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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $2$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$2 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2} π$

L={ $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$3 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 3$ = $-1,2$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) - 3

=

-1,2

|

+ 3

3 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

1,8

|:

3

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$0,644$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$1,288$
$6 x - π$	=	$1,288$	\| $+ π$
$6 x$	=	$1,288 + π$
$6 x$	=	$4,4296$	\|: $6$
x₁	=	$0,7383$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,644$ = $2,498$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$2,498$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$4,996$
$6 x - π$	=	$4,996$	\| $+ π$
$6 x$	=	$4,996 + π$
$6 x$	=	$8,1376$	\|: $6$
x₂	=	$1,3563$

L={ $0,7383$ ; $1,3563$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (x^{2} - x)$ = 0

Lösung einblenden

(- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (x^{2} - x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|:

- 1

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

2. Fall:

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $1$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):