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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
cos( x + 3 2 π) +2 = 3

Lösung einblenden
cos( x + 3 2 π) +2 = 3 | -2 canvas
cos( x + 3 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 3 2 π = 0

oder

x + 3 2 π = 0+2π
x + 3 2 π = 2π |⋅ 2
2( x + 3 2 π) = 4π
2x +3π = 4π | -3π
2x = π |:2
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x3 = π

L={0; 1 2 π ; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
sin( 2x - 1 2 π) -2 = -1,1

Lösung einblenden
sin( 2x - 1 2 π) -2 = -1,1 | +2 canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 0,9 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.1197695149986

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1,12 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2,24
4x - π = 2,24 | + π
4x = 2,24 + π
4x = 5,3816 |:4
x1 = 1,3454

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 1 2 π) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 1,12 = 2,022 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 2,022 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 4,044
4x - π = 4,044 | + π
4x = 4,044 + π
4x = 7,1856 |:4
x2 = 1,7964

L={ 1,3454 ; 1,7964 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
-3⋅ cos( x + 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
-3⋅ cos( x + 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0
-3 cos( x + 1 2 π) · ( cos( x ) -1 ) = 0
-3 ( cos( x ) -1 ) · cos( x + 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
cos( x + 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x2 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x3 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 3⋅ sin( 3x + π) +3 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( 3⋅ sin( 3x + π) +3 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3⋅ sin( 3x + π) +3 = 0 | -3
3⋅ sin( 3x + π) = -3 |:3
canvas
sin( 3x + π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3x + π = 3 2 π | - π
3x = 1 2 π |:3
x1 = 1 6 π

Da 3⋅ sin( 3x + π) +3 die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 1 6 π + 1⋅ 2 3 π = 5 6 π
x3 = 1 6 π + 2⋅ 2 3 π = 3 2 π


2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x4 = 1 2 π

L={ 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π ; 3 2 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 -4⋅ cos( x ) +3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -4u +3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +4 ± ( -4 ) 2 -4 · 1 · 3 2⋅1

u1,2 = +4 ± 16 -12 2

u1,2 = +4 ± 4 2

u1 = 4 + 4 2 = 4 +2 2 = 6 2 = 3

u2 = 4 - 4 2 = 4 -2 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -2 ) 2 - 3 = 4 - 3 = 1

x1,2 = 2 ± 1

x1 = 2 - 1 = 1

x2 = 2 + 1 = 3

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 3

cos( x ) = 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

L={0}