Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3$

= $3\cdot 0+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $3\cdot \left(-1\right)+3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-3+3\cdot \left(\frac{3}{2}\pi \right)$ ≈ 11.14

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $-3+\frac{9}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3+\frac{9}{2}\pi$ = $3$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$-3+\frac{9}{2}\pi$ = $\frac{9}{2}\pi$ + c | $-\frac{9}{2}\pi$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{2}{2x-4}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(2x-4\right)}^2}·\left(2+0\right)$

= $-\frac{2}{{\left(2x-4\right)}^2}·\left(2\right)$

= $-\frac{4}{{\left(2x-4\right)}^2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>)}=$ $-\frac{4}{{\left(2\cdot 4-4\right)}^2}$

= $-\frac{4}{{\left(8-4\right)}^2}$

= $-\frac{4}{4^2}$

= $-4\cdot \left(\frac{1}{16}\right)$

= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow></math>)}=$ $\frac{2}{2\cdot 4-4}$ = $\frac{2}{8-4}$ = $\frac{2}{4}$ = $2\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$ = $\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B($4$| $\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{2}$ = $-\frac{1}{4}$⋅$4$ + c

$\frac{1}{2}$ = $-1$ + c | + $1$

$\frac{3}{2}$ = c

also c= $\frac{3}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{1}{4}$⋅x + $\frac{3}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{x+2}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{x+2}·1$

= $\frac{1}{2}{e}^{x+2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2+2}$

= $\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{-2+2}$ = $\frac{1}{2}{e}^0$ = $\frac{1}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{1}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-2$) + c

$\frac{1}{2}$ = $-1$ + c | + $1$

$\frac{3}{2}$ = c

also c= $\frac{3}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{3}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-e^{x-1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-e^{x-1}·1$

= $-e^{x-1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{1-1}$

= $-e^0$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-e^{1-1}$ = $-e^0$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-1$⋅$1$ + c

$-1$ = $-1$ + c | + $1$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(\pi \right)+1$ = $2\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $\frac{1}{2}$⋅ $\pi$ + c

$1$ = $\frac{1}{2}\pi$ + c | $-\frac{1}{2}\pi$

$1-\frac{1}{2}\pi$ = c

also c= $1-\frac{1}{2}\pi$ ≈ -0.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $1-\frac{1}{2}\pi$ oder y=0.5x -0.57

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|-14) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|-14) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-14 = $\left(6u-5\right)·\left(2-u\right)$ + $3u^2-5u-4$ | +14

$\left(6u-5\right)\left(2-u\right)+3u^2-5u-4+14$ = 0

$-6u^2+17u-10+3u^2-5u-4+14$ = 0

$-3u^2+12u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2+12u+0$	=	0
$-3u^2+12u$	=	0
$3u\left(-u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-5x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-5+0$

= $6x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0-5$

= $0-5$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $3\cdot 0^2-5\cdot 0-4$ = $3\cdot 0+0-4$ = $0+0-4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-5$⋅0 + c

$-4$ = 0 + c

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x $-4$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2-5x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x-5+0$

= $6x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 4-5$

= $24-5$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 4^2-5\cdot 4-4$ = $3\cdot 16-20-4$ = $48-20-4$ = $24$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $24$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$24$ = $19$⋅ $4$ + c

$24$ = $76$ + c | $-76$

$-52$ = c

also c= $-52$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x $-52$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{1,6}}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}$

$-\mathrm{1,6}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{1,6}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\frac{45-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2+\frac{8}{\mathrm{0,2}u-2}·{\left(\mathrm{0,2}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{1,6}\left(45-u\right)+8\left(\mathrm{0,2}u-2\right)$ = 0

$-72+\mathrm{1,6}u+\mathrm{1,6}u-16$ = 0

$\mathrm{3,2}u-88$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{3,2}u-88$	=	0	| $+88$
$\mathrm{3,2}u$	=	$88$	|:$\mathrm{3,2}$
$u$	=	$\mathrm{27,5}$

L={ $\mathrm{27,5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 27.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{4}{27}$|$5$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{4}{27}$|$5$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($\frac{4}{27}$|$5$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$5$ = $\frac{-1}{u}·\left(\frac{4}{27}-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2+4$ | -$5$

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+4-5$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+4-5)·u$ = 0

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u+4·u-5·u$ = 0

$-\left(\frac{4}{27}-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u+4u-5u$ = 0

$-\frac{4}{27}+u+\frac{1}{2}{u}^3+4u-5u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-\frac{4}{27}$	=	0	| $+\frac{4}{27}$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$\frac{4}{27}$	|⋅$2$
$u^3$	=	$\frac{8}{27}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$	= $\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{2}{3}$) = $\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2+4$ = $\frac{38}{9}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{2}{3}$| $\frac{38}{9}$) bzw. Q(0.67|4.22)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{2,4}x+\mathrm{1,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{2,4}x+\mathrm{1,2}$	=	0	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{2,4}x$	=	$-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{2,4}$)
$x$	=	$\mathrm{0,5}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,5}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,5}$| $\mathrm{0,1}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,4}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,5}}^2+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,5}$

= $-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,6}$

= $-\mathrm{0,3}+\mathrm{0,6}$

= $\mathrm{0,3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,5</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,4}\cdot {\mathrm{0,5}}^3+\mathrm{0,6}\cdot {\mathrm{0,5}}^2$ = $-\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,125}+\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,25}$ = $-\mathrm{0,05}+\mathrm{0,15}$ = $\mathrm{0,1}$ ≈ 0.1

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,5}$| $\mathrm{0,1}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,1}$ = $\mathrm{0,3}$⋅$\mathrm{0,5}$ + c

$\mathrm{0,1}$ = $\mathrm{0,15}$ + c | $-\mathrm{0,15}$

$-\mathrm{0,05}$ = c

also c= $-\mathrm{0,05}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,3}$⋅x $-\mathrm{0,05}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,2}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,3}x-\mathrm{0,05}$	=	$\mathrm{1,2}$	| $+\mathrm{0,05}$
$\mathrm{0,3}x$	=	$\mathrm{1,25}$	|:$\mathrm{0,3}$
$x$	=	$\mathrm{4,1667}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 4.167.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-3|30) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-3|30) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

30 = $\left(8u-2\right)·\left(-3-u\right)$ + $4u^2-2u+4$ | -30

$\left(8u-2\right)\left(-3-u\right)+4u^2-2u+4-30$ = 0

$-8u^2-22u+6+4u^2-2u+4-30$ = 0

$-4u^2-24u-20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2-24u-20$ = 0 |:4

$-u^2-6u-5$ = 0

L={ $-5$; $-1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2+0$

= $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-5\right)-2$

= $-40-2$

= $-42$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-42$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-5\right)}^2-2\cdot \left(-5\right)+4$ = $4\cdot 25+10+4$ = $100+10+4$ = $114$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-5$| $114$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$114$ = $-42$⋅( $-5$) + c

$114$ = $210$ + c | $-210$

$-96$ = c

also c= $-96$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-42$⋅x $-96$

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2-2x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x-2+0$

= $8x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-1\right)-2$

= $-8-2$

= $-10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-10$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-1\right)}^2-2\cdot \left(-1\right)+4$ = $4\cdot 1+2+4$ = $4+2+4$ = $10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10$ = $-10$⋅( $-1$) + c

$10$ = $10$ + c | $-10$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-10$⋅x +0