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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) - 2$ = $- 4$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π) - 2

=

- 4

|

+ 2

- 2 \cdot \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
$x$	=	$π$

L={ $π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \cos (x)

=

- 1

|:

2

\cos (x)

=

- 0,5

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x₁

=

\frac{2}{3} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{2}{3} π$
bzw. bei - $\frac{2}{3} π$ +2π= $\frac{4}{3} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{4}{3} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) + 1$ = $2,9$

Lösung einblenden

2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) + 1

=

2,9

|

- 1

2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

1,9

|:

2

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0,95

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2532358975034

1. Fall:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$1,253$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$2,506$
$6 x - 3 π$	=	$2,506$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$2,506 + 3 π$
$6 x$	=	$11,9308$	\|: $6$
x₁	=	$1,9885$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $0,95$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.95 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $1,253$ = $1,888$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

1,888

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$1,888 - 2 π$	\|⋅ 2
$6 x - 3 π$	=	$3,776 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3,776 - π$
$6 x$	=	$0,6344$	\|: $6$
x₂	=	$0,1057$

L={ $0,1057$ ; $1,9885$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{3} - 2 x^{2}) \cdot (- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

2. Fall:

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0
$- \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₁	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₂	=	$π$

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - \frac{3}{2} {(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} - 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} - \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $1$

{(\sin (x))}^{2}

=

1

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{1}

=

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{1}

=

1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $0,5$

{(\sin (x))}^{2}

=

0,5

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{0,5}

≈

- 0,707

\sin (x)

=

- 0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.78524716339515

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $5,498$

1. Fall:

x₃

=

5,498

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $5,498$ =-2.3564 bzw. bei -2.3564+2π= $3,927$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

3,927

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{0,5}

≈

0,707

\sin (x)

=

0,707

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.78524716339515

1. Fall:

x₅

=

0,785

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,707$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.707 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,785$ = $2,356$ liegen muss.

2. Fall:

x₆

=

2,356

L={ $0,785$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $2,356$ ; $3,927$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $5,498$ }

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):