Mathebattle EduRandomtasks

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\cos (x) + 4 x$ an der Stelle x= $- π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\cos (x) + 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- \sin (x) + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- π) =$ $- \sin ((- π)) + 4$

= $- 0 + 4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- π) =$ $\cos ((- π)) + 4 \cdot (- π)$ = $- 1 + 4 \cdot (- π)$ ≈ -13.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $- π$ | $- 1 - 4 π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1 - 4 π$ = $4$ ⋅( $- π$ ) + c

$- 1 - 4 π$ = $- 4 π$ + c | + $4 π$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x $- 1$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ ${(- 3 x + 4)}^{2}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ ${(- 3 x + 4)}^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $2 (- 3 x + 4) \cdot (- 3 + 0)$

= $2 (- 3 x + 4) \cdot (- 3)$

= $- 6 (- 3 x + 4)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 6 (- 3 \cdot 2 + 4)$

= $- 6 (- 6 + 4)$

= $- 6 \cdot (- 2)$

= $12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $12$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ ${(- 3 \cdot 2 + 4)}^{2}$ = ${(- 6 + 4)}^{2}$ = ${(- 2)}^{2}$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $12$ ⋅ $2$ + c

$4$ = $24$ + c | $- 24$

$- 20$ = c

also c= $- 20$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $12$ ⋅x $- 20$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 1}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $2 x \cdot e^{x - 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{x - 1} + 2 x \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $2 e^{x - 1} + 2 x \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (2 + 2 x)$

= $e^{x - 1} \cdot (2 x + 2)$

= $(2 x + 2) \cdot e^{x - 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{1 - 1} \cdot (2 \cdot 1 + 2)$

= $e^{0} \cdot (2 + 2)$

= $1 \cdot 4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $2 \cdot 1 \cdot e^{1 - 1}$ = $2 \cdot 1 \cdot e^{0}$ = $2 \cdot 1 \cdot 1$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $4$ ⋅ $1$ + c

$2$ = $4$ + c | $- 4$

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x $- 2$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x^{3} \cdot e^{0,6 x}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} \cdot e^{0,6 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} \cdot e^{0,6 x} - x^{3} \cdot e^{0,6 x} \cdot 0,6$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{0,6 x} - x^{3} \cdot 0,6 e^{0,6 x}$

= $- 3 x^{2} \cdot e^{0,6 x} - 0,6 x^{3} \cdot e^{0,6 x}$

= $e^{0,6 x} \cdot (- 0,6 x^{3} - 3 x^{2})$

= $(- 0,6 x^{3} - 3 x^{2}) \cdot e^{0,6 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $e^{0,6 \cdot 2} \cdot (- 0,6 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2})$

= $e^{1,2} \cdot (- 0,6 \cdot 8 - 3 \cdot 4)$

= $e^{1,2} \cdot (- 4,8 - 12)$

= $e^{1,2} \cdot (- 16,8)$

= $- 16,8 e^{1,2}$

≈ -55.78

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 16,8 e^{1,2}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2^{3} \cdot e^{0,6 \cdot 2}$ = $- 8 \cdot e^{1,2}$ = $- 8 e^{1,2}$ ≈ -26.56

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 8 e^{1,2}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 8 e^{1,2}$ = $- 16,8 e^{1,2}$ ⋅ $2$ + c

$- 8 e^{1,2}$ = $- 33,6 e^{1,2}$ + c | + $33,6 e^{1,2}$

$25,6 e^{1,2}$ = c

also c= $25,6 e^{1,2}$ ≈ 84.99

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 16,8 e^{1,2}$ ⋅x + $25,6 e^{1,2}$ oder y=-55.78x +84.99

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 2$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{3} - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $15 x^{2} + 0$

= $15 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $15 \cdot {(- 2)}^{2}$

= $15 \cdot 4$

= $60$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{60}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{60}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $5 \cdot {(- 2)}^{3} - 2$ = $5 \cdot (- 8) - 2$ = $- 40 - 2$ = $- 42$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 42$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 42$ = $- \frac{1}{60}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 42$ = $\frac{1}{30}$ + c | $- \frac{1}{30}$

$- \frac{1261}{30}$ = c

also c= $- \frac{1261}{30}$ ≈ -42.03

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{60}$ ⋅x $- \frac{1261}{30}$ oder y=-0.02x -42.03

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(-1|7) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x - 3$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x - 1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|7) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|7) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u - 1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

7 = $(- 6 u - 1) \cdot (- 1 - u)$ + $- 3 u^{2} - u - 3$ | -7

$(- 6 u - 1) \cdot (- 1 - u) - 3 u^{2} - u - 3 - 7$ = 0

$6 u^{2} + 7 u + 1 - 3 u^{2} - u - 3 - 7$ = 0

$3 u^{2} + 6 u - 9$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} + 6 u - 9

= 0 |:3

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

L={ $- 3$ ; $1$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 3$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 1 + 0$

= $- 6 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 3) =$ $- 6 \cdot (- 3) - 1$

= $18 - 1$

= $17$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $17$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 3) =$ $- 3 \cdot {(- 3)}^{2} - (- 3) - 3$ = $- 3 \cdot 9 + 3 - 3$ = $- 27 + 3 - 3$ = $- 27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 3$ | $- 27$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 27$ = $17$ ⋅( $- 3$ ) + c

$- 27$ = $- 51$ + c | + $51$

$24$ = c

also c= $24$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $17$ ⋅x + $24$

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x - 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 1 + 0$

= $- 6 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 6 \cdot 1 - 1$

= $- 6 - 1$

= $- 7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 3 \cdot 1^{2} - 1 - 3$ = $- 3 \cdot 1 - 1 - 3$ = $- 3 - 1 - 3$ = $- 7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 7$ = $- 7$ ⋅ $1$ + c

$- 7$ = $- 7$ + c | + $7$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 7$ ⋅x +0

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|-27) mit der zugehörigen Tangente: $17 x + 24$

B(1|-7) mit der zugehörigen Tangente: $- 7 x$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{8}{0,2 x - 1}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (45|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{1,6}{{(0,2 x - 1)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 1)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 1)}^{2}} \cdot (45 - u)$ + $\frac{8}{0,2 u - 1}$

$- 1,6 \frac{45 - u}{{(0,2 u - 1)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 1}$ = 0 | ⋅ ${(0,2 u - 1)}^{2}$

$(- 1,6 \frac{45 - u}{{(0,2 u - 1)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 1}) \cdot {(0,2 u - 1)}^{2}$ = 0

$- 1,6 \frac{45 - u}{{(0,2 u - 1)}^{2}} \cdot {(0,2 u - 1)}^{2} + \frac{8}{0,2 u - 1} \cdot {(0,2 u - 1)}^{2}$ = 0

$- 1,6 (45 - u) + 8 (0,2 u - 1)$ = 0

$- 72 + 1,6 u + 1,6 u - 8$ = 0

$3,2 u - 80$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3,2 u - 80$	=	0	\| $+ 80$
$3,2 u$	=	$80$	\|: $3,2$
$u$	=	$25$

L={ $25$ }

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(25|2)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{3} x^{2} + 4$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $\frac{3}{4}$ | $\frac{11}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{11}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (\frac{3}{4} - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2} + 4$ | - $\frac{11}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 4 - \frac{11}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} + 4 - \frac{11}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{\frac{3}{4} - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u + 4 \cdot \frac{2}{3} u - \frac{11}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (\frac{3}{4} - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u + \frac{8}{3} u - \frac{11}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{4} + u + \frac{2}{9} u^{3} + \frac{8}{3} u - \frac{11}{3} u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{4}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - \frac{3}{4}$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - \frac{3}{4}$	=	0	\| $+ \frac{3}{4}$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$\frac{3}{4}$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$\frac{27}{8}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$	= $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{3}{2}$ ) = $\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2} + 4$ = $\frac{19}{4}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{3}{2}$ | $\frac{19}{4}$ ) bzw. Q(1.5|4.75)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 3 x^{2} + 9$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 9$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $1$ | $7$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 9$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 9$ = $1 - 3 \cdot 1 + 9$ = $1 - 3 + 9$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $7$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $- 3$ ⋅ $1$ + c

$7$ = $- 3$ + c | + $3$

$10$ = c

also c= $10$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $10$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 3 x + 10$	=	0	\| $- 10$
$- 3 x$	=	$- 10$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$\frac{10}{3}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.333.