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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 3$ = $- 4$

Lösung einblenden

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 3

=

- 4

|

+ 3

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|:

- 1

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$4 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1$ = $-0,55$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1

=

-0,55

|

+ 1

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0,45

|:

- 3

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,15

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.15056827277669

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,133$

1. Fall:

2 x - \frac{1}{2} π

=

6,133

oder

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$6,133 - 2 π$	\|⋅ 2
$4 x - π$	=	$12,266 - 4 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$12,266 - 3 π$
$4 x$	=	$2,8412$	\|: $4$
x₁	=	$0,7103$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,15$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,133$ =-2.9914 bzw. bei -2.9914+2π= $3,292$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$3,292$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$6,584$
$4 x - π$	=	$6,584$	\| $+ π$
$4 x$	=	$6,584 + π$
$4 x$	=	$9,7256$	\|: $4$
x₂	=	$2,4314$

L={ $0,7103$ ; $2,4314$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $\frac{3}{4} π$ ; $3$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \cos (2 x - π) \cdot (\sin (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \cos (2 x - π) \cdot (\sin (x) - 1)$	=	0
$- 3 \cos (2 x - π) \cdot (\sin (x) - 1)$	=	0
$- 3 (\sin (x) - 1) \cdot \cos (2 x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\cos (2 x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{4} π$

Da $\cos (2 x - π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$ , x₅ = $\frac{1}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{5}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{4} π$ ; $\frac{5}{4} π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):