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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \cos (3 x + π) + 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x + π) + 1

=

- 1

|

- 1

- 2 \cdot \cos (3 x + π)

=

- 2

|:

- 2

\cos (3 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + π

=

0

oder

$3 x + π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} π$

L={ $\frac{1}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $-0,9$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

-0,9

|:

- 3

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

0,3

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.3046926540154

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

0,305

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0,305 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$0,61 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$0,61 + π$
$2 x$	=	$3,7516$	\|: $2$
x₁	=	$1,8758$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $0,3$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,305$ = $2,837$ liegen muss.

2. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

2,837

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$2,837 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$5,674 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$5,674 + π$
$2 x$	=	$8,8156$	\|: $2$
x₂	=	$4,4078$

L={ $1,8758$ ; $4,4078$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \cos (x - π) - 3) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \cos (x - π) - 3) (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \cos (x - π) - 3

= 0 |

+ 3

3 \cdot \cos (x - π)

=

3

|:

3

\cos (x - π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - π$	=	0	\| $+ π$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

π

L={ $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$3 \cdot \cos (x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$3 \cos (x - π) (\cos (x) - 1)$	=	0
$3 (\cos (x) - 1) \cdot \cos (x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 3 \cdot \sin (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $1$

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 4$

\sin (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):