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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ sin( 3x - π) +2 = 2

Lösung einblenden
3⋅ sin( 3x - π) +2 = 2 | -2
3⋅ sin( 3x - π) = 0 |:3
canvas
sin( 3x - π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x - π = 0 | + π
3x = π |:3
x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

3x - π = π

oder

3x - π = π-2π
3x - π = -π | + π
3x = 0 |:3
x2 = 0

L={0; 1 3 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
3 2 ⋅ cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ).
-3⋅ sin( x + 1 2 π) -1 = 1,25

Lösung einblenden
-3⋅ sin( x + 1 2 π) -1 = 1,25 | +1
-3⋅ sin( x + 1 2 π) = 2,25 |:-3
canvas
sin( x + 1 2 π) = -0,75 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; 2π ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so 5,435

1. Fall:

x + 1 2 π = 5,435 |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 10,87
2x + π = 10,87 | - π
2x = 10,87 - π
2x = 7,7284 |:2
x1 = 3,8642

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x + 1 2 π) = -0,75 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5,435 =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= 3,99 liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3,99 |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 7,98
2x + π = 7,98 | - π
2x = 7,98 - π
2x = 4,8384 |:2
x2 = 2,4192

L={ 2,4192 ; 3,8642 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
cos( x - π) · ( x 2 -5x ) = 0

Lösung einblenden
cos( x - π) ( x 2 -5x ) = 0
( x 2 -5x ) · cos( x - π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 -5x = 0
x ( x -5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -5 = 0 | +5
x2 = 5

2. Fall:

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cos( x - π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - π = 1 2 π | + π
x3 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x4 = 1 2 π

L={0; 1 2 π ; 3 2 π ; 5 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x - π) -1 ) · ( x 2 -6x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x - π) -1 ) ( x 2 -6x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x - π) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x - π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 0 | + π
x1 = π

2. Fall:

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x2 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x3 = 6

L={0; π ; 6 }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 -3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 -3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · 2 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 -8 2

u1,2 = +3 ± 1 2

u1 = 3 + 1 2 = 3 +1 2 = 4 2 = 2

u2 = 3 - 1 2 = 3 -1 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = 3 2 ± 1 4

x1 = 3 2 - 1 2 = 2 2 = 1

x2 = 3 2 + 1 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 2

( sin( x ) ) 2 = 2 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 2 ≈ -1,414
sin( x ) = -1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

sin( x ) = 2 ≈ 1,414
sin( x ) = 1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
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sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
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sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }