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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
-3 cos( 2x + 1 2 π) +2 = -1

Lösung einblenden
-3 cos( 2x + 1 2 π) +2 = -1 | -2
-3 cos( 2x + 1 2 π) = -3 |:-3
canvas
cos( 2x + 1 2 π) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + 1 2 π = 0

oder

2x + 1 2 π = 0+2π
2x + 1 2 π = 2π |⋅ 2
2( 2x + 1 2 π) = 4π
4x + π = 4π | - π
4x = 3π |:4
x = 3 4 π

L={ 3 4 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
1 2 sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
1 2 sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2 cos( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 cos( x ) +1 = 0 | -1
2 cos( x ) = -1 |:2
canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 2 3 π ; π ; 4 3 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
sin( 3x + π) = 0,8

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canvas
sin( 3x + π) = 0,8 |sin-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.92729521800161

1. Fall:

3x + π = 0,927

oder

3x + π = 0,927 +2π | - π
3x = 0,927 + π
3x = 4,0686 |:3
x1 = 1,3562

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( 3x + π) = 0,8 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.8 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0,927 = 2,214 liegen muss.

2. Fall:

3x + π = 2,214

oder

3x + π = 2,214 +2π | - π
3x = 2,214 + π
3x = 5,3556 |:3
x2 = 1,7852

L={ 1,3562 ; 1,7852 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- cos( x + 1 2 π) · ( x 2 - x ) = 0

Lösung einblenden
- cos( x + 1 2 π) · ( x 2 - x ) = 0
- cos( x + 1 2 π) ( x 2 - x ) = 0
- ( x 2 - x ) · cos( x + 1 2 π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 - x = 0
x ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

2. Fall:

canvas
cos( x + 1 2 π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + 1 2 π = 1 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = π
2x + π = π | - π
2x = 0 |:2
x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + 1 2 π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x4 = π

L={0; 1 ; π }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
cos( 2x - π) · ( cos( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
cos( 2x - π) ( cos( x ) -1 ) = 0
( cos( x ) -1 ) · cos( 2x - π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
cos( 2x - π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2x - π = 1 2 π | + π
2x = 3 2 π |:2
x2 = 3 4 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

2x - π = 3 2 π

oder

2x - π = 3 2 π-2π
2x - π = - 1 2 π | + π
2x = 1 2 π |:2
x3 = 1 4 π

Da cos( 2x - π) die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x4 = 3 4 π + 1⋅ π = 7 4 π , x5 = 1 4 π + 1⋅ π = 5 4 π

L={0; 1 4 π ; 3 4 π ; 5 4 π ; 7 4 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( cos( x ) ) 2 + 1 2 cos( x ) - 1 2 = 0

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( cos( x ) ) 2 + 1 2 cos( x ) - 1 2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = cos( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0 |⋅ 2
2( u 2 + 1 2 u - 1 2 ) = 0

2 u 2 + u -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 2 · ( -1 ) 22

u1,2 = -1 ± 1 +8 4

u1,2 = -1 ± 9 4

u1 = -1 + 9 4 = -1 +3 4 = 2 4 = 0,5

u2 = -1 - 9 4 = -1 -3 4 = -4 4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "2 " teilen:

2 u 2 + u -1 = 0 |: 2

u 2 + 1 2 u - 1 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 4 ) 2 - ( - 1 2 ) = 1 16 + 1 2 = 1 16 + 8 16 = 9 16

x1,2 = - 1 4 ± 9 16

x1 = - 1 4 - 3 4 = - 4 4 = -1

x2 = - 1 4 + 3 4 = 2 4 = 0.5

Rücksubstitution:

u1: cos( x ) = 0,5

canvas
cos( x ) = 0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0471975511966

1. Fall:

x1 = 1 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 3 π
bzw. bei - 1 3 π +2π= 5 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 5 3 π

u2: cos( x ) = -1

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cos( x ) = -1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = π

L={ 1 3 π ; π ; 5 3 π }