Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $5x^2+3x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $10x+3$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $10\cdot \left(-1\right)+3$

= $-10+3$

= $-7$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-7$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $5\cdot {\left(-1\right)}^2+3\cdot \left(-1\right)$ = $5\cdot 1-3$ = $5-3$ = $2$

Wir erhalten so also den Punkt B( $-1$| $2$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$2$ = $-7$⋅( $-1$) + c

$2$ = $7$ + c | $-7$

$-5$ = c

also c= $-5$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-7$⋅x $-5$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ ${\left(2x-5\right)}^2-5x$,
also

$\text{f'(x)}=$ $2\left(2x-5\right)·\left(2+0\right)-5$

= $2\left(2x-5\right)·\left(2\right)-5$

= $4\left(2x-5\right)-5$

= $4·2x+4·\left(-5\right)-5$

= $8x-20-5$

= $8x-25$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ $8\cdot 2-25$

= $16-25$

= $-9$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-9$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>)}=$ ${\left(2\cdot 2-5\right)}^2-5\cdot 2$ = ${\left(4-5\right)}^2-10$ = ${\left(-1\right)}^2-10$ = $1-10$ = $-9$

Wir erhalten so also den Punkt B($2$| $-9$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-9$ = $-9$⋅$2$ + c

$-9$ = $-18$ + c | + $18$

$9$ = c

also c= $9$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-9$⋅x + $9$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $7e^{2\left(x-2\right)}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $7e^{2\left(x-2\right)}·2$

= $14e^{2\left(x-2\right)}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $14e^{2\left(2-2\right)}$

= $14e^{2·0}$

= $14e^0$

= $14$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $14$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $7e^{2\left(2-2\right)}$ = $7e^{2·0}$ = $7e^0$ = $7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$| $7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$7$ = $14$⋅ $2$ + c

$7$ = $28$ + c | $-28$

$-21$ = c

also c= $-21$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $14$⋅x $-21$

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\left(2x+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $\left(2+0\right)·e^{\mathrm{0,6}x}+\left(2x+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}·\mathrm{0,6}$

= $2e^{\mathrm{0,6}x}+\left(2x+4\right)·\mathrm{0,6}{e}^{\mathrm{0,6}x}$

= $2e^{\mathrm{0,6}x}+\mathrm{0,6}\left(2x+4\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(2+\mathrm{1,2}x+\mathrm{2,4}\right)$

= $e^{\mathrm{0,6}x}·\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)$

= $\left(\mathrm{1,2}x+\mathrm{4,4}\right)·e^{\mathrm{0,6}x}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-3\right)}·\left(\mathrm{1,2}\cdot \left(-3\right)+\mathrm{4,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,8}}·\left(-\mathrm{3,6}+\mathrm{4,4}\right)$

= $e^{-\mathrm{1,8}}·\mathrm{0,8}$

= $\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$

≈ 0.13

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\left(2\cdot \left(-3\right)+4\right)·e^{\mathrm{0,6}\cdot \left(-3\right)}$ = $\left(-6+4\right)·e^{-\mathrm{1,8}}$ = $-2e^{-\mathrm{1,8}}$ ≈ -0.33

Wir erhalten so also den Punkt B( $-3$| $-2e^{-\mathrm{1,8}}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-2e^{-\mathrm{1,8}}$ = $\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$⋅( $-3$) + c

$-2e^{-\mathrm{1,8}}$ = $-\mathrm{2,4}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ + c | + $\mathrm{2,4}{e}^{-\mathrm{1,8}}$

$\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ = c

also c= $\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ ≈ 0.07

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $\mathrm{0,8}{e}^{-\mathrm{1,8}}$⋅x + $\mathrm{0,4}{e}^{-\mathrm{1,8}}$ oder y=0.13x +0.07

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2-5$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x+0$

= $3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot 1$

= $3$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= -$\frac{1}{m_t}$

also m_n= $-\frac{1}{3}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $-\frac{1}{3}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $\frac{3}{2}\cdot 1^2-5$ = $\frac{3}{2}\cdot 1-5$ = $\frac{3}{2}-5$ = $\frac{3}{2}-\frac{10}{2}$ = $-\frac{7}{2}$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-\frac{7}{2}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-\frac{7}{2}$ = $-\frac{1}{3}$⋅ $1$ + c

$-\frac{7}{2}$ = $-\frac{1}{3}$ + c | + $\frac{1}{3}$

$-\frac{19}{6}$ = c

also c= $-\frac{19}{6}$ ≈ -3.17

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $-\frac{1}{3}$⋅x $-\frac{19}{6}$ oder y=-0.33x -3.17

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-2x-4$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(4|-25) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(4|-25) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-2u-4$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

-25 = $\left(-2u-4\right)·\left(4-u\right)$ + $-u^2-4u-2$ | +25

$\left(-2u-4\right)\left(4-u\right)-u^2-4u-2+25$ = 0

$2u^2-4u-16-u^2-4u-2+25$ = 0

$u^2-8u+7$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+7$ = 0

L={ $1$; $7$}

Man hat nun also die x-Werte der Berührpunkte. In diesen müssen nun noch Tangenten an den Graphen von f angelegt werden.

An der Stelle x= $1$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-4x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-4+0$

= $-2x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 1-4$

= $-2-4$

= $-6$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-6$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>1</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-1^2-4\cdot 1-2$ = $-1-4-2$ = $-7$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$| $-7$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-7$ = $-6$⋅ $1$ + c

$-7$ = $-6$ + c | + $6$

$-1$ = c

also c= $-1$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-6$⋅x $-1$

An der Stelle x= $7$:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $-x^2-4x-2$,
also

$\text{f'(x)}=$ $-2x-4+0$

= $-2x-4$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(\; <math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>)}=$ $-2\cdot 7-4$

= $-14-4$

= $-18$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-18$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f( <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow><mrow><mn>7</mn></mrow> </mrow> </math>)}=$ $-7^2-4\cdot 7-2$ = $-49-28-2$ = $-79$

Wir erhalten so also den Punkt B( $7$| $-79$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$-79$ = $-18$⋅ $7$ + c

$-79$ = $-126$ + c | + $126$

$47$ = c

also c= $47$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-18$⋅x + $47$

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 2 Berührpunkte:

B(1|-7) mit der zugehörigen Tangente: $-6x-1$

B(7|-79) mit der zugehörigen Tangente: $-18x+47$

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}$

Wir kennen den Berührpunkt, in dem die gesuchte Tangente durch P(30|0) an das Schaubild von f angelegt wird, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert u. Der Funktionswert ist dann f(u), da der Berührpunkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem muss die Ableitung in u ja gerade die Tangentensteigung sein, da B(u|f(u)) der Berührpunkt ist.

Wir können also P(30|0) als (x|y), den Berührpunkt B(u|f(u)) und m=f'(u)= $-\frac{5}{{\left(u-1\right)}^2}$ in die allgemeine Tangentengleichung

y=f´(u) ⋅(x-u)+f(u)

einsetzen:

0 = $-\frac{5}{{\left(u-1\right)}^2}·\left(30-u\right)$ + $\frac{5}{u-1}$

$-5\frac{30-u}{{\left(u-1\right)}^2}+\frac{5}{u-1}$ = 0 | ⋅ ${\left(u-1\right)}^2$

$\left(-5\frac{30-u}{{\left(u-1\right)}^2}+\frac{5}{u-1}\right)·{\left(u-1\right)}^2$ = 0

$-5\frac{30-u}{{\left(u-1\right)}^2}·{\left(u-1\right)}^2+\frac{5}{u-1}·{\left(u-1\right)}^2$ = 0

$-5\left(30-u\right)+5\left(u-1\right)$ = 0

$-150+5u+5u-5$ = 0

$10u-155$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$10u-155$	=	0	| $+155$
$10u$	=	$155$	|:$10$
$u$	=	$\frac{31}{2}$ = 15.5

L={ $\frac{31}{2}$}

Zusammenfassung:

Es gibt also insgesamt 1 Berührpunkte:

B(15.5|0.345)

Es gibt also genau eine Berührstelle und somit ist x = 15.5 der x-Wert des Punktes im Modell, an dem der Snowboarder bestürtzt ist.

Gesucht ist der Kurvenpunkt auf dem Graph von f, dessen Normale durch den Punkt P(4|$\frac{3}{2}$) verläuft.

Zuerst wird die Ableitung von f berechnet: $\text{f'(x)}=$ $2x-8$

Wir kennen den Kurvenpunkt von G_f, an dem die gesuchte Normale durch P(4|$\frac{3}{2}$) geht, nicht. Deswegen nennen wir den x-Wert dieses gesuchten Punktes u. Der Funktionswert ist dann f(u), da dieser Punkt ja auf dem Schaubild von f liegt. Außerdem ist die Tangentensteigung in diesem Kurvenpunkt Q(u|f(u)) die Ableitung f'(u).

Da wir ja aber die Normale und nicht die Tangente suchen, müssen wir den negativen Kehrwert von f'(u) bilden, um die Steigung der Normalen zu erhalten.

m_n = - $\frac{1}{m_t}$ = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $\frac{-1}{2u-8}$ = $-\frac{1}{2u-8}$

Wir können also P(4|$\frac{3}{2}$) als (x|y), den gesuchten Kurvenpunkt Q(u|f(u)) und - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ = $-\frac{1}{2u-8}$ in die allgemeine Normalengleichung

y = - $\frac{1}{\mathrm{f\; \text{'}(u)}}$ ⋅(x-u) + f(u)

einsetzen:

$\frac{3}{2}$ = $\frac{-1}{2u-8}·\left(4-u\right)$ + $u^2-8u+1$ | -$\frac{3}{2}$

$-\frac{4-u}{2u-8}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$\frac{1}{2}+u^2-8u+1-\frac{3}{2}$ = 0

$u^2-8u+0$ = 0

Die Lösung der Gleichung:

$u^2-8u+0$	=	0
$u^2-8u$	=	0
$u\left(u-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

L={0; $8$}

Man hat nun also die x-Werte der gesuchten Kurvenpunkte. Für die y-Werte muss man eben noch die x-Werte in die Originalfunktion f einsetzen:

f(0) = $0^2-8\cdot 0+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q(0| $1$)

f( $8$) = $8^2-8\cdot 8+1$ = $1$, also gilt für den gesuchten Kurvenpunkt: Q( $8$| $1$)

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,05}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\mathrm{3,8}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{4,05}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{4,05}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{81}{20}$ = $\frac{5}{40}-\frac{15}{40}+\frac{162}{40}$ = $\frac{152}{40}$ ≈ 3.8

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{76}{20}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{76}{20}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{76}{20}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{167}{40}$ = c

also c= $\frac{167}{40}$ ≈ 4.18

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{167}{40}$ oder y=-0.75x +4.18

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,175}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\mathrm{4,175}\right)$	=	0
$-3x+\mathrm{16,7}$	=	0	| $-\mathrm{16,7}$
$-3x$	=	$-\mathrm{16,7}$	|:($-3$)
$x$	=	$\mathrm{5,5667}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 5.567.

Wir suchen also nach dem Wendepunkt:

$\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{3,375}$

Als erstes leitet man die Funktion zwei mal ab.

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

$\text{f''(x)}=$ $6x-3$

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f''(x)=0.

(Wendestellen sind Extremstellen in der Ableitung, also haben Wendepunkten die Steigung 0 in f').

Man setzt nun also die zweite Ableitung gleich 0, um die einzig möglichen x-Werte für Wendepunkte zu bestimmen.

$6x-3$	=	0	| $+3$
$6x$	=	$3$	|:$6$
$x$	=	$\frac{1}{2}$ = 0.5

Die Lösung x= $\frac{1}{2}$ ist nun der einzige Kandidat für eine Wendestelle.

Jetzt müssen wir noch die Tangente im Wendepunkt W($\frac{1}{2}$| $\frac{\mathrm{12,5}}{4}$) aufstellen:

Zuerst braucht man die Ableitung von $\text{f(x)}=$ $x^3-\mathrm{1,5}{x}^2+\mathrm{3,375}$,
also

$\text{f'(x)}=$ $3x^2-3x+0$

= $3x^2-3x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_t\mathrm{=\; f\text{'}(<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow>\; </math>)}=$ $3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-3\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$

= $3\cdot \left(\frac{1}{4}\right)-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{3}{2}$

= $\frac{3}{4}-\frac{6}{4}$

= $-\frac{3}{4}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $-\frac{3}{4}$x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $\text{f(<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </mfrac> </mrow> </math>)}=$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3-\mathrm{1,5}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\mathrm{1,5}\cdot \left(\frac{1}{4}\right)+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\frac{\mathrm{1,5}}{4}+\mathrm{3,375}$ = $\frac{1}{8}-\frac{3}{8}+\frac{27}{8}$ = $\frac{25}{8}$ ≈ 3.13

Wir erhalten so also den Punkt B($\frac{1}{2}$| $\frac{25}{8}$) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$\frac{25}{8}$ = $-\frac{3}{4}$⋅$\frac{1}{2}$ + c

$\frac{25}{8}$ = $-\frac{3}{8}$ + c | + $\frac{3}{8}$

$\frac{7}{2}$ = c

also c= $\frac{7}{2}$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $-\frac{3}{4}$⋅x + $\frac{7}{2}$

Jetzt müssen wir ja noch die Tangente mit der anderen Gerade y = 0 () schneiden, um den gesuchten x-Wert zu erhalten:

$-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}$	=	0	|⋅ 4
$4\left(-\frac{3}{4}x+\frac{7}{2}\right)$	=	0
$-3x+14$	=	0	| $-14$
$-3x$	=	$-14$	|:($-3$)
$x$	=	$\frac{14}{3}$

Der gesuchte x-Wert () ist somit x ≈ 4.667.