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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 3$ = $- 5$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 3

=

- 5

|

+ 3

- 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$4 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$\cos (3 x + π) + 2$ = $1,3$

Lösung einblenden

\cos (3 x + π) + 2

=

1,3

|

- 2

\cos (3 x + π)

=

- 0,7

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.3461938234056

1. Fall:

3 x + π

=

2,346

oder

$3 x + π$	=	$2,346 + 2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$2,346 + π$
$3 x$	=	$5,4876$	\|: $3$
x₁	=	$1,8292$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + π)$ = $- 0,7$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.7 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,346$
bzw. bei - $2,346$ +2π= $3,937$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + π$	=	$3,937$	\| $- π$
$3 x$	=	$3,937 - π$
$3 x$	=	$0,7954$	\|: $3$
x₂	=	$0,2651$

L={ $0,2651$ ; $1,8292$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) + 1)$	=	0
$- 2 \sin (x + \frac{1}{2} π) (\cos (x) + 1)$	=	0
$- 2 (\cos (x) + 1) \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\sin (x + \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + \frac{1}{2} π

=

0

oder

$x + \frac{1}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$x + \frac{1}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$4 π$
$2 x + π$	=	$4 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 2) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 2) (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) + 2

= 0 |

- 2

2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

2

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $2$

\sin (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):