Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2-2$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 2^2-2\cdot 2$ = $-\frac{1}{2}\cdot 4-4$ = $-2-4$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-4$⋅ $2$ + c

$-6$ = $-8$ + c | + $8$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin (2x-\pi )$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos (2x-\pi )·\left(2+0\right)$

= $\cos (2x-\pi )·2$

= $2\cdot \cos (2x-\pi )$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos (2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )$

= $2\cdot \cos \left(0\right)$

= $2\cdot 1$

= $2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin (2\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)-\pi )$ = $\sin \left(0\right)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $2$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

0 = $\pi$ + c | $-\pi$

$-\pi$ = c

also c= $-\pi$ ≈ -3.14

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-\pi$ oder y=2x -3.14

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^{x+3}-2x·e^{x+3}·1$

= $-2e^{x+3}-2x·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-3+3}·\left(-2\cdot \left(-3\right)-2\right)$

= $e^0·\left(6-2\right)$

= $1·4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·\left(-3\right)·e^{-3+3}$ = $-2·\left(-3\right)·e^0$ = $-2·\left(-3\right)·1$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $4$⋅( $-3$) + c

$6$ = $-12$ + c | + $12$

$18$ = c

also c= $18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $18$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2e^{2x-2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{2x-2}·2$

= $-4e^{2x-2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-4e^{2\cdot 1-2}$

= $-4e^{2-2}$

= $-4e^0$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{2\cdot 1-2}$ = $-2e^{2-2}$ = $-2e^0$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $-4$⋅$1$ + c

$-2$ = $-4$ + c | + $4$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+\frac{2}{3}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x+\frac{2}{3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2+\frac{2}{3}$

= $-\frac{6}{3}+\frac{2}{3}$

= $-\frac{4}{3}$

≈ -1.33

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^2+\frac{2}{3}\cdot \left(-2\right)$ = $\frac{1}{2}\cdot 4-\frac{4}{3}$ = $2-\frac{4}{3}$ = $\frac{6}{3}-\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{2}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{4}$⋅( $-2$) + c

$\frac{2}{3}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$\frac{13}{6}$ = c

also c= $\frac{13}{6}$ ≈ 2.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{13}{6}$ oder y=0.75x +2.17

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(3|8) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(3|8) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

8 = $\left(10u+1\right)·\left(3-u\right)$ + $5u^2+u+5$ | -8

$\left(10u+1\right)\left(3-u\right)+5u^2+u+5-8$ = 0

$-10u^2+29u+3+5u^2+u+5-8$ = 0

$-5u^2+30u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+30u+0$	=	0
$-5u^2+30u$	=	0
$5u\left(-u+6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+1+0$

= $10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $10\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $5\cdot 0^2+0+5$ = $5\cdot 0+0+5$ = $0+0+5$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $1$⋅0 + c

$5$ = 0 + c

$5$ = c

also c= $5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $5$

An der Stelle x= $6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+1+0$

= $10x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 6+1$

= $60+1$

= $61$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $61$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 6^2+6+5$ = $5\cdot 36+6+5$ = $180+6+5$ = $191$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$| $191$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$191$ = $61$⋅ $6$ + c

$191$ = $366$ + c | $-366$

$-175$ = c

also c= $-175$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $61$⋅x $-175$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,2}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,2}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,2}u\right)u-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,2}{u}^2-u^3+\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,1}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,1}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,1}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,05}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,05}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,1}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,05</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,05}}^2+\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{1,05}$

= $-3\cdot \mathrm{1,1025}+\mathrm{4,41}$

= $-\mathrm{3,3075}+\mathrm{4,41}$

= $\mathrm{1,1025}$

≈ 1.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,1025}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,05</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,05}}^3+\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{1,05}}^2$ = $-\mathrm{1,1576}+\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{1,1025}$ = $\mathrm{1,1576}$ ≈ 1.16

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,05}$| $\mathrm{1,1576}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,1576}$ = $\mathrm{1,1025}$⋅ $\mathrm{1,05}$ + c

$\mathrm{1,1576}$ = $\mathrm{1,1576}$ + c | $-\mathrm{1,1576}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,1025}$⋅x +0 oder y=1.1x

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,1025}x$	=	$\mathrm{2,372}$	|:$\mathrm{1,1025}$
$x$	=	$\mathrm{2,1515}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.152.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $4$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{10,368}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{10,368}$ = $\mathrm{9,344}$ ≈ 9.34

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{9,344}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{9,344}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{10,88}$ = c

also c= $\mathrm{10,88}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{10,88}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{10,88}$	=	0	| $-\mathrm{10,88}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{10,88}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.667.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{2,4}x+\mathrm{1,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{2,4}x+\mathrm{1,2}$	=	0	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{2,4}x$	=	$-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{2,4}$)
$x$	=	$\mathrm{0,5}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,5}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,5}$| $\mathrm{0,1}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,5}}^2+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,5}$

= $-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,6}$

= $-\mathrm{0,3}+\mathrm{0,6}$

= $\mathrm{0,3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,4}\cdot {\mathrm{0,5}}^3+\mathrm{0,6}\cdot {\mathrm{0,5}}^2$ = $-\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,125}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,25}$ = $-\mathrm{0,05}+\mathrm{0,15}$ = $\mathrm{0,1}$ ≈ 0.1

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,5}$| $\mathrm{0,1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,1}$ = $\mathrm{0,3}$⋅$\mathrm{0,5}$ + c

$\mathrm{0,1}$ = $\mathrm{0,15}$ + c | $-\mathrm{0,15}$

$-\mathrm{0,05}$ = c

also c= $-\mathrm{0,05}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,3}$⋅x $-\mathrm{0,05}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,2}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,05}$	=	$\mathrm{1,2}$	| $+\mathrm{0,05}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\mathrm{1,25}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\mathrm{4,1667}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 4.167.