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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (x - π) - 2$ = $- 2$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (x - π) - 2

=

- 2

|

+ 2

2 \cdot \cos (x - π)

=

0

|:

2

\cos (x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 1$ = $-0,9$

Lösung einblenden

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) - 1

=

-0,9

|

+ 1

- \cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,1

|:

- 1

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,1

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.6709637479565

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

1,671

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$1,671 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$3,342 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3,342 + π$
$4 x$	=	$6,4836$	\|: $4$
x₁	=	$1,6209$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $- 0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,671$
bzw. bei - $1,671$ +2π= $4,612$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

4,612

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$4,612 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$9,224 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$9,224 + π$
$4 x$	=	$12,3656$	\|: $4$
x₂	=	$3,0914$

L={ $1,6209$ ; $3,0914$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $4$

\cos (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \sin (3 x - π) + 1) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- \sin (3 x - π) + 1) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \sin (3 x - π) + 1

= 0 |

- 1

- \sin (3 x - π)

=

- 1

|:

- 1

\sin (3 x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Da $- \sin (3 x - π) + 1$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{7}{6} π$
x₃ = $\frac{1}{2} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{11}{6} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₄

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₅

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x) - \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + u - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{4}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1+3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 1-3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + u - 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{1}{2} u - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $0,5$

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₁

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{1}{6} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):