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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 3$ = $- 6$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 3

=

- 6

|

+ 3

- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \cos (2 x + π) - 3$ = $-1,05$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x + π) - 3

=

-1,05

|

+ 3

3 \cdot \cos (2 x + π)

=

1,95

|:

3

\cos (2 x + π)

=

0,65

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.86321189006954

1. Fall:

2 x + π

=

0,863

oder

$2 x + π$	=	$0,863 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$0,863 + π$
$2 x$	=	$4,0046$	\|: $2$
x₁	=	$2,0023$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,863$
bzw. bei - $0,863$ +2π= $5,42$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$5,42$	\| $- π$
$2 x$	=	$5,42 - π$
$2 x$	=	$2,2784$	\|: $2$
x₂	=	$1,1392$

L={ $1,1392$ ; $2,0023$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 3) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 2) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 2) (\cos (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) + 2

= 0 |

- 2

- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 4$

\cos (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):