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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) - 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

- \cos (2 x - \frac{3}{2} π) - 1

=

- 1

|

+ 1

- \cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|:

- 1

\cos (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{1}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 2$ = $3,2$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 2

=

3,2

|

- 2

2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)

=

1,2

|:

2

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0,6

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

0,927

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0,927 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$1,854 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$1,854 + π$
$2 x$	=	$4,9956$	\|: $2$
x₁	=	$2,4978$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,927$
bzw. bei - $0,927$ +2π= $5,356$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$5,356$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$10,712$
$2 x + 3 π$	=	$10,712$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$10,712 - 3 π$
$2 x$	=	$1,2872$	\|: $2$
x₂	=	$0,6436$

L={ $0,6436$ ; $2,4978$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \sin (x - π) + 3) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \sin (x - π) + 3) \cdot (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \sin (x - π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \sin (x - π)

=

- 3

|:

- 3

\sin (x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (x^{2} - 2 x)$ = 0

Lösung einblenden

(\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1) \cdot (x^{2} - 2 x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x + \frac{3}{2} π) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

2. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₂

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $2$ ; $π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \sin (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - \sin (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $2$

\sin (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):