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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 2$ = $4$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 2

=

4

|

- 2

2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$4 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$\sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 3$ = $-3,65$

Lösung einblenden

\sin (3 x + \frac{3}{2} π) - 3

=

-3,65

|

+ 3

\sin (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,65

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.70758443672536

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,576$

1. Fall:

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$5,576$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$11,152$
$6 x + 3 π$	=	$11,152$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$11,152 - 3 π$
$6 x$	=	$1,7272$	\|: $6$
x₁	=	$0,2879$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $- 0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,576$ =-2.4344 bzw. bei -2.4344+2π= $3,849$ liegen muss.

2. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

3,849

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$3,849 + 2 π$	\|⋅ 2
$6 x + 3 π$	=	$7,698 + 4 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$7,698 + π$
$6 x$	=	$10,8396$	\|: $6$
x₂	=	$1,8066$

L={ $0,2879$ ; $1,8066$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π))$ = 0

Lösung einblenden

$(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 3 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π))$	=	0
$- 3 (x^{3} - 2 x^{2}) \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

\cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₄	=	0

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 1$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{4} - 1$	=	0	\| $+ 1$
${(\sin (x))}^{4}$	=	$1$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt[4]{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt[4]{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):