Mathebattle EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1$ = $1$

Lösung einblenden

- \sin (3 x + \frac{3}{2} π) + 1

=

1

|

- 1

- \sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|:

- 1

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$6 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$6 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 2$ = $0,85$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 2

=

0,85

|

+ 2

- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

2,85

|:

- 3

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 0,95

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -1.2532358975034

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,03$

1. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

5,03

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$5,03 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$10,06 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$10,06 - π$
$6 x$	=	$6,9184$	\|: $6$
x₁	=	$1,1531$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $- 0,95$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,03$ =-1.8884 bzw. bei -1.8884+2π= $4,395$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

4,395

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$4,395 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$8,79 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$8,79 - π$
$6 x$	=	$5,6484$	\|: $6$
x₂	=	$0,9414$

L={ $0,9414$ ; $1,1531$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(\cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (x - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(\cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

\cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} π$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $1$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0
$- 2 \sin (3 x - \frac{1}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$6 x - π$	=	0	\| $+ π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{6} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$6 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

Da $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₃ = $\frac{1}{6} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{6} π$ , x₄ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$
x₅ = $\frac{1}{6} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₆ = $\frac{1}{2} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{11}{6} π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₇

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₈

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung! $\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $3$

{(\sin (x))}^{2}

=

3

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{3}

≈

- 1,732

\sin (x)

=

- 1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{3}

≈

1,732

\sin (x)

=

1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):