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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3$ an der Stelle x= $- 1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $x^{2} + 0$

= $x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ ${(- 1)}^{2}$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 3$ = $\frac{1}{3} \cdot (- 1) + 3$ = $- \frac{1}{3} + 3$ = $- \frac{1}{3} + \frac{9}{3}$ = $\frac{8}{3}$ ≈ 2.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $\frac{8}{3}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{8}{3}$ = $1$ ⋅( $- 1$ ) + c

$\frac{8}{3}$ = $- 1$ + c | + $1$

$\frac{11}{3}$ = c

also c= $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$ ⋅x + $\frac{11}{3}$ oder y=1x +3.67

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 {(- 2 x + 3)}^{2} + x$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 {(- 2 x + 3)}^{2} + x$ ,
also

$f'(x) =$ $6 (- 2 x + 3) \cdot (- 2 + 0) + 1$

= $6 (- 2 x + 3) \cdot (- 2) + 1$

= $- 12 (- 2 x + 3) + 1$

= $- 12 \cdot (- 2 x) - 12 \cdot 3 + 1$

= $24 x - 36 + 1$

= $24 x - 35$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $24 \cdot 0 - 35$

= $0 - 35$

= $- 35$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 35$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $3 \cdot {(- 2 \cdot 0 + 3)}^{2} + 0$ = $3 \cdot {(0 + 3)}^{2} + 0$ = $3 \cdot 3^{2} + 0$ = $3 \cdot 9 + 0$ = $27 + 0$ = $27$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $27$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$27$ = $- 35$ ⋅ $0$ + c

$27$ = 0 + c

$27$ = c

also c= $27$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 35$ ⋅x + $27$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- (x - 1)}$ an der Stelle x= $1$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- (x - 1)}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{7}{5} e^{- (x - 1)} \cdot (- 1)$

= $- \frac{7}{5} e^{- (x - 1)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- \frac{7}{5} e^{- (1 - 1)}$

= $- \frac{7}{5} e^{- 1 \cdot 0}$

= $- \frac{7}{5} e^{0}$

= $- \frac{7}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{7}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $\frac{7}{5} e^{- (1 - 1)}$ = $\frac{7}{5} e^{- 1 \cdot 0}$ = $\frac{7}{5} e^{0}$ = $\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $\frac{7}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ ⋅ $1$ + c

$\frac{7}{5}$ = $- \frac{7}{5}$ + c | + $\frac{7}{5}$

$\frac{14}{5}$ = c

also c= $\frac{14}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{7}{5}$ ⋅x + $\frac{14}{5}$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x \cdot e^{0,4 x}$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x \cdot e^{0,4 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{0,4 x} - x \cdot e^{0,4 x} \cdot 0,4$

= $- e^{0,4 x} - x \cdot 0,4 e^{0,4 x}$

= $- e^{0,4 x} - 0,4 x \cdot e^{0,4 x}$

= $e^{0,4 x} \cdot (- 1 - 0,4 x)$

= $e^{0,4 x} \cdot (- 0,4 x - 1)$

= $(- 0,4 x - 1) \cdot e^{0,4 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $e^{0,4 \cdot 2} \cdot (- 0,4 \cdot 2 - 1)$

= $e^{0,8} \cdot (- 0,8 - 1)$

= $e^{0,8} \cdot (- 1,8)$

= $- 1,8 e^{0,8}$

≈ -4.01

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1,8 e^{0,8}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 2 \cdot e^{0,4 \cdot 2}$ = $- 2 \cdot e^{0,8}$ = $- 2 e^{0,8}$ ≈ -4.45

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 2 e^{0,8}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2 e^{0,8}$ = $- 1,8 e^{0,8}$ ⋅ $2$ + c

$- 2 e^{0,8}$ = $- 3,6 e^{0,8}$ + c | + $3,6 e^{0,8}$

$1,6 e^{0,8}$ = c

also c= $1,6 e^{0,8}$ ≈ 3.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1,8 e^{0,8}$ ⋅x + $1,6 e^{0,8}$ oder y=-4.01x +3.56

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4 x$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 4 \cdot \sin (x) + 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 4 \cdot \sin (0) + 4$

= $- 4 \cdot 0 + 4$

= $0 + 4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $- \frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $- \frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $4 \cdot \cos (0) + 4 \cdot (0)$ = $4 \cdot 1 + 0$ = $4 + 0$ = $4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$4$ = $- \frac{1}{4}$ ⋅ $0$ + c

$4$ = 0 + c

$4$ = c

also c= $4$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $- \frac{1}{4}$ ⋅x + $4$

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-40) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2 x - 4$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 8 x - 2$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-40) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-40) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 8 u - 2$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-40 = $(- 8 u - 2) \cdot (4 - u)$ + $- 4 u^{2} - 2 u - 4$ | +40

$(- 8 u - 2) \cdot (4 - u) - 4 u^{2} - 2 u - 4 + 40$ = 0

$8 u^{2} - 30 u - 8 - 4 u^{2} - 2 u - 4 + 40$ = 0

$4 u^{2} - 32 u + 28$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

4 u^{2} - 32 u + 28

= 0 |:4

$u^{2} - 8 u + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

L={ $1$ ; $7$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2 x - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x - 2 + 0$

= $- 8 x - 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $- 8 \cdot 1 - 2$

= $- 8 - 2$

= $- 10$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 10$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $- 4 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 - 4$ = $- 4 \cdot 1 - 2 - 4$ = $- 4 - 2 - 4$ = $- 10$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 10$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 10$ = $- 10$ ⋅ $1$ + c

$- 10$ = $- 10$ + c | + $10$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 10$ ⋅x +0

An der Stelle x= $7$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} - 2 x - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x - 2 + 0$

= $- 8 x - 2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(7) =$ $- 8 \cdot 7 - 2$

= $- 56 - 2$

= $- 58$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 58$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(7) =$ $- 4 \cdot 7^{2} - 2 \cdot 7 - 4$ = $- 4 \cdot 49 - 14 - 4$ = $- 196 - 14 - 4$ = $- 214$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$ | $- 214$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 214$ = $- 58$ ⋅ $7$ + c

$- 214$ = $- 406$ + c | + $406$

$192$ = c

also c= $192$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 58$ ⋅x + $192$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(1|-10) mit der zugehörigen Tangente: $- 10 x$

B(7|-214) mit der zugehörigen Tangente: $- 58 x + 192$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{8}{0,2 x - 2}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (25|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{1,6}{{(0,2 x - 2)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(25|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(25|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 2)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{1,6}{{(0,2 u - 2)}^{2}} \cdot (25 - u)$ + $\frac{8}{0,2 u - 2}$

$- 1,6 \frac{25 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 2}$ = 0 | ⋅ ${(0,2 u - 2)}^{2}$

$(- 1,6 \frac{25 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} + \frac{8}{0,2 u - 2}) \cdot {(0,2 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 1,6 \frac{25 - u}{{(0,2 u - 2)}^{2}} \cdot {(0,2 u - 2)}^{2} + \frac{8}{0,2 u - 2} \cdot {(0,2 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 1,6 (25 - u) + 8 (0,2 u - 2)$ = 0

$- 40 + 1,6 u + 1,6 u - 16$ = 0

$3,2 u - 56$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$3,2 u - 56$	=	0	\| $+ 56$
$3,2 u$	=	$56$	\|: $3,2$
$u$	=	$17,5$

L={ $17,5$ }

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(17.5|5.333)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 17.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $4$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{4} x^{2} + 2$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $4$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{1}{2} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{8}{27}$ | $4$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u}$ = $- \frac{2}{u}$

Wir können also P( $\frac{8}{27}$ | $4$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$4$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u} \cdot (\frac{8}{27} - u)$ + $\frac{1}{4} u^{2} + 2$ | - $4$

$- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 2 - 4$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2} u$

$(- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 2 - 4) \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} \cdot \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} u^{2} \cdot \frac{1}{2} u + 2 \cdot \frac{1}{2} u - 4 \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- (\frac{8}{27} - u) + \frac{1}{8} u^{2} \cdot u + u - 2 u$ = 0

$- \frac{8}{27} + u + \frac{1}{8} u^{3} + u - 2 u$ = 0

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - \frac{8}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - \frac{8}{27}$	=	0
$\frac{1}{8} u^{3} - \frac{8}{27}$	=	0	\| $+ \frac{8}{27}$
$\frac{1}{8} u^{3}$	=	$\frac{8}{27}$	\|⋅ $8$
$u^{3}$	=	$\frac{64}{27}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$	= $\frac{4}{3}$

L={ $\frac{4}{3}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{4}{3}$ ) = $\frac{1}{4} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$ = $\frac{22}{9}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{4}{3}$ | $\frac{22}{9}$ ) bzw. Q(1.33|2.44)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 3 x^{2} + 16,2$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 16,2$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

$f''(x) =$ $6 x - 6$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$6 x$	=	$6$	\|: $6$
$x$	=	$1$

Die Lösung x= $1$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $1$ | $14,2$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 3 x^{2} + 16,2$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 6 x + 0$

= $3 x^{2} - 6 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1$

= $3 \cdot 1 - 6$

= $3 - 6$

= $- 3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 16,2$ = $1 - 3 \cdot 1 + 16,2$ = $1 - 3 + 16,2$ = $14,2$ ≈ 14.2

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $14,2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$14,2$ = $- 3$ ⋅ $1$ + c

$14,2$ = $- 3$ + c | + $3$

$17,2$ = c

also c= $17,2$ ≈ 17.2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 3$ ⋅x + $17,2$ oder y=-3x +17.2

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 3 x + 17,2$	=	0	\| $- 17,2$
$- 3 x$	=	$- 17,2$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5,7333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.733.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(4|-13) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 5 x + 3$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 6 x + 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-13) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-13) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 6 u + 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-13 = $(- 6 u + 5) \cdot (4 - u)$ + $- 3 u^{2} + 5 u + 3$ | +13

$(- 6 u + 5) \cdot (4 - u) - 3 u^{2} + 5 u + 3 + 13$ = 0

$6 u^{2} - 29 u + 20 - 3 u^{2} + 5 u + 3 + 13$ = 0

$3 u^{2} - 24 u + 36$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u^{2} - 24 u + 36

= 0 |:3

$u^{2} - 8 u + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 5 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 5 + 0$

= $- 6 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 6 \cdot 2 + 5$

= $- 12 + 5$

= $- 7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 7$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 3 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 3$ = $- 3 \cdot 4 + 10 + 3$ = $- 12 + 10 + 3$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $1$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = $- 7$ ⋅ $2$ + c

$1$ = $- 14$ + c | + $14$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 7$ ⋅x + $15$

An der Stelle x= $6$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} + 5 x + 3$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x + 5 + 0$

= $- 6 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(6) =$ $- 6 \cdot 6 + 5$

= $- 36 + 5$

= $- 31$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 31$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(6) =$ $- 3 \cdot 6^{2} + 5 \cdot 6 + 3$ = $- 3 \cdot 36 + 30 + 3$ = $- 108 + 30 + 3$ = $- 75$

Wir erhalten so also den Punkt B( $6$ | $- 75$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 75$ = $- 31$ ⋅ $6$ + c

$- 75$ = $- 186$ + c | + $186$

$111$ = c

also c= $111$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 31$ ⋅x + $111$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(2|1) mit der zugehörigen Tangente: $- 7 x + 15$

B(6|-75) mit der zugehörigen Tangente: $- 31 x + 111$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 1 :

An der Stelle x= 7 :

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( 8 27 |4) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= 2 :

An der Stelle x= 6 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $1$ :

An der Stelle x= $7$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $4$ ) verläuft.

An der Stelle x= $2$ :

An der Stelle x= $6$ :