Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $2x^3+5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $6x^2+5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $6\cdot 0^2+5$

= $6\cdot 0+5$

= $0+5$

= $5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $2\cdot 0^3+5\cdot 0$ = $2\cdot 0+0$ = $0+0$ = 0

Wir erhalten so also den Punkt B(0|0) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

0 = $5$⋅0 + c

0 = 0 + c

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $5$⋅x +0

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2{\left(3x-6\right)}^3$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-6{\left(3x-6\right)}^2·\left(3+0\right)$

= $-6{\left(3x-6\right)}^2·\left(3\right)$

= $-18{\left(3x-6\right)}^2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-18\cdot {\left(3\cdot 1-6\right)}^2$

= $-18\cdot {\left(3-6\right)}^2$

= $-18\cdot {\left(-3\right)}^2$

= $-18\cdot 9$

= $-162$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-162$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>)}=$ $-2\cdot {\left(3\cdot 1-6\right)}^3$ = $-2\cdot {\left(3-6\right)}^3$ = $-2\cdot {\left(-3\right)}^3$ = $-2\cdot \left(-27\right)$ = $54$

Wir erhalten so also den Punkt B($1$| $54$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$54$ = $-162$⋅$1$ + c

$54$ = $-162$ + c | + $162$

$216$ = c

also c= $216$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-162$⋅x + $216$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-\left(x-2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-\left(x-2\right)}·\left(-1\right)$

= $\frac{7}{5}{e}^{-\left(x-2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $\frac{7}{5}{e}^{-\left(2-2\right)}$

= $\frac{7}{5}{e}^{-1·0}$

= $\frac{7}{5}{e}^0$

= $\frac{7}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{7}{5}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-\frac{7}{5}{e}^{-\left(2-2\right)}$ = $-\frac{7}{5}{e}^{-1·0}$ = $-\frac{7}{5}{e}^0$ = $-\frac{7}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-\frac{7}{5}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{5}$ = $\frac{7}{5}$⋅ $2$ + c

$-\frac{7}{5}$ = $\frac{14}{5}$ + c | $-\frac{14}{5}$

$-\frac{21}{5}$ = c

also c= $-\frac{21}{5}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{7}{5}$⋅x $-\frac{21}{5}$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-2x^2·e^{\mathrm{0,1}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2·2x·e^{\mathrm{0,1}x}-2x^2·e^{\mathrm{0,1}x}·\mathrm{0,1}$

= $-4x·e^{\mathrm{0,1}x}-2x^2·\mathrm{0,1}{e}^{\mathrm{0,1}x}$

= $-4x·e^{\mathrm{0,1}x}-\mathrm{0,2}{x}^2·e^{\mathrm{0,1}x}$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(-4x-\mathrm{0,2}{x}^2\right)$

= $e^{\mathrm{0,1}x}·\left(-\mathrm{0,2}{x}^2-4x\right)$

= $\left(-\mathrm{0,2}{x}^2-4x\right)·e^{\mathrm{0,1}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}·\left(-\mathrm{0,2}\cdot 2^2-4\cdot 2\right)$

= $e^{\mathrm{0,2}}·\left(-\mathrm{0,2}\cdot 4-8\right)$

= $e^{\mathrm{0,2}}·\left(-\mathrm{0,8}-8\right)$

= $e^{\mathrm{0,2}}·\left(-\mathrm{8,8}\right)$

= $-\mathrm{8,8}{e}^{\mathrm{0,2}}$

≈ -10.75

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{8,8}{e}^{\mathrm{0,2}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-2·2^2·e^{\mathrm{0,1}\cdot 2}$ = $-2·4·e^{\mathrm{0,2}}$ = $-8e^{\mathrm{0,2}}$ ≈ -9.77

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $-8e^{\mathrm{0,2}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-8e^{\mathrm{0,2}}$ = $-\mathrm{8,8}{e}^{\mathrm{0,2}}$⋅ $2$ + c

$-8e^{\mathrm{0,2}}$ = $-\mathrm{17,6}{e}^{\mathrm{0,2}}$ + c | + $\mathrm{17,6}{e}^{\mathrm{0,2}}$

$\mathrm{9,6}{e}^{\mathrm{0,2}}$ = c

also c= $\mathrm{9,6}{e}^{\mathrm{0,2}}$ ≈ 11.73

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{8,8}{e}^{\mathrm{0,2}}$⋅x + $\mathrm{9,6}{e}^{\mathrm{0,2}}$ oder y=-10.75x +11.73

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+2x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+2$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\left(-1\right)}^2+2$

= $-3\cdot 1+2$

= $-3+2$

= $-1$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $1$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\left(-1\right)}^3+2\cdot \left(-1\right)$ = $-\left(-1\right)-2$ = $1-2$ = $-1$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $-1$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-1$ = $1$⋅( $-1$) + c

$-1$ = $-1$ + c | + $1$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $1$⋅x +0

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $10x-5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(-2|5) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(-2|5) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10u-5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

5 = $\left(10u-5\right)·\left(-2-u\right)$ + $5u^2-5u-5$ | -5

$\left(10u-5\right)\left(-2-u\right)+5u^2-5u-5-5$ = 0

$-10u^2-15u+10+5u^2-5u-5-5$ = 0

$-5u^2-20u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$-5u^2-20u+0$	=	0
$-5u^2-20u$	=	0
$-5u\left(u+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={ $-4$; 0}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $-4$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-5+0$

= $10x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-4\right)-5$

= $-40-5$

= $-45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-45$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-4\right)}^2-5\cdot \left(-4\right)-5$ = $5\cdot 16+20-5$ = $80+20-5$ = $95$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-4$| $95$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$95$ = $-45$⋅( $-4$) + c

$95$ = $180$ + c | $-180$

$-85$ = c

also c= $-85$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-45$⋅x $-85$

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2-5x-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x-5+0$

= $10x-5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<mn>0</mn>)}=$ $10\cdot 0-5$

= $0-5$

= $-5$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-5$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<mn>0</mn>)}=$ $5\cdot 0^2-5\cdot 0-5$ = $5\cdot 0+0-5$ = $0+0-5$ = $-5$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $-5$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-5$ = $-5$⋅0 + c

$-5$ = 0 + c

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-5$⋅x $-5$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-4|95) mit der zugehörigen Tangente: $-45x-85$

B(0|-5) mit der zugehörigen Tangente: $-5x-5$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(0|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(0|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-3u^2+\mathrm{2,4}u$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)·\left(0-u\right)$ + $-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$

$-\left(-3u^2+\mathrm{2,4}u\right)u-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$3u^3-\mathrm{2,4}{u}^2-u^3+\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$2u^3-\mathrm{1,2}{u}^2$	=	0
$u^2\left(2u-\mathrm{1,2}\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $\mathrm{0,6}$}

0 ist 2-fache Lösung!

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $\mathrm{0,6}$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^3+\mathrm{1,2}{x}^2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-3x^2+\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-3\cdot {\mathrm{0,6}}^2+\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,6}$

= $-3\cdot \mathrm{0,36}+\mathrm{1,44}$

= $-\mathrm{1,08}+\mathrm{1,44}$

= $\mathrm{0,36}$

≈ 0.36

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,36}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>0,6</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-{\mathrm{0,6}}^3+\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,6}}^2$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,36}$ = $-\mathrm{0,216}+\mathrm{0,432}$ = $\mathrm{0,216}$ ≈ 0.22

Wir erhalten so also den Punkt B( $\mathrm{0,6}$| $\mathrm{0,216}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,36}$⋅ $\mathrm{0,6}$ + c

$\mathrm{0,216}$ = $\mathrm{0,216}$ + c | $-\mathrm{0,216}$

0 = c

also c=0

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,36}$⋅x +0 oder y=0.36x

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|0)

B(0.6|0.216) mit der zugehörigen Tangente: $\mathrm{0,36}x$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade (Gerade der möglichen Turmspitzen) schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$\mathrm{0,36}x$	=	$\mathrm{1,256}$	|:$\mathrm{0,36}$
$x$	=	$\mathrm{3,4889}$

Der gesuchte x-Wert (der die Stelle im Modell beschreibt an der der Turm gebaut werden soll) ist somit x ≈ 3.489.

Der Punkt P liegt "außerhalb" der Parabel der Funktion f. Deswegen muss der Punkt P auf der Normalen an den Graph von f im gesuchten Kurvenpunkt Q liegen.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P($4$|$4$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P($4$|$4$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{u}$ = $-\frac{1}{u}$

Wir können also P($4$|$4$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$4$ = $\frac{-1}{u}·\left(4-u\right)$ + $\frac{1}{2}{u}^2+3$ | -$4$

$-\frac{4-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+3-4$ = 0 | ⋅ $u$

$(-\frac{4-u}{u}+\frac{1}{2}{u}^2+3-4)·u$ = 0

$-\frac{4-u}{u}·u+\frac{1}{2}{u}^2·u+3·u-4·u$ = 0

$-\left(4-u\right)+\frac{1}{2}{u}^2·u+3u-4u$ = 0

$-4+u+\frac{1}{2}{u}^3+3u-4u$ = 0

$\frac{1}{2}{u}^3+0-4$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{2}{u}^3+0-4$	=	0
$\frac{1}{2}{u}^3-4$	=	0	| $+4$
$\frac{1}{2}{u}^3$	=	$4$	|⋅$2$
$u^3$	=	$8$	|
$u$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

L={ $2$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $2$) = $\frac{1}{2}\cdot 2^2+3$ = $5$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $2$| $5$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,44}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,312}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,44}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{1,44}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{1,44}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{1,44}$ = $\mathrm{1,312}$ ≈ 1.31

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,312}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,312}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{1,312}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{1,504}$ = c

also c= $\mathrm{1,504}$ ≈ 1.5

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{1,504}$ oder y=-0.48x +1.5

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{1,504}$	=	0	| $-\mathrm{1,504}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{1,504}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{3,1333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.133.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,728}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-\mathrm{2,4}$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-\mathrm{2,4}$	=	0	| $+\mathrm{2,4}$
$6x$	=	$\mathrm{2,4}$	|:$6$
$x$	=	$\mathrm{0,4}$

Die Lösung x= $\mathrm{0,4}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,6}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,2}{x}^2+\mathrm{1,728}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-\mathrm{2,4}x+0$

= $3x^2-\mathrm{2,4}x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\mathrm{0,4}}^2-\mathrm{2,4}\cdot \mathrm{0,4}$

= $3\cdot \mathrm{0,16}-\mathrm{0,96}$

= $\mathrm{0,48}-\mathrm{0,96}$

= $-\mathrm{0,48}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\mathrm{0,48}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>0,4</mn></mrow> </math>)}=$ ${\mathrm{0,4}}^3-\mathrm{1,2}\cdot {\mathrm{0,4}}^2+\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{1,2}\cdot \mathrm{0,16}+\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{0,064}-\mathrm{0,192}+\mathrm{1,728}$ = $\mathrm{1,6}$

Wir erhalten so also den Punkt B($\mathrm{0,4}$| $\mathrm{1,6}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\mathrm{1,6}$ = $-\mathrm{0,48}$⋅$\mathrm{0,4}$ + c

$\mathrm{1,6}$ = $-\mathrm{0,192}$ + c | + $\mathrm{0,192}$

$\mathrm{1,792}$ = c

also c= $\mathrm{1,792}$ ≈ 1.79

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\mathrm{0,48}$⋅x + $\mathrm{1,792}$ oder y=-0.48x +1.79

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\mathrm{0,48}x+\mathrm{1,792}$	=	0	| $-\mathrm{1,792}$
$-\mathrm{0,48}x$	=	$-\mathrm{1,792}$	|:($-\mathrm{0,48}$)
$x$	=	$\mathrm{3,7333}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.733.