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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $\frac{2}{3} π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (3 x + π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

- \sin (3 x + π) + 3

=

3

|

- 3

- \sin (3 x + π)

=

0

|:

- 1

\sin (3 x + π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

3 x + π

=

0

oder

$3 x + π$	=	$0 + 2 π$
$3 x + π$	=	$2 π$	\| $- π$
$3 x$	=	$π$	\|: $3$
x₁	=	$\frac{1}{3} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (3 x + π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$3 x + π$	=	$π$	\| $- π$
$3 x$	=	0	\|: $3$
x₂	=	0

L={0; $\frac{1}{3} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} - \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) - 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) - 3

= 0 |

+ 3

2 \cdot \sin (x)

=

3

|:

2

\sin (x)

=

1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ).
$\sin (x - \frac{3}{2} π) - 3$ = $-2,15$

Lösung einblenden

\sin (x - \frac{3}{2} π) - 3

=

-2,15

|

+ 3

\sin (x - \frac{3}{2} π)

=

0,85

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.0159852938148

1. Fall:

$x - \frac{3}{2} π$	=	$1,016$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{3}{2} π)$	=	$2,032$
$2 x - 3 π$	=	$2,032$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$2,032 + 3 π$
$2 x$	=	$11,4568$	\|: $2$
x₁	=	$5,7284$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{3}{2} π)$ = $0,85$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0.85 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $1,016$ = $2,126$ liegen muss.

2. Fall:

x - \frac{3}{2} π

=

2,126

oder

$x - \frac{3}{2} π$	=	$2,126 - 2 π$	\|⋅ 2
$2 x - 3 π$	=	$4,252 - 4 π$	\| $+ 3 π$
$2 x$	=	$4,252 - π$
$2 x$	=	$1,1104$	\|: $2$
x₂	=	$0,5552$

L={ $0,5552$ ; $5,7284$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $π$ ):
$(- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})$ = 0

Lösung einblenden

(- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3) \cdot (x^{3} - 2 x^{2})

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π) + 3

= 0 |

- 3

- 3 \cdot \cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

- 3

|:

- 3

\cos (2 x - \frac{1}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$2 x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (2 x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$4 x - π$	=	0	\| $+ π$
$4 x$	=	$π$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} π$

2. Fall:

$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₃	=	$2$

L={0; $\frac{1}{4} π$ ; $2$ }

0 ist 2-fache Lösung!

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) - 4$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 3 \cdot \sin (x) - 4

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $4$

\sin (x)

=

4

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} + 1$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{4} + 2 {(\sin (x))}^{2} + 1

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ${(\sin (x))}^{2}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + 2 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

u_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

u = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

Rücksubstitution:

u₁: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

u₂: ${(\sin (x))}^{2}$ = $- 1$

{(\sin (x))}^{2}

=

- 1

|

\sqrt[2]{\cdot}

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

L={}

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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):