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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ = 0

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|:

3

\sin (2 x - \frac{3}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	0
$4 x - 3 π$	=	0	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$3 π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{3}{4} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x - \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

2 x - \frac{3}{2} π

=

π

oder

$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$π - 2 π$
$2 x - \frac{3}{2} π$	=	$- π$	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{3}{2} π)$	=	$- 2 π$
$4 x - 3 π$	=	$- 2 π$	\| $+ 3 π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₂	=	$\frac{1}{4} π$

L={ $\frac{1}{4} π$ ; $\frac{3}{4} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$3 \cdot \sin (2 x + π)$ = $1,8$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (2 x + π)

=

1,8

|:

3

\sin (2 x + π)

=

0,6

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 0.64350110879328

1. Fall:

2 x + π

=

0,644

oder

$2 x + π$	=	$0,644 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$0,644 + π$
$2 x$	=	$3,7856$	\|: $2$
x₁	=	$1,8928$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (2 x + π)$ = $0,6$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.6 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $0,644$ = $2,498$ liegen muss.

2. Fall:

2 x + π

=

2,498

oder

$2 x + π$	=	$2,498 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$2,498 + π$
$2 x$	=	$5,6396$	\|: $2$
x₂	=	$2,8198$

L={ $1,8928$ ; $2,8198$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (x^{3} - x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (x^{3} - x^{2})$	=	0
$- 2 \cos (3 x + \frac{1}{2} π) \cdot (x^{3} - x^{2})$	=	0
$- 2 (x^{3} - x^{2}) \cdot \cos (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

2. Fall:

\cos (3 x + \frac{1}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$π$
$6 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$6 x$	=	0	\|: $6$
x₃	=	0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (3 x + \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + \frac{1}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{1}{2} π)$	=	$3 π$
$6 x + π$	=	$3 π$	\| $- π$
$6 x$	=	$2 π$	\|: $6$
x₄	=	$\frac{1}{3} π$

L={0; $1$ ; $\frac{1}{3} π$ }

0 ist 3-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $\frac{2}{3} π$ ):
$(x - 2) \cdot (- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) - 2)$ = 0

Lösung einblenden

(x - 2) \cdot (- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) - 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₁	=	$2$

2. Fall:

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π) - 2

= 0 |

+ 2

- 2 \cdot \cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

2

|:

- 2

\cos (3 x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

3 x + \frac{3}{2} π

=

π

oder

$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$π + 2 π$
$3 x + \frac{3}{2} π$	=	$3 π$	\|⋅ 2
$2 (3 x + \frac{3}{2} π)$	=	$6 π$
$6 x + 3 π$	=	$6 π$	\| $- 3 π$
$6 x$	=	$3 π$	\|: $6$
x₂	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $2$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2$ = 0

Lösung einblenden

{(\cos (x))}^{2} + 3 \cdot \cos (x) + 2

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\cos (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 3 u + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

Rücksubstitution:

u₁: $\cos (x)$ = $- 1$

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

u₂: $\cos (x)$ = $- 2$

\cos (x)

=

- 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):