Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-12x^2+0$

= $-12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-12\cdot {\left(-2\right)}^2$

= $-12\cdot 4$

= $-48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-48$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^3-2$ = $-4\cdot \left(-8\right)-2$ = $32-2$ = $30$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $30$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$30$ = $-48$⋅( $-2$) + c

$30$ = $96$ + c | $-96$

$-66$ = c

also c= $-66$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-48$⋅x $-66$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3{\left(2x-2\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $-6\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-12\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-12\left(2\cdot 2-2\right)$

= $-12\left(4-2\right)$

= $-12·2$

= $-24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-3\cdot {\left(2\cdot 2-2\right)}^2$ = $-3\cdot {\left(4-2\right)}^2$ = $-3\cdot 2^2$ = $-3\cdot 4$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $-24$⋅$2$ + c

$-12$ = $-48$ + c | + $48$

$36$ = c

also c= $36$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-24$⋅x + $36$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·1·e^x-2x·e^x$

= $-2e^x-2x·e^x$

= $e^x·\left(-2x-2\right)$

= $\left(-2x-2\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^0·\left(-2\cdot 0-2\right)$

= $1·\left(0-2\right)$

= $1·\left(-2\right)$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2·0·e^0$ = $-2·0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-2$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^3·e^{\mathrm{0,1}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·3x^2·e^{\mathrm{0,1}x}-2x^3·e^{\mathrm{0,1}x}·\mathrm{0,1}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,1}x}-2x^3·\mathrm{0,1}{e}^{\mathrm{0,1}x}$

= $-6x^2·e^{\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}{x}^3·e^{\mathrm{0,1}x}$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(-6x^2-\mathrm{0,2}{x}^3\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}{x}^3-6x^2\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}{x}^3-6x^2\right)·e^{\mathrm{0,1}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}·\left(-\mathrm{0,2}\cdot 1^3-6\cdot 1^2\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}}·\left(-\mathrm{0,2}\cdot 1-6\cdot 1\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}}·\left(-\mathrm{0,2}-6\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}}·\left(-\mathrm{6,2}\right)$

= $-\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$

≈ -6.85

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·1^3·e^{\mathrm{0,1}\cdot 1}$ = $-2·1·e^{\mathrm{0,1}}$ = $-2e^{\mathrm{0,1}}$ ≈ -2.21

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-2e^{\mathrm{0,1}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e^{\mathrm{0,1}}$ = $-\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$⋅ $1$ + c

$-2e^{\mathrm{0,1}}$ = $-\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$ + c | + $\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$

$\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$ = c

also c= $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$ ≈ 4.64

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{6,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$⋅x + $\mathrm{4,2}{e}^{\mathrm{0,1}}$ oder y=-6.85x +4.64

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \sin \left(x\right)+3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $3\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$3\cdot \cos \left(\pi \right)$

= $3\cdot \left(-1\right)$

= $-3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \sin \left(\pi \right)+3$ = $3\cdot 0+3$ = $0+3$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\pi$| $3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $\frac{1}{3}$⋅ $\pi$ + c

$3$ = $\frac{1}{3}\pi$ + c | $-\frac{1}{3}\pi$

$3-\frac{1}{3}\pi$ = c

also c= $3-\frac{1}{3}\pi$ ≈ 1.95

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{3}$⋅x + $3-\frac{1}{3}\pi$ oder y=0.33x +1.95

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|12) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|12) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

12 = $\left(-2u+4\right)·\left(2-u\right)$ + $-u^2+4u-1$ | -12

$\left(-2u+4\right)\left(2-u\right)-u^2+4u-1-12$ = 0

$2u^2-8u+8-u^2+4u-1-12$ = 0

$u^2-4u-5$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u-5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{{\left(-4\right)}^2-4·1·\left(-5\right)}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{16+20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+4\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

L={ $-1$; $5$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+4x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+4+0$

= $-2x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-1\right)+4$

= $2+4$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^2+4\cdot \left(-1\right)-1$ = $-1-4-1$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $6$⋅( $-1$) + c

$-6$ = $-6$ + c | + $6$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x +0

An der Stelle x= $5$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+4x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+4+0$

= $-2x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 5+4$

= $-10+4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>5</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5^2+4\cdot 5-1$ = $-25+20-1$ = $-6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$| $-6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-6$ = $-6$⋅ $5$ + c

$-6$ = $-30$ + c | + $30$

$24$ = c

also c= $24$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $24$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(40|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(40|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{0,4}}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·\left(40-u\right)$ + $\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}$

$-\mathrm{0,4}\frac{40-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{0,4}\frac{40-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}\right)·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\frac{40-u}{{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2+\frac{2}{\mathrm{0,2}u-3}·{\left(\mathrm{0,2}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{0,4}\left(40-u\right)+2\left(\mathrm{0,2}u-3\right)$ = 0

$-16+\mathrm{0,4}u+\mathrm{0,4}u-6$ = 0

$\mathrm{0,8}u-22$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{0,8}u-22$	=	0	| $+22$
$\mathrm{0,8}u$	=	$22$	|:$\mathrm{0,8}$
$u$	=	$\mathrm{27,5}$

L={ $\mathrm{27,5}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 27.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($54$|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($54$|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($54$|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(54-u\right)$ + $u^2+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}+u^2+1-\frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}+u^2+1-\frac{3}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{54-u}{u}·2u+u^2·2u+1·2u-\frac{3}{2}·2u$ = 0

$-\left(54-u\right)+2u^2·u+2u-3u$ = 0

$-54+u+2u^3+2u-3u$ = 0

$2u^3+0-54$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-54$	=	0
$2u^3-54$	=	0	| $+54$
$2u^3$	=	$54$	|:$2$
$u^3$	=	$27$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$) = $3^2+1$ = $10$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$| $10$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{1,2}x+\mathrm{1,2}$	=	0	| $-\mathrm{1,2}$
$-\mathrm{1,2}x$	=	$-\mathrm{1,2}$	|:($-\mathrm{1,2}$)
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{0,4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{0,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{1,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{0,6}\cdot 1^2+\mathrm{1,2}\cdot 1$

= $-\mathrm{0,6}\cdot 1+\mathrm{1,2}$

= $-\mathrm{0,6}+\mathrm{1,2}$

= $\mathrm{0,6}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,6}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,2}\cdot 1^3+\mathrm{0,6}\cdot 1^2$ = $-\mathrm{0,2}\cdot 1+\mathrm{0,6}\cdot 1$ = $-\mathrm{0,2}+\mathrm{0,6}$ = $\mathrm{0,4}$ ≈ 0.4

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{0,4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,4}$ = $\mathrm{0,6}$⋅$1$ + c

$\mathrm{0,4}$ = $\mathrm{0,6}$ + c | $-\mathrm{0,6}$

$-\mathrm{0,2}$ = c

also c= $-\mathrm{0,2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,6}$⋅x $-\mathrm{0,2}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,8}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,6}x-\mathrm{0,2}$	=	$\mathrm{1,8}$	| $+\mathrm{0,2}$
$\mathrm{0,6}x$	=	$2$	|:$\mathrm{0,6}$
$x$	=	$\mathrm{3,3333}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.333.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|10) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|10) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

10 = $\left(-2u+5\right)·\left(4-u\right)$ + $-u^2+5u-3$ | -10

$\left(-2u+5\right)\left(4-u\right)-u^2+5u-3-10$ = 0

$2u^2-13u+20-u^2+5u-3-10$ = 0

$u^2-8u+7$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·1·7}}{2\cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+5x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+5+0$

= $-2x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1+5$

= $-2+5$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2+5\cdot 1-3$ = $-1+5-3$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $3$⋅ $1$ + c

$1$ = $3$ + c | $-3$

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$⋅x $-2$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+5x-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+5+0$

= $-2x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 7+5$

= $-14+5$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-7^2+5\cdot 7-3$ = $-49+35-3$ = $-17$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $-17$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-17$ = $-9$⋅ $7$ + c

$-17$ = $-63$ + c | + $63$

$46$ = c

also c= $46$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $46$