Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-3x^2-3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6x-3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-6\cdot 2-3$

= $-12-3$

= $-15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-15$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-3\cdot 2^2-3\cdot 2$ = $-3\cdot 4-6$ = $-12-6$ = $-18$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-18$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-18$ = $-15$⋅ $2$ + c

$-18$ = $-30$ + c | + $30$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-15$⋅x + $12$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(-3x+5\right)}^3-6x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(-3x+5\right)}^2·\left(-3+0\right)-6$

= $-6{\left(-3x+5\right)}^2·\left(-3\right)-6$

= $18{\left(-3x+5\right)}^2-6$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $18\cdot {\left(-3\cdot 1+5\right)}^2-6$

= $18\cdot {\left(-3+5\right)}^2-6$

= $18\cdot 2^2-6$

= $18\cdot 4-6$

= $72-6$

= $66$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $66$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(-3\cdot 1+5\right)}^3-6\cdot 1$ = $-2\cdot {\left(-3+5\right)}^3-6$ = $-2\cdot 2^3-6$ = $-2\cdot 8-6$ = $-16-6$ = $-22$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $-22$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-22$ = $66$⋅$1$ + c

$-22$ = $66$ + c | $-66$

$-88$ = c

also c= $-88$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $66$⋅x $-88$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{-\left(x-2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{-\left(x-2\right)}·\left(-1\right)$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-\left(x-2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-\frac{7}{4}{e}^{-\left(2-2\right)}$

= $-\frac{7}{4}{e}^{-1·0}$

= $-\frac{7}{4}{e}^0$

= $-\frac{7}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{7}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{7}{4}{e}^{-\left(2-2\right)}$ = $\frac{7}{4}{e}^{-1·0}$ = $\frac{7}{4}{e}^0$ = $\frac{7}{4}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $\frac{7}{4}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{7}{4}$ = $-\frac{7}{4}$⋅ $2$ + c

$\frac{7}{4}$ = $-\frac{7}{2}$ + c | + $\frac{7}{2}$

$\frac{21}{4}$ = c

also c= $\frac{21}{4}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{7}{4}$⋅x + $\frac{21}{4}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2·e^x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·e^x-2x^2·e^x$

= $-4x·e^x-2x^2·e^x$

= $e^x·\left(-2x^2-4x\right)$

= $\left(-2x^2-4x\right)·e^x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $e^0·\left(-2\cdot 0^2-4\cdot 0\right)$

= $1·\left(-2\cdot 0+0\right)$

= $1·\left(0+0\right)$

= $1·0$

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-2·0^2·e^0$ = $-2·0·1$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = 0⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^3-3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $12x^2+0$

= $12x^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $12\cdot 2^2$

= $12\cdot 4$

= $48$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot 2^3-3$ = $4\cdot 8-3$ = $32-3$ = $29$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $29$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$29$ = $-\frac{1}{48}$⋅ $2$ + c

$29$ = $-\frac{1}{24}$ + c | + $\frac{1}{24}$

$\frac{697}{24}$ = c

also c= $\frac{697}{24}$ ≈ 29.04

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{48}$⋅x + $\frac{697}{24}$ oder y=-0.02x +29.04

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $8x+3$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-4|37) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-4|37) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $8u+3$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

37 = $\left(8u+3\right)·\left(-4-u\right)$ + $4u^2+3u+1$ | -37

$\left(8u+3\right)·\left(-4-u\right)+4u^2+3u+1-37$ = 0

$-8u^2-35u-12+4u^2+3u+1-37$ = 0

$-4u^2-32u-48$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-4u^2-32u-48$ = 0 |:4

$-u^2-8u-12$ = 0

L={ $-6$; $-2$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-6$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-6\right)+3$

= $-48+3$

= $-45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-6\right)}^2+3\cdot \left(-6\right)+1$ = $4\cdot 36-18+1$ = $144-18+1$ = $127$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-6$| $127$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$127$ = $-45$⋅( $-6$) + c

$127$ = $270$ + c | $-270$

$-143$ = c

also c= $-143$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-45$⋅x $-143$

An der Stelle x= $-2$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $4x^2+3x+1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $8x+3+0$

= $8x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $8\cdot \left(-2\right)+3$

= $-16+3$

= $-13$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-13$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $4\cdot {\left(-2\right)}^2+3\cdot \left(-2\right)+1$ = $4\cdot 4-6+1$ = $16-6+1$ = $11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-2$| $11$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$11$ = $-13$⋅( $-2$) + c

$11$ = $26$ + c | $-26$

$-15$ = c

also c= $-15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-13$⋅x $-15$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-6|127) mit der zugehörigen Tangente: $-45x-143$

B(-2|11) mit der zugehörigen Tangente: $-13x-15$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}x-3\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(25|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(25|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{\mathrm{2,4}}{{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2}·\left(25-u\right)$ + $\frac{6}{\mathrm{0,4}u-3}$

$-\mathrm{2,4}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-3}$ = 0 | ⋅ ${\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2$

$\left(-\mathrm{2,4}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2}+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-3}\right)·{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{2,4}\frac{25-u}{{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2}·{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2+\frac{6}{\mathrm{0,4}u-3}·{\left(\mathrm{0,4}u-3\right)}^2$ = 0

$-\mathrm{2,4}\left(25-u\right)+6\left(\mathrm{0,4}u-3\right)$ = 0

$-60+\mathrm{2,4}u+\mathrm{2,4}u-18$ = 0

$\mathrm{4,8}u-78$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\mathrm{4,8}u-78$	=	0	| $+78$
$\mathrm{4,8}u$	=	$78$	|:$\mathrm{4,8}$
$u$	=	$\mathrm{16,25}$

L={ $\mathrm{16,25}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(16.25|1.714)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 16.25 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($128$|$\frac{7}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($128$|$\frac{7}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u}$ = $-\frac{1}{2u}$

Wir können also P($128$|$\frac{7}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{7}{2}$ = $\frac{-1}{2u}·\left(128-u\right)$ + $u^2+3$ | -$\frac{7}{2}$

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}$ = 0 | ⋅ $2u$

$\left(-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}+u^2+3-\frac{7}{2}\right)·2u$ = 0

$-\frac{1}{2}\frac{128-u}{u}·2u+u^2·2u+3·2u-\frac{7}{2}·2u$ = 0

$-\left(128-u\right)+2u^2·u+6u-7u$ = 0

$-128+u+2u^3+6u-7u$ = 0

$2u^3+0-128$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3+0-128$	=	0
$2u^3-128$	=	0	| $+128$
$2u^3$	=	$128$	|:$2$
$u^3$	=	$64$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

L={ $4$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $4$) = $4^2+3$ = $19$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $4$| $19$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{2,016}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,888}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{2,016}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{2,016}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{2,016}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{2,016}$ = $\mathrm{1,888}$ ≈ 1.89

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,888}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,888}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{1,888}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{2,08}$ = c

also c= $\mathrm{2,08}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{2,08}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{2,08}$	=	0	| $-\mathrm{2,08}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{2,08}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{4,3333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.333.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x+1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|1) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|1) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u+1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

1 = $\left(-2u+1\right)·\left(2-u\right)$ + $-u^2+u-1$ | -1

$\left(-2u+1\right)·\left(2-u\right)-u^2+u-1-1$ = 0

$2u^2-5u+2-u^2+u-1-1$ = 0

$u^2-4u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-4u+0$	=	0
$u^2-4u$	=	0
$u·\left(u-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $4$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+1+0$

= $-2x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $-2\cdot 0+1$

= $0+1$

= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $-0^2+0-1$ = $-0+0-1$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $1$⋅0 + c

$-1$ = 0 + c

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $1$⋅x $-1$

An der Stelle x= $4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2+x-1$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x+1+0$

= $-2x+1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 4+1$

= $-8+1$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-4^2+4-1$ = $-16+4-1$ = $-13$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$| $-13$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-13$ = $-7$⋅ $4$ + c

$-13$ = $-28$ + c | + $28$

$15$ = c

also c= $15$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x + $15$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|-1) mit der zugehörigen Tangente: $x-1$

B(4|-13) mit der zugehörigen Tangente: $-7x+15$