Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\frac{2}{3}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\frac{4}{3}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2+\frac{4}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $-3\cdot 1-\frac{4}{3}$

= $-3-\frac{4}{3}$

= $-\frac{9}{3}-\frac{4}{3}$

= $-\frac{13}{3}$

≈ -4.33

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{13}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^3+\frac{2}{3}\cdot {\left(-1\right)}^2$ = $-\left(-1\right)+\frac{2}{3}\cdot 1$ = $1+\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{3}+\frac{2}{3}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $\frac{5}{3}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{5}{3}$ = $-\frac{13}{3}$⋅( $-1$) + c

$\frac{5}{3}$ = $\frac{13}{3}$ + c | $-\frac{13}{3}$

$-\frac{8}{3}$ = c

also c= $-\frac{8}{3}$ ≈ -2.67

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{13}{3}$⋅x $-\frac{8}{3}$ oder y=-4.33x -2.67

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2\cdot \cos \left(2x-\frac{3}{2}\pi \right)$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\cdot \sin \left(2x-\frac{3}{2}\pi \right)·\left(2+0\right)$

= $2\cdot \sin \left(2x-\frac{3}{2}\pi \right)·2$

= $4\cdot \sin \left(2x-\frac{3}{2}\pi \right)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow>\; </math>)}=$ $4\cdot \sin \left(2\cdot \left(0\right)-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $4\cdot \sin \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$

= $4\cdot 1$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow> </math>)}=$ $-2\cdot \cos \left(2\cdot \left(0\right)-\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-2\cdot \cos \left(-\frac{3}{2}\pi \right)$ = $-2\cdot 0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $4$⋅ $0$ + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(x+2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(x+2\right)}·2$

= $\frac{2}{5}{e}^{2\left(x+2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{2}{5}{e}^{2\left(-2+2\right)}$

= $\frac{2}{5}{e}^{2·0}$

= $\frac{2}{5}{e}^0$

= $\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{1}{5}{e}^{2\left(-2+2\right)}$ = $\frac{1}{5}{e}^{2·0}$ = $\frac{1}{5}{e}^0$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $\frac{1}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{5}$⋅( $-2$) + c

$\frac{1}{5}$ = $-\frac{4}{5}$ + c | + $\frac{4}{5}$

$1$ = c

also c= $1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{5}$⋅x + $1$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2e^{-3x+5}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2e^{-3x+5}·\left(-3\right)$

= $-6e^{-3x+5}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $-6e^{-3\cdot 0+5}$

= $-6e^{0+5}$

= $-6e^5$

≈ -890.48

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6e^5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0</mn></mrow></math>)}=$ $2e^{-3\cdot 0+5}$ = $2e^{0+5}$ = $2e^5$ ≈ 296.83

Wir erhalten so also den Punkt B($0$| $2e^5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2e^5$ = $-6e^5$⋅$0$ + c

$2e^5$ = 0 + c

$2e^5$ = c

also c= $2e^5$ ≈ 296.83

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6e^5$⋅x + $2e^5$ oder y=-890.48x +296.83

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^2+4x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $4x+4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $4\cdot 0+4$

= $0+4$

= $4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^2+4\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $-\frac{1}{4}$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{4}$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-4x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(5|-18) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(5|-18) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-4u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-18 = $\left(-4u+3\right)·\left(5-u\right)$ + $-2u^2+3u-1$ | +18

$\left(-4u+3\right)·\left(5-u\right)-2u^2+3u-1+18$ = 0

$4u^2-23u+15-2u^2+3u-1+18$ = 0

$2u^2-20u+32$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^2-20u+32$ = 0 |:2

$u^2-10u+16$ = 0

L={ $2$; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+3+0$

= $-4x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 2+3$

= $-8+3$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 2^2+3\cdot 2-1$ = $-2\cdot 4+6-1$ = $-8+6-1$ = $-3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-3$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-3$ = $-5$⋅ $2$ + c

$-3$ = $-10$ + c | + $10$

$7$ = c

also c= $7$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x + $7$

An der Stelle x= $8$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+3x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-4x+3+0$

= $-4x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-4\cdot 8+3$

= $-32+3$

= $-29$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-29$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>8</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2\cdot 8^2+3\cdot 8-1$ = $-2\cdot 64+24-1$ = $-128+24-1$ = $-105$

Wir erhalten so also den Punkt B( $8$| $-105$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-105$ = $-29$⋅ $8$ + c

$-105$ = $-232$ + c | + $232$

$127$ = c

also c= $127$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-29$⋅x + $127$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(2|-3) mit der zugehörigen Tangente: $-5x+7$

B(8|-105) mit der zugehörigen Tangente: $-29x+127$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{2}{{\left(x-2\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(35|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(35|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{2}{{\left(u-2\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{2}{{\left(u-2\right)}^2}·\left(35-u\right)$ + $\frac{2}{u-2}$

$-2\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{2}{u-2}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-2\right)}^2$

$\left(-2\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}+\frac{2}{u-2}\right)·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-2\frac{35-u}{{\left(u-2\right)}^2}·{\left(u-2\right)}^2+\frac{2}{u-2}·{\left(u-2\right)}^2$ = 0

$-2\left(35-u\right)+2\left(u-2\right)$ = 0

$-70+2u+2u-4$ = 0

$4u-74$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$4u-74$	=	0	| $+74$
$4u$	=	$74$	|:$4$
$u$	=	$\frac{37}{2}$ = 18.5

L={ $\frac{37}{2}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(18.5|0.121)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 18.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($128$|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($128$|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($128$|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(128-u\right)$ + $u^2+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}·2u+u^2·2u+3·2u-\frac{7}{2}·2u$ = 0

$-\left(128-u\right)+2u^2·u+6u-7u$ = 0

$-128+u+2u^3+6u-7u$ = 0

$2u^3+0-128$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-128$	=	0
$2u^3-128$	=	0	| $+128$
$2u^3$	=	$128$	|:$2$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $4^2+3$ = $19$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $19$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,938}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{4,2}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{4,2}$	=	0	| $+\mathrm{4,2}$
$6x$	=	$\mathrm{4,2}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,7}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,7}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{7,252}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{2,1}{x}^2+\mathrm{7,938}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{4,2}x+0$

= $3x^2-\mathrm{4,2}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,7}}^2-\mathrm{4,2}\cdot \mathrm{0,7}$

= $3\cdot \mathrm{0,49}-\mathrm{2,94}$

= $\mathrm{1,47}-\mathrm{2,94}$

= $-\mathrm{1,47}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{1,47}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,7</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,7}}^3-\mathrm{2,1}\cdot {\mathrm{0,7}}^2+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{2,1}\cdot \mathrm{0,49}+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{0,343}-\mathrm{1,029}+\mathrm{7,938}$ = $\mathrm{7,252}$ ≈ 7.25

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,7}$| $\mathrm{7,252}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{7,252}$ = $-\mathrm{1,47}$⋅$\mathrm{0,7}$ + c

$\mathrm{7,252}$ = $-\mathrm{1,029}$ + c | + $\mathrm{1,029}$

$\mathrm{8,281}$ = c

also c= $\mathrm{8,281}$ ≈ 8.28

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{1,47}$⋅x + $\mathrm{8,281}$ oder y=-1.47x +8.28

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{1,47}x+\mathrm{8,281}$	=	0	| $-\mathrm{8,281}$
$-\mathrm{1,47}x$	=	$-\mathrm{8,281}$	|:($-\mathrm{1,47}$)
$x$	=	$\mathrm{5,6333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.633.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x+5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-1|-24) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-1|-24) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u+5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-24 = $\left(10u+5\right)·\left(-1-u\right)$ + $5u^2+5u-4$ | +24

$\left(10u+5\right)·\left(-1-u\right)+5u^2+5u-4+24$ = 0

$-10u^2-15u-5+5u^2+5u-4+24$ = 0

$-5u^2-10u+15$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2-10u+15$ = 0 |:5

$-u^2-2u+3$ = 0

L={ $-3$; $1$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-3$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+5+0$

= $10x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-3\right)+5$

= $-30+5$

= $-25$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-25$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-3\right)}^2+5\cdot \left(-3\right)-4$ = $5\cdot 9-15-4$ = $45-15-4$ = $26$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $26$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$26$ = $-25$⋅( $-3$) + c

$26$ = $75$ + c | $-75$

$-49$ = c

also c= $-49$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-25$⋅x $-49$

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+5x-4$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+5+0$

= $10x+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot 1+5$

= $10+5$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot 1^2+5\cdot 1-4$ = $5\cdot 1+5-4$ = $5+5-4$ = $6$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $6$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$6$ = $15$⋅ $1$ + c

$6$ = $15$ + c | $-15$

$-9$ = c

also c= $-9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$⋅x $-9$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-3|26) mit der zugehörigen Tangente: $-25x-49$

B(1|6) mit der zugehörigen Tangente: $15x-9$