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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \sin (3 x - π) + 2$ = $4$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (3 x - π) + 2

=

4

|

- 2

2 \cdot \sin (3 x - π)

=

2

|:

2

\sin (3 x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 2$ = $0,7$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 2

=

0,7

|

+ 2

- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

2,7

|:

- 3

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$2,691$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$5,382$
$6 x + π$	=	$5,382$	\| $- π$
$6 x$	=	$5,382 - π$
$6 x$	=	$2,2404$	\|: $6$
x₁	=	$0,3734$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,691$
bzw. bei - $2,691$ +2π= $3,593$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$3,593$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$7,186$
$6 x + π$	=	$7,186$	\| $- π$
$6 x$	=	$7,186 - π$
$6 x$	=	$4,0444$	\|: $6$
x₂	=	$0,6741$

L={ $0,3734$ ; $0,6741$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(- \cos (2 x + π) + 1) \cdot (x - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(- \cos (2 x + π) + 1) \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \cos (2 x + π) + 1

= 0 |

- 1

- \cos (2 x + π)

=

- 1

|:

- 1

\cos (2 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $3$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(x^{2} - 5 x) \cdot (\cos (x - \frac{3}{2} π) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{2} - 5 x) \cdot (\cos (x - \frac{3}{2} π) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

2. Fall:

\cos (x - \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$2 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{3}{2} π$

L={0; $\frac{3}{2} π$ ; $5$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 4 \cdot \sin (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 4 \cdot \sin (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $3$

\sin (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):