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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\cos (x - \frac{1}{2} π) + 2$ = $1$

Lösung einblenden

\cos (x - \frac{1}{2} π) + 2

=

1

|

- 2

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$2 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{3}{2} π$

L={ $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \cos (x)

=

3

|:

2

\cos (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$2 \cdot \sin (2 x + π) + 1$ = $1,3$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (2 x + π) + 1

=

1,3

|

- 1

2 \cdot \sin (2 x + π)

=

0,3

|:

2

\sin (2 x + π)

=

0,15

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.15056827277669

1. Fall:

2 x + π

=

0,151

oder

$2 x + π$	=	$0,151 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$0,151 + π$
$2 x$	=	$3,2926$	\|: $2$
x₁	=	$1,6463$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0,15$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,151$ = $2,991$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + π

=

2,991

oder

$2 x + π$	=	$2,991 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2,991 + π$
$2 x$	=	$6,1326$	\|: $2$
x₂	=	$3,0663$

L={ $1,6463$ ; $3,0663$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 3$

\cos (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot (\sin (x) - 1)$	=	0
$- 2 \sin (2 x + \frac{3}{2} π) (\sin (x) - 1)$	=	0
$- 2 (\sin (x) - 1) \cdot \sin (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{1}{2} π

2. Fall:

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$4 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₃	=	$\frac{3}{4} π$

Da $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{1}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{5}{4} π$ , x₅ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{4} π$ ; $\frac{5}{4} π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 2 \cdot \sin (x) + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):