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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) - 2$ = 0

Lösung einblenden

- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

L={0}

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\cos (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\sin (x) + 1) \cdot \cos (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\sin (x) + 1

= 0 |

- 1

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

$\frac{3}{2} π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ).
$- 3 \cdot \cos (3 x - π)$ = $-2,25$

Lösung einblenden

- 3 \cdot \cos (3 x - π)

=

-2,25

|:

- 3

\cos (3 x - π)

=

0,75

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.72273424781342

1. Fall:

$3 x - π$	=	$0,723$	\| $+ π$
$3 x$	=	$0,723 + π$
$3 x$	=	$3,8646$	\|: $3$
x₁	=	$1,2882$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x - π)$ = $0,75$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.75 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $0,723$
bzw. bei - $0,723$ +2π= $5,56$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - π

=

5,56

oder

$3 x - π$	=	$5,56 - 2 π$	\| $+ π$
$3 x$	=	$5,56 - π$
$3 x$	=	$2,4184$	\|: $3$
x₂	=	$0,8061$

L={ $0,8061$ ; $1,2882$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot (x - 2)$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot (x - 2)$	=	0
$- 2 \sin (3 x - \frac{3}{2} π) \cdot (x - 2)$	=	0
$- 2 (x - 2) \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$6 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

3 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$6 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{6} π$

L={ $\frac{1}{6} π$ ; $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x^{3} - x^{2}) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 3)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{3} - x^{2}) \cdot (- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π) - 3

= 0 |

+ 3

- 3 \cdot \sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

3

|:

- 3

\sin (3 x - \frac{3}{2} π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x - \frac{3}{2} π

=

\frac{3}{2} π

oder

$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$3 x - \frac{3}{2} π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- π$
$6 x - 3 π$	=	$- π$	\| $+ 3 π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₃	=	$\frac{1}{3} π$

L={0; $1$ ; $\frac{1}{3} π$ }

0 ist 2-fache Lösung!

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + 4 \cdot \sin (x) + 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + 4 \cdot \sin (x) + 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 4 u + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

u₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 3$

\sin (x)

=

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):