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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; 2π ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
2⋅ sin( x - π) -3 = -5

Lösung einblenden
2⋅ sin( x - π) -3 = -5 | +3
2⋅ sin( x - π) = -2 |:2
canvas
sin( x - π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - π = 3 2 π

oder

x - π = 3 2 π-2π
x - π = - 1 2 π | + π
x = 1 2 π

L={ 1 2 π }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 2 + 3 2 ⋅ sin( x ) = 0
1 2 ( 2⋅ sin( x ) +3 ) · sin( x ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( x ) +3 = 0 | -3
2⋅ sin( x ) = -3 |:2
sin( x ) = -1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!


2. Fall:

canvas
sin( x ) = 0 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x1 = 0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung sin( x ) = 0 noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= π liegen muss.

2. Fall:

x2 = π

L={0; π }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; π ).
3⋅ cos( 2x - 1 2 π) +1 = 1,45

Lösung einblenden
3⋅ cos( 2x - 1 2 π) +1 = 1,45 | -1
3⋅ cos( 2x - 1 2 π) = 0,45 |:3
canvas
cos( 2x - 1 2 π) = 0,15 |cos-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.4202280540182

1. Fall:

2x - 1 2 π = 1,42 |⋅ 2
2( 2x - 1 2 π) = 2,84
4x - π = 2,84 | + π
4x = 2,84 + π
4x = 5,9816 |:4
x1 = 1,4954

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung cos( 2x - 1 2 π) = 0,15 noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.15 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - 1,42
bzw. bei - 1,42 +2π= 4,863 liegen muss.

2. Fall:

2x - 1 2 π = 4,863

oder

2x - 1 2 π = 4,863 -2π |⋅ 2
4x - π = 9,726 -4π | + π
4x = 9,726 -3π
4x = 0,3012 |:4
x2 = 0,0753

L={ 0,0753 ; 1,4954 }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( - sin( x - 1 2 π) -1 ) · ( sin( x ) +1 ) = 0

Lösung einblenden
( - sin( x - 1 2 π) -1 ) ( sin( x ) +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

- sin( x - 1 2 π) -1 = 0 | +1
- sin( x - 1 2 π) = 1 |:-1
canvas
sin( x - 1 2 π) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x - 1 2 π = 3 2 π

oder

x - 1 2 π = 3 2 π-2π
x - 1 2 π = - 1 2 π |⋅ 2
2( x - 1 2 π) = -π
2x - π = -π | + π
2x = 0 |:2
x1 = 0

2. Fall:

sin( x ) +1 = 0 | -1 canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 3 2 π

L={0; 3 2 π }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( 2⋅ sin( 2x + π) -2 ) · ( sin( x ) -1 ) = 0

Lösung einblenden
( 2⋅ sin( 2x + π) -2 ) ( sin( x ) -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2⋅ sin( 2x + π) -2 = 0 | +2
2⋅ sin( 2x + π) = 2 |:2
canvas
sin( 2x + π) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

2x + π = 1 2 π

oder

2x + π = 1 2 π+2π
2x + π = 5 2 π | - π
2x = 3 2 π |:2
x1 = 3 4 π

Da 2⋅ sin( 2x + π) -2 die Periode π besitzt, aber alle Lösungen im Intervall [0; 2π ) gesucht sind, können wir auf die Lösung(en) immer noch weitere Perioden draufaddieren und erhalten so folgende weitere Lösungen:

x2 = 3 4 π + 1⋅ π = 7 4 π


2. Fall:

sin( x ) -1 = 0 | +1 canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x3 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 4 π ; 7 4 π }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; 2π ):
( sin( x ) ) 4 -5 ( sin( x ) ) 2 +4 = 0

Lösung einblenden
( sin( x ) ) 4 -5 ( sin( x ) ) 2 +4 = 0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = ( sin( x ) ) 2

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

u 2 -5u +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

u1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 2⋅1

u1,2 = +5 ± 25 -16 2

u1,2 = +5 ± 9 2

u1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

u2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Rücksubstitution:

u1: ( sin( x ) ) 2 = 4

( sin( x ) ) 2 = 4 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 4 = -2
sin( x ) = -2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall

sin( x ) = 4 = 2
sin( x ) = 2

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u2: ( sin( x ) ) 2 = 1

( sin( x ) ) 2 = 1 | ⋅2

1. Fall

sin( x ) = - 1 = -1
canvas
sin( x ) = -1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x1 = 3 2 π

2. Fall

sin( x ) = 1 = 1
canvas
sin( x ) = 1 |sin-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x2 = 1 2 π

L={ 1 2 π ; 3 2 π }