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Tangente anlegen (einfache Funktionen)
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(
|
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x=:
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
=
=
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
=
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
e-Funktionen: Tangente anlegen BF
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
e-Funktionen: Tangente anlegen
Beispiel:
Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
=
=
=
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
≈ 9.35Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
≈ 4.92
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c |
= c
also c= ≈ -4.43
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x oder y=9.35x -4.43
Normale anlegen
Beispiel:
Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit an der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
≈ -0.33Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:
mn= -
also mn=
Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
=
≈ 3.89
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c |
= c
also c= ≈ 0.89
Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= ⋅x + oder y=3x +0.89
Tangente von außen anlegen
Beispiel:
Vom Punkt P(-4|-47) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|-47) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.
Wir können also P(-4|-47) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= in die allgemeine Tangentengleichung
y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)
einsetzen:
-47 = + | +47
=
=
=
Die Lösung der Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = -6
x2 = + = -2
L={ ; }
Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.
An der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅( ) + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
An der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅( ) + c
= + c | +
= c
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x +
Zusammenfassung:
Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:
B(-6|-161) mit der zugehörigen Tangente:
B(-2|-13) mit der zugehörigen Tangente:
Tangente von außen Anwendungen
Beispiel:
Der Querschnitt einer Landschaft kann im Talbereich näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)= (mit 0 ≤ x ≤ 1,8) beschrieben werden (x und f(x) in 10 Meter). An das Tal schließt sich ein Hochplateau an, das sich im Modell durch die Gleichung der Geraden y = (für x ≥ 1,8) beschreiben lässt. Auf dieses Hochplateau möchte man nun einen 10m hohen Aussichtsturm bauen, von dem man zwar den tiefsten Punkt des Tals (im Modell T(0|0)) noch sehen kann, der aber möglichst weit weg vom Abhang steht.
Bestimme den x-Wert im Modell, an dem man diesen Turm aufstellen muss.
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.
Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= in die allgemeine Tangentengleichung
y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)
einsetzen:
0 = +
=
=
=
Die Lösung der Gleichung:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| u1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | |: | ||
| u2 | = |
L={
Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.
An der Stelle x= :
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
≈ 1.82Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
≈ 2.46
Wir erhalten so also den Punkt B( | ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c |
also c=
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=
⋅x +
Zusammenfassung:
Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:
B(0|0)
B(1.35|2.46) mit der zugehörigen Tangente:
Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:
| = | |: | ||
| = |
Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 2.149.
Normale von außen Anwendungen
Beispiel:
Die Gerade durch den Punkt P(3| ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.
Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(3|) verläuft.
Zuerst wird die Ableitung von f berechnet:
Wir kennen den Kurvenpunkt von Gf, an dem die gesuchte Normale durch P(3|) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).
Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.
mn = - = - = =
Wir können also P(3|) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - = in die allgemeine Normalengleichung
y = - ⋅(x-u) + f(u)
einsetzen:
= + | -
=
=
=
Die Lösung der Gleichung:
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| u1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| u2 | = |
L={
Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:
f(
f(
) =
=
Wendetangente Anwendungen
Beispiel:
Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.
Wir suchen also nach dem Wendepunkt:
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung x= ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.
Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W(| ) aufstellen:
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
≈ 2.18
Wir erhalten so also den Punkt B(| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c | +
= c
also c= ≈ 2.37
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x + oder y=-0.48x +2.37
Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.933.
Wendetangente Anwendungen
Beispiel:
Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.
Wir suchen also nach dem Wendepunkt:
Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.
=
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.
(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').
Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
Die Lösung x= ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.
Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W(| ) aufstellen:
Zuerst braucht man die Ableitung von , also
=
Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:
=
=
=
Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= x+c besitzt.
Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also
=
=
=
Wir erhalten so also den Punkt B(| ) als Berührpunkt.
Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:
= ⋅ + c
= + c | +
= c
also c= ≈ 5.7
Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x + oder y=-1.92x +5.7
Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 2.967.