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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- sin( x - π) +1 = 1

Lösung einblenden
- sin( x - π) +1 = 1 | -1
- sin( x - π) = 0 |:-1
canvas
sin( x - π) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - π = 0 | + π
x1 = π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x - π = π

oder

x - π = π-2π
x - π = -π | + π
x2 = 0

L={0; π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 + cos( x ) = 0
( cos( x ) +1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
-3⋅ cos( 2x - π) +2 = 3,8

Lösung einblenden
-3⋅ cos( 2x - π) +2 = 3,8 | -2
-3⋅ cos( 2x - π) = 1,8 |:-3
canvas
cos( 2x - π) = -0,6 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2142974355882

1. Fall:

2x - π = 2,214 | + π
2x = 2,214 + π
2x = 5,3556 |:2
x1 = 2,6778

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - π) = -0,6 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,214
bzw. bei - 2,214 +2π= 4,069 liegen muss.

2. Fall:

2x - π = 4,069

oder

2x - π = 4,069 -2π | + π
2x = 4,069 - π
2x = 0,9274 |:2
x2 = 0,4637

L={ 0,4637 ; 2,6778 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( -2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( -2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

-2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 = 0 | -2
-2⋅ sin( x + 1 2 π) = -2 |:-2
canvas
sin( x + 1 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x1 = 0

2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={0; 1 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( 3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 = 0 | -3
3⋅ sin( 2x - 1 2 π) = -3 |:3
canvas
sin( 2x - 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 1 2 π = 3 2 π

oder

2x - 1 2 π = 3 2 π-2π
2x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = -π
4x - π = -π | + π
4x = 0 |:4
x1 = 0

Da 3⋅ sin( 2x - 1 2 π) +3 die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 0 + 1⋅ π = π


2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 1 2 π

L={0; 1 2 π ; π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 -3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 -3 ( sin( x ) ) 2 +2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -3u +2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · 2 2⋅1

u1,2 = +3 ± 9 -8 2

u1,2 = +3 ± 1 2

u1 = 3 + 1 2 = 3 +1 2 = 4 2 = 2

u2 = 3 - 1 2 = 3 -1 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - 2 = 9 4 - 2 = 9 4 - 8 4 = 1 4

x1,2 = 3 2 ± 1 4

x1 = 3 2 - 1 2 = 2 2 = 1

x2 = 3 2 + 1 2 = 4 2 = 2

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 2

( sin( x ) ) 2 = 2 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 2 ≈ -1,414
sin( x ) = -1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

sin( x ) = 2 ≈ 1,414
sin( x ) = 1,414

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }