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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 3 \cdot \cos (3 x + π) - 1$ = $- 4$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x + π) - 1

=

- 4

|

+ 1

- 3 \cdot \cos (3 x + π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (3 x + π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + π

=

0

oder

$3 x + π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
$x$	=	$\frac{1}{3} π$

L={ $\frac{1}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

2 \cdot \sin (x)

=

1

|:

2

\sin (x)

=

0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.5235987755983

1. Fall:

x₁

=

\frac{5}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{5}{6} π$ = $\frac{1}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{1}{6} π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

π

L={0; $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{5}{6} π$ ; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1$ = $0,25$

Lösung einblenden

- \cos (3 x + \frac{1}{2} π) + 1

=

0,25

|

- 1

- \cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

- 0,75

|:

- 1

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

3 x + \frac{1}{2} π

=

0,723

oder

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$0,723 + 2 π$	\|⋅ 2
$6 x + π$	=	$1,446 + 4 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$1,446 + 3 π$
$6 x$	=	$10,8708$	\|: $6$
x₁	=	$1,8118$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,723$
bzw. bei - $0,723$ +2π= $5,56$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$5,56$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$11,12$
$6 x + π$	=	$11,12$	\| $- π$
$6 x$	=	$11,12 - π$
$6 x$	=	$7,9784$	\|: $6$
x₂	=	$1,3297$

L={ $1,3297$ ; $1,8118$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- 3 \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- 3 \cos (x - \frac{3}{2} π) \cdot \sin (x)$	=	0
$- 3 \sin (x) \cdot \cos (x - \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

2. Fall:

\cos (x - \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 3 π$
$2 x - 3 π$	=	$- 3 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₃	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$2 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₄	=	$π$

L={0; $π$ }

0 ist 2-fache Lösung! $π$ ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (3 x - π) - 3) \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (3 x - π) - 3) \cdot \sin (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (3 x - π) - 3

= 0 |

+ 3

- 3 \cdot \cos (3 x - π)

=

3

|:

- 3

\cos (3 x - π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - π

=

π

oder

$3 x - π$	=	$π - 2 π$
$3 x - π$	=	$- π$	\| $+ π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₁	=	0

Da $- 3 \cdot \cos (3 x - π) - 3$ die Periode $\frac{2}{3} π$ besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x₂ = 0 + 1⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{2}{3} π$
x₃ = 0 + 2⋅ $\frac{2}{3} π$ = $\frac{4}{3} π$

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₄

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₅

=

π

L={0; $\frac{2}{3} π$ ; $π$ ; $\frac{4}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 2 \cdot \cos (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

u₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

u₂: $\cos (x)$ = $- 3$

\cos (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={0}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):