Mathebattle EduRandomtasks

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 3

|:

3

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$4 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$2 π$	\|: $4$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 1

= 0 |

- 1

2 \cdot \sin (x)

=

- 1

|:

2

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0; $2 π$ ) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $π$ ; $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$- 3 \cdot \sin (x + π)$ = $-0,3$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \sin (x + π)

=

-0,3

|:

- 3

\sin (x + π)

=

0,1

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.10016742116156

1. Fall:

x + π

=

0,1

oder

$x + π$	=	$0,1 + 2 π$	\| $- π$
x₁	=	$0,1 + π$
x₁	=	$3,2416$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x + π)$ = $0,1$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.1 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,1$ = $3,041$ liegen muss.

2. Fall:

x + π

=

3,041

oder

$x + π$	=	$3,041 + 2 π$	\| $- π$
x₂	=	$3,041 + π$
x₂	=	$6,1826$

L={ $3,2416$ ; $6,1826$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) \cdot (x - 2)$ = 0

Lösung einblenden

$3 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) \cdot (x - 2)$	=	0
$3 \cos (3 x + \frac{3}{2} π) (x - 2)$	=	0
$3 (x - 2) \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

\cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$6 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₃	=	0

L={0; $\frac{1}{3} π$ ; $2$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + \cos (x) - 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + \cos (x) - 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + u - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 2$

\cos (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 5 \cdot \cos (x) + 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 5 \cdot \cos (x) + 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 5 u + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

u₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 4$

\cos (x)

=

- 4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):