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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (2 x + π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x + π) + 3

=

3

|

- 3

3 \cdot \cos (2 x + π)

=

0

|:

3

\cos (2 x + π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x + π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$2 x + π$	=	$\frac{5}{2} π$	\| $- π$
$2 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$\frac{3}{2} π$	\| $- π$
$2 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \sin (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- \sin (3 x + π) + 3$ = $2,15$

Lösung einblenden

- \sin (3 x + π) + 3

=

2,15

|

- 3

- \sin (3 x + π)

=

- 0,85

|:

- 1

\sin (3 x + π)

=

0,85

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0159852938148

1. Fall:

3 x + π

=

1,016

oder

$3 x + π$	=	$1,016 + 2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$1,016 + π$
$3 x$	=	$4,1576$	\|: $3$
x₁	=	$1,3859$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + π)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $1,016$ = $2,126$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + π

=

2,126

oder

$3 x + π$	=	$2,126 + 2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$2,126 + π$
$3 x$	=	$5,2676$	\|: $3$
x₂	=	$1,7559$

L={ $1,3859$ ; $1,7559$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (x + \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \sin (2 x - π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \sin (2 x - π) \cdot \cos (x)$	=	0
$- 3 \sin (2 x - π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (2 x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

π

oder

$2 x - π$	=	$π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

Da $\sin (2 x - π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₄ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₅

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₆

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung! $\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \sin (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 2$

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):