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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\sin (3 x - π) - 3$ = $- 2$

Lösung einblenden

\sin (3 x - π) - 3

=

- 2

|

+ 3

\sin (3 x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $-1,4$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π) + 1

=

-1,4

|

- 1

3 \cdot \cos (x - \frac{1}{2} π)

=

- 2,4

|:

3

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,8

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.4980915447965

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$2,498$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$4,996$
$2 x - π$	=	$4,996$	\| $+ π$
$2 x$	=	$4,996 + π$
$2 x$	=	$8,1376$	\|: $2$
x₁	=	$4,0688$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,8$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,498$
bzw. bei - $2,498$ +2π= $3,785$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$3,785$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$7,57$
$2 x - π$	=	$7,57$	\| $+ π$
$2 x$	=	$7,57 + π$
$2 x$	=	$10,7116$	\|: $2$
x₂	=	$5,3558$

L={ $4,0688$ ; $5,3558$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 2) \cdot (x - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 2) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

2 \cdot \sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

2

|:

2

\sin (2 x + \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

L={0; $1$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 2) \cdot (x - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

2 \cdot \cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

2

\cos (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 2 \cdot \cos (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

0

L={0}

0 ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):