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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ sin( x - 3 2 π) = -2

Lösung einblenden
2⋅ sin( x - 3 2 π) = -2 |:2
canvas
sin( x - 3 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 3 2 π = 3 2 π

oder

x - 3 2 π = 3 2 π-2π
x - 3 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( x - 3 2 π) = -π
2x -3π = -π | +3π
2x = 2π |:2
x = π

L={ π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
1 2 ⋅ sin( x ) + sin( x ) · cos( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ cos( x ) +1 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ cos( x ) +1 = 0 | -1
2⋅ cos( x ) = -1 |:2
canvas
cos( x ) = -0,5 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 2.0943951023932

1. Fall:

x1 = 2 3 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = -0,5 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 2 3 π
bzw. bei - 2 3 π +2π= 4 3 π liegen muss.

2. Fall:

x2 = 4 3 π

2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x3 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x4 = π

L={0; 2 3 π ; π ; 4 3 π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
3⋅ cos( x + 1 2 π) +1 = 3.7

Lösung einblenden
3⋅ cos( x + 1 2 π) +1 = 3.7 | -1
3⋅ cos( x + 1 2 π) = 2,7 |:3
canvas
cos( x + 1 2 π) = 0,9 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.45102681179626

1. Fall:

x + 1 2 π = 0,451

oder

x + 1 2 π = 0,451 +2π |⋅ 2
2x + π = 0,902 +4π | - π
2x = 0,902 +3π
2x = 10,3268 |:2
x1 = 5,1634

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x + 1 2 π) = 0,9 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.9 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 0,451
bzw. bei - 0,451 +2π= 5,832 liegen muss.

2. Fall:

x + 1 2 π = 5,832 |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 11,664
2x + π = 11,664 | - π
2x = 11,664 - π
2x = 8,5224 |:2
x2 = 4,2612

L={ 4,2612 ; 5,1634 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) · cos( x ) = 0

Lösung einblenden
( 2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 ) · cos( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x + 1 2 π) +2 = 0 | -2
2⋅ sin( x + 1 2 π) = -2 |:2
canvas
sin( x + 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + 1 2 π = 3 2 π |⋅ 2
2( x + 1 2 π) = 3π
2x + π = 3π | - π
2x = 2π |:2
x1 = π

2. Fall:

canvas
cos( x ) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

x3 = 3 2 π

L={ 1 2 π ; π ; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
- cos( 3x + π) · ( cos( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
- cos( 3x + π) · ( cos( x ) -1 ) = 0
- cos( 3x + π) ( cos( x ) -1 ) = 0
- ( cos( x ) -1 ) · cos( 3x + π) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

cos( x ) -1 = 0 | +1 canvas
cos( x ) = 1 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 0

2. Fall:

canvas
cos( 3x + π) = 0 |cos-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3x + π = 1 2 π

oder

3x + π = 1 2 π+2π
3x + π = 5 2 π | - π
3x = 3 2 π |:3
x2 = 1 2 π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 3x + π) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1 2 π
bzw. bei - 1 2 π +2π= 3 2 π liegen muss.

2. Fall:

3x + π = 3 2 π | - π
3x = 1 2 π |:3
x3 = 1 6 π

Da cos( 3x + π) die Periode 2 3 π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x4 = 1 2 π + 1⋅ 2 3 π = 7 6 π , x5 = 1 6 π + 1⋅ 2 3 π = 5 6 π
x6 = 1 2 π + 2⋅ 2 3 π = 11 6 π , x7 = 1 6 π + 2⋅ 2 3 π = 3 2 π

L={0; 1 6 π ; 1 2 π ; 5 6 π ; 7 6 π ; 3 2 π ; 11 6 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 - sin( x ) -2 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = sin( x )

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 - u -2 = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

u1,2 = +1 ± ( -1 ) 2 -4 · 1 · ( -2 ) 2⋅1

u1,2 = +1 ± 1 +8 2

u1,2 = +1 ± 9 2

u1 = 1 + 9 2 = 1 +3 2 = 4 2 = 2

u2 = 1 - 9 2 = 1 -3 2 = -2 2 = -1

Rücksubstitution:

u1: sin( x ) = 2

sin( x ) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: sin( x ) = -1

canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

L={ 3 2 π }