = c

also c= $- 10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 7$ ⋅x $- 10$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-5|105) mit der zugehörigen Tangente: $- 47 x - 130$

B(-1|-3) mit der zugehörigen Tangente: $- 7 x - 10$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $4$ (für x ≥ 2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 6 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 6 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 3 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 6 u) u - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 6 u^{2} - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 3 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 3 u^{2}$	=	0
$u^{2} (2 u - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 u$	=	$3$	\|: $2$
u₂	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={0; $\frac{3}{2}$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2}) =$ $- 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 \cdot (\frac{3}{2})$

= $- 3 \cdot (\frac{9}{4}) + 9$

= $- \frac{27}{4} + 9$

= $- \frac{27}{4} + \frac{36}{4}$

= $\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{9}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2}) =$ $- {(\frac{3}{2})}^{3} + 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$ = $- (\frac{27}{8}) + 3 \cdot (\frac{9}{4})$ = $- \frac{27}{8} + \frac{27}{4}$ = $- \frac{27}{8} + \frac{54}{8}$ = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{8}$ = $\frac{9}{4}$ ⋅ $\frac{3}{2}$ + c

$\frac{27}{8}$ = $\frac{27}{8}$ + c | $- \frac{27}{8}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{9}{4}$ ⋅x +0

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.5|3.375) mit der zugehörigen Tangente: $2,25 x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\frac{9}{4} x$	=	$5$	\|⋅ 4
$9 x$	=	$20$	\|: $9$
$x$	=	$\frac{20}{9}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.222.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P(1| $\frac{7}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 2 x + 3$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1| $\frac{7}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x - 2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1| $\frac{7}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u - 2}$ = $- \frac{1}{2 u - 2}$

Wir können also P(1| $\frac{7}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u - 2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u - 2} \cdot (1 - u)$ + $u^{2} - 2 u + 3$ | - $\frac{7}{2}$

$- \frac{1 - u}{2 u - 2} + u^{2} - 2 u + 3 - \frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2} + u^{2} - 2 u + 3 - \frac{7}{2}$ = 0

$u^{2} - 2 u + 0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 0$	=	0
$u^{2} - 2 u$	=	0
$u (u - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$u - 2$	=	0	\| $+ 2$
u₂	=	$2$

L={0; $2$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^{2} - 2 \cdot 0 + 3$ = $3$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$ )

f( $2$ ) = $2^{2} - 2 \cdot 2 + 3$ = $3$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$ | $3$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

$f''(x) =$ $6 x - 2,4$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 2,4$	=	0	\| $+ 2,4$
$6 x$	=	$2,4$	\|: $6$
$x$	=	$0,4$

Die Lösung x= $0,4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,4$ | $1,456$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,4) =$ $3 \cdot {0,4}^{2} - 2,4 \cdot 0,4$

= $3 \cdot 0,16 - 0,96$

= $0,48 - 0,96$

= $- 0,48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 0,48$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,4) =$ ${0,4}^{3} - 1,2 \cdot {0,4}^{2} + 1,584$ = $0,064 - 1,2 \cdot 0,16 + 1,584$ = $0,064 - 0,192 + 1,584$ = $1,456$ ≈ 1.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,4$ | $1,456$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,456$ = $- 0,48$ ⋅ $0,4$ + c

$1,456$ = $- 0,192$ + c | + $0,192$

$1,648$ = c

also c= $1,648$ ≈ 1.65

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 0,48$ ⋅x + $1,648$ oder y=-0.48x +1.65

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 0,48 x + 1,648$	=	0	\| $- 1,648$
$- 0,48 x$	=	$- 1,648$	\|:( $- 0,48$ )
$x$	=	$3,4333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.433.