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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 1$ = $4$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 1

=

4

|

- 1

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

3

|:

- 3

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$4 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{3}{4} π$

L={ $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$\sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1$ = $-0,25$

Lösung einblenden

\sin (2 x + \frac{3}{2} π) - 1

=

-0,25

|

+ 1

\sin (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,75

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.84806207898148

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

0,848

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$0,848 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$1,696 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$1,696 + π$
$4 x$	=	$4,8376$	\|: $4$
x₁	=	$1,2094$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,848$ = $2,294$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

2,294

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$2,294 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$4,588 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$4,588 + π$
$4 x$	=	$7,7296$	\|: $4$
x₂	=	$1,9324$

L={ $1,2094$ ; $1,9324$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \cos (x + \frac{1}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$3 \sin (x) \cdot \cos (x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

\cos (x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₃	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₄	=	$π$

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(\cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(\cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 1) (\cos (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$4 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Da $\cos (2 x + \frac{3}{2} π) + 1$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = $\frac{3}{4} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{7}{4} π$

2. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

0

L={0; $\frac{3}{4} π$ ; $\frac{7}{4} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 5 {(\sin (x))}^{2} + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 5 {(\sin (x))}^{2} + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 4$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 4

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):