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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)$ = 0

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

2

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

L={0; $π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$\cos (x + \frac{1}{2} π) + 2$ = $2$

Lösung einblenden

\cos (x + \frac{1}{2} π) + 2

=

2

|

- 2

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₂	=	$π$

L={0; $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \cos (x + \frac{1}{2} π) + 1) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- \cos (x + \frac{1}{2} π) + 1) \cdot (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \cos (x + \frac{1}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

- \cos (x + \frac{1}{2} π)

=

- 1

|:

- 1

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{1}{2} π

=

0

oder

$x + \frac{1}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$x + \frac{1}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$4 π$
$2 x + π$	=	$4 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

π

L={ $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) \cdot (\cos (x) + 1)$	=	0
$- 3 \sin (2 x - \frac{3}{2} π) \cdot (\cos (x) + 1)$	=	0
$- 3 (\cos (x) + 1) \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$4 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₃	=	$\frac{1}{4} π$

Da $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$ , x₅ = $\frac{1}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{5}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ ; $π$ ; $\frac{5}{4} π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1+3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{1-3}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 0,5$

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₂

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{7}{6} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):