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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ sin( 3x + 3 2 π) = 0

Lösung einblenden
2⋅ sin( 3x + 3 2 π) = 0 |:2
canvas
sin( 3x + 3 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x + 3 2 π = 0

oder

3x + 3 2 π = 0+2π
3x + 3 2 π = 2π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 4π
6x +3π = 4π | -3π
6x = π |:6
x1 = 1 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x + 3 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

3x + 3 2 π = π

oder

3x + 3 2 π = π+2π
3x + 3 2 π = 3π |⋅ 2
2( 3x + 3 2 π) = 6π
6x +3π = 6π | -3π
6x = 3π |:6
x2 = 1 2 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 3 2 ⋅ cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) -3 = 0 | +3
2⋅ cos( x ) = 3 |:2
cos( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
sin( x + 1 2 π) -1 = -1,75

Lösung einblenden
sin( x + 1 2 π) -1 = -1,75 | +1 canvas
sin( x + 1 2 π) = -0,75 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,435

1. Fall:

x + 1 2 π = 5,435 |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 10,87
2x + π = 10,87 | - π
2x = 10,87 - π
2x = 7,7284 |:2
x1 = 3,8642

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + 1 2 π) = -0,75 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,435 =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= 3,99 liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3,99 |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 7,98
2x + π = 7,98 | - π
2x = 7,98 - π
2x = 4,8384 |:2
x2 = 2,4192

L={ 2,4192 ; 3,8642 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ cos( x + 1 2 π) -2 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ cos( x + 1 2 π) -2 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ cos( x + 1 2 π) -2 = 0 | +2
-2⋅ cos( x + 1 2 π) = 2 |:-2
canvas
cos( x + 1 2 π) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 2π
2x + π = 2π | - π
2x = π |:2
x1 = 1 2 π

2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x 3 - x 2 ) · ( 3⋅ cos( x + π) -3 ) = 0

Lösung einblenden
( x 3 - x 2 ) · ( 3⋅ cos( x + π) -3 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 - x 2 = 0
x 2 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

3⋅ cos( x + π) -3 = 0 | +3
3⋅ cos( x + π) = 3 |:3
canvas
cos( x + π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x3 = π

L={0; 1 ; π }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +4⋅ sin( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -4 ± 4 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = -4 ± 16 -12 2

u1,2 = -4 ± 4 2

u1 = -4 + 4 2 = -4 +2 2 = -2 2 = -1

u2 = -4 - 4 2 = -4 -2 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 2 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = -2 ± 1

x1 = -2 - 1 = -3

x2 = -2 + 1 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

u2: sin( x ) = -3

sin( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 3 2 π }