Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3}{x}^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2+1$

= $-2\cdot 4+1$

= $-8+1$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{2}{3}\cdot 2^3+2$ = $-\frac{2}{3}\cdot 8+2$ = $-\frac{16}{3}+2$ = $-\frac{16}{3}+\frac{6}{3}$ = $-\frac{10}{3}$ ≈ -3.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{10}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{10}{3}$ = $-7$⋅ $2$ + c

$-\frac{10}{3}$ = $-14$ + c | + $14$

$\frac{32}{3}$ = c

also c= $\frac{32}{3}$ ≈ 10.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x + $\frac{32}{3}$ oder y=-7x +10.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(3x-6\right)}^3-4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-9{\left(3x-6\right)}^2·\left(3+0\right)-4$

= $-9{\left(3x-6\right)}^2·\left(3\right)-4$

= $-27{\left(3x-6\right)}^2-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-27\cdot {\left(3\cdot 1-6\right)}^2-4$

= $-27\cdot {\left(3-6\right)}^2-4$

= $-27\cdot {\left(-3\right)}^2-4$

= $-27\cdot 9-4$

= $-243-4$

= $-247$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-247$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(3\cdot 1-6\right)}^3-4\cdot 1$ = $-3\cdot {\left(3-6\right)}^3-4$ = $-3\cdot {\left(-3\right)}^3-4$ = $-3\cdot \left(-27\right)-4$ = $81-4$ = $77$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $77$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$77$ = $-247$⋅$1$ + c

$77$ = $-247$ + c | + $247$

$324$ = c

also c= $324$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-247$⋅x + $324$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x·e^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2·1·e^{x-1}+2x·e^{x-1}·1$

= $2e^{x-1}+2x·e^{x-1}$

= $e^{x-1}·\left(2x+2\right)$

= $\left(2x+2\right)·e^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $e^{1-1}·\left(2\cdot 1+2\right)$

= $e^0·\left(2+2\right)$

= $1·4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2·1·e^{1-1}$ = $2·1·e^0$ = $2·1·1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $4$⋅ $1$ + c

$2$ = $4$ + c | $-4$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·3x^2·e^x-2x^3·e^x$

= $-6x^2·e^x-2x^3·e^x$

= $e^x·\left(-2x^3-6x^2\right)$

= $\left(-2x^3-6x^2\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $e^{-1}·\left(-2\cdot {\left(-1\right)}^3-6\cdot {\left(-1\right)}^2\right)$

= $e^{-1}·\left(-2\cdot \left(-1\right)-6\cdot 1\right)$

= $e^{-1}·\left(2-6\right)$

= $e^{-1}·\left(-4\right)$

= $-4e^{-1}$

≈ -1.47

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4e^{-1}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·{\left(-1\right)}^3·e^{-1}$ = $2e^{-1}$ ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2e^{-1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^{-1}$ = $-4e^{-1}$⋅ $-1$ + c

$2e^{-1}$ = $4e^{-1}$ + c | $-4e^{-1}$

$-2e^{-1}$ = c

also c= $-2e^{-1}$ ≈ -0.74

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4e^{-1}$⋅x $-2e^{-1}$ oder y=-1.47x -0.74

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3$

= $2\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n=-

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y=$-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot 1+3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2+3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ ≈ 6.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $2+\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2+\frac{3}{2}\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$2+\frac{3}{2}\pi$ = $-\frac{1}{6}\pi$ + c | + $\frac{1}{6}\pi$

$2+\frac{5}{3}\pi$ = c

also c= $2+\frac{5}{3}\pi$ ≈ 7.24

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y=$-\frac{1}{3}$⋅x + $2+\frac{5}{3}\pi$ oder y=-0.33x +7.24

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1.5|$-2$) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentsteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1.5|$-2$) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $3u^2-2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

$-2$ = $\left(3u^2-2u-2\right)·\left(\mathrm{1,5}-u\right)$ + $u^3-u^2-2u+1$ | +$2$

$\left(3u^2-2u-2\right)·\left(\mathrm{1,5}-u\right)+\left(u^3-u^2-2u+1\right)+2$ = 0

$-3u^3+\mathrm{6,5}{u}^2-u-3+\left(u^3-u^2-2u+1\right)+2$ = 0

$-2u^3+5.5u^2-3u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-2u^3+5.5u^2-3u+0$	=	0
$-2u^3+5.5u^2-3u$	=	0
$u\left(-2u^2+\mathrm{5,5}u-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,75}$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x-2+0$

= $3x^2-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2-2\cdot 0-2$

= $3\cdot 0+0-2$

= $0+0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^3-0^2-2\cdot 0+1$ = $0-0+0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-2$⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $1$

An der Stelle x= $\mathrm{0,75}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x-2+0$

= $3x^2-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,75}}^2-2\cdot \mathrm{0,75}-2$

= $3\cdot \mathrm{0,5625}-\mathrm{1,5}-2$

= $\mathrm{1,6875}-\mathrm{1,5}-2$

= $-\mathrm{1,8125}$

≈ -1.81

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,8125}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,75</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,75}}^3-{\mathrm{0,75}}^2-2\cdot \mathrm{0,75}+1$ = $\mathrm{0,421875}-\mathrm{0,5625}-\mathrm{1,5}+1$ = $-\mathrm{0,640625}$ ≈ -0.64

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,75}$| $-\mathrm{0,640625}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\mathrm{0,640625}$ = $-\mathrm{1,8125}$⋅ $\mathrm{0,75}$ + c

$-\mathrm{0,640625}$ = $-\mathrm{1,359375}$ + c | + $1.359375$

$\mathrm{0,71875}$ = c

also c= $\mathrm{0,71875}$ ≈ 0.72

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,8125}$⋅x + $\mathrm{0,71875}$ oder y=-1.81x +0.72

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-x^2-2x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-2x-2+0$

= $3x^2-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\text{m = f'( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^2-2\cdot 2-2$

= $3\cdot 4-4-2$

= $12-4-2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2^3-2^2-2\cdot 2+1$ = $8-4-4+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $6$⋅ $2$ + c

$1$ = $12$ + c | $-12$

$-11$ = c

also c= $-11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-11$