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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3 sin( 2x - 3 2 π) -1 = 2

Lösung einblenden
3 sin( 2x - 3 2 π) -1 = 2 | +1
3 sin( 2x - 3 2 π) = 3 |:3
canvas
sin( 2x - 3 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 3 2 π = 1 2 π

oder

2x - 3 2 π = 1 2 π-2π
2x - 3 2 π = - 3 2 π |⋅ 2
2( 2x - 3 2 π) = -3π
4x -3π = -3π | +3π
4x = 0 |:4
x = 0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; 1 2 π ; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
- cos( x - π) +2 = 1,7

Lösung einblenden
- cos( x - π) +2 = 1,7 | -2
- cos( x - π) = -0,3 |:-1
canvas
cos( x - π) = 0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

x - π = 1,266 | + π
x1 = 1,266 + π
x1 = 4,4076

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - π) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,266
bzw. bei - 1,266 +2π= 5,017 liegen muss.

2. Fall:

x - π = 5,017

oder

x - π = 5,017 -2π | + π
x2 = 5,017 - π
x2 = 1,8754

L={ 1,8754 ; 4,4076 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- cos( x + π) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
- cos( x + π) · ( sin( x ) -1 ) = 0
- cos( x + π) ( sin( x ) -1 ) = 0
- ( sin( x ) -1 ) · cos( x + π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x + π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 1 2 π

oder

x + π = 1 2 π+2π
x + π = 5 2 π | - π
x2 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + π = 3 2 π | - π
x3 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( -2 sin( 2x - 1 2 π) +2 ) · ( x 2 -2x ) = 0

Lösung einblenden
( -2 sin( 2x - 1 2 π) +2 ) ( x 2 -2x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2 sin( 2x - 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2 sin( 2x - 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = π
4x - π = π | + π
4x = 2π |:4
x1 = 1 2 π

2. Fall:

x 2 -2x = 0
x ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x2 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x3 = 2

L={0; 1 2 π ; 2 }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 - 1 2 ( sin( x ) ) 2 - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 - 1 2 ( sin( x ) ) 2 - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 - u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 22

u1,2 = +1 ± 1 +8 4

u1,2 = +1 ± 9 4

u1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

u2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 - u -1 = 0 |: 2

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = 1 4 ± 9 16

x1 = 1 4 - 3 4 = - 2 4 = -0.5

x2 = 1 4 + 3 4 = 4 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | 2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

u2: ( sin( x ) ) 2 = -0,5

( sin( x ) ) 2 = -0,5 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={ 1 2 π ; 3 2 π }