Mathebattle EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 2$ = $2$

Lösung einblenden

\sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 2

=

2

|

- 2

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$6 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 1$ = $-0,9$

Lösung einblenden

- \cos (3 x + \frac{1}{2} π) - 1

=

-0,9

|

+ 1

- \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0,1

|:

- 1

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$1,671$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3,342$
$6 x + π$	=	$3,342$	\| $- π$
$6 x$	=	$3,342 - π$
$6 x$	=	$0,2004$	\|: $6$
x₁	=	$0,0334$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,671$
bzw. bei - $1,671$ +2π= $4,612$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$4,612$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$9,224$
$6 x + π$	=	$9,224$	\| $- π$
$6 x$	=	$9,224 - π$
$6 x$	=	$6,0824$	\|: $6$
x₂	=	$1,0137$

L={ $0,0334$ ; $1,0137$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x^{2} - 2 x) \cdot (- \cos (2 x + \frac{1}{2} π))$ = 0

Lösung einblenden

$(x^{2} - 2 x) \cdot (- \cos (2 x + \frac{1}{2} π))$	=	0
$- (x^{2} - 2 x) \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₃	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₄	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 4$

\sin (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₂

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{1}{6} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):