Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left(\frac{5}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot 1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{5}{2}\pi \right)+3$ = $2\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{5}{2}\pi$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-2$⋅ $\frac{5}{2}\pi$ + c

$3$ = $-5\pi$ + c | + $5\pi$

$3+5\pi$ = c

also c= $3+5\pi$ ≈ 18.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x + $3+5\pi$ oder y=-2x +18.71

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos \left(2x+\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(2x+\frac{1}{2}\pi \right)·\left(2+0\right)$

= $-\sin \left(2x+\frac{1}{2}\pi \right)·2$

= $-2\cdot \sin \left(2x+\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \sin \left(2\cdot \left(0\right)+\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot \sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot 1$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(2\cdot \left(0\right)+\frac{1}{2}\pi \right)$ = $\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅ $0$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-\left(x+3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{3}{2}{e}^{-\left(-3+3\right)}$

= $-\frac{3}{2}{e}^{-1·0}$

= $-\frac{3}{2}{e}^0$

= $-\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-\left(-3+3\right)}$ = $\frac{3}{2}{e}^{-1·0}$ = $\frac{3}{2}{e}^0$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $-\frac{3}{2}$⋅( $-3$) + c

$\frac{3}{2}$ = $\frac{9}{2}$ + c | $-\frac{9}{2}$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{2}$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x-4\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{\mathrm{0,5}x}+\left(3x-4\right)·e^{\mathrm{0,5}x}·\mathrm{0,5}$

= $3e^{\mathrm{0,5}x}+\left(3x-4\right)·\mathrm{0,5}{e}^{\mathrm{0,5}x}$

= $3e^{\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}\left(3x-4\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(3+\mathrm{1,5}x-2\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{1,5}x+1\right)$

= $\left(\mathrm{1,5}x+1\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}·\left(\mathrm{1,5}\cdot 2+1\right)$

= $e·\left(3+1\right)$

= $e·4$

= $4e$

≈ 10.87

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3\cdot 2-4\right)·e^{\mathrm{0,5}\cdot 2}$ = $\left(6-4\right)·e$ = $2·e$ = $2e$ ≈ 5.44

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $2e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e$ = $4e$⋅ $2$ + c

$2e$ = $8e$ + c | $-8e$

$-6e$ = c

also c= $-6e$ ≈ -16.31

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4e$⋅x $-6e$ oder y=10.87x -16.31

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2+0$

= $\frac{3}{2}{x}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $\frac{3}{2}\cdot 1$

= $\frac{3}{2}$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{2}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{2}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^3+2$ = $\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)+2$ = $-\frac{1}{2}+2$ = $-\frac{1}{2}+\frac{4}{2}$ = $\frac{3}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{3}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{2}$ = $-\frac{2}{3}$⋅( $-1$) + c

$\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{3}$ + c | $-\frac{2}{3}$

$\frac{5}{6}$ = c

also c= $\frac{5}{6}$ ≈ 0.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{2}{3}$⋅x + $\frac{5}{6}$ oder y=-0.67x +0.83

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|19) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|19) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

19 = $\left(-10u-1\right)·\left(0-u\right)$ + $-5u^2-u-1$ | -19

$-\left(-10u-1\right)u-5u^2-u-1-19$ = 0

$10u^2+u-5u^2-u-1-19$ = 0

$5u^2+0-20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2+0-20$	=	0
$5u^2-20$	=	0	| $+20$
$5u^2$	=	$20$	|:$5$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-1+0$

= $-10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-2\right)-1$

= $20-1$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)-1$ = $-5\cdot 4+2-1$ = $-20+2-1$ = $-19$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-19$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-19$ = $19$⋅( $-2$) + c

$-19$ = $-38$ + c | + $38$

$19$ = c

also c= $19$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x + $19$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-1+0$

= $-10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 2-1$

= $-20-1$

= $-21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 2^2-2-1$ = $-5\cdot 4-2-1$ = $-20-2-1$ = $-23$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-23$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-23$ = $-21$⋅ $2$ + c

$-23$ = $-42$ + c | + $42$

$19$ = c

also c= $19$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-21$⋅x + $19$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-19) mit der zugehörigen Tangente: $19x+19$

B(2|-23) mit der zugehörigen Tangente: $-21x+19$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{5,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{5,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{5,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{5,4}u\right)u-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{5,4}{u}^2-u^3+\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,7}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,7}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,7}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,35}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,35}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,7}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,35</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,35}}^2+\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{1,35}$

= $-3\cdot \mathrm{1,8225}+\mathrm{7,29}$

= $-\mathrm{5,4675}+\mathrm{7,29}$

= $\mathrm{1,8225}$

≈ 1.82

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,8225}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,35</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,35}}^3+\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{1,35}}^2$ = $-\mathrm{2,4604}+\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{1,8225}$ = $\mathrm{2,4604}$ ≈ 2.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,35}$| $\mathrm{2,4604}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,4604}$ = $\mathrm{1,8225}$⋅ $\mathrm{1,35}$ + c

$\mathrm{2,4604}$ = $\mathrm{2,4604}$ + c | $-\mathrm{2,4604}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,8225}$⋅x +0 oder y=1.82x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.35|2.46) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{1,82}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,8225}x$	=	$\mathrm{3,916}$	|:$\mathrm{1,8225}$
$x$	=	$\mathrm{2,1487}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.149.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{9,477}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,019}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{9,477}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{9,477}$ = $\mathrm{8,019}$ ≈ 8.02

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,019}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,019}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{8,019}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{10,206}$ = c

also c= $\mathrm{10,206}$ ≈ 10.21

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{10,206}$ oder y=-2.43x +10.21

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{10,206}$	=	0	| $-\mathrm{10,206}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{10,206}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{4,2}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.2.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x+2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u+2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

4 = $\left(6u+2\right)·\left(-3-u\right)$ + $3u^2+2u-5$ | -4

$\left(6u+2\right)\left(-3-u\right)+3u^2+2u-5-4$ = 0

$-6u^2-20u-6+3u^2+2u-5-4$ = 0

$-3u^2-18u-15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2-18u-15$ = 0 |:3

$-u^2-6u-5$ = 0

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+2+0$

= $6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-5\right)+2$

= $-30+2$

= $-28$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-28$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-5\right)}^2+2\cdot \left(-5\right)-5$ = $3\cdot 25-10-5$ = $75-10-5$ = $60$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $60$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$60$ = $-28$⋅( $-5$) + c

$60$ = $140$ + c | $-140$

$-80$ = c

also c= $-80$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-28$⋅x $-80$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+2+0$

= $6x+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-1\right)+2$

= $-6+2$

= $-4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-1\right)}^2+2\cdot \left(-1\right)-5$ = $3\cdot 1-2-5$ = $3-2-5$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-4$⋅( $-1$) + c

$-4$ = $4$ + c | $-4$

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-4$⋅x $-8$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-5|60) mit der zugehörigen Tangente: $-28x-80$

B(-1|-4) mit der zugehörigen Tangente: $-4x-8$