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Tangente anlegen (einfache Funktionen)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= 3 x 3 -4 an der Stelle x=0:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= 3 x 3 -4 ,
also

f'(x)= 9 x 2 +0

= 9 x 2

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(0)= 9 0 2

= 90

= 0

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y=0x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(0)= 3 0 3 -4 = 30 -4 = 0 -4 = -4

Wir erhalten so also den Punkt B(0| -4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-4 = 00 + c

-4 = 0 + c

-4 = c

also c= -4

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y=0⋅x -4

Tangente anlegen (auch verkettete Fkt'n)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= - 1 ( -2x +3 ) 2 an der Stelle x=3:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - 1 ( -2x +3 ) 2 ,
also

f'(x)= 2 ( -2x +3 ) 3 · ( -2 +0 )

= 2 ( -2x +3 ) 3 · ( -2 )

= - 4 ( -2x +3 ) 3

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'(3)= - 4 ( -23 +3 ) 3

= - 4 ( -6 +3 ) 3

= - 4 ( -3 ) 3

= -4( - 1 27 )

= 4 27

≈ 0.15

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 4 27 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f(3)= - 1 ( -23 +3 ) 2 = - 1 ( -6 +3 ) 2 = - 1 ( -3 ) 2 = -( 1 9 ) ≈ -0.11

Wir erhalten so also den Punkt B(3| - 1 9 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

- 1 9 = 4 27 3 + c

- 1 9 = 4 9 + c | - 4 9

- 5 9 = c

also c= - 5 9 ≈ -0.56

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 4 27 ⋅x - 5 9 oder y=0.15x -0.56

e-Funktionen: Tangente anlegen BF

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= -3 e 2( x +2 ) an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 e 2( x +2 ) ,
also

f'(x)= -3 e 2( x +2 ) · 2

= -6 e 2( x +2 )

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( -2 )= -6 e 2( -2 +2 )

= -6 e 2 · 0

= -6 e 0

= -6

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -6 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= -3 e 2( -2 +2 ) = -3 e 2 · 0 = -3 e 0 = -3

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | -3 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-3 = -6 -2 + c

-3 = 12 + c | -12

-15 = c

also c= -15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -6 ⋅x -15

e-Funktionen: Tangente anlegen

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit f(x)= ( 2x +7 ) · e 0,7x an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= ( 2x +7 ) · e 0,7x ,
also

f'(x)= ( 2 +0 ) · e 0,7x + ( 2x +7 ) · e 0,7x · 0,7

= 2 e 0,7x + ( 2x +7 ) · 0,7 e 0,7x

= 2 e 0,7x +0,7 ( 2x +7 ) · e 0,7x

= e 0,7x · ( 1,4x +6,9 )

= ( 1,4x +6,9 ) · e 0,7x

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( -2 )= e 0,7( -2 ) · ( 1,4( -2 ) +6,9 )

= e -1,4 · ( -2,8 +6,9 )

= e -1,4 · 4,1

= 4,1 e -1,4

≈ 1.01

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 4,1 e -1,4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= ( 2( -2 ) +7 ) · e 0,7( -2 ) = ( -4 +7 ) · e -1,4 = 3 e -1,4 ≈ 0.74

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | 3 e -1,4 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

3 e -1,4 = 4,1 e -1,4 -2 + c

3 e -1,4 = -8,2 e -1,4 + c | + 8.2 e -1,4

11,2 e -1,4 = c

also c= 11,2 e -1,4 ≈ 2.76

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 4,1 e -1,4 ⋅x + 11,2 e -1,4 oder y=1.01x +2.76

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit f(x)= - 3 4 x 2 + x an der Stelle x= -2 :

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Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= - 3 4 x 2 + x ,
also

f'(x)= - 3 2 x +1

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( -2 )= - 3 2 ( -2 ) +1

= 3 +1

= 4

Um mit der Tangentsteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

mn=- 1 mt

also mn= - 1 4

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= - 1 4 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= - 3 4 ( -2 ) 2 -2 = - 3 4 4 -2 = -3 -2 = -5

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | -5 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-5 = - 1 4 -2 + c

-5 = 1 2 + c | - 1 2

- 11 2 = c

also c= - 11 2

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= - 1 4 ⋅x - 11 2

Tangente von außen anlegen

Beispiel:

Vom Punkt P(1|30) aus sollen Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= -3 x 2 +5x +1 angelegt werden.
Bestimme alle möglichen Berührpunkte und bestimme (exemplarisch) eine Tangentengleichung an einem dieser Berührpunkte.

Lösung einblenden

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: f'(x)= -6x +5

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(1|30) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentsteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(1|30) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= -6u +5 in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

30 = ( -6u +5 ) · ( 1 - u ) + -3 u 2 +5u +1 | -30

( -6u +5 ) · ( 1 - u ) + ( -3 u 2 +5u +1 ) -30 = 0

6 u 2 -11u +5 + ( -3 u 2 +5u +1 ) -30 = 0

3 u 2 -6u -24 = 0

Die Lösung der Gleichung:

3 u 2 -6u -24 = 0 |:3

u 2 -2u -8 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

u1,2 = +2 ± 4 +32 2

u1,2 = +2 ± 36 2

u1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

u2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

L={ -2 ; 4 }


Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.


An der Stelle x= -2 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 x 2 +5x +1 ,
also

f'(x)= -6x +5 +0

= -6x +5

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( -2 )= -6( -2 ) +5

= 12 +5

= 17

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= 17 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( -2 )= -3 ( -2 ) 2 +5( -2 ) +1 = -34 -10 +1 = -12 -10 +1 = -21

Wir erhalten so also den Punkt B( -2 | -21 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-21 = 17 -2 + c

-21 = -34 + c | + 34

13 = c

also c= 13

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= 17 ⋅x + 13


An der Stelle x= 4 :

Zuerst braucht man die Ableitung von f(x)= -3 x 2 +5x +1 ,
also

f'(x)= -6x +5 +0

= -6x +5

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

m = f'( 4 )= -64 +5

= -24 +5

= -19

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= -19 x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 4 )= -3 4 2 +54 +1 = -316 +20 +1 = -48 +20 +1 = -27

Wir erhalten so also den Punkt B( 4 | -27 ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

-27 = -19 4 + c

-27 = -76 + c | + 76

49 = c

also c= 49

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= -19 ⋅x + 49