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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 1$ = $3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 1

=

3

|

- 1

- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $-2,85$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

-2,85

|:

3

\sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,95

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.2532358975034

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,03$

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$5,03$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$10,06$
$4 x + π$	=	$10,06$	\| $- π$
$4 x$	=	$10,06 - π$
$4 x$	=	$6,9184$	\|: $4$
x₁	=	$1,7296$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,95$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,03$ =-1.8884 bzw. bei -1.8884+2π= $4,395$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$4,395$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$8,79$
$4 x + π$	=	$8,79$	\| $- π$
$4 x$	=	$8,79 - π$
$4 x$	=	$5,6484$	\|: $4$
x₂	=	$1,4121$

L={ $1,4121$ ; $1,7296$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + {(\sin (x))}^{2}$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{4} + {(\sin (x))}^{2}$	=	0
${(\sin (x))}^{2} \cdot ({(\sin (x))}^{2} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(\sin (x))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$\sin (x)$	=	0

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

${(\sin (x))}^{2} + 1$	=	0	\| $- 1$
${(\sin (x))}^{2}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 3$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 3

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₂

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{1}{6} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):