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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 3 x$ an der Stelle x= $\frac{5}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 3 x$ ,
also

$f'(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{5}{2} π) =$ $4 \cdot \cos (\frac{5}{2} π) + 3$

= $4 \cdot 0 + 3$

= $0 + 3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{5}{2} π) =$ $4 \cdot \sin (\frac{5}{2} π) + 3 \cdot (\frac{5}{2} π)$ = $4 \cdot 1 + 3 \cdot (\frac{5}{2} π)$ = $4 + 3 \cdot (\frac{5}{2} π)$ ≈ 27.56

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{5}{2} π$ | $4 + \frac{15}{2} π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4 + \frac{15}{2} π$ = $3$ ⋅ $\frac{5}{2} π$ + c

$4 + \frac{15}{2} π$ = $\frac{15}{2} π$ + c | $- \frac{15}{2} π$

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x + $4$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ an der Stelle x= $\frac{1}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) \cdot (2 + 0)$

= $- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) \cdot 2$

= $- 6 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2} π) =$ $- 6 \cdot \sin (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$

= $- 6 \cdot \sin (- \frac{1}{2} π)$

= $- 6 \cdot (- 1)$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2} π) =$ $3 \cdot \cos (2 \cdot (\frac{1}{2} π) - \frac{3}{2} π)$ = $3 \cdot \cos (- \frac{1}{2} π)$ = $3 \cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2} π$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $6$ ⋅ $\frac{1}{2} π$ + c

0 = $3 π$ + c | $- 3 π$

$- 3 π$ = c

also c= $- 3 π$ ≈ -9.42

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$ ⋅x $- 3 π$ oder y=6x -9.42

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 x \cdot e^{x + 1}$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 x \cdot e^{x + 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $3 \cdot 1 \cdot e^{x + 1} + 3 x \cdot e^{x + 1} \cdot 1$

= $3 e^{x + 1} + 3 x \cdot e^{x + 1}$

= $e^{x + 1} \cdot (3 + 3 x)$

= $e^{x + 1} \cdot (3 x + 3)$

= $(3 x + 3) \cdot e^{x + 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $e^{- 1 + 1} \cdot (3 \cdot (- 1) + 3)$

= $e^{0} \cdot (- 3 + 3)$

= $1 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $3 \cdot (- 1) \cdot e^{- 1 + 1}$ = $3 \cdot (- 1) \cdot e^{0}$ = $3 \cdot (- 1) \cdot 1$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = 0⋅( $- 1$ ) + c

$- 3$ = 0 + c

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $- 3$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{0,2 x}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(3 x + 4) \cdot e^{0,2 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(3 + 0) \cdot e^{0,2 x} + (3 x + 4) \cdot e^{0,2 x} \cdot 0,2$

= $3 e^{0,2 x} + (3 x + 4) \cdot 0,2 e^{0,2 x}$

= $3 e^{0,2 x} + 0,2 (3 x + 4) \cdot e^{0,2 x}$

= $e^{0,2 x} \cdot (3 + 0,6 x + 0,8)$

= $e^{0,2 x} \cdot (0,6 x + 3,8)$

= $(0,6 x + 3,8) \cdot e^{0,2 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $e^{0,2 \cdot 2} \cdot (0,6 \cdot 2 + 3,8)$

= $e^{0,4} \cdot (1,2 + 3,8)$

= $e^{0,4} \cdot 5$

= $5 e^{0,4}$

≈ 7.46

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5 e^{0,4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $(3 \cdot 2 + 4) \cdot e^{0,2 \cdot 2}$ = $(6 + 4) \cdot e^{0,4}$ = $10 e^{0,4}$ ≈ 14.92

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $10 e^{0,4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10 e^{0,4}$ = $5 e^{0,4}$ ⋅ $2$ + c

$10 e^{0,4}$ = $10 e^{0,4}$ + c | $- 10 e^{0,4}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5 e^{0,4}$ ⋅x +0 oder y=7.46x

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\sin (x) + 4 x$ an der Stelle x= $\frac{5}{2} π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\sin (x) + 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $\cos (x) + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{5}{2} π) =$ $\cos (\frac{5}{2} π) + 4$

= $0 + 4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{5}{2} π) =$ $\sin (\frac{5}{2} π) + 4 \cdot (\frac{5}{2} π)$ = $1 + 4 \cdot (\frac{5}{2} π)$ ≈ 32.42

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{5}{2} π$ | $1 + 10 π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1 + 10 π$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{5}{2} π$ + c

$1 + 10 π$ = $- \frac{5}{8} π$ + c | + $\frac{5}{8} π$

$1 + \frac{85}{8} π$ = c

also c= $1 + \frac{85}{8} π$ ≈ 34.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x + $1 + \frac{85}{8} π$ oder y=-0.25x +34.38

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-2|-6) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 4 x + 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-6) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-6) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 4 u + 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-6 = $(- 4 u + 4) \cdot (- 2 - u)$ + $- 2 u^{2} + 4 u + 2$ | +6

$(- 4 u + 4) (- 2 - u) - 2 u^{2} + 4 u + 2 + 6$ = 0

$4 u^{2} + 4 u - 8 - 2 u^{2} + 4 u + 2 + 6$ = 0

$2 u^{2} + 8 u + 0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{2} + 8 u + 0$	=	0
$2 u^{2} + 8 u$	=	0
$2 u (u + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$u + 4$	=	0	\| $- 4$
u₂	=	$- 4$

L={ $- 4$ ; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 4$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + 4 + 0$

= $- 4 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 4) =$ $- 4 \cdot (- 4) + 4$

= $16 + 4$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 4) =$ $- 2 \cdot {(- 4)}^{2} + 4 \cdot (- 4) + 2$ = $- 2 \cdot 16 - 16 + 2$ = $- 32 - 16 + 2$ = $- 46$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 4$ | $- 46$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 46$ = $20$ ⋅( $- 4$ ) + c

$- 46$ = $- 80$ + c | + $80$

$34$ = c

also c= $34$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$ ⋅x + $34$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 4 x + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x + 4 + 0$

= $- 4 x + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 4 \cdot 0 + 4$

= $0 + 4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $- 2 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0 + 2$ = $- 2 \cdot 0 + 0 + 2$ = $0 + 0 + 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $4$ ⋅0 + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x + $2$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-4|-46) mit der zugehörigen Tangente: $20 x + 34$

B(0|2) mit der zugehörigen Tangente: $4 x + 2$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{3}{0,4 x - 1}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (30|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{1,2}{{(0,4 x - 1)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(30|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(30|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{1,2}{{(0,4 u - 1)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{1,2}{{(0,4 u - 1)}^{2}} \cdot (30 - u)$ + $\frac{3}{0,4 u - 1}$

$- 1,2 \frac{30 - u}{{(0,4 u - 1)}^{2}} + \frac{3}{0,4 u - 1}$ = 0 | ⋅ ${(0,4 u - 1)}^{2}$

$(- 1,2 \frac{30 - u}{{(0,4 u - 1)}^{2}} + \frac{3}{0,4 u - 1}) \cdot {(0,4 u - 1)}^{2}$ = 0

$- 1,2 \frac{30 - u}{{(0,4 u - 1)}^{2}} \cdot {(0,4 u - 1)}^{2} + \frac{3}{0,4 u - 1} \cdot {(0,4 u - 1)}^{2}$ = 0

$- 1,2 (30 - u) + 3 (0,4 u - 1)$ = 0

$- 36 + 1,2 u + 1,2 u - 3$ = 0

$2,4 u - 39$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2,4 u - 39$	=	0	\| $+ 39$
$2,4 u$	=	$39$	\|: $2,4$
$u$	=	$16,25$

L={ $16,25$ }

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(16.25|0.545)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 16.25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P(2| $\frac{7}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x + 3$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2| $\frac{7}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $2 x - 4$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(2| $\frac{7}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{2 u - 4}$ = $- \frac{1}{2 u - 4}$

Wir können also P(2| $\frac{7}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{1}{2 u - 4}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{- 1}{2 u - 4} \cdot (2 - u)$ + $u^{2} - 4 u + 3$ | - $\frac{7}{2}$

$- \frac{2 - u}{2 u - 4} + u^{2} - 4 u + 3 - \frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2} + u^{2} - 4 u + 3 - \frac{7}{2}$ = 0

$u^{2} - 4 u + 0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 0$	=	0
$u^{2} - 4 u$	=	0
$u (u - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$u - 4$	=	0	\| $+ 4$
u₂	=	$4$

L={0; $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^{2} - 4 \cdot 0 + 3$ = $3$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$ )

f( $4$ ) = $4^{2} - 4 \cdot 4 + 3$ = $3$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$ | $3$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,5 x^{2} + 1,575$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 1,575$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

$f''(x) =$ $6 x - 3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 3$	=	0	\| $+ 3$
$6 x$	=	$3$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $\frac{1}{2}$ | $\frac{5,3}{4}$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,5 x^{2} + 1,575$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 3 x + 0$

= $3 x^{2} - 3 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(\frac{1}{2}) =$ $3 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 3 \cdot (\frac{1}{2})$

= $3 \cdot (\frac{1}{4}) - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4} - \frac{6}{4}$

= $- \frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(\frac{1}{2}) =$ ${(\frac{1}{2})}^{3} - 1,5 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} + 1,575$ = $\frac{1}{8} - 1,5 \cdot (\frac{1}{4}) + 1,575$ = $\frac{1}{8} - \frac{1,5}{4} + 1,575$ = $\frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{63}{40}$ = $\frac{5}{40} - \frac{15}{40} + \frac{63}{40}$ = $\frac{53}{40}$ ≈ 1.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}$ | $\frac{53}{40}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{53}{40}$ = $- \frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ + c

$\frac{53}{40}$ = $- \frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{68}{40}$ = c

also c= $\frac{68}{40}$ ≈ 1.7

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{4}$ ⋅x + $\frac{68}{40}$ oder y=-0.75x +1.7

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- \frac{3}{4} x + 1,7$	=	0	\|⋅ 4
$4 (- \frac{3}{4} x + 1,7)$	=	0
$- 3 x + 6,8$	=	0	\| $- 6,8$
$- 3 x$	=	$- 6,8$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2,2667$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.267.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-29) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x - 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 10 x + 2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-29) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-29) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 10 u + 2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-29 = $(- 10 u + 2) \cdot (4 - u)$ + $- 5 u^{2} + 2 u - 2$ | +29

$(- 10 u + 2) (4 - u) - 5 u^{2} + 2 u - 2 + 29$ = 0

$10 u^{2} - 42 u + 8 - 5 u^{2} + 2 u - 2 + 29$ = 0

$5 u^{2} - 40 u + 35$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

5 u^{2} - 40 u + 35

= 0 |:5

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

L={ $1$ ; $7$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 2 + 0$

= $- 10 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 10 \cdot 1 + 2$

= $- 10 + 2$

= $- 8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 5 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 - 2$ = $- 5 \cdot 1 + 2 - 2$ = $- 5 + 2 - 2$ = $- 5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 5$ = $- 8$ ⋅ $1$ + c

$- 5$ = $- 8$ + c | + $8$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 8$ ⋅x + $3$

An der Stelle x= $7$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 2 x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 2 + 0$

= $- 10 x + 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(7) =$ $- 10 \cdot 7 + 2$

= $- 70 + 2$

= $- 68$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 68$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(7) =$ $- 5 \cdot 7^{2} + 2 \cdot 7 - 2$ = $- 5 \cdot 49 + 14 - 2$ = $- 245 + 14 - 2$ = $- 233$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$ | $- 233$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 233$ = $- 68$ ⋅ $7$ + c

$- 233$ = $- 476$ + c | + $476$

$243$ = c

also c= $243$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 68$ ⋅x + $243$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(1|-5) mit der zugehörigen Tangente: $- 8 x + 3$

B(7|-233) mit der zugehörigen Tangente: $- 68 x + 243$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x= -4 :

An der Stelle x=0:

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2| 7 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 7 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $- 4$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(2| $\frac{7}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $7$ :