Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+2x^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+4x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $6\cdot 2^2+4\cdot 2$

= $6\cdot 4+8$

= $24+8$

= $32$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $32$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $2\cdot 2^3+2\cdot 2^2$ = $2\cdot 8+2\cdot 4$ = $16+8$ = $24$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $24$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$24$ = $32$⋅ $2$ + c

$24$ = $64$ + c | $-64$

$-40$ = c

also c= $-40$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $32$⋅x $-40$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\sin \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)·\left(3+0\right)$

= $-\cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)·3$

= $-3\cdot \cos \left(3x-\frac{1}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot \cos \left(3\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot \cos \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$

= $-3\cdot 0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $-\sin \left(3\cdot \left(0\right)-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\sin \left(-\frac{1}{2}\pi \right)$ = $-\left(-1\right)$ = $1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$| $1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1$ = 0⋅ $0$ + c

$1$ = 0 + c

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(x+3\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(x+3\right)}·2$

= $\frac{1}{2}{e}^{2\left(x+3\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{1}{2}{e}^{2\left(-3+3\right)}$

= $\frac{1}{2}{e}^{2·0}$

= $\frac{1}{2}{e}^0$

= $\frac{1}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{1}{2}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{4}{e}^{2\left(-3+3\right)}$ = $\frac{1}{4}{e}^{2·0}$ = $\frac{1}{4}{e}^0$ = $\frac{1}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $\frac{1}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$⋅( $-3$) + c

$\frac{1}{4}$ = $-\frac{3}{2}$ + c | + $\frac{3}{2}$

$\frac{7}{4}$ = c

also c= $\frac{7}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{1}{2}$⋅x + $\frac{7}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2e^{-2x+3}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2e^{-2x+3}·\left(-2\right)$

= $4e^{-2x+3}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $4e^{-2\cdot 1+3}$

= $4e^{-2+3}$

= $4e$

= $4e$

≈ 10.87

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4e$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2e^{-2\cdot 1+3}$ = $-2e^{-2+3}$ = $-2e$ = $-2e$ ≈ -5.44

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-2e$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e$ = $4e$⋅$1$ + c

$-2e$ = $4e$ + c | $-4e$

$-6e$ = c

also c= $-6e$ ≈ -16.31

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4e$⋅x $-6e$ oder y=10.87x -16.31

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2\cdot \cos \left(x\right)+x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2\cdot \sin \left(x\right)+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$-2\cdot \sin \left((-\pi )\right)+1$

= $-2\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mrow><mi>π</mi></mrow> </math>)}=$ $2\cdot \cos \left((-\pi )\right)+(-\pi )$ = $2\cdot \left(-1\right)+(-\pi )$ = $-2+(-\pi )$ ≈ -5.14

Wir erhalten so also den Punkt B( $-\pi$| $-2-\pi$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2-\pi$ = $-1$⋅( $-\pi$) + c

$-2-\pi$ = $\pi$ + c | $-\pi$

$-2-2\pi$ = c

also c= $-2-2\pi$ ≈ -8.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-1$⋅x + $-2-2\pi$ oder y=-1x -8.28

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-10x+4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|9) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|9) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-10u+4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

9 = $\left(-10u+4\right)·\left(-1-u\right)$ + $-5u^2+4u-2$ | -9

$\left(-10u+4\right)\left(-1-u\right)-5u^2+4u-2-9$ = 0

$10u^2+6u-4-5u^2+4u-2-9$ = 0

$5u^2+10u-15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$5u^2+10u-15$ = 0 |:5

$u^2+2u-3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4+0$

= $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot \left(-3\right)+4$

= $30+4$

= $34$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $34$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot {\left(-3\right)}^2+4\cdot \left(-3\right)-2$ = $-5\cdot 9-12-2$ = $-45-12-2$ = $-59$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-59$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-59$ = $34$⋅( $-3$) + c

$-59$ = $-102$ + c | + $102$

$43$ = c

also c= $43$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $34$⋅x + $43$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-5x^2+4x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-10x+4+0$

= $-10x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-10\cdot 1+4$

= $-10+4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-5\cdot 1^2+4\cdot 1-2$ = $-5\cdot 1+4-2$ = $-5+4-2$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-3$ = $-6$ + c | + $6$

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x + $3$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|-59) mit der zugehörigen Tangente: $34x+43$

B(1|-3) mit der zugehörigen Tangente: $-6x+3$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{6}{{\left(x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(35|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(35|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{6}{{\left(u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{6}{{\left(u-2\right)}^2}·\left(35-u\right)$ + $\frac{6}{u-2}$

$-6\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{6}{u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-2\right)}^2$

$\left(-6\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{6}{u-2}\right)·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-6\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}·{\left(u-2\right)}^2+\frac{6}{u-2}·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-6\left(35-u\right)+6\left(u-2\right)$ = 0

$-210+6u+6u-12$ = 0

$12u-222$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$12u-222$	=	0	| $+222$
$12u$	=	$222$	|:$12$
$u$	=	$\frac{37}{2}$ = 18.5

L={ $\frac{37}{2}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(18.5|0.364)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 18.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($\frac{4}{27}$|$1$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($\frac{4}{27}$|$1$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($\frac{4}{27}$|$1$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$1$ = $\frac{-1}{u}·\left(\frac{4}{27}-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2$ | -$1$

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2-1$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2-1)·u$ = 0

$-\frac{\frac{4}{27}-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u-1·u$ = 0

$-\left(\frac{4}{27}-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u-u$ = 0

$-\frac{4}{27}+u+\frac{1}{2}{u}^3-u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-\frac{4}{27}$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-\frac{4}{27}$	=	0	| $+\frac{4}{27}$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$\frac{4}{27}$	|⋅$2$
$u^3$	=	$\frac{8}{27}$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{8}{27}}$	= $\frac{2}{3}$

L={ $\frac{2}{3}$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{2}{3}$) = $\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ = $\frac{2}{9}$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{2}{3}$| $\frac{2}{9}$) bzw. Q(0.67|0.22)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{0,864}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,736}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{0,864}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{0,864}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{0,864}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{0,864}$ = $\mathrm{0,736}$ ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{0,736}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,736}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{0,736}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{0,928}$ = c

also c= $\mathrm{0,928}$ ≈ 0.93

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{0,928}$ oder y=-0.48x +0.93

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{0,928}$	=	0	| $-\mathrm{0,928}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{0,928}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{1,9333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 1.933.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x-1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|-16) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|-16) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u-1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-16 = $\left(10u-1\right)·\left(0-u\right)$ + $5u^2-u+4$ | +16

$-\left(10u-1\right)u+5u^2-u+4+16$ = 0

$-10u^2+u+5u^2-u+4+16$ = 0

$-5u^2+0+20$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2+0+20$	=	0
$-5u^2+20$	=	0	| $-20$
$-5u^2$	=	$-20$	|: $\left(-5\right)$
$u^2$	=	$4$	|
u1	=	$-\sqrt{4}$	= $-2$
u2	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $-2$; $2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-1+0$

= $10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-2\right)-1$

= $-20-1$

= $-21$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-21$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)+4$ = $5\cdot 4+2+4$ = $20+2+4$ = $26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$26$ = $-21$⋅( $-2$) + c

$26$ = $42$ + c | $-42$

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-21$⋅x $-16$

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-x+4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-1+0$

= $10x-1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 2-1$

= $20-1$

= $19$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $19$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 2^2-2+4$ = $5\cdot 4-2+4$ = $20-2+4$ = $22$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$22$ = $19$⋅ $2$ + c

$22$ = $38$ + c | $-38$

$-16$ = c

also c= $-16$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $19$⋅x $-16$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-2|26) mit der zugehörigen Tangente: $-21x-16$

B(2|22) mit der zugehörigen Tangente: $19x-16$