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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + 5 x$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + 5 x$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x^{2} + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5$

= $2 \cdot 1 + 5$

= $2 + 5$

= $7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot (- 1)$ = $\frac{2}{3} \cdot (- 1) - 5$ = $- \frac{2}{3} - 5$ = $- \frac{2}{3} - \frac{15}{3}$ = $- \frac{17}{3}$ ≈ -5.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- \frac{17}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- \frac{17}{3}$ = $7$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- \frac{17}{3}$ = $- 7$ + c | + $7$

$\frac{4}{3}$ = c

also c= $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $7$ ⋅x + $\frac{4}{3}$ oder y=7x +1.33

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 3)}^{2}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 {(- 3 x + 3)}^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 (- 3 x + 3) \cdot (- 3 + 0)$

= $- 6 (- 3 x + 3) \cdot (- 3)$

= $18 (- 3 x + 3)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $18 (- 3 \cdot 1 + 3)$

= $18 (- 3 + 3)$

= $18 \cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 3 \cdot {(- 3 \cdot 1 + 3)}^{2}$ = $- 3 \cdot {(- 3 + 3)}^{2}$ = $- 3 \cdot 0^{2}$ = $- 3 \cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅ $1$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x \cdot e^{x - 1}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x \cdot e^{x - 1}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{x - 1} - x \cdot e^{x - 1} \cdot 1$

= $- e^{x - 1} - x \cdot e^{x - 1}$

= $e^{x - 1} \cdot (- 1 - x)$

= $e^{x - 1} \cdot (- x - 1)$

= $(- x - 1) \cdot e^{x - 1}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $e^{1 - 1} \cdot (- 1 - 1)$

= $1 \cdot (- 1 - 1)$

= $- 1 - 1$

= $- 2$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 2$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 1 \cdot e^{1 - 1}$ = $- 1 \cdot e^{0}$ = $- 1 \cdot 1$ = $- 1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 1$ = $- 2$ ⋅ $1$ + c

$- 1$ = $- 2$ + c | + $2$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 2$ ⋅x + $1$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{0,1 x}$ an der Stelle x= $3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $(x + 7) \cdot e^{0,1 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $(1 + 0) \cdot e^{0,1 x} + (x + 7) \cdot e^{0,1 x} \cdot 0,1$

= $e^{0,1 x} + (x + 7) \cdot 0,1 e^{0,1 x}$

= $e^{0,1 x} + 0,1 (x + 7) \cdot e^{0,1 x}$

= $e^{0,1 x} \cdot (1 + 0,1 x + 0,7)$

= $e^{0,1 x} \cdot (0,1 x + 1,7)$

= $(0,1 x + 1,7) \cdot e^{0,1 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $e^{0,1 \cdot 3} \cdot (0,1 \cdot 3 + 1,7)$

= $e^{0,3} \cdot (0,3 + 1,7)$

= $e^{0,3} \cdot 2$

= $2 e^{0,3}$

≈ 2.7

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $2 e^{0,3}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $(3 + 7) \cdot e^{0,1 \cdot 3}$ = $10 \cdot e^{0,3}$ = $10 e^{0,3}$ ≈ 13.5

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $10 e^{0,3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$10 e^{0,3}$ = $2 e^{0,3}$ ⋅ $3$ + c

$10 e^{0,3}$ = $6 e^{0,3}$ + c | $- 6 e^{0,3}$

$4 e^{0,3}$ = c

also c= $4 e^{0,3}$ ≈ 5.4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $2 e^{0,3}$ ⋅x + $4 e^{0,3}$ oder y=2.7x +5.4

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + x$ an der Stelle x= $2 π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 \cdot \cos (x) + x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 \cdot \sin (x) + 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2 π) =$ $- 3 \cdot \sin (2 π) + 1$

= $- 3 \cdot 0 + 1$

= $0 + 1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2 π) =$ $3 \cdot \cos (2 π) + 2 π$ = $3 \cdot 1 + 2 π$ = $3 + 2 π$ ≈ 9.28

Wir erhalten so also den Punkt B( $2 π$ | $3 + 2 π$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3 + 2 π$ = $- 1$ ⋅ $2 π$ + c

$3 + 2 π$ = $- 2 π$ + c | + $2 π$

$3 + 4 π$ = c

also c= $3 + 4 π$ ≈ 15.57

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- 1$ ⋅x + $3 + 4 π$ oder y=-1x +15.57

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(1|0) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 4 x - 4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 4 u - 4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 4 u - 4) \cdot (1 - u)$ + $- 2 u^{2} - 4 u - 2$

$(- 4 u - 4) \cdot (1 - u) - 2 u^{2} - 4 u - 2$ = 0

$4 u^{2} - 4 - 2 u^{2} - 4 u - 2$ = 0

$2 u^{2} - 4 u - 6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

2 u^{2} - 4 u - 6

= 0 |:2

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x - 4 + 0$

= $- 4 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 4 \cdot (- 1) - 4$

= $4 - 4$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) - 2$ = $- 2 \cdot 1 + 4 - 2$ = $- 2 + 4 - 2$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ |0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅( $- 1$ ) + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

An der Stelle x= $3$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 4 x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 x - 4 + 0$

= $- 4 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $- 4 \cdot 3 - 4$

= $- 12 - 4$

= $- 16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $- 2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 - 2$ = $- 2 \cdot 9 - 12 - 2$ = $- 18 - 12 - 2$ = $- 32$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $- 32$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 32$ = $- 16$ ⋅ $3$ + c

$- 32$ = $- 48$ + c | + $48$

$16$ = c

also c= $16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 16$ ⋅x + $16$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-1|0) mit der zugehörigen Tangente: 0

B(3|-32) mit der zugehörigen Tangente: $- 16 x + 16$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ (mit 0 ≤ x ≤ 1,4) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = $1,372$ (für x ≥ 1,4) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 3 u^{2} + 4,2 u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $(- 3 u^{2} + 4,2 u) \cdot (0 - u)$ + $- u^{3} + 2,1 u^{2}$

$- (- 3 u^{2} + 4,2 u) u - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$3 u^{3} - 4,2 u^{2} - u^{3} + 2,1 u^{2}$ = 0

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2 u^{3} - 2,1 u^{2}$	=	0
$u^{2} \cdot (2 u - 2,1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$u^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
u₁	=	0

2. Fall:

$2 u - 2,1$	=	0	\| $+ 2,1$
$2 u$	=	$2,1$	\|: $2$
u₂	=	$1,05$

L={0; $1,05$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1,05$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x^{3} + 2,1 x^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 3 x^{2} + 4,2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1,05) =$ $- 3 \cdot {1,05}^{2} + 4,2 \cdot 1,05$

= $- 3 \cdot 1,1025 + 4,41$

= $- 3,3075 + 4,41$

= $1,1025$

≈ 1.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1,1025$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1,05) =$ $- {1,05}^{3} + 2,1 \cdot {1,05}^{2}$ = $- 1,1576 + 2,1 \cdot 1,1025$ = $1,1576$ ≈ 1.16

Wir erhalten so also den Punkt B( $1,05$ | $1,1576$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,1576$ = $1,1025$ ⋅ $1,05$ + c

$1,1576$ = $1,1576$ + c | $- 1,1576$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1,1025$ ⋅x +0 oder y=1.1x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(1.05|1.158) mit der zugehörigen Tangente: $1,1 x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$1,1025 x$	=	$2,372$	\|: $1,1025$
$x$	=	$2,1515$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.152.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Bestimme den Punkt Q auf dem Graphen von f mit f(x) = $\frac{1}{3} x^{2}$ , der den kürzesten Abstand zu P( $6$ | $\frac{3}{2}$ ) hat.

Lösung einblenden

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $6$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{2}{3} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $6$ | $\frac{3}{2}$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u}$ = $- \frac{3}{2 u}$

Wir können also P( $6$ | $\frac{3}{2}$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{3}{2 u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{- 1}{\frac{2}{3} u} \cdot (6 - u)$ + $\frac{1}{3} u^{2}$ | - $\frac{3}{2}$

$- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} - \frac{3}{2}$ = 0 | ⋅ $\frac{2}{3} u$

$(- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} + \frac{1}{3} u^{2} - \frac{3}{2}) \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- \frac{3}{2} \frac{6 - u}{u} \cdot \frac{2}{3} u + \frac{1}{3} u^{2} \cdot \frac{2}{3} u - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} u$ = 0

$- (6 - u) + \frac{2}{9} u^{2} \cdot u - u$ = 0

$- 6 + u + \frac{2}{9} u^{3} - u$ = 0

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - 6$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{2}{9} u^{3} + 0 - 6$	=	0
$\frac{2}{9} u^{3} - 6$	=	0	\| $+ 6$
$\frac{2}{9} u^{3}$	=	$6$	\|⋅ $\frac{9}{2}$
$u^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

L={ $3$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $3$ ) = $\frac{1}{3} \cdot 3^{2}$ = $3$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $3$ | $3$ )

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 2,4 x^{2} + 7,488$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 2,4 x^{2} + 7,488$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4,8 x + 0$

= $3 x^{2} - 4,8 x$

$f''(x) =$ $6 x - 4,8$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 4,8$	=	0	\| $+ 4,8$
$6 x$	=	$4,8$	\|: $6$
$x$	=	$0,8$

Die Lösung x= $0,8$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,8$ | $6,464$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 2,4 x^{2} + 7,488$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 4,8 x + 0$

= $3 x^{2} - 4,8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,8) =$ $3 \cdot {0,8}^{2} - 4,8 \cdot 0,8$

= $3 \cdot 0,64 - 3,84$

= $1,92 - 3,84$

= $- 1,92$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,92$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,8) =$ ${0,8}^{3} - 2,4 \cdot {0,8}^{2} + 7,488$ = $0,512 - 2,4 \cdot 0,64 + 7,488$ = $0,512 - 1,536 + 7,488$ = $6,464$ ≈ 6.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,8$ | $6,464$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6,464$ = $- 1,92$ ⋅ $0,8$ + c

$6,464$ = $- 1,536$ + c | + $1,536$

$8$ = c

also c= $8$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,92$ ⋅x + $8$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 1,92 x + 8$	=	0	\| $- 8$
$- 1,92 x$	=	$- 8$	\|:( $- 1,92$ )
$x$	=	$4,1667$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.167.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|71) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 5 x + 3$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $8 x + 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|71) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|71) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8 u + 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

71 = $(8 u + 5) \cdot (4 - u)$ + $4 u^{2} + 5 u + 3$ | -71

$(8 u + 5) \cdot (4 - u) + 4 u^{2} + 5 u + 3 - 71$ = 0

$- 8 u^{2} + 27 u + 20 + 4 u^{2} + 5 u + 3 - 71$ = 0

$- 4 u^{2} + 32 u - 48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

- 4 u^{2} + 32 u - 48

= 0 |:4

$- u^{2} + 8 u - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

u_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

u₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

u₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- u^{2} + 8 u - 12$ = 0 |: $- 1$

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 5 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 5 + 0$

= $8 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $8 \cdot 2 + 5$

= $16 + 5$

= $21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $21$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $4 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 3$ = $4 \cdot 4 + 10 + 3$ = $16 + 10 + 3$ = $29$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $29$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$29$ = $21$ ⋅ $2$ + c

$29$ = $42$ + c | $- 42$

$- 13$ = c

also c= $- 13$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $21$ ⋅x $- 13$

An der Stelle x= $6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 x^{2} + 5 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $8 x + 5 + 0$

= $8 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(6) =$ $8 \cdot 6 + 5$

= $48 + 5$

= $53$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $53$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(6) =$ $4 \cdot 6^{2} + 5 \cdot 6 + 3$ = $4 \cdot 36 + 30 + 3$ = $144 + 30 + 3$ = $177$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$ | $177$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$177$ = $53$ ⋅ $6$ + c

$177$ = $318$ + c | $- 318$

$- 141$ = c

also c= $- 141$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $53$ ⋅x $- 141$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(2|29) mit der zugehörigen Tangente: $21 x - 13$

B(6|177) mit der zugehörigen Tangente: $53 x - 141$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= -1 :

An der Stelle x= 3 :

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

An der Stelle x= 1,05 :

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(6| 3 2 ) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 2 :

An der Stelle x= 6 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $- 1$ :

An der Stelle x= $3$ :

An der Stelle x= $1,05$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $6$ | $\frac{3}{2}$ ) verläuft.

An der Stelle x= $2$ :

An der Stelle x= $6$ :