Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4\cdot \cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\cdot \sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot \sin \left(0\right)+4$

= $-4\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $4\cdot \cos \left(0\right)+4\cdot \left(0\right)$ = $4\cdot 1+0$ = $4+0$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $4$⋅ $0$ + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x + $4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin (-3x+\pi )$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos (-3x+\pi )·\left(-3+0\right)$

= $2\cdot \cos (-3x+\pi )·\left(-3\right)$

= $-6\cdot \cos (-3x+\pi )$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-6\cdot \cos (-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$

= $-6\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-6\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin (-3\cdot \left(\frac{1}{2}\pi \right)+\pi )$ = $2\cdot \sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $2\cdot \left(-1\right)$ = $-2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{1}{2}\pi$| $-2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2$ = 0⋅ $\frac{1}{2}\pi$ + c

$-2$ = 0 + c

$-2$ = c

also c= $-2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x $-2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $\frac{6}{5}{e}^{-2x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $\frac{6}{5}{e}^{-2\cdot 0}$

= $\frac{6}{5}{e}^0$

= $\frac{6}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{6}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{3}{5}{e}^{-2\cdot 0}$ = $-\frac{3}{5}{e}^0$ = $-\frac{3}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{3}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{5}$ = $\frac{6}{5}$⋅0 + c

$-\frac{3}{5}$ = 0 + c

$-\frac{3}{5}$ = c

also c= $-\frac{3}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{6}{5}$⋅x $-\frac{3}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x·e^{\mathrm{0,8}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{\mathrm{0,8}x}-x·e^{\mathrm{0,8}x}·\mathrm{0,8}$

= $-e^{\mathrm{0,8}x}-x·\mathrm{0,8}{e}^{\mathrm{0,8}x}$

= $-e^{\mathrm{0,8}x}-\mathrm{0,8}x·e^{\mathrm{0,8}x}$

= $e^{\mathrm{0,8}x}·\left(-1-\mathrm{0,8}x\right)$

= $e^{\mathrm{0,8}x}·\left(-\mathrm{0,8}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,8}x-1\right)·e^{\mathrm{0,8}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,8}\cdot 2}·\left(-\mathrm{0,8}\cdot 2-1\right)$

= $e^{\mathrm{1,6}}·\left(-\mathrm{1,6}-1\right)$

= $e^{\mathrm{1,6}}·\left(-\mathrm{2,6}\right)$

= $-\mathrm{2,6}{e}^{\mathrm{1,6}}$

≈ -12.88

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,6}{e}^{\mathrm{1,6}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·e^{\mathrm{0,8}\cdot 2}$ = $-2·e^{\mathrm{1,6}}$ = $-2e^{\mathrm{1,6}}$ ≈ -9.91

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-2e^{\mathrm{1,6}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e^{\mathrm{1,6}}$ = $-\mathrm{2,6}{e}^{\mathrm{1,6}}$⋅ $2$ + c

$-2e^{\mathrm{1,6}}$ = $-\mathrm{5,2}{e}^{\mathrm{1,6}}$ + c | + $\mathrm{5,2}{e}^{\mathrm{1,6}}$

$\mathrm{3,2}{e}^{\mathrm{1,6}}$ = c

also c= $\mathrm{3,2}{e}^{\mathrm{1,6}}$ ≈ 15.85

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,6}{e}^{\mathrm{1,6}}$⋅x + $\mathrm{3,2}{e}^{\mathrm{1,6}}$ oder y=-12.88x +15.85

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\cos \left(x\right)+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\sin \left(x\right)+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-\sin \left(2\pi \right)+3$

= $-0+3$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $\cos \left(2\pi \right)+3\cdot \left(2\pi \right)$ = $1+3\cdot \left(2\pi \right)$ ≈ 19.85

Wir erhalten so also den Punkt B( $2\pi$| $1+6\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1+6\pi$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $2\pi$ + c

$1+6\pi$ = $-\frac{2}{3}\pi$ + c | + $\frac{2}{3}\pi$

$1+\frac{20}{3}\pi$ = c

also c= $1+\frac{20}{3}\pi$ ≈ 21.94

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $1+\frac{20}{3}\pi$ oder y=-0.33x +21.94

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|11) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|11) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

11 = $\left(-8u+4\right)·\left(0-u\right)$ + $-4u^2+4u-5$ | -11

$-\left(-8u+4\right)u-4u^2+4u-5-11$ = 0

$8u^2-4u-4u^2+4u-5-11$ = 0

$4u^2+0-16$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+0-16$	=	0
$4u^2-16$	=	0	| $+16$
$4u^2$	=	$16$	|:$4$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+4+0$

= $-8x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-2\right)+4$

= $16+4$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)-5$ = $-4\cdot 4-8-5$ = $-16-8-5$ = $-29$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-29$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-29$ = $20$⋅( $-2$) + c

$-29$ = $-40$ + c | + $40$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x + $11$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2+4x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x+4+0$

= $-8x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 2+4$

= $-16+4$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 2^2+4\cdot 2-5$ = $-4\cdot 4+8-5$ = $-16+8-5$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $-12$⋅ $2$ + c

$-13$ = $-24$ + c | + $24$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $11$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-29) mit der zugehörigen Tangente: $20x+11$

B(2|-13) mit der zugehörigen Tangente: $-12x+11$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{17,5}}{{\left(\mathrm{2,5}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(25|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(25|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{17,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{17,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·\left(25-u\right)$ + $\frac{7}{\mathrm{2,5}u-3}$

$-\mathrm{17,5}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{7}{\mathrm{2,5}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{17,5}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{7}{\mathrm{2,5}u-3}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{17,5}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2+\frac{7}{\mathrm{2,5}u-3}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{17,5}\left(25-u\right)+7\left(\mathrm{2,5}u-3\right)$ = 0

$-\mathrm{437,5}+\mathrm{17,5}u+\mathrm{17,5}u-21$ = 0

$35u-\mathrm{458,5}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$35u-\mathrm{458,5}$	=	0	| $+\mathrm{458,5}$
$35u$	=	$\mathrm{458,5}$	|:$35$
$u$	=	$\mathrm{13,1}$

L={ $\mathrm{13,1}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(13.1|0.235)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 13.1 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($8$|$4$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{2}u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($8$|$4$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}$ = $-\frac{2}{u}$

Wir können also P($8$|$4$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$4$ = $\frac{-1}{\frac{1}{2}u}·\left(8-u\right)$ + $\frac{1}{4}{u}^2+2$ | -$4$

$-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+2-4$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2}u$

$\left(-2\frac{8-u}{u}+\frac{1}{4}{u}^2+2-4\right)·\frac{1}{2}u$ = 0

$-2\frac{8-u}{u}·\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}{u}^2·\frac{1}{2}u+2·\frac{1}{2}u-4·\frac{1}{2}u$ = 0

$-\left(8-u\right)+\frac{1}{8}{u}^2·u+u-2u$ = 0

$-8+u+\frac{1}{8}{u}^3+u-2u$ = 0

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8}{u}^3+0-8$	=	0
$\frac{1}{8}{u}^3-8$	=	0	| $+8$
$\frac{1}{8}{u}^3$	=	$8$	|⋅$8$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $\frac{1}{4}\cdot 4^2+2$ = $6$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $6$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,592}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,16}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{2,592}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,592}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{2,592}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{2,592}$ = $\mathrm{2,16}$ ≈ 2.16

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{2,16}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{2,16}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{2,16}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{2,808}$ = c

also c= $\mathrm{2,808}$ ≈ 2.81

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{2,808}$ oder y=-1.08x +2.81

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{2,808}$	=	0	| $-\mathrm{2,808}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{2,808}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{2,6}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.6.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,935}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{9,477}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,935}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{10,935}$ = $\mathrm{9,477}$ ≈ 9.48

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{9,477}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{9,477}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{9,477}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{11,664}$ = c

also c= $\mathrm{11,664}$ ≈ 11.66

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{11,664}$ oder y=-2.43x +11.66

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{11,664}$	=	0	| $-\mathrm{11,664}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{11,664}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{4,8}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.8.