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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-2⋅ sin( x - 3 2 π) -3 = -1

Lösung einblenden
-2⋅ sin( x - 3 2 π) -3 = -1 | +3
-2⋅ sin( x - 3 2 π) = 2 |:-2
canvas
sin( x - 3 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 3 2 π = 3 2 π

oder

x - 3 2 π = 3 2 π-2π
x - 3 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = -π
2x -3π = -π | +3π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
cos( x - 3 2 π) -1 = -0.1

Lösung einblenden
cos( x - 3 2 π) -1 = -0.1 | +1 canvas
cos( x - 3 2 π) = 0,9 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

x - 3 2 π = 0,451 |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = 0,902
2x -3π = 0,902 | +3π
2x = 0,902 +3π
2x = 10,3268 |:2
x1 = 5,1634

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - 3 2 π) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,451
bzw. bei - 0,451 +2π= 5,832 liegen muss.

2. Fall:

x - 3 2 π = 5,832

oder

x - 3 2 π = 5,832 -2π |⋅ 2
2x -3π = 11,664 -4π | +3π
2x = 11,664 - π
2x = 8,5224 |:2
x2 = 4,2612

L={ 4,2612 ; 5,1634 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
sin( x + π) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
sin( x + π) ( sin( x ) +1 ) = 0
( sin( x ) +1 ) · sin( x + π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x2 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + π = π | - π
x3 = 0

L={0; π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -1 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -1 = 0 | +1
( cos( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

cos( x ) = - 1 = -1
canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall

cos( x ) = 1 = 1
canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 0

L={0; π }