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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π) + 3

=

3

|

- 3

- 2 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|:

- 2

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$4 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$- \frac{3}{2} \cdot \cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) + 3$ = $3,7$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π) + 3

=

3,7

|

- 3

2 \cdot \cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0,7

|:

2

\cos (2 x + \frac{1}{2} π)

=

0,35

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.2132252231494

1. Fall:

2 x + \frac{1}{2} π

=

1,213

oder

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$1,213 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + π$	=	$2,426 + 4 π$	\| $- π$
$4 x$	=	$2,426 + 3 π$
$4 x$	=	$11,8508$	\|: $4$
x₁	=	$2,9627$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{1}{2} π)$ = $0,35$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.35 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,213$
bzw. bei - $1,213$ +2π= $5,07$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{1}{2} π$	=	$5,07$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{1}{2} π)$	=	$10,14$
$4 x + π$	=	$10,14$	\| $- π$
$4 x$	=	$10,14 - π$
$4 x$	=	$6,9984$	\|: $4$
x₂	=	$1,7496$

L={ $1,7496$ ; $2,9627$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} - 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $2$

\cos (x)

=

2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\cos (x)$ = $1$

\cos (x)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

0

L={0}

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(x - 2) \cdot (- 3 \cdot \cos (x - π))$ = 0

Lösung einblenden

$(x - 2) \cdot (- 3 \cdot \cos (x - π))$	=	0
$- 3 (x - 2) \cdot \cos (x - π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

\cos (x - π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x - π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $2$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 4 \cdot \cos (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 4 \cdot \cos (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 3$

\cos (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):