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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 3$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

3 \cdot \sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

3

|:

3

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$6 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{3} π$

L={ $\frac{1}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 2 \cdot \cos (x - π) - 1$ = $-0,3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (x - π) - 1

=

-0,3

|

+ 1

- 2 \cdot \cos (x - π)

=

0,7

|:

- 2

\cos (x - π)

=

- 0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.9283674304404

1. Fall:

$x - π$	=	$1,928$	\| $+ π$
x₁	=	$1,928 + π$
x₁	=	$5,0696$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $- 0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,928$
bzw. bei - $1,928$ +2π= $4,355$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

4,355

oder

$x - π$	=	$4,355 - 2 π$	\| $+ π$
x₂	=	$4,355 - π$
x₂	=	$1,2134$

L={ $1,2134$ ; $5,0696$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x^{3} - 3 x^{2}) \cdot (3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 3)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{3} - 3 x^{2}) (3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - 3 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₃	=	$\frac{1}{4} π$

L={0; $\frac{1}{4} π$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \sin (3 x - π) + 3) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \sin (3 x - π) + 3) (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \sin (3 x - π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \sin (3 x - π)

=

- 3

|:

- 3

\sin (3 x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Da $- 3 \cdot \sin (3 x - π) + 3$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$
x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{11}{6} π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₄

=

π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $2$

\cos (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):