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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
cos( x - π) +3 = 4

Lösung einblenden
cos( x - π) +3 = 4 | -3 canvas
cos( x - π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 0 | + π
x = π

L={ π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) -1 = 0 | +1
2⋅ sin( x ) = 1 |:2
canvas
sin( x ) = 0,5 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x1 = 5 6 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 5 6 π = 1 6 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 1 6 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 1 6 π ; 5 6 π ; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
cos( 2x + 3 2 π) -2 = -1,25

Lösung einblenden
cos( 2x + 3 2 π) -2 = -1,25 | +2 canvas
cos( 2x + 3 2 π) = 0,75 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

2x + 3 2 π = 0,723

oder

2x + 3 2 π = 0,723 +2π |⋅ 2
4x +3π = 1,446 +4π | -3π
4x = 1,446 + π
4x = 4,5876 |:4
x1 = 1,1469

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x + 3 2 π) = 0,75 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,723
bzw. bei - 0,723 +2π= 5,56 liegen muss.

2. Fall:

2x + 3 2 π = 5,56 |⋅ 2
2( 2x + 3 2 π) = 11,12
4x +3π = 11,12 | -3π
4x = 11,12 -3π
4x = 1,6952 |:4
x2 = 0,4238

L={ 0,4238 ; 1,1469 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - cos( x ) = 0
( cos( x ) -1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={0; 1 2 π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( x -5 ) · 2⋅ sin( x - π) = 0

Lösung einblenden
( x -5 ) · 2⋅ sin( x - π) = 0
2 ( x -5 ) · sin( x - π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -5 = 0 | +5
x1 = 5

2. Fall:

canvas
sin( x - π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - π = 0 | + π
x2 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x - π = π

oder

x - π = π-2π
x - π = -π | + π
x3 = 0

L={0; π ; 5 }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 + u -1 = 0 |: 2

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = - 1 4 ± 9 16

x1 = - 1 4 - 3 4 = - 4 4 = -1

x2 = - 1 4 + 3 4 = 2 4 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 0,5

canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5 3 π

u2: cos( x ) = -1

canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = π

L={ 1 3 π ; π ; 5 3 π }