Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \sin \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$4\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+4$

= $4\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $4\cdot \left(-1\right)+4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-4+4\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ ≈ 14.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $-4+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4+6\pi$ = $4$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$-4+6\pi$ = $6\pi$ + c | $-6\pi$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(x-3\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6\left(x-3\right)·\left(1+0\right)$

= $6\left(x-3\right)·\left(1\right)$

= $6\left(x-3\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $6\left(2-3\right)$

= $6·\left(-1\right)$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(2-3\right)}^2$ = $3\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $3\cdot 1$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-6$⋅$2$ + c

$3$ = $-12$ + c | + $12$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x·e^{x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·1·e^{x+3}+2x·e^{x+3}·1$

= $2e^{x+3}+2x·e^{x+3}$

= $e^{x+3}·\left(2+2x\right)$

= $e^{x+3}·\left(2x+2\right)$

= $\left(2x+2\right)·e^{x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{-3+3}·\left(2\cdot \left(-3\right)+2\right)$

= $e^0·\left(-6+2\right)$

= $1·\left(-4\right)$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·\left(-3\right)·e^{-3+3}$ = $2·\left(-3\right)·e^0$ = $2·\left(-3\right)·1$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-4$⋅( $-3$) + c

$-6$ = $12$ + c | $-12$

$-18$ = c

also c= $-18$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-18$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3·e^{\mathrm{0,5}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}-x^3·e^{\mathrm{0,5}x}·\mathrm{0,5}$

= $-3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}-x^3·\mathrm{0,5}{e}^{\mathrm{0,5}x}$

= $-3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}-\mathrm{0,5}{x}^3·e^{\mathrm{0,5}x}$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(-\mathrm{0,5}{x}^3-3x^2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,5}{x}^3-3x^2\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}·\left(-\mathrm{0,5}\cdot 1^3-3\cdot 1^2\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}}·\left(-\mathrm{0,5}\cdot 1-3\cdot 1\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}}·\left(-\mathrm{0,5}-3\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}}·\left(-\mathrm{3,5}\right)$

= $-\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$

≈ -5.77

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^3·e^{\mathrm{0,5}\cdot 1}$ = $-1·e^{\mathrm{0,5}}$ = $-e^{\mathrm{0,5}}$ ≈ -1.65

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-e^{\mathrm{0,5}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-e^{\mathrm{0,5}}$ = $-\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$⋅ $1$ + c

$-e^{\mathrm{0,5}}$ = $-\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$ + c | + $\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$

$\mathrm{2,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$ = c

also c= $\mathrm{2,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$ ≈ 4.12

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{3,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$⋅x + $\mathrm{2,5}{e}^{\mathrm{0,5}}$ oder y=-5.77x +4.12

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $x^2-\frac{1}{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ ${\left(-1\right)}^2-\frac{1}{2}$

= $1-\frac{1}{2}$

= $\frac{2}{2}-\frac{1}{2}$

= $\frac{1}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{3}\cdot {\left(-1\right)}^3-\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)$ = $\frac{1}{3}\cdot \left(-1\right)+\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$ = $-\frac{2}{6}+\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{1}{6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{6}$ = $-2$⋅( $-1$) + c

$\frac{1}{6}$ = $2$ + c | $-2$

$-\frac{11}{6}$ = c

also c= $-\frac{11}{6}$ ≈ -1.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-2$⋅x $-\frac{11}{6}$ oder y=-2x -1.83

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $4x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $4u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $\left(4u+2\right)·\left(0-u\right)$ + $2u^2+2u+4$ | +4

$-\left(4u+2\right)u+2u^2+2u+4+4$ = 0

$-4u^2-2u+2u^2+2u+4+4$ = 0

$-2u^2+0+8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-2u^2+0+8$	=	0
$-2u^2+8$	=	0	| $-8$
$-2u^2$	=	$-8$	|: $\left(-2\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+2+0$

= $4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \left(-2\right)+2$

= $-8+2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot {\left(-2\right)}^2+2\cdot \left(-2\right)+4$ = $2\cdot 4-4+4$ = $8-4+4$ = $8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$8$ = $-6$⋅( $-2$) + c

$8$ = $12$ + c | $-12$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-4$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+2+0$

= $4x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot 2+2$

= $8+2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 2^2+2\cdot 2+4$ = $2\cdot 4+4+4$ = $8+4+4$ = $16$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $16$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$16$ = $10$⋅ $2$ + c

$16$ = $20$ + c | $-20$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x $-4$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|8) mit der zugehörigen Tangente: $-6x-4$

B(2|16) mit der zugehörigen Tangente: $10x-4$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{6,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{6,6}u\right)u-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{6,6}{u}^2-u^3+\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,3}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,3}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,65}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,65}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{6,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,65}}^2+\mathrm{6,6}\cdot \mathrm{1,65}$

= $-3\cdot \mathrm{2,7225}+\mathrm{10,89}$

= $-\mathrm{8,1675}+\mathrm{10,89}$

= $\mathrm{2,7225}$

≈ 2.72

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{2,7225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,65</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,65}}^3+\mathrm{3,3}\cdot {\mathrm{1,65}}^2$ = $-\mathrm{4,4921}+\mathrm{3,3}\cdot \mathrm{2,7225}$ = $\mathrm{4,4921}$ ≈ 4.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,65}$| $\mathrm{4,4921}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{2,7225}$⋅ $\mathrm{1,65}$ + c

$\mathrm{4,4921}$ = $\mathrm{4,4921}$ + c | $-\mathrm{4,4921}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{2,7225}$⋅x +0 oder y=2.72x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.65|4.492) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{2,72}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{2,7225}x$	=	$\mathrm{6,324}$	|:$\mathrm{2,7225}$
$x$	=	$\mathrm{2,3229}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.323.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$|0)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,056}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{6,37}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,056}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{7,056}$ = $\mathrm{6,37}$ ≈ 6.37

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{6,37}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{6,37}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{6,37}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{7,399}$ = c

also c= $\mathrm{7,399}$ ≈ 7.4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{7,399}$ oder y=-1.47x +7.4

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{7,399}$	=	0	| $-\mathrm{7,399}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{7,399}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{5,0333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.033.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|12) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|12) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

12 = $\left(-4u-2\right)·\left(-1-u\right)$ + $-2u^2-2u+4$ | -12

$\left(-4u-2\right)\left(-1-u\right)-2u^2-2u+4-12$ = 0

$4u^2+6u+2-2u^2-2u+4-12$ = 0

$2u^2+4u-6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2+4u-6$ = 0 |:2

$u^2+2u-3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-2+0$

= $-4x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-3\right)-2$

= $12-2$

= $10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)+4$ = $-2\cdot 9+6+4$ = $-18+6+4$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $10$⋅( $-3$) + c

$-8$ = $-30$ + c | + $30$

$22$ = c

also c= $22$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $10$⋅x + $22$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x-2+0$

= $-4x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 1-2$

= $-4-2$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 1^2-2\cdot 1+4$ = $-2\cdot 1-2+4$ = $-2-2+4$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-6$⋅ $1$ + c

0 = $-6$ + c | + $6$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $6$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|-8) mit der zugehörigen Tangente: $10x+22$

B(1|0) mit der zugehörigen Tangente: $-6x+6$