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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
- cos( x + π) +2 = 1

Lösung einblenden
- cos( x + π) +2 = 1 | -2
- cos( x + π) = -1 |:-1
canvas
cos( x + π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + π = 0

oder

x + π = 0+2π
x + π = 2π | - π
x = π

L={ π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
( sin( x ) -1 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
- sin( 3x - 1 2 π) +1 = 0,65

Lösung einblenden
- sin( 3x - 1 2 π) +1 = 0,65 | -1
- sin( 3x - 1 2 π) = -0,35 |:-1
canvas
sin( 3x - 1 2 π) = 0,35 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.35757110364551

1. Fall:

3x - 1 2 π = 0,358 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 0,716
6x - π = 0,716 | + π
6x = 0,716 + π
6x = 3,8576 |:6
x1 = 0,6429

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x - 1 2 π) = 0,35 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,358 = 2,784 liegen muss.

2. Fall:

3x - 1 2 π = 2,784 |⋅ 2
2( 3x - 1 2 π) = 5,568
6x - π = 5,568 | + π
6x = 5,568 + π
6x = 8,7096 |:6
x2 = 1,4516

L={ 0,6429 ; 1,4516 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - sin( x - π) -1 ) · ( cos( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( x - π) -1 ) ( cos( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( x - π) -1 = 0 | +1
- sin( x - π) = 1 |:-1
canvas
sin( x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x1 = 1 2 π

2. Fall:

cos( x ) +1 = 0 | -1 canvas
cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = π

L={ 1 2 π ; π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 3⋅ sin( 2x - 3 2 π) -3 ) · sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( 3⋅ sin( 2x - 3 2 π) -3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3⋅ sin( 2x - 3 2 π) -3 = 0 | +3
3⋅ sin( 2x - 3 2 π) = 3 |:3
canvas
sin( 2x - 3 2 π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x - 3 2 π = 1 2 π

oder

2x - 3 2 π = 1 2 π-2π
2x - 3 2 π = - 3 2 π |⋅ 2
2( 2x - 3 2 π) = -3π
4x -3π = -3π | +3π
4x = 0 |:4
x1 = 0

Da 3⋅ sin( 2x - 3 2 π) -3 die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 0 + 1⋅ π = π


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; π }

0 ist 2-fache Lösung! π ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Lösung einblenden
( cos( x ) ) 2 - 1 2 ⋅ cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 - 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 - u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 2 · ( -1 ) 2⋅2

u1,2 = +1 ± 1 +8 4

u1,2 = +1 ± 9 4

u1 = 1 + 9 4 = 1 +3 4 = 4 4 = 1

u2 = 1 - 9 4 = 1 -3 4 = -2 4 = -0,5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 - u -1 = 0 |: 2

u 2 - 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = 1 4 ± 9 16

x1 = 1 4 - 3 4 = - 2 4 = -0.5

x2 = 1 4 + 3 4 = 4 4 = 1

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 1

canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

u2: cos( x ) = -0,5

canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x2 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 4 3 π

L={0; 2 3 π ; 4 3 π }