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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$3 \cdot \sin (x - π)$ = $- 3$

Lösung einblenden

3 \cdot \sin (x - π)

=

- 3

|:

3

\sin (x - π)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π

=

\frac{3}{2} π

oder

$x - π$	=	$\frac{3}{2} π - 2 π$
$x - π$	=	$- \frac{1}{2} π$	\| $+ π$
$x$	=	$\frac{1}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

$\sin (x) + \sin (x) \cdot \cos (x)$	=	0
$(\cos (x) + 1) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

π

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₂

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₃

=

π

L={0; $π$ }

$π$ ist 2-fache Lösung!

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$2 \cdot \cos (2 x + π) + 1$ = $0,6$

Lösung einblenden

2 \cdot \cos (2 x + π) + 1

=

0,6

|

- 1

2 \cdot \cos (2 x + π)

=

- 0,4

|:

2

\cos (2 x + π)

=

- 0,2

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.7721542475852

1. Fall:

2 x + π

=

1,772

oder

$2 x + π$	=	$1,772 + 2 π$	\| $- π$
$2 x$	=	$1,772 + π$
$2 x$	=	$4,9136$	\|: $2$
x₁	=	$2,4568$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + π)$ = $- 0,2$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=-0.2 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,772$
bzw. bei - $1,772$ +2π= $4,511$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + π$	=	$4,511$	\| $- π$
$2 x$	=	$4,511 - π$
$2 x$	=	$1,3694$	\|: $2$
x₂	=	$0,6847$

L={ $0,6847$ ; $2,4568$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(- \sin (x + \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (\sin (x) - 1)$ = 0

Lösung einblenden

(- \sin (x + \frac{3}{2} π) + 1) \cdot (\sin (x) - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- \sin (x + \frac{3}{2} π) + 1

= 0 |

- 1

- \sin (x + \frac{3}{2} π)

=

- 1

|:

- 1

\sin (x + \frac{3}{2} π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

2. Fall:

\sin (x) - 1

= 0 |

+ 1

\sin (x)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

\frac{1}{2} π

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(x^{2} - 6 x) \cdot (- 2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 2)$ = 0

Lösung einblenden

(x^{2} - 6 x) \cdot (- 2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

2. Fall:

- 2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π) + 2

= 0 |

- 2

- 2 \cdot \cos (x + \frac{3}{2} π)

=

- 2

|:

- 2

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x + \frac{3}{2} π

=

0

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$0 + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$2 π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$4 π$
$2 x + 3 π$	=	$4 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₃	=	$\frac{1}{2} π$

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $6$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x) + \frac{1}{2}

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2})$	=	0

$2 u^{2} + 3 u + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

u_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

u₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3+1}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

u₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 3-1}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 u^{2} + 3 u + 1$ = 0 |: $2$

$u^{2} + \frac{3}{2} u + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $- 0,5$

\sin (x)

=

- 0,5

|sin^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert -0.5235987755983

Weil dieser Wert negativ ist und wir aber Lösungen aus dem Intervall [0;p) suchen, addieren wir einfach noch 2π dazu und erhalten so $\frac{11}{6} π$

1. Fall:

x₁

=

\frac{11}{6} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $- 0,5$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=-0.5 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - $\frac{11}{6} π$ =-2.618 bzw. bei -2.618+2π= $\frac{7}{6} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

\frac{7}{6} π

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₃

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{7}{6} π$ ; $\frac{3}{2} π$ ; $\frac{11}{6} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):