Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left((-\pi )\right)+4$

= $-3\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left((-\pi )\right)+4\cdot (-\pi )$ = $3\cdot \left(-1\right)+4\cdot (-\pi )$ = $-3+4\cdot (-\pi )$ ≈ -15.57

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\pi$| $-3-4\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3-4\pi$ = $4$⋅( $-\pi$) + c

$-3-4\pi$ = $-4\pi$ + c | + $4\pi$

$-3$ = c

also c= $-3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x $-3$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3{\left(-x+1\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9{\left(-x+1\right)}^2·\left(-1+0\right)$

= $9{\left(-x+1\right)}^2·\left(-1\right)$

= $-9{\left(-x+1\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-9\cdot {\left(-2+1\right)}^2$

= $-9\cdot {\left(-1\right)}^2$

= $-9\cdot 1$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $3\cdot {\left(-2+1\right)}^3$ = $3\cdot {\left(-1\right)}^3$ = $3\cdot \left(-1\right)$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-9$⋅$2$ + c

$-3$ = $-18$ + c | + $18$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $15$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-2x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-2x}·\left(-2\right)$

= $7e^{-2x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $7e^{-2\cdot 0}$

= $7e^0$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{7}{2}{e}^{-2\cdot 0}$ = $-\frac{7}{2}{e}^0$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $7$⋅0 + c

$-\frac{7}{2}$ = 0 + c

$-\frac{7}{2}$ = c

also c= $-\frac{7}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$⋅x $-\frac{7}{2}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(3x-9\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(3+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(3x-9\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $3e^{\mathrm{0,6}x}+\left(3x-9\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $3e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(3x-9\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(3+\mathrm{1,8}x-\mathrm{5,4}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{2,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,8}x-\mathrm{2,4}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-2\right)}·\left(\mathrm{1,8}\cdot \left(-2\right)-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,2}}·\left(-\mathrm{3,6}-\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,2}}·\left(-6\right)$

= $-6e^{-\mathrm{1,2}}$

≈ -1.81

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6e^{-\mathrm{1,2}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(3\cdot \left(-2\right)-9\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-2\right)}$ = $\left(-6-9\right)·e^{-\mathrm{1,2}}$ = $-15e^{-\mathrm{1,2}}$ ≈ -4.52

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-15e^{-\mathrm{1,2}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-15e^{-\mathrm{1,2}}$ = $-6e^{-\mathrm{1,2}}$⋅( $-2$) + c

$-15e^{-\mathrm{1,2}}$ = $12e^{-\mathrm{1,2}}$ + c | $-12e^{-\mathrm{1,2}}$

$-27e^{-\mathrm{1,2}}$ = c

also c= $-27e^{-\mathrm{1,2}}$ ≈ -8.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6e^{-\mathrm{1,2}}$⋅x $-27e^{-\mathrm{1,2}}$ oder y=-1.81x -8.13

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-2\right)+1$

= $-16+1$

= $-15$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{15}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{15}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^2-2$ = $4\cdot 4-2$ = $16-2$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $\frac{1}{15}$⋅( $-2$) + c

$14$ = $-\frac{2}{15}$ + c | + $\frac{2}{15}$

$\frac{212}{15}$ = c

also c= $\frac{212}{15}$ ≈ 14.13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{15}$⋅x + $\frac{212}{15}$ oder y=0.07x +14.13

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|-1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|-1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-1 = $\left(-2u-2\right)·\left(-2-u\right)$ + $-u^2-2u-5$ | +1

$\left(-2u-2\right)\left(-2-u\right)-u^2-2u-5+1$ = 0

$2u^2+6u+4-u^2-2u-5+1$ = 0

$u^2+4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2+4u+0$	=	0
$u^2+4u$	=	0
$u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot \left(-4\right)-2$

= $8-2$

= $6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)-5$ = $-16+8-5$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $6$⋅( $-4$) + c

$-13$ = $-24$ + c | + $24$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $6$⋅x + $11$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-2+0$

= $-2x-2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0-2$

= $0-2$

= $-2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-2$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2-2\cdot 0-5$ = $-0+0-5$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-2$⋅0 + c

$-5$ = 0 + c

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-2$⋅x $-5$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-4|-13) mit der zugehörigen Tangente: $6x+11$

B(0|-5) mit der zugehörigen Tangente: $-2x-5$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(20|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(20|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{22,5}}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·\left(20-u\right)$ + $\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}$

$-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$

$\left(-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{22,5}\frac{20-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2+\frac{9}{\mathrm{2,5}u-2}·{\left(\mathrm{2,5}u-2\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{22,5}\left(20-u\right)+9\left(\mathrm{2,5}u-2\right)$ = 0

$-450+\mathrm{22,5}u+\mathrm{22,5}u-18$ = 0

$45u-468$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$45u-468$	=	0	| $+468$
$45u$	=	$468$	|:$45$
$u$	=	$\frac{52}{5}$ = 10.4

L={ $\frac{52}{5}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(10.4|0.375)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 10.4 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|$\frac{1}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-6$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(3|$\frac{1}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-6}$ = $-\frac{1}{2u-6}$

Wir können also P(3|$\frac{1}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-6}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{1}{2}$ = $\frac{-1}{2u-6}·\left(3-u\right)$ + $u^2-6u$ | -$\frac{1}{2}$

$-\frac{3-u}{2u-6}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-6u-\frac{1}{2}$ = 0

$u^2-6u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-6u+0$	=	0
$u^2-6u$	=	0
$u\left(u-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $6$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-6\cdot 0$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0|0)

f( $6$) = $6^2-6\cdot 6$ = 0, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $6$|0)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{12,6}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-6$	=	0	| $+6$
$6x$	=	$6$	|:$6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($1$| $\mathrm{10,6}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-3x^2+\mathrm{12,6}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-6x+0$

= $3x^2-6x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1^2-6\cdot 1$

= $3\cdot 1-6$

= $3-6$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow> </math>)}=$ $1^3-3\cdot 1^2+\mathrm{12,6}$ = $1-3\cdot 1+\mathrm{12,6}$ = $1-3+\mathrm{12,6}$ = $\mathrm{10,6}$ ≈ 10.6

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $\mathrm{10,6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{10,6}$ = $-3$⋅$1$ + c

$\mathrm{10,6}$ = $-3$ + c | + $3$

$\mathrm{13,6}$ = c

also c= $\mathrm{13,6}$ ≈ 13.6

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x + $\mathrm{13,6}$ oder y=-3x +13.6

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-3x+\mathrm{13,6}$	=	0	| $-\mathrm{13,6}$
$-3x$	=	$-\mathrm{13,6}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{4,5333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.533.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,536}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,104}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,536}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{4,536}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{4,536}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{4,536}$ = $\mathrm{4,104}$ ≈ 4.1

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,104}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,104}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{4,104}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{4,752}$ = c

also c= $\mathrm{4,752}$ ≈ 4.75

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{4,752}$ oder y=-1.08x +4.75

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{4,752}$	=	0	| $-\mathrm{4,752}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{4,752}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{4,4}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.4.