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Kursstufe
cosh
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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
=
= | |: |
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
= |
oder
= | |||
= | | | ||
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
= | | | ||
x2 | = |
L={ ; }
trigonometr. Nullprodukt-Gleichung
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | |: |
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
x2 | = |
L={ ; }
trigonometrische Gleichungen (mit WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ).
=
= | |: |
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.1531605646636
1. Fall:
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
= |
oder
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
x2 | = |
L={ ; }
Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
= =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={}
Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0;
|
= | ||
|
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
|
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
|
= |
|
oder
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
x1 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
|
= |
|
|
|
x2 | = |
|
2. Fall:
|
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x3 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
x4 | = |
|
L={
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0;
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
u2:
|
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x1 | = |
|
L={