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trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $2 π$ ). Gib dabei immer die kleinsten positiven Lösungen an:
$- \sin (x - \frac{1}{2} π) + 3$ = $3$

Lösung einblenden

- \sin (x - \frac{1}{2} π) + 3

=

3

|

- 3

- \sin (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|:

- 1

\sin (x - \frac{1}{2} π)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	0
$2 x - π$	=	0	\| $+ π$
$2 x$	=	$π$	\|: $2$
x₁	=	$\frac{1}{2} π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x - \frac{1}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

$x - \frac{1}{2} π$	=	$π$	\|⋅ 2
$2 (x - \frac{1}{2} π)$	=	$2 π$
$2 x - π$	=	$2 π$	\| $+ π$
$2 x$	=	$3 π$	\|: $2$
x₂	=	$\frac{3}{2} π$

L={ $\frac{1}{2} π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$ = 0

Lösung einblenden

${(\sin (x))}^{2} + \frac{3}{2} \cdot \sin (x)$	=	0
$\frac{1}{2} (2 \cdot \sin (x) + 3) \cdot \sin (x)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2 \cdot \sin (x) + 3

= 0 |

- 3

2 \cdot \sin (x)

=

- 3

|:

2

\sin (x)

=

- 1,5

Diese Gleichung hat keine Lösung!

2. Fall:

\sin (x)

=

0

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₁

=

0

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\sin (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die waagrechte grüne Gerade y=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung an der y-Achse gespiegelt liegt, also π - 0= $π$ liegen muss.

2. Fall:

x₂

=

π

L={0; $π$ }

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen immer jeweils innerhalb einer Periode [0; $π$ ).
$\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,05$

Lösung einblenden

\cos (2 x + \frac{3}{2} π)

=

0,05

|cos^-1(⋅)

Der WTR liefert nun als Wert 1.5207754699891

1. Fall:

2 x + \frac{3}{2} π

=

1,521

oder

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$1,521 + 2 π$	\|⋅ 2
$4 x + 3 π$	=	$3,042 + 4 π$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$3,042 + π$
$4 x$	=	$6,1836$	\|: $4$
x₁	=	$1,5459$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (2 x + \frac{3}{2} π)$ = $0,05$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0.05 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $1,521$
bzw. bei - $1,521$ +2π= $4,762$ liegen muss.

2. Fall:

$2 x + \frac{3}{2} π$	=	$4,762$	\|⋅ 2
$2 (2 x + \frac{3}{2} π)$	=	$9,524$
$4 x + 3 π$	=	$9,524$	\| $- 3 π$
$4 x$	=	$9,524 - 3 π$
$4 x$	=	$0,0992$	\|: $4$
x₂	=	$0,0248$

L={ $0,0248$ ; $1,5459$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$\cos (x + \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)$ = 0

Lösung einblenden

\cos (x + \frac{3}{2} π) \cdot \cos (x)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

\cos (x + \frac{3}{2} π)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x + \frac{3}{2} π

=

\frac{1}{2} π

oder

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{1}{2} π + 2 π$
$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{5}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$5 π$
$2 x + 3 π$	=	$5 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	$2 π$	\|: $2$
x₁	=	$π$

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x + \frac{3}{2} π)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

$x + \frac{3}{2} π$	=	$\frac{3}{2} π$	\|⋅ 2
$2 (x + \frac{3}{2} π)$	=	$3 π$
$2 x + 3 π$	=	$3 π$	\| $- 3 π$
$2 x$	=	0	\|: $2$
x₂	=	0

2. Fall:

\cos (x)

=

0

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

1. Fall:

x₃

=

\frac{1}{2} π

Am Einheitskreis erkennen wir, dass die Gleichung $\cos (x)$ = $0$ noch eine weitere Lösung hat. (die senkrechte turkise Gerade x=0 schneidet den Einheitskreis in einem zweiten Punkt).

Am Einheitskreis erkennen wir auch, dass die andere Lösung einfach (nach unten gespiegelt) bei - $\frac{1}{2} π$
bzw. bei - $\frac{1}{2} π$ +2π= $\frac{3}{2} π$ liegen muss.

2. Fall:

x₄

=

\frac{3}{2} π

L={0; $\frac{1}{2} π$ ; $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
$(3 \cdot \sin (x - π) - 3) \cdot (\cos (x) + 1)$ = 0

Lösung einblenden

(3 \cdot \sin (x - π) - 3) \cdot (\cos (x) + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

3 \cdot \sin (x - π) - 3

= 0 |

+ 3

3 \cdot \sin (x - π)

=

3

|:

3

\sin (x - π)

=

1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

$x - π$	=	$\frac{1}{2} π$	\| $+ π$
x₁	=	$\frac{3}{2} π$

2. Fall:

\cos (x) + 1

= 0 |

- 1

\cos (x)

=

- 1

|cos^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₂

=

π

L={ $π$ ; $\frac{3}{2} π$ }

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Beispiel:

Bestimme alle Lösungen im Intervall [0; $2 π$ ):
${(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) - 3$ = 0

Lösung einblenden

{(\sin (x))}^{2} - 2 \cdot \sin (x) - 3

=

0

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $\sin (x)$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 2 u - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

u₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

u₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Rücksubstitution:

u₁: $\sin (x)$ = $3$

\sin (x)

=

3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

u₂: $\sin (x)$ = $- 1$

\sin (x)

=

- 1

|sin^-1(⋅)

Am Einheitskreis erkennt man sofort:

x₁

=

\frac{3}{2} π

L={ $\frac{3}{2} π$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

trigonometrische Gleichungen (ohne WTR)

trigonometr. Nullprodukt-Gleichung

trigonometrische Gleichungen (mit WTR)

Trigonometrische Gleichungen (komplex) BF

Trigonometrische Gleichungen (komplex) LF

trigon. Gleichung (mit Substitution)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):