- Klasse 5-6
- Klasse 7-8
- Klasse 9-10
- Kursstufe
- COSH
nach Aufgabentypen suchen
Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern
Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen
trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
=
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
= | |⋅ 2 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
= | |⋅ 2 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
x2 | = |
L={ ; }
trigonometr. Nullprodukt-Gleichung
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
= | |||
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | |: |
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932
1. Fall:
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
+2π=
liegen muss.
2. Fall:
x2 | = |
2. Fall:
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x3 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
x4 | = |
L={
trigonometrische Gleichungen (mit WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
=
= | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -0.3046926540154
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
= |
oder
= | |⋅ 2 | ||
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - =-2.8364 bzw. bei -2.8364+2π= liegen muss.
2. Fall:
= |
oder
= | |⋅ 2 | ||
= | | | ||
= | |||
= | |: | ||
x2 | = |
L={ ; }
Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
= |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
= | |: |
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
= |
oder
= | |||
= | |⋅ 2 | ||
= | |||
= | | | ||
= | |: | ||
x1 | = |
2. Fall:
= | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
x2 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
x3 | = |
L={
Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:
u = =
Rücksubstitution:
u1: =
= | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
u2:
|
= | |
|
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
L={}
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0;
|
= |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
|
= | |⋅ 2 | |
|
= |
eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 =
u2 =
Rücksubstitution:
u1:
|
= | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
x1 | = |
u2:
|
= | |cos-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966
1. Fall:
x2 | = |
|
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt)
bei -
bzw. bei -
2. Fall:
x3 | = |
|
L={