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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 3

=

3

|

- 3

3 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0

|:

3

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

L={0; $π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{1}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2$ = $-0,8$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 2

=

-0,8

|

+ 2

3 \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

1,2

|:

3

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,4

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1592794807274

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

1,159

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$1,159 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$2,318 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2,318 + π$
$4 x$	=	$5,4596$	\|: $4$
x₁	=	$1,3649$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,4$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.4 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,159$
bzw. bei - $1,159$ +2π= $5,124$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$5,124$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$10,248$
$4 x + 3 π$	=	$10,248$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$10,248 - 3 π$
$4 x$	=	$0,8232$	\|: $4$
x₂	=	$0,2058$

L={ $0,2058$ ; $1,3649$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (\cos (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0; $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $3$

\cos (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $0,5$

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{5}{3} π

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):