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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (x - π) + 2$ = $2$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x - π) + 2

=

2

|

- 2

2 \cdot \cos (x - π)

=

0

|:

2

\cos (x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 3 \cdot \cos (3 x - π) + 3$ = $5,7$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x - π) + 3

=

5,7

|

- 3

- 3 \cdot \cos (3 x - π)

=

2,7

|:

- 3

\cos (3 x - π)

=

- 0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

$3 x - π$	=	$2,691$	\| $+ π$
$3 x$	=	$2,691 + π$
$3 x$	=	$5,8326$	\|: $3$
x₁	=	$1,9442$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - π)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,691$
bzw. bei - $2,691$ +2π= $3,593$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - π

=

3,593

oder

$3 x - π$	=	$3,593 - 2 π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$3,593 - π$
$3 x$	=	$0,4514$	\|: $3$
x₂	=	$0,1505$

L={ $0,1505$ ; $1,9442$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0
$2 \cos (x + \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3) (x^{3} - 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $2$ }

0 ist 3-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $3$

\cos (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):