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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( 2x - π) +3 = 0

Lösung einblenden
3⋅ cos( 2x - π) +3 = 0 | -3
3⋅ cos( 2x - π) = -3 |:3
canvas
cos( 2x - π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - π = π

oder

2x - π = π-2π
2x - π = -π | + π
2x = 0 |:2
x = 0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( sin( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

3 2 π ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) +1 = 0,9

Lösung einblenden
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) +1 = 0,9 | -1
2⋅ cos( 3x - 1 2 π) = -0,1 |:2
canvas
cos( 3x - 1 2 π) = -0,05 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6208171836007

1. Fall:

3x - 1 2 π = 1,621 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 3,242
6x - π = 3,242 | + π
6x = 3,242 + π
6x = 6,3836 |:6
x1 = 1,0639

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - 1 2 π) = -0,05 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,621
bzw. bei - 1,621 +2π= 4,662 liegen muss.

2. Fall:

3x - 1 2 π = 4,662 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 9,324
6x - π = 9,324 | + π
6x = 9,324 + π
6x = 12,4656 |:6
x2 = 2,0776

L={ 1,0639 ; 2,0776 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x -3 ) · ( - sin( x + π) ) = 0

Lösung einblenden
( x -3 ) · ( - sin( x + π) ) = 0
- ( x -3 ) · sin( x + π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -3 = 0 | +3
x1 = 3

2. Fall:

canvas
sin( x + π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x2 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x + π = π | - π
x3 = 0

L={0; 3 ; π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - sin( 3x + π) +1 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( 3x + π) +1 ) ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( 3x + π) +1 = 0 | -1
- sin( 3x + π) = -1 |:-1
canvas
sin( 3x + π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + π = 1 2 π

oder

3x + π = 1 2 π+2π
3x + π = 5 2 π | - π
3x = 3 2 π |:3
x1 = 1 2 π

Da - sin( 3x + π) +1 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 1 2 π + 1⋅ 2 3 π = 7 6 π
x3 = 1 2 π + 2⋅ 2 3 π = 11 6 π


2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x4 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 7 6 π ; 11 6 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +3⋅ sin( x ) +2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +3⋅ sin( x ) +2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +3u +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -3 ± 3 2 -4 · 1 · 2 2⋅1

u1,2 = -3 ± 9 -8 2

u1,2 = -3 ± 1 2

u1 = -3 + 1 2 = -3 +1 2 = -2 2 = -1

u2 = -3 - 1 2 = -3 -1 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = - 3 2 ± 1 4

x1 = - 3 2 - 1 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 3 2 + 1 2 = - 2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

u2: sin( x ) = -2

sin( x ) = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 3 2 π }