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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \cos (2 x + \frac{1}{2} π) + 2$ = $2$

Lösung einblenden

- \cos (2 x + \frac{1}{2} π) + 2

=

2

|

- 2

- \cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 1

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \cos (x)

=

1

|:

2

\cos (x)

=

0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{3} π$
bzw. bei - $\frac{1}{3} π$ +2π= $\frac{5}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{5}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- \sin (3 x + \frac{1}{2} π) + 3$ = $3,55$

Lösung einblenden

- \sin (3 x + \frac{1}{2} π) + 3

=

3,55

|

- 3

- \sin (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0,55

|:

- 1

\sin (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,55

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.58236423786874

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,701$

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$5,701$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$11,402$
$6 x + π$	=	$11,402$	\| $- π$
$6 x$	=	$11,402 - π$
$6 x$	=	$8,2604$	\|: $6$
x₁	=	$1,3767$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $- 0,55$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,701$ =-2.5594 bzw. bei -2.5594+2π= $3,724$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$3,724$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$7,448$
$6 x + π$	=	$7,448$	\| $- π$
$6 x$	=	$7,448 - π$
$6 x$	=	$4,3064$	\|: $6$
x₂	=	$0,7177$

L={ $0,7177$ ; $1,3767$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- 3 \sin (x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$2 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$2 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(x^{2} - 2 x) \cdot (\cos (2 x + π) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{2} - 2 x) (\cos (2 x + π) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

\cos (2 x + π) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (2 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 5 {(\sin (x))}^{2} + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 5 {(\sin (x))}^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $4$

{(\sin (x))}^{2}

=

4

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{4}

=

- 2

\sin (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{4}

=

2

\sin (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):