nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
sin( x - 1 2 π) -2 = -1

Lösung einblenden
sin( x - 1 2 π) -2 = -1 | +2 canvas
sin( x - 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = π
2x - π = π | + π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
3⋅ cos( x - π) +3 = 0,3

Lösung einblenden
3⋅ cos( x - π) +3 = 0,3 | -3
3⋅ cos( x - π) = -2,7 |:3
canvas
cos( x - π) = -0,9 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

x - π = 2,691 | + π
x1 = 2,691 + π
x1 = 5,8326

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - π) = -0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,691
bzw. bei - 2,691 +2π= 3,593 liegen muss.

2. Fall:

x - π = 3,593

oder

x - π = 3,593 -2π | + π
x2 = 3,593 - π
x2 = 0,4514

L={ 0,4514 ; 5,8326 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( sin( 2x - 1 2 π) +1 ) · ( x 2 -3x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( 2x - 1 2 π) +1 ) · ( x 2 -3x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( 2x - 1 2 π) +1 = 0 | -1 canvas
sin( 2x - 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = 3 2 π

oder

2x - 1 2 π = 3 2 π-2π
2x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = -π
4x - π = -π | + π
4x = 0 |:4
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -3x = 0
x · ( x -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x2 = 0

2. Fall:

x -3 = 0 | +3
x3 = 3

L={0; 3 }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-2⋅ sin( x - 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
-2⋅ sin( x - 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0
-2 sin( x - 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0
-2 ( cos( x ) -1 ) · sin( x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
sin( x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 2π
2x - π = 2π | + π
2x = 3π |:2
x3 = 3 2 π

L={0; 1 2 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 -12 2

u1,2 = -4 ± 4 2

u1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

u2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

u2: sin( x ) = -3

sin( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 3 2 π }