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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \sin (2 x + π) - 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (2 x + π) - 1

=

- 1

|

+ 1

- 3 \cdot \sin (2 x + π)

=

0

|:

- 3

\sin (2 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \cos (x)

=

- 3

|:

2

\cos (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $-0,2$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π) - 2

=

-0,2

|

+ 2

- 2 \cdot \cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

1,8

|:

- 2

\cos (3 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,9

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.6905658417935

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$2,691$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$5,382$
$6 x - π$	=	$5,382$	\| $+ π$
$6 x$	=	$5,382 + π$
$6 x$	=	$8,5236$	\|: $6$
x₁	=	$1,4206$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,9$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,691$
bzw. bei - $2,691$ +2π= $3,593$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$3,593$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$7,186$
$6 x - π$	=	$7,186$	\| $+ π$
$6 x$	=	$7,186 + π$
$6 x$	=	$10,3276$	\|: $6$
x₂	=	$1,7213$

L={ $1,4206$ ; $1,7213$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 2 \cdot \sin (x - π) - 2) \cdot (\sin (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- 2 \cdot \sin (x - π) - 2) \cdot (\sin (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 2 \cdot \sin (x - π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \sin (x - π)

=

2

|:

- 2

\sin (x - π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

2. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- \cos (2 x + \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- \sin (x) \cdot \cos (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$4 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$4 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₄	=	0

Da $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₅ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₆ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 2$

\cos (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):