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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) - 2$ = $1$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) - 2

=

1

|

+ 2

- 3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)

=

3

|:

- 3

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$2 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2} π$

L={ $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$ = $1,5$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)

=

1,5

|:

2

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

x + \frac{1}{2} π

=

0,723

oder

$x + \frac{1}{2} π$	=	$0,723 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + π$	=	$1,446 + 4 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$1,446 + 3 π$
$2 x$	=	$10,8708$	\|: $2$
x₁	=	$5,4354$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{1}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,723$
bzw. bei - $0,723$ +2π= $5,56$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$5,56$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$11,12$
$2 x + π$	=	$11,12$	\| $- π$
$2 x$	=	$11,12 - π$
$2 x$	=	$7,9784$	\|: $2$
x₂	=	$3,9892$

L={ $3,9892$ ; $5,4354$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x^{3} - x^{2}) \cdot (- \sin (3 x + \frac{1}{2} π))$ = 0

Lösung einblenden

$(x^{3} - x^{2}) \cdot (- \sin (3 x + \frac{1}{2} π))$	=	0
$- (x^{3} - x^{2}) \cdot \sin (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

\sin (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{1}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + π$	=	$4 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$6 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₄	=	$\frac{1}{6} π$

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $1$ ; $\frac{1}{2} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

- \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1

|:

- 1

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Da $- \sin (2 x - \frac{1}{2} π) - 1$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $4$

\sin (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):