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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $4$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 1

=

4

|

- 1

3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

3

|:

3

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
$x$	=	$π$

L={ $π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 1$ = $-1,1$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) - 1

=

-1,1

|

+ 1

- 2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,1

|:

- 2

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0,05

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.5207754699891

1. Fall:

2 x + \frac{1}{2} π

=

1,521

oder

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$1,521 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + π$	=	$3,042 + 4 π$	\| $- π$
$4 x$	=	$3,042 + 3 π$
$4 x$	=	$12,4668$	\|: $4$
x₁	=	$3,1167$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,521$
bzw. bei - $1,521$ +2π= $4,762$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$4,762$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$9,524$
$4 x + π$	=	$9,524$	\| $- π$
$4 x$	=	$9,524 - π$
$4 x$	=	$6,3824$	\|: $4$
x₂	=	$1,5956$

L={ $1,5956$ ; $3,1167$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0
$- 3 \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

Da $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$ , x₄ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$
x₅ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$ , x₆ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₇

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₈

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $3$

{(\sin (x))}^{2}

=

3

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{3}

≈

- 1,732

\sin (x)

=

- 1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{3}

≈

1,732

\sin (x)

=

1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):