Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+0$

= $6x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 2^2$

= $6\cdot 4$

= $24$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $24$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 2^3-2$ = $2\cdot 8-2$ = $16-2$ = $14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $14$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14$ = $24$⋅ $2$ + c

$14$ = $48$ + c | $-48$

$-34$ = c

also c= $-34$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $24$⋅x $-34$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{2}{3x-4}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{2}{{\left(3x-4\right)}^2}·\left(3+0\right)$

= $\frac{2}{{\left(3x-4\right)}^2}·\left(3\right)$

= $\frac{6}{{\left(3x-4\right)}^2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $\frac{6}{{\left(3\cdot 2-4\right)}^2}$

= $\frac{6}{{\left(6-4\right)}^2}$

= $\frac{6}{2^2}$

= $6\cdot \left(\frac{1}{4}\right)$

= $\frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{3}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $-\frac{2}{3\cdot 2-4}$ = $-\frac{2}{6-4}$ = $-\frac{2}{2}$ = $-2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $\frac{3}{2}$⋅$2$ + c

$-1$ = $3$ + c | $-3$

$-4$ = c

also c= $-4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{3}{2}$⋅x $-4$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3·1·e^x-3x·e^x$

= $-3e^x-3x·e^x$

= $e^x·\left(-3-3x\right)$

= $e^x·\left(-3x-3\right)$

= $\left(-3x-3\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^0·\left(-3\cdot 0-3\right)$

= $1·\left(0-3\right)$

= $1·\left(-3\right)$

= $-3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-3$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-3·0·e^0$ = $-3·0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-3$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-3$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-1·e^{\mathrm{0,6}x}-x·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $-e^{\mathrm{0,6}x}-x·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $-e^{\mathrm{0,6}x}-\mathrm{0,6}x·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(-1-\mathrm{0,6}x\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(-\mathrm{0,6}x-1\right)$

= $\left(-\mathrm{0,6}x-1\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}·\left(-\mathrm{0,6}\cdot 0-1\right)$

= $e^0·\left(0-1\right)$

= $1·\left(-1\right)$

= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0·e^{\mathrm{0,6}\cdot 0}$ = $-0·e^0$ = $-0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-1$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-1$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $3x^3+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $9x^2+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $9\cdot 2^2+1$

= $9\cdot 4+1$

= $36+1$

= $37$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{37}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{37}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $3\cdot 2^3+2$ = $3\cdot 8+2$ = $24+2$ = $26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$26$ = $-\frac{1}{37}$⋅ $2$ + c

$26$ = $-\frac{2}{37}$ + c | + $\frac{2}{37}$

$\frac{964}{37}$ = c

also c= $\frac{964}{37}$ ≈ 26.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{37}$⋅x + $\frac{964}{37}$ oder y=-0.03x +26.05

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-8x-4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|20) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|20) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-8u-4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

20 = $\left(-8u-4\right)·\left(-1-u\right)$ + $-4u^2-4u+4$ | -20

$\left(-8u-4\right)\left(-1-u\right)-4u^2-4u+4-20$ = 0

$8u^2+12u+4-4u^2-4u+4-20$ = 0

$4u^2+8u-12$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u^2+8u-12$ = 0 |:4

$u^2+2u-3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-4x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-4+0$

= $-8x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot \left(-3\right)-4$

= $24-4$

= $20$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $20$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot {\left(-3\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)+4$ = $-4\cdot 9+12+4$ = $-36+12+4$ = $-20$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-20$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-20$ = $20$⋅( $-3$) + c

$-20$ = $-60$ + c | + $60$

$40$ = c

also c= $40$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $20$⋅x + $40$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-4x^2-4x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-8x-4+0$

= $-8x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-8\cdot 1-4$

= $-8-4$

= $-12$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-12$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4\cdot 1^2-4\cdot 1+4$ = $-4\cdot 1-4+4$ = $-4-4+4$ = $-4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-4$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-4$ = $-12$⋅ $1$ + c

$-4$ = $-12$ + c | + $12$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-12$⋅x + $8$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|-20) mit der zugehörigen Tangente: $20x+40$

B(1|-4) mit der zugehörigen Tangente: $-12x+8$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(15|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(15|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{20}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·\left(15-u\right)$ + $\frac{8}{\mathrm{2,5}u-3}$

$-20\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$

$\left(-20\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-3}\right)·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-20\frac{15-u}{{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2+\frac{8}{\mathrm{2,5}u-3}·{\left(\mathrm{2,5}u-3\right)}^2$ = 0

$-20\left(15-u\right)+8\left(\mathrm{2,5}u-3\right)$ = 0

$-300+20u+20u-24$ = 0

$40u-324$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$40u-324$	=	0	| $+324$
$40u$	=	$324$	|:$40$
$u$	=	$\frac{81}{10}$ = 8.1

L={ $\frac{81}{10}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(8.1|0.464)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 8.1 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{9}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{9}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{9}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{9}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+4$ | -$\frac{9}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+4-\frac{9}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $4$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+4$ = $4$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $4$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{5,832}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{5,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{5,4}$	=	0	| $+\mathrm{5,4}$
$6x$	=	$\mathrm{5,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,9}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,9}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{4,374}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,7}{x}^2+\mathrm{5,832}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{5,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{5,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,9}}^2-\mathrm{5,4}\cdot \mathrm{0,9}$

= $3\cdot \mathrm{0,81}-\mathrm{4,86}$

= $\mathrm{2,43}-\mathrm{4,86}$

= $-\mathrm{2,43}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{2,43}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,9</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,9}}^3-\mathrm{2,7}\cdot {\mathrm{0,9}}^2+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,7}\cdot \mathrm{0,81}+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{0,729}-\mathrm{2,187}+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{4,374}$ ≈ 4.37

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,9}$| $\mathrm{4,374}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{4,374}$ = $-\mathrm{2,43}$⋅$\mathrm{0,9}$ + c

$\mathrm{4,374}$ = $-\mathrm{2,187}$ + c | + $\mathrm{2,187}$

$\mathrm{6,561}$ = c

also c= $\mathrm{6,561}$ ≈ 6.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{2,43}$⋅x + $\mathrm{6,561}$ oder y=-2.43x +6.56

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{2,43}x+\mathrm{6,561}$	=	0	| $-\mathrm{6,561}$
$-\mathrm{2,43}x$	=	$-\mathrm{6,561}$	|:($-\mathrm{2,43}$)
$x$	=	$\mathrm{2,7}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.7.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{5,832}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{3,6}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{3,6}$	=	0	| $+\mathrm{3,6}$
$6x$	=	$\mathrm{3,6}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,6}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,6}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{5,4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,8}{x}^2+\mathrm{5,832}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{3,6}x+0$

= $3x^2-\mathrm{3,6}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,6}}^2-\mathrm{3,6}\cdot \mathrm{0,6}$

= $3\cdot \mathrm{0,36}-\mathrm{2,16}$

= $\mathrm{1,08}-\mathrm{2,16}$

= $-\mathrm{1,08}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,08}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,6}}^3-\mathrm{1,8}\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{1,8}\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{0,216}-\mathrm{0,648}+\mathrm{5,832}$ = $\mathrm{5,4}$

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,6}$| $\mathrm{5,4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{5,4}$ = $-\mathrm{1,08}$⋅$\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{5,4}$ = $-\mathrm{0,648}$ + c | + $\mathrm{0,648}$

$\mathrm{6,048}$ = c

also c= $\mathrm{6,048}$ ≈ 6.05

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,08}$⋅x + $\mathrm{6,048}$ oder y=-1.08x +6.05

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,08}x+\mathrm{6,048}$	=	0	| $-\mathrm{6,048}$
$-\mathrm{1,08}x$	=	$-\mathrm{6,048}$	|:($-\mathrm{1,08}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.6.