Mathebattle EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4$ an der Stelle x= $\frac{3}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 0$

= $- 4 \cdot \sin (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2} π) =$ $- 4 \cdot \sin (\frac{3}{2} π)$

= $- 4 \cdot (- 1)$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2} π) =$ $4 \cdot \cos (\frac{3}{2} π) + 4$ = $4 \cdot 0 + 4$ = $0 + 4$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2} π$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $4$ ⋅ $\frac{3}{2} π$ + c

$4$ = $6 π$ + c | $- 6 π$

$4 - 6 π$ = c

also c= $4 - 6 π$ ≈ -14.85

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x + $4 - 6 π$ oder y=4x -14.85

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \cos (- 2 x + \frac{1}{2} π)$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 2 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π) \cdot (- 2)$

= $6 \cdot \sin (- 2 x + \frac{1}{2} π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $6 \cdot \sin (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$

= $6 \cdot \sin (\frac{1}{2} π)$

= $6 \cdot 1$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $3 \cdot \cos (- 2 \cdot (0) + \frac{1}{2} π)$ = $3 \cdot \cos (\frac{1}{2} π)$ = $3 \cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $6$ ⋅ $0$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$ ⋅x +0

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{2} e^{- 2 (x - 2)}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{7}{2} e^{- 2 (x - 2)}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{7}{2} e^{- 2 (x - 2)} \cdot (- 2)$

= $- 7 e^{- 2 (x - 2)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 7 e^{- 2 (2 - 2)}$

= $- 7 e^{- 2 \cdot 0}$

= $- 7 e^{0}$

= $- 7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $\frac{7}{2} e^{- 2 (2 - 2)}$ = $\frac{7}{2} e^{- 2 \cdot 0}$ = $\frac{7}{2} e^{0}$ = $\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $\frac{7}{2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{2}$ = $- 7$ ⋅ $2$ + c

$\frac{7}{2}$ = $- 14$ + c | + $14$

$\frac{35}{2}$ = c

also c= $\frac{35}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 7$ ⋅x + $\frac{35}{2}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 e^{x - 3}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 e^{x - 3}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 e^{x - 3} \cdot 1$

= $3 e^{x - 3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 e^{1 - 3}$

= $3 e^{- 2}$

≈ 0.41

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3 e^{- 2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $3 e^{1 - 3}$ = $3 e^{- 2}$ ≈ 0.41

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $3 e^{- 2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3 e^{- 2}$ = $3 e^{- 2}$ ⋅ $1$ + c

$3 e^{- 2}$ = $3 e^{- 2}$ + c | $- 3 e^{- 2}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3 e^{- 2}$ ⋅x +0 oder y=0.41x

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + x$ an der Stelle x= $π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(π) =$ $- 4 \cdot \sin (π) + 1$

= $- 4 \cdot 0 + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(π) =$ $4 \cdot \cos (π) + π$ = $4 \cdot (- 1) + π$ = $- 4 + π$ ≈ -0.86

Wir erhalten so also den Punkt B( $π$ | $- 4 + π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4 + π$ = $- 1$ ⋅ $π$ + c

$- 4 + π$ = $- π$ + c | + $π$

$- 4 + 2 π$ = c

also c= $- 4 + 2 π$ ≈ 2.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x + $- 4 + 2 π$ oder y=-1x +2.28

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-4|37) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 3 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $4 x - 3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|37) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|37) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $4 u - 3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

37 = $(4 u - 3) \cdot (- 4 - u)$ + $2 u^{2} - 3 u + 1$ | -37

$(4 u - 3) \cdot (- 4 - u) + 2 u^{2} - 3 u + 1 - 37$ = 0

$- 4 u^{2} - 13 u + 12 + 2 u^{2} - 3 u + 1 - 37$ = 0

$- 2 u^{2} - 16 u - 24$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 2 u^{2} - 16 u - 24

= 0 |:2

$- u^{2} - 8 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8+4}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{8-4}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} - 8 u - 12$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} + 8 u + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 3 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 3 + 0$

= $4 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 6) =$ $4 \cdot (- 6) - 3$

= $- 24 - 3$

= $- 27$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 27$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 6) =$ $2 \cdot {(- 6)}^{2} - 3 \cdot (- 6) + 1$ = $2 \cdot 36 + 18 + 1$ = $72 + 18 + 1$ = $91$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 6$ | $91$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$91$ = $- 27$ ⋅( $- 6$ ) + c

$91$ = $162$ + c | $- 162$

$- 71$ = c

also c= $- 71$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 27$ ⋅x $- 71$

An der Stelle x= $- 2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x^{2} - 3 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $4 x - 3 + 0$

= $4 x - 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $4 \cdot (- 2) - 3$

= $- 8 - 3$

= $- 11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 11$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 3 \cdot (- 2) + 1$ = $2 \cdot 4 + 6 + 1$ = $8 + 6 + 1$ = $15$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $15$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$15$ = $- 11$ ⋅( $- 2$ ) + c

$15$ = $22$ + c | $- 22$

$- 7$ = c

also c= $- 7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 11$ ⋅x $- 7$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-6|91) mit der zugehörigen Tangente: $- 27 x - 71$

B(-2|15) mit der zugehörigen Tangente: $- 11 x - 7$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 2) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $4$ (für x ≥ 2) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 6 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 6 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 3 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 6 u) u - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 6 u^{2} - u^{3} + 3 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 3 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 3 u^{2}$	=	0
$u^{2} \cdot (2 u - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 3$	=	0	\| $+ 3$
$2 u$	=	$3$	\|: $2$
u₂	=	$\frac{3}{2}$ = 1.5

L={0; $\frac{3}{2}$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{3}{2}) =$ $- 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 \cdot (\frac{3}{2})$

= $- 3 \cdot (\frac{9}{4}) + 9$

= $- \frac{27}{4} + 9$

= $- \frac{27}{4} + \frac{36}{4}$

= $\frac{9}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{9}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{3}{2}) =$ $- {(\frac{3}{2})}^{3} + 3 \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}$ = $- (\frac{27}{8}) + 3 \cdot (\frac{9}{4})$ = $- \frac{27}{8} + \frac{27}{4}$ = $- \frac{27}{8} + \frac{54}{8}$ = $\frac{27}{8}$ ≈ 3.38

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}$ | $\frac{27}{8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{27}{8}$ = $\frac{9}{4}$ ⋅ $\frac{3}{2}$ + c

$\frac{27}{8}$ = $\frac{27}{8}$ + c | $- \frac{27}{8}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{9}{4}$ ⋅x +0

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.5|3.375) mit der zugehörigen Tangente: $2,25 x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\frac{9}{4} x$	=	$5$	\|⋅ 4
$9 x$	=	$20$	\|: $9$
$x$	=	$\frac{20}{9}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.222.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $x^{2} + 2$ , der den kürzesten Abstand zu P( $128$ | $\frac{5}{2}$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $128$ | $\frac{5}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $128$ | $\frac{5}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u}$ = $- \frac{1}{2 u}$

Wir können also P( $128$ | $\frac{5}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{5}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u} \cdot (128 - u)$ + $u^{2} + 2$ | - $\frac{5}{2}$

$- \frac{1}{2} \frac{128 - u}{u} + u^{2} + 2 - \frac{5}{2}$ = 0 | ⋅ $2 u$

$(- \frac{1}{2} \frac{128 - u}{u} + u^{2} + 2 - \frac{5}{2}) \cdot 2 u$ = 0

$- \frac{1}{2} \frac{128 - u}{u} \cdot 2 u + u^{2} \cdot 2 u + 2 \cdot 2 u - \frac{5}{2} \cdot 2 u$ = 0

$- (128 - u) + 2 u^{2} \cdot u + 4 u - 5 u$ = 0

$- 128 + u + 2 u^{3} + 4 u - 5 u$ = 0

$2 u^{3} + 0 - 128$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} + 0 - 128$	=	0
$2 u^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 u^{3}$	=	$128$	\|: $2$
$u^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$ ) = $4^{2} + 2$ = $18$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$ | $18$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,2 x^{2} + 0,864$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 0,864$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

$f''(x) =$ $6 x - 2,4$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 2,4$	=	0	\| $+ 2,4$
$6 x$	=	$2,4$	\|: $6$
$x$	=	$0,4$

Die Lösung x= $0,4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,4$ | $0,736$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 0,864$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,4) =$ $3 \cdot {0,4}^{2} - 2,4 \cdot 0,4$

= $3 \cdot 0,16 - 0,96$

= $0,48 - 0,96$

= $- 0,48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 0,48$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,4) =$ ${0,4}^{3} - 1,2 \cdot {0,4}^{2} + 0,864$ = $0,064 - 1,2 \cdot 0,16 + 0,864$ = $0,064 - 0,192 + 0,864$ = $0,736$ ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,4$ | $0,736$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$0,736$ = $- 0,48$ ⋅ $0,4$ + c

$0,736$ = $- 0,192$ + c | + $0,192$

$0,928$ = c

also c= $0,928$ ≈ 0.93

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 0,48$ ⋅x + $0,928$ oder y=-0.48x +0.93

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 0,48 x + 0,928$	=	0	\| $- 0,928$
$- 0,48 x$	=	$- 0,928$	\|:( $- 0,48$ )
$x$	=	$1,9333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 1.933.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(2|16) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + x - 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x + 1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|16) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|16) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u + 1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

16 = $(- 6 u + 1) \cdot (2 - u)$ + $- 3 u^{2} + u - 1$ | -16

$(- 6 u + 1) \cdot (2 - u) - 3 u^{2} + u - 1 - 16$ = 0

$6 u^{2} - 13 u + 2 - 3 u^{2} + u - 1 - 16$ = 0

$3 u^{2} - 12 u - 15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} - 12 u - 15

= 0 |:3

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 1 + 0$

= $- 6 x + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 6 \cdot (- 1) + 1$

= $6 + 1$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1 - 1$ = $- 3 \cdot 1 - 1 - 1$ = $- 3 - 1 - 1$ = $- 5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 5$ = $7$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 5$ = $- 7$ + c | + $7$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x + $2$

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + x - 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 1 + 0$

= $- 6 x + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $- 6 \cdot 5 + 1$

= $- 30 + 1$

= $- 29$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 29$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $- 3 \cdot 5^{2} + 5 - 1$ = $- 3 \cdot 25 + 5 - 1$ = $- 75 + 5 - 1$ = $- 71$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $- 71$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 71$ = $- 29$ ⋅ $5$ + c

$- 71$ = $- 145$ + c | + $145$

$74$ = c

also c= $74$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 29$ ⋅x + $74$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-1|-5) mit der zugehörigen Tangente: $7 x + 2$

B(5|-71) mit der zugehörigen Tangente: $- 29 x + 74$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= -6 :

An der Stelle x= -2 :

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 3 2 :

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(128| 5 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= -1 :

An der Stelle x= 5 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $- 6$ :

An der Stelle x= $- 2$ :

An der Stelle x= $\frac{3}{2}$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $128$ | $\frac{5}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $- 1$ :

An der Stelle x= $5$ :