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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (x - π) + 1$ = $1$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (x - π) + 1

=

1

|

- 1

3 \cdot \sin (x - π)

=

0

|:

3

\sin (x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	0	\| $+ π$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

π

oder

$x - π$	=	$π - 2 π$
$x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
x₂	=	0

L={0; $π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \sin (x)

=

1

|:

2

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₁

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{1}{6} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- \sin (x + \frac{3}{2} π) + 2$ = $2,2$

Lösung einblenden

- \sin (x + \frac{3}{2} π) + 2

=

2,2

|

- 2

- \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

0,2

|:

- 1

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 0,2

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.20135792079033

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $6,082$

1. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$6,082$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$12,164$
$2 x + 3 π$	=	$12,164$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$12,164 - 3 π$
$2 x$	=	$2,7392$	\|: $2$
x₁	=	$1,3696$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + \frac{3}{2} π)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $6,082$ =-2.9404 bzw. bei -2.9404+2π= $3,343$ liegen muss.

2. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

3,343

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$3,343 + 2 π$	\|⋅ 2
$2 x + 3 π$	=	$6,686 + 4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$6,686 + π$
$2 x$	=	$9,8276$	\|: $2$
x₂	=	$4,9138$

L={ $1,3696$ ; $4,9138$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$- 3 \cdot \sin (2 x - π) \cdot (x^{2} - 3 x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \sin (2 x - π) \cdot (x^{2} - 3 x)$	=	0
$- 3 \sin (2 x - π) (x^{2} - 3 x)$	=	0
$- 3 (x^{2} - 3 x) \cdot \sin (2 x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 3 x$	=	0
$x (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

\sin (2 x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - π

=

π

oder

$2 x - π$	=	$π - 2 π$
$2 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₄	=	0

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $3$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3+1}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3-1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):