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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
=
| = | |: |
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| = |
oder
| = | |||
| = | |⋅ 2 | ||
| = | |||
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = |
L={ }
trigonometr. Nullprodukt-Gleichung
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | |: |
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
2. Fall:
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
| x2 | = |
L={
trigonometrische Gleichungen (mit WTR)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; ).
=
| = | |sin-1(⋅) |
Der WTR liefert nun als Wert -1.1197695149986
Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so
1. Fall:
| = |
oder
| = | | | ||
| x1 | = | ||
| x1 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - =-2.0214 bzw. bei -2.0214+2π= liegen muss.
2. Fall:
| = |
oder
| = | | | ||
| x2 | = | ||
| x2 | = |
L={ ; }
Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = -3
x2 = + = 1
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = |
u2: =
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }
Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | |sin-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
1. Fall:
| x2 | = |
Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung = noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).
Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt,
also π -
2. Fall:
| x3 | = |
L={
trigon. Gleichung (mit Substitution)
Beispiel:
Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; ):
=
| = |
Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!
Setze u =
Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
u1,2 =
u1,2 =
u1,2 =
u1 = = = =
u2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = -3
x2 = + = -1
Rücksubstitution:
u1: =
| = | |cos-1(⋅) |
Am Einheitskreis erkennt man sofort:
| x1 | = |
u2: =
| = |
Diese Gleichung hat keine Lösung!
L={ }