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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $2$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$6 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) - 2$ = $-0,5$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π) - 2

=

-0,5

|

+ 2

- 2 \cdot \sin (x + \frac{1}{2} π)

=

1,5

|:

- 2

\sin (x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,75

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,435$

1. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$5,435$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$10,87$
$2 x + π$	=	$10,87$	\| $- π$
$2 x$	=	$10,87 - π$
$2 x$	=	$7,7284$	\|: $2$
x₁	=	$3,8642$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,435$ =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= $3,99$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$3,99$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$7,98$
$2 x + π$	=	$7,98$	\| $- π$
$2 x$	=	$7,98 - π$
$2 x$	=	$4,8384$	\|: $2$
x₂	=	$2,4192$

L={ $2,4192$ ; $3,8642$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - \cos (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $2$

\cos (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3) (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Da $- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $2$

\cos (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):