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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3 cos( x + π) +1 = 1

Lösung einblenden
3 cos( x + π) +1 = 1 | -1
3 cos( x + π) = 0 |:3
canvas
cos( x + π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 1 2 π

oder

x + π = 1 2 π+2π
x + π = 5 2 π | - π
x1 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + π = 3 2 π | - π
x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- 3 2 cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
- 3 2 cos( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2 sin( x ) -3 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 sin( x ) -3 = 0 | +3
2 sin( x ) = 3 |:2
sin( x ) = 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2 3 π ).
-3 cos( 3x - π) -1 = 0,65

Lösung einblenden
-3 cos( 3x - π) -1 = 0,65 | +1
-3 cos( 3x - π) = 1,65 |:-3
canvas
cos( 3x - π) = -0,55 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.1531605646636

1. Fall:

3x - π = 2,153 | + π
3x = 2,153 + π
3x = 5,2946 |:3
x1 = 1,7649

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x - π) = -0,55 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.55 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2,153
bzw. bei - 2,153 +2π= 4,13 liegen muss.

2. Fall:

3x - π = 4,13

oder

3x - π = 4,13 -2π | + π
3x = 4,13 - π
3x = 0,9884 |:3
x2 = 0,3295

L={ 0,3295 ; 1,7649 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 +5 ( sin( x ) ) 2 +4 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 +5 ( sin( x ) ) 2 +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 +5u +4 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = -5 ± 5 2 -4 · 1 · 4 21

u1,2 = -5 ± 25 -16 2

u1,2 = -5 ± 9 2

u1 = -5 + 9 2 = -5 +3 2 = -2 2 = -1

u2 = -5 - 9 2 = -5 -3 2 = -8 2 = -4

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = -1

( sin( x ) ) 2 = -1 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = -4

( sin( x ) ) 2 = -4 | 2

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
2 cos( x + π) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
2 cos( x + π) · cos( x ) = 0
2 cos( x + π) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

canvas
cos( x + π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π = 1 2 π

oder

x + π = 1 2 π+2π
x + π = 5 2 π | - π
x1 = 3 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x + π = 3 2 π | - π
x2 = 1 2 π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x4 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }

1 2 π ist 2-fache Lösung! 3 2 π ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 2

sin( x ) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

L={ 3 2 π }