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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$2 \cdot \cos (3 x + π) - 1$ = $- 1$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (3 x + π) - 1

=

- 1

|

+ 1

2 \cdot \cos (3 x + π)

=

0

|:

2

\cos (3 x + π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + π$	=	$\frac{5}{2} π$	\| $- π$
$3 x$	=	$\frac{3}{2} π$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + π$	=	$\frac{3}{2} π$	\| $- π$
$3 x$	=	$\frac{1}{2} π$	\|: $3$
x₂	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1$ = $3,25$

Lösung einblenden

3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1

=

3,25

|

- 1

3 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

2,25

|:

3

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

3 x + \frac{1}{2} π

=

0,723

oder

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$0,723 + 2 π$	\|⋅ 2
$6 x + π$	=	$1,446 + 4 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$1,446 + 3 π$
$6 x$	=	$10,8708$	\|: $6$
x₁	=	$1,8118$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,723$
bzw. bei - $0,723$ +2π= $5,56$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$5,56$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$11,12$
$6 x + π$	=	$11,12$	\| $- π$
$6 x$	=	$11,12 - π$
$6 x$	=	$7,9784$	\|: $6$
x₂	=	$1,3297$

L={ $1,3297$ ; $1,8118$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(2 \cdot \cos (x + π) + 2) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(2 \cdot \cos (x + π) + 2) \cdot (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x + π) + 2

= 0 |

- 2

2 \cdot \cos (x + π)

=

- 2

|:

2

\cos (x + π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + π$	=	$π$	\| $- π$
x₁	=	0

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(- \cos (3 x + π) - 1) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- \cos (3 x + π) - 1) \cdot (x^{3} - x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \cos (3 x + π) - 1

= 0 |

+ 1

- \cos (3 x + π)

=

1

|:

- 1

\cos (3 x + π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$3 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

L={0; $1$ }

0 ist 3-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $4$

\cos (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

L={ $π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):