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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 2$ = $- 5$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 2

=

- 5

|

+ 2

3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

=

- 3

|:

2

\cos (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$- \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 3$ = $-2,25$

Lösung einblenden

- \sin (2 x - \frac{3}{2} π) - 3

=

-2,25

|

+ 3

- \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0,75

|:

- 1

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 0,75

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.84806207898148

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,435$

1. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

5,435

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$5,435 - 2 π$	\|⋅ 2
$4 x - 3 π$	=	$10,87 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$10,87 - π$
$4 x$	=	$7,7284$	\|: $4$
x₁	=	$1,9321$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ = $- 0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,435$ =-2.2934 bzw. bei -2.2934+2π= $3,99$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

3,99

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$3,99 - 2 π$	\|⋅ 2
$4 x - 3 π$	=	$7,98 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$7,98 - π$
$4 x$	=	$4,8384$	\|: $4$
x₂	=	$1,2096$

L={ $1,2096$ ; $1,9321$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) - 3) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) - 3) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)

=

3

|:

3

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- \sin (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$2 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 3 {(\sin (x))}^{2} + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 3 {(\sin (x))}^{2} + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $2$

{(\sin (x))}^{2}

=

2

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{2}

≈

- 1,414

\sin (x)

=

- 1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{2}

≈

1,414

\sin (x)

=

1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):