Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2+2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{1}{2}x+0$

= $-\frac{1}{2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{2}\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-\frac{1}{4}\cdot 0^2+2$ = $-\frac{1}{4}\cdot 0+2$ = $0+2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = 0⋅0 + c

$2$ = 0 + c

$2$ = c

also c= $2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $2$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-{\left(2x-2\right)}^2-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\left(2x-2\right)·\left(2+0\right)+0$

= $-2\left(2x-2\right)·\left(2\right)$

= $-4\left(2x-2\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-8\cdot 2+8$

= $-16+8$

= $-8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-8$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-{\left(2\cdot 2-2\right)}^2-4$ = $-{\left(4-2\right)}^2-4$ = $-2^2-4$ = $-4-4$ = $-8$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-8$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8$ = $-8$⋅$2$ + c

$-8$ = $-16$ + c | + $16$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-8$⋅x + $8$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{e}^{-2\left(x-3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{3}{4}{e}^{-2\left(x-3\right)}·\left(-2\right)$

= $\frac{3}{2}{e}^{-2\left(x-3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{3}{2}{e}^{-2\left(3-3\right)}$

= $\frac{3}{2}{e}^{-2·0}$

= $\frac{3}{2}{e}^0$

= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{3}{4}{e}^{-2\left(3-3\right)}$ = $-\frac{3}{4}{e}^{-2·0}$ = $-\frac{3}{4}{e}^0$ = $-\frac{3}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$| $-\frac{3}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{2}$⋅ $3$ + c

$-\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{2}$ + c | $-\frac{9}{2}$

$-\frac{21}{4}$ = c

also c= $-\frac{21}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{3}{2}$⋅x $-\frac{21}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2e^{x-3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2e^{x-3}·1$

= $2e^{x-3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{1-3}$

= $2e^{-2}$

≈ 0.27

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2e^{-2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{1-3}$ = $2e^{-2}$ ≈ 0.27

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $2e^{-2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^{-2}$ = $2e^{-2}$⋅$1$ + c

$2e^{-2}$ = $2e^{-2}$ + c | $-2e^{-2}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2e^{-2}$⋅x +0 oder y=0.27x

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \sin \left(x\right)+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+0$

= $2\cdot \cos \left(x\right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$2\cdot \cos \left(3\pi \right)$

= $2\cdot \left(-1\right)$

= $-2$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \sin \left(3\pi \right)+1$ = $2\cdot 0+1$ = $0+1$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3\pi$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $\frac{1}{2}$⋅ $3\pi$ + c

$1$ = $\frac{3}{2}\pi$ + c | $-\frac{3}{2}\pi$

$1-\frac{3}{2}\pi$ = c

also c= $1-\frac{3}{2}\pi$ ≈ -3.71

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $1-\frac{3}{2}\pi$ oder y=0.5x -3.71

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-71) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|-71) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-71 = $\left(-10u+4\right)·\left(-4-u\right)$ + $-5u^2+4u+5$ | +71

$\left(-10u+4\right)\left(-4-u\right)-5u^2+4u+5+71$ = 0

$10u^2+36u-16-5u^2+4u+5+71$ = 0

$5u^2+40u+60$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2+40u+60$ = 0 |:5

$u^2+8u+12$ = 0

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4+0$

= $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-6\right)+4$

= $60+4$

= $64$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $64$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-6\right)}^2+4\cdot \left(-6\right)+5$ = $-5\cdot 36-24+5$ = $-180-24+5$ = $-199$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $-199$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-199$ = $64$⋅( $-6$) + c

$-199$ = $-384$ + c | + $384$

$185$ = c

also c= $185$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $64$⋅x + $185$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x+5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4+0$

= $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-2\right)+4$

= $20+4$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)+5$ = $-5\cdot 4-8+5$ = $-20-8+5$ = $-23$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $-23$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-23$ = $24$⋅( $-2$) + c

$-23$ = $-48$ + c | + $48$

$25$ = c

also c= $25$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x + $25$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(45|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(45|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{15}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·\left(45-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{2,5}u-3}$

$-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$

$\left(-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-3}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-15\frac{45-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{2,5}u-3}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-15\left(45-u\right)+6\left(\mathrm{2,5}u-3\right)$ = 0

$-675+15u+15u-18$ = 0

$30u-693$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$30u-693$	=	0	| $+693$
$30u$	=	$693$	|:$30$
$u$	=	$\frac{231}{10}$ = 23.1

L={ $\frac{231}{10}$}

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 23.1 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(1|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-2$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(1|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-2}$ = $-\frac{1}{2u-2}$

Wir können also P(1|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-2}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-2}·\left(1-u\right)$ + $u^2-2u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{1-u}{2u-2}+u^2-2u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-2u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-2u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-2u+0$	=	0
$u^2-2u$	=	0
$u\left(u-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-2\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $2$) = $2^2-2\cdot 2+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{0,24}{x}^2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{0,48}x$

$\text{f''(x)}=$ $-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,48}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$-\mathrm{1,2}x+\mathrm{0,48}$	=	0	| $-\mathrm{0,48}$
$-\mathrm{1,2}x$	=	$-\mathrm{0,48}$	|:($-\mathrm{1,2}$)
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,0256}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\mathrm{0,2}{x}^3+\mathrm{0,24}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\mathrm{0,6}{x}^2+\mathrm{0,48}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-\mathrm{0,6}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,4}$

= $-\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{0,192}$

= $-\mathrm{0,096}+\mathrm{0,192}$

= $\mathrm{0,096}$

≈ 0.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,096}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ $-\mathrm{0,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^3+\mathrm{0,24}\cdot {\mathrm{0,4}}^2$ = $-\mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,064}+\mathrm{0,24}\cdot \mathrm{0,16}$ = $-\mathrm{0,0128}+\mathrm{0,0384}$ = $\mathrm{0,0256}$ ≈ 0.03

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,0256}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,0256}$ = $\mathrm{0,096}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{0,0256}$ = $\mathrm{0,0384}$ + c | $-\mathrm{0,0384}$

$-\mathrm{0,0128}$ = c

also c= $-\mathrm{0,0128}$ ≈ -0.01

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,096}$⋅x $-\mathrm{0,0128}$ oder y=0.1x -0.01

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = $\mathrm{1,0512}$ (Gerade der möglichen Turmspitzen; also 1 Einheit (10m) über dem Hochplateau) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,096}x-\mathrm{0,0128}$	=	$\mathrm{1,0512}$	| $+\mathrm{0,0128}$
$\mathrm{0,096}x$	=	$\mathrm{1,064}$	|:$\mathrm{0,096}$
$x$	=	$\mathrm{11,0833}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 11.083.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,86}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,428}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{4,86}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{4,86}$ = $\mathrm{4,428}$ ≈ 4.43

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{4,428}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,428}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{4,428}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{5,076}$ = c

also c= $\mathrm{5,076}$ ≈ 5.08

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{5,076}$ oder y=-1.08x +5.08

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{5,076}$	=	0	| $-\mathrm{5,076}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{5,076}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{4,7}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.7.