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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( 2x + π) +1 = 4

Lösung einblenden
3⋅ sin( 2x + π) +1 = 4 | -1
3⋅ sin( 2x + π) = 3 |:3
canvas
sin( 2x + π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + π = 1 2 π

oder

2x + π = 1 2 π+2π
2x + π = 5 2 π | - π
2x = 3 2 π |:2
x = 3 4 π

L={ 3 4 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; π }

π ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
3⋅ sin( 2x + 3 2 π) +3 = 2,1

Lösung einblenden
3⋅ sin( 2x + 3 2 π) +3 = 2,1 | -3
3⋅ sin( 2x + 3 2 π) = -0,9 |:3
canvas
sin( 2x + 3 2 π) = -0,3 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,978

1. Fall:

2x + 3 2 π = 5,978 |⋅ 2
2( 2x + 3 2 π) = 11,956
4x +3π = 11,956 | -3π
4x = 11,956 -3π
4x = 2,5312 |:4
x1 = 0,6328

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x + 3 2 π) = -0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,978 =-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= 3,446 liegen muss.

2. Fall:

2x + 3 2 π = 3,446

oder

2x + 3 2 π = 3,446 +2π |⋅ 2
4x +3π = 6,892 +4π | -3π
4x = 6,892 + π
4x = 10,0336 |:4
x2 = 2,5084

L={ 0,6328 ; 2,5084 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 = 0 | +2
-2⋅ cos( x - 1 2 π) = 2 |:-2
canvas
cos( x - 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 2π
2x - π = 2π | + π
2x = 3π |:2
x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

3 2 π ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( 2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x - 1 2 π) -2 = 0 | +2
2⋅ cos( x - 1 2 π) = 2 |:2
canvas
cos( x - 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; 1 2 π ; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -2⋅ cos( x ) +1 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -2u +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 2⋅1

u1,2 = +2 ± 4 -4 2

u1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!