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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = 0

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 3

\sin (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$4 x - π$	=	0	\| $+ π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$4 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{3}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- \cos (x - \frac{1}{2} π) + 2$ = $2,65$

Lösung einblenden

- \cos (x - \frac{1}{2} π) + 2

=

2,65

|

- 2

- \cos (x - \frac{1}{2} π)

=

0,65

|:

- 1

\cos (x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,65

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.2783807635203

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$2,278$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$4,556$
$2 x - π$	=	$4,556$	\| $+ π$
$2 x$	=	$4,556 + π$
$2 x$	=	$7,6976$	\|: $2$
x₁	=	$3,8488$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{1}{2} π)$ = $- 0,65$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.65 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $2,278$
bzw. bei - $2,278$ +2π= $4,005$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$4,005$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$8,01$
$2 x - π$	=	$8,01$	\| $+ π$
$2 x$	=	$8,01 + π$
$2 x$	=	$11,1516$	\|: $2$
x₂	=	$5,5758$

L={ $3,8488$ ; $5,5758$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$- 3 \cdot \sin (2 x + π) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \sin (2 x + π) \cdot (x^{3} - x^{2})$	=	0
$- 3 \sin (2 x + π) (x^{3} - x^{2})$	=	0
$- 3 (x^{3} - x^{2}) \cdot \sin (2 x + π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

\sin (2 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₄	=	0

L={0; $1$ ; $\frac{1}{2} π$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$2 \cdot \sin (3 x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$2 \cdot \sin (3 x - π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$2 \sin (3 x - π) (\cos (x) - 1)$	=	0
$2 (\cos (x) - 1) \cdot \sin (3 x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\sin (3 x - π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - π$	=	0	\| $+ π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - π

=

π

oder

$3 x - π$	=	$π - 2 π$
$3 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₃	=	0

Da $\sin (3 x - π)$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{1}{3} π$ + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $π$ , x₅ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$
x₆ = $\frac{1}{3} π$ + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{5}{3} π$ , x₇ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ ; $\frac{5}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} - 2 {(\sin (x))}^{2} - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $3$

{(\sin (x))}^{2}

=

3

|

\sqrt[2]{\cdot}

1. Fall

\sin (x)

=

- \sqrt{3}

≈

- 1,732

\sin (x)

=

- 1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

\sin (x)

=

\sqrt{3}

≈

1,732

\sin (x)

=

1,732

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):