nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= - 2 3 x 3 + x an der Stelle x= 2 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - 2 3 x 3 + x ,
also

f'(x)= -2 x 2 +1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 2 )= -2 2 2 +1

= -24 +1

= -8 +1

= -7

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -7 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= - 2 3 2 3 +2 = - 2 3 8 +2 = - 16 3 +2 = - 16 3 + 6 3 = - 10 3 ≈ -3.33

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | - 10 3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

- 10 3 = -7 2 + c

- 10 3 = -14 + c | + 14

32 3 = c

also c= 32 3 ≈ 10.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -7 ⋅x + 32 3 oder y=-7x +10.67

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -3 ( 3x -6 ) 3 -4x an der Stelle x=1:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 ( 3x -6 ) 3 -4x ,
also

f'(x)= -9 ( 3x -6 ) 2 · ( 3 +0 ) -4

= -9 ( 3x -6 ) 2 · ( 3 ) -4

= -27 ( 3x -6 ) 2 -4

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(1)= -27 ( 31 -6 ) 2 -4

= -27 ( 3 -6 ) 2 -4

= -27 ( -3 ) 2 -4

= -279 -4

= -243 -4

= -247

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -247 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(1)= -3 ( 31 -6 ) 3 -41 = -3 ( 3 -6 ) 3 -4 = -3 ( -3 ) 3 -4 = -3( -27 ) -4 = 81 -4 = 77

Wir erhalten so also den Punkt B(1| 77 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

77 = -247 1 + c

77 = -247 + c | + 247

324 = c

also c= 324

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -247 ⋅x + 324

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 2 x · e x -1 an der Stelle x= 1 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 x · e x -1 ,
also

f'(x)= 2 · 1 · e x -1 +2 x · e x -1 · 1

= 2 e x -1 +2 x · e x -1

= e x -1 · ( 2x +2 )

= ( 2x +2 ) · e x -1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 1 )= e 1 -1 · ( 21 +2 )

= e 0 · ( 2 +2 )

= 1 · 4

= 4

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 )= 2 · 1 · e 1 -1 = 2 · 1 · e 0 = 2 · 1 · 1 = 2

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 | 2 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 = 4 1 + c

2 = 4 + c | -4

-2 = c

also c= -2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 4 ⋅x -2

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -2 x 3 · e x an der Stelle x= -1 :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -2 x 3 · e x ,
also

f'(x)= -2 · 3 x 2 · e x -2 x 3 · e x

= -6 x 2 · e x -2 x 3 · e x

= e x · ( -2 x 3 -6 x 2 )

= ( -2 x 3 -6 x 2 ) · e x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( -1 )= e -1 · ( -2 ( -1 ) 3 -6 ( -1 ) 2 )

= e -1 · ( -2( -1 ) -61 )

= e -1 · ( 2 -6 )

= e -1 · ( -4 )

= -4 e -1

≈ -1.47

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -4 e -1 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -1 )= -2 · ( -1 ) 3 · e -1 = 2 e -1 ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B( -1 | 2 e -1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 e -1 = -4 e -1 -1 + c

2 e -1 = 4 e -1 + c | -4 e -1

-2 e -1 = c

also c= -2 e -1 ≈ -0.74

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -4 e -1 ⋅x -2 e -1 oder y=-1.47x -0.74

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= 2 sin( x ) +3x an der Stelle x= 1 2 π :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 2 sin( x ) +3x ,
also

f'(x)= 2 cos( x ) +3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 1 2 π )= 2 cos( 1 2 π ) +3

= 20 +3

= 0 +3

= 3

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn=- 1 mt

also mn= - 1 3

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 1 3 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 1 2 π )= 2 sin( 1 2 π ) +3( 1 2 π ) = 21 +3( 1 2 π ) = 2 +3( 1 2 π ) ≈ 6.71

Wir erhalten so also den Punkt B( 1 2 π | 2 + 3 2 π ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

2 + 3 2 π = - 1 3 1 2 π + c

2 + 3 2 π = - 1 6 π + c | + 1 6 π

2 + 5 3 π = c

also c= 2 + 5 3 π ≈ 7.24

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 1 3 ⋅x + 2 + 5 3 π oder y=-0.33x +7.24

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(1.5|-2) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= x 3 - x 2 -2x +1 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= 3 x 2 -2x -2

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1.5|-2) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentsteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1.5|-2) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= 3 u 2 -2u -2 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-2 = ( 3 u 2 -2u -2 ) · ( 1,5 - u ) + u 3 - u 2 -2u +1 | +2

( 3 u 2 -2u -2 ) · ( 1,5 - u ) + ( u 3 - u 2 -2u +1 ) +2 = 0

-3 u 3 +6,5 u 2 - u -3 + ( u 3 - u 2 -2u +1 ) +2 = 0

-2 u 3 +5.5 u 2 -3u +0 = 0

Die Lösung der Gleichung:

-2 u 3 +5.5 u 2 -3u +0 = 0
-2 u 3 +5.5 u 2 -3u = 0
u ( -2 u 2 +5,5u -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u1 = 0

2. Fall:

-2 u 2 +5,5u -3 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u2,3 = -5,5 ± 5,5 2 -4 · ( -2 ) · ( -3 ) 2( -2 )

u2,3 = -5,5 ± 30,25 -24 -4

u2,3 = -5,5 ± 6,25 -4

u2 = -5,5 + 6,25 -4 = -5,5 +2.5 -4 = -3 -4 = 0,75

u3 = -5,5 - 6,25 -4 = -5,5 -2.5 -4 = -8 -4 = 2

L={0; 0,75 ; 2 }


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 - x 2 -2x +1 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -2x -2 +0

= 3 x 2 -2x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(0)= 3 0 2 -20 -2

= 30 +0 -2

= 0+0 -2

= -2

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -2 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= 0 3 - 0 2 -20 +1 = 0 - 0 +0 +1 = 1

Wir erhalten so also den Punkt B(0| 1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

1 = -2 0 + c

1 = 0 + c

1 = c

also c= 1

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -2 ⋅x + 1


An der Stelle x= 0,75 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 - x 2 -2x +1 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -2x -2 +0

= 3 x 2 -2x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 0,75 )= 3 0,75 2 -20,75 -2

= 30,5625 -1,5 -2

= 1,6875 -1,5 -2

= -1,8125

≈ -1.81

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -1,8125 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 0,75 )= 0,75 3 - 0,75 2 -20,75 +1 = 0,421875 - 0,5625 -1,5 +1 = -0,640625 ≈ -0.64

Wir erhalten so also den Punkt B( 0,75 | -0,640625 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-0,640625 = -1,8125 0,75 + c

-0,640625 = -1,359375 + c | + 1.359375

0,71875 = c

also c= 0,71875 ≈ 0.72

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -1,8125 ⋅x + 0,71875 oder y=-1.81x +0.72


An der Stelle x= 2 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= x 3 - x 2 -2x +1 ,
also

f'(x)= 3 x 2 -2x -2 +0

= 3 x 2 -2x -2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 2 )= 3 2 2 -22 -2

= 34 -4 -2

= 12 -4 -2

= 6

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 6 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 )= 2 3 - 2 2 -22 +1 = 8 - 4 -4 +1 = 1

Wir erhalten so also den Punkt B( 2 | 1 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

1 = 6 2 + c

1 = 12 + c | -12

-11 = c

also c= -11

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 6 ⋅x -11