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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$\cos (2 x + π) - 2$ = $- 1$

Lösung einblenden

\cos (2 x + π) - 2

=

- 1

|

+ 2

\cos (2 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x + π

=

0

oder

$2 x + π$	=	$0 + 2 π$
$2 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\cos (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \cos (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \cos (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \cos (x)

=

3

|:

2

\cos (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) + 3$ = $2,1$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π) + 3

=

2,1

|

- 3

- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

- 0,9

|:

- 2

\sin (3 x - \frac{1}{2} π)

=

0,45

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.4667653390473

1. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$0,467$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$0,934$
$6 x - π$	=	$0,934$	\| $+ π$
$6 x$	=	$0,934 + π$
$6 x$	=	$4,0756$	\|: $6$
x₁	=	$0,6793$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{1}{2} π)$ = $0,45$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.45 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,467$ = $2,675$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x - \frac{1}{2} π$	=	$2,675$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{1}{2} π)$	=	$5,35$
$6 x - π$	=	$5,35$	\| $+ π$
$6 x$	=	$5,35 + π$
$6 x$	=	$8,4916$	\|: $6$
x₂	=	$1,4153$

L={ $0,6793$ ; $1,4153$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$2 \cdot \sin (x + π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$2 \cdot \sin (x + π) \cdot \sin (x)$	=	0
$2 \sin (x + π) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + π

=

0

oder

$x + π$	=	$0 + 2 π$
$x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + π$	=	$π$	\| $- π$
x₂	=	0

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) \cdot (\cos (x) - 1)$	=	0
$- 3 \cos (2 x - \frac{1}{2} π) (\cos (x) - 1)$	=	0
$- 3 (\cos (x) - 1) \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) - 1

= 0 |

+ 1

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

2. Fall:

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$4 x - π$	=	$π$	\| $+ π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{1}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{1}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$4 x$	=	0	\|: $4$
x₃	=	0

Da $\cos (2 x - \frac{1}{2} π)$ die Periode $π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₄ = $\frac{1}{2} π$ + 1⋅ $π$ = $\frac{3}{2} π$ , x₅ = 0 + 1⋅ $π$ = $π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):