Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\frac{1}{2}\pi$ = $1+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 2.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $1+\frac{1}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1+\frac{1}{2}\pi$ = $1$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$1+\frac{1}{2}\pi$ = $\frac{1}{2}\pi$ + c | $-\frac{1}{2}\pi$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(-x+1\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(-x+1\right)·\left(-1+0\right)$

= $-6\left(-x+1\right)·\left(-1\right)$

= $6\left(-x+1\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $6\left(-0+1\right)$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(-0+1\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(1\right)}^2$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $6$⋅$0$ + c

$-3$ = 0 + c

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{e}^{-\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{4}{e}^{-\left(x+1\right)}·\left(-1\right)$

= $\frac{1}{4}{e}^{-\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{-\left(-1+1\right)}$

= $\frac{1}{4}{e}^{-1·0}$

= $\frac{1}{4}{e}^0$

= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{4}{e}^{-\left(-1+1\right)}$ = $-\frac{1}{4}{e}^{-1·0}$ = $-\frac{1}{4}{e}^0$ = $-\frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-\frac{1}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$⋅( $-1$) + c

$-\frac{1}{4}$ = $-\frac{1}{4}$ + c | + $\frac{1}{4}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{4}$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3·e^{\mathrm{0,5}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}+x^3·e^{\mathrm{0,5}x}·\mathrm{0,5}$

= $3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}+x^3·\mathrm{0,5}{e}^{\mathrm{0,5}x}$

= $3x^2·e^{\mathrm{0,5}x}+\mathrm{0,5}{x}^3·e^{\mathrm{0,5}x}$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(3x^2+\mathrm{0,5}{x}^3\right)$

= $e^{\mathrm{0,5}x}·\left(\mathrm{0,5}{x}^3+3x^2\right)$

= $\left(\mathrm{0,5}{x}^3+3x^2\right)·e^{\mathrm{0,5}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}·\left(\mathrm{0,5}\cdot 0^3+3\cdot 0^2\right)$

= $e^0·\left(\mathrm{0,5}\cdot 0+3\cdot 0\right)$

= $1·\left(0+0\right)$

= $1·0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $0^3·e^{\mathrm{0,5}\cdot 0}$ = $0·e^0$ = $0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $-2\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-2\cdot \left(-1\right)$

= $2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+3$ = $2\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $-\frac{1}{2}$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$3$ = $-\frac{3}{4}\pi$ + c | + $\frac{3}{4}\pi$

$3+\frac{3}{4}\pi$ = c

also c= $3+\frac{3}{4}\pi$ ≈ 5.36

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{2}$⋅x + $3+\frac{3}{4}\pi$ oder y=-0.5x +5.36

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|14) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|14) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

14 = $\left(-10u-2\right)·\left(-1-u\right)$ + $-5u^2-2u-3$ | -14

$\left(-10u-2\right)\left(-1-u\right)-5u^2-2u-3-14$ = 0

$10u^2+12u+2-5u^2-2u-3-14$ = 0

$5u^2+10u-15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2+10u-15$ = 0 |:5

$u^2+2u-3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-2x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-2+0$

= $-10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-3\right)-2$

= $30-2$

= $28$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $28$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-3\right)}^2-2\cdot \left(-3\right)-3$ = $-5\cdot 9+6-3$ = $-45+6-3$ = $-42$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-42$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-42$ = $28$⋅( $-3$) + c

$-42$ = $-84$ + c | + $84$

$42$ = c

also c= $42$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $28$⋅x + $42$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2-2x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x-2+0$

= $-10x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 1-2$

= $-10-2$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^2-2\cdot 1-3$ = $-5\cdot 1-2-3$ = $-5-2-3$ = $-10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-10$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-10$ = $-12$⋅ $1$ + c

$-10$ = $-12$ + c | + $12$

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $2$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{3,6}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{3,6}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{3,6}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{3,6}u\right)u-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{3,6}{u}^2-u^3+\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,8}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,8}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,8}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,9}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,9}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,8}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,9}$

= $-3\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{3,24}$

= $-\mathrm{2,43}+\mathrm{3,24}$

= $\mathrm{0,81}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,81}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,9}}^3+\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,9}}^2$ = $-\mathrm{0,729}+\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,81}$ = $-\mathrm{0,729}+\mathrm{1,458}$ = $\mathrm{0,729}$ ≈ 0.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,9}$| $\mathrm{0,729}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,729}$ = $\mathrm{0,81}$⋅ $\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{0,729}$ = $\mathrm{0,729}$ + c | $-\mathrm{0,729}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,81}$⋅x +0

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,81}x$	=	$\mathrm{1,864}$	|:$\mathrm{0,81}$
$x$	=	$\mathrm{2,3012}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.301.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u+3-\frac{7}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $3$)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6+3$ = $3$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$| $3$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,8}{x}^3+\mathrm{1,68}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{3,36}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{4,8}x+\mathrm{3,36}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{4,8}x+\mathrm{3,36}$	=	0	| $-\mathrm{3,36}$
$-\mathrm{4,8}x$	=	$-\mathrm{3,36}$	|:($-\mathrm{4,8}$)
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{0,5488}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,8}{x}^3+\mathrm{1,68}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{3,36}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{3,36}\cdot \mathrm{0,7}$

= $-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{2,352}$

= $-\mathrm{1,176}+\mathrm{2,352}$

= $\mathrm{1,176}$

≈ 1.18

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,176}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,8}\cdot {\mathrm{0,7}}^3+\mathrm{1,68}\cdot {\mathrm{0,7}}^2$ = $-\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,343}+\mathrm{1,68}\cdot \mathrm{0,49}$ = $-\mathrm{0,2744}+\mathrm{0,8232}$ = $\mathrm{0,5488}$ ≈ 0.55

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{0,5488}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,5488}$ = $\mathrm{1,176}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{0,5488}$ = $\mathrm{0,8232}$ + c | $-\mathrm{0,8232}$

$-\mathrm{0,2744}$ = c

also c= $-\mathrm{0,2744}$ ≈ -0.27

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,176}$⋅x $-\mathrm{0,2744}$ oder y=1.18x -0.27

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{2,0976}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,176}x-\mathrm{0,2744}$	=	$\mathrm{2,0976}$	| $+\mathrm{0,2744}$
$\mathrm{1,176}x$	=	$\mathrm{2,372}$	|:$\mathrm{1,176}$
$x$	=	$\mathrm{2,017}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.017.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(-2u+3\right)·\left(1-u\right)$ + $-u^2+3u-1$ | -5

$\left(-2u+3\right)\left(1-u\right)-u^2+3u-1-5$ = 0

$2u^2-5u+3-u^2+3u-1-5$ = 0

$u^2-2u-3$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u-3$ = 0

L={ $-1$; $3$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+3+0$

= $-2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)+3$

= $2+3$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)-1$ = $-1-3-1$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $5$⋅( $-1$) + c

$-5$ = $-5$ + c | + $5$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x +0

An der Stelle x= $3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+3+0$

= $-2x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 3+3$

= $-6+3$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3^2+3\cdot 3-1$ = $-9+9-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $-3$⋅ $3$ + c

$-1$ = $-9$ + c | + $9$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $8$