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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - 4 x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 6 \cdot (- 2) - 4$

= $12 - 4$

= $8$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $8$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 3 \cdot {(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 2)$ = $- 3 \cdot 4 + 8$ = $- 12 + 8$ = $- 4$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 4$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 4$ = $8$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 4$ = $- 16$ + c | + $16$

$12$ = c

also c= $12$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $8$ ⋅x + $12$

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $3 {(- x + 1)}^{2}$ an der Stelle x= $0$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $3 {(- x + 1)}^{2}$ ,
also

$f'(x) =$ $6 (- x + 1) \cdot (- 1 + 0)$

= $6 (- x + 1) \cdot (- 1)$

= $- 6 (- x + 1)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $- 6 (- 0 + 1)$

= $- 6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 6$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $3 \cdot {(- 0 + 1)}^{2}$ = $3 \cdot {(1)}^{2}$ = $3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $0$ | $3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$3$ = $- 6$ ⋅ $0$ + c

$3$ = 0 + c

$3$ = c

also c= $3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 6$ ⋅x + $3$

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{2 (x - 3)}$ an der Stelle x= $3$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $\frac{1}{5} e^{2 (x - 3)}$ ,
also

$f'(x) =$ $\frac{1}{5} e^{2 (x - 3)} \cdot 2$

= $\frac{2}{5} e^{2 (x - 3)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(3) =$ $\frac{2}{5} e^{2 (3 - 3)}$

= $\frac{2}{5} e^{2 \cdot 0}$

= $\frac{2}{5} e^{0}$

= $\frac{2}{5}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\frac{2}{5}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(3) =$ $\frac{1}{5} e^{2 (3 - 3)}$ = $\frac{1}{5} e^{2 \cdot 0}$ = $\frac{1}{5} e^{0}$ = $\frac{1}{5}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $3$ | $\frac{1}{5}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{1}{5}$ = $\frac{2}{5}$ ⋅ $3$ + c

$\frac{1}{5}$ = $\frac{6}{5}$ + c | $- \frac{6}{5}$

$- 1$ = c

also c= $- 1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\frac{2}{5}$ ⋅x $- 1$

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- x \cdot e^{0,7 x}$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- x \cdot e^{0,7 x}$ ,
also

$f'(x) =$ $- 1 \cdot e^{0,7 x} - x \cdot e^{0,7 x} \cdot 0,7$

= $- e^{0,7 x} - x \cdot 0,7 e^{0,7 x}$

= $- e^{0,7 x} - 0,7 x \cdot e^{0,7 x}$

= $e^{0,7 x} \cdot (- 1 - 0,7 x)$

= $e^{0,7 x} \cdot (- 0,7 x - 1)$

= $(- 0,7 x - 1) \cdot e^{0,7 x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $e^{0,7 \cdot (- 2)} \cdot (- 0,7 \cdot (- 2) - 1)$

= $e^{- 1,4} \cdot (1,4 - 1)$

= $e^{- 1,4} \cdot 0,4$

= $0,4 e^{- 1,4}$

≈ 0.1

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $0,4 e^{- 1,4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- (- 2) \cdot e^{0,7 \cdot (- 2)}$ = $- (- 2) \cdot e^{- 1,4}$ = $2 e^{- 1,4}$ ≈ 0.49

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $2 e^{- 1,4}$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2 e^{- 1,4}$ = $0,4 e^{- 1,4}$ ⋅( $- 2$ ) + c

$2 e^{- 1,4}$ = $- 0,8 e^{- 1,4}$ + c | + $0,8 e^{- 1,4}$

$2,8 e^{- 1,4}$ = c

also c= $2,8 e^{- 1,4}$ ≈ 0.69

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $0,4 e^{- 1,4}$ ⋅x + $2,8 e^{- 1,4}$ oder y=0.1x +0.69

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 2$ an der Stelle x= $- π$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $4 \cdot \sin (x) + 2$ ,
also

$f'(x) =$ $4 \cdot \cos (x) + 0$

= $4 \cdot \cos (x)$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- π) =$ $4 \cdot \cos ((- π))$

= $4 \cdot (- 1)$

= $- 4$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{4}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- π) =$ $4 \cdot \sin ((- π)) + 2$ = $4 \cdot 0 + 2$ = $0 + 2$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- π$ | $2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $\frac{1}{4}$ ⋅( $- π$ ) + c

$2$ = $- \frac{1}{4} π$ + c | + $\frac{1}{4} π$

$2 + \frac{1}{4} π$ = c

also c= $2 + \frac{1}{4} π$ ≈ 2.79

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{4}$ ⋅x + $2 + \frac{1}{4} π$ oder y=0.25x +2.79

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(2|36) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 1$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- 10 x + 5$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|36) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|36) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- 10 u + 5$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

36 = $(- 10 u + 5) \cdot (2 - u)$ + $- 5 u^{2} + 5 u + 1$ | -36

$(- 10 u + 5) (2 - u) - 5 u^{2} + 5 u + 1 - 36$ = 0

$10 u^{2} - 25 u + 10 - 5 u^{2} + 5 u + 1 - 36$ = 0

$5 u^{2} - 20 u - 25$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

5 u^{2} - 20 u - 25

= 0 |:5

$u^{2} - 4 u - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

L={ $- 1$ ; $5$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $- 1$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 5 + 0$

= $- 10 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 1) =$ $- 10 \cdot (- 1) + 5$

= $10 + 5$

= $15$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $15$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 1) =$ $- 5 \cdot {(- 1)}^{2} + 5 \cdot (- 1) + 1$ = $- 5 \cdot 1 - 5 + 1$ = $- 5 - 5 + 1$ = $- 9$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 1$ | $- 9$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 9$ = $15$ ⋅( $- 1$ ) + c

$- 9$ = $- 15$ + c | + $15$

$6$ = c

also c= $6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $15$ ⋅x + $6$

An der Stelle x= $5$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 5 x + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $- 10 x + 5 + 0$

= $- 10 x + 5$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(5) =$ $- 10 \cdot 5 + 5$

= $- 50 + 5$

= $- 45$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 45$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(5) =$ $- 5 \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 + 1$ = $- 5 \cdot 25 + 25 + 1$ = $- 125 + 25 + 1$ = $- 99$

Wir erhalten so also den Punkt B( $5$ | $- 99$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 99$ = $- 45$ ⋅ $5$ + c

$- 99$ = $- 225$ + c | + $225$

$126$ = c

also c= $126$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 45$ ⋅x + $126$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(-1|-9) mit der zugehörigen Tangente: $15 x + 6$

B(5|-99) mit der zugehörigen Tangente: $- 45 x + 126$

Tangente von außen Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{8}{0,4 x - 2}$ beschrieben werden kann. An einer bestimmten Stelle stürzt der Snowboarder und rutscht geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Er trifft den Fangzaun im Punkt (25|0). Bestimme den x-Wert des Punktes an dem der Snowboarder gestürzt ist.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $- \frac{3,2}{{(0,4 x - 2)}^{2}}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(25|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(25|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $- \frac{3,2}{{(0,4 u - 2)}^{2}}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $- \frac{3,2}{{(0,4 u - 2)}^{2}} \cdot (25 - u)$ + $\frac{8}{0,4 u - 2}$

$- 3,2 \frac{25 - u}{{(0,4 u - 2)}^{2}} + \frac{8}{0,4 u - 2}$ = 0 | ⋅ ${(0,4 u - 2)}^{2}$

$(- 3,2 \frac{25 - u}{{(0,4 u - 2)}^{2}} + \frac{8}{0,4 u - 2}) \cdot {(0,4 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 3,2 \frac{25 - u}{{(0,4 u - 2)}^{2}} \cdot {(0,4 u - 2)}^{2} + \frac{8}{0,4 u - 2} \cdot {(0,4 u - 2)}^{2}$ = 0

$- 3,2 (25 - u) + 8 (0,4 u - 2)$ = 0

$- 80 + 3,2 u + 3,2 u - 16$ = 0

$6,4 u - 96$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$6,4 u - 96$	=	0	\| $+ 96$
$6,4 u$	=	$96$	\|: $6,4$
$u$	=	$15$

L={ $15$ }

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(15|2)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 15 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Normale von außen Anwendungen

Beispiel:

Die Gerade durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $3$ ) und einen gesuchten Punkt Q auf dem Graph der Funktion f mit f(x)= $\frac{1}{4} x^{2} + 1$ schneidet den Graph von f orthogonal. Bestimme die Koordinaten eines solchen Punkt Q mit positivem x-Wert.

Lösung einblenden

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $3$ ) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $\frac{1}{2} u$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P( $\frac{8}{27}$ | $3$ ) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_{t}}$ = - $\frac{1}{f '(u)}$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u}$ = $- \frac{2}{u}$

Wir können also P( $\frac{8}{27}$ | $3$ ) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{f '(u)}$ = $- \frac{2}{u}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{f '(u)}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$3$ = $\frac{- 1}{\frac{1}{2} u} \cdot (\frac{8}{27} - u)$ + $\frac{1}{4} u^{2} + 1$ | - $3$

$- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 1 - 3$ = 0 | ⋅ $\frac{1}{2} u$

$(- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} + \frac{1}{4} u^{2} + 1 - 3) \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- 2 \frac{\frac{8}{27} - u}{u} \cdot \frac{1}{2} u + \frac{1}{4} u^{2} \cdot \frac{1}{2} u + 1 \cdot \frac{1}{2} u - 3 \cdot \frac{1}{2} u$ = 0

$- (\frac{8}{27} - u) + \frac{1}{8} u^{2} \cdot u + \frac{1}{2} u - \frac{3}{2} u$ = 0

$- \frac{8}{27} + u + \frac{1}{8} u^{3} + \frac{1}{2} u - \frac{3}{2} u$ = 0

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - \frac{8}{27}$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$\frac{1}{8} u^{3} + 0 - \frac{8}{27}$	=	0
$\frac{1}{8} u^{3} - \frac{8}{27}$	=	0	\| $+ \frac{8}{27}$
$\frac{1}{8} u^{3}$	=	$\frac{8}{27}$	\|⋅ $8$
$u^{3}$	=	$\frac{64}{27}$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$u$	=	$\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$	= $\frac{4}{3}$

L={ $\frac{4}{3}$ }

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f( $\frac{4}{3}$ ) = $\frac{1}{4} \cdot {(\frac{4}{3})}^{2} + 1$ = $\frac{13}{9}$ , also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $\frac{4}{3}$ | $\frac{13}{9}$ ) bzw. Q(1.33|1.44)

Wendetangente Anwendungen

Beispiel:

Ein Snowboarder fährt bei einem Rennen auf einer Linie, die im Modell durch den Graph der Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$ (mit 0 ≤ x ≤ 4) beschrieben werden kann. Sollte der Snowboarder an einer bestimmten Stelle stürzen, so rutscht er geradlinig in einen Fangzaun, der im Modell auf der Geraden y=0 liegt. Der Zaun soll nur dort aufgestellt werden, wo der Snowboarder auch wirklich reinrutschen kann. Bestimme den x-Wert, des linken Endes des Zauns.

Lösung einblenden

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

$f''(x) =$ $6 x - 2,4$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6 x - 2,4$	=	0	\| $+ 2,4$
$6 x$	=	$2,4$	\|: $6$
$x$	=	$0,4$

Die Lösung x= $0,4$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W( $0,4$ | $1,456$ ) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 1,2 x^{2} + 1,584$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} - 2,4 x + 0$

= $3 x^{2} - 2,4 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0,4) =$ $3 \cdot {0,4}^{2} - 2,4 \cdot 0,4$

= $3 \cdot 0,16 - 0,96$

= $0,48 - 0,96$

= $- 0,48$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 0,48$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0,4) =$ ${0,4}^{3} - 1,2 \cdot {0,4}^{2} + 1,584$ = $0,064 - 1,2 \cdot 0,16 + 1,584$ = $0,064 - 0,192 + 1,584$ = $1,456$ ≈ 1.46

Wir erhalten so also den Punkt B( $0,4$ | $1,456$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$1,456$ = $- 0,48$ ⋅ $0,4$ + c

$1,456$ = $- 0,192$ + c | + $0,192$

$1,648$ = c

also c= $1,648$ ≈ 1.65

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 0,48$ ⋅x + $1,648$ oder y=-0.48x +1.65

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$- 0,48 x + 1,648$	=	0	\| $- 1,648$
$- 0,48 x$	=	$- 1,648$	\|:( $- 0,48$ )
$x$	=	$3,4333$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 3.433.

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(2|-4) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} - x - 2$ angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $f'(x) =$ $10 x - 1$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(2|-4) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(2|-4) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $10 u - 1$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-4 = $(10 u - 1) \cdot (2 - u)$ + $5 u^{2} - u - 2$ | +4

$(10 u - 1) (2 - u) + 5 u^{2} - u - 2 + 4$ = 0

$- 10 u^{2} + 21 u - 2 + 5 u^{2} - u - 2 + 4$ = 0

$- 5 u^{2} + 20 u + 0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$- 5 u^{2} + 20 u + 0$	=	0
$- 5 u^{2} + 20 u$	=	0
$5 u (- u + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

u₁

=

0

2. Fall:

$- u + 4$	=	0	\| $- 4$
$- u$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
u₂	=	$4$

L={0; $4$ }

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x=0:

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x - 1 + 0$

= $10 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(0) =$ $10 \cdot 0 - 1$

= $0 - 1$

= $- 1$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- 1$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(0) =$ $5 \cdot 0^{2} - 0 - 2$ = $5 \cdot 0 + 0 - 2$ = $0 + 0 - 2$ = $- 2$

Wir erhalten so also den Punkt B(0| $- 2$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 2$ = $- 1$ ⋅0 + c

$- 2$ = 0 + c

$- 2$ = c

also c= $- 2$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- 1$ ⋅x $- 2$

An der Stelle x= $4$ :

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $5 x^{2} - x - 2$ ,
also

$f'(x) =$ $10 x - 1 + 0$

= $10 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $10 \cdot 4 - 1$

= $40 - 1$

= $39$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $39$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $5 \cdot 4^{2} - 4 - 2$ = $5 \cdot 16 - 4 - 2$ = $80 - 4 - 2$ = $74$

Wir erhalten so also den Punkt B( $4$ | $74$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$74$ = $39$ ⋅ $4$ + c

$74$ = $156$ + c | $- 156$

$- 82$ = c

also c= $- 82$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $39$ ⋅x $- 82$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(0|-2) mit der zugehörigen Tangente: $- x - 2$

B(4|74) mit der zugehörigen Tangente: $39 x - 82$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

e-Funktionen: Tangente anlegen

Normale anlegen

Tangente von außen anlegen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

An der Stelle x= -1 :

An der Stelle x= 5 :

Zusammenfassung:

Tangente von außen Anwendungen

Zusammenfassung:

Normale von außen Anwendungen

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( 8 27 |3) verläuft.

Wendetangente Anwendungen

Tangente von außen anlegen

An der Stelle x=0:

An der Stelle x= 4 :

Zusammenfassung:

An der Stelle x= $- 1$ :

An der Stelle x= $5$ :

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P( $\frac{8}{27}$ | $3$ ) verläuft.

An der Stelle x= $4$ :