Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+0$

= $9x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 2^2$

= $9\cdot 4$

= $36$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $36$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^3+2$ = $3\cdot 8+2$ = $24+2$ = $26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$26$ = $36$⋅ $2$ + c

$26$ = $72$ + c | $-72$

$-46$ = c

also c= $-46$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $36$⋅x $-46$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(2x-2\right)}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)$

= $-4\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-8\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-8\left(2\cdot 0-2\right)$

= $-8\left(0-2\right)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(2\cdot 0-2\right)}^2$ = $-2\cdot {\left(0-2\right)}^2$ = $-2\cdot {\left(-2\right)}^2$ = $-2\cdot 4$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $16$⋅$0$ + c

$-8$ = 0 + c

$-8$ = c

also c= $-8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$⋅x $-8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{2\left(x+1\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{2\left(x+1\right)}·2$

= $\frac{14}{5}{e}^{2\left(x+1\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{14}{5}{e}^{2\left(-1+1\right)}$

= $\frac{14}{5}{e}^{2·0}$

= $\frac{14}{5}{e}^0$

= $\frac{14}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{14}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{2\left(-1+1\right)}$ = $\frac{7}{5}{e}^{2·0}$ = $\frac{7}{5}{e}^0$ = $\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{7}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{5}$⋅( $-1$) + c

$\frac{7}{5}$ = $-\frac{14}{5}$ + c | + $\frac{14}{5}$

$\frac{21}{5}$ = c

also c= $\frac{21}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{14}{5}$⋅x + $\frac{21}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(2x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(2x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $2e^{\mathrm{0,6}x}+\left(2x-7\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $2e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(2x-7\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(2+\mathrm{1,2}x-\mathrm{4,2}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,2}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x-\mathrm{2,2}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}·\left(\mathrm{1,2}\cdot 0-\mathrm{2,2}\right)$

= $e^0·\left(0-\mathrm{2,2}\right)$

= $1·\left(-\mathrm{2,2}\right)$

= $-\mathrm{2,2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $\left(2\cdot 0-7\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}$ = $\left(0-7\right)·e^0$ = $-7·1$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-\mathrm{2,2}$⋅0 + c

$-7$ = 0 + c

$-7$ = c

also c= $-7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,2}$⋅x $-7$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3\cdot \cos \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3\cdot \sin \left(x\right)+0$

= $-3\cdot \sin \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-3\cdot \sin \left(\frac{3}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \left(-1\right)$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $3\cdot \cos \left(\frac{3}{2}\pi \right)+1$ = $3\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $\frac{3}{2}\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $\frac{3}{2}\pi$ + c

$1$ = $-\frac{1}{2}\pi$ + c | + $\frac{1}{2}\pi$

$1+\frac{1}{2}\pi$ = c

also c= $1+\frac{1}{2}\pi$ ≈ 2.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x + $1+\frac{1}{2}\pi$ oder y=-0.33x +2.57

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-6x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|14) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|14) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-6u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

14 = $\left(-6u-1\right)·\left(0-u\right)$ + $-3u^2-u+2$ | -14

$-\left(-6u-1\right)u-3u^2-u+2-14$ = 0

$6u^2+u-3u^2-u+2-14$ = 0

$3u^2+0-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3u^2+0-12$	=	0
$3u^2-12$	=	0	| $+12$
$3u^2$	=	$12$	|:$3$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot \left(-2\right)-1$

= $12-1$

= $11$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $11$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+2$ = $-3\cdot 4+2+2$ = $-12+2+2$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $11$⋅( $-2$) + c

$-8$ = $-22$ + c | + $22$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $11$⋅x + $14$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-x+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-1+0$

= $-6x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2-1$

= $-12-1$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2-2+2$ = $-3\cdot 4-2+2$ = $-12-2+2$ = $-12$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-12$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-12$ = $-13$⋅ $2$ + c

$-12$ = $-26$ + c | + $26$

$14$ = c

also c= $14$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x + $14$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|-8) mit der zugehörigen Tangente: $11x+14$

B(2|-12) mit der zugehörigen Tangente: $-13x+14$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{7,2}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{7,2}u\right)u-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{7,2}{u}^2-u^3+\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{3,6}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{3,6}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{1,8}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{1,8}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{3,6}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{7,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{1,8}}^2+\mathrm{7,2}\cdot \mathrm{1,8}$

= $-3\cdot \mathrm{3,24}+\mathrm{12,96}$

= $-\mathrm{9,72}+\mathrm{12,96}$

= $\mathrm{3,24}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{3,24}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1,8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{1,8}}^3+\mathrm{3,6}\cdot {\mathrm{1,8}}^2$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{3,24}$ = $-\mathrm{5,832}+\mathrm{11,664}$ = $\mathrm{5,832}$ ≈ 5.83

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{1,8}$| $\mathrm{5,832}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{3,24}$⋅ $\mathrm{1,8}$ + c

$\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{5,832}$ + c | $-\mathrm{5,832}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{3,24}$⋅x +0

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.8|5.832) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{3,24}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{3,24}x$	=	$\mathrm{7,912}$	|:$\mathrm{3,24}$
$x$	=	$\mathrm{2,442}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.442.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{4}{27}$|$1$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{4}{27}$|$1$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($\frac{4}{27}$|$1$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$1$ = $\frac{-1}{u}·\left(\frac{4}{27}-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2$ | -$1$

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2-1$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2-1)·u$ = 0

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u-1·u$ = 0

$-\left(\frac{4}{27}-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u-u$ = 0

$-\frac{4}{27}+u+\frac{1}{2}{u}^3-u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-\frac{4}{27}$	=	0	| $+\frac{4}{27}$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$\frac{4}{27}$	|⋅$2$
$u^3$	=	$\frac{8}{27}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$	= $\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{2}{3}$) = $\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{2}{9}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{2}{3}$| $\frac{2}{9}$) bzw. Q(0.67|0.22)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{9,792}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,8}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,8}$	=	0	| $+\mathrm{4,8}$
$6x$	=	$\mathrm{4,8}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,8}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,8}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{8,768}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,4}{x}^2+\mathrm{9,792}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,8}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,8}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,8}}^2-\mathrm{4,8}\cdot \mathrm{0,8}$

= $3\cdot \mathrm{0,64}-\mathrm{3,84}$

= $\mathrm{1,92}-\mathrm{3,84}$

= $-\mathrm{1,92}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,92}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,8</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,8}}^3-\mathrm{2,4}\cdot {\mathrm{0,8}}^2+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,64}+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{0,512}-\mathrm{1,536}+\mathrm{9,792}$ = $\mathrm{8,768}$ ≈ 8.77

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,8}$| $\mathrm{8,768}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,768}$ = $-\mathrm{1,92}$⋅$\mathrm{0,8}$ + c

$\mathrm{8,768}$ = $-\mathrm{1,536}$ + c | + $\mathrm{1,536}$

$\mathrm{10,304}$ = c

also c= $\mathrm{10,304}$ ≈ 10.3

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,92}$⋅x + $\mathrm{10,304}$ oder y=-1.92x +10.3

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,92}x+\mathrm{10,304}$	=	0	| $-\mathrm{10,304}$
$-\mathrm{1,92}x$	=	$-\mathrm{10,304}$	|:($-\mathrm{1,92}$)
$x$	=	$\mathrm{5,3667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.367.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,206}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,748}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{10,206}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{10,206}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{10,206}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{10,206}$ = $\mathrm{8,748}$ ≈ 8.75

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{8,748}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{8,748}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{8,748}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{10,935}$ = c

also c= $\mathrm{10,935}$ ≈ 10.94

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{10,935}$ oder y=-2.43x +10.94

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{10,935}$	=	0	| $-\mathrm{10,935}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{10,935}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{4,5}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.5.