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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3⋅ cos( x - 1 2 π) -3 = -6

Lösung einblenden
-3⋅ cos( x - 1 2 π) -3 = -6 | +3
-3⋅ cos( x - 1 2 π) = -3 |:-3
canvas
cos( x - 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = 0
2x - π = 0 | + π
2x = π |:2
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
cos( 2x - 1 2 π) = 0,3

Lösung einblenden
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = 0,3 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2661036727795

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1,266 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2,532
4x - π = 2,532 | + π
4x = 2,532 + π
4x = 5,6736 |:4
x1 = 1,4184

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = 0,3 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.3 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,266
bzw. bei - 1,266 +2π= 5,017 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 5,017

oder

2x - 1 2 π = 5,017 -2π |⋅ 2
4x - π = 10,034 -4π | + π
4x = 10,034 -3π
4x = 0,6092 |:4
x2 = 0,1523

L={ 0,1523 ; 1,4184 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; π ):
( x -2 ) · ( -3⋅ sin( 2x - 1 2 π) ) = 0

Lösung einblenden
( x -2 ) · ( -3⋅ sin( 2x - 1 2 π) ) = 0
-3 ( x -2 ) · sin( 2x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x -2 = 0 | +2
x1 = 2

2. Fall:

canvas
sin( 2x - 1 2 π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - 1 2 π = 0 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 0
4x - π = 0 | + π
4x = π |:4
x2 = 1 4 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 2x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2π
4x - π = 2π | + π
4x = 3π |:4
x3 = 3 4 π

L={ 1 4 π ; 2 ; 3 4 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
3⋅ cos( x - 1 2 π) · ( x 3 -2 x 2 ) = 0

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3⋅ cos( x - 1 2 π) · ( x 3 -2 x 2 ) = 0
3 cos( x - 1 2 π) · ( x 3 -2 x 2 ) = 0
3 ( x 3 -2 x 2 ) · cos( x - 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 -2 x 2 = 0
x 2 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

2. Fall:

canvas
cos( x - 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = π
2x - π = π | + π
2x = 2π |:2
x3 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x - 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x - 1 2 π = 3 2 π

oder

x - 1 2 π = 3 2 π-2π
x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = -π
2x - π = -π | + π
2x = 0 |:2
x4 = 0

L={0; 2 ; π }

0 ist 3-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 +2⋅ sin( x ) -3 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 +2⋅ sin( x ) -3 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +2u -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -3 ) 2⋅1

u1,2 = -2 ± 4 +12 2

u1,2 = -2 ± 16 2

u1 = -2 + 16 2 = -2 +4 2 = 2 2 = 1

u2 = -2 - 16 2 = -2 -4 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -3 ) = 1+ 3 = 4

x1,2 = -1 ± 4

x1 = -1 - 2 = -3

x2 = -1 + 2 = 1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 1

canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

u2: sin( x ) = -3

sin( x ) = -3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ 1 2 π }