Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\sin \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\cos \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3$

= $0+3$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\sin \left(\frac{1}{2}\pi \right)+3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ = $1+3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)$ ≈ 5.71

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $1+\frac{3}{2}\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1+\frac{3}{2}\pi$ = $3$⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$1+\frac{3}{2}\pi$ = $\frac{3}{2}\pi$ + c | $-\frac{3}{2}\pi$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x-2\right)}^2+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-6\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-12\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-24\cdot 0+24$

= $0+24$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^2+1$ = $-3\cdot {\left(0-2\right)}^2+1$ = $-3\cdot {\left(-2\right)}^2+1$ = $-3\cdot 4+1$ = $-12+1$ = $-11$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-11$ = $24$⋅$0$ + c

$-11$ = 0 + c

$-11$ = c

also c= $-11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-11$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-x}·\left(-1\right)$

= $-\frac{3}{5}{e}^{-x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-0}$

= $-\frac{3}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{3}{5}{e}^{-0}$ = $\frac{3}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $\frac{3}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{3}{5}$ = $-\frac{3}{5}$⋅0 + c

$\frac{3}{5}$ = 0 + c

$\frac{3}{5}$ = c

also c= $\frac{3}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{5}$⋅x + $\frac{3}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2e^{-x+1}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-x+1}·\left(-1\right)$

= $2e^{-x+1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{-1+1}$

= $2e^0$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-1+1}$ = $-2e^0$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = $2$⋅$1$ + c

$-2$ = $2$ + c | $-2$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-x+0$

= $-x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 1^2-3$ = $-\frac{1}{2}\cdot 1-3$ = $-\frac{1}{2}-3$ = $-\frac{1}{2}-\frac{6}{2}$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $1$⋅ $1$ + c

$-\frac{7}{2}$ = $1$ + c | $-1$

$-\frac{9}{2}$ = c

also c= $-\frac{9}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $1$⋅x $-\frac{9}{2}$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $6x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|31) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|31) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $6u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

31 = $\left(6u+1\right)·\left(-4-u\right)$ + $3u^2+u-1$ | -31

$\left(6u+1\right)\left(-4-u\right)+3u^2+u-1-31$ = 0

$-6u^2-25u-4+3u^2+u-1-31$ = 0

$-3u^2-24u-36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-3u^2-24u-36$ = 0 |:3

$-u^2-8u-12$ = 0

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+1+0$

= $6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-6\right)+1$

= $-36+1$

= $-35$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-35$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-6\right)}^2-6-1$ = $3\cdot 36-6-1$ = $108-6-1$ = $101$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $101$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$101$ = $-35$⋅( $-6$) + c

$101$ = $210$ + c | $-210$

$-109$ = c

also c= $-109$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-35$⋅x $-109$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^2+x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x+1+0$

= $6x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot \left(-2\right)+1$

= $-12+1$

= $-11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot {\left(-2\right)}^2-2-1$ = $3\cdot 4-2-1$ = $12-2-1$ = $9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$9$ = $-11$⋅( $-2$) + c

$9$ = $22$ + c | $-22$

$-13$ = c

also c= $-13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-11$⋅x $-13$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-6|101) mit der zugehörigen Tangente: $-35x-109$

B(-2|9) mit der zugehörigen Tangente: $-11x-13$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{4,8}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{4,8}u\right)u-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{4,8}{u}^2-u^3+\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{2,4}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{2,4}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,2}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,2}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{2,4}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,2}}^2+\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{1,2}$

= $-3\cdot \mathrm{1,44}+\mathrm{5,76}$

= $-\mathrm{4,32}+\mathrm{5,76}$

= $\mathrm{1,44}$

≈ 1.44

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{1,44}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,2}}^3+\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{1,2}}^2$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{1,44}$ = $-\mathrm{1,728}+\mathrm{3,456}$ = $\mathrm{1,728}$ ≈ 1.73

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,2}$| $\mathrm{1,728}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,44}$⋅ $\mathrm{1,2}$ + c

$\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,728}$ + c | $-\mathrm{1,728}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{1,44}$⋅x +0 oder y=1.44x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.2|1.728) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{1,44}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{1,44}x$	=	$\mathrm{3,048}$	|:$\mathrm{1,44}$
$x$	=	$\mathrm{2,1167}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.117.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,25}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $2$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{2,25}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{2,25}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{9}{4}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{18}{8}$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$2$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{19}{8}$ = c

also c= $\frac{19}{8}$ ≈ 2.38

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{19}{8}$ oder y=-0.75x +2.38

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\frac{19}{8}$	=	0	|⋅ 8
$8\left(-\frac{3}{4}x+\frac{19}{8}\right)$	=	0
$-6x+19$	=	0	| $-19$
$-6x$	=	$-19$	|:($-6$)
$x$	=	$\frac{19}{6}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.167.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-7) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-7) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-7 = $\left(-4u+4\right)·\left(-2-u\right)$ + $-2u^2+4u+1$ | +7

$\left(-4u+4\right)\left(-2-u\right)-2u^2+4u+1+7$ = 0

$4u^2+4u-8-2u^2+4u+1+7$ = 0

$2u^2+8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2+8u+0$	=	0
$2u^2+8u$	=	0
$2u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+4+0$

= $-4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \left(-4\right)+4$

= $16+4$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)+1$ = $-2\cdot 16-16+1$ = $-32-16+1$ = $-47$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-47$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-47$ = $20$⋅( $-4$) + c

$-47$ = $-80$ + c | + $80$

$33$ = c

also c= $33$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x + $33$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+4x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+4+0$

= $-4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-4\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0^2+4\cdot 0+1$ = $-2\cdot 0+0+1$ = $0+0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $4$⋅0 + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $1$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-4|-47) mit der zugehörigen Tangente: $20x+33$

B(0|1) mit der zugehörigen Tangente: $4x+1$